1 曲面に沿うベクトル場と方向微分 本記事の前半では、M ⊆ R 3 M\subseteq\R^3 M ⊆ R 3 §E23.3 定義 1.1 ）とする。向きづけ可能であることは仮定しない。「滑らか」はC ∞ C^\infty C ∞ R 3 \R^3 R 3 ⟨ , ⟩ \langle\ ,\ \rangle ⟨ , ⟩ ∥ ∥ \lVert\ \rVert ∥ ∥ p ∈ M p\in M p ∈ M T p M T_pM T p M §E23.3 定義 3.1 ）はR 3 \R^3 R 3 I p ( X , Y ) = ⟨ X , Y ⟩ \mathrm{I}_p(X,Y)=\langle X,Y\rangle I p ( X , Y ) = ⟨ X , Y ⟩ X , Y ∈ T p M X,Y\in T_pM X , Y ∈ T p M §E23.4 定義 1.1 ）。
定義 1.2. U ⊆ M U\subseteq M U ⊆ M Y : U → R 3 Y:U\to\R^3 Y : U → R 3 U U U 接ベクトル場 (tangent vector field )
すべてのp ∈ U p\in U p ∈ U Y ( p ) ∈ T p M Y(p)\in T_pM Y ( p ) ∈ T p M
U U U x : W → U \boldsymbol{x}:W\to U x : W → U Y ∘ x : W → R 3 Y\circ\boldsymbol{x}:W\to\R^3 Y ∘ x : W → R 3 C ∞ C^\infty C ∞ U U U X ( U ) \mathfrak{X}(U) X ( U )
条件 (b) は、一つの正則パラメータ表示について確かめれば足りる。二つの表示の間の座標変換が滑らかな微分同相であるから（§E23.3 定理 1.8 ）、一つの表示との合成がC ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞
定義 1.3. U ⊆ M U\subseteq M U ⊆ M Z : U → R 3 Z:U\to\R^3 Z : U → R 3 p ∈ U p\in U p ∈ U X ∈ T p M X\in T_pM X ∈ T p M γ : ( − δ , δ ) → U \gamma:(-\delta,\delta)\to U γ : ( − δ , δ ) → U γ ( 0 ) = p \gamma(0)=p γ ( 0 ) = p γ ′ ( 0 ) = X \gamma'(0)=X γ ′ ( 0 ) = X
D X Z = ( Z ∘ γ ) ′ ( 0 ) ∈ R 3 D_XZ=(Z\circ\gamma)'(0)\in\R^3 D X Z = ( Z ∘ γ ) ′ ( 0 ) ∈ R 3 と定める。
命題 1.4. 定義 1.3 の記号のもとで、次が成り立つ。
D X Z D_XZ D X Z γ \gamma γ x : W → U \boldsymbol{x}:W\to U x : W → U x ( q ) = p \boldsymbol{x}(q)=p x ( q ) = p X = ∑ i = 1 2 a i ∂ i ( q ) X=\sum_{i=1}^{2}a^i\partial_i(q) X = ∑ i = 1 2 a i ∂ i ( q ) D X Z = ∑ i = 1 2 a i ∂ ( Z ∘ x ) ∂ u i ( q ) D_XZ=\sum_{i=1}^{2}a^i\,\frac{\partial(Z\circ\boldsymbol{x})}{\partial u^i}(q) D X Z = i = 1 ∑ 2 a i ∂ u i ∂ ( Z ∘ x ) ( q ) 写像T p M → R 3 T_pM\to\R^3 T p M → R 3 X ↦ D X Z X\mapsto D_XZ X ↦ D X Z
Z , Z ~ : U → R 3 Z,\ \widetilde{Z}:U\to\R^3 Z , Z : U → R 3 ⟨ Z , Z ~ ⟩ : U → R \langle Z,\widetilde{Z}\rangle:U\to\R ⟨ Z , Z ⟩ : U → R X ⟨ Z , Z ~ ⟩ = ⟨ D X Z , Z ~ ( p ) ⟩ + ⟨ Z ( p ) , D X Z ~ ⟩ X\langle Z,\widetilde{Z}\rangle=\langle D_XZ,\widetilde{Z}(p)\rangle+\langle Z(p),D_X\widetilde{Z}\rangle X ⟨ Z , Z ⟩ = ⟨ D X Z , Z ( p )⟩ + ⟨ Z ( p ) , D X Z ⟩ 証明. 主張 (1) を示す。M M M U U U R 3 \R^3 R 3 Z Z Z U U U §E23.4 第一基本形式と面積要素 の§E23.4 補題 2.3 (3) を、U U U Z Z Z 3 3 3 §E23.4 補題 2.3 (3) の前半により、( Z ∘ γ ) ′ ( 0 ) (Z\circ\gamma)'(0) ( Z ∘ γ ) ′ ( 0 ) γ \gamma γ D X Z D_XZ D X Z γ \gamma γ §E23.4 補題 2.3 (3) の最後の等式では、正則パラメータ表示x \boldsymbol{x} x ∑ i = 1 2 a i ∂ i ( q ) \sum_{i=1}^{2}a^i\partial_i(q) ∑ i = 1 2 a i ∂ i ( q ) ∑ i = 1 2 a i ∂ ( Z ∘ x ) ∂ u i ( q ) \sum_{i=1}^{2}a^i\,\dfrac{\partial(Z\circ\boldsymbol{x})}{\partial u^i}(q) ∑ i = 1 2 a i ∂ u i ∂ ( Z ∘ x ) ( q )
主張 (2) を示す。§E23.4 補題 2.3 (3) により、X ↦ D X Z X\mapsto D_XZ X ↦ D X Z 主張 (1) の右辺が係数( a 1 , a 2 ) (a^1,a^2) ( a 1 , a 2 ) X ↦ ( a 1 , a 2 ) X\mapsto(a^1,a^2) X ↦ ( a 1 , a 2 )
主張 (3) を示す。γ \gamma γ ⟨ Z , Z ~ ⟩ ∘ γ = ⟨ Z ∘ γ , Z ~ ∘ γ ⟩ \langle Z,\widetilde{Z}\rangle\circ\gamma=\langle Z\circ\gamma,\widetilde{Z}\circ\gamma\rangle ⟨ Z , Z ⟩ ∘ γ = ⟨ Z ∘ γ , Z ∘ γ ⟩ t = 0 t=0 t = 0 ▨
2 共変微分 p ∈ M p\in M p ∈ M π p : R 3 → T p M \pi_p:\R^3\to T_pM π p : R 3 → T p M w ∈ R 3 w\in\R^3 w ∈ R 3 w ⊤ = π p ( w ) w^{\top}=\pi_p(w) w ⊤ = π p ( w ) U U U N N N π p ( w ) = w − ⟨ w , N ( p ) ⟩ N ( p ) \pi_p(w)=w-\langle w,N(p)\rangle N(p) π p ( w ) = w − ⟨ w , N ( p )⟩ N ( p ) N N N M M M
定義 2.1. M ⊆ R 3 M\subseteq\R^3 M ⊆ R 3 U ⊆ M U\subseteq M U ⊆ M Y ∈ X ( U ) Y\in\mathfrak{X}(U) Y ∈ X ( U ) p ∈ U p\in U p ∈ U X ∈ T p M X\in T_pM X ∈ T p M
∇ X Y = ( D X Y ) ⊤ = π p ( D X Y ) ∈ T p M \nabla_XY=\bigl(D_XY\bigr)^{\top}=\pi_p\bigl(D_XY\bigr)\in T_pM ∇ X Y = ( D X Y ) ⊤ = π p ( D X Y ) ∈ T p M と定め、これをX X X Y Y Y 共変微分 (covariant derivative )X ∈ X ( U ) X\in\mathfrak{X}(U) X ∈ X ( U ) p ∈ U p\in U p ∈ U ∇ X ( p ) Y \nabla_{X(p)}Y ∇ X ( p ) Y U U U ∇ X Y \nabla_XY ∇ X Y
命題 2.2. U ⊆ M U\subseteq M U ⊆ M X , X 1 , X 2 , Y , Y 1 , Y 2 , Z ∈ X ( U ) X,X_1,X_2,Y,Y_1,Y_2,Z\in\mathfrak{X}(U) X , X 1 , X 2 , Y , Y 1 , Y 2 , Z ∈ X ( U ) f ∈ C ∞ ( U ) f\in C^\infty(U) f ∈ C ∞ ( U )
∇ X Y ∈ X ( U ) \nabla_XY\in\mathfrak{X}(U) ∇ X Y ∈ X ( U ) ∇ f X 1 + X 2 Y = f ∇ X 1 Y + ∇ X 2 Y \nabla_{fX_1+X_2}Y=f\,\nabla_{X_1}Y+\nabla_{X_2}Y ∇ f X 1 + X 2 Y = f ∇ X 1 Y + ∇ X 2 Y ∇ X ( Y 1 + Y 2 ) = ∇ X Y 1 + ∇ X Y 2 \nabla_X(Y_1+Y_2)=\nabla_XY_1+\nabla_XY_2 ∇ X ( Y 1 + Y 2 ) = ∇ X Y 1 + ∇ X Y 2 ∇ X ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X Y \nabla_X(fY)=(Xf)\,Y+f\,\nabla_XY ∇ X ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X Y X ⟨ Y , Z ⟩ = ⟨ ∇ X Y , Z ⟩ + ⟨ Y , ∇ X Z ⟩ X\langle Y,Z\rangle=\langle\nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle X ⟨ Y , Z ⟩ = ⟨ ∇ X Y , Z ⟩ + ⟨ Y , ∇ X Z ⟩ ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y] ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] 証明. 正則パラメータ表示x : W → U \boldsymbol{x}:W\to U x : W → U X = ∑ i a i ∂ i X=\sum_{i}a^i\partial_i X = ∑ i a i ∂ i Y = ∑ j b j ∂ j Y=\sum_{j}b^j\partial_j Y = ∑ j b j ∂ j a i , b j a^i,b^j a i , b j W W W C ∞ C^\infty C ∞ ⟨ X , ∂ l ⟩ = ∑ i a i g i l \langle X,\partial_l\rangle=\sum_ia^ig_{il} ⟨ X , ∂ l ⟩ = ∑ i a i g i l g i l = ⟨ ∂ i , ∂ l ⟩ g_{il}=\langle\partial_i,\partial_l\rangle g i l = ⟨ ∂ i , ∂ l ⟩ C ∞ C^\infty C ∞ ( g i l ) (g_{il}) ( g i l ) C ∞ C^\infty C ∞ a i a^i a i C ∞ C^\infty C ∞ b j b^j b j
主張 (1) と主張 (3) の後半を示す。命題 1.4 (1) により
D X Y = ∑ j = 1 2 ( X b j ) ∂ j + ∑ i , j = 1 2 a i b j x u i u j D_XY=\sum_{j=1}^{2}(Xb^j)\,\partial_j+\sum_{i,j=1}^{2}a^ib^j\,\boldsymbol{x}_{u^iu^j} D X Y = j = 1 ∑ 2 ( X b j ) ∂ j + i , j = 1 ∑ 2 a i b j x u i u j (2.2.1) \text{(2.2.1)} (2.2.1) である。ここでX b j = ∑ i a i ∂ b j / ∂ u i Xb^j=\sum_i a^i\,\partial b^j/\partial u^i X b j = ∑ i a i ∂ b j / ∂ u i W W W
N = ∂ 1 × ∂ 2 ∥ ∂ 1 × ∂ 2 ∥ N=\frac{\partial_1\times\partial_2}{\lVert\partial_1\times\partial_2\rVert} N = ∥ ∂ 1 × ∂ 2 ∥ ∂ 1 × ∂ 2 と置くとN N N C ∞ C^\infty C ∞ ∇ X Y = D X Y − ⟨ D X Y , N ⟩ N \nabla_XY=D_XY-\langle D_XY,N\rangle N ∇ X Y = D X Y − ⟨ D X Y , N ⟩ N ∇ X Y \nabla_XY ∇ X Y C ∞ C^\infty C ∞ ∇ X Y ∈ X ( U ) \nabla_XY\in\mathfrak{X}(U) ∇ X Y ∈ X ( U ) f Y fY f Y 式 (2.2.1) を適用するとD X ( f Y ) = ( X f ) Y + f D X Y D_X(fY)=(Xf)Y+f\,D_XY D X ( f Y ) = ( X f ) Y + f D X Y Y ( p ) ∈ T p M Y(p)\in T_pM Y ( p ) ∈ T p M ∇ X ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X Y \nabla_X(fY)=(Xf)Y+f\nabla_XY ∇ X ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X Y
主張 (2) と主張 (3) の前半を示す。命題 1.4 (2) によりX ↦ D X Y X\mapsto D_XY X ↦ D X Y f f f D f X Y = f D X Y D_{fX}Y=fD_XY D f X Y = f D X Y D X ( Y 1 + Y 2 ) = D X Y 1 + D X Y 2 D_X(Y_1+Y_2)=D_XY_1+D_XY_2 D X ( Y 1 + Y 2 ) = D X Y 1 + D X Y 2
主張 (4) を示す。命題 1.4 (3) によりX ⟨ Y , Z ⟩ = ⟨ D X Y , Z ⟩ + ⟨ Y , D X Z ⟩ X\langle Y,Z\rangle=\langle D_XY,Z\rangle+\langle Y,D_XZ\rangle X ⟨ Y , Z ⟩ = ⟨ D X Y , Z ⟩ + ⟨ Y , D X Z ⟩ Z ( p ) ∈ T p M Z(p)\in T_pM Z ( p ) ∈ T p M π p \pi_p π p ⟨ D X Y , Z ( p ) ⟩ = ⟨ π p ( D X Y ) , Z ( p ) ⟩ = ⟨ ∇ X Y , Z ⟩ ( p ) \langle D_XY,Z(p)\rangle=\langle\pi_p(D_XY),Z(p)\rangle=\langle\nabla_XY,Z\rangle(p) ⟨ D X Y , Z ( p )⟩ = ⟨ π p ( D X Y ) , Z ( p )⟩ = ⟨ ∇ X Y , Z ⟩ ( p ) ⟨ Y , D X Z ⟩ \langle Y,D_XZ\rangle ⟨ Y , D X Z ⟩
主張 (5) を示す。式 (2.2.1) と、X X X Y Y Y x u i u j = x u j u i \boldsymbol{x}_{u^iu^j}=\boldsymbol{x}_{u^ju^i} x u i u j = x u j u i §E4 実解析 II の§E4.4 定理 2.1 。x \boldsymbol{x} x C ∞ C^\infty C ∞
D X Y − D Y X = ∑ k = 1 2 ( ∑ i = 1 2 ( a i ∂ b k ∂ u i − b i ∂ a k ∂ u i ) ) ∂ k D_XY-D_YX=\sum_{k=1}^{2}\left(\sum_{i=1}^{2}\left(a^i\frac{\partial b^k}{\partial u^i}-b^i\frac{\partial a^k}{\partial u^i}\right)\right)\partial_k D X Y − D Y X = k = 1 ∑ 2 ( i = 1 ∑ 2 ( a i ∂ u i ∂ b k − b i ∂ u i ∂ a k ) ) ∂ k となる。右辺は括弧積の座標表示（§E22 多様体入門 の§E22.7 命題 1.3 ）に一致するからD X Y − D Y X = [ X , Y ] D_XY-D_YX=[X,Y] D X Y − D Y X = [ X , Y ] [ X , Y ] [X,Y] [ X , Y ] ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y] ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] ▨
3 Christoffel 記号 正則パラメータ表示x : W → M \boldsymbol{x}:W\to M x : W → M ( u 1 , u 2 ) (u^1,u^2) ( u 1 , u 2 ) ∂ i = x u i \partial_i=\boldsymbol{x}_{u^i} ∂ i = x u i
g i j = ⟨ ∂ i , ∂ j ⟩ g_{ij}=\langle\partial_i,\partial_j\rangle g ij = ⟨ ∂ i , ∂ j ⟩ と書く。先行する記事の記法との対応はg 11 = E g_{11}=E g 11 = E g 12 = g 21 = F g_{12}=g_{21}=F g 12 = g 21 = F g 22 = G g_{22}=G g 22 = G ( g i j ) (g_{ij}) ( g ij ) det ( g i j ) = E G − F 2 > 0 \det(g_{ij})=EG-F^2>0 det ( g ij ) = E G − F 2 > 0 g k l g^{kl} g k l ∑ \sum ∑
定義 3.1. ∇ ∂ i ∂ j \nabla_{\partial_i}\partial_j ∇ ∂ i ∂ j W W W Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k
∇ ∂ i ∂ j = ∑ k = 1 2 Γ i j k ∂ k \nabla_{\partial_i}\partial_j=\sum_{k=1}^{2}\Gamma^k_{ij}\,\partial_k ∇ ∂ i ∂ j = k = 1 ∑ 2 Γ ij k ∂ k と一意に書き表される。このΓ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k x \boldsymbol{x} x Christoffel 記号 (Christoffel symbols )
x u i u j \boldsymbol{x}_{u^iu^j} x u i u j
x u i u j = ∑ k = 1 2 Γ i j k ∂ k + h i j N \boldsymbol{x}_{u^iu^j}=\sum_{k=1}^{2}\Gamma^k_{ij}\,\partial_k+h_{ij}\,N x u i u j = k = 1 ∑ 2 Γ ij k ∂ k + h ij N となる。ここでN N N h i j = ⟨ N , x u i u j ⟩ h_{ij}=\langle N,\boldsymbol{x}_{u^iu^j}\rangle h ij = ⟨ N , x u i u j ⟩ §E23.5 定義 3.1 ）である。Christoffel 記号は、この分解の接成分にほかならない。以下の定理で主張されるのは、接成分が第一基本形式だけで決まるということである。法成分h i j h_{ij} h ij
次の代数的な同値を、以下の定理の証明で用いる。
補題 3.2. W W W Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k i , j , k ∈ { 1 , 2 } i,j,k\in\{1,2\} i , j , k ∈ { 1 , 2 }
Γ i j , l = ∑ k = 1 2 g k l Γ i j k \Gamma_{ij,l}=\sum_{k=1}^{2}g_{kl}\,\Gamma^k_{ij} Γ ij , l = k = 1 ∑ 2 g k l Γ ij k と置く。このとき次の二つは同値である。
すべてのi , j , l i,j,l i , j , l Γ i j , l = Γ j i , l \Gamma_{ij,l}=\Gamma_{ji,l} Γ ij , l = Γ j i , l i , j , k i,j,k i , j , k ∂ g i j ∂ u k = Γ k i , j + Γ k j , i \frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}=\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i} ∂ u k ∂ g ij = Γ k i , j + Γ k j , i
すべてのi , j , l i,j,l i , j , l Γ i j , l = 1 2 ( ∂ g j l ∂ u i + ∂ g i l ∂ u j − ∂ g i j ∂ u l ) \Gamma_{ij,l}=\frac12\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right) Γ ij , l = 2 1 ( ∂ u i ∂ g j l + ∂ u j ∂ g i l − ∂ u l ∂ g ij )
証明. (1) ⇒ \Rightarrow ⇒ (2) (1) の第二の等式を、添字を入れ替えて三通り書く。
∂ g j l ∂ u i = Γ i j , l + Γ i l , j , ∂ g i l ∂ u j = Γ j i , l + Γ j l , i , ∂ g i j ∂ u l = Γ l i , j + Γ l j , i \frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}=\Gamma_{ij,l}+\Gamma_{il,j},\qquad
\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}=\Gamma_{ji,l}+\Gamma_{jl,i},\qquad
\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}=\Gamma_{li,j}+\Gamma_{lj,i} ∂ u i ∂ g j l = Γ ij , l + Γ i l , j , ∂ u j ∂ g i l = Γ j i , l + Γ j l , i , ∂ u l ∂ g ij = Γ l i , j + Γ l j , i 第一式と第二式を加え、第三式を引く。(1) の対称性Γ a b , c = Γ b a , c \Gamma_{ab,c}=\Gamma_{ba,c} Γ ab , c = Γ ba , c Γ i l , j = Γ l i , j \Gamma_{il,j}=\Gamma_{li,j} Γ i l , j = Γ l i , j Γ j l , i = Γ l j , i \Gamma_{jl,i}=\Gamma_{lj,i} Γ j l , i = Γ l j , i Γ i j , l + Γ j i , l = 2 Γ i j , l \Gamma_{ij,l}+\Gamma_{ji,l}=2\Gamma_{ij,l} Γ ij , l + Γ j i , l = 2 Γ ij , l (2) を得る。
(2) ⇒ \Rightarrow ⇒ (1) (2) の右辺はi i i j j j Γ i j , l = Γ j i , l \Gamma_{ij,l}=\Gamma_{ji,l} Γ ij , l = Γ j i , l
Γ k i , j + Γ k j , i = 1 2 ( ∂ g i j ∂ u k + ∂ g k j ∂ u i − ∂ g k i ∂ u j ) + 1 2 ( ∂ g j i ∂ u k + ∂ g k i ∂ u j − ∂ g k j ∂ u i ) = ∂ g i j ∂ u k \Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i}
=\frac12\left(\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}+\frac{\partial g_{kj}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}\right)
+\frac12\left(\frac{\partial g_{ji}}{\partial u^k}+\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{kj}}{\partial u^i}\right)
=\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k} Γ k i , j + Γ k j , i = 2 1 ( ∂ u k ∂ g ij + ∂ u i ∂ g k j − ∂ u j ∂ g k i ) + 2 1 ( ∂ u k ∂ g j i + ∂ u j ∂ g k i − ∂ u i ∂ g k j ) = ∂ u k ∂ g ij である。▨
定理 3.3. M ⊆ R 3 M\subseteq\R^3 M ⊆ R 3 x : W → M \boldsymbol{x}:W\to M x : W → M 定義 3.1 の Christoffel 記号はΓ i j k = Γ j i k \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} Γ ij k = Γ j i k
Γ i j k = 1 2 ∑ l = 1 2 g k l ( ∂ g j l ∂ u i + ∂ g i l ∂ u j − ∂ g i j ∂ u l ) \Gamma^k_{ij}=\frac12\sum_{l=1}^{2}g^{kl}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right) Γ ij k = 2 1 l = 1 ∑ 2 g k l ( ∂ u i ∂ g j l + ∂ u j ∂ g i l − ∂ u l ∂ g ij ) が成り立つ。とくにΓ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k g i j g_{ij} g ij
証明. Γ i j , l = ∑ k g k l Γ i j k \Gamma_{ij,l}=\sum_kg_{kl}\Gamma^k_{ij} Γ ij , l = ∑ k g k l Γ ij k
Γ i j , l = ⟨ ∑ k Γ i j k ∂ k , ∂ l ⟩ = ⟨ ∇ ∂ i ∂ j , ∂ l ⟩ \Gamma_{ij,l}=\left\langle\sum_{k}\Gamma^k_{ij}\partial_k,\ \partial_l\right\rangle
=\langle\nabla_{\partial_i}\partial_j,\partial_l\rangle Γ ij , l = ⟨ k ∑ Γ ij k ∂ k , ∂ l ⟩ = ⟨ ∇ ∂ i ∂ j , ∂ l ⟩ である。∇ ∂ i ∂ j = ( x u i u j ) ⊤ \nabla_{\partial_i}\partial_j=(\boldsymbol{x}_{u^iu^j})^{\top} ∇ ∂ i ∂ j = ( x u i u j ) ⊤ ∂ l ∈ T p M \partial_l\in T_pM ∂ l ∈ T p M
Γ i j , l = ⟨ x u i u j , ∂ l ⟩ \Gamma_{ij,l}=\langle\boldsymbol{x}_{u^iu^j},\partial_l\rangle Γ ij , l = ⟨ x u i u j , ∂ l ⟩ である。
対称性を示す 。x \boldsymbol{x} x C ∞ C^\infty C ∞ §E4.4 定理 2.1 によりx u i u j = x u j u i \boldsymbol{x}_{u^iu^j}=\boldsymbol{x}_{u^ju^i} x u i u j = x u j u i Γ i j , l = Γ j i , l \Gamma_{ij,l}=\Gamma_{ji,l} Γ ij , l = Γ j i , l ( g k l ) (g_{kl}) ( g k l ) Γ i j k = Γ j i k \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} Γ ij k = Γ j i k
第一基本形式の微分との関係を示す 。g i j = ⟨ ∂ i , ∂ j ⟩ g_{ij}=\langle\partial_i,\partial_j\rangle g ij = ⟨ ∂ i , ∂ j ⟩ u k u^k u k
∂ g i j ∂ u k = ⟨ x u k u i , ∂ j ⟩ + ⟨ ∂ i , x u k u j ⟩ = Γ k i , j + Γ k j , i \frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}
=\langle\boldsymbol{x}_{u^ku^i},\partial_j\rangle+\langle\partial_i,\boldsymbol{x}_{u^ku^j}\rangle
=\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i} ∂ u k ∂ g ij = ⟨ x u k u i , ∂ j ⟩ + ⟨ ∂ i , x u k u j ⟩ = Γ k i , j + Γ k j , i である。
以上により補題 3.2 (1) が成り立つので、同補題により
Γ i j , l = 1 2 ( ∂ g j l ∂ u i + ∂ g i l ∂ u j − ∂ g i j ∂ u l ) \Gamma_{ij,l}=\frac12\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right) Γ ij , l = 2 1 ( ∂ u i ∂ g j l + ∂ u j ∂ g i l − ∂ u l ∂ g ij ) である。両辺にg k l g^{kl} g k l l l l ∑ l g k l Γ i j , l = ∑ l , m g k l g m l Γ i j m = Γ i j k \sum_lg^{kl}\Gamma_{ij,l}=\sum_{l,m}g^{kl}g_{ml}\Gamma^m_{ij}=\Gamma^k_{ij} ∑ l g k l Γ ij , l = ∑ l , m g k l g m l Γ ij m = Γ ij k ▨
第一基本形式が直交している場合、すなわちF = 0 F=0 F = 0 ( g i j ) (g_{ij}) ( g ij )
証明. F = 0 F=0 F = 0 ( g i j ) = diag ( E , G ) (g_{ij})=\operatorname{diag}(E,G) ( g ij ) = diag ( E , G ) g 11 = 1 / E g^{11}=1/E g 11 = 1/ E g 22 = 1 / G g^{22}=1/G g 22 = 1/ G g 12 = g 21 = 0 g^{12}=g^{21}=0 g 12 = g 21 = 0 定理 3.3 の式でl = k l=k l = k
Γ i j 1 = 1 2 E ( ∂ g j 1 ∂ u i + ∂ g i 1 ∂ u j − ∂ g i j ∂ u 1 ) , Γ i j 2 = 1 2 G ( ∂ g j 2 ∂ u i + ∂ g i 2 ∂ u j − ∂ g i j ∂ u 2 ) \Gamma^1_{ij}=\frac{1}{2E}\left(\frac{\partial g_{j1}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{i1}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^1}\right),\qquad
\Gamma^2_{ij}=\frac{1}{2G}\left(\frac{\partial g_{j2}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{i2}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^2}\right) Γ ij 1 = 2 E 1 ( ∂ u i ∂ g j 1 + ∂ u j ∂ g i 1 − ∂ u 1 ∂ g ij ) , Γ ij 2 = 2 G 1 ( ∂ u i ∂ g j 2 + ∂ u j ∂ g i 2 − ∂ u 2 ∂ g ij ) である。g 11 = E g_{11}=E g 11 = E g 22 = G g_{22}=G g 22 = G g 12 = g 21 = 0 g_{12}=g_{21}=0 g 12 = g 21 = 0 Γ 22 1 \Gamma^1_{22} Γ 22 1 g 21 = 0 g_{21}=0 g 21 = 0 − ∂ g 22 / ∂ u 1 = − G u -\partial g_{22}/\partial u^1=-G_u − ∂ g 22 / ∂ u 1 = − G u Γ 22 1 = − G u / ( 2 E ) \Gamma^1_{22}=-G_u/(2E) Γ 22 1 = − G u / ( 2 E ) Γ 12 2 \Gamma^2_{12} Γ 12 2 ∂ g 22 / ∂ u 1 = G u \partial g_{22}/\partial u^1=G_u ∂ g 22 / ∂ u 1 = G u ∂ g 12 / ∂ u 2 = 0 \partial g_{12}/\partial u^2=0 ∂ g 12 / ∂ u 2 = 0 − ∂ g 12 / ∂ u 2 = 0 -\partial g_{12}/\partial u^2=0 − ∂ g 12 / ∂ u 2 = 0 Γ 12 2 = G u / ( 2 G ) \Gamma^2_{12}=G_u/(2G) Γ 12 2 = G u / ( 2 G ) ▨
4 共変微分を定める二つの条件 定理 3.3 では、共変微分が第一基本形式だけで決まることを座標を用いて示している。同じことを座標に依らない形で述べるために、共変微分を特徴づける二つの条件を取り出す。
定義 4.1. M M M
∇ : X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) , ( X , Y ) ↦ ∇ X Y \nabla:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to\mathfrak{X}(M),\qquad(X,Y)\mapsto\nabla_XY ∇ : X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) , ( X , Y ) ↦ ∇ X Y がM M M 接続 (affine connection )X , X 1 , X 2 , Y , Y 1 , Y 2 ∈ X ( M ) X,X_1,X_2,Y,Y_1,Y_2\in\mathfrak{X}(M) X , X 1 , X 2 , Y , Y 1 , Y 2 ∈ X ( M ) f ∈ C ∞ ( M ) f\in C^\infty(M) f ∈ C ∞ ( M )
∇ f X 1 + X 2 Y = f ∇ X 1 Y + ∇ X 2 Y \nabla_{fX_1+X_2}Y=f\,\nabla_{X_1}Y+\nabla_{X_2}Y ∇ f X 1 + X 2 Y = f ∇ X 1 Y + ∇ X 2 Y ∇ X ( Y 1 + Y 2 ) = ∇ X Y 1 + ∇ X Y 2 \nabla_X(Y_1+Y_2)=\nabla_XY_1+\nabla_XY_2 ∇ X ( Y 1 + Y 2 ) = ∇ X Y 1 + ∇ X Y 2 ∇ X ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X Y \nabla_X(fY)=(Xf)\,Y+f\,\nabla_XY ∇ X ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X Y 定理 4.2. M M M I \mathrm{I} I M M M ∇ \nabla ∇
内積との両立 。すべてのX , Y , Z ∈ X ( M ) X,Y,Z\in\mathfrak{X}(M) X , Y , Z ∈ X ( M ) X I ( Y , Z ) = I ( ∇ X Y , Z ) + I ( Y , ∇ X Z ) X\,\mathrm{I}(Y,Z)=\mathrm{I}(\nabla_XY,Z)+\mathrm{I}(Y,\nabla_XZ) X I ( Y , Z ) = I ( ∇ X Y , Z ) + I ( Y , ∇ X Z )
捩れの消滅 。すべてのX , Y ∈ X ( M ) X,Y\in\mathfrak{X}(M) X , Y ∈ X ( M ) ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y] ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ]
この接続は定義 2.1 の共変微分であり、すべてのX , Y , Z ∈ X ( M ) X,Y,Z\in\mathfrak{X}(M) X , Y , Z ∈ X ( M )
2 I ( ∇ X Y , Z ) = X I ( Y , Z ) + Y I ( Z , X ) − Z I ( X , Y ) + I ( [ X , Y ] , Z ) − I ( [ X , Z ] , Y ) − I ( [ Y , Z ] , X ) 2\,\mathrm{I}(\nabla_XY,Z)=X\,\mathrm{I}(Y,Z)+Y\,\mathrm{I}(Z,X)-Z\,\mathrm{I}(X,Y)
+\mathrm{I}([X,Y],Z)-\mathrm{I}([X,Z],Y)-\mathrm{I}([Y,Z],X) 2 I ( ∇ X Y , Z ) = X I ( Y , Z ) + Y I ( Z , X ) − Z I ( X , Y ) + I ([ X , Y ] , Z ) − I ([ X , Z ] , Y ) − I ([ Y , Z ] , X ) を満たす。
証明の方針を述べる。存在は命題 2.2 によりすでに得られるので、示すべきは一意性である。一意性は、主張 (1) を三通りの添字の組で書き、二つを加えて一つを引くことで得られる。このとき主張 (2) を用いると、右辺には∇ \nabla ∇ ∇ X Y \nabla_XY ∇ X Y I ( ∇ X Y , Z ) \mathrm{I}(\nabla_XY,Z) I ( ∇ X Y , Z ) I \mathrm{I} I ∇ X Y \nabla_XY ∇ X Y
証明. 存在を示す 。命題 2.2 (2) と命題 2.2 (3) により、定義 2.1 の共変微分は定義 4.1 の意味の接続である。命題 2.2 (4) により主張 (1) が、命題 2.2 (5) により主張 (2) が得られる。
Koszul の公式を導く 。∇ \nabla ∇ 主張 (1) と主張 (2) を満たす接続とする。主張 (1) を三通りに書くと
X I ( Y , Z ) = I ( ∇ X Y , Z ) + I ( Y , ∇ X Z ) , X\,\mathrm{I}(Y,Z)=\mathrm{I}(\nabla_XY,Z)+\mathrm{I}(Y,\nabla_XZ), X I ( Y , Z ) = I ( ∇ X Y , Z ) + I ( Y , ∇ X Z ) , Y I ( Z , X ) = I ( ∇ Y Z , X ) + I ( Z , ∇ Y X ) , Y\,\mathrm{I}(Z,X)=\mathrm{I}(\nabla_YZ,X)+\mathrm{I}(Z,\nabla_YX), Y I ( Z , X ) = I ( ∇ Y Z , X ) + I ( Z , ∇ Y X ) , Z I ( X , Y ) = I ( ∇ Z X , Y ) + I ( X , ∇ Z Y ) Z\,\mathrm{I}(X,Y)=\mathrm{I}(\nabla_ZX,Y)+\mathrm{I}(X,\nabla_ZY) Z I ( X , Y ) = I ( ∇ Z X , Y ) + I ( X , ∇ Z Y ) である。第一式と第二式を加え、第三式を引く。第一式の第一項と第二式の第二項をまとめ、残りを二つずつ組にすると
X I ( Y , Z ) + Y I ( Z , X ) − Z I ( X , Y ) = I ( ∇ X Y + ∇ Y X , Z ) + I ( Y , ∇ X Z − ∇ Z X ) + I ( X , ∇ Y Z − ∇ Z Y ) X\,\mathrm{I}(Y,Z)+Y\,\mathrm{I}(Z,X)-Z\,\mathrm{I}(X,Y)
=\mathrm{I}(\nabla_XY+\nabla_YX,Z)+\mathrm{I}(Y,\nabla_XZ-\nabla_ZX)+\mathrm{I}(X,\nabla_YZ-\nabla_ZY) X I ( Y , Z ) + Y I ( Z , X ) − Z I ( X , Y ) = I ( ∇ X Y + ∇ Y X , Z ) + I ( Y , ∇ X Z − ∇ Z X ) + I ( X , ∇ Y Z − ∇ Z Y ) となる。主張 (2) により∇ X Z − ∇ Z X = [ X , Z ] \nabla_XZ-\nabla_ZX=[X,Z] ∇ X Z − ∇ Z X = [ X , Z ] ∇ Y Z − ∇ Z Y = [ Y , Z ] \nabla_YZ-\nabla_ZY=[Y,Z] ∇ Y Z − ∇ Z Y = [ Y , Z ] ∇ X Y + ∇ Y X = 2 ∇ X Y − [ X , Y ] \nabla_XY+\nabla_YX=2\nabla_XY-[X,Y] ∇ X Y + ∇ Y X = 2 ∇ X Y − [ X , Y ]
X I ( Y , Z ) + Y I ( Z , X ) − Z I ( X , Y ) = 2 I ( ∇ X Y , Z ) − I ( [ X , Y ] , Z ) + I ( [ X , Z ] , Y ) + I ( [ Y , Z ] , X ) X\,\mathrm{I}(Y,Z)+Y\,\mathrm{I}(Z,X)-Z\,\mathrm{I}(X,Y)
=2\,\mathrm{I}(\nabla_XY,Z)-\mathrm{I}([X,Y],Z)+\mathrm{I}([X,Z],Y)+\mathrm{I}([Y,Z],X) X I ( Y , Z ) + Y I ( Z , X ) − Z I ( X , Y ) = 2 I ( ∇ X Y , Z ) − I ([ X , Y ] , Z ) + I ([ X , Z ] , Y ) + I ([ Y , Z ] , X ) となり、移項すれば Koszul の公式を得る。
一意性を示す 。∇ \nabla ∇ ∇ ~ \widetilde{\nabla} ∇ 主張 (1) と主張 (2) を満たすとする。Koszul の公式の右辺は∇ \nabla ∇ X , Y , Z ∈ X ( M ) X,Y,Z\in\mathfrak{X}(M) X , Y , Z ∈ X ( M )
I ( ∇ X Y − ∇ ~ X Y , Z ) = 0 \mathrm{I}\bigl(\nabla_XY-\widetilde{\nabla}_XY,\ Z\bigr)=0 I ( ∇ X Y − ∇ X Y , Z ) = 0 である。p ∈ M p\in M p ∈ M w ∈ T p M w\in T_pM w ∈ T p M p p p §E22 多様体入門 の§E22.2 命題 1.6 ）χ \chi χ p p p χ ≡ 1 \chi\equiv1 χ ≡ 1 χ \chi χ X ( M ) \mathfrak{X}(M) X ( M ) p p p w w w Z Z Z I p ( ∇ X Y ( p ) − ∇ ~ X Y ( p ) , w ) = 0 \mathrm{I}_p(\nabla_XY(p)-\widetilde{\nabla}_XY(p),w)=0 I p ( ∇ X Y ( p ) − ∇ X Y ( p ) , w ) = 0 w w w I p \mathrm{I}_p I p ∇ X Y ( p ) = ∇ ~ X Y ( p ) \nabla_XY(p)=\widetilde{\nabla}_XY(p) ∇ X Y ( p ) = ∇ X Y ( p ) p p p X , Y X,Y X , Y ∇ = ∇ ~ \nabla=\widetilde{\nabla} ∇ = ∇ ▨
5 抽象曲面 定義 5.1. 抽象曲面 (abstract surface )( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I )
M M M C ∞ C^\infty C ∞ §E22 多様体入門 の§E22.1 定義 2.2 ）。I \mathrm{I} I p ∈ M p\in M p ∈ M T p M T_pM T p M I p \mathrm{I}_p I p M M M ( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) g i j = I ( ∂ ∂ u i , ∂ ∂ u j ) : U → R g_{ij}=\mathrm{I}\left(\frac{\partial}{\partial u^i},\frac{\partial}{\partial u^j}\right):U\to\R g ij = I ( ∂ u i ∂ , ∂ u j ∂ ) : U → R C ∞ C^\infty C ∞ I \mathrm{I} I ( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) 第一基本形式 (first fundamental form )
例 5.2. M ⊆ R 3 M\subseteq\R^3 M ⊆ R 3 注意 1.1 の同一視のもとでI p ( X , Y ) = ⟨ X , Y ⟩ \mathrm{I}_p(X,Y)=\langle X,Y\rangle I p ( X , Y ) = ⟨ X , Y ⟩ §E23.4 定義 1.1 ）。I p \mathrm{I}_p I p R 3 \R^3 R 3 T p M T_pM T p M g i j = ⟨ x u i , x u j ⟩ g_{ij}=\langle\boldsymbol{x}_{u^i},\boldsymbol{x}_{u^j}\rangle g ij = ⟨ x u i , x u j ⟩ x \boldsymbol{x} x C ∞ C^\infty C ∞ g i j g_{ij} g ij C ∞ C^\infty C ∞ ( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I )
抽象曲面についても、定義 4.1 の三条件をそのまま接続の定義として用いる。同定義の三条件は、M M M R 3 \R^3 R 3
定理 5.3. ( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) 定理 4.2 (1) と定理 4.2 (2) をともに満たすM M M ∇ \nabla ∇ M M M ( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) ∇ \nabla ∇
∇ ∂ i ∂ j = ∑ k = 1 2 Γ i j k ∂ k , Γ i j k = 1 2 ∑ l = 1 2 g k l ( ∂ g j l ∂ u i + ∂ g i l ∂ u j − ∂ g i j ∂ u l ) \nabla_{\partial_i}\partial_j=\sum_{k=1}^{2}\Gamma^k_{ij}\,\partial_k,\qquad
\Gamma^k_{ij}=\frac12\sum_{l=1}^{2}g^{kl}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right) ∇ ∂ i ∂ j = k = 1 ∑ 2 Γ ij k ∂ k , Γ ij k = 2 1 l = 1 ∑ 2 g k l ( ∂ u i ∂ g j l + ∂ u j ∂ g i l − ∂ u l ∂ g ij ) で与えられる。ここで∂ i = ∂ / ∂ u i \partial_i=\partial/\partial u^i ∂ i = ∂ / ∂ u i ( g k l ) (g^{kl}) ( g k l ) ( g i j ) (g_{ij}) ( g ij ) M M M 定義 2.1 の共変微分に一致する。
証明. 定理 4.2 の一意性の証明は、注意 4.3 のとおりR 3 \R^3 R 3 定理 4.2 (1) と定理 4.2 (2) を満たす接続は高々一つである。同じ議論はM M M V V V V V V I \mathrm{I} I
チャート上で接続を作る 。チャート( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k ( g i j ) (g_{ij}) ( g ij ) g k l g^{kl} g k l C ∞ C^\infty C ∞ X = ∑ i a i ∂ i X=\sum_ia^i\partial_i X = ∑ i a i ∂ i Y = ∑ j b j ∂ j ∈ X ( U ) Y=\sum_jb^j\partial_j\in\mathfrak{X}(U) Y = ∑ j b j ∂ j ∈ X ( U )
∇ X U Y = ∑ k = 1 2 ( X b k + ∑ i , j = 1 2 Γ i j k a i b j ) ∂ k \nabla^U_XY=\sum_{k=1}^{2}\left(Xb^k+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}a^ib^j\right)\partial_k ∇ X U Y = k = 1 ∑ 2 ( X b k + i , j = 1 ∑ 2 Γ ij k a i b j ) ∂ k と定める。右辺はC ∞ C^\infty C ∞ X X X C ∞ ( U ) C^\infty(U) C ∞ ( U ) Y Y Y ∇ X U ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X U Y \nabla^U_X(fY)=(Xf)Y+f\nabla^U_XY ∇ X U ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X U Y ∇ U \nabla^U ∇ U U U U
定理 4.2 (2) を確かめるT ( X , Y ) = ∇ X U Y − ∇ Y U X − [ X , Y ] T(X,Y)=\nabla^U_XY-\nabla^U_YX-[X,Y] T ( X , Y ) = ∇ X U Y − ∇ Y U X − [ X , Y ] X X X Y Y Y C ∞ ( U ) C^\infty(U) C ∞ ( U ) X X X C ∞ ( U ) C^\infty(U) C ∞ ( U ) 定義 4.1 条件 (a) と[ f X , Y ] = f [ X , Y ] − ( Y f ) X [fX,Y]=f[X,Y]-(Yf)X [ f X , Y ] = f [ X , Y ] − ( Y f ) X Y Y Y 定義 4.1 条件 (c) と[ X , f Y ] = f [ X , Y ] + ( X f ) Y [X,fY]=f[X,Y]+(Xf)Y [ X , f Y ] = f [ X , Y ] + ( X f ) Y §E22.7 命題 1.3 から直ちに得られる）。U U U X = ∑ i a i ∂ i X=\sum_ia^i\partial_i X = ∑ i a i ∂ i Y = ∑ j b j ∂ j Y=\sum_jb^j\partial_j Y = ∑ j b j ∂ j U U U C ∞ ( U ) C^\infty(U) C ∞ ( U ) T ( X , Y ) = ∑ i , j a i b j T ( ∂ i , ∂ j ) T(X,Y)=\sum_{i,j}a^ib^j\,T(\partial_i,\partial_j) T ( X , Y ) = ∑ i , j a i b j T ( ∂ i , ∂ j ) 補題 3.2 によりΓ i j k = Γ j i k \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} Γ ij k = Γ j i k [ ∂ i , ∂ j ] = 0 [\partial_i,\partial_j]=0 [ ∂ i , ∂ j ] = 0 §E22.7 命題 1.3 で成分が定数であることによる）からT ( ∂ i , ∂ j ) = 0 T(\partial_i,\partial_j)=0 T ( ∂ i , ∂ j ) = 0 T ≡ 0 T\equiv0 T ≡ 0
定理 4.2 (1) を確かめるC ( X ; Y , Z ) = X I ( Y , Z ) − I ( ∇ X U Y , Z ) − I ( Y , ∇ X U Z ) C(X;Y,Z)=X\,\mathrm{I}(Y,Z)-\mathrm{I}(\nabla^U_XY,Z)-\mathrm{I}(Y,\nabla^U_XZ) C ( X ; Y , Z ) = X I ( Y , Z ) − I ( ∇ X U Y , Z ) − I ( Y , ∇ X U Z ) X , Y , Z X,Y,Z X , Y , Z C ∞ ( U ) C^\infty(U) C ∞ ( U ) X X X 定義 4.1 条件 (a) から、Y Y Y
C ( X ; f Y , Z ) = ( X f ) I ( Y , Z ) + f X I ( Y , Z ) − I ( ( X f ) Y + f ∇ X U Y , Z ) − f I ( Y , ∇ X U Z ) = f C ( X ; Y , Z ) C(X;fY,Z)=(Xf)\mathrm{I}(Y,Z)+fX\,\mathrm{I}(Y,Z)-\mathrm{I}\bigl((Xf)Y+f\nabla^U_XY,Z\bigr)-f\,\mathrm{I}(Y,\nabla^U_XZ)=f\,C(X;Y,Z) C ( X ; f Y , Z ) = ( X f ) I ( Y , Z ) + f X I ( Y , Z ) − I ( ( X f ) Y + f ∇ X U Y , Z ) − f I ( Y , ∇ X U Z ) = f C ( X ; Y , Z ) から、Z Z Z C ( X ; Y , Z ) = ∑ i , j , k a k b i c j C ( ∂ k ; ∂ i , ∂ j ) C(X;Y,Z)=\sum_{i,j,k}a^kb^ic^j\,C(\partial_k;\partial_i,\partial_j) C ( X ; Y , Z ) = ∑ i , j , k a k b i c j C ( ∂ k ; ∂ i , ∂ j ) Z = ∑ j c j ∂ j Z=\sum_jc^j\partial_j Z = ∑ j c j ∂ j 補題 3.2 (2) ⇒ \Rightarrow ⇒ (1) ∂ g i j / ∂ u k = Γ k i , j + Γ k j , i \partial g_{ij}/\partial u^k=\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i} ∂ g ij / ∂ u k = Γ k i , j + Γ k j , i
∂ k I ( ∂ i , ∂ j ) = I ( ∇ ∂ k U ∂ i , ∂ j ) + I ( ∂ i , ∇ ∂ k U ∂ j ) \partial_k\,\mathrm{I}(\partial_i,\partial_j)=\mathrm{I}(\nabla^U_{\partial_k}\partial_i,\partial_j)+\mathrm{I}(\partial_i,\nabla^U_{\partial_k}\partial_j) ∂ k I ( ∂ i , ∂ j ) = I ( ∇ ∂ k U ∂ i , ∂ j ) + I ( ∂ i , ∇ ∂ k U ∂ j ) にほかならない。よってC ( ∂ k ; ∂ i , ∂ j ) = 0 C(\partial_k;\partial_i,\partial_j)=0 C ( ∂ k ; ∂ i , ∂ j ) = 0
貼り合わせる 。二つのチャート( U 1 , ⋅ ) (U_1,\ \cdot\ ) ( U 1 , ⋅ ) ( U 2 , ⋅ ) (U_2,\ \cdot\ ) ( U 2 , ⋅ ) ∇ U 1 \nabla^{U_1} ∇ U 1 ∇ U 2 \nabla^{U_2} ∇ U 2 U 1 ∩ U 2 U_1\cap U_2 U 1 ∩ U 2 U 1 ∩ U 2 U_1\cap U_2 U 1 ∩ U 2 定理 4.2 (1) と定理 4.2 (2) を満たす。∇ X U Y \nabla^U_XY ∇ X U Y p p p X ( p ) X(p) X ( p ) Y ( p ) Y(p) Y ( p ) p p p Y Y Y p p p Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k 定理 4.2 (1) と定理 4.2 (2) がそのまま成り立つ。U 1 ∩ U 2 U_1\cap U_2 U 1 ∩ U 2 p ∈ M p\in M p ∈ M X , Y ∈ X ( M ) X,Y\in\mathfrak{X}(M) X , Y ∈ X ( M ) ( ∇ X Y ) ( p ) = ( ∇ X ∣ U U Y ∣ U ) ( p ) (\nabla_XY)(p)=(\nabla^U_{X|_U}Y|_U)(p) ( ∇ X Y ) ( p ) = ( ∇ X ∣ U U Y ∣ U ) ( p ) U U U p p p ∇ \nabla ∇ 定理 4.2 (1) と定理 4.2 (2) はいずれも各点で確かめられる形をしているので、∇ \nabla ∇
正則曲面の場合を確かめる 。M ⊆ R 3 M\subseteq\R^3 M ⊆ R 3 定義 2.1 の共変微分は定理 4.2 (1) と定理 4.2 (2) を満たす接続であるから（命題 2.2 ）、一意性により∇ \nabla ∇ ▨
6 曲線に沿う共変微分と平行移動 以下、( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) ∇ \nabla ∇ 定理 5.3 の接続とする。M M M γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M I I I γ \gamma γ C ∞ C^\infty C ∞ I I I I I I C ∞ C^\infty C ∞
定義 6.1. γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M γ \gamma γ に沿うベクトル場 (vector field along a curve )t ∈ I t\in I t ∈ I V ( t ) ∈ T γ ( t ) M V(t)\in T_{\gamma(t)}M V ( t ) ∈ T γ ( t ) M V V V γ ( t 0 ) \gamma(t_0) γ ( t 0 ) ( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) γ − 1 ( U ) \gamma^{-1}(U) γ − 1 ( U )
V ( t ) = ∑ k = 1 2 v k ( t ) ∂ k ∣ γ ( t ) V(t)=\sum_{k=1}^{2}v^k(t)\,\partial_k\bigl|_{\gamma(t)} V ( t ) = k = 1 ∑ 2 v k ( t ) ∂ k γ ( t ) と書いたときの係数v k v^k v k C ∞ C^\infty C ∞ γ \gamma γ X ( γ ) \mathfrak{X}(\gamma) X ( γ )
速度ベクトル場γ ′ \gamma' γ ′ X ( γ ) \mathfrak{X}(\gamma) X ( γ ) u i ( t ) u^i(t) u i ( t ) γ ′ ( t ) = ∑ i u ˙ i ( t ) ∂ i ∣ γ ( t ) \gamma'(t)=\sum_i\dot u^i(t)\,\partial_i|_{\gamma(t)} γ ′ ( t ) = ∑ i u ˙ i ( t ) ∂ i ∣ γ ( t )
命題 6.2. γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M D / d t : X ( γ ) → X ( γ ) D/dt:\mathfrak{X}(\gamma)\to\mathfrak{X}(\gamma) D / d t : X ( γ ) → X ( γ )
すべてのV , W ∈ X ( γ ) V,W\in\mathfrak{X}(\gamma) V , W ∈ X ( γ ) h ∈ C ∞ ( I ) h\in C^\infty(I) h ∈ C ∞ ( I ) D ( V + W ) d t = D V d t + D W d t , D ( h V ) d t = h ˙ V + h D V d t \frac{D(V+W)}{dt}=\frac{DV}{dt}+\frac{DW}{dt},\qquad
\frac{D(hV)}{dt}=\dot h\,V+h\,\frac{DV}{dt} d t D ( V + W ) = d t D V + d t D W , d t D ( hV ) = h ˙ V + h d t D V
t 0 ∈ I t_0\in I t 0 ∈ I Y Y Y γ ( t 0 ) \gamma(t_0) γ ( t 0 ) U U U t 0 t_0 t 0 V ( t ) = Y ( γ ( t ) ) V(t)=Y(\gamma(t)) V ( t ) = Y ( γ ( t )) D V d t ( t 0 ) = ∇ γ ′ ( t 0 ) Y \dfrac{DV}{dt}(t_0)=\nabla_{\gamma'(t_0)}Y d t D V ( t 0 ) = ∇ γ ′ ( t 0 ) Y さらに、チャート( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 ))
D V d t = ∑ k = 1 2 ( v ˙ k ( t ) + ∑ i , j = 1 2 Γ i j k ( γ ( t ) ) u ˙ i ( t ) v j ( t ) ) ∂ k ∣ γ ( t ) \frac{DV}{dt}=\sum_{k=1}^{2}\left(\dot v^k(t)+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}(\gamma(t))\,\dot u^i(t)\,v^j(t)\right)\partial_k\bigl|_{\gamma(t)} d t D V = k = 1 ∑ 2 ( v ˙ k ( t ) + i , j = 1 ∑ 2 Γ ij k ( γ ( t )) u ˙ i ( t ) v j ( t ) ) ∂ k γ ( t ) であり、M ⊆ R 3 M\subseteq\R^3 M ⊆ R 3
D V d t ( t ) = ( V ′ ( t ) ) ⊤ \frac{DV}{dt}(t)=\bigl(V'(t)\bigr)^{\top} d t D V ( t ) = ( V ′ ( t ) ) ⊤ である。ここで右辺は、R 3 \R^3 R 3 V V V T γ ( t ) M T_{\gamma(t)}M T γ ( t ) M
証明. 主張 (1) が局所性を含むことを示すV ∈ X ( γ ) V\in\mathfrak{X}(\gamma) V ∈ X ( γ ) t 0 t_0 t 0 J J J χ ∈ C ∞ ( I ) \chi\in C^\infty(I) χ ∈ C ∞ ( I ) t 0 t_0 t 0 χ ≡ 1 \chi\equiv1 χ ≡ 1 supp χ ⊆ J \operatorname{supp}\chi\subseteq J supp χ ⊆ J §E22 多様体入門 の§E22.2 命題 1.6 を一次元の多様体I I I χ V \chi V χ V I I I 主張 (1) により
0 = D ( χ V ) d t ( t 0 ) = χ ˙ ( t 0 ) V ( t 0 ) + χ ( t 0 ) D V d t ( t 0 ) = D V d t ( t 0 ) 0=\frac{D(\chi V)}{dt}(t_0)=\dot\chi(t_0)V(t_0)+\chi(t_0)\frac{DV}{dt}(t_0)=\frac{DV}{dt}(t_0) 0 = d t D ( χ V ) ( t 0 ) = χ ˙ ( t 0 ) V ( t 0 ) + χ ( t 0 ) d t D V ( t 0 ) = d t D V ( t 0 ) である。したがってD V / d t DV/dt D V / d t t 0 t_0 t 0 t 0 t_0 t 0 V V V
チャート上の表示を導く 。t 0 ∈ I t_0\in I t 0 ∈ I γ ( t 0 ) \gamma(t_0) γ ( t 0 ) ( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) J = γ − 1 ( U ) J=\gamma^{-1}(U) J = γ − 1 ( U ) t 0 t_0 t 0 I I I J J J V = ∑ k v k ( ∂ k ∘ γ ) V=\sum_kv^k\,(\partial_k\circ\gamma) V = ∑ k v k ( ∂ k ∘ γ ) 主張 (1) と局所性により
D V d t = ∑ k = 1 2 ( v ˙ k ( ∂ k ∘ γ ) + v k D ( ∂ k ∘ γ ) d t ) \frac{DV}{dt}=\sum_{k=1}^{2}\left(\dot v^k\,(\partial_k\circ\gamma)+v^k\,\frac{D(\partial_k\circ\gamma)}{dt}\right) d t D V = k = 1 ∑ 2 ( v ˙ k ( ∂ k ∘ γ ) + v k d t D ( ∂ k ∘ γ ) ) である。∂ k \partial_k ∂ k U U U 主張 (2) により
D ( ∂ k ∘ γ ) d t ( t ) = ∇ γ ′ ( t ) ∂ k = ∑ i = 1 2 u ˙ i ( t ) ∇ ∂ i ∂ k = ∑ i , l = 1 2 u ˙ i ( t ) Γ i k l ( γ ( t ) ) ∂ l \frac{D(\partial_k\circ\gamma)}{dt}(t)=\nabla_{\gamma'(t)}\partial_k
=\sum_{i=1}^{2}\dot u^i(t)\,\nabla_{\partial_i}\partial_k
=\sum_{i,l=1}^{2}\dot u^i(t)\,\Gamma^l_{ik}(\gamma(t))\,\partial_l d t D ( ∂ k ∘ γ ) ( t ) = ∇ γ ′ ( t ) ∂ k = i = 1 ∑ 2 u ˙ i ( t ) ∇ ∂ i ∂ k = i , l = 1 ∑ 2 u ˙ i ( t ) Γ ik l ( γ ( t )) ∂ l である。代入して添字を整理すると主張の表示を得る。この計算は、主張 (1) と主張 (2) を満たす作用素の値を一意に決めているので、一意性が従う。逆に、各チャート上でこの式によってD V / d t DV/dt D V / d t 主張 (1) と主張 (2) を満たす作用素が得られる。二つのチャートの重なりの上で値が一致することは、いま示した一意性を重なりの上で用いれば従う。これで存在も従う。
正則曲面の場合を示す 。M ⊆ R 3 M\subseteq\R^3 M ⊆ R 3 V ( t ) = ∑ k v k ( t ) ∂ k ( γ ( t ) ) V(t)=\sum_kv^k(t)\,\partial_k(\gamma(t)) V ( t ) = ∑ k v k ( t ) ∂ k ( γ ( t )) R 3 \R^3 R 3 t t t
V ′ ( t ) = ∑ k = 1 2 v ˙ k ( t ) ∂ k + ∑ i , j = 1 2 u ˙ i ( t ) v j ( t ) x u i u j V'(t)=\sum_{k=1}^{2}\dot v^k(t)\,\partial_k+\sum_{i,j=1}^{2}\dot u^i(t)\,v^j(t)\,\boldsymbol{x}_{u^iu^j} V ′ ( t ) = k = 1 ∑ 2 v ˙ k ( t ) ∂ k + i , j = 1 ∑ 2 u ˙ i ( t ) v j ( t ) x u i u j である。( x u i u j ) ⊤ = ∑ k Γ i j k ∂ k (\boldsymbol{x}_{u^iu^j})^{\top}=\sum_k\Gamma^k_{ij}\partial_k ( x u i u j ) ⊤ = ∑ k Γ ij k ∂ k ▨
命題 6.3. γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M V , W ∈ X ( γ ) V,W\in\mathfrak{X}(\gamma) V , W ∈ X ( γ ) I I I
d d t I ( V , W ) = I ( D V d t , W ) + I ( V , D W d t ) \frac{d}{dt}\,\mathrm{I}(V,W)=\mathrm{I}\left(\frac{DV}{dt},W\right)+\mathrm{I}\left(V,\frac{DW}{dt}\right) d t d I ( V , W ) = I ( d t D V , W ) + I ( V , d t D W ) が成り立つ。
証明. 主張は局所的であるから、チャート( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) γ − 1 ( U ) \gamma^{-1}(U) γ − 1 ( U ) V = ∑ i v i ∂ i V=\sum_iv^i\partial_i V = ∑ i v i ∂ i W = ∑ j w j ∂ j W=\sum_jw^j\partial_j W = ∑ j w j ∂ j I ( V , W ) = ∑ i , j g i j ( γ ( t ) ) v i w j \mathrm{I}(V,W)=\sum_{i,j}g_{ij}(\gamma(t))v^iw^j I ( V , W ) = ∑ i , j g ij ( γ ( t )) v i w j
d d t I ( V , W ) = ∑ i , j , k ∂ g i j ∂ u k u ˙ k v i w j + ∑ i , j g i j ( v ˙ i w j + v i w ˙ j ) \frac{d}{dt}\,\mathrm{I}(V,W)
=\sum_{i,j,k}\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\,\dot u^k\,v^iw^j
+\sum_{i,j}g_{ij}\bigl(\dot v^iw^j+v^i\dot w^j\bigr) d t d I ( V , W ) = i , j , k ∑ ∂ u k ∂ g ij u ˙ k v i w j + i , j ∑ g ij ( v ˙ i w j + v i w ˙ j ) である。一方、命題 6.2 の表示により
I ( D V d t , W ) + I ( V , D W d t ) = ∑ i , j g i j ( v ˙ i w j + v i w ˙ j ) + ∑ i , j , k , l ( g l j Γ k i l + g i l Γ k j l ) u ˙ k v i w j \mathrm{I}\left(\frac{DV}{dt},W\right)+\mathrm{I}\left(V,\frac{DW}{dt}\right)
=\sum_{i,j}g_{ij}\bigl(\dot v^iw^j+v^i\dot w^j\bigr)
+\sum_{i,j,k,l}\Bigl(g_{lj}\Gamma^l_{ki}+g_{il}\Gamma^l_{kj}\Bigr)\dot u^kv^iw^j I ( d t D V , W ) + I ( V , d t D W ) = i , j ∑ g ij ( v ˙ i w j + v i w ˙ j ) + i , j , k , l ∑ ( g l j Γ k i l + g i l Γ k j l ) u ˙ k v i w j である。∑ l g l j Γ k i l = Γ k i , j \sum_lg_{lj}\Gamma^l_{ki}=\Gamma_{ki,j} ∑ l g l j Γ k i l = Γ k i , j ∑ l g i l Γ k j l = Γ k j , i \sum_lg_{il}\Gamma^l_{kj}=\Gamma_{kj,i} ∑ l g i l Γ k j l = Γ k j , i 補題 3.2 によりΓ k i , j + Γ k j , i = ∂ g i j / ∂ u k \Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i}=\partial g_{ij}/\partial u^k Γ k i , j + Γ k j , i = ∂ g ij / ∂ u k ▨
定義 6.4. γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M V ∈ X ( γ ) V\in\mathfrak{X}(\gamma) V ∈ X ( γ ) γ \gamma γ 平行 (parallel )I I I D V d t = 0 \dfrac{DV}{dt}=0 d t D V = 0
平行であるという条件は、チャート上では
v ˙ k ( t ) = − ∑ i , j = 1 2 Γ i j k ( γ ( t ) ) u ˙ i ( t ) v j ( t ) ( k = 1 , 2 ) \dot v^k(t)=-\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}(\gamma(t))\,\dot u^i(t)\,v^j(t)\qquad(k=1,2) v ˙ k ( t ) = − i , j = 1 ∑ 2 Γ ij k ( γ ( t )) u ˙ i ( t ) v j ( t ) ( k = 1 , 2 ) という、未知関数( v 1 , v 2 ) (v^1,v^2) ( v 1 , v 2 ) − ∑ i Γ i j k ( γ ( t ) ) u ˙ i ( t ) -\sum_i\Gamma^k_{ij}(\gamma(t))\dot u^i(t) − ∑ i Γ ij k ( γ ( t )) u ˙ i ( t ) t t t C ∞ C^\infty C ∞
定理 6.5. ( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M I I I t 0 ∈ I t_0\in I t 0 ∈ I
各V 0 ∈ T γ ( t 0 ) M V_0\in T_{\gamma(t_0)}M V 0 ∈ T γ ( t 0 ) M γ \gamma γ V ∈ X ( γ ) V\in\mathfrak{X}(\gamma) V ∈ X ( γ ) V ( t 0 ) = V 0 V(t_0)=V_0 V ( t 0 ) = V 0
t 1 ∈ I t_1\in I t 1 ∈ I P t 0 t 1 : T γ ( t 0 ) M → T γ ( t 1 ) M P^{t_1}_{t_0}:T_{\gamma(t_0)}M\to T_{\gamma(t_1)}M P t 0 t 1 : T γ ( t 0 ) M → T γ ( t 1 ) M P t 0 t 1 ( V 0 ) = V ( t 1 ) P^{t_1}_{t_0}(V_0)=V(t_1) P t 0 t 1 ( V 0 ) = V ( t 1 ) γ \gamma γ 平行移動 (parallel transport )P t 0 t 1 P^{t_1}_{t_0} P t 0 t 1 V 0 , W 0 ∈ T γ ( t 0 ) M V_0,W_0\in T_{\gamma(t_0)}M V 0 , W 0 ∈ T γ ( t 0 ) M I ( P t 0 t 1 V 0 , P t 0 t 1 W 0 ) = I ( V 0 , W 0 ) \mathrm{I}\bigl(P^{t_1}_{t_0}V_0,\ P^{t_1}_{t_0}W_0\bigr)=\mathrm{I}(V_0,W_0) I ( P t 0 t 1 V 0 , P t 0 t 1 W 0 ) = I ( V 0 , W 0 ) P t 0 t 1 P^{t_1}_{t_0} P t 0 t 1 P t 1 t 0 P^{t_0}_{t_1} P t 1 t 0 証明の方針を述べる。一意性は常微分方程式の理論を経由せずに得られる。二つの平行な場の差はふたたび平行であり、命題 6.3 により平行な場どうしの第一基本形式による内積は定数であるから、差の長さが至るところ零になるからである。存在については、曲線の像が一つのチャートに含まれる場合に、平行であるという条件がそのまま線形常微分方程式系になるので、連続な係数を持つ線形系についての定理を適用して区間の全体で解を得る。一般の曲線については、コンパクトな部分区間の像を有限個のチャートで覆って区間を分割し、各小区間で解を作って端点で継ぎ足し、一意性によって整合させる。
証明. 平行な場どうしの内積が定数であることを示す 。V , W V,W V , W γ \gamma γ 命題 6.3 により
d d t I ( V , W ) = I ( 0 , W ) + I ( V , 0 ) = 0 \frac{d}{dt}\,\mathrm{I}(V,W)=\mathrm{I}(0,W)+\mathrm{I}(V,0)=0 d t d I ( V , W ) = I ( 0 , W ) + I ( V , 0 ) = 0 であるからI ( V , W ) \mathrm{I}(V,W) I ( V , W ) I I I
一意性を示す 。V V V V ~ \widetilde{V} V V ( t 0 ) = V ~ ( t 0 ) V(t_0)=\widetilde{V}(t_0) V ( t 0 ) = V ( t 0 ) Z = V − V ~ Z=V-\widetilde{V} Z = V − V D / d t D/dt D / d t R \R R 命題 6.2 (1) ）によりZ Z Z I ( Z , Z ) \mathrm{I}(Z,Z) I ( Z , Z ) Z ( t 0 ) = 0 Z(t_0)=0 Z ( t 0 ) = 0 I ( Z , Z ) ≡ 0 \mathrm{I}(Z,Z)\equiv0 I ( Z , Z ) ≡ 0 I \mathrm{I} I Z ≡ 0 Z\equiv0 Z ≡ 0 V = V ~ V=\widetilde{V} V = V
像が一つのチャートに含まれる開区間の場合について存在を示す 。J J J γ ( J ) ⊆ U \gamma(J)\subseteq U γ ( J ) ⊆ U ( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) A ( t ) A(t) A ( t ) A j k ( t ) = − ∑ i Γ i j k ( γ ( t ) ) u ˙ i ( t ) A^k_{\ j}(t)=-\sum_i\Gamma^k_{ij}(\gamma(t))\dot u^i(t) A j k ( t ) = − ∑ i Γ ij k ( γ ( t )) u ˙ i ( t ) J J J §E13 常微分方程式論 の§E13.9 系 1.2 により、J J J J J J C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞
一般の場合について存在を示す 。滑らかな曲線の定義により、I I I I ~ \widetilde{I} I γ \gamma γ γ ~ : I ~ → M \widetilde{\gamma}:\widetilde{I}\to M γ : I → M γ ~ \widetilde{\gamma} γ 主張 (1) を示せば足りる。以下I I I
[ c , d ] ⊆ I [c,d]\subseteq I [ c , d ] ⊆ I t 0 t_0 t 0 γ ( [ c , d ] ) \gamma([c,d]) γ ([ c , d ]) [ c , d ] [c,d] [ c , d ] [ c , d ] [c,d] [ c , d ] c = s 0 < s 1 < ⋯ < s m = d c=s_0<s_1<\dots<s_m=d c = s 0 < s 1 < ⋯ < s m = d γ ( [ s n − 1 , s n ] ) \gamma([s_{n-1},s_n]) γ ([ s n − 1 , s n ]) U n U_n U n γ − 1 ( U n ) \gamma^{-1}(U_n) γ − 1 ( U n ) [ s n − 1 , s n ] [s_{n-1},s_n] [ s n − 1 , s n ] [ s n − 1 , s n ] [s_{n-1},s_n] [ s n − 1 , s n ] J n ⊆ γ − 1 ( U n ) J_n\subseteq\gamma^{-1}(U_n) J n ⊆ γ − 1 ( U n ) t 0 t_0 t 0 J n J_n J n [ c , d ] [c,d] [ c , d ] I I I t 0 t_0 t 0 I I I
主張 (2) を示す。線形性は、V 1 , V 2 V_1,V_2 V 1 , V 2 a , b ∈ R a,b\in\R a , b ∈ R a V 1 + b V 2 aV_1+bV_2 a V 1 + b V 2 t 0 t_0 t 0 a V 1 ( t 0 ) + b V 2 ( t 0 ) aV_1(t_0)+bV_2(t_0) a V 1 ( t 0 ) + b V 2 ( t 0 ) 主張 (1) の一意性から従う。第一基本形式を保つことは、前段で示した「平行な場どうしの内積が定数である」ことをt = t 0 t=t_0 t = t 0 t = t 1 t=t_1 t = t 1 T γ ( t 0 ) M T_{\gamma(t_0)}M T γ ( t 0 ) M T γ ( t 1 ) M T_{\gamma(t_1)}M T γ ( t 1 ) M P t 1 t 0 ∘ P t 0 t 1 = id P^{t_0}_{t_1}\circ P^{t_1}_{t_0}=\operatorname{id} P t 1 t 0 ∘ P t 0 t 1 = id ▨
7 例 以下の例では、Christoffel 記号と平行移動を独立に計算する。
例 7.1. M = { ( x , y , 0 ) : ( x , y ) ∈ R 2 } M=\{(x,y,0):(x,y)\in\R^2\} M = {( x , y , 0 ) : ( x , y ) ∈ R 2 } x ( u , v ) = ( u , v , 0 ) \boldsymbol{x}(u,v)=(u,v,0) x ( u , v ) = ( u , v , 0 ) E = 1 E=1 E = 1 F = 0 F=0 F = 0 G = 1 G=1 G = 1 公式 3.4 のすべての式の分子が零になりΓ i j k ≡ 0 \Gamma^k_{ij}\equiv0 Γ ij k ≡ 0
同じ平面に極座標y ( r , φ ) = ( r cos φ , r sin φ , 0 ) \boldsymbol{y}(r,\varphi)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi,0) y ( r , φ ) = ( r cos φ , r sin φ , 0 ) r > 0 r>0 r > 0 E = 1 E=1 E = 1 F = 0 F=0 F = 0 G = r 2 G=r^2 G = r 2
Γ 22 1 = − G r 2 E = − r , Γ 12 2 = Γ 21 2 = G r 2 G = 1 r \Gamma^1_{22}=-\frac{G_r}{2E}=-r,\qquad
\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{G_r}{2G}=\frac1r Γ 22 1 = − 2 E G r = − r , Γ 12 2 = Γ 21 2 = 2 G G r = r 1 であり、残る四つは零である。同じ曲面の同じ接続でありながら Christoffel 記号の値が異なるのは、Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k 定理 3.3 で主張しているのは、Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k
例 7.2. M = { ( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1 } M=\{(x,y,z):x^2+y^2=1\} M = {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1 } x ( u , v ) = ( cos u , sin u , v ) \boldsymbol{x}(u,v)=(\cos u,\sin u,v) x ( u , v ) = ( cos u , sin u , v ) x u = ( − sin u , cos u , 0 ) \boldsymbol{x}_u=(-\sin u,\cos u,0) x u = ( − sin u , cos u , 0 ) x v = ( 0 , 0 , 1 ) \boldsymbol{x}_v=(0,0,1) x v = ( 0 , 0 , 1 ) E = 1 E=1 E = 1 F = 0 F=0 F = 0 G = 1 G=1 G = 1 公式 3.4 によりΓ i j k ≡ 0 \Gamma^k_{ij}\equiv0 Γ ij k ≡ 0 γ ( t ) = x ( u ( t ) , v ( t ) ) \gamma(t)=\boldsymbol{x}(u(t),v(t)) γ ( t ) = x ( u ( t ) , v ( t )) V = ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 V=\xi^1\partial_1+\xi^2\partial_2 V = ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 ξ 1 , ξ 2 \xi^1,\xi^2 ξ 1 , ξ 2
第二基本形式は零ではない。単位法線をN = ( cos u , sin u , 0 ) N=(\cos u,\sin u,0) N = ( cos u , sin u , 0 ) x u u = ( − cos u , − sin u , 0 ) \boldsymbol{x}_{uu}=(-\cos u,-\sin u,0) x uu = ( − cos u , − sin u , 0 ) − N -N − N ⟨ N , x u u ⟩ \langle N,\boldsymbol{x}_{uu}\rangle ⟨ N , x uu ⟩ − 1 -1 − 1 V ′ ( t ) V'(t) V ′ ( t ) §E23.4 定義 7.1 ）の帰結である。
例 7.3. 半径r > 0 r>0 r > 0 M = { p ∈ R 3 : ∥ p ∥ = r } M=\{p\in\R^3:\lVert p\rVert=r\} M = { p ∈ R 3 : ∥ p ∥ = r }
x ( u , v ) = r ( sin u cos v , sin u sin v , cos u ) ( 0 < u < π , v ∈ R ) \boldsymbol{x}(u,v)=r(\sin u\cos v,\ \sin u\sin v,\ \cos u)\qquad(0<u<\pi,\ v\in\R) x ( u , v ) = r ( sin u cos v , sin u sin v , cos u ) ( 0 < u < π , v ∈ R ) とする。x u = r ( cos u cos v , cos u sin v , − sin u ) \boldsymbol{x}_u=r(\cos u\cos v,\cos u\sin v,-\sin u) x u = r ( cos u cos v , cos u sin v , − sin u ) x v = r ( − sin u sin v , sin u cos v , 0 ) \boldsymbol{x}_v=r(-\sin u\sin v,\sin u\cos v,0) x v = r ( − sin u sin v , sin u cos v , 0 )
E = r 2 , F = 0 , G = r 2 sin 2 u E=r^2,\qquad F=0,\qquad G=r^2\sin^2u E = r 2 , F = 0 , G = r 2 sin 2 u である。公式 3.4 により
Γ 22 1 = − G u 2 E = − 2 r 2 sin u cos u 2 r 2 = − sin u cos u , Γ 12 2 = Γ 21 2 = G u 2 G = cos u sin u \Gamma^1_{22}=-\frac{G_u}{2E}=-\frac{2r^2\sin u\cos u}{2r^2}=-\sin u\cos u,\qquad
\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{G_u}{2G}=\frac{\cos u}{\sin u} Γ 22 1 = − 2 E G u = − 2 r 2 2 r 2 sin u cos u = − sin u cos u , Γ 12 2 = Γ 21 2 = 2 G G u = sin u cos u であり、残る四つは零である。
向きは、囲む領域から見て内向きに取る。すなわちN ( p ) = − p / r N(p)=-p/r N ( p ) = − p / r x \boldsymbol{x} x ( x u × x v ) / ∥ x u × x v ∥ (\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v)/\lVert\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v\rVert ( x u × x v ) / ∥ x u × x v ∥ u = π / 2 u=\pi/2 u = π /2 v = 0 v=0 v = 0 x u × x v = r 2 ( 1 , 0 , 0 ) \boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v=r^2(1,0,0) x u × x v = r 2 ( 1 , 0 , 0 )
e 1 = x v r sin u , e 2 = x u r e_1=\frac{\boldsymbol{x}_v}{r\sin u},\qquad e_2=\frac{\boldsymbol{x}_u}{r} e 1 = r sin u x v , e 2 = r x u と取ると( e 1 , e 2 , N ) (e_1,e_2,N) ( e 1 , e 2 , N ) u = u 0 u=u_0 u = u 0 v = 0 v=0 v = 0 e 1 = ( 0 , 1 , 0 ) e_1=(0,1,0) e 1 = ( 0 , 1 , 0 ) e 2 = ( cos u 0 , 0 , − sin u 0 ) e_2=(\cos u_0,0,-\sin u_0) e 2 = ( cos u 0 , 0 , − sin u 0 )
e 1 × e 2 = ( − sin u 0 , 0 , − cos u 0 ) = N e_1\times e_2=(-\sin u_0,0,-\cos u_0)=N e 1 × e 2 = ( − sin u 0 , 0 , − cos u 0 ) = N となる。
0 < u 0 < π 0<u_0<\pi 0 < u 0 < π v v v
γ ( t ) = x ( u 0 , − t ) ( 0 ≤ t ≤ 2 π ) \gamma(t)=\boldsymbol{x}(u_0,-t)\qquad(0\le t\le2\pi) γ ( t ) = x ( u 0 , − t ) ( 0 ≤ t ≤ 2 π ) と径数づける。座標表示はu 1 ( t ) = u 0 u^1(t)=u_0 u 1 ( t ) = u 0 u 2 ( t ) = − t u^2(t)=-t u 2 ( t ) = − t u ˙ 1 = 0 \dot u^1=0 u ˙ 1 = 0 u ˙ 2 = − 1 \dot u^2=-1 u ˙ 2 = − 1 γ \gamma γ V = ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 V=\xi^1\partial_1+\xi^2\partial_2 V = ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2
ξ ˙ 1 = − Γ 22 1 u ˙ 2 ξ 2 = − ( − sin u 0 cos u 0 ) ( − 1 ) ξ 2 = − sin u 0 cos u 0 ξ 2 , \dot\xi^1=-\Gamma^1_{22}\,\dot u^2\xi^2=-(-\sin u_0\cos u_0)(-1)\xi^2=-\sin u_0\cos u_0\,\xi^2, ξ ˙ 1 = − Γ 22 1 u ˙ 2 ξ 2 = − ( − sin u 0 cos u 0 ) ( − 1 ) ξ 2 = − sin u 0 cos u 0 ξ 2 , ξ ˙ 2 = − Γ 21 2 u ˙ 2 ξ 1 = − cos u 0 sin u 0 ( − 1 ) ξ 1 = cos u 0 sin u 0 ξ 1 \dot\xi^2=-\Gamma^2_{21}\,\dot u^2\xi^1=-\frac{\cos u_0}{\sin u_0}(-1)\xi^1=\frac{\cos u_0}{\sin u_0}\,\xi^1 ξ ˙ 2 = − Γ 21 2 u ˙ 2 ξ 1 = − sin u 0 cos u 0 ( − 1 ) ξ 1 = sin u 0 cos u 0 ξ 1 である。標構( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) A = r sin u 0 ξ 2 A=r\sin u_0\,\xi^2 A = r sin u 0 ξ 2 B = r ξ 1 B=r\,\xi^1 B = r ξ 1
A ˙ = r sin u 0 ξ ˙ 2 = cos u 0 ⋅ r ξ 1 = ( cos u 0 ) B , B ˙ = r ξ ˙ 1 = − cos u 0 ⋅ r sin u 0 ξ 2 = − ( cos u 0 ) A \dot A=r\sin u_0\,\dot\xi^2=\cos u_0\cdot r\xi^1=(\cos u_0)B,\qquad
\dot B=r\dot\xi^1=-\cos u_0\cdot r\sin u_0\,\xi^2=-(\cos u_0)A A ˙ = r sin u 0 ξ ˙ 2 = cos u 0 ⋅ r ξ 1 = ( cos u 0 ) B , B ˙ = r ξ ˙ 1 = − cos u 0 ⋅ r sin u 0 ξ 2 = − ( cos u 0 ) A である。したがって複素数値関数A + i B A+iB A + i B d d t ( A + i B ) = − i ( cos u 0 ) ( A + i B ) \frac{d}{dt}(A+iB)=-i(\cos u_0)(A+iB) d t d ( A + i B ) = − i ( cos u 0 ) ( A + i B )
A ( t ) + i B ( t ) = e − i t cos u 0 ( A ( 0 ) + i B ( 0 ) ) A(t)+iB(t)=e^{-it\cos u_0}\bigl(A(0)+iB(0)\bigr) A ( t ) + i B ( t ) = e − i t c o s u 0 ( A ( 0 ) + i B ( 0 ) ) である。A 2 + B 2 A^2+B^2 A 2 + B 2 定理 6.5 (2) と整合する。
t = 2 π t=2\pi t = 2 π ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) P 0 2 π P^{2\pi}_0 P 0 2 π e 1 e_1 e 1 e 2 e_2 e 2 − 2 π cos u 0 -2\pi\cos u_0 − 2 π cos u 0 r r r K = 1 / r 2 K=1/r^2 K = 1/ r 2 §E23.6 命題 4.3 。この値は向きの取り方に依らない）、面積要素はd A = E G − F 2 d u d v = r 2 sin u d u d v dA=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv=r^2\sin u\,du\,dv d A = E G − F 2 d u d v = r 2 sin u d u d v §E23.4 定義 5.1 ）であるから、領域R = { u < u 0 } R=\{u<u_0\} R = { u < u 0 }
∫ 0 u 0 ∫ 0 2 π r 2 sin u d v d u = 2 π r 2 ( 1 − cos u 0 ) \int_0^{u_0}\!\!\int_0^{2\pi}r^2\sin u\,dv\,du=2\pi r^2(1-\cos u_0) ∫ 0 u 0 ∫ 0 2 π r 2 sin u d v d u = 2 π r 2 ( 1 − cos u 0 ) であり、
∫ R K d A = 2 π ( 1 − cos u 0 ) \int_RK\,dA=2\pi(1-\cos u_0) ∫ R K d A = 2 π ( 1 − cos u 0 ) である。二つの値は2 π 2\pi 2 π 2 π 2\pi 2 π
差が2 π 2\pi 2 π ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) R = { u < u 0 } R=\{u<u_0\} R = { u < u 0 } e 1 = x v / ( r sin u ) e_1=\boldsymbol{x}_v/(r\sin u) e 1 = x v / ( r sin u ) u → 0 u\to0 u → 0 R R R 2 π 2\pi 2 π §E23.14 局所 Gauss–Bonnet とホロノミー の§E23.14 注意 7.2 によりこの点が特定され、§E23.14 例 8.4 により、北極を含む球冠に対して立体射影の座標から標構を取り直すと、平行移動の回転角がちょうど∫ R K d A \int_RK\,dA ∫ R K d A
なお、v v v N N N T = γ ′ / ∥ γ ′ ∥ T=\gamma'/\lVert\gamma'\rVert T = γ ′ / ∥ γ ′ ∥ N × T N\times T N × T { u < u 0 } \{u<u_0\} { u < u 0 }
8 境界 指数写像と測地正規座標を構成しないこと 。共変微分から測地線を作ると、初期点と初期速度を与えるごとに測地線が定まる。この対応が初期条件について滑らかであることを述べたのが指数写像であり、指数写像から測地正規座標と測地極座標が得られる。本単元ではこの構成を行わない。その理由は次のとおりである。§E13 常微分方程式論 では、解が初期値について連続に依存することまでを示し、初期値についての微分可能性を扱わないと明記している。したがって指数写像の滑らかさを Part E の範囲で正当化することができない。本単元では、局所 Gauss–Bonnet の定理を、測地極座標ではなく正規直交標構と接続形式を用いて証明する。
一般次元へ広げないこと 。定理 4.2 と定理 5.3 の証明は、次元を二に限る箇所を持たない。同じ主張は一般次元の Riemann 多様体に対して成り立つ。本単元でこれらの主張を二次元に限るのは、後続の議論が二次元の標構と曲率の具体的な計算に依存するからである。
接続の一般論へ広げないこと 。本記事の∇ \nabla ∇
Christoffel 記号が座標に依存すること 。例 7.1 のとおり、Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k 定理 4.2 の二つの条件によって特徴づけられる。
9 演習 問題 9.1.
( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) ( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) g i j = I ( ∂ i , ∂ j ) g_{ij}=\mathrm{I}(\partial_i,\partial_j) g ij = I ( ∂ i , ∂ j ) U U U C ∞ C^\infty C ∞ Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k i , j , k ∈ { 1 , 2 } i,j,k\in\{1,2\} i , j , k ∈ { 1 , 2 } X = ∑ i a i ∂ i X=\sum_ia^i\partial_i X = ∑ i a i ∂ i Y = ∑ j b j ∂ j ∈ X ( U ) Y=\sum_jb^j\partial_j\in\mathfrak{X}(U) Y = ∑ j b j ∂ j ∈ X ( U ) ∇ X Γ Y = ∑ k = 1 2 ( X b k + ∑ i , j = 1 2 Γ i j k a i b j ) ∂ k \nabla^\Gamma_XY=\sum_{k=1}^{2}\Bigl(Xb^k+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}a^ib^j\Bigr)\partial_k ∇ X Γ Y = k = 1 ∑ 2 ( X b k + i , j = 1 ∑ 2 Γ ij k a i b j ) ∂ k ∇ Γ \nabla^\Gamma ∇ Γ U U U ∇ Γ \nabla^\Gamma ∇ Γ 定理 4.2 (2) を満たすこととΓ i j k = Γ j i k \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} Γ ij k = Γ j i k i , j , k i,j,k i , j , k ∇ Γ \nabla^\Gamma ∇ Γ 定理 4.2 (1) を満たすことと∂ g i j / ∂ u k = Γ k i , j + Γ k j , i \partial g_{ij}/\partial u^k=\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i} ∂ g ij / ∂ u k = Γ k i , j + Γ k j , i Γ i j , l = ∑ m g m l Γ i j m \Gamma_{ij,l}=\sum_mg_{ml}\Gamma^m_{ij} Γ ij , l = ∑ m g m l Γ ij m i , j , k i,j,k i , j , k ∇ Γ \nabla^\Gamma ∇ Γ Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k 定理 5.3 の式で与えられるものに限ることを示せ。 平面R 2 \R^2 R 2 g i j = δ i j g_{ij}=\delta_{ij} g ij = δ ij (1) の∇ Γ \nabla^\Gamma ∇ Γ Γ 11 2 = 1 \Gamma^2_{11}=1 Γ 11 2 = 1 Γ 12 1 = − 1 \Gamma^1_{12}=-1 Γ 12 1 = − 1 Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k 0 0 0 ∇ ∂ 1 Γ ∂ 2 − ∇ ∂ 2 Γ ∂ 1 − [ ∂ 1 , ∂ 2 ] \nabla^\Gamma_{\partial_1}\partial_2-\nabla^\Gamma_{\partial_2}\partial_1-[\partial_1,\partial_2] ∇ ∂ 1 Γ ∂ 2 − ∇ ∂ 2 Γ ∂ 1 − [ ∂ 1 , ∂ 2 ] Γ 11 1 = 1 \Gamma^1_{11}=1 Γ 11 1 = 1 0 0 0
( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) ∇ \nabla ∇ 定義 4.1 の意味の任意の接続とし、p ∈ M p\in M p ∈ M X , Y ∈ X ( M ) X,Y\in\mathfrak{X}(M) X , Y ∈ X ( M ) Y Y Y p p p V V V ( ∇ X Y ) ( p ) = 0 (\nabla_XY)(p)=0 ( ∇ X Y ) ( p ) = 0 X ( p ) = 0 X(p)=0 X ( p ) = 0 ( ∇ X Y ) ( p ) = 0 (\nabla_XY)(p)=0 ( ∇ X Y ) ( p ) = 0 上半平面M = { ( u , v ) ∈ R 2 ∣ v > 0 } M=\{(u,v)\in\R^2\mid v>0\} M = {( u , v ) ∈ R 2 ∣ v > 0 } E = G = 1 / v 2 E=G=1/v^2 E = G = 1/ v 2 F = 0 F=0 F = 0 定理 5.3 の式から Christoffel 記号をすべて求めよ。水平な曲線γ ( t ) = ( t , 1 ) \gamma(t)=(t,1) γ ( t ) = ( t , 1 ) P 0 t P^t_0 P 0 t γ ′ \gamma' γ ′ γ \gamma γ β ( t ) = ( 0 , e t ) \beta(t)=(0,e^t) β ( t ) = ( 0 , e t ) β ′ \beta' β ′ β \beta β
( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) γ : I → M \gamma\colon I\to M γ : I → M h : I ′ → I h\colon I'\to I h : I ′ → I C ∞ C^\infty C ∞ h ′ ≠ 0 h'\ne0 h ′ = 0 γ ~ = γ ∘ h \tilde\gamma=\gamma\circ h γ ~ = γ ∘ h V ∈ X ( γ ) V\in\mathfrak{X}(\gamma) V ∈ X ( γ ) D ( V ∘ h ) d s = h ′ ( s ) D V d t ( h ( s ) ) \dfrac{D(V\circ h)}{ds}=h'(s)\,\dfrac{DV}{dt}\bigl(h(s)\bigr) d s D ( V ∘ h ) = h ′ ( s ) d t D V ( h ( s ) ) γ ~ \tilde\gamma γ ~ P ~ \tilde P P ~ P ~ s 0 s 1 = P h ( s 0 ) h ( s 1 ) \tilde P^{s_1}_{s_0}=P^{h(s_1)}_{h(s_0)} P ~ s 0 s 1 = P h ( s 0 ) h ( s 1 ) 例 7.3 の緯線をv v v γ ~ ( s ) = x ( u 0 , s ) \tilde\gamma(s)=\boldsymbol{x}(u_0,s) γ ~ ( s ) = x ( u 0 , s ) 0 ≤ s ≤ 2 π 0\le s\le2\pi 0 ≤ s ≤ 2 π P ~ 0 2 π \tilde P^{2\pi}_0 P ~ 0 2 π e 1 e_1 e 1 e 2 e_2 e 2 2 π cos u 0 2\pi\cos u_0 2 π cos u 0 例 7.3 の計算を、u 0 = π / 2 u_0=\pi/2 u 0 = π /2 P 0 2 π P^{2\pi}_0 P 0 2 π γ ( t ) = x ( π / 2 , − t ) \gamma(t)=\boldsymbol{x}(\pi/2,-t) γ ( t ) = x ( π /2 , − t ) γ ′ \gamma' γ ′ γ \gamma γ u 0 ≠ π / 2 u_0\ne\pi/2 u 0 = π /2 例 7.2 で、円柱上の螺旋γ ( t ) = x ( t , c t ) \gamma(t)=\boldsymbol{x}(t,ct) γ ( t ) = x ( t , c t ) c c c t 1 − t 0 ∈ 2 π Z t_1-t_0\in2\pi\Z t 1 − t 0 ∈ 2 π Z P t 0 t 1 P^{t_1}_{t_0} P t 0 t 1 γ \gamma γ R 3 \R^3 R 3 γ ′ ′ \gamma'' γ ′′ 命題 6.2 によりγ ′ \gamma' γ ′ γ \gamma γ 解答. (1) を示す。∇ X Γ Y \nabla^\Gamma_XY ∇ X Γ Y C ∞ C^\infty C ∞ ∇ X Γ Y ∈ X ( U ) \nabla^\Gamma_XY\in\mathfrak{X}(U) ∇ X Γ Y ∈ X ( U ) X X X a i a^i a i X b k = ∑ i a i ∂ i b k Xb^k=\sum_ia^i\partial_ib^k X b k = ∑ i a i ∂ i b k a i a^i a i ∇ f X 1 + X 2 Γ Y = f ∇ X 1 Γ Y + ∇ X 2 Γ Y \nabla^\Gamma_{fX_1+X_2}Y=f\nabla^\Gamma_{X_1}Y+\nabla^\Gamma_{X_2}Y ∇ f X 1 + X 2 Γ Y = f ∇ X 1 Γ Y + ∇ X 2 Γ Y Y Y Y f Y fY f Y f b k fb^k f b k X ( f b k ) = ( X f ) b k + f X b k X(fb^k)=(Xf)b^k+fXb^k X ( f b k ) = ( X f ) b k + f X b k ∇ X Γ ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X Γ Y \nabla^\Gamma_X(fY)=(Xf)Y+f\nabla^\Gamma_XY ∇ X Γ ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X Γ Y ∇ Γ \nabla^\Gamma ∇ Γ 定義 4.1 の三つの条件を満たす。
捩れを計算する。§E22.7 命題 1.3 により[ X , Y ] = ∑ k ( X b k − Y a k ) ∂ k [X,Y]=\sum_k(Xb^k-Ya^k)\partial_k [ X , Y ] = ∑ k ( X b k − Y a k ) ∂ k
∇ X Γ Y − ∇ Y Γ X − [ X , Y ] = ∑ k = 1 2 ∑ i , j = 1 2 ( Γ i j k − Γ j i k ) a i b j ∂ k \nabla^\Gamma_XY-\nabla^\Gamma_YX-[X,Y]=\sum_{k=1}^{2}\sum_{i,j=1}^{2}\bigl(\Gamma^k_{ij}-\Gamma^k_{ji}\bigr)a^ib^j\,\partial_k ∇ X Γ Y − ∇ Y Γ X − [ X , Y ] = k = 1 ∑ 2 i , j = 1 ∑ 2 ( Γ ij k − Γ j i k ) a i b j ∂ k である。Γ i j k = Γ j i k \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} Γ ij k = Γ j i k X , Y X,Y X , Y X = ∂ i X=\partial_i X = ∂ i Y = ∂ j Y=\partial_j Y = ∂ j Γ i j k = Γ j i k \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} Γ ij k = Γ j i k
内積との両立を調べる。Z = ∑ j c j ∂ j Z=\sum_jc^j\partial_j Z = ∑ j c j ∂ j I ( Y , Z ) = ∑ i , j g i j b i c j \mathrm{I}(Y,Z)=\sum_{i,j}g_{ij}b^ic^j I ( Y , Z ) = ∑ i , j g ij b i c j
X I ( Y , Z ) = ∑ i , j , k a k ∂ g i j ∂ u k b i c j + ∑ i , j g i j ( ( X b i ) c j + b i ( X c j ) ) X\,\mathrm{I}(Y,Z)=\sum_{i,j,k}a^k\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}b^ic^j+\sum_{i,j}g_{ij}\bigl((Xb^i)c^j+b^i(Xc^j)\bigr) X I ( Y , Z ) = i , j , k ∑ a k ∂ u k ∂ g ij b i c j + i , j ∑ g ij ( ( X b i ) c j + b i ( X c j ) ) である。一方
I ( ∇ X Γ Y , Z ) + I ( Y , ∇ X Γ Z ) = ∑ i , j g i j ( ( X b i ) c j + b i ( X c j ) ) + ∑ i , j , k a k b i c j ( Γ k i , j + Γ k j , i ) \mathrm{I}(\nabla^\Gamma_XY,Z)+\mathrm{I}(Y,\nabla^\Gamma_XZ)=\sum_{i,j}g_{ij}\bigl((Xb^i)c^j+b^i(Xc^j)\bigr)+\sum_{i,j,k}a^kb^ic^j\bigl(\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i}\bigr) I ( ∇ X Γ Y , Z ) + I ( Y , ∇ X Γ Z ) = i , j ∑ g ij ( ( X b i ) c j + b i ( X c j ) ) + i , j , k ∑ a k b i c j ( Γ k i , j + Γ k j , i ) である。差は∑ i , j , k a k b i c j ( ∂ g i j / ∂ u k − Γ k i , j − Γ k j , i ) \sum_{i,j,k}a^kb^ic^j\bigl(\partial g_{ij}/\partial u^k-\Gamma_{ki,j}-\Gamma_{kj,i}\bigr) ∑ i , j , k a k b i c j ( ∂ g ij / ∂ u k − Γ k i , j − Γ k j , i ) X , Y , Z X,Y,Z X , Y , Z X = ∂ k X=\partial_k X = ∂ k Y = ∂ i Y=\partial_i Y = ∂ i Z = ∂ j Z=\partial_j Z = ∂ j i , j , k i,j,k i , j , k ∂ g i j / ∂ u k = Γ k i , j + Γ k j , i \partial g_{ij}/\partial u^k=\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i} ∂ g ij / ∂ u k = Γ k i , j + Γ k j , i
二つの条件をともに満たすことは、( g m l ) (g_{ml}) ( g m l ) Γ i j , l = Γ j i , l \Gamma_{ij,l}=\Gamma_{ji,l} Γ ij , l = Γ j i , l 補題 3.2 (1) が成り立つことと同値である。補題 3.2 によりこれは補題 3.2 (2) と同値であり、両辺にg k l g^{kl} g k l l l l Γ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k 定理 5.3 の式で与えられることと同値である。
(2) を示す。g i j = δ i j g_{ij}=\delta_{ij} g ij = δ ij Γ i j , l = Γ i j l \Gamma_{ij,l}=\Gamma^l_{ij} Γ ij , l = Γ ij l g i j g_{ij} g ij (1) により、内積と両立することは、すべてのi , j , k i,j,k i , j , k Γ k i , j + Γ k j , i = 0 \Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i}=0 Γ k i , j + Γ k j , i = 0
第一の組では、零でない成分はΓ 11 , 2 = 1 \Gamma_{11,2}=1 Γ 11 , 2 = 1 Γ 12 , 1 = − 1 \Gamma_{12,1}=-1 Γ 12 , 1 = − 1 k = 1 k=1 k = 1 ( i , j ) = ( 1 , 1 ) (i,j)=(1,1) ( i , j ) = ( 1 , 1 ) 2 Γ 11 , 1 = 0 2\Gamma_{11,1}=0 2 Γ 11 , 1 = 0 ( i , j ) = ( 1 , 2 ) (i,j)=(1,2) ( i , j ) = ( 1 , 2 ) ( 2 , 1 ) (2,1) ( 2 , 1 ) Γ 11 , 2 + Γ 12 , 1 = 0 \Gamma_{11,2}+\Gamma_{12,1}=0 Γ 11 , 2 + Γ 12 , 1 = 0 ( i , j ) = ( 2 , 2 ) (i,j)=(2,2) ( i , j ) = ( 2 , 2 ) 2 Γ 12 , 2 = 0 2\Gamma_{12,2}=0 2 Γ 12 , 2 = 0 k = 2 k=2 k = 2 Γ 2 i , j \Gamma_{2i,j} Γ 2 i , j Γ 12 1 = − 1 ≠ 0 = Γ 21 1 \Gamma^1_{12}=-1\ne0=\Gamma^1_{21} Γ 12 1 = − 1 = 0 = Γ 21 1 (1) の計算により
∇ ∂ 1 Γ ∂ 2 − ∇ ∂ 2 Γ ∂ 1 − [ ∂ 1 , ∂ 2 ] = ∑ k ( Γ 12 k − Γ 21 k ) ∂ k = − ∂ 1 \nabla^\Gamma_{\partial_1}\partial_2-\nabla^\Gamma_{\partial_2}\partial_1-[\partial_1,\partial_2]=\sum_k\bigl(\Gamma^k_{12}-\Gamma^k_{21}\bigr)\partial_k=-\partial_1 ∇ ∂ 1 Γ ∂ 2 − ∇ ∂ 2 Γ ∂ 1 − [ ∂ 1 , ∂ 2 ] = k ∑ ( Γ 12 k − Γ 21 k ) ∂ k = − ∂ 1 である。
第二の組ではΓ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k i , j i,j i , j k = i = j = 1 k=i=j=1 k = i = j = 1 Γ 11 , 1 + Γ 11 , 1 = 2 ≠ 0 = ∂ g 11 / ∂ u 1 \Gamma_{11,1}+\Gamma_{11,1}=2\ne0=\partial g_{11}/\partial u^1 Γ 11 , 1 + Γ 11 , 1 = 2 = 0 = ∂ g 11 / ∂ u 1 定理 4.2 の二つの条件はどちらも他方から従わない。とくに、補題 3.2 の同値は対称性を外すと成り立たず、第一の組は対称でないにもかかわらず補題 3.2 (1) の第二の等式を満たしている。
(3) を示す。§E22.2 命題 1.6 により、C ∞ C^\infty C ∞ χ : M → [ 0 , 1 ] \chi\colon M\to[0,1] χ : M → [ 0 , 1 ] p p p χ ≡ 1 \chi\equiv1 χ ≡ 1 supp χ ⊆ V \operatorname{supp}\chi\subseteq V supp χ ⊆ V V V V Y = 0 Y=0 Y = 0 V V V χ = 0 \chi=0 χ = 0 χ Y = 0 \chi Y=0 χ Y = 0 定義 4.1 条件 (c) により
0 = ∇ X ( χ Y ) = ( X χ ) Y + χ ∇ X Y 0=\nabla_X(\chi Y)=(X\chi)\,Y+\chi\,\nabla_XY 0 = ∇ X ( χ Y ) = ( X χ ) Y + χ ∇ X Y であり、p p p Y ( p ) = 0 Y(p)=0 Y ( p ) = 0 χ ( p ) = 1 \chi(p)=1 χ ( p ) = 1 ( ∇ X Y ) ( p ) = 0 (\nabla_XY)(p)=0 ( ∇ X Y ) ( p ) = 0 ∇ X Y \nabla_XY ∇ X Y p p p p p p Y Y Y Y − Y ~ Y-\tilde Y Y − Y ~
次にX ( p ) = 0 X(p)=0 X ( p ) = 0 p p p ( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) U U U X = ∑ i a i ∂ i X=\sum_ia^i\partial_i X = ∑ i a i ∂ i χ \chi χ p p p χ ≡ 1 \chi\equiv1 χ ≡ 1 supp χ ⊆ U \operatorname{supp}\chi\subseteq U supp χ ⊆ U X i = χ ∂ i X_i=\chi\partial_i X i = χ ∂ i f i = χ a i f_i=\chi a^i f i = χ a i U U U X ( M ) \mathfrak{X}(M) X ( M ) C ∞ ( M ) C^\infty(M) C ∞ ( M ) M M M χ 2 X = ∑ i f i X i \chi^2X=\sum_if_iX_i χ 2 X = ∑ i f i X i 定義 4.1 条件 (a) により
χ 2 ∇ X Y = ∇ χ 2 X Y = ∑ i = 1 2 f i ∇ X i Y \chi^2\,\nabla_XY=\nabla_{\chi^2X}Y=\sum_{i=1}^{2}f_i\,\nabla_{X_i}Y χ 2 ∇ X Y = ∇ χ 2 X Y = i = 1 ∑ 2 f i ∇ X i Y である。p p p χ ( p ) = 1 \chi(p)=1 χ ( p ) = 1 f i ( p ) = a i ( p ) = 0 f_i(p)=a^i(p)=0 f i ( p ) = a i ( p ) = 0 ( ∇ X Y ) ( p ) = 0 (\nabla_XY)(p)=0 ( ∇ X Y ) ( p ) = 0 ( ∇ X Y ) ( p ) (\nabla_XY)(p) ( ∇ X Y ) ( p ) X ( p ) X(p) X ( p ) p p p Y Y Y Y ( p ) Y(p) Y ( p ) 例 7.1 の平面でX = ∂ 1 X=\partial_1 X = ∂ 1 Y = u 1 ∂ 1 Y=u^1\partial_1 Y = u 1 ∂ 1 Y ( 0 ) = 0 Y(0)=0 Y ( 0 ) = 0 ∇ X Y = ∂ 1 ≠ 0 \nabla_XY=\partial_1\ne0 ∇ X Y = ∂ 1 = 0
(4) を示す。F = 0 F=0 F = 0 g 11 = 1 / E g^{11}=1/E g 11 = 1/ E g 22 = 1 / G g^{22}=1/G g 22 = 1/ G g 12 = 0 g^{12}=0 g 12 = 0 定理 5.3 の式は公式 3.4 の証明と同じ代入で同じ六つの式を与える。E u = G u = 0 E_u=G_u=0 E u = G u = 0 E v = G v = − 2 / v 3 E_v=G_v=-2/v^3 E v = G v = − 2/ v 3
Γ 11 1 = 0 , Γ 12 1 = Γ 21 1 = E v 2 E = − 1 v , Γ 22 1 = 0 , Γ 11 2 = − E v 2 G = 1 v , Γ 12 2 = Γ 21 2 = 0 , Γ 22 2 = G v 2 G = − 1 v \Gamma^1_{11}=0,\quad\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}=\frac{E_v}{2E}=-\frac1v,\quad\Gamma^1_{22}=0,\quad
\Gamma^2_{11}=-\frac{E_v}{2G}=\frac1v,\quad\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=0,\quad\Gamma^2_{22}=\frac{G_v}{2G}=-\frac1v Γ 11 1 = 0 , Γ 12 1 = Γ 21 1 = 2 E E v = − v 1 , Γ 22 1 = 0 , Γ 11 2 = − 2 G E v = v 1 , Γ 12 2 = Γ 21 2 = 0 , Γ 22 2 = 2 G G v = − v 1 である。
γ ( t ) = ( t , 1 ) \gamma(t)=(t,1) γ ( t ) = ( t , 1 ) u ˙ 1 = 1 \dot u^1=1 u ˙ 1 = 1 u ˙ 2 = 0 \dot u^2=0 u ˙ 2 = 0 v = 1 v=1 v = 1 定義 6.4 の後に述べた平行の条件は
ξ ˙ 1 = − Γ 11 1 ξ 1 − Γ 12 1 ξ 2 = ξ 2 , ξ ˙ 2 = − Γ 11 2 ξ 1 − Γ 12 2 ξ 2 = − ξ 1 \dot\xi^1=-\Gamma^1_{11}\xi^1-\Gamma^1_{12}\xi^2=\xi^2,\qquad
\dot\xi^2=-\Gamma^2_{11}\xi^1-\Gamma^2_{12}\xi^2=-\xi^1 ξ ˙ 1 = − Γ 11 1 ξ 1 − Γ 12 1 ξ 2 = ξ 2 , ξ ˙ 2 = − Γ 11 2 ξ 1 − Γ 12 2 ξ 2 = − ξ 1 であり、解はξ 1 ( t ) = ξ 1 ( 0 ) cos t + ξ 2 ( 0 ) sin t \xi^1(t)=\xi^1(0)\cos t+\xi^2(0)\sin t ξ 1 ( t ) = ξ 1 ( 0 ) cos t + ξ 2 ( 0 ) sin t ξ 2 ( t ) = − ξ 1 ( 0 ) sin t + ξ 2 ( 0 ) cos t \xi^2(t)=-\xi^1(0)\sin t+\xi^2(0)\cos t ξ 2 ( t ) = − ξ 1 ( 0 ) sin t + ξ 2 ( 0 ) cos t v = 1 v=1 v = 1 { ∂ 1 , ∂ 2 } \{\partial_1,\partial_2\} { ∂ 1 , ∂ 2 } P 0 t P^t_0 P 0 t ( cos t sin t − sin t cos t ) \begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\ -\sin t&\cos t\end{pmatrix} ( cos t − sin t sin t cos t ) γ ′ = ∂ 1 \gamma'=\partial_1 γ ′ = ∂ 1 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ξ ˙ 2 = − ξ 1 = − 1 ≠ 0 \dot\xi^2=-\xi^1=-1\ne0 ξ ˙ 2 = − ξ 1 = − 1 = 0 γ ′ \gamma' γ ′
β ( t ) = ( 0 , e t ) \beta(t)=(0,e^t) β ( t ) = ( 0 , e t ) u ˙ 1 = 0 \dot u^1=0 u ˙ 1 = 0 u ˙ 2 = e t \dot u^2=e^t u ˙ 2 = e t v = e t v=e^t v = e t β ′ = e t ∂ 2 \beta'=e^t\partial_2 β ′ = e t ∂ 2 ( ξ 1 , ξ 2 ) = ( 0 , e t ) (\xi^1,\xi^2)=(0,e^t) ( ξ 1 , ξ 2 ) = ( 0 , e t )
ξ ˙ 1 = − Γ 21 1 u ˙ 2 ξ 1 − Γ 22 1 u ˙ 2 ξ 2 = 1 e t e t ⋅ 0 = 0 , ξ ˙ 2 = − Γ 21 2 u ˙ 2 ξ 1 − Γ 22 2 u ˙ 2 ξ 2 = 1 e t e t ⋅ e t = e t \dot\xi^1=-\Gamma^1_{21}\dot u^2\xi^1-\Gamma^1_{22}\dot u^2\xi^2=\frac{1}{e^t}e^t\cdot0=0,\qquad
\dot\xi^2=-\Gamma^2_{21}\dot u^2\xi^1-\Gamma^2_{22}\dot u^2\xi^2=\frac{1}{e^t}e^t\cdot e^t=e^t ξ ˙ 1 = − Γ 21 1 u ˙ 2 ξ 1 − Γ 22 1 u ˙ 2 ξ 2 = e t 1 e t ⋅ 0 = 0 , ξ ˙ 2 = − Γ 21 2 u ˙ 2 ξ 1 − Γ 22 2 u ˙ 2 ξ 2 = e t 1 e t ⋅ e t = e t であり、( 0 , e t ) (0,e^t) ( 0 , e t ) β ′ \beta' β ′ I ( β ′ , β ′ ) = e 2 t / e 2 t = 1 \mathrm{I}(\beta',\beta')=e^{2t}/e^{2t}=1 I ( β ′ , β ′ ) = e 2 t / e 2 t = 1 β \beta β
(5) を示す。主張は局所的であるから、チャートの上で示せば足りる。γ \gamma γ u i ( t ) u^i(t) u i ( t ) V = ∑ k v k ∂ k V=\sum_kv^k\partial_k V = ∑ k v k ∂ k γ ~ \tilde\gamma γ ~ u ~ i ( s ) = u i ( h ( s ) ) \tilde u^i(s)=u^i(h(s)) u ~ i ( s ) = u i ( h ( s )) V ∘ h V\circ h V ∘ h v ~ k ( s ) = v k ( h ( s ) ) \tilde v^k(s)=v^k(h(s)) v ~ k ( s ) = v k ( h ( s )) C ∞ C^\infty C ∞ V ∘ h ∈ X ( γ ~ ) V\circ h\in\mathfrak{X}(\tilde\gamma) V ∘ h ∈ X ( γ ~ ) d u ~ i / d s = h ′ ( s ) u ˙ i ( h ( s ) ) d\tilde u^i/ds=h'(s)\,\dot u^i(h(s)) d u ~ i / d s = h ′ ( s ) u ˙ i ( h ( s )) d v ~ k / d s = h ′ ( s ) v ˙ k ( h ( s ) ) d\tilde v^k/ds=h'(s)\,\dot v^k(h(s)) d v ~ k / d s = h ′ ( s ) v ˙ k ( h ( s )) 命題 6.2 の表示により
d v ~ k d s + ∑ i , j Γ i j k ( γ ~ ( s ) ) d u ~ i d s v ~ j = h ′ ( s ) ( v ˙ k + ∑ i , j Γ i j k ( γ ( t ) ) u ˙ i v j ) ∣ t = h ( s ) \frac{d\tilde v^k}{ds}+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}(\tilde\gamma(s))\frac{d\tilde u^i}{ds}\tilde v^j=h'(s)\Bigl(\dot v^k+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}(\gamma(t))\dot u^iv^j\Bigr)\Big|_{t=h(s)} d s d v ~ k + i , j ∑ Γ ij k ( γ ~ ( s )) d s d u ~ i v ~ j = h ′ ( s ) ( v ˙ k + i , j ∑ Γ ij k ( γ ( t )) u ˙ i v j ) t = h ( s ) であり、等式が成り立つ。h ′ ≠ 0 h'\ne0 h ′ = 0 V V V γ \gamma γ V ∘ h V\circ h V ∘ h γ ~ \tilde\gamma γ ~ V 0 ∈ T γ ~ ( s 0 ) M V_0\in T_{\tilde\gamma(s_0)}M V 0 ∈ T γ ~ ( s 0 ) M V V V V ( h ( s 0 ) ) = V 0 V(h(s_0))=V_0 V ( h ( s 0 )) = V 0 γ \gamma γ V ∘ h V\circ h V ∘ h γ ~ \tilde\gamma γ ~ s 0 s_0 s 0 V 0 V_0 V 0 定理 6.5 (1) の一意性によりP ~ s 0 s 1 ( V 0 ) = V ( h ( s 1 ) ) = P h ( s 0 ) h ( s 1 ) ( V 0 ) \tilde P^{s_1}_{s_0}(V_0)=V(h(s_1))=P^{h(s_1)}_{h(s_0)}(V_0) P ~ s 0 s 1 ( V 0 ) = V ( h ( s 1 )) = P h ( s 0 ) h ( s 1 ) ( V 0 )
例 7.3 のγ ( t ) = x ( u 0 , − t ) \gamma(t)=\boldsymbol{x}(u_0,-t) γ ( t ) = x ( u 0 , − t ) t ∈ R t\in\R t ∈ R t ∈ R t\in\R t ∈ R A ( t ) + i B ( t ) = e − i t cos u 0 ( A ( 0 ) + i B ( 0 ) ) A(t)+iB(t)=e^{-it\cos u_0}(A(0)+iB(0)) A ( t ) + i B ( t ) = e − i t c o s u 0 ( A ( 0 ) + i B ( 0 )) h ( s ) = − s h(s)=-s h ( s ) = − s γ ~ = γ ∘ h \tilde\gamma=\gamma\circ h γ ~ = γ ∘ h h ′ = − 1 ≠ 0 h'=-1\ne0 h ′ = − 1 = 0 P ~ 0 2 π = P 0 − 2 π \tilde P^{2\pi}_0=P^{-2\pi}_0 P ~ 0 2 π = P 0 − 2 π t = − 2 π t=-2\pi t = − 2 π A + i B A+iB A + i B e 2 π i cos u 0 e^{2\pi i\cos u_0} e 2 π i c o s u 0 ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) t = − 2 π t=-2\pi t = − 2 π P ~ 0 2 π \tilde P^{2\pi}_0 P ~ 0 2 π 2 π cos u 0 2\pi\cos u_0 2 π cos u 0
(6) を示す。u 0 = π / 2 u_0=\pi/2 u 0 = π /2 sin u 0 = 1 \sin u_0=1 sin u 0 = 1 cos u 0 = 0 \cos u_0=0 cos u 0 = 0 例 7.3 の平行の条件はξ ˙ 1 = 0 \dot\xi^1=0 ξ ˙ 1 = 0 ξ ˙ 2 = 0 \dot\xi^2=0 ξ ˙ 2 = 0 ξ 1 , ξ 2 \xi^1,\xi^2 ξ 1 , ξ 2 A ( t ) + i B ( t ) = e − i t cos u 0 ( A ( 0 ) + i B ( 0 ) ) A(t)+iB(t)=e^{-it\cos u_0}(A(0)+iB(0)) A ( t ) + i B ( t ) = e − i t c o s u 0 ( A ( 0 ) + i B ( 0 )) cos u 0 = 0 \cos u_0=0 cos u 0 = 0 A ( t ) + i B ( t ) = A ( 0 ) + i B ( 0 ) A(t)+iB(t)=A(0)+iB(0) A ( t ) + i B ( t ) = A ( 0 ) + i B ( 0 ) x u \boldsymbol{x}_u x u x v \boldsymbol{x}_v x v v v v 2 π 2\pi 2 π ∂ k \partial_k ∂ k γ ( 2 π ) \gamma(2\pi) γ ( 2 π ) γ ( 0 ) \gamma(0) γ ( 0 ) P 0 2 π ( ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 ) = ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 P^{2\pi}_0(\xi^1\partial_1+\xi^2\partial_2)=\xi^1\partial_1+\xi^2\partial_2 P 0 2 π ( ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 ) = ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 P 0 2 π P^{2\pi}_0 P 0 2 π T γ ( 0 ) M T_{\gamma(0)}M T γ ( 0 ) M γ ( t ) = x ( π / 2 , − t ) \gamma(t)=\boldsymbol{x}(\pi/2,-t) γ ( t ) = x ( π /2 , − t ) γ ′ = − ∂ 2 \gamma'=-\partial_2 γ ′ = − ∂ 2 ( ξ 1 , ξ 2 ) = ( 0 , − 1 ) (\xi^1,\xi^2)=(0,-1) ( ξ 1 , ξ 2 ) = ( 0 , − 1 ) γ ′ \gamma' γ ′ γ \gamma γ 定義 6.4 ）。速度ベクトル場が平行であるという条件は、§E23.8 測地線・測地曲率・エネルギーの第一変分 で測地線を定める条件である。u 0 ≠ π / 2 u_0\ne\pi/2 u 0 = π /2 ( ξ 1 , ξ 2 ) = ( 0 , − 1 ) (\xi^1,\xi^2)=(0,-1) ( ξ 1 , ξ 2 ) = ( 0 , − 1 ) ξ ˙ 1 = − sin u 0 cos u 0 ξ 2 = sin u 0 cos u 0 ≠ 0 \dot\xi^1=-\sin u_0\cos u_0\,\xi^2=\sin u_0\cos u_0\ne0 ξ ˙ 1 = − sin u 0 cos u 0 ξ 2 = sin u 0 cos u 0 = 0 γ ′ \gamma' γ ′ ( 1 / r , 0 ) (1/r,0) ( 1/ r , 0 ) γ ′ \gamma' γ ′ ∂ 1 / r \partial_1/r ∂ 1 / r t = 2 π t=2\pi t = 2 π P 0 2 π P^{2\pi}_0 P 0 2 π
(7) を示す。γ ( t ) = x ( t , c t ) = ( cos t , sin t , c t ) \gamma(t)=\boldsymbol{x}(t,ct)=(\cos t,\ \sin t,\ ct) γ ( t ) = x ( t , c t ) = ( cos t , sin t , c t ) 例 7.2 によりΓ i j k ≡ 0 \Gamma^k_{ij}\equiv0 Γ ij k ≡ 0 γ \gamma γ V = ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 V=\xi^1\partial_1+\xi^2\partial_2 V = ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 ξ 1 , ξ 2 \xi^1,\xi^2 ξ 1 , ξ 2 t 0 , t 1 ∈ R t_0,t_1\in\R t 0 , t 1 ∈ R
P t 0 t 1 ( ξ 1 ∂ 1 ∣ γ ( t 0 ) + ξ 2 ∂ 2 ∣ γ ( t 0 ) ) = ξ 1 ∂ 1 ∣ γ ( t 1 ) + ξ 2 ∂ 2 ∣ γ ( t 1 ) P^{t_1}_{t_0}\bigl(\xi^1\partial_1|_{\gamma(t_0)}+\xi^2\partial_2|_{\gamma(t_0)}\bigr)=\xi^1\partial_1|_{\gamma(t_1)}+\xi^2\partial_2|_{\gamma(t_1)} P t 0 t 1 ( ξ 1 ∂ 1 ∣ γ ( t 0 ) + ξ 2 ∂ 2 ∣ γ ( t 0 ) ) = ξ 1 ∂ 1 ∣ γ ( t 1 ) + ξ 2 ∂ 2 ∣ γ ( t 1 ) で与えられ、座標基底{ ∂ 1 , ∂ 2 } \{\partial_1,\partial_2\} { ∂ 1 , ∂ 2 } P t 0 t 1 P^{t_1}_{t_0} P t 0 t 1 t 1 − t 0 ∈ 2 π Z t_1-t_0\in2\pi\Z t 1 − t 0 ∈ 2 π Z ∂ 1 = ( − sin t , cos t , 0 ) \partial_1=(-\sin t,\cos t,0) ∂ 1 = ( − sin t , cos t , 0 ) ∂ 2 = ( 0 , 0 , 1 ) \partial_2=(0,0,1) ∂ 2 = ( 0 , 0 , 1 ) t t t 2 π 2\pi 2 π T γ ( t 1 ) M T_{\gamma(t_1)}M T γ ( t 1 ) M T γ ( t 0 ) M T_{\gamma(t_0)}M T γ ( t 0 ) M R 3 \R^3 R 3 P t 0 t 1 P^{t_1}_{t_0} P t 0 t 1 γ ′ ( t ) = ( − sin t , cos t , c ) = ∂ 1 + c ∂ 2 \gamma'(t)=(-\sin t,\cos t,c)=\partial_1+c\,\partial_2 γ ′ ( t ) = ( − sin t , cos t , c ) = ∂ 1 + c ∂ 2 ( 1 , c ) (1,c) ( 1 , c ) γ ′ \gamma' γ ′ γ ′ ′ ( t ) = ( − cos t , − sin t , 0 ) ≠ 0 \gamma''(t)=(-\cos t,-\sin t,0)\ne0 γ ′′ ( t ) = ( − cos t , − sin t , 0 ) = 0 ∥ γ ′ ∥ = 1 + c 2 \lVert\gamma'\rVert=\sqrt{1+c^2} ∥ γ ′ ∥ = 1 + c 2 1 / ( 1 + c 2 ) > 0 1/(1+c^2)>0 1/ ( 1 + c 2 ) > 0 N c = ( − cos t , − sin t , 0 ) N_{\mathrm{c}}=(-\cos t,-\sin t,0) N c = ( − cos t , − sin t , 0 ) §E23.2 定義 3.1 ）。二つの結果が両立するのは、N c = − N N_{\mathrm{c}}=-N N c = − N 命題 6.2 によりD γ ′ / d t = ( γ ′ ′ ) ⊤ D\gamma'/dt=(\gamma'')^{\top} D γ ′ / d t = ( γ ′′ ) ⊤ γ ′ ′ \gamma'' γ ′′ γ \gamma γ ▨