1 領域と、その上の積分 まず、定理の主張に現れる領域を定める。領域に課す仮定は三つあり、どの仮定も省くことができない。
定義 1.1. M M M M M M R R R 単純な座標領域 (simple coordinate region )( U , ϕ ) (U,\phi) ( U , ϕ ) Q = ϕ ( R ) ⊆ ϕ ( U ) Q=\phi(R)\subseteq\phi(U) Q = ϕ ( R ) ⊆ ϕ ( U )
R R R R ⊆ U R\subseteq U R ⊆ U Q Q Q §E4 実解析 II の§E4.22 定義 1.2 の意味の区分的に一階連続微分可能な正則領域である。とくにQ Q Q Q Q Q ∂ Q \partial Q ∂ Q 一つ の区分的に一階連続微分可能な正則単純閉曲線Γ 0 \Gamma_0 Γ 0 R 2 ∖ Q \R^2\setminus Q R 2 ∖ Q さらに、Γ 0 \Gamma_0 Γ 0 C ∞ C^\infty C ∞ §E23.13 定義 3.1 の意味で尖点を持たないと仮定する。∂ R = ϕ − 1 ( Γ 0 ) \partial R=\phi^{-1}(\Gamma_0) ∂ R = ϕ − 1 ( Γ 0 ) R R R 境界 (boundary )
条件 (c) は、単連結性の代わりに課す条件である。平面の領域が単連結であれば穴を持たないから、単連結性を仮定した場合はこの条件が従う。この条件を外すと注意 8.5 のとおり結論の右辺が2 π 2\pi 2 π 条件 (b) は Green の定理を適用するために要る。条件 (a) では、領域が一つの座標近傍に収まることが述べられている。このとき、§E23.10 命題 1.3 により、U U U
チャートに正の向きを要求したことは、実質的な制限ではない。R R R R R R
定義 1.2. R R R 定義 1.1 の単純な座標領域、( U , ϕ ) (U,\phi) ( U , ϕ ) x = ϕ − 1 \boldsymbol{x}=\phi^{-1} x = ϕ − 1 x \boldsymbol{x} x ( u , v ) (u,v) ( u , v ) E , F , G E,F,G E , F , G M M M §E23.4 定義 1.3 のE = ⟨ x u , x u ⟩ E=\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_u\rangle E = ⟨ x u , x u ⟩ F = ⟨ x u , x v ⟩ F=\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_v\rangle F = ⟨ x u , x v ⟩ G = ⟨ x v , x v ⟩ G=\langle\boldsymbol{x}_v,\boldsymbol{x}_v\rangle G = ⟨ x v , x v ⟩ M M M §E23.7 定義 5.1 条件 (b) でチャート( U , ( u 1 , u 2 ) ) = ( U , ( u , v ) ) (U,(u^1,u^2))=(U,(u,v)) ( U , ( u 1 , u 2 )) = ( U , ( u , v )) g i j = I ( ∂ i , ∂ j ) g_{ij}=\mathrm{I}(\partial_i,\partial_j) g ij = I ( ∂ i , ∂ j ) E = g 11 E=g_{11} E = g 11 F = g 12 F=g_{12} F = g 12 G = g 22 G=g_{22} G = g 22 E , F , G E,F,G E , F , G I \mathrm{I} I E > 0 E>0 E > 0 E G − F 2 > 0 EG-F^2>0 E G − F 2 > 0 E G − F 2 \sqrt{EG-F^2} E G − F 2 ϕ ( U ) \phi(U) ϕ ( U ) C ∞ C^\infty C ∞ f : R → R f\colon R\to\R f : R → R
∫ R f d A = ∬ Q ( f ∘ x ) E G − F 2 d u d v \int_Rf\,dA=\iint_{Q}\bigl(f\circ\boldsymbol{x}\bigr)\sqrt{EG-F^2}\ du\,dv ∫ R f d A = ∬ Q ( f ∘ x ) E G − F 2 d u d v と定める。Q Q Q §E4.11 補題 1.4 、§E4 実解析 II の§E4.11 定義 2.1 ）、被積分関数は連続であるから、§E4.11 系 3.5 によりこの積分は定まる。f ≡ 1 f\equiv1 f ≡ 1 §E23.4 定義 5.1 の面積A ( R ) A(R) A ( R ) §E23.4 命題 5.2 の証明と同じ変数変換（§E4.14 定理 2.1 ）による。
2 回転角と測地曲率 次の等式が、本記事の証明の要である。左辺は曲線の内在的な量であり、右辺は標構に対する相対的な角の変化と、標構そのものの回り方とに分かれる。
証明. 主張 (1) を示す。T T T ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 )
w ( s ) = ( I ( T ( s ) , e 1 ( γ ( s ) ) ) , I ( T ( s ) , e 2 ( γ ( s ) ) ) ) w(s)=\bigl(\mathrm{I}(T(s),e_1(\gamma(s))),\ \mathrm{I}(T(s),e_2(\gamma(s)))\bigr) w ( s ) = ( I ( T ( s ) , e 1 ( γ ( s ))) , I ( T ( s ) , e 2 ( γ ( s ))) ) はS 1 S^1 S 1 T T T e i ∘ γ e_i\circ\gamma e i ∘ γ I \mathrm{I} I w w w C ∞ C^\infty C ∞ §E23.13 補題 2.1 によりw w w φ \varphi φ φ ( a ) \varphi(a) φ ( a ) T = I ( T , e 1 ) e 1 + I ( T , e 2 ) e 2 T=\mathrm{I}(T,e_1)e_1+\mathrm{I}(T,e_2)e_2 T = I ( T , e 1 ) e 1 + I ( T , e 2 ) e 2 φ \varphi φ C ∞ C^\infty C ∞ §E23.13 補題 2.2 の証明の前半と同じ議論による。すなわち、w w w
主張 (2) を示す。m = − sin φ e 1 + cos φ e 2 m=-\sin\varphi\,e_1+\cos\varphi\,e_2 m = − sin φ e 1 + cos φ e 2 ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) ∥ m ∥ = 1 \lVert m\rVert=1 ∥ m ∥ = 1 I ( T , m ) = 0 \mathrm{I}(T,m)=0 I ( T , m ) = 0 ( T , m ) (T,m) ( T , m ) ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) φ \varphi φ 1 1 1 ( T , m ) (T,m) ( T , m ) §E23.8 定義 5.1 の三条件を満たすベクトルは一意であるからn = m n=m n = m
主張 (3) を示す。§E23.7 命題 6.2 (1) の積の規則と主張 (2) により
D T d s = φ ′ ( − sin φ e 1 + cos φ e 2 ) + cos φ ∇ T e 1 + sin φ ∇ T e 2 \frac{DT}{ds}
=\varphi'\bigl(-\sin\varphi\,e_1+\cos\varphi\,e_2\bigr)
+\cos\varphi\,\nabla_Te_1+\sin\varphi\,\nabla_Te_2 d s D T = φ ′ ( − sin φ e 1 + cos φ e 2 ) + cos φ ∇ T e 1 + sin φ ∇ T e 2 である。§E23.10 命題 2.2 (1) により∇ T e 1 = ω 12 ( T ) e 2 \nabla_Te_1=\omega_{12}(T)e_2 ∇ T e 1 = ω 12 ( T ) e 2 ∇ T e 2 = − ω 12 ( T ) e 1 \nabla_Te_2=-\omega_{12}(T)e_1 ∇ T e 2 = − ω 12 ( T ) e 1
cos φ ω 12 ( T ) e 2 − sin φ ω 12 ( T ) e 1 = ω 12 ( T ) n \cos\varphi\,\omega_{12}(T)e_2-\sin\varphi\,\omega_{12}(T)e_1=\omega_{12}(T)\,n cos φ ω 12 ( T ) e 2 − sin φ ω 12 ( T ) e 1 = ω 12 ( T ) n である。主張 (2) により前半はφ ′ n \varphi'\,n φ ′ n
D T d s = ( φ ′ + ω 12 ( T ) ) n \frac{DT}{ds}=\bigl(\varphi'+\omega_{12}(T)\bigr)\,n d s D T = ( φ ′ + ω 12 ( T ) ) n であり、I ( n , n ) = 1 \mathrm{I}(n,n)=1 I ( n , n ) = 1 κ g = I ( D T / d s , n ) = φ ′ + ω 12 ( T ) \kappa_g=\mathrm{I}(DT/ds,n)=\varphi'+\omega_{12}(T) κ g = I ( D T / d s , n ) = φ ′ + ω 12 ( T ) ▨
3 接続形式の境界積分 証明. x = ϕ − 1 \boldsymbol{x}=\phi^{-1} x = ϕ − 1 ( u , v ) (u,v) ( u , v ) x ∗ ω 12 \boldsymbol{x}^{\ast}\omega_{12} x ∗ ω 12 ϕ ( U ) \phi(U) ϕ ( U ) C ∞ C^\infty C ∞
x ∗ ω 12 = P d u + Q 1 d v , P , Q 1 ∈ C ∞ ( ϕ ( U ) ) \boldsymbol{x}^{\ast}\omega_{12}=P\,du+Q_1\,dv,\qquad P,Q_1\in C^\infty(\phi(U)) x ∗ ω 12 = P d u + Q 1 d v , P , Q 1 ∈ C ∞ ( ϕ ( U )) と書くことができる。
線積分の書き換え 。c = ϕ ∘ γ c=\phi\circ\gamma c = ϕ ∘ γ ϕ \phi ϕ c c c γ \gamma γ C ∞ C^\infty C ∞ M M M §E23.4 補題 2.1 による）。γ ′ ≠ 0 \gamma'\ne0 γ ′ = 0 d x d\boldsymbol{x} d x c ′ ≠ 0 c'\ne0 c ′ = 0 T = d x ( c ′ ) T=d\boldsymbol{x}(c') T = d x ( c ′ )
ω 12 ( T ( s ) ) = ( x ∗ ω 12 ) ( c ′ ( s ) ) = P ( c ( s ) ) u ˙ ( s ) + Q 1 ( c ( s ) ) v ˙ ( s ) \omega_{12}(T(s))=\bigl(\boldsymbol{x}^{\ast}\omega_{12}\bigr)\bigl(c'(s)\bigr)=P(c(s))\,\dot u(s)+Q_1(c(s))\,\dot v(s) ω 12 ( T ( s )) = ( x ∗ ω 12 ) ( c ′ ( s ) ) = P ( c ( s )) u ˙ ( s ) + Q 1 ( c ( s )) v ˙ ( s ) である。よって定義 3.1 の和は、平面の線積分
∫ ∂ R ω 12 = ∮ ∂ Q P d u + Q 1 d v \int_{\partial R}\omega_{12}=\oint_{\partial Q}P\,du+Q_1\,dv ∫ ∂ R ω 12 = ∮ ∂ Q P d u + Q 1 d v に等しい。ここで∂ Q \partial Q ∂ Q c c c
向きの一致 。c c c §E4.22 定義 1.2 条件 (d) の正の向き、すなわちQ Q Q s s s p = γ ( s ) p=\gamma(s) p = γ ( s ) q = c ( s ) q=c(s) q = c ( s ) d x q : R 2 → T p M d\boldsymbol{x}_q\colon\R^2\to T_pM d x q : R 2 → T p M R 2 \R^2 R 2 T p M T_pM T p M n n n §E23.8 定義 5.1 の単位法ベクトルとし、ν = ( d x q ) − 1 ( n ) \nu=(d\boldsymbol{x}_q)^{-1}(n) ν = ( d x q ) − 1 ( n ) ( c ′ ( s ) , ν ) (c'(s),\nu) ( c ′ ( s ) , ν ) R 2 \R^2 R 2 det ( c ′ ( s ) , ν ) > 0 \det(c'(s),\nu)>0 det ( c ′ ( s ) , ν ) > 0 R 2 \R^2 R 2 J J J det ( c ′ ( s ) , J c ′ ( s ) ) = ∥ c ′ ( s ) ∥ 2 > 0 \det(c'(s),Jc'(s))=\lVert c'(s)\rVert^2>0 det ( c ′ ( s ) , J c ′ ( s )) = ∥ c ′ ( s ) ∥ 2 > 0 ν \nu ν J c ′ ( s ) Jc'(s) J c ′ ( s ) c ′ ( s ) c'(s) c ′ ( s ) det ( c ′ ( s ) , ⋅ ) \det(c'(s),\cdot) det ( c ′ ( s ) , ⋅ ) R c ′ ( s ) \R c'(s) R c ′ ( s )
§E4.22 定義 1.2 条件 (c) により、q q q B ( q , r ) B(q,r) B ( q , r ) B ( q , r ) ∖ ∂ Q B(q,r)\setminus\partial Q B ( q , r ) ∖ ∂ Q Q Q Q Q Q Q r r r ∂ Q \partial Q ∂ Q B ( q , r ) B(q,r) B ( q , r ) C 1 C^1 C 1 q + R c ′ ( s ) q+\R c'(s) q + R c ′ ( s ) q q q Q Q Q w w w det ( c ′ ( s ) , w ) \det(c'(s),w) det ( c ′ ( s ) , w ) R R R n n n R R R ν \nu ν Q Q Q J c ′ ( s ) Jc'(s) J c ′ ( s ) Q Q Q Q Q Q
Green の定理 。Q Q Q §E4.22 定義 1.2 の正則領域であり穴を持たないから、§E4 実解析 II の§E4.22 定理 4.1 をD = Q D=Q D = Q P P P Q 1 Q_1 Q 1
∮ ∂ Q P d u + Q 1 d v = ∬ Q ( ∂ Q 1 ∂ u − ∂ P ∂ v ) d u d v \oint_{\partial Q}P\,du+Q_1\,dv=\iint_{Q}\left(\frac{\partial Q_1}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\right)du\,dv ∮ ∂ Q P d u + Q 1 d v = ∬ Q ( ∂ u ∂ Q 1 − ∂ v ∂ P ) d u d v を得る。P , Q 1 P,Q_1 P , Q 1 Q Q Q ϕ ( U ) \phi(U) ϕ ( U ) C ∞ C^\infty C ∞
被積分関数の同定 。( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) d ω 12 = − K ω 1 ∧ ω 2 d\omega_{12}=-K\,\omega_1\wedge\omega_2 d ω 12 = − K ω 1 ∧ ω 2 §E23.11 定理 2.1 (1) で Gauss 曲率K K K M M M §E23.11 定理 2.1 (3) により、このK K K §E23.6 定義 2.1 の Gauss 曲率に一致し、上の等式は§E23.11 定理 1.2 に一致する。外微分と引き戻しが可換であること（§E22 多様体入門 の§E22.11 命題 3.1 ）により
( ∂ Q 1 ∂ u − ∂ P ∂ v ) d u ∧ d v = d ( x ∗ ω 12 ) = x ∗ ( d ω 12 ) = x ∗ ( − K ω 1 ∧ ω 2 ) \left(\frac{\partial Q_1}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\right)du\wedge dv
=d\bigl(\boldsymbol{x}^{\ast}\omega_{12}\bigr)=\boldsymbol{x}^{\ast}\bigl(d\omega_{12}\bigr)
=\boldsymbol{x}^{\ast}\bigl(-K\,\omega_1\wedge\omega_2\bigr) ( ∂ u ∂ Q 1 − ∂ v ∂ P ) d u ∧ d v = d ( x ∗ ω 12 ) = x ∗ ( d ω 12 ) = x ∗ ( − K ω 1 ∧ ω 2 ) である。
面積要素との突き合わせ 。§E23.10 命題 1.4 は、§E23.10 命題 1.3 で座標基底の Gram–Schmidt 直交化として作る標構についての主張である。本補題の( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) U U U ω 1 ∧ ω 2 \omega_1\wedge\omega_2 ω 1 ∧ ω 2
§E23.10 命題 1.3 の標構を( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) (\bar e_1,\bar e_2) ( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) ( ω ˉ 1 , ω ˉ 2 ) (\bar\omega_1,\bar\omega_2) ( ω ˉ 1 , ω ˉ 2 ) ( ∂ 1 , ∂ 2 ) (\partial_1,\partial_2) ( ∂ 1 , ∂ 2 ) ( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) (\bar e_1,\bar e_2) ( e ˉ 1 , e ˉ 2 )
1 E ⋅ E E E G − F 2 = 1 E G − F 2 > 0 \frac{1}{\sqrt E}\cdot\frac{E}{\sqrt E\sqrt{EG-F^2}}=\frac{1}{\sqrt{EG-F^2}}>0 E 1 ⋅ E E G − F 2 E = E G − F 2 1 > 0 であり、チャートが正の向きを持つから、( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) (\bar e_1,\bar e_2) ( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) §E23.10 定理 4.1 (3) により、各点の連結な開近傍の上で( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) ( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) (\bar e_1,\bar e_2) ( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) §E23.10 定理 4.1 (1) の回転によって得られるか、または§E23.10 定理 4.1 (1) と§E23.10 定理 4.1 (2) の合成によって得られる。§E23.10 定理 4.1 (2) の取り替え( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) ↦ ( e ˉ 1 , − e ˉ 2 ) (\bar e_1,\bar e_2)\mapsto(\bar e_1,-\bar e_2) ( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) ↦ ( e ˉ 1 , − e ˉ 2 ) − 1 -1 − 1 ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) ( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) (\bar e_1,\bar e_2) ( e ˉ 1 , e ˉ 2 ) §E23.10 定理 4.1 (2) を含む場合は起こらない。よって近傍ごとに§E23.10 定理 4.1 (1) の形であり、§E23.10 定理 4.1 (1) によりω 1 ∧ ω 2 = ω ˉ 1 ∧ ω ˉ 2 \omega_1\wedge\omega_2=\bar\omega_1\wedge\bar\omega_2 ω 1 ∧ ω 2 = ω ˉ 1 ∧ ω ˉ 2 U U U
§E23.10 命題 1.3 で与えられる余標構の式に§E23.10 命題 1.4 の計算を適用すると、ω ˉ 1 ∧ ω ˉ 2 \bar\omega_1\wedge\bar\omega_2 ω ˉ 1 ∧ ω ˉ 2 E G − F 2 d u ∧ d v \sqrt{EG-F^2}\,du\wedge dv E G − F 2 d u ∧ d v
∂ Q 1 ∂ u − ∂ P ∂ v = − ( K ∘ x ) E G − F 2 \frac{\partial Q_1}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}=-\bigl(K\circ\boldsymbol{x}\bigr)\sqrt{EG-F^2} ∂ u ∂ Q 1 − ∂ v ∂ P = − ( K ∘ x ) E G − F 2 である。定義 1.2 により
∬ Q ( ∂ Q 1 ∂ u − ∂ P ∂ v ) d u d v = − ∫ R K d A \iint_{Q}\left(\frac{\partial Q_1}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\right)du\,dv=-\int_RK\,dA ∬ Q ( ∂ u ∂ Q 1 − ∂ v ∂ P ) d u d v = − ∫ R K d A であり、主張が従う。▨
4 第一基本形式で測った境界の回転角の総和 補題 2.1 のφ \varphi φ §E23.10 命題 1.3 で与えられる標構が、座標平面の上で第一基本形式を引き戻した二次形式に関する Gram–Schmidt 標構の押し出しに一致することである。
補題 4.1. R R R 定義 1.1 の単純な座標領域、( U , ϕ ) (U,\phi) ( U , ϕ ) x = ϕ − 1 \boldsymbol{x}=\phi^{-1} x = ϕ − 1 §E23.10 命題 1.3 で与えられる正規直交接標構を( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) ∂ R \partial R ∂ R R R R γ : [ 0 , L ] → U \gamma\colon[0,L]\to U γ : [ 0 , L ] → U 0 = s 0 < ⋯ < s N = L 0=s_0<\cdots<s_N=L 0 = s 0 < ⋯ < s N = L 補題 2.1 の角をφ j \varphi_j φ j θ j ∈ ( − π , π ) \theta_j\in(-\pi,\pi) θ j ∈ ( − π , π )
∑ j = 1 N ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) + ∑ j = 1 N θ j = 2 π \sum_{j=1}^{N}\bigl(\varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1})\bigr)+\sum_{j=1}^{N}\theta_j=2\pi j = 1 ∑ N ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) + j = 1 ∑ N θ j = 2 π が成り立つ。ここで外角は、入る側の単位接ベクトルから出る側の単位接ベクトルへの、第一基本形式で測った符号つきの角である。
証明. W = ϕ ( U ) W=\phi(U) W = ϕ ( U ) W W W g g g
g q ( a , b ) = I x ( q ) ( d x q ( a ) , d x q ( b ) ) ( a , b ∈ R 2 ) g_q(a,b)=\mathrm{I}_{\boldsymbol{x}(q)}\bigl(d\boldsymbol{x}_q(a),\ d\boldsymbol{x}_q(b)\bigr)\qquad(a,b\in\R^2) g q ( a , b ) = I x ( q ) ( d x q ( a ) , d x q ( b ) ) ( a , b ∈ R 2 ) で定める。d x q d\boldsymbol{x}_q d x q I \mathrm{I} I g q g_q g q ( E F F G ) \begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix} ( E F F G ) q q q C ∞ C^\infty C ∞ d x q : ( R 2 , g q ) → ( T p M , I p ) d\boldsymbol{x}_q\colon(\R^2,g_q)\to(T_pM,\mathrm{I}_p) d x q : ( R 2 , g q ) → ( T p M , I p )
標構の対応 。§E23.13 定義 9.1 の Gram–Schmidt 標構( f 1 , f 2 ) (f_1,f_2) ( f 1 , f 2 ) g g g ( ε 1 , ε 2 ) (\varepsilon_1,\varepsilon_2) ( ε 1 , ε 2 ) g ( ε 1 , ε 1 ) = E g(\varepsilon_1,\varepsilon_1)=E g ( ε 1 , ε 1 ) = E g ( ε 1 , ε 2 ) = F g(\varepsilon_1,\varepsilon_2)=F g ( ε 1 , ε 2 ) = F g ( ε 2 , ε 2 ) = G g(\varepsilon_2,\varepsilon_2)=G g ( ε 2 , ε 2 ) = G
f 1 = ε 1 E , ε 2 − g ( ε 2 , f 1 ) f 1 = ε 2 − F E ε 1 , ∥ ε 2 − F E ε 1 ∥ g = G − F 2 E = E G − F 2 E f_1=\frac{\varepsilon_1}{\sqrt E},\qquad
\varepsilon_2-g(\varepsilon_2,f_1)f_1=\varepsilon_2-\frac{F}{E}\varepsilon_1,\qquad
\Bigl\lVert\varepsilon_2-\frac{F}{E}\varepsilon_1\Bigr\rVert_g=\sqrt{G-\frac{F^2}{E}}=\frac{\sqrt{EG-F^2}}{\sqrt E} f 1 = E ε 1 , ε 2 − g ( ε 2 , f 1 ) f 1 = ε 2 − E F ε 1 , ε 2 − E F ε 1 g = G − E F 2 = E E G − F 2 であり
f 2 = E ε 2 − F ε 1 E E G − F 2 f_2=\frac{E\varepsilon_2-F\varepsilon_1}{\sqrt E\sqrt{EG-F^2}} f 2 = E E G − F 2 E ε 2 − F ε 1 である。d x ( ε 1 ) = x u d\boldsymbol{x}(\varepsilon_1)=\boldsymbol{x}_u d x ( ε 1 ) = x u d x ( ε 2 ) = x v d\boldsymbol{x}(\varepsilon_2)=\boldsymbol{x}_v d x ( ε 2 ) = x v
d x ( f 1 ) = x u E , d x ( f 2 ) = E x v − F x u E E G − F 2 d\boldsymbol{x}(f_1)=\frac{\boldsymbol{x}_u}{\sqrt E},\qquad
d\boldsymbol{x}(f_2)=\frac{E\boldsymbol{x}_v-F\boldsymbol{x}_u}{\sqrt E\sqrt{EG-F^2}} d x ( f 1 ) = E x u , d x ( f 2 ) = E E G − F 2 E x v − F x u となり、右辺は§E23.10 命題 1.3 のe 1 e_1 e 1 e 2 e_2 e 2 d x ( f i ) = e i d\boldsymbol{x}(f_i)=e_i d x ( f i ) = e i
角の対応 。c = ϕ ∘ γ c=\phi\circ\gamma c = ϕ ∘ γ 補題 3.2 の証明で見たとおり、c c c Q Q Q γ \gamma γ ϕ \phi ϕ c c c g g g T ^ \hat T T ^ d x d\boldsymbol{x} d x d x ( T ^ ) = T d\boldsymbol{x}(\hat T)=T d x ( T ^ ) = T
T ^ = cos φ j f 1 + sin φ j f 2 ⟺ T = cos φ j e 1 + sin φ j e 2 \hat T=\cos\varphi_j\,f_1+\sin\varphi_j\,f_2
\iff
T=\cos\varphi_j\,e_1+\sin\varphi_j\,e_2 T ^ = cos φ j f 1 + sin φ j f 2 ⟺ T = cos φ j e 1 + sin φ j e 2 であり、§E23.13 定義 9.1 の意味でg g g c c c 補題 2.1 のφ j \varphi_j φ j d x d\boldsymbol{x} d x g g g f i f_i f i e i e_i e i c c c g g g θ j \theta_j θ j c c c g g g
回転定理の適用 。以上により、§E23.13 定義 9.1 の記号で
2 π ι g ( c ) = ∑ j = 1 N ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) + ∑ j = 1 N θ j 2\pi\,\iota_g(c)=\sum_{j=1}^{N}\bigl(\varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1})\bigr)+\sum_{j=1}^{N}\theta_j 2 π ι g ( c ) = j = 1 ∑ N ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) + j = 1 ∑ N θ j である。γ \gamma γ §E23.13 注意 9.3 により、c c c §E23.13 命題 9.2 によりι g ( c ) = ι ( c ) \iota_g(c)=\iota(c) ι g ( c ) = ι ( c ) c c c Q Q Q Q Q Q §E4.22 定義 1.2 の正則領域であるから、§E23.13 定理 7.1 によりι ( c ) = 1 \iota(c)=1 ι ( c ) = 1 ▨
5 証明方針 主定理の証明は次の三段からなる。
第一段は、境界を弧長で径数づけ、§E23.10 命題 1.3 の標構に対する角φ \varphi φ §E23.10 命題 1.3 のものに固定するのは、補題 4.1 が、その標構が座標平面の Gram–Schmidt 標構の押し出しであることを使うからである。結論に現れる三つの量はいずれも標構に依存しないので、この固定は一般性を失わない。
第二段は、補題 2.1 の等式κ g = φ ′ + ω 12 ( T ) \kappa_g=\varphi'+\omega_{12}(T) κ g = φ ′ + ω 12 ( T )
第三段は、二つの評価を代入することである。角の総増分は補題 4.1 により2 π 2\pi 2 π 補題 3.2 により Gauss 曲率の面積分の符号を変えたものである。両者を代入して整理すると主張の等式が得られる。
平面の Green の定理を使う箇所は第三段の後者だけである。多様体上の Stokes の定理を用いない理由は、その定理が角を持つ領域を扱わないからである。曲面上の古典的 Stokes の定理を用いない理由は、この定理がベクトル場の回転についての形であり、接続形式という一次微分形式に適用することができないからである。
6 局所 Gauss–Bonnet の定理 定理 6.1 (局所 Gauss–Bonnet の定理). M M M §E23.7 定義 5.1 の抽象曲面でよい）、R ⊆ M R\subseteq M R ⊆ M 定義 1.1 の単純な座標領域とする。境界∂ R \partial R ∂ R R R R §E23.8 定義 5.1 の単位法ベクトルn n n R R R θ 1 , … , θ N ∈ ( − π , π ) \theta_1,\ldots,\theta_N\in(-\pi,\pi) θ 1 , … , θ N ∈ ( − π , π )
∫ R K d A + ∫ ∂ R κ g d s + ∑ j = 1 N θ j = 2 π \int_RK\,dA+\int_{\partial R}\kappa_g\,ds+\sum_{j=1}^{N}\theta_j=2\pi ∫ R K d A + ∫ ∂ R κ g d s + j = 1 ∑ N θ j = 2 π が成り立つ。ここでK K K §E23.11 定理 2.1 ）、κ g \kappa_g κ g §E23.8 定義 5.1 ）である。
証明. ( U , ϕ ) (U,\phi) ( U , ϕ ) 定義 1.1 のチャート、( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) §E23.10 命題 1.3 で与えられるU U U 補題 4.1 の証明で示したとおりe i = d x ( f i ) e_i=d\boldsymbol{x}(f_i) e i = d x ( f i ) ( f 1 , f 2 ) (f_1,f_2) ( f 1 , f 2 )
det ( f 1 , f 2 ) = det ( ε 1 E , E ε 2 − F ε 1 E E G − F 2 ) = E E ⋅ E E G − F 2 = 1 E G − F 2 > 0 \det(f_1,f_2)=\det\left(\frac{\varepsilon_1}{\sqrt E},\ \frac{E\varepsilon_2-F\varepsilon_1}{\sqrt E\sqrt{EG-F^2}}\right)=\frac{E}{\sqrt E\cdot\sqrt E\sqrt{EG-F^2}}=\frac{1}{\sqrt{EG-F^2}}>0 det ( f 1 , f 2 ) = det ( E ε 1 , E E G − F 2 E ε 2 − F ε 1 ) = E ⋅ E E G − F 2 E = E G − F 2 1 > 0 によりR 2 \R^2 R 2 d x d\boldsymbol{x} d x ω 12 \omega_{12} ω 12
境界をγ : [ 0 , L ] → U \gamma\colon[0,L]\to U γ : [ 0 , L ] → U 0 = s 0 < s 1 < ⋯ < s N = L 0=s_0<s_1<\cdots<s_N=L 0 = s 0 < s 1 < ⋯ < s N = L [ s j − 1 , s j ] [s_{j-1},s_j] [ s j − 1 , s j ] 補題 2.1 を適用し、角φ j \varphi_j φ j 補題 2.1 (3) により、各弧の上で
κ g ( s ) = φ j ′ ( s ) + ω 12 ( T ( s ) ) \kappa_g(s)=\varphi_j'(s)+\omega_{12}\bigl(T(s)\bigr) κ g ( s ) = φ j ′ ( s ) + ω 12 ( T ( s ) ) である。[ s j − 1 , s j ] [s_{j-1},s_j] [ s j − 1 , s j ] §D1.19 定理 2.1 ）により
∫ s j − 1 s j κ g d s = ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) + ∫ s j − 1 s j ω 12 ( T ( s ) ) d s \int_{s_{j-1}}^{s_j}\kappa_g\,ds=\bigl(\varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1})\bigr)+\int_{s_{j-1}}^{s_j}\omega_{12}\bigl(T(s)\bigr)\,ds ∫ s j − 1 s j κ g d s = ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) + ∫ s j − 1 s j ω 12 ( T ( s ) ) d s である。j = 1 , … , N j=1,\ldots,N j = 1 , … , N 定義 3.1 の定義により
∫ ∂ R κ g d s = ∑ j = 1 N ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) + ∫ ∂ R ω 12 \int_{\partial R}\kappa_g\,ds=\sum_{j=1}^{N}\bigl(\varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1})\bigr)+\int_{\partial R}\omega_{12} ∫ ∂ R κ g d s = j = 1 ∑ N ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) + ∫ ∂ R ω 12 である。
第一項に補題 4.1 を適用すると
∑ j = 1 N ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) = 2 π − ∑ j = 1 N θ j \sum_{j=1}^{N}\bigl(\varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1})\bigr)=2\pi-\sum_{j=1}^{N}\theta_j j = 1 ∑ N ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) = 2 π − j = 1 ∑ N θ j であり、第二項に補題 3.2 を適用すると
∫ ∂ R ω 12 = − ∫ R K d A \int_{\partial R}\omega_{12}=-\int_RK\,dA ∫ ∂ R ω 12 = − ∫ R K d A である。二つを代入すると
∫ ∂ R κ g d s = 2 π − ∑ j = 1 N θ j − ∫ R K d A \int_{\partial R}\kappa_g\,ds=2\pi-\sum_{j=1}^{N}\theta_j-\int_RK\,dA ∫ ∂ R κ g d s = 2 π − j = 1 ∑ N θ j − ∫ R K d A であり、移項して主張の等式を得る。▨
7 系 系 7.1. M M M R ⊆ M R\subseteq M R ⊆ M 定義 1.1 の単純な座標領域、p ∈ ∂ R p\in\partial R p ∈ ∂ R ∂ R \partial R ∂ R R R R p p p §E23.7 定理 6.5 ）をP ∂ R : T p M → T p M P_{\partial R}\colon T_pM\to T_pM P ∂ R : T p M → T p M P ∂ R P_{\partial R} P ∂ R T p M T_pM T p M
∫ R K d A \int_RK\,dA ∫ R K d A だけ回す回転である。すなわち、T p M T_pM T p M β \beta β R β \mathcal{R}_\beta R β β 0 = ∫ R K d A \beta_0=\int_RK\,dA β 0 = ∫ R K d A P ∂ R = R β 0 P_{\partial R}=\mathcal{R}_{\beta_0} P ∂ R = R β 0
証明. ( U , ϕ ) (U,\phi) ( U , ϕ ) 定義 1.1 のチャート、( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) 定理 6.1 の証明で用いたU U U ω 12 \omega_{12} ω 12 γ : [ 0 , L ] → U \gamma\colon[0,L]\to U γ : [ 0 , L ] → U γ ( 0 ) = γ ( L ) = p \gamma(0)=\gamma(L)=p γ ( 0 ) = γ ( L ) = p
V 0 ∈ T p M V_0\in T_pM V 0 ∈ T p M V V V γ \gamma γ V ( 0 ) = V 0 V(0)=V_0 V ( 0 ) = V 0 §E23.7 定理 6.5 。区分的に滑らかな曲線に対しては、各弧に順に適用して繋げる。V V V [ 0 , L ] [0,L] [ 0 , L ] P ∂ R P_{\partial R} P ∂ R V 0 = 0 V_0=0 V 0 = 0 P ∂ R V 0 = 0 P_{\partial R}V_0=0 P ∂ R V 0 = 0 V 0 ≠ 0 V_0\ne0 V 0 = 0 §E23.7 定理 6.5 (2) により∥ V ∥ \lVert V\rVert ∥ V ∥ V V V V / ∥ V 0 ∥ V/\lVert V_0\rVert V / ∥ V 0 ∥ ∥ V ∥ ≡ 1 \lVert V\rVert\equiv1 ∥ V ∥ ≡ 1
補題 2.1 (1) と同じ議論により、連続関数ψ : [ 0 , L ] → R \psi\colon[0,L]\to\R ψ : [ 0 , L ] → R
V ( s ) = cos ψ ( s ) e 1 + sin ψ ( s ) e 2 V(s)=\cos\psi(s)\,e_1+\sin\psi(s)\,e_2 V ( s ) = cos ψ ( s ) e 1 + sin ψ ( s ) e 2 を満たすものが存在する。V V V ψ \psi ψ §E23.7 命題 6.2 の積の規則と§E23.10 命題 2.2 (1) により
0 = D V d s = ( ψ ′ + ω 12 ( T ) ) ( − sin ψ e 1 + cos ψ e 2 ) 0=\frac{DV}{ds}=\bigl(\psi'+\omega_{12}(T)\bigr)\bigl(-\sin\psi\,e_1+\cos\psi\,e_2\bigr) 0 = d s D V = ( ψ ′ + ω 12 ( T ) ) ( − sin ψ e 1 + cos ψ e 2 ) である。括弧の中のベクトルは単位ベクトルであるからψ ′ = − ω 12 ( T ) \psi'=-\omega_{12}(T) ψ ′ = − ω 12 ( T ) ψ \psi ψ [ 0 , L ] [0,L] [ 0 , L ]
ψ ( L ) − ψ ( 0 ) = − ∫ ∂ R ω 12 = ∫ R K d A \psi(L)-\psi(0)=-\int_{\partial R}\omega_{12}=\int_RK\,dA ψ ( L ) − ψ ( 0 ) = − ∫ ∂ R ω 12 = ∫ R K d A である。最後の等号は補題 3.2 による。
γ ( L ) = γ ( 0 ) = p \gamma(L)=\gamma(0)=p γ ( L ) = γ ( 0 ) = p e i ( γ ( L ) ) = e i ( γ ( 0 ) ) e_i(\gamma(L))=e_i(\gamma(0)) e i ( γ ( L )) = e i ( γ ( 0 ))
P ∂ R V 0 = V ( L ) = cos ψ ( L ) e 1 + sin ψ ( L ) e 2 P_{\partial R}V_0=V(L)=\cos\psi(L)\,e_1+\sin\psi(L)\,e_2 P ∂ R V 0 = V ( L ) = cos ψ ( L ) e 1 + sin ψ ( L ) e 2 は、V 0 = cos ψ ( 0 ) e 1 + sin ψ ( 0 ) e 2 V_0=\cos\psi(0)e_1+\sin\psi(0)e_2 V 0 = cos ψ ( 0 ) e 1 + sin ψ ( 0 ) e 2 ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) ψ ( L ) − ψ ( 0 ) \psi(L)-\psi(0) ψ ( L ) − ψ ( 0 ) V 0 V_0 V 0 P ∂ R P_{\partial R} P ∂ R ∫ R K d A \int_RK\,dA ∫ R K d A ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) T p M T_pM T p M ▨
系 7.3. M M M T ⊆ M T\subseteq M T ⊆ M 定義 1.1 の単純な座標領域であって、境界が三つの滑らかな弧と三つの分割点からなり、三つの弧がいずれも測地線（§E23.8 定義 1.1 ）の一部であるものとする。このようなT T T 測地三角形 (geodesic triangle )α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 θ j \theta_j θ j α j = π − θ j \alpha_j=\pi-\theta_j α j = π − θ j
α 1 + α 2 + α 3 − π = ∫ T K d A \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-\pi=\int_TK\,dA α 1 + α 2 + α 3 − π = ∫ T K d A が成り立つ。
証明. 三つの弧は測地線の一部であるから、§E23.8 命題 5.2 (1) により、その上でκ g ≡ 0 \kappa_g\equiv0 κ g ≡ 0 ∫ ∂ T κ g d s = 0 \int_{\partial T}\kappa_g\,ds=0 ∫ ∂ T κ g d s = 0 定理 6.1 により
∫ T K d A + 0 + ∑ j = 1 3 θ j = 2 π \int_TK\,dA+0+\sum_{j=1}^{3}\theta_j=2\pi ∫ T K d A + 0 + j = 1 ∑ 3 θ j = 2 π である。θ j = π − α j \theta_j=\pi-\alpha_j θ j = π − α j
∫ T K d A + 3 π − ( α 1 + α 2 + α 3 ) = 2 π \int_TK\,dA+3\pi-\bigl(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\bigr)=2\pi ∫ T K d A + 3 π − ( α 1 + α 2 + α 3 ) = 2 π であり、整理して主張を得る。▨
8 例 例 8.1. M M M { ( x , y , 0 ) : x , y ∈ R } \{(x,y,0):x,y\in\R\} {( x , y , 0 ) : x , y ∈ R } N = ( 0 , 0 , 1 ) N=(0,0,1) N = ( 0 , 0 , 1 ) E = G = 1 E=G=1 E = G = 1 F = 0 F=0 F = 0 §E23.6 命題 4.3 によりK ≡ 0 K\equiv0 K ≡ 0 定理 6.1 により
∫ ∂ R κ g d s + ∑ j θ j = 2 π \int_{\partial R}\kappa_g\,ds+\sum_{j}\theta_j=2\pi ∫ ∂ R κ g d s + j ∑ θ j = 2 π が得られる。平面の単位速度曲線については、§E23.8 定義 5.1 のn n n §E23.13 定義 1.1 のn = J T n=JT n = J T κ g = κ s \kappa_g=\kappa_s κ g = κ s §E23.13 補題 2.2 により∫ 弧 κ s d s \int_{\text{弧}}\kappa_s\,ds ∫ 弧 κ s d s §E23.13 定理 7.1 そのものである。曲率が零である場合に主定理が回転定理へ戻ることが確かめられる。
具体例として、§E23.13 例 8.1 の三角形A = ( 0 , 0 ) A=(0,0) A = ( 0 , 0 ) B = ( 1 , 0 ) B=(1,0) B = ( 1 , 0 ) C = ( 0 , 1 ) C=(0,1) C = ( 0 , 1 ) κ s ≡ 0 \kappa_s\equiv0 κ s ≡ 0 π / 2 + 3 π / 4 + 3 π / 4 = 2 π \pi/2+3\pi/4+3\pi/4=2\pi π /2 + 3 π /4 + 3 π /4 = 2 π 0 + 0 + 2 π = 2 π 0+0+2\pi=2\pi 0 + 0 + 2 π = 2 π
例 8.2. 半径r > 0 r>0 r > 0 M = { p ∈ R 3 : ∥ p ∥ = r } M=\{p\in\R^3:\lVert p\rVert=r\} M = { p ∈ R 3 : ∥ p ∥ = r } N ( p ) = − p / r N(p)=-p/r N ( p ) = − p / r 0 < u 0 < π 0<u_0<\pi 0 < u 0 < π
R = { p ∈ M : p 3 ≥ r cos u 0 } R=\{p\in M:\ p_3\ge r\cos u_0\} R = { p ∈ M : p 3 ≥ r cos u 0 } を取る。ここでp 3 p_3 p 3
仮定の確認 。R R R ( 0 , 0 , − r ) (0,0,-r) ( 0 , 0 , − r )
Φ ( p ) = ( r p 1 r + p 3 , − r p 2 r + p 3 ) \Phi(p)=\Bigl(\frac{r\,p_1}{r+p_3},\ \frac{-r\,p_2}{r+p_3}\Bigr) Φ ( p ) = ( r + p 3 r p 1 , r + p 3 − r p 2 ) は、南極を除いた球面からR 2 \R^2 R 2 p = x ( u , v ) = r ( sin u cos v , sin u sin v , cos u ) p=\boldsymbol{x}(u,v)=r(\sin u\cos v,\sin u\sin v,\cos u) p = x ( u , v ) = r ( sin u cos v , sin u sin v , cos u )
Φ ( p ) = r sin u 1 + cos u ( cos v , − sin v ) = r tan u 2 ( cos ζ , sin ζ ) , ζ = − v \Phi(p)=\frac{r\sin u}{1+\cos u}\,(\cos v,\ -\sin v)=r\tan\frac{u}{2}\,(\cos\zeta,\ \sin\zeta),\qquad\zeta=-v Φ ( p ) = 1 + cos u r sin u ( cos v , − sin v ) = r tan 2 u ( cos ζ , sin ζ ) , ζ = − v であり、ρ = r tan ( u / 2 ) \rho=r\tan(u/2) ρ = r tan ( u /2 ) u ∈ ( 0 , π ) u\in(0,\pi) u ∈ ( 0 , π ) R R R
Φ ( R ) = { ( ξ , η ) : ξ 2 + η 2 ≤ r 2 tan 2 u 0 2 } , tan 2 u 0 2 = 1 − cos u 0 1 + cos u 0 \Phi(R)=\Bigl\{(\xi,\eta):\ \xi^2+\eta^2\le r^2\tan^2\frac{u_0}{2}\Bigr\},\qquad
\tan^2\frac{u_0}{2}=\frac{1-\cos u_0}{1+\cos u_0} Φ ( R ) = { ( ξ , η ) : ξ 2 + η 2 ≤ r 2 tan 2 2 u 0 } , tan 2 2 u 0 = 1 + cos u 0 1 − cos u 0 である。閉円板は§E4.22 定義 1.2 の正則領域であり、穴を持たない。
このチャートが正の向きを持つことを確かめる。極座標( ρ , ζ ) (\rho,\zeta) ( ρ , ζ ) ( ∂ ρ , ∂ ζ ) (\partial_\rho,\partial_\zeta) ( ∂ ρ , ∂ ζ ) ∂ ρ \partial_\rho ∂ ρ x u \boldsymbol{x}_u x u ζ = − v \zeta=-v ζ = − v ∂ ζ = − x v \partial_\zeta=-\boldsymbol{x}_v ∂ ζ = − x v ( x u , − x v ) (\boldsymbol{x}_u,-\boldsymbol{x}_v) ( x u , − x v ) ( x v , x u ) (\boldsymbol{x}_v,\boldsymbol{x}_u) ( x v , x u ) ( x u , x v ) (\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_v) ( x u , x v ) §E23.7 例 7.3 のとおりe 1 × e 2 = N e_1\times e_2=N e 1 × e 2 = N e 1 ∝ x v e_1\propto\boldsymbol{x}_v e 1 ∝ x v e 2 ∝ x u e_2\propto\boldsymbol{x}_u e 2 ∝ x u ( x v , x u ) (\boldsymbol{x}_v,\boldsymbol{x}_u) ( x v , x u ) R R R 定義 1.1 の単純な座標領域である。境界には角が無いので∑ θ j = 0 \sum\theta_j=0 ∑ θ j = 0
左辺の計算 。§E23.6 命題 4.3 によりK ≡ 1 / r 2 K\equiv1/r^2 K ≡ 1/ r 2 §E23.7 例 7.3 の計算により
∫ R K d A = 1 r 2 ∫ 0 u 0 ∫ 0 2 π r 2 sin u d v d u = 2 π ( 1 − cos u 0 ) \int_RK\,dA=\frac{1}{r^2}\int_0^{u_0}\!\!\int_0^{2\pi}r^2\sin u\,dv\,du=2\pi(1-\cos u_0) ∫ R K d A = r 2 1 ∫ 0 u 0 ∫ 0 2 π r 2 sin u d v d u = 2 π ( 1 − cos u 0 ) である。境界は緯線u = u 0 u=u_0 u = u 0 §E23.8 例 6.2 により、v v v R R R
κ g = cos u 0 r sin u 0 \kappa_g=\frac{\cos u_0}{r\sin u_0} κ g = r sin u 0 cos u 0 である。境界の長さは2 π r sin u 0 2\pi r\sin u_0 2 π r sin u 0
∫ ∂ R κ g d s = cos u 0 r sin u 0 ⋅ 2 π r sin u 0 = 2 π cos u 0 \int_{\partial R}\kappa_g\,ds=\frac{\cos u_0}{r\sin u_0}\cdot2\pi r\sin u_0=2\pi\cos u_0 ∫ ∂ R κ g d s = r sin u 0 cos u 0 ⋅ 2 π r sin u 0 = 2 π cos u 0 である。したがって
∫ R K d A + ∫ ∂ R κ g d s + ∑ j θ j = 2 π ( 1 − cos u 0 ) + 2 π cos u 0 + 0 = 2 π \int_RK\,dA+\int_{\partial R}\kappa_g\,ds+\sum_j\theta_j=2\pi(1-\cos u_0)+2\pi\cos u_0+0=2\pi ∫ R K d A + ∫ ∂ R κ g d s + j ∑ θ j = 2 π ( 1 − cos u 0 ) + 2 π cos u 0 + 0 = 2 π であり、定理 6.1 と一致する。u 0 → 0 u_0\to0 u 0 → 0 0 0 0 2 π 2\pi 2 π u 0 = π / 2 u_0=\pi/2 u 0 = π /2 2 π + 0 2\pi+0 2 π + 0 §E23.8 例 6.1 ）と整合する。u 0 → π u_0\to\pi u 0 → π 4 π 4\pi 4 π − 2 π -2\pi − 2 π
測地曲率を補題 2.1 から独立に求める 。§E23.7 例 7.3 の標構e 1 = x v / ( r sin u ) e_1=\boldsymbol{x}_v/(r\sin u) e 1 = x v / ( r sin u ) e 2 = x u / r e_2=\boldsymbol{x}_u/r e 2 = x u / r ω 1 = r sin u d v \omega_1=r\sin u\,dv ω 1 = r sin u d v ω 2 = r d u \omega_2=r\,du ω 2 = r d u §E23.10 定理 3.1 にω 12 = a d u + b d v \omega_{12}=a\,du+b\,dv ω 12 = a d u + b d v
d ω 1 = r cos u d u ∧ d v = ω 12 ∧ ω 2 = − b r d u ∧ d v , d ω 2 = 0 = − ω 12 ∧ ω 1 = − a r sin u d u ∧ d v d\omega_1=r\cos u\,du\wedge dv=\omega_{12}\wedge\omega_2=-br\,du\wedge dv,\qquad
d\omega_2=0=-\omega_{12}\wedge\omega_1=-ar\sin u\,du\wedge dv d ω 1 = r cos u d u ∧ d v = ω 12 ∧ ω 2 = − b r d u ∧ d v , d ω 2 = 0 = − ω 12 ∧ ω 1 = − a r sin u d u ∧ d v であるからa = 0 a=0 a = 0 b = − cos u b=-\cos u b = − cos u ω 12 = − cos u d v \omega_{12}=-\cos u\,dv ω 12 = − cos u d v §E23.10 定理 3.2 により、これが接続形式である。境界の単位接ベクトルT T T v v v T = − e 1 T=-e_1 T = − e 1 φ ≡ π \varphi\equiv\pi φ ≡ π φ ′ = 0 \varphi'=0 φ ′ = 0 u ˙ = 0 \dot u=0 u ˙ = 0 v ˙ = − 1 / ( r sin u 0 ) \dot v=-1/(r\sin u_0) v ˙ = − 1/ ( r sin u 0 )
ω 12 ( T ) = − cos u 0 ⋅ ( − 1 r sin u 0 ) = cos u 0 r sin u 0 \omega_{12}(T)=-\cos u_0\cdot\left(-\frac{1}{r\sin u_0}\right)=\frac{\cos u_0}{r\sin u_0} ω 12 ( T ) = − cos u 0 ⋅ ( − r sin u 0 1 ) = r sin u 0 cos u 0 であり、補題 2.1 (3) によりκ g = 0 + cos u 0 / ( r sin u 0 ) \kappa_g=0+\cos u_0/(r\sin u_0) κ g = 0 + cos u 0 / ( r sin u 0 ) §E23.8 例 6.2 が Christoffel 記号から直接に求めた値と一致する。またd ω 12 = sin u d u ∧ d v d\omega_{12}=\sin u\,du\wedge dv d ω 12 = sin u d u ∧ d v ω 1 ∧ ω 2 = − r 2 sin u d u ∧ d v \omega_1\wedge\omega_2=-r^2\sin u\,du\wedge dv ω 1 ∧ ω 2 = − r 2 sin u d u ∧ d v d ω 12 = − 1 r 2 ω 1 ∧ ω 2 d\omega_{12}=-\frac{1}{r^2}\omega_1\wedge\omega_2 d ω 12 = − r 2 1 ω 1 ∧ ω 2 §E23.11 定理 1.2 とK = 1 / r 2 K=1/r^2 K = 1/ r 2
例 8.3. 半径r r r
T = { p ∈ M : p 1 ≥ 0 , p 2 ≥ 0 , p 3 ≥ 0 } T=\{p\in M:\ p_1\ge0,\ p_2\ge0,\ p_3\ge0\} T = { p ∈ M : p 1 ≥ 0 , p 2 ≥ 0 , p 3 ≥ 0 } を取る。三辺はいずれも大円の弧であり、§E23.8 例 6.1 により測地線である。三つの内角はいずれもπ / 2 \pi/2 π /2 系 7.3 では
π 2 + π 2 + π 2 − π = π 2 = ∫ T K d A \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\pi=\frac{\pi}{2}=\int_TK\,dA 2 π + 2 π + 2 π − π = 2 π = ∫ T K d A を主張する。直接に確かめる。T T T 4 π r 2 / 8 = π r 2 / 2 4\pi r^2/8=\pi r^2/2 4 π r 2 /8 = π r 2 /2 K ≡ 1 / r 2 K\equiv1/r^2 K ≡ 1/ r 2
∫ T K d A = 1 r 2 ⋅ π r 2 2 = π 2 \int_TK\,dA=\frac{1}{r^2}\cdot\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi}{2} ∫ T K d A = r 2 1 ⋅ 2 π r 2 = 2 π である。二つの値は一致する。
内角の和は3 π / 2 > π 3\pi/2>\pi 3 π /2 > π K > 0 K>0 K > 0 系 7.3 により、K > 0 K>0 K > 0 π \pi π K ≡ 0 K\equiv0 K ≡ 0 π \pi π K < 0 K<0 K < 0 π \pi π
例 8.4. 例 8.2 の球冠R = { u ≤ u 0 } R=\{u\le u_0\} R = { u ≤ u 0 } 系 7.1 により、境界の緯線に沿う平行移動は接平面を正の向きに角
∫ R K d A = 2 π ( 1 − cos u 0 ) \int_RK\,dA=2\pi(1-\cos u_0) ∫ R K d A = 2 π ( 1 − cos u 0 ) だけ回す回転である。
§E23.7 例 7.3 では、同じ平行移動を球面座標の標構
e 1 = x v r sin u , e 2 = x u r e_1=\frac{\boldsymbol{x}_v}{r\sin u},\qquad e_2=\frac{\boldsymbol{x}_u}{r} e 1 = r sin u x v , e 2 = r x u の中で計算し、回転角が− 2 π cos u 0 -2\pi\cos u_0 − 2 π cos u 0
2 π ( 1 − cos u 0 ) − ( − 2 π cos u 0 ) = 2 π 2\pi(1-\cos u_0)-(-2\pi\cos u_0)=2\pi 2 π ( 1 − cos u 0 ) − ( − 2 π cos u 0 ) = 2 π である。回転として見れば両者は同じであるが、実数としての値が食い違う理由は注意 7.2 のとおりである。球面座標の標構はu = 0 u=0 u = 0 R R R ( e 1 A , e 2 A ) (e^A_1,e^A_2) ( e 1 A , e 2 A ) §E23.10 命題 1.3 で例 8.2 のチャートの座標基底から作るR R R ( e 1 B , e 2 B ) (e^B_1,e^B_2) ( e 1 B , e 2 B ) §E23.10 定理 4.1 (1) に従って
e 1 A = cos θ e 1 B + sin θ e 2 B e^A_1=\cos\theta\,e^B_1+\sin\theta\,e^B_2 e 1 A = cos θ e 1 B + sin θ e 2 B を満たす角θ \theta θ ∂ R \partial R ∂ R θ \theta θ ∂ R \partial R ∂ R 補題 2.1 (1) と同じ議論によってこの選択は可能であり、各点の近傍で§E23.10 定理 4.1 (1) が成り立つことから、境界に沿ってω 12 A ( T ) = ω 12 B ( T ) + θ ′ \omega^A_{12}(T)=\omega^B_{12}(T)+\theta' ω 12 A ( T ) = ω 12 B ( T ) + θ ′ θ \theta θ 2 π 2\pi 2 π Δ θ \Delta\theta Δ θ + 2 π +2\pi + 2 π
偏角による確認 。例 8.2 のチャートΦ \Phi Φ R R R ( ρ , ζ ) (\rho,\zeta) ( ρ , ζ ) ρ = r tan ( u / 2 ) \rho=r\tan(u/2) ρ = r tan ( u /2 ) ζ = − v \zeta=-v ζ = − v R R R ζ \zeta ζ 0 0 0 2 π 2\pi 2 π v v v §E23.7 例 7.3 の径数づけと一致する。e 1 A e^A_1 e 1 A x v \boldsymbol{x}_v x v − ∂ ζ -\partial_\zeta − ∂ ζ e 1 A e^A_1 e 1 A ζ − π / 2 \zeta-\pi/2 ζ − π /2 2 π 2\pi 2 π e 1 B e^B_1 e 1 B §E23.13 命題 9.2 の証明と同じ連続変形による。したがってΔ θ = 2 π − 0 = + 2 π \Delta\theta=2\pi-0=+2\pi Δ θ = 2 π − 0 = + 2 π
接続形式による確認 。例 8.2 で求めたとおり、標構( e 1 A , e 2 A ) (e^A_1,e^A_2) ( e 1 A , e 2 A ) ω 12 A = − cos u d v \omega^A_{12}=-\cos u\,dv ω 12 A = − cos u d v ω 12 A \omega^A_{12} ω 12 A ∂ R \partial R ∂ R u = u 0 u=u_0 u = u 0 v v v 定義 3.1 と同じ形の線積分として
∫ ∂ R ω 12 A = cos u 0 r sin u 0 ⋅ 2 π r sin u 0 = 2 π cos u 0 \int_{\partial R}\omega^A_{12}=\frac{\cos u_0}{r\sin u_0}\cdot2\pi r\sin u_0=2\pi\cos u_0 ∫ ∂ R ω 12 A = r sin u 0 cos u 0 ⋅ 2 π r sin u 0 = 2 π cos u 0 である。標構( e 1 B , e 2 B ) (e^B_1,e^B_2) ( e 1 B , e 2 B ) 補題 3.2 の仮定を満たすから
∫ ∂ R ω 12 B = − ∫ R K d A = − 2 π ( 1 − cos u 0 ) \int_{\partial R}\omega^B_{12}=-\int_RK\,dA=-2\pi(1-\cos u_0) ∫ ∂ R ω 12 B = − ∫ R K d A = − 2 π ( 1 − cos u 0 ) である。境界に沿うω 12 A ( T ) = ω 12 B ( T ) + θ ′ \omega^A_{12}(T)=\omega^B_{12}(T)+\theta' ω 12 A ( T ) = ω 12 B ( T ) + θ ′
Δ θ = ∫ ∂ R ω 12 A − ∫ ∂ R ω 12 B = 2 π cos u 0 + 2 π ( 1 − cos u 0 ) = 2 π \Delta\theta=\int_{\partial R}\omega^A_{12}-\int_{\partial R}\omega^B_{12}=2\pi\cos u_0+2\pi(1-\cos u_0)=2\pi Δ θ = ∫ ∂ R ω 12 A − ∫ ∂ R ω 12 B = 2 π cos u 0 + 2 π ( 1 − cos u 0 ) = 2 π であり、偏角による確認と一致する。
注意 7.2 のΔ ψ ~ = Δ ψ − Δ θ \Delta\tilde\psi=\Delta\psi-\Delta\theta Δ ψ ~ = Δ ψ − Δ θ
2 π ( 1 − cos u 0 ) − 2 π = − 2 π cos u 0 2\pi(1-\cos u_0)-2\pi=-2\pi\cos u_0 2 π ( 1 − cos u 0 ) − 2 π = − 2 π cos u 0 であり、§E23.7 例 7.3 の値に一致する。
まとめると、系 7.1 の一般の主張と§E23.7 例 7.3 の計算は、符号まで整合する。両者の2 π 2\pi 2 π
9 境界 Stokes の定理を用いないこと 。補題 3.2 の証明では、平面の Green の定理（§E4.22 定理 4.1 ）だけを用いる。§E22 多様体入門 の Stokes の定理を用いない理由は、その定理では角を持つ領域を扱わないからである。§E4 実解析 II の曲面上の古典的 Stokes の定理を用いない理由は、その定理がベクトル場の回転についての形であり、接続形式という一次微分形式に適用することができないからである。本記事の証明では、領域をチャートの定義域へ引き戻し、平面の定理に帰着させる。
測地極座標を用いないこと 。局所 Gauss–Bonnet の定理には、測地極座標と Gauss の補題を用いる証明もある。本単元ではその証明を扱わない。理由は§E23.8 注意 1.3 に述べたとおり、指数写像の滑らかさを本単元の前提知識から正当化することができないからである。
境界を持つ曲面と向きづけ可能でない曲面を扱わないこと 。本記事のR R R §E23.8 定義 5.1 のn n n
穴を持つ領域を扱わないこと 。注意 8.5 のとおり、境界が二つ以上の閉曲線からなる領域では右辺が2 π 2\pi 2 π
10 演習 問題 10.1.
上半平面M = { ( u , v ) ∣ v > 0 } M=\{(u,v)\mid v>0\} M = {( u , v ) ∣ v > 0 } ( d u 2 + d v 2 ) / v 2 (du^2+dv^2)/v^2 ( d u 2 + d v 2 ) / v 2 ( ∂ u , ∂ v ) (\partial_u,\partial_v) ( ∂ u , ∂ v ) e 1 = v ∂ u e_1=v\,\partial_u e 1 = v ∂ u e 2 = v ∂ v e_2=v\,\partial_v e 2 = v ∂ v c > 0 c>0 c > 0 γ ( s ) = ( c s , c ) \gamma(s)=(cs,\ c) γ ( s ) = ( cs , c ) 補題 2.1 (3) により測地曲率がκ g ≡ 1 \kappa_g\equiv1 κ g ≡ 1 c = 1 c=1 c = 1 §E23.7 問題 9.1 (4) の Christoffel 記号を用いてD T / d s DT/ds D T / d s
定理 6.1 の設定で、M M M R R R T − T^- T − ( T − , n − ) (T^-,n^-) ( T − , n − ) n − n^- n − cos θ = I ( T − , T + ) \cos\theta=\mathrm{I}(T^-,T^+) cos θ = I ( T − , T + ) sin θ = I ( n − , T + ) \sin\theta=\mathrm{I}(n^-,T^+) sin θ = I ( n − , T + ) ∫ R K d A \int_RK\,dA ∫ R K d A ∫ ∂ R κ g d s \int_{\partial R}\kappa_g\,ds ∫ ∂ R κ g d s ∑ j θ j \sum_j\theta_j ∑ j θ j 補題 4.1 の設定で、θ ∈ C ∞ ( U ) \theta\in C^\infty(U) θ ∈ C ∞ ( U ) §E23.10 定理 4.1 (1) によって標構( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) θ \theta θ ( e ~ 1 , e ~ 2 ) (\tilde e_1,\tilde e_2) ( e ~ 1 , e ~ 2 ) e ~ \tilde e e ~ 補題 2.1 の角をφ ~ j \tilde\varphi_j φ ~ j ∑ j ( φ ~ j ( s j ) − φ ~ j ( s j − 1 ) ) = ∑ j ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) \sum_j\bigl(\tilde\varphi_j(s_j)-\tilde\varphi_j(s_{j-1})\bigr)=\sum_j\bigl(\varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1})\bigr) ∑ j ( φ ~ j ( s j ) − φ ~ j ( s j − 1 ) ) = ∑ j ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) 補題 4.1 の等式が( e ~ 1 , e ~ 2 ) (\tilde e_1,\tilde e_2) ( e ~ 1 , e ~ 2 ) κ g = φ ~ j ′ + ω ~ 12 ( T ) \kappa_g=\tilde\varphi_j'+\tilde\omega_{12}(T) κ g = φ ~ j ′ + ω ~ 12 ( T ) κ g = φ j ′ + ω 12 ( T ) \kappa_g=\varphi_j'+\omega_{12}(T) κ g = φ j ′ + ω 12 ( T ) a , b > 0 a,b>0 a , b > 0 R = { ( x , y , 0 ) ∣ x 2 / a 2 + y 2 / b 2 ≤ 1 } R=\{(x,y,0)\mid x^2/a^2+y^2/b^2\le1\} R = {( x , y , 0 ) ∣ x 2 / a 2 + y 2 / b 2 ≤ 1 } γ ( t ) = ( a cos t , b sin t , 0 ) \gamma(t)=(a\cos t,\ b\sin t,\ 0) γ ( t ) = ( a cos t , b sin t , 0 ) 0 ≤ t ≤ 2 π 0\le t\le2\pi 0 ≤ t ≤ 2 π κ g d s = det ( γ ′ , γ ′ ′ ) ∥ γ ′ ∥ 2 d t \kappa_g\,ds=\dfrac{\det(\gamma',\gamma'')}{\lVert\gamma'\rVert^2}\,dt κ g d s = ∥ γ ′ ∥ 2 det ( γ ′ , γ ′′ ) d t ∫ ∂ R κ g d s \int_{\partial R}\kappa_g\,ds ∫ ∂ R κ g d s 2 π 2\pi 2 π 定理 6.1 の結論と一致することを示せ。例 8.3 の第一八分儀T T T N ( p ) = − p / r N(p)=-p/r N ( p ) = − p / r T T T ( r , 0 , 0 ) → ( 0 , 0 , r ) → ( 0 , r , 0 ) → ( r , 0 , 0 ) (r,0,0)\to(0,0,r)\to(0,r,0)\to(r,0,0) ( r , 0 , 0 ) → ( 0 , 0 , r ) → ( 0 , r , 0 ) → ( r , 0 , 0 ) V 0 = ( 0 , 0 , 1 ) ∈ T ( r , 0 , 0 ) M V_0=(0,0,1)\in T_{(r,0,0)}M V 0 = ( 0 , 0 , 1 ) ∈ T ( r , 0 , 0 ) M N × V 0 N\times V_0 N × V 0 系 7.1 の角∫ T K d A = π / 2 \int_TK\,dA=\pi/2 ∫ T K d A = π /2 半径r r r 0 < α < π 0<\alpha<\pi 0 < α < π P = ( 0 , 0 , r ) P=(0,0,r) P = ( 0 , 0 , r ) A = ( r , 0 , 0 ) A=(r,0,0) A = ( r , 0 , 0 ) B = ( r cos α , r sin α , 0 ) B=(r\cos\alpha,\ r\sin\alpha,\ 0) B = ( r cos α , r sin α , 0 ) T = { x ( u , v ) ∣ 0 ≤ u ≤ π / 2 , 0 ≤ v ≤ α } ∪ { P } T=\{\boldsymbol{x}(u,v)\mid0\le u\le\pi/2,\ 0\le v\le\alpha\}\cup\{P\} T = { x ( u , v ) ∣ 0 ≤ u ≤ π /2 , 0 ≤ v ≤ α } ∪ { P } x \boldsymbol{x} x §E23.4 例 6.2 の表示）。T T T 例 8.2 のチャートΦ \Phi Φ ∫ T K d A \int_TK\,dA ∫ T K d A 系 7.3 を確かめよ。
系 7.3 を、Gauss 曲率が定数K 0 K_0 K 0 K 0 < 0 K_0<0 K 0 < 0 平面の中の円環領域R a , b = { a ≤ ∥ z ∥ ≤ b } R_{a,b}=\{a\le\lVert z\rVert\le b\} R a , b = { a ≤ ∥ z ∥ ≤ b } 0 < a < b 0<a<b 0 < a < b 定理 6.1 の左辺にあたる量∫ R K d A + ∫ ∂ R κ g d s + ∑ j θ j \int_RK\,dA+\int_{\partial R}\kappa_g\,ds+\sum_j\theta_j ∫ R K d A + ∫ ∂ R κ g d s + ∑ j θ j a , b a,b a , b 0 0 0 4 4 4 ( ± 2 , 0 ) (\pm2,0) ( ± 2 , 0 ) 1 1 1 − 2 π -2\pi − 2 π 注意 8.5 の末尾に述べた2 π ( 1 − m ) 2\pi(1-m) 2 π ( 1 − m )
解答. (1) を示す。e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2 ( ∂ u , ∂ v ) (\partial_u,\partial_v) ( ∂ u , ∂ v ) ω 1 = d u / v \omega_1=du/v ω 1 = d u / v ω 2 = d v / v \omega_2=dv/v ω 2 = d v / v d ω 1 = − v − 2 d v ∧ d u = ω 1 ∧ ω 2 d\omega_1=-v^{-2}dv\wedge du=\omega_1\wedge\omega_2 d ω 1 = − v − 2 d v ∧ d u = ω 1 ∧ ω 2 d ω 2 = 0 d\omega_2=0 d ω 2 = 0 η = a ω 1 + b ω 2 \eta=a\omega_1+b\omega_2 η = a ω 1 + b ω 2 η ∧ ω 2 = a ω 1 ∧ ω 2 \eta\wedge\omega_2=a\,\omega_1\wedge\omega_2 η ∧ ω 2 = a ω 1 ∧ ω 2 − η ∧ ω 1 = b ω 1 ∧ ω 2 -\eta\wedge\omega_1=b\,\omega_1\wedge\omega_2 − η ∧ ω 1 = b ω 1 ∧ ω 2 §E23.10 定理 3.2 によりω 12 = ω 1 = d u / v \omega_{12}=\omega_1=du/v ω 12 = ω 1 = d u / v
γ ′ ( s ) = c ∂ u \gamma'(s)=c\,\partial_u γ ′ ( s ) = c ∂ u I ( γ ′ , γ ′ ) = c 2 / c 2 = 1 \mathrm{I}(\gamma',\gamma')=c^2/c^2=1 I ( γ ′ , γ ′ ) = c 2 / c 2 = 1 γ \gamma γ v = c v=c v = c T = c ∂ u = e 1 T=c\,\partial_u=e_1 T = c ∂ u = e 1 補題 2.1 (1) の角はφ ≡ 0 \varphi\equiv0 φ ≡ 0 ω 12 ( T ) = d u ( c ∂ u ) / c = 1 \omega_{12}(T)=du(c\,\partial_u)/c=1 ω 12 ( T ) = d u ( c ∂ u ) / c = 1 補題 2.1 (3) によりκ g = 0 + 1 = 1 \kappa_g=0+1=1 κ g = 0 + 1 = 1
c = 1 c=1 c = 1 T = ∂ u T=\partial_u T = ∂ u ( ξ 1 , ξ 2 ) = ( 1 , 0 ) (\xi^1,\xi^2)=(1,0) ( ξ 1 , ξ 2 ) = ( 1 , 0 ) u ˙ 1 = 1 \dot u^1=1 u ˙ 1 = 1 u ˙ 2 = 0 \dot u^2=0 u ˙ 2 = 0 §E23.7 問題 9.1 (4) によりΓ 11 1 = 0 \Gamma^1_{11}=0 Γ 11 1 = 0 Γ 11 2 = 1 / v \Gamma^2_{11}=1/v Γ 11 2 = 1/ v §E23.7 命題 6.2 の表示により
( D T d s ) 1 = Γ 11 1 = 0 , ( D T d s ) 2 = Γ 11 2 = 1 \Bigl(\frac{DT}{ds}\Bigr)^1=\Gamma^1_{11}=0,\qquad\Bigl(\frac{DT}{ds}\Bigr)^2=\Gamma^2_{11}=1 ( d s D T ) 1 = Γ 11 1 = 0 , ( d s D T ) 2 = Γ 11 2 = 1 であり、D T / d s = ∂ v = e 2 DT/ds=\partial_v=e_2 D T / d s = ∂ v = e 2 補題 2.1 (2) によりn = − sin 0 e 1 + cos 0 e 2 = e 2 n=-\sin0\,e_1+\cos0\,e_2=e_2 n = − sin 0 e 1 + cos 0 e 2 = e 2 κ g = I ( D T / d s , n ) = I ( e 2 , e 2 ) = 1 \kappa_g=\mathrm{I}(DT/ds,n)=\mathrm{I}(e_2,e_2)=1 κ g = I ( D T / d s , n ) = I ( e 2 , e 2 ) = 1
(2) を示す。元の向きに関する単位法ベクトルをn n n n ′ n' n ′ T T T ( T , n ) (T,n) ( T , n ) ( T , − n ) (T,-n) ( T , − n ) n ′ = − n n'=-n n ′ = − n γ \gamma γ n ′ = − n n'=-n n ′ = − n R R R R R R γ ~ ( s ) = γ ( L − s ) \tilde\gamma(s)=\gamma(L-s) γ ~ ( s ) = γ ( L − s ) T ~ ( s ) = − T ( L − s ) \tilde T(s)=-T(L-s) T ~ ( s ) = − T ( L − s ) T ~ ( s ) \tilde T(s) T ~ ( s ) − n ( L − s ) -n(L-s) − n ( L − s ) n ( L − s ) n(L-s) n ( L − s ) R R R
K K K §E23.11 定理 2.1 により第一基本形式だけで定まり向きに依らないから、第一項は変わらない。
測地曲率について、§E23.8 命題 5.2 (2) の証明のとおりD T ~ / d s ( s ) = D T / d s ( L − s ) D\tilde T/ds(s)=DT/ds(L-s) D T ~ / d s ( s ) = D T / d s ( L − s )
κ ~ g ( s ) = I ( D T ~ d s ( s ) , n ( L − s ) ) = κ g ( L − s ) \tilde\kappa_g(s)=\mathrm{I}\Bigl(\frac{D\tilde T}{ds}(s),\ n(L-s)\Bigr)=\kappa_g(L-s) κ ~ g ( s ) = I ( d s D T ~ ( s ) , n ( L − s ) ) = κ g ( L − s ) であり、∫ 0 L κ ~ g d s = ∫ 0 L κ g d s \int_0^L\tilde\kappa_g\,ds=\int_0^L\kappa_g\,ds ∫ 0 L κ ~ g d s = ∫ 0 L κ g d s
外角について、分割点ではT ~ − = − T + \tilde T^-=-T^+ T ~ − = − T + T ~ + = − T − \tilde T^+=-T^- T ~ + = − T − ( T ~ − , n ~ − ) (\tilde T^-,\tilde n^-) ( T ~ − , n ~ − ) − T + -T^+ − T + T + T^+ T + n + n^+ n + n ~ − = n + \tilde n^-=n^+ n ~ − = n +
cos θ ~ = I ( − T + , − T − ) = cos θ , sin θ ~ = I ( n + , − T − ) \cos\tilde\theta=\mathrm{I}(-T^+,-T^-)=\cos\theta,\qquad\sin\tilde\theta=\mathrm{I}(n^+,-T^-) cos θ ~ = I ( − T + , − T − ) = cos θ , sin θ ~ = I ( n + , − T − ) である。( T − , n − ) (T^-,n^-) ( T − , n − ) ( T + , n + ) (T^+,n^+) ( T + , n + ) T + = cos θ T − + sin θ n − T^+=\cos\theta\,T^-+\sin\theta\,n^- T + = cos θ T − + sin θ n − n + = − sin θ T − + cos θ n − n^+=-\sin\theta\,T^-+\cos\theta\,n^- n + = − sin θ T − + cos θ n − I ( n + , − T − ) = sin θ \mathrm{I}(n^+,-T^-)=\sin\theta I ( n + , − T − ) = sin θ θ ~ = θ \tilde\theta=\theta θ ~ = θ
(3) を示す。T = cos φ j e 1 + sin φ j e 2 T=\cos\varphi_j\,e_1+\sin\varphi_j\,e_2 T = cos φ j e 1 + sin φ j e 2 e 1 = cos θ e ~ 1 − sin θ e ~ 2 e_1=\cos\theta\,\tilde e_1-\sin\theta\,\tilde e_2 e 1 = cos θ e ~ 1 − sin θ e ~ 2 e 2 = sin θ e ~ 1 + cos θ e ~ 2 e_2=\sin\theta\,\tilde e_1+\cos\theta\,\tilde e_2 e 2 = sin θ e ~ 1 + cos θ e ~ 2
T = cos ( φ j − θ ∘ γ ) e ~ 1 + sin ( φ j − θ ∘ γ ) e ~ 2 T=\cos(\varphi_j-\theta\circ\gamma)\,\tilde e_1+\sin(\varphi_j-\theta\circ\gamma)\,\tilde e_2 T = cos ( φ j − θ ∘ γ ) e ~ 1 + sin ( φ j − θ ∘ γ ) e ~ 2 である。φ j − θ ∘ γ \varphi_j-\theta\circ\gamma φ j − θ ∘ γ 補題 2.1 (1) の一意性によりφ ~ j = φ j − θ ∘ γ + 2 π k j \tilde\varphi_j=\varphi_j-\theta\circ\gamma+2\pi k_j φ ~ j = φ j − θ ∘ γ + 2 π k j k j k_j k j
∑ j ( φ ~ j ( s j ) − φ ~ j ( s j − 1 ) ) = ∑ j ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) − ∑ j ( θ ( γ ( s j ) ) − θ ( γ ( s j − 1 ) ) ) \sum_j\bigl(\tilde\varphi_j(s_j)-\tilde\varphi_j(s_{j-1})\bigr)=\sum_j\bigl(\varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1})\bigr)-\sum_j\bigl(\theta(\gamma(s_j))-\theta(\gamma(s_{j-1}))\bigr) j ∑ ( φ ~ j ( s j ) − φ ~ j ( s j − 1 ) ) = j ∑ ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) − j ∑ ( θ ( γ ( s j )) − θ ( γ ( s j − 1 )) ) である。θ ∘ γ \theta\circ\gamma θ ∘ γ [ 0 , L ] [0,L] [ 0 , L ] θ ( γ ( L ) ) − θ ( γ ( 0 ) ) = 0 \theta(\gamma(L))-\theta(\gamma(0))=0 θ ( γ ( L )) − θ ( γ ( 0 )) = 0 γ ( L ) = γ ( 0 ) \gamma(L)=\gamma(0) γ ( L ) = γ ( 0 ) 補題 4.1 により2 π − ∑ j θ j 2\pi-\sum_j\theta_j 2 π − ∑ j θ j ( e ~ 1 , e ~ 2 ) (\tilde e_1,\tilde e_2) ( e ~ 1 , e ~ 2 )
両立を確かめる。( e ~ 1 , e ~ 2 ) (\tilde e_1,\tilde e_2) ( e ~ 1 , e ~ 2 ) §E23.10 定理 4.1 (1) によりω ~ 12 = ω 12 + d θ \tilde\omega_{12}=\omega_{12}+d\theta ω ~ 12 = ω 12 + d θ φ ~ j ′ = φ j ′ − ( θ ∘ γ ) ′ = φ j ′ − d θ ( T ) \tilde\varphi_j'=\varphi_j'-(\theta\circ\gamma)'=\varphi_j'-d\theta(T) φ ~ j ′ = φ j ′ − ( θ ∘ γ ) ′ = φ j ′ − d θ ( T )
φ ~ j ′ + ω ~ 12 ( T ) = φ j ′ − d θ ( T ) + ω 12 ( T ) + d θ ( T ) = φ j ′ + ω 12 ( T ) \tilde\varphi_j'+\tilde\omega_{12}(T)=\varphi_j'-d\theta(T)+\omega_{12}(T)+d\theta(T)=\varphi_j'+\omega_{12}(T) φ ~ j ′ + ω ~ 12 ( T ) = φ j ′ − d θ ( T ) + ω 12 ( T ) + d θ ( T ) = φ j ′ + ω 12 ( T ) であり、二つの表示は同じκ g \kappa_g κ g
(4) を示す。例 8.1 のとおり平面の単位速度曲線ではκ g = κ s \kappa_g=\kappa_s κ g = κ s s s s §E23.13 補題 2.2 によりκ s = d φ / d s \kappa_s=d\varphi/ds κ s = d φ / d s T = γ ′ / ∥ γ ′ ∥ = ( cos φ , sin φ ) T=\gamma'/\lVert\gamma'\rVert=(\cos\varphi,\sin\varphi) T = γ ′ / ∥ γ ′ ∥ = ( cos φ , sin φ ) t t t d T d t = d φ d t J T \frac{dT}{dt}=\frac{d\varphi}{dt}JT d t d T = d t d φ J T d T d t = γ ′ ′ ∥ γ ′ ∥ + c γ ′ \frac{dT}{dt}=\frac{\gamma''}{\lVert\gamma'\rVert}+c\,\gamma' d t d T = ∥ γ ′ ∥ γ ′′ + c γ ′ c c c det ( γ ′ , γ ′ ) = 0 \det(\gamma',\gamma')=0 det ( γ ′ , γ ′ ) = 0 d φ d t = det ( T , d T d t ) = det ( γ ′ , γ ′ ′ ) / ∥ γ ′ ∥ 2 \frac{d\varphi}{dt}=\det(T,\tfrac{dT}{dt})=\det(\gamma',\gamma'')/\lVert\gamma'\rVert^2 d t d φ = det ( T , d t d T ) = det ( γ ′ , γ ′′ ) / ∥ γ ′ ∥ 2 κ g d s = d φ d t d t \kappa_g\,ds=\frac{d\varphi}{dt}dt κ g d s = d t d φ d t
γ ′ = ( − a sin t , b cos t ) \gamma'=(-a\sin t,\ b\cos t) γ ′ = ( − a sin t , b cos t ) γ ′ ′ = ( − a cos t , − b sin t ) \gamma''=(-a\cos t,\ -b\sin t) γ ′′ = ( − a cos t , − b sin t ) det ( γ ′ , γ ′ ′ ) = a b sin 2 t + a b cos 2 t = a b \det(\gamma',\gamma'')=ab\sin^2t+ab\cos^2t=ab det ( γ ′ , γ ′′ ) = ab sin 2 t + ab cos 2 t = ab ∥ γ ′ ∥ 2 = a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t \lVert\gamma'\rVert^2=a^2\sin^2t+b^2\cos^2t ∥ γ ′ ∥ 2 = a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
∫ ∂ R κ g d s = ∫ 0 2 π a b a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t d t \int_{\partial R}\kappa_g\,ds=\int_0^{2\pi}\frac{ab}{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}\,dt ∫ ∂ R κ g d s = ∫ 0 2 π a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ab d t である。被積分関数は周期π \pi π ( − π / 2 , π / 2 ) (-\pi/2,\pi/2) ( − π /2 , π /2 ) x = tan t x=\tan t x = tan t d t = d x / ( 1 + x 2 ) dt=dx/(1+x^2) d t = d x / ( 1 + x 2 ) sin 2 t = x 2 / ( 1 + x 2 ) \sin^2t=x^2/(1+x^2) sin 2 t = x 2 / ( 1 + x 2 ) cos 2 t = 1 / ( 1 + x 2 ) \cos^2t=1/(1+x^2) cos 2 t = 1/ ( 1 + x 2 )
∫ − π / 2 π / 2 a b d t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t = ∫ − ∞ ∞ a b d x a 2 x 2 + b 2 = [ arctan a x b ] − ∞ ∞ = π \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{ab\,dt}{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{ab\,dx}{a^2x^2+b^2}=\Bigl[\arctan\frac{ax}{b}\Bigr]_{-\infty}^{\infty}=\pi ∫ − π /2 π /2 a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ab d t = ∫ − ∞ ∞ a 2 x 2 + b 2 ab d x = [ arctan b a x ] − ∞ ∞ = π である。よって∫ ∂ R κ g d s = 2 π \int_{\partial R}\kappa_g\,ds=2\pi ∫ ∂ R κ g d s = 2 π
R R R γ \gamma γ R R R K ≡ 0 K\equiv0 K ≡ 0 定理 6.1 の左辺は0 + 2 π + 0 = 2 π 0+2\pi+0=2\pi 0 + 2 π + 0 = 2 π a = b a=b a = b 1 / a ⋅ a = 1 1/a\cdot a=1 1/ a ⋅ a = 1
(5) を示す。まず、このたどり方でT T T p = r 2 ( 1 , 0 , 1 ) p=\frac{r}{\sqrt2}(1,0,1) p = 2 r ( 1 , 0 , 1 ) 1 2 ( − 1 , 0 , 1 ) \frac{1}{\sqrt2}(-1,0,1) 2 1 ( − 1 , 0 , 1 ) N = − 1 2 ( 1 , 0 , 1 ) N=-\frac{1}{\sqrt2}(1,0,1) N = − 2 1 ( 1 , 0 , 1 ) ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 ) y > 0 y>0 y > 0 T T T
大円γ \gamma γ §E23.8 例 6.1 によりγ ′ \gamma' γ ′ m m m ⟨ m , γ ⟩ = 0 \langle m,\gamma\rangle=0 ⟨ m , γ ⟩ = 0 m ′ = 0 m'=0 m ′ = 0 §E23.7 命題 6.2 によりD m / d s = ( m ′ ) ⊤ = 0 Dm/ds=(m')^{\top}=0 D m / d s = ( m ′ ) ⊤ = 0 §E23.7 定理 6.5 ）。
第一の辺（x z xz x z ( 0 , 0 , 1 ) = V 0 (0,0,1)=V_0 ( 0 , 0 , 1 ) = V 0 V = γ ′ V=\gamma' V = γ ′ ( 0 , 0 , r ) (0,0,r) ( 0 , 0 , r ) V = ( − 1 , 0 , 0 ) V=(-1,0,0) V = ( − 1 , 0 , 0 ) y z yz y z ( − 1 , 0 , 0 ) (-1,0,0) ( − 1 , 0 , 0 ) V ≡ ( − 1 , 0 , 0 ) V\equiv(-1,0,0) V ≡ ( − 1 , 0 , 0 ) ( 0 , r , 0 ) (0,r,0) ( 0 , r , 0 ) V = ( − 1 , 0 , 0 ) V=(-1,0,0) V = ( − 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) V = − γ ′ V=-\gamma' V = − γ ′ ( r , 0 , 0 ) (r,0,0) ( r , 0 , 0 ) ( 0 , − 1 , 0 ) (0,-1,0) ( 0 , − 1 , 0 ) V = ( 0 , 1 , 0 ) V=(0,1,0) V = ( 0 , 1 , 0 )
p = ( r , 0 , 0 ) p=(r,0,0) p = ( r , 0 , 0 ) N = ( − 1 , 0 , 0 ) N=(-1,0,0) N = ( − 1 , 0 , 0 ) N × V 0 = ( − 1 , 0 , 0 ) × ( 0 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 , 0 ) N\times V_0=(-1,0,0)\times(0,0,1)=(0,1,0) N × V 0 = ( − 1 , 0 , 0 ) × ( 0 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 , 0 ) P ∂ T V 0 = N × V 0 P_{\partial T}V_0=N\times V_0 P ∂ T V 0 = N × V 0 T p M T_pM T p M ( V 0 , N × V 0 ) (V_0,N\times V_0) ( V 0 , N × V 0 ) V 0 × ( N × V 0 ) = N V_0\times(N\times V_0)=N V 0 × ( N × V 0 ) = N P ∂ T P_{\partial T} P ∂ T V 0 V_0 V 0 N × V 0 N\times V_0 N × V 0 §E23.7 定理 6.5 (2) と系 7.1 によりこの基底に関する回転であるから、角π / 2 \pi/2 π /2 例 8.3 により∫ T K d A = π / 2 \int_TK\,dA=\pi/2 ∫ T K d A = π /2 系 7.1 と一致する。
(6) を示す。Φ ( x ( u , v ) ) = r tan ( u / 2 ) ( cos ζ , sin ζ ) \Phi(\boldsymbol{x}(u,v))=r\tan(u/2)(\cos\zeta,\sin\zeta) Φ ( x ( u , v )) = r tan ( u /2 ) ( cos ζ , sin ζ ) ζ = − v \zeta=-v ζ = − v Φ ( T ) \Phi(T) Φ ( T ) r tan ( π / 4 ) = r r\tan(\pi/4)=r r tan ( π /4 ) = r α \alpha α { ρ ≤ r , − α ≤ ζ ≤ 0 } \{\rho\le r,\ -\alpha\le\zeta\le0\} { ρ ≤ r , − α ≤ ζ ≤ 0 } α < π \alpha<\pi α < π 例 8.2 によりこのチャートは正の向きを持つから、T T T v = 0 v=0 v = 0 v = α v=\alpha v = α §E23.8 例 6.1 により測地線である。
外角を求める。向きは内向きの単位法線N ( p ) = − p / r N(p)=-p/r N ( p ) = − p / r §E23.8 定義 5.1 により境界の単位法ベクトルn n n N N N A → P → B → A A\to P\to B\to A A → P → B → A A A A ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) n = ( − 1 , 0 , 0 ) × ( 0 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 , 0 ) n=(-1,0,0)\times(0,0,1)=(0,1,0) n = ( − 1 , 0 , 0 ) × ( 0 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 , 0 ) T T T y > 0 y>0 y > 0 T T T θ \theta θ T − T^- T − n − = N × T − n^-=N\times T^- n − = N × T − cos θ = ⟨ T − , T + ⟩ \cos\theta=\langle T^-,T^+\rangle cos θ = ⟨ T − , T + ⟩ sin θ = ⟨ n − , T + ⟩ \sin\theta=\langle n^-,T^+\rangle sin θ = ⟨ n − , T + ⟩
P P P N = ( 0 , 0 , − 1 ) N=(0,0,-1) N = ( 0 , 0 , − 1 ) T − = ( − 1 , 0 , 0 ) T^-=(-1,0,0) T − = ( − 1 , 0 , 0 ) T + = ( cos α , sin α , 0 ) T^+=(\cos\alpha,\sin\alpha,0) T + = ( cos α , sin α , 0 ) n − = ( 0 , 1 , 0 ) n^-=(0,1,0) n − = ( 0 , 1 , 0 ) cos θ P = − cos α \cos\theta_P=-\cos\alpha cos θ P = − cos α sin θ P = sin α > 0 \sin\theta_P=\sin\alpha>0 sin θ P = sin α > 0 θ P = π − α ∈ ( 0 , π ) \theta_P=\pi-\alpha\in(0,\pi) θ P = π − α ∈ ( 0 , π ) π − θ P = α \pi-\theta_P=\alpha π − θ P = α B B B N = − ( cos α , sin α , 0 ) N=-(\cos\alpha,\sin\alpha,0) N = − ( cos α , sin α , 0 ) T − = ( 0 , 0 , − 1 ) T^-=(0,0,-1) T − = ( 0 , 0 , − 1 ) T + = ( sin α , − cos α , 0 ) T^+=(\sin\alpha,-\cos\alpha,0) T + = ( sin α , − cos α , 0 ) n − = ( sin α , − cos α , 0 ) n^-=(\sin\alpha,-\cos\alpha,0) n − = ( sin α , − cos α , 0 ) cos θ B = 0 \cos\theta_B=0 cos θ B = 0 sin θ B = 1 \sin\theta_B=1 sin θ B = 1 θ B = π / 2 \theta_B=\pi/2 θ B = π /2 A A A N = ( − 1 , 0 , 0 ) N=(-1,0,0) N = ( − 1 , 0 , 0 ) T − = ( 0 , − 1 , 0 ) T^-=(0,-1,0) T − = ( 0 , − 1 , 0 ) T + = ( 0 , 0 , 1 ) T^+=(0,0,1) T + = ( 0 , 0 , 1 ) n − = ( 0 , 0 , 1 ) n^-=(0,0,1) n − = ( 0 , 0 , 1 ) cos θ A = 0 \cos\theta_A=0 cos θ A = 0 sin θ A = 1 \sin\theta_A=1 sin θ A = 1 θ A = π / 2 \theta_A=\pi/2 θ A = π /2 ( 0 , π ) (0,\pi) ( 0 , π ) α \alpha α π / 2 \pi/2 π /2 π / 2 \pi/2 π /2 α 1 + α 2 + α 3 − π = α \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-\pi=\alpha α 1 + α 2 + α 3 − π = α
面積を§E23.4 例 6.2 の面積要素r 2 sin u r^2\sin u r 2 sin u Φ \Phi Φ 定義 1.2 ）は、P P P { u < ε } \{u<\varepsilon\} { u < ε } §E4.14 定理 2.1 により球面座標の積分に等しく、除いた部分の寄与は被積分関数が有界であるからε → 0 \varepsilon\to0 ε → 0 0 0 0
∫ 0 α ∫ 0 π / 2 r 2 sin u d u d v = α r 2 \int_0^\alpha\!\!\int_0^{\pi/2}r^2\sin u\,du\,dv=\alpha r^2 ∫ 0 α ∫ 0 π /2 r 2 sin u d u d v = α r 2 であり、K ≡ 1 / r 2 K\equiv1/r^2 K ≡ 1/ r 2 ∫ T K d A = α \int_TK\,dA=\alpha ∫ T K d A = α 系 7.3 が確かめられる。α = π / 2 \alpha=\pi/2 α = π /2 例 8.3 の八分儀に戻る。
(7) を示す。K ≡ K 0 K\equiv K_0 K ≡ K 0 系 7.3 の右辺は∫ T K 0 d A = K 0 A ( T ) \int_TK_0\,dA=K_0A(T) ∫ T K 0 d A = K 0 A ( T ) A ( T ) = ∫ T 1 d A A(T)=\int_T1\,dA A ( T ) = ∫ T 1 d A
α 1 + α 2 + α 3 − π = K 0 A ( T ) \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-\pi=K_0\,A(T) α 1 + α 2 + α 3 − π = K 0 A ( T ) である。各外角はθ j ∈ ( − π , π ) \theta_j\in(-\pi,\pi) θ j ∈ ( − π , π ) α j = π − θ j \alpha_j=\pi-\theta_j α j = π − θ j ( 0 , 2 π ) (0,2\pi) ( 0 , 2 π ) K 0 < 0 K_0<0 K 0 < 0 α 1 + α 2 + α 3 > 0 \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3>0 α 1 + α 2 + α 3 > 0 K 0 A ( T ) = α 1 + α 2 + α 3 − π > − π K_0A(T)=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-\pi>-\pi K 0 A ( T ) = α 1 + α 2 + α 3 − π > − π K 0 K_0 K 0
A ( T ) < π ∣ K 0 ∣ A(T)<\frac{\pi}{\lvert K_0\rvert} A ( T ) < ∣ K 0 ∣ π を得る。すなわち、Gauss 曲率が負の定数K 0 K_0 K 0 π / ∣ K 0 ∣ \pi/\lvert K_0\rvert π / ∣ K 0 ∣
(8) を示す。平面ではK ≡ 0 K\equiv0 K ≡ 0 c c c ρ \rho ρ §E23.13 例 8.3 によりκ g = κ s = 1 / ρ \kappa_g=\kappa_s=1/\rho κ g = κ s = 1/ ρ 1 ρ ⋅ 2 π ρ = 2 π \frac1\rho\cdot2\pi\rho=2\pi ρ 1 ⋅ 2 π ρ = 2 π §E23.13 命題 1.2 (2) によりκ g = − 1 / ρ \kappa_g=-1/\rho κ g = − 1/ ρ − 2 π -2\pi − 2 π c + ρ ( cos s / ρ , − sin s / ρ ) c+\rho(\cos s/\rho,-\sin s/\rho) c + ρ ( cos s / ρ , − sin s / ρ ) c c c
R a , b R_{a,b} R a , b 2 π 2\pi 2 π − 2 π -2\pi − 2 π 0 0 0 2 π 2\pi 2 π − 2 π -2\pi − 2 π 2 π − 4 π = − 2 π 2\pi-4\pi=-2\pi 2 π − 4 π = − 2 π m + 1 m+1 m + 1 m = 1 m=1 m = 1 m = 2 m=2 m = 2 0 0 0 − 2 π -2\pi − 2 π 2 π ( 1 − m ) 2\pi(1-m) 2 π ( 1 − m ) ▨