§E23.16面積の第一変分と極小曲面

証明.主張 (1)を示す。定義 1.1の式を$u$で偏微分すると

である。§E23.5 命題 1.5により$N_u=-S(\boldsymbol{x}_u)$であるから

である。同様に$(\boldsymbol{x}_t)_v=\bigl(\boldsymbol{x}_v-t\varphi S(\boldsymbol{x}_v)\bigr)+t\varphi_vN$である。$S$の値は接平面に属し（§E23.5 定義 1.4）、$N$は接平面に直交するから、内積を取ると

である。§E23.5 命題 3.2により$\langle S(\boldsymbol{x}_u),\boldsymbol{x}_u\rangle=e$、$\langle S(\boldsymbol{x}_u),\boldsymbol{x}_v\rangle=\langle\boldsymbol{x}_u,S(\boldsymbol{x}_v)\rangle=f$、$\langle S(\boldsymbol{x}_v),\boldsymbol{x}_v\rangle=g$であるから、括弧を展開すると

である。$F_t$の一次の項で$\langle S(\boldsymbol{x}_u),\boldsymbol{x}_v\rangle$と$\langle\boldsymbol{x}_u,S(\boldsymbol{x}_v)\rangle$の二つが現れ、両者が等しいことは§E23.5 定理 2.1による。係数はすべて$U$の上の滑らかな関数である。

主張 (2)を示す。$W_t=E_tG_t-F_t^2$は二次以下の多項式の積と差であるから四次以下の多項式である。$t=0$での値は$EG-F^2$であり、第一基本形式が正定値であること（§E23.4 命題 1.2）から正である。積の微分により

である。§E23.6 公式 2.3により$eG-2fF+gE=2H(EG-F^2)$であるから

である。

主張 (3)を示す。$U\setminus\mathcal{K}$の上では$\boldsymbol{x}_t=\boldsymbol{x}$であるから$W_t=W_0>0$である。$W$は$U\times\R$の上の連続関数であり、$\mathcal{K}\times\{0\}$の上で正である。$\mathcal{K}$はコンパクトであるから、各$q\in\mathcal{K}$に対して$q$の近傍と$0$の近傍の直積で$W>0$となるものを取り、有限個で$\mathcal{K}$を覆うことにより、$\varepsilon>0$を$\mathcal{K}\times(-\varepsilon,\varepsilon)$の上で$W_t>0$となるように取ることができる。以上により$\lvert t\rvert<\varepsilon$のとき$U$の全体で$W_t>0$である。§E23.4 補題 1.5により$W_t=\lVert(\boldsymbol{x}_t)_u\times(\boldsymbol{x}_t)_v\rVert^2$であるから、$W_t>0$は$(\boldsymbol{x}_t)_u$と$(\boldsymbol{x}_t)_v$が一次独立であること、すなわち$\boldsymbol{x}_t$がはめ込みであることと同値である（§E23.3 補題 1.4）。$W$は多項式係数の滑らかな関数であり正であるから、$\sqrt{W_t}$は滑らかである。▨

証明. 被積分関数の差を延長する。$\lvert t\rvert<\varepsilon$に対して

と置く。補題 1.2 (3)により$\psi$は$U\times(-\varepsilon,\varepsilon)$の上で滑らかである。$U\setminus\mathcal{K}$の上では$W_t=W_0$であるから$\psi=0$である。そこで$\psi$を$\bigl(\R^2\setminus\mathcal{K}\bigr)\times(-\varepsilon,\varepsilon)$の上では$0$と定めて$\R^2\times(-\varepsilon,\varepsilon)$へ延ばす。$\mathcal{K}\subseteq U$であるから$U$と$\R^2\setminus\mathcal{K}$は$\R^2$を覆う開集合であり、共通部分$U\setminus\mathcal{K}$の上で二つの定め方は一致するから、延長は$\R^2\times(-\varepsilon,\varepsilon)$の上で滑らかである。各$t$について$\psi(\cdot,\cdot,t)$の台は$\mathcal{K}$に含まれる。

積分領域を長方形へ取り替える。$\mathcal{K}$は有界であるから、閉長方形$R=[a,b]\times[c,d]$で$\mathcal{K}\subseteq R$となるものが存在する。$\psi(\cdot,\cdot,t)$は連続で台が$\mathcal{K}$に含まれるから、$\mathcal{K}$を含むコンパクトな Jordan 可測集合の上の積分の値は、どれを取っても等しい。$\mathcal{K}\subseteq D$かつ$\mathcal{K}\subseteq R$であるから

である。$A$の微分可能性と導関数を調べるには$\Phi$を調べれば足りる。

累次積分へ直す。各$t$について$\psi(\cdot,\cdot,t)$は$R$の上で連続であるから、§E4 実解析 IIの§E4.12 定理 1.1により

である。内側の積分を

と書く。

内側の積分へ補題を適用する。$u\in[a,b]$を固定する。$\psi$と$\partial_t\psi$は$[c,d]\times(-\varepsilon,\varepsilon)$の上で連続であるから、§E23.8 補題 2.1により$t\mapsto\eta(u,t)$は$C^1$級であり

である。

$\eta$と$\partial_t\eta$が二変数の関数として連続であることを示す。$0<\varepsilon'<\varepsilon$を取ると、$R\times[-\varepsilon',\varepsilon']$はコンパクトであるから、$\psi$と$\partial_t\psi$はその上で一様連続である。$(u,t)$と$(u',t')$を$[a,b]\times[-\varepsilon',\varepsilon']$の点とすると

であり、右辺は一様連続性により$(u',t')\to(u,t)$のとき$0$へ収束する。$\partial_t\eta$についても$\partial_t\psi$に同じ評価を行えばよい。よって$\eta$と$\partial_t\eta$は$[a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon)$の上で連続である。

外側の積分へ補題を適用する。$\eta$と$\partial_t\eta$が$[a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon)$の上で連続であるから、再び§E23.8 補題 2.1により$\Phi$は$(-\varepsilon,\varepsilon)$の上で$C^1$級であり

である。最後の等号は、$\partial_t\psi(\cdot,\cdot,t)$が$R$の上で連続であることから§E4.12 定理 1.1による。

$t=0$での値を計算する。$W_0>0$であるから

である。ここで補題 1.2 (2)を用いた。$A'(0)=\Phi'(0)$であるから

である。最後の等号は、被積分関数の台が$\mathcal{K}\subseteq R\cap U$に含まれることによる。▨

証明.$w(q_0)\ne0$となる$q_0\in U$が存在すると仮定して矛盾を導く。必要なら$w$を$-w$に取り替えて$w(q_0)>0$としてよい。$w$は連続であるから、$q_0$の開近傍$V\subseteq U$で$V$の上で$w>w(q_0)/2$となるものが存在する。

二次元の$C^\infty$多様体$\R^2$に対して§E22 多様体入門の§E22.2 命題 1.6を適用し、$\chi\colon\R^2\to[0,1]$を、$\chi(q_0)=1$であり台がコンパクトで$V$に含まれるように取る。$\varphi=\chi|_U$と置くと、$\varphi$は仮定の条件を満たす。したがって

である。しかし被積分関数は$V$の上で非負であり、$q_0$の近傍で正の値を取る連続関数であるから、積分は正である。これは矛盾である。▨

証明.§E23.6 命題 2.4により、$U$の各点で$\tilde H=-H$が成り立つ。実数について$-H(p)=0$と$H(p)=0$は同値であるから、二つの条件は同値である。▨

証明.(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$H\equiv0$ならば定理 2.1の右辺の被積分関数が恒等的に零であるから、値は$0$である。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$w=2H\sqrt{EG-F^2}$と置く。$H$は滑らかであり（§E23.6 公式 2.3の右辺が滑らかな関数の商であることによる）、$\sqrt{EG-F^2}$も滑らかであるから、$w$は$U$の上で連続である。台がコンパクトで$U$に含まれる滑らかな関数$\varphi$を一つ取り、その台を定義 1.1のとおり$\mathcal{K}$と書く。定理 2.1で要求される$D$は、次のようにして得られる。$\mathcal{K}$はコンパクトであって開集合$U$に含まれるから、$\mathcal{K}$と$\R^2\setminus U$との距離$\rho$（$U=\R^2$のときは任意の正の数）は正であり、辺の長さが$\rho/2$より小さい正方格子の閉正方形のうち$\mathcal{K}$と交わるものは有限個であって、その合併はコンパクトかつ Jordan 可測であり、$\mathcal{K}$を内部に含み$U$に含まれる。この合併を$D$と取る。仮定と定理 2.1により

である。$\varphi$は台がコンパクトで$U$に含まれる滑らかな関数として任意であったから、補題 3.1により$w\equiv0$である。$\sqrt{EG-F^2}>0$であるから$H\equiv0$である。▨

証明.§E23.5 例 5.4により、$\boldsymbol{x}(u,v)=(u,v,h(u,v))$について

であり、$\Omega=\sqrt{1+h_u^2+h_v^2}$と置くと

である。§E23.6 公式 2.3により

である。$\Omega>0$であるから、$H=0$と分子が$0$であることは同値である。▨

証明. まず$C_a$が正則曲面の一部であることと、その面積の表示を確かめる。$\varphi(u)=a\cosh(u/a)$、$\Psi(u)=u$と置くと$\varphi>0$、$\varphi'^2+\Psi'^2=\sinh^2(u/a)+1>0$である。母線$u\mapsto\bigl(a\cosh(u/a),\ u\bigr)$は第二成分によって$u$が定まるので像への同相写像である。したがって§E23.4 命題 6.1により

は正則パラメータ表示を与え、

である。$C_a$の面積を、§E23.4 定義 5.1の値の$v$についての極限として

で定める。境界の二円の半径が$\varphi(\pm h)=a\cosh(h/a)$であることは定義から直ちに従う。

主張 (1)を示す。$g(t)=\cosh t-t\sinh t$と置く。$g(0)=1>0$であり$g'(t)=-t\cosh t<0$（$t>0$）であるから、$g$は$(0,\infty)$で狭義単調減少である。$t\to\infty$のとき$g(t)\to-\infty$であるから、$g$はただ一つの正の零点$t^{*}$を持つ。$g(t)=0$は$\cosh t=t\sinh t$、すなわち$t\tanh t=1$と同値である。

であるから、$\psi'$の符号は$g$の符号に一致し、$\psi$は$(0,t^{*}]$で狭義単調増加、$[t^{*},\infty)$で狭義単調減少である。$\psi(t)\to0$（$t\to0^{+}$および$t\to\infty$）は明らかである。

主張 (2)を示す。境界の半径が$r$であることは$a\cosh(h/a)=r$と同値である。$t=h/a$と置くと$a=h/t$であり、この条件は

と同値である。$a>0$と$t>0$は一対一に対応するから、解の個数は$\psi(t)=\tau$の正の解の個数に等しい。主張 (1)により、$\psi$は$(0,t^{*}]$で$0$から$\tau^{*}$へ狭義単調増加し、$[t^{*},\infty)$で$\tau^{*}$から$0$へ狭義単調減少するから、$\tau>\tau^{*}$のとき解は無く、$\tau=\tau^{*}$のとき解は$t^{*}$の一つ、$0<\tau<\tau^{*}$のとき解はちょうど二つである。

主張 (3)を示す。$\displaystyle\int\cosh^2\frac ua\,du=\frac a2\Bigl(\frac ua+\sinh\frac ua\cosh\frac ua\Bigr)$であり、被積分関数は偶関数であるから

である。ここで$t=h/a$である。よって$A(C_a)=2\pi a^2(t+\sinh t\cosh t)$である。境界の半径が$r$であるとき$r=a\cosh t$、すなわち$a=r/\cosh t$であるから

である。

主張 (4)を示す。$N(t)=t+\sinh t\cosh t$、$D(t)=\cosh^2t$と置くと$N'(t)=1+\cosh2t=2\cosh^2t$、$D'(t)=2\cosh t\sinh t$であるから

である。したがって

が$(0,\infty)$の全体で成り立つ。

$\psi$の$[t^{*},\infty)$への制限は$(0,\tau^{*}]$の上への狭義単調減少な全単射であり、$(t^{*},\infty)$では$\psi'<0$であるから、その逆写像$\mu\colon(0,\tau^{*})\to(t^{*},\infty)$は$C^{\infty}$級であり、$v\to\tau^{*-}$のとき$\mu(v)\to t^{*}$である。$\sigma=\mu\circ\psi|_{(0,t^{*})}$と置くと、$\sigma\colon(0,t^{*})\to(t^{*},\infty)$は$C^{\infty}$級であり、$\psi(\sigma(t))=\psi(t)$を満たす。すなわち$\sigma(t)$は$t$と同じ$\tau$に対応するもう一つの解である。