§E23.15大域 Gauss–Bonnet と Euler 標数

最終更新

§E23.14 局所 Gauss–Bonnet とホロノミーでは、座標近傍の中の単連結な領域について、Gauss 曲率の面積分と測地曲率の線積分と外角の総和との和が2π2\piに等しいことを証明した。この等式は一つの領域についての局所的な主張である。本記事では、コンパクトで境界を持たない曲面をこのような領域へ分割し、各領域について得られる等式を足し合わせる。境界の寄与は隣り合う領域どうしで相殺し、角の寄与は頂点ごとにまとまるので、残るのは Gauss 曲率の積分と、分割の頂点・辺・面の個数だけである。後者は Euler 標数にほかならない。

本記事で実際に示すのは次の六つである。第一に、与えられた三角形分割により曲面に有限 CW 複体の構造が与えられ、頂点・辺・面の個数から Euler 標数が計算されることである。第二に、曲面の向きから各三角形の境界の向きが定まること、およびその向きのもとで、隣り合う二つの三角形の境界が、共有する辺を互いに逆向きに走ることである。第三に、コンパクトで向きづけられた境界のない曲面の全曲率が2πχ(M)2\pi\chi(M)に等しいことである。第四に、三次元 Euclid 空間の中のコンパクトな曲面が Gauss 曲率の正の点を必ず持つことである。第五に、三次元 Euclid 空間に埋め込まれた円環面では正の Gauss 曲率を持つ点と負の Gauss 曲率を持つ点がともに存在する一方、抽象曲面まで許すと Gauss 曲率が恒等的に零である円環面が存在することである。第六に、境界を持たず各面が平面三角形であるメッシュについて、角欠損の総和が2πχ2\pi\chiに等しいことである。

本記事では、コンパクトな曲面が適当な三角形分割を持つことを証明しない。この事実はどの単元でも証明しないので、外部の結果として認めて用いる。何を認めるのか、なぜ§E21 位相幾何入門で述べる位相的な三角形分割では足りないのか、どこへ委ねるのかを次節で明示する。

以下、(M,I)(M,\mathrm{I})は抽象曲面（§E23.7 定義 5.1）とし、共変微分、測地曲率、面積要素、接続形式および Gauss 曲率は§E23.7 注意 5.4によって抽象曲面へ移したものを用いる。M⊆R3M\subseteq\R^3が正則曲面（§E23.3 定義 1.1）である場合も含む。「滑らか」はC∞C^\inftyを意味する。曲面の向きとは、M⊆R3M\subseteq\R^3のときは大域的な単位法線ベクトル場の選択（§E23.3 定義 4.2）、抽象曲面のときは各接平面の順序づけられた基底の正負を、点について連続に定めることをいう。

1 認めて用いる三角形分割

定理 1.1.MMをコンパクトで境界を持たない曲面とする。次の条件をすべて満たすMMの閉部分集合の有限族T={T1,…,TF}\mathcal{T}=\{T_1,\dots,T_F\}が存在する。

  1. M=T1∪⋯∪TFM=T_1\cup\dots\cup T_Fである。
  2. 各TiT_iは、一つのチャートの定義域に含まれ、その定義域の上に正規直交接標構を取ることができる。さらにTiT_iは§E23.14 定理 6.1の仮定を満たす領域である。すなわち、TiT_iのチャートによる像は単連結であり、その境界は三つの正則で滑らかな弧と三つの相異なる点からなる区分的に滑らかな正則単純閉曲線であって、§E4.22 定義 1.2の意味で局所的な片側性を持つ。三つの点における外角は、いずれも開区間(−π,π)(-\pi,\pi)に属する。
  3. 各TiT_iに対して、閉じた二次元単体Δ\DeltaからTiT_iへの同相写像σi\sigma_iであって、Δ\Deltaの三つの頂点と三つの辺を、それぞれ主張 (2)の三つの点と三つの弧へ写すものが与えられている。
  4. i≠ji\ne jのとき、Ti∩TjT_i\cap T_jは空集合であるか、両者に共通する一つの点であるか、両者に共通する一つの弧（その両端の点を含む）である。
  5. 各弧は、ちょうど二つの三角形の境界に現れる。
  6. 各点vvについて、vvを主張 (2)の点として持つ三角形のvvにおける内角の総和は2π2\piである。ここで内角とは、外角θ\thetaに対するπ−θ\pi-\thetaをいう。

T\mathcal{T}の元を三角形 (triangle)、主張 (2)の弧を辺 (edge)、その端点を頂点 (vertex) という。頂点の個数をVV、辺の本数をEE、三角形の枚数をFFと書く。

注意 1.2 (この主張を証明せず、認めて用いること). 本記事では定理 1.1を証明しない。本リポジトリのどの単元でもこれを証明しない。したがって文献へ委ねて認めて用いる。委ね先は、Radó による二次元多様体の三角形分割可能性の証明、Moise による現代的な扱い、および Whitehead による滑らかな多様体の滑らかな三角形分割の構成である。書誌情報は本記事の参考文献に挙げた。

§E21 位相幾何入門の§E21.27 定理 1.1では、境界を持たないコンパクトな二次元位相多様体が有限三角形分割を持つことを述べる。しかし同記事でもこれを外部の結果として認めており、証明していない。さらに、同主張で与えられるのは位相的な三角形分割であって、辺が滑らかな弧であることも、各三角形が一つのチャートの定義域に含まれることも述べていない。§E23.14 定理 6.1を各三角形へ適用するためには、辺に沿う測地曲率の線積分と頂点における外角が定まる必要があるので、位相的な三角形分割だけでは足りない。この差が、§E21.27 定理 1.1をそのまま引くのではなく定理 1.1を別に置く理由である。

「すべての辺が測地線である三角形分割が常に存在する」とは書かない。その主張は、十分近い二点が測地線で結ばれることと、測地的に凸な近傍が存在することを要する。いずれも指数写像と Gauss の補題によって示されるものであり、本単元では指数写像を構成しない（§E23.8 注意 1.3）。定理 1.1では辺が測地線であることが要求されないので、本記事の証明はこの主張を必要としない。

定理 1.1 (6)も仮定の一部である。頂点のまわりに集まる三角形の内角が2π2\piを埋め尽くすことは、頂点の近傍が三角形によって隙間なく覆われることの言い換えであるが、本記事ではこれを定理 1.1 (1)⇒\Rightarrow(5)だけから導かず、分割の性質として仮定に含める。

命題 1.3.MMをコンパクトで境界を持たない曲面、T\mathcal{T}を定理 1.1の三角形分割とする。

  1. T\mathcal{T}の頂点、辺の内部、三角形の内部をそれぞれ00次元、11次元、22次元の胞体とすると、MMは有限 CW 複体の構造を持つ。したがって§E21.25 定義 2.1の Euler 標数χ(M)\chi(M)が定まり χ(M)=V−E+F\chi(M)=V-E+F である。χ(M)\chi(M)は§E21.25 定理 2.2により有限 CW 分解の取り方に依らない。とくに三角形分割T\mathcal{T}の取り方に依らない。
  2. 3F=2E3F=2Eが成り立つ。したがって 2πχ(M)=2πV−πF2\pi\chi(M)=2\pi V-\pi F である。

この主張に曲面の向きは用いない。

証明.主張 (1)を示す。Δ\Deltaを閉じた二次元単体とする。σi:Δ→Ti\sigma_i:\Delta\to T_iは同相写像であり、定理 1.1 (3)によりΔ\Deltaの境界をTiT_iの三つの辺の合併へ写す。Δ\Deltaは閉円板と同相であるから、σi\sigma_iを22次元胞体の特性写像として取ることができる。各辺は正則で滑らかな弧であり、両端が相異なるから、閉区間[0,1][0,1]からその閉包への同相写像が存在する。これを11次元胞体の特性写像として取る。頂点は00次元胞体である。

開胞体が互いに交わらずMMを覆うことを確かめる。p∈Mp\in Mを取ると、定理 1.1 (1)によりあるTiT_iに属する。ppがTiT_iの三つの弧のいずれにも属さなければppはTiT_iの内部の点であり、22次元胞体に属する。ppが弧に属するならば、ppは頂点であるか、辺の内部の点である。よって開胞体はMMを覆う。互いに交わらないことは、定理 1.1 (4)と、各TiT_iの内部・辺の内部・頂点が互いに交わらないことから従う。

胞体の個数は有限であるから、閉包有限性は自明である。MMはコンパクト Hausdorff 空間であり、有限個の胞体の閉包の合併として書かれるから、MMの位相は胞体の特性写像が定める弱位相に一致する。したがってMMは有限 CW 複体である。胞体の個数はc0=Vc_0=V、c1=Ec_1=E、c2=Fc_2=Fであるから、§E21.25 定義 2.1によりχ(M)=V−E+F\chi(M)=V-E+Fである。

主張 (2)を示す。組(e,Ti)(e,T_i)であって辺eeが三角形TiT_iの境界に現れるものの個数を二通りに数える。三角形ごとに数えると、定理 1.1 (2)により各三角形はちょうど三つの辺を持つから3F3Fである。辺ごとに数えると、定理 1.1 (5)により各辺はちょうど二つの三角形に現れるから2E2Eである。よって3F=2E3F=2Eである。E=3F/2E=3F/2を代入すると

2πχ(M)=2π(V−3F2+F)=2πV−πF2\pi\chi(M)=2\pi\left(V-\frac{3F}{2}+F\right)=2\pi V-\pi F

である。▨

2 曲面上の積分と全曲率

コンパクトな曲面の全体にわたる積分は、まだ定義されていない。§E23.4 定義 5.1で定められるのは、一つのチャートの定義域に含まれるコンパクト集合の面積だけである（§E23.4 注意 5.3）。三角形分割を用いると、曲面を、この定義の範囲に収まる断片へ分けることができる。

定義 2.1.MMをコンパクトで境界を持たない曲面、T\mathcal{T}を定理 1.1の三角形分割、f:M→Rf:M\to\Rを連続関数とする。定理 1.1 (2)により、各三角形TiT_iは§E23.14 定理 6.1の仮定を満たす領域、すなわち§E23.14 定義 1.1の単純な座標領域である。一つの三角形の上の積分∫Tif dA\int_{T_i}f\,dAは§E23.14 局所 Gauss–Bonnet とホロノミーの§E23.14 定義 1.2で定められており、その値がチャートの取り方に依らないことも同記事で示している。これを用いて

∫M,Tf dA=∑i=1F∫Tif dA\int_{M,\mathcal{T}}f\,dA=\sum_{i=1}^{F}\int_{T_i}f\,dA

と定める。

この段階では、∫M,Tf dA\int_{M,\mathcal{T}}f\,dAが三角形分割T\mathcal{T}の取り方に依らないかどうかは分からない。f=Kf=Kの場合については、定理 4.1を証明したあとで系 4.2として結論する。一般の連続関数については、本記事では独立性を主張しない。

3 隣り合う三角形が共有する辺

大域の等式を得るために各三角形の等式を足し合わせるとき、境界に沿う線積分が相殺することが要点である。相殺は、隣り合う二つの三角形の境界が、共有する辺を互いに逆向きに走ることによって起こる。この事実が、曲面の向きを使う唯一の箇所である。

補題 3.1.MMをコンパクトで境界を持たない向きづけられた曲面、T\mathcal{T}を定理 1.1の三角形分割とする。各三角形TiT_iの境界に§E23.14 定理 6.1で用いる向き、すなわち領域を左に見る向きを与える。辺eeが二つの三角形TiT_i、TjT_jに共有されるとき、TiT_iの境界の向きとTjT_jの境界の向きはeeの上で互いに逆である。したがって

∑i=1F∫∂Tiκg ds=0\sum_{i=1}^{F}\int_{\partial T_i}\kappa_g\,ds=0

が成り立つ。

証明.eeの内部の点ppを取る。定理 1.1 (4)と定理 1.1 (5)により、ppを含む三角形はTiT_iとTjT_jに限る。実際、p∈Tkp\in T_kならばTk∩TiT_k\cap T_iはppを含むので、定理 1.1 (4)により共通の頂点か共通の辺であり、ppは辺の内部の点であるから共通の辺はeeでなければならず、定理 1.1 (5)によりk∈{i,j}k\in\{i,j\}である。⋃k≠i,jTk\bigcup_{k\ne i,j}T_kは有限個の閉集合の合併であるから閉集合であり、ppを含まない。よってppの開近傍WWでW⊆Ti∪TjW\subseteq T_i\cup T_jとなるものが存在する。

TiT_iを含むチャートを取り、WWを十分小さく取ると、§E4.22 定義 1.2で要求される局所的な片側性により、W∖eW\setminus eはちょうど二つの連結成分に分かれ、一方はTiT_iの内部に、他方はTiT_iの外部に含まれる。TiT_iとTjT_jの内部は交わらず、W⊆Ti∪TjW\subseteq T_i\cup T_jであるから、後者の成分はTjT_jの内部に含まれる。すなわちTiT_iとTjT_jはeeの互いに反対の側にある。

eeを弧長で径数づけた単位速度の曲線をγ\gammaとし、T=γ′T=\gamma'、nnを§E23.8 定義 5.1の単位法ベクトル、すなわち∥n∥=1\lVert n\rVert=1、I(T,n)=0\mathrm{I}(T,n)=0であって(T,n)(T,n)がMMの向きに関して正の基底であるものとする。領域を左に見る向きとは、nnがその領域の内側を向くことである。TTを−T-Tに取り替えるとnnも−n-nに取り替わるから、nnが指す側は反転する。TiT_iとTjT_jがeeの反対側にあることから、TiT_iの境界として与えられる向きとTjT_jの境界として与えられる向きは互いに逆である。

相殺を確かめる。eeの長さをLLとし、γ:[0,L]→M\gamma:[0,L]\to MをTiT_iの境界の向きに取った単位速度の径数づけとする。TjT_jの境界の向きに取った径数づけはγ~(s)=γ(L−s)\widetilde{\gamma}(s)=\gamma(L-s)である。§E23.8 命題 5.2 (2)により曲線の向きの反転は測地曲率の符号を変え、径数の平行移動は測地曲率を変えないからκ~g(s)=−κg(L−s)\widetilde{\kappa}_g(s)=-\kappa_g(L-s)である。よって

∫0Lκ~g(s) ds=−∫0Lκg(L−s) ds=−∫0Lκg(σ) dσ\int_0^{L}\widetilde{\kappa}_g(s)\,ds=-\int_0^{L}\kappa_g(L-s)\,ds=-\int_0^{L}\kappa_g(\sigma)\,d\sigma

である。∑i∫∂Tiκg ds\sum_i\int_{\partial T_i}\kappa_g\,dsは、すべての辺についての寄与の和であり、定理 1.1 (5)により各辺はちょうど二つの三角形から寄与を受ける。上の等式によりその二つは打ち消し合うから、総和は00である。▨

4 大域 Gauss–Bonnet の定理

定理 4.1 (大域 Gauss–Bonnet の定理).MMをコンパクトで境界を持たず向きづけられた曲面とし、§E23.7 定義 5.1の意味の抽象曲面でよいものとする。T\mathcal{T}を定理 1.1の三角形分割とする。このとき

∫M,TK dA=2πχ(M)\int_{M,\mathcal{T}}K\,dA=2\pi\chi(M)

が成り立つ。

証明の方針を述べる。出発点は、各三角形TiT_iへ§E23.14 定理 6.1を適用して得るFF本の等式である。中間目標は、それらの等式を足し合わせて現れる三つの和を別々に評価することである。第一の和は定義 2.1の定義そのものによって全曲率になる。第二の和は補題 3.1によって00になる。第三の和は外角の総和であり、外角を内角へ書き換え、三角形ごとの和を頂点ごとの和へ組み替えると、定理 1.1 (6)によって3πF−2πV3\pi F-2\pi Vになる。本質的な一手はこの組み替えであり、この組み替えで初めて頂点の個数VVが現れる。最後に、辺の本数を含まない形の等式が得られるので、命題 1.3の3F=2E3F=2Eを用いてVV、EE、FFを Euler 標数へまとめる。

証明. 各三角形TiT_iは定理 1.1 (2)により§E23.14 定理 6.1の仮定を満たす。境界∂Ti\partial T_iに領域を左に見る向きを与え、三つの頂点における外角をθi1,θi2,θi3\theta_{i1},\theta_{i2},\theta_{i3}と書くと

∫TiK dA+∫∂Tiκg ds+∑j=13θij=2π\int_{T_i}K\,dA+\int_{\partial T_i}\kappa_g\,ds+\sum_{j=1}^{3}\theta_{ij}=2\pi

である。i=1,…,Fi=1,\dots,Fについて加える。右辺の総和は2πF2\pi Fである。

第一の和。定義 2.1により

∑i=1F∫TiK dA=∫M,TK dA\sum_{i=1}^{F}\int_{T_i}K\,dA=\int_{M,\mathcal{T}}K\,dA

である。

第二の和。補題 3.1により

∑i=1F∫∂Tiκg ds=0\sum_{i=1}^{F}\int_{\partial T_i}\kappa_g\,ds=0

である。

第三の和。内角をαij=π−θij\alpha_{ij}=\pi-\theta_{ij}と置くと、各iiについて∑j=13θij=3π−∑j=13αij\sum_{j=1}^{3}\theta_{ij}=3\pi-\sum_{j=1}^{3}\alpha_{ij}である。したがって

∑i=1F∑j=13θij=3πF−∑i=1F∑j=13αij\sum_{i=1}^{F}\sum_{j=1}^{3}\theta_{ij}=3\pi F-\sum_{i=1}^{F}\sum_{j=1}^{3}\alpha_{ij}

である。右辺の二重和は、すべての三角形のすべての頂点における内角を集めたものである。この集まりを、三角形ごとではなく頂点ごとに組み替える。定理 1.1 (6)により、各頂点vvに集まる内角の総和は2π2\piである。頂点はVV個であるから

∑i=1F∑j=13αij=2πV\sum_{i=1}^{F}\sum_{j=1}^{3}\alpha_{ij}=2\pi V

であり、

∑i=1F∑j=13θij=3πF−2πV\sum_{i=1}^{F}\sum_{j=1}^{3}\theta_{ij}=3\pi F-2\pi V

である。

三つの評価を合わせると

∫M,TK dA+0+3πF−2πV=2πF\int_{M,\mathcal{T}}K\,dA+0+3\pi F-2\pi V=2\pi F

であるから

∫M,TK dA=2πF−3πF+2πV=2πV−πF\int_{M,\mathcal{T}}K\,dA=2\pi F-3\pi F+2\pi V=2\pi V-\pi F

である。命題 1.3 (2)により2πV−πF=2πχ(M)2\pi V-\pi F=2\pi\chi(M)であるから、主張が従う。▨

系 4.2.MMをコンパクトで境界を持たず向きづけられた曲面とする。∫M,TK dA\int_{M,\mathcal{T}}K\,dAの値は定理 1.1の三角形分割T\mathcal{T}の取り方に依らない。この共通の値を∫MK dA\displaystyle\int_MK\,dAと書き、MMの全曲率 (total curvature) という。

証明.定理 4.1により、どのT\mathcal{T}に対しても∫M,TK dA=2πχ(M)\int_{M,\mathcal{T}}K\,dA=2\pi\chi(M)である。命題 1.3 (1)によりχ(M)\chi(M)は有限 CW 分解の取り方に依らないから、右辺はT\mathcal{T}に依らない。▨

注意 4.3 (この定理が向きを使う箇所と使わない箇所). 向きが必要になるのは補題 3.1だけである。そこでは、各三角形の境界に領域を左に見る向きを整合的に与えるために、MMの向きから定まる接平面の向きを用いた。一方、Euler 標数の引用には向きを用いない。命題 1.3では有限 CW 複体の構造だけを使い、§E21.25 定義 2.1の定義域は有限 CW 複体である。二つを混同すると、向きづけ可能でない曲面に対して Euler 標数が定義されないかのような誤解が生じる。向きづけ可能でない曲面では大域的な向きが無いので、補題 3.1をこの形で述べることはできない。各三角形の上で局所的な向きを取り、辺の寄与をその三角形の内向き単位法ベクトルに関して測ると、相殺と内角の扱いは同じく成り立ち、同じ等式が得られる。本記事ではこの形を扱わず、§F30 Riemann 幾何 Iで扱う。

5 球面と円環面

系 5.1.MMをコンパクトで境界を持たず向きづけられた曲面とする。

  1. MMが球面と同相ならば∫MK dA=4π\displaystyle\int_MK\,dA=4\piである。
  2. MMが円環面と同相ならば∫MK dA=0\displaystyle\int_MK\,dA=0である。

証明. 同相な有限 CW 複体はホモトピー同値であるから、§E21.25 系 2.3により Euler 標数は等しい。§E21.25 系 3.2により、球面の Euler 標数は22、円環面の Euler 標数は00である。定理 4.1へ代入すると、それぞれ2π⋅2=4π2\pi\cdot2=4\piと2π⋅0=02\pi\cdot0=0を得る。▨

例 5.2. 半径r>0r>0の球面M={p∈R3:∥p∥=r}M=\{p\in\R^3:\lVert p\rVert=r\}を取り、向きは、囲む領域から見て内向きの単位法線N(p)=−p/rN(p)=-p/rに取る。三つの座標平面でMMを切ると、MMは八つの閉領域（八分儀）へ分かれる。この分割が定理 1.1の条件を満たすことを確かめる。頂点は座標軸とMMとの交わりの六点、辺は大円の四分の一の弧の十二本、三角形は八枚である。各八分儀は開半球に含まれ、開半球は§E23.3 命題 2.1のグラフ表示によって一つのチャートの定義域であり、その上で§E23.10 命題 1.3により正規直交接標構を取ることができる。各辺はちょうど二つの八分儀に現れ、各頂点には四枚の八分儀が集まり、それぞれの内角はπ/2\pi/2であるから、内角の総和は2π2\piである。二つの八分儀は、座標の符号が一つ違えば一本の辺を、二つ違えば一つの頂点を共有し、三つ違えば共有点を持たない。

一つの八分儀TTに§E23.14 定理 6.1を適用する。三つの辺は大円の弧であり、§E23.8 例 6.1により測地線であるから、§E23.8 命題 5.2 (1)によりκg≡0\kappa_g\equiv0である。三つの内角はいずれもπ/2\pi/2であるから、外角もθj=π−π/2=π/2\theta_j=\pi-\pi/2=\pi/2である。よって

∫TK dA+0+3π2=2π,∫TK dA=π2\int_TK\,dA+0+\frac{3\pi}{2}=2\pi,\qquad \int_TK\,dA=\frac{\pi}{2}

である。八枚を加えると

∫MK dA=8⋅π2=4π\int_MK\,dA=8\cdot\frac{\pi}{2}=4\pi

となり、系 5.1 (1)と一致する。V−E+F=6−12+8=2V-E+F=6-12+8=2であり、命題 1.3の3F=2E3F=2Eも24=2424=24として成り立つ。

さらに、球面のすべての点でK=1/r2K=1/r^2である（§E23.6 命題 4.3）から、上の計算はA(T)=(π/2)r2A(T)=(\pi/2)r^2、したがって球面の面積が8⋅(π/2)r2=4πr28\cdot(\pi/2)r^2=4\pi r^2であることを与える。半径rrは全曲率の値には現れない。

例 5.3.§E23.4 例 6.4の円環面Ta,bT_{a,b}（0<b<a0<b<a）を取り、

x(u,v)=((a+bcos⁡u)cos⁡v, (a+bcos⁡u)sin⁡v, bsin⁡u)\boldsymbol{x}(u,v)=\bigl((a+b\cos u)\cos v,\ (a+b\cos u)\sin v,\ b\sin u\bigr)

と置く。x\boldsymbol{x}はR2\R^2の全体で定義され、uuとvvのそれぞれについて周期2π2\piを持ち、(u,v)(u,v)を2π2\piの整数倍の差で同一視するとTa,bT_{a,b}への全単射を与える。§E23.4 例 6.4によりE=b2E=b^2、F=0F=0、G=(a+bcos⁡u)2G=(a+b\cos u)^2であるから

EG−F2=b(a+bcos⁡u)>0\sqrt{EG-F^2}=b(a+b\cos u)>0

である。§E23.6 命題 4.3により、芯の円へ向かう単位法線に関して

K=cos⁡ub(a+bcos⁡u)K=\frac{\cos u}{b(a+b\cos u)}

である。したがって

KEG−F2=cos⁡uK\sqrt{EG-F^2}=\cos u

である。

m≥3m\ge3を整数とし、正方形[0,2π]2[0,2\pi]^2を一辺2π/m2\pi/mのm2m^2個の小正方形へ分け、各小正方形を左下と右上を結ぶ対角線で二つの三角形へ分ける。x\boldsymbol{x}による像を取り、2π2\piの整数倍の差で同一視すると、Ta,bT_{a,b}の三角形分割Tm\mathcal{T}_mを得る。mmを十分大きく取れば、各三角形は一つのチャートの定義域に含まれ、定理 1.1 (1)⇒\Rightarrow(5)が満たされる。定理 1.1 (6)については、各頂点のまわりの三角形が径数平面の中でその頂点のまわりを隙間なく囲む扇形の像であり、扇形の角を第一基本形式で測っても、隣り合う扇形の角は加法的で総和が2π2\piになるから、成り立つ。

各三角形の像の面積分は、対応する小三角形の上の重積分に等しく、小三角形は[0,2π]2[0,2\pi]^2を内部の交わらない形で覆うから

∫Ta,b,TmK dA=∬[0,2π]2cos⁡u du dv=∫02π(∫02πcos⁡u du)dv=0\int_{T_{a,b},\mathcal{T}_m}K\,dA=\iint_{[0,2\pi]^2}\cos u\,du\,dv=\int_0^{2\pi}\left(\int_0^{2\pi}\cos u\,du\right)dv=0

である。ここで累次積分への書き換えは§E4 実解析 IIの§E4.12 定理 1.1による。この値は系 5.1 (2)と一致する。∫02πcos⁡u du=0\int_0^{2\pi}\cos u\,du=0であることが、§E23.6 注意 4.4が観察した正負の相殺の定量的な形である。

6 コンパクトな正則曲面における楕円点の存在

定理 6.1.M⊆R3M\subseteq\R^3を空でないコンパクトな正則曲面とする。連続関数q↦∥q∥q\mapsto\lVert q\rVertはMMの上で最大値を取る。最大値を与える点をpp、R=∥p∥R=\lVert p\rVertと置くとR>0R>0であり、次が成り立つ。

  1. TpMT_pMはppに直交する。したがってppにおける単位法線は±p/R\pm p/Rである。
  2. N(p)=−p/RN(p)=-p/R（すなわち原点へ向かう向き）を取ると、すべての単位接ベクトルX∈TpMX\in T_pMについてIIp(X,X)≥1/R\mathrm{II}_p(X,X)\ge1/Rが成り立つ。
  3. K(p)≥1R2>0K(p)\ge\dfrac{1}{R^2}>0である。とくにppは楕円点である（§E23.6 定義 3.1）。

証明.MMはコンパクトかつ空でないので、連続関数q↦∥q∥q\mapsto\lVert q\rVertは最大値を取る。MMは二次元の曲面であるから一点集合ではない。仮にR=0R=0とするとM⊆{0}M\subseteq\{0\}となって矛盾するのでR>0R>0である。RRが最大値であることから、MMは原点を中心とする半径RRの閉球に含まれる。

主張 (1)を示す。X∈TpMX\in T_pMを取る。§E23.3 命題 3.3により、MMの中の滑らかな曲線γ:(−ε,ε)→M\gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\to Mでγ(0)=p\gamma(0)=p、γ′(0)=X\gamma'(0)=Xとなるものが存在する。h(t)=∥γ(t)∥2=⟨γ(t),γ(t)⟩h(t)=\lVert\gamma(t)\rVert^2=\langle\gamma(t),\gamma(t)\rangleと置くと、hhはt=0t=0で最大値R2R^2を取るからh′(0)=0h'(0)=0である。h′(t)=2⟨γ(t),γ′(t)⟩h'(t)=2\langle\gamma(t),\gamma'(t)\rangleであるから⟨p,X⟩=0\langle p,X\rangle=0である。XXは任意であったからp⊥TpMp\perp T_pMであり、∥p∥=R\lVert p\rVert=Rであるから±p/R\pm p/Rが単位法線である。

主張 (2)を示す。N(p)=−p/RN(p)=-p/Rと取り、X∈TpMX\in T_pM、∥X∥=1\lVert X\rVert=1とする。上のhhについてhhはt=0t=0で最大であるからh′′(0)≤0h''(0)\le0である。

h′′(t)=2⟨γ′(t),γ′(t)⟩+2⟨γ(t),γ′′(t)⟩h''(t)=2\langle\gamma'(t),\gamma'(t)\rangle+2\langle\gamma(t),\gamma''(t)\rangle

であるから

h′′(0)=2∥X∥2+2⟨p,γ′′(0)⟩=2+2⟨p,γ′′(0)⟩≤0h''(0)=2\lVert X\rVert^2+2\langle p,\gamma''(0)\rangle=2+2\langle p,\gamma''(0)\rangle\le0

である。一方、MMの上で⟨γ′(t),N(γ(t))⟩≡0\langle\gamma'(t),N(\gamma(t))\rangle\equiv0が成り立つので、ttについて微分すると

⟨γ′′(0),N(p)⟩+⟨X, ddt∣t=0N(γ(t))⟩=0\langle\gamma''(0),N(p)\rangle+\left\langle X,\ \frac{d}{dt}\Bigl|_{t=0}N(\gamma(t))\right\rangle=0

である。§E23.5 定義 1.4によりddt∣0N(γ(t))=dNp(X)=−Sp(X)\dfrac{d}{dt}\bigl|_{0}N(\gamma(t))=dN_p(X)=-S_p(X)であるから

⟨γ′′(0),N(p)⟩=⟨X,Sp(X)⟩=IIp(X,X)\langle\gamma''(0),N(p)\rangle=\langle X,S_p(X)\rangle=\mathrm{II}_p(X,X)

である（§E23.5 定義 3.1）。N(p)=−p/RN(p)=-p/R、すなわちp=−R N(p)p=-R\,N(p)であるから

⟨p,γ′′(0)⟩=−R ⟨N(p),γ′′(0)⟩=−R IIp(X,X)\langle p,\gamma''(0)\rangle=-R\,\langle N(p),\gamma''(0)\rangle=-R\,\mathrm{II}_p(X,X)

である。これをh′′(0)≤0h''(0)\le0へ代入すると

2−2R IIp(X,X)≤0,IIp(X,X)≥1R2-2R\,\mathrm{II}_p(X,X)\le0,\qquad \mathrm{II}_p(X,X)\ge\frac1R

を得る。

主張 (3)を示す。主張 (2)により、N(p)=−p/RN(p)=-p/Rに関する法曲率（§E23.5 定義 4.2）はすべての単位接ベクトルについて1/R1/R以上である。§E23.6 系 1.5により主曲率は法曲率の最大値と最小値であるからκ1(p)≥1/R\kappa_1(p)\ge1/Rかつκ2(p)≥1/R\kappa_2(p)\ge1/Rである。よって

K(p)=κ1(p)κ2(p)≥1R2>0K(p)=\kappa_1(p)\kappa_2(p)\ge\frac{1}{R^2}>0

である。KKは単位法線の選び方に依らない（§E23.6 注意 2.5）から、この不等式は向きの取り方に依存しない。▨

注意 6.2 (この補題が埋め込みを使う箇所).定理 6.1の証明は、MMがR3\R^3の部分集合であることを二か所で使う。第一に、位置ベクトルq↦qq\mapsto qというR3\R^3の値を持つ関数の長さを考えた点である。第二に、その二階微分の法成分が第二基本形式で表されるという§E23.5 定義 3.1の性質を使った点である。抽象曲面には位置ベクトルも第二基本形式も無いので、この主張を抽象曲面へ移すことはできない。実際、§E23.11 例 5.1の平坦な計量を持つ円環面は、Gauss 曲率が恒等的に00であるコンパクトな抽象曲面である。

7 円環面の Gauss 曲率の符号

定理 7.1.

  1. M⊆R3M\subseteq\R^3をコンパクトで境界を持たず向きづけられた正則曲面であってχ(M)=0\chi(M)=0を満たすものとする。このときK(p)>0K(p)>0となる点p∈Mp\in MとK(q)<0K(q)<0となる点q∈Mq\in Mがともに存在する。
  2. 抽象曲面まで許すと、上の結論は成り立たない。§E23.11 例 5.1により、Gauss 曲率が恒等的に00であり、円環面と同相なコンパクトな抽象曲面が得られる。この曲面ではK>0K>0となる点もK<0K<0となる点も存在しない。

証明.主張 (1)を示す。定理 6.1によりK(p)>0K(p)>0となる点p∈Mp\in Mが存在する。定理 4.1とχ(M)=0\chi(M)=0により

∫MK dA=2π⋅0=0\int_MK\,dA=2\pi\cdot0=0

である。K<0K<0となる点が存在しないと仮定する。すなわちMMの全体でK≥0K\ge0であるとする。定理 1.1の三角形分割T\mathcal{T}を一つ取ると、定義 2.1により各iiについて∫TiK dA≥0\int_{T_i}K\,dA\ge0であり、その総和が00であるから、すべてのiiについて∫TiK dA=0\int_{T_i}K\,dA=0である。

ppを含む三角形TiT_iを取る。定理 1.1 (3)によりTiT_iは閉じた二次元単体と同相であるから、TiT_iは自身の内部の閉包に等しく、ppのどの近傍もTiT_iの内部と交わる。KKは連続であるから、MMの開集合W∋pW\ni pでWWの上でK>K(p)/2K>K(p)/2となるものが存在する。TiT_iを含むチャートを取り、TiT_iの像をQiQ_i、WWとTiT_iの内部との交わりの像をQ′Q'と書くと、Q′Q'は空でないR2\R^2の開集合であるから、内部が空でない閉長方形RRでR⊆Q′R\subseteq Q'となるものを含む。RRの面積を∣R∣>0\lvert R\rvert>0と書く。EiGi−Fi2\sqrt{E_iG_i-F_i^2}はRRの上で正の値を取る連続関数であり、RRはコンパクトであるから、正の最小値c>0c>0を持つ。よって

∫TiK dA ≥ ∬R(K∘xi)EiGi−Fi2 du dv ≥ K(p)2 c ∣R∣ > 0\int_{T_i}K\,dA\ \ge\ \iint_{R}(K\circ\boldsymbol{x}_i)\sqrt{E_iG_i-F_i^{2}}\,du\,dv\ \ge\ \frac{K(p)}{2}\,c\,\lvert R\rvert\ >\ 0

である。ここで最初の不等号は、被積分関数がQiQ_iの全体で非負であることによる。これは∫TiK dA=0\int_{T_i}K\,dA=0に矛盾する。したがってK(q)<0K(q)<0となる点qqが存在する。

主張 (2)を示す。§E23.11 例 5.1の抽象曲面はK≡0K\equiv0を満たすから、K>0K>0となる点もK<0K<0となる点も存在しない。▨

例 7.2.§E23.4 例 6.4のTa,bT_{a,b}（0<b<a0<b<a）を取る。Ta,bT_{a,b}はR3\R^3の有界閉集合であるからコンパクトである。写像

(u,v)⟼((a+bcos⁡u)cos⁡v, (a+bcos⁡u)sin⁡v, bsin⁡u)(u,v)\longmapsto\bigl((a+b\cos u)\cos v,\ (a+b\cos u)\sin v,\ b\sin u\bigr)

は、uuとvvを2π2\piの整数倍の差で同一視した対象、すなわち二つの円周の直積からTa,bT_{a,b}への連続な全単射である。定義域はコンパクト、終域は Hausdorff であるから同相写像である。同相な空間はホモトピー同値であるから、§E21.25 系 2.3と§E21.25 系 3.2によりχ(Ta,b)=0\chi(T_{a,b})=0である。

Ta,bT_{a,b}は向きづけ可能である。実際、(x,y,z)∈Ta,b(x,y,z)\in T_{a,b}に対してx2+y2≥a−b>0\sqrt{x^2+y^2}\ge a-b>0であるから

cos⁡v=xx2+y2,sin⁡v=yx2+y2,cos⁡u=x2+y2−ab,sin⁡u=zb\cos v=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad \sin v=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad \cos u=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-a}{b},\quad \sin u=\frac zb

はいずれもTa,bT_{a,b}の上の滑らかな関数として一意に定まる。これらを用いて

N(x,y,z)=−(cos⁡ucos⁡v, cos⁡usin⁡v, sin⁡u)N(x,y,z)=-\bigl(\cos u\cos v,\ \cos u\sin v,\ \sin u\bigr)

と定めると、NNはTa,bT_{a,b}の全体で定義された滑らかな単位法線ベクトル場であり、§E23.6 命題 4.3が芯の円へ向かう向きとして用いたものに一致する。したがって定理 7.1 (1)の仮定がすべて満たされ、Ta,bT_{a,b}にはK>0K>0の点とK<0K<0の点がともに存在する。この結論は、§E23.6 注意 4.4がK=cos⁡u/(b(a+bcos⁡u))K=\cos u/\bigl(b(a+b\cos u)\bigr)という具体的な式から直接読み取った事実と一致する。定理 7.1では、この式を計算せずに、埋め込まれたすべての円環面について同じ結論が得られる点が異なる。

注意 7.3 (埋め込まれた円環面と抽象曲面の円環面を区別すること).定理 4.1からχ(M)=0\chi(M)=0の曲面について直ちに従うのは∫MK dA=0\int_MK\,dA=0だけである。この等式は、KKが至るところ00である場合を排除しない。したがって「円環面では正の Gauss 曲率と負の Gauss 曲率が必ず共存する」という主張は、抽象曲面に対しては偽である。§E23.11 例 5.1がその反例である。

共存が結論されるのは、R3\R^3に埋め込まれた場合に限る。そこでは定理 6.1によりK>0K>0となる点の存在が得られ、∫MK dA=0\int_MK\,dA=0と合わせてK<0K<0となる点の存在が従う。注意 6.2のとおり、この補題では埋め込みを本質的に使う。

依存の向きを述べておく。§E23.11 例 5.1では、平坦な計量を持つ円環面がR3\R^3の正則曲面として実現されないことを述べ、その根拠のうち「R3\R^3のコンパクトな正則曲面は Gauss 曲率が正である点を持つ」という事実を本記事へ委ねている。それが定理 6.1であり、その証明は§E23.11 例 5.1を用いないので循環は生じない。同じ非実現性は定理 7.1 (1)からも従う。もし実現されたとすると、コンパクトでχ=0\chi=0の埋め込まれた曲面であってK≡0K\equiv0を満たすものが存在することになり、1 に矛盾するからである。

8 角欠損についての離散版

滑らかな曲面の Gauss 曲率に対応する量を、平面三角形を貼り合わせた図形の上で考えることができる。この量は各面の内部では00であり、頂点にだけ現れる。各頂点に現れるこの量が角欠損である。

定義 8.1. 三角形メッシュ (triangular mesh) とは、有限個の点の集合V\mathcal{V}（頂点）、V\mathcal{V}の二元部分集合の有限集合E\mathcal{E}（辺）、およびV\mathcal{V}の三元部分集合の有限集合F\mathcal{F}（面）の組であって、各面の三つの二元部分集合がいずれもE\mathcal{E}に属するものをいう。V=∣V∣V=\lvert\mathcal{V}\rvert、E=∣E∣E=\lvert\mathcal{E}\rvert、F=∣F∣F=\lvert\mathcal{F}\rvertと書き、χ=V−E+F\chi=V-E+Fと定める。

各面f∈Ff\in\mathcal{F}に、その三つの頂点における角θ(f,v)>0\theta(f,v)>0（v∈fv\in f）が与えられているとする。頂点vvにおける角欠損 (angle defect) を

d(v)=2π−∑f∈F, v∈fθ(f,v)d(v)=2\pi-\sum_{f\in\mathcal{F},\ v\in f}\theta(f,v)

と定める。

系 8.2. 三角形メッシュが次の二つを満たすとする。

  1. 境界を持たない。すなわち、各辺はちょうど二つの面に含まれる。
  2. 各面が平面三角形である。すなわち、各面ffについて∑v∈fθ(f,v)=π\sum_{v\in f}\theta(f,v)=\piが成り立つ。

このとき

∑v∈Vd(v)=2πχ\sum_{v\in\mathcal{V}}d(v)=2\pi\chi

が成り立つ。

証明. 角欠損の定義を頂点について加える。

∑v∈Vd(v)=2πV−∑v∈V ∑f∋vθ(f,v)\sum_{v\in\mathcal{V}}d(v)=2\pi V-\sum_{v\in\mathcal{V}}\ \sum_{f\ni v}\theta(f,v)

である。右辺の二重和は、組(f,v)(f,v)（f∈Ff\in\mathcal{F}、v∈fv\in f）についての和であるから、頂点ごとの和を面ごとの和へ組み替えることができる。主張 (2)により各面についての内側の和はπ\piであるから

∑v∈V ∑f∋vθ(f,v)=∑f∈F ∑v∈fθ(f,v)=πF\sum_{v\in\mathcal{V}}\ \sum_{f\ni v}\theta(f,v)=\sum_{f\in\mathcal{F}}\ \sum_{v\in f}\theta(f,v)=\pi F

である。よって

∑v∈Vd(v)=2πV−πF\sum_{v\in\mathcal{V}}d(v)=2\pi V-\pi F

である。

次にχ\chiを書き換える。組(e,f)(e,f)（e∈Ee\in\mathcal{E}、eeはffに含まれる辺）の個数を二通りに数える。面ごとに数えると、各面は三つの辺を持つから3F3Fである。辺ごとに数えると、主張 (1)により各辺はちょうど二つの面に含まれるから2E2Eである。よって3F=2E3F=2E、すなわちE=3F/2E=3F/2である。したがって

2πχ=2π(V−3F2+F)=2πV−πF2\pi\chi=2\pi\left(V-\frac{3F}{2}+F\right)=2\pi V-\pi F

である。二つの式の右辺が一致するから、主張が従う。▨

注意 8.3 (恒等式が述べていることと述べていないこと).系 8.2は組合せ的な恒等式であり、証明に極限も近似も現れない。使った仮定は、各辺がちょうど二つの面に含まれることと、各面の内角の和がπ\piであることの二つだけである。どちらか一方でも外すと結論は成り立たない。境界を持つメッシュでは境界の辺が一つの面にしか含まれないので3F=2E3F=2Eが崩れ、面が平面三角形でなければ内角の和がπ\piにならない。

この恒等式は、定理 4.1の離散的な対応物である。2πχ2\pi\chiという右辺は共通であり、左辺では∫MK dA\int_MK\,dAが∑vd(v)\sum_vd(v)に置き換わっている。しかし、両者を結ぶ収束についてはここで何も主張しない。滑らかな曲面を三角形メッシュで近似したとき、各頂点の角欠損が近傍における Gauss 曲率の積分へ近づくかどうかは、恒等式とは別の主張である。

9 高次元への一般化

注意 9.1 (偶数次元への一般化).定理 4.1は、コンパクトで向きづけられた偶数次元の Riemann 多様体へ一般化される。2n2n次元の場合、曲率テンソルから作られる2n2n次微分形式（Pfaff 形式）の積分が Euler 標数の定数倍に等しい、という形である。n=1n=1の場合が本記事の定理であり、そこでは Pfaff 形式がK dAK\,dAになる。この一般化は Chern による内在的な証明を持つ。書誌情報は本記事の参考文献に挙げた。

本記事ではこの一般化を証明しない。

10 境界

三角形分割の存在を証明していないこと。定理 1.1は本記事の仮定である。したがって本記事では、コンパクトな曲面に対して大域 Gauss–Bonnet の定理が無条件に成り立つことを証明したのではなく、適当な三角形分割が与えられたときに成り立つことを証明した。委ね先は注意 1.2に挙げた文献である。この委譲は本記事の唯一の外部依存である。定理 4.1の証明は、局所 Gauss–Bonnet の定理と有限個の等式の足し合わせだけからなる。

境界を持つ曲面と向きづけ可能でない曲面を扱わないこと。境界を持つ曲面では、境界に沿う測地曲率の線積分と外角が右辺に残る。向きづけ可能でない曲面では大域的な向きが無いので、補題 3.1をこの形で述べることはできない。各三角形の上で局所的な向きを取り、辺の寄与をその三角形の内向き単位法ベクトルに関して測ると、相殺と内角の扱いは同じく成り立ち、同じ等式が得られる。本記事ではこの形を扱わない。

完備曲面の大域論を扱わないこと。本記事で扱うのはコンパクトで境界を持たない曲面であり、完備であるがコンパクトでない曲面については何も述べていない。

全曲率の三角形分割からの独立性を、KK以外の関数については主張していないこと。系 4.2は定理 4.1を経由して得られたものであり、一般の連続関数ffについて∫M,Tf dA\int_{M,\mathcal{T}}f\,dAがT\mathcal{T}に依らないことは示されていない。一般の関数に対する曲面上の積分は、一の分割を用いて構成することができるが、本記事ではその構成を行わない。

11 演習

問題 11.1.

  1. a,b>0a,b>0とし、回転楕円面MMを母線φ(u)=asin⁡u\varphi(u)=a\sin u、ψ(u)=bcos⁡u\psi(u)=b\cos u（u∈(0,π)u\in(0,\pi)）の回転面として表す。§E23.6 問題 6.1 (7)のK=b2/(a2cos⁡2u+b2sin⁡2u)2K=b^2/(a^2\cos^2u+b^2\sin^2u)^2を用いて、広義積分∬(0,π)×(0,2π)KEG−F2 du dv\iint_{(0,\pi)\times(0,2\pi)}K\sqrt{EG-F^2}\,du\,dvがa,ba,bに依らず4π4\piに等しいことを示す。さらに、三つの座標平面でMMを八つの三角形に分けた三角形分割T\mathcal{T}について、各三角形の上の積分が径数領域の対応する長方形の上の積分に等しいことを示して∫M,TK dA=4π\int_{M,\mathcal{T}}K\,dA=4\piを導き、系 5.1 (1)の値と一致することを確かめる。
  2. 半径rrの球面に内向きの単位法線を取り、0<u0<π0<u_0<\piについて北の球冠R1={u≤u0}R_1=\{u\le u_0\}と南の球冠R2={u≥u0}R_2=\{u\ge u_0\}を考える（uuは§E23.4 例 6.2の座標で、両極を含める）。R2R_2について、境界の緯線をR2R_2を左に見る向きに取るとvvの増える向きになりκg=−cos⁡u0/(rsin⁡u0)\kappa_g=-\cos u_0/(r\sin u_0)であることを示し、∫R2K dA=2π(1+cos⁡u0)\int_{R_2}K\,dA=2\pi(1+\cos u_0)と合わせて§E23.14 定理 6.1の等式を確かめる。R1R_1とR2R_2の等式を加えると境界の項が相殺し、∫R1K dA+∫R2K dA=4π\int_{R_1}K\,dA+\int_{R_2}K\,dA=4\piとなることを示す。
  3. 例 5.3の三角形分割Tm\mathcal{T}_m（m≥3m\ge3）について、頂点・辺・三角形の個数VV、EE、FFをmmで表し、3F=2E3F=2EとV−E+F=0V-E+F=0を確かめる。さらに、各頂点に集まる三角形の個数を求め、命題 1.3 (2)の2πV−πF2\pi V-\pi Fが00になることを確かめる。
  4. 三角形メッシュ（定義 8.1）であって、各辺がちょうど一つまたはちょうど二つの面に含まれるものを考え、ちょうど一つの面に含まれる辺の個数をEbE_bと書く。3F=2E−Eb3F=2E-E_bを示す。球面の北半球を四つの八分儀に分けた分割についてVV、EE、FF、EbE_bを数え、この等式とV−E+F=1V-E+F=1を確かめる。
  5. a≥b≥c>0a\ge b\ge c>0とし、楕円面M={x2/a2+y2/b2+z2/c2=1}M=\{x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1\}について、定理 6.1のR=max⁡q∈M∥q∥R=\max_{q\in M}\lVert q\rVertと最大値を与える点を求める。§E23.5 問題 7.1 (3)の第二基本形式を用いてその点のKKを計算し、定理 6.1 (2)と定理 6.1 (3)の不等式が成り立つことを直接確かめる。
  6. M⊆R3M\subseteq\R^3をコンパクトで境界を持たず向きづけられた正則曲面とし、定理 1.1の三角形分割を持つとする。χ(M)<0\chi(M)<0ならば、K(p)>0K(p)>0となる点ppとK(q)<0K(q)<0となる点qqがともに存在することを示す。また、χ(M)>0\chi(M)>0の場合にはK<0K<0となる点が存在するとは限らないことを、例で示す。
  7. 例 5.2の八分割について、頂点・辺・面の個数と定理 1.1 (6)を確かめ、χ=2\chi=2を計算する。次に、同じ球面を正四面体の四つの面に対応する四つの測地三角形へ分けた分割について、各三角形の内角の和と全曲率の分配を計算し、合計が4π4\piになることを確かめる。
  8. 正二十面体（V=12V=12、E=30E=30、F=20F=20、各面は正三角形で、各頂点に五つの面が集まる）について、各頂点の角欠損を計算し、総和が系 8.2の2πχ2\pi\chiに一致することを確かめる。次に、例 5.3と同じ組合せの三角形分割を平坦な円環面R2/Z2\R^2/\Z^2の上で一辺1/m1/mの格子から作り（m≥3m\ge3）、各面に直角二等辺三角形の角を与えたメッシュについて、すべての角欠損が00であることを示す。
  9. 系 8.2 (2)を外し、各面が平面四角形であるメッシュを考える。仮定 1 を保ったまま、角欠損の総和がどのような式になるかを、同じ数え上げの手順で導く。
解答.

(1)を示す。w2=a2cos⁡2u+b2sin⁡2uw^2=a^2\cos^2u+b^2\sin^2uと置くと、§E23.4 命題 6.1によりE=w2E=w^2、F=0F=0、G=a2sin⁡2uG=a^2\sin^2uであり、EG−F2=asin⁡u w\sqrt{EG-F^2}=a\sin u\,wである。よって被積分関数は

KEG−F2=ab2sin⁡uw3=ab2sin⁡u(a2cos⁡2u+b2sin⁡2u)3/2K\sqrt{EG-F^2}=\frac{ab^2\sin u}{w^3}=\frac{ab^2\sin u}{\bigl(a^2\cos^2u+b^2\sin^2u\bigr)^{3/2}}

であり、vvに依らない連続で非負の関数である。x=cos⁡ux=\cos uと置くとdx=−sin⁡u dudx=-\sin u\,du、a2cos⁡2u+b2sin⁡2u=b2+(a2−b2)x2a^2\cos^2u+b^2\sin^2u=b^2+(a^2-b^2)x^2であるから

∫0πab2sin⁡u du(a2cos⁡2u+b2sin⁡2u)3/2=∫−11ab2 dx(b2+(a2−b2)x2)3/2\int_0^{\pi}\frac{ab^2\sin u\,du}{\bigl(a^2\cos^2u+b^2\sin^2u\bigr)^{3/2}}=\int_{-1}^{1}\frac{ab^2\,dx}{\bigl(b^2+(a^2-b^2)x^2\bigr)^{3/2}}

である。ddxxb2b2+cx2=1(b2+cx2)3/2\dfrac{d}{dx}\dfrac{x}{b^2\sqrt{b^2+cx^2}}=\dfrac{1}{(b^2+cx^2)^{3/2}}（c=a2−b2c=a^2-b^2）であるから、右辺は

ab2[xb2b2+(a2−b2)x2]−11=ab2⋅2b2a=2ab^2\Bigl[\frac{x}{b^2\sqrt{b^2+(a^2-b^2)x^2}}\Bigr]_{-1}^{1}=ab^2\cdot\frac{2}{b^2a}=2

である。vvについて00から2π2\piまで積分すると（§E4.12 定理 1.1）、全体は2⋅2π=4π2\cdot2\pi=4\piである。被積分関数は有界な連続関数であり、uuの区間の端点の寄与は零であるから、広義積分はこの値に等しい。a=b=ra=b=rのときは被積分関数がsin⁡u\sin uになり、球面の場合に戻る。

三角形分割の積分と結びつける。線形同型ψ(x,y,z)=(x/a,y/a,z/b)\psi(x,y,z)=(x/a,y/a,z/b)はMMを単位球面へ写し、三つの座標平面を保つ。したがって三つの座標平面でMMを切ると、例 5.2の八分儀をψ−1\psi^{-1}で写したものとして、頂点は座標軸との交わりの六点、辺は十二本の弧、三角形は八枚であり、辺と三角形の交わり方も同じである。例 5.2で各八分儀を含む開半球のグラフのチャートをψ\psiと合成すると、各三角形を含むMMのチャートが得られる。頂点で出会う二本の辺の接ベクトルは、北極と南極では平面y=0y=0とx=0x=0の上の子午線の接ベクトルであって(±1,0,0)(\pm1,0,0)と(0,±1,0)(0,\pm1,0)の方向を持ち、赤道の点では赤道の接ベクトルが水平、子午線の接ベクトルが鉛直である。いずれの場合も二本の接ベクトルは直交するので、各頂点に集まる四つの内角はいずれもπ/2\pi/2である。よって定理 1.1の条件が満たされる。z≥0z\ge0の側の三角形は、回転面の表示の長方形Qk=[0,π/2]×[kπ/2,(k+1)π/2]Q_k=[0,\pi/2]\times[k\pi/2,(k+1)\pi/2]（k=0,1,2,3k=0,1,2,3。辺u=0u=0は北極の一点に写る）の像であり、z≤0z\le0の側の三角形は[π/2,π]×[kπ/2,(k+1)π/2][\pi/2,\pi]\times[k\pi/2,(k+1)\pi/2]の像である。三角形から極の近傍{u<ε}\{u<\varepsilon\}または{u>π−ε}\{u>\pi-\varepsilon\}を除いた部分では、グラフのチャートによる積分（§E23.14 定義 1.2）は§E4.14 定理 2.1により対応する長方形の部分の上の∬KEG−F2 du dv\iint K\sqrt{EG-F^2}\,du\,dvに等しい。除いた部分の寄与は、被積分関数が有界であり面積が00に近づくので、ε→0\varepsilon\to0で00に近づく。よって各三角形の積分は対応する長方形の上の積分に等しく、八つを加えると∫M,TK dA=4π\int_{M,\mathcal{T}}K\,dA=4\piである。回転楕円面は球面と同相であり、この値は系 5.1 (1)の4π4\piに一致する。

(2)を示す。§E23.14 例 8.2により、緯線をvvの減る向きにたどる単位速度の曲線では単位法ベクトルnnがR1R_1の内側を向き、κg=cos⁡u0/(rsin⁡u0)\kappa_g=\cos u_0/(r\sin u_0)である。逆向き、すなわちvvの増える向きにたどると、§E23.8 命題 5.2 (2)の証明のとおりnnは−n-nに置き換わってR2R_2の内側を向き、測地曲率は符号を変えて−cos⁡u0/(rsin⁡u0)-\cos u_0/(r\sin u_0)である。よってR2R_2を左に見る向きでの境界の項は

∫∂R2κg ds=−cos⁡u0rsin⁡u0⋅2πrsin⁡u0=−2πcos⁡u0\int_{\partial R_2}\kappa_g\,ds=-\frac{\cos u_0}{r\sin u_0}\cdot2\pi r\sin u_0=-2\pi\cos u_0

である。K≡1/r2K\equiv1/r^2であり、面積要素はr2sin⁡ur^2\sin uであるから

∫R2K dA=∫u0π ⁣ ⁣∫02πsin⁡u dv du=2π(1+cos⁡u0)\int_{R_2}K\,dA=\int_{u_0}^{\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\sin u\,dv\,du=2\pi(1+\cos u_0)

である。境界に角は無いから、左辺は2π(1+cos⁡u0)−2πcos⁡u0=2π2\pi(1+\cos u_0)-2\pi\cos u_0=2\piであり、§E23.14 定理 6.1の等式が成り立つ（R2R_2は北極からの立体射影を用いて、§E23.14 例 8.2と同じ議論で単純な座標領域であることが確かめられる）。

R1R_1とR2R_2の等式を加えると、境界の項は同じ緯線を互いに逆向きにたどる二つの線積分2πcos⁡u02\pi\cos u_0と−2πcos⁡u0-2\pi\cos u_0であり、相殺する。外角の項はどちらも零である。よって

∫R1K dA+∫R2K dA=2π+2π=4π\int_{R_1}K\,dA+\int_{R_2}K\,dA=2\pi+2\pi=4\pi

であり、実際に2π(1−cos⁡u0)+2π(1+cos⁡u0)=4π2\pi(1-\cos u_0)+2\pi(1+\cos u_0)=4\piである。これは補題 3.1の相殺と同じ仕組みであり、値は系 5.1 (1)に一致する。

(3)を示す。Tm\mathcal{T}_mの頂点は格子点(2πi/m, 2πj/m)\bigl(2\pi i/m,\ 2\pi j/m\bigr)（0≤i,j≤m−10\le i,j\le m-1）の像であるからV=m2V=m^2である。各小正方形は二つの三角形に分かれるのでF=2m2F=2m^2である。辺は、各格子点から右へ伸びる水平な辺、上へ伸びる鉛直な辺、右上へ伸びる対角線の辺の三本ずつであり、2π2\piの整数倍の差による同一視のもとでこれらはすべて相異なり、すべての辺を尽くすのでE=3m2E=3m^2である。よって3F=6m2=2E3F=6m^2=2Eであり、V−E+F=m2−3m2+2m2=0V-E+F=m^2-3m^2+2m^2=0である。

各三角形は三つの頂点を持つので、組（頂点、その頂点を持つ三角形）の個数は3F=6m23F=6m^2であり、頂点の平行移動による対称性から各頂点には同じ個数の三角形が集まるので、その個数は6m2/m2=66m^2/m^2=6である。2πV−πF=2πm2−2πm2=02\pi V-\pi F=2\pi m^2-2\pi m^2=0であり、命題 1.3によりχ(Ta,b)=0\chi(T_{a,b})=0、定理 4.1により∫Ta,bK dA=0\int_{T_{a,b}}K\,dA=0である。これは例 5.3の直接の計算と一致する。

(4)を示す。組(e,f)(e,f)（eeは面ffに含まれる辺）の個数を二通りに数える。面ごとに数えると、各面は三つの辺を持つから3F3Fである。辺ごとに数えると、ちょうど一つの面に含まれるEbE_b本の辺はそれぞれ11、残りのE−EbE-E_b本はそれぞれ22を与えるから、Eb+2(E−Eb)=2E−EbE_b+2(E-E_b)=2E-E_bである。よって3F=2E−Eb3F=2E-E_bである。

北半球を四つの八分儀に分けると、頂点は北極と赤道上の四点(±r,0,0)(\pm r,0,0)、(0,±r,0)(0,\pm r,0)でV=5V=5であり、辺は北極から赤道へ至る四本の四分円弧と赤道の四本の四分円弧でE=8E=8であり、面はF=4F=4である。赤道の四本の弧はそれぞれ一つの八分儀だけに含まれ、北極から出る四本の弧はそれぞれ二つの八分儀に含まれるからEb=4E_b=4である。3F=12=2⋅8−43F=12=2\cdot8-4であり等式が成り立つ。V−E+F=5−8+4=1V-E+F=5-8+4=1である。境界を持たない場合（Eb=0E_b=0）には命題 1.3 (2)の3F=2E3F=2Eに戻る。

(5)を示す。q=(x,y,z)∈Mq=(x,y,z)\in Mについて、a≥b≥ca\ge b\ge cから

∥q∥2=x2+y2+z2=a2(x2a2+y2a2+z2a2)≤a2(x2a2+y2b2+z2c2)=a2\lVert q\rVert^2=x^2+y^2+z^2=a^2\Bigl(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{a^2}\Bigr)\le a^2\Bigl(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\Bigr)=a^2

であり、(±a,0,0)(\pm a,0,0)で等号が成り立つ。よってR=aR=aである。両辺の差は

a2(x2a2+y2b2+z2c2)−∥q∥2=y2(a2b2−1)+z2(a2c2−1)a^2\Bigl(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\Bigr)-\lVert q\rVert^2=y^2\Bigl(\frac{a^2}{b^2}-1\Bigr)+z^2\Bigl(\frac{a^2}{c^2}-1\Bigr)

であり、二つの項はいずれも非負であるから、∥q∥=a\lVert q\rVert=aとなるのは二つの項がともに00のときに限る。したがって最大値を与える点の集合は、a>ba>bのときは{(±a,0,0)}\{(\pm a,0,0)\}であり、a=b>ca=b>cのときは赤道{x2+y2=a2, z=0}\{x^2+y^2=a^2,\ z=0\}の全体であり、a=b=ca=b=cのときはMMの全体である。a=ba=bのときMMはzz軸のまわりの回転で保たれ、a=b=ca=b=cのときMMは原点を中心とする球面であるからR3\R^3のすべての回転で保たれ、どの場合もMMはx↦−xx\mapsto-xで保たれる。これらの直交変換は内向きの単位法線を内向きの単位法線へ写し、接平面の上の第二基本形式を対応する点の第二基本形式へ写すので、最大値を与える点のどれでも以下の値は同じであり、p=(a,0,0)p=(a,0,0)で計算すれば足りる。

§E23.5 問題 7.1 (3)により、ppで内向きの単位法線−p/a-p/aに関してTpM=span(e2,e3)T_pM=\mathrm{span}(\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3)の上の第二基本形式はdiag(a/b2, a/c2)\mathrm{diag}(a/b^2,\ a/c^2)である。§E23.6 定義 2.1により主曲率はa/b2a/b^2とa/c2a/c^2であり、K(p)=a2/(b2c2)K(p)=a^2/(b^2c^2)である。単位接ベクトルX=cos⁡t e2+sin⁡t e3X=\cos t\,\boldsymbol{e}_2+\sin t\,\boldsymbol{e}_3についてIIp(X,X)=ab2cos⁡2t+ac2sin⁡2t≥aa2=1R\mathrm{II}_p(X,X)=\frac{a}{b^2}\cos^2t+\frac{a}{c^2}\sin^2t\ge\frac{a}{a^2}=\frac1Rであり（b,c≤ab,c\le a）、定理 6.1 (2)が成り立つ。またK(p)=a2/(b2c2)≥a2/a4=1/R2K(p)=a^2/(b^2c^2)\ge a^2/a^4=1/R^2であり、定理 6.1 (3)が成り立つ。K(p)=1/R2K(p)=1/R^2となるのはa=b=ca=b=c、すなわち球面の場合に限る。

(6)を示す。定理 6.1 (3)により、∥q∥\lVert q\rVertが最大となる点ppでK(p)>0K(p)>0である。一方定理 4.1により∫M,TK dA=2πχ(M)<0\int_{M,\mathcal{T}}K\,dA=2\pi\chi(M)<0である。すべての点でK≥0K\ge0であるとすると、各三角形TiT_iの上の積分∫TiK dA\int_{T_i}K\,dAは非負の連続関数の積分として非負であり（§E23.14 定義 1.2）、和も非負となって矛盾する。よってK(q)<0K(q)<0となる点qqが存在する。

χ(M)>0\chi(M)>0の例として、半径rrの球面を取る。例 5.2によりχ=2\chi=2であり、すべての点でK=1/r2>0K=1/r^2>0であるから、K<0K<0となる点は存在しない。χ(M)=0\chi(M)=0の場合の結論は定理 7.1 (1)である。

(7)を示す。例 5.2の八分割では、頂点は座標軸と球面の交点の66点、辺は四分の一の大円弧の1212本、面は八分儀の88枚である。各頂点、たとえば(r,0,0)(r,0,0)には、第二座標と第三座標の符号の組(±,±)(\pm,\pm)に対応する四枚の八分儀が集まり、各八分儀の内角はπ/2\pi/2であるから、内角の総和は4⋅π/2=2π4\cdot\pi/2=2\piであり、定理 1.1 (6)が成り立つ。χ=V−E+F=6−12+8=2\chi=V-E+F=6-12+8=2である。次に、半径rrの球面に内接する正四面体の頂点をv1,…,v4v_1,\dots,v_4とし、各面を原点からの放射で球面へ写した四つの測地三角形を考える。各辺はvi,vjv_i,v_jと原点を含む平面と球面の交わりの弧であるから大円弧であり、§E23.8 例 6.1により測地線である。⟨vi,v4⟩=−r2/3\langle v_i,v_4\rangle=-r^2/3（i≠4i\ne4）であるから、v1,v2,v3v_1,v_2,v_3を頂点とする三角形は開半球{x:⟨x,−v4⟩>0}\{x:\langle x,-v_4\rangle>0\}に含まれ、一つのチャートの定義域に含まれる。V=4V=4、E=6E=6、F=4F=4であり、χ=4−6+4=2\chi=4-6+4=2である。内角を直接求める。r=1r=1としてよく（内角は相似拡大で変わらない）、v1=13(1,1,1)v_1=\tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1)、v2=13(1,−1,−1)v_2=\tfrac{1}{\sqrt3}(1,-1,-1)、v3=13(−1,1,−1)v_3=\tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,-1)、v4=13(−1,−1,1)v_4=\tfrac{1}{\sqrt3}(-1,-1,1)と取る。v1v_1からvkv_kへ向かう大円弧のv1v_1における速度はwk=vk−⟨v1,vk⟩v1=vk+13v1w_k=v_k-\langle v_1,v_k\rangle v_1=v_k+\tfrac13v_1の正の実数倍であり、⟨w2,w3⟩=⟨v2,v3⟩+13⟨v2,v1⟩+13⟨v1,v3⟩+19=−13−19−19+19=−49\langle w_2,w_3\rangle=\langle v_2,v_3\rangle+\tfrac13\langle v_2,v_1\rangle+\tfrac13\langle v_1,v_3\rangle+\tfrac19=-\tfrac13-\tfrac19-\tfrac19+\tfrac19=-\tfrac49、∥w2∥2=∥w3∥2=1−29+19=89\lVert w_2\rVert^2=\lVert w_3\rVert^2=1-\tfrac29+\tfrac19=\tfrac89であるから、v1v_1における内角の余弦は−12-\tfrac12であり、内角は2π/32\pi/3である。正四面体の頂点の置換は直交変換で実現され、球面の等長写像であるから、すべての三角形のすべての内角は2π/32\pi/3である。各頂点には三つの三角形が集まり、内角の総和は3⋅2π/3=2π3\cdot2\pi/3=2\piであって、定理 1.1 (6)が成り立つ。各三角形の内角の和は3⋅2π/3=2π3\cdot2\pi/3=2\piであり、§E23.14 系 7.3により各三角形の全曲率は

∫TK dA=2π−π=π\int_TK\,dA=2\pi-\pi=\pi

である。四枚の合計は4π4\piであり、系 5.1 (1)と2πχ=4π2\pi\chi=4\piに一致する。全曲率は八分割では各面にπ/2\pi/2ずつ、四分割では各面にπ\piずつ分配されている。

(8)を示す。正二十面体の各頂点には五つの正三角形が集まり、各面の頂点の角はπ/3\pi/3であるから、角欠損はd(v)=2π−5⋅π3=π3d(v)=2\pi-5\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}である。総和は12⋅π3=4π12\cdot\frac{\pi}{3}=4\piである。一方χ=V−E+F=12−30+20=2\chi=V-E+F=12-30+20=2であるから2πχ=4π2\pi\chi=4\piであり、一致する。各辺はちょうど二つの面に含まれ、各面は平面三角形であるから、系 8.2の仮定が満たされている。

円環面のメッシュでは、各小正方形を左下と右上を結ぶ対角線で分けるので、各面は直角二等辺三角形であり、角はπ/2\pi/2、π/4\pi/4、π/4\pi/4である。頂点を原点に平行移動して考えると、原点に集まる面は六つである。原点を左下の角とする正方形と右上の角とする正方形は、それぞれ原点を頂点とする二つの三角形を与え、それらの原点における角はいずれもπ/4\pi/4である。原点を右下の角とする正方形と左上の角とする正方形では、対角線が原点を通らないので、原点を頂点とする三角形は一つずつであり、原点における角は直角π/2\pi/2である。よって角の総和は4⋅π4+2⋅π2=2π4\cdot\frac{\pi}{4}+2\cdot\frac{\pi}{2}=2\piであり、角欠損は00である。各頂点で同じであるから総和は00であり、系 8.2によりχ=0\chi=0を得る。これは(3)の数え上げと一致する。

(9)を示す。面を頂点の四元部分集合（巡回的な順序つき）とし、各面が四つの辺を持ち、仮定 1 のとおり各辺がちょうど二つの面に含まれるとする。各面は凸な平面四角形であるとし、その四つの角の和は、対角線で二つの平面三角形に分けることによりπ+π=2π\pi+\pi=2\piである。同じ数え上げの手順を行う。角欠損の総和は、二重和を面ごとに組み替えて

∑vd(v)=2πV−∑f∑v∈fθ(f,v)=2πV−2πF\sum_vd(v)=2\pi V-\sum_f\sum_{v\in f}\theta(f,v)=2\pi V-2\pi F

である。組(e,f)(e,f)を二通りに数えると、面ごとには4F4F、辺ごとには2E2EであるからE=2FE=2Fであり、χ=V−E+F=V−F\chi=V-E+F=V-Fである。したがって

∑vd(v)=2π(V−F)=2πχ\sum_vd(v)=2\pi(V-F)=2\pi\chi

であり、四角形メッシュについても角欠損の総和は2πχ2\pi\chiに等しい。たとえば立方体の表面（V=8V=8、E=12E=12、F=6F=6）では各頂点に三つの直角が集まりd(v)=π/2d(v)=\pi/2であって、総和4π4\piは2πχ=2π(8−12+6)2\pi\chi=2\pi(8-12+6)に一致する。▨

参考文献

  1. Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, revised and updated second ed., Dover Publications, Mineola, N.Y., 2016.三角形分割による大域 Gauss–Bonnet の定理の証明の組み立て、三角形分割の存在を外部の結果として扱う扱い、およびコンパクトな曲面が Gauss 曲率の正の点を持つことの証明を参考にした。
  2. Tibor Radó, Über den Begriff der Riemannschen Fläche, Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae. Sectio Scientiarum Mathematicarum 2 (1925), 101–121.二次元多様体が三角形分割を持つことの証明を参考にした。
  3. Edwin E. Moise, Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, Graduate Texts in Mathematics 47, Springer, 1977.二次元位相多様体の三角形分割可能性の現代的な扱いを参考にした。
  4. J. H. C. Whitehead, On C^1-complexes, Annals of Mathematics 41 (1940), 809–824.滑らかな多様体が滑らかな三角形分割を持つことを参考にした。
  5. Shiing-Shen Chern, A simple intrinsic proof of the Gauss–Bonnet formula for closed Riemannian manifolds, Annals of Mathematics 45 (1944), no. 4, 747–752.偶数次元のコンパクト Riemann 多様体への一般化の主張の形を参考にした。

前提記事