§E2.26Čech 完備性

証明.$Z$の開集合からなる列$(U_n)_{n\geq1}$が$A=\bigcap_{n\geq1}U_n$を満たすとする。各$Z\setminus U_n$は$Z$の閉集合であり、§E1.2 定理 3.2 (2)により$Z\setminus A=\bigcup_{n\geq1}(Z\setminus U_n)$であるから、$Z\setminus A$は$Z$の$F_\sigma$集合である。

逆に、$Z$の閉集合からなる列$(F_n)_{n\geq1}$が$Z\setminus A=\bigcup_{n\geq1}F_n$を満たすとする。各$Z\setminus F_n$は$Z$の開集合であり、§E1.2 定理 3.2 (1)により$Z\setminus(Z\setminus A)=\bigcap_{n\geq1}(Z\setminus F_n)$である。$A\subseteq Z$であるから、§E1.2 定理 3.2 (3)により左辺は$A$であり、$A$は$Z$の$G_\delta$集合である。▨

証明.$f\in C(X,\R)$とする。§E2.16 命題 4.3 (1)により、零集合$Z(f)$は閉$G_\delta$集合である。

逆に、$F=\bigcap_{n\in\NN}U_n$を閉$G_\delta$集合とし、各$U_n$を開集合とする。§E2.18 定理 3.1により、$F$の上で$0$、$X\setminus U_n$の上で$1$をとる連続写像$f_n\colon X\to[0,1]$が存在する。§E2.16 命題 4.3 (5)により$\bigcap_{n\in\NN}Z(f_n)$は零集合である。この共通部分は$F$を含み、$x\notin F$ならばある$n$について$x\notin U_n$であって$f_n(x)=1$であるから$x$を含まない。ゆえに$F=\bigcap_{n\in\NN}Z(f_n)$である。▨

証明.主張 (1)を示す。各$n\geq1$について、$X$の開集合の列$(U_{n,m})_{m\geq1}$で$A_n=\bigcap_{m\geq1}U_{n,m}$を満たすものをとる。このとき$\bigcap_{n\geq1}A_n=\bigcap_{n\geq1}\bigcap_{m\geq1}U_{n,m}$は可算個（§E1.18 定理 5.2 (2)）の開集合の共通部分であるから、$X$の$G_\delta$集合である。

主張 (2)と主張 (3)の証明は演習とする（問題 5.1、問題 5.2）。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)は補題 1.2より明らかである。また、コンパクト部分空間の閉部分空間はコンパクトであるから、(2)$\Rightarrow$(3)が従う。逆に、Hausdorff 空間のコンパクト部分集合は閉なので、(3)$\Rightarrow$(2)が従う。▨

証明.主張 (1)は明らかである。

主張 (2)を示す。$X$を Čech 完備空間、$Y\subset X$を$G_\delta$集合とする。$X$はあるコンパクト化$cX$の$G_\delta$集合なので、補題 1.4 (2)より$Y$は$cX$の$G_\delta$集合であり、よって$Y$はそのコンパクト化$\tpcl[cX]{Y}$の$G_\delta$集合である。

主張 (3)を示す。局所コンパクト Hausdorff 空間は、§E2.24 系 1.10により任意のコンパクト化の開集合であり、とくに$G_\delta$集合であるから、Čech 完備である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$X$のコンパクト化$cX$であって$X$が$cX$の$G_\delta$集合であるものをとると、補題 1.2により$cX\setminus X$は$cX$の$F_\sigma$集合である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$X$のコンパクト化$cX$であって$cX\setminus X$が$cX$の$F_\sigma$集合であるものをとり、$cX$の閉集合からなる列$(E_n)_{n\geq1}$で$cX\setminus X=\bigcup_{n\geq1}E_n$を満たすものをとる。$\pi\colon\beta X\to cX$を§E2.22 系 3.5の写像とすると、$\pi$は連続であるから、§E2.12 命題 1.6により各$\pi^{-1}(E_n)$は$\beta X$の閉集合である。§E1.2 定理 4.1 (1)により

であり、§E2.22 系 5.3 (1)により左辺は$\beta X\setminus X$である。ゆえに$\beta X\setminus X$は$\beta X$の$F_\sigma$集合である。

(3)$\Rightarrow$(6)を示す。$cX$を$X$の任意のコンパクト化とし、$\pi\colon\beta X\to cX$を§E2.22 系 3.5の完全写像とすると、これは全射閉写像なので、$\beta X\setminus X$が$\beta X$の$F_{\sigma}$集合であることと§E2.22 系 5.3 (2)より$\pi(\beta X\setminus X) = cX \setminus X$も$cX$の$F_{\sigma}$集合である。

(6)$\Rightarrow$(5)を示す。$cX$を$X$の任意のコンパクト化とすると、$cX\setminus X$は$cX$の$F_\sigma$集合であるから、補題 1.2により$X$は$cX$の$G_\delta$集合である。

(5)$\Rightarrow$(4)を示す。§E2.22 系 2.4により$\beta X$は$X$のコンパクト化であるから、このコンパクト化へ(5)を適用すると、$X$は$\beta X$の$G_\delta$集合である。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。§E2.22 系 2.4により$\beta X$は$X$のコンパクト化であるから、$cX=\beta X$が(1)の求めるコンパクト化を与える。▨

証明. いずれの同値性も定理 2.3と補題 1.6よりただちに従う。▨

証明.$X$が Čech 完備であるとし、コンパクト化$cX$の開集合の列$(W_n)_{n\in\NN}$を$X=\bigcap_n W_n$となるように取る。各$n$について

とおく。$cX$は§E2.19 命題 6.10により正則なので、各$x\in X$に対して$x\in V\subseteq\tpcl[cX]{V}\subseteq W_n$を満たす開集合$V$が存在する。したがって$\mathcal U_n$は$X$の開被覆である。

有限交差性をもつ$X$の部分集合族$\mathcal A$が、各$\mathcal U_n$の少なくとも一つの元を含むとする。閉集合族

は有限交差性をもつので、$cX$のコンパクト性により、その共通部分から点$p$を取ることができる。各$n$について、$V_n\cap X\in\mathcal A$かつ$\tpcl[cX]{V_n}\subseteq W_n$を満たす開集合$V_n$を取ると、

である。ゆえに$p\in X$であり、すべての$A\in\mathcal A$について$p\in\tpcl[X]{A}$となる。したがって$(\mathcal U_n)_{n\in\NN}$は完全な開被覆列である。

逆に、$(\mathcal U_n)_{n\in\NN}$を$X$の完全な開被覆列とする。§E2.22 系 2.4により、$X$のコンパクト化$cX$を取る。$X$の開集合$U$に対して

とおく。$U^*$は$cX$の開集合であり、$U^*\cap X=U$であるから、$X\subseteq\bigcap_nW_n$である。

$p\in\bigcap_nW_n$とする。$p$の$cX$における開近傍$O$に対する$O\cap X$の全体を$\mathcal A_p$とする。$X$の稠密性により$\mathcal A_p$は有限交差性をもつ。各$n$について$p\in U_n^*$を満たす$U_n\in\mathcal U_n$が存在し、$U_n^*\cap X=U_n$なので$U_n\in\mathcal A_p$である。完全な開被覆列の定義により、すべての$A\in\mathcal A_p$に対して$x\in\tpcl[X]{A}$を満たす点$x\in X$が存在する。

$p\ne x$ならば、$cX$の Hausdorff 性により、$p$と$x$の互いに交わらない開近傍$O_p,O_x$が存在する。$O_p\cap X\in\mathcal A_p$であるが、この集合は$x$の開近傍$O_x\cap X$と交わらない。これは$x\in\tpcl[X]{O_p\cap X}$に反する。したがって$p=x\in X$であり、$X=\bigcap_nW_n$となる。ゆえに$X$は Čech 完備である。▨

証明.$X=\prod_{n\in \N}X_n$、$K=\prod_{n\in \N}\beta X_n$とおく。各$X_n$は Čech 完備であるから、定理 2.3 (4)により$\beta X_n$の$G_\delta$集合であり、補題 1.4 (3)により$X$は$K$の$G_\delta$集合である。§E2.19 定理 8.2と§E2.15 定理 2.8 (3)により$K$はコンパクト Hausdorff 空間であるから、§E2.22 補題 1.3 (2)により$\tpcl[K]{X}$は$X$のコンパクト化であり、$X$は$\tpcl[K]{X}$の$G_\delta$集合である。§E2.15 系 2.9により$X$は T3½ 空間であるから、定義 2.1により$X$は Čech 完備である。▨

証明.主張 (1)は定理 2.3と$F_{\sigma}$集合の逆像が$F_{\sigma}$であることと§E2.22 定理 5.2より得られる等式$(\beta f)^{-1}(\beta Y\setminus Y) = \beta X\setminus X$からただちに従う。主張 (2)も同じく、定理 2.3と補題 1.5と、§E2.22 定理 5.2より得られる等式$\beta f(\beta X\setminus X) = \beta Y\setminus Y$からただちに従う。▨

証明.主張 (1)は包含写像$F\to X$が固有閉写像であることと定理 2.8 (1)より、主張 (2)は標準射影$X\times K\to X$が固有閉写像であることと定理 2.8 (1)よりただちに従う。▨

証明.主張 (1)を示す。$X\subseteq Y$も$Y\subseteq \beta Y$も稠密であるから、$X$は$\beta Y$で稠密である。よって$\beta Y$は$X$のあるコンパクト化である。$X$は Čech 完備なので、定理 2.3 (5)をコンパクト化$X\subseteq\beta Y$へ適用すると、$\beta Y$の開集合からなる列$(W_n)_{n\geq1}$で$X=\bigcap_{n\geq1}W_n$を満たすものが存在する。このとき$X = \bigcap_{n\geq1}(W_n\cap Y)$であるから、$X$は$Y$の$G_\delta$集合である。

主張 (2)を示す。$Z=\tpcl[Y]{X}$とおく。§E2.15 系 2.2により$Z$は T3½ 空間である。§E2.22 補題 1.3 (1)により、$X$は$Z$で稠密であり、$X$が$Z$から受ける部分空間位相は$Y$から受けるものに一致する。ゆえに主張 (1)を$Z$へ適用すると、$X$は$Z$の$G_\delta$集合である。▨

証明.$n\in \N$とする。各$x\in X$に対して$V_n(x):=Y\setminus \tpcl[Y]{X\setminus B_X(x, 2^{-n})}$と置き、

と定義する。任意の$n\in \N$と$x\in X$に対して$B_X(x, 2^{-n})\subseteq V_n(x)$が成り立つので、$X\subseteq \bigcap_{n\in \N} U_n$である。

$y\in\bigcap_{n\in \N} U_n$を任意にとる。このとき、任意の$n\in\N$に対してある$a_n\in X$が存在して$y\in V_n(a_n)$が成り立つ。$W_n := \bigcap_{k\leq n}V_k(a_k)$とおけば、これは$y\in W_n$となる$Y$の開集合であり、$X\subseteq Y$は稠密なので

従って、$F_n:=\tpcl[X]{X\cap W_n}$とおけば、§E2.5 補題 2.3より、$(F_n)_{n\in\N}$は$\operatorname{diam}_X(F_n) \leq 2^{1-n}\to 0$($n\to \infty$) を満たす$X$の閉部分集合の減少列となるので、$(X, d)$の完備性と§E2.5 定理 2.5より点$x_\infty\in \bigcap_{n\in \N}F_n$をとることができる。

$y=x_\infty$を示せば良い。$y\neq x_\infty$と仮定すると、$Y$は Hausdorff なので、開集合

をとることができる。すると、$X\cap W_x$は$x_\infty$を含む$X$の開集合なので、ある$\ep > 0$が存在して$B_X(x_\infty, \ep)\subseteq W_x\cap X$が成り立つ。さらに$x_\infty \in \bigcap_{n\in\N}F_n$なので、$\operatorname{diam}_X(F_n)\to 0$($n\to \infty$) であることから、ある$n\in \N$が存在して

が成り立つ。一方、$W_n\cap W_y$は$y$を含む開集合なので、$X\subseteq Y$が稠密であることから、

となり、矛盾である。よって$y=x_\infty$でなければならない。▨

証明. 必要性は定理 3.1より明らかであり、十分性は§E2.10 系 6.4より明らかである。▨

証明.$(X,d)$が完備距離化可能であるとする。距離空間は T3½ である。定理 3.1より$X$は任意のコンパクト化$cX$の中で$G_\delta$集合である。ゆえに定義 2.1により$X$は Čech 完備である。

逆に、$X$が Čech 完備であるとする。$(\widehat X,\widehat d,\iota)$を$(X, d)$の完備化とする。$X\subseteq \widehat X$は稠密で、$\widehat X$は距離空間なので T3½ であり、さらに$X$は Čech 完備なので、定理 2.10 (1)より、$X$は$\widehat X$の$G_\delta$部分集合である。よって§E2.10 定理 6.2より$X$は完備距離化可能である。▨

証明.§E2.10 例 6.6により、制限距離を入れた$\R\setminus\Q$は完備距離化可能であり、かつ制限距離そのものについて完備でない。ゆえに系 3.3により$\R\setminus\Q$は Čech 完備である。

$\Q\subset\R$は§D1.4 系 2.2により稠密であるため、§E2.11 命題 2.9 (2)により$\R\setminus\Q\subset\R$は開ではあり得ない。よって、$\R\setminus\Q$は§D1.4 補題 2.3により Hausdorff 空間$\R$で稠密であるから、§E2.24 命題 4.1により局所コンパクトではない。▨

証明.§E2.24 補題 1.9により$\tpint[cX]{X}=X_{\mathrm{lc}}$であり、§E2.11 命題 2.5 (3)により$cX\setminus\tpint[cX]{X}=\tpcl[cX]{cX\setminus X}$であるから、$\tpcl[cX]{cX\setminus X} = cX\setminus X_{\mathrm{lc}}$である。▨

証明.$R=cX\setminus X$とおく。$\tpcl[cX]{cX\setminus X}$は$cX\setminus X$のコンパクト化であり、補題 4.1により$\tpcl[cX]{cX\setminus X}\setminus (cX\setminus X) = X\setminus X_{\mathrm{lc}}$である。よって主張は系 2.4 (1)$\Leftrightarrow$(2)を$cX\setminus X$へ適用することによりただちに従う。▨

証明.§E2.24 命題 1.4 (1)により$X_{\mathrm{lc}}$は$X$の開集合であるから、$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$は$X$の閉集合である。$X$はσ-コンパクトであるから、§E2.25 系 2.2 (1)により部分空間$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$はσ-コンパクトである。ゆえに定理 4.2により剰余$cX\setminus X$は Čech 完備である。▨

証明.§E2.24 例 5.1により$D$は局所コンパクト Hausdorff 空間であり、§E2.19 例 2.9 (3)により$D$はコンパクトでないから、§E2.24 命題 2.2 (3)により$\alpha D$は$D$の一点コンパクト化である。§E2.22 定義 1.1により剰余$R=\alpha D\setminus D$は一点集合であり、$\alpha D$は Hausdorff である。ゆえに$R$は、§E2.19 例 2.3によりコンパクトであり、§E2.15 定理 2.1 (3)により Hausdorff であるから、補題 2.2 (1)により Čech 完備である。一方、§E2.25 例 4.1により$D$はσ-コンパクトでない。

$D$は局所コンパクトであるから§E2.24 定義 1.3により$D_{\mathrm{lc}}=D$であり、§E2.19 例 2.3と§E2.25 例 1.4 (1)により$D\setminus D_{\mathrm{lc}}=\emptyset$はσ-コンパクトである。すなわち$D$自身はσ-コンパクトでないにもかかわらず定理 4.2 (1)は成り立っており、剰余の Čech 完備性は定理 4.2からも従う。▨