§E23.13平面曲線の回転指数と回転定理

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平面の閉曲線を一周するあいだに、単位接ベクトルは平面の中で回る。単位接ベクトルが回った角度の総量を一周分の角度で割った値が回転指数である。次の記事で証明する局所 Gauss–Bonnet の定理は、右辺が一周分の角度になるという形を持つ。その右辺が一周分の角度になる理由は、すべて本記事の回転定理にある。

主張の形には注意を要する。三角形の各辺の上では単位接ベクトルが定ベクトルであるため、滑らかな弧に沿う偏角の増分の総和は00である。したがって「単純閉曲線の単位接ベクトルの回転数は11である」という形の主張は偽である。正しい主張は角における接ベクトルの跳びを外角として数え込んだものであり、滑らかな弧に沿う増分の総和と外角の総和との和が一周分の角度に等しい、という形を取る。三角形では、この和が0+2π0+2\piになる。

本記事で実際に示すのは次の六つである。第一に、平面の単位速度曲線に対する符号つき曲率の定義と、第2項で定めた曲率との関係である。第二に、平面の連続な単位ベクトル場の偏角を連続に選ぶことができること、およびその選択が初期値を決めれば一意であることである。第三に、区分的に滑らかな閉曲線に対する回転指数の定義と、回転指数が整数であって径数の取り替えで変わらないことである。第四に、曲線が支持直線に接する点における二つの片側接ベクトルの位置関係と、その点における外角の値である。第五に、領域を左に見る向きに取った区分的に滑らかな単純閉曲線の回転指数が11であるという回転定理である。第六に、Euclid 内積の代わりに領域の上の正定値対称二次形式で角を測っても回転指数が変わらないことである。

以下、R2\R^2の標準内積を⟨ , ⟩\langle\ ,\ \rangle、ノルムを∥ ∥\lVert\ \rVertと書き、S1={z∈R2:∥z∥=1}S^1=\{z\in\R^2:\lVert z\rVert=1\}と置く。S1S^1を複素数の絶対値11の全体と同一視し、R2\R^2の正の向きの直角回転を

J(a,b)=(−b,a)J(a,b)=(-b,a)

と書く。JJは∥Jw∥=∥w∥\lVert J w\rVert=\lVert w\rVert、⟨w,Jw⟩=0\langle w,Jw\rangle=0およびJ2=−idJ^2=-\mathrm{id}を満たす線形写像である。「滑らか」はC∞C^\inftyを意味する。

1 平面曲線の符号つき曲率

第2項では、空間曲線の曲率をκ=∥T′∥\kappa=\lVert T'\rVertと定めた（§E23.2 定義 2.1）。この量は非負であり、曲線が曲がる向きの情報を持たない。平面曲線では、その向きの情報を曲率の符号として持たせることができる。

定義 1.1.IIを区間、γ ⁣:I→R2\gamma\colon I\to\R^2を単位速度の曲線（§E23.1 定理 2.2）とし、T=γ′T=\gamma'と置く。各s∈Is\in Iに対して

n(s)=J T(s)n(s)=J\,T(s)

と定め、nnをγ\gammaの単位法線 (unit normal) という。∥T∥≡1\lVert T\rVert\equiv1を微分すると⟨T′,T⟩=0\langle T',T\rangle=0であり、(T(s),n(s))(T(s),n(s))はR2\R^2の正規直交基底であるから、T′(s)T'(s)はn(s)n(s)の実数倍である。その係数

κs(s)=⟨γ′′(s),n(s)⟩,すなわちT′(s)=κs(s) n(s)\kappa_s(s)=\langle\gamma''(s),n(s)\rangle,\qquad\text{すなわち}\qquad T'(s)=\kappa_s(s)\,n(s)

をγ\gammaの符号つき曲率 (signed curvature) という。

命題 1.2.γ ⁣:I→R2\gamma\colon I\to\R^2を単位速度の曲線とする。

  1. γ\gammaをR3\R^3の曲線とみたときの曲率κ=∥T′∥\kappa=\lVert T'\rVert（§E23.2 定義 2.1）についてκ=∣κs∣\kappa=\lvert\kappa_s\rvertが成り立つ。
  2. γ\gammaの向きを反転させてγ~(s)=γ(−s)\widetilde\gamma(s)=\gamma(-s)と置くと、κ~s(s)=−κs(−s)\widetilde\kappa_s(s)=-\kappa_s(-s)である。
  3. AAをR2\R^2の直交行列、c∈R2c\in\R^2とし、γ~=Aγ+c\widetilde\gamma=A\gamma+cと置く。det⁡A=1\det A=1ならばκ~s(s)=κs(s)\widetilde\kappa_s(s)=\kappa_s(s)であり、det⁡A=−1\det A=-1ならばκ~s(s)=−κs(s)\widetilde\kappa_s(s)=-\kappa_s(s)である。

証明.主張 (1)を示す。T′=κsnT'=\kappa_s nと∥n∥=1\lVert n\rVert=1からκ=∥T′∥=∣κs∣\kappa=\lVert T'\rVert=\lvert\kappa_s\rvertである。

主張 (2)を示す。γ~′(s)=−γ′(−s)\widetilde\gamma'(s)=-\gamma'(-s)であるからT~(s)=−T(−s)\widetilde T(s)=-T(-s)であり、n~(s)=JT~(s)=−n(−s)\widetilde n(s)=J\widetilde T(s)=-n(-s)である。一方T~′(s)=T′(−s)=κs(−s)n(−s)\widetilde T'(s)=T'(-s)=\kappa_s(-s)n(-s)であるから

κ~s(s)=⟨T~′(s),n~(s)⟩=⟨κs(−s)n(−s), −n(−s)⟩=−κs(−s)\widetilde\kappa_s(s)=\langle\widetilde T'(s),\widetilde n(s)\rangle=\bigl\langle\kappa_s(-s)n(-s),\,-n(-s)\bigr\rangle=-\kappa_s(-s)

である。

主張 (3)を示す。T~=AT\widetilde T=ATでありAAは直交行列であるからγ~\widetilde\gammaも単位速度である。det⁡A=1\det A=1のときAAは回転でありAJ=JAAJ=JAが成り立つからn~=JAT=AJT=An\widetilde n=J AT=A JT=Anであり

κ~s=⟨AT′,An⟩=⟨T′,n⟩=κs\widetilde\kappa_s=\langle AT',An\rangle=\langle T',n\rangle=\kappa_s

である。det⁡A=−1\det A=-1のときAJ=−JAAJ=-JAが成り立つからn~=−An\widetilde n=-Anであり、同じ計算で符号が反転する。▨

注意 1.3 (第2項の曲率との関係).§E23.2 定義 2.1のκ\kappaは非負であり、κ(s)=0\kappa(s)=0となる点では§E23.2 定義 3.1の主法線が定まらない。これに対してκs\kappa_sはκs(s)=0\kappa_s(s)=0となる点でも定義され、IIの上でC∞C^\inftyである。n=JTn=JTがT′T'と無関係に定まるからである。平面曲線を扱うときに符号つき曲率を用いる理由はここにある。以後、単位接ベクトルの偏角φ\varphiを連続に取るとκs=φ′\kappa_s=\varphi'が成り立つことを補題 2.2で示す。

2 偏角の連続な選択

回転指数を定めるには、単位ベクトル場の偏角を連続に選ぶ操作が要る。この操作は§E21 位相幾何入門の指数被覆による道の持ち上げそのものである。

補題 2.1.[a,b][a,b]を有界閉区間、w ⁣:[a,b]→S1w\colon[a,b]\to S^1を連続写像とする。

  1. 連続関数φ ⁣:[a,b]→R\varphi\colon[a,b]\to\Rであって、すべてのs∈[a,b]s\in[a,b]で w(s)=(cos⁡φ(s), sin⁡φ(s))w(s)=\bigl(\cos\varphi(s),\ \sin\varphi(s)\bigr) を満たすものが存在する。
  2. φ(a)\varphi(a)の値を指定すれば、そのようなφ\varphiは一意である。とくに二つの選択は定数2πk2\pi k（kkは整数）だけ異なる。
  3. 差φ(b)−φ(a)\varphi(b)-\varphi(a)はφ\varphiの取り方に依らない。

このφ\varphiをwwの偏角の連続な選択 (continuous branch of the argument) という。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。S1S^1を複素数の絶対値11の全体と同一視し、p ⁣:R→S1p\colon\R\to S^1、p(t)=e2πitp(t)=e^{2\pi it}と置く。§E21 位相幾何入門の§E21.5 命題 1.3 (1)によりppは被覆写像である。[a,b][a,b]を[0,1][0,1]へ増加するアフィン写像で移して考えれば、wwはS1S^1の中の道である。θ0∈R\theta_0\in\Rをp(θ0)=w(a)p(\theta_0)=w(a)となるように取る。§E21 位相幾何入門の§E21.5 定理 2.2 (1)により、w~(a)=θ0\widetilde w(a)=\theta_0かつp∘w~=wp\circ\widetilde w=wを満たす連続写像w~ ⁣:[a,b]→R\widetilde w\colon[a,b]\to\Rが一意に存在する。φ=2πw~\varphi=2\pi\widetilde wと置けば 1 の等式が成り立つ。

一意性を示す。φ1,φ2\varphi_1,\varphi_2をともに 1 を満たす連続関数としφ1(a)=φ2(a)\varphi_1(a)=\varphi_2(a)とすると、φ1/(2π)\varphi_1/(2\pi)とφ2/(2π)\varphi_2/(2\pi)はともにwwの持ち上げであって一点で一致するから、§E21.5 定理 2.2 (1)の一意性により一致する。始点を指定しない場合は、φ1−φ2\varphi_1-\varphi_2が連続で2πZ2\pi\Zに値を取り、[a,b][a,b]が連結であるから定数2πk2\pi kである。

主張 (3)を示す。主張 (2)により二つの選択の差は定数であるから、差φ(b)−φ(a)\varphi(b)-\varphi(a)は共通である。▨

補題 2.2.γ ⁣:[a,b]→R2\gamma\colon[a,b]\to\R^2を単位速度のC∞C^\infty曲線、T=γ′T=\gamma'とし、φ\varphiをTTの偏角の連続な選択とする。このときφ\varphiはC∞C^\inftyであり、[a,b][a,b]の上で

φ′=κs\varphi'=\kappa_s

が成り立つ。とくに

φ(b)−φ(a)=∫abκs(s) ds\varphi(b)-\varphi(a)=\int_a^b\kappa_s(s)\,ds

である。

証明. φ\varphiがC∞C^\inftyであることを示す。T=(T1,T2)T=(T^1,T^2)と書くとT1=cos⁡φT^1=\cos\varphi、T2=sin⁡φT^2=\sin\varphiであり、(T1)2+(T2)2=1(T^1)^2+(T^2)^2=1であるから、各点でT1T^1とT2T^2の少なくとも一方は零でない。s0∈[a,b]s_0\in[a,b]を固定する。

T1(s0)≠0T^1(s_0)\ne0の場合を扱う。T1T^1は連続であるから、s0s_0のある近傍I0I_0（[a,b][a,b]の中での近傍）でT1≠0T^1\ne0である。cos⁡φ=T1≠0\cos\varphi=T^1\ne0であるから、I0I_0の上でφ\varphiは⋃k∈Z(kπ−π2, kπ+π2)\bigcup_{k\in\Z}\bigl(k\pi-\tfrac{\pi}{2},\,k\pi+\tfrac{\pi}{2}\bigr)に値を取る。この和集合の各成分は互いに交わらない開区間であり、φ\varphiは連続でI0I_0は連結であるから、φ(I0)\varphi(I_0)は一つの成分(kπ−π2,kπ+π2)\bigl(k\pi-\tfrac{\pi}{2},k\pi+\tfrac{\pi}{2}\bigr)に含まれる。その成分の上で正接はR\RへのC∞C^\infty微分同相であり、tan⁡φ=T2/T1\tan\varphi=T^2/T^1であるから

φ=kπ+arctan⁡T2T1（I0 の上で）\varphi=k\pi+\arctan\frac{T^2}{T^1}\qquad\text{（$I_0$ の上で）}

である。T1,T2T^1,T^2はC∞C^\inftyであるからφ\varphiはI0I_0の上でC∞C^\inftyである。

T2(s0)≠0T^2(s_0)\ne0の場合も同様である。s0s_0の近傍でsin⁡φ≠0\sin\varphi\ne0であるからφ\varphiは⋃k(kπ,(k+1)π)\bigcup_k(k\pi,(k+1)\pi)の一つの成分に値を取り、その成分の上で余接がR\RへのC∞C^\infty微分同相であることとcot⁡φ=T1/T2\cot\varphi=T^1/T^2から、φ\varphiはその近傍でC∞C^\inftyである。s0s_0は任意であったからφ\varphiは[a,b][a,b]の上でC∞C^\inftyである。

φ′=κs\varphi'=\kappa_sを示す。T=(cos⁡φ,sin⁡φ)T=(\cos\varphi,\sin\varphi)を微分すると

T′=φ′ (−sin⁡φ, cos⁡φ)=φ′ JT=φ′ nT'=\varphi'\,(-\sin\varphi,\ \cos\varphi)=\varphi'\,JT=\varphi'\,n

である。定義 1.1によりT′=κsnT'=\kappa_s nであり、n≠0n\ne0であるからφ′=κs\varphi'=\kappa_sである。最後の等式は§D1 ε-論法と基礎解析の微積分学の基本定理§D1.19 定理 1.1による。▨

3 区分的に滑らかな閉曲線と回転指数

定義 3.1. 連続写像γ ⁣:[a,b]→R2\gamma\colon[a,b]\to\R^2が区分的に滑らかな正則閉曲線 (piecewise smooth regular closed curve) であるとは、次の三条件が成り立つことをいう。

  1. γ(a)=γ(b)\gamma(a)=\gamma(b)である。
  2. 分割a=t0<t1<⋯<tN=ba=t_0<t_1<\cdots<t_N=bが存在して、各制限γ∣[tj−1,tj]\gamma|_{[t_{j-1},t_j]}はC∞C^\inftyである。
  3. 各jjと各t∈[tj−1,tj]t\in[t_{j-1},t_j]でγ′(t)≠0\gamma'(t)\ne0である。端点における微分は片側微分を意味する。

さらにγ∣[a,b)\gamma|_{[a,b)}が単射であるとき、γ\gammaを単純 (simple) であるという。

1≤j≤N−11\le j\le N-1に対して、tjt_jにおける入る側の単位接ベクトル (incoming unit tangent vector) と出る側の単位接ベクトル (outgoing unit tangent vector) を

Tj−=γ′(tj−)∥γ′(tj−)∥,Tj+=γ′(tj+)∥γ′(tj+)∥T^-_j=\frac{\gamma'(t_j^-)}{\lVert\gamma'(t_j^-)\rVert},\qquad T^+_j=\frac{\gamma'(t_j^+)}{\lVert\gamma'(t_j^+)\rVert}

と定める。j=Nj=N（同じことであるがj=0j=0）については、閉じていることを用いて

TN−=γ′(b−)∥γ′(b−)∥,TN+=γ′(a+)∥γ′(a+)∥T^-_N=\frac{\gamma'(b^-)}{\lVert\gamma'(b^-)\rVert},\qquad T^+_N=\frac{\gamma'(a^+)}{\lVert\gamma'(a^+)\rVert}

と定める。Tj−≠−Tj+T^-_j\ne-T^+_jがすべてのjjで成り立つとき、γ\gammaは尖点を持たない (cusp-free) という。Tj−≠Tj+T^-_j\ne T^+_jとなるtjt_jを角 (corner) という。

尖点を持たないという条件は、外角を(−π,π)(-\pi,\pi)の中で一意に定めるために置く。本単元で領域の境界の外角について置く規約も、この条件のもとで述べられている。

定義 3.2.γ\gammaを尖点を持たない区分的に滑らかな正則閉曲線とする。各jjに対して、Tj−≠−Tj+T^-_j\ne-T^+_jであるから

cos⁡θj=⟨Tj−, Tj+⟩,sin⁡θj=⟨J Tj−, Tj+⟩\cos\theta_j=\langle T^-_j,\ T^+_j\rangle,\qquad \sin\theta_j=\langle J\,T^-_j,\ T^+_j\rangle

を満たすθj\theta_jが(−π,π)(-\pi,\pi)の中でただ一つ定まる。このθj\theta_jをtjt_jにおける外角 (exterior angle) という。

θj\theta_jの存在と一意性は次のように確かめる。(Tj−,JTj−)(T^-_j,JT^-_j)はR2\R^2の正規直交基底でありTj+T^+_jは単位ベクトルであるから、上の二つの値の平方和は11である。したがってθj\theta_jは2π2\piの整数倍を除いて定まる。Tj−≠−Tj+T^-_j\ne-T^+_jはcos⁡θj≠−1\cos\theta_j\ne-1と同値であるから、(−π,π)(-\pi,\pi)の中の代表がただ一つ存在する。θj=0\theta_j=0であることとTj−=Tj+T^-_j=T^+_jであることは同値であり、角でない分割点の外角は00である。

外角は、二つの単位ベクトルを結ぶ線分の上で偏角がどれだけ動くかとしても求めることができる。次の補題は、この求め方を回転定理の証明で二度用いるために用意するものである。

補題 3.3.w0,w1∈S1w_0,w_1\in S^1がw1≠−w0w_1\ne-w_0を満たすとし、定義 3.2と同じ定め方で

cos⁡θ=⟨w0,w1⟩,sin⁡θ=⟨Jw0,w1⟩\cos\theta=\langle w_0,w_1\rangle,\qquad \sin\theta=\langle Jw_0,w_1\rangle

を満たすθ∈(−π,π)\theta\in(-\pi,\pi)を取る。μ∈[0,1]\mu\in[0,1]に対してz(μ)=(1−μ)w0+μw1z(\mu)=(1-\mu)w_0+\mu w_1と置く。

  1. すべてのμ∈[0,1]\mu\in[0,1]でz(μ)≠0z(\mu)\ne0であり、Z(μ)=z(μ)/∥z(μ)∥Z(\mu)=z(\mu)/\lVert z(\mu)\rVertは[0,1][0,1]からS1S^1への連続写像である。
  2. ZZの偏角の連続な選択（補題 2.1）をζ\zetaとするとζ(1)−ζ(0)=θ\zeta(1)-\zeta(0)=\thetaである。
  3. c0,c1≥0c_0,c_1\ge0がc0+c1>0c_0+c_1>0を満たすときc0w0+c1w1≠0c_0w_0+c_1w_1\ne0であり、μ=c1/(c0+c1)\mu=c_1/(c_0+c_1)に対して(c0w0+c1w1)/∥c0w0+c1w1∥=Z(μ)(c_0w_0+c_1w_1)/\lVert c_0w_0+c_1w_1\rVert=Z(\mu)である。

証明.主張 (1)を示す。μ∈{0,1}\mu\in\{0,1\}のときz(μ)z(\mu)は単位ベクトルである。μ∈(0,1)\mu\in(0,1)でz(μ)=0z(\mu)=0とすると(1−μ)w0=−μw1(1-\mu)w_0=-\mu w_1であり、両辺のノルムを比べて1−μ=μ1-\mu=\mu、すなわちμ=1/2\mu=1/2であり、そのときw0=−w1w_0=-w_1となって仮定に反する。zzはμ\muについて連続であり∥z∥>0\lVert z\rVert>0であるからZZは連続である。

主張 (2)を示す。w0w_0の偏角の一つをβ\betaと取ると、θ\thetaの定め方によりw1=(cos⁡(β+θ),sin⁡(β+θ))w_1=(\cos(\beta+\theta),\sin(\beta+\theta))である。座標を角−β-\betaの回転で移せばβ=0\beta=0としてよい。R2\R^2を複素平面と同一視するとz(μ)=(1−μ)+μeiθz(\mu)=(1-\mu)+\mu e^{i\theta}である。

CCを11とeiθe^{i\theta}が非負係数で張る閉凸錐とする。∣θ∣<π\lvert\theta\rvert<\piであるから、CCに属する零でない複素数の偏角は、00とθ\thetaを端点とする閉区間IIの元と2π2\piの整数倍との和として書かれ、IIの長さは∣θ∣<π\lvert\theta\rvert<\piである。z(μ)z(\mu)はCCに属し零でないから、連続な選択ζ\zetaはζ(0)=0\zeta(0)=0から出発して⋃k∈Z(I+2πk)\bigcup_{k\in\Z}(I+2\pi k)に値を取る。この和集合の各成分は互いに交わらない閉区間であり、[0,1][0,1]は連結であるから、ζ([0,1])\zeta([0,1])は成分IIに含まれる。ζ(1)\zeta(1)はθ\thetaと2π2\piの整数倍だけ異なり、かつIIに属するからζ(1)=θ\zeta(1)=\thetaである。

主張 (3)を示す。c0+c1>0c_0+c_1>0で割るとc0w0+c1w1=(c0+c1) z(μ)c_0w_0+c_1w_1=(c_0+c_1)\,z(\mu)（μ=c1/(c0+c1)∈[0,1]\mu=c_1/(c_0+c_1)\in[0,1]）であり、主張 (1)により零でない。正の実数倍は正規化した値を変えない。▨

定義 3.4.γ ⁣:[a,b]→R2\gamma\colon[a,b]\to\R^2を尖点を持たない区分的に滑らかな正則閉曲線とし、分割a=t0<t1<⋯<tN=ba=t_0<t_1<\cdots<t_N=bと外角θ1,…,θN\theta_1,\ldots,\theta_Nを定義 3.1と定義 3.2のとおりとする。各jjに対して、弧γ∣[tj−1,tj]\gamma|_{[t_{j-1},t_j]}の単位接ベクトルT=γ′/∥γ′∥T=\gamma'/\lVert\gamma'\rVertの偏角の連続な選択をφj ⁣:[tj−1,tj]→R\varphi_j\colon[t_{j-1},t_j]\to\Rとする（補題 2.1）。このとき

ι(γ)=12π(∑j=1N(φj(tj)−φj(tj−1))+∑j=1Nθj)\iota(\gamma)=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{j=1}^{N}\bigl(\varphi_j(t_j)-\varphi_j(t_{j-1})\bigr)+\sum_{j=1}^{N}\theta_j\right)

をγ\gammaの回転指数 (rotation index) という。補題 2.1 (3)により、各増分はφj\varphi_jの取り方に依らないので、ι(γ)\iota(\gamma)は定まる。γ\gammaが滑らかな正則閉曲線であってTTが[a,b][a,b]の全体で連続である場合には、外角はすべて00であり、ι(γ)\iota(\gamma)はTTの偏角の一周分の増分を2π2\piで割った値に等しい。

弧に沿う増分を、各弧を単位速度で径数づけ直したうえで補題 2.2によって書き直すと

φj(tj)−φj(tj−1)=∫弧jκs ds\varphi_j(t_j)-\varphi_j(t_{j-1})=\int_{\text{弧}_j}\kappa_s\,ds

である。したがって回転指数の定義は、記号を略した形では

2π ι(γ)=∑j∫弧jdφ+∑jθj2\pi\,\iota(\gamma)=\sum_j\int_{\text{弧}_j}d\varphi+\sum_j\theta_j

と書かれる。

命題 3.5.γ\gammaを尖点を持たない区分的に滑らかな正則閉曲線とする。

  1. ι(γ)\iota(\gamma)は整数である。
  2. ι(γ)\iota(\gamma)は定義 3.1の分割の取り方に依らない。
  3. h ⁣:[c,d]→[a,b]h\colon[c,d]\to[a,b]を狭義単調増加な区分的に滑らかな全単射であってh′>0h'>0を満たすものとするとι(γ∘h)=ι(γ)\iota(\gamma\circ h)=\iota(\gamma)である。

証明.主張 (1)を示す。wj=cos⁡φj+isin⁡φjw_j=\cos\varphi_j+i\sin\varphi_jと同一視して、単位複素数

u=exp⁡(i∑j=1N(φj(tj)−φj(tj−1))+i∑j=1Nθj)u=\exp\left(i\sum_{j=1}^{N}\bigl(\varphi_j(t_j)-\varphi_j(t_{j-1})\bigr)+i\sum_{j=1}^{N}\theta_j\right)

を考える。eiφj(tj)=Tj−e^{i\varphi_j(t_j)}=T^-_j、eiφj(tj−1)=Tj−1+e^{i\varphi_j(t_{j-1})}=T^+_{j-1}（ただしT0+=TN+T^+_0=T^+_N）であり、定義 3.2の定め方によりeiθj=Tj+ Tj−‾e^{i\theta_j}=T^+_j\,\overline{T^-_j}である。したがって

u=∏j=1NTj−Tj−1+⋅∏j=1NTj+Tj−=∏j=1NTj+Tj−1+=1u=\prod_{j=1}^{N}\frac{T^-_j}{T^+_{j-1}}\cdot\prod_{j=1}^{N}\frac{T^+_j}{T^-_j} =\prod_{j=1}^{N}\frac{T^+_j}{T^+_{j-1}}=1

である。最後の等号は、積が電話帳式に相殺しTN+/T0+=1T^+_N/T^+_0=1となることによる。u=1u=1であるから、指数の中身は2π2\piの整数倍であり、ι(γ)\iota(\gamma)は整数である。

主張 (2)を示す。二つの分割の共通の細分を取れば足りる。分割へ点t∗∈(tj−1,tj)t^\ast\in(t_{j-1},t_j)を追加すると、その点の外角は00であり、弧[tj−1,tj][t_{j-1},t_j]に沿う増分は[tj−1,t∗][t_{j-1},t^\ast]と[t∗,tj][t^\ast,t_j]に沿う増分の和に等しい。φj\varphi_jの制限がそれぞれの弧の偏角の連続な選択になっているからである。したがってι(γ)\iota(\gamma)は変わらない。

主張 (3)を示す。γ∘h\gamma\circ hの分割として、点h−1(tj)h^{-1}(t_j)と、hhが滑らかでない点とを合わせたものを取る。各小区間の上でγ∘h\gamma\circ hはC∞C^\inftyであり、h′>0h'>0であるから単位接ベクトルはT∘hT\circ hに等しい。各小区間はhhによってγ\gammaのある弧の部分区間へ写るので、偏角の連続な選択としてφj∘h\varphi_j\circ hを取ることができ、γ\gammaの一つの弧に写る小区間の増分の和はその弧の増分に等しい。点h−1(tj)h^{-1}(t_j)では片側接ベクトルが変わらないので外角も変わらない。hhが滑らかでない点のうちh−1(tj)h^{-1}(t_j)でないものでは、両側の単位接ベクトルがともにT∘hT\circ hの値に等しいので外角は00である。したがってι(γ∘h)=ι(γ)\iota(\gamma\circ h)=\iota(\gamma)である。▨

4 境界の向きの規約と支持点

回転定理の証明では、曲線が支持直線に接する点を出発点に取る。その点が角である場合を排除することはできないので、角である場合を含めて、その点における外角の値を先に決めておく。

以下、DDを§E4 実解析 IIの§E4.22 定義 1.2の意味の区分的に一階連続微分可能な正則領域、Ω\Omegaをその内部とする。§E4.22 定義 1.2 条件 (c)と§E4.22 定義 1.2 条件 (d)を、本記事では次の形で用いる。境界の滑らかな弧の内部の点γ(t)\gamma(t)に対して、δt>0\delta_t>0が存在して

0<δ<δt ⟹ γ(t)+δ Jγ′(t)∈Ω,γ(t)−δ Jγ′(t)∉D0<\delta<\delta_t\ \Longrightarrow\ \gamma(t)+\delta\,J\gamma'(t)\in\Omega,\qquad \gamma(t)-\delta\,J\gamma'(t)\notin D

が成り立つ。この条件が「DDを左に見る向き」の意味である。

det⁡(v,w)=v1w2−v2w1\det(v,w)=v_1w_2-v_2w_1と書く。JJの定義から、すべてのv,w∈R2v,w\in\R^2について

det⁡(v,Jw)=⟨v,w⟩,⟨v,Jw⟩=−det⁡(v,w),det⁡(v,Jv)=∥v∥2\det(v,Jw)=\langle v,w\rangle,\qquad \langle v,Jw\rangle=-\det(v,w),\qquad \det(v,Jv)=\lVert v\rVert^2

が成り立つ。

補題 4.1.γ ⁣:[0,L]→R2\gamma\colon[0,L]\to\R^2を、尖点を持たない区分的に滑らかな正則単純閉曲線であって、その像が上記のDDの境界であり、向きがDDを左に見る向きであるものとする。γ\gammaは単位速度とし、LLを周期としてR\Rの全体へ延長する。p=γ(0)p=\gamma(0)が第二座標γ2\gamma_2の[0,L][0,L]における最小値を与えるとする。座標を平行移動してp=0p=0、γ2(0)=0\gamma_2(0)=0としてよい。

u1=γ′(0+)u_1=\gamma'(0^{+})、u2=−γ′(0−)u_2=-\gamma'(0^{-})と置き、a1,a2∈[−π,π]a_1,a_2\in[-\pi,\pi]をui=(cos⁡ai,sin⁡ai)u_i=(\cos a_i,\sin a_i)で定める。このとき次が成り立つ。

  1. a1,a2∈[0,π]a_1,a_2\in[0,\pi]に取ることができ、u1≠u2u_1\ne u_2である。
  2. a1<a2a_1<a_2である。
  3. ppにおける外角はθ=a1−a2+π\theta=a_1-a_2+\piであり、θ∈[0,π)\theta\in[0,\pi)である。

証明.主張 (1)を示す。γ2(t)≥0\gamma_2(t)\ge0がすべてのttで成り立つ。γ2(t)=tsin⁡a1+o(t)\gamma_2(t)=t\sin a_1+o(t)（t↓0t\downarrow0）であるから、sin⁡a1<0\sin a_1<0とすると小さいt>0t>0でγ2(t)<0\gamma_2(t)<0となり矛盾である。よってsin⁡a1≥0\sin a_1\ge0であり、a1∈[0,π]a_1\in[0,\pi]に取ることができる。同様にγ2(−t)=−t γ2′(0−)+o(t)=tsin⁡a2+o(t)\gamma_2(-t)=-t\,\gamma_2'(0^{-})+o(t)=t\sin a_2+o(t)であるからsin⁡a2≥0\sin a_2\ge0であり、a2∈[0,π]a_2\in[0,\pi]に取ることができる。u1=u2u_1=u_2はγ′(0+)=−γ′(0−)\gamma'(0^{+})=-\gamma'(0^{-})を意味し、尖点を持たないという仮定に反する。

主張 (2)を示す。A1(t)=γ(t)A_1(t)=\gamma(t)、A2(t)=γ(−t)A_2(t)=\gamma(-t)（t≥0t\ge0）と置く。AiA_iはt=0t=0の近くでC∞C^\infty、単位速度であり、Ai(0)=0A_i(0)=0、Ai′(0)=uiA_i'(0)=u_iである。

⟨Ai(t),Ai′(t)⟩=t+o(t)\langle A_i(t),A_i'(t)\rangle=t+o(t)であるから、ε1>0\varepsilon_1>0を十分小さく取ると、0<t≤ε10<t\le\varepsilon_1で⟨Ai(t),Ai′(t)⟩>0\langle A_i(t),A_i'(t)\rangle>0であり、したがってρi(t)=∥Ai(t)∥\rho_i(t)=\lVert A_i(t)\rVertは[0,ε1][0,\varepsilon_1]で狭義単調増加である。ρi′(t)=⟨Ai,Ai′⟩/ρi>0\rho_i'(t)=\langle A_i,A_i'\rangle/\rho_i>0であるからρi\rho_iはC∞C^\infty微分同相であり、その逆写像を通じて

ϑi(ρ)=arg⁡Ai(ρi−1(ρ))\vartheta_i(\rho)=\arg A_i\bigl(\rho_i^{-1}(\rho)\bigr)

は(0,ρi(ε1)](0,\rho_i(\varepsilon_1)]の上でC∞C^\inftyに定まり、ρ↓0\rho\downarrow0でaia_iへ収束する。ここでarg⁡\argは連続に選ぶ。連鎖律により

ϑi′(ρ)=det⁡(Ai,Ai′)/ρ2⟨Ai,Ai′⟩/ρ=det⁡(Ai,Ai′)ρ ⟨Ai,Ai′⟩\vartheta_i'(\rho)=\frac{\det(A_i,A_i')/\rho^2}{\langle A_i,A_i'\rangle/\rho}=\frac{\det(A_i,A_i')}{\rho\,\langle A_i,A_i'\rangle}

である。

r>0r>0を、次の三つが成り立つように取る。第一に、§E4.22 定義 1.2 条件 (c)の局所的な片側性がppにおいて半径rrで成り立つ。第二に、r<min⁡iρi(ε1)r<\min_i\rho_i(\varepsilon_1)である。第三に、r<dist⁡(p, γ([ε1,L−ε1]))r<\operatorname{dist}\bigl(p,\ \gamma([\varepsilon_1,L-\varepsilon_1])\bigr)である。第三の量が正であることは、γ∣[0,L)\gamma|_{[0,L)}が単射でありγ([ε1,L−ε1])\gamma([\varepsilon_1,L-\varepsilon_1])がコンパクトでppを含まないことによる。

このとき∂D∩B(p,r)\partial D\cap B(p,r)は二つの弧A1A_1、A2A_2の部分の合併である。ρi\rho_iが狭義単調増加であるから、各ρ∈(0,r)\rho\in(0,r)に対して円周∥q∥=ρ\lVert q\rVert=\rhoとAiA_iの交わりはちょうど一点であり、その偏角がϑi(ρ)\vartheta_i(\rho)である。u1≠u2u_1\ne u_2かつϑi(ρ)→ai\vartheta_i(\rho)\to a_iであるから、rrをさらに小さく取ればϑ1(ρ)≠ϑ2(ρ)\vartheta_1(\rho)\ne\vartheta_2(\rho)がすべてのρ∈(0,r)\rho\in(0,r)で成り立つ。ϑ2\vartheta_2の連続な代表をϑ1(ρ)<ϑ2(ρ)<ϑ1(ρ)+2π\vartheta_1(\rho)<\vartheta_2(\rho)<\vartheta_1(\rho)+2\piとなるように取る。

以上により

V+={ρ(cos⁡ϑ,sin⁡ϑ): 0<ρ<r, ϑ1(ρ)<ϑ<ϑ2(ρ)},V−={ρ(cos⁡ϑ,sin⁡ϑ): 0<ρ<r, ϑ2(ρ)<ϑ<ϑ1(ρ)+2π}V_{+}=\bigl\{\rho(\cos\vartheta,\sin\vartheta):\ 0<\rho<r,\ \vartheta_1(\rho)<\vartheta<\vartheta_2(\rho)\bigr\},\qquad V_{-}=\bigl\{\rho(\cos\vartheta,\sin\vartheta):\ 0<\rho<r,\ \vartheta_2(\rho)<\vartheta<\vartheta_1(\rho)+2\pi\bigr\}

と置くと、V+V_{+}とV−V_{-}は互いに交わらない連結開集合であり、B(p,r)∖∂D=V+∪V−B(p,r)\setminus\partial D=V_{+}\cup V_{-}である。連結性は、(ρ,λ)↦ρ(cos⁡((1−λ)ϑ1(ρ)+λϑ2(ρ)), sin⁡(⋯ ))(\rho,\lambda)\mapsto\rho\bigl(\cos((1-\lambda)\vartheta_1(\rho)+\lambda\vartheta_2(\rho)),\ \sin(\cdots)\bigr)という連続な全射が定義域(0,r)×(0,1)(0,r)\times(0,1)からV+V_{+}へ与えられることによる（V−V_{-}も同様）。条件 3 によりB(p,r)∖∂DB(p,r)\setminus\partial Dの連結成分はちょうど二つであるから、{V+,V−}\{V_{+},V_{-}\}が{Ω∩B(p,r), (R2∖D)∩B(p,r)}\{\Omega\cap B(p,r),\ (\R^2\setminus D)\cap B(p,r)\}に一致する。

V+V_{+}がΩ\Omegaの側であることを示す。0<t≤ε10<t\le\varepsilon_1を、ρ1(t)<r\rho_1(t)<rとなるように取り、v=A1(t)v=A_1(t)、w=A1′(t)w=A_1'(t)、ρ=∥v∥\rho=\lVert v\rVertと置く。q(δ)=v+δJwq(\delta)=v+\delta Jwとすると

ddδarg⁡q(δ)∣δ=0=det⁡(v,Jw)ρ2=⟨v,w⟩ρ2,ddδ∥q(δ)∥∣δ=0=⟨v,Jw⟩ρ=−det⁡(v,w)ρ\frac{d}{d\delta}\Bigl.\arg q(\delta)\Bigr|_{\delta=0}=\frac{\det(v,Jw)}{\rho^2}=\frac{\langle v,w\rangle}{\rho^2},\qquad \frac{d}{d\delta}\Bigl.\lVert q(\delta)\rVert\Bigr|_{\delta=0}=\frac{\langle v,Jw\rangle}{\rho}=-\frac{\det(v,w)}{\rho}

である。よって

ddδ[arg⁡q(δ)−ϑ1(∥q(δ)∥)]∣δ=0=⟨v,w⟩ρ2+det⁡(v,w)2ρ2 ⟨v,w⟩>0\frac{d}{d\delta}\Bigl.\Bigl[\arg q(\delta)-\vartheta_1\bigl(\lVert q(\delta)\rVert\bigr)\Bigr]\Bigr|_{\delta=0} =\frac{\langle v,w\rangle}{\rho^2}+\frac{\det(v,w)^2}{\rho^2\,\langle v,w\rangle}>0

である。δ=0\delta=0ではこの量は00であるから、十分小さいδ>0\delta>0に対してarg⁡q(δ)>ϑ1(∥q(δ)∥)\arg q(\delta)>\vartheta_1(\lVert q(\delta)\rVert)であり、またδ→0\delta\to0でarg⁡q(δ)→ϑ1(ρ)<ϑ2(ρ)\arg q(\delta)\to\vartheta_1(\rho)<\vartheta_2(\rho)であるから、δ\deltaを十分小さく取ればq(δ)∈V+q(\delta)\in V_{+}である。一方、DDを左に見る向きに取ったことにより、十分小さいδ>0\delta>0でq(δ)=γ(t)+δJγ′(t)∈Ωq(\delta)=\gamma(t)+\delta J\gamma'(t)\in\Omegaである。したがってV+V_{+}はΩ\Omegaと交わり、V+=Ω∩B(p,r)V_{+}=\Omega\cap B(p,r)である。

結論。D⊆{q:q2≥0}D\subseteq\{q:q_2\ge0\}である。実際、γ2≥0\gamma_2\ge0であり、DDはコンパクトであるからγ2\gamma_2の代わりにq↦q2q\mapsto q_2のDDにおける最小値を考えると、それはΩ\Omegaの点では達成されない（内点の近傍で値を下げることができる）ので∂D\partial Dで達成され、その値は00である。よってB(p,r)B(p,r)の下半分B−={q∈B(p,r):q2<0}B^{-}=\{q\in B(p,r):q_2<0\}はDDと交わらず、B−⊆(R2∖D)∩B(p,r)=V−B^{-}\subseteq(\R^2\setminus D)\cap B(p,r)=V_{-}である。

a2<a1a_2<a_1と仮定する。このときϑ1(ρ)<ϑ2(ρ)<ϑ1(ρ)+2π\vartheta_1(\rho)<\vartheta_2(\rho)<\vartheta_1(\rho)+2\piという取り方から、ρ↓0\rho\downarrow0でϑ1(ρ)→a1\vartheta_1(\rho)\to a_1、ϑ2(ρ)→a2+2π\vartheta_2(\rho)\to a_2+2\piである。したがって、十分小さいρ\rhoに対してV−V_{-}の偏角の範囲(ϑ2(ρ),ϑ1(ρ)+2π)(\vartheta_2(\rho),\vartheta_1(\rho)+2\pi)は(a2+2π,a1+2π)(a_2+2\pi,a_1+2\pi)に近く、その全体が偏角2π2\piから3π3\piの範囲、すなわち第二座標が非負の方向に含まれる。これはB−⊆V−B^{-}\subseteq V_{-}に反する。実際、a1,a2∈[0,π]a_1,a_2\in[0,\pi]であるから、真下の方向3π/23\pi/2（同じことであるが7π/27\pi/2）は(ϑ2(ρ),ϑ1(ρ)+2π)(\vartheta_2(\rho),\vartheta_1(\rho)+2\pi)に属さない。よってa1<a2a_1<a_2である。

主張 (3)を示す。γ′(0−)=−u2\gamma'(0^{-})=-u_2の偏角はa2−π∈[−π,0]a_2-\pi\in[-\pi,0]であり、γ′(0+)=u1\gamma'(0^{+})=u_1の偏角はa1∈[0,π]a_1\in[0,\pi]である。定義 3.2の外角θ\thetaは、a1−(a2−π)=a1−a2+πa_1-(a_2-\pi)=a_1-a_2+\piを2π2\piの整数倍だけずらして(−π,π)(-\pi,\pi)に入れた値である。2 とa1,a2∈[0,π]a_1,a_2\in[0,\pi]によりa1−a2+π∈[0,π)a_1-a_2+\pi\in[0,\pi)であるから、この値自身が(−π,π)(-\pi,\pi)に属し、θ=a1−a2+π\theta=a_1-a_2+\piである。▨

5 定義域の境界点を膨らませる操作

回転定理の証明では、Hopf の割線写像を三角形Δ={(s,t):0≤s≤t≤L}\Delta=\{(s,t):0\le s\le t\le L\}の上で作る。s<ts<tのときは割線の方向(γ(t)−γ(s))/∥γ(t)−γ(s)∥\bigl(\gamma(t)-\gamma(s)\bigr)/\lVert\gamma(t)-\gamma(s)\rVertを対応させ、対角線s=ts=tの上では単位接ベクトルを対応させる。この写像はΔ\Deltaの三つの境界点の型で連続にならない。曲線γ\gammaの角sjs_jに対応する対角線上の点(sj,sj)(s_j,s_j)と、対角線の両端を結ぶ頂点(0,L)(0,L)である。いずれの点でも、この写像の極限は近づき方に依存する。

そこで、これらの点を、近づき方を径数とする線分へ置き換える。この置き換えが定義域の位相を変えないことを示すために、まず、平面のコンパクトな凸集合が閉円板と同相であることと、境界の同相写像が内部へ延びることを確かめる。用いるのは凸性だけであり、Jordan の曲線定理も Schoenflies の定理も用いない。

補題 5.1.K⊆R2K\subseteq\R^2をコンパクトな凸集合、ccをその内点とする。D‾={z∈R2:∥z∥≤1}\overline{\mathbb{D}}=\{z\in\R^2:\lVert z\rVert\le1\}と書く。

  1. 各u∈S1u\in S^1に対してrK(u)=max⁡{r≥0: c+ru∈K}r_K(u)=\max\{r\ge0:\ c+ru\in K\}が定まり、rKr_KはS1S^1の上の正の連続関数である。
  2. Ξ(0)=c\Xi(0)=c、Ξ(τu)=c+τ rK(u) u\Xi(\tau u)=c+\tau\,r_K(u)\,u（u∈S1u\in S^1、τ∈(0,1]\tau\in(0,1]）はD‾\overline{\mathbb{D}}からKKへの同相写像であり、S1S^1を∂K\partial Kの上へ写す。
  3. K′K'を内点を持つ別のコンパクトな凸集合、h ⁣:∂K→∂K′h\colon\partial K\to\partial K'を同相写像とすると、hhの延長である同相写像K→K′K\to K'が存在する。

証明.主張 (1)を示す。B(c,ε)⊆KB(c,\varepsilon)\subseteq Kとなるε>0\varepsilon>0を取る。{r≥0:c+ru∈K}\{r\ge0:c+ru\in K\}は、KKが有界かつ閉であることから有界閉であり、KKが凸であることから区間である。r=0r=0を含むので、この集合は[0,rK(u)][0,r_K(u)]の形であり、rK(u)≥ε>0r_K(u)\ge\varepsilon>0である。

連続性を示す。un→uu_n\to uとする。rK(un)r_K(u_n)の任意の収束する部分列の極限をrrとすると、c+rK(un)un∈Kc+r_K(u_n)u_n\in KでありKKは閉であるからc+ru∈Kc+ru\in K、すなわちr≤rK(u)r\le r_K(u)である。よってlim sup⁡nrK(un)≤rK(u)\limsup_nr_K(u_n)\le r_K(u)である。逆向きを示す。R=rK(u)R=r_K(u)とし0<τ<10<\tau<1を取る。B(c,ε)⊆KB(c,\varepsilon)\subseteq Kとc+Ru∈Kc+Ru\in Kと凸性により

B((1−τ)c+τ(c+Ru), (1−τ)ε)=(1−τ)B(c,ε)+τ(c+Ru)⊆KB\bigl((1-\tau)c+\tau(c+Ru),\ (1-\tau)\varepsilon\bigr)=(1-\tau)B(c,\varepsilon)+\tau(c+Ru)\subseteq K

である。nnが大きいときc+τRunc+\tau Ru_nはこの球に属するからrK(un)≥τRr_K(u_n)\ge\tau Rであり、lim inf⁡nrK(un)≥τR\liminf_nr_K(u_n)\ge\tau Rである。τ↑1\tau\uparrow1としてlim inf⁡nrK(un)≥R\liminf_nr_K(u_n)\ge Rを得る。

主張 (2)を示す。Ξ\XiはD‾∖{0}\overline{\mathbb{D}}\setminus\{0\}の上でΞ(z)=c+rK(z/∥z∥) z\Xi(z)=c+r_K(z/\lVert z\rVert)\,zと書かれるから連続であり、∥Ξ(z)−c∥≤∥z∥max⁡S1rK\lVert\Xi(z)-c\rVert\le\lVert z\rVert\max_{S^1}r_Kであるから00でも連続である。単射性を示す。τu\tau uとτ′u′\tau'u'がともに零でなくΞ(τu)=Ξ(τ′u′)\Xi(\tau u)=\Xi(\tau'u')とするとτrK(u)u=τ′rK(u′)u′\tau r_K(u)u=\tau'r_K(u')u'であり、両辺のノルムと向きを比べてu=u′u=u'、次いでτ=τ′\tau=\tau'を得る。全射性を示す。z∈Kz\in Kがz≠cz\ne cを満たすときu=(z−c)/∥z−c∥u=(z-c)/\lVert z-c\rVertと置くと∥z−c∥≤rK(u)\lVert z-c\rVert\le r_K(u)であり、τ=∥z−c∥/rK(u)∈(0,1]\tau=\lVert z-c\rVert/r_K(u)\in(0,1]がΞ(τu)=z\Xi(\tau u)=zを与える。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像であるからΞ\Xiは同相写像である。

Ξ(S1)=∂K\Xi(S^1)=\partial Kを示す。τ<1\tau<1のとき、1 の証明の球の評価によりΞ(τu)\Xi(\tau u)はKKの内点である。したがって∂K⊆Ξ(S1)\partial K\subseteq\Xi(S^1)である。逆にc+rK(u)uc+r_K(u)uはKKに属し、その任意の近傍がc+ruc+ru（r>rK(u)r>r_K(u)）というKKに属さない点を含むから∂K\partial Kに属する。

主張 (3)を示す。c′c'をK′K'の内点とし、2 の同相写像をΞ\Xi、Ξ′\Xi'と書く。k=(Ξ′)−1∘h∘Ξ∣S1k=(\Xi')^{-1}\circ h\circ\Xi|_{S^1}はS1S^1からS1S^1への同相写像である。D‾\overline{\mathbb{D}}の上でk~(τu)=τ k(u)\widetilde k(\tau u)=\tau\,k(u)（u∈S1u\in S^1、τ∈[0,1]\tau\in[0,1]）と定めると、k~\widetilde kは連続な全単射であり、コンパクト空間から Hausdorff 空間への写像であるから同相写像である。Ξ′∘k~∘Ξ−1\Xi'\circ\widetilde k\circ\Xi^{-1}が求める同相写像である。▨

以下、p∈R2p\in\R^2、η>0\eta>0、0<α+−α−≤π0<\alpha_+-\alpha_-\le\piに対して

Σ(p,η,α−,α+)={p+ρ(cos⁡α,sin⁡α): 0≤ρ≤η, α−≤α≤α+}\Sigma(p,\eta,\alpha_-,\alpha_+)=\bigl\{p+\rho(\cos\alpha,\sin\alpha):\ 0\le\rho\le\eta,\ \alpha_-\le\alpha\le\alpha_+\bigr\}

と書き、この集合をppを頂点とする閉扇形という。閉扇形は、閉球B‾(p,η)\overline B(p,\eta)と、ppを頂点とし開き角がπ\pi以下の閉凸錐との共通部分であるから、コンパクトな凸集合であり、内点を持つ。

補題 5.2.X⊆R2X\subseteq\R^2をコンパクト集合、p1,…,pmp_1,\ldots,p_mを相異なる点、η>0\eta>0とし、閉扇形Σi=Σ(pi,η,αi−,αi+)\Sigma_i=\Sigma(p_i,\eta,\alpha^-_i,\alpha^+_i)が次を満たすとする。各iiについてX∩B‾(pi,η)=ΣiX\cap\overline{B}(p_i,\eta)=\Sigma_iであり、i≠ki\ne kのときΣi∩Σk=∅\Sigma_i\cap\Sigma_k=\varnothingである。

Ri=[αi−,αi+]×[0,η]R_i=[\alpha^-_i,\alpha^+_i]\times[0,\eta]と置き、πi ⁣:Ri→Σi\pi_i\colon R_i\to\Sigma_iをπi(α,ρ)=pi+ρ(cos⁡α,sin⁡α)\pi_i(\alpha,\rho)=p_i+\rho(\cos\alpha,\sin\alpha)と定め、Ai=πi([αi−,αi+]×{η})A_i=\pi_i\bigl([\alpha^-_i,\alpha^+_i]\times\{\eta\}\bigr)、Y=X∖⋃iΣi‾Y=\overline{X\setminus\bigcup_i\Sigma_i}と置く。Y⊔⨆iRiY\sqcup\bigsqcup_iR_iにおいて、各α\alphaについてRiR_iの点(α,η)(\alpha,\eta)とYYの点πi(α,η)\pi_i(\alpha,\eta)とを同一視した商空間をX^\widehat Xと書く。このとき次が成り立つ。

  1. X^\widehat Xはコンパクトかつ Hausdorff であり、XXと同相である。
  2. YYの上で恒等写像、各RiR_iの上でπi\pi_iとして定まる写像π ⁣:X^→X\pi\colon\widehat X\to Xは連続な全射であり、mm本の線分[αi−,αi+]×{0}[\alpha^-_i,\alpha^+_i]\times\{0\}の外側では単射である。各線分はpip_iの一点へ写る。

証明. まずY∪⋃iΣi=XY\cup\bigcup_i\Sigma_i=X、Y∩Σi=AiY\cap\Sigma_i=A_i、およびYYがコンパクトであることを確かめる。X∩B‾(pi,η)=ΣiX\cap\overline B(p_i,\eta)=\Sigma_iであるからX∖⋃iΣi=X∖⋃iB‾(pi,η)X\setminus\bigcup_i\Sigma_i=X\setminus\bigcup_i\overline B(p_i,\eta)であり、その閉包に新たに加わるXXの点は、あるpip_iからの距離がちょうどη\etaである点、すなわちAiA_iの点だけである。よってY=(X∖⋃iΣi)∪⋃iAiY=\bigl(X\setminus\bigcup_i\Sigma_i\bigr)\cup\bigcup_iA_iであり、これはXXの閉部分集合であるからコンパクトである。三つの主張はこの表示から従う。

主張 (2)を示す。Z=Y⊔⨆iRiZ=Y\sqcup\bigsqcup_iR_iと置き、Θ0 ⁣:Z→X\Theta_0\colon Z\to Xを、YYの上で恒等写像、RiR_iの上でπi\pi_iとして定める。Θ0\Theta_0は連続であり、像はY∪⋃iΣi=XY\cup\bigcup_i\Sigma_i=Xであるから全射である。Θ0\Theta_0の値が一致する相異なる二点は、AiA_iの点πi(α,η)\pi_i(\alpha,\eta)とRiR_iの点(α,η)(\alpha,\eta)の組か、またはRiR_iの線分ρ=0\rho=0の中の二点である。前者は同一視した組であり、後者はπi\pi_iがρ=0\rho=0をpip_iへ潰すことによる。よってΘ0\Theta_0は商写像Z→X^Z\to\widehat Xを経由して連続な全射π ⁣:X^→X\pi\colon\widehat X\to Xを定め、π\piは線分ρ=0\rho=0の外側で単射である。

主張 (1)を示す。補題 5.1 (3)をK=RiK=R_i、K′=ΣiK'=\Sigma_iに適用する。RiR_iは長方形であり、Σi\Sigma_iは閉扇形であるから、いずれもコンパクトな凸集合であって内点を持つ。∂Ri\partial R_iは四つの辺からなり、辺ρ=η\rho=\etaとその他の三つの辺の合併とは、共通の端点を持つ二つの弧である。∂Σi\partial\Sigma_iは円弧AiA_iと二つの半径の合併とからなり、これも共通の端点を持つ二つの弧である。πi\pi_iは辺ρ=η\rho=\etaからAiA_iへの同相写像であり、残りの弧どうしのあいだにも、端点を対応させる同相写像が存在する（いずれの弧も閉区間と同相である）。二つを合わせると同相写像hi ⁣:∂Ri→∂Σih_i\colon\partial R_i\to\partial\Sigma_iが得られ、補題 5.1 (3)により、hih_iを延長する同相写像Fi ⁣:Ri→ΣiF_i\colon R_i\to\Sigma_iが存在する。FiF_iは辺ρ=η\rho=\etaの上でπi\pi_iに一致する。

Θ ⁣:Z→X\Theta\colon Z\to Xを、YYの上で恒等写像、RiR_iの上でFiF_iとして定める。Θ\Thetaは連続かつ全射であり、値が一致する相異なる二点は、同一視した組((α,η), πi(α,η))\bigl((\alpha,\eta),\ \pi_i(\alpha,\eta)\bigr)に限る。ZZはコンパクト、XXは Hausdorff であるからΘ\Thetaは閉写像であり、したがって商写像である。ゆえにΘ\Thetaが誘導する写像X^→X\widehat X\to Xは同相写像である。とくにX^\widehat Xはコンパクトかつ Hausdorff である。▨

X^\widehat Xの中で、RiR_iの辺ρ=0\rho=0が、潰れていた点pip_iを置き換える線分である。その径数α\alphaは、XXの中でpip_iへ近づく方向にほかならない。

6 証明方針

回転定理では、単純閉曲線についてι(γ)=1\iota(\gamma)=1であると述べる。証明は次の三段からなる。

第一段は、割線写像の定義域を作る段である。γ\gammaを単位速度に取り直し、周期LLの写像とみなす。Δ\Deltaの対角線上の角に対応する点(sj,sj)(s_j,s_j)（j=1,…,N−1j=1,\ldots,N-1）と頂点(0,L)(0,L)を、補題 5.2によって線分へ膨らませる。膨らませた領域は正方形と同相である。曲線の側で角の跳びを補間するのではなく、定義域の側で角を膨らませる。曲線γ\gamma自身は角を持ったままであるから、接ベクトル場を補間しても割線の方向は連続にならない。

第二段は、割線写像の構成と連続性である。膨らませた線分の上では、その点へ近づく方向α\alphaに応じて、二つの片側接ベクトルTj−T^{-}_j、Tj+T^{+}_jを結ぶ線分の上の方向を対応させる。尖点を持たないという仮定により、この線分は原点を通らない。補題 3.3により、膨らませた線分に沿う偏角の増分はちょうど外角θj\theta_jである。すなわち、角における跳びを外角のぶんだけ補間する操作を、定義域の上で行うことになる。割線写像の定義には単純性を用い、対角線における連続性の証明には区分的な滑らかさを用いる。

第三段は、持ち上げである。§E21 位相幾何入門の§E21.5 定理 2.2 (2)により、割線写像はR\Rへ連続に持ち上がる。持ち上げは領域の上の連続関数であるから、二点の値の差は、二点を結ぶ経路の取り方に依らない。この経路独立性が、巻き数のホモトピー不変性が本証明に現れる形である。出発点を、曲線が支持直線に接する点、すなわち第二座標が最小になる点に取ると、辺に沿う割線の方向は閉じた半平面の中にとどまる。この制約と補題 4.1から、増分の総和が2π2\piになる。

7 回転定理

定理 7.1 (回転定理).γ ⁣:[a,b]→R2\gamma\colon[a,b]\to\R^2を、尖点を持たない区分的に滑らかな正則単純閉曲線とし、その像を境界とする有界領域を左に見る向きに径数づける。すなわち、DDを§E4 実解析 IIの§E4.22 定義 1.2の意味の区分的に一階連続微分可能な正則領域であって∂D=γ([a,b])\partial D=\gamma([a,b])が一つの境界曲線からなるものとし、γ\gammaの向きを、DDを左に見る向きに取る。このとき

ι(γ)=1,すなわち∑j=1N∫弧jdφ+∑j=1Nθj=2π\iota(\gamma)=1,\qquad\text{すなわち}\qquad \sum_{j=1}^{N}\int_{\text{弧}_j}d\varphi+\sum_{j=1}^{N}\theta_j=2\pi

が成り立つ。ここでθj∈(−π,π)\theta_j\in(-\pi,\pi)は定義 3.2の外角である。

証明.命題 3.5 (3)により、径数を弧長へ取り替えてもι(γ)\iota(\gamma)は変わらない。よってγ ⁣:[0,L]→R2\gamma\colon[0,L]\to\R^2を単位速度とし、LLを周期としてR\Rの全体へ延長する。γ2\gamma_2の最小値を与える点を一つ取り、径数を平行移動してその点をγ(0)\gamma(0)とする。命題 3.5 (2)により分割の取り方はι(γ)\iota(\gamma)を変えないので、分割0=s0<s1<⋯<sN=L0=s_0<s_1<\cdots<s_N=Lを、すべての角が分割点になるように取る。座標を平行移動してγ(0)=0\gamma(0)=0、γ2≥0\gamma_2\ge0としてよい。

Tj−T^{-}_j、Tj+T^{+}_jを定義 3.1のとおりとし、外角をθj\theta_jと書く。とくにTN+=T0+=γ′(0+)=u1T^{+}_N=T^{+}_0=\gamma'(0^{+})=u_1、TN−=γ′(0−)=−u2T^{-}_N=\gamma'(0^{-})=-u_2であり、θN\theta_Nはγ(0)\gamma(0)における外角である。補題 4.1によりa1,a2∈[0,π]a_1,a_2\in[0,\pi]、a1<a2a_1<a_2、θN=a1−a2+π∈[0,π)\theta_N=a_1-a_2+\pi\in[0,\pi)である。

第一段。膨らませた定義域。Δ={(s,t)∈R2:0≤s≤t≤L}\Delta=\{(s,t)\in\R^2:0\le s\le t\le L\}と置く。Δ\Deltaは三角形であるからコンパクトな凸集合であり内点を持つので、補題 5.1 (2)により閉円板と同相である。[0,1]2[0,1]^2も同じ理由で閉円板と同相であるから、Δ\Deltaは[0,1]2[0,1]^2と同相である。d=min⁡1≤j≤N(sj−sj−1)d=\min_{1\le j\le N}(s_j-s_{j-1})と置き、η\etaを0<η<min⁡{d/2, L/4}0<\eta<\min\{d/2,\ L/4\}に取る。膨らませる点はpj=(sj,sj)p_j=(s_j,s_j)（1≤j≤N−11\le j\le N-1）とpN=(0,L)p_N=(0,L)である。

1≤j≤N−11\le j\le N-1のとき、pjp_jから直線s=0s=0までの距離はsj≥ds_j\ge d、直線t=Lt=Lまでの距離はL−sj≥dL-s_j\ge dでありη<d\eta<dであるから、B‾(pj,η)\overline B(p_j,\eta)の中では条件0≤s0\le sとt≤Lt\le Lが自動的に成り立ち

Δ∩B‾(pj,η)={(s,t):s≤t}∩B‾(pj,η)=Σ(pj,η,π4,5π4)\Delta\cap\overline B(p_j,\eta)=\{(s,t):s\le t\}\cap\overline B(p_j,\eta)=\Sigma\Bigl(p_j,\eta,\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\Bigr)

である。pNp_Nについては、η<L/4\eta<L/4によりB‾(pN,η)\overline B(p_N,\eta)の中でs≤η<L−η≤ts\le\eta<L-\eta\le tであるから、条件s≤ts\le tが自動的に成り立ち

Δ∩B‾(pN,η)={(s,t):s≥0, t≤L}∩B‾(pN,η)=Σ(pN,η,−π2,0)\Delta\cap\overline B(p_N,\eta)=\{(s,t):s\ge0,\ t\le L\}\cap\overline B(p_N,\eta)=\Sigma\Bigl(p_N,\eta,-\frac{\pi}{2},0\Bigr)

である。相異なる二点の距離は2η2\etaより大きい。実際、j≠kj\ne kがともにNN未満のとき∥pj−pk∥=2 ∣sj−sk∣≥2 d>2η\lVert p_j-p_k\rVert=\sqrt2\,\lvert s_j-s_k\rvert\ge\sqrt2\,d>2\etaであり、∥pj−pN∥=sj2+(L−sj)2≥L/2>L/2>2η\lVert p_j-p_N\rVert=\sqrt{s_j^2+(L-s_j)^2}\ge L/\sqrt2>L/2>2\etaである。したがって補題 5.2の仮定が満たされる。同補題によって得られる領域をΔ^\widehat\Delta、対応する連続な全射をπ ⁣:Δ^→Δ\pi\colon\widehat\Delta\to\Deltaと書く。補題 5.2 (1)によりΔ^\widehat\DeltaはΔ\Deltaと同相であり、したがって[0,1]2[0,1]^2と同相である。

pjp_j（1≤j≤N−11\le j\le N-1）に対する長方形をRj=[π/4,5π/4]×[0,η]R_j=[\pi/4,5\pi/4]\times[0,\eta]、pNp_Nに対する長方形をRNR_Nと書く。RNR_Nではχ=α+π/2∈[0,π/2]\chi=\alpha+\pi/2\in[0,\pi/2]を座標に取り、貼り合わせの写像を

πN(χ,ρ)=(s,t)=(ρsin⁡χ, L−ρcos⁡χ)\pi_N(\chi,\rho)=(s,t)=\bigl(\rho\sin\chi,\ L-\rho\cos\chi\bigr)

と書き直す。χ=0\chi=0は辺s=0s=0の側、χ=π/2\chi=\pi/2は辺t=Lt=Lの側に対応する。0<ϵ≤η0<\epsilon\le\etaに対して、各RiR_iのρ<ϵ\rho<\epsilonの部分を取り除いて得られるΔ^\widehat\Deltaの部分集合は閉であってコンパクトであり、π\piはそこからΔ\Deltaの対応するコンパクト部分集合への連続な全単射であるから同相写像である。ϵ\epsilonを小さく取ることにより、π\piは、膨らませたNN本の線分を除いた範囲でΔ∖{p1,…,pN}\Delta\setminus\{p_1,\ldots,p_N\}の上への同相写像である。

第二段。割線写像とその連続性。Ψ ⁣:Δ^→S1\Psi\colon\widehat\Delta\to S^1を次の四つで定める。

  1. π\piによる像がs<ts<tを満たす点ではΨ=γ(t)−γ(s)∥γ(t)−γ(s)∥\Psi=\dfrac{\gamma(t)-\gamma(s)}{\lVert\gamma(t)-\gamma(s)\rVert}とする。この点では(s,t)≠(0,L)(s,t)\ne(0,L)であり、γ∣[0,L)\gamma|_{[0,L)}が単射であってγ(L)=γ(0)\gamma(L)=\gamma(0)であるからγ(s)≠γ(t)\gamma(s)\ne\gamma(t)であり、分母は零でない。
  2. π\piによる像が対角線の点(sˉ,sˉ)(\bar s,\bar s)であってsˉ∉{s1,…,sN−1}\bar s\notin\{s_1,\ldots,s_{N-1}\}であるときはΨ=γ′(sˉ)\Psi=\gamma'(\bar s)とする。ここでγ′(sˉ)\gamma'(\bar s)は、sˉ\bar sを含む滑らかな弧の導関数の値であり、sˉ=0\bar s=0ではγ′(0+)=u1\gamma'(0^{+})=u_1、sˉ=L\bar s=Lではγ′(L−)=−u2\gamma'(L^{-})=-u_2と読む。
  3. RjR_j（1≤j≤N−11\le j\le N-1）の辺ρ=0\rho=0の上では Ψ(α,0)=Zj(Λ(α)),Zj(μ)=(1−μ)Tj−+μTj+∥(1−μ)Tj−+μTj+∥\Psi(\alpha,0)=Z_j\bigl(\Lambda(\alpha)\bigr),\qquad Z_j(\mu)=\frac{(1-\mu)T^{-}_j+\mu T^{+}_j}{\bigl\lVert(1-\mu)T^{-}_j+\mu T^{+}_j\bigr\rVert} とする。ここで Λ(α)={1,π4≤α≤π2,sin⁡αsin⁡α−cos⁡α,π2≤α≤π,0,π≤α≤5π4\Lambda(\alpha)= \begin{cases} 1, & \dfrac{\pi}{4}\le\alpha\le\dfrac{\pi}{2},\\[2mm] \dfrac{\sin\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}, & \dfrac{\pi}{2}\le\alpha\le\pi,\\[2mm] 0, & \pi\le\alpha\le\dfrac{5\pi}{4} \end{cases} である。
  4. RNR_Nの辺ρ=0\rho=0の上では Ψ(χ,0)=cos⁡χ u2−sin⁡χ u1∥cos⁡χ u2−sin⁡χ u1∥\Psi(\chi,0)=\frac{\cos\chi\,u_2-\sin\chi\,u_1}{\lVert\cos\chi\,u_2-\sin\chi\,u_1\rVert} とする。

3 のZjZ_jが定まることは、γ\gammaが尖点を持たない、すなわちTj−≠−Tj+T^{-}_j\ne-T^{+}_jであることと補題 3.3 (1)による。Λ\Lambdaが定まり連続であることは、α=π/2\alpha=\pi/2で第二の式の値が11、α=π\alpha=\piで00であることによる。sin⁡α−cos⁡α=2sin⁡(α−π/4)\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt2\sin(\alpha-\pi/4)は(π/4,5π/4)(\pi/4,5\pi/4)で正であるから第二の式の分母は消えず、[π/2,π][\pi/2,\pi]の上で

Λ′(α)=cos⁡α(sin⁡α−cos⁡α)−sin⁡α(cos⁡α+sin⁡α)(sin⁡α−cos⁡α)2=−1(sin⁡α−cos⁡α)2<0\Lambda'(\alpha)=\frac{\cos\alpha(\sin\alpha-\cos\alpha)-\sin\alpha(\cos\alpha+\sin\alpha)}{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2} =\frac{-1}{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2}<0

であるから、Λ\Lambdaは[π/4,5π/4][\pi/4,5\pi/4]から[0,1][0,1]への広義単調減少な連続全射である。4 の分母が零でないことは、補題 4.1 (1)によりu1≠u2u_1\ne u_2、すなわち−u1≠−u2-u_1\ne-u_2であるから、u2u_2と−u1-u_1が互いに反対向きでない単位ベクトルであり、補題 3.3 (3)を適用することができることによる。

Ψ\Psiが連続であることを示す。1 の範囲ではγ\gammaの連続性から従う。

対角線の点における連続性。sˉ∈[0,L]\bar s\in[0,L]をsˉ∉{s1,…,sN−1}\bar s\notin\{s_1,\ldots,s_{N-1}\}を満たす点とし、sˉ\bar sを含む滑らかな弧を[sj−1,sj][s_{j-1},s_j]とする。s≤ts\le tがsˉ\bar sの近傍（弧の中での近傍）にあるとき、微積分学の基本定理（§D1.19 定理 2.1）により

γ(t)−γ(s)=(t−s) γ′(sˉ)+r(s,t),∥r(s,t)∥≤(t−s)sup⁡s≤u≤t∥γ′(u)−γ′(sˉ)∥\gamma(t)-\gamma(s)=(t-s)\,\gamma'(\bar s)+r(s,t),\qquad \lVert r(s,t)\rVert\le(t-s)\sup_{s\le u\le t}\lVert\gamma'(u)-\gamma'(\bar s)\rVert

である。γ′\gamma'は弧の上で連続であるから、右辺の上限は(s,t)→(sˉ,sˉ)(s,t)\to(\bar s,\bar s)で00へ収束する。t−st-sで割って正規化するとΨ→γ′(sˉ)\Psi\to\gamma'(\bar s)である。Δ^\widehat\Deltaの中で対角線の点の近傍は、膨らませた線分を含まないかぎりπ\piによってΔ\Deltaの中の近傍と同相であるから、これで連続性が従う。

RjR_jの膨らませた線分における連続性（1≤j≤N−11\le j\le N-1）。0<ρ≤η0<\rho\le\etaに対して

εj(ρ)=sup⁡sj−ρ≤u≤sj∥γ′(u)−Tj−∥+sup⁡sj≤u≤sj+ρ∥γ′(u)−Tj+∥\varepsilon_j(\rho)=\sup_{s_j-\rho\le u\le s_j}\bigl\lVert\gamma'(u)-T^{-}_j\bigr\rVert +\sup_{s_j\le u\le s_j+\rho}\bigl\lVert\gamma'(u)-T^{+}_j\bigr\rVert

と置く。左の上限ではγ∣[sj−1,sj]\gamma|_{[s_{j-1},s_j]}の、右の上限ではγ∣[sj,sj+1]\gamma|_{[s_j,s_{j+1}]}の導関数を取る。η<d/2\eta<d/2によりこれらの区間は弧からはみ出さない。二つの導関数はそれぞれの閉区間の上で連続であり、sjs_jにおける値がTj−T^{-}_jとTj+T^{+}_jであるからεj(ρ)→0\varepsilon_j(\rho)\to0（ρ↓0\rho\downarrow0）である。

α∈(π/4,5π/4)\alpha\in(\pi/4,5\pi/4)、0<ρ≤η0<\rho\le\etaとし(s,t)=πj(α,ρ)(s,t)=\pi_j(\alpha,\rho)と置くとs<ts<tでありs,t∈[sj−ρ,sj+ρ]s,t\in[s_j-\rho,s_j+\rho]である。mmをss、sjs_j、ttの中央値、すなわちm=min⁡{max⁡{s,sj}, t}m=\min\{\max\{s,s_j\},\ t\}とするとs≤m≤ts\le m\le tであり、[s,m][s,m]はγ\gammaのsjs_jより前の弧に、[m,t][m,t]は後の弧に含まれる。よって

γ(t)−γ(s)=∫smγ′(u) du+∫mtγ′(u) du=(m−s)Tj−+(t−m)Tj++r,∥r∥≤(t−s) εj(ρ)\gamma(t)-\gamma(s)=\int_s^m\gamma'(u)\,du+\int_m^t\gamma'(u)\,du =(m-s)T^{-}_j+(t-m)T^{+}_j+r,\qquad \lVert r\rVert\le(t-s)\,\varepsilon_j(\rho)

である。mmとΛ\Lambdaの定め方により(t−m)/(t−s)=Λ(α)(t-m)/(t-s)=\Lambda(\alpha)が成り立つ。実際、cos⁡α>0\cos\alpha>0のときはs>sjs>s_jかつm=sm=sであって比は11であり、α<π/2\alpha<\pi/2であるからΛ(α)=1\Lambda(\alpha)=1である。sin⁡α<0\sin\alpha<0のときはt<sjt<s_jかつm=tm=tであって比は00であり、α>π\alpha>\piであるからΛ(α)=0\Lambda(\alpha)=0である。cos⁡α≤0≤sin⁡α\cos\alpha\le0\le\sin\alpha、すなわちπ/2≤α≤π\pi/2\le\alpha\le\piのときはm=sjm=s_jであり

t−mt−s=ρsin⁡αρ(sin⁡α−cos⁡α)=Λ(α)\frac{t-m}{t-s}=\frac{\rho\sin\alpha}{\rho(\sin\alpha-\cos\alpha)}=\Lambda(\alpha)

である。したがってw(α)=(1−Λ(α))Tj−+Λ(α)Tj+w(\alpha)=(1-\Lambda(\alpha))T^{-}_j+\Lambda(\alpha)T^{+}_jと置くと

γ(t)−γ(s)t−s=w(α)+r′,∥r′∥≤εj(ρ)\frac{\gamma(t)-\gamma(s)}{t-s}=w(\alpha)+r',\qquad\lVert r'\rVert\le\varepsilon_j(\rho)

である。補題 3.3 (1)によりμ↦∥(1−μ)Tj−+μTj+∥\mu\mapsto\lVert(1-\mu)T^{-}_j+\mu T^{+}_j\rVertは[0,1][0,1]の上で連続かつ正であるから、その最小値cjc_jは正であり、すべてのα\alphaで∥w(α)∥≥cj\lVert w(\alpha)\rVert\ge c_jである。εj(ρ)<cj\varepsilon_j(\rho)<c_jとなるρ\rhoを取るとw(α)+r′≠0w(\alpha)+r'\ne0である。零でない二つのベクトルww、w+r′w+r'について

w+r′∥w+r′∥−w∥w∥=r′∥w+r′∥+w(1∥w+r′∥−1∥w∥)\frac{w+r'}{\lVert w+r'\rVert}-\frac{w}{\lVert w\rVert} =\frac{r'}{\lVert w+r'\rVert}+w\left(\frac{1}{\lVert w+r'\rVert}-\frac{1}{\lVert w\rVert}\right)

であり、∣∥w+r′∥−∥w∥∣≤∥r′∥\bigl\lvert\lVert w+r'\rVert-\lVert w\rVert\bigr\rvert\le\lVert r'\rVertであるから

∥w+r′∥w+r′∥−w∥w∥∥≤2∥r′∥∥w+r′∥\left\lVert\frac{w+r'}{\lVert w+r'\rVert}-\frac{w}{\lVert w\rVert}\right\rVert\le\frac{2\lVert r'\rVert}{\lVert w+r'\rVert}

が成り立つ。∥w+r′∥≥cj−εj(ρ)\lVert w+r'\rVert\ge c_j-\varepsilon_j(\rho)であるから、εj(ρ)≤cj/2\varepsilon_j(\rho)\le c_j/2となるρ\rhoに対して∥Ψ(α,ρ)−Zj(Λ(α))∥≤4εj(ρ)/cj\lVert\Psi(\alpha,\rho)-Z_j(\Lambda(\alpha))\rVert\le4\varepsilon_j(\rho)/c_jである。α∈{π/4,5π/4}\alpha\in\{\pi/4,5\pi/4\}のときはs=ts=tであってΨ=γ′(s)\Psi=\gamma'(s)であるが、∥γ′(s)−Tj+∥≤εj(ρ)\lVert\gamma'(s)-T^{+}_j\rVert\le\varepsilon_j(\rho)（α=π/4\alpha=\pi/4）、∥γ′(s)−Tj−∥≤εj(ρ)\lVert\gamma'(s)-T^{-}_j\rVert\le\varepsilon_j(\rho)（α=5π/4\alpha=5\pi/4）であり、Zj(Λ(π/4))=Tj+Z_j(\Lambda(\pi/4))=T^{+}_j、Zj(Λ(5π/4))=Tj−Z_j(\Lambda(5\pi/4))=T^{-}_jであるから、同じ形の評価が成り立つ。

以上によりΨ(α,ρ)\Psi(\alpha,\rho)はρ↓0\rho\downarrow0のときZj(Λ(α))Z_j(\Lambda(\alpha))へα\alphaについて一様に収束する。α↦Zj(Λ(α))\alpha\mapsto Z_j(\Lambda(\alpha))は連続であるから、Ψ\PsiはRjR_jの辺ρ=0\rho=0の各点で連続である。

RNR_Nの膨らませた線分における連続性。εN(ρ)\varepsilon_N(\rho)を、TN−=γ′(L−)=−u2T^{-}_N=\gamma'(L^{-})=-u_2とTN+=γ′(0+)=u1T^{+}_N=\gamma'(0^{+})=u_1について同じ形で定める。0<ρ≤η0<\rho\le\eta、χ∈[0,π/2]\chi\in[0,\pi/2]とし(s,t)=πN(χ,ρ)(s,t)=\pi_N(\chi,\rho)と置く。γ(L)=γ(0)=0\gamma(L)=\gamma(0)=0であるから

γ(t)−γ(s)=(γ(L−ρcos⁡χ)−γ(L))−(γ(ρsin⁡χ)−γ(0))\gamma(t)-\gamma(s)=\bigl(\gamma(L-\rho\cos\chi)-\gamma(L)\bigr)-\bigl(\gamma(\rho\sin\chi)-\gamma(0)\bigr)

であり、それぞれの差に上と同じ積分の評価を適用すると

γ(t)−γ(s)ρ=−cos⁡χ γ′(L−)−sin⁡χ γ′(0+)+r′′=cos⁡χ u2−sin⁡χ u1+r′′,∥r′′∥≤εN(ρ)\frac{\gamma(t)-\gamma(s)}{\rho} =-\cos\chi\,\gamma'(L^{-})-\sin\chi\,\gamma'(0^{+})+r'' =\cos\chi\,u_2-\sin\chi\,u_1+r'',\qquad \lVert r''\rVert\le\varepsilon_N(\rho)

である。主要項はχ∈[0,π/2]\chi\in[0,\pi/2]で零にならずχ\chiについて連続であるから、その最小値は正であり、前段と同じ不等式によって、正規化したΨ\Psiはρ↓0\rho\downarrow0でΨ(χ,0)\Psi(\chi,0)へχ\chiについて一様に収束する。よってΨ\PsiはRNR_Nの辺ρ=0\rho=0の各点で連続である。

第三段。持ち上げと三つの増分。Δ^\widehat\Deltaは[0,1]2[0,1]^2と同相であるから、まず一辺の上で§E21 位相幾何入門の§E21.5 定理 2.2 (1)を用いて持ち上げを定め、次に§E21.5 定理 2.2 (2)を適用すると、連続写像Ψ~ ⁣:Δ^→R\widetilde\Psi\colon\widehat\Delta\to\Rであって

Ψ=(cos⁡Ψ~, sin⁡Ψ~)\Psi=\bigl(\cos\widetilde\Psi,\ \sin\widetilde\Psi\bigr)

を満たすものが得られる。Δ^\widehat\Deltaの四つの点を次のように取る。OOは(s,t)=(0,0)(s,t)=(0,0)に、QQは(s,t)=(L,L)(s,t)=(L,L)に対応する点であり、P0P_0とPπ/2P_{\pi/2}はRNR_Nの膨らませた線分の両端(χ,ρ)=(0,0)(\chi,\rho)=(0,0)と(π/2,0)(\pi/2,0)である。A=Ψ~(O)A=\widetilde\Psi(O)、B0=Ψ~(P0)B_0=\widetilde\Psi(P_0)、C=Ψ~(Pπ/2)C=\widetilde\Psi(P_{\pi/2})、E=Ψ~(Q)E=\widetilde\Psi(Q)と置く。Ψ~\widetilde\PsiはΔ^\widehat\Deltaの上の関数であるから、二点における値の差は経路に依らない。

対角線。Δ^\widehat\Deltaの中でOOからQQへ至る道Γ\Gammaを次のように取る。対角線{(s,s)}\{(s,s)\}のうち膨らませた扇形の外にある部分と、各RjR_j（1≤j≤N−11\le j\le N-1）の三つの辺、すなわち辺α=5π/4\alpha=5\pi/4（ρ\rhoがη\etaから00へ動く）、辺ρ=0\rho=0（α\alphaが5π/45\pi/4からπ/4\pi/4へ動く）、辺α=π/4\alpha=\pi/4（ρ\rhoが00からη\etaへ動く）を、ssの増加する順につないだ道である。πj(5π/4,ρ)=(sj−ρ/2, sj−ρ/2)\pi_j(5\pi/4,\rho)=(s_j-\rho/\sqrt2,\ s_j-\rho/\sqrt2)、πj(π/4,ρ)=(sj+ρ/2, sj+ρ/2)\pi_j(\pi/4,\rho)=(s_j+\rho/\sqrt2,\ s_j+\rho/\sqrt2)であるから、Γ\Gammaから膨らませた線分を除いた部分は、対角線をssが00からLLへ動く向きに辿ったものに対応し、その上でΨ=γ′(s)\Psi=\gamma'(s)である。

Γ\Gammaに沿う増分を数える。弧[sj−1,sj][s_{j-1},s_j]に対応する部分ではΨ=γ′(s)\Psi=\gamma'(s)であり、その偏角の連続な選択は定義 3.4のφj\varphi_jであるから、増分はφj(sj)−φj(sj−1)\varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1})である。RjR_jの辺ρ=0\rho=0に対応する部分では、Λ\Lambdaが5π/45\pi/4からπ/4\pi/4へ向かって00から11へ広義単調に動く連続全射であるから、Ψ\Psiの値はZj(μ)Z_j(\mu)（μ\muが00から11へ動く）が取る値と同じ順に並ぶ。持ち上げの一意性によりZj∘ΛZ_j\circ\Lambdaの持ち上げはZjZ_jの持ち上げとΛ\Lambdaとの合成であるから、この部分の増分はZjZ_jに沿う増分に等しく、補題 3.3 (2)によりその値はθj\theta_jである。したがって

E−A=∑j=1N(φj(sj)−φj(sj−1))+∑j=1N−1θjE-A=\sum_{j=1}^{N}\bigl(\varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1})\bigr)+\sum_{j=1}^{N-1}\theta_j

であり、定義 3.4により

2π ι(γ)=(E−A)+θN2\pi\,\iota(\gamma)=(E-A)+\theta_N

である。示すべきことは(E−A)+θN=2π(E-A)+\theta_N=2\piである。

辺s=0s=0。OOからP0P_0へ至る境界の弧は、{(0,t):0≤t≤L−η}\{(0,t):0\le t\le L-\eta\}とRNR_Nの辺χ=0\chi=0（ρ\rhoがη\etaから00へ動き、t=L−ρt=L-\rhoがL−ηL-\etaからLLへ動く）とをつないだものであり、ttが00からLLへ動く向きに径数づけられる。0<t<L0<t<Lでは

Ψ=γ(t)−γ(0)∥γ(t)−γ(0)∥\Psi=\frac{\gamma(t)-\gamma(0)}{\lVert\gamma(t)-\gamma(0)\rVert}

であり、γ2≥0\gamma_2\ge0かつγ2(0)=0\gamma_2(0)=0であるから、この単位ベクトルの第二成分は非負である。端点の値はΨ(O)=γ′(0+)=u1\Psi(O)=\gamma'(0^{+})=u_1（偏角a1∈[0,π]a_1\in[0,\pi]）とΨ(P0)=u2\Psi(P_0)=u_2（偏角a2∈[0,π]a_2\in[0,\pi]）であり、いずれも第二成分が非負である。すなわちこの弧の上でΨ\Psiは閉じた上半円周に値を取る。

閉じた上半円周に値を取る連続写像の持ち上げの像は、互いに交わらない閉区間の族{[2πk,2πk+π]}k∈Z\bigl\{[2\pi k,2\pi k+\pi]\bigr\}_{k\in\Z}の一つの元に含まれる。したがって、ある整数kkについてA=2πk+a1A=2\pi k+a_1、B0=2πk+a2B_0=2\pi k+a_2であり

B0−A=a2−a1B_0-A=a_2-a_1

である。

膨らませた線分ρ=0\rho=0。この線分ではΨ(χ,0)\Psi(\chi,0)がcos⁡χ u2−sin⁡χ u1\cos\chi\,u_2-\sin\chi\,u_1の正規化である。係数cos⁡χ\cos\chiとsin⁡χ\sin\chiはχ∈[0,π/2]\chi\in[0,\pi/2]で非負であり同時に零にならないから、補題 3.3 (3)をw0=u2w_0=u_2、w1=−u1w_1=-u_1、c0=cos⁡χc_0=\cos\chi、c1=sin⁡χc_1=\sin\chiに適用することができ、Ψ(χ,0)=Z(μ)\Psi(\chi,0)=Z(\mu)（μ=sin⁡χ/(cos⁡χ+sin⁡χ)\mu=\sin\chi/(\cos\chi+\sin\chi)）である。χ↦μ\chi\mapsto\muは[0,π/2][0,\pi/2]から[0,1][0,1]への狭義単調増加な連続全単射であるから、この線分に沿う増分はZZに沿う増分に等しい。

u2u_2の偏角はa2a_2、−u1-u_1の偏角はa1+πa_1+\piであり、補題 4.1 (2)とa1,a2∈[0,π]a_1,a_2\in[0,\pi]により

0≤a1+π−a2<π0\le a_1+\pi-a_2<\pi

である。すなわちu2u_2から−u1-u_1への定義 3.2の意味の符号つき角は(−π,π)(-\pi,\pi)の中でa1+π−a2a_1+\pi-a_2であり、補題 4.1 (3)によりこれはθN\theta_Nに等しい。したがって補題 3.3 (2)により

C−B0=a1+π−a2=θNC-B_0=a_1+\pi-a_2=\theta_N

である。

辺t=Lt=L。Pπ/2P_{\pi/2}からQQへ至る境界の弧は、RNR_Nの辺χ=π/2\chi=\pi/2（ρ\rhoが00からη\etaへ動き、s=ρs=\rhoが00からη\etaへ動く）と{(s,L):η≤s≤L}\{(s,L):\eta\le s\le L\}とをつないだものであり、ssが00からLLへ動く向きに径数づけられる。0<s<L0<s<Lではγ(L)=γ(0)\gamma(L)=\gamma(0)であるから

Ψ(s,L)=γ(L)−γ(s)∥γ(L)−γ(s)∥=−γ(s)−γ(0)∥γ(s)−γ(0)∥=−Ψ(0,s)\Psi(s,L)=\frac{\gamma(L)-\gamma(s)}{\lVert\gamma(L)-\gamma(s)\rVert}=-\frac{\gamma(s)-\gamma(0)}{\lVert\gamma(s)-\gamma(0)\rVert}=-\Psi(0,s)

である。端点でもΨ(Pπ/2)=−u1=−Ψ(O)\Psi(P_{\pi/2})=-u_1=-\Psi(O)、Ψ(Q)=γ′(L−)=−u2=−Ψ(P0)\Psi(Q)=\gamma'(L^{-})=-u_2=-\Psi(P_0)である。すなわち、Pπ/2P_{\pi/2}からQQへ至る弧をssが00からLLへ動く向きに見た写像は、OOからP0P_0へ至る弧をttが00からLLへ動く向きに見た写像の対蹠である。二つの連続写像f,g ⁣:[0,L]→S1f,g\colon[0,L]\to S^1がg=−fg=-fを満たすとき、それぞれの持ち上げf~,g~\widetilde f,\widetilde gについてg~−f~−π\widetilde g-\widetilde f-\piは連続で2πZ2\pi\Zに値を取るから定数であり、したがって増分は等しい。よって

E−C=B0−A=a2−a1E-C=B_0-A=a_2-a_1

である。

総和。三つを合わせると

E−A=(B0−A)+(C−B0)+(E−C)=(a2−a1)+θN+(a2−a1)=2(a2−a1)+θNE-A=(B_0-A)+(C-B_0)+(E-C)=(a_2-a_1)+\theta_N+(a_2-a_1)=2(a_2-a_1)+\theta_N

である。θN=a1−a2+π\theta_N=a_1-a_2+\piであるから

E−A=2(a2−a1)+(a1−a2+π)=(a2−a1)+πE-A=2(a_2-a_1)+(a_1-a_2+\pi)=(a_2-a_1)+\pi

であり

2π ι(γ)=(E−A)+θN=(a2−a1)+π+(a1−a2+π)=2π2\pi\,\iota(\gamma)=(E-A)+\theta_N=(a_2-a_1)+\pi+(a_1-a_2+\pi)=2\pi

である。したがってι(γ)=1\iota(\gamma)=1である。▨

注意 7.2 (巻き数のホモトピー不変性が現れる箇所).定理 7.1の証明が§E21 位相幾何入門から引いたのは、指数被覆による道とホモトピーの持ち上げ（§E21.5 定理 2.2 (1)、§E21.5 定理 2.2 (2)）である。この二つは、同単元で§E21.6 定理 1.5 (1)を証明するために用いる道具と同じものである。

証明の中で巻き数のホモトピー不変性に対応するのは、持ち上げΨ~\widetilde\PsiがΔ^\widehat\Deltaの上の一価の連続関数であるという事実である。二点を結ぶ経路はΔ^\widehat\Deltaの中で互いに端点を固定してホモトピックであり、値の差は経路に依らない。対角線に沿う増分と三つの弧に沿う増分の和が等しいという等式は、この経路独立性の言い換えである。§E21.6 命題 1.2で述べる「端点を固定してホモトピックな道の巻き数は等しい」という主張は、同じ持ち上げの一意性から従うものであり、本証明ではその特別な場合をΔ^\widehat\Deltaの上で用いている。

注意 7.3 (「回転数が一である」と述べてはならないこと).定理 7.1の主張は、外角を込めた回転指数についてのものである。滑らかな弧に沿う偏角の増分の総和だけを取り出して「単位接ベクトルの回転数は11である」と述べると偽になる。実際、次の例 8.1のとおり、三角形では滑らかな弧に沿う増分の総和が00であり、2π2\piのすべてを外角の総和が担う。滑らかな正則単純閉曲線に限れば外角がすべて00であるから、その場合に限り単位接ベクトルの回転数が11であるという言い方が正しくなる。

8 例

例 8.1.R2\R^2の三点A=(0,0)A=(0,0)、B=(1,0)B=(1,0)、C=(0,1)C=(0,1)を頂点とする三角形の境界を、閉三角板DDを左に見る向き、すなわちA→B→C→AA\to B\to C\to Aの順に一周する。各辺の上で単位接ベクトルは定ベクトル

TAB=(1,0),TBC=12(−1,1),TCA=(0,−1)T_{AB}=(1,0),\qquad T_{BC}=\frac{1}{\sqrt2}(-1,1),\qquad T_{CA}=(0,-1)

である。定ベクトルであるから、各弧に沿う偏角の増分は00であり、その総和も00である。

外角を定義 3.2に従って計算する。J(a,b)=(−b,a)J(a,b)=(-b,a)である。頂点BBではT−=TAB=(1,0)T^-=T_{AB}=(1,0)、T+=TBCT^+=T_{BC}であり

cos⁡θB=⟨(1,0), 12(−1,1)⟩=−12,sin⁡θB=⟨J(1,0), 12(−1,1)⟩=⟨(0,1), 12(−1,1)⟩=12\cos\theta_B=\langle(1,0),\ \tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)\rangle=-\frac{1}{\sqrt2},\qquad \sin\theta_B=\langle J(1,0),\ \tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)\rangle=\langle(0,1),\ \tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)\rangle=\frac{1}{\sqrt2}

であるからθB=3π/4\theta_B=3\pi/4である。頂点CCではT−=TBCT^-=T_{BC}、T+=TCA=(0,−1)T^+=T_{CA}=(0,-1)であり

cos⁡θC=⟨12(−1,1), (0,−1)⟩=−12,sin⁡θC=⟨12(−1,−1), (0,−1)⟩=12\cos\theta_C=\langle\tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1),\ (0,-1)\rangle=-\frac{1}{\sqrt2},\qquad \sin\theta_C=\langle\tfrac{1}{\sqrt2}(-1,-1),\ (0,-1)\rangle=\frac{1}{\sqrt2}

であるからθC=3π/4\theta_C=3\pi/4である。頂点AAではT−=TCA=(0,−1)T^-=T_{CA}=(0,-1)、T+=TAB=(1,0)T^+=T_{AB}=(1,0)であり

cos⁡θA=⟨(0,−1),(1,0)⟩=0,sin⁡θA=⟨J(0,−1), (1,0)⟩=⟨(1,0),(1,0)⟩=1\cos\theta_A=\langle(0,-1),(1,0)\rangle=0,\qquad \sin\theta_A=\langle J(0,-1),\ (1,0)\rangle=\langle(1,0),(1,0)\rangle=1

であるからθA=π/2\theta_A=\pi/2である。総和は

θA+θB+θC=π2+3π4+3π4=2π\theta_A+\theta_B+\theta_C=\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=2\pi

であり、定義 3.4によりι=12π(0+2π)=1\iota=\frac{1}{2\pi}(0+2\pi)=1である。定理 7.1と一致する。

外角と内角の関係も確かめることができる。三角形の内角はAAでπ/2\pi/2、BBでπ/4\pi/4、CCでπ/4\pi/4であり、いずれの頂点でも（内角）++（外角）=π=\piが成り立つ。内角の総和がπ\piであることと、外角の総和が2π2\piであることは、この関係によって同値である。

例 8.2.例 8.1の三角形について、定理 7.1の証明に現れる量を実際に計算する。弧長で径数づけ、γ2\gamma_2の最小値を与える点として頂点B=(1,0)B=(1,0)を出発点に取る。周長はL=2+2L=2+\sqrt2であり、分割点はs1=2s_1=\sqrt2（頂点CC）、s2=2+1s_2=\sqrt2+1（頂点AA）、s3=Ls_3=L（頂点BB）である。座標を平行移動してγ(0)=0\gamma(0)=0とすると、三角形はγ2≥0\gamma_2\ge0の側にある。

支持点の補題の値。u1=γ′(0+)=TBC=12(−1,1)u_1=\gamma'(0^{+})=T_{BC}=\frac{1}{\sqrt2}(-1,1)、u2=−γ′(0−)=−TAB=(−1,0)u_2=-\gamma'(0^{-})=-T_{AB}=(-1,0)であるからa1=3π/4a_1=3\pi/4、a2=πa_2=\piである。a1,a2∈[0,π]a_1,a_2\in[0,\pi]かつa1<a2a_1<a_2であり、補題 4.1 (3)の値は

θ3=a1−a2+π=3π4\theta_3=a_1-a_2+\pi=\frac{3\pi}{4}

であって、例 8.1が頂点BBについて求めた外角と一致する。

膨らませた線分の上の値。内部の角s1s_1（頂点CC）ではT1−=TBCT^{-}_1=T_{BC}、T1+=TCA=(0,−1)T^{+}_1=T_{CA}=(0,-1)である。λ\lambdaの三つの値に対するZ1(λ)Z_1(\lambda)は

Z1(0)=12(−1,1)  (偏角 3π4),Z1(12)=14−22(−1, 1−2)  (偏角 9π8),Z1(1)=(0,−1)  (偏角 3π2)Z_1(0)=\frac{1}{\sqrt2}(-1,1)\ \ (\text{偏角}\ \tfrac{3\pi}{4}),\qquad Z_1\Bigl(\frac12\Bigr)=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt2}}\bigl(-1,\ 1-\sqrt2\bigr)\ \ (\text{偏角}\ \tfrac{9\pi}{8}),\qquad Z_1(1)=(0,-1)\ \ (\text{偏角}\ \tfrac{3\pi}{2})

であり、三つとも相異なる。この三つは、点(s1,s1)(s_1,s_1)への三通りの近づき方

(s,t)=(s1−ε, s1+ε2),(s,t)=(s1−ε, s1+ε),(s,t)=(s1−ε2, s1+ε)(s,t)=(s_1-\varepsilon,\ s_1+\varepsilon^2),\qquad (s,t)=(s_1-\varepsilon,\ s_1+\varepsilon),\qquad (s,t)=(s_1-\varepsilon^2,\ s_1+\varepsilon)

に沿う割線の方向の極限である。実際、λ=(t−s1)/(t−s)\lambda=(t-s_1)/(t-s)はそれぞれ00、1/21/2、11へ収束する。膨らませる前の三角形Δ\Deltaの上では、Ψ\Psiの(s1,s1)(s_1,s_1)における極限が近づき方に依存するので、Ψ(s1,s1)\Psi(s_1,s_1)をどう定めても不連続である。膨らませた線分は、この三つの極限を線分の相異なる三点へ割り当てる。線分に沿う増分は補題 3.3 (2)により3π2−3π4=3π4\frac{3\pi}{2}-\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}であり、CCにおける外角θ1\theta_1に一致する。同様にs2s_2（頂点AA）における増分はθ2=π/2\theta_2=\pi/2である。

三つの増分。各辺の上で単位接ベクトルは定ベクトルであるから、弧に沿う増分はすべて00である。したがって

E−A=0+(θ1+θ2)=3π4+π2=5π4E-A=0+(\theta_1+\theta_2)=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{4}

である。境界の三つの弧に沿う値でも同じ量が得られる。B0−A=a2−a1=π/4B_0-A=a_2-a_1=\pi/4、C−B0=θ3=3π/4C-B_0=\theta_3=3\pi/4、E−C=a2−a1=π/4E-C=a_2-a_1=\pi/4であり、総和はπ/4+3π/4+π/4=5π/4\pi/4+3\pi/4+\pi/4=5\pi/4である。よって

2π ι(γ)=(E−A)+θ3=5π4+3π4=2π2\pi\,\iota(\gamma)=(E-A)+\theta_3=\frac{5\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=2\pi

であり、+2π+2\piが得られる。向きを反転すると補題 4.1 (2)がa2<a1a_2<a_1となる形へ変わり、同じ計算から−2π-2\piが得られる。符号を分けているのは、境界を領域の左に見る向きに取ったという仮定である。

例 8.3. 半径r>0r>0の円をγ(t)=(rcos⁡t, rsin⁡t)\gamma(t)=(r\cos t,\ r\sin t)（0≤t≤2π0\le t\le2\pi）と径数づける。角は無く、単位接ベクトルはT(t)=(−sin⁡t,cos⁡t)T(t)=(-\sin t,\cos t)である。偏角の連続な選択はφ(t)=t+π/2\varphi(t)=t+\pi/2であり、増分は2π2\pi、外角の総和は00であるからι(γ)=1\iota(\gamma)=1である。この向きでは、閉円板が進行方向の左側にある。実際JT(t)=(−cos⁡t,−sin⁡t)JT(t)=(-\cos t,-\sin t)は原点を向く。

向きを反転してγ~(t)=γ(−t)\widetilde\gamma(t)=\gamma(-t)と取るとT~(t)=(−sin⁡t,−cos⁡t)\widetilde T(t)=(-\sin t,-\cos t)であり、偏角の連続な選択は−t−π/2-t-\pi/2、増分は−2π-2\piであるからι(γ~)=−1\iota(\widetilde\gamma)=-1である。この場合、閉円板は進行方向の右側にある。定理 7.1が向きの指定を含むことは省くことができない。

単位速度に取り直すとκs≡1/r\kappa_s\equiv1/rであり、補題 2.2により

∫02πrκs ds=1r⋅2πr=2π\int_0^{2\pi r}\kappa_s\,ds=\frac{1}{r}\cdot2\pi r=2\pi

である。反転した向きでは命題 1.2 (2)によりκs≡−1/r\kappa_s\equiv-1/rとなり、積分は−2π-2\piである。

例 8.4.γ(t)=(sin⁡2t, sin⁡t)\gamma(t)=(\sin2t,\ \sin t)（0≤t≤2π0\le t\le2\pi）はγ(0)=γ(π)=γ(2π)=(0,0)\gamma(0)=\gamma(\pi)=\gamma(2\pi)=(0,0)を満たすので単純でない。γ′(t)=(2cos⁡2t, cos⁡t)\gamma'(t)=(2\cos2t,\ \cos t)であり、cos⁡t=0\cos t=0のときcos⁡2t=−1\cos2t=-1であるからγ′(t)≠0\gamma'(t)\ne0が全域で成り立ち、γ\gammaは滑らかな正則閉曲線である。偏角の増分を計算するとι(γ)=0\iota(\gamma)=0である。実際、T(t)T(t)とT(t+π)T(t+\pi)は

γ′(t+π)=(2cos⁡(2t+2π), cos⁡(t+π))=(2cos⁡2t, −cos⁡t)\gamma'(t+\pi)=(2\cos(2t+2\pi),\ \cos(t+\pi))=(2\cos2t,\ -\cos t)

の正規化であるから、TTの第一成分は周期π\pi、第二成分はt↦t+πt\mapsto t+\piで符号を変える。φ(π)−φ(0)\varphi(\pi)-\varphi(0)とφ(2π)−φ(π)\varphi(2\pi)-\varphi(\pi)は、この対称性により符号が反対で絶対値が等しく、総和は00である。回転定理で単純性が仮定されていることは省くことができない。

9 第一基本形式で測った角への置き換え

定理 7.1は、パラメータ平面の Euclid 内積で測った偏角についての主張である。次の記事で必要となるのは、曲面の第一基本形式で測った角についての同じ主張である。二つの内積で測った角は同じ量ではない。偏角の増分も外角の値も、角をどの内積で測るかによって変わる。それでも二つの内積で測った回転指数が等しいことを、次の命題で示す。

定義 9.1.U⊆R2U\subseteq\R^2を開集合とし、ggをUUの上のC∞C^\inftyな正定値対称二次形式の族、すなわち各q∈Uq\in Uに対してR2\R^2の正定値対称双線形形式gqg_qを対応させ、成分がqqについてC∞C^\inftyであるものとする。γ ⁣:[a,b]→U\gamma\colon[a,b]\to Uを尖点を持たない区分的に滑らかな正則閉曲線とする。

各点q∈Uq\in Uでgqg_qに関する Gram–Schmidt 直交化を標準基底(ε1,ε2)(\varepsilon_1,\varepsilon_2)へ施して

f1(q)=ε1gq(ε1,ε1),f2(q)=ε2−gq(ε2,f1(q)) f1(q)∥ε2−gq(ε2,f1(q)) f1(q)∥gqf_1(q)=\frac{\varepsilon_1}{\sqrt{g_q(\varepsilon_1,\varepsilon_1)}},\qquad f_2(q)=\frac{\varepsilon_2-g_q(\varepsilon_2,f_1(q))\,f_1(q)}{\bigl\lVert\varepsilon_2-g_q(\varepsilon_2,f_1(q))\,f_1(q)\bigr\rVert_{g_q}}

と置くと、(f1(q),f2(q))(f_1(q),f_2(q))はgqg_qに関する正規直交基底であり、qqについてC∞C^\inftyに依存する。零でないベクトルwwのggに関する偏角 (angle with respect to a metric) とは、

w∥w∥gq=cos⁡α f1(q)+sin⁡α f2(q)\frac{w}{\lVert w\rVert_{g_q}}=\cos\alpha\,f_1(q)+\sin\alpha\,f_2(q)

を満たすα\alphaのことである。この対応によって補題 2.1、定義 3.2、定義 3.4をそのままggについて読み替えることができる。得られる回転指数をιg(γ)\iota_g(\gamma)と書く。標準内積δ\deltaについてはf1=ε1f_1=\varepsilon_1、f2=ε2f_2=\varepsilon_2でありιδ(γ)=ι(γ)\iota_\delta(\gamma)=\iota(\gamma)である。

命題 9.2.U⊆R2U\subseteq\R^2を開集合、ggをUUの上のC∞C^\inftyな正定値対称二次形式の族、γ ⁣:[a,b]→U\gamma\colon[a,b]\to Uを尖点を持たない区分的に滑らかな正則閉曲線とする。さらに、γ\gammaがggに関しても尖点を持たない、すなわちすべての角でggに関する外角が(−π,π)(-\pi,\pi)の中に定まると仮定する。このとき

ιg(γ)=ι(γ)\iota_g(\gamma)=\iota(\gamma)

が成り立つ。とくにγ\gammaが定理 7.1の仮定を満たすならばιg(γ)=1\iota_g(\gamma)=1である。

証明.t∈[0,1]t\in[0,1]に対して

gt=(1−t) g+t δg_t=(1-t)\,g+t\,\delta

と置く。ここでδ\deltaは標準内積である。各q∈Uq\in Uと各零でないw∈R2w\in\R^2に対して

(gt)q(w,w)=(1−t) gq(w,w)+t δ(w,w)>0(g_t)_q(w,w)=(1-t)\,g_q(w,w)+t\,\delta(w,w)>0

であるから、(gt)q(g_t)_qは正定値対称双線形形式である。成分はttとqqについてC∞C^\inftyであり、g0=gg_0=g、g1=δg_1=\deltaである。

各ttに対して、定義 9.1の Gram–Schmidt 直交化をgtg_tへ施して標構(f1t,f2t)(f_1^t,f_2^t)を作る。Gram–Schmidt の式はgtg_tの成分の四則演算と平方根だけからなり、分母は正定値性により正であるから、fit(q)f_i^t(q)は(t,q)(t,q)について連続である。

F(t)=ιgt(γ)F(t)=\iota_{g_t}(\gamma)と置く。FFが[0,1][0,1]の上で連続であることを示す。回転指数は、弧に沿う偏角の増分の総和と外角の総和の和を2π2\piで割ったものである。

弧に沿う増分については次のように見る。各弧[tj−1,tj][t_{j-1},t_j]の上で、単位接ベクトルのgtg_tに関する正規化

wt(u)=γ′(u)∥γ′(u)∥(gt)γ(u)w_t(u)=\frac{\gamma'(u)}{\lVert\gamma'(u)\rVert_{(g_t)_{\gamma(u)}}}

を標構(f1t,f2t)(f_1^t,f_2^t)で表した単位ベクトル

W(t,u)=( (gt)γ(u)(wt(u),f1t(γ(u))),  (gt)γ(u)(wt(u),f2t(γ(u))) )∈S1W(t,u)=\Bigl(\ (g_t)_{\gamma(u)}\bigl(w_t(u),f_1^t(\gamma(u))\bigr),\ \ (g_t)_{\gamma(u)}\bigl(w_t(u),f_2^t(\gamma(u))\bigr)\ \Bigr)\in S^1

は(t,u)(t,u)について連続である。WWを[0,1]×[tj−1,tj][0,1]\times[t_{j-1},t_j]の上の連続写像とみなし、§E21 位相幾何入門の§E21.5 定理 2.2 (2)によってR\Rへ持ち上げると、増分

Δj(t)=W~(t,tj)−W~(t,tj−1)\Delta_j(t)=\widetilde W(t,t_j)-\widetilde W(t,t_{j-1})

はttについて連続である。

外角については次のように見る。tjt_jにおけるgtg_tに関する外角θj(t)\theta_j(t)は

cos⁡θj(t)=(gt)(Tj−^,Tj+^),sin⁡θj(t)=(gt)(JtTj−^,Tj+^)\cos\theta_j(t)=(g_t)\bigl(\widehat{T^-_j},\widehat{T^+_j}\bigr),\qquad \sin\theta_j(t)=(g_t)\bigl(\widehat{J_t T^-_j},\widehat{T^+_j}\bigr)

で定まる。ここで ^\widehat{\ }はgtg_tに関する正規化を表し、JtJ_tは標構(f1t,f2t)(f_1^t,f_2^t)に関する正の向きの直角回転である。右辺はttについて連続であり、仮定と正定値性によりcos⁡θj(t)≠−1\cos\theta_j(t)\ne-1がt=0t=0とt=1t=1で成り立つ。cos⁡θj(t)=−1\cos\theta_j(t)=-1となるttが存在する可能性を排除するため、gtg_tに関する角について次を確かめる。cos⁡θj(t)=−1\cos\theta_j(t)=-1はTj+^=−Tj−^\widehat{T^+_j}=-\widehat{T^-_j}、すなわちTj+T^+_jとTj−T^-_jが反対向きの平行ベクトルであることと同値である。この条件はttに依らない。仮定によりt=0t=0でもt=1t=1でも成り立たないから、すべてのttで成り立たない。したがってθj(t)∈(−π,π)\theta_j(t)\in(-\pi,\pi)が各ttで一意に定まり、cos⁡θj\cos\theta_jとsin⁡θj\sin\theta_jが連続であることからθj\theta_jはttについて連続である。

以上により

F(t)=12π(∑jΔj(t)+∑jθj(t))F(t)=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{j}\Delta_j(t)+\sum_j\theta_j(t)\right)

は[0,1][0,1]の上で連続である。命題 3.5 (1)の証明は、内積をgtg_tへ取り替えてもそのまま通用する。証明が用いたのは、各弧の端における偏角の値が片側単位接ベクトルの偏角であることと、外角の指数関数が片側単位接ベクトルの比であることだけであり、いずれもgtg_tに関する正規直交標構の中で同じ形を取るからである。したがってFFは整数値を取る。整数値を取る連続関数は連結な定義域の上で定数であるからF(0)=F(1)F(0)=F(1)、すなわちιg(γ)=ιδ(γ)=ι(γ)\iota_g(\gamma)=\iota_\delta(\gamma)=\iota(\gamma)である。▨

注意 9.3 (尖点を持たないという仮定が二つ要ること).命題 9.2では、γ\gammaが Euclid 内積についてもggについても尖点を持たないことを仮定する。証明で見たとおり、Tj+=−λTj−T^+_j=-\lambda T^-_j（λ>0\lambda>0）という条件は内積の取り方に依らないので、この二つの仮定は実は同値である。すなわち、片側接ベクトルが反対向きの平行ベクトルであるかどうかは計量に依らない。一方、外角の値は計量に依存する。ggに関する外角は、一般に Euclid 内積に関する外角と異なる実数である。命題で主張されるのは、増分の総和と外角の総和を合わせた量が変わらないということである。

10 境界

Jordan の曲線定理を用いていないこと。定理 7.1の証明では、曲線の像が平面を二つに分けることを結論として使わない。領域DDの存在と、境界の局所的な片側性は、§E4 実解析 IIの§E4.22 定義 1.2の定義に仮定として含まれている。本単元では Jordan の曲線定理と Schoenflies の定理を扱わない。証明で用いたのは、DDが進行方向の左側にあるという向きの規約と、第二座標の最小点における局所的な位置関係だけである。

尖点を扱わないこと。定義 3.2ではTj−≠−Tj+T^-_j\ne-T^+_jを仮定する。片側接ベクトルが反対向きになる点、すなわち尖点では外角が±π\pm\piの二通りのいずれとも決まらないため、回転指数が定まらない。本単元で領域の境界の外角について置く規約も、この場合を除いている。尖点を持つ曲線に対して回転指数を定めるには、曲線を尖点の近傍で滑らかに近似したうえで極限を取る別の議論が要る。

回転指数が11でない場合を扱わないこと。例 8.4のとおり、単純でない閉曲線の回転指数は11とは限らない。回転指数が閉曲線の正則ホモトピー類の完全不変量であるという Whitney–Graustein の定理は本単元の範囲外である。本記事で示したのは、単純である場合に値が11になることだけである。

曲線の大域的な性質を扱わないこと。本記事の符号つき曲率は、平面曲線の局所的な量として導入し、回転指数の積分表示を与えるためだけに用いる。

11 演習

問題 11.1.

  1. 正方形D=[0,1]2D=[0,1]^2の境界を、DDを左に見る向き(0,0)→(1,0)→(1,1)→(0,1)→(0,0)(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0)に弧長で径数づけた曲線γ ⁣:[0,4]→R2\gamma\colon[0,4]\to\R^2を考える。外角と回転指数を求めよ。次に、頂点(1,0)=γ(1)(1,0)=\gamma(1)について、s<ts<tを保って(s,t)→(1,1)(s,t)\to(1,1)とするときの割線の方向(γ(t)−γ(s))/∥γ(t)−γ(s)∥\bigl(\gamma(t)-\gamma(s)\bigr)/\lVert\gamma(t)-\gamma(s)\rVertの極限となりうる単位ベクトルの全体が、偏角が[0,π/2][0,\pi/2]に属する単位円の弧に等しいことを示せ。
  2. 単位円γ(t)=(cos⁡t, sin⁡t)\gamma(t)=(\cos t,\ \sin t)（0≤t≤2π0\le t\le2\pi）について、0≤s<t≤2π0\le s<t\le2\pi、(s,t)≠(0,2π)(s,t)\ne(0,2\pi)における割線の方向がΨ(s,t)=(−sin⁡s+t2, cos⁡s+t2)\Psi(s,t)=\bigl(-\sin\frac{s+t}{2},\ \cos\frac{s+t}{2}\bigr)であることを示せ。Ψ\Psiが三角形{0≤s≤t≤2π}\{0\le s\le t\le2\pi\}の上の連続写像へ延長され、対角線の上でγ′\gamma'、点(0,2π)(0,2\pi)で−γ′(0)-\gamma'(0)に等しいことを示せ。さらに、対角線に沿う偏角の増分と、辺s=0s=0と辺t=2πt=2\piに沿う増分の和がともに2π2\piであることを確かめよ。
  3. γ ⁣:[a,b]→R2\gamma\colon[a,b]\to\R^2を尖点を持たない区分的に滑らかな正則閉曲線とし、h ⁣:[c,d]→[a,b]h\colon[c,d]\to[a,b]を狭義単調減少な区分的に滑らかな全単射であってh′<0h'<0を満たすものとする。γ∘h\gamma\circ hも尖点を持たない区分的に滑らかな正則閉曲線であり、ι(γ∘h)=−ι(γ)\iota(\gamma\circ h)=-\iota(\gamma)であることを示せ。
  4. 定理 7.1のDDと、DDを左に見る向きのγ\gammaを考える。γ\gammaの第二成分γ2\gamma_2が、ある滑らかな弧の内部の点s0s_0で[a,b][a,b]における最小値を取るとき、γ′(s0)=(λ,0)\gamma'(s_0)=(\lambda,0)を満たすλ>0\lambda>0が存在することを示せ。向きを反転した曲線ではλ<0\lambda<0となることを、例 8.3の円で確かめよ。
  5. 例 8.1の計算を、三角形の向きを反転した場合について実行し、三つの外角の値と回転指数を求めよ。この向きが定理 7.1の向きの仮定を満たさないことを、辺の内部の点でγ+δJγ′\gamma+\delta J\gamma'がDDに属するかどうかを調べて示し、結果を(3)と照合せよ。
  6. 命題 3.5 (1)の証明では、単位複素数の積が電話帳式に相殺することを用いた。この相殺が成り立つために、外角の定義においてeiθj=Tj+Tj−‾e^{i\theta_j}=T^+_j\overline{T^-_j}が必要であった。定義 3.2の二つの等式からこの式を導け。
  7. g=diag(1,4)g=\mathrm{diag}(1,4)とし、t∈[0,1]t\in[0,1]に対してgt=(1−t)g+tδg_t=(1-t)g+t\deltaと置く。各gtg_tが正定値であることを確かめ、gtg_tに関する Gram–Schmidt 直交化の標構(f1t,f2t)(f_1^t,f_2^t)を求めよ。例 8.1の三角形について、gtg_tに関する三つの外角をttの関数として求め、それらがttについて連続であって、総和がすべてのttで2π2\piであることを示せ。
  8. 命題 9.2の結論を用いずに、第一基本形式で測った外角と Euclid 内積で測った外角が一般に異なることを、具体的な二次形式g=diag(1,4)g=\mathrm{diag}(1,4)と例 8.1の三角形について確かめよ。三つの外角の値が変わり、総和が2π2\piのままであることを計算せよ。
  9. 例 8.4の曲線について、回転指数が00であることを、偏角の増分を実際に積分して確かめよ。同じ像を持つ単純閉曲線が存在しないことを、曲線が自己交叉することから述べよ。
  10. 命題 1.2 (3)により、鏡映で符号つき曲率の符号が変わる。この事実と補題 2.2を用いて、鏡映によって回転指数の符号が変わることを、滑らかな正則単純閉曲線の場合に示せ。
解答.

(1)を示す。各辺の単位接ベクトルは(1,0)(1,0)、(0,1)(0,1)、(−1,0)(-1,0)、(0,−1)(0,-1)であり、各弧に沿う偏角の増分は00である。各頂点でT+=JT−T^+=JT^-であるからcos⁡θ=⟨T−,JT−⟩=0\cos\theta=\langle T^-,JT^-\rangle=0、sin⁡θ=⟨JT−,JT−⟩=1\sin\theta=\langle JT^-,JT^-\rangle=1であり、四つの外角はすべてπ/2\pi/2である。定義 3.4によりι(γ)=12π⋅4⋅π2=1\iota(\gamma)=\frac{1}{2\pi}\cdot4\cdot\frac{\pi}{2}=1であり、定理 7.1と一致する。

ssとttが11の近くにあるとする。s<t≤1s<t\le1ならばγ(s)=(s,0)\gamma(s)=(s,0)、γ(t)=(t,0)\gamma(t)=(t,0)であるから割線の方向は(1,0)(1,0)であり、1≤s<t1\le s<tならばγ(s)=(1,s−1)\gamma(s)=(1,s-1)、γ(t)=(1,t−1)\gamma(t)=(1,t-1)であるから(0,1)(0,1)である。s<1<ts<1<tならば

γ(t)−γ(s)=(1−s, t−1)=(t−s)((1−λ), λ),λ=t−1t−s∈(0,1)\gamma(t)-\gamma(s)=(1-s,\ t-1)=(t-s)\bigl((1-\lambda),\ \lambda\bigr),\qquad\lambda=\frac{t-1}{t-s}\in(0,1)

であるから、割線の方向はZ(λ)=(1−λ,λ)/(1−λ)2+λ2Z(\lambda)=\bigl(1-\lambda,\lambda\bigr)/\sqrt{(1-\lambda)^2+\lambda^2}である。λ↦Z(λ)\lambda\mapsto Z(\lambda)は[0,1][0,1]から偏角が[0,π/2][0,\pi/2]に属する弧AAへの連続な全単射であり、Z(0)=(1,0)Z(0)=(1,0)、Z(1)=(0,1)Z(1)=(0,1)である。したがってすべての割線の方向はAAに属し、AAは閉集合であるから極限もAAに属する。逆にλ0∈[0,1)\lambda_0\in[0,1)に対してs=1−εs=1-\varepsilon、t=1+ελ0/(1−λ0)t=1+\varepsilon\lambda_0/(1-\lambda_0)と取るとλ=λ0\lambda=\lambda_0であり、ε→0+\varepsilon\to0^{+}のとき(s,t)→(1,1)(s,t)\to(1,1)で割線の方向はZ(λ0)Z(\lambda_0)に等しい。λ0=1\lambda_0=1に対してはs=1s=1、t=1+εt=1+\varepsilonと取ればよい。よって極限の全体はAAに等しい。この弧の角の長さπ/2\pi/2は、頂点(1,0)(1,0)における外角に等しい。

(2)を示す。差積の公式により

γ(t)−γ(s)=(cos⁡t−cos⁡s, sin⁡t−sin⁡s)=2sin⁡t−s2(−sin⁡s+t2, cos⁡s+t2)\gamma(t)-\gamma(s)=\bigl(\cos t-\cos s,\ \sin t-\sin s\bigr)=2\sin\frac{t-s}{2}\Bigl(-\sin\frac{s+t}{2},\ \cos\frac{s+t}{2}\Bigr)

である。0<t−s<2π0<t-s<2\piではsin⁡t−s2>0\sin\frac{t-s}{2}>0であるから、割線の方向は主張のΨ(s,t)\Psi(s,t)である。右辺の式はR2\R^2全体で連続であるから、同じ式で三角形の全体へ延長することができる。対角線ではΨ(s,s)=(−sin⁡s,cos⁡s)=γ′(s)\Psi(s,s)=(-\sin s,\cos s)=\gamma'(s)であり、(0,2π)(0,2\pi)ではΨ=(−sin⁡π,cos⁡π)=(0,−1)=−γ′(0)\Psi=(-\sin\pi,\cos\pi)=(0,-1)=-\gamma'(0)である。

Ψ(s,t)\Psi(s,t)の偏角の連続な選択としてs+t2+π2\frac{s+t}{2}+\frac{\pi}{2}を取ることができる。対角線(s,s)(s,s)（0≤s≤2π0\le s\le2\pi）に沿う増分は(2π+π2)−π2=2π\bigl(2\pi+\frac\pi2\bigr)-\frac\pi2=2\piである。辺s=0s=0を(0,0)(0,0)から(0,2π)(0,2\pi)まで進むと増分は(π+π2)−π2=π\bigl(\pi+\frac\pi2\bigr)-\frac\pi2=\piであり、辺t=2πt=2\piを(0,2π)(0,2\pi)から(2π,2π)(2\pi,2\pi)まで進むと増分は(2π+π2)−(π+π2)=π\bigl(2\pi+\frac\pi2\bigr)-\bigl(\pi+\frac\pi2\bigr)=\piである。和は2π2\piであり、対角線に沿う増分と一致する。対角線に沿う増分は2π ι(γ)2\pi\,\iota(\gamma)であるから、ι(γ)=1\iota(\gamma)=1であって、例 8.3と一致する。

(3)を示す。γ~=γ∘h\tilde\gamma=\gamma\circ hと置く。γ\gammaの分割をa=t0<⋯<tN=ba=t_0<\cdots<t_N=bとする。γ~\tilde\gammaの分割として、点h−1(tj)h^{-1}(t_j)と、hhが滑らかでない点とを合わせたものを取る。各小区間の上でhhはC∞C^\inftyであり、hhは狭義単調減少であるから、各小区間はγ\gammaのある弧の部分区間へ写り、γ\gammaの第jj弧へ写る小区間をすべて合わせると[h−1(tj),h−1(tj−1)][h^{-1}(t_j),h^{-1}(t_{j-1})]になる。γ~′=h′⋅(γ′∘h)\tilde\gamma'=h'\cdot(\gamma'\circ h)とh′<0h'<0からγ~′≠0\tilde\gamma'\ne0であり、単位接ベクトルはT~=−T∘h\tilde T=-T\circ hである。

弧に沿う増分を比べる。φj\varphi_jを第jj弧のTTの偏角の連続な選択とすると、φj∘h+π\varphi_j\circ h+\piは第jj弧へ写る各小区間の上でT~\tilde Tの偏角の連続な選択である。それらの小区間に沿う増分を加えると、和は端点の値の差に縮み

φj(h(h−1(tj−1)))−φj(h(h−1(tj)))=φj(tj−1)−φj(tj)\varphi_j\bigl(h(h^{-1}(t_{j-1}))\bigr)-\varphi_j\bigl(h(h^{-1}(t_j))\bigr)=\varphi_j(t_{j-1})-\varphi_j(t_j)

であって、γ\gammaの第jj弧に沿う増分の符号を変えたものである。

外角を比べる。γ\gammaの分割点tjt_jに対応するγ~\tilde\gammaの分割点では、入る側の単位接ベクトルはT~−=−Tj+\tilde T^-=-T^+_j、出る側はT~+=−Tj−\tilde T^+=-T^-_jである。T~−≠−T~+\tilde T^-\ne-\tilde T^+はTj+≠−Tj−T^+_j\ne-T^-_jと同値であるから、γ~\tilde\gammaも尖点を持たない。det⁡(v,w)\det(v,w)の交代性と⟨v,Jw⟩=−det⁡(v,w)\langle v,Jw\rangle=-\det(v,w)から⟨Jx,y⟩=−⟨x,Jy⟩\langle Jx,y\rangle=-\langle x,Jy\rangleであるので

cos⁡θ~=⟨−Tj+,−Tj−⟩=cos⁡θj,sin⁡θ~=⟨J(−Tj+),−Tj−⟩=⟨JTj+,Tj−⟩=−⟨Tj+,JTj−⟩=−sin⁡θj\cos\tilde\theta=\langle-T^+_j,-T^-_j\rangle=\cos\theta_j,\qquad \sin\tilde\theta=\langle J(-T^+_j),-T^-_j\rangle=\langle JT^+_j,T^-_j\rangle=-\langle T^+_j,JT^-_j\rangle=-\sin\theta_j

であり、θ~∈(−π,π)\tilde\theta\in(-\pi,\pi)であるからθ~=−θj\tilde\theta=-\theta_jである。hhが滑らかでない点のうちh−1(tj)h^{-1}(t_j)でないものでは、両側の単位接ベクトルがともに−T∘h-T\circ hの値に等しいので、外角は00である。

以上をすべての弧とすべての分割点について加えると、定義 3.4の括弧の中の和は符号を変える。よってι(γ~)=−ι(γ)\iota(\tilde\gamma)=-\iota(\gamma)である。

(4)を示す。γ2\gamma_2はs0s_0の近くで微分可能であってs0s_0で最小値を取るから、γ2′(s0)=0\gamma_2'(s_0)=0であり、γ′(s0)=(λ,0)\gamma'(s_0)=(\lambda,0)（λ≠0\lambda\ne0）と書くことができる。Jγ′(s0)=(0,λ)J\gamma'(s_0)=(0,\lambda)である。

DDの上で第二座標がγ2(s0)\gamma_2(s_0)以上であることを示す。DDはコンパクトであるから、連続関数q↦q2q\mapsto q_2はDDの上で最小値を取る。最小値を与える点q∗q^\astが内部Ω\Omegaに属すると、十分小さいε>0\varepsilon>0でq∗−ε(0,1)∈Ωq^\ast-\varepsilon(0,1)\in\Omegaとなり最小性に反するから、q∗∈∂D=γ([a,b])q^\ast\in\partial D=\gamma([a,b])である。よってDDの上の最小値はγ2\gamma_2の最小値γ2(s0)\gamma_2(s_0)に等しい。

向きの条件により、十分小さいδ>0\delta>0でγ(s0)+δJγ′(s0)=γ(s0)+δ(0,λ)∈Ω⊆D\gamma(s_0)+\delta J\gamma'(s_0)=\gamma(s_0)+\delta(0,\lambda)\in\Omega\subseteq Dである。その第二座標γ2(s0)+δλ\gamma_2(s_0)+\delta\lambdaはγ2(s0)\gamma_2(s_0)以上であるからλ≥0\lambda\ge0であり、λ≠0\lambda\ne0と合わせてλ>0\lambda>0である。

円γ(t)=(rcos⁡t,rsin⁡t)\gamma(t)=(r\cos t,r\sin t)ではγ2\gamma_2はt=3π/2t=3\pi/2で最小であり、γ′(3π/2)=(r,0)\gamma'(3\pi/2)=(r,0)であるからλ=r>0\lambda=r>0である。向きを反転したγ~(t)=γ(−t)\tilde\gamma(t)=\gamma(-t)では最小点はt=π/2t=\pi/2であり、γ~′(π/2)=−γ′(−π/2)=−(r,0)\tilde\gamma'(\pi/2)=-\gamma'(-\pi/2)=-(r,0)であるからλ=−r<0\lambda=-r<0である。例 8.3のとおり、反転した円では閉円板が進行方向の右側にある。

(5)を示す。向きを反転してA→C→B→AA\to C\to B\to Aの順に一周する。各辺の単位接ベクトルは定ベクトル

TAC=(0,1),TCB=12(1,−1),TBA=(−1,0)T_{AC}=(0,1),\qquad T_{CB}=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1),\qquad T_{BA}=(-1,0)

であり、各弧に沿う増分は00である。頂点CCではT−=TACT^-=T_{AC}、T+=TCBT^+=T_{CB}であり、cos⁡θC=−12\cos\theta_C=-\tfrac{1}{\sqrt2}、sin⁡θC=⟨(−1,0),12(1,−1)⟩=−12\sin\theta_C=\langle(-1,0),\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)\rangle=-\tfrac{1}{\sqrt2}であるからθC=−3π/4\theta_C=-3\pi/4である。頂点BBではT−=TCBT^-=T_{CB}、T+=TBAT^+=T_{BA}であり、cos⁡θB=−12\cos\theta_B=-\tfrac{1}{\sqrt2}、sin⁡θB=⟨12(1,1),(−1,0)⟩=−12\sin\theta_B=\langle\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1),(-1,0)\rangle=-\tfrac{1}{\sqrt2}であるからθB=−3π/4\theta_B=-3\pi/4である。頂点AAではT−=TBAT^-=T_{BA}、T+=TACT^+=T_{AC}であり、cos⁡θA=0\cos\theta_A=0、sin⁡θA=⟨(0,−1),(0,1)⟩=−1\sin\theta_A=\langle(0,-1),(0,1)\rangle=-1であるからθA=−π/2\theta_A=-\pi/2である。総和は−2π-2\piであり、ι=12π(0−2π)=−1\iota=\frac{1}{2\pi}(0-2\pi)=-1である。

辺ACACの内部の点(0,y)(0,y)（0<y<10<y<1）ではTAC=(0,1)T_{AC}=(0,1)、JTAC=(−1,0)JT_{AC}=(-1,0)であり、δ>0\delta>0について(0,y)+δ(−1,0)=(−δ,y)(0,y)+\delta(-1,0)=(-\delta,y)は第一座標が負であるから、D⊆{x≥0}D\subseteq\{x\ge0\}に属さない。したがってこの向きは定理 7.1の向きの条件を満たさず、ι=−1\iota=-1は同定理と矛盾しない。反転した曲線は、もとの曲線を狭義単調減少な径数の取り替えhhで表したものであるから、(3)により回転指数は−ι=−1-\iota=-1であり、上の計算と一致する。

(6)を示す。R2\R^2を複素平面と同一視すると、J(a,b)=(−b,a)J(a,b)=(-b,a)はii倍にあたる。複素数z,wz,wについて標準内積は⟨z,w⟩=ℜ(zˉ w)\langle z,w\rangle=\Re(\bar z\,w)である。したがって

cos⁡θj=⟨Tj−,Tj+⟩=ℜ(Tj−‾ Tj+),sin⁡θj=⟨iTj−,Tj+⟩=ℜ(−i Tj−‾ Tj+)=ℑ(Tj−‾ Tj+)\cos\theta_j=\langle T^-_j,T^+_j\rangle=\Re\bigl(\overline{T^-_j}\,T^+_j\bigr),\qquad \sin\theta_j=\langle iT^-_j,T^+_j\rangle=\Re\bigl(-i\,\overline{T^-_j}\,T^+_j\bigr)=\Im\bigl(\overline{T^-_j}\,T^+_j\bigr)

である。ここで複素数zzについてℜ(−iz)=ℑ(z)\Re(-iz)=\Im(z)を用いた。よって

eiθj=cos⁡θj+isin⁡θj=Tj−‾ Tj+=Tj+ Tj−‾e^{i\theta_j}=\cos\theta_j+i\sin\theta_j=\overline{T^-_j}\,T^+_j=T^+_j\,\overline{T^-_j}

である。

(7)を示す。gt=diag(1, 4−3t)g_t=\mathrm{diag}(1,\ 4-3t)であり、kt=4−3t∈[1,2]k_t=\sqrt{4-3t}\in[1,2]と置くとgt=diag(1,kt2)g_t=\mathrm{diag}(1,k_t^2)は対角成分が正であるから正定値である。gt(ε1,ε1)=1g_t(\varepsilon_1,\varepsilon_1)=1、gt(ε2,ε1)=0g_t(\varepsilon_2,\varepsilon_1)=0であるからf1t=ε1f_1^t=\varepsilon_1、f2t=ε2/ktf_2^t=\varepsilon_2/k_tである。零でないw=(w1,w2)w=(w_1,w_2)はw=w1f1t+ktw2f2tw=w_1f_1^t+k_tw_2f_2^tと書かれるので、gtg_tに関する偏角は(w1, ktw2)(w_1,\ k_tw_2)の Euclid 偏角に等しい。

三角形A→B→C→AA\to B\to C\to Aの単位接ベクトルTAB=(1,0)T_{AB}=(1,0)、TBC=12(−1,1)T_{BC}=\tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)、TCA=(0,−1)T_{CA}=(0,-1)は、この対応でそれぞれ(1,0)(1,0)、(−1,kt)/1+kt2(-1,k_t)/\sqrt{1+k_t^2}、(0,−1)(0,-1)の方向へ写る。各辺の上で単位接ベクトルは定ベクトルであるから、増分は00である。頂点BBでは

cos⁡θB(t)=−11+kt2,sin⁡θB(t)=kt1+kt2\cos\theta_B(t)=-\frac{1}{\sqrt{1+k_t^2}},\qquad\sin\theta_B(t)=\frac{k_t}{\sqrt{1+k_t^2}}

であるからθB(t)=π−arctan⁡kt\theta_B(t)=\pi-\arctan k_tである。頂点CCでは

cos⁡θC(t)=⟨(−1,kt),(0,−1)⟩1+kt2=−kt1+kt2,sin⁡θC(t)=⟨(−kt,−1),(0,−1)⟩1+kt2=11+kt2\cos\theta_C(t)=\frac{\langle(-1,k_t),(0,-1)\rangle}{\sqrt{1+k_t^2}}=-\frac{k_t}{\sqrt{1+k_t^2}},\qquad \sin\theta_C(t)=\frac{\langle(-k_t,-1),(0,-1)\rangle}{\sqrt{1+k_t^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+k_t^2}}

であるからθC(t)=π−arctan⁡(1/kt)\theta_C(t)=\pi-\arctan(1/k_t)である。頂点AAでは(0,−1)(0,-1)から(1,0)(1,0)への角でありθA(t)=π/2\theta_A(t)=\pi/2である。三つとも(−π,π)(-\pi,\pi)に属し、ktk_tはttについて連続であるから、外角はttについて連続である。正の数xxについてarctan⁡x+arctan⁡(1/x)=π/2\arctan x+\arctan(1/x)=\pi/2であるから

θA(t)+θB(t)+θC(t)=π2+2π−(arctan⁡kt+arctan⁡1kt)=2π\theta_A(t)+\theta_B(t)+\theta_C(t)=\frac\pi2+2\pi-\Bigl(\arctan k_t+\arctan\frac{1}{k_t}\Bigr)=2\pi

であり、ιgt=1\iota_{g_t}=1がすべてのttで成り立つ。t=1t=1ではkt=1k_t=1であり、例 8.1の値θB=θC=3π/4\theta_B=\theta_C=3\pi/4に戻る。t=0t=0では(8)の値に一致する。

(8)を示す。g=diag(1,4)g=\mathrm{diag}(1,4)は定数であり、Gram–Schmidt 直交化によりf1=ε1=(1,0)f_1=\varepsilon_1=(1,0)、g(ε2,f1)=0g(\varepsilon_2,f_1)=0、f2=ε2/2=(0,12)f_2=\varepsilon_2/2=(0,\tfrac12)である。零でないw=(w1,w2)w=(w_1,w_2)について∥w∥g=w12+4w22\lVert w\rVert_g=\sqrt{w_1^2+4w_2^2}であり、w=w1f1+2w2f2w=w_1f_1+2w_2f_2であるから、ggに関する偏角は(w1,2w2)/w12+4w22=(cos⁡α,sin⁡α)(w_1,2w_2)/\sqrt{w_1^2+4w_2^2}=(\cos\alpha,\sin\alpha)で定まる。したがってggに関する外角は、T−T^-とT+T^+をそれぞれ(T1,2T2)(T_1,2T_2)の形へ写したベクトルの間の、定義 3.2の意味の符号つき角である。例 8.1の三角形A→B→C→AA\to B\to C\to Aでは、TAB=(1,0)T_{AB}=(1,0)、TBC=12(−1,1)T_{BC}=\tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)、TCA=(0,−1)T_{CA}=(0,-1)が、それぞれ(1,0)(1,0)、15(−1,2)\tfrac{1}{\sqrt5}(-1,2)、(0,−1)(0,-1)へ写る。頂点BBでは

cos⁡θBg=−15,sin⁡θBg=⟨(0,1),15(−1,2)⟩=25\cos\theta^g_B=-\frac{1}{\sqrt5},\qquad\sin\theta^g_B=\Bigl\langle(0,1),\tfrac{1}{\sqrt5}(-1,2)\Bigr\rangle=\frac{2}{\sqrt5}

であるからθBg=π−arctan⁡2\theta^g_B=\pi-\arctan2である。頂点CCでは

cos⁡θCg=⟨15(−1,2),(0,−1)⟩=−25,sin⁡θCg=⟨15(−2,−1),(0,−1)⟩=15\cos\theta^g_C=\Bigl\langle\tfrac{1}{\sqrt5}(-1,2),(0,-1)\Bigr\rangle=-\frac{2}{\sqrt5},\qquad \sin\theta^g_C=\Bigl\langle\tfrac{1}{\sqrt5}(-2,-1),(0,-1)\Bigr\rangle=\frac{1}{\sqrt5}

であるからθCg=π−arctan⁡12\theta^g_C=\pi-\arctan\tfrac12である。頂点AAでは(0,−1)(0,-1)から(1,0)(1,0)への角であり、θAg=π/2\theta^g_A=\pi/2である。Euclid 内積に関する値θB=θC=3π/4\theta_B=\theta_C=3\pi/4と比べると、θBg=π−arctan⁡2≈2.034\theta^g_B=\pi-\arctan2\approx2.034とθCg=π−arctan⁡12≈2.678\theta^g_C=\pi-\arctan\tfrac12\approx2.678はいずれも3π/4≈2.3563\pi/4\approx2.356と異なる。各辺の上で単位接ベクトルは定ベクトルであるから、ggに関する偏角の増分も00である。arctan⁡2+arctan⁡12=π/2\arctan2+\arctan\tfrac12=\pi/2（正の数xxについてarctan⁡x+arctan⁡(1/x)=π/2\arctan x+\arctan(1/x)=\pi/2）であるから

θAg+θBg+θCg=π2+2π−(arctan⁡2+arctan⁡12)=2π\theta^g_A+\theta^g_B+\theta^g_C=\frac{\pi}{2}+2\pi-\Bigl(\arctan2+\arctan\frac12\Bigr)=2\pi

であり、総和は2π2\piのままである。

(9)を示す。γ(t)=(sin⁡2t,sin⁡t)\gamma(t)=(\sin2t,\sin t)は正則であり、単位接ベクトルT=γ′/∥γ′∥T=\gamma'/\lVert\gamma'\rVertの偏角の連続な選択φ\varphiは、弧長による径数づけを経て補題 2.2によりC∞C^\inftyである。T=(cos⁡φ,sin⁡φ)T=(\cos\varphi,\sin\varphi)を微分するとT′=φ′JTT'=\varphi'JTであるからdet⁡(T,T′)=φ′\det(T,T')=\varphi'であり、T′=γ′′/∥γ′∥+c γ′T'=\gamma''/\lVert\gamma'\rVert+c\,\gamma'（ccは関数）からdet⁡(T,T′)=det⁡(γ′,γ′′)/∥γ′∥2\det(T,T')=\det(\gamma',\gamma'')/\lVert\gamma'\rVert^2である。したがって

φ′(t)=det⁡(γ′,γ′′)∥γ′∥2=sin⁡t (4cos⁡2t+2)4cos⁡22t+cos⁡2t\varphi'(t)=\frac{\det(\gamma',\gamma'')}{\lVert\gamma'\rVert^2}=\frac{\sin t\,(4\cos^2t+2)}{4\cos^22t+\cos^2t}

である。実際、γ′=(2cos⁡2t,cos⁡t)\gamma'=(2\cos2t,\cos t)、γ′′=(−4sin⁡2t,−sin⁡t)\gamma''=(-4\sin2t,-\sin t)であり、det⁡(γ′,γ′′)=−2cos⁡2tsin⁡t+4sin⁡2tcos⁡t=sin⁡t (−2cos⁡2t+8cos⁡2t)=sin⁡t (4cos⁡2t+2)\det(\gamma',\gamma'')=-2\cos2t\sin t+4\sin2t\cos t=\sin t\,(-2\cos2t+8\cos^2t)=\sin t\,(4\cos^2t+2)である。被積分関数をΦ(t)\Phi(t)と書くと、sin⁡(2π−t)=−sin⁡t\sin(2\pi-t)=-\sin t、cos⁡(2π−t)=cos⁡t\cos(2\pi-t)=\cos t、cos⁡2(2π−t)=cos⁡2t\cos2(2\pi-t)=\cos2tからΦ(2π−t)=−Φ(t)\Phi(2\pi-t)=-\Phi(t)であり、置換t↦2π−tt\mapsto2\pi-tにより

φ(2π)−φ(0)=∫02πΦ(t) dt=−∫02πΦ(t) dt\varphi(2\pi)-\varphi(0)=\int_0^{2\pi}\Phi(t)\,dt=-\int_0^{2\pi}\Phi(t)\,dt

であるから、この値は00である。γ\gammaは滑らかな閉曲線であって外角はすべて00であるから、ι(γ)=0\iota(\gamma)=0である。次に、像F=γ([0,2π])F=\gamma([0,2\pi])を持つ単純閉曲線が存在しないことを示す。曲線は原点で自己交叉する。すなわちγ(0)=γ(π)=(0,0)\gamma(0)=\gamma(\pi)=(0,0)であり、t∈(0,π)t\in(0,\pi)では第二成分sin⁡t\sin tが正、t∈(π,2π)t\in(\pi,2\pi)では負である。したがってF∖{(0,0)}=γ((0,π))∪γ((π,2π))F\setminus\{(0,0)\}=\gamma((0,\pi))\cup\gamma((\pi,2\pi))は、開半平面{y>0}\{y>0\}と{y<0}\{y<0\}に含まれる二つの空でない集合に分かれ、連結でない。一方、β ⁣:[a,b]→R2\beta\colon[a,b]\to\R^2を像がFFの単純閉曲線とすると、β(a)=β(b)\beta(a)=\beta(b)とβ∣[a,b)\beta|_{[a,b)}の単射性により、β\betaは円周S1S^1からFFへの連続な全単射を誘導し、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射であるから同相写像である。円周から一点を除いた集合は開区間と同相であって連結であるから、FFから一点を除いた集合はどれも連結でなければならない。これはF∖{(0,0)}F\setminus\{(0,0)\}が連結でないことと両立しない。よって像FFを持つ単純閉曲線は存在しない。

(10)を示す。γ ⁣:[0,L]→R2\gamma\colon[0,L]\to\R^2を滑らかな正則単純閉曲線とする。命題 3.5 (3)により、単位速度に径数づけ直しても回転指数は変わらないので、γ\gammaを単位速度としてよい。滑らかな閉曲線であるからT(0)=T(L)T(0)=T(L)であり、外角はすべて00である。AAをdet⁡A=−1\det A=-1の直交行列、c∈R2c\in\R^2とし、γ~=Aγ+c\widetilde\gamma=A\gamma+cと置く。γ~′=Aγ′\widetilde\gamma'=A\gamma'であるからγ~\widetilde\gammaも単位速度の滑らかな正則単純閉曲線であり、T~(0)=T~(L)\widetilde T(0)=\widetilde T(L)であるから外角はすべて00である。命題 1.2 (3)によりκ~s=−κs\widetilde\kappa_s=-\kappa_sである。補題 2.2と定義 3.4により

2π ι(γ~)=∫0Lκ~s(s) ds=−∫0Lκs(s) ds=−2π ι(γ)2\pi\,\iota(\widetilde\gamma)=\int_0^L\widetilde\kappa_s(s)\,ds=-\int_0^L\kappa_s(s)\,ds=-2\pi\,\iota(\gamma)

であるから、ι(γ~)=−ι(γ)\iota(\widetilde\gamma)=-\iota(\gamma)である。とくにγ\gammaが定理 7.1の仮定を満たしてι(γ)=1\iota(\gamma)=1であればι(γ~)=−1\iota(\widetilde\gamma)=-1である。▨

参考文献

  1. Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, revised and updated second ed., Dover Publications, Mineola, N.Y., 2016.割線写像による Hopf の証明の構成と、外角を込めた回転指数の定義を参考にした。
  2. Heinz Hopf, Über die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven, Compositio Mathematica 2 (1935), 50–62.割線写像を三角形領域の上で連続に延長する論法を参考にした。
  3. Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, 2 (revised) ed., Academic Press, 2006.平面曲線の符号つき曲率の定義と、単位接ベクトルの偏角による特徴づけを参考にした。

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