§E2.51一様空間

最終更新

距離空間の間の写像の一様連続性は、連続性より強い条件として解析学で広く用いられる。しかし、この条件は距離が定める位相だけでは決まらない。たとえば半開区間(0,1](0,1]に通常の距離と逆数の差による距離を入れると、二つの距離は同じ位相を定めるが、恒等写像は一方の向きにだけ一様連続である。一様構造は、距離を用いずに写像の一様連続性を定めることができる構造であり、本記事では集合XXの直積X×XX\times Xの部分集合からなる族である近縁系によって定める。一様構造を備えた集合を一様空間という。距離は一様構造を定め、一様構造は位相を定める。距離空間、位相群、位相線形空間には一様構造が自然に定まる。位相空間の位相が何らかの一様構造の定める位相に等しくなるための必要十分条件は、その位相空間が完全正則であることである。本記事では、一様空間の定義を導入し、その基本的な性質や代表的な例について解説する。

1 近縁系

定義 1.1.XXを集合とし、V,W⊆X×XV,W\subseteq X\times X、x∈Xx\in X、A⊆XA\subseteq Xとする。ΔX={(x,x)∣x∈X}\Delta_X=\{(x,x)\mid x\in X\}をXXの 対角集合 (diagonal) という。V−1={(y,x)∣(x,y)∈V}V^{-1}=\{(y,x)\mid (x,y)\in V\}をVVの 逆 (inverse) といい、V−1=VV^{-1}=Vが成り立つときVVは 対称 (symmetric) であるという。

V∘W={(x,z)∈X×X∣(x,y)∈W かつ (y,z)∈V を満たす y∈X が存在する}V\circ W=\{(x,z)\in X\times X\mid (x,y)\in W\text{ かつ }(y,z)\in V\text{ を満たす }y\in X\text{ が存在する}\}

をVVとWWの 合成 (composition) という。またV[x]={y∈X∣(x,y)∈V}V[x]=\{y\in X\mid (x,y)\in V\}、V[A]=⋃a∈AV[a]V[A]=\bigcup_{a\in A}V[a]と書く。

補題 1.2.XXを集合とし、U,V,W,V′,W′⊆X×XU,V,W,V',W'\subseteq X\times X、A⊆XA\subseteq Xとする。

  1. (U∘V)∘W=U∘(V∘W)(U\circ V)\circ W=U\circ(V\circ W)である。
  2. (V∘W)−1=W−1∘V−1(V\circ W)^{-1}=W^{-1}\circ V^{-1}である。
  3. (V∘W)[A]=V[W[A]](V\circ W)[A]=V[W[A]]である。
  4. V⊆V′V\subseteq V'かつW⊆W′W\subseteq W'ならばV∘W⊆V′∘W′V\circ W\subseteq V'\circ W'である。
  5. ΔX∘V=V∘ΔX=V\Delta_X\circ V=V\circ\Delta_X=Vである。とくにΔX⊆W\Delta_X\subseteq WならばV⊆V∘WV\subseteq V\circ WかつV⊆W∘VV\subseteq W\circ Vである。

証明. 演習とする（問題 9.1）。▨

定義 1.3 (近縁系).XXを集合とする。P(X×X)\mathcal P(X\times X)の部分集合U\mathcal UがXXの 近縁系 (system of entourages) であるとは、次の六条件がすべて成り立つことをいう。

  1. X×X∈UX\times X\in\mathcal Uである。
  2. V∈UV\in\mathcal UかつV⊆V′⊆X×XV\subseteq V'\subseteq X\times XならばV′∈UV'\in\mathcal Uである。
  3. V,V′∈UV,V'\in\mathcal UならばV∩V′∈UV\cap V'\in\mathcal Uである。
  4. 任意のV∈UV\in\mathcal UについてΔX⊆V\Delta_X\subseteq Vである。
  5. V∈UV\in\mathcal UならばV−1∈UV^{-1}\in\mathcal Uである。
  6. 任意のV∈UV\in\mathcal Uに対して、W∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たすW∈UW\in\mathcal Uが存在する。

U\mathcal Uの元を 近縁 (entourage) という。XXの近縁系をXXの 一様構造 (uniformity) ともいい、集合XXとXXの一様構造U\mathcal Uの組(X,U)(X,\mathcal U)を 一様空間 (uniform space) という。XXの近縁系U\mathcal U、U′\mathcal U'がU⊆U′\mathcal U\subseteq\mathcal U'を満たすとき、U′\mathcal U'はU\mathcal Uより 細かい (finer) といい、U\mathcal UはU′\mathcal U'より 粗い (coarser) という。

定義 1.4.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とする。部分集合B⊆U\mathcal B\subseteq\mathcal UがU\mathcal Uの 近縁基 (base of a uniformity) であるとは、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対してB⊆VB\subseteq Vを満たすB∈BB\in\mathcal Bが存在することをいう。部分集合S⊆U\mathcal S\subseteq\mathcal UがU\mathcal Uの 近縁準基 (subbase of a uniformity) であるとは、S\mathcal Sの有限個の元の共通部分の全体がU\mathcal Uの近縁基であることをいう。ここでS\mathcal Sの00個の元の共通部分はX×XX\times Xとする。

注意 1.5.XXを空でない集合とし、U\mathcal UをXXの近縁系とする。ΔX≠∅\Delta_X\neq\emptysetであるから、定義 1.3 条件 (d)により∅∉U\emptyset\notin\mathcal Uである。したがってU\mathcal Uは§E2.50 定義 1.1の意味でのX×XX\times X上のフィルターであり、XXの近縁系とは、X×XX\times X上のフィルターであって定義 1.3 条件 (d)、定義 1.3 条件 (e)、定義 1.3 条件 (f)を満たすものにほかならない。U\mathcal Uの近縁基B\mathcal Bは、X×X∈UX\times X\in\mathcal Uに含まれる元をもつから空でなく、B⊆U\mathcal B\subseteq\mathcal Uにより∅\emptysetを含まず、二つの元の共通部分はU\mathcal Uに属するからB\mathcal Bのある元を含む。したがってB\mathcal Bは§E2.50 定義 1.2の意味でのX×XX\times X上のフィルター基であり、定義 1.3 条件 (b)によりB\mathcal Bが生成するフィルターはU\mathcal Uである。X=∅X=\emptysetのときはX×X=∅X\times X=\emptysetであり、∅\emptysetの上にフィルターは存在しないが、{∅}\{\emptyset\}は定義 1.3の六条件を満たす。したがって、近縁系をX×XX\times X上のフィルターとして定義する流儀では、空集合の上に近縁系は存在しない。

注意 1.6. 一様空間の定め方には、ここで用いる近縁系のほかに、一様被覆系によるものと擬距離の族によるものがある。

XXを集合とする。P(X)\mathcal P(X)の部分集合P\mathcal Pで⋃P=X\bigcup\mathcal P=Xを満たすものを、P\mathcal P自身を添字集合とするXXの被覆（§E2.19 定義 1.2 (1)）とみなし、この注意でXXの被覆というときは、この形のものをいう。XXの被覆からなる空でない集合C\mathfrak Cが次の二条件を満たすとき、C\mathfrak CをXXの一様被覆系といい、C\mathfrak Cの元を一様被覆という。

  1. C\mathfrak Cのある元を細分（§E2.19 定義 1.2 (3)）にもつXXの被覆はC\mathfrak Cに属する。
  2. 任意のP,Q∈C\mathcal P,\mathcal Q\in\mathfrak Cに対して、P\mathcal PとQ\mathcal Qの両方の星型細分（§E2.58 定義 1.5 (3)）であるC\mathfrak Cの元が存在する。星型細分の定義はXXの位相によらない。

XXの近縁系U\mathcal Uに、あるV∈UV\in\mathcal Uについて{V[x]∣x∈X}\{V[x]\mid x\in X\}を細分にもつXXの被覆の全体を対応させる。XXの一様被覆系C\mathfrak Cに、{⋃A∈PA×A∣P∈C}\bigl\{\bigcup_{A\in\mathcal P}A\times A\bigm|\mathcal P\in\mathfrak C\bigr\}を近縁基とする近縁系を対応させる。XXが空でないとき、この二つの対応は、XXの近縁系の全体とXXの一様被覆系の全体の間の互いに逆な全単射である（問題 9.3）。X=∅X=\emptysetのときは、近縁系は{∅}\{\emptyset\}だけであるが、一様被覆系は{{∅}}\{\{\emptyset\}\}と{∅,{∅}}\{\emptyset,\{\emptyset\}\}の二つであるから、全単射は存在しない。

擬距離の族が定める一様構造は§E2.52 定義 1.1で定義する。任意の一様構造は、それに関して一様連続な擬距離の族から定まる（§E2.52 定理 2.2 (3)）。

補題 1.7.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とする。

  1. 任意のV∈UV\in\mathcal Uについて、V∩V−1V\cap V^{-1}はVVに含まれる対称な近縁である。とくに、対称な近縁の全体はU\mathcal Uの近縁基である。
  2. 任意のV∈UV\in\mathcal Uに対して、W∘W∘W⊆VW\circ W\circ W\subseteq Vを満たす対称な近縁WWが存在する。このWWはW∘W⊆VW\circ W\subseteq Vも満たす。

証明.主張 (1)を示す。V∈UV\in\mathcal Uとする。定義 1.3 条件 (e)によりV−1∈UV^{-1}\in\mathcal Uであり、定義 1.3 条件 (c)によりV∩V−1∈UV\cap V^{-1}\in\mathcal Uである。(V∩V−1)−1=V−1∩V(V\cap V^{-1})^{-1}=V^{-1}\cap VであるからV∩V−1V\cap V^{-1}は対称であり、V∩V−1⊆VV\cap V^{-1}\subseteq Vである。

主張 (2)を示す。V∈UV\in\mathcal Uとする。定義 1.3 条件 (f)により、W1∘W1⊆VW_1\circ W_1\subseteq Vを満たすW1∈UW_1\in\mathcal Uと、W2∘W2⊆W1W_2\circ W_2\subseteq W_1を満たすW2∈UW_2\in\mathcal Uが存在する。W=W2∩W2−1W=W_2\cap W_2^{-1}とおくと、主張 (1)によりWWはW2W_2に含まれる対称な近縁である。定義 1.3 条件 (d)によりΔX⊆W2\Delta_X\subseteq W_2であるから、補題 1.2 (4)、補題 1.2 (5)、補題 1.2 (1)により

W∘W∘W⊆W2∘W2∘W2⊆(W2∘W2)∘(W2∘W2)⊆W1∘W1⊆VW\circ W\circ W\subseteq W_2\circ W_2\circ W_2\subseteq(W_2\circ W_2)\circ(W_2\circ W_2)\subseteq W_1\circ W_1\subseteq V

である。ΔX⊆W\Delta_X\subseteq Wであるから、補題 1.2 (5)によりW∘W⊆W∘W∘W⊆VW\circ W\subseteq W\circ W\circ W\subseteq Vである。▨

命題 1.8.XXを集合とし、B\mathcal BをP(X×X)\mathcal P(X\times X)の部分集合とする。このとき、B\mathcal BがXXのある近縁系の近縁基であるための必要十分条件は、次の四条件がすべて成り立つことである。

  1. B≠∅\mathcal B\neq\emptysetであり、任意のB1,B2∈BB_1,B_2\in\mathcal Bに対してB⊆B1∩B2B\subseteq B_1\cap B_2を満たすB∈BB\in\mathcal Bが存在する。
  2. 任意のB∈BB\in\mathcal BについてΔX⊆B\Delta_X\subseteq Bである。
  3. 任意のB∈BB\in\mathcal Bに対して、B′⊆B−1B'\subseteq B^{-1}を満たすB′∈BB'\in\mathcal Bが存在する。
  4. 任意のB∈BB\in\mathcal Bに対して、B′∘B′⊆BB'\circ B'\subseteq Bを満たすB′∈BB'\in\mathcal Bが存在する。

このとき、B\mathcal Bを近縁基とするXXの近縁系はただ一つであり、

UB={V⊆X×X∣B⊆V を満たす B∈B が存在する}\mathcal U_{\mathcal B}=\{V\subseteq X\times X\mid B\subseteq V\text{ を満たす }B\in\mathcal B\text{ が存在する}\}

に等しい。

証明. 演習とする（問題 9.2）。▨

命題 1.9.XXを集合とし、S\mathcal SをP(X×X)\mathcal P(X\times X)の部分集合で、次の三条件を満たすものとする。

  1. 任意のS∈SS\in\mathcal SについてΔX⊆S\Delta_X\subseteq Sである。
  2. 任意のS∈SS\in\mathcal Sに対して、S′⊆S−1S'\subseteq S^{-1}を満たすS′∈SS'\in\mathcal Sが存在する。
  3. 任意のS∈SS\in\mathcal Sに対して、S′∘S′⊆SS'\circ S'\subseteq Sを満たすS′∈SS'\in\mathcal Sが存在する。

B\mathcal BをS\mathcal Sの有限個の元の共通部分の全体とする。ここでS\mathcal Sの00個の元の共通部分はX×XX\times Xとする。このときB\mathcal BはXXのある近縁系U\mathcal Uの近縁基であり、S\mathcal SはU\mathcal Uの近縁準基である。U\mathcal Uは、S\mathcal Sを含むXXの近縁系のうち最も粗いものである。

証明.X×X∈BX\times X\in\mathcal BであるからB≠∅\mathcal B\neq\emptysetであり、B\mathcal Bの二つの元の共通部分はS\mathcal Sの有限個の元の共通部分であるからB\mathcal Bに属する。条件 (a)により、B\mathcal Bの各元はΔX\Delta_Xを含む。B=S1∩⋯∩SkB=S_1\cap\cdots\cap S_k（k∈N≥0k\in\N、Si∈SS_i\in\mathcal S）とする。条件 (b)により、各iiについてSi′⊆Si−1S_i'\subseteq S_i^{-1}を満たすSi′∈SS_i'\in\mathcal Sをとると、S1′∩⋯∩Sk′∈BS_1'\cap\cdots\cap S_k'\in\mathcal Bであり

S1′∩⋯∩Sk′⊆S1−1∩⋯∩Sk−1=B−1S_1'\cap\cdots\cap S_k'\subseteq S_1^{-1}\cap\cdots\cap S_k^{-1}=B^{-1}

である。条件 (c)により、各iiについてSi′′∘Si′′⊆SiS_i''\circ S_i''\subseteq S_iを満たすSi′′∈SS_i''\in\mathcal Sをとり、B′′=S1′′∩⋯∩Sk′′B''=S_1''\cap\cdots\cap S_k''とおくと、B′′∈BB''\in\mathcal Bであり、補題 1.2 (4)により各iiについてB′′∘B′′⊆Si′′∘Si′′⊆SiB''\circ B''\subseteq S_i''\circ S_i''\subseteq S_iであるから、B′′∘B′′⊆BB''\circ B''\subseteq Bである。k=0k=0のときもB′′=X×XB''=X\times XはB′′∘B′′⊆X×X=BB''\circ B''\subseteq X\times X=Bを満たす。

命題 1.8により、B\mathcal Bを近縁基とするXXの近縁系U=UB\mathcal U=\mathcal U_{\mathcal B}が存在する。S\mathcal Sの有限個の元の共通部分の全体B\mathcal BがU\mathcal Uの近縁基であるから、S\mathcal SはU\mathcal Uの近縁準基である。U′\mathcal U'をS\mathcal Sを含むXXの近縁系とすると、定義 1.3 条件 (a)と定義 1.3 条件 (c)によりB⊆U′\mathcal B\subseteq\mathcal U'であり、定義 1.3 条件 (b)によりUB⊆U′\mathcal U_{\mathcal B}\subseteq\mathcal U'である。▨

2 一様位相

命題 2.1.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とし、

OU={O⊆X∣任意の x∈O に対して V[x]⊆O を満たす V∈U が存在する}\mathcal O_{\mathcal U}=\{O\subseteq X\mid \text{任意の }x\in O\text{ に対して }V[x]\subseteq O\text{ を満たす }V\in\mathcal U\text{ が存在する}\}

とおく。このとき、OU\mathcal O_{\mathcal U}はXXの位相であり、任意のx∈Xx\in Xについて

NOU(x)={V[x]∣V∈U}\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)=\{V[x]\mid V\in\mathcal U\}

が成り立つ。

証明. 各x∈Xx\in Xに対してN(x)={V[x]∣V∈U}\mathcal N(x)=\{V[x]\mid V\in\mathcal U\}とおく。x∈Xx\in Xとする。定義 1.3 条件 (a)によりX=(X×X)[x]∈N(x)X=(X\times X)[x]\in\mathcal N(x)である。V∈UV\in\mathcal Uについて、定義 1.3 条件 (d)により(x,x)∈V(x,x)\in Vであるからx∈V[x]x\in V[x]である。V∈UV\in\mathcal UとV[x]⊆M⊆XV[x]\subseteq M\subseteq Xをとると、V′=V∪({x}×M)V'=V\cup(\{x\}\times M)は定義 1.3 条件 (b)により近縁であり、V′[x]=V[x]∪M=MV'[x]=V[x]\cup M=MであるからM∈N(x)M\in\mathcal N(x)である。V,V′∈UV,V'\in\mathcal UについてV[x]∩V′[x]=(V∩V′)[x]V[x]\cap V'[x]=(V\cap V')[x]であり、定義 1.3 条件 (c)によりV∩V′∈UV\cap V'\in\mathcal Uであるから、V[x]∩V′[x]∈N(x)V[x]\cap V'[x]\in\mathcal N(x)である。V∈UV\in\mathcal Uとし、定義 1.3 条件 (f)によりW∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たすW∈UW\in\mathcal Uをとる。y∈W[x]y\in W[x]ならば、補題 1.2 (3)によりW[y]⊆W[W[x]]=(W∘W)[x]⊆V[x]W[y]\subseteq W[W[x]]=(W\circ W)[x]\subseteq V[x]であり、すでに示した上位集合についての性質によりV[x]∈N(y)V[x]\in\mathcal N(y)である。ゆえに{y∈X∣V[x]∈N(y)}\{y\in X\mid V[x]\in\mathcal N(y)\}はW[x]∈N(x)W[x]\in\mathcal N(x)を含み、同じ性質によりN(x)\mathcal N(x)に属する。以上により、割り当てx↦N(x)x\mapsto\mathcal N(x)は§E2.11 定義 6.5の五条件を満たす。

N(x)\mathcal N(x)は上位集合で閉じているから、O⊆XO\subseteq Xとx∈Ox\in Oについて、O∈N(x)O\in\mathcal N(x)であることとV[x]⊆OV[x]\subseteq Oを満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在することは同値である。したがってOU\mathcal O_{\mathcal U}は§E2.11 補題 6.7の位相ON\mathcal O_{\mathcal N}に等しく、§E2.11 補題 6.7によりXXの位相である。§E2.11 補題 6.8により、すべてのx∈Xx\in XについてNOU(x)=N(x)\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)=\mathcal N(x)である。▨

定義 2.2.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とする。命題 2.1の位相OU\mathcal O_{\mathcal U}をU\mathcal Uが定める位相、または 一様位相 (uniform topology) という。一様空間を位相空間とみなすときは一様位相を入れる。位相空間(X,O)(X,\mathcal O)とXXの一様構造U\mathcal UについてOU=O\mathcal O_{\mathcal U}=\mathcal Oが成り立つとき、U\mathcal UはO\mathcal Oと 両立する (compatible) という。O\mathcal Oと両立するXXの一様構造が存在するとき、(X,O)(X,\mathcal O)は 一様化可能 (uniformizable) であるという。

補題 2.3.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とし、X×XX\times Xには一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}に関する積位相を入れる。

  1. 任意のA⊆XA\subseteq XについてA‾=⋂V∈UV[A]\tpcl{A}=\bigcap_{V\in\mathcal U}V[A]である。
  2. 任意のM⊆X×XM\subseteq X\times Xについてcl⁡X×X(M)=⋂V∈UV∘M∘V\tpcl[X\times X]{M}=\bigcap_{V\in\mathcal U}V\circ M\circ Vである。
  3. cl⁡X×X(ΔX)=⋂U\tpcl[X\times X]{\Delta_X}=\bigcap\mathcal Uである。

証明. 演習とする（問題 9.4）。▨

補題 2.4.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とし、X×XX\times Xには一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}に関する積位相を入れる。

  1. 任意のV∈UV\in\mathcal Uについて、VVのX×XX\times Xにおける内部は近縁である。
  2. X×XX\times Xの開集合である対称な近縁の全体は、U\mathcal Uの近縁基である。
  3. X×XX\times Xの閉集合である対称な近縁の全体は、U\mathcal Uの近縁基である。

証明.σ ⁣:X×X→X×X\sigma\colon X\times X\to X\times Xをσ(x,y)=(y,x)\sigma(x,y)=(y,x)で定める。σ\sigmaと二つの射影との合成はそれぞれもう一方の射影であるから、積位相が§E2.14 定義 1.9により射影による始位相であることと§E2.12 定理 3.4により、σ\sigmaは連続である。σ∘σ\sigma\circ\sigmaは恒等写像であるから、X×XX\times Xの任意の部分集合MMについてσ(M)=σ−1(M)=M−1\sigma(M)=\sigma^{-1}(M)=M^{-1}である。

主張 2.4.1.MMをX×XX\times Xの対称な部分集合とする。このとき、int⁡X×X(M)\tpint[X\times X]{M}とcl⁡X×X(M)\tpcl[X\times X]{M}はともに対称である。

証明.σ(int⁡X×X(M))\sigma(\tpint[X\times X]{M})は開集合int⁡X×X(M)\tpint[X\times X]{M}のσ\sigmaによる逆像であるから開集合であり、σ(M)=M\sigma(M)=Mに含まれるので、§E2.11 命題 2.5 (1)によりσ(int⁡X×X(M))⊆int⁡X×X(M)\sigma(\tpint[X\times X]{M})\subseteq\tpint[X\times X]{M}である。この包含にσ\sigmaを施すと逆の包含を得るから、(int⁡X×X(M))−1=σ(int⁡X×X(M))=int⁡X×X(M)(\tpint[X\times X]{M})^{-1}=\sigma(\tpint[X\times X]{M})=\tpint[X\times X]{M}である。同様に、§E2.12 命題 1.6 (2)によりσ(cl⁡X×X(M))\sigma(\tpcl[X\times X]{M})はMMを含む閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)によりcl⁡X×X(M)⊆σ(cl⁡X×X(M))\tpcl[X\times X]{M}\subseteq\sigma(\tpcl[X\times X]{M})であり、この包含にσ\sigmaを施すと逆の包含を得るから、(cl⁡X×X(M))−1=cl⁡X×X(M)(\tpcl[X\times X]{M})^{-1}=\tpcl[X\times X]{M}である。▨

主張 (1)を示す。V∈UV\in\mathcal Uとし、補題 1.7 (2)によりW∘W∘W⊆VW\circ W\circ W\subseteq Vを満たす対称な近縁WWをとる。(x,y)∈W(x,y)\in Wとする。命題 2.1によりW[x]W[x]とW[y]W[y]はそれぞれxxとyyの近傍であるから、x∈G⊆W[x]x\in G\subseteq W[x]、y∈G′⊆W[y]y\in G'\subseteq W[y]を満たす開集合G,G′G,G'が存在し、§E2.14 補題 1.11によりG×G′G\times G'はX×XX\times Xの開集合である。(a,b)∈G×G′(a,b)\in G\times G'とすると、(x,a)∈W(x,a)\in WとWWの対称性から(a,x)∈W(a,x)\in Wであり、(x,y)∈W(x,y)\in W、(y,b)∈W(y,b)\in Wであるから、合成の定義により(a,b)∈W∘W∘W⊆V(a,b)\in W\circ W\circ W\subseteq Vである。ゆえに(x,y)∈G×G′⊆V(x,y)\in G\times G'\subseteq Vであり、§E2.11 命題 2.5 (1)により(x,y)∈int⁡X×X(V)(x,y)\in\tpint[X\times X]{V}である。したがってW⊆int⁡X×X(V)W\subseteq\tpint[X\times X]{V}であり、定義 1.3 条件 (b)によりint⁡X×X(V)∈U\tpint[X\times X]{V}\in\mathcal Uである。

主張 (2)を示す。V∈UV\in\mathcal Uとし、V′=V∩V−1V'=V\cap V^{-1}とおく。補題 1.7 (1)によりV′V'はVVに含まれる対称な近縁であるから、主張 (1)と主張 2.4.1により、int⁡X×X(V′)\tpint[X\times X]{V'}はVVに含まれる開集合である対称な近縁である。

主張 (3)を示す。V∈UV\in\mathcal Uとし、補題 1.7 (2)によりW∘W∘W⊆VW\circ W\circ W\subseteq Vを満たす対称な近縁WWをとる。補題 2.3 (2)をM=WM=Wに適用し、共通部分の項としてWW自身をとると、cl⁡X×X(W)⊆W∘W∘W⊆V\tpcl[X\times X]{W}\subseteq W\circ W\circ W\subseteq Vである。W⊆cl⁡X×X(W)W\subseteq\tpcl[X\times X]{W}であるから定義 1.3 条件 (b)によりcl⁡X×X(W)\tpcl[X\times X]{W}は近縁であり、主張 2.4.1により対称である。▨

系 2.5. 一様空間(X,U)(X,\mathcal U)の一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}は正則である。

証明.x∈Xx\in Xと、xxを含む開集合OOをとる。命題 2.1によりV[x]⊆OV[x]\subseteq Oを満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在し、補題 2.4 (3)によりX×XX\times Xの閉集合である近縁W⊆VW\subseteq Vが存在する。ix ⁣:X→X×Xi_x\colon X\to X\times Xをix(y)=(x,y)i_x(y)=(x,y)で定めると、第一の射影との合成は定値写像であり第二の射影との合成は恒等写像であるから、§E2.12 例 1.12と§E2.12 定理 3.4によりixi_xは連続である。W[x]=ix−1(W)W[x]=i_x^{-1}(W)であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)によりW[x]W[x]はXXの閉集合である。命題 2.1によりW[x]W[x]はxxの近傍であるから、x∈G⊆W[x]x\in G\subseteq W[x]を満たす開集合GGが存在し、§E2.11 命題 2.5 (1)によりG‾⊆W[x]⊆V[x]⊆O\tpcl{G}\subseteq W[x]\subseteq V[x]\subseteq Oである。§E2.15 補題 2.6によりOU\mathcal O_{\mathcal U}は正則である。▨

例 2.6.S={0,1}S=\{0,1\}に位相OS={∅,{1},S}\mathcal O_S=\{\emptyset,\{1\},S\}を入れた Sierpiński 空間は一様化可能でない。実際、{0}=S∖{1}\{0\}=S\setminus\{1\}は閉集合であり、1∉{0}1\notin\{0\}である。{0}\{0\}を含む開集合はSSだけであるから、1∈U1\in Uと{0}⊆V\{0\}\subseteq Vを満たす開集合U,VU,Vについて1∈U∩V1\in U\cap Vであり、U∩V≠∅U\cap V\neq\emptysetである。ゆえに§E2.15 定義 1.7 (1)によりOS\mathcal O_Sは正則でない。OS\mathcal O_Sと両立するSSの一様構造U\mathcal Uが存在すると仮定すると、系 2.5によりOS=OU\mathcal O_S=\mathcal O_{\mathcal U}は正則であり、矛盾する。

定義 2.7.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とする。⋂U=ΔX\bigcap\mathcal U=\Delta_Xが成り立つとき、U\mathcal Uは Hausdorff (Hausdorff uniformity) であるといい、(X,U)(X,\mathcal U)を Hausdorff 一様空間という。

命題 2.8.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とする。このとき、次の三条件は同値である。

  1. U\mathcal Uは Hausdorff である。
  2. 一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}は T2 である。
  3. 一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}は T0 である。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。x,y∈Xx,y\in Xを相異なる二点とする。(x,y)∉ΔX=⋂U(x,y)\notin\Delta_X=\bigcap\mathcal Uであるから、(x,y)∉V(x,y)\notin Vを満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在する。補題 1.7 (2)によりW∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たす対称な近縁WWをとる。z∈W[x]∩W[y]z\in W[x]\cap W[y]が存在すると仮定すると、(x,z)∈W(x,z)\in Wと、WWの対称性による(z,y)∈W(z,y)\in Wから(x,y)∈W∘W⊆V(x,y)\in W\circ W\subseteq Vとなり、(x,y)∉V(x,y)\notin Vに反する。ゆえにW[x]∩W[y]=∅W[x]\cap W[y]=\emptysetである。命題 2.1によりW[x]W[x]とW[y]W[y]はそれぞれxxとyyの近傍であるから、x∈G⊆W[x]x\in G\subseteq W[x]、y∈G′⊆W[y]y\in G'\subseteq W[y]を満たす開集合G,G′G,G'が存在し、G∩G′=∅G\cap G'=\emptysetである。§E2.15 定義 1.2によりOU\mathcal O_{\mathcal U}は T2 である。

(2)⇒\Rightarrow(3)は§E2.15 定理 1.11 (4)と§E2.15 定理 1.11 (5)から従う。

(3)⇒\Rightarrow(1)を示す。定義 1.3 条件 (d)によりΔX⊆⋂U\Delta_X\subseteq\bigcap\mathcal Uである。x,y∈Xx,y\in Xを相異なる二点とする。§E2.15 定義 1.1 (1)により、xxとyyの一方だけを含む開集合OOが存在する。x∈Ox\in Oかつy∉Oy\notin Oのとき、V[x]⊆OV[x]\subseteq Oを満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在し、y∉V[x]y\notin V[x]であるから(x,y)∉V(x,y)\notin Vである。y∈Oy\in Oかつx∉Ox\notin Oのとき、V[y]⊆OV[y]\subseteq Oを満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在し、(y,x)∉V(y,x)\notin Vであるから(x,y)∉V−1(x,y)\notin V^{-1}であり、定義 1.3 条件 (e)によりV−1∈UV^{-1}\in\mathcal Uである。いずれの場合も(x,y)∉⋂U(x,y)\notin\bigcap\mathcal Uであるから、⋂U=ΔX\bigcap\mathcal U=\Delta_Xである。▨

3 一様部分空間と一様連続写像

定義 3.1.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とし、A⊆XA\subseteq Xとする。UA={V∩(A×A)∣V∈U}\mathcal U_A=\{V\cap(A\times A)\mid V\in\mathcal U\}をAAの 部分一様構造 (subspace uniformity) といい、(A,UA)(A,\mathcal U_A)を(X,U)(X,\mathcal U)の 一様部分空間 (uniform subspace) という。

補題 3.2.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とし、A⊆XA\subseteq Xとする。このとき、部分一様構造UA\mathcal U_AはAAの近縁系である。B\mathcal BがU\mathcal Uの近縁基ならば、{B∩(A×A)∣B∈B}\{B\cap(A\times A)\mid B\in\mathcal B\}はUA\mathcal U_Aの近縁基である。

証明.A×AA\times Aの部分集合M,NM,Nについて、(x,y)∈N(x,y)\in Nかつ(y,z)∈M(y,z)\in Mを満たすyyはAAに属するから、AAの上の合成M∘NM\circ NはXXの上の合成に一致する。定義 1.3 条件 (a)によりA×A=(X×X)∩(A×A)∈UAA\times A=(X\times X)\cap(A\times A)\in\mathcal U_Aである。V∈UV\in\mathcal UとV∩(A×A)⊆M⊆A×AV\cap(A\times A)\subseteq M\subseteq A\times Aについて、定義 1.3 条件 (b)によりV∪M∈UV\cup M\in\mathcal Uであり、(V∪M)∩(A×A)=M(V\cup M)\cap(A\times A)=MであるからM∈UAM\in\mathcal U_Aである。V,V′∈UV,V'\in\mathcal Uについて(V∩(A×A))∩(V′∩(A×A))=(V∩V′)∩(A×A)(V\cap(A\times A))\cap(V'\cap(A\times A))=(V\cap V')\cap(A\times A)であり、定義 1.3 条件 (c)によりV∩V′∈UV\cap V'\in\mathcal Uであるから、この集合はUA\mathcal U_Aに属する。V∈UV\in\mathcal Uとする。定義 1.3 条件 (d)によりΔA=ΔX∩(A×A)⊆V∩(A×A)\Delta_A=\Delta_X\cap(A\times A)\subseteq V\cap(A\times A)である。(V∩(A×A))−1=V−1∩(A×A)(V\cap(A\times A))^{-1}=V^{-1}\cap(A\times A)であり、定義 1.3 条件 (e)によりV−1∈UV^{-1}\in\mathcal Uであるから、この集合はUA\mathcal U_Aに属する。定義 1.3 条件 (f)によりW∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たすW∈UW\in\mathcal Uが存在する。W∩(A×A)∈UAW\cap(A\times A)\in\mathcal U_Aであり、補題 1.2 (4)により

(W∩(A×A))∘(W∩(A×A))⊆(W∘W)∩(A×A)⊆V∩(A×A)(W\cap(A\times A))\circ(W\cap(A\times A))\subseteq(W\circ W)\cap(A\times A)\subseteq V\cap(A\times A)

である。以上より、UA\mathcal U_Aは集合AAについて定義 1.3の六条件を満たし、AAの近縁系である。B\mathcal BをU\mathcal Uの近縁基とすると、{B∩(A×A)∣B∈B}\{B\cap(A\times A)\mid B\in\mathcal B\}はUA\mathcal U_Aに含まれる。V∈UV\in\mathcal Uに対してB⊆VB\subseteq Vを満たすB∈BB\in\mathcal Bが存在し、B∩(A×A)⊆V∩(A×A)B\cap(A\times A)\subseteq V\cap(A\times A)であるから、{B∩(A×A)∣B∈B}\{B\cap(A\times A)\mid B\in\mathcal B\}はUA\mathcal U_Aの近縁基である。▨

定義 3.3.(X,U)(X,\mathcal U)、(Y,V)(Y,\mathcal V)を一様空間とし、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像とする。f×f ⁣:X×X→Y×Yf\times f\colon X\times X\to Y\times Yを(f×f)(x,x′)=(f(x),f(x′))(f\times f)(x,x')=(f(x),f(x'))で定める。任意のW∈VW\in\mathcal Vについて(f×f)−1(W)∈U(f\times f)^{-1}(W)\in\mathcal Uが成り立つとき、ffは 一様連続 (uniformly continuous) であるという。ffが全単射であり、ffと逆写像f−1f^{-1}がともに一様連続であるとき、ffは 一様同相写像 (uniform homeomorphism) であるという。一様同相写像X→YX\to Yが存在するとき、XXとYYは 一様同相 (uniformly homeomorphic) であるという。ffが単射であり、f(X)f(X)に部分一様構造Vf(X)\mathcal V_{f(X)}を入れたときx↦f(x)x\mapsto f(x)で定まる写像X→f(X)X\to f(X)が一様同相写像であるとき、ffは 一様埋め込み (uniform embedding) であるという。

命題 3.4.(X,U)(X,\mathcal U)、(Y,V)(Y,\mathcal V)、(Z,UZ)(Z,\mathcal U_Z)を一様空間とする。

  1. 恒等写像id⁡X ⁣:X→X\id_X\colon X\to Xは一様連続である。一様連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yとg ⁣:Y→Zg\colon Y\to Zの合成g∘fg\circ fは一様連続である。
  2. V\mathcal Vの近縁基はV\mathcal Vの近縁準基である。S\mathcal SをV\mathcal Vの近縁準基とする。写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yが一様連続であるための必要十分条件は、任意のS∈SS\in\mathcal Sについて(f×f)−1(S)∈U(f\times f)^{-1}(S)\in\mathcal Uが成り立つことである。
  3. 一様連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yは、一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}とOV\mathcal O_{\mathcal V}に関して連続である。

証明.主張 (1)を示す。V∈UV\in\mathcal Uについて(id⁡X×id⁡X)−1(V)=V(\id_X\times\id_X)^{-1}(V)=Vである。W∈UZW\in\mathcal U_Zについて

((g∘f)×(g∘f))−1(W)=(f×f)−1((g×g)−1(W))\bigl((g\circ f)\times(g\circ f)\bigr)^{-1}(W)=(f\times f)^{-1}\bigl((g\times g)^{-1}(W)\bigr)

であり、ggの一様連続性により(g×g)−1(W)∈V(g\times g)^{-1}(W)\in\mathcal V、ffの一様連続性により右辺はU\mathcal Uに属する。

主張 (2)を示す。B\mathcal BをV\mathcal Vの近縁基とする。定義 1.3 条件 (a)と定義 1.3 条件 (c)によりB\mathcal Bの有限個の元の共通部分はV\mathcal Vに属し、V\mathcal Vの各元はB\mathcal Bの一つの元を含むから、B\mathcal Bの有限個の元の共通部分の全体はV\mathcal Vの近縁基であり、B\mathcal BはV\mathcal Vの近縁準基である。必要性はS⊆V\mathcal S\subseteq\mathcal Vから従う。十分性を示す。W∈VW\in\mathcal Vとする。S1∩⋯∩Sk⊆WS_1\cap\cdots\cap S_k\subseteq Wを満たすk∈N≥0k\in\NとS1,…,Sk∈SS_1,\ldots,S_k\in\mathcal Sが存在する。逆像は共通部分を保つから

(f×f)−1(S1)∩⋯∩(f×f)−1(Sk)⊆(f×f)−1(W)(f\times f)^{-1}(S_1)\cap\cdots\cap(f\times f)^{-1}(S_k)\subseteq(f\times f)^{-1}(W)

であり、左辺は仮定と定義 1.3 条件 (c)によりU\mathcal Uに属する。k=0k=0のとき左辺は(f×f)−1(Y×Y)=X×X(f\times f)^{-1}(Y\times Y)=X\times Xである。定義 1.3 条件 (b)により(f×f)−1(W)∈U(f\times f)^{-1}(W)\in\mathcal Uである。

主張 (3)を示す。x∈Xx\in Xとし、NNをf(x)f(x)の近傍とする。命題 2.1によりN=W[f(x)]N=W[f(x)]を満たすW∈VW\in\mathcal Vが存在する。

(f×f)−1(W)[x]={x′∈X∣(f(x),f(x′))∈W}=f−1(W[f(x)])=f−1(N)(f\times f)^{-1}(W)[x]=\{x'\in X\mid (f(x),f(x'))\in W\}=f^{-1}\bigl(W[f(x)]\bigr)=f^{-1}(N)

であり、(f×f)−1(W)∈U(f\times f)^{-1}(W)\in\mathcal Uであるから、命題 2.1によりf−1(N)f^{-1}(N)はxxの近傍である。§E2.12 定義 1.3によりffはxxで連続であり、§E2.12 命題 1.4によりffは連続である。▨

4 始一様構造と一様埋め込み

定義 4.1.XXを集合、((Yλ,Vλ))λ∈Λ((Y_\lambda,\mathcal V_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}を一様空間の族、(fλ ⁣:X→Yλ)λ∈Λ(f_\lambda\colon X\to Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を写像の族とし、

S={(fλ×fλ)−1(W)∣λ∈Λ, W∈Vλ}\mathcal S=\{(f_\lambda\times f_\lambda)^{-1}(W)\mid\lambda\in\Lambda,\ W\in\mathcal V_\lambda\}

とおく。S\mathcal Sの有限個の元の共通部分を含むX×XX\times Xの部分集合の全体U\mathcal Uを、族(fλ)λ∈Λ(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}による 始一様構造 (initial uniformity) という。ここでS\mathcal Sの00個の元の共通部分はX×XX\times Xとする。一様空間の族((Xλ,Uλ))λ∈Λ((X_\lambda,\mathcal U_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}について、直積∏λ∈ΛXλ\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaの射影の族(πλ)λ∈Λ(\pi_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}による始一様構造を 積一様構造 (product uniformity) という。

命題 4.2.XXを集合、((Yλ,Vλ))λ∈Λ((Y_\lambda,\mathcal V_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}を一様空間の族、(fλ ⁣:X→Yλ)λ∈Λ(f_\lambda\colon X\to Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を写像の族とし、S\mathcal SとU\mathcal Uを定義 4.1のとおりとする。

  1. U\mathcal UはXXの近縁系であり、S\mathcal SはU\mathcal Uの近縁準基である。U\mathcal Uは、すべてのfλ ⁣:X→Yλf_\lambda\colon X\to Y_\lambdaを一様連続にするXXの一様構造のうち最も粗いものである。
  2. 一様空間ZZと写像g ⁣:Z→Xg\colon Z\to Xについて、g ⁣:Z→(X,U)g\colon Z\to(X,\mathcal U)が一様連続であることと、すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてfλ∘g ⁣:Z→Yλf_\lambda\circ g\colon Z\to Y_\lambdaが一様連続であることは同値である。
  3. 一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}は、各YλY_\lambdaに一様位相OVλ\mathcal O_{\mathcal V_\lambda}を入れたときの族(fλ)λ∈Λ(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}による始位相に等しい。

証明.主張 (1)を示す。λ∈Λ\lambda\in\LambdaとW∈VλW\in\mathcal V_\lambdaをとり、S=(fλ×fλ)−1(W)S=(f_\lambda\times f_\lambda)^{-1}(W)とおく。x∈Xx\in Xについて(fλ(x),fλ(x))∈ΔYλ⊆W(f_\lambda(x),f_\lambda(x))\in\Delta_{Y_\lambda}\subseteq WであるからΔX⊆S\Delta_X\subseteq Sである。S−1=(fλ×fλ)−1(W−1)S^{-1}=(f_\lambda\times f_\lambda)^{-1}(W^{-1})であり、定義 1.3 条件 (e)によりW−1∈VλW^{-1}\in\mathcal V_\lambdaであるから、S−1∈SS^{-1}\in\mathcal Sである。定義 1.3 条件 (f)によりW′∘W′⊆WW'\circ W'\subseteq Wを満たすW′∈VλW'\in\mathcal V_\lambdaをとり、S′=(fλ×fλ)−1(W′)S'=(f_\lambda\times f_\lambda)^{-1}(W')とおく。(x,x′)∈S′(x,x')\in S'かつ(x′,x′′)∈S′(x',x'')\in S'ならば(fλ(x),fλ(x′′))∈W′∘W′⊆W(f_\lambda(x),f_\lambda(x''))\in W'\circ W'\subseteq Wであるから、S′∘S′⊆SS'\circ S'\subseteq Sである。ゆえにS\mathcal Sは命題 1.9の三条件を満たし、命題 1.9と命題 1.8によりU\mathcal UはS\mathcal Sを近縁準基とする近縁系であって、S\mathcal Sを含むXXの近縁系のうち最も粗いものである。XXの近縁系U′\mathcal U'について、すべてのfλf_\lambdaがU′\mathcal U'に関して一様連続であることは、定義 3.3によりS⊆U′\mathcal S\subseteq\mathcal U'であることと同値であり、これはU⊆U′\mathcal U\subseteq\mathcal U'と同値である。U′=U\mathcal U'=\mathcal Uとすると、すべてのfλf_\lambdaはU\mathcal Uに関して一様連続である。

主張 (2)を示す。ggが一様連続ならば、主張 (1)と命題 3.4 (1)により各fλ∘gf_\lambda\circ gは一様連続である。逆に、すべてのfλ∘gf_\lambda\circ gが一様連続であるとし、ZZの一様構造をUZ\mathcal U_Zとする。λ∈Λ\lambda\in\LambdaとW∈VλW\in\mathcal V_\lambdaについて

(g×g)−1((fλ×fλ)−1(W))=((fλ∘g)×(fλ∘g))−1(W)∈UZ(g\times g)^{-1}\bigl((f_\lambda\times f_\lambda)^{-1}(W)\bigr)=\bigl((f_\lambda\circ g)\times(f_\lambda\circ g)\bigr)^{-1}(W)\in\mathcal U_Z

であるから、近縁準基S\mathcal Sに命題 3.4 (2)を適用してggは一様連続である。

主張 (3)を示す。I\mathcal Iを族(fλ)λ∈Λ(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}による始位相とする。主張 (1)と命題 3.4 (3)により各fλ ⁣:(X,OU)→(Yλ,OVλ)f_\lambda\colon(X,\mathcal O_{\mathcal U})\to(Y_\lambda,\mathcal O_{\mathcal V_\lambda})は連続であるから、§E2.12 命題 3.3 (2)によりI⊆OU\mathcal I\subseteq\mathcal O_{\mathcal U}である。O∈OUO\in\mathcal O_{\mathcal U}とx∈Ox\in Oをとる。V[x]⊆OV[x]\subseteq Oを満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在し、U\mathcal Uの定義により、k∈N≥0k\in\N、λ1,…,λk∈Λ\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\Lambda、Wi∈VλiW_i\in\mathcal V_{\lambda_i}を用いて

⋂i=1k(fλi×fλi)−1(Wi)⊆V\bigcap_{i=1}^{k}(f_{\lambda_i}\times f_{\lambda_i})^{-1}(W_i)\subseteq V

と書くことができる。左辺をTTとおくとT[x]=⋂i=1kfλi−1(Wi[fλi(x)])T[x]=\bigcap_{i=1}^{k}f_{\lambda_i}^{-1}\bigl(W_i[f_{\lambda_i}(x)]\bigr)であり、T[x]⊆V[x]T[x]\subseteq V[x]である。各iiについて、命題 2.1によりWi[fλi(x)]W_i[f_{\lambda_i}(x)]はfλi(x)f_{\lambda_i}(x)の近傍であるから、fλi(x)∈Gi⊆Wi[fλi(x)]f_{\lambda_i}(x)\in G_i\subseteq W_i[f_{\lambda_i}(x)]を満たすOVλi\mathcal O_{\mathcal V_{\lambda_i}}の開集合GiG_iが存在する。§E2.12 命題 3.3 (1)により各iiについてfλi−1(Gi)∈If_{\lambda_i}^{-1}(G_i)\in\mathcal Iであるから、G=⋂i=1kfλi−1(Gi)G=\bigcap_{i=1}^{k}f_{\lambda_i}^{-1}(G_i)はI\mathcal Iに属し、x∈G⊆V[x]⊆Ox\in G\subseteq V[x]\subseteq Oを満たす。k=0k=0のときはG=XG=Xである。§E2.11 補題 2.6によりO∈IO\in\mathcal Iであり、OU⊆I\mathcal O_{\mathcal U}\subseteq\mathcal Iである。▨

補題 4.3.XX、YYを集合、((Zμ,Wμ))μ∈M((Z_\mu,\mathcal W_\mu))_{\mu\in M}を一様空間の族、(hμ ⁣:Y→Zμ)μ∈M(h_\mu\colon Y\to Z_\mu)_{\mu\in M}を写像の族とし、YYに族(hμ)μ∈M(h_\mu)_{\mu\in M}による始一様構造V\mathcal Vを入れる。f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像とし、一つの写像f ⁣:X→(Y,V)f\colon X\to(Y,\mathcal V)からなる族による始一様構造をU1\mathcal U_1、族(hμ∘f)μ∈M(h_\mu\circ f)_{\mu\in M}による始一様構造をU2\mathcal U_2とする。このときU1=U2\mathcal U_1=\mathcal U_2である。

証明. 一様空間ZZと写像g ⁣:Z→Xg\colon Z\to Xをとる。命題 4.2 (2)をU1\mathcal U_1に適用すると、g ⁣:Z→(X,U1)g\colon Z\to(X,\mathcal U_1)が一様連続であることは、f∘g ⁣:Z→(Y,V)f\circ g\colon Z\to(Y,\mathcal V)が一様連続であることと同値である。命題 4.2 (2)をV\mathcal Vに適用すると、f∘gf\circ gが一様連続であることは、すべてのμ∈M\mu\in Mについてhμ∘f∘g ⁣:Z→Zμh_\mu\circ f\circ g\colon Z\to Z_\muが一様連続であることと同値である。命題 4.2 (2)をU2\mathcal U_2に適用すると、すべてのμ∈M\mu\in Mについてhμ∘f∘gh_\mu\circ f\circ gが一様連続であることは、g ⁣:Z→(X,U2)g\colon Z\to(X,\mathcal U_2)が一様連続であることと同値である。したがって、g ⁣:Z→(X,U1)g\colon Z\to(X,\mathcal U_1)が一様連続であることとg ⁣:Z→(X,U2)g\colon Z\to(X,\mathcal U_2)が一様連続であることは同値である。命題 3.4 (1)によりid⁡X ⁣:(X,U1)→(X,U1)\id_X\colon(X,\mathcal U_1)\to(X,\mathcal U_1)は一様連続であるから、Z=(X,U1)Z=(X,\mathcal U_1)、g=id⁡Xg=\id_Xとすると、id⁡X ⁣:(X,U1)→(X,U2)\id_X\colon(X,\mathcal U_1)\to(X,\mathcal U_2)は一様連続である。任意のW∈U2W\in\mathcal U_2について(id⁡X×id⁡X)−1(W)=W(\id_X\times\id_X)^{-1}(W)=Wであるから、一様連続性の定義によりW∈U1W\in\mathcal U_1であり、U2⊆U1\mathcal U_2\subseteq\mathcal U_1である。Z=(X,U2)Z=(X,\mathcal U_2)、g=id⁡Xg=\id_Xとすると、同じ理由でU1⊆U2\mathcal U_1\subseteq\mathcal U_2である。▨

系 4.4.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間、A⊆XA\subseteq Xとし、ιA ⁣:A→X\iota_A\colon A\to Xを包含写像とする。

  1. 部分一様構造UA\mathcal U_AはιA\iota_Aによる始一様構造に等しい。
  2. UA\mathcal U_Aの一様位相はOU\mathcal O_{\mathcal U}の部分空間位相に等しい。
  3. 一様空間ZZと写像g ⁣:Z→Ag\colon Z\to Aについて、g ⁣:Z→(A,UA)g\colon Z\to(A,\mathcal U_A)が一様連続であることと、ιA∘g ⁣:Z→X\iota_A\circ g\colon Z\to Xが一様連続であることは同値である。

証明.V∈UV\in\mathcal Uについて(ιA×ιA)−1(V)=V∩(A×A)(\iota_A\times\iota_A)^{-1}(V)=V\cap(A\times A)であるから、定義 4.1のS\mathcal SはιA\iota_AについてUA\mathcal U_Aに等しい。補題 3.2によりUA\mathcal U_AはAAの近縁系であり、有限個の元の共通部分と上位集合で閉じているから、UA\mathcal U_Aの有限個の元の共通部分を含むA×AA\times Aの部分集合の全体はUA\mathcal U_Aに等しい。これで主張 (1)は示された。主張 (2)は主張 (1)、命題 4.2 (3)、および部分空間位相がιA\iota_Aによる始位相であること（§E2.12 命題 4.3）から従い、主張 (3)は主張 (1)と命題 4.2 (2)から従う。▨

系 4.5.((Xλ,Uλ))λ∈Λ((X_\lambda,\mathcal U_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}を一様空間の族とし、X=∏λ∈ΛXλX=\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaに積一様構造U\mathcal Uを入れる。

  1. 一様空間ZZと写像g ⁣:Z→Xg\colon Z\to Xについて、ggが一様連続であることと、すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてπλ∘g ⁣:Z→Xλ\pi_\lambda\circ g\colon Z\to X_\lambdaが一様連続であることは同値である。
  2. 一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}は、各XλX_\lambdaに一様位相OUλ\mathcal O_{\mathcal U_\lambda}を入れたときの積位相に等しい。

証明.主張 (1)は命題 4.2 (2)を射影の族(πλ)λ∈Λ(\pi_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}に適用したものである。積位相は§E2.14 定義 1.1により射影の族による始位相であるから、主張 (2)は命題 4.2 (3)から従う。▨

補題 4.6.(X,U)(X,\mathcal U)、(Y,V)(Y,\mathcal V)を一様空間とし、j ⁣:X→Yj\colon X\to Yを写像とする。このとき、jjが一様埋め込みであるための必要十分条件は、jjが単射かつ一様連続であり、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対して(j×j)−1(W)⊆V(j\times j)^{-1}(W)\subseteq Vを満たすW∈VW\in\mathcal Vが存在することである。

証明.A=j(X)A=j(X)に部分一様構造VA\mathcal V_Aを入れ、j0 ⁣:X→Aj_0\colon X\to Aをj0(x)=j(x)j_0(x)=j(x)で定め、ιA ⁣:A→Y\iota_A\colon A\to Yを包含写像とする。j=ιA∘j0j=\iota_A\circ j_0であるから、系 4.4 (3)により、j0j_0が一様連続であることとjjが一様連続であることは同値である。

jjを単射とし、V⊆X×XV\subseteq X\times Xとする。(j0−1×j0−1)−1(V)=(j×j)(V)(j_0^{-1}\times j_0^{-1})^{-1}(V)=(j\times j)(V)である。jjは単射であるから、A×AA\times Aの部分集合SSについて、S⊆(j×j)(V)S\subseteq(j\times j)(V)であることと(j×j)−1(S)⊆V(j\times j)^{-1}(S)\subseteq Vであることは同値であり、W∈VW\in\mathcal Vについて(j×j)−1(W∩(A×A))=(j×j)−1(W)(j\times j)^{-1}(W\cap(A\times A))=(j\times j)^{-1}(W)である。補題 3.2によりVA\mathcal V_AはAAの近縁系であるから、定義 3.1と定義 1.3 条件 (b)により、(j×j)(V)∈VA(j\times j)(V)\in\mathcal V_Aであることは、W∩(A×A)⊆(j×j)(V)W\cap(A\times A)\subseteq(j\times j)(V)を満たすW∈VW\in\mathcal Vが存在すること、すなわち(j×j)−1(W)⊆V(j\times j)^{-1}(W)\subseteq Vを満たすW∈VW\in\mathcal Vが存在することと同値である。ゆえに、jjが単射であるとき、全単射j0j_0の逆写像j0−1j_0^{-1}が一様連続であることは、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対して(j×j)−1(W)⊆V(j\times j)^{-1}(W)\subseteq Vを満たすW∈VW\in\mathcal Vが存在することと同値である。

必要性を示す。jjを一様埋め込みとすると、jjは単射であり、j0j_0とj0−1j_0^{-1}は一様連続であるから、jjは一様連続であり、主張の条件が成り立つ。十分性を示す。jjが単射かつ一様連続であり主張の条件を満たすとすると、j0j_0は一様連続な全単射であり、j0−1j_0^{-1}は一様連続であるから、j0j_0は一様同相写像であり、jjは一様埋め込みである。▨

系 4.7.(X,U)(X,\mathcal U)、(Y,V)(Y,\mathcal V)を一様空間とし、j ⁣:X→Yj\colon X\to Yを写像とする。このとき、jjが一様埋め込みであるための必要十分条件は、jjが単射であり、U\mathcal Uが一つの写像jjからなる族による始一様構造に等しいことである。

証明.Uj\mathcal U_jを一つの写像jjからなる族による始一様構造とする。k∈N≥0k\in\NとW1,…,Wk∈VW_1,\ldots,W_k\in\mathcal Vについて⋂i=1k(j×j)−1(Wi)=(j×j)−1(⋂i=1kWi)\bigcap_{i=1}^{k}(j\times j)^{-1}(W_i)=(j\times j)^{-1}\bigl(\bigcap_{i=1}^{k}W_i\bigr)であり（k=0k=0のときは両辺ともX×X=(j×j)−1(Y×Y)X\times X=(j\times j)^{-1}(Y\times Y)とする）、定義 1.3 条件 (a)と定義 1.3 条件 (c)により⋂i=1kWi∈V\bigcap_{i=1}^{k}W_i\in\mathcal Vである。したがって定義 4.1により、Uj\mathcal U_jは、(j×j)−1(W)⊆V(j\times j)^{-1}(W)\subseteq Vを満たすW∈VW\in\mathcal Vが存在するV⊆X×XV\subseteq X\times Xの全体に等しい。

jjがU\mathcal Uに関して一様連続ならば、命題 4.2 (1)によりUj⊆U\mathcal U_j\subseteq\mathcal Uである。逆にUj⊆U\mathcal U_j\subseteq\mathcal Uならば、すべてのW∈VW\in\mathcal Vについて(j×j)−1(W)∈Uj⊆U(j\times j)^{-1}(W)\in\mathcal U_j\subseteq\mathcal Uであるから、jjはU\mathcal Uに関して一様連続である。また、Uj\mathcal U_jは(j×j)−1(W)⊆V(j\times j)^{-1}(W)\subseteq Vを満たすW∈VW\in\mathcal Vが存在するV⊆X×XV\subseteq X\times Xの全体に等しいから、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対して(j×j)−1(W)⊆V(j\times j)^{-1}(W)\subseteq Vを満たすW∈VW\in\mathcal Vが存在することは、U⊆Uj\mathcal U\subseteq\mathcal U_jと同値である。ゆえに補題 4.6により、jjが一様埋め込みであることは、jjが単射であり、Uj⊆U\mathcal U_j\subseteq\mathcal UかつU⊆Uj\mathcal U\subseteq\mathcal U_j、すなわちU=Uj\mathcal U=\mathcal U_jが成り立つことと同値である。▨

系 4.8.(X,U)(X,\mathcal U)、(Y,V)(Y,\mathcal V)を一様空間とし、j ⁣:X→Yj\colon X\to Yを一様埋め込みとする。このとき、jjは一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}とOV\mathcal O_{\mathcal V}に関して位相的埋め込みである。

証明.補題 4.6によりjjは一様連続であるから、命題 3.4 (3)によりjjはOU\mathcal O_{\mathcal U}とOV\mathcal O_{\mathcal V}に関して連続である。A=j(X)A=j(X)に部分一様構造VA\mathcal V_Aを入れ、j0 ⁣:X→Aj_0\colon X\to Aをj0(x)=j(x)j_0(x)=j(x)で定める。定義 3.3によりjjは単射であり、j0j_0は一様同相写像であるから、命題 3.4 (3)によりj0j_0はOU\mathcal O_{\mathcal U}とVA\mathcal V_Aの一様位相に関して連続であり、j0−1j_0^{-1}はVA\mathcal V_Aの一様位相とOU\mathcal O_{\mathcal U}に関して連続である。系 4.4 (2)によりVA\mathcal V_Aの一様位相はOV\mathcal O_{\mathcal V}の部分空間位相に等しいから、§E2.12 定義 6.1によりj0j_0は(X,OU)(X,\mathcal O_{\mathcal U})から部分空間位相を入れたAAへの同相写像である。§E2.12 定義 6.10によりjjは位相的埋め込みである。▨

5 距離空間の一様構造

定義 5.1.(X,d)(X,d)を距離空間とする。実数ε>0\varepsilon>0に対してUεd={(x,y)∈X×X∣d(x,y)<ε}U^d_\varepsilon=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<\varepsilon\}とおく。ある実数ε>0\varepsilon>0についてUεdU^d_\varepsilonを含むX×XX\times Xの部分集合の全体Ud\mathcal U_dを、ddが定める 距離一様構造 (metric uniformity) という。距離空間を一様空間とみなすときはUd\mathcal U_dを入れる。

命題 5.2.(X,d)(X,d)を距離空間とする。

  1. Ud\mathcal U_dはXXの Hausdorff な一様構造であり、{Uεd∣ε>0}\{U^d_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}はUd\mathcal U_dの近縁基である。
  2. Ud\mathcal U_dの一様位相は、ddから生じる位相Od\mathcal O_dに等しい。
  3. (Y,e)(Y,e)を距離空間とし、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像とする。ffが§E2.4 定義 3.1の意味で一様連続性をもつことと、ffがUd\mathcal U_dとUe\mathcal U_eに関して一様連続であることは同値である。
  4. A⊆XA\subseteq Xに制限距離dAd_Aを入れると、UdA\mathcal U_{d_A}はUd\mathcal U_dの部分一様構造(Ud)A(\mathcal U_d)_Aに等しい。

証明.主張 (1)を示す。B={Uεd∣ε>0}\mathcal B=\{U^d_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}とおく。B≠∅\mathcal B\neq\emptysetであり、実数ε,ε′>0\varepsilon,\varepsilon'>0についてUmin⁡{ε,ε′}d⊆Uεd∩Uε′dU^d_{\min\{\varepsilon,\varepsilon'\}}\subseteq U^d_\varepsilon\cap U^d_{\varepsilon'}である。実数ε>0\varepsilon>0とする。§E2.1 定義 1.1 条件 (a)によりすべてのx∈Xx\in Xについてd(x,x)=0d(x,x)=0であるからΔX⊆Uεd\Delta_X\subseteq U^d_\varepsilonであり、§E2.1 定義 1.1 条件 (b)により(Uεd)−1=Uεd(U^d_\varepsilon)^{-1}=U^d_\varepsilonである。(x,y),(y,z)∈Uε/2d(x,y),(y,z)\in U^d_{\varepsilon/2}ならば§E2.1 定義 1.1 条件 (c)によりd(x,z)<εd(x,z)<\varepsilonであるから、Uε/2d∘Uε/2d⊆UεdU^d_{\varepsilon/2}\circ U^d_{\varepsilon/2}\subseteq U^d_\varepsilonである。命題 1.8により、Ud\mathcal U_dはB\mathcal Bを近縁基とするXXの近縁系である。(x,y)∈⋂Ud(x,y)\in\bigcap\mathcal U_dならば、すべてのε>0\varepsilon>0についてd(x,y)<εd(x,y)<\varepsilonであり、§E2.1 命題 1.2によりd(x,y)=0d(x,y)=0、§E2.1 定義 1.1 条件 (a)によりx=yx=yである。ゆえに⋂Ud=ΔX\bigcap\mathcal U_d=\Delta_Xであり、Ud\mathcal U_dは Hausdorff である。

主張 (2)を示す。x∈Xx\in Xと実数ε>0\varepsilon>0について、Uεd[x]=B(x,ε)U^d_\varepsilon[x]=B(x,\varepsilon)であり、定義 5.1によりUεd∈UdU^d_\varepsilon\in\mathcal U_dである。各x∈Xx\in Xと各V∈UdV\in\mathcal U_dに対して、定義 5.1によりUεd⊆VU^d_\varepsilon\subseteq Vを満たす実数ε>0\varepsilon>0が存在し、このε\varepsilonについてB(x,ε)=Uεd[x]⊆V[x]B(x,\varepsilon)=U^d_\varepsilon[x]\subseteq V[x]である。したがってO⊆XO\subseteq Xについて、任意のx∈Ox\in OにV[x]⊆OV[x]\subseteq Oを満たすV∈UdV\in\mathcal U_dが存在することと、任意のx∈Ox\in OにB(x,ε)⊆OB(x,\varepsilon)\subseteq Oを満たすε>0\varepsilon>0が存在することは同値である。命題 2.1、§E2.2 定義 1.1、§E2.11 定義 1.3によりOUd=Od\mathcal O_{\mathcal U_d}=\mathcal O_dである。

主張 (3)を示す。主張 (1)と命題 3.4 (2)により、ffが一様連続であることは、任意のε>0\varepsilon>0について(f×f)−1(Uεe)∈Ud(f\times f)^{-1}(U^e_\varepsilon)\in\mathcal U_dが成り立つことと同値であり、主張 (1)によりこれは、任意のε>0\varepsilon>0についてUδd⊆(f×f)−1(Uεe)U^d_\delta\subseteq(f\times f)^{-1}(U^e_\varepsilon)を満たすδ>0\delta>0が存在することと同値である。この包含は、d(x,x′)<δd(x,x')<\deltaを満たすすべてのx,x′∈Xx,x'\in Xについてe(f(x),f(x′))<εe(f(x),f(x'))<\varepsilonが成り立つことを意味するから、§E2.4 定義 3.1の条件に一致する。

主張 (4)を示す。ε>0\varepsilon>0についてUεdA=Uεd∩(A×A)U^{d_A}_\varepsilon=U^d_\varepsilon\cap(A\times A)である。補題 3.2により{Uεd∩(A×A)∣ε>0}\{U^d_\varepsilon\cap(A\times A)\mid\varepsilon>0\}は(Ud)A(\mathcal U_d)_Aの近縁基であり、主張 (1)を(A,dA)(A,d_A)に適用するとこの集合族はUdA\mathcal U_{d_A}の近縁基でもある。命題 1.8の一意性によりUdA=(Ud)A\mathcal U_{d_A}=(\mathcal U_d)_Aである。▨

例 5.3.X=(0,1]X=(0,1]に二つの距離d(x,y)=∣x−y∣d(x,y)=\lvert x-y\rvertとd′(x,y)=∣1/x−1/y∣d'(x,y)=\lvert 1/x-1/y\rvertを入れる。§E2.5 例 6.3によりOd=Od′\mathcal O_d=\mathcal O_{d'}であるから、命題 5.2 (2)によりUd\mathcal U_dとUd′\mathcal U_{d'}はいずれもこの位相と両立する。一方Ud⊊Ud′\mathcal U_d\subsetneq\mathcal U_{d'}である。実際、x,y∈Xx,y\in Xについて∣x−y∣=xy∣1/x−1/y∣≤∣1/x−1/y∣\lvert x-y\rvert=xy\lvert1/x-1/y\rvert\leq\lvert1/x-1/y\rvertであるから、すべてのε>0\varepsilon>0についてUεd′⊆UεdU^{d'}_\varepsilon\subseteq U^d_\varepsilonであり、Ud⊆Ud′\mathcal U_d\subseteq\mathcal U_{d'}である。他方、δ>0\delta>0に対してn>1/δn>1/\deltaを満たす正の整数nnをとると、x=1/nx=1/nとy=1/(n+1)y=1/(n+1)はd(x,y)=1/(n(n+1))<δd(x,y)=1/(n(n+1))<\deltaとd′(x,y)=1d'(x,y)=1を満たすから、Uδd⊈U1d′U^d_\delta\not\subseteq U^{d'}_1である。命題 5.2 (1)によりU1d′∉UdU^{d'}_1\notin\mathcal U_dである。したがって同じ位相と両立する一様構造は一つとは限らず、恒等写像(X,Ud′)→(X,Ud)(X,\mathcal U_{d'})\to(X,\mathcal U_d)は一様連続な同相写像であるが一様同相写像ではない。§E2.5 例 6.3により(X,d′)(X,d')は完備であり(X,d)(X,d)は完備でない。

6 終一様構造

命題 6.1.XXを集合、((Yλ,Vλ))λ∈Λ((Y_\lambda,\mathcal V_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}を一様空間の族、(fλ ⁣:Yλ→X)λ∈Λ(f_\lambda\colon Y_\lambda\to X)_{\lambda\in\Lambda}を写像の族とし、

A={E⊆X×X∣ΔX⊆E かつ、すべての λ∈Λ について (fλ×fλ)−1(E)∈Vλ}\mathcal A=\{E\subseteq X\times X\mid\Delta_X\subseteq E\text{ かつ、すべての }\lambda\in\Lambda\text{ について }(f_\lambda\times f_\lambda)^{-1}(E)\in\mathcal V_\lambda\}

とおく。A\mathcal Aの対称な元の列(En)n∈N≥0(E_n)_{n\in\N}であって、すべてのn∈N≥0n\in\NについてEn+1∘En+1⊆EnE_{n+1}\circ E_{n+1}\subseteq E_nを満たすものを考える。このような列の初項E0E_0を含むX×XX\times Xの部分集合の全体をF\mathcal Fとおく。

  1. F\mathcal FはXXの近縁系であり、すべてのfλ ⁣:Yλ→Xf_\lambda\colon Y_\lambda\to Xを一様連続にするXXの一様構造のうち最も細かいものである。
  2. 一様空間ZZと写像h ⁣:X→Zh\colon X\to Zについて、h ⁣:(X,F)→Zh\colon(X,\mathcal F)\to Zが一様連続であることと、すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてh∘fλ ⁣:Yλ→Zh\circ f_\lambda\colon Y_\lambda\to Zが一様連続であることは同値である。
  3. 一様位相OF\mathcal O_{\mathcal F}は、各YλY_\lambdaに一様位相OVλ\mathcal O_{\mathcal V_\lambda}を入れたときの族(fλ)λ∈Λ(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}による終位相に含まれる。

証明.主張 (1)を示す。すべての項がX×XX\times Xである列はF\mathcal Fを定める条件を満たすから、X×X∈FX\times X\in\mathcal Fである。F\mathcal Fは上位集合で閉じている。E,E′∈FE,E'\in\mathcal Fとし、初項がそれぞれEE、E′E'に含まれる、F\mathcal Fを定める列(En)n∈N≥0(E_n)_{n\in\N}、(En′)n∈N≥0(E'_n)_{n\in\N}をとる。逆像は共通部分を保つから、定義 1.3 条件 (c)により各nnについてEn∩En′∈AE_n\cap E'_n\in\mathcal Aであり、En∩En′E_n\cap E'_nは対称である。補題 1.2 (4)により

(En+1∩En+1′)∘(En+1∩En+1′)⊆(En+1∘En+1)∩(En+1′∘En+1′)⊆En∩En′(E_{n+1}\cap E'_{n+1})\circ(E_{n+1}\cap E'_{n+1})\subseteq(E_{n+1}\circ E_{n+1})\cap(E'_{n+1}\circ E'_{n+1})\subseteq E_n\cap E'_n

であるから、列(En∩En′)n∈N≥0(E_n\cap E'_n)_{n\in\N}は同じ条件を満たし、E∩E′∈FE\cap E'\in\mathcal Fである。

E∈FE\in\mathcal Fとし、初項がEEに含まれる、F\mathcal Fを定める列(En)n∈N≥0(E_n)_{n\in\N}をとる。ΔX⊆E0⊆E\Delta_X\subseteq E_0\subseteq Eである。E0=E0−1⊆E−1E_0=E_0^{-1}\subseteq E^{-1}であるからE−1∈FE^{-1}\in\mathcal Fである。列(En+1)n∈N≥0(E_{n+1})_{n\in\N}も同じ条件を満たすからE1∈FE_1\in\mathcal Fであり、E1∘E1⊆E0⊆EE_1\circ E_1\subseteq E_0\subseteq Eである。ゆえにF\mathcal Fは定義 1.3の六条件を満たす。また、λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて(fλ×fλ)−1(E0)∈Vλ(f_\lambda\times f_\lambda)^{-1}(E_0)\in\mathcal V_\lambdaであり、定義 1.3 条件 (b)により(fλ×fλ)−1(E)∈Vλ(f_\lambda\times f_\lambda)^{-1}(E)\in\mathcal V_\lambdaであるから、fλ ⁣:Yλ→(X,F)f_\lambda\colon Y_\lambda\to(X,\mathcal F)は一様連続である。

U′\mathcal U'を、すべてのfλf_\lambdaを一様連続にするXXの一様構造とし、E∈U′E\in\mathcal U'とする。補題 1.7 (1)によりE0⊆EE_0\subseteq Eを満たす対称なE0∈U′E_0\in\mathcal U'をとり、補題 1.7 (2)によりEn+1∘En+1⊆EnE_{n+1}\circ E_{n+1}\subseteq E_nを満たす対称なEn+1∈U′E_{n+1}\in\mathcal U'を帰納的にとる。定義 1.3 条件 (d)とfλf_\lambdaの一様連続性により各EnE_nはA\mathcal Aに属するから、E∈FE\in\mathcal Fである。ゆえにU′⊆F\mathcal U'\subseteq\mathcal Fである。

主張 (2)を示す。hhが一様連続ならば、主張 (1)と命題 3.4 (1)により各h∘fλh\circ f_\lambdaは一様連続である。逆に、すべてのh∘fλh\circ f_\lambdaが一様連続であるとし、一つの写像hhからなる族によるXXの始一様構造をU′\mathcal U'とする。命題 4.2 (2)により各fλ ⁣:Yλ→(X,U′)f_\lambda\colon Y_\lambda\to(X,\mathcal U')は一様連続であるから、主張 (1)によりU′⊆F\mathcal U'\subseteq\mathcal Fである。命題 4.2 (1)によりh ⁣:(X,U′)→Zh\colon(X,\mathcal U')\to Zは一様連続であるから、ZZの任意の近縁WWについて(h×h)−1(W)∈U′⊆F(h\times h)^{-1}(W)\in\mathcal U'\subseteq\mathcal Fであり、h ⁣:(X,F)→Zh\colon(X,\mathcal F)\to Zは一様連続である。

主張 (3)を示す。主張 (1)と命題 3.4 (3)により各fλ ⁣:(Yλ,OVλ)→(X,OF)f_\lambda\colon(Y_\lambda,\mathcal O_{\mathcal V_\lambda})\to(X,\mathcal O_{\mathcal F})は連続であるから、§E2.12 命題 3.9 (2)によりOF\mathcal O_{\mathcal F}は終位相に含まれる。▨

定義 6.2.XXを集合、((Yλ,Vλ))λ∈Λ((Y_\lambda,\mathcal V_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}を一様空間の族、(fλ ⁣:Yλ→X)λ∈Λ(f_\lambda\colon Y_\lambda\to X)_{\lambda\in\Lambda}を写像の族とする。

  1. 命題 6.1の近縁系F\mathcal Fを、族(fλ)λ∈Λ(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}による 終一様構造 (final uniformity) という。
  2. 一様空間(Y,V)(Y,\mathcal V)と全射p ⁣:Y→Xp\colon Y\to Xについて、一つの写像ppからなる族による終一様構造を、ppによる 商一様構造 (quotient uniformity) という。
  3. 一様空間の族((Xλ,Uλ))λ∈Λ((X_\lambda,\mathcal U_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}について、非交和∐λ∈ΛXλ\coprod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda（§E2.12 定義 7.1）への写像ιλ ⁣:Xλ→∐μ∈ΛXμ\iota_\lambda\colon X_\lambda\to\coprod_{\mu\in\Lambda}X_\mu、ιλ(x)=(λ,x)\iota_\lambda(x)=(\lambda,x)の族による終一様構造を 直和一様構造 (sum uniformity) という。

補題 6.3.XX、YYを集合、((Zμ,Wμ))μ∈M((Z_\mu,\mathcal W_\mu))_{\mu\in M}を一様空間の族、(hμ ⁣:Zμ→Y)μ∈M(h_\mu\colon Z_\mu\to Y)_{\mu\in M}を写像の族とし、YYに族(hμ)μ∈M(h_\mu)_{\mu\in M}による終一様構造V\mathcal Vを入れる。f ⁣:Y→Xf\colon Y\to Xを写像とし、一つの写像f ⁣:(Y,V)→Xf\colon(Y,\mathcal V)\to Xからなる族による終一様構造をF1\mathcal F_1、族(f∘hμ)μ∈M(f\circ h_\mu)_{\mu\in M}による終一様構造をF2\mathcal F_2とする。このときF1=F2\mathcal F_1=\mathcal F_2である。

証明. 一様空間TTと写像g ⁣:X→Tg\colon X\to Tをとる。命題 6.1 (2)をF1\mathcal F_1に適用すると、g ⁣:(X,F1)→Tg\colon(X,\mathcal F_1)\to Tが一様連続であることは、g∘f ⁣:(Y,V)→Tg\circ f\colon(Y,\mathcal V)\to Tが一様連続であることと同値である。命題 6.1 (2)をV\mathcal Vに適用すると、g∘fg\circ fが一様連続であることは、すべてのμ∈M\mu\in Mについてg∘f∘hμ ⁣:Zμ→Tg\circ f\circ h_\mu\colon Z_\mu\to Tが一様連続であることと同値である。命題 6.1 (2)をF2\mathcal F_2に適用すると、すべてのμ∈M\mu\in Mについてg∘f∘hμg\circ f\circ h_\muが一様連続であることは、g ⁣:(X,F2)→Tg\colon(X,\mathcal F_2)\to Tが一様連続であることと同値である。したがって、g ⁣:(X,F1)→Tg\colon(X,\mathcal F_1)\to Tが一様連続であることとg ⁣:(X,F2)→Tg\colon(X,\mathcal F_2)\to Tが一様連続であることは同値である。命題 3.4 (1)によりid⁡X ⁣:(X,F1)→(X,F1)\id_X\colon(X,\mathcal F_1)\to(X,\mathcal F_1)は一様連続であるから、T=(X,F1)T=(X,\mathcal F_1)、g=id⁡Xg=\id_Xとすると、id⁡X ⁣:(X,F2)→(X,F1)\id_X\colon(X,\mathcal F_2)\to(X,\mathcal F_1)は一様連続である。任意のW∈F1W\in\mathcal F_1について(id⁡X×id⁡X)−1(W)=W(\id_X\times\id_X)^{-1}(W)=Wであるから、一様連続性の定義によりW∈F2W\in\mathcal F_2であり、F1⊆F2\mathcal F_1\subseteq\mathcal F_2である。T=(X,F2)T=(X,\mathcal F_2)、g=id⁡Xg=\id_Xとすると、同じ理由でF2⊆F1\mathcal F_2\subseteq\mathcal F_1である。▨

系 6.4.((Xλ,Uλ))λ∈Λ((X_\lambda,\mathcal U_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}を一様空間の族とし、S=∐λ∈ΛXλS=\coprod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaに直和一様構造F\mathcal Fを入れ、ιλ ⁣:Xλ→S\iota_\lambda\colon X_\lambda\to Sを定義 6.2のとおりとする。

  1. E⊆S×SE\subseteq S\times SがF\mathcal Fに属することと、すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて(ιλ×ιλ)−1(E)∈Uλ(\iota_\lambda\times\iota_\lambda)^{-1}(E)\in\mathcal U_\lambdaであることは同値である。
  2. 各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて、ιλ\iota_\lambdaは一様埋め込みである。
  3. 一様位相OF\mathcal O_{\mathcal F}は、各XλX_\lambdaに一様位相OUλ\mathcal O_{\mathcal U_\lambda}を入れたときの位相的直和の位相に等しい。
  4. 一様空間ZZと写像h ⁣:S→Zh\colon S\to Zについて、hhが一様連続であることと、すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてh∘ιλ ⁣:Xλ→Zh\circ\iota_\lambda\colon X_\lambda\to Zが一様連続であることは同値である。

証明.主張 (1)を示す。必要性は、命題 6.1 (1)により各ιλ\iota_\lambdaが一様連続であることから従う。十分性を示す。E⊆S×SE\subseteq S\times Sがすべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて(ιλ×ιλ)−1(E)∈Uλ(\iota_\lambda\times\iota_\lambda)^{-1}(E)\in\mathcal U_\lambdaを満たすとする。各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて、補題 1.7 (1)と補題 1.7 (2)により、Uλ\mathcal U_\lambdaの対称な元の列(Vλ,n)n∈N≥0(V_{\lambda,n})_{n\in\N}であって、Vλ,0⊆(ιλ×ιλ)−1(E)V_{\lambda,0}\subseteq(\iota_\lambda\times\iota_\lambda)^{-1}(E)とすべてのn∈N≥0n\in\NについてのVλ,n+1∘Vλ,n+1⊆Vλ,nV_{\lambda,n+1}\circ V_{\lambda,n+1}\subseteq V_{\lambda,n}を満たすものをとる。En=⋃λ∈Λ(ιλ×ιλ)(Vλ,n)E_n=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(\iota_\lambda\times\iota_\lambda)(V_{\lambda,n})とおく。各ιλ\iota_\lambdaは単射であり、異なる添字のιλ\iota_\lambdaの像は交わらないから、すべてのμ∈Λ\mu\in\Lambdaについて(ιμ×ιμ)−1(En)=Vμ,n∈Uμ(\iota_\mu\times\iota_\mu)^{-1}(E_n)=V_{\mu,n}\in\mathcal U_\muである。定義 1.3 条件 (d)によりΔS⊆En\Delta_S\subseteq E_nであり、EnE_nは対称である。(s,s′)∈En+1(s,s')\in E_{n+1}かつ(s′,s′′)∈En+1(s',s'')\in E_{n+1}ならば、三点s,s′,s′′s,s',s''は同じιλ\iota_\lambdaの像に属するから、(s,s′′)∈(ιλ×ιλ)(Vλ,n+1∘Vλ,n+1)⊆En(s,s'')\in(\iota_\lambda\times\iota_\lambda)(V_{\lambda,n+1}\circ V_{\lambda,n+1})\subseteq E_nである。またE0⊆EE_0\subseteq Eである。ゆえにE∈FE\in\mathcal Fである。

主張 (2)を示す。ιλ\iota_\lambdaは単射であり、命題 6.1 (1)により一様連続である。V∈UλV\in\mathcal U_\lambdaについて

W=(ιλ×ιλ)(V)∪⋃μ≠λ(ιμ×ιμ)(Xμ×Xμ)W=(\iota_\lambda\times\iota_\lambda)(V)\cup\bigcup_{\mu\neq\lambda}(\iota_\mu\times\iota_\mu)(X_\mu\times X_\mu)

とおく。定義 1.3 条件 (a)と主張 (1)によりW∈FW\in\mathcal Fであり、(ιλ×ιλ)−1(W)=V(\iota_\lambda\times\iota_\lambda)^{-1}(W)=Vである。補題 4.6によりιλ\iota_\lambdaは一様埋め込みである。

主張 (3)を示す。§E2.12 定義 7.1により位相的直和の位相は族(ιλ)λ∈Λ(\iota_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}による終位相であるから、命題 6.1 (3)によりOF\mathcal O_{\mathcal F}はこの位相に含まれる。逆に、AAを位相的直和の開集合とし、λ∈Λ\lambda\in\Lambdaとx∈Xλx\in X_\lambdaについてιλ(x)∈A\iota_\lambda(x)\in Aとする。ιλ−1(A)\iota_\lambda^{-1}(A)はOUλ\mathcal O_{\mathcal U_\lambda}に属するから、V[x]⊆ιλ−1(A)V[x]\subseteq\iota_\lambda^{-1}(A)を満たすV∈UλV\in\mathcal U_\lambdaが存在する。このVVについて主張 (2)の証明のWWをとると、W∈FW\in\mathcal Fであり、W[ιλ(x)]=ιλ(V[x])⊆AW[\iota_\lambda(x)]=\iota_\lambda(V[x])\subseteq Aである。命題 2.1によりA∈OFA\in\mathcal O_{\mathcal F}である。

主張 (4)は命題 6.1 (2)を族(ιλ)λ∈Λ(\iota_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}に適用したものである。▨

系 6.5.(Y,V)(Y,\mathcal V)を一様空間、XXを集合、p ⁣:Y→Xp\colon Y\to Xを全射とし、XXにppによる商一様構造F\mathcal Fを入れる。

  1. 一様空間ZZと写像f ⁣:Y→Zf\colon Y\to Zについて、ffが一様連続であり、p(y)=p(y′)p(y)=p(y')ならばf(y)=f(y′)f(y)=f(y')であることと、g∘p=fg\circ p=fを満たす一様連続写像g ⁣:(X,F)→Zg\colon(X,\mathcal F)\to Zが存在することは同値である。このggは一意である。
  2. 一様位相OF\mathcal O_{\mathcal F}は、YYに一様位相OV\mathcal O_{\mathcal V}を入れたときのppによる商位相に含まれる。
  3. B\mathcal BをV\mathcal Vの近縁基とする。{(p×p)(B)∣B∈B}\{(p\times p)(B)\mid B\in\mathcal B\}がXXのある近縁系の近縁基であるならば、その近縁系はF\mathcal Fに等しい。

証明.主張 (1)を示す。ffが一様連続であり、p(y)=p(y′)p(y)=p(y')ならばf(y)=f(y′)f(y)=f(y')であるとする。各x∈Xx\in Xについて、ppの全射性によりp(y)=xp(y)=xを満たすy∈Yy\in Yが存在し、f(y)f(y)の値はyyの選び方によらない。その値をg(x)g(x)と定めるとg∘p=fg\circ p=fであり、命題 6.1 (2)によりg ⁣:(X,F)→Zg\colon(X,\mathcal F)\to Zは一様連続である。逆に、g∘p=fg\circ p=fを満たす一様連続写像ggが存在するとする。命題 6.1 (1)と命題 3.4 (1)によりffは一様連続であり、p(y)=p(y′)p(y)=p(y')ならばf(y)=g(p(y))=g(p(y′))=f(y′)f(y)=g(p(y))=g(p(y'))=f(y')である。ppは全射であるから、g∘p=fg\circ p=fを満たす写像ggは一意である。

主張 (2)は、§E2.12 定義 8.7により商位相が一つの写像ppからなる族による終位相であることと、命題 6.1 (3)から従う。

主張 (3)を示す。{(p×p)(B)∣B∈B}\{(p\times p)(B)\mid B\in\mathcal B\}を近縁基とするXXの近縁系をU′\mathcal U'とする。W∈U′W\in\mathcal U'について、(p×p)(B)⊆W(p\times p)(B)\subseteq Wを満たすB∈BB\in\mathcal Bが存在する。B⊆(p×p)−1(W)B\subseteq(p\times p)^{-1}(W)であるから、定義 1.3 条件 (b)により(p×p)−1(W)∈V(p\times p)^{-1}(W)\in\mathcal Vである。したがってp ⁣:Y→(X,U′)p\colon Y\to(X,\mathcal U')は一様連続であり、命題 6.1 (1)によりU′⊆F\mathcal U'\subseteq\mathcal Fである。逆にE∈FE\in\mathcal Fとすると、命題 6.1 (1)により(p×p)−1(E)∈V(p\times p)^{-1}(E)\in\mathcal Vであるから、B⊆(p×p)−1(E)B\subseteq(p\times p)^{-1}(E)を満たすB∈BB\in\mathcal Bが存在する。(p×p)(B)⊆E(p\times p)(B)\subseteq EであるからE∈U′E\in\mathcal U'である。▨

例 6.6.R\Rに距離d(s,t)=∣s−t∣d(s,t)=\lvert s-t\rvertと距離一様構造Ud\mathcal U_dを入れる。∗\astをR\Rに属さない元とし、X=(R∖Q)∪{∗}X=(\R\setminus\Q)\cup\{\ast\}とおく。全射p ⁣:R→Xp\colon\R\to Xを、r∈Qr\in\Qについてp(r)=∗p(r)=\ast、x∈R∖Qx\in\R\setminus\Qについてp(x)=xp(x)=xで定める。このとき、ppによる商一様構造F\mathcal Fは{X×X}\{X\times X\}に等しく、その一様位相はppによる商位相より真に粗い。また、命題 6.1のA\mathcal AはXXの近縁系ではない。

E∈FE\in\mathcal Fとし、初項がEEに含まれる、命題 6.1のF\mathcal Fを定める列(En)n∈N≥0(E_n)_{n\in\N}をとる。命題 5.2 (1)によりUεd⊆(p×p)−1(E1)U^d_\varepsilon\subseteq(p\times p)^{-1}(E_1)を満たす実数ε>0\varepsilon>0が存在する。y∈Xy\in Xとし、p(x)=yp(x)=yを満たすx∈Rx\in\Rをとる。§E1.14 定理 3.6により∣x−r∣<ε\lvert x-r\rvert<\varepsilonを満たすr∈Qr\in\Qが存在し、(x,r)∈Uεd(x,r)\in U^d_\varepsilonであるから(y,∗)∈E1(y,\ast)\in E_1である。E1E_1は対称であるから、y,y′∈Xy,y'\in Xについて(y,∗),(∗,y′)∈E1(y,\ast),(\ast,y')\in E_1であり、(y,y′)∈E1∘E1⊆E(y,y')\in E_1\circ E_1\subseteq Eである。ゆえにE=X×XE=X\times Xであり、F={X×X}\mathcal F=\{X\times X\}である。したがってF\mathcal Fの一様位相は{∅,X}\{\emptyset,X\}である。一方、x∈R∖Qx\in\R\setminus\Qについてp−1(X∖{x})=R∖{x}p^{-1}(X\setminus\{x\})=\R\setminus\{x\}は開集合であるから、X∖{x}X\setminus\{x\}は商位相の開集合であり、∅\emptysetでもXXでもない。

E′=ΔX∪(p×p)(U1d)E'=\Delta_X\cup(p\times p)(U^d_1)とおくと、U1d⊆(p×p)−1(E′)U^d_1\subseteq(p\times p)^{-1}(E')であるからE′∈AE'\in\mathcal Aである。x=2x=\sqrt2、y=2+1y=\sqrt2+1は無理数であり∣x−y∣=1\lvert x-y\rvert=1であるから、(x,y)∉E′(x,y)\notin E'である。A\mathcal Aが近縁系であるとすると、ppはA\mathcal Aに関して一様連続であるから、命題 6.1 (1)によりA⊆F={X×X}\mathcal A\subseteq\mathcal F=\{X\times X\}となり、E′≠X×XE'\neq X\times Xに反する。

7 一様化可能性

補題 7.1.XXを集合とし、(Wn)n∈N≥0(W_n)_{n\in\N}をX×XX\times Xの部分集合の列で、次の三条件を満たすものとする。

  1. すべてのn∈N≥0n\in\Nについて、WnW_nは対称であり、ΔX⊆Wn\Delta_X\subseteq W_nを満たす。
  2. W0=X×XW_0=X\times Xである。
  3. すべてのn∈N≥0n\in\NについてWn+1∘Wn+1⊆WnW_{n+1}\circ W_{n+1}\subseteq W_nである。

このとき、写像g ⁣:X×X→[0,1]g\colon X\times X\to[0,1]であって次の四つを満たすものが存在する。

  1. すべてのx∈Xx\in Xについてg(x,x)=0g(x,x)=0である。
  2. すべてのn∈N≥0n\in\Nと、すべての(x,y)∈Wn(x,y)\in W_nについてg(x,y)≤2−ng(x,y)\leq2^{-n}である。
  3. すべてのn∈N≥0n\in\Nと、g(x,y)<2−ng(x,y)<2^{-n}を満たすすべてのx,y∈Xx,y\in Xについて(x,y)∈Wn(x,y)\in W_nである。
  4. すべてのn∈N≥0n\in\N、すべてのx∈Xx\in X、およびすべての(y,z)∈Wn(y,z)\in W_nについて∣g(x,y)−g(x,z)∣≤21−n\lvert g(x,y)-g(x,z)\rvert\leq2^{1-n}である。

証明.N≥1\NNの有限部分集合SSに対して、S={n1,…,nk}S=\{n_1,\ldots,n_k\}（n1<⋯<nkn_1<\cdots<n_k）と書いて

VS=Wnk∘Wnk−1∘⋯∘Wn1,σ(S)=∑n∈S2−nV_S=W_{n_k}\circ W_{n_{k-1}}\circ\cdots\circ W_{n_1},\qquad \sigma(S)=\sum_{n\in S}2^{-n}

とおき、V∅=ΔXV_\emptyset=\Delta_X、σ(∅)=0\sigma(\emptyset)=0とする。補題 1.2 (1)によりVSV_Sは括弧の付け方によらず定まり、補題 1.2 (5)とあわせて、N≥1\NNの有限部分集合S,TS,Tが「SSのすべての元はTTのすべての元より小さい」を満たすならばVS∪T=VT∘VSV_{S\cup T}=V_T\circ V_Sである。x,y∈Xx,y\in Xに対して

g(x,y)=inf⁡({σ(S)∣S は N≥1 の有限部分集合であり (x,y)∈VS}∪{1})g(x,y)=\inf\Bigl(\bigl\{\sigma(S)\bigm| S\text{ は }\NN\text{ の有限部分集合であり }(x,y)\in V_S\bigr\}\cup\{1\}\Bigr)

と定める。右辺の集合は11を含み、その元はすべて00以上であるから、g(x,y)∈[0,1]g(x,y)\in[0,1]である。条件 (a)、条件 (c)、補題 1.2 (5)により、すべてのn∈N≥0n\in\NについてWn+1⊆Wn+1∘Wn+1⊆WnW_{n+1}\subseteq W_{n+1}\circ W_{n+1}\subseteq W_nであり、m≥nm\geq nならばWm⊆WnW_m\subseteq W_nである。

主張 7.1.1.n∈N≥0n\in\Nとし、SSをN≥1\NNの有限部分集合で、すべての元がnnより大きいものとする。このときVS⊆WnV_S\subseteq W_nである。

証明.S=∅S=\emptysetのとき、条件 (a)によりVS=ΔX⊆WnV_S=\Delta_X\subseteq W_nである。S≠∅S\neq\emptysetとし、kkをSSの最小元、S′=S∖{k}S'=S\setminus\{k\}とする。S′S'はSSより元が一つ少なく、そのすべての元はkkより大きいから、SSの元の個数についての帰納法の仮定をkkとS′S'に適用してVS′⊆WkV_{S'}\subseteq W_kを得る。VS=VS′∘WkV_S=V_{S'}\circ W_kであるから、補題 1.2 (4)と条件 (c)によりVS⊆Wk∘Wk⊆Wk−1V_S\subseteq W_k\circ W_k\subseteq W_{k-1}であり、k−1≥nk-1\geq nであるからVS⊆WnV_S\subseteq W_nである。▨

主張 7.1.2.q∈N≥1q\in\NNとし、S⊆{1,…,q}S\subseteq\{1,\ldots,q\}がσ(S)+2−q<1\sigma(S)+2^{-q}<1を満たすとする。このとき、σ(T)=σ(S)+2−q\sigma(T)=\sigma(S)+2^{-q}とWq∘VS⊆VTW_q\circ V_S\subseteq V_Tを満たすT⊆{1,…,q}T\subseteq\{1,\ldots,q\}が存在する。

証明.q∉Sq\notin Sのとき、T=S∪{q}T=S\cup\{q\}とおく。SSのすべての元はqqより小さいからVT=Wq∘VSV_T=W_q\circ V_Sであり、σ(T)=σ(S)+2−q\sigma(T)=\sigma(S)+2^{-q}である。q∈Sq\in Sのとき、q=1q=1ならばS={1}S=\{1\}でありσ(S)+2−1=1\sigma(S)+2^{-1}=1となって仮定に反するから、q≥2q\geq2である。S′=S∖{q}S'=S\setminus\{q\}とおくと、S′⊆{1,…,q−1}S'\subseteq\{1,\ldots,q-1\}かつVS=Wq∘VS′V_S=W_q\circ V_{S'}であるから、補題 1.2 (1)、補題 1.2 (4)、条件 (c)により

Wq∘VS=(Wq∘Wq)∘VS′⊆Wq−1∘VS′W_q\circ V_S=(W_q\circ W_q)\circ V_{S'}\subseteq W_{q-1}\circ V_{S'}

である。σ(S′)+2−(q−1)=σ(S)−2−q+21−q=σ(S)+2−q<1\sigma(S')+2^{-(q-1)}=\sigma(S)-2^{-q}+2^{1-q}=\sigma(S)+2^{-q}<1であるから、qqについての帰納法の仮定をq−1q-1とS′S'に適用すると、σ(T)=σ(S′)+2−(q−1)\sigma(T)=\sigma(S')+2^{-(q-1)}とWq−1∘VS′⊆VTW_{q-1}\circ V_{S'}\subseteq V_Tを満たすT⊆{1,…,q−1}T\subseteq\{1,\ldots,q-1\}が存在する。このTTはT⊆{1,…,q}T\subseteq\{1,\ldots,q\}、σ(T)=σ(S)+2−q\sigma(T)=\sigma(S)+2^{-q}、Wq∘VS⊆VTW_q\circ V_S\subseteq V_Tを満たす。▨

主張 7.1.3.m∈N≥1m\in\NNとし、SSをN≥1\NNの有限部分集合とする。x,z∈Xx,z\in Xが(x,z)∈Wm∘VS(x,z)\in W_m\circ V_Sを満たすならば、g(x,z)≤σ(S)+21−mg(x,z)\leq\sigma(S)+2^{1-m}である。

証明.S1=S∩{1,…,m}S_1=S\cap\{1,\ldots,m\}、S2=S∖S1S_2=S\setminus S_1とおく。S1S_1のすべての元はS2S_2のすべての元より小さいからVS=VS2∘VS1V_S=V_{S_2}\circ V_{S_1}であり、S2S_2のすべての元はmmより大きいから、主張 7.1.1によりVS2⊆WmV_{S_2}\subseteq W_mである。補題 1.2 (4)によりWm∘VS⊆Wm∘(Wm∘VS1)W_m\circ V_S\subseteq W_m\circ(W_m\circ V_{S_1})である。σ(S1)+21−m≥1\sigma(S_1)+2^{1-m}\geq1のときは、g(x,z)≤1≤σ(S1)+21−m≤σ(S)+21−mg(x,z)\leq1\leq\sigma(S_1)+2^{1-m}\leq\sigma(S)+2^{1-m}である。σ(S1)+21−m<1\sigma(S_1)+2^{1-m}<1のときはσ(S1)+2−m<1\sigma(S_1)+2^{-m}<1であるから、主張 7.1.2により、σ(T1)=σ(S1)+2−m\sigma(T_1)=\sigma(S_1)+2^{-m}とWm∘VS1⊆VT1W_m\circ V_{S_1}\subseteq V_{T_1}を満たすT1⊆{1,…,m}T_1\subseteq\{1,\ldots,m\}が存在する。σ(T1)+2−m=σ(S1)+21−m<1\sigma(T_1)+2^{-m}=\sigma(S_1)+2^{1-m}<1であるから、ふたたび主張 7.1.2により、σ(T2)=σ(S1)+21−m\sigma(T_2)=\sigma(S_1)+2^{1-m}とWm∘VT1⊆VT2W_m\circ V_{T_1}\subseteq V_{T_2}を満たすT2⊆{1,…,m}T_2\subseteq\{1,\ldots,m\}が存在する。補題 1.2 (4)により

Wm∘VS⊆Wm∘(Wm∘VS1)⊆Wm∘VT1⊆VT2W_m\circ V_S\subseteq W_m\circ(W_m\circ V_{S_1})\subseteq W_m\circ V_{T_1}\subseteq V_{T_2}

であるから(x,z)∈VT2(x,z)\in V_{T_2}であり、ggの定義によりg(x,z)≤σ(T2)=σ(S1)+21−m≤σ(S)+21−mg(x,z)\leq\sigma(T_2)=\sigma(S_1)+2^{1-m}\leq\sigma(S)+2^{1-m}である。▨

主張 (1)を示す。x∈Xx\in Xについて(x,x)∈ΔX=V∅(x,x)\in\Delta_X=V_\emptysetであるから、g(x,x)≤σ(∅)=0g(x,x)\leq\sigma(\emptyset)=0であり、g(x,x)=0g(x,x)=0である。

主張 (2)を示す。n=0n=0のときはg≤1g\leq1から従う。n≥1n\geq1とし、(x,y)∈Wn(x,y)\in W_nとする。Wn=V{n}W_n=V_{\{n\}}であるから、g(x,y)≤σ({n})=2−ng(x,y)\leq\sigma(\{n\})=2^{-n}である。

主張 (3)を示す。n∈N≥0n\in\Nとし、x,y∈Xx,y\in Xがg(x,y)<2−ng(x,y)<2^{-n}を満たすとする。2−n≤12^{-n}\leq1であるから、ggの定義により、(x,y)∈VS(x,y)\in V_Sかつσ(S)<2−n\sigma(S)<2^{-n}を満たすN≥1\NNの有限部分集合SSが存在する。k∈Sk\in Sならば2−k≤σ(S)<2−n2^{-k}\leq\sigma(S)<2^{-n}であるからk>nk>nであり、主張 7.1.1により(x,y)∈VS⊆Wn(x,y)\in V_S\subseteq W_nである。

主張 (4)を示す。n=0n=0のときは、ggの値が[0,1][0,1]に属することから従う。n≥1n\geq1とし、x∈Xx\in Xと(y,z)∈Wn(y,z)\in W_nをとる。N≥1\NNの有限部分集合SSが(x,y)∈VS(x,y)\in V_Sを満たすならば、合成の定義により(x,z)∈Wn∘VS(x,z)\in W_n\circ V_Sであり、主張 7.1.3によりg(x,z)≤σ(S)+21−ng(x,z)\leq\sigma(S)+2^{1-n}である。またg(x,z)≤1≤1+21−ng(x,z)\leq1\leq1+2^{1-n}である。したがってg(x,z)−21−ng(x,z)-2^{1-n}はg(x,y)g(x,y)を定める集合の下界であり、g(x,z)≤g(x,y)+21−ng(x,z)\leq g(x,y)+2^{1-n}である。条件 (a)により(z,y)∈Wn(z,y)\in W_nであるから、ここまでの議論を(z,y)(z,y)に適用してg(x,y)≤g(x,z)+21−ng(x,y)\leq g(x,z)+2^{1-n}を得る。ゆえに∣g(x,y)−g(x,z)∣≤21−n\lvert g(x,y)-g(x,z)\rvert\leq2^{1-n}である。▨

定理 7.2.(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間とする。

  1. XXが完全正則であることは、O\mathcal Oと両立するXXの一様構造が存在するための必要十分条件である。
  2. XXが T3½ 空間であることは、O\mathcal Oと両立するXXの Hausdorff な一様構造が存在するための必要十分条件である。

証明.主張 (1)を示す。必要性を示す。U\mathcal UをO\mathcal Oと両立するXXの一様構造とし、FFをXXの閉集合、x∈X∖Fx\in X\setminus Fとする。X∖FX\setminus Fはxxを含むOU\mathcal O_{\mathcal U}の開集合であるから、命題 2.1によりV[x]⊆X∖FV[x]\subseteq X\setminus Fを満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在する。W0=X×XW_0=X\times X、W1=V∩V−1W_1=V\cap V^{-1}とおき、Wn∈UW_n\in\mathcal Uまで定めたとき、補題 1.7 (2)によりWn+1∘Wn+1⊆WnW_{n+1}\circ W_{n+1}\subseteq W_nを満たす対称な近縁Wn+1W_{n+1}をとる。補題 1.7 (1)によりW1W_1はVVに含まれる対称な近縁であり、定義 1.3 条件 (d)によりすべてのWnW_nはΔX\Delta_Xを含むから、列(Wn)n∈N≥0(W_n)_{n\in\N}は補題 7.1の三条件を満たす。補題 7.1により、補題 7.1 (1)、補題 7.1 (3)、補題 7.1 (4)を満たす写像g ⁣:X×X→[0,1]g\colon X\times X\to[0,1]が存在する。そのようなggを一つとり、h ⁣:X→Rh\colon X\to\Rをh(y)=min⁡{1,2g(x,y)}h(y)=\min\{1,2g(x,y)\}で定める。

y∈Xy\in Xと実数ε>0\varepsilon>0をとり、22−n<ε2^{2-n}<\varepsilonを満たすn∈N≥1n\in\NNをとる。命題 2.1によりWn[y]W_n[y]はyyの近傍であるから、y∈G⊆Wn[y]y\in G\subseteq W_n[y]を満たす開集合GGが存在する。z∈Gz\in Gならば(y,z)∈Wn(y,z)\in W_nであるから、補題 7.1 (4)により∣g(x,y)−g(x,z)∣≤21−n\lvert g(x,y)-g(x,z)\rvert\leq2^{1-n}である。実数s,ts,tについて∣min⁡{1,s}−min⁡{1,t}∣≤∣s−t∣\lvert\min\{1,s\}-\min\{1,t\}\rvert\leq\lvert s-t\rvertであるから、∣h(y)−h(z)∣≤22−n<ε\lvert h(y)-h(z)\rvert\leq2^{2-n}<\varepsilonである。§E2.12 補題 1.9によりhhは連続である。hhの値は[0,1][0,1]に属するから、§E2.12 定理 4.4 (3)によりhhは[0,1][0,1]への連続写像である。補題 7.1 (1)によりh(x)=0h(x)=0である。y∈Fy\in Fとすると、y∉V[x]y\notin V[x]とW1⊆VW_1\subseteq Vから(x,y)∉W1(x,y)\notin W_1であり、補題 7.1 (3)によりg(x,y)≥2−1g(x,y)\geq2^{-1}であるからh(y)=1h(y)=1である。§E2.15 定義 1.7 (2)によりXXは完全正則である。

十分性を示す。XXを完全正則とし、CCをXXから[0,1][0,1]への連続写像の全体とする。[0,1][0,1]には距離∣s−t∣\lvert s-t\rvertが定める一様構造を入れ、U\mathcal Uを族(f)f∈C(f)_{f\in C}によるXXの始一様構造とする。命題 5.2 (2)と§E2.12 命題 4.8により、[0,1][0,1]の一様位相はR\Rの部分空間位相に等しい。命題 4.2 (3)により、OU\mathcal O_{\mathcal U}は族(f)f∈C(f)_{f\in C}による始位相I\mathcal Iに等しい。各f∈Cf\in CはO\mathcal Oに関して連続であるから、§E2.12 命題 3.3 (2)によりI⊆O\mathcal I\subseteq\mathcal Oである。§E2.15 補題 4.2 (1)⇒\Rightarrow(2)により族(f)f∈C(f)_{f\in C}はXXの点と閉集合を分離し、§E2.14 補題 6.6により{f−1(G)∣f∈C, G は [0,1] の開集合}\{f^{-1}(G)\mid f\in C,\ G\text{ は }[0,1]\text{ の開集合}\}はO\mathcal Oの開基である。§E2.12 命題 3.3 (1)によりこの開基の元はすべてI\mathcal Iに属し、O\mathcal Oの各元はこの開基の元の和集合であるから、O⊆I\mathcal O\subseteq\mathcal Iである。ゆえにOU=I=O\mathcal O_{\mathcal U}=\mathcal I=\mathcal Oであり、U\mathcal UはO\mathcal Oと両立する。

主張 (2)を示す。必要性を示す。U\mathcal UをO\mathcal Oと両立する Hausdorff な一様構造とする。命題 2.8 (1)⇒\Rightarrow(2)によりO=OU\mathcal O=\mathcal O_{\mathcal U}は T2 であり、§E2.15 定理 1.11 (4)により T1 である。主張 (1)によりXXは完全正則であり、§E2.15 定義 1.8 (2)によりXXは T3½ 空間である。十分性を示す。XXを T3½ 空間とする。XXは完全正則であるから、主張 (1)によりO\mathcal Oと両立する一様構造U\mathcal Uが存在する。XXは T1 であるから§E2.15 定理 1.11 (5)によりOU=O\mathcal O_{\mathcal U}=\mathcal Oは T0 であり、命題 2.8 (3)⇒\Rightarrow(1)によりU\mathcal Uは Hausdorff である。▨

注意 7.3. 位相群の左右の一様構造は §E14.3 位相群の一様構造 で、位相線形空間の標準一様構造は §E12.16 位相線形空間 で構成する。これらは位相と両立するので、定理 7.2 (1)により位相群と位相線形空間は完全正則である（§E14.3 系 1.3、§E12.16 系 5.4）。

注意 7.4.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とし、U\mathcal Uが高々可算な近縁基をもつとする。このとき、実数ε>0\varepsilon>0に対する集合{(x,y)∈X×X∣d(x,y)<ε}\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<\varepsilon\}の全体がU\mathcal Uの近縁基となるXX上の擬距離ddが存在する（§E2.52 定理 2.3 (1)）。このような擬距離は、補題 7.1の三条件を満たす近縁の列に補題 7.1を適用して得る写像から構成することができる（§E2.52 補題 2.1）。

8 コンパクト空間の一様構造

補題 8.1.(X,U)(X,\mathcal U)を一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}がコンパクトである一様空間とし、X×XX\times XにはOU\mathcal O_{\mathcal U}に関する積位相を入れる。ΔX\Delta_Xを含むX×XX\times Xの開集合を含むX×XX\times Xの部分集合の全体をNΔ\mathcal N_\Deltaとする。このときU=NΔ\mathcal U=\mathcal N_\Deltaである。

証明.V∈UV\in\mathcal Uとする。補題 2.4 (1)によりVVの内部int⁡X×X(V)\tpint[X\times X]{V}は近縁であり、定義 1.3 条件 (d)によりΔX\Delta_Xを含む。int⁡X×X(V)\tpint[X\times X]{V}はVVに含まれる開集合であるから、V∈NΔV\in\mathcal N_\Deltaである。

M∈NΔM\in\mathcal N_\Deltaとし、ΔX⊆G⊆M\Delta_X\subseteq G\subseteq Mを満たすX×XX\times Xの開集合GGをとり、K=(X×X)∖GK=(X\times X)\setminus Gとおく。M∉UM\notin\mathcal Uと仮定する。定義 1.3 条件 (b)によりG∉UG\notin\mathcal Uであるから、任意のV∈UV\in\mathcal UについてV⊈GV\not\subseteq G、すなわちV∩K≠∅V\cap K\neq\emptysetである。B={V∩K∣V∈U}\mathfrak B=\{V\cap K\mid V\in\mathcal U\}とおく。定義 1.3 条件 (a)によりK=(X×X)∩K∈BK=(X\times X)\cap K\in\mathfrak Bであり、B\mathfrak Bの元はすべて空でなく、V,V′∈UV,V'\in\mathcal Uについて、定義 1.3 条件 (c)により(V∩K)∩(V′∩K)=(V∩V′)∩K∈B(V\cap K)\cap(V'\cap K)=(V\cap V')\cap K\in\mathfrak Bであるから、B\mathfrak BはX×XX\times X上のフィルター基である。§E2.19 定理 5.3によりX×XX\times Xはコンパクトであるから、§E2.50 定理 7.1 (1)⇒\Rightarrow(2)により、⟨B⟩\langle\mathfrak B\rangleは集積点p=(x,y)p=(x,y)をもつ。§E2.50 命題 1.3 (1)によりB⊆⟨B⟩\mathfrak B\subseteq\langle\mathfrak B\rangleであるから、p∈cl⁡X×X(K)p\in\tpcl[X\times X]{K}であり、KKは閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (2)によりp∈Kp\in Kである。

V∈UV\in\mathcal Uとする。補題 2.4 (3)により、X×XX\times Xの閉集合である近縁C⊆VC\subseteq Vが存在する。C∩K∈B⊆⟨B⟩C\cap K\in\mathfrak B\subseteq\langle\mathfrak B\rangleであるからp∈cl⁡X×X(C∩K)p\in\tpcl[X\times X]{C\cap K}であり、§E2.11 命題 2.5 (1)によりcl⁡X×X(C∩K)⊆C\tpcl[X\times X]{C\cap K}\subseteq Cであるから、p∈C⊆Vp\in C\subseteq Vである。ゆえに、すべてのV∈UV\in\mathcal Uについて(x,y)∈V(x,y)\in Vである。

(x,x)∈ΔX⊆G(x,x)\in\Delta_X\subseteq Gであり、GGは開集合であるから、§E2.14 補題 1.11により、(x,x)∈O×O′⊆G(x,x)\in O\times O'\subseteq Gを満たすOU\mathcal O_{\mathcal U}の開集合O,O′O,O'が存在する。x∈O′x\in O'であるから、命題 2.1のOU\mathcal O_{\mathcal U}の定義により、V0[x]⊆O′V_0[x]\subseteq O'を満たすV0∈UV_0\in\mathcal Uが存在する。すべてのV∈UV\in\mathcal Uについて(x,y)∈V(x,y)\in Vであるから、(x,y)∈V0(x,y)\in V_0である。ゆえにy∈V0[x]⊆O′y\in V_0[x]\subseteq O'である。x∈Ox\in Oとあわせてp=(x,y)∈O×O′⊆Gp=(x,y)\in O\times O'\subseteq Gである。これはp∈K=(X×X)∖Gp\in K=(X\times X)\setminus Gに反する。ゆえにM∈UM\in\mathcal Uである。▨

定理 8.2.(X,O)(X,\mathcal O)をコンパクトな位相空間とし、X×XX\times Xに積位相を入れ、ΔX\Delta_Xを含むX×XX\times Xの開集合を含むX×XX\times Xの部分集合の全体をNΔ\mathcal N_\Deltaとする。

  1. O\mathcal Oと両立するXXの任意の一様構造はNΔ\mathcal N_\Deltaに等しい。とくに、O\mathcal Oと両立するXXの一様構造は高々一つである。
  2. XXが完全正則ならば、NΔ\mathcal N_\DeltaはO\mathcal Oと両立するXXの一様構造であり、O\mathcal Oと両立するXXのただ一つの一様構造である。とくに、XXが Hausdorff ならば、NΔ\mathcal N_\DeltaはO\mathcal Oと両立するXXのただ一つの一様構造である。

証明.主張 (1)を示す。U\mathcal UをO\mathcal Oと両立するXXの一様構造とする。OU=O\mathcal O_{\mathcal U}=\mathcal Oはコンパクトであり、OU\mathcal O_{\mathcal U}に関するX×XX\times Xの積位相はO\mathcal Oに関する積位相であるから、補題 8.1によりU=NΔ\mathcal U=\mathcal N_\Deltaである。

主張 (2)を示す。XXを完全正則とする。定理 7.2 (1)により、O\mathcal Oと両立するXXの一様構造U\mathcal Uが存在し、主張 (1)によりU=NΔ\mathcal U=\mathcal N_\Deltaである。ゆえにNΔ\mathcal N_\DeltaはO\mathcal Oと両立するXXの一様構造であり、主張 (1)によりO\mathcal Oと両立するXXのただ一つの一様構造である。XXを Hausdorff とする。XXはコンパクトであるから、§E2.19 系 6.12によりXXは T3½ 空間であり、§E2.15 定義 1.8 (2)により完全正則である。ゆえにNΔ\mathcal N_\DeltaはO\mathcal Oと両立するXXのただ一つの一様構造である。▨

9 演習

問題 9.1.補題 1.2の証明を完成させよ。

解答.

補題 1.2 (1)を示す。(x,w)∈(U∘V)∘W(x,w)\in(U\circ V)\circ Wであることは、(x,y)∈W(x,y)\in Wと(y,w)∈U∘V(y,w)\in U\circ Vを満たすyyが存在すること、すなわち(x,y)∈W(x,y)\in W、(y,z)∈V(y,z)\in V、(z,w)∈U(z,w)\in Uを満たすy,zy,zが存在することと同値である。これは、(x,z)∈V∘W(x,z)\in V\circ Wと(z,w)∈U(z,w)\in Uを満たすzzが存在すること、すなわち(x,w)∈U∘(V∘W)(x,w)\in U\circ(V\circ W)と同値である。

補題 1.2 (2)を示す。(z,x)∈(V∘W)−1(z,x)\in(V\circ W)^{-1}であることは、(x,y)∈W(x,y)\in Wと(y,z)∈V(y,z)\in Vを満たすyyが存在することと同値であり、これは(z,y)∈V−1(z,y)\in V^{-1}と(y,x)∈W−1(y,x)\in W^{-1}を満たすyyが存在すること、すなわち(z,x)∈W−1∘V−1(z,x)\in W^{-1}\circ V^{-1}と同値である。

補題 1.2 (3)を示す。z∈(V∘W)[A]z\in(V\circ W)[A]であることは、(a,y)∈W(a,y)\in Wと(y,z)∈V(y,z)\in Vを満たすa∈Aa\in Aとy∈Xy\in Xが存在することと同値である。(a,y)∈W(a,y)\in Wを満たすa∈Aa\in Aが存在することはy∈W[A]y\in W[A]と同値であるから、これは(y,z)∈V(y,z)\in Vを満たすy∈W[A]y\in W[A]が存在すること、すなわちz∈V[W[A]]z\in V[W[A]]と同値である。

補題 1.2 (4)を示す。(x,z)∈V∘W(x,z)\in V\circ Wとし、(x,y)∈W(x,y)\in Wと(y,z)∈V(y,z)\in Vを満たすyyをとると、(x,y)∈W′(x,y)\in W'と(y,z)∈V′(y,z)\in V'であるから(x,z)∈V′∘W′(x,z)\in V'\circ W'である。

補題 1.2 (5)を示す。(x,z)∈ΔX∘V(x,z)\in\Delta_X\circ Vであることは、(x,y)∈V(x,y)\in Vとy=zy=zを満たすyyが存在すること、すなわち(x,z)∈V(x,z)\in Vと同値である。同様に、(x,z)∈V∘ΔX(x,z)\in V\circ\Delta_Xであることは、x=yx=yと(y,z)∈V(y,z)\in Vを満たすyyが存在すること、すなわち(x,z)∈V(x,z)\in Vと同値である。ΔX⊆W\Delta_X\subseteq Wならば、補題 1.2 (4)によりV=V∘ΔX⊆V∘WV=V\circ\Delta_X\subseteq V\circ WかつV=ΔX∘V⊆W∘VV=\Delta_X\circ V\subseteq W\circ Vである。▨

問題 9.2.命題 1.8の証明を完成させよ。

解答.

必要性を示す。B\mathcal BをXXの近縁系U\mathcal Uの近縁基とする。定義 1.3 条件 (a)によりX×X∈UX\times X\in\mathcal Uであるから、X×XX\times Xに含まれるB\mathcal Bの元が存在し、B≠∅\mathcal B\neq\emptysetである。B1,B2∈BB_1,B_2\in\mathcal Bについて、定義 1.3 条件 (c)によりB1∩B2∈UB_1\cap B_2\in\mathcal Uであるから、B⊆B1∩B2B\subseteq B_1\cap B_2を満たすB∈BB\in\mathcal Bが存在する。B⊆U\mathcal B\subseteq\mathcal Uであるから、定義 1.3 条件 (d)により命題 1.8 条件 (b)が成り立つ。B∈BB\in\mathcal Bについて、定義 1.3 条件 (e)によりB−1∈UB^{-1}\in\mathcal Uであるから、B′⊆B−1B'\subseteq B^{-1}を満たすB′∈BB'\in\mathcal Bが存在する。定義 1.3 条件 (f)によりW∘W⊆BW\circ W\subseteq Bを満たすW∈UW\in\mathcal Uが存在し、B′⊆WB'\subseteq Wを満たすB′∈BB'\in\mathcal Bをとると、補題 1.2 (4)によりB′∘B′⊆W∘W⊆BB'\circ B'\subseteq W\circ W\subseteq Bである。また、U\mathcal Uの各元VVに対してB⊆VB\subseteq Vを満たすB∈BB\in\mathcal Bが存在するからU⊆UB\mathcal U\subseteq\mathcal U_{\mathcal B}であり、B⊆U\mathcal B\subseteq\mathcal Uと定義 1.3 条件 (b)によりUB⊆U\mathcal U_{\mathcal B}\subseteq\mathcal Uである。ゆえにB\mathcal Bを近縁基とする近縁系はUB\mathcal U_{\mathcal B}に限る。

十分性を示す。四条件が成り立つとする。命題 1.8 条件 (a)によりB\mathcal Bの元BBが存在し、B⊆X×XB\subseteq X\times XであるからX×X∈UBX\times X\in\mathcal U_{\mathcal B}である。上位集合で閉じることはUB\mathcal U_{\mathcal B}の定義から従う。V,V′∈UBV,V'\in\mathcal U_{\mathcal B}とし、B1⊆VB_1\subseteq V、B2⊆V′B_2\subseteq V'を満たすB1,B2∈BB_1,B_2\in\mathcal Bをとると、命題 1.8 条件 (a)によりB⊆B1∩B2⊆V∩V′B\subseteq B_1\cap B_2\subseteq V\cap V'を満たすB∈BB\in\mathcal Bが存在するから、V∩V′∈UBV\cap V'\in\mathcal U_{\mathcal B}である。V∈UBV\in\mathcal U_{\mathcal B}とし、B⊆VB\subseteq Vを満たすB∈BB\in\mathcal Bをとる。命題 1.8 条件 (b)によりΔX⊆B⊆V\Delta_X\subseteq B\subseteq Vである。命題 1.8 条件 (c)によりB′⊆B−1⊆V−1B'\subseteq B^{-1}\subseteq V^{-1}を満たすB′∈BB'\in\mathcal Bが存在するから、V−1∈UBV^{-1}\in\mathcal U_{\mathcal B}である。命題 1.8 条件 (d)によりB′′∘B′′⊆B⊆VB''\circ B''\subseteq B\subseteq Vを満たすB′′∈BB''\in\mathcal Bが存在し、B′′∈UBB''\in\mathcal U_{\mathcal B}である。ゆえにUB\mathcal U_{\mathcal B}はXXの近縁系である。B⊆UB\mathcal B\subseteq\mathcal U_{\mathcal B}であり、UB\mathcal U_{\mathcal B}の各元VVに対してB⊆VB\subseteq Vを満たすB∈BB\in\mathcal Bが存在するから、B\mathcal BはUB\mathcal U_{\mathcal B}の近縁基である。▨

問題 9.3.XXを空でない集合とする。注意 1.6の二つの対応が定まり、互いに逆な全単射であることを示せ。

解答.

V⊆X×XV\subseteq X\times XについてCV={V[x]∣x∈X}\mathcal C_V=\{V[x]\mid x\in X\}とおき、XXの被覆P\mathcal PについてBP=⋃A∈PA×AB_{\mathcal P}=\bigcup_{A\in\mathcal P}A\times Aとおく。ΔX⊆V\Delta_X\subseteq Vならば、すべてのx∈Xx\in Xについてx∈V[x]x\in V[x]であるからCV\mathcal C_VはXXの被覆である。細分の定義とV[x]V[x]の定義により、次が成り立つ。

  • P\mathcal PがQ\mathcal Qの細分ならばBP⊆BQB_{\mathcal P}\subseteq B_{\mathcal Q}である。
  • ΔX⊆V\Delta_X\subseteq VならばV⊆BCVV\subseteq B_{\mathcal C_V}である。実際、(x,y)∈V(x,y)\in Vならばx,y∈V[x]x,y\in V[x]である。
  • VVが対称ならばBCV⊆V∘VB_{\mathcal C_V}\subseteq V\circ Vである。実際、a,b∈V[x]a,b\in V[x]ならば(a,x)∈V(a,x)\in Vかつ(x,b)∈V(x,b)\in Vである。

XXの近縁系U\mathcal Uに、あるV∈UV\in\mathcal UについてCV\mathcal C_Vを細分にもつXXの被覆の全体Φ(U)\Phi(\mathcal U)を対応させる。

Φ(U)\Phi(\mathcal U)が一様被覆系であることを示す。定義 1.3 条件 (a)により{X}=CX×X∈Φ(U)\{X\}=\mathcal C_{X\times X}\in\Phi(\mathcal U)である。細分の細分は細分であるから注意 1.6 条件 (a)が成り立つ。P,Q∈Φ(U)\mathcal P,\mathcal Q\in\Phi(\mathcal U)とし、CV\mathcal C_VがP\mathcal Pの細分でありCV′\mathcal C_{V'}がQ\mathcal Qの細分であるV,V′∈UV,V'\in\mathcal Uをとる。定義 1.3 条件 (c)と補題 1.7 (2)により、W∘W∘W⊆V∩V′W\circ W\circ W\subseteq V\cap V'を満たす対称な近縁WWをとり、R=CW∈Φ(U)\mathcal R=\mathcal C_W\in\Phi(\mathcal U)とおく。x∈Xx\in Xとし、z∈W[y]z\in W[y]かつW[y]∩W[x]≠∅W[y]\cap W[x]\neq\emptysetとする。w∈W[y]∩W[x]w\in W[y]\cap W[x]をとると、WWの対称性により(x,w),(w,y),(y,z)∈W(x,w),(w,y),(y,z)\in Wであるから(x,z)∈W∘W∘W⊆V∩V′(x,z)\in W\circ W\circ W\subseteq V\cap V'である。ゆえにW[x]⊆St⁡(W[x],R)⊆V[x]∩V′[x]W[x]\subseteq\operatorname{St}(W[x],\mathcal R)\subseteq V[x]\cap V'[x]であり、R\mathcal RはP\mathcal PとQ\mathcal Qの両方の星型細分である。

XXの一様被覆系C\mathfrak CについてBC={BP∣P∈C}\mathcal B_{\mathfrak C}=\{B_{\mathcal P}\mid\mathcal P\in\mathfrak C\}とおき、BC\mathcal B_{\mathfrak C}が命題 1.8の四条件を満たすことを示す。C≠∅\mathfrak C\neq\emptysetであるからBC≠∅\mathcal B_{\mathfrak C}\neq\emptysetである。P,Q∈C\mathcal P,\mathcal Q\in\mathfrak Cに対して注意 1.6 条件 (b)の元R\mathcal Rをとると、R\mathcal RはP\mathcal PとQ\mathcal Qの細分であるからBR⊆BP∩BQB_{\mathcal R}\subseteq B_{\mathcal P}\cap B_{\mathcal Q}である。P\mathcal Pは被覆であるからΔX⊆BP\Delta_X\subseteq B_{\mathcal P}であり、BPB_{\mathcal P}は対称である。P∈C\mathcal P\in\mathfrak Cに対して、注意 1.6 条件 (b)によりP\mathcal Pの星型細分R∈C\mathcal R\in\mathfrak Cをとる。(x,y),(y,z)∈BR(x,y),(y,z)\in B_{\mathcal R}とし、x,y∈Ax,y\in A、y,z∈A′y,z\in A'を満たすA,A′∈RA,A'\in\mathcal Rをとる。y∈A∩A′y\in A\cap A'であるからx,z∈A∪A′⊆St⁡(A,R)x,z\in A\cup A'\subseteq\operatorname{St}(A,\mathcal R)であり、St⁡(A,R)\operatorname{St}(A,\mathcal R)はP\mathcal Pのある元に含まれるから(x,z)∈BP(x,z)\in B_{\mathcal P}である。ゆえにBR∘BR⊆BPB_{\mathcal R}\circ B_{\mathcal R}\subseteq B_{\mathcal P}である。したがって命題 1.8により、BC\mathcal B_{\mathfrak C}を近縁基とするXXの近縁系Ψ(C)\Psi(\mathfrak C)がただ一つ存在する。

Ψ(Φ(U))=U\Psi(\Phi(\mathcal U))=\mathcal Uを示す。V∈UV\in\mathcal Uに対して、補題 1.7 (2)によりW∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たす対称な近縁WWをとると、CW∈Φ(U)\mathcal C_W\in\Phi(\mathcal U)かつBCW⊆W∘W⊆VB_{\mathcal C_W}\subseteq W\circ W\subseteq Vであるから、V∈Ψ(Φ(U))V\in\Psi(\Phi(\mathcal U))である。逆にV′∈Ψ(Φ(U))V'\in\Psi(\Phi(\mathcal U))とする。BP⊆V′B_{\mathcal P}\subseteq V'を満たすP∈Φ(U)\mathcal P\in\Phi(\mathcal U)と、CV\mathcal C_VがP\mathcal Pの細分であるV∈UV\in\mathcal Uをとると、定義 1.3 条件 (d)によりV⊆BCV⊆BP⊆V′V\subseteq B_{\mathcal C_V}\subseteq B_{\mathcal P}\subseteq V'であるから、定義 1.3 条件 (b)によりV′∈UV'\in\mathcal Uである。

Φ(Ψ(C))=C\Phi(\Psi(\mathfrak C))=\mathfrak Cを示す。P∈C\mathcal P\in\mathfrak Cに対して、注意 1.6 条件 (b)によりP\mathcal Pの星型細分R∈C\mathcal R\in\mathfrak Cをとる。x∈Xx\in Xとし、x∈A0x\in A_0を満たすA0∈RA_0\in\mathcal Rをとる。y∈BR[x]y\in B_{\mathcal R}[x]ならば、x,y∈Ax,y\in Aを満たすA∈RA\in\mathcal Rが存在し、x∈A∩A0x\in A\cap A_0であるからy∈St⁡(A0,R)y\in\operatorname{St}(A_0,\mathcal R)である。ゆえにBR[x]⊆St⁡(A0,R)B_{\mathcal R}[x]\subseteq\operatorname{St}(A_0,\mathcal R)であり、右辺はP\mathcal Pのある元に含まれるから、CBR\mathcal C_{B_{\mathcal R}}はP\mathcal Pの細分である。したがってP∈Φ(Ψ(C))\mathcal P\in\Phi(\Psi(\mathfrak C))である。逆にP∈Φ(Ψ(C))\mathcal P\in\Phi(\Psi(\mathfrak C))とする。CV\mathcal C_VがP\mathcal Pの細分であるV∈Ψ(C)V\in\Psi(\mathfrak C)と、BQ⊆VB_{\mathcal Q}\subseteq Vを満たすQ∈C\mathcal Q\in\mathfrak Cをとる。A∈QA\in\mathcal Qとする。A≠∅A\neq\emptysetのとき、x∈Ax\in AをとるとA⊆BQ[x]⊆V[x]A\subseteq B_{\mathcal Q}[x]\subseteq V[x]である。A=∅A=\emptysetのとき、X≠∅X\neq\emptysetであるからx∈Xx\in XをとるとA⊆V[x]A\subseteq V[x]である。いずれの場合もAAはP\mathcal Pのある元に含まれるから、Q\mathcal QはP\mathcal Pの細分であり、注意 1.6 条件 (a)によりP∈C\mathcal P\in\mathfrak Cである。▨

問題 9.4.補題 2.3の証明を完成させよ。

解答.

補題 2.3 (1)を示す。x∈Xx\in Xとする。§E2.11 命題 7.2 (2)と命題 2.1により、x∈A‾x\in\tpcl{A}であることは、任意のV∈UV\in\mathcal UについてV[x]∩A≠∅V[x]\cap A\neq\emptysetであること、すなわち任意のV∈UV\in\mathcal Uについて(x,a)∈V(x,a)\in Vを満たすa∈Aa\in Aが存在することと同値である。(x,a)∈V(x,a)\in Vであることは(a,x)∈V−1(a,x)\in V^{-1}であることと同値であるから、この条件は、任意のV∈UV\in\mathcal Uについてx∈V−1[A]x\in V^{-1}[A]であることと同値である。定義 1.3 条件 (e)と(V−1)−1=V(V^{-1})^{-1}=Vにより、VVがU\mathcal Uを動くときV−1V^{-1}もU\mathcal Uのすべての元を動くから、この条件はx∈⋂V∈UV[A]x\in\bigcap_{V\in\mathcal U}V[A]と同値である。

補題 2.3 (2)を示す。(x,y)∈X×X(x,y)\in X\times Xとする。VVを対称な近縁とすると、命題 2.1によりV[x]V[x]とV[y]V[y]はそれぞれxxとyyの近傍であるから、x∈G⊆V[x]x\in G\subseteq V[x]、y∈G′⊆V[y]y\in G'\subseteq V[y]を満たす開集合G,G′G,G'が存在し、§E2.14 補題 1.11によりG×G′G\times G'は開集合であるので、V[x]×V[y]V[x]\times V[y]は(x,y)(x,y)の近傍である。逆にNNを(x,y)(x,y)の近傍とすると、NNは(x,y)(x,y)を含む開集合を含み、§E2.14 補題 1.11により(x,y)∈G×G′⊆N(x,y)\in G\times G'\subseteq Nを満たす開集合G,G′⊆XG,G'\subseteq Xが存在する。OU\mathcal O_{\mathcal U}の定義によりV1[x]⊆GV_1[x]\subseteq G、V2[y]⊆G′V_2[y]\subseteq G'を満たすV1,V2∈UV_1,V_2\in\mathcal Uが存在し、補題 1.7 (1)によりV=(V1∩V2)∩(V1∩V2)−1V=(V_1\cap V_2)\cap(V_1\cap V_2)^{-1}は対称な近縁であってV[x]×V[y]⊆NV[x]\times V[y]\subseteq Nを満たす。したがって§E2.11 命題 7.2 (2)により、(x,y)∈cl⁡X×X(M)(x,y)\in\tpcl[X\times X]{M}であることは、任意の対称な近縁VVについて(V[x]×V[y])∩M≠∅(V[x]\times V[y])\cap M\neq\emptysetであることと同値である。

対称な近縁VVについて、(V[x]×V[y])∩M≠∅(V[x]\times V[y])\cap M\neq\emptysetであることは、(x,a)∈V(x,a)\in V、(a,b)∈M(a,b)\in M、(y,b)∈V(y,b)\in Vを満たすa,b∈Xa,b\in Xが存在することであり、VVの対称性により(y,b)∈V(y,b)\in Vは(b,y)∈V(b,y)\in Vと同値であるから、合成の定義と補題 1.2 (1)により、これは(x,y)∈V∘M∘V(x,y)\in V\circ M\circ Vと同値である。ゆえにcl⁡X×X(M)\tpcl[X\times X]{M}は、対称な近縁VVの全体にわたるV∘M∘VV\circ M\circ Vの共通部分に等しい。V∈UV\in\mathcal UについてW=V∩V−1W=V\cap V^{-1}は対称な近縁であり、補題 1.2 (4)によりW∘M∘W⊆V∘M∘VW\circ M\circ W\subseteq V\circ M\circ Vであるから、この共通部分は⋂V∈UV∘M∘V\bigcap_{V\in\mathcal U}V\circ M\circ Vに等しい。

補題 2.3 (3)を示す。補題 2.3 (2)と補題 1.2 (5)により、cl⁡X×X(ΔX)=⋂V∈UV∘ΔX∘V=⋂V∈UV∘V\tpcl[X\times X]{\Delta_X}=\bigcap_{V\in\mathcal U}V\circ\Delta_X\circ V=\bigcap_{V\in\mathcal U}V\circ Vである。V∈UV\in\mathcal Uについて、定義 1.3 条件 (d)と補題 1.2 (5)によりV⊆V∘VV\subseteq V\circ Vであるから、⋂U⊆⋂V∈UV∘V\bigcap\mathcal U\subseteq\bigcap_{V\in\mathcal U}V\circ Vである。逆にV∈UV\in\mathcal Uに対して、定義 1.3 条件 (f)によりW∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たすW∈UW\in\mathcal Uが存在するから、⋂W∈UW∘W⊆V\bigcap_{W\in\mathcal U}W\circ W\subseteq Vである。VVは任意であるから⋂W∈UW∘W⊆⋂U\bigcap_{W\in\mathcal U}W\circ W\subseteq\bigcap\mathcal Uである。ゆえにcl⁡X×X(ΔX)=⋂U\tpcl[X\times X]{\Delta_X}=\bigcap\mathcal Uである。▨

問題 9.5.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とし、X×XX\times Xには一様位相に関する積位相を入れる。補題 2.3 (3)と§E2.15 命題 2.11を用いて、命題 2.8 (1)⇔\Leftrightarrow(2)を証明せよ。

解答.

§E2.15 命題 2.11により、OU\mathcal O_{\mathcal U}が T2 であることはΔX\Delta_XがX×XX\times Xの閉集合であることと同値であり、§E2.11 命題 2.5 (2)によりこれはcl⁡X×X(ΔX)=ΔX\tpcl[X\times X]{\Delta_X}=\Delta_Xと同値である。補題 2.3 (3)によりcl⁡X×X(ΔX)=⋂U\tpcl[X\times X]{\Delta_X}=\bigcap\mathcal Uであるから、この条件は⋂U=ΔX\bigcap\mathcal U=\Delta_X、すなわちU\mathcal Uが Hausdorff であることと同値である。▨

参考文献

  1. Nicolas Bourbaki, General Topology, Chapters 1–4, Elements of Mathematics, Springer, Berlin, 1989.近縁系による一様構造の定義、近縁基の判定、閉包の式、始一様構造と一様位相の扱いを参考にした。
  2. Ryszard Engelking, General Topology, revised and completed ed., Sigma Series in Pure Mathematics 6, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.近縁の列から二進有理数を添字とする合成で関数を作る構成と、一様化可能性と完全正則性の同値の扱いを参考にした。
  3. Stephen Willard, General Topology, Dover Publications, 2004, originally published 1970.一様構造の例の扱いを参考にした。

前提記事

11 本の記事・単元を表示