回転面の測地線と Clairaut の関係式 | 曲線と曲面

1 回転面と母線の弧長による座標

定義 1.1. $I\subseteq\R$ を開区間とし、 $\boldsymbol{\sigma}:I\to\R^2$ 、 $\boldsymbol{\sigma}(t)=(f(t),g(t))$ を $C^\infty$ 写像であって次の三つを満たすものとする。

すべての $t\in I$ に対して $f(t)>0$ である。
$\boldsymbol{\sigma}$ は単位速度である。すなわちすべての $t\in I$ に対して $f'(t)^2+g'(t)^2=1$ である。
$\boldsymbol{\sigma}$ は単射であり、逆対応 $\boldsymbol{\sigma}(I)\to I$ は、 $\boldsymbol{\sigma}(I)$ に $\R^2$ から入る相対位相について連続である。

このとき $\boldsymbol{\sigma}$ を母線 (generating curve) と呼び、

\boldsymbol{x}(t,\theta)=\bigl(f(t)\cos\theta,\ f(t)\sin\theta,\ g(t)\bigr)

の像 $M=\boldsymbol{x}(I\times\R)$ を、母線 $\boldsymbol{\sigma}$ を $z$ 軸のまわりに回して得られる回転面 (surface of revolution) という。 $t$ を固定して $\theta$ を動かして得られる曲線を緯線 (parallel)、 $\theta$ を固定して $t$ を動かして得られる曲線を子午線 (meridian) という。

条件 (b)を課しても一般性を失わない。母線が正則であれば、弧長によって径数づけ直すことができるからである（§E23.1 定義 2.1）。条件 (a)では、母線が回転軸に達しないことを述べている。球面を回転面として扱うときは、二つの極が座標の外に出る。

回転面の第一基本形式そのものは§E23.4 第一基本形式と面積要素の§E23.4 命題 6.1で先に与えられている。同命題では母線 $\sigma(u)=(\varphi(u),\psi(u))$ に正則性だけを課して $E=\varphi'^2+\psi'^2$ 、 $F=0$ 、 $G=\varphi^2$ を与えるので、本記事で扱うのはその特別な場合、すなわち母線を単位速度に取り直した場合である。この取り直しによって $E$ が定数関数 $1$ になり、 $G$ が $f(t)^2$ になる。次の命題では、この場合の第一基本形式を、 $\boldsymbol{x}$ の制限の像が $M$ の中で開であって二つの像が $M$ を覆うこと、および回転軸までの距離が $f(t)$ であることとあわせて述べる。

命題 1.2.定義 1.1の記号のもとで、次が成り立つ。

各 $\theta_0\in\R$ に対して、 $\boldsymbol{x}$ の $W_{\theta_0}=I\times(\theta_0,\theta_0+2\pi)$ への制限は正則パラメータ表示（§E23.3 定義 1.3）であり、その像は $M$ の中で開である。 $M$ は $\theta_0=0$ と $\theta_0=\pi$ に対する二つの像で覆われる。したがって $M$ は正則曲面である（§E23.3 定義 1.1）。
第一基本形式の成分は $E=1,\qquad F=0,\qquad G=f(t)^2$ である。すなわち $\mathrm{I}=dt^2+f(t)^2\,d\theta^2$ である。
点 $\boldsymbol{x}(t,\theta)$ から $z$ 軸までの距離は $f(t)$ である。

証明.主張 (2)と主張 (3)を示す。偏微分を計算すると

\boldsymbol{x}_t=(f'\cos\theta,\ f'\sin\theta,\ g'),\qquad \boldsymbol{x}_\theta=(-f\sin\theta,\ f\cos\theta,\ 0)

である。したがって

E=\langle\boldsymbol{x}_t,\boldsymbol{x}_t\rangle=f'^2\cos^2\theta+f'^2\sin^2\theta+g'^2=f'^2+g'^2=1,

F=\langle\boldsymbol{x}_t,\boldsymbol{x}_\theta\rangle=-ff'\cos\theta\sin\theta+ff'\sin\theta\cos\theta=0,

G=\langle\boldsymbol{x}_\theta,\boldsymbol{x}_\theta\rangle=f^2\sin^2\theta+f^2\cos^2\theta=f^2

である。 $z$ 軸までの距離は $\sqrt{f^2\cos^2\theta+f^2\sin^2\theta}=f(t)$ である（ $f>0$ による）。

主張 (1)を示す。 $EG-F^2=\lVert\boldsymbol{x}_t\times\boldsymbol{x}_\theta\rVert^2=f^2>0$ であるから $\boldsymbol{x}_t\times\boldsymbol{x}_\theta\ne0$ であり、 $\boldsymbol{x}|_{W_{\theta_0}}$ ははめ込みである（§E23.3 補題 1.4）。

単射性を示す。 $\boldsymbol{x}(t,\theta)=\boldsymbol{x}(t_1,\theta_1)$ （ $(t,\theta),(t_1,\theta_1)\in W_{\theta_0}$ ）とすると、第三成分から $g(t)=g(t_1)$ であり、最初の二成分の長さから $f(t)=f(t_1)$ である。よって $\boldsymbol{\sigma}(t)=\boldsymbol{\sigma}(t_1)$ であり、定義 1.1 条件 (c)の単射性から $t=t_1$ である。 $f(t)>0$ であるから $(\cos\theta,\sin\theta)=(\cos\theta_1,\sin\theta_1)$ であり、 $\theta,\theta_1$ は長さ $2\pi$ の開区間に属するから $\theta=\theta_1$ である。

像への同相であることを示す。 $p=(x,y,z)\in\boldsymbol{x}(W_{\theta_0})$ に対して $\Psi(p)=(\sqrt{x^2+y^2},\ z)$ と置くと $\Psi$ は連続であり、 $\Psi(\boldsymbol{x}(t,\theta))=\boldsymbol{\sigma}(t)$ である。定義 1.1 条件 (c)により $t=\boldsymbol{\sigma}^{-1}(\Psi(p))$ は $p$ について連続である。また $(\cos\theta,\sin\theta)=(x,y)/f(t)$ は $p$ について連続であり、長さ $2\pi$ の開区間 $(\theta_0,\theta_0+2\pi)$ に値を取る偏角は、原点を端点とする一本の半直線を除いた平面の上で連続である。よって $\theta$ も $p$ について連続であり、 $\boldsymbol{x}|_{W_{\theta_0}}$ の逆写像は連続である。

像が $M$ の中で開であることを示す。 $H_{\theta_0}=\{(\lambda\cos\theta_0,\lambda\sin\theta_0,z):\lambda\ge0,\ z\in\R\}$ は $\R^3$ の閉集合である。 $f>0$ であるから $M\cap H_{\theta_0}$ は子午線 $\theta=\theta_0$ に一致し、これは $M$ の閉集合である。その補集合が $\boldsymbol{x}(W_{\theta_0})$ であるから、像は $M$ の中で開である。 $\theta_0=0$ の像は子午線 $\theta=0$ だけを除き、 $\theta_0=\pi$ の像は子午線 $\theta=\pi$ だけを除くから、二つの像は $M$ を覆う。したがって $M$ の各点は、正則パラメータ表示の像であって $M$ の中で開であるものに属するので、§E23.3 定理 1.6により $M$ は正則曲面である。▨

公式 1.3.定義 1.1の記号のもとで、 $u^1=t$ 、 $u^2=\theta$ とすると

\Gamma^1_{22}=-f(t)f'(t),\qquad \Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{f'(t)}{f(t)}

であり、残る $\Gamma^1_{11}$ 、 $\Gamma^1_{12}$ 、 $\Gamma^1_{21}$ 、 $\Gamma^2_{11}$ 、 $\Gamma^2_{22}$ はすべて零である。

証明. $F=0$ であるから§E23.7 公式 3.4を適用することができる。 $E=1$ であるから $E_t=E_\theta=0$ であり、 $G=f^2$ であるから $G_t=2ff'$ 、 $G_\theta=0$ である。代入すると

\Gamma^1_{11}=\frac{E_t}{2E}=0,\quad \Gamma^1_{12}=\frac{E_\theta}{2E}=0,\quad \Gamma^1_{22}=-\frac{G_t}{2E}=-ff',

\Gamma^2_{11}=-\frac{E_\theta}{2G}=0,\quad \Gamma^2_{12}=\frac{G_t}{2G}=\frac{2ff'}{2f^2}=\frac{f'}{f},\quad \Gamma^2_{22}=\frac{G_\theta}{2G}=0

である。▨

2 測地線の方程式

命題 2.1. $\gamma$ を $\boldsymbol{x}(W_{\theta_0})$ に含まれる滑らかな曲線とし、その座標表示を $(t(s),\theta(s))$ と書く。 $\gamma$ が測地線（§E23.8 定義 1.1）であることは、次の二つの方程式が成り立つことと同値である。

\ddot t-f(t)f'(t)\,\dot\theta^2=0,

\text{(G1)}

\ddot\theta+\frac{2f'(t)}{f(t)}\,\dot t\,\dot\theta=0.

\text{(G2)}

さらに $\gamma$ が単位速度であることは

\dot t^2+f(t)^2\dot\theta^2=1

\text{(U)}

と同値である。

証明.§E23.8 定義 1.1の座標表示は $\ddot u^k+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}\dot u^i\dot u^j=0$ である。 $k=1$ については、公式 1.3により零でない記号は $\Gamma^1_{22}=-ff'$ だけであるから式 (G1)を得る。 $k=2$ については、零でない記号は $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=f'/f$ の二つであり、 $\dot u^1\dot u^2$ の項が二度現れるから式 (G2)を得る。単位速度の条件は $\lVert\gamma'\rVert^2=E\dot t^2+2F\dot t\dot\theta+G\dot\theta^2=\dot t^2+f^2\dot\theta^2$ による。▨

式 (G2)の左辺は、そのままでは積分することができない形をしている。しかし両辺に $f^2$ を掛けると、左辺は一つの関数の導関数になる。次節ではこの変形によって保存量を求める。

3 Clairaut の関係式

単位速度の曲線 $\gamma$ に対して、速度ベクトルが子午線方向となす角を定める。 $\partial_t=\boldsymbol{x}_t$ と $\partial_\theta/f=\boldsymbol{x}_\theta/f$ は各点で正規直交基底であるから（ $E=1$ 、 $F=0$ 、 $G=f^2$ による）、 $\lVert\gamma'\rVert=1$ のとき

\gamma'=\cos\psi\ \partial_t+\sin\psi\ \frac{\partial_\theta}{f}

を満たす実数 $\psi$ が $2\pi$ の整数倍を除いて一意に定まる。座標表示との関係は

\cos\psi=\dot t,\qquad \sin\psi=f(t)\,\dot\theta

である。 $\psi$ を速度ベクトルが子午線となす角という。 $\sin\psi$ と $\cos\psi$ は $s$ について滑らかな関数である。

定理 3.1 (Clairaut の関係式). $M$ を定義 1.1の回転面とし、 $\gamma$ を $\boldsymbol{x}(W_{\theta_0})$ に含まれる単位速度の測地線、 $(t(s),\theta(s))$ をその座標表示とする。このとき

f\bigl(t(s)\bigr)\,\sin\psi(s)=f\bigl(t(s)\bigr)^2\,\dot\theta(s)

は $s$ に依らない定数である。すなわち、回転軸からの距離と、速度ベクトルが子午線となす角の正弦との積は、測地線に沿って一定である。この定数を $\gamma$ の Clairaut 定数 (Clairaut constant) と呼び、 $c$ と書く。

証明の方針を述べる。出発点は第二の測地線方程式式 (G2)である。この式が特別な形をしているのは、第一基本形式の成分 $E=1$ 、 $F=0$ 、 $G=f(t)^2$ がいずれも $\theta$ を含まないからである。中間目標は、式 (G2)が $f^2\dot\theta$ の導関数を書いたものにほかならないことを見ることである。本質的な一手は式 (G2)の両辺に $f^2$ を掛けることであり、掛けると左辺が積の微分法の形に整う。角による表示への書き換えは、 $\sin\psi=f\dot\theta$ という定義からただちに従う。

証明. $\gamma$ は測地線であるから式 (G2)が成り立つ。両辺に $f(t(s))^2$ を掛けると

f^2\ddot\theta+2ff'\,\dot t\,\dot\theta=0

である。一方、積の微分法と連鎖律により

\frac{d}{ds}\Bigl(f\bigl(t(s)\bigr)^2\dot\theta(s)\Bigr) =2f\bigl(t(s)\bigr)f'\bigl(t(s)\bigr)\dot t(s)\,\dot\theta(s)+f\bigl(t(s)\bigr)^2\ddot\theta(s)

である。二つの右辺は同じ式であるから、導関数は恒等的に零であり、 $f^2\dot\theta$ は定数である。 $\sin\psi=f\dot\theta$ であるから $f\sin\psi=f^2\dot\theta$ である。▨

注意 3.2 (Clairaut 定数が座標の取り方に依らないこと). $f(t)$ は命題 1.2 (3)により回転軸からの距離であり、 $\theta_0$ の取り方に依らない。二つの座標 $W_{\theta_0}$ と $W_{\theta_1}$ の像が重なる部分では、 $t$ は共通であり、 $\theta$ の値は各連結成分の上で $2\pi$ の整数倍だけ異なるから $\dot\theta$ が一致する。したがって $f^2\dot\theta$ の値は座標の取り方に依らない。

$\gamma:J\to M$ を単位速度の測地線（ $J$ は区間）とすると、 $J$ の各点は、 $\gamma$ の像がある一つの $\boldsymbol{x}(W_{\theta_0})$ に含まれるような開区間に含まれる。定理 3.1により $f^2\dot\theta$ はその開区間の上で定数であるから、 $f^2\dot\theta$ は $J$ の上で局所定数であり、 $J$ は連結であるから定数である。よって Clairaut 定数は、 $\gamma$ の定義域全体に対して一つ定まる。

命題 3.3. $\gamma:J\to M$ を単位速度の曲線とし、その座標表示 $(t(s),\theta(s))$ について $f(t(s))^2\dot\theta(s)$ が定数 $c$ であるとする。このとき次が成り立つ。

式 (G2)が $J$ の全体で成り立つ。
$J$ の全体で $\dot t\cdot\bigl(\ddot t-f(t)f'(t)\dot\theta^2\bigr)=0$ が成り立つ。
集合 $Z=\{s\in J:\dot t(s)=0\}$ が内点を持たないならば、 $\gamma$ は測地線である。

証明.主張 (1)を示す。 $f^2\dot\theta$ が定数であるから、その導関数 $2ff'\dot t\dot\theta+f^2\ddot\theta$ は零である。 $f>0$ であるからこれを $f^2$ で割ると式 (G2)を得る。

主張 (2)を示す。単位速度の条件式 (U)と $f^2\dot\theta=c$ から $\dot t^2=1-c^2/f^2$ である。両辺を $s$ について微分すると

2\dot t\,\ddot t=\frac{2c^2f'\bigl(t(s)\bigr)\dot t}{f\bigl(t(s)\bigr)^3}

である。一方 $ff'\dot\theta^2=ff'\cdot c^2/f^4=c^2f'/f^3$ であるから、右辺は $2\dot t\cdot ff'\dot\theta^2$ に等しい。移項して $2$ で割ると主張を得る。

主張 (3)を示す。主張 (2)により、 $J\setminus Z$ の上で式 (G1)が成り立つ。 $Z$ が内点を持たないならば $J\setminus Z$ は $J$ で稠密であり、式 (G1)の左辺は連続であるから、 $J$ の全体で式 (G1)が成り立つ。主張 (1)と合わせて命題 2.1により $\gamma$ は測地線である。▨

注意 3.4 (Clairaut の関係式だけでは測地線にならないこと).命題 3.3 (3)の仮定を外すことはできない。 $Z$ が区間を含むならば、その区間の上で $t$ は定数であり、 $\gamma$ は緯線の弧になる。緯線の弧に沿っては $\psi=\pm\pi/2$ であるから $f\sin\psi=\pm f(t_0)$ は自動的に定数であり、Clairaut の関係式は緯線が測地線であるかどうかにかかわらず成り立つ。

具体的な反例を挙げる。半径 $r$ の球面（例 6.1）で、赤道でない緯線を単位速度で径数づけた曲線を取る。この曲線に沿って $f\sin\psi$ は定数であるが、定理 5.1 (2)により $f'\ne0$ であるからこの緯線は測地線ではない。したがって、Clairaut の関係式は測地線であるための必要条件であって、十分条件ではない。

4 到達することができる距離の範囲

定理 4.1. $\gamma:J\to M$ を単位速度の測地線、 $(t(s),\theta(s))$ をその座標表示、 $c$ をその Clairaut 定数とする。このとき次が成り立つ。

すべての $s\in J$ に対して $f(t(s))\ge|c|$ である。
$\dot t(s)^2=1-\dfrac{c^2}{f(t(s))^2}$ が $J$ の全体で成り立つ。
$c=0$ ならば $\theta$ は定数であり、 $\gamma$ は子午線の一部である。
$c\ne0$ とする。 $A=\{s\in J:\ f(t(s))>|c|\}$ は $J$ の相対開集合であり、その各連結成分の上で $s\mapsto t(s)$ は狭義単調である。
$c\ne0$ とし、 $s_1\in J$ が $f(t(s_1))=|c|$ を満たすとする。このとき $\dot t(s_1)=0$ であり、 $\gamma$ は $s_1$ において緯線 $t=t(s_1)$ に接する。さらに $f'(t(s_1))\ne0$ ならば $\ddot t(s_1)=\frac{f'\bigl(t(s_1)\bigr)}{|c|}\ne0$ であり、 $s_1$ は $s\mapsto t(s)$ の狭義の極値点である。 $f'(t(s_1))<0$ ならば極大、 $f'(t(s_1))>0$ ならば極小である。

証明.主張 (1)を示す。 $|c|=f|\sin\psi|\le f$ である。

主張 (2)を示す。式 (U)により $\dot t^2=1-f^2\dot\theta^2$ である。 $f^2\dot\theta=c$ であるから $f^2\dot\theta^2=(f^2\dot\theta)^2/f^2=c^2/f^2$ である。

主張 (3)を示す。 $f>0$ であるから $f^2\dot\theta=0$ は $\dot\theta\equiv0$ を意味し、 $\theta$ は定数である。このとき主張 (2)により $\dot t^2=1$ であるから $t(s)=\pm s+$ （定数）であり、 $\gamma$ は子午線を弧長で径数づけたものである。

主張 (4)を示す。 $f\circ t$ は連続であるから $A$ は相対開である。 $A$ の上では主張 (2)により $\dot t^2>0$ であり、 $\dot t$ は連続であるから、 $A$ の各連結成分の上で $\dot t$ は一定の符号を持つ。よって $t$ はその成分の上で狭義単調である。

主張 (5)を示す。主張 (2)により $\dot t(s_1)^2=1-c^2/c^2=0$ である。したがって $\gamma'(s_1)=\dot\theta(s_1)\,\partial_\theta$ であり、これは緯線の接方向であるから、 $\gamma$ は $s_1$ で緯線に接する。

式 (G1)と $\dot\theta=c/f^2$ により、 $J$ の全体で

\ddot t=f f'\dot\theta^2=ff'\cdot\frac{c^2}{f^4}=\frac{f'\bigl(t(s)\bigr)\,c^2}{f\bigl(t(s)\bigr)^3}

である。 $s=s_1$ では $f(t(s_1))=|c|$ であるから $\ddot t(s_1)=f'(t(s_1))c^2/|c|^3=f'(t(s_1))/|c|$ である。 $f'(t(s_1))\ne0$ ならば $\ddot t(s_1)\ne0$ であり、 $\dot t(s_1)=0$ と合わせて、 $s_1$ は $t$ の非退化な臨界点である。 $\ddot t(s_1)<0$ ならば $t$ は $s_1$ で狭義の極大、 $\ddot t(s_1)>0$ ならば狭義の極小である。 $|c|>0$ であるから、符号は $f'(t(s_1))$ の符号と一致する。▨

命題 4.2. $c\ne0$ とし、 $t_1\in I$ が $f(t_1)=|c|$ かつ $f'(t_1)=0$ を満たすとする。 $\gamma:J\to M$ を Clairaut 定数 $c$ を持つ単位速度の測地線とする。ある $s_1\in J$ で $t(s_1)=t_1$ が成り立つならば、 $\gamma$ は $s_1$ のある近傍の上で、緯線 $t=t_1$ を弧長で径数づけた曲線に一致する。

証明. $\beta(s)=\boldsymbol{x}\Bigl(t_1,\ \theta(s_1)+\dfrac{s-s_1}{c}\Bigr)$ と置く。 $f(t_1)=|c|$ であるから

\lVert\beta'\rVert^2=f(t_1)^2\cdot\frac{1}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1

であり、 $\beta$ は単位速度である。 $f'(t_1)=0$ であるから、後述の定理 5.1 (2)により $\beta$ は測地線である。

一方、 $\gamma$ については定理 4.1 (5)により $\dot t(s_1)=0$ であり、 $\dot\theta(s_1)=c/f(t_1)^2=c/c^2=1/c$ である。したがって $\gamma(s_1)=\beta(s_1)$ かつ $\gamma'(s_1)=\beta'(s_1)$ である。§E23.8 命題 1.2 (2)の一意性により、 $\gamma$ と $\beta$ は $s_1$ を含む十分小さい共通の区間の上で一致する。▨

注意 4.3 (この主張が述べていないこと).定理 4.1では、測地線の像が帯 $\{f\ge|c|\}$ に含まれること、および帯の境界で折り返すことを述べている。しかし、測地線が定義域を実数全体へ延ばすかどうかは述べていない。したがって「測地線は帯の中を何度も往復する」という形の主張は、本記事の範囲では述べることができない。コンパクトな曲面の測地線が実数全体へ延びること、すなわち完備性は§F30 Riemann 幾何 Iで扱う。

同様に、本記事では測地線が閉じるかどうか、軌道が帯の中で稠密になるかどうかを扱わない。得られるのは、到達することができる距離の範囲と、 $t$ の単調性および折り返しの判定である。

5 子午線と緯線

定理 5.1.定義 1.1の回転面 $M$ について、次が成り立つ。

各 $\theta_0\in\R$ に対して、子午線 $s\mapsto\boldsymbol{x}(s,\theta_0)$ （ $s\in I$ ）は単位速度の測地線である。
$t_0\in I$ とする。緯線を単位速度で径数づけた曲線 $s\mapsto\boldsymbol{x}\left(t_0,\ \theta_0+\frac{s}{f(t_0)}\right)$ が測地線であることと、 $f'(t_0)=0$ であることは同値である。

証明.主張 (1)を示す。座標表示は $t(s)=s$ 、 $\theta(s)=\theta_0$ である。 $\dot t=1$ 、 $\ddot t=0$ 、 $\dot\theta=\ddot\theta=0$ であるから式 (G1)の左辺は $0-f f'\cdot0=0$ 、式 (G2)の左辺は $0+0=0$ である。よって命題 2.1により測地線である。式 (U)の左辺は $1+0=1$ であるから単位速度である。

主張 (2)を示す。座標表示は $t(s)=t_0$ 、 $\theta(s)=\theta_0+s/f(t_0)$ である。 $\dot t=\ddot t=0$ 、 $\dot\theta=1/f(t_0)$ （定数）、 $\ddot\theta=0$ である。式 (U)の左辺は $0+f(t_0)^2/f(t_0)^2=1$ であるから単位速度である。式 (G2)の左辺は $0+\dfrac{2f'(t_0)}{f(t_0)}\cdot0\cdot\dot\theta=0$ であるから、式 (G2)はつねに成り立つ。式 (G1)の左辺は

0-f(t_0)f'(t_0)\cdot\frac{1}{f(t_0)^2}=-\frac{f'(t_0)}{f(t_0)}

である。 $f(t_0)>0$ であるから、これが零であることと $f'(t_0)=0$ であることは同値である。▨

注意 5.2 (緯線の測地曲率).定理 5.1 (2)の計算は、緯線が測地線からどれだけ離れているかも与える。単位速度の緯線 $\beta$ について、上の計算により

\frac{D\beta'}{ds}=-\frac{f'(t_0)}{f(t_0)}\,\partial_t

であり、 $\lVert\partial_t\rVert=1$ である。向きを、パラメータ表示が定める $N=(\boldsymbol{x}_t\times\boldsymbol{x}_\theta)/\lVert\boldsymbol{x}_t\times\boldsymbol{x}_\theta\rVert$ と取り、緯線を $\theta$ の増える向きに径数づけると、 $T=\partial_\theta/f$ に対して

N=(-g'\cos\theta,\ -g'\sin\theta,\ f'),\qquad n=N\times T=-\partial_t

である。したがって§E23.8 定義 5.1の測地曲率は

\kappa_g=\mathrm{I}\left(\frac{D\beta'}{ds},\ n\right)=\frac{f'(t_0)}{f(t_0)}

である。向きを反転させるか、緯線を $\theta$ の減る向きに取ると符号が変わる。 $f'(t_0)=0$ のとき、またそのときに限り $\kappa_g=0$ である。

$N$ と $n$ の計算を確かめておく。 $\boldsymbol{x}_t\times\boldsymbol{x}_\theta$ を成分で書くと

\boldsymbol{x}_t\times\boldsymbol{x}_\theta=f\,(-g'\cos\theta,\ -g'\sin\theta,\ f')

であり、その長さは $f\sqrt{g'^2+f'^2}=f$ である。よって $N=(-g'\cos\theta,-g'\sin\theta,f')$ である。 $T=\partial_\theta/f=(-\sin\theta,\cos\theta,0)$ に対して

N\times T=(-f'\cos\theta,\ -f'\sin\theta,\ -g')=-\boldsymbol{x}_t=-\partial_t

である。

6 球面

例 6.1. $r>0$ とし、母線を

f(t)=r\sin\frac{t}{r},\qquad g(t)=-r\cos\frac{t}{r}\qquad(0<t<\pi r)

と取る。 $f'=\cos(t/r)$ 、 $g'=\sin(t/r)$ であるから $f'^2+g'^2=1$ であり、 $f>0$ である。 $\boldsymbol{\sigma}(t)=(f(t),g(t))$ は単射であり逆対応も連続である。得られる回転面 $M$ は、原点を中心とする半径 $r$ の球面から二つの極を除いたものである。 $t$ は南極から測った子午線の弧長である。この母線の取り方に対して、注意 5.2の $N$ は

N=(-g'\cos\theta,-g'\sin\theta,f')=-\frac{1}{r}\boldsymbol{x}(t,\theta)

であり、内向きである。本単元が有界領域を囲む閉曲面に取る内向きの向きと一致する。

第一基本形式は $\mathrm{I}=dt^2+r^2\sin^2(t/r)\,d\theta^2$ である。 $f'(t)=\cos(t/r)$ が零になるのは $t=\pi r/2$ のときに限るから、定理 5.1 (2)により、測地線である緯線は赤道 $t=\pi r/2$ だけである。子午線はすべて測地線である。

球面の測地線は大円の一部である（§E23.8 例 6.1）。大円の Clairaut 定数を求める。大円は、原点を通る平面 $P$ と $M$ との交わりである。 $P$ の単位法ベクトルを $m=(m_1,m_2,m_3)$ とし、大円上の点を $p$ とすると、 $z$ 軸からの距離は $\rho=\sqrt{r^2-z^2}$ （ $z$ は $p$ の第三成分）である。 $e_3=(0,0,1)$ を $m$ 方向と $P$ 方向へ分解して $e_3=m_3m+w$ （ $w\in P$ 、 $\lVert w\rVert^2=1-m_3^2$ ）と書くと、 $p\in P$ に対して $z=\langle p,e_3\rangle=\langle p,w\rangle$ である。 $p$ は $P$ の中の半径 $r$ の円を動くから $z$ の最大値は $r\lVert w\rVert=r\sqrt{1-m_3^2}$ であり、したがって $\rho$ の最小値は

\sqrt{r^2-r^2(1-m_3^2)}=r|m_3|

|c|=r\,|m_3|

である。 $m=(0,0,\pm1)$ のとき $|c|=r$ であり、大円は赤道である。 $m_3=0$ のとき $c=0$ であり、大円は極を通る子午線からなる。中間の場合、大円は帯 $r|m_3|\le\rho\le r$ を満たす部分だけを通り、 $\rho=r|m_3|$ の二つの緯線に接する。

極が座標の外にあることに注意する。 $m_3=0$ の大円は二つの極を通るので、その像は $M$ に含まれない。この場合、大円から極を除いた二つの弧のそれぞれが本記事の意味の測地線であり、いずれも Clairaut 定数 $0$ を持つ。

7 円環面

以下で用いる円環面の記号は、§E23.4 例 6.4のものと次のように対応する。同例の $a$ が本記事の $R$ （回転軸から管の中心円までの距離）、同例の $b$ が本記事の $\rho$ （管の半径）である。母線の径数についても、同例で管の中心のまわりの角 $u$ を用いるのに対し、本記事では弧長 $t=\rho u$ を用いる。したがって同例の $E=b^2$ 、 $G=(a+b\cos u)^2$ は、本記事の $E=1$ 、 $G=f(t)^2=(R+\rho\cos(t/\rho))^2$ に対応する。

例 7.1. $R>\rho>0$ とし、母線を

f(t)=R+\rho\cos\frac{t}{\rho},\qquad g(t)=\rho\sin\frac{t}{\rho}

と取る。 $f'=-\sin(t/\rho)$ 、 $g'=\cos(t/\rho)$ であるから $f'^2+g'^2=1$ であり、 $R>\rho$ により $f\ge R-\rho>0$ である。 $t$ を長さ $2\pi\rho$ の開区間 $(t_*,t_*+2\pi\rho)$ に制限すると母線は単射であり逆対応も連続であるから、定義 1.1の条件を満たす。 $t_*$ を二通りに取れば、得られる二つの回転面の合併は円環面

T=\left\{(x,y,z):\ \left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)^2+z^2=\rho^2\right\}

の全体になる。 $T$ は正則曲面である。実際、 $h(x,y,z)=(\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2$ は $(x,y)\ne(0,0)$ を満たす開集合の上で $C^\infty$ であり、その勾配は

\nabla h=\left(2\left(1-\frac{R}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)x,\ 2\left(1-\frac{R}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)y,\ 2z\right)

である。 $h=\rho^2$ の点では $\sqrt{x^2+y^2}=R$ かつ $z=0$ が同時に起こることはないので $\nabla h\ne0$ であり、 $\rho^2$ は $h$ の正則値である。§E22 多様体入門の§E22.5 定理 4.3により $T$ は二次元埋め込み部分多様体である。

第一基本形式は $\mathrm{I}=dt^2+\bigl(R+\rho\cos(t/\rho)\bigr)^2d\theta^2$ である。 $f'(t)=-\sin(t/\rho)$ が零になるのは $t/\rho$ が $\pi$ の整数倍のときであり、そこでの $f$ の値は $R+\rho$ （外側の緯線）または $R-\rho$ （内側の緯線）である。定理 5.1により、測地線である緯線はこの二つだけであり、子午線はすべて測地線である。

Clairaut 定数 $c$ に応じて、測地線が通ることのできる範囲は次のように分かれる。 $f$ の値域は $[R-\rho,\ R+\rho]$ であるから、定理 4.1 (1)により $|c|\le R+\rho$ である。

$c=0$ の場合。定理 4.1 (3)により、測地線は子午線であり、管を一周する。

$0<|c|<R-\rho$ の場合。すべての点で $f\ge R-\rho>|c|$ であるから、定理 4.1 (4)により $t$ は定義域全体で狭義単調である。すなわち、この測地線は折り返さずに管を回り続け、同時に $\dot\theta=c/f^2$ が零にならないので回転軸のまわりも回る。

$|c|=R-\rho$ の場合。内側の緯線 $f=R-\rho$ は定理 5.1により測地線であり、その Clairaut 定数は $f\sin\psi=\pm(R-\rho)$ である。内側の緯線と一致しない測地線については、命題 4.2により内側の緯線上の点を通ることがない。よってその測地線に沿って $f>R-\rho$ が成り立ち、定理 4.1 (4)により $t$ は狭義単調である。

$R-\rho<|c|<R+\rho$ の場合。 $f(t)=|c|$ は各周期の中でちょうど二つの解を持ち、それらは外側の緯線 $t/\rho\in2\pi\Z$ について対称に位置する。その二点では $\sin(t/\rho)\ne0$ すなわち $f'\ne0$ であるから、定理 4.1 (5)により測地線は緯線に接して折り返す。したがってこの測地線は、外側の緯線を含み二つの緯線 $f=|c|$ で挟まれた帯の中にとどまる。

$|c|=R+\rho$ の場合。 $f\ge|c|=R+\rho$ と $f\le R+\rho$ から $f\equiv R+\rho$ であり、 $\dot t\equiv0$ であるから、測地線は外側の緯線である。

$|c|>R+\rho$ の場合。定理 4.1 (1)に反するので、この値を取る測地線は存在しない。

以上は、測地線が通ることのできる範囲と $t$ の単調性についての記述である。 $|c|=R-\rho$ の測地線が内側の緯線へ漸近すること、帯の中の測地線が閉じるかどうか、および軌道が帯の中で稠密になるかどうかは、測地線を実数全体へ延ばすことを要するので、本記事では扱わない（注意 4.3）。

注意 7.2 (曲率の符号と Clairaut 定数の閾値は別のものであること). 円環面の Gauss 曲率は、上の径数づけで

K=\frac{\cos(t/\rho)}{\rho\,\bigl(R+\rho\cos(t/\rho)\bigr)}

である（§E23.6 命題 4.3。 $K$ の値は向きの取り方に依らない）。 $K$ が符号を変えるのは $\cos(t/\rho)=0$ 、すなわち $f=R$ の二つの緯線の上である。一方、測地線が外側の緯線のまわりの帯に閉じ込められるかどうかの境目は $|c|=R-\rho$ にあり、 $|c|=R$ ではない。曲率が正である領域と、Clairaut 定数により定まる帯とは一致しない。両者を同一視してはならない。

8 境界

保存量が対称性から来ること。Clairaut の関係式は、第一基本形式が $\theta$ に依存しないという事実の帰結である。式 (G2)が全微分の形に整うのは、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ のいずれも $\theta$ を含まないからである。一般に、第一基本形式を保つ一径数の変換群があると測地線に沿う保存量が現れる。この一般論は本単元の範囲外である。

測地線を分類していないこと。本記事で与えたのは、Clairaut 定数によって測地線が通ることのできる距離の範囲と、 $t$ の単調性および折り返しの判定である。与えられた二点を結ぶ測地線が何本あるか、測地線が閉じるか、軌道が稠密になるかは扱っていない。これらの問いは、測地線を実数全体へ延ばすこと、すなわち完備性を要する。

座標の外にある点。定義 1.1では母線が回転軸に達しないことを仮定する。球面の極、および回転面が軸と交わる点は座標の外にある。これらの点では $f=0$ となるので、 $G=f^2$ が退化する。そのため、 $(t,\theta)$ は座標にならない。極を通る測地線を扱うには別の座標を取る必要がある。例 6.1では、極を通る大円を、極を除いた二つの弧として扱った。

9 演習

問題 9.1.

命題 1.2の証明で、 $\boldsymbol{x}|_{W_{\theta_0}}$ が像への同相であることを示すために母線の定義 1.1 条件 (c)を用いた。定義 1.1 条件 (c)を落とすと、単射なはめ込みであるが像への同相でない例を作ることができる。母線の一方の端が、 $f>0$ の範囲にある母線自身の一点へ近づくような曲線（数字の 6 の形）を取ることで、そのような例をどう構成するかを述べよ。
定義 1.1の回転面で、すべての接ベクトル $X$ について $\mathrm{I}(\nabla_X\partial_\theta,X)=0$ が成り立つことを、公式 1.3を用いて示せ。これを用いて、単位速度の測地線 $\gamma$ に沿って $\mathrm{I}(\gamma',\partial_\theta)$ が定数であることを示し、その値が Clairaut 定数 $f^2\dot\theta$ であることを確かめよ。一方、 $\mathrm{I}(\nabla_{\partial_\theta}\partial_t,\partial_\theta)=f f'$ を示し、例 6.1の球面の上で $\mathrm{I}(\gamma',\partial_t)=\dot t$ が定数でない測地線の例を挙げよ。
定理 4.1 (2)を用いて、Clairaut 定数 $c$ と初期条件との関係を書き下せ。すなわち、点 $\boldsymbol{x}(t_0,\theta_0)$ と単位接ベクトル $X$ を与えたとき、 $X$ を初期速度とする測地線の Clairaut 定数を $t_0$ と $X$ の成分で表せ。
命題 4.2の仮定 $f'(t_1)=0$ を外すと結論が成り立たないことを、例 6.1の球面で示せ。すなわち、 $0<\beta<\pi/2$ に対する大円 $\gamma(s)=\cos(s/r)\,r\boldsymbol{e}_1+r\sin(s/r)\,(\cos\beta\,\boldsymbol{e}_2+\sin\beta\,\boldsymbol{e}_3)$ について、Clairaut 定数 $c$ と、 $s_1=\pi r/2$ における $t_1=t(s_1)$ を求め、 $f(t_1)=\lvert c\rvert$ 、 $f'(t_1)\ne0$ であること、および $\gamma$ が $s_1$ のどの近傍の上でも緯線 $t=t_1$ と一致しないことを示せ。
定理 5.1 (2)の緯線を単位速度でない径数 $s\mapsto\boldsymbol{x}(t_0,\theta_0+s)$ で表すと、式 (G1)と式 (G2)の左辺がそれぞれ何になるかを求めよ。さらに、 $f'(t_0)=0$ を満たす緯線を $\phi'\ne0$ を満たす滑らかな関数 $\phi$ によって $\beta(s)=\boldsymbol{x}\bigl(t_0,\theta_0+\phi(s)\bigr)$ と径数づけた曲線が測地線であることと $\phi''\equiv0$ であることが同値であることを示せ。
例 6.1で、大円の Clairaut 定数が $r|m_3|$ であることを示した。逆に、 $0\le|c|\le r$ を満たす $c$ と点 $p\in M$ を与えたとき、 $p$ を通り Clairaut 定数が $c$ である測地線が存在するための $p$ の条件を述べ、その条件のもとで何本存在するかを答えよ。
例 7.1の $R-\rho<|c|<R+\rho$ の場合について、折り返しの起こる二つの $t$ の値を $R$ 、 $\rho$ 、 $c$ で書き下せ。 $|c|\to R+\rho$ と $|c|\to R-\rho$ の極限で、その二つの値がどう振る舞うかを述べよ。
平面 $\{(x,y,0)\}$ から原点を除いた集合を、母線 $f(t)=t$ 、 $g(t)=0$ （ $t\in(0,\infty)$ ）の回転面とみなす。 $d>0$ とし、直線 $\gamma(s)=(d,\ s,\ 0)$ （ $s\in\R$ ）の座標表示 $(t(s),\theta(s))$ を $\theta(s)\in(-\pi/2,\pi/2)$ として求めよ。 $\gamma$ が単位速度であって $f^2\dot\theta$ が定数であることを確かめ、命題 3.3 (3)を用いて $\gamma$ が測地線であることを示せ。Clairaut 定数が原点から直線までの距離に等しいことと、定理 4.1 (1)の不等式が等号を取る点を求めよ。
定義 1.1の回転面で、緯線 $t=t_0$ を $\theta$ の増える向きに一周する単位速度の曲線について、注意 5.2の向きに関する測地曲率の積分 $\int\kappa_g\,ds$ が $2\pi f'(t_0)$ に等しいことを示せ。これを、例 7.1の円環面と、母線 $f(t)=t\sin\alpha$ 、 $g(t)=t\cos\alpha$ （ $0<\alpha<\pi/2$ 、 $t>0$ ）の円錐について計算し、円錐では値が $t_0$ に依らないことを示せ。

解答.

(1)を示す。命題 1.2の証明のうち、はめ込みであることは定義 1.1 条件 (a)と定義 1.1 条件 (b)だけから、単射であることは $\boldsymbol{\sigma}$ の単射性だけから従い、逆対応の連続性は像への同相であることを示す段でだけ用いられている。したがって、単射で $f>0$ を満たす単位速度の曲線であって、逆対応が連続でないものを母線に取ればよい。逆対応が連続でないためには、母線の一方の端が、 $f>0$ の範囲にある母線自身の一点へ近づけばよい。具体的には

\boldsymbol{\sigma}_0(\tau)=\bigl(2+\sin2\tau,\ \sin\tau\bigr)\qquad(\tau\in(0,\pi+1))

を取る。 $f_0=2+\sin2\tau\ge1>0$ である。 $\boldsymbol{\sigma}_0'(\tau)=(2\cos2\tau,\ \cos\tau)$ は、 $\cos\tau=0$ のとき $\cos2\tau=2\cos^2\tau-1=-1$ であるから零にならず、 $\boldsymbol{\sigma}_0$ は正則である。単射であることを示す。第二成分 $\sin\tau$ は $(0,\pi)$ で正、 $\tau=\pi$ で $0$ 、 $(\pi,\pi+1)$ で負であり、 $(\pi,\pi+1)$ の上では狭義単調減少である。 $(0,\pi)$ の上で $\sin\tau=\sin\tau'$ ならば $\tau'=\tau$ または $\tau'=\pi-\tau$ であり、後者のとき $\sin2\tau'=-\sin2\tau$ であるから、第一成分も一致するのは $\sin2\tau=0$ 、すなわち $\tau=\tau'=\pi/2$ のときに限る。よって $\boldsymbol{\sigma}_0$ は単射である。 $\boldsymbol{\sigma}_0$ を弧長で径数づけ直したものを $\boldsymbol{\sigma}=(f,g)$ とすると（§E23.1 定義 2.1）、定義 1.1 条件 (a)と定義 1.1 条件 (b)と単射性は成り立つ。一方、 $\tau_n\to0^{+}$ のとき $\boldsymbol{\sigma}_0(\tau_n)\to(2,0)=\boldsymbol{\sigma}_0(\pi)$ であるが $\tau_n\not\to\pi$ であるから、逆対応は点 $\boldsymbol{\sigma}_0(\pi)$ で連続でなく、定義 1.1 条件 (c)は成り立たない。この母線について $\boldsymbol{x}|_{W_{\theta_0}}$ は単射なはめ込みであるが、 $\theta\in(\theta_0,\theta_0+2\pi)$ を固定し、 $t_n$ 、 $t_*$ を $\tau_n$ 、 $\pi$ に対応する弧長の値とすると、 $\boldsymbol{x}(t_n,\theta)\to\boldsymbol{x}(t_*,\theta)$ であるのに $(t_n,\theta)$ は $(t_*,\theta)$ へ収束しない。したがって逆写像は連続でなく、 $\boldsymbol{x}|_{W_{\theta_0}}$ は像への同相でない。

(2)を示す。 $X=a\,\partial_t+b\,\partial_\theta$ と書くと、公式 1.3により

\nabla_X\partial_\theta=a\,\nabla_{\partial_t}\partial_\theta+b\,\nabla_{\partial_\theta}\partial_\theta=a\,\frac{f'}{f}\,\partial_\theta-b\,ff'\,\partial_t

である。 $E=1$ 、 $F=0$ 、 $G=f^2$ であるから

\mathrm{I}(\nabla_X\partial_\theta,X)=a\,\frac{f'}{f}\,b\,f^2-b\,ff'\,a=0

である。

$\gamma$ を単位速度の測地線とし、 $\gamma$ に沿うベクトル場 $s\mapsto\partial_\theta|_{\gamma(s)}$ を考える。§E23.7 命題 6.2 (2)によりその共変微分は $\nabla_{\gamma'}\partial_\theta$ であり、§E23.7 命題 6.3と $D\gamma'/ds=0$ により

\frac{d}{ds}\,\mathrm{I}(\gamma',\partial_\theta)=\mathrm{I}\Bigl(\frac{D\gamma'}{ds},\partial_\theta\Bigr)+\mathrm{I}(\gamma',\nabla_{\gamma'}\partial_\theta)=0+0=0

である。 $\gamma'=\dot t\,\partial_t+\dot\theta\,\partial_\theta$ であるから $\mathrm{I}(\gamma',\partial_\theta)=G\dot\theta=f^2\dot\theta$ であり、これは Clairaut 定数である。

一方 $\nabla_{\partial_\theta}\partial_t=\Gamma^2_{21}\partial_\theta=(f'/f)\partial_\theta$ であるから $\mathrm{I}(\nabla_{\partial_\theta}\partial_t,\partial_\theta)=(f'/f)f^2=ff'$ であり、 $f'\ne0$ の点では零でない。 $\partial_t$ については上の議論が成り立たない。実際、例 6.1の球面で、 $0<\beta<\pi/2$ に対する大円 $\gamma(s)=\cos(s/r)\,r\boldsymbol{e}_1+r\sin(s/r)\,(\cos\beta\,\boldsymbol{e}_2+\sin\beta\,\boldsymbol{e}_3)$ は§E23.8 例 6.1により単位速度の測地線である。回転軸からの距離は $f=r\sqrt{\cos^2(s/r)+\sin^2(s/r)\cos^2\beta}$ であり、 $s=0$ で $r$ 、 $s=\pi r/2$ で $r\cos\beta<r$ である。定理 4.1 (2)により $\dot t^2=1-c^2/f^2$ であり、 $c\ne0$ （同例により $\lvert c\rvert=r\cos\beta$ ）であるから、 $f$ が変化する以上 $\dot t^2$ も変化し、 $\dot t$ は定数でない。

(3)を示す。点 $\boldsymbol{x}(t_0,\theta_0)$ における単位接ベクトルを $X=a\,\partial_t+b\,\partial_\theta$ と書く。 $E=1$ 、 $F=0$ 、 $G=f^2$ であるから、単位ベクトルであることは $a^2+f(t_0)^2b^2=1$ と同値である。§E23.8 命題 1.2 (2)により、 $\gamma(s_0)=\boldsymbol{x}(t_0,\theta_0)$ 、 $\gamma'(s_0)=X$ を満たす測地線 $\gamma$ が $s_0$ の近くで存在し、座標表示について $\dot t(s_0)=a$ 、 $\dot\theta(s_0)=b$ である。Clairaut 定数の定義 $c=f(t)^2\dot\theta$ を $s=s_0$ で評価すると

c=f(t_0)^2\,b

である。定理 4.1 (2)を $s=s_0$ で用いると $a^2=1-c^2/f(t_0)^2$ 、すなわち

c^2=f(t_0)^2\bigl(1-a^2\bigr),\qquad\lvert c\rvert=f(t_0)\sqrt{1-a^2}

であり、 $c$ の符号は $b$ の符号に等しい。 $X=\cos\psi_0\,\partial_t+\sin\psi_0\,\partial_\theta/f(t_0)$ と正規直交成分で書けば $c=f(t_0)\sin\psi_0$ である。

(4)を示す。§E23.8 例 6.1により $\gamma$ は単位速度の測地線である。 $\gamma(0)=(r,0,0)$ は $t=\pi r/2$ 、 $\theta=0$ の点であり、 $\theta_0=-\pi$ の $\boldsymbol{x}(W_{\theta_0})$ に含まれる。この点で $\boldsymbol{x}_t=(f'\cos\theta,\ f'\sin\theta,\ g')=(0,0,1)$ 、 $\boldsymbol{x}_\theta=(-f\sin\theta,\ f\cos\theta,\ 0)=(0,r,0)$ であり、 $\gamma'(0)=(0,\cos\beta,\sin\beta)=\sin\beta\,\boldsymbol{x}_t+(\cos\beta/r)\,\boldsymbol{x}_\theta$ であるから $\dot\theta(0)=\cos\beta/r$ である。定理 3.1と注意 3.2により

c=f(\pi r/2)^2\,\dot\theta(0)=r^2\cdot\frac{\cos\beta}{r}=r\cos\beta

であり、 $0<\beta<\pi/2$ から $c>0$ である。例 6.1の $\lvert c\rvert=r\lvert m_3\rvert$ も、 $\gamma$ を含む平面の単位法線 $m=\boldsymbol{e}_1\times(\cos\beta\,\boldsymbol{e}_2+\sin\beta\,\boldsymbol{e}_3)=(0,\ -\sin\beta,\ \cos\beta)$ について同じ値 $r\cos\beta$ を与える。

$\gamma(s_1)=(0,\ r\cos\beta,\ r\sin\beta)$ であり、回転軸からの距離は $r\cos\beta$ である。同例の母線では高さが $g(t)=-r\cos(t/r)$ であるから、 $-r\cos(t_1/r)=r\sin\beta$ により $t_1=r(\pi/2+\beta)$ であり、 $f(t_1)=r\sin(\pi/2+\beta)=r\cos\beta=\lvert c\rvert$ 、 $f'(t_1)=\cos(\pi/2+\beta)=-\sin\beta\ne0$ である。

$\gamma$ の高さは $z(s)=r\sin(s/r)\sin\beta$ であり、 $s_1$ のどの近傍でも定数でない。緯線 $t=t_1$ の上では高さは $r\sin\beta$ で一定であるから、 $\gamma$ は $s_1$ のどの近傍の上でも緯線と一致しない。定理 4.1 (5)のとおり、 $\gamma$ は $s_1$ で緯線 $t=t_1$ に接し、そこで折り返す。したがって命題 4.2の結論は $f'(t_1)=0$ を仮定しなければ成り立たない。

(5)を示す。一般に $\beta(s)=\boldsymbol{x}\bigl(t_0,\theta_0+\phi(s)\bigr)$ （ $\phi$ は $\phi'\ne0$ を満たす滑らかな関数）と置くと、 $t(s)=t_0$ 、 $\theta(s)=\theta_0+\phi(s)$ であり、 $\dot t=\ddot t=0$ 、 $\dot\theta=\phi'$ 、 $\ddot\theta=\phi''$ であるから

\ddot t-f(t)f'(t)\dot\theta^2=-f(t_0)f'(t_0)\,\phi'^2,\qquad \ddot\theta+\frac{2f'(t)}{f(t)}\dot t\,\dot\theta=\phi''

である。問題の径数 $s\mapsto\boldsymbol{x}(t_0,\theta_0+s)$ は $\phi(s)=s$ の場合であり、式 (G1)の左辺は $-f(t_0)f'(t_0)$ 、式 (G2)の左辺は $0$ になる。単位速度の場合の値 $-f'(t_0)/f(t_0)$ と比べると、式 (G1)の左辺は速さ $f(t_0)$ の二乗倍になり、式 (G2)の左辺は変わらない。この径数の速さ $f(t_0)$ は定数であるから、測地線である条件はふたたび $f'(t_0)=0$ である。一方、 $\phi''\ne0$ となる点を持つ径数を取ると、式 (G2)の左辺 $\phi''$ が零でないので、 $f'(t_0)=0$ であっても $\beta$ は測地線でない。たとえば $f'(t_0)=0$ を満たす緯線を $\phi(s)=s^3+s$ で径数づけると、 $\phi'=3s^2+1\ne0$ であるが $\phi''=6s$ は $s\ne0$ で零でない。逆に $f'(t_0)=0$ かつ $\phi''\equiv0$ であるとすると、上の二式の右辺は $-f(t_0)\cdot0\cdot\phi'^2=0$ と $\phi''=0$ である。命題 2.1は単位速度に限らない滑らかな曲線についての同値であり、 $\beta$ の各点の近くで $\beta$ を一つの $\boldsymbol{x}(W_{\theta_0})$ に含まれる部分に分けて適用すると、 $\beta$ は測地線である。前段と合わせて、 $f'(t_0)=0$ のもとで $\beta$ が測地線であることと $\phi''\equiv0$ であることは同値である。したがって、測地線であるという条件は曲線の像だけでは定まらず径数づけに依存し、像が測地線の像である緯線についてこの条件が保たれるのは、 $\phi'$ が定数の径数、すなわち速さが定数の径数に限られる。

(6)を示す。例 6.1の座標で $p=\boldsymbol{x}(t_p,\theta_p)$ と書き、 $\rho_p=f(t_p)=r\sin(t_p/r)$ を $p$ から回転軸までの距離とする。 $p$ を通る単位速度の測地線は、§E23.8 命題 1.2 (2)により初期速度 $X\in T_pM$ 、 $\lVert X\rVert=1$ によって $s=0$ の近くで一意に定まり、(3)によりその Clairaut 定数は $X=\cos\psi_0\,\partial_t+\sin\psi_0\,\partial_\theta/\rho_p$ に対して $\rho_p\sin\psi_0$ である。したがって、Clairaut 定数が $c$ である測地線が $p$ を通ることは、 $\sin\psi_0=c/\rho_p$ を満たす $\psi_0$ が存在することと同値であり、その条件は $\lvert c\rvert\le\rho_p$ 、すなわち $p=(x,y,z)$ について $x^2+y^2\ge c^2$ （同じことであるが $\lvert z\rvert\le\sqrt{r^2-c^2}$ ）である。これは定理 4.1 (1)の帯の条件にあたる。本数は、 $\sin\psi_0=c/\rho_p$ を満たす単位接ベクトル $X=\cos\psi_0\,\partial_t+\sin\psi_0\,\partial_\theta/\rho_p$ の個数である。 $\lvert c\rvert<\rho_p$ のとき、 $\cos\psi_0=\pm\sqrt{1-c^2/\rho_p^2}\ne0$ の二通りがあり、二本存在する。 $c\ne0$ ならばこの二本は $\partial_\theta$ 成分が等しく $\partial_t$ 成分の符号が異なるので、 $p$ を通る相異なる二つの大円の弧である。 $c=0$ ならば二本は $X=\pm\partial_t$ であり、 $p$ を通る子午線を互いに逆向きにたどる。 $\lvert c\rvert=\rho_p$ （ $c\ne0$ ）のとき、 $\cos\psi_0=0$ であり $X=(c/\rho_p^2)\,\partial_\theta$ の一本だけが存在し、その測地線は $p$ で緯線に接する。 $\lvert c\rvert>\rho_p$ のとき、測地線は存在しない。

(7)を示す。折り返しの起こる点では $f(t)=\lvert c\rvert$ 、すなわち $R+\rho\cos(t/\rho)=\lvert c\rvert$ である。 $R-\rho<\lvert c\rvert<R+\rho$ であるから $(\lvert c\rvert-R)/\rho\in(-1,1)$ であり、一つの周期 $(-\pi\rho,\pi\rho]$ における解は

t_{\pm}=\pm\rho\arccos\frac{\lvert c\rvert-R}{\rho}

の二つである。 $\arccos$ の値は $(0,\pi)$ に属するので $t_\pm\ne0$ 、 $t_\pm\ne\pm\pi\rho$ であり、二つの値は外側の緯線 $t=0$ について対称である。一般の解は $t_\pm+2\pi\rho k$ （ $k\in\Z$ ）である。 $\lvert c\rvert\to R+\rho$ のとき $(\lvert c\rvert-R)/\rho\to1$ であるから $\arccos\to0$ であり、 $t_\pm\to0$ である。すなわち二つの折り返しの緯線は外側の緯線に近づき、測地線が通ることのできる帯は外側の緯線へ縮む。 $\lvert c\rvert\to R-\rho$ のとき $(\lvert c\rvert-R)/\rho\to-1$ であるから $\arccos\to\pi$ であり、 $t_\pm\to\pm\pi\rho$ である。 $t=\pi\rho$ と $t=-\pi\rho$ はともに内側の緯線を表すので、二つの折り返しの緯線は両側から内側の緯線に近づき、帯は内側の緯線を除いた円環面全体へ広がる。

(8)を示す。母線は $f>0$ 、 $f'^2+g'^2=1$ を満たし、第一成分から $t$ が定まるので逆対応も連続である。よって定義 1.1の回転面であり、 $\boldsymbol{x}(t,\theta)=(t\cos\theta,\ t\sin\theta,\ 0)$ は極座標である。 $\gamma(s)=(d,s,0)$ について

t(s)=\sqrt{d^2+s^2},\qquad\theta(s)=\arctan\frac{s}{d}

であり、 $\theta(s)\in(-\pi/2,\pi/2)$ であるから $\gamma$ の像は $\boldsymbol{x}(W_{-\pi})$ に含まれる。

\dot t=\frac{s}{\sqrt{d^2+s^2}},\qquad\dot\theta=\frac{d}{d^2+s^2}

であるから、 $\dot t^2+f^2\dot\theta^2=\frac{s^2}{d^2+s^2}+\frac{d^2}{d^2+s^2}=1$ であり、式 (U)により $\gamma$ は単位速度である。また $f^2\dot\theta=(d^2+s^2)\cdot d/(d^2+s^2)=d$ は定数である。 $Z=\{s\mid\dot t(s)=0\}=\{0\}$ は内点を持たないから、命題 3.3 (3)により $\gamma$ は測地線である。

Clairaut 定数は $c=d$ であり、原点から直線 $x=d$ までの距離に等しい。定理 4.1 (1)の不等式は $t(s)=\sqrt{d^2+s^2}\ge d$ であり、等号は $s=0$ 、すなわち原点に最も近い点 $(d,0,0)$ で成り立つ。そこで $\dot t(0)=0$ であり、 $\gamma$ は円 $t=d$ に接する。 $f'=1\ne0$ であるから、定理 4.1 (5)のとおり $\gamma$ はこの点で折り返し、 $t$ は $s<0$ で減少し $s>0$ で増加する。

(9)を示す。注意 5.2により緯線の測地曲率は定数 $f'(t_0)/f(t_0)$ であり、緯線の長さは $2\pi f(t_0)$ であるから、積分は $\frac{f'(t_0)}{f(t_0)}\cdot2\pi f(t_0)=2\pi f'(t_0)$ である。

円環面では $f'(t)=-\sin(t/\rho)$ であるから、積分は $-2\pi\sin(t_0/\rho)$ である。これは外側と内側の緯線 $t_0/\rho\in\pi\Z$ で零になり、例 7.1のとおりこの二つが測地線である緯線であることと一致する。

円錐の母線は $f>0$ 、 $f'^2+g'^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ を満たし、第二成分から $t$ が定まるので逆対応も連続であるから、定義 1.1の回転面を与える。 $f'(t)=\sin\alpha$ であるから、緯線の測地曲率は $1/t_0$ であり、積分は $2\pi\sin\alpha$ である。この値は $t_0$ に依らない。 $f'$ は零にならないので、円錐の緯線はどれも測地線でない。▨

§E23.9回転面の測地線と Clairaut の関係式