Arzelà–Ascoli の定理 II | 位相空間論 I

1 同程度連続性

定義 1.1 (同程度連続). $X$ を位相空間、 $(Y,\mathcal V)$ を一様空間とし、 $H$ を $X$ から $Y$ への写像からなる集合とする。 $x\in X$ とする。任意の $V\in\mathcal V$ に対して、 $x$ の近傍 $N$ であって、すべての $f\in H$ とすべての $x'\in N$ について $(f(x),f(x'))\in V$ を満たすものが存在するとき、 $H$ は点 $x$ で同程度連続 (equicontinuous at a point) であるという。 $X$ のすべての点で $H$ が同程度連続であるとき、 $H$ は同程度連続 (equicontinuous) であるという。

$A\subseteq X$ に部分空間位相を入れ、 $H|_A=\{f|_A\mid f\in H\}$ とおく。 $A$ から $Y$ への写像からなる集合 $H|_A$ が $A$ のすべての点で同程度連続であるとき、 $H$ は $A$ の上で同程度連続 (equicontinuous on a subset) であるという。 $x\in X$ について $H(x)=\{f(x)\mid f\in H\}$ と書く。

補題 1.2. $X$ を位相空間、 $(Y,\mathcal V)$ を一様空間、 $H$ を $X$ から $Y$ への写像からなる集合とし、 $x\in X$ とする。

$\mathcal D$ を $\mathcal U_{\mathcal D}=\mathcal V$ を満たす $Y$ 上の擬距離の族であって、有限個の最大で閉じているものとし、 $d\in\mathcal D$ について距離空間 $(Y_d,\bar d)$ と写像 $\pi_d\colon Y\to Y_d$ を§E2.52 補題 4.1 (1)のとおりとし、 $\pi_d\circ H=\{\pi_d\circ f\mid f\in H\}$ とおく。このとき、 $H$ が点 $x$ で同程度連続であることと、すべての $d\in\mathcal D$ について $\pi_d\circ H$ が点 $x$ において§E2.31 定義 1.1の意味で同程度連続であることは同値である。
$\mathcal V$ が $Y$ 上の距離 $d_Y$ の距離一様構造 $\mathcal U_{d_Y}$ に等しいならば、 $H$ が点 $x$ で同程度連続であることと、 $H$ が点 $x$ において§E2.31 定義 1.1の意味で同程度連続であることは同値である。
$H$ が点 $x$ で同程度連続ならば、 $H$ のすべての元は点 $x$ で連続である。 $H$ が同程度連続ならば $H\subseteq C(X,Y)$ である。
$A\subseteq X$ が $x$ を含むとする。このとき、 $H$ が点 $x$ で同程度連続ならば、 $H|_A$ は $A$ の点 $x$ で同程度連続である。 $A$ が $x$ の近傍であり、 $H|_A$ が $A$ の点 $x$ で同程度連続ならば、 $H$ は点 $x$ で同程度連続である。
$X$ が局所コンパクト空間ならば、 $H$ が同程度連続であることと、 $H$ が $X$ のすべてのコンパクト部分集合の上で同程度連続であることは同値である。
$A\subseteq X$ とし、 $G$ を、 $Y^X$ に積位相を入れたときの $H$ の閉包とする。このとき、 $H$ が $A$ の上で同程度連続ならば、 $G$ は $A$ の上で同程度連続である。

証明.主張 (1)を示す。 $\mathcal D$ は有限個の最大で閉じているから、§E2.52 命題 4.2 (2)により、 $d\in\mathcal D$ と実数 $\varepsilon>0$ にわたる $(\pi_d\times\pi_d)^{-1}(U^{\bar d}_\varepsilon)$ の全体は $\mathcal U_{\mathcal D}=\mathcal V$ の近縁基である。近縁基の元は $\mathcal V$ に属し、 $\mathcal V$ の各元は近縁基の元を含むから、 $H$ が点 $x$ で同程度連続であることは、すべての $d\in\mathcal D$ と実数 $\varepsilon>0$ に対して、すべての $f\in H$ とすべての $x'\in N$ について $\bar d(\pi_d(f(x)),\pi_d(f(x')))<\varepsilon$ を満たす $x$ の近傍 $N$ が存在することと同値である。 $x$ の近傍は $x$ を含む開集合を含み、 $x$ を含む開集合は $x$ の近傍であるから、§E2.31 定義 1.1により、この条件は、すべての $d\in\mathcal D$ について $\pi_d\circ H$ が点 $x$ において§E2.31 定義 1.1の意味で同程度連続であることと同値である。

主張 (2)を示す。§E2.51 命題 5.2 (1)により、 $\{U^{d_Y}_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}$ は $\mathcal V$ の近縁基である。近縁基の元は $\mathcal V$ に属し、 $\mathcal V$ の各元は近縁基の元を含むから、 $H$ が点 $x$ で同程度連続であることは、すべての実数 $\varepsilon>0$ に対して、すべての $f\in H$ とすべての $x'\in N$ について $d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$ を満たす $x$ の近傍 $N$ が存在することと同値である。 $x$ の近傍は $x$ を含む開集合を含み、 $x$ を含む開集合は $x$ の近傍であるから、§E2.31 定義 1.1により、この条件は、 $H$ が点 $x$ において§E2.31 定義 1.1の意味で同程度連続であることと同値である。

主張 (3)を示す。 $f\in H$ とし、 $N'$ を $f(x)$ の近傍とする。§E2.51 命題 2.1により $V[f(x)]\subseteq N'$ を満たす $V\in\mathcal V$ が存在し、 $H$ は点 $x$ で同程度連続であるから、すべての $g\in H$ とすべての $x'\in N$ について $(g(x),g(x'))\in V$ を満たす $x$ の近傍 $N$ が存在する。 $f(N)\subseteq V[f(x)]\subseteq N'$ であるから $N\subseteq f^{-1}(N')$ であり、近傍の上位集合は近傍であるから $f^{-1}(N')$ は $x$ の近傍である。§E2.12 定義 1.3により $f$ は $x$ で連続である。 $H$ が同程度連続ならば、 $H$ の各元は $X$ のすべての点で連続であり、§E2.12 命題 1.4により連続である。

主張 (4)を示す。 $X$ における $x$ の任意の近傍 $N$ について、 $x\in O\subseteq N$ を満たす $X$ の開集合 $O$ が存在し、§E2.12 定義 4.1により $O\cap A$ は $A$ の開集合であるから、 $N\cap A$ は $A$ における $x$ の近傍である。 $H$ が点 $x$ で同程度連続であるとし、 $V\in\mathcal V$ をとる。すべての $f\in H$ とすべての $x'\in N$ について $(f(x),f(x'))\in V$ を満たす $X$ における $x$ の近傍 $N$ が存在し、 $N\cap A$ は $A$ における $x$ の近傍であるから、 $H|_A$ は $A$ の点 $x$ で同程度連続である。 $A$ が $x$ の近傍であるとし、 $M$ を $A$ における $x$ の近傍とする。§E2.12 定義 4.1により、 $x\in O'\cap A\subseteq M$ を満たす $X$ の開集合 $O'$ が存在する。§E2.11 命題 7.2 (1)により $x\in\tpint{A}$ であるから、 $O'\cap\tpint{A}$ は $x$ を含む $X$ の開集合であり、 $M$ に含まれる。ゆえに、 $A$ における $x$ の近傍はすべて $X$ における $x$ の近傍である。 $H|_A$ が $A$ の点 $x$ で同程度連続であるとし、 $V\in\mathcal V$ をとると、すべての $f\in H$ とすべての $x'\in M$ について $(f(x),f(x'))\in V$ を満たす $A$ における $x$ の近傍 $M$ が存在し、 $M$ は $X$ における $x$ の近傍であるから、 $H$ は点 $x$ で同程度連続である。

主張 (5)を示す。 $X$ を局所コンパクト空間とする。 $H$ が同程度連続であるとし、 $K$ を $X$ のコンパクト部分集合、 $z\in K$ とする。 $H$ は点 $z$ で同程度連続であるから、主張 (4)を点 $z$ と $A=K$ に適用すると、 $H|_K$ は $K$ の点 $z$ で同程度連続である。逆に、 $H$ が $X$ のすべてのコンパクト部分集合の上で同程度連続であるとし、 $z\in X$ をとる。§E2.24 定義 1.2と§E2.24 定義 1.1により、 $z$ の近傍であるコンパクト部分集合 $K$ が存在する。 $H|_K$ は $K$ の点 $z$ で同程度連続であるから、主張 (4)を点 $z$ と $A=K$ に適用すると、 $H$ は点 $z$ で同程度連続である。

主張 (6)を示す。 $Y\times Y$ には一様位相に関する積位相を入れる。 $a\in A$ と $V\in\mathcal V$ をとる。§E2.51 補題 2.4 (3)により、 $Y\times Y$ の閉集合である近縁 $C\subseteq V$ が存在する。 $H$ は $A$ の上で同程度連続であるから、すべての $f\in H$ とすべての $x'\in M$ について $(f(a),f(x'))\in C$ を満たす、 $A$ における $a$ の近傍 $M$ が存在する。 $x'\in M$ とし、写像 $p\colon Y^X\to Y\times Y$ を $p(h)=(h(a),h(x'))$ で定める。 $p$ と $Y\times Y$ の二つの射影との合成は射影 $\pi_a$ と $\pi_{x'}$ であり、§E2.14 命題 1.2 (1)によりこれらは連続であるから、§E2.14 定義 1.9と§E2.12 定理 3.4により $p$ は連続である。§E2.12 命題 1.6 (2)により $p^{-1}(C)$ は $Y^X$ の閉集合であり、 $H\subseteq p^{-1}(C)$ であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により $G\subseteq p^{-1}(C)$ である。ゆえに、すべての $g\in G$ とすべての $x'\in M$ について $(g(a),g(x'))\in C\subseteq V$ であり、 $G|_A$ は $A$ の点 $a$ で同程度連続である。 $a\in A$ は任意であるから、 $G$ は $A$ の上で同程度連続である。▨

定義 1.3 (一様に同程度連続). $(X,\mathcal U)$ 、 $(Y,\mathcal V)$ を一様空間とし、 $H$ を $X$ から $Y$ への写像からなる集合とする。任意の $V\in\mathcal V$ に対して、すべての $f\in H$ とすべての $(x,x')\in U$ について $(f(x),f(x'))\in V$ を満たす $U\in\mathcal U$ が存在するとき、 $H$ は一様に同程度連続 (uniformly equicontinuous) であるという。

命題 1.4. $(X,\mathcal U)$ を一様位相 $\mathcal O_{\mathcal U}$ がコンパクトである一様空間、 $(Y,\mathcal V)$ を一様空間とし、 $X$ に $\mathcal O_{\mathcal U}$ を入れ、 $H$ を $X$ から $Y$ への写像からなる集合とする。このとき、 $H$ が同程度連続であることは、 $H$ が一様に同程度連続であるための必要十分条件である。

証明. 必要性を示す。 $H$ が一様に同程度連続であるとし、 $x\in X$ と $V\in\mathcal V$ をとる。すべての $f\in H$ とすべての $(z,z')\in U$ について $(f(z),f(z'))\in V$ を満たす $U\in\mathcal U$ が存在する。§E2.51 命題 2.1により $U[x]$ は $x$ の近傍であり、すべての $f\in H$ とすべての $x'\in U[x]$ について $(x,x')\in U$ であるから $(f(x),f(x'))\in V$ である。ゆえに $H$ は点 $x$ で同程度連続であり、 $x\in X$ は任意であるから、 $H$ は同程度連続である。

十分性を示す。 $H$ が同程度連続であるとし、 $V\in\mathcal V$ をとる。§E2.51 補題 1.7 (2)により、 $W\circ W\subseteq V$ を満たす対称な近縁 $W$ が存在する。 $a\in X$ について、 $H$ は点 $a$ で同程度連続であるから、すべての $f\in H$ とすべての $z\in N_a$ について $(f(a),f(z))\in W$ を満たす $a$ の近傍 $N_a$ が存在し、§E2.11 命題 7.2 (1)により $a\in\tpint{N_a}$ である。 $X\times X$ に $\mathcal O_{\mathcal U}$ に関する積位相を入れ、 $G=\bigcup_{a\in X}\tpint{N_a}\times\tpint{N_a}$ とおく。§E2.14 補題 1.11により $G$ は $X\times X$ の開集合であり、すべての $a\in X$ について $(a,a)\in G$ であるから、 $G$ は $\Delta_X$ を含む。§E2.51 補題 8.1により $G\in\mathcal U$ である。 $(x,x')\in G$ と $f\in H$ をとり、 $x,x'\in\tpint{N_a}$ を満たす $a\in X$ をとる。 $(f(a),f(x))\in W$ と $W$ の対称性により $(f(x),f(a))\in W$ であり、 $(f(a),f(x'))\in W$ であるから、 $(f(x),f(x'))\in W\circ W\subseteq V$ である。ゆえに $H$ は一様に同程度連続である。▨

注意 1.5. $(X,d_X)$ をコンパクト距離空間、 $(Y,d_Y)$ を距離空間とし、 $X$ 、 $Y$ に距離一様構造 $\mathcal U_{d_X}$ 、 $\mathcal U_{d_Y}$ を入れる。§E2.51 命題 5.2 (2)により $\mathcal U_{d_X}$ の一様位相は $d_X$ から生じる位相であり、コンパクトである。補題 1.2 (2)と§E2.31 命題 1.3により、 $X$ から $Y$ への写像からなる集合が同程度連続であることは、§E2.31 定義 1.2の意味で同程度連続であることと同値であり、§E2.51 命題 5.2 (1)により、その集合が一様に同程度連続であることは、§E2.31 定義 1.4の意味で一様に同程度連続であることと同値である。したがって命題 1.4から§E2.31 定理 1.6が再び得られる。

2 各点像の全有界性

補題 2.1. $X$ を集合、 $(Y,\mathcal V)$ を一様空間とし、 $Y^X$ に $\mathcal V$ に関する一様収束の一様構造 $\mathcal V_{\mathrm u}$ を入れる。 $x\in X$ について、写像 $e_x\colon Y^X\to Y$ を $e_x(f)=f(x)$ で定める。このとき、 $e_x$ は一様連続である。とくに、 $H\subseteq Y^X$ が全有界ならば、 $e_x(H)=\{f(x)\mid f\in H\}$ は $Y$ の全有界な部分集合である。

証明. $e_x$ は $Y^X=\prod_{z\in X}Y$ の $x$ 成分への射影である。 $Y^X$ の積一様構造を $\mathcal P$ とすると、§E2.51 命題 4.2 (1)により、すべての $V\in\mathcal V$ について $(e_x\times e_x)^{-1}(V)\in\mathcal P$ であり、§E2.55 命題 1.3 (1)により $\mathcal P\subseteq\mathcal V_{\mathrm u}$ である。したがって $e_x$ は一様連続である。§E2.54 補題 1.3 (4)により、 $H\subseteq Y^X$ が全有界ならば $e_x(H)$ は全有界である。▨

3 全有界性の特徴づけ

定理 3.1 (Arzelà–Ascoli の定理). $X$ をコンパクト位相空間、 $(Y,\mathcal V)$ を一様空間とし、 $C(X,Y)$ に一様収束の一様構造を入れ、 $H\subseteq C(X,Y)$ とする。このとき、次の二条件は同値である。

$H$ は全有界である。
$H$ は同程度連続であり、すべての $x\in X$ について $H(x)$ は $Y$ の全有界な部分集合である。

証明. $C=C(X,Y)$ とおき、 $Y^X$ に $\mathcal V$ に関する一様収束の一様構造 $\mathcal V_{\mathrm u}$ を入れ、 $V\in\mathcal V$ と $A\subseteq X$ について $E_A(V)$ を§E2.55 補題 1.1のとおりとする。 $H\subseteq C$ であるから、 $M\subseteq Y^X\times Y^X$ について $(M\cap(C\times C))\cap(H\times H)=M\cap(H\times H)$ である。したがって、 $C$ の部分一様構造が $H$ に定める部分一様構造は $\mathcal V_{\mathrm u}$ が $H$ に定める部分一様構造に等しく、主張 (1)は $H$ が $(Y^X,\mathcal V_{\mathrm u})$ の全有界な部分集合であることと同値である。

(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $H$ を $(Y^X,\mathcal V_{\mathrm u})$ の全有界な部分集合とする。補題 2.1により、すべての $x\in X$ について $H(x)$ は $Y$ の全有界な部分集合である。

$x_0\in X$ と $V\in\mathcal V$ をとる。§E2.51 補題 1.7 (2)により、 $W\circ W\circ W\subseteq V$ を満たす対称な近縁 $W$ が存在する。 $E_X(W)\in\mathcal V_{\mathrm u}$ であるから、 $E_X(W)\cap(H\times H)$ は $H$ の部分一様構造に属し、§E2.54 定義 1.1により、 $H=(E_X(W)\cap(H\times H))[\{f_1,\ldots,f_m\}]$ を満たす $m\in\N$ と $f_1,\ldots,f_m\in H$ が存在する。 $i=1,\ldots,m$ について、§E2.51 命題 2.1により $W[f_i(x_0)]$ は $f_i(x_0)$ の近傍であり、 $f_i$ は連続であるから、§E2.12 命題 1.4と§E2.12 定義 1.3により $N_i=f_i^{-1}(W[f_i(x_0)])$ は $x_0$ の近傍である。 $N=N_1\cap\cdots\cap N_m$ とおくと（ $m=0$ のときは $N=X$ とする）、 $N$ は $x_0$ の近傍である。 $f\in H$ をとり、 $(f_i,f)\in E_X(W)$ を満たす $i$ をとる。 $x'\in N$ とすると、 $(f_i(x_0),f(x_0))\in W$ と $W$ の対称性により $(f(x_0),f_i(x_0))\in W$ であり、 $(f_i(x_0),f_i(x'))\in W$ かつ $(f_i(x'),f(x'))\in W$ であるから、 $(f(x_0),f(x'))\in W\circ W\circ W\subseteq V$ である。 $V\in\mathcal V$ は任意であるから、 $H$ は点 $x_0$ で同程度連続である。 $x_0\in X$ は任意であるから、 $H$ は同程度連続である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。主張 (2)を仮定し、 $V'\in\mathcal V_{\mathrm u}$ をとる。 $\{E_X(V)\mid V\in\mathcal V\}$ は $\mathcal V_{\mathrm u}$ の近縁基であるから、 $E_X(V)\subseteq V'$ を満たす $V\in\mathcal V$ が存在する。§E2.51 補題 1.7 (2)により、 $W_1\circ W_1\subseteq V$ を満たす対称な近縁 $W_1$ と、 $W\circ W\subseteq W_1$ を満たす対称な近縁 $W$ が存在し、§E2.51 補題 1.2 (1)と§E2.51 補題 1.2 (4)により $W\circ W\circ W\circ W\subseteq W_1\circ W_1\subseteq V$ である。

$a\in X$ と $X$ の開集合 $O$ の組 $(a,O)$ であって、 $a\in O$ を満たし、すべての $f\in H$ とすべての $z\in O$ について $(f(a),f(z))\in W$ を満たすものの全体を $\Lambda$ とする。 $a\in X$ とすると、 $H$ は点 $a$ で同程度連続であるから、すべての $f\in H$ とすべての $z\in N$ について $(f(a),f(z))\in W$ を満たす $a$ の近傍 $N$ が存在し、§E2.11 命題 7.2 (1)により $(a,\tpint{N})\in\Lambda$ である。したがって、族 $(O)_{(a,O)\in\Lambda}$ は $X$ の開被覆であり、§E2.19 定義 2.1により、 $X=O_1\cup\cdots\cup O_n$ を満たす $n\in\N$ と $(a_1,O_1),\ldots,(a_n,O_n)\in\Lambda$ が存在する。

$i=1,\ldots,n$ について、 $H(a_i)$ は全有界であるから、§E2.54 補題 1.3 (1)により、 $H(a_i)\subseteq W[\{y_{i,1},\ldots,y_{i,m_i}\}]$ を満たす $m_i\in\N$ と $y_{i,1},\ldots,y_{i,m_i}\in Y$ が存在する。 $f\in H$ と $i=1,\ldots,n$ について、 $f(a_i)\in W[y_{i,j}]$ を満たす $j$ の最小値を $\sigma_i(f)$ とし、 $\sigma(f)=(\sigma_1(f),\ldots,\sigma_n(f))$ と定める。 $\sigma(H)$ は有限集合 $\prod_{i=1}^n\{1,\ldots,m_i\}$ の部分集合である。各 $\alpha\in\sigma(H)$ について $\sigma(g_\alpha)=\alpha$ を満たす $g_\alpha\in H$ を一つとり、 $F=\{g_\alpha\mid\alpha\in\sigma(H)\}$ とおく。

$f\in H$ とし、 $g=g_{\sigma(f)}$ とおく。 $x\in X$ をとり、 $x\in O_i$ を満たす $i$ をとり、 $y=y_{i,\sigma_i(f)}$ とおく。 $\sigma_i(g)=\sigma_i(f)$ であるから、 $(y,f(a_i))\in W$ かつ $(y,g(a_i))\in W$ である。 $(a_i,O_i)\in\Lambda$ であるから、 $(f(a_i),f(x))\in W$ かつ $(g(a_i),g(x))\in W$ である。 $W$ の対称性により $(g(x),g(a_i))\in W$ かつ $(g(a_i),y)\in W$ であるから、 $(g(x),f(x))\in W\circ W\circ W\circ W\subseteq V$ である。 $x\in X$ は任意であるから $(g,f)\in E_X(V)\subseteq V'$ であり、 $f\in V'[F]$ である。ゆえに $H\subseteq V'[F]$ である。 $F$ は $Y^X$ の有限部分集合であり、 $V'\in\mathcal V_{\mathrm u}$ は任意であるから、§E2.54 補題 1.3 (1)により $H$ は $(Y^X,\mathcal V_{\mathrm u})$ の全有界な部分集合である。▨

注意 3.2. $X$ をコンパクト位相空間、 $(Y,d_Y)$ を距離空間とし、 $Y$ に距離一様構造 $\mathcal U_{d_Y}$ を入れ、 $H\subseteq C(X,Y)$ とする。§E2.55 命題 3.2 (1)により、 $C(X,Y)$ の一様収束の一様構造は一様距離 $d_\infty$ の距離一様構造に等しいから、§E2.54 命題 3.1 (2)により、 $H$ が一様収束の一様構造に関して全有界であることは、 $H$ が $d_\infty$ に関して全有界であることと同値である。補題 1.2 (2)により、 $H$ が同程度連続であることは、 $H$ が§E2.31 定義 1.1の意味で同程度連続であることと同値である。§E2.54 命題 3.1 (2)により、 $x\in X$ について、 $H(x)$ が $\mathcal U_{d_Y}$ に関して全有界であることは、 $H(x)$ が制限距離に関して全有界であることと同値である。したがって、定理 3.1から§E2.31 定理 3.1が再び得られる。

4 値域の完備性

系 4.1. $X$ をコンパクト位相空間、 $(Y,\mathcal V)$ を完備な一様空間とし、 $C(X,Y)$ に一様収束の一様構造を入れ、 $H\subseteq C(X,Y)$ とする。このとき、次の三条件は同値である。

$\tpcl[C(X,Y)]{H}$ はコンパクトである。
$H$ は全有界である。
$H$ は同程度連続であり、すべての $x\in X$ について $\tpcl[Y]{H(x)}$ はコンパクトである。

証明.§E2.55 命題 2.1 (2)により $C(X,Y)$ は完備であるから、§E2.54 補題 2.2 (2)により(1) $\Leftrightarrow$ (2)が成り立つ。 $(Y,\mathcal V)$ は完備であるから、§E2.54 補題 2.2 (2)により、各 $x\in X$ について、 $H(x)$ が全有界であることと $\tpcl[Y]{H(x)}$ がコンパクトであることは同値である。したがって定理 3.1により(2) $\Leftrightarrow$ (3)が成り立つ。▨

5 定義域がコンパクトでない場合

補題 5.1. $(Y,\mathcal V)$ を一様空間、 $C\subseteq Y$ をコンパクト部分集合とする。このとき、 $A\subseteq C$ を満たすすべての $A\subseteq Y$ について、 $\tpcl[Y]{A}$ はコンパクトである。

証明. $\tpcl[Y]{C}\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda$ を満たす $Y$ の開集合の族 $(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ をとる。 $C\subseteq\tpcl[Y]{C}$ であり $C$ はコンパクトであるから、§E2.19 命題 2.6により、 $C\subseteq O_{\lambda_1}\cup\cdots\cup O_{\lambda_n}$ を満たす $n\in\N$ と $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\Lambda$ が存在する。 $O=O_{\lambda_1}\cup\cdots\cup O_{\lambda_n}$ は $C$ を含む開集合であるから、§E2.55 補題 4.1により $V[C]\subseteq O$ を満たす $V\in\mathcal V$ が存在し、§E2.51 補題 2.3 (1)により $\tpcl[Y]{C}\subseteq V[C]\subseteq O$ である。§E2.19 命題 2.6により $\tpcl[Y]{C}$ はコンパクトである。

$A\subseteq C$ とする。§E2.11 命題 2.5 (1)により、 $\tpcl[Y]{C}$ は $A$ を含む閉集合であるから $\tpcl[Y]{A}\subseteq\tpcl[Y]{C}$ であり、 $\tpcl[Y]{A}$ は $Y$ の閉集合である。 $\tpcl[Y]{C}\setminus\tpcl[Y]{A}=(Y\setminus\tpcl[Y]{A})\cap\tpcl[Y]{C}$ であるから、§E2.12 定義 4.1により $\tpcl[Y]{A}$ は部分空間 $\tpcl[Y]{C}$ の閉集合であり、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。▨

補題 5.2. $X$ を位相空間、 $(Y,\mathcal V)$ を一様空間とし、 $Y^X$ の積一様構造を $\mathcal P$ 、 $\mathcal V$ に関するコンパクト集合の上の一様収束の一様構造を $\mathcal V_{\mathrm c}$ とする。 $G\subseteq Y^X$ が $X$ のすべてのコンパクト部分集合の上で同程度連続であるとする。このとき、 $G$ の上で $\mathcal P$ の部分一様構造と $\mathcal V_{\mathrm c}$ の部分一様構造は等しい。とくに、 $G$ の上で、 $Y^X$ の積位相の部分空間位相は、 $\mathcal V_{\mathrm c}$ の一様位相の部分空間位相に等しい。

証明. $x\in X$ について射影を $\pi_x\colon Y^X\to Y$ とし、 $X$ の部分集合 $K$ と $V\in\mathcal V$ について $E_K(V)$ を§E2.55 補題 1.1のとおりとする。§E2.55 命題 1.3 (3)により $\mathcal P\subseteq\mathcal V_{\mathrm c}$ であるから、 $\mathcal P$ の部分一様構造は $\mathcal V_{\mathrm c}$ の部分一様構造に含まれる。§E2.55 命題 1.3 (2)と§E2.51 補題 3.2により、 $X$ のコンパクト部分集合 $K$ と $V\in\mathcal V$ にわたる $E_K(V)\cap(G\times G)$ の全体は $\mathcal V_{\mathrm c}$ の部分一様構造の近縁基である。 $K$ と $V$ をとり、§E2.51 補題 1.7 (2)により $W\circ W\circ W\subseteq V$ を満たす対称な近縁 $W$ をとる。 $a\in K$ とする。 $G$ は $K$ の上で同程度連続であるから、すべての $g\in G$ とすべての $z\in M_a$ について $(g(a),g(z))\in W$ を満たす、 $K$ における $a$ の近傍 $M_a$ が存在し、§E2.12 定義 4.1により $a\in O_a$ かつ $O_a\cap K\subseteq M_a$ を満たす $X$ の開集合 $O_a$ が存在する。開集合の族 $(O_a)_{a\in K}$ は $K$ を覆うから、§E2.19 命題 2.6により、 $K\subseteq O_{a_1}\cup\cdots\cup O_{a_n}$ を満たす $n\in\N$ と $a_1,\ldots,a_n\in K$ が存在する。§E2.51 定義 4.1により

S=\bigcap_{i=1}^{n}(\pi_{a_i}\times\pi_{a_i})^{-1}(W)

は $\mathcal P$ に属する（ $n=0$ のときは $S=Y^X\times Y^X$ である）。 $(g,h)\in S\cap(G\times G)$ と $z\in K$ をとり、 $z\in O_{a_i}\cap K\subseteq M_{a_i}$ を満たす $i$ をとる。 $W$ の対称性により $(g(z),g(a_i))\in W$ であり、 $(g(a_i),h(a_i))\in W$ 、 $(h(a_i),h(z))\in W$ であるから、 $(g(z),h(z))\in W\circ W\circ W\subseteq V$ である。ゆえに $S\cap(G\times G)\subseteq E_K(V)\cap(G\times G)$ であり、§E2.51 補題 3.2と§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により $E_K(V)\cap(G\times G)$ は $\mathcal P$ の部分一様構造に属する。したがって二つの部分一様構造は等しい。§E2.51 系 4.5 (2)により $\mathcal P$ の一様位相は積位相であるから、§E2.51 系 4.4 (2)により後半が従う。▨

定理 5.3. $X$ を位相空間、 $(Y,\mathcal V)$ を一様空間とし、 $C(X,Y)$ にコンパクト開位相を入れ、 $H\subseteq C(X,Y)$ とする。次の二条件を考える。

$\tpcl[C(X,Y)]{H}$ はコンパクトである。
$H$ は $X$ のすべてのコンパクト部分集合の上で同程度連続であり、すべての $x\in X$ について $\tpcl[Y]{H(x)}$ はコンパクトである。

このとき、条件 (a)から条件 (b)が従う。 $X$ がコンパクト生成空間ならば、条件 (a)と条件 (b)は同値である。

証明. $C=C(X,Y)$ とおき、 $\mathcal V$ に関するコンパクト集合の上の一様収束の一様構造 $\mathcal V_{\mathrm c}$ と、 $X$ のコンパクト部分集合 $K$ についての制限写像 $r_K\colon Y^X\to Y^K$ を§E2.55 定義 1.2のとおりとする。

(a) $\Rightarrow$ (b)を示す。 $\tpcl[C]{H}$ をコンパクトとする。 $K$ を $X$ のコンパクト部分集合とし、 $K$ に部分空間位相を入れる。§E2.12 定理 4.4 (3)により包含写像 $K\to X$ は連続であるから、§E2.12 命題 1.10により、すべての $f\in C$ について $r_K(f)=f|_K\in C(K,Y)$ である。 $C$ にコンパクト集合の上の一様収束の一様構造を、 $C(K,Y)$ に一様収束の一様構造を入れる。§E2.51 命題 4.2 (1)により $r_K\colon(Y^X,\mathcal V_{\mathrm c})\to Y^K$ は一様連続であり、§E2.51 命題 3.4 (1)と§E2.51 系 4.4 (3)により包含写像 $C\to Y^X$ は一様連続であるから、§E2.51 命題 3.4 (1)と§E2.51 系 4.4 (3)により、 $f\mapsto f|_K$ で定まる写像 $C\to C(K,Y)$ は一様連続である。§E2.51 命題 3.4 (3)、§E2.51 系 4.4 (2)、§E2.55 定理 4.2により、この写像はコンパクト開位相と $C(K,Y)$ の一様位相に関して連続である。§E2.19 定理 4.2により、 $r_K(\tpcl[C]{H})$ は $C(K,Y)$ のコンパクト部分集合である。 $r_K(H)\subseteq r_K(\tpcl[C]{H})$ であるから、§E2.54 補題 2.2 (1)により $r_K(H)=H|_K$ は全有界である。 $K$ はコンパクト位相空間であるから、定理 3.1 (1) $\Rightarrow$ (2)により $H|_K$ は同程度連続であり、 $H$ は $K$ の上で同程度連続である。

$x\in X$ とし、 $e_x\colon C\to Y$ を $e_x(f)=f(x)$ で定める。 $Y$ の開集合 $U$ について $e_x^{-1}(U)=W(x,U)$ は§E2.30 定義 1.3により各点収束の位相の開集合であり、§E2.30 命題 1.8によりコンパクト開位相の開集合であるから、 $e_x$ は連続である。§E2.19 定理 4.2により $e_x(\tpcl[C]{H})$ は $Y$ のコンパクト部分集合である。 $H(x)=e_x(H)\subseteq e_x(\tpcl[C]{H})$ であるから、補題 5.1により $\tpcl[Y]{H(x)}$ はコンパクトである。

(b) $\Rightarrow$ (a)を示す。 $X$ をコンパクト生成空間とし、条件 (b)を仮定する。 $Y^X$ に積位相を入れ、 $P=\prod_{x\in X}\tpcl[Y]{H(x)}$ とおき、 $G$ を $Y^X$ における $H$ の閉包とする。§E2.14 補題 1.8 (1)と§E2.19 定理 8.2により $P$ はコンパクトであり、§E2.14 補題 1.8 (2)により $P$ は $Y^X$ の閉集合である。 $H\subseteq P$ であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により $G\subseteq P$ であり、 $G$ はコンパクト空間 $P$ の閉集合であるから、§E2.19 命題 4.1により $G$ はコンパクトである。

$K$ を $X$ のコンパクト部分集合とする。補題 1.2 (6)により $G$ は $K$ の上で同程度連続であり、補題 1.2 (3)により、すべての $g\in G$ について $g|_K$ は連続である。 $X$ はコンパクト生成空間であるから、§E2.38 定理 2.4 (4)により $G$ のすべての元は連続であり、 $G\subseteq C$ である。補題 5.2により、 $G$ の上で積位相の部分空間位相は $\mathcal V_{\mathrm c}$ の一様位相の部分空間位相に等しく、§E2.55 定理 4.2と§E2.51 系 4.4 (2)により後者はコンパクト開位相の部分空間位相に等しい。ゆえに $G$ はコンパクト開位相に関して $C$ のコンパクト部分集合である。

§E2.30 定理 1.4により各点収束の位相は積位相の部分空間位相であるから、 $G=G\cap C$ は各点収束の位相に関して $C$ の閉集合であり、§E2.30 命題 1.8によりコンパクト開位相に関しても $C$ の閉集合である。 $H\subseteq G$ であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により $\tpcl[C]{H}\subseteq G$ であり、 $\tpcl[C]{H}$ はコンパクト空間 $G$ の閉集合であるから、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。▨

系 5.4. $X$ を局所コンパクト空間、 $(Y,\mathcal V)$ を一様空間とし、 $C(X,Y)$ にコンパクト開位相を入れ、 $H\subseteq C(X,Y)$ とする。このとき、 $\tpcl[C(X,Y)]{H}$ がコンパクトであることは、 $H$ が同程度連続であり、すべての $x\in X$ について $\tpcl[Y]{H(x)}$ がコンパクトであるための必要十分条件である。

証明.§E2.38 命題 1.3により $X$ はコンパクト生成空間である。補題 1.2 (5)により、 $H$ が同程度連続であることは、 $H$ が $X$ のすべてのコンパクト部分集合の上で同程度連続であることと同値である。したがって、定理 5.3により、 $\tpcl[C(X,Y)]{H}$ がコンパクトであることは、 $H$ が同程度連続であり、すべての $x\in X$ について $\tpcl[Y]{H(x)}$ がコンパクトであることと同値である。▨

6 例

例 6.1. $\R$ に距離 $d(s,t)=\lvert s-t\rvert$ と距離一様構造 $\mathcal U=\mathcal U_d$ を入れ、 $n\in\NN$ について $f_n\colon\R\to\R$ を $f_n(t)=\max\{0,1-\lvert t-n\rvert\}$ で定め、 $H=\{f_n\mid n\in\NN\}$ とおく。このとき、 $C(\R,\R)$ にコンパクト開位相を入れると $\tpcl[C(\R,\R)]{H}$ はコンパクトであるが、 $C(\R,\R)$ に一様収束の一様構造を入れると $H$ は全有界でなく、その一様位相における $H$ の閉包はコンパクトでない。

実数 $s,t$ について $\bigl\lvert\lvert s-n\rvert-\lvert t-n\rvert\bigr\rvert\leq\lvert s-t\rvert$ であり、 $a\mapsto\max\{0,1-a\}$ は $\lvert\max\{0,1-a\}-\max\{0,1-b\}\rvert\leq\lvert a-b\rvert$ を満たすから、すべての $n\in\NN$ について $\lvert f_n(s)-f_n(t)\rvert\leq\lvert s-t\rvert$ である。 $x\in\R$ と実数 $\varepsilon>0$ をとると、§E2.2 補題 1.2により開球 $B(x,\varepsilon)$ は $x$ を含む開集合であり、すべての $n$ とすべての $x'\in B(x,\varepsilon)$ について $\lvert f_n(x)-f_n(x')\rvert<\varepsilon$ であるから、 $H$ は§E2.31 定義 1.1の意味で同程度連続である。補題 1.2 (2)により $H$ は同程度連続であり、補題 1.2 (3)により $H\subseteq C(\R,\R)$ である。§E2.24 例 5.1 (3)により、 $\R=\R^1$ は局所コンパクト空間である。 $x\in\R$ について $H(x)\subseteq[0,1]$ であり、 $[0,1]$ は有界な閉集合であるから§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、§E2.11 命題 2.5 (1)と§E2.19 命題 4.1により $\tpcl[\R]{H(x)}$ はコンパクトである。§E2.51 命題 5.2 (2)により $\mathcal U$ の一様位相は通常の位相である。系 5.4により、コンパクト開位相に関して $\tpcl[C(\R,\R)]{H}$ はコンパクトである。

$C=C(\R,\R)$ とおき、 $C$ に一様収束の一様構造を入れる。§E2.55 補題 1.1の記号で $V=E_{\R}(U^d_{1/2})\cap(C\times C)$ とおくと、 $E_{\R}(U^d_{1/2})$ は $\mathcal U$ に関する一様収束の一様構造に属するから、 $V$ は $C$ の部分一様構造に属する。 $g\in C$ とし、 $m,n\in\NN$ が $m\neq n$ と $f_m,f_n\in V[g]$ を満たすと仮定する。 $\lvert m-n\rvert\geq1$ であるから $f_m(n)=0$ かつ $f_n(n)=1$ であり、 $\lvert f_n(n)-f_m(n)\rvert=1$ である。一方、三角不等式により $\lvert f_n(n)-f_m(n)\rvert\leq\lvert f_n(n)-g(n)\rvert+\lvert g(n)-f_m(n)\rvert<1$ である。これは $\lvert f_n(n)-f_m(n)\rvert=1$ に反するから、各 $V[g]$ は $H$ の元を高々一つ含む。 $m\neq n$ を満たすすべての $m,n\in\NN$ について $f_m(n)=0\neq1=f_n(n)$ であるから、 $H$ は無限集合である。 $F$ を $C$ の有限部分集合とすると、各 $g\in F$ について $V[g]$ は $H$ の元を高々一つ含むから、 $V[F]=\bigcup_{g\in F}V[g]$ に属する $H$ の元は高々有限個であり、 $H$ は無限集合であるから、 $H\not\subseteq V[F]$ である。§E2.54 補題 1.3 (1)により $H$ は全有界でない。§E2.54 補題 2.2 (1)により、一様収束の一様構造の一様位相における $H$ の閉包はコンパクトでない。

$C$ の二つの位相が等しければ、それぞれの位相における $H$ の閉包は等しい。したがって、 $C$ の上で、コンパクト集合の上の一様収束の一様構造の一様位相（§E2.55 定理 4.2によりコンパクト開位相に等しい）と、一様収束の一様構造の一様位相は異なる。

例 6.2. $[0,1]$ に距離 $e(s,t)=\lvert s-t\rvert$ と距離一様構造 $\mathcal U_e$ を入れ、 $Y=[0,1]^{\omega_1}$ に積一様構造 $\mathcal V$ を入れる。 $\alpha\in\omega_1$ について射影を $\mathrm{pr}_\alpha\colon Y\to[0,1]$ とする。 $X=[0,1]$ に通常の位相を入れ、すべての $\alpha\in\omega_1$ とすべての $s,t\in X$ について $\lvert\mathrm{pr}_\alpha(f(s))-\mathrm{pr}_\alpha(f(t))\rvert\leq\lvert s-t\rvert$ を満たす写像 $f\colon X\to Y$ の全体を $H$ とし、 $C(X,Y)$ に一様収束の一様構造を入れる。このとき、 $Y$ 上のどの距離 $e'$ についても $\mathcal V\neq\mathcal U_{e'}$ である。 $H$ は同程度連続である。 $H$ は全有界である。 $\tpcl[C(X,Y)]{H}$ はコンパクトである。

§E2.51 命題 5.2 (2)により $\mathcal U_e$ の一様位相は $[0,1]$ の通常の位相であるから、§E2.51 系 4.5 (2)により $\mathcal V$ の一様位相は $[0,1]^{\omega_1}$ の積位相である。 $Y$ 上の距離 $e'$ が $\mathcal V=\mathcal U_{e'}$ を満たすと仮定すると、§E2.51 命題 5.2 (2)により積位相は $e'$ から生じる位相に等しく、§E2.13 命題 4.2により第一可算である。これは§E2.14 命題 4.2に反する。ゆえに $Y$ 上のどの距離 $e'$ についても $\mathcal V\neq\mathcal U_{e'}$ である。

$s\in X$ と $V\in\mathcal V$ をとる。§E2.51 定義 4.1により、 $V\supseteq\bigcap_{k=1}^m(\mathrm{pr}_{\alpha_k}\times\mathrm{pr}_{\alpha_k})^{-1}(V_k)$ を満たす $m\in\N$ 、 $\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in\omega_1$ 、 $V_1,\ldots,V_m\in\mathcal U_e$ が存在する。§E2.51 命題 5.2 (1)により、各 $k$ について $U^e_{\varepsilon_k}\subseteq V_k$ を満たす実数 $\varepsilon_k>0$ が存在する。 $\varepsilon=\min\{1,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m\}$ とおき、 $N=\{t\in X\mid\lvert s-t\rvert<\varepsilon\}$ とおくと、§E2.2 補題 1.2により $N$ は $s$ を含む開集合である。 $f\in H$ と $t\in N$ をとると、各 $k$ について $\lvert\mathrm{pr}_{\alpha_k}(f(s))-\mathrm{pr}_{\alpha_k}(f(t))\rvert\leq\lvert s-t\rvert<\varepsilon\leq\varepsilon_k$ であるから、 $(\mathrm{pr}_{\alpha_k}(f(s)),\mathrm{pr}_{\alpha_k}(f(t)))\in V_k$ であり、 $(f(s),f(t))\in V$ である。ゆえに $H$ は点 $s$ で同程度連続であり、 $H$ は同程度連続である。補題 1.2 (3)により $H\subseteq C(X,Y)$ である。

§E2.9 定理 4.3により $[0,1]$ はコンパクトであるから、§E2.19 定理 8.2により $Y$ は $\mathcal V$ の一様位相に関してコンパクトである。 $s\in X$ について $H(s)\subseteq Y$ であるから、§E2.54 補題 2.2 (1)により $H(s)$ は全有界である。§E2.9 定理 4.3により $X$ はコンパクトであるから、定理 3.1 (2) $\Rightarrow$ (1)により $H$ は全有界である。§E2.53 系 1.4により $(Y,\mathcal V)$ は完備であるから、系 4.1 (2) $\Rightarrow$ (1)により $\tpcl[C(X,Y)]{H}$ はコンパクトである。

例 6.3. $D$ を非可算集合とし、 $D$ に属さない点 $\infty$ をとり、 $X=D\cup\{\infty\}$ とおく。 $O\subseteq X$ が $\infty\notin O$ を満たすか、 $X\setminus O$ が高々可算であるとき、 $O$ を開集合と定める。 $Y=\{0,1\}$ に距離 $\lvert s-t\rvert$ と距離一様構造 $\mathcal V$ を入れ、 $C(X,Y)$ にコンパクト開位相を入れ、 $H=C(X,Y)$ とおく。このとき、 $H$ は定理 5.3 条件 (b)を満たし、定理 5.3 条件 (a)を満たさない。したがって、定理 5.3により $X$ はコンパクト生成空間でない。

$\emptyset$ と $X$ は開集合である。開集合の族の和集合が $\infty$ を含むならば、 $\infty$ を含む族の元 $O$ が存在し、和集合の補集合は $X\setminus O$ に含まれるから高々可算である。二つの開集合の共通部分が $\infty$ を含むならば、二つの補集合はいずれも高々可算であるから、共通部分の補集合も高々可算である。ゆえに開集合の全体は $X$ の位相である。 $d\in D$ について $\{d\}$ は開集合である。

$K$ を $X$ のコンパクト部分集合とする。 $K\setminus\{\infty\}$ が無限集合であると仮定し、可算無限集合 $A\subseteq K\setminus\{\infty\}$ をとる。 $X\setminus A$ は $\infty$ を含み、補集合 $A$ は可算であるから開集合であり、 $A$ は $X$ の閉集合である。 $K\setminus A=K\cap(X\setminus A)$ は $K$ の開集合であるから、 $A$ は $K$ の閉集合であり、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。 $a\in A$ について $\{a\}$ は $X$ の開集合であるから、 $A$ の部分空間位相は離散位相であり、§E2.19 例 2.9 (3)により $A$ はコンパクトでない。これは矛盾であるから、 $K$ は有限集合である。 $d\in K\cap D$ について $\{d\}=K\cap\{d\}$ は $K$ の開集合である。 $X\setminus(K\cap D)$ は $\infty$ を含み、補集合 $K\cap D$ は有限であるから開集合であり、 $\infty\in K$ ならば $\{\infty\}=K\cap(X\setminus(K\cap D))$ は $K$ の開集合である。 $z\in K$ と $V\in\mathcal V$ をとると、 $\{z\}$ は $K$ における $z$ の近傍であり、§E2.51 定義 1.3 条件 (d)によりすべての $f\in H$ について $(f(z),f(z))\in V$ であるから、 $H|_K$ は $K$ の点 $z$ で同程度連続である。ゆえに $H$ は $X$ のすべてのコンパクト部分集合の上で同程度連続である。 $x\in X$ について $\tpcl[Y]{H(x)}\subseteq Y$ は有限集合であるから、§E2.19 例 2.9 (1)によりコンパクトである。ゆえに $H$ は定理 5.3 条件 (b)を満たす。

$\tpcl[C(X,Y)]{H}=C(X,Y)$ がコンパクトであると仮定する。§E2.30 命題 1.8により、恒等写像は $C(X,Y)$ のコンパクト開位相から各点収束の位相への連続写像であるから、§E2.19 定理 4.2により $C(X,Y)$ は各点収束の位相に関してコンパクトである。§E2.30 定理 1.4と§E2.19 定理 4.2により、 $C(X,Y)$ は積位相を入れた $Y^X$ のコンパクト部分集合である。§E2.51 命題 5.2 (2)と§E2.2 補題 1.2により、 $\{0\}=B(0,1/2)$ と $\{1\}=B(1,1/2)$ は $Y$ の一様位相の開集合であるから、 $Y$ の一様位相は離散位相であり、T2 である。§E2.15 定理 2.8 (3)により $Y^X$ は T2 空間であり、§E2.19 命題 6.4により $C(X,Y)$ は $Y^X$ の閉集合である。 $\chi\in Y^X$ を $\chi(\infty)=1$ 、 $d\in D$ について $\chi(d)=0$ で定める。 $\{1\}$ は $Y$ の開集合であり、 $\chi^{-1}(\{1\})=\{\infty\}$ の補集合 $D$ は非可算であるから、 $\{\infty\}$ は開集合でなく、§E2.12 定義 1.1により $\chi\notin C(X,Y)$ である。一方、 $N$ を積位相に関する $\chi$ の近傍とし、 $x\in X$ について射影を $\pi_x\colon Y^X\to Y$ とする。 $Y^X$ に積一様構造を入れると、§E2.51 系 4.5 (2)によりその一様位相は積位相であるから、§E2.51 命題 2.1と§E2.51 定義 4.1により、 $\bigl(\bigcap_{k=1}^m(\pi_{x_k}\times\pi_{x_k})^{-1}(V_k)\bigr)[\chi]\subseteq N$ を満たす $m\in\N$ 、 $x_1,\ldots,x_m\in X$ 、 $V_1,\ldots,V_m\in\mathcal V$ が存在する。 $F=\{x_1,\ldots,x_m\}\cap D$ とおき、 $g\in Y^X$ を、 $x\in F$ について $g(x)=0$ 、 $x\in X\setminus F$ について $g(x)=1$ で定める。 $F$ は $\infty$ を含まない開集合であり、 $X\setminus F$ は $\infty$ を含み、補集合 $F$ は有限であるから開集合である。 $Y$ のすべての部分集合の $g$ による逆像は $\emptyset$ 、 $F$ 、 $X\setminus F$ 、 $X$ のいずれかであるから、§E2.12 定義 1.1により $g$ は連続である。各 $k$ について $g(x_k)=\chi(x_k)$ であるから、§E2.51 定義 1.3 条件 (d)により $(\chi(x_k),g(x_k))\in V_k$ であり、 $g\in\bigl(\bigcap_{k=1}^m(\pi_{x_k}\times\pi_{x_k})^{-1}(V_k)\bigr)[\chi]\subseteq N$ である。ゆえに $N\cap C(X,Y)$ は空でない。§E2.11 命題 7.2 (2)により $\chi$ は $Y^X$ における $C(X,Y)$ の閉包に属する。これは、 $C(X,Y)$ が閉集合であり $\chi\notin C(X,Y)$ であることに反する。ゆえに $\tpcl[C(X,Y)]{H}$ はコンパクトでなく、 $H$ は定理 5.3 条件 (a)を満たさない。

7 演習

問題 7.1. $X$ をコンパクト位相空間、 $(Y,\mathcal V)$ を一様空間とし、 $(f_n)_{n\in\NN}$ を $X$ から $Y$ への写像の列、 $f\colon X\to Y$ を写像とする。 $\{f_n\mid n\in\NN\}$ は同程度連続であり、すべての $x\in X$ について点列 $(f_n(x))_{n\in\NN}$ は $Y$ の一様位相に関して $f(x)$ に収束するとする。このとき、 $f$ は連続であり、点列 $(f_n)_{n\in\NN}$ は、 $Y^X$ に $\mathcal V$ に関する一様収束の一様構造を入れたときの一様位相に関して $f$ に収束することを示せ。

解答.

$H=\{f_n\mid n\in\NN\}$ とおき、 $Y^X$ の積一様構造を $\mathcal P$ 、 $\mathcal V$ に関する一様収束の一様構造を $\mathcal V_{\mathrm u}$ 、 $\mathcal V$ に関するコンパクト集合の上の一様収束の一様構造を $\mathcal V_{\mathrm c}$ とし、 $x\in X$ について射影を $\pi_x\colon Y^X\to Y$ とする。 $G$ を、 $Y^X$ に積位相を入れたときの $H$ の閉包とする。§E2.51 系 4.5 (2)により、積位相は $\mathcal P$ の一様位相に等しい。

$N$ を積位相に関する $f$ の近傍とする。§E2.51 命題 2.1と§E2.51 定義 4.1により、 $\bigl(\bigcap_{k=1}^m(\pi_{x_k}\times\pi_{x_k})^{-1}(V_k)\bigr)[f]\subseteq N$ を満たす $m\in\N$ 、 $x_1,\ldots,x_m\in X$ 、 $V_1,\ldots,V_m\in\mathcal V$ が存在する。§E2.51 命題 2.1により、各 $k$ について $V_k[f(x_k)]$ は $f(x_k)$ の近傍であるから、 $n\geq n_k$ を満たすすべての $n\in\NN$ について $f_n(x_k)\in V_k[f(x_k)]$ となる $n_k\in\NN$ が存在する。 $n_0=\max\{1,n_1,\ldots,n_m\}$ とおくと、 $n\geq n_0$ を満たすすべての $n\in\NN$ と各 $k$ について $(f(x_k),f_n(x_k))\in V_k$ であるから、 $f_n\in N$ である。ゆえに点列 $(f_n)_{n\in\NN}$ は積位相に関して $f$ に収束し、 $f$ の積位相に関する近傍はすべて $H$ と交わるから、§E2.11 命題 7.2 (2)により $f\in G$ である。

$H|_X=H$ は同程度連続であるから、 $H$ は $X$ の上で同程度連続である。補題 1.2 (6)を $A=X$ に適用すると、 $G$ は $X$ の上で同程度連続であり、 $G|_X=G$ であるから $G$ は同程度連続である。 $f\in G$ であるから、補題 1.2 (3)により $f$ は連続である。 $X$ のコンパクト部分集合 $K$ について、補題 1.2 (4)により、 $K$ のすべての点 $z$ で $G|_K$ は同程度連続であるから、 $G$ は $K$ の上で同程度連続である。補題 5.2により、 $G$ の上で、積位相の部分空間位相は $\mathcal V_{\mathrm c}$ の一様位相の部分空間位相に等しく、 $X$ はコンパクトであるから、§E2.55 命題 1.3 (3)により $\mathcal V_{\mathrm c}=\mathcal V_{\mathrm u}$ である。

$M$ を $\mathcal V_{\mathrm u}$ の一様位相に関する $f$ の近傍とし、 $f\in O\subseteq M$ を満たす $\mathcal V_{\mathrm u}$ の一様位相の開集合 $O$ をとる。§E2.12 定義 4.1により $O\cap G$ は $\mathcal V_{\mathrm u}$ の一様位相の部分空間位相に関して $G$ の開集合であり、この部分空間位相は積位相の部分空間位相に等しいから、 $O\cap G=O'\cap G$ を満たす積位相の開集合 $O'$ が存在する。 $f\in O\cap G$ であるから $f\in O'$ であり、点列 $(f_n)_{n\in\NN}$ は積位相に関して $f$ に収束するから、 $n\geq n_0$ を満たすすべての $n\in\NN$ について $f_n\in O'$ となる $n_0\in\NN$ が存在する。 $H\subseteq G$ であるから、 $n\geq n_0$ ならば $f_n\in O'\cap G=O\cap G\subseteq M$ である。ゆえに点列 $(f_n)_{n\in\NN}$ は $\mathcal V_{\mathrm u}$ の一様位相に関して $f$ に収束する。▨

§E2.56Arzelà–Ascoli の定理 II