§E23.1正則曲線と弧長

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曲線を微分幾何の対象として扱うには、まず「曲線」という語が何を指すのかを決めなければならない。図形としての像を対象にすると、像だけからは微分することができない。写像そのものを対象にすると、同じ図形を描く写像が無数にあるので、どの量が図形の性質でどの量が写像の選び方の性質なのかが分からなくなる。本記事では、写像を対象に取り、そのうえでパラメータの取り替えに対して変わらない量を分離する。

本記事で実際に示すのは次の四つである。第一に、正則なパラメータ変換に対して長さが変わらないことを示す。第二に、速さの積分として定めた弧長関数がC∞C^\infty微分同相であり、弧長関数による再パラメータ化が単位速度になることを示す。第三に、単位速度の表示がパラメータの平行移動と向きの反転を除いて一意であることを示す。第四に、内接する折れ線の長さの上限として定めた長さが、速さの積分に一致することを示す。最後に円と常螺旋の弧長を計算する。

曲率と捩率、および Frenet 標構は本記事では定義しない。

R3\R^3の標準内積を⟨ , ⟩\langle\ ,\ \rangleと書き、この内積が定めるノルムを∥v∥=⟨v,v⟩\lVert v\rVert=\sqrt{\langle v,v\rangle}と書く。断りのない「滑らか」はC∞C^\inftyを指す。

1 正則曲線とパラメータの取り替え

定義 1.1.I⊆RI\subseteq\Rを開区間とする。C∞C^\infty写像γ ⁣:I→R3\gamma\colon I\to\R^3をパラメータ曲線 (parametrized curve) という。γ′(t)\gamma'(t)を速度ベクトル (velocity vector)、∥γ′(t)∥\lVert\gamma'(t)\rVertを速さ (speed) という。

すべてのt∈It\in Iに対してγ′(t)≠0\gamma'(t)\ne\boldsymbol{0}が成り立つとき、γ\gammaを正則曲線 (regular curve) という。

正則曲線は写像であって、像γ(I)⊆R3\gamma(I)\subseteq\R^3ではない。単射性は仮定しないので、像が自分自身と交わることも、同じ点を何度も通ることも許す。本記事の主張はすべて写像についての主張である。

定義 1.2.IIとJJを開区間とする。全単射h ⁣:J→Ih\colon J\to IがC∞C^\inftyであり、すべてのu∈Ju\in Jに対してh′(u)≠0h'(u)\ne0が成り立つとき、hhを正則なパラメータ変換 (regular change of parameter) という。γ ⁣:I→R3\gamma\colon I\to\R^3をパラメータ曲線とするとき、γ∘h ⁣:J→R3\gamma\circ h\colon J\to\R^3をγ\gammaの再パラメータ化 (reparametrization) という。

命題 1.3.h ⁣:J→Ih\colon J\to Iを正則なパラメータ変換とする。このときh′h'はJJの上で符号が一定であり、逆写像h−1 ⁣:I→Jh^{-1}\colon I\to JはC∞C^\inftyである。さらにγ\gammaが正則曲線ならばγ∘h\gamma\circ hも正則曲線である。

証明.h′h'は連続でありJJの上で零にならない。JJは区間であるから、h′h'が正の値と負の値の両方を取ると中間値の定理により零になる点が存在して矛盾する。よってh′>0h'>0がJJ全体で成り立つか、h′<0h'<0がJJ全体で成り立つかのいずれかである。

u∈Ju\in Jを取るとh′(u)≠0h'(u)\ne0であるから、§E4.7 定理 2.1と、それをC∞C^\inftyへ持ち上げた§E22 多様体入門の§E22.5 補題 1.1により、hhはuuのある開近傍からh(u)h(u)の開近傍へのC∞C^\infty微分同相を与える。hhは全単射であるから、この局所的な逆写像はh−1h^{-1}のh(u)h(u)の近傍への制限に一致する。uuは任意であったからh−1h^{-1}はIIの各点の近傍でC∞C^\inftyであり、したがってC∞C^\inftyである。

最後に(γ∘h)′(u)=h′(u) γ′(h(u))(\gamma\circ h)'(u)=h'(u)\,\gamma'(h(u))である。h′(u)≠0h'(u)\ne0かつγ′(h(u))≠0\gamma'(h(u))\ne\boldsymbol{0}であるから(γ∘h)′(u)≠0(\gamma\circ h)'(u)\ne\boldsymbol{0}である。▨

h′>0h'>0のときhhは向きを保つといい、h′<0h'<0のとき向きを反転するという。

定義 1.4.γ ⁣:I→R3\gamma\colon I\to\R^3をパラメータ曲線とし、[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iを有界閉区間とする。

L(γ;[a,b])=∫ab∥γ′(t)∥ dtL(\gamma;[a,b])=\int_a^b\lVert\gamma'(t)\rVert\,dt

を、区間[a,b][a,b]に対応するγ\gammaの長さ (length) という。∥γ′∥\lVert\gamma'\rVertは連続であるから、この積分は Riemann 積分として定まる。

命題 1.5.γ ⁣:I→R3\gamma\colon I\to\R^3をパラメータ曲線、h ⁣:J→Ih\colon J\to Iを正則なパラメータ変換とし、[c,d]⊆J[c,d]\subseteq Jを有界閉区間とする。h([c,d])=[a,b]h([c,d])=[a,b]と置くと

L(γ∘h;[c,d])=L(γ;[a,b])L(\gamma\circ h;[c,d])=L(\gamma;[a,b])

が成り立つ。ここでhhが向きを保つならばa=h(c)a=h(c)、b=h(d)b=h(d)であり、hhが向きを反転するならばa=h(d)a=h(d)、b=h(c)b=h(c)である。

証明.f=∥γ′∥f=\lVert\gamma'\rVertと置く。ffはIIの上で連続である。F(x)=∫axf(τ) dτF(x)=\int_a^xf(\tau)\,d\tauと置くと、§D1 ε-論法と基礎解析の§D1.19 定理 1.1によりFFは微分可能でF′=fF'=fである。連鎖律により(F∘h)′(u)=f(h(u)) h′(u)(F\circ h)'(u)=f(h(u))\,h'(u)であり、右辺は連続である。よって§D1.19 定理 2.1をF∘hF\circ hに適用して

∫cdf(h(u)) h′(u) du=F(h(d))−F(h(c))\int_c^d f\bigl(h(u)\bigr)\,h'(u)\,du=F\bigl(h(d)\bigr)-F\bigl(h(c)\bigr)

が成り立つ。

一方(γ∘h)′(u)=h′(u) γ′(h(u))(\gamma\circ h)'(u)=h'(u)\,\gamma'(h(u))であるから

∥(γ∘h)′(u)∥=∣h′(u)∣ f(h(u))\bigl\lVert(\gamma\circ h)'(u)\bigr\rVert=\lvert h'(u)\rvert\,f\bigl(h(u)\bigr)

である。

hhが向きを保つ場合、∣h′∣=h′\lvert h'\rvert=h'、h(c)=ah(c)=a、h(d)=bh(d)=bであるから

L(γ∘h;[c,d])=∫cdf(h(u))h′(u) du=F(b)−F(a)=∫abf(t) dtL(\gamma\circ h;[c,d])=\int_c^d f\bigl(h(u)\bigr)h'(u)\,du=F(b)-F(a)=\int_a^b f(t)\,dt

となる。hhが向きを反転する場合、∣h′∣=−h′\lvert h'\rvert=-h'、h(c)=bh(c)=b、h(d)=ah(d)=aであるから

L(γ∘h;[c,d])=−∫cdf(h(u))h′(u) du=−(F(a)−F(b))=∫abf(t) dtL(\gamma\circ h;[c,d])=-\int_c^d f\bigl(h(u)\bigr)h'(u)\,du=-\bigl(F(a)-F(b)\bigr)=\int_a^b f(t)\,dt

となる。いずれの場合もL(γ∘h;[c,d])=L(γ;[a,b])L(\gamma\circ h;[c,d])=L(\gamma;[a,b])である。▨

2 弧長と単位速度の表示

長さがパラメータの取り替えで変わらないのであれば、長さそのものをパラメータに採ることができる。パラメータとして採った長さが弧長である。

定義 2.1.γ ⁣:I→R3\gamma\colon I\to\R^3を正則曲線とし、t0∈It_0\in Iを固定する。

s(t)=∫t0t∥γ′(τ)∥ dτ(t∈I)s(t)=\int_{t_0}^{t}\lVert\gamma'(\tau)\rVert\,d\tau\qquad(t\in I)

で定まる関数s ⁣:I→Rs\colon I\to\Rを、t0t_0を基点とするγ\gammaの弧長関数 (arc-length function) という。

正則曲線β ⁣:J→R3\beta\colon J\to\R^3がすべてのu∈Ju\in Jで∥β′(u)∥=1\lVert\beta'(u)\rVert=1を満たすとき、β\betaを単位速度曲線 (unit-speed curve) という。単位速度曲線を与える再パラメータ化を、γ\gammaの単位速度の表示 (unit-speed parametrization) という。

定理 2.2.γ ⁣:I→R3\gamma\colon I\to\R^3を正則曲線、ssをt0∈It_0\in Iを基点とする弧長関数とする。このとき次が成り立つ。

  1. ssはC∞C^\inftyであり、s′(t)=∥γ′(t)∥>0s'(t)=\lVert\gamma'(t)\rVert>0である。とくにssは狭義単調増加である。
  2. J=s(I)J=s(I)は開区間であり、s ⁣:I→Js\colon I\to JはC∞C^\infty微分同相である。
  3. β=γ∘s−1 ⁣:J→R3\beta=\gamma\circ s^{-1}\colon J\to\R^3は単位速度曲線であり、γ=β∘s\gamma=\beta\circ sが成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。g(t)=⟨γ′(t),γ′(t)⟩g(t)=\langle\gamma'(t),\gamma'(t)\rangleと置く。γ′\gamma'の各成分はC∞C^\inftyであり、ggはその成分の多項式であるからC∞C^\inftyである。γ\gammaは正則であるからg(t)>0g(t)>0がすべてのt∈It\in Iで成り立つ。平方根は(0,∞)(0,\infty)の上でC∞C^\inftyであるから、∥γ′∥=g\lVert\gamma'\rVert=\sqrt{g}はIIの上でC∞C^\inftyである。とくに∥γ′∥\lVert\gamma'\rVertは連続であるから、§D1.19 定理 1.1によりssは微分可能でs′=∥γ′∥s'=\lVert\gamma'\rVertである。s′s'がC∞C^\inftyであることからssはC∞C^\inftyである。s′>0s'>0であるからssは狭義単調増加である。

主張 (2)を示す。ssは連続かつ狭義単調増加であるから単射であり、中間値の定理により像J=s(I)J=s(I)は区間である。s′(t)≠0s'(t)\ne0であるから、命題 1.3の証明と同じく§E4.7 定理 2.1と§E22.5 補題 1.1により、ssは各点の近傍から像の開近傍へのC∞C^\infty微分同相を与える。したがってJJは開集合であり、JJは開区間である。s ⁣:I→Js\colon I\to Jは全単射であり、局所的な逆写像はs−1s^{-1}の制限に一致するから、s−1s^{-1}はC∞C^\inftyである。

主張 (3)を示す。s−1 ⁣:J→Is^{-1}\colon J\to IはC∞C^\inftyの全単射であり、(s−1)′(w)=1/s′(s−1(w))≠0(s^{-1})'(w)=1/s'(s^{-1}(w))\ne0であるから、s−1s^{-1}は正則なパラメータ変換である。β=γ∘s−1\beta=\gamma\circ s^{-1}に対して連鎖律を用いると

β′(w)=(s−1)′(w) γ′(s−1(w))=γ′(s−1(w))∥γ′(s−1(w))∥\beta'(w)=(s^{-1})'(w)\,\gamma'\bigl(s^{-1}(w)\bigr) =\frac{\gamma'\bigl(s^{-1}(w)\bigr)}{\bigl\lVert\gamma'\bigl(s^{-1}(w)\bigr)\bigr\rVert}

であり、∥β′(w)∥=1\lVert\beta'(w)\rVert=1である。γ=β∘s\gamma=\beta\circ sはβ\betaの定義から従う。▨

定理 2.3.J1J_1とJ2J_2を開区間、β1 ⁣:J1→R3\beta_1\colon J_1\to\R^3とβ2 ⁣:J2→R3\beta_2\colon J_2\to\R^3を単位速度曲線とし、正則なパラメータ変換h ⁣:J2→J1h\colon J_2\to J_1によってβ2=β1∘h\beta_2=\beta_1\circ hが成り立つとする。このとき定数c∈Rc\in\Rが存在して、すべてのu∈J2u\in J_2に対して

h(u)=u+cまたはh(u)=−u+ch(u)=u+c\qquad\text{または}\qquad h(u)=-u+c

が成り立つ。すなわち、二つの単位速度の表示はパラメータの平行移動と向きの反転を除いて一致する。

証明. 連鎖律によりβ2′(u)=h′(u) β1′(h(u))\beta_2'(u)=h'(u)\,\beta_1'(h(u))である。両辺のノルムを取ると、∥β2′(u)∥=1\lVert\beta_2'(u)\rVert=1と∥β1′(h(u))∥=1\lVert\beta_1'(h(u))\rVert=1から∣h′(u)∣=1\lvert h'(u)\rvert=1がすべてのu∈J2u\in J_2で成り立つ。

命題 1.3によりh′h'の符号はJ2J_2の上で一定である。よってh′≡1h'\equiv1であるかh′≡−1h'\equiv-1であるかのいずれかである。その値をε∈{1,−1}\varepsilon\in\{1,-1\}と書き、k(u)=h(u)−εuk(u)=h(u)-\varepsilon uと置く。k′≡0k'\equiv0であり、開区間J2J_2は凸な開集合であるから、§E4 実解析 IIの§E4.3 系 2.3によりkkは定数である。その値をccと書けばh(u)=εu+ch(u)=\varepsilon u+cである。▨

注意 2.4.定理 2.3の結論を「向きを保つパラメータの取り替えを除いて一意である」と述べてはならない。二つの表示が正則なパラメータ変換で移り合うことは、それらが同じ曲線の表示であるという仮定そのものであり、向きを保つものに限っても新しい情報を運ばない。この定理の内容は、その取り替えが一次関数u↦±u+cu\mapsto\pm u+cに限られるという点にある。取り替えの自由度は、実数一つ分の平行移動と、向きの反転という二値の選択だけである。

3 内接する折れ線による長さ

長さを速さの積分で定めたことには、選択の余地がある。長さは、曲線に内接する折れ線の長さの上限としても定めることができる。この定め方は、微分可能性を仮定しなくても意味を持つ。二つの定め方が一致することを示す。

本節では、有界閉区間[a,b][a,b]の上の連続写像γ ⁣:[a,b]→R3\gamma\colon[a,b]\to\R^3であって、§E4.18 定義 1.1の意味で区分的にC1C^1であるものを扱う。すなわち、分割a=c0<c1<⋯<cm=ba=c_0<c_1<\cdots<c_m=bが存在して、各制限γ∣[cj−1,cj]\gamma|_{[c_{j-1},c_j]}が端点で片側微分を持つC1C^1級写像であるとする。c1,…,cm−1c_1,\dots,c_{m-1}を区分点と呼ぶ。区分点は有限個であるから、積分∫ab∥γ′∥ dt\int_a^b\lVert\gamma'\rVert\,dtを各小区間の上の積分の和として定めることができる。

補題 3.1.f ⁣:[a,b]→R3f\colon[a,b]\to\R^3を連続写像とする。積分を成分ごとに定めるとき

∥∫abf(t) dt∥≤∫ab∥f(t)∥ dt\left\lVert\int_a^bf(t)\,dt\right\rVert\le\int_a^b\lVert f(t)\rVert\,dt

が成り立つ。

証明.v=∫abf(t) dt∈R3v=\int_a^bf(t)\,dt\in\R^3と置く。v=0v=\boldsymbol{0}ならば左辺は00であり、右辺は非負であるから不等式は成り立つ。以下v≠0v\ne\boldsymbol{0}とする。

内積は各成分についての線形結合であるから、積分の線形性により

∥v∥2=⟨v,v⟩=⟨v,∫abf(t) dt⟩=∫ab⟨v,f(t)⟩ dt\lVert v\rVert^2=\langle v,v\rangle=\left\langle v,\int_a^bf(t)\,dt\right\rangle=\int_a^b\langle v,f(t)\rangle\,dt

が成り立つ。§E3.33 定理 1.3により、各ttで⟨v,f(t)⟩≤∥v∥ ∥f(t)∥\langle v,f(t)\rangle\le\lVert v\rVert\,\lVert f(t)\rVertである。積分の単調性により

∥v∥2≤∫ab∥v∥ ∥f(t)∥ dt=∥v∥∫ab∥f(t)∥ dt\lVert v\rVert^2\le\int_a^b\lVert v\rVert\,\lVert f(t)\rVert\,dt=\lVert v\rVert\int_a^b\lVert f(t)\rVert\,dt

となる。∥v∥>0\lVert v\rVert>0で両辺を割ると主張を得る。▨

定義 3.2.γ ⁣:[a,b]→R3\gamma\colon[a,b]\to\R^3を連続写像とする。[a,b][a,b]の分割P ⁣:a=t0<t1<⋯<tn=bP\colon a=t_0<t_1<\cdots<t_n=bに対して

ℓ(γ,P)=∑i=1n∥γ(ti)−γ(ti−1)∥\ell(\gamma,P)=\sum_{i=1}^{n}\bigl\lVert\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\bigr\rVert

を、PPが定める内接する折れ線の長さ (inscribed polygonal length) という。[a,b][a,b]のすべての分割にわたる上限

Λ(γ)=sup⁡P ℓ(γ,P)∈[0,∞]\Lambda(\gamma)=\sup_{P}\ \ell(\gamma,P)\in[0,\infty]

をγ\gammaの折れ線による長さ (polygonal length) という。

補題 3.3.γ ⁣:[a,b]→R3\gamma\colon[a,b]\to\R^3を連続写像とし、PPとP′P'を[a,b][a,b]の分割であってP⊆P′P\subseteq P'（P′P'がPPの細分）であるものとする。このときℓ(γ,P)≤ℓ(γ,P′)\ell(\gamma,P)\le\ell(\gamma,P')が成り立つ。

証明.P′P'がPPに一点σ\sigmaを加えたものである場合を示せば、点の個数についての繰り返しによって一般の場合が従う。σ∈(ti−1,ti)\sigma\in(t_{i-1},t_i)とすると、ノルムの三角不等式により

∥γ(ti)−γ(ti−1)∥≤∥γ(ti)−γ(σ)∥+∥γ(σ)−γ(ti−1)∥\bigl\lVert\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\bigr\rVert \le\bigl\lVert\gamma(t_i)-\gamma(\sigma)\bigr\rVert+\bigl\lVert\gamma(\sigma)-\gamma(t_{i-1})\bigr\rVert

が成り立つ。他の項はPPとP′P'で共通であるからℓ(γ,P)≤ℓ(γ,P′)\ell(\gamma,P)\le\ell(\gamma,P')である。▨

証明の方針は次のとおりである。上からの評価は、各小区間でγ(ti)−γ(ti−1)\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})をγ′\gamma'の積分に書き直し、補題 3.1を適用して得る。下からの評価では、小区間の上でγ′\gamma'をその右端の値γ′(ti)\gamma'(t_i)で置き換える。置き換えの誤差はγ′\gamma'の一様連続性で押さえる。同じ置き換えを積分∫∥γ′∥\int\lVert\gamma'\rVertの側にも施すと、二つの量の差が分割の幅に比例する量で押さえられる。区分点をまたぐ小区間があるとγ′\gamma'が定義されないので、分割はつねに区分点を含むものへ細分してから評価する。

定理 3.4.γ ⁣:[a,b]→R3\gamma\colon[a,b]\to\R^3を連続かつ区分的にC1C^1な写像とする。このときΛ(γ)\Lambda(\gamma)は有限であり

Λ(γ)=∫ab∥γ′(t)∥ dt\Lambda(\gamma)=\int_a^b\lVert\gamma'(t)\rVert\,dt

が成り立つ。とくにγ\gammaが有界閉区間[a,b][a,b]の上のC1C^1級写像であれば、折れ線による長さは定義 1.4の長さに一致する。

証明. 区分点の全体をC={c0,c1,…,cm}C=\{c_0,c_1,\dots,c_m\}と書き、I=∫ab∥γ′(t)∥ dt\mathcal{I}=\int_a^b\lVert\gamma'(t)\rVert\,dtと置く。

Λ(γ)≤I\Lambda(\gamma)\le\mathcal{I}を示す。まずPPがCCを含む分割である場合を扱う。このとき各小区間[ti−1,ti][t_{i-1},t_i]はある[cj−1,cj][c_{j-1},c_j]に含まれ、その上でγ\gammaはC1C^1である。成分ごとに§D1.19 定理 2.1を適用すると

γ(ti)−γ(ti−1)=∫ti−1tiγ′(τ) dτ\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})=\int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(\tau)\,d\tau

が成り立つ。補題 3.1により

∥γ(ti)−γ(ti−1)∥≤∫ti−1ti∥γ′(τ)∥ dτ\bigl\lVert\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\bigr\rVert\le\int_{t_{i-1}}^{t_i}\lVert\gamma'(\tau)\rVert\,d\tau

であり、iiについて加えるとℓ(γ,P)≤I\ell(\gamma,P)\le\mathcal{I}を得る。一般の分割PPに対してはP∪CP\cup CがPPの細分であるから、補題 3.3によりℓ(γ,P)≤ℓ(γ,P∪C)≤I\ell(\gamma,P)\le\ell(\gamma,P\cup C)\le\mathcal{I}である。したがってΛ(γ)≤I<∞\Lambda(\gamma)\le\mathcal{I}<\inftyである。

Λ(γ)≥I\Lambda(\gamma)\ge\mathcal{I}を示す。ε>0\varepsilon>0を任意に取る。各jjについてγ′\gamma'は有界閉区間[cj−1,cj][c_{j-1},c_j]の上で連続であるから、成分ごとに§D1.15 定理 3.1を適用して一様連続である。三つの成分に対するδ\deltaの最小値を取り、さらにjjについて最小値を取ると、次を満たすδ>0\delta>0が存在する。同じjjに対してs,t∈[cj−1,cj]s,t\in[c_{j-1},c_j]かつ∣s−t∣<δ\lvert s-t\rvert<\deltaならば∥γ′(s)−γ′(t)∥<ε\lVert\gamma'(s)-\gamma'(t)\rVert<\varepsilonである。

CCを含み、幅がδ\deltaより小さい分割P ⁣:a=t0<⋯<tn=bP\colon a=t_0<\cdots<t_n=bを取る。各小区間[ti−1,ti][t_{i-1},t_i]は一つの[cj−1,cj][c_{j-1},c_j]に含まれる。Δi=ti−ti−1\Delta_i=t_i-t_{i-1}と書く。

γ(ti)−γ(ti−1)=Δi γ′(ti)+∫ti−1ti(γ′(τ)−γ′(ti)) dτ\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})=\Delta_i\,\gamma'(t_i)+\int_{t_{i-1}}^{t_i}\bigl(\gamma'(\tau)-\gamma'(t_i)\bigr)\,d\tau

であり、右辺の第二項は補題 3.1によりノルムがεΔi\varepsilon\Delta_i以下である。三角不等式により

∥γ(ti)−γ(ti−1)∥≥Δi∥γ′(ti)∥−εΔi\bigl\lVert\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\bigr\rVert\ge\Delta_i\lVert\gamma'(t_i)\rVert-\varepsilon\Delta_i

が成り立つ。

一方、ノルムの三角不等式から∣∥γ′(τ)∥−∥γ′(ti)∥∣≤∥γ′(τ)−γ′(ti)∥<ε\bigl\lvert\lVert\gamma'(\tau)\rVert-\lVert\gamma'(t_i)\rVert\bigr\rvert\le\lVert\gamma'(\tau)-\gamma'(t_i)\rVert<\varepsilonであるから

∫ti−1ti∥γ′(τ)∥ dτ≤Δi∥γ′(ti)∥+εΔi\int_{t_{i-1}}^{t_i}\lVert\gamma'(\tau)\rVert\,d\tau\le\Delta_i\lVert\gamma'(t_i)\rVert+\varepsilon\Delta_i

が成り立つ。二つを合わせると

∥γ(ti)−γ(ti−1)∥≥∫ti−1ti∥γ′(τ)∥ dτ−2εΔi\bigl\lVert\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\bigr\rVert\ge\int_{t_{i-1}}^{t_i}\lVert\gamma'(\tau)\rVert\,d\tau-2\varepsilon\Delta_i

となる。i=1,…,ni=1,\dots,nについて加えると

ℓ(γ,P)≥I−2ε(b−a)\ell(\gamma,P)\ge\mathcal{I}-2\varepsilon(b-a)

を得る。よってΛ(γ)≥I−2ε(b−a)\Lambda(\gamma)\ge\mathcal{I}-2\varepsilon(b-a)である。ε>0\varepsilon>0は任意であったからΛ(γ)≥I\Lambda(\gamma)\ge\mathcal{I}である。

二つの不等式からΛ(γ)=I\Lambda(\gamma)=\mathcal{I}である。▨

注意 3.5 (この定理が仮定していないもの).定理 3.4ではγ′(t)≠0\gamma'(t)\ne\boldsymbol{0}を仮定していない。速度ベクトルが零になる点があっても、折れ線による長さと速さの積分は一致する。正則性が効くのは弧長による再パラメータ化のほうであり、定理 2.2と定理 2.3はいずれも正則性を落とすと成り立たない（例 4.3）。

またΛ(γ)\Lambda(\gamma)はγ\gammaの像ではなく写像γ\gammaに対して定まる量である。同じ像を二度なぞる写像のΛ\Lambdaは、一度なぞる写像のΛ\Lambdaの二倍になる。

4 例

例 4.1.r>0r>0とし、γ ⁣:R→R3\gamma\colon\R\to\R^3を

γ(t)=(rcos⁡t, rsin⁡t, 0)\gamma(t)=(r\cos t,\ r\sin t,\ 0)

で定める。γ′(t)=(−rsin⁡t, rcos⁡t, 0)\gamma'(t)=(-r\sin t,\ r\cos t,\ 0)であるから

∥γ′(t)∥2=r2sin⁡2t+r2cos⁡2t=r2\lVert\gamma'(t)\rVert^2=r^2\sin^2t+r^2\cos^2t=r^2

であり、∥γ′(t)∥=r>0\lVert\gamma'(t)\rVert=r>0である。よってγ\gammaは正則曲線である。

t0=0t_0=0を基点とする弧長関数はs(t)=∫0tr dτ=rts(t)=\int_0^tr\,d\tau=rtであり、s−1(w)=w/rs^{-1}(w)=w/rである。単位速度の表示は

β(w)=γ(s−1(w))=(rcos⁡wr, rsin⁡wr, 0)\beta(w)=\gamma\bigl(s^{-1}(w)\bigr)=\Bigl(r\cos\frac{w}{r},\ r\sin\frac{w}{r},\ 0\Bigr)

であり、実際にβ′(w)=(−sin⁡(w/r), cos⁡(w/r), 0)\beta'(w)=\bigl(-\sin(w/r),\ \cos(w/r),\ 0\bigr)のノルムは11である。[0,2π][0,2\pi]に対応する長さはL(γ;[0,2π])=∫02πr dt=2πrL(\gamma;[0,2\pi])=\int_0^{2\pi}r\,dt=2\pi rである。

定理 2.3のとおり、単位速度の表示は他にもある。たとえばβ~(w)=β(−w+w0)\tilde\beta(w)=\beta(-w+w_0)はどのw0w_0についても単位速度であり、β\betaとβ~\tilde\betaはw↦−w+w0w\mapsto-w+w_0で移り合う。これ以外の取り替えは存在しない。

例 4.2.a>0a>0、b∈Rb\in\Rとし、γ ⁣:R→R3\gamma\colon\R\to\R^3を

γ(t)=(acos⁡t, asin⁡t, bt)\gamma(t)=(a\cos t,\ a\sin t,\ bt)

で定める。これを常螺旋 (circular helix) という。γ′(t)=(−asin⁡t, acos⁡t, b)\gamma'(t)=(-a\sin t,\ a\cos t,\ b)であるから

∥γ′(t)∥2=a2sin⁡2t+a2cos⁡2t+b2=a2+b2\lVert\gamma'(t)\rVert^2=a^2\sin^2t+a^2\cos^2t+b^2=a^2+b^2

であり、c=a2+b2>0c=\sqrt{a^2+b^2}>0と置くと∥γ′(t)∥=c\lVert\gamma'(t)\rVert=cである。よってγ\gammaは正則曲線であり、速さは一定である。

t0=0t_0=0を基点とする弧長関数はs(t)=cts(t)=ctであり、s−1(w)=w/cs^{-1}(w)=w/cである。単位速度の表示は

β(w)=(acos⁡wc, asin⁡wc, bwc)\beta(w)=\Bigl(a\cos\frac{w}{c},\ a\sin\frac{w}{c},\ \frac{bw}{c}\Bigr)

である。検算すると

β′(w)=(−acsin⁡wc, accos⁡wc, bc),∥β′(w)∥2=a2c2+b2c2=1\beta'(w)=\Bigl(-\frac{a}{c}\sin\frac{w}{c},\ \frac{a}{c}\cos\frac{w}{c},\ \frac{b}{c}\Bigr), \qquad \lVert\beta'(w)\rVert^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1

である。一巻き分、すなわちttが00から2π2\piまで動く部分の長さは2πa2+b22\pi\sqrt{a^2+b^2}である。b=0b=0とすると半径aaの円の一周の長さ2πa2\pi aに一致する。

例 4.3.γ ⁣:R→R3\gamma\colon\R\to\R^3をγ(t)=(t3, t2, 0)\gamma(t)=(t^3,\ t^2,\ 0)で定める。γ\gammaはC∞C^\inftyであるがγ′(t)=(3t2, 2t, 0)\gamma'(t)=(3t^2,\ 2t,\ 0)でありγ′(0)=0\gamma'(0)=\boldsymbol{0}である。よってγ\gammaは正則曲線ではない。

t≠0t\ne0に対して∥γ′(t)∥=∣t∣9t2+4\lVert\gamma'(t)\rVert=\lvert t\rvert\sqrt{9t^2+4}である。基点をt0=0t_0=0とする弧長関数ssは、s′(t)=∣t∣9t2+4s'(t)=\lvert t\rvert\sqrt{9t^2+4}がt≠0t\ne0で正であることから狭義単調増加であり、単射である。しかしs′(0)=0s'(0)=0であるから、ssはt=0t=0の近傍でC∞C^\infty微分同相にならない。実際、t≠0t\ne0に対して

γ′(t)∥γ′(t)∥=(3t2, 2t, 0)∣t∣9t2+4=(3t2/∣t∣, 2t/∣t∣, 0)9t2+4\frac{\gamma'(t)}{\lVert\gamma'(t)\rVert}=\frac{(3t^2,\ 2t,\ 0)}{\lvert t\rvert\sqrt{9t^2+4}} =\frac{\bigl(3t^2/\lvert t\rvert,\ 2t/\lvert t\rvert,\ 0\bigr)}{\sqrt{9t^2+4}}

であり、t→0+t\to0^{+}のとき(0, 1, 0)(0,\ 1,\ 0)へ、t→0−t\to0^{-}のとき(0, −1, 0)(0,\ -1,\ 0)へ収束する。w≠0w\ne0に対してβ=γ∘s−1\beta=\gamma\circ s^{-1}の導関数はこの単位ベクトルに等しいから、β′\beta'はw=0w=0で連続な延長を持たない。したがってγ\gammaはt=0t=0を含むどの開区間の上でも単位速度のC1C^1表示を持たない。

これは、定理 2.2の仮定である正則性が結論を変える条件であることを示している。一方で定理 3.4はこのγ\gammaに対しても成り立ち、[−1,1][-1,1]に対応する折れ線による長さは∫−11∣t∣9t2+4 dt\int_{-1}^{1}\lvert t\rvert\sqrt{9t^2+4}\,dtに等しい。この積分はu=9t2+4u=9t^2+4と置いて

2∫01t9t2+4 dt=19∫413u du=227(133/2−8)2\int_0^1t\sqrt{9t^2+4}\,dt=\frac{1}{9}\int_4^{13}\sqrt{u}\,du=\frac{2}{27}\bigl(13^{3/2}-8\bigr)

と計算することができる。

5 仮定の境界

正則性は結論を変える仮定である。定理 2.2、定理 2.3ではいずれもγ′(t)≠0\gamma'(t)\ne\boldsymbol{0}を全点で仮定する。一点でもこの仮定を外すと、例 4.3のとおり単位速度のC1C^1表示が存在しなくなる。一方定理 3.4では正則性を仮定せず、区分的にC1C^1であることだけを仮定する。

弧長関数の基点は結論を変えない。基点t0t_0を取り替えると弧長関数は定数だけずれる。したがって単位速度の表示も定数の平行移動だけずれ、定理 2.3の自由度の中に収まる。

6 演習

問題 6.1 (正則曲線と弧長の確認). 次の各問に答えよ。

  1. h(u)=u3h(u)=u^3で定まるh ⁣:R→Rh\colon\R\to\RがC∞C^\inftyの全単射であるが正則なパラメータ変換ではないこと、逆写像h−1h^{-1}が00で微分可能でないこと、および正則曲線γ(t)=(t, t2, 0)\gamma(t)=(t,\ t^2,\ 0)に対してγ∘h\gamma\circ hが正則曲線でないことを示せ。また、JJを互いに交わらない二つの空でない開区間J1J_1とJ2J_2の合併とし、IIを開区間とする。C∞C^\infty写像h ⁣:J→Ih\colon J\to Iがすべてのu∈Ju\in Jでh′(u)≠0h'(u)\ne0を満たすならば、hhは全単射でないことを示せ。
  2. γ(t)=(cos⁡t, sin⁡t, 0)\gamma(t)=(\cos t,\ \sin t,\ 0)（t∈Rt\in\R）とh(u)=u2h(u)=u^2（u∈Ru\in\R）について、L(γ∘h;[−1,1])L(\gamma\circ h;[-1,1])とL(γ;h([−1,1]))L\bigl(\gamma;h([-1,1])\bigr)を求め、両者が一致しないことを確かめよ。また、γ ⁣:I→R3\gamma\colon I\to\R^3をパラメータ曲線とし、h ⁣:J→Ih\colon J\to IをC∞C^\inftyの全単射であってすべてのu∈Ju\in Jでh′(u)≥0h'(u)\ge0を満たすものとする（h′h'が零になる点を許す）。このとき、有界閉区間[c,d]⊆J[c,d]\subseteq J（c<dc<d）に対してL(γ∘h;[c,d])=L(γ;[h(c),h(d)])L(\gamma\circ h;[c,d])=L\bigl(\gamma;[h(c),h(d)]\bigr)が成り立つことを示せ。
  3. γ ⁣:I→R3\gamma\colon I\to\R^3をC∞C^\infty写像とし、t0∈It_0\in Iでγ′(t0)=0\gamma'(t_0)=\boldsymbol{0}かつγ′′(t0)≠0\gamma''(t_0)\ne\boldsymbol{0}が成り立つとする。このとき速さ∥γ′∥\lVert\gamma'\rVertはt0t_0で微分可能でないことを示せ。また、γ(t)=(t3, t3, 0)\gamma(t)=(t^3,\ t^3,\ 0)（t∈Rt\in\R）について、γ′(0)=0\gamma'(0)=\boldsymbol{0}であるが∥γ′∥\lVert\gamma'\rVertはR\Rの上でC∞C^\inftyであること、および00を基点とする弧長関数ssは全単射R→R\R\to\RであるがC∞C^\infty微分同相でないことを示せ。
  4. β(w)=(cos⁡w, sin⁡w, 0)\beta(w)=(\cos w,\ \sin w,\ 0)とβ~(w)=(cos⁡w, −sin⁡w, 0)\tilde\beta(w)=(\cos w,\ -\sin w,\ 0)（w∈Rw\in\R）が単位速度曲線であることを確かめよ。定理 2.3を用いて、正則なパラメータ変換h ⁣:R→Rh\colon\R\to\Rであってβ∘h=β\beta\circ h=\betaを満たすものをすべて求めよ。また、β~=β∘h\tilde\beta=\beta\circ hを満たす正則なパラメータ変換h ⁣:R→Rh\colon\R\to\Rをすべて求めよ。
  5. f ⁣:[a,b]→R3f\colon[a,b]\to\R^3を連続写像とする。補題 3.1の不等式で等号が成り立つための必要十分条件は、単位ベクトルe∈R3e\in\R^3と連続関数φ ⁣:[a,b]→[0,∞)\varphi\colon[a,b]\to[0,\infty)が存在して[a,b][a,b]の上でf=φef=\varphi eが成り立つことであることを示せ。これを用いて、γ ⁣:I→R3\gamma\colon I\to\R^3が正則曲線であり、[a,b]⊆I[a,b]\subseteq I（a<ba<b）について∥γ(b)−γ(a)∥=L(γ;[a,b])\lVert\gamma(b)-\gamma(a)\rVert=L(\gamma;[a,b])が成り立つならば、γ([a,b])\gamma([a,b])はγ(a)\gamma(a)とγ(b)\gamma(b)を結ぶ線分であることを示せ。
  6. γ ⁣:[0,1]→R3\gamma\colon[0,1]\to\R^3をγ(0)=0\gamma(0)=\boldsymbol{0}、γ(t)=(t, tcos⁡(π/t), 0)\gamma(t)=\bigl(t,\ t\cos(\pi/t),\ 0\bigr)（0<t≤10<t\le1）で定める。γ\gammaは[0,1][0,1]の上で連続であり、(0,1](0,1]の上でC∞C^\inftyであるが、Λ(γ)=∞\Lambda(\gamma)=\inftyであることを示せ。これを用いて、γ\gammaが区分的にC1C^1でないことを示せ。
  7. γ(t)=(t, cosh⁡t, 0)\gamma(t)=(t,\ \cosh t,\ 0)（t∈Rt\in\R）が正則曲線であることを確かめ、[0,1][0,1]に対応する長さを求めよ。
  8. 常螺旋例 4.2について、ttが00から2π2\piまで動く部分に内接する折れ線であって、頂点をt=2πk/nt=2\pi k/n（k=0,1,…,nk=0,1,\dots,n）に取ったものの長さをnnの式で書け。n→∞n\to\inftyの極限が2πa2+b22\pi\sqrt{a^2+b^2}になることを確かめよ。
解答 (演習の解答).

(1)前半を示す。hhはC∞C^\inftyであり狭義単調増加であるから単射である。hhは連続で、u→∞u\to\inftyのときh(u)→∞h(u)\to\infty、u→−∞u\to-\inftyのときh(u)→−∞h(u)\to-\inftyであるから、中間値の定理により全射である。h′(0)=0h'(0)=0であるからhhは正則なパラメータ変換ではない。逆写像はx≥0x\ge0でh−1(x)=x1/3h^{-1}(x)=x^{1/3}、x<0x<0でh−1(x)=−∣x∣1/3h^{-1}(x)=-\lvert x\rvert^{1/3}であり、x≠0x\ne0に対して

h−1(x)−h−1(0)x−0=∣x∣−2/3\frac{h^{-1}(x)-h^{-1}(0)}{x-0}=\lvert x\rvert^{-2/3}

である。右辺はx→0x\to0のとき有界でないから、h−1h^{-1}は00で微分可能でない。(γ∘h)(u)=(u3, u6, 0)(\gamma\circ h)(u)=(u^3,\ u^6,\ 0)であり(γ∘h)′(0)=0(\gamma\circ h)'(0)=\boldsymbol{0}であるから、γ∘h\gamma\circ hは正則曲線でない。

後半を示す。k=1,2k=1,2について、h′h'は区間JkJ_kの上で連続かつ零にならないから、中間値の定理によりJkJ_kの上で符号が一定であり、hhはJkJ_kの上で狭義単調である。h(Jk)h(J_k)は中間値の定理により区間である。JkJ_kの各点uuに対してJkJ_kはuuより大きい点と小さい点を含み、狭義単調性からそれらの点でのhhの値はh(u)h(u)より大きい値と小さい値であるから、h(Jk)h(J_k)は最大元も最小元も持たない。よってh(Jk)h(J_k)は開区間である。

hhが全単射であると仮定して矛盾を導く。このときh(J1)h(J_1)とh(J2)h(J_2)は空でなく、互いに交わらず、合併がIIに等しい。x1∈h(J1)x_1\in h(J_1)とx2∈h(J2)x_2\in h(J_2)を取る。必要ならJ1J_1とJ2J_2の名前を入れ替えてx1<x2x_1<x_2とする。h(J1)=(α1,β1)h(J_1)=(\alpha_1,\beta_1)と書くと、x2∉h(J1)x_2\notin h(J_1)かつx2>x1>α1x_2>x_1>\alpha_1であるからβ1≤x2\beta_1\le x_2であり、β1∈(x1,x2]\beta_1\in(x_1,x_2]である。IIは区間であるから[x1,x2]⊆I[x_1,x_2]\subseteq Iであり、β1∈I\beta_1\in Iである。β1∉h(J1)\beta_1\notin h(J_1)であるからβ1∈h(J2)\beta_1\in h(J_2)である。h(J2)h(J_2)は開区間であるから、あるη>0\eta>0に対して(β1−η,β1]⊆h(J2)(\beta_1-\eta,\beta_1]\subseteq h(J_2)が成り立つ。一方、max⁡{β1−η, x1}<x<β1\max\{\beta_1-\eta,\ x_1\}<x<\beta_1を満たすxxはh(J1)h(J_1)にもh(J2)h(J_2)にも属する。これはh(J1)∩h(J2)=∅h(J_1)\cap h(J_2)=\varnothingに反する。よってhhは全単射でない。(2)前半を計算する。(γ∘h)(u)=(cos⁡u2, sin⁡u2, 0)(\gamma\circ h)(u)=(\cos u^2,\ \sin u^2,\ 0)であり、(γ∘h)′(u)=2u (−sin⁡u2, cos⁡u2, 0)(\gamma\circ h)'(u)=2u\,(-\sin u^2,\ \cos u^2,\ 0)であるから∥(γ∘h)′(u)∥=2∣u∣\lVert(\gamma\circ h)'(u)\rVert=2\lvert u\rvertである。よって

L(γ∘h;[−1,1])=∫−112∣u∣ du=2L(\gamma\circ h;[-1,1])=\int_{-1}^{1}2\lvert u\rvert\,du=2

である。一方h([−1,1])=[0,1]h([-1,1])=[0,1]であり、∥γ′(t)∥=1\lVert\gamma'(t)\rVert=1であるからL(γ;[0,1])=1L(\gamma;[0,1])=1である。両者は一致しない。hhは[−1,0][-1,0]と[0,1][0,1]のそれぞれを[0,1][0,1]の上へ写すので、γ∘h\gamma\circ hはγ([0,1])\gamma([0,1])を二度なぞる。

後半を示す。h′≥0h'\ge0であるからhhは単調非減少であり、単射であるから狭義単調増加である。よってh(c)<h(d)h(c)<h(d)であり、中間値の定理によりh([c,d])=[h(c),h(d)]h([c,d])=[h(c),h(d)]である。f=∥γ′∥f=\lVert\gamma'\rVertと置き、F(x)=∫h(c)xf(τ) dτF(x)=\int_{h(c)}^{x}f(\tau)\,d\tauと置く。ffは連続であるから、§D1.19 定理 1.1によりF′=fF'=fであり、連鎖律により(F∘h)′(u)=f(h(u)) h′(u)(F\circ h)'(u)=f(h(u))\,h'(u)は連続である。§D1.19 定理 2.1により

∫cdf(h(u))h′(u) du=F(h(d))−F(h(c))=∫h(c)h(d)f(t) dt\int_c^df\bigl(h(u)\bigr)h'(u)\,du=F\bigl(h(d)\bigr)-F\bigl(h(c)\bigr)=\int_{h(c)}^{h(d)}f(t)\,dt

が成り立つ。(γ∘h)′(u)=h′(u) γ′(h(u))(\gamma\circ h)'(u)=h'(u)\,\gamma'(h(u))とh′≥0h'\ge0から∥(γ∘h)′(u)∥=h′(u) f(h(u))\lVert(\gamma\circ h)'(u)\rVert=h'(u)\,f(h(u))であるから、左辺はL(γ∘h;[c,d])L(\gamma\circ h;[c,d])に等しく、右辺はL(γ;[h(c),h(d)])L\bigl(\gamma;[h(c),h(d)]\bigr)に等しい。この議論はh′h'が零にならないことを用いないので、たとえばh(u)=u3h(u)=u^3に対しても等式が成り立つ。(3)t≠t0t\ne t_0に対して、γ′(t0)=0\gamma'(t_0)=\boldsymbol{0}であるから

∥γ′(t)∥−∥γ′(t0)∥t−t0=∣t−t0∣t−t0∥γ′(t)−γ′(t0)t−t0∥\frac{\lVert\gamma'(t)\rVert-\lVert\gamma'(t_0)\rVert}{t-t_0}=\frac{\lvert t-t_0\rvert}{t-t_0}\left\lVert\frac{\gamma'(t)-\gamma'(t_0)}{t-t_0}\right\rVert

が成り立つ。t→t0t\to t_0のとき、ノルムの中のベクトルはγ′′(t0)\gamma''(t_0)に収束する。ノルムは連続であるから、右辺はt→t0+t\to t_0^{+}のとき∥γ′′(t0)∥\lVert\gamma''(t_0)\rVertに、t→t0−t\to t_0^{-}のとき−∥γ′′(t0)∥-\lVert\gamma''(t_0)\rVertに収束する。γ′′(t0)≠0\gamma''(t_0)\ne\boldsymbol{0}であるからこの二つの値は異なり、∥γ′∥\lVert\gamma'\rVertはt0t_0で微分可能でない。

γ(t)=(t3, t3, 0)\gamma(t)=(t^3,\ t^3,\ 0)ではγ′(t)=(3t2, 3t2, 0)\gamma'(t)=(3t^2,\ 3t^2,\ 0)であり、γ′(0)=0\gamma'(0)=\boldsymbol{0}かつγ′′(0)=0\gamma''(0)=\boldsymbol{0}である。∥γ′(t)∥=32 t2\lVert\gamma'(t)\rVert=3\sqrt2\,t^2は多項式であるからR\Rの上でC∞C^\inftyである。弧長関数はs(t)=∫0t32 τ2 dτ=2 t3s(t)=\int_0^t3\sqrt2\,\tau^2\,d\tau=\sqrt2\,t^3である。ssは狭義単調増加であり、t→±∞t\to\pm\inftyのときs(t)→±∞s(t)\to\pm\inftyであるから、中間値の定理により全単射R→R\R\to\Rである。逆写像はs−1(w)=sgn⁡(w) (∣w∣/2)1/3s^{-1}(w)=\operatorname{sgn}(w)\,\bigl(\lvert w\rvert/\sqrt2\bigr)^{1/3}であり、w≠0w\ne0に対して

s−1(w)−s−1(0)w−0=2−1/6∣w∣−2/3\frac{s^{-1}(w)-s^{-1}(0)}{w-0}=2^{-1/6}\lvert w\rvert^{-2/3}

はw→0w\to0のとき有界でない。よってs−1s^{-1}は00で微分可能でなく、ssはC∞C^\infty微分同相でない。この例では∥γ′∥\lVert\gamma'\rVertがC∞C^\inftyであっても、s′(0)=0s'(0)=0であるためにs−1s^{-1}が微分可能にならない。(4)β′(w)=(−sin⁡w, cos⁡w, 0)\beta'(w)=(-\sin w,\ \cos w,\ 0)とβ~′(w)=(−sin⁡w, −cos⁡w, 0)\tilde\beta'(w)=(-\sin w,\ -\cos w,\ 0)のノルムはともに11であるから、β\betaとβ~\tilde\betaは単位速度曲線である。どちらの方程式についても、定理 2.3により解hhはh(u)=εu+ch(u)=\varepsilon u+c（ε∈{1,−1}\varepsilon\in\{1,-1\}、c∈Rc\in\R）の形である。逆に、この形の写像はすべて正則なパラメータ変換である。

β∘h=β\beta\circ h=\betaの場合、条件はすべてのu∈Ru\in\Rでcos⁡h(u)=cos⁡u\cos h(u)=\cos uかつsin⁡h(u)=sin⁡u\sin h(u)=\sin uが成り立つことである。u=0u=0とするとcos⁡c=1\cos c=1かつsin⁡c=0\sin c=0であるからc∈2πZc\in2\pi\Zである。ε=1\varepsilon=1かつc∈2πZc\in2\pi\Zならば条件はすべてのuuで成り立つ。ε=−1\varepsilon=-1かつc∈2πZc\in2\pi\Zならばsin⁡h(u)=sin⁡(−u)=−sin⁡u\sin h(u)=\sin(-u)=-\sin uであり、u=π/2u=\pi/2でsin⁡h(u)=−1≠1=sin⁡u\sin h(u)=-1\ne1=\sin uとなるので条件は成り立たない。よって求めるhhはh(u)=u+2πkh(u)=u+2\pi k（k∈Zk\in\Z）の全体である。

β~=β∘h\tilde\beta=\beta\circ hの場合、条件はすべてのu∈Ru\in\Rでcos⁡h(u)=cos⁡u\cos h(u)=\cos uかつsin⁡h(u)=−sin⁡u\sin h(u)=-\sin uが成り立つことである。u=0u=0とすると、前の場合と同じくc∈2πZc\in2\pi\Zである。ε=1\varepsilon=1かつc∈2πZc\in2\pi\Zならばu=π/2u=\pi/2でsin⁡h(u)=1≠−1\sin h(u)=1\ne-1となるので条件は成り立たない。ε=−1\varepsilon=-1かつc∈2πZc\in2\pi\Zならばcos⁡(−u)=cos⁡u\cos(-u)=\cos uとsin⁡(−u)=−sin⁡u\sin(-u)=-\sin uにより条件はすべてのuuで成り立つ。よって求めるhhはh(u)=−u+2πkh(u)=-u+2\pi k（k∈Zk\in\Z）の全体である。(5)f=φef=\varphi eならば∫abf(t) dt=(∫abφ(t) dt)e\int_a^bf(t)\,dt=\bigl(\int_a^b\varphi(t)\,dt\bigr)eである。∥e∥=1\lVert e\rVert=1かつφ≥0\varphi\ge0であるから、不等式の両辺はともに∫abφ(t) dt\int_a^b\varphi(t)\,dtに等しい。

逆に等号が成り立つとし、v=∫abf(t) dtv=\int_a^bf(t)\,dtと置く。まず次を注意する。[a,b][a,b]の上の非負の連続関数ggが∫abg=0\int_a^bg=0を満たすならばg≡0g\equiv0である。実際、g(t1)>0g(t_1)>0となるt1t_1があると、連続性によりt1t_1を含む長さ正の区間の上でg>g(t1)/2g>g(t_1)/2となり、積分が正になる。

v=0v=\boldsymbol{0}のとき、等号から∫ab∥f(t)∥ dt=0\int_a^b\lVert f(t)\rVert\,dt=0であり、注意によりf≡0f\equiv\boldsymbol{0}である。このとき任意の単位ベクトルeeとφ≡0\varphi\equiv0に対してf=φef=\varphi eである。

v≠0v\ne\boldsymbol{0}のとき、補題 3.1の証明で示した∫ab⟨v,f(t)⟩ dt=∥v∥2\int_a^b\langle v,f(t)\rangle\,dt=\lVert v\rVert^2と、等号∫ab∥f(t)∥ dt=∥v∥\int_a^b\lVert f(t)\rVert\,dt=\lVert v\rVertから

∫ab(∥v∥ ∥f(t)∥−⟨v,f(t)⟩) dt=∥v∥⋅∥v∥−∥v∥2=0\int_a^b\bigl(\lVert v\rVert\,\lVert f(t)\rVert-\langle v,f(t)\rangle\bigr)\,dt=\lVert v\rVert\cdot\lVert v\rVert-\lVert v\rVert^2=0

である。被積分関数は連続であり、§E3.33 定理 1.3により非負であるから、注意により恒等的に零である。よってすべてのttで⟨v,f(t)⟩=∥v∥ ∥f(t)∥\langle v,f(t)\rangle=\lVert v\rVert\,\lVert f(t)\rVertが成り立つ。x=f(t)x=f(t)と置くと

∥ ∥v∥x−∥x∥v ∥2=2∥v∥2∥x∥2−2∥v∥ ∥x∥ ⟨v,x⟩=0\bigl\lVert\,\lVert v\rVert x-\lVert x\rVert v\,\bigr\rVert^2=2\lVert v\rVert^2\lVert x\rVert^2-2\lVert v\rVert\,\lVert x\rVert\,\langle v,x\rangle=0

であるから、x=∥x∥ v/∥v∥x=\lVert x\rVert\,v/\lVert v\rVertである。e=v/∥v∥e=v/\lVert v\rVert、φ=∥f∥\varphi=\lVert f\rVertと置けばf=φef=\varphi eである。

後半を示す。成分ごとに§D1.19 定理 2.1を適用するとγ(b)−γ(a)=∫abγ′(t) dt\gamma(b)-\gamma(a)=\int_a^b\gamma'(t)\,dtであるから、仮定はf=γ′∣[a,b]f=\gamma'|_{[a,b]}について等号が成り立つことを述べている。∥γ′∥>0\lVert\gamma'\rVert>0かつa<ba<bであるからf≢0f\not\equiv\boldsymbol{0}であり、前半の議論によりe=(γ(b)−γ(a))/∥γ(b)−γ(a)∥e=(\gamma(b)-\gamma(a))/\lVert\gamma(b)-\gamma(a)\rVertに対してγ′(t)=∥γ′(t)∥e\gamma'(t)=\lVert\gamma'(t)\rVert eが[a,b][a,b]の上で成り立つ。s(t)=∫at∥γ′(τ)∥ dτs(t)=\int_a^t\lVert\gamma'(\tau)\rVert\,d\tauと置くと、成分ごとの§D1.19 定理 2.1によりγ(t)=γ(a)+s(t)e\gamma(t)=\gamma(a)+s(t)eである。ssは[a,b][a,b]の上で連続かつ狭義単調増加であり、s(a)=0s(a)=0、s(b)=L(γ;[a,b])=∥γ(b)−γ(a)∥s(b)=L(\gamma;[a,b])=\lVert\gamma(b)-\gamma(a)\rVertであるから、中間値の定理によりs([a,b])=[0,s(b)]s([a,b])=[0,s(b)]である。よってγ([a,b])={γ(a)+σe∣0≤σ≤s(b)}\gamma([a,b])=\{\gamma(a)+\sigma e\mid0\le\sigma\le s(b)\}であり、γ(a)+s(b)e=γ(b)\gamma(a)+s(b)e=\gamma(b)であるから、これはγ(a)\gamma(a)とγ(b)\gamma(b)を結ぶ線分である。(6)0<t≤10<t\le1に対して∥γ(t)∥≤t2+t2=2 t\lVert\gamma(t)\rVert\le\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt2\,tであるから、t→0+t\to0^{+}のときγ(t)→0=γ(0)\gamma(t)\to\boldsymbol{0}=\gamma(0)である。(0,1](0,1]の上では各成分がC∞C^\infty関数の積と合成であるからC∞C^\inftyである。よってγ\gammaは[0,1][0,1]の上で連続である。

k∈N≥1k\in\NNに対してcos⁡(kπ)=(−1)k\cos(k\pi)=(-1)^kであるからγ(1/k)=(1/k, (−1)k/k, 0)\gamma(1/k)=\bigl(1/k,\ (-1)^k/k,\ 0\bigr)である。第二成分の差を見ると

∥γ(1k)−γ(1k+1)∥≥∣(−1)kk−(−1)k+1k+1∣=1k+1k+1>1k\Bigl\lVert\gamma\Bigl(\frac{1}{k}\Bigr)-\gamma\Bigl(\frac{1}{k+1}\Bigr)\Bigr\rVert\ge\Bigl\lvert\frac{(-1)^k}{k}-\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}\Bigr\rvert=\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}>\frac{1}{k}

が成り立つ。n≥2n\ge2に対して分割Pn ⁣:0<1n<1n−1<⋯<12<1P_n\colon0<\frac{1}{n}<\frac{1}{n-1}<\cdots<\frac{1}{2}<1を取ると、ℓ(γ,Pn)\ell(\gamma,P_n)は小区間[1k+1,1k][\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}]（k=1,…,n−1k=1,\dots,n-1）に対応するn−1n-1個の項を含むから

ℓ(γ,Pn)≥∑k=1n−11k\ell(\gamma,P_n)\ge\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}

である。右辺はn→∞n\to\inftyのとき発散するからΛ(γ)=∞\Lambda(\gamma)=\inftyである。γ\gammaが区分的にC1C^1であれば定理 3.4によりΛ(γ)\Lambda(\gamma)は有限であるから、γ\gammaは区分的にC1C^1でない。(7)γ′(t)=(1, sinh⁡t, 0)\gamma'(t)=(1,\ \sinh t,\ 0)であるから∥γ′(t)∥=1+sinh⁡2t=cosh⁡t>0\lVert\gamma'(t)\rVert=\sqrt{1+\sinh^2t}=\cosh t>0である。よって正則曲線である。長さは

∫01cosh⁡t dt=sinh⁡1=e−e−12\int_0^1\cosh t\,dt=\sinh 1=\frac{e-e^{-1}}{2}

である。(8)tk=2πk/nt_k=2\pi k/nと置くと

γ(tk)−γ(tk−1)=(a(cos⁡tk−cos⁡tk−1), a(sin⁡tk−sin⁡tk−1), 2πbn)\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1})=\Bigl(a(\cos t_k-\cos t_{k-1}),\ a(\sin t_k-\sin t_{k-1}),\ \frac{2\pi b}{n}\Bigr)

である。(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2=2−2cos⁡(α−β)=4sin⁡2α−β2(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=2-2\cos(\alpha-\beta)=4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}であるから

∥γ(tk)−γ(tk−1)∥=4a2sin⁡2πn+4π2b2n2\bigl\lVert\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1})\bigr\rVert=\sqrt{4a^2\sin^2\frac{\pi}{n}+\frac{4\pi^2b^2}{n^2}}

であり、折れ線の長さは

ℓn=2na2sin⁡2πn+π2b2n2=2πa2(sin⁡(π/n)π/n)2+b2\ell_n=2n\sqrt{a^2\sin^2\frac{\pi}{n}+\frac{\pi^2b^2}{n^2}} =2\pi\sqrt{a^2\left(\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}\right)^2+b^2}

である。n→∞n\to\inftyのときsin⁡(π/n)/(π/n)→1\sin(\pi/n)/(\pi/n)\to1であるからℓn→2πa2+b2\ell_n\to2\pi\sqrt{a^2+b^2}である。▨

参考文献

  1. Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, revised and updated second ed., Dover Publications, Mineola, N.Y., 2016.正則なパラメータ曲線の定義、弧長による再パラメータ化、および内接する折れ線による長さの扱いを参考にした。
  2. Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, 2 (revised) ed., Academic Press, 2006.速度ベクトル、速さ、および単位速度の再パラメータ化の組み立て方を参考にした。
  3. Sebastián Montiel and Antonio Ros, Curves and Surfaces, 2nd ed., Graduate Studies in Mathematics 69, American Mathematical Society, Providence, 2009.曲線の長さを内接する折れ線の長さの上限として定める流儀と、積分による長さとの一致を参考にした。

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