§E2.29可算型空間

証明.$(V_n)_{n\geq1}$を$A$の可算近傍基とする。定義 1.1により、各$n$に対して$A\subseteq W_n\subseteq V_n$を満たす$X$の開集合$W_n$をとる。$W_n$は$A$を含む開集合であるから$A$の近傍である。$V\in\mathcal N(A)$に対して$V_n\subseteq V$を満たす$n$をとれば$W_n\subseteq V_n\subseteq V$である。ゆえに$(W_n)_{n\geq1}$は$X$の開集合からなる$A$の可算近傍基である。▨

証明.$X$の位相と両立する距離$d$を取り、コンパクト部分集合$K\subseteq X$に対して

とおく。$K=\varnothing$ならば各$U_n$も空であり、求める近傍基をなす。$K\ne\varnothing$とし、$K$を含む開集合$O$を取る。$O=X$の場合はすべての$U_n$が$O$に含まれる。

$O\ne X$の場合、空でない閉集合$F=X\setminus O$への距離$h(x)=\inf_{y\in F}d(x,y)$は連続であり、$K$上で正である。コンパクト性により、ある$\delta>0$について$h(x)\geq\delta$がすべての$x\in K$に対して成り立つ。$1/n<\delta$となる$n$を取ると$U_n\cap F=\varnothing$、したがって$U_n\subseteq O$である。ゆえに$(U_n)$は$K$の可算近傍基である。▨

証明.(1)は全空間の近傍系が一元集合であることからただちに従う。(2)は定理 1.4よりただちに従う。▨

証明.主張 (1)を示す。$C\cap F$はコンパクト空間$C$の閉部分空間なのでコンパクトである。補題 1.3により、$X$の開集合からなる$C$の可算近傍基$(U_n)$を取る。$C\cap F$を含む$F$の開集合$O$に対して、$X\setminus(F\setminus O)$は$C$を含む$X$の開集合である。したがって、ある$n$について$U_n\subseteq X\setminus(F\setminus O)$となり、$U_n\cap F\subseteq O$を得る。各$U_n\cap F$は$C\cap F$を含む$F$の開集合であるから、$(U_n\cap F)$は$F$における$C\cap F$の可算近傍基である。

主張 (2)を示す。固有性により$f^{-1}(C)$はコンパクトである。補題 1.3により、$Y$の開集合からなる$C$の可算近傍基$(U_n)$を取る。$f^{-1}(C)$を含む開集合$O\subseteq X$に対して、閉写像性により$V=Y\setminus f(X\setminus O)$は開集合であり、$C\subseteq V$かつ$f^{-1}(V)\subseteq O$である。$U_n\subseteq V$となる$n$を取れば$f^{-1}(U_n)\subseteq O$となるので、各$f^{-1}(U_n)$は$f^{-1}(C)$を含む$X$の開集合であるから、$(f^{-1}(U_n))$は$X$における$f^{-1}(C)$の可算近傍基である。

主張 (3)を示す。いずれかの$C_n$が空ならば積も空であり、すべての項が空集合である列が積の可算近傍基である。すべての$C_n$が空でない場合、§E2.19 定理 8.2により$C=\prod_nC_n$はコンパクトである。各$n$に対して、補題 1.3により、$X_n$の開集合からなる$C_n$の可算近傍基を取り、その最初の$m$項の共通部分を$U_{n,m}$とおく。$(U_{n,m})_{m\in\NN}$は、$X_n$の開集合からなる$C_n$の減少する可算近傍基である。

とおく。

$C$を含む開集合$O$を取る。$O$に含まれる基本開集合による$C$の被覆から有限部分被覆を取り、それらが制限する座標の合併を$J$とする。このとき、$\prod_{j\in J}C_j$を含む$\prod_{j\in J}X_j$の開集合$D$が存在し、$\pr_J^{-1}(D)\subseteq O$となる。

二つのコンパクト集合$A,B$の積を含む開集合$N$について、§E2.20 補題 4.1により、各$a\in A$の開近傍$P_a$と$B$の開近傍$Q_a$を$P_a\times Q_a\subseteq N$となるように取る。$A$を覆う有限個の$P_{a_k}$を取ると、$(\bigcup_kP_{a_k})\times(\bigcap_kQ_{a_k})\subseteq N$である。この操作を有限個の因子に繰り返し、各$j\in J$について$C_j$の開近傍$W_j$を$\prod_{j\in J}W_j\subseteq D$となるように取る。

各$j\in J$について$U_{j,m_j}\subseteq W_j$となる$m_j$を選び、$m$を$J$のすべての元とすべての$m_j$以上に取る。すると$B_m\subseteq\pr_J^{-1}(D)\subseteq O$である。$J=\varnothing$ならば$O$は全空間であり、任意の$B_m$を取ることができる。各$B_m$は$C$を含む$\prod_nX_n$の開集合であるから、$(B_m)$は$\prod_nX_n$における$C$の可算近傍基である。▨

証明. 空の因子があれば直積は空であり、可算型である。有限個の因子には一点空間を追加してよいので、空でない可算型空間の列$(X_n)_{n\in\NN}$を考える。コンパクト部分集合$A\subseteq\prod_nX_n$に対して、各射影$\pr_n(A)$はコンパクトである。各$n$について$\pr_n(A)$を含み、$X_n$において可算近傍基をもつコンパクト部分集合$C_n$を取る。補題 2.1 (3)により、$\prod_nC_n$は$A$を含み、可算近傍基をもつコンパクト部分集合である。▨

証明.主張 (1)を示す。各$n\geq1$に対して$X\setminus W_n$は閉集合であり$K\cap(X\setminus W_n)=\emptyset$であるから、§E2.19 補題 6.1 (3)により、$K$のすべての点で値$0$をとり$X\setminus W_n$のすべての点で値$1$をとる連続写像$g_n\colon X\to[0,1]$をとる。包含写像$[0,1]\to\R$は§E2.12 定理 4.4により連続であるから、各$g_n$を$\R$に値をとる連続写像とみなす。§E2.16 補題 2.6を列$(g_n)_{n\geq1}$へ適用して、$0\leq f\leq1$を満たす連続写像$f\colon X\to\R$で、すべての$N\geq1$と$x\in X$について$\sum_{n=1}^{N}2^{-n}g_n(x)\leq f(x)$が成り立ち、$f(x)=0$であることとすべての$n\geq1$について$g_n(x)=0$であることとが同値であるものをとる。像が$[0,1]$に含まれることと§E2.12 定理 4.4により、終域を$[0,1]$とした連続写像$f\colon X\to[0,1]$を得る。

$x\in K$に対してはすべての$n$で$g_n(x)=0$であるから$f(x)=0$である。逆に$f(x)=0$ならばすべての$n$で$g_n(x)=0$であり、$x\notin W_n$ならば$g_n(x)=1$であるから、$x\in W_n$がすべての$n$について成り立つ。ゆえに$K\subseteq f^{-1}(\{0\})\subseteq\bigcap_{n\geq1}W_n$である。

$n\geq1$と$f(x)<2^{-n}$を満たす$x$をとると、$2^{-n}g_n(x)\leq\sum_{m=1}^{n}2^{-m}g_m(x)\leq f(x)<2^{-n}$であるから$g_n(x)<1$であり、$x\in W_n$である。ゆえに$f^{-1}([0,2^{-n}))\subseteq W_n$である。

主張 (2)と主張 (3)はそれぞれ主張 (1)よりただちに従う。▨

証明.§E2.19 系 6.12により$Z$は T3½ 空間である。補題 3.1 (2)により、連続写像$f\colon Z\to[0,1]$で$K=f^{-1}(\{0\})$を満たすものをとる。任意の開近傍$K\subset U$に対し、$Z\setminus U$がコンパクトであることと$K=f^{-1}(0)$であることからある$n\in \N$が存在して$f(Z\setminus U) \subset [1/n, 1]$が成り立つ。よって$K\subset f^{-1}([0,1/n))\subset U$となり、$(f^{-1}([0,1/n)))_{n\in \N}$は$K$の可算近傍基である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$(f^{-1}([0,2^{-n})))_{n\in \N}$が$K$の可算近傍基を与えるような連続写像$f\colon X\to[0,1]$を任意にとる。$f$の$\beta X$への延長を$\tilde{f}\colon \beta X\to [0,1]$とする。任意の閉集合$F\subseteq \beta X\setminus K$に対して$K\subset U$,$F \subseteq \beta X \setminus \overline{U}$となる$\beta X$の開集合$U$を一つとる。$(f^{-1}([0,2^{-n})))_{n\in \N}$が$K$の近傍基であることから、ある$n\in \N$が存在して$K\subset f^{-1}([0,2^{-n})) \subset U$が成り立つ。よって$f(X\setminus U) \subset [2^{-n}, 1]$である。$F \subseteq \tpcl[\beta X]{X\setminus U}$なので、よって$\tilde{f}(F) \subset [2^{-n},1]$である。以上より$(\tilde{f}^{-1}([0,2^{-n})))_{n\in \N}$は$K$の$\beta X$における可算近傍基となる。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$cX$を$X$の任意のコンパクト化とし、$K\subset \beta X$は$G_{\delta}$集合であると仮定する。$\pi\colon \beta X\to cX$を自然な連続写像とすると、$\pi(\beta X\setminus X) = cX\setminus X$を満たすので、$\pi(K)=K$,$\pi(\beta X \setminus K) = \pi(\beta X\setminus X) \cup (X\setminus K) = (cX \setminus X) \cup (X\setminus K) = cX\setminus K$が成り立つ。$\beta X \setminus K$は$F_{\sigma}$集合なので$\pi$が閉写像であることから$cX\setminus K$も$F_{\sigma}$集合となり$K$は$cX$で$G_{\delta}$である。

(3)$\Rightarrow$(4)は明らかである。(4)$\Rightarrow$(1)は系 3.2よりただちに従う。▨

証明. 演習とする（問題 7.4）。▨

証明.主張 (1)を示す。$X$はハウスドルフなので、任意の点$x\in L$に対してある開集合$K\subset V_x$,$x\in W_x$が存在して$V_x\cap W_x = \emptyset$が成り立つ。$L \subset \bigcup_{x\in L}W_x$なので、$L$が Lindelöf であることから、可算部分集合$L_0\subset L$が存在して$L\subset \bigcup_{x\in L_0}W_x$が成り立つ。このとき、

となる。$\bigcap_{x\in L_0}V_x$が求める$G_{\delta}$集合である。

主張 (2)を示す。$K$が部分空間$X\setminus L$の$G_{\delta}$集合であるとすると、$X$の開集合の列$(U_n)_{n\geq1}$で$K = (X\setminus L)\cap\bigcap_{n\geq1}U_n$を満たすものが存在する。主張 (1)の$G$をとると$K\subset G\subset X\setminus L$であるから$K = G\cap\bigcap_{n\geq1}U_n$であり、これは$X$の二つの$G_{\delta}$集合の共通部分であるから$X$の$G_{\delta}$集合である。▨

証明.(2)$\Rightarrow$(3)は自然な連続写像$\beta X\to cX$が剰余を剰余に全射に写すことからただちに従う。(3)$\Rightarrow$(4)は自明である。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。$cX$を$X$のコンパクト化とし、$cX\setminus X$が Lindelöf であると仮定する。$C\subset X$をコンパクト集合とする。$cX$はコンパクト Hausdorff 空間であり$C\cap(cX\setminus X)=\emptyset$であるから、補題 4.1 (1)を$cX$とその Lindelöf な部分空間$cX\setminus X$へ適用して、ある$cX$の$G_{\delta}$集合$G = \bigcap_{n\in \N}U_n$が存在して$C\subset G\subset X$が成り立つ。補題 3.1 (1)よりある連続写像$f\colon cX\to [0,1]$が存在して$C\subset f^{-1}(0)$,$f^{-1}([0,2^{-n}))\subset U_n$が成り立つ。$K:=f^{-1}(0)$と置く。このとき$C\subset K\subset G\subset X$である。さらに、$K$は$cX$のコンパクトな$G_{\delta}$集合なので、系 3.3 (1)$\Leftrightarrow$(3)より、$K$は$X$の可算近傍基を持つコンパクト部分集合である。以上より$X$は可算型である。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$X$を可算型とし、$(U_i)_{i\in I}$を$\beta X$の開集合族であって$\beta X\setminus X\subset \bigcup_{i\in I}U_i$となるものとする。$C := \beta X\setminus \bigcup_{i\in I} U_i$と置くと、これは$\beta X$の閉集合なのでコンパクトであり、$C\subset X$である。よって$X$が可算型であることから、ある可算近傍基を持つコンパクト集合$C\subset K\subset X$が存在する。系 3.3 (1)$\Leftrightarrow$(3)より、$K$は$\beta X$の$G_{\delta}$集合である。特に$\beta X\setminus K$は$F_{\sigma}$集合であり、$\beta X$がコンパクトであることからこれは σ-コンパクト、特に Lindelöf である。また、$\beta X \setminus \bigcup_{i\in I}U_i = C\subset K$なので、$\beta X\setminus K\subset \bigcup_{i\in I}U_i$である。よって、可算部分集合$I_0\subset I$が存在して$\beta X\setminus X \subset \beta X\setminus K \subset \bigcup_{i\in I_0}U_i$が成り立つ。以上より$\beta X\setminus X$は Lindelöf である。▨

証明.定理 4.2 (1)$\Leftrightarrow$(2)と補題 1.7 (2)よりただちに従う。▨

証明.§E2.26 系 2.4により Čech 完備空間の任意のコンパクト化の剰余は σ-コンパクトであり、§E2.25 定理 3.1により Lindelöf である。よって前半は定理 4.2よりただちに従う。後半は、§E2.26 補題 2.2 (3)により局所コンパクト Hausdorff 空間が Čech 完備であることから従う。▨

証明.$R=cX\setminus X$、$K=cX\setminus X_{\mathrm{lc}}$とおく。§E2.26 補題 4.1により$K=\tpcl[cX]{R}$であるから、$cX$がコンパクト Hausdorff 空間であることと§E2.22 補題 1.3 (2)により$K$は$R$のコンパクト化であり、§E2.22 系 2.4により$R$は T3½ 空間である。同じ補題により$K\setminus R=X\setminus X_{\mathrm{lc}}$であって、$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$と$X$はともに$cX$の部分空間であるから、§E2.12 系 4.5により$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$が$K$から受ける部分空間位相は$X$から受けるものに一致する。定理 4.2を$R$とそのコンパクト化$K$へ適用すると、$R$が可算型であることと$K\setminus R$が Lindelöf であることとは同値である。これで(1)$\Leftrightarrow$(2)は示された。▨

証明.§E2.24 命題 1.4 (1)により$X_{\mathrm{lc}}$は$X$の開集合であるから、$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$は$X$の閉集合である。$X$は Lindelöf であるから、§E2.21 系 1.4 (1)により部分空間$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$は Lindelöf である。ゆえに定理 4.6により剰余$cX\setminus X$は可算型である。▨

証明.$f$は完全写像なので、§E2.22 定理 5.2より$(\beta f)^{-1}(Y)=X$であり、$f$は全射なので$\beta f (\beta X\setminus X) = \beta Y\setminus Y$である。$X$は可算型なので定理 4.2より$\beta X\setminus X$は Lindelöf であり、よって$\beta Y\setminus Y$も Lindelöf である。ふたたび定理 4.2により$Y$は可算型である。▨

証明.主張 (1)は命題 2.2による。

主張 (2)を示す。§E2.19 系 6.12により$K$は T3½ 空間であるから、§E2.15 系 2.9により$X\times K$は T3½ 空間である。§E2.20 命題 4.5により射影$\operatorname{pr}_X\colon X\times K\to X$は固有であって閉写像であるから、定理 4.10を$\operatorname{pr}_X$へ適用すると$X\times K$は可算型である。▨

証明.$X=\emptyset$のときは、$Y=\emptyset$,$K=\emptyset$と唯一の写像$\emptyset\to \emptyset$をとればこれらの同値性は明らかであるから、以下$X\neq\emptyset$とする。

(2)$\Rightarrow$(3)はポーランド空間への完全写像$f\colon X\to Y$に対してグラフ写像$X\to \beta X \times Y, x\mapsto (x, f(x))$を考えて§E2.22 系 5.5を適用することでただちに従う。

(3)$\Rightarrow$(1)は$Y\times K$が Čech 完備な Lindelöf 空間空間であること、Čech 完備性と Lindelöf 性が閉部分空間へ遺伝することからただちに従う。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$cX$を$X$のコンパクト化とする。このとき、§E2.26 定理 2.3より$cX\setminus X$は σ-コンパクトである。また$X\setminus X_{\mathrm{lc}}\subset X$は閉なので Lindelöf であり、よって定理 4.6より$cX\setminus X$は可算型である。特に、可算個の可算近傍基を持つコンパクト部分集合$K_n\subset cX\setminus X$,$n\in \N$が存在し、$cX\setminus X = \bigcup_{n\in \N}K_n$が成り立つ。各$K_n$は$cX\setminus X$で$G_{\delta}$であり、$X$は Lindelöf であるから、よって補題 4.1 (2)より各$K_n$は$cX$の$G_{\delta}$集合である。従って、補題 3.1 (2)より、ある連続写像$f_n\colon cX\to [0,1]$が存在して$f_n^{-1}(0) = K_n$となる。$f_n$を並べることによって得られる連続写像

を考えると、$f_n$の取り方から、

が成り立つ。よって$\tilde{f}^{-1}((0,1]^{\N}) = X$であり、§E2.20 命題 1.5より$\tilde{f}$の$X$への制限により得られる連続写像$f\colon X\to (0,1]^{\N}$は固有閉写像である。特に、$X\to f(X)$は完全写像である。ここで$(0,1]^{\N}$は完備距離化可能空間の可算直積なので完備距離化可能であり、よってその閉部分空間$f(X) \subset (0,1]^{\N}$も完備距離化可能である。$X$は Lindelöf なので$f(X)$も Lindelöf であり、$f(X)$は距離化可能なので、以上より$f(X)$はポーランド空間である。以上ですべて示された。▨

証明. コンパクト Hausdorff 空間とポーランド空間を含み、有限直積、閉部分空間をとる操作、同相で閉じる最小のクラスを$\mathcal{C}_0$、 Čech 完備な Lindelöf 空間全体のなすクラスを$\mathcal C$と書く。$\mathcal{C}$は有限直積、閉部分空間をとる操作、同相で閉じていて、コンパクト Hausdorff 空間とポーランド空間を含むので、$\mathcal{C}_0$の最小性から$\mathcal{C}_0\subset \mathcal{C}$が成り立つ。逆に定理 5.1 (1)$\Leftrightarrow$(3)より、$X\in \mathcal{C}$に対しあるコンパクト Hausdorff 空間$K\in\mathcal{C}_0$とあるポーランド空間$P\in\mathcal{C}_0$と位相的閉埋め込み$X\to K\times P$が存在する。$\mathcal{C}_0$が有限直積をとる操作で閉じていることから、$K\times P\in\mathcal{C}_0$が成り立つ。$X\to K\times P$の像を$X'$とすると、$\mathcal{C}_0$が閉部分空間をとる操作により閉じていることから$X'\in \mathcal{C}_0$が成り立つ。$X\cong X'$であるから、$\mathcal{C}_0$が同相で閉じていることから$X\in \mathcal{C}_0$が成り立つ。以上より$\mathcal{C}\subset \mathcal{C}_0$が成り立ち、$\mathcal{C} = \mathcal{C}_0$が従う。▨