1 勾配・発散・Laplace–Beltrami 作用素 Dirichlet エネルギーの第一変分に現れる作用素を先に用意する。勾配・発散・Laplace–Beltrami 作用素の三つは、いずれも第一基本形式と共変微分だけから作られるので、抽象曲面に対して定まる。
定義 1.1. h : M → R h\colon M\to\R h : M → R p ∈ M p\in M p ∈ M X ∈ T p M X\in T_pM X ∈ T p M
I p ( grad h ( p ) , X ) = d h p ( X ) \mathrm{I}_p\bigl(\operatorname{grad}h(p),\ X\bigr)=dh_p(X) I p ( grad h ( p ) , X ) = d h p ( X ) を満たすベクトルgrad h ( p ) ∈ T p M \operatorname{grad}h(p)\in T_pM grad h ( p ) ∈ T p M h h h p p p 勾配 (gradient )I p \mathrm{I}_p I p Y ∈ T p M Y\in T_pM Y ∈ T p M X ↦ I p ( Y , X ) X\mapsto\mathrm{I}_p(Y,X) X ↦ I p ( Y , X ) T p M T_pM T p M grad h ( p ) \operatorname{grad}h(p) grad h ( p )
命題 1.2. M M M
grad h = ∑ i , j = 1 2 g i j ∂ h ∂ u j ∂ i \operatorname{grad}h=\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\,\frac{\partial h}{\partial u^j}\,\partial_i grad h = i , j = 1 ∑ 2 g ij ∂ u j ∂ h ∂ i が成り立つ。とくにgrad h \operatorname{grad}h grad h M M M
証明. 右辺をZ Z Z k ∈ { 1 , 2 } k\in\{1,2\} k ∈ { 1 , 2 }
I ( Z , ∂ k ) = ∑ i , j = 1 2 g i j ∂ h ∂ u j g i k = ∑ j = 1 2 δ k j ∂ h ∂ u j = ∂ h ∂ u k = d h ( ∂ k ) \mathrm{I}(Z,\partial_k)=\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\frac{\partial h}{\partial u^j}\,g_{ik}
=\sum_{j=1}^{2}\delta^j_k\,\frac{\partial h}{\partial u^j}
=\frac{\partial h}{\partial u^k}
=dh(\partial_k) I ( Z , ∂ k ) = i , j = 1 ∑ 2 g ij ∂ u j ∂ h g ik = j = 1 ∑ 2 δ k j ∂ u j ∂ h = ∂ u k ∂ h = d h ( ∂ k ) である。ここで∑ i g i j g i k = δ k j \sum_ig^{ij}g_{ik}=\delta^j_k ∑ i g ij g ik = δ k j ∂ 1 , ∂ 2 \partial_1,\partial_2 ∂ 1 , ∂ 2 T p M T_pM T p M X ∈ T p M X\in T_pM X ∈ T p M I ( Z , X ) = d h ( X ) \mathrm{I}(Z,X)=dh(X) I ( Z , X ) = d h ( X ) 定義 1.1 の一意性によりZ = grad h Z=\operatorname{grad}h Z = grad h ( g i j ) (g^{ij}) ( g ij ) det g \det g det g g i j g_{ij} g ij det g > 0 \det g>0 det g > 0 grad h \operatorname{grad}h grad h ▨
定義 1.3. X X X M M M p ∈ M p\in M p ∈ M Y ∈ T p M Y\in T_pM Y ∈ T p M p p p Y ~ \tilde Y Y ~ Y ~ ( p ) = Y \tilde Y(p)=Y Y ~ ( p ) = Y
A p ( Y ) = ( ∇ Y ~ X ) ( p ) ∈ T p M A_p(Y)=\bigl(\nabla_{\tilde Y}X\bigr)(p)\in T_pM A p ( Y ) = ( ∇ Y ~ X ) ( p ) ∈ T p M と定める。p p p X = ∑ k X k ∂ k X=\sum_kX^k\partial_k X = ∑ k X k ∂ k Y ~ = ∑ i a i ∂ i \tilde Y=\sum_ia^i\partial_i Y ~ = ∑ i a i ∂ i §E23.7 定理 5.3 により
( ∇ Y ~ X ) ( p ) = ∑ k = 1 2 ( ∑ i = 1 2 a i ( p ) ∂ X k ∂ u i ( p ) + ∑ i , j = 1 2 Γ i j k ( p ) a i ( p ) X j ( p ) ) ∂ k ( p ) \bigl(\nabla_{\tilde Y}X\bigr)(p)=\sum_{k=1}^{2}\Bigl(\sum_{i=1}^{2}a^i(p)\frac{\partial X^k}{\partial u^i}(p)+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}(p)\,a^i(p)X^j(p)\Bigr)\partial_k(p) ( ∇ Y ~ X ) ( p ) = k = 1 ∑ 2 ( i = 1 ∑ 2 a i ( p ) ∂ u i ∂ X k ( p ) + i , j = 1 ∑ 2 Γ ij k ( p ) a i ( p ) X j ( p ) ) ∂ k ( p ) であるから、右辺はY ~ \tilde Y Y ~ a 1 ( p ) , a 2 ( p ) a^1(p),a^2(p) a 1 ( p ) , a 2 ( p ) Y Y Y A p ( Y ) A_p(Y) A p ( Y ) Y ~ \tilde Y Y ~ Y ~ \tilde Y Y ~ Y ~ \tilde Y Y ~ A p A_p A p T p M T_pM T p M
div X ( p ) = tr A p \operatorname{div}X(p)=\operatorname{tr}A_p div X ( p ) = tr A p をX X X p p p 発散 (divergence )
命題 1.4. X X X M M M
p ∈ M p\in M p ∈ M ( ϵ 1 , ϵ 2 ) (\epsilon_1,\epsilon_2) ( ϵ 1 , ϵ 2 ) I p \mathrm{I}_p I p T p M T_pM T p M div X ( p ) = ∑ a = 1 2 I p ( A p ( ϵ a ) , ϵ a ) \operatorname{div}X(p)=\sum_{a=1}^{2}\mathrm{I}_p\bigl(A_p(\epsilon_a),\ \epsilon_a\bigr) div X ( p ) = a = 1 ∑ 2 I p ( A p ( ϵ a ) , ϵ a ) A p A_p A p 定義 1.3 の線形変換である。とくに右辺は正規直交基底の取り方に依らない。M M M X = ∑ i X i ∂ i X=\sum_iX^i\partial_i X = ∑ i X i ∂ i div X = 1 det g ∑ i = 1 2 ∂ ∂ u i ( det g X i ) \operatorname{div}X=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial}{\partial u^i}\Bigl(\sqrt{\det g}\ X^i\Bigr) div X = det g 1 i = 1 ∑ 2 ∂ u i ∂ ( det g X i ) div X \operatorname{div}X div X M M M 証明. 主張 (1) を示す。( ϵ 1 , ϵ 2 ) (\epsilon_1,\epsilon_2) ( ϵ 1 , ϵ 2 ) T p M T_pM T p M A p A_p A p ( a , b ) (a,b) ( a , b ) I p ( A p ( ϵ b ) , ϵ a ) \mathrm{I}_p(A_p(\epsilon_b),\epsilon_a) I p ( A p ( ϵ b ) , ϵ a ) tr A p = ∑ a I p ( A p ( ϵ a ) , ϵ a ) \operatorname{tr}A_p=\sum_a\mathrm{I}_p(A_p(\epsilon_a),\epsilon_a) tr A p = ∑ a I p ( A p ( ϵ a ) , ϵ a )
主張 (2) を示す。跡を座標基底で計算する。定義 1.3 の式でY ~ = ∂ i \tilde Y=\partial_i Y ~ = ∂ i
A p ( ∂ i ) = ∑ k = 1 2 ( ∂ X k ∂ u i + ∑ j = 1 2 Γ i j k X j ) ∂ k A_p(\partial_i)=\sum_{k=1}^{2}\Bigl(\frac{\partial X^k}{\partial u^i}+\sum_{j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}X^j\Bigr)\partial_k A p ( ∂ i ) = k = 1 ∑ 2 ( ∂ u i ∂ X k + j = 1 ∑ 2 Γ ij k X j ) ∂ k であるから
div X = ∑ i = 1 2 ∂ X i ∂ u i + ∑ i , j = 1 2 Γ i j i X j \operatorname{div}X=\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial X^i}{\partial u^i}+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^i_{ij}X^j div X = i = 1 ∑ 2 ∂ u i ∂ X i + i , j = 1 ∑ 2 Γ ij i X j である。したがって、次の等式を示せば足りる。
∑ i = 1 2 Γ i j i = 1 det g ∂ det g ∂ u j ( j ∈ { 1 , 2 } ) . \sum_{i=1}^{2}\Gamma^i_{ij}=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\ \frac{\partial\sqrt{\det g}}{\partial u^j}
\qquad(j\in\{1,2\}). i = 1 ∑ 2 Γ ij i = det g 1 ∂ u j ∂ det g ( j ∈ { 1 , 2 }) . §E23.7 定理 5.3 の式により
∑ i = 1 2 Γ i j i = 1 2 ∑ i , l = 1 2 g i l ( ∂ g j l ∂ u i + ∂ g i l ∂ u j − ∂ g i j ∂ u l ) \sum_{i=1}^{2}\Gamma^i_{ij}
=\frac12\sum_{i,l=1}^{2}g^{il}\Bigl(\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\Bigr) i = 1 ∑ 2 Γ ij i = 2 1 i , l = 1 ∑ 2 g i l ( ∂ u i ∂ g j l + ∂ u j ∂ g i l − ∂ u l ∂ g ij ) である。第一項の和と第三項の和は打ち消し合う。実際、第三項の和において添字の名前i i i l l l g l i = g i l g^{li}=g^{il} g l i = g i l g l j = g j l g_{lj}=g_{jl} g l j = g j l
∑ i = 1 2 Γ i j i = 1 2 ∑ i , l = 1 2 g i l ∂ g i l ∂ u j \sum_{i=1}^{2}\Gamma^i_{ij}=\frac12\sum_{i,l=1}^{2}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j} i = 1 ∑ 2 Γ ij i = 2 1 i , l = 1 ∑ 2 g i l ∂ u j ∂ g i l である。det g = g 11 g 22 − g 12 2 \det g=g_{11}g_{22}-g_{12}^2 det g = g 11 g 22 − g 12 2
g 11 = g 22 det g , g 12 = g 21 = − g 12 det g , g 22 = g 11 det g g^{11}=\frac{g_{22}}{\det g},\qquad
g^{12}=g^{21}=\frac{-g_{12}}{\det g},\qquad
g^{22}=\frac{g_{11}}{\det g} g 11 = det g g 22 , g 12 = g 21 = det g − g 12 , g 22 = det g g 11 から
∑ i , l = 1 2 g i l ∂ g i l ∂ u j = 1 det g ( g 22 ∂ g 11 ∂ u j − 2 g 12 ∂ g 12 ∂ u j + g 11 ∂ g 22 ∂ u j ) = 1 det g ∂ ( det g ) ∂ u j \sum_{i,l=1}^{2}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}
=\frac{1}{\det g}\Bigl(g_{22}\frac{\partial g_{11}}{\partial u^j}-2g_{12}\frac{\partial g_{12}}{\partial u^j}+g_{11}\frac{\partial g_{22}}{\partial u^j}\Bigr)
=\frac{1}{\det g}\ \frac{\partial(\det g)}{\partial u^j} i , l = 1 ∑ 2 g i l ∂ u j ∂ g i l = det g 1 ( g 22 ∂ u j ∂ g 11 − 2 g 12 ∂ u j ∂ g 12 + g 11 ∂ u j ∂ g 22 ) = det g 1 ∂ u j ∂ ( det g ) である。det g > 0 \det g>0 det g > 0
1 2 ⋅ 1 det g ∂ ( det g ) ∂ u j = 1 det g ∂ det g ∂ u j \frac12\cdot\frac{1}{\det g}\frac{\partial(\det g)}{\partial u^j}
=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\ \frac{\partial\sqrt{\det g}}{\partial u^j} 2 1 ⋅ det g 1 ∂ u j ∂ ( det g ) = det g 1 ∂ u j ∂ det g であり、求める等式が得られる。これを代入すると
div X = ∑ i = 1 2 ∂ X i ∂ u i + ∑ i = 1 2 X i 1 det g ∂ det g ∂ u i = 1 det g ∑ i = 1 2 ∂ ∂ u i ( det g X i ) \operatorname{div}X=\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial X^i}{\partial u^i}+\sum_{i=1}^{2}X^i\ \frac{1}{\sqrt{\det g}}\frac{\partial\sqrt{\det g}}{\partial u^i}
=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial}{\partial u^i}\Bigl(\sqrt{\det g}\,X^i\Bigr) div X = i = 1 ∑ 2 ∂ u i ∂ X i + i = 1 ∑ 2 X i det g 1 ∂ u i ∂ det g = det g 1 i = 1 ∑ 2 ∂ u i ∂ ( det g X i ) である。▨
定義 1.5. h : M → R h\colon M\to\R h : M → R
Δ h = div ( grad h ) \Delta h=\operatorname{div}\bigl(\operatorname{grad}h\bigr) Δ h = div ( grad h ) と定め、Δ \Delta Δ ( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) Laplace–Beltrami 作用素 (Laplace–Beltrami operator )f = ( f 1 , … , f n ) : M → R n f=(f^1,\dots,f^n)\colon M\to\R^n f = ( f 1 , … , f n ) : M → R n
Δ f = ( Δ f 1 , … , Δ f n ) \Delta f=\bigl(\Delta f^1,\dots,\Delta f^n\bigr) Δ f = ( Δ f 1 , … , Δ f n ) と定める。
定義 1.7. M M M ( U , ϕ ) (U,\phi) ( U , ϕ ) 等温座標 (isothermal coordinates )U U U λ \lambda λ U U U
g 11 = g 22 = λ 2 , g 12 = 0 g_{11}=g_{22}=\lambda^2,\qquad g_{12}=0 g 11 = g 22 = λ 2 , g 12 = 0 を満たすことをいう。
証明. det g = λ 4 \det g=\lambda^4 det g = λ 4 det g = λ 2 \sqrt{\det g}=\lambda^2 det g = λ 2 g 11 = g 22 = λ − 2 g^{11}=g^{22}=\lambda^{-2} g 11 = g 22 = λ − 2 g 12 = 0 g^{12}=0 g 12 = 0 公式 1.6 へ代入すると
Δ h = 1 λ 2 [ ∂ ∂ u ( λ 2 ⋅ λ − 2 ∂ h ∂ u ) + ∂ ∂ v ( λ 2 ⋅ λ − 2 ∂ h ∂ v ) ] = 1 λ 2 ( h u u + h v v ) \Delta h=\frac{1}{\lambda^2}\Bigl[\frac{\partial}{\partial u}\Bigl(\lambda^2\cdot\lambda^{-2}\frac{\partial h}{\partial u}\Bigr)+\frac{\partial}{\partial v}\Bigl(\lambda^2\cdot\lambda^{-2}\frac{\partial h}{\partial v}\Bigr)\Bigr]
=\frac{1}{\lambda^2}\bigl(h_{uu}+h_{vv}\bigr) Δ h = λ 2 1 [ ∂ u ∂ ( λ 2 ⋅ λ − 2 ∂ u ∂ h ) + ∂ v ∂ ( λ 2 ⋅ λ − 2 ∂ v ∂ h ) ] = λ 2 1 ( h uu + h v v ) である。▨
2 Dirichlet エネルギー 定義 2.1. f : M → R n f\colon M\to\R^n f : M → R n p ∈ M p\in M p ∈ M I p \mathrm{I}_p I p T p M T_pM T p M ( ϵ 1 , ϵ 2 ) (\epsilon_1,\epsilon_2) ( ϵ 1 , ϵ 2 )
∥ d f ∥ 2 ( p ) = ∑ a = 1 2 ∥ d f p ( ϵ a ) ∥ 2 \lVert df\rVert^2(p)=\sum_{a=1}^{2}\bigl\lVert df_p(\epsilon_a)\bigr\rVert^2 ∥ df ∥ 2 ( p ) = a = 1 ∑ 2 d f p ( ϵ a ) 2 と定める。命題 2.2 により、この値は正規直交基底の取り方に依らない。e ( f ) = 1 2 ∥ d f ∥ 2 e(f)=\tfrac12\lVert df\rVert^2 e ( f ) = 2 1 ∥ df ∥ 2 f f f エネルギー密度 (energy density )
D ⊆ M D\subseteq M D ⊆ M D D D ( U , ϕ ) (U,\phi) ( U , ϕ ) ϕ ( D ) \phi(D) ϕ ( D ) §E4 実解析 II の§E4.11 定義 2.1 ）であるとする。f f f D D D Dirichlet エネルギー (Dirichlet energy )
E ( f ; D ) = ∫ D e ( f ) d A = 1 2 ∬ ϕ ( D ) ∥ d f ∥ 2 det g d u 1 d u 2 E(f;D)=\int_De(f)\,dA=\frac12\iint_{\phi(D)}\lVert df\rVert^2\sqrt{\det g}\ du^1du^2 E ( f ; D ) = ∫ D e ( f ) d A = 2 1 ∬ ϕ ( D ) ∥ df ∥ 2 det g d u 1 d u 2 と定める。被積分関数は連続でありϕ ( D ) \phi(D) ϕ ( D ) §E4.11 系 3.5 によりこの積分は定まる。値がチャートの取り方に依らないことは、§E23.4 命題 5.2 の証明と同じ変数変換による。M M M §E23.15 定理 1.1 の三角形分割を一つ取れば、§E23.15 定義 2.1 によって
E ( f ) = 1 2 ∫ M ∥ d f ∥ 2 d A E(f)=\frac12\int_M\lVert df\rVert^2\,dA E ( f ) = 2 1 ∫ M ∥ df ∥ 2 d A が定まる。本記事の以下の主張は、いずれも一つのチャートに含まれる領域の上の積分だけを用いるので、この形の積分を必要としない。
命題 2.2. f : M → R n f\colon M\to\R^n f : M → R n
正規直交基底による∥ d f ∥ 2 \lVert df\rVert^2 ∥ df ∥ 2
M M M ∥ d f ∥ 2 = ∑ i , j = 1 2 g i j ⟨ ∂ f ∂ u i , ∂ f ∂ u j ⟩ \lVert df\rVert^2=\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\Bigl\langle\frac{\partial f}{\partial u^i},\frac{\partial f}{\partial u^j}\Bigr\rangle ∥ df ∥ 2 = i , j = 1 ∑ 2 g ij ⟨ ∂ u i ∂ f , ∂ u j ∂ f ⟩ ∥ d f ∥ 2 \lVert df\rVert^2 ∥ df ∥ 2 M M M 証明. p p p I p \mathrm{I}_p I p ( ϵ 1 , ϵ 2 ) (\epsilon_1,\epsilon_2) ( ϵ 1 , ϵ 2 ) ϵ a = ∑ i A a i ∂ i ( p ) \epsilon_a=\sum_iA^i_a\partial_i(p) ϵ a = ∑ i A a i ∂ i ( p ) I p ( ϵ a , ϵ b ) = δ a b \mathrm{I}_p(\epsilon_a,\epsilon_b)=\delta_{ab} I p ( ϵ a , ϵ b ) = δ ab A = ( A a i ) A=(A^i_a) A = ( A a i ) A T g A = I A^{\mathsf T}gA=I A T g A = I I I I g g g A A A A − 1 g − 1 ( A T ) − 1 = I A^{-1}g^{-1}(A^{\mathsf T})^{-1}=I A − 1 g − 1 ( A T ) − 1 = I g − 1 = A A T g^{-1}=AA^{\mathsf T} g − 1 = A A T
∑ a = 1 2 A a i A a j = g i j \sum_{a=1}^{2}A^i_aA^j_a=g^{ij} a = 1 ∑ 2 A a i A a j = g ij である。したがって
∑ a = 1 2 ∥ d f p ( ϵ a ) ∥ 2 = ∑ a = 1 2 ∑ i , j = 1 2 A a i A a j ⟨ ∂ f ∂ u i , ∂ f ∂ u j ⟩ = ∑ i , j = 1 2 g i j ⟨ ∂ f ∂ u i , ∂ f ∂ u j ⟩ \sum_{a=1}^{2}\bigl\lVert df_p(\epsilon_a)\bigr\rVert^2
=\sum_{a=1}^{2}\sum_{i,j=1}^{2}A^i_aA^j_a\Bigl\langle\frac{\partial f}{\partial u^i},\frac{\partial f}{\partial u^j}\Bigr\rangle
=\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\Bigl\langle\frac{\partial f}{\partial u^i},\frac{\partial f}{\partial u^j}\Bigr\rangle a = 1 ∑ 2 d f p ( ϵ a ) 2 = a = 1 ∑ 2 i , j = 1 ∑ 2 A a i A a j ⟨ ∂ u i ∂ f , ∂ u j ∂ f ⟩ = i , j = 1 ∑ 2 g ij ⟨ ∂ u i ∂ f , ∂ u j ∂ f ⟩ である。右辺は正規直交基底を含まないので、1 と 2 がともに従う。( g i j ) (g^{ij}) ( g ij ) ∂ f / ∂ u i \partial f/\partial u^i ∂ f / ∂ u i ▨
3 第一変分 変分の設定を、§E23.16 面積の第一変分と極小曲面 と同じ形に取る。すなわち、写像を動かす範囲を一つのチャートに含まれるコンパクト集合に限る。この制限は、境界を固定するという条件を、境界を持たないM M M
定義 3.1. f : M → R n f\colon M\to\R^n f : M → R n ( K , ε , F ) (\mathcal{K},\varepsilon,F) ( K , ε , F ) f f f 台がコンパクトな変分 (compactly supported variation )
K ⊆ M \mathcal{K}\subseteq M K ⊆ M ( U , ϕ ) (U,\phi) ( U , ϕ ) U U U ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 F : M × ( − ε , ε ) → R n F\colon M\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to\R^n F : M × ( − ε , ε ) → R n すべてのp ∈ M p\in M p ∈ M F ( p , 0 ) = f ( p ) F(p,0)=f(p) F ( p , 0 ) = f ( p ) p ∈ M ∖ K p\in M\setminus\mathcal{K} p ∈ M ∖ K s ∈ ( − ε , ε ) s\in(-\varepsilon,\varepsilon) s ∈ ( − ε , ε ) F ( p , s ) = f ( p ) F(p,s)=f(p) F ( p , s ) = f ( p )
F s = F ( ⋅ , s ) F_s=F(\cdot,s) F s = F ( ⋅ , s )
V ( p ) = ∂ F ∂ s ( p , 0 ) V(p)=\frac{\partial F}{\partial s}(p,0) V ( p ) = ∂ s ∂ F ( p , 0 ) で定まる滑らかな写像V : M → R n V\colon M\to\R^n V : M → R n 変分場 (variation field )条件 (c) によりM ∖ K M\setminus\mathcal{K} M ∖ K V = 0 V=0 V = 0 V V V K \mathcal{K} K
補題 3.2. f : M → R n f\colon M\to\R^n f : M → R n K ⊆ M \mathcal{K}\subseteq M K ⊆ M V : M → R n V\colon M\to\R^n V : M → R n M ∖ K M\setminus\mathcal{K} M ∖ K V = 0 V=0 V = 0
F ( p , s ) = f ( p ) + s V ( p ) ( ( p , s ) ∈ M × R ) F(p,s)=f(p)+s\,V(p)\qquad\bigl((p,s)\in M\times\R\bigr) F ( p , s ) = f ( p ) + s V ( p ) ( ( p , s ) ∈ M × R ) は、ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 定義 3.1 の条件を満たすf f f V V V
証明. F F F F ( p , 0 ) = f ( p ) F(p,0)=f(p) F ( p , 0 ) = f ( p ) p ∈ M ∖ K p\in M\setminus\mathcal{K} p ∈ M ∖ K V ( p ) = 0 V(p)=0 V ( p ) = 0 F ( p , s ) = f ( p ) F(p,s)=f(p) F ( p , s ) = f ( p ) ∂ F / ∂ s = V \partial F/\partial s=V ∂ F / ∂ s = V V V V ▨
補題 3.3. O ⊆ R 2 \mathcal{O}\subseteq\R^2 O ⊆ R 2 K ⊆ O \mathcal{K}\subseteq\mathcal{O} K ⊆ O P 1 , P 2 : O → R P^1,P^2\colon\mathcal{O}\to\R P 1 , P 2 : O → R O ∖ K \mathcal{O}\setminus\mathcal{K} O ∖ K P 1 = P 2 = 0 P^1=P^2=0 P 1 = P 2 = 0
∬ O ( ∂ P 1 ∂ u 1 + ∂ P 2 ∂ u 2 ) d u 1 d u 2 = 0 \iint_{\mathcal{O}}\Bigl(\frac{\partial P^1}{\partial u^1}+\frac{\partial P^2}{\partial u^2}\Bigr)du^1du^2=0 ∬ O ( ∂ u 1 ∂ P 1 + ∂ u 2 ∂ P 2 ) d u 1 d u 2 = 0 が成り立つ。ここで左辺は、K \mathcal{K} K O \mathcal{O} O K \mathcal{K} K
証明. P 1 P^1 P 1 P 2 P^2 P 2 R 2 ∖ K \R^2\setminus\mathcal{K} R 2 ∖ K 0 0 0 R 2 \R^2 R 2 O \mathcal{O} O R 2 ∖ K \R^2\setminus\mathcal{K} R 2 ∖ K R 2 \R^2 R 2 O ∖ K \mathcal{O}\setminus\mathcal{K} O ∖ K R 2 \R^2 R 2 K \mathcal{K} K R = [ a , b ] × [ c , d ] R=[a,b]\times[c,d] R = [ a , b ] × [ c , d ] K ⊆ ( a , b ) × ( c , d ) \mathcal{K}\subseteq(a,b)\times(c,d) K ⊆ ( a , b ) × ( c , d )
被積分関数はR R R §E4 実解析 II の§E4.12 定理 1.1 により
∬ R ∂ P 1 ∂ u 1 d u 1 d u 2 = ∫ c d ( ∫ a b ∂ P 1 ∂ u 1 ( u 1 , u 2 ) d u 1 ) d u 2 \iint_R\frac{\partial P^1}{\partial u^1}\,du^1du^2=\int_c^d\Bigl(\int_a^b\frac{\partial P^1}{\partial u^1}(u^1,u^2)\,du^1\Bigr)du^2 ∬ R ∂ u 1 ∂ P 1 d u 1 d u 2 = ∫ c d ( ∫ a b ∂ u 1 ∂ P 1 ( u 1 , u 2 ) d u 1 ) d u 2 である。内側の積分は、§D1 ε-論法と基礎解析 の微分積分学の基本定理（§D1.19 定理 2.1 ）によりP 1 ( b , u 2 ) − P 1 ( a , u 2 ) P^1(b,u^2)-P^1(a,u^2) P 1 ( b , u 2 ) − P 1 ( a , u 2 ) ( b , u 2 ) (b,u^2) ( b , u 2 ) ( a , u 2 ) (a,u^2) ( a , u 2 ) K \mathcal{K} K 0 0 0 0 0 0 P 2 P^2 P 2 u 2 u^2 u 2 0 0 0 ▨
証明の方針を述べる。出発点は、変分に沿うエネルギー密度が座標とs s s s s s §E23.8 測地線・測地曲率・エネルギーの第一変分 の§E23.8 補題 2.1 は一つの変数についての積分に対する主張であるから、二重積分をいったん累次積分へ直し、内側の積分と外側の積分のそれぞれへ適用する。第二に、得られた被積分関数∑ i , j g i j ⟨ ∂ i V , ∂ j f ⟩ \sum_{i,j}g^{ij}\langle\partial_iV,\partial_jf\rangle ∑ i , j g ij ⟨ ∂ i V , ∂ j f ⟩ V V V det g ∑ j g i j ⟨ V , ∂ j f ⟩ \sqrt{\det g}\sum_jg^{ij}\langle V,\partial_jf\rangle det g ∑ j g ij ⟨ V , ∂ j f ⟩ i i i det g ⟨ V , Δ f ⟩ \sqrt{\det g}\,\langle V,\Delta f\rangle det g ⟨ V , Δ f ⟩ 補題 3.3 により発散の積分は消えるので、符号を変えた等式が残る。ここで公式 1.6 の形のΔ \Delta Δ div ∘ grad \operatorname{div}\circ\operatorname{grad} div ∘ grad
定理 3.4. f : M → R n f\colon M\to\R^n f : M → R n ( K , ε , F ) (\mathcal{K},\varepsilon,F) ( K , ε , F ) 定義 3.1 の変分、V V V ( U , ϕ ) (U,\phi) ( U , ϕ ) K ⊆ U \mathcal{K}\subseteq U K ⊆ U D ⊆ U D\subseteq U D ⊆ U ϕ ( D ) \phi(D) ϕ ( D ) K \mathcal{K} K D D D
s ⟼ E ( F s ; D ) s\longmapsto E(F_s;D) s ⟼ E ( F s ; D ) は( − ε , ε ) (-\varepsilon,\varepsilon) ( − ε , ε ) C 1 C^1 C 1
d d s ∣ s = 0 E ( F s ; D ) = − ∫ D ⟨ V , Δ f ⟩ d A \left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}E(F_s;D)=-\int_D\bigl\langle V,\ \Delta f\bigr\rangle\,dA d s d s = 0 E ( F s ; D ) = − ∫ D ⟨ V , Δ f ⟩ d A が成り立つ。右辺の被積分関数が零でない点の全体の閉包はK \mathcal{K} K D D D
証明. ϕ \phi ϕ ( u 1 , u 2 ) (u^1,u^2) ( u 1 , u 2 ) U ^ = ϕ ( U ) \widehat{U}=\phi(U) U = ϕ ( U ) K ^ = ϕ ( K ) \widehat{\mathcal{K}}=\phi(\mathcal{K}) K = ϕ ( K ) D ^ = ϕ ( D ) \widehat{D}=\phi(D) D = ϕ ( D ) U U U U ^ \widehat{U} U
被積分関数の差を延長する 。命題 2.2 (2) により、∣ s ∣ < ε \lvert s\rvert<\varepsilon ∣ s ∣ < ε
ψ ( u 1 , u 2 , s ) = 1 2 ( ∑ i , j = 1 2 g i j ⟨ ∂ i F s , ∂ j F s ⟩ − ∑ i , j = 1 2 g i j ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ ) det g \psi(u^1,u^2,s)=\frac12\Bigl(\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle\partial_iF_s,\partial_jF_s\bigr\rangle-\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle\partial_if,\partial_jf\bigr\rangle\Bigr)\sqrt{\det g} ψ ( u 1 , u 2 , s ) = 2 1 ( i , j = 1 ∑ 2 g ij ⟨ ∂ i F s , ∂ j F s ⟩ − i , j = 1 ∑ 2 g ij ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ ) det g と置く。ここで∂ i = ∂ / ∂ u i \partial_i=\partial/\partial u^i ∂ i = ∂ / ∂ u i F F F M × ( − ε , ε ) M\times(-\varepsilon,\varepsilon) M × ( − ε , ε ) g i j g^{ij} g ij det g \sqrt{\det g} det g U ^ \widehat{U} U ψ \psi ψ U ^ × ( − ε , ε ) \widehat{U}\times(-\varepsilon,\varepsilon) U × ( − ε , ε ) 定義 3.1 条件 (c) により、U ^ ∖ K ^ \widehat{U}\setminus\widehat{\mathcal{K}} U ∖ K F s = f F_s=f F s = f ψ = 0 \psi=0 ψ = 0 ψ \psi ψ ( R 2 ∖ K ^ ) × ( − ε , ε ) (\R^2\setminus\widehat{\mathcal{K}})\times(-\varepsilon,\varepsilon) ( R 2 ∖ K ) × ( − ε , ε ) 0 0 0 R 2 × ( − ε , ε ) \R^2\times(-\varepsilon,\varepsilon) R 2 × ( − ε , ε ) K ^ ⊆ U ^ \widehat{\mathcal{K}}\subseteq\widehat{U} K ⊆ U U ^ \widehat{U} U R 2 ∖ K ^ \R^2\setminus\widehat{\mathcal{K}} R 2 ∖ K R 2 \R^2 R 2
積分領域を長方形へ取り替える 。閉長方形R = [ a , b ] × [ c , d ] R=[a,b]\times[c,d] R = [ a , b ] × [ c , d ] K ^ ⊆ ( a , b ) × ( c , d ) \widehat{\mathcal{K}}\subseteq(a,b)\times(c,d) K ⊆ ( a , b ) × ( c , d ) s s s ψ ( ⋅ , ⋅ , s ) \psi(\cdot,\cdot,s) ψ ( ⋅ , ⋅ , s ) K ^ \widehat{\mathcal{K}} K K ^ \widehat{\mathcal{K}} K K ^ ⊆ D ^ \widehat{\mathcal{K}}\subseteq\widehat{D} K ⊆ D K ^ ⊆ R \widehat{\mathcal{K}}\subseteq R K ⊆ R
E ( F s ; D ) − E ( f ; D ) = ∬ D ^ ψ ( u 1 , u 2 , s ) d u 1 d u 2 = ∬ R ψ ( u 1 , u 2 , s ) d u 1 d u 2 = : Φ ( s ) E(F_s;D)-E(f;D)=\iint_{\widehat{D}}\psi(u^1,u^2,s)\,du^1du^2=\iint_R\psi(u^1,u^2,s)\,du^1du^2=:\Phi(s) E ( F s ; D ) − E ( f ; D ) = ∬ D ψ ( u 1 , u 2 , s ) d u 1 d u 2 = ∬ R ψ ( u 1 , u 2 , s ) d u 1 d u 2 =: Φ ( s ) である。したがってΦ \Phi Φ
累次積分へ直して積分記号の下で微分する 。各s s s ψ ( ⋅ , ⋅ , s ) \psi(\cdot,\cdot,s) ψ ( ⋅ , ⋅ , s ) R R R §E4.12 定理 1.1 により
Φ ( s ) = ∫ a b ( ∫ c d ψ ( u 1 , u 2 , s ) d u 2 ) d u 1 \Phi(s)=\int_a^b\Bigl(\int_c^d\psi(u^1,u^2,s)\,du^2\Bigr)du^1 Φ ( s ) = ∫ a b ( ∫ c d ψ ( u 1 , u 2 , s ) d u 2 ) d u 1 である。内側の積分をη ( u 1 , s ) \eta(u^1,s) η ( u 1 , s ) u 1 ∈ [ a , b ] u^1\in[a,b] u 1 ∈ [ a , b ] ψ \psi ψ ∂ s ψ \partial_s\psi ∂ s ψ [ c , d ] × ( − ε , ε ) [c,d]\times(-\varepsilon,\varepsilon) [ c , d ] × ( − ε , ε ) §E23.8 補題 2.1 によりs ↦ η ( u 1 , s ) s\mapsto\eta(u^1,s) s ↦ η ( u 1 , s ) C 1 C^1 C 1 ∂ s η ( u 1 , s ) = ∫ c d ∂ s ψ ( u 1 , u 2 , s ) d u 2 \partial_s\eta(u^1,s)=\int_c^d\partial_s\psi(u^1,u^2,s)\,du^2 ∂ s η ( u 1 , s ) = ∫ c d ∂ s ψ ( u 1 , u 2 , s ) d u 2 η \eta η ∂ s η \partial_s\eta ∂ s η 0 < ε ′ < ε 0<\varepsilon'<\varepsilon 0 < ε ′ < ε R × [ − ε ′ , ε ′ ] R\times[-\varepsilon',\varepsilon'] R × [ − ε ′ , ε ′ ] ψ \psi ψ ∂ s ψ \partial_s\psi ∂ s ψ ( u 1 , s ) (u^1,s) ( u 1 , s ) ( w , t ) (w,t) ( w , t ) [ a , b ] × [ − ε ′ , ε ′ ] [a,b]\times[-\varepsilon',\varepsilon'] [ a , b ] × [ − ε ′ , ε ′ ]
∣ η ( u 1 , s ) − η ( w , t ) ∣ ≤ ( d − c ) sup u 2 ∈ [ c , d ] ∣ ψ ( u 1 , u 2 , s ) − ψ ( w , u 2 , t ) ∣ \bigl\lvert\eta(u^1,s)-\eta(w,t)\bigr\rvert
\le(d-c)\sup_{u^2\in[c,d]}\bigl\lvert\psi(u^1,u^2,s)-\psi(w,u^2,t)\bigr\rvert η ( u 1 , s ) − η ( w , t ) ≤ ( d − c ) u 2 ∈ [ c , d ] sup ψ ( u 1 , u 2 , s ) − ψ ( w , u 2 , t ) であり、右辺は一様連続性により( w , t ) → ( u 1 , s ) (w,t)\to(u^1,s) ( w , t ) → ( u 1 , s ) 0 0 0 ∂ s η \partial_s\eta ∂ s η ∂ s ψ \partial_s\psi ∂ s ψ η \eta η ∂ s η \partial_s\eta ∂ s η [ a , b ] × ( − ε , ε ) [a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon) [ a , b ] × ( − ε , ε ) §E23.8 補題 2.1 を適用して、Φ \Phi Φ ( − ε , ε ) (-\varepsilon,\varepsilon) ( − ε , ε ) C 1 C^1 C 1
Φ ′ ( s ) = ∫ a b ( ∫ c d ∂ ψ ∂ s ( u 1 , u 2 , s ) d u 2 ) d u 1 = ∬ R ∂ ψ ∂ s ( u 1 , u 2 , s ) d u 1 d u 2 \Phi'(s)=\int_a^b\Bigl(\int_c^d\frac{\partial\psi}{\partial s}(u^1,u^2,s)\,du^2\Bigr)du^1
=\iint_R\frac{\partial\psi}{\partial s}(u^1,u^2,s)\,du^1du^2 Φ ′ ( s ) = ∫ a b ( ∫ c d ∂ s ∂ ψ ( u 1 , u 2 , s ) d u 2 ) d u 1 = ∬ R ∂ s ∂ ψ ( u 1 , u 2 , s ) d u 1 d u 2 である。最後の等号は、∂ s ψ ( ⋅ , ⋅ , s ) \partial_s\psi(\cdot,\cdot,s) ∂ s ψ ( ⋅ , ⋅ , s ) R R R §E4.12 定理 1.1 による。
s = 0 s=0 s = 0 g i j = g j i g^{ij}=g^{ji} g ij = g j i U ^ × ( − ε , ε ) \widehat{U}\times(-\varepsilon,\varepsilon) U × ( − ε , ε )
∂ ∂ s ( 1 2 ∑ i , j = 1 2 g i j ⟨ ∂ i F , ∂ j F ⟩ ) = ∑ i , j = 1 2 g i j ⟨ ∂ ∂ s ∂ i F , ∂ j F ⟩ \frac{\partial}{\partial s}\Bigl(\frac12\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle\partial_iF,\partial_jF\bigr\rangle\Bigr)
=\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\Bigl\langle\frac{\partial}{\partial s}\partial_iF,\ \partial_jF\Bigr\rangle ∂ s ∂ ( 2 1 i , j = 1 ∑ 2 g ij ⟨ ∂ i F , ∂ j F ⟩ ) = i , j = 1 ∑ 2 g ij ⟨ ∂ s ∂ ∂ i F , ∂ j F ⟩ である。F F F §E4 実解析 II の§E4.4 定理 2.1 により∂ s ∂ i F = ∂ i ∂ s F \partial_s\partial_iF=\partial_i\partial_sF ∂ s ∂ i F = ∂ i ∂ s F s = 0 s=0 s = 0 ∂ s F = V \partial_sF=V ∂ s F = V U ^ \widehat{U} U
∂ ψ ∂ s ( u 1 , u 2 , 0 ) = ( ∑ i , j = 1 2 g i j ⟨ ∂ i V , ∂ j f ⟩ ) det g \frac{\partial\psi}{\partial s}(u^1,u^2,0)=\Bigl(\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle\partial_iV,\partial_jf\bigr\rangle\Bigr)\sqrt{\det g} ∂ s ∂ ψ ( u 1 , u 2 , 0 ) = ( i , j = 1 ∑ 2 g ij ⟨ ∂ i V , ∂ j f ⟩ ) det g であり、U ^ \widehat{U} U ∂ s ψ ( ⋅ , ⋅ , 0 ) = 0 \partial_s\psi(\cdot,\cdot,0)=0 ∂ s ψ ( ⋅ , ⋅ , 0 ) = 0 K ^ \widehat{\mathcal{K}} K
Φ ′ ( 0 ) = ∬ U ^ ( ∑ i , j = 1 2 g i j ⟨ ∂ i V , ∂ j f ⟩ ) det g d u 1 d u 2 \Phi'(0)=\iint_{\widehat{U}}\Bigl(\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle\partial_iV,\partial_jf\bigr\rangle\Bigr)\sqrt{\det g}\ du^1du^2 Φ ′ ( 0 ) = ∬ U ( i , j = 1 ∑ 2 g ij ⟨ ∂ i V , ∂ j f ⟩ ) det g d u 1 d u 2 である。
V V V U ^ \widehat{U} U
P i = det g ∑ j = 1 2 g i j ⟨ V , ∂ j f ⟩ ( i ∈ { 1 , 2 } ) P^i=\sqrt{\det g}\sum_{j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle V,\ \partial_jf\bigr\rangle\qquad(i\in\{1,2\}) P i = det g j = 1 ∑ 2 g ij ⟨ V , ∂ j f ⟩ ( i ∈ { 1 , 2 }) と置く。V V V U ^ ∖ K ^ \widehat{U}\setminus\widehat{\mathcal{K}} U ∖ K P 1 P^1 P 1 P 2 P^2 P 2
∑ i = 1 2 ∂ i P i = ∑ i , j = 1 2 det g g i j ⟨ ∂ i V , ∂ j f ⟩ + ⟨ V , ∑ i , j = 1 2 ∂ i ( det g g i j ∂ j f ) ⟩ \sum_{i=1}^{2}\partial_iP^i
=\sum_{i,j=1}^{2}\sqrt{\det g}\ g^{ij}\bigl\langle\partial_iV,\partial_jf\bigr\rangle
+\Bigl\langle V,\ \sum_{i,j=1}^{2}\partial_i\Bigl(\sqrt{\det g}\ g^{ij}\partial_jf\Bigr)\Bigr\rangle i = 1 ∑ 2 ∂ i P i = i , j = 1 ∑ 2 det g g ij ⟨ ∂ i V , ∂ j f ⟩ + ⟨ V , i , j = 1 ∑ 2 ∂ i ( det g g ij ∂ j f ) ⟩ である。公式 1.6 をf f f det g ⟨ V , Δ f ⟩ \sqrt{\det g}\,\langle V,\Delta f\rangle det g ⟨ V , Δ f ⟩ 補題 3.3 をO = U ^ \mathcal{O}=\widehat{U} O = U 0 0 0
Φ ′ ( 0 ) = − ∬ U ^ ⟨ V , Δ f ⟩ det g d u 1 d u 2 = − ∫ D ⟨ V , Δ f ⟩ d A \Phi'(0)=-\iint_{\widehat{U}}\bigl\langle V,\Delta f\bigr\rangle\sqrt{\det g}\ du^1du^2
=-\int_D\bigl\langle V,\Delta f\bigr\rangle\,dA Φ ′ ( 0 ) = − ∬ U ⟨ V , Δ f ⟩ det g d u 1 d u 2 = − ∫ D ⟨ V , Δ f ⟩ d A である。最後の等号は、被積分関数が零でない点の全体の閉包がK ^ ⊆ D ^ \widehat{\mathcal{K}}\subseteq\widehat{D} K ⊆ D E ( F s ; D ) = E ( f ; D ) + Φ ( s ) E(F_s;D)=E(f;D)+\Phi(s) E ( F s ; D ) = E ( f ; D ) + Φ ( s ) ▨
4 調和写像 定義 4.1. 滑らかな写像f : M → R n f\colon M\to\R^n f : M → R n 調和写像 (harmonic map )M M M
Δ f = 0 \Delta f=0 Δ f = 0 が成り立つことをいう。すなわち、f f f n n n ( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) 定義 1.5 ）によって消えることをいう。n = 1 n=1 n = 1 f f f 調和関数 (harmonic function )
定理 4.2. f : M → R n f\colon M\to\R^n f : M → R n
定義 3.1 のすべての変分( K , ε , F ) (\mathcal{K},\varepsilon,F) ( K , ε , F ) 定理 3.4 の条件を満たすすべてのD D D d d s ∣ s = 0 E ( F s ; D ) = 0 \left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}E(F_s;D)=0 d s d s = 0 E ( F s ; D ) = 0 f f f 証明. (2) ⇒ \Rightarrow ⇒ (1) Δ f = 0 \Delta f=0 Δ f = 0 定理 3.4 の右辺の被積分関数が恒等的に零であるから、値は0 0 0
(1) ⇒ \Rightarrow ⇒ (2) p ∈ M p\in M p ∈ M p p p ( U , ϕ ) (U,\phi) ( U , ϕ ) U ^ = ϕ ( U ) \widehat{U}=\phi(U) U = ϕ ( U ) c ∈ R n c\in\R^n c ∈ R n U ^ \widehat{U} U φ : U ^ → R \varphi\colon\widehat{U}\to\R φ : U → R K ^ \widehat{\mathcal{K}} K K = ϕ − 1 ( K ^ ) \mathcal{K}=\phi^{-1}(\widehat{\mathcal{K}}) K = ϕ − 1 ( K ) V : M → R n V\colon M\to\R^n V : M → R n U U U V = φ c V=\varphi\,c V = φ c M ∖ K M\setminus\mathcal{K} M ∖ K V = 0 V=0 V = 0 U ∖ K U\setminus\mathcal{K} U ∖ K V V V M M M 補題 3.2 によりF ( q , s ) = f ( q ) + s V ( q ) F(q,s)=f(q)+sV(q) F ( q , s ) = f ( q ) + s V ( q ) V V V 定理 3.4 で要求されるD D D K ^ \widehat{\mathcal{K}} K U ^ \widehat U U K ^ \widehat{\mathcal{K}} K R 2 ∖ U ^ \R^2\setminus\widehat U R 2 ∖ U ρ \rho ρ U ^ = R 2 \widehat U=\R^2 U = R 2 ρ / 2 \rho/2 ρ /2 K ^ \widehat{\mathcal{K}} K K ^ \widehat{\mathcal{K}} K U ^ \widehat U U ϕ − 1 \phi^{-1} ϕ − 1 D D D 定理 3.4 により
0 = − ∫ D ⟨ V , Δ f ⟩ d A = − ∬ U ^ φ ⟨ c , Δ f ⟩ det g d u 1 d u 2 0=-\int_D\bigl\langle V,\Delta f\bigr\rangle\,dA
=-\iint_{\widehat{U}}\varphi\ \bigl\langle c,\Delta f\bigr\rangle\sqrt{\det g}\ du^1du^2 0 = − ∫ D ⟨ V , Δ f ⟩ d A = − ∬ U φ ⟨ c , Δ f ⟩ det g d u 1 d u 2 である。w = ⟨ c , Δ f ⟩ det g w=\langle c,\Delta f\rangle\sqrt{\det g} w = ⟨ c , Δ f ⟩ det g w w w U ^ \widehat{U} U U ^ \widehat{U} U φ \varphi φ ∬ U ^ w φ d u 1 d u 2 = 0 \iint_{\widehat{U}}w\varphi\,du^1du^2=0 ∬ U w φ d u 1 d u 2 = 0 §E23.16 面積の第一変分と極小曲面 の§E23.16 補題 3.1 によりw ≡ 0 w\equiv0 w ≡ 0 det g > 0 \sqrt{\det g}>0 det g > 0 U ^ \widehat{U} U ⟨ c , Δ f ⟩ = 0 \langle c,\Delta f\rangle=0 ⟨ c , Δ f ⟩ = 0 c ∈ R n c\in\R^n c ∈ R n U U U Δ f = 0 \Delta f=0 Δ f = 0 Δ f ( p ) = 0 \Delta f(p)=0 Δ f ( p ) = 0 p p p M M M Δ f = 0 \Delta f=0 Δ f = 0 ▨
例 4.3. W ⊆ R 2 W\subseteq\R^2 W ⊆ R 2 I \mathrm{I} I R 2 \R^2 R 2 g 11 = g 22 = 1 g_{11}=g_{22}=1 g 11 = g 22 = 1 g 12 = 0 g_{12}=0 g 12 = 0 公式 1.8 をλ ≡ 1 \lambda\equiv1 λ ≡ 1 Δ h = h u u + h v v \Delta h=h_{uu}+h_{vv} Δ h = h uu + h v v 定義 4.1 は、この場合には通常の意味の調和関数の定義に一致する。たとえばh ( u , v ) = u 2 − v 2 h(u,v)=u^2-v^2 h ( u , v ) = u 2 − v 2 h u u + h v v = 2 − 2 = 0 h_{uu}+h_{vv}=2-2=0 h uu + h v v = 2 − 2 = 0
台がコンパクトでW W W φ \varphi φ V = φ V=\varphi V = φ F ( ⋅ , s ) = h + s φ F(\cdot,s)=h+s\varphi F ( ⋅ , s ) = h + s φ 定理 3.4 は
d d s ∣ s = 0 1 2 ∬ D ∥ grad ( h + s φ ) ∥ 2 d u d v = − ∬ D φ ( h u u + h v v ) d u d v \left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}\frac12\iint_D\bigl\lVert\operatorname{grad}(h+s\varphi)\bigr\rVert^2du\,dv=-\iint_D\varphi\,(h_{uu}+h_{vv})\,du\,dv d s d s = 0 2 1 ∬ D grad ( h + s φ ) 2 d u d v = − ∬ D φ ( h uu + h v v ) d u d v という古典的な等式になる。ここでD D D φ \varphi φ W W W
4.1 離散 Dirichlet エネルギーの勾配降下 調和写像は Dirichlet エネルギーの臨界点であり、臨界点は勾配が消える点である。有限個の頂点からなる格子で Dirichlet エネルギーを近似すると、各頂点を勾配の逆向きへ動かす操作を繰り返すことができる。この操作を繰り返すと、エネルギーが減るにつれて勾配が零へ近づく様子を追うことができる。次の図では、その操作を実行する。
離散 Dirichlet エネルギーの勾配降下
三次元の閉曲線を境界とする格子の面が描かれ、境界を除く各頂点から短い矢印が伸びている。矢印は離散 Dirichlet エネルギーの勾配の逆向きであり、隣接する頂点の平均へ向かう。図の左上には座標系を置く。曲面と同じ正射影で三本の軸を描き、x 軸を実線、y 軸を破線、z 軸を点線として、それぞれの先に x・y・z の文字を添えるので、色を見分けることができなくても三本を区別することができる。視点を回すと座標系も曲面と一緒に回るので、面がどの向きに置かれているかを読み取ることができる。境界の閉曲線は xy 平面の単位円の上に載り、z 方向へ上下する。反復を進めると面は滑らかになり、矢印は一様に短くなって消える。エネルギーは 6.41 から 4.29 へ、矢印の最大の長さは 0.023 から 0.00004 へ単調に減り、313 回の反復で停止条件に達する。到達する曲面は離散調和写像であり、平均曲率が零である極小曲面と一致するとは限らない。
境界を三次元の閉曲線に固定し、素朴に張った面から出発して、各頂点を隣接する頂点の平均へ少しずつ寄せる。矢印の長さの倍率は初期の値で固定してあるので、短くなることがそのまま勾配の減少を表す。ここで得られるのは調和写像であって、平均曲率が零である極小曲面そのものではない。両者は写像が等温座標を与える場合に一致するが、この格子でそれが成り立つとは限らない。
図の矢印が消えていくことは、勾配が零へ向かうことを表している。有限の格子で得られるのは、離散化した問題の停留点である。その停留点が連続な問題の解へ収束することを、本記事では主張しない。
5 共形なはめ込みと極小曲面 本節では、写像をx \boldsymbol{x} x e , f , g e,f,g e , f , g §E23.5 命題 3.2 ）と記号が衝突することを避けるためである。
証明の方針を述べる。等温座標では公式 1.8 によりΔ x = λ − 2 ( x u u + x v v ) \Delta\boldsymbol{x}=\lambda^{-2}(\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}) Δ x = λ − 2 ( x uu + x v v ) x u u + x v v \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv} x uu + x v v ( x u / λ , x v / λ , N ) (\boldsymbol{x}_u/\lambda,\ \boldsymbol{x}_v/\lambda,\ N) ( x u / λ , x v / λ , N ) E = G = λ 2 E=G=\lambda^2 E = G = λ 2 F = 0 F=0 F = 0 e + g e+g e + g e + g = 2 λ 2 H e+g=2\lambda^2H e + g = 2 λ 2 H x u u + x v v = 2 λ 2 H N \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=2\lambda^2HN x uu + x v v = 2 λ 2 H N
証明. 基底を用意する 。∥ x u ∥ 2 = ∥ x v ∥ 2 = λ 2 \lVert\boldsymbol{x}_u\rVert^2=\lVert\boldsymbol{x}_v\rVert^2=\lambda^2 ∥ x u ∥ 2 = ∥ x v ∥ 2 = λ 2 ⟨ x u , x v ⟩ = 0 \langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_v\rangle=0 ⟨ x u , x v ⟩ = 0 ( x u / λ , x v / λ , N ) \bigl(\boldsymbol{x}_u/\lambda,\ \boldsymbol{x}_v/\lambda,\ N\bigr) ( x u / λ , x v / λ , N ) R 3 \R^3 R 3 Z ∈ R 3 Z\in\R^3 Z ∈ R 3
Z = ⟨ Z , x u ⟩ λ 2 x u + ⟨ Z , x v ⟩ λ 2 x v + ⟨ Z , N ⟩ N Z=\frac{\langle Z,\boldsymbol{x}_u\rangle}{\lambda^2}\boldsymbol{x}_u+\frac{\langle Z,\boldsymbol{x}_v\rangle}{\lambda^2}\boldsymbol{x}_v+\langle Z,N\rangle N Z = λ 2 ⟨ Z , x u ⟩ x u + λ 2 ⟨ Z , x v ⟩ x v + ⟨ Z , N ⟩ N と分解される。
接方向の成分を計算する 。x \boldsymbol{x} x C ∞ C^\infty C ∞ §E4 実解析 II の§E4.4 定理 2.1 によりx u v = x v u \boldsymbol{x}_{uv}=\boldsymbol{x}_{vu} x uv = x v u E = ⟨ x u , x u ⟩ E=\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_u\rangle E = ⟨ x u , x u ⟩ u u u
⟨ x u u , x u ⟩ = 1 2 E u \langle\boldsymbol{x}_{uu},\boldsymbol{x}_u\rangle=\tfrac12E_u ⟨ x uu , x u ⟩ = 2 1 E u を得る。F = ⟨ x u , x v ⟩ F=\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_v\rangle F = ⟨ x u , x v ⟩ v v v G = ⟨ x v , x v ⟩ G=\langle\boldsymbol{x}_v,\boldsymbol{x}_v\rangle G = ⟨ x v , x v ⟩ u u u
F v = ⟨ x u v , x v ⟩ + ⟨ x u , x v v ⟩ , G u = 2 ⟨ x v u , x v ⟩ F_v=\langle\boldsymbol{x}_{uv},\boldsymbol{x}_v\rangle+\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_{vv}\rangle,\qquad
G_u=2\langle\boldsymbol{x}_{vu},\boldsymbol{x}_v\rangle F v = ⟨ x uv , x v ⟩ + ⟨ x u , x v v ⟩ , G u = 2 ⟨ x v u , x v ⟩ であるから
⟨ x v v , x u ⟩ = F v − 1 2 G u \langle\boldsymbol{x}_{vv},\boldsymbol{x}_u\rangle=F_v-\tfrac12G_u ⟨ x v v , x u ⟩ = F v − 2 1 G u である。二つを加えると
⟨ x u u + x v v , x u ⟩ = 1 2 E u + F v − 1 2 G u \bigl\langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},\ \boldsymbol{x}_u\bigr\rangle=\tfrac12E_u+F_v-\tfrac12G_u ⟨ x uu + x v v , x u ⟩ = 2 1 E u + F v − 2 1 G u である。仮定E = G = λ 2 E=G=\lambda^2 E = G = λ 2 F = 0 F=0 F = 0 1 2 ( λ 2 ) u + 0 − 1 2 ( λ 2 ) u = 0 \tfrac12(\lambda^2)_u+0-\tfrac12(\lambda^2)_u=0 2 1 ( λ 2 ) u + 0 − 2 1 ( λ 2 ) u = 0 u u u v v v
⟨ x u u + x v v , x v ⟩ = 1 2 G v + F u − 1 2 E v = 0 \bigl\langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},\ \boldsymbol{x}_v\bigr\rangle=\tfrac12G_v+F_u-\tfrac12E_v=0 ⟨ x uu + x v v , x v ⟩ = 2 1 G v + F u − 2 1 E v = 0 である。
法方向の成分を計算する 。§E23.12 定義 2.1 により⟨ x u u , N ⟩ = e \langle\boldsymbol{x}_{uu},N\rangle=e ⟨ x uu , N ⟩ = e ⟨ x v v , N ⟩ = g \langle\boldsymbol{x}_{vv},N\rangle=g ⟨ x v v , N ⟩ = g
⟨ x u u + x v v , N ⟩ = e + g \bigl\langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},\ N\bigr\rangle=e+g ⟨ x uu + x v v , N ⟩ = e + g である。一方、E = G = λ 2 E=G=\lambda^2 E = G = λ 2 F = 0 F=0 F = 0 E G − F 2 = λ 4 EG-F^2=\lambda^4 E G − F 2 = λ 4
H = e G − 2 f F + g E 2 ( E G − F 2 ) = λ 2 ( e + g ) 2 λ 4 = e + g 2 λ 2 H=\frac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)}=\frac{\lambda^2(e+g)}{2\lambda^4}=\frac{e+g}{2\lambda^2} H = 2 ( E G − F 2 ) e G − 2 f F + g E = 2 λ 4 λ 2 ( e + g ) = 2 λ 2 e + g であるからe + g = 2 λ 2 H e+g=2\lambda^2H e + g = 2 λ 2 H
主張 (1) を示す。上の分解にZ = x u u + x v v Z=\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv} Z = x uu + x v v
x u u + x v v = 0 ⋅ x u + 0 ⋅ x v + 2 λ 2 H N = 2 λ 2 H N \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=0\cdot\boldsymbol{x}_u+0\cdot\boldsymbol{x}_v+2\lambda^2H\,N=2\lambda^2H\,N x uu + x v v = 0 ⋅ x u + 0 ⋅ x v + 2 λ 2 H N = 2 λ 2 H N である。座標( u , v ) (u,v) ( u , v ) 公式 1.8 をx \boldsymbol{x} x
Δ x = 1 λ 2 ( x u u + x v v ) = 2 H N \Delta\boldsymbol{x}=\frac{1}{\lambda^2}\bigl(\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}\bigr)=2HN Δ x = λ 2 1 ( x uu + x v v ) = 2 H N である。
主張 (2) を示す。∥ N ∥ = 1 \lVert N\rVert=1 ∥ N ∥ = 1 ∥ Δ x ∥ = 2 ∣ H ∣ \lVert\Delta\boldsymbol{x}\rVert=2\lvert H\rvert ∥ Δ x ∥ = 2 ∣ H ∣ Δ x = 0 \Delta\boldsymbol{x}=0 Δ x = 0 W W W H ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0
主張 (3) を示す。x \boldsymbol{x} x §E23.12 定義 2.1 の成分は§E23.4 定義 1.3 と§E23.5 命題 3.2 の成分に一致するから、上のH H H §E23.6 公式 2.3 で与えられる像の平均曲率に一致する。§E23.16 定義 3.2 により、像が極小曲面であることは、その上で平均曲率が恒等的に零であることである。よって 2 の条件は像が極小曲面であることと同値である。▨
例 5.2. r > 0 r>0 r > 0 w = 1 + u 2 + v 2 w=1+u^2+v^2 w = 1 + u 2 + v 2
x ( u , v ) = r w ( 2 u , 2 v , w − 2 ) ( ( u , v ) ∈ R 2 ) \boldsymbol{x}(u,v)=\frac{r}{w}\bigl(2u,\ 2v,\ w-2\bigr)\qquad\bigl((u,v)\in\R^2\bigr) x ( u , v ) = w r ( 2 u , 2 v , w − 2 ) ( ( u , v ) ∈ R 2 ) と定める。この写像は、北極( 0 , 0 , r ) (0,0,r) ( 0 , 0 , r ) r r r
像が球面に含まれることを確かめる 。ρ 2 = u 2 + v 2 \rho^2=u^2+v^2 ρ 2 = u 2 + v 2 w = 1 + ρ 2 w=1+\rho^2 w = 1 + ρ 2 w − 2 = ρ 2 − 1 w-2=\rho^2-1 w − 2 = ρ 2 − 1
∥ x ∥ 2 = r 2 w 2 ( 4 ρ 2 + ( ρ 2 − 1 ) 2 ) = r 2 w 2 ( ρ 4 + 2 ρ 2 + 1 ) = r 2 w 2 w 2 = r 2 \lVert\boldsymbol{x}\rVert^2=\frac{r^2}{w^2}\bigl(4\rho^2+(\rho^2-1)^2\bigr)=\frac{r^2}{w^2}\bigl(\rho^4+2\rho^2+1\bigr)=\frac{r^2}{w^2}\,w^2=r^2 ∥ x ∥ 2 = w 2 r 2 ( 4 ρ 2 + ( ρ 2 − 1 ) 2 ) = w 2 r 2 ( ρ 4 + 2 ρ 2 + 1 ) = w 2 r 2 w 2 = r 2 である。
等温座標であることを確かめる 。偏微分すると
x u = 2 r w 2 ( w − 2 u 2 , − 2 u v , 2 u ) , x v = 2 r w 2 ( − 2 u v , w − 2 v 2 , 2 v ) \boldsymbol{x}_u=\frac{2r}{w^2}\bigl(w-2u^2,\ -2uv,\ 2u\bigr),\qquad
\boldsymbol{x}_v=\frac{2r}{w^2}\bigl(-2uv,\ w-2v^2,\ 2v\bigr) x u = w 2 2 r ( w − 2 u 2 , − 2 uv , 2 u ) , x v = w 2 2 r ( − 2 uv , w − 2 v 2 , 2 v ) である。v 2 + 1 = w − u 2 v^2+1=w-u^2 v 2 + 1 = w − u 2
( w − 2 u 2 ) 2 + 4 u 2 v 2 + 4 u 2 = w 2 − 4 u 2 w + 4 u 4 + 4 u 2 ( v 2 + 1 ) = w 2 − 4 u 2 w + 4 u 4 + 4 u 2 ( w − u 2 ) = w 2 (w-2u^2)^2+4u^2v^2+4u^2=w^2-4u^2w+4u^4+4u^2(v^2+1)=w^2-4u^2w+4u^4+4u^2(w-u^2)=w^2 ( w − 2 u 2 ) 2 + 4 u 2 v 2 + 4 u 2 = w 2 − 4 u 2 w + 4 u 4 + 4 u 2 ( v 2 + 1 ) = w 2 − 4 u 2 w + 4 u 4 + 4 u 2 ( w − u 2 ) = w 2 であるからE = 4 r 2 w 2 E=\dfrac{4r^2}{w^2} E = w 2 4 r 2 G = 4 r 2 w 2 G=\dfrac{4r^2}{w^2} G = w 2 4 r 2
F = 4 r 2 w 4 ⋅ 2 u v ( − ( w − 2 u 2 ) − ( w − 2 v 2 ) + 2 ) = 8 r 2 u v w 4 ⋅ 2 ( 1 + u 2 + v 2 − w ) = 0 F=\frac{4r^2}{w^4}\cdot2uv\Bigl(-(w-2u^2)-(w-2v^2)+2\Bigr)=\frac{8r^2uv}{w^4}\cdot2\bigl(1+u^2+v^2-w\bigr)=0 F = w 4 4 r 2 ⋅ 2 uv ( − ( w − 2 u 2 ) − ( w − 2 v 2 ) + 2 ) = w 4 8 r 2 uv ⋅ 2 ( 1 + u 2 + v 2 − w ) = 0 である。よってλ = 2 r w \lambda=\dfrac{2r}{w} λ = w 2 r 定理 5.1 の仮定が満たされる。
単位法線が内向きであることを確かめる 。( u , v ) = ( 0 , 0 ) (u,v)=(0,0) ( u , v ) = ( 0 , 0 ) x = ( 0 , 0 , − r ) \boldsymbol{x}=(0,0,-r) x = ( 0 , 0 , − r ) x u = 2 r ( 1 , 0 , 0 ) \boldsymbol{x}_u=2r(1,0,0) x u = 2 r ( 1 , 0 , 0 ) x v = 2 r ( 0 , 1 , 0 ) \boldsymbol{x}_v=2r(0,1,0) x v = 2 r ( 0 , 1 , 0 ) x u × x v = 4 r 2 ( 0 , 0 , 1 ) \boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v=4r^2(0,0,1) x u × x v = 4 r 2 ( 0 , 0 , 1 ) N ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 1 ) = − x ( 0 , 0 ) / r N(0,0)=(0,0,1)=-\boldsymbol{x}(0,0)/r N ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 1 ) = − x ( 0 , 0 ) / r ( u , v ) ↦ ⟨ N , x ⟩ / r (u,v)\mapsto\langle N,\boldsymbol{x}\rangle/r ( u , v ) ↦ ⟨ N , x ⟩ / r R 2 \R^2 R 2 { 1 , − 1 } \{1,-1\} { 1 , − 1 } R 2 \R^2 R 2 − 1 -1 − 1 N = − x / r N=-\boldsymbol{x}/r N = − x / r したがって、この向きは本単元が閉曲面に対して固定した向きである 。§E23.6 命題 4.3 により、内向きの単位法線に関してH ≡ 1 / r H\equiv1/r H ≡ 1/ r
両辺を独立に計算する 。まず
∂ 2 ∂ u 2 1 w + ∂ 2 ∂ v 2 1 w = − 2 w − 8 u 2 w 3 − 2 w − 8 v 2 w 3 = 8 ρ 2 − 4 w w 3 = 4 ( w − 2 ) w 3 \frac{\partial^2}{\partial u^2}\frac1w+\frac{\partial^2}{\partial v^2}\frac1w
=-\frac{2w-8u^2}{w^3}-\frac{2w-8v^2}{w^3}
=\frac{8\rho^2-4w}{w^3}=\frac{4(w-2)}{w^3} ∂ u 2 ∂ 2 w 1 + ∂ v 2 ∂ 2 w 1 = − w 3 2 w − 8 u 2 − w 3 2 w − 8 v 2 = w 3 8 ρ 2 − 4 w = w 3 4 ( w − 2 ) である（ρ 2 = w − 1 \rho^2=w-1 ρ 2 = w − 1
∂ 2 ∂ u 2 ( r − 2 r w ) + ∂ 2 ∂ v 2 ( r − 2 r w ) = − 8 r ( w − 2 ) w 3 \frac{\partial^2}{\partial u^2}\Bigl(r-\frac{2r}{w}\Bigr)+\frac{\partial^2}{\partial v^2}\Bigl(r-\frac{2r}{w}\Bigr)=-\frac{8r(w-2)}{w^3} ∂ u 2 ∂ 2 ( r − w 2 r ) + ∂ v 2 ∂ 2 ( r − w 2 r ) = − w 3 8 r ( w − 2 ) である。第一成分については
∂ 2 ∂ u 2 u w + ∂ 2 ∂ v 2 u w = u ⋅ 4 ( w − 2 ) w 3 + 2 ⋅ ( − 2 u w 2 ) = − 8 u w 3 \frac{\partial^2}{\partial u^2}\frac uw+\frac{\partial^2}{\partial v^2}\frac uw=u\cdot\frac{4(w-2)}{w^3}+2\cdot\Bigl(-\frac{2u}{w^2}\Bigr)=\frac{-8u}{w^3} ∂ u 2 ∂ 2 w u + ∂ v 2 ∂ 2 w u = u ⋅ w 3 4 ( w − 2 ) + 2 ⋅ ( − w 2 2 u ) = w 3 − 8 u であるから、値は− 16 r u w 3 -\dfrac{16ru}{w^3} − w 3 16 r u − 16 r v w 3 -\dfrac{16rv}{w^3} − w 3 16 r v
x u u + x v v = − 8 r w 3 ( 2 u , 2 v , w − 2 ) = − 8 w 2 x \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=-\frac{8r}{w^3}\bigl(2u,\ 2v,\ w-2\bigr)=-\frac{8}{w^2}\,\boldsymbol{x} x uu + x v v = − w 3 8 r ( 2 u , 2 v , w − 2 ) = − w 2 8 x である。λ 2 = 4 r 2 / w 2 \lambda^2=4r^2/w^2 λ 2 = 4 r 2 / w 2
Δ x = w 2 4 r 2 ( − 8 w 2 x ) = − 2 r 2 x \Delta\boldsymbol{x}=\frac{w^2}{4r^2}\Bigl(-\frac{8}{w^2}\boldsymbol{x}\Bigr)=-\frac{2}{r^2}\,\boldsymbol{x} Δ x = 4 r 2 w 2 ( − w 2 8 x ) = − r 2 2 x である。一方、H ≡ 1 / r H\equiv1/r H ≡ 1/ r N = − x / r N=-\boldsymbol{x}/r N = − x / r
2 H N = 2 ⋅ 1 r ⋅ ( − x r ) = − 2 r 2 x 2HN=2\cdot\frac1r\cdot\Bigl(-\frac{\boldsymbol{x}}{r}\Bigr)=-\frac{2}{r^2}\,\boldsymbol{x} 2 H N = 2 ⋅ r 1 ⋅ ( − r x ) = − r 2 2 x である。二つは一致する。
この検算は係数2 2 2 。仮に等式をΔ x = H N \Delta\boldsymbol{x}=HN Δ x = H N − x / r 2 -\boldsymbol{x}/r^2 − x / r 2 Δ x = − 2 H N \Delta\boldsymbol{x}=-2HN Δ x = − 2 H N + 2 x / r 2 +2\boldsymbol{x}/r^2 + 2 x / r 2 §E23.16 面積の第一変分と極小曲面 の§E23.16 定理 2.1 と整合する。同記事の§E23.16 例 2.3 は外向きの単位法線を取ってH ≡ − 1 / r H\equiv-1/r H ≡ − 1/ r − ∫ 2 H φ d A -\int2H\varphi\,dA − ∫ 2 H φ d A H H H N N N 2 H N 2HN 2 H N
6 境界 標的を Euclid 空間に限ったこと 。定義 4.1 は標的がR n \R^n R n 定理 3.4 の右辺には標的の Christoffel 記号を含む項が加わり、方程式は張力場が消えるという形になる。
等温座標の存在を証明していないこと 。定理 5.1 は、等温座標が与えられている場合についての主張である。第一基本形式を与えられた曲面のどの点のまわりにも等温座標を取ることができるという事実は成り立つが、その証明は本単元の範囲外である。本記事では、その事実をどの主張の根拠にも用いていない。例 5.3 により示されるとおり、極小性は座標の取り方に依らない条件であり、座標の取り方に依存するのは、パラメータ領域の Euclid 計量に関するx u u + x v v = 0 \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=0 x uu + x v v = 0
解の存在を扱わないこと 。本記事で示したのは、臨界点であることとΔ f = 0 \Delta f=0 Δ f = 0
7 演習 問題 7.1.
平面の極座標( r , φ ) (r,\varphi) ( r , φ ) r > 0 r>0 r > 0 g = d i a g ( 1 , r 2 ) g=\mathrm{diag}(1,r^2) g = diag ( 1 , r 2 ) §E23.7 例 7.1 の Christoffel 記号を用いて、∑ i Γ i j i = ∂ j log det g \sum_i\Gamma^i_{ij}=\partial_j\log\sqrt{\det g} ∑ i Γ ij i = ∂ j log det g j = 1 , 2 j=1,2 j = 1 , 2 公式 1.6 からΔ h = h r r + 1 r h r + 1 r 2 h φ φ \Delta h=h_{rr}+\frac1rh_r+\frac{1}{r^2}h_{\varphi\varphi} Δ h = h r r + r 1 h r + r 2 1 h φφ log r \log r log r R 2 ∖ { 0 } \R^2\setminus\{0\} R 2 ∖ { 0 } Δ ( r 2 ) = 4 \Delta(r^2)=4 Δ ( r 2 ) = 4
p ∈ M p\in M p ∈ M T p M T_pM T p M ϵ a = ∑ i A a i ∂ i \epsilon_a=\sum_iA^i_a\partial_i ϵ a = ∑ i A a i ∂ i a = 1 , 2 a=1,2 a = 1 , 2 f : M → R n f\colon M\to\R^n f : M → R n n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 ∑ a ∥ d f p ( ϵ a ) ∥ 2 = ∑ i , j ( A A T ) i j ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ ( p ) \sum_a\lVert df_p(\epsilon_a)\rVert^2=\sum_{i,j}(AA^{\mathsf T})^{ij}\langle\partial_if,\partial_jf\rangle(p) ∑ a ∥ d f p ( ϵ a ) ∥ 2 = ∑ i , j ( A A T ) ij ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ ( p ) f f f ∑ a ∥ d f p ( ϵ a ) ∥ 2 = ∥ d f ∥ 2 ( p ) \sum_a\lVert df_p(\epsilon_a)\rVert^2=\lVert df\rVert^2(p) ∑ a ∥ d f p ( ϵ a ) ∥ 2 = ∥ df ∥ 2 ( p ) ( ϵ 1 , ϵ 2 ) (\epsilon_1,\epsilon_2) ( ϵ 1 , ϵ 2 ) f ( u , v ) = u f(u,v)=u f ( u , v ) = u ϵ 1 = ∂ u \epsilon_1=\partial_u ϵ 1 = ∂ u ϵ 2 = ∂ u + ∂ v \epsilon_2=\partial_u+\partial_v ϵ 2 = ∂ u + ∂ v 平面の開集合W W W h : W → R h\colon W\to\R h : W → R φ \varphi φ W W W D ⊆ W D\subseteq W D ⊆ W φ \varphi φ E ( h + s φ ; D ) E(h+s\varphi;D) E ( h + s φ ; D ) s s s 例 4.3 の等式を用いて、h h h E ( h + s φ ; D ) = E ( h ; D ) + s 2 E ( φ ; D ) E(h+s\varphi;D)=E(h;D)+s^2E(\varphi;D) E ( h + s φ ; D ) = E ( h ; D ) + s 2 E ( φ ; D ) h h h φ ≢ 0 \varphi\not\equiv0 φ ≡ 0 E ( h + φ ; D ) > E ( h ; D ) E(h+\varphi;D)>E(h;D) E ( h + φ ; D ) > E ( h ; D )
滑らかな関数h 1 , h 2 : M → R h_1,h_2\colon M\to\R h 1 , h 2 : M → R Δ ( h 1 h 2 ) = h 1 Δ h 2 + h 2 Δ h 1 + 2 I ( grad h 1 , grad h 2 ) \Delta(h_1h_2)=h_1\,\Delta h_2+h_2\,\Delta h_1+2\,\mathrm{I}\bigl(\operatorname{grad}h_1,\operatorname{grad}h_2\bigr) Δ ( h 1 h 2 ) = h 1 Δ h 2 + h 2 Δ h 1 + 2 I ( grad h 1 , grad h 2 ) 公式 1.6 と命題 1.2 から示す。これを用いて、等温座標を与える共形なはめ込みx \boldsymbol{x} x Δ ∥ x ∥ 2 = 4 \Delta\lVert\boldsymbol{x}\rVert^2=4 Δ ∥ x ∥ 2 = 4 例 5.3 の懸垂面の表示で直接確かめる。
( M , I ) (M,\mathrm{I}) ( M , I ) μ \mu μ M M M I ′ = μ 2 I \mathrm{I}'=\mu^2\mathrm{I} I ′ = μ 2 I I ′ \mathrm{I}' I ′ ∥ d f ∥ ′ 2 \lVert df\rVert'^2 ∥ df ∥ ′2 d A ′ dA' d A ′ E ′ E' E ′ Δ ′ \Delta' Δ ′ ∥ d f ∥ ′ 2 = μ − 2 ∥ d f ∥ 2 \lVert df\rVert'^2=\mu^{-2}\lVert df\rVert^2 ∥ df ∥ ′2 = μ − 2 ∥ df ∥ 2 E ′ ( f ; D ) = E ( f ; D ) E'(f;D)=E(f;D) E ′ ( f ; D ) = E ( f ; D ) Δ ′ = μ − 2 Δ \Delta'=\mu^{-2}\Delta Δ ′ = μ − 2 Δ I \mathrm{I} I I ′ \mathrm{I}' I ′ 例 5.2 の写像x \boldsymbol{x} x r r r M ′ M' M ′ M ′ M' M ′ h 1 ( p ) = p 1 / ( r − p 3 ) h_1(p)=p_1/(r-p_3) h 1 ( p ) = p 1 / ( r − p 3 ) h 2 ( p ) = ( p 1 2 − p 2 2 ) / ( r − p 3 ) 2 h_2(p)=(p_1^2-p_2^2)/(r-p_3)^2 h 2 ( p ) = ( p 1 2 − p 2 2 ) / ( r − p 3 ) 2 公式 1.8 を用いて示す。W ⊆ R 2 W\subseteq\R^2 W ⊆ R 2 x : W → R 3 \boldsymbol{x}\colon W\to\R^3 x : W → R 3 E = G E=G E = G F F F ⟨ x u u + x v v , x u ⟩ = F v , ⟨ x u u + x v v , x v ⟩ = F u , ⟨ x u u + x v v , N ⟩ = e + g \langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},\boldsymbol{x}_u\rangle=F_v,\qquad
\langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},\boldsymbol{x}_v\rangle=F_u,\qquad
\langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},N\rangle=e+g ⟨ x uu + x v v , x u ⟩ = F v , ⟨ x uu + x v v , x v ⟩ = F u , ⟨ x uu + x v v , N ⟩ = e + g x ( u , v ) = ( u + v cos α , v sin α , 0 ) \boldsymbol{x}(u,v)=(u+v\cos\alpha,\ v\sin\alpha,\ 0) x ( u , v ) = ( u + v cos α , v sin α , 0 ) 0 < α < π 0<\alpha<\pi 0 < α < π E = G = 1 E=G=1 E = G = 1 F = cos α F=\cos\alpha F = cos α Enneper の曲面x ( u , v ) = ( u − u 3 3 + u v 2 , v − v 3 3 + u 2 v , u 2 − v 2 ) \boldsymbol{x}(u,v)=\bigl(u-\tfrac{u^3}{3}+uv^2,\ v-\tfrac{v^3}{3}+u^2v,\ u^2-v^2\bigr) x ( u , v ) = ( u − 3 u 3 + u v 2 , v − 3 v 3 + u 2 v , u 2 − v 2 ) ( u , v ) ∈ R 2 (u,v)\in\R^2 ( u , v ) ∈ R 2 E = G = ( 1 + u 2 + v 2 ) 2 E=G=(1+u^2+v^2)^2 E = G = ( 1 + u 2 + v 2 ) 2 F = 0 F=0 F = 0 x u u + x v v = 0 \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=\boldsymbol{0} x uu + x v v = 0 定理 5.1 (2) によりH ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0 §E23.6 公式 2.3 による直接の計算と照合する。
常螺旋面の母数c = 2 c=2 c = 2 x ( u , v ) = ( u cos v , u sin v , 2 v ) \boldsymbol{x}(u,v)=(u\cos v,\ u\sin v,\ 2v) x ( u , v ) = ( u cos v , u sin v , 2 v ) x u u + x v v \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv} x uu + x v v 定理 5.1 (1) の右辺と一致しないことを確かめる。さらに公式 1.6 によって誘導計量に関するΔ x \Delta\boldsymbol{x} Δ x Δ x = 2 H N \Delta\boldsymbol{x}=2HN Δ x = 2 H N
W ⊆ R 2 W\subseteq\R^2 W ⊆ R 2 x : W → R 3 \boldsymbol{x}\colon W\to\R^3 x : W → R 3 W W W δ \delta δ E δ ( x ; D ) E_\delta(\boldsymbol{x};D) E δ ( x ; D ) D ⊆ W D\subseteq W D ⊆ W E δ ( x ; D ) = 1 2 ∬ D ( E + G ) d u d v ≥ ∬ D E G − F 2 d u d v E_\delta(\boldsymbol{x};D)=\frac12\iint_D(E+G)\,du\,dv\ge\iint_D\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv E δ ( x ; D ) = 2 1 ∬ D ( E + G ) d u d v ≥ ∬ D E G − F 2 d u d v D D D E = G E=G E = G F = 0 F=0 F = 0 D D D (9) の常螺旋面の表示で不等号が真であることを確かめる。 解答. (1) を示す。§E23.7 例 7.1 により、零でない Christoffel 記号はΓ 22 1 = − r \Gamma^1_{22}=-r Γ 22 1 = − r Γ 12 2 = Γ 21 2 = 1 / r \Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r Γ 12 2 = Γ 21 2 = 1/ r det g = r \sqrt{\det g}=r det g = r ∂ r log det g = 1 / r \partial_r\log\sqrt{\det g}=1/r ∂ r log det g = 1/ r ∂ φ log det g = 0 \partial_\varphi\log\sqrt{\det g}=0 ∂ φ log det g = 0 ∑ i Γ i 1 i = Γ 11 1 + Γ 21 2 = 0 + 1 / r \sum_i\Gamma^i_{i1}=\Gamma^1_{11}+\Gamma^2_{21}=0+1/r ∑ i Γ i 1 i = Γ 11 1 + Γ 21 2 = 0 + 1/ r ∑ i Γ i 2 i = Γ 12 1 + Γ 22 2 = 0 \sum_i\Gamma^i_{i2}=\Gamma^1_{12}+\Gamma^2_{22}=0 ∑ i Γ i 2 i = Γ 12 1 + Γ 22 2 = 0
g 11 = 1 g^{11}=1 g 11 = 1 g 22 = 1 / r 2 g^{22}=1/r^2 g 22 = 1/ r 2 g 12 = 0 g^{12}=0 g 12 = 0 公式 1.6 に代入すると
Δ h = 1 r [ ∂ ∂ r ( r h r ) + ∂ ∂ φ ( r ⋅ 1 r 2 h φ ) ] = h r r + 1 r h r + 1 r 2 h φ φ \Delta h=\frac1r\Bigl[\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,h_r\bigr)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigl(r\cdot\frac{1}{r^2}h_\varphi\Bigr)\Bigr]=h_{rr}+\frac1rh_r+\frac{1}{r^2}h_{\varphi\varphi} Δ h = r 1 [ ∂ r ∂ ( r h r ) + ∂ φ ∂ ( r ⋅ r 2 1 h φ ) ] = h r r + r 1 h r + r 2 1 h φφ である。h = log r h=\log r h = log r h r = 1 / r h_r=1/r h r = 1/ r h r r = − 1 / r 2 h_{rr}=-1/r^2 h r r = − 1/ r 2 h φ φ = 0 h_{\varphi\varphi}=0 h φφ = 0 Δ h = − 1 / r 2 + 1 / r 2 = 0 \Delta h=-1/r^2+1/r^2=0 Δ h = − 1/ r 2 + 1/ r 2 = 0 log r = 1 2 log ( u 2 + v 2 ) \log r=\frac12\log(u^2+v^2) log r = 2 1 log ( u 2 + v 2 ) R 2 ∖ { 0 } \R^2\setminus\{0\} R 2 ∖ { 0 } R 2 ∖ { 0 } \R^2\setminus\{0\} R 2 ∖ { 0 } h = r 2 h=r^2 h = r 2 h r r = 2 h_{rr}=2 h r r = 2 h r / r = 2 h_r/r=2 h r / r = 2 Δ ( r 2 ) = 4 \Delta(r^2)=4 Δ ( r 2 ) = 4 Δ ( u 2 + v 2 ) = 2 + 2 = 4 \Delta(u^2+v^2)=2+2=4 Δ ( u 2 + v 2 ) = 2 + 2 = 4
(2) を示す。d f p ( ϵ a ) = ∑ i A a i ∂ i f ( p ) df_p(\epsilon_a)=\sum_iA^i_a\,\partial_if(p) d f p ( ϵ a ) = ∑ i A a i ∂ i f ( p )
∑ a ∥ d f p ( ϵ a ) ∥ 2 = ∑ a ∑ i , j A a i A a j ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ = ∑ i , j ( A A T ) i j ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ \sum_a\lVert df_p(\epsilon_a)\rVert^2=\sum_a\sum_{i,j}A^i_aA^j_a\langle\partial_if,\partial_jf\rangle=\sum_{i,j}(AA^{\mathsf T})^{ij}\langle\partial_if,\partial_jf\rangle a ∑ ∥ d f p ( ϵ a ) ∥ 2 = a ∑ i , j ∑ A a i A a j ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ = i , j ∑ ( A A T ) ij ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ である。命題 2.2 (2) により∥ d f ∥ 2 = ∑ i , j g i j ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ \lVert df\rVert^2=\sum_{i,j}g^{ij}\langle\partial_if,\partial_jf\rangle ∥ df ∥ 2 = ∑ i , j g ij ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ ∑ i , j ( ( A A T ) i j − g i j ) P i j = 0 \sum_{i,j}\bigl((AA^{\mathsf T})^{ij}-g^{ij}\bigr)P_{ij}=0 ∑ i , j ( ( A A T ) ij − g ij ) P ij = 0 P i j = ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ ( p ) P_{ij}=\langle\partial_if,\partial_jf\rangle(p) P ij = ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ ( p )
( ϵ a ) (\epsilon_a) ( ϵ a ) 命題 2.2 の証明によりA A T = g − 1 AA^{\mathsf T}=g^{-1} A A T = g − 1 f f f f = ( c 1 u 1 + c 2 u 2 , c 3 u 1 + c 4 u 2 , 0 , … , 0 ) f=(c_1u^1+c_2u^2,\ c_3u^1+c_4u^2,\ 0,\dots,0) f = ( c 1 u 1 + c 2 u 2 , c 3 u 1 + c 4 u 2 , 0 , … , 0 ) p p p P P P p p p ( c 1 2 + c 3 2 c 1 c 2 + c 3 c 4 c 1 c 2 + c 3 c 4 c 2 2 + c 4 2 ) \begin{pmatrix}c_1^2+c_3^2&c_1c_2+c_3c_4\\ c_1c_2+c_3c_4&c_2^2+c_4^2\end{pmatrix} ( c 1 2 + c 3 2 c 1 c 2 + c 3 c 4 c 1 c 2 + c 3 c 4 c 2 2 + c 4 2 ) ( c 1 , c 2 , c 3 , c 4 ) (c_1,c_2,c_3,c_4) ( c 1 , c 2 , c 3 , c 4 ) ( 1 , 0 , 0 , 0 ) (1,0,0,0) ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 , 1 ) (0,0,0,1) ( 0 , 0 , 0 , 1 ) ( 1 , 1 , 0 , 0 ) (1,1,0,0) ( 1 , 1 , 0 , 0 ) P P P d i a g ( 1 , 0 ) \mathrm{diag}(1,0) diag ( 1 , 0 ) d i a g ( 0 , 1 ) \mathrm{diag}(0,1) diag ( 0 , 1 ) ( 1 1 1 1 ) \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} ( 1 1 1 1 ) B = A A T − g − 1 B=AA^{\mathsf T}-g^{-1} B = A A T − g − 1 B 11 = 0 B_{11}=0 B 11 = 0 B 22 = 0 B_{22}=0 B 22 = 0 B 11 + 2 B 12 + B 22 = 0 B_{11}+2B_{12}+B_{22}=0 B 11 + 2 B 12 + B 22 = 0 B = 0 B=0 B = 0 A A T = g − 1 AA^{\mathsf T}=g^{-1} A A T = g − 1 A T g A = I A^{\mathsf T}gA=I A T g A = I ( ϵ a ) (\epsilon_a) ( ϵ a )
例ではg = I g=I g = I ∂ u f = 1 \partial_uf=1 ∂ u f = 1 ∂ v f = 0 \partial_vf=0 ∂ v f = 0 ∥ d f ∥ 2 = 1 \lVert df\rVert^2=1 ∥ df ∥ 2 = 1 d f ( ϵ 1 ) = 1 df(\epsilon_1)=1 df ( ϵ 1 ) = 1 d f ( ϵ 2 ) = 1 df(\epsilon_2)=1 df ( ϵ 2 ) = 1 ∑ a ∥ d f ( ϵ a ) ∥ 2 = 2 \sum_a\lVert df(\epsilon_a)\rVert^2=2 ∑ a ∥ df ( ϵ a ) ∥ 2 = 2 I ( ϵ 1 , ϵ 2 ) = 1 ≠ 0 \mathrm{I}(\epsilon_1,\epsilon_2)=1\ne0 I ( ϵ 1 , ϵ 2 ) = 1 = 0
(3) を示す。∥ grad ( h + s φ ) ∥ 2 = ∥ grad h ∥ 2 + 2 s ⟨ grad h , grad φ ⟩ + s 2 ∥ grad φ ∥ 2 \lVert\operatorname{grad}(h+s\varphi)\rVert^2=\lVert\operatorname{grad}h\rVert^2+2s\langle\operatorname{grad}h,\operatorname{grad}\varphi\rangle+s^2\lVert\operatorname{grad}\varphi\rVert^2 ∥ grad ( h + s φ ) ∥ 2 = ∥ grad h ∥ 2 + 2 s ⟨ grad h , grad φ ⟩ + s 2 ∥ grad φ ∥ 2
E ( h + s φ ; D ) = E ( h ; D ) + s ∬ D ( h u φ u + h v φ v ) d u d v + s 2 E ( φ ; D ) E(h+s\varphi;D)=E(h;D)+s\iint_D\bigl(h_u\varphi_u+h_v\varphi_v\bigr)\,du\,dv+s^2E(\varphi;D) E ( h + s φ ; D ) = E ( h ; D ) + s ∬ D ( h u φ u + h v φ v ) d u d v + s 2 E ( φ ; D ) である。s s s s = 0 s=0 s = 0 例 4.3 により− ∬ D φ ( h u u + h v v ) d u d v -\iint_D\varphi\,(h_{uu}+h_{vv})\,du\,dv − ∬ D φ ( h uu + h v v ) d u d v h h h E ( h + s φ ; D ) = E ( h ; D ) + s 2 E ( φ ; D ) E(h+s\varphi;D)=E(h;D)+s^2E(\varphi;D) E ( h + s φ ; D ) = E ( h ; D ) + s 2 E ( φ ; D )
s = 1 s=1 s = 1 E ( h + φ ; D ) = E ( h ; D ) + E ( φ ; D ) ≥ E ( h ; D ) E(h+\varphi;D)=E(h;D)+E(\varphi;D)\ge E(h;D) E ( h + φ ; D ) = E ( h ; D ) + E ( φ ; D ) ≥ E ( h ; D ) φ ≢ 0 \varphi\not\equiv0 φ ≡ 0 φ \varphi φ φ u 2 + φ v 2 \varphi_u^2+\varphi_v^2 φ u 2 + φ v 2 D D D E ( φ ; D ) > 0 E(\varphi;D)>0 E ( φ ; D ) > 0 E ( h + φ ; D ) > E ( h ; D ) E(h+\varphi;D)>E(h;D) E ( h + φ ; D ) > E ( h ; D ) E E E s s s
(4) を示す。チャートの上でdet g \sqrt{\det g} det g g \sqrt g g ∂ j ( h 1 h 2 ) = h 1 ∂ j h 2 + h 2 ∂ j h 1 \partial_j(h_1h_2)=h_1\partial_jh_2+h_2\partial_jh_1 ∂ j ( h 1 h 2 ) = h 1 ∂ j h 2 + h 2 ∂ j h 1
Δ ( h 1 h 2 ) = 1 g ∑ i , j ∂ i ( g g i j ( h 1 ∂ j h 2 + h 2 ∂ j h 1 ) ) = h 1 Δ h 2 + h 2 Δ h 1 + ∑ i , j g i j ( ∂ i h 1 ∂ j h 2 + ∂ i h 2 ∂ j h 1 ) \Delta(h_1h_2)=\frac{1}{\sqrt g}\sum_{i,j}\partial_i\Bigl(\sqrt g\,g^{ij}\bigl(h_1\partial_jh_2+h_2\partial_jh_1\bigr)\Bigr)
=h_1\Delta h_2+h_2\Delta h_1+\sum_{i,j}g^{ij}\bigl(\partial_ih_1\,\partial_jh_2+\partial_ih_2\,\partial_jh_1\bigr) Δ ( h 1 h 2 ) = g 1 i , j ∑ ∂ i ( g g ij ( h 1 ∂ j h 2 + h 2 ∂ j h 1 ) ) = h 1 Δ h 2 + h 2 Δ h 1 + i , j ∑ g ij ( ∂ i h 1 ∂ j h 2 + ∂ i h 2 ∂ j h 1 ) である。命題 1.2 によりgrad h = ∑ i , j g i j ∂ j h ∂ i \operatorname{grad}h=\sum_{i,j}g^{ij}\partial_jh\,\partial_i grad h = ∑ i , j g ij ∂ j h ∂ i I ( grad h 1 , grad h 2 ) = ∑ i , j g i j ∂ i h 1 ∂ j h 2 \mathrm{I}(\operatorname{grad}h_1,\operatorname{grad}h_2)=\sum_{i,j}g^{ij}\partial_ih_1\,\partial_jh_2 I ( grad h 1 , grad h 2 ) = ∑ i , j g ij ∂ i h 1 ∂ j h 2 g i j = g j i g^{ij}=g^{ji} g ij = g j i
x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) \boldsymbol{x}=(x^1,x^2,x^3) x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) Δ x k = 0 \Delta x^k=0 Δ x k = 0 Δ ( x k ) 2 = 2 I ( grad x k , grad x k ) \Delta(x^k)^2=2\,\mathrm{I}(\operatorname{grad}x^k,\operatorname{grad}x^k) Δ ( x k ) 2 = 2 I ( grad x k , grad x k ) k k k 命題 2.2 (2) により∑ k I ( grad x k , grad x k ) = ∑ i , j g i j ⟨ ∂ i x , ∂ j x ⟩ = ∥ d x ∥ 2 \sum_k\mathrm{I}(\operatorname{grad}x^k,\operatorname{grad}x^k)=\sum_{i,j}g^{ij}\langle\partial_i\boldsymbol{x},\partial_j\boldsymbol{x}\rangle=\lVert d\boldsymbol{x}\rVert^2 ∑ k I ( grad x k , grad x k ) = ∑ i , j g ij ⟨ ∂ i x , ∂ j x ⟩ = ∥ d x ∥ 2 例 2.3 により∥ d x ∥ 2 = 2 \lVert d\boldsymbol{x}\rVert^2=2 ∥ d x ∥ 2 = 2 Δ ∥ x ∥ 2 = 4 \Delta\lVert\boldsymbol{x}\rVert^2=4 Δ ∥ x ∥ 2 = 4
懸垂面x ( u , v ) = ( cosh u cos v , cosh u sin v , u ) \boldsymbol{x}(u,v)=(\cosh u\cos v,\ \cosh u\sin v,\ u) x ( u , v ) = ( cosh u cos v , cosh u sin v , u ) λ = cosh u \lambda=\cosh u λ = cosh u ∥ x ∥ 2 = cosh 2 u + u 2 \lVert\boldsymbol{x}\rVert^2=\cosh^2u+u^2 ∥ x ∥ 2 = cosh 2 u + u 2 ∂ u 2 cosh 2 u = 2 ( sinh 2 u + cosh 2 u ) \partial_u^2\cosh^2u=2(\sinh^2u+\cosh^2u) ∂ u 2 cosh 2 u = 2 ( sinh 2 u + cosh 2 u ) ∂ u 2 u 2 = 2 \partial_u^2u^2=2 ∂ u 2 u 2 = 2 v v v 公式 1.8 により
Δ ∥ x ∥ 2 = 2 sinh 2 u + 2 cosh 2 u + 2 cosh 2 u = 4 cosh 2 u cosh 2 u = 4 \Delta\lVert\boldsymbol{x}\rVert^2=\frac{2\sinh^2u+2\cosh^2u+2}{\cosh^2u}=\frac{4\cosh^2u}{\cosh^2u}=4 Δ ∥ x ∥ 2 = cosh 2 u 2 sinh 2 u + 2 cosh 2 u + 2 = cosh 2 u 4 cosh 2 u = 4 であり、一致する。
(5) を示す。チャートの上でg i j ′ = μ 2 g i j g'_{ij}=\mu^2g_{ij} g ij ′ = μ 2 g ij g ′ i j = μ − 2 g i j g'^{ij}=\mu^{-2}g^{ij} g ′ ij = μ − 2 g ij det g ′ = μ 2 det g \sqrt{\det g'}=\mu^2\sqrt{\det g} det g ′ = μ 2 det g det ( μ 2 g ) = μ 4 det g \det(\mu^2g)=\mu^4\det g det ( μ 2 g ) = μ 4 det g 命題 2.2 (2) により
∥ d f ∥ ′ 2 = ∑ i , j μ − 2 g i j ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ = μ − 2 ∥ d f ∥ 2 \lVert df\rVert'^2=\sum_{i,j}\mu^{-2}g^{ij}\langle\partial_if,\partial_jf\rangle=\mu^{-2}\lVert df\rVert^2 ∥ df ∥ ′2 = i , j ∑ μ − 2 g ij ⟨ ∂ i f , ∂ j f ⟩ = μ − 2 ∥ df ∥ 2 であるから、∥ d f ∥ ′ 2 det g ′ = ∥ d f ∥ 2 det g \lVert df\rVert'^2\sqrt{\det g'}=\lVert df\rVert^2\sqrt{\det g} ∥ df ∥ ′2 det g ′ = ∥ df ∥ 2 det g 定義 2.1 の積分の被積分関数が一致してE ′ ( f ; D ) = E ( f ; D ) E'(f;D)=E(f;D) E ′ ( f ; D ) = E ( f ; D ) 公式 1.6 により
Δ ′ h = 1 μ 2 det g ∑ i , j ∂ i ( μ 2 det g ⋅ μ − 2 g i j ∂ j h ) = μ − 2 Δ h \Delta'h=\frac{1}{\mu^2\sqrt{\det g}}\sum_{i,j}\partial_i\Bigl(\mu^2\sqrt{\det g}\cdot\mu^{-2}g^{ij}\,\partial_jh\Bigr)=\mu^{-2}\Delta h Δ ′ h = μ 2 det g 1 i , j ∑ ∂ i ( μ 2 det g ⋅ μ − 2 g ij ∂ j h ) = μ − 2 Δ h である。μ − 2 > 0 \mu^{-2}>0 μ − 2 > 0 Δ ′ f = 0 \Delta'f=0 Δ ′ f = 0 Δ f = 0 \Delta f=0 Δ f = 0 det g ′ \sqrt{\det g'} det g ′ μ 2 \mu^2 μ 2 g ′ i j g'^{ij} g ′ ij μ − 2 \mu^{-2} μ − 2
(6) を示す。w = 1 + u 2 + v 2 w=1+u^2+v^2 w = 1 + u 2 + v 2 x ( u , v ) = r w ( 2 u , 2 v , w − 2 ) \boldsymbol{x}(u,v)=\frac rw(2u,2v,w-2) x ( u , v ) = w r ( 2 u , 2 v , w − 2 ) r − 2 r / w r-2r/w r − 2 r / w r − x 3 = 2 r / w r-x_3=2r/w r − x 3 = 2 r / w
h 1 ( x ( u , v ) ) = 2 r u / w 2 r / w = u , h 2 ( x ( u , v ) ) = ( 2 r u / w ) 2 − ( 2 r v / w ) 2 ( 2 r / w ) 2 = u 2 − v 2 h_1\bigl(\boldsymbol{x}(u,v)\bigr)=\frac{2ru/w}{2r/w}=u,\qquad
h_2\bigl(\boldsymbol{x}(u,v)\bigr)=\frac{(2ru/w)^2-(2rv/w)^2}{(2r/w)^2}=u^2-v^2 h 1 ( x ( u , v ) ) = 2 r / w 2 r u / w = u , h 2 ( x ( u , v ) ) = ( 2 r / w ) 2 ( 2 r u / w ) 2 − ( 2 r v / w ) 2 = u 2 − v 2 である。p 3 < r p_3<r p 3 < r h 1 , h 2 h_1,h_2 h 1 , h 2 M ′ M' M ′ 例 5.2 によりこの座標はλ = 2 r / w \lambda=2r/w λ = 2 r / w 公式 1.8 により
Δ h 1 = 1 λ 2 ( ∂ u 2 u + ∂ v 2 u ) = 0 , Δ h 2 = 1 λ 2 ( 2 − 2 ) = 0 \Delta h_1=\frac{1}{\lambda^2}\bigl(\partial_u^2u+\partial_v^2u\bigr)=0,\qquad
\Delta h_2=\frac{1}{\lambda^2}\bigl(2-2\bigr)=0 Δ h 1 = λ 2 1 ( ∂ u 2 u + ∂ v 2 u ) = 0 , Δ h 2 = λ 2 1 ( 2 − 2 ) = 0 である。x \boldsymbol{x} x R 2 \R^2 R 2 M ′ M' M ′ M ′ M' M ′ h 1 h_1 h 1 h 2 h_2 h 2 M ′ M' M ′ h 1 h_1 h 1
(7) を示す。E = ⟨ x u , x u ⟩ E=\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_u\rangle E = ⟨ x u , x u ⟩ u u u ⟨ x u u , x u ⟩ = E u / 2 \langle\boldsymbol{x}_{uu},\boldsymbol{x}_u\rangle=E_u/2 ⟨ x uu , x u ⟩ = E u /2 F = ⟨ x u , x v ⟩ F=\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_v\rangle F = ⟨ x u , x v ⟩ v v v F v = ⟨ x u v , x v ⟩ + ⟨ x u , x v v ⟩ F_v=\langle\boldsymbol{x}_{uv},\boldsymbol{x}_v\rangle+\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_{vv}\rangle F v = ⟨ x uv , x v ⟩ + ⟨ x u , x v v ⟩ ⟨ x u v , x v ⟩ = G u / 2 \langle\boldsymbol{x}_{uv},\boldsymbol{x}_v\rangle=G_u/2 ⟨ x uv , x v ⟩ = G u /2 ⟨ x v v , x u ⟩ = F v − G u / 2 \langle\boldsymbol{x}_{vv},\boldsymbol{x}_u\rangle=F_v-G_u/2 ⟨ x v v , x u ⟩ = F v − G u /2 E = G E=G E = G
⟨ x u u + x v v , x u ⟩ = E u 2 + F v − G u 2 = F v \langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},\boldsymbol{x}_u\rangle=\frac{E_u}{2}+F_v-\frac{G_u}{2}=F_v ⟨ x uu + x v v , x u ⟩ = 2 E u + F v − 2 G u = F v である。u u u v v v ⟨ x v v , x v ⟩ = G v / 2 \langle\boldsymbol{x}_{vv},\boldsymbol{x}_v\rangle=G_v/2 ⟨ x v v , x v ⟩ = G v /2 ⟨ x u u , x v ⟩ = F u − E v / 2 \langle\boldsymbol{x}_{uu},\boldsymbol{x}_v\rangle=F_u-E_v/2 ⟨ x uu , x v ⟩ = F u − E v /2 F u F_u F u §E23.5 命題 3.2 によりe + g e+g e + g
例ではx u = ( 1 , 0 , 0 ) \boldsymbol{x}_u=(1,0,0) x u = ( 1 , 0 , 0 ) x v = ( cos α , sin α , 0 ) \boldsymbol{x}_v=(\cos\alpha,\sin\alpha,0) x v = ( cos α , sin α , 0 ) E = 1 E=1 E = 1 G = cos 2 α + sin 2 α = 1 G=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 G = cos 2 α + sin 2 α = 1 F = cos α F=\cos\alpha F = cos α 0 < α < π 0<\alpha<\pi 0 < α < π sin α ≠ 0 \sin\alpha\ne0 sin α = 0 x \boldsymbol{x} x F F F F u = F v = 0 F_u=F_v=0 F u = F v = 0 x \boldsymbol{x} x e = g = 0 e=g=0 e = g = 0 x u u + x v v = 0 \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=\boldsymbol{0} x uu + x v v = 0 F ≠ 0 F\ne0 F = 0 α ≠ π / 2 \alpha\ne\pi/2 α = π /2 H = 0 H=0 H = 0
(8) を示す。偏微分は
x u = ( 1 − u 2 + v 2 , 2 u v , 2 u ) , x v = ( 2 u v , 1 − v 2 + u 2 , − 2 v ) \boldsymbol{x}_u=\bigl(1-u^2+v^2,\ 2uv,\ 2u\bigr),\qquad\boldsymbol{x}_v=\bigl(2uv,\ 1-v^2+u^2,\ -2v\bigr) x u = ( 1 − u 2 + v 2 , 2 uv , 2 u ) , x v = ( 2 uv , 1 − v 2 + u 2 , − 2 v ) である。ρ = 1 + u 2 + v 2 \rho=1+u^2+v^2 ρ = 1 + u 2 + v 2
E = ( 1 − u 2 + v 2 ) 2 + 4 u 2 v 2 + 4 u 2 = ( 1 + u 2 + v 2 ) 2 = ρ 2 E=(1-u^2+v^2)^2+4u^2v^2+4u^2=(1+u^2+v^2)^2=\rho^2 E = ( 1 − u 2 + v 2 ) 2 + 4 u 2 v 2 + 4 u 2 = ( 1 + u 2 + v 2 ) 2 = ρ 2 である。実際、左辺から( 1 + v 2 ) 2 − 2 u 2 ( 1 + v 2 ) + u 4 + 4 u 2 v 2 + 4 u 2 = ( 1 + v 2 ) 2 + 2 u 2 ( 1 + v 2 ) + u 4 (1+v^2)^2-2u^2(1+v^2)+u^4+4u^2v^2+4u^2=(1+v^2)^2+2u^2(1+v^2)+u^4 ( 1 + v 2 ) 2 − 2 u 2 ( 1 + v 2 ) + u 4 + 4 u 2 v 2 + 4 u 2 = ( 1 + v 2 ) 2 + 2 u 2 ( 1 + v 2 ) + u 4 G = ρ 2 G=\rho^2 G = ρ 2
F = 2 u v ( 1 − u 2 + v 2 ) + 2 u v ( 1 − v 2 + u 2 ) − 4 u v = 4 u v − 4 u v = 0 F=2uv(1-u^2+v^2)+2uv(1-v^2+u^2)-4uv=4uv-4uv=0 F = 2 uv ( 1 − u 2 + v 2 ) + 2 uv ( 1 − v 2 + u 2 ) − 4 uv = 4 uv − 4 uv = 0 である。ρ > 0 \rho>0 ρ > 0 x \boldsymbol{x} x λ = ρ \lambda=\rho λ = ρ x u u = ( − 2 u , 2 v , 2 ) \boldsymbol{x}_{uu}=(-2u,\ 2v,\ 2) x uu = ( − 2 u , 2 v , 2 ) x v v = ( 2 u , − 2 v , − 2 ) \boldsymbol{x}_{vv}=(2u,\ -2v,\ -2) x v v = ( 2 u , − 2 v , − 2 ) x u u + x v v = 0 \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=\boldsymbol{0} x uu + x v v = 0 公式 1.8 によりΔ x = 0 \Delta\boldsymbol{x}=0 Δ x = 0 定理 5.1 (2) によりH ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0
直接の計算と照合する。F = 0 F=0 F = 0 E = G = ρ 2 E=G=\rho^2 E = G = ρ 2 §E23.6 公式 2.3 によりH = ( e + g ) / ( 2 ρ 2 ) H=(e+g)/(2\rho^2) H = ( e + g ) / ( 2 ρ 2 ) e + g = ⟨ N , x u u + x v v ⟩ = 0 e+g=\langle N,\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}\rangle=0 e + g = ⟨ N , x uu + x v v ⟩ = 0 H = 0 H=0 H = 0
(9) を示す。x ( u , v ) = ( u cos v , u sin v , 2 v ) \boldsymbol{x}(u,v)=(u\cos v,\ u\sin v,\ 2v) x ( u , v ) = ( u cos v , u sin v , 2 v ) x u = ( cos v , sin v , 0 ) \boldsymbol{x}_u=(\cos v,\sin v,0) x u = ( cos v , sin v , 0 ) x v = ( − u sin v , u cos v , 2 ) \boldsymbol{x}_v=(-u\sin v,\ u\cos v,\ 2) x v = ( − u sin v , u cos v , 2 )
E = 1 , F = 0 , G = u 2 + 4 E=1,\qquad F=0,\qquad G=u^2+4 E = 1 , F = 0 , G = u 2 + 4 である。G − E = u 2 + 3 > 0 G-E=u^2+3>0 G − E = u 2 + 3 > 0 E = G E=G E = G 定義 1.7 の意味の等温座標でない。x u u = 0 \boldsymbol{x}_{uu}=0 x uu = 0 x v v = ( − u cos v , − u sin v , 0 ) \boldsymbol{x}_{vv}=(-u\cos v,\ -u\sin v,\ 0) x v v = ( − u cos v , − u sin v , 0 )
x u u + x v v = ( − u cos v , − u sin v , 0 ) \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=(-u\cos v,\ -u\sin v,\ 0) x uu + x v v = ( − u cos v , − u sin v , 0 ) であり、u ≠ 0 u\ne0 u = 0 §E23.6 命題 4.3 により常螺旋面（母数c = 2 c=2 c = 2 H ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0 定理 5.1 (1) の右辺2 H N 2HN 2 H N x u u + x v v \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv} x uu + x v v 定理 5.1 が座標( u , v ) (u,v) ( u , v ) 公式 1.8 のΔ x = λ − 2 ( x u u + x v v ) \Delta\boldsymbol{x}=\lambda^{-2}(\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}) Δ x = λ − 2 ( x uu + x v v ) x u u + x v v \boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv} x uu + x v v Δ x \Delta\boldsymbol{x} Δ x 公式 1.6 でΔ x \Delta\boldsymbol{x} Δ x det g = u 2 + 4 \sqrt{\det g}=\sqrt{u^2+4} det g = u 2 + 4 g 11 = 1 g^{11}=1 g 11 = 1 g 12 = 0 g^{12}=0 g 12 = 0 g 22 = 1 / ( u 2 + 4 ) g^{22}=1/(u^2+4) g 22 = 1/ ( u 2 + 4 )
Δ x = 1 u 2 + 4 [ ∂ ∂ u ( u 2 + 4 x u ) + ∂ ∂ v ( x v u 2 + 4 ) ] = 1 u 2 + 4 [ u u 2 + 4 ( cos v , sin v , 0 ) + ( − u cos v , − u sin v , 0 ) u 2 + 4 ] = 0 \Delta\boldsymbol{x}=\frac{1}{\sqrt{u^2+4}}\Bigl[\frac{\partial}{\partial u}\bigl(\sqrt{u^2+4}\,\boldsymbol{x}_u\bigr)+\frac{\partial}{\partial v}\Bigl(\frac{\boldsymbol{x}_v}{\sqrt{u^2+4}}\Bigr)\Bigr]
=\frac{1}{\sqrt{u^2+4}}\Bigl[\frac{u}{\sqrt{u^2+4}}(\cos v,\sin v,0)+\frac{(-u\cos v,-u\sin v,0)}{\sqrt{u^2+4}}\Bigr]=0 Δ x = u 2 + 4 1 [ ∂ u ∂ ( u 2 + 4 x u ) + ∂ v ∂ ( u 2 + 4 x v ) ] = u 2 + 4 1 [ u 2 + 4 u ( cos v , sin v , 0 ) + u 2 + 4 ( − u cos v , − u sin v , 0 ) ] = 0 であり、この座標でもΔ x = 0 = 2 H N \Delta\boldsymbol{x}=0=2HN Δ x = 0 = 2 H N
(10) を示す。δ \delta δ g i j = δ i j g^{ij}=\delta^{ij} g ij = δ ij det g = 1 \sqrt{\det g}=1 det g = 1 命題 2.2 (2) により∥ d x ∥ 2 = ∥ x u ∥ 2 + ∥ x v ∥ 2 = E + G \lVert d\boldsymbol{x}\rVert^2=\lVert\boldsymbol{x}_u\rVert^2+\lVert\boldsymbol{x}_v\rVert^2=E+G ∥ d x ∥ 2 = ∥ x u ∥ 2 + ∥ x v ∥ 2 = E + G E δ ( x ; D ) = 1 2 ∬ D ( E + G ) d u d v E_\delta(\boldsymbol{x};D)=\frac12\iint_D(E+G)\,du\,dv E δ ( x ; D ) = 2 1 ∬ D ( E + G ) d u d v F 2 ≥ 0 F^2\ge0 F 2 ≥ 0
E + G 2 ≥ E G ≥ E G − F 2 \frac{E+G}{2}\ge\sqrt{EG}\ge\sqrt{EG-F^2} 2 E + G ≥ E G ≥ E G − F 2 であるから、積分して不等式を得る。第一の等号はE = G E=G E = G F = 0 F=0 F = 0
被積分関数の差E + G 2 − E G − F 2 \frac{E+G}{2}-\sqrt{EG-F^2} 2 E + G − E G − F 2 D D D E = G E=G E = G F = 0 F=0 F = 0 q ∈ D q\in D q ∈ D q q q D D D D D D D D D E = G E=G E = G F = 0 F=0 F = 0
常螺旋面x ( u , v ) = ( u cos v , u sin v , 2 v ) \boldsymbol{x}(u,v)=(u\cos v,\ u\sin v,\ 2v) x ( u , v ) = ( u cos v , u sin v , 2 v ) E = 1 E=1 E = 1 F = 0 F=0 F = 0 G = u 2 + 4 G=u^2+4 G = u 2 + 4 E + G 2 = u 2 + 5 2 > u 2 + 4 \frac{E+G}{2}=\frac{u^2+5}{2}>\sqrt{u^2+4} 2 E + G = 2 u 2 + 5 > u 2 + 4 ( u 2 + 5 ) 2 − 4 ( u 2 + 4 ) = ( u 2 + 3 ) 2 > 0 (u^2+5)^2-4(u^2+4)=(u^2+3)^2>0 ( u 2 + 5 ) 2 − 4 ( u 2 + 4 ) = ( u 2 + 3 ) 2 > 0 E δ ( x ; D ) > A E_\delta(\boldsymbol{x};D)>A E δ ( x ; D ) > A ▨