§E2.53完備化

最終更新

距離空間の完備性は、すべての Cauchy 列が収束することで定められ、完備でない有理数の空間から実数の空間が完備化として得られる。一様空間にも Cauchy 列は定められるが、すべての Cauchy 列が収束するという条件は、すべての Cauchy フィルターが収束するという条件より真に弱く、前者を満たして後者を満たさない一様空間が存在する。そこで、すべての Cauchy フィルターが収束することを一様空間の完備性と定め、Hausdorff 一様空間に対して、完備 Hausdorff 一様空間への一様連続写像についての普遍性によって完備化を定める。Hausdorff 一様空間の完備化は一様同相を除いてただ一つ存在し、距離空間の完備化はその特別な場合として得られる。本記事では、完備性と完備化を定め、その基本的な性質と構成について解説する。

1 Cauchy フィルターと完備性

定義 1.1 (Cauchy フィルター、完備性).(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とする。XX上のフィルターF\mathfrak Fが Cauchy フィルター (Cauchy filter) であるとは、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対してF×F⊆VF\times F\subseteq Vを満たすF∈FF\in\mathfrak Fが存在することをいう。XXのネット(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}が Cauchy ネット (Cauchy net) であるとは、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対して、λ≥λ0\lambda\geq\lambda_0かつμ≥λ0\mu\geq\lambda_0を満たすすべてのλ,μ∈Λ\lambda,\mu\in\Lambdaについて(xλ,xμ)∈V(x_\lambda,x_\mu)\in Vが成り立つようなλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在することをいう。XXの点列(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}がN≥1\NNを添字集合とするネットとして Cauchy ネットであるとき、(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}を(X,U)(X,\mathcal U)の Cauchy 列 (Cauchy sequence) という。

XX上のすべての Cauchy フィルターが一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}に関して収束するとき、(X,U)(X,\mathcal U)は 完備 (complete) であるという。XXのすべての Cauchy 列がOU\mathcal O_{\mathcal U}に関して収束するとき、(X,U)(X,\mathcal U)は 点列完備 (sequentially complete) であるという。

補題 1.2.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とする。

  1. XX上のフィルター基B\mathfrak Bについて、⟨B⟩\langle\mathfrak B\rangleが Cauchy フィルターであることと、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対してB×B⊆VB\times B\subseteq Vを満たすB∈BB\in\mathfrak Bが存在することは同値である。
  2. XX上のフィルターであってOU\mathcal O_{\mathcal U}に関してXXのある点に収束するものは、Cauchy フィルターである。
  3. XX上の Cauchy フィルターより細かいXX上のフィルターは、Cauchy フィルターである。
  4. XX上の Cauchy フィルターF\mathfrak FがOU\mathcal O_{\mathcal U}に関して集積点xxをもつならば、F\mathfrak Fはxxに収束する。
  5. F\mathfrak FをXX上の Cauchy フィルターとする。このとき、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対して、W[F]×W[F]⊆VW[F]\times W[F]\subseteq Vを満たすW∈UW\in\mathcal UとF∈FF\in\mathfrak Fが存在する。
  6. (Y,V)(Y,\mathcal V)を一様空間、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを一様連続写像とする。このとき、XX上の任意の Cauchy フィルターF\mathfrak Fについて、像フィルターf(F)f(\mathfrak F)はYY上の Cauchy フィルターである。
  7. A⊆XA\subseteq Xに部分一様構造UA\mathcal U_Aを入れ、F\mathfrak FをXX上の Cauchy フィルターであって、すべてのF∈FF\in\mathfrak FについてF∩A≠∅F\cap A\neq\emptysetを満たすものとする。このとき、AA上のフィルターFA={F∩A∣F∈F}\mathfrak F_A=\{F\cap A\mid F\in\mathfrak F\}は(A,UA)(A,\mathcal U_A)の Cauchy フィルターである。
  8. D\mathcal DをUD=U\mathcal U_{\mathcal D}=\mathcal Uを満たすXX上の擬距離の族であって、有限個の最大で閉じているものとする。このとき、XX上のフィルターF\mathfrak Fが Cauchy フィルターであることと、任意のd∈Dd\in\mathcal Dと任意の実数ε>0\varepsilon>0に対して、すべてのx,y∈Fx,y\in Fについてd(x,y)<εd(x,y)<\varepsilonを満たすF∈FF\in\mathfrak Fが存在することは同値である。

証明.主張 (1)を示す。⟨B⟩\langle\mathfrak B\rangleが Cauchy フィルターであるとし、V∈UV\in\mathcal Uをとる。F×F⊆VF\times F\subseteq Vを満たすF∈⟨B⟩F\in\langle\mathfrak B\rangleが存在し、FFはB\mathfrak Bのある元BBを含むから、B×B⊆F×F⊆VB\times B\subseteq F\times F\subseteq Vである。逆の向きは、§E2.50 命題 1.3 (1)によりB⊆⟨B⟩\mathfrak B\subseteq\langle\mathfrak B\rangleであることから従う。

主張 (2)を示す。F\mathfrak Fをx∈Xx\in Xに収束するフィルターとし、V∈UV\in\mathcal Uをとる。§E2.51 補題 1.7 (2)により、W∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たす対称な近縁WWが存在する。§E2.51 命題 2.1によりW[x]∈NOU(x)⊆FW[x]\in\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)\subseteq\mathfrak Fである。y,z∈W[x]y,z\in W[x]ならば、WWの対称性により(y,x)∈W(y,x)\in Wであり、(x,z)∈W(x,z)\in Wであるから、(y,z)∈W∘W⊆V(y,z)\in W\circ W\subseteq Vである。ゆえにW[x]×W[x]⊆VW[x]\times W[x]\subseteq Vである。

主張 (3)を示す。F\mathfrak Fを Cauchy フィルター、G\mathfrak GをF\mathfrak Fより細かいフィルターとし、V∈UV\in\mathcal Uをとる。F×F⊆VF\times F\subseteq Vを満たすF∈FF\in\mathfrak FはG\mathfrak Gに属する。

主張 (4)を示す。NNをxxの近傍とする。§E2.51 命題 2.1によりN=V[x]N=V[x]を満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在し、§E2.51 定義 1.3 条件 (f)によりW∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たすW∈UW\in\mathcal Uが存在する。F×F⊆WF\times F\subseteq Wを満たすF∈FF\in\mathfrak Fをとる。§E2.51 命題 2.1によりW[x]W[x]はxxの近傍であり、xxはF\mathfrak Fの集積点であるから、§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりW[x]∩FW[x]\cap Fは空でない。y∈W[x]∩Fy\in W[x]\cap Fをとる。z∈Fz\in Fならば、(x,y)∈W(x,y)\in Wかつ(y,z)∈F×F⊆W(y,z)\in F\times F\subseteq Wであるから(x,z)∈W∘W⊆V(x,z)\in W\circ W\subseteq Vであり、z∈V[x]=Nz\in V[x]=Nである。ゆえにF⊆NF\subseteq Nであり、§E2.50 定義 1.1 条件 (d)によりN∈FN\in\mathfrak Fである。したがってNOU(x)⊆F\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)\subseteq\mathfrak Fであり、F\mathfrak Fはxxに収束する。

主張 (5)を示す。§E2.51 補題 1.7 (2)により、W∘W∘W⊆VW\circ W\circ W\subseteq Vを満たす対称な近縁WWが存在する。F×F⊆WF\times F\subseteq Wを満たすF∈FF\in\mathfrak Fをとる。y,z∈W[F]y,z\in W[F]とすると、(a,y)∈W(a,y)\in Wと(b,z)∈W(b,z)\in Wを満たすa,b∈Fa,b\in Fが存在する。WWの対称性により(y,a)∈W(y,a)\in Wであり、(a,b)∈F×F⊆W(a,b)\in F\times F\subseteq Wであるから、(y,z)∈W∘W∘W⊆V(y,z)\in W\circ W\circ W\subseteq Vである。

主張 (6)を示す。W∈VW\in\mathcal Vをとる。ffは一様連続であるから(f×f)−1(W)∈U(f\times f)^{-1}(W)\in\mathcal Uであり、F×F⊆(f×f)−1(W)F\times F\subseteq(f\times f)^{-1}(W)を満たすF∈FF\in\mathfrak Fが存在する。このときf(F)×f(F)⊆Wf(F)\times f(F)\subseteq Wである。§E2.50 命題 3.2 (1)により{f(F)∣F∈F}\{f(F)\mid F\in\mathfrak F\}はYY上のフィルター基であり、f(F)f(\mathfrak F)はこのフィルター基が生成するフィルターであるから、主張 (1)によりf(F)f(\mathfrak F)は Cauchy フィルターである。

主張 (7)を示す。§E2.50 補題 3.3 (1)によりFA\mathfrak F_AはAA上のフィルターである。§E2.51 定義 3.1により、UA\mathcal U_Aの任意の元は、あるV∈UV\in\mathcal UについてV∩(A×A)V\cap(A\times A)と書かれる。V∈UV\in\mathcal Uに対してF×F⊆VF\times F\subseteq Vを満たすF∈FF\in\mathfrak Fをとると、F∩A∈FAF\cap A\in\mathfrak F_Aであり、(F∩A)×(F∩A)⊆V∩(A×A)(F\cap A)\times(F\cap A)\subseteq V\cap(A\times A)である。

主張 (8)を示す。§E2.50 定義 1.1の四条件により、F\mathfrak FはXX上のフィルター基である。§E2.52 命題 3.1 (3)をB=F\mathfrak B=\mathfrak Fに適用すると、Cauchy フィルターの定義の条件と、主張の条件は同値である。▨

命題 1.3.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とする。

  1. XXの任意のネットssについて、ssが Cauchy ネットであることと、ネットのフィルターF(s)\mathfrak F(s)が Cauchy フィルターであることは同値である。
  2. XX上の任意のフィルターF\mathfrak Fについて、F\mathfrak Fが Cauchy フィルターであることと、フィルターのネットsFs_{\mathfrak F}が Cauchy ネットであることは同値である。
  3. (X,U)(X,\mathcal U)が完備であることと、XXのすべての Cauchy ネットがOU\mathcal O_{\mathcal U}に関して収束することは同値である。
  4. XXの Cauchy ネットssがOU\mathcal O_{\mathcal U}に関して集積点xxをもつならば、ssはxxに収束する。

証明. 演習とする（問題 10.1）。▨

系 1.4. 一様位相がコンパクトである一様空間は完備である。

証明.(X,U)(X,\mathcal U)を一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}がコンパクトである一様空間とし、F\mathfrak FをXX上の Cauchy フィルターとする。§E2.50 定理 7.1 (1)⇒\Rightarrow(2)によりF\mathfrak Fは集積点xxをもち、補題 1.2 (4)によりF\mathfrak Fはxxに収束する。▨

2 部分空間・一様埋め込み・積の完備性

命題 2.1.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間、A⊆XA\subseteq Xとし、AAに部分一様構造UA\mathcal U_Aを入れる。

  1. (X,U)(X,\mathcal U)が完備であり、AAがOU\mathcal O_{\mathcal U}に関して閉集合ならば、(A,UA)(A,\mathcal U_A)は完備である。
  2. U\mathcal Uが Hausdorff であり、(A,UA)(A,\mathcal U_A)が完備ならば、AAはOU\mathcal O_{\mathcal U}に関して閉集合である。

証明.ιA ⁣:A→X\iota_A\colon A\to Xを包含写像とする。§E2.51 命題 3.4 (1)により恒等写像id⁡A\id_Aは一様連続であるから、§E2.51 系 4.4 (3)によりιA=ιA∘id⁡A\iota_A=\iota_A\circ\id_Aは一様連続である。

主張 (1)を示す。G\mathfrak Gを(A,UA)(A,\mathcal U_A)の Cauchy フィルターとする。補題 1.2 (6)によりιA(G)\iota_A(\mathfrak G)はXX上の Cauchy フィルターであり、(X,U)(X,\mathcal U)は完備であるから、ιA(G)\iota_A(\mathfrak G)はあるx∈Xx\in Xに収束する。ιA−1(A)=A∈G\iota_A^{-1}(A)=A\in\mathfrak GであるからA∈ιA(G)A\in\iota_A(\mathfrak G)であり、§E2.50 定理 6.1 (2)⇒\Rightarrow(1)によりx∈A‾x\in\tpcl{A}である。AAは閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (2)によりx∈Ax\in Aである。§E2.51 系 4.4 (2)によりOUA\mathcal O_{\mathcal U_A}はOU\mathcal O_{\mathcal U}の部分空間位相であるから、§E2.50 系 8.2 (2)によりG\mathfrak GはOUA\mathcal O_{\mathcal U_A}に関してxxに収束する。

主張 (2)を示す。x∈A‾x\in\tpcl{A}とする。§E2.50 定理 6.1 (1)⇒\Rightarrow(2)により、A∈FA\in\mathfrak Fを満たしxxに収束するXX上のフィルターF\mathfrak Fが存在する。F∈FF\in\mathfrak Fについて、§E2.50 定義 1.1 条件 (c)と§E2.50 定義 1.1 条件 (b)によりF∩A≠∅F\cap A\neq\emptysetである。FA={F∩A∣F∈F}\mathfrak F_A=\{F\cap A\mid F\in\mathfrak F\}とおくと、§E2.50 補題 3.3 (1)によりFA\mathfrak F_AはAA上のフィルターであり、A∈FA\in\mathfrak Fであるから、§E2.50 補題 3.3 (3)によりιA(FA)=F\iota_A(\mathfrak F_A)=\mathfrak Fである。補題 1.2 (2)によりF\mathfrak Fは Cauchy フィルターであるから、補題 1.2 (7)によりFA\mathfrak F_Aは(A,UA)(A,\mathcal U_A)の Cauchy フィルターである。(A,UA)(A,\mathcal U_A)は完備であるから、FA\mathfrak F_Aはあるa∈Aa\in Aに収束する。§E2.51 系 4.4 (2)によりOUA\mathcal O_{\mathcal U_A}はOU\mathcal O_{\mathcal U}の部分空間位相であるから、§E2.50 系 8.2 (2)によりF=ιA(FA)\mathfrak F=\iota_A(\mathfrak F_A)はaaに収束する。§E2.51 命題 2.8 (1)⇒\Rightarrow(2)によりOU\mathcal O_{\mathcal U}は T2 であるから、§E2.50 定理 6.4 (1)⇒\Rightarrow(2)によりx=a∈Ax=a\in Aである。ゆえにA‾⊆A\tpcl{A}\subseteq Aであり、§E2.11 命題 2.5 (1)によりA‾=A\tpcl{A}=Aであるから、§E2.11 命題 2.5 (2)によりAAは閉集合である。▨

補題 2.2.(Z,W)(Z,\mathcal W)、(Z′,W′)(Z',\mathcal W')を一様空間とし、ψ ⁣:Z′→Z\psi\colon Z'\to Zを一様連続写像、φ ⁣:Z→Z′\varphi\colon Z\to Z'を一様位相OW\mathcal O_{\mathcal W}とOW′\mathcal O_{\mathcal W'}に関して連続な写像とし、φ∘ψ=id⁡Z′\varphi\circ\psi=\id_{Z'}とする。このとき、(Z,W)(Z,\mathcal W)が完備ならば、(Z′,W′)(Z',\mathcal W')は完備である。

証明.G\mathfrak GをZ′Z'上の Cauchy フィルターとする。補題 1.2 (6)によりψ(G)\psi(\mathfrak G)はZZ上の Cauchy フィルターであり、(Z,W)(Z,\mathcal W)は完備であるから、ψ(G)\psi(\mathfrak G)はあるz∈Zz\in Zに収束する。φ\varphiは連続であるから、§E2.50 定理 6.2 (1)⇒\Rightarrow(2)によりφ(ψ(G))\varphi(\psi(\mathfrak G))はφ(z)\varphi(z)に収束する。φ∘ψ=id⁡Z′\varphi\circ\psi=\id_{Z'}であるから、§E2.50 命題 3.2 (4)によりφ(ψ(G))=(φ∘ψ)(G)=id⁡Z′(G)=G\varphi(\psi(\mathfrak G))=(\varphi\circ\psi)(\mathfrak G)=\id_{Z'}(\mathfrak G)=\mathfrak Gである。ゆえにG\mathfrak Gはφ(z)\varphi(z)に収束する。▨

補題 2.3.(X,U)(X,\mathcal U)、(Y,V)(Y,\mathcal V)を一様空間とし、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを一様連続写像であって、一様位相OU\mathcal O_{\mathcal U}とOV\mathcal O_{\mathcal V}に関して閉写像であるものとする。各y∈Yy\in Yについて、f−1({y})f^{-1}(\{y\})は部分一様構造に関して完備であるとする。このとき、(Y,V)(Y,\mathcal V)が完備ならば、(X,U)(X,\mathcal U)は完備である。

証明.F\mathfrak FをXX上の Cauchy フィルターとする。補題 1.2 (6)によりf(F)f(\mathfrak F)はYY上の Cauchy フィルターであり、(Y,V)(Y,\mathcal V)は完備であるから、f(F)f(\mathfrak F)はあるy∈Yy\in Yに収束する。K=f−1({y})K=f^{-1}(\{y\})とおき、KKに部分一様構造UK\mathcal U_Kを入れる。

F∈FF\in\mathfrak Fについて、F‾∩K≠∅\tpcl{F}\cap K\neq\emptysetである。実際、F⊆f−1(f(F))F\subseteq f^{-1}(f(F))であるからf(F)∈f(F)f(F)\in f(\mathfrak F)であり、§E2.50 定理 6.1 (2)⇒\Rightarrow(1)によりy∈f(F)‾y\in\tpcl{f(F)}である。ffは閉写像であるからf(F‾)f(\tpcl{F})はf(F)f(F)を含む閉集合であり、§E2.11 命題 2.5 (1)によりy∈f(F‾)y\in f(\tpcl{F})であり、f(z)=yf(z)=yを満たすz∈F‾z\in\tpcl{F}はKKに属する。

B={W[F]∩K∣W∈U, F∈F}\mathfrak B=\{W[F]\cap K\mid W\in\mathcal U,\ F\in\mathfrak F\}とおく。§E2.51 補題 2.3 (1)によりF‾⊆W[F]\tpcl{F}\subseteq W[F]であるから、前段によりB\mathfrak Bの元はすべて空でない。§E2.51 定義 1.3 条件 (c)と§E2.50 定義 1.1 条件 (c)により、W[F]∩KW[F]\cap KとW′[F′]∩KW'[F']\cap KはどちらもB\mathfrak Bの元(W∩W′)[F∩F′]∩K(W\cap W')[F\cap F']\cap Kを含むから、B\mathfrak BはKK上のフィルター基である。V∈UV\in\mathcal Uとすると、補題 1.2 (5)によりW[F]×W[F]⊆VW[F]\times W[F]\subseteq Vを満たすW∈UW\in\mathcal UとF∈FF\in\mathfrak Fが存在し、(W[F]∩K)×(W[F]∩K)⊆V∩(K×K)(W[F]\cap K)\times(W[F]\cap K)\subseteq V\cap(K\times K)である。§E2.51 定義 3.1と補題 1.2 (1)により、B\mathfrak Bが生成するKK上のフィルターG\mathfrak Gは(K,UK)(K,\mathcal U_K)の Cauchy フィルターである。(K,UK)(K,\mathcal U_K)は完備であるから、G\mathfrak Gはあるx∈Kx\in Kに収束する。

xxはF\mathfrak Fの集積点である。実際、NNをxxの近傍、F∈FF\in\mathfrak Fとする。§E2.51 命題 2.1によりV[x]⊆NV[x]\subseteq Nを満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在し、§E2.51 補題 1.7 (2)によりW∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たす近縁WWが存在する。§E2.51 系 4.4 (2)によりOUK\mathcal O_{\mathcal U_K}はOU\mathcal O_{\mathcal U}の部分空間位相であるから、W[x]∩KW[x]\cap Kは(K,UK)(K,\mathcal U_K)におけるxxの近傍であり、G\mathfrak Gはxxに収束するから、W′[F′]∩K⊆W[x]W'[F']\cap K\subseteq W[x]を満たすW′∈UW'\in\mathcal UとF′∈FF'\in\mathfrak Fが存在する。§E2.51 定義 1.3 条件 (c)と§E2.51 補題 1.7 (1)により、W∩W′W\cap W'に含まれる対称な近縁W′′W''が存在する。§E2.50 定義 1.1 条件 (c)によりF′′=F∩F′F''=F\cap F'はF\mathfrak Fに属し、W′′[F′′]∩KW''[F'']\cap KはB\mathfrak Bの元であるから空でないので、その点kkと、(a,k)∈W′′(a,k)\in W''を満たすa∈F′′a\in F''をとる。k∈W′[F′]∩K⊆W[x]k\in W'[F']\cap K\subseteq W[x]であるから(x,k)∈W(x,k)\in Wであり、W′′W''は対称であるから(k,a)∈W′′⊆W(k,a)\in W''\subseteq Wである。したがって(x,a)∈W∘W⊆V(x,a)\in W\circ W\subseteq Vであり、a∈N∩Fa\in N\cap Fである。§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりxxはF\mathfrak Fの集積点であり、補題 1.2 (4)によりF\mathfrak Fはxxに収束する。▨

補題 2.4.(X,U)(X,\mathcal U)、(Y,V)(Y,\mathcal V)を一様空間とし、j ⁣:X→Yj\colon X\to Yを一様埋め込みとする。

  1. (Y,V)(Y,\mathcal V)が完備であり、j(X)j(X)がOV\mathcal O_{\mathcal V}に関して閉集合ならば、(X,U)(X,\mathcal U)は完備である。
  2. V\mathcal Vが Hausdorff であり、(X,U)(X,\mathcal U)が完備ならば、j(X)j(X)はOV\mathcal O_{\mathcal V}に関して閉集合である。

証明.A=j(X)A=j(X)に部分一様構造VA\mathcal V_Aを入れ、j0 ⁣:X→Aj_0\colon X\to Aをj0(x)=j(x)j_0(x)=j(x)で定める。jjは一様埋め込みであるから、j0j_0は一様同相写像であり、j0−1j_0^{-1}も一様同相写像である。

主張 (1)を示す。ιA ⁣:A→Y\iota_A\colon A\to Yを包含写像とすると、j=ιA∘j0j=\iota_A\circ j_0である。§E2.51 命題 3.4 (3)によりj0j_0とj0−1j_0^{-1}は連続であるから、j0j_0は同相写像であり、§E2.12 命題 6.3 (1)⇒\Rightarrow(3)により閉写像である。§E2.51 系 4.4 (2)によりOVA\mathcal O_{\mathcal V_A}はOV\mathcal O_{\mathcal V}の部分空間位相であり、AAは閉集合であるから、§E2.12 補題 5.4 (2)によりιA\iota_Aは閉写像である。§E2.12 命題 5.3 (2)によりjjは閉写像である。jjは単射であるから、各y∈Yy\in Yについてj−1({y})j^{-1}(\{y\})は高々一点からなり、§E2.19 例 2.3と系 1.4により部分一様構造に関して完備である。jjは一様連続であり、(Y,V)(Y,\mathcal V)は完備であるから、補題 2.3により(X,U)(X,\mathcal U)は完備である。

主張 (2)を示す。j0−1 ⁣:A→Xj_0^{-1}\colon A\to Xは一様連続であり、§E2.51 命題 3.4 (3)によりj0j_0は連続であり、j0∘j0−1=id⁡Aj_0\circ j_0^{-1}=\id_Aである。(X,U)(X,\mathcal U)は完備であるから、補題 2.2により(A,VA)(A,\mathcal V_A)は完備である。V\mathcal Vは Hausdorff であるから、命題 2.1 (2)によりAAは閉集合である。▨

命題 2.5.((Xλ,Uλ))λ∈Λ((X_\lambda,\mathcal U_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}を一様空間の族とし、X=∏λ∈ΛXλX=\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaに積一様構造を入れ、πλ ⁣:X→Xλ\pi_\lambda\colon X\to X_\lambdaを射影とする。

  1. すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて(Xλ,Uλ)(X_\lambda,\mathcal U_\lambda)が完備ならば、XXは完備である。
  2. すべてのλ∈Λ\lambda\in\LambdaについてXλX_\lambdaが空でなく、XXが完備ならば、すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて(Xλ,Uλ)(X_\lambda,\mathcal U_\lambda)は完備である。

証明.§E2.51 命題 4.2 (1)により、すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてπλ\pi_\lambdaは一様連続である。

主張 (1)を示す。F\mathfrak FをXX上の Cauchy フィルターとする。補題 1.2 (6)により、各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてπλ(F)\pi_\lambda(\mathfrak F)はXλX_\lambda上の Cauchy フィルターであり、(Xλ,Uλ)(X_\lambda,\mathcal U_\lambda)は完備であるから収束する。各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてπλ(F)→xλ\pi_\lambda(\mathfrak F)\to x_\lambdaを満たすxλ∈Xλx_\lambda\in X_\lambdaを選び、x=(xλ)λ∈Λx=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}とおく。§E2.51 系 4.5 (2)によりXXの一様位相は積位相であるから、§E2.50 系 8.2 (1)によりF\mathfrak Fはxxに収束する。

主張 (2)を示す。μ∈Λ\mu\in\Lambdaとする。すべてのXλX_\lambdaは空でないから、a∈Xa\in Xをとる。写像s ⁣:Xμ→Xs\colon X_\mu\to Xを、πμ(s(y))=y\pi_\mu(s(y))=yと、λ≠μ\lambda\neq\muについてπλ(s(y))=πλ(a)\pi_\lambda(s(y))=\pi_\lambda(a)により定める。§E2.51 命題 3.4 (1)によりπμ∘s=id⁡Xμ\pi_\mu\circ s=\id_{X_\mu}は一様連続である。λ≠μ\lambda\neq\muとW∈UλW\in\mathcal U_\lambdaについて、§E2.51 定義 1.3 条件 (d)により(πλ(a),πλ(a))∈W(\pi_\lambda(a),\pi_\lambda(a))\in Wであるから、((πλ∘s)×(πλ∘s))−1(W)=Xμ×Xμ((\pi_\lambda\circ s)\times(\pi_\lambda\circ s))^{-1}(W)=X_\mu\times X_\muであり、§E2.51 定義 1.3 条件 (a)によりこれはUμ\mathcal U_\muに属する。ゆえにπλ∘s\pi_\lambda\circ sは一様連続であり、§E2.51 系 4.5 (1)によりssは一様連続である。§E2.51 命題 3.4 (3)によりπμ\pi_\muは連続であり、πμ∘s=id⁡Xμ\pi_\mu\circ s=\id_{X_\mu}であり、XXは完備であるから、補題 2.2により(Xμ,Uμ)(X_\mu,\mathcal U_\mu)は完備である。▨

3 点列完備性と距離一様構造

命題 3.1.

  1. (X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とし、U\mathcal Uが高々可算な近縁基をもつとする。このとき、(X,U)(X,\mathcal U)が完備であることと、(X,U)(X,\mathcal U)が点列完備であることは同値である。
  2. (X,d)(X,d)を距離空間とする。このとき、XXの点列が§E2.5 定義 1.1の意味の Cauchy 列であることと、(X,Ud)(X,\mathcal U_d)の Cauchy 列であることは同値である。(X,Ud)(X,\mathcal U_d)が完備であることと、(X,d)(X,d)が§E2.5 定義 1.1の意味で完備であることは同値である。

証明.主張 (1)を示す。(X,U)(X,\mathcal U)が完備ならば、命題 1.3 (3)によりXXのすべての Cauchy ネットは収束するから、XXのすべての Cauchy 列は収束する。

逆に、(X,U)(X,\mathcal U)が点列完備であるとし、F\mathfrak FをXX上の Cauchy フィルターとする。§E2.52 定理 2.3 (1)により、U=Ud\mathcal U=\mathcal U_dを満たすXX上の擬距離ddが存在し、{U2−nd∣n∈N≥0}\{U^d_{2^{-n}}\mid n\in\N\}はU\mathcal Uの近縁基である。各n∈N≥1n\in\NNについてU2−nd∈UU^d_{2^{-n}}\in\mathcal Uであるから、Fn×Fn⊆U2−ndF_n\times F_n\subseteq U^d_{2^{-n}}を満たすFn∈FF_n\in\mathfrak Fが存在する。Gn=F1∩⋯∩FnG_n=F_1\cap\cdots\cap F_nとおくと、§E2.50 定義 1.1 条件 (c)と§E2.50 定義 1.1 条件 (b)によりGn∈FG_n\in\mathfrak Fは空でないから、xn∈Gnx_n\in G_nをとる。m≥nm\geq nならばxm,xn∈Gn⊆Fnx_m,x_n\in G_n\subseteq F_nであるから、d(xn,xm)<2−nd(x_n,x_m)<2^{-n}である。V∈UV\in\mathcal Uに対してU2−kd⊆VU^d_{2^{-k}}\subseteq Vを満たすk∈N≥0k\in\Nをとると、m,n≥k+1m,n\geq k+1ならばd(xm,xn)<2−min⁡{m,n}<2−kd(x_m,x_n)<2^{-\min\{m,n\}}<2^{-k}であるから(xm,xn)∈V(x_m,x_n)\in Vである。ゆえに(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}は Cauchy 列であり、仮定によりあるx∈Xx\in Xに収束する。

F∈FF\in\mathfrak Fとxxの近傍NNをとる。§E2.51 命題 2.1によりN=V[x]N=V[x]を満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在し、U2−kd⊆VU^d_{2^{-k}}\subseteq Vを満たすk∈N≥0k\in\Nが存在する。§E2.51 命題 2.1によりU2−k−1d[x]U^d_{2^{-k-1}}[x]はxxの近傍であるから、n≥k+1n\geq k+1かつd(x,xn)<2−k−1d(x,x_n)<2^{-k-1}を満たすn∈N≥1n\in\NNが存在する。F∩Gn∈FF\cap G_n\in\mathfrak Fは空でないから、y∈F∩Gny\in F\cap G_nをとる。xn,y∈Gn⊆Fnx_n,y\in G_n\subseteq F_nであるからd(xn,y)<2−n≤2−k−1d(x_n,y)<2^{-n}\leq2^{-k-1}であり、§E2.30 定義 2.2の三角不等式によりd(x,y)<2−kd(x,y)<2^{-k}である。ゆえにy∈U2−kd[x]∩F⊆N∩Fy\in U^d_{2^{-k}}[x]\cap F\subseteq N\cap Fである。§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりxxはF\mathfrak Fの集積点であり、補題 1.2 (4)によりF\mathfrak Fはxxに収束する。

主張 (2)を示す。§E2.51 命題 5.2 (1)により{Uεd∣ε>0}\{U^d_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}はUd\mathcal U_dの近縁基である。実数ε>0\varepsilon>0に対して1/n<ε1/n<\varepsilonを満たすn∈N≥1n\in\NNが存在するから、{U1/nd∣n∈N≥1}\{U^d_{1/n}\mid n\in\NN\}もUd\mathcal U_dの近縁基である。n↦U1/(n+1)dn\mapsto U^d_{1/(n+1)}はN≥0\Nからこの近縁基への全射であるから、§E1.18 定理 3.3 (3)によりこの近縁基は高々可算である。Ud\mathcal U_dの各元はUεdU^d_\varepsilonの形の元を含み、各UεdU^d_\varepsilonはUd\mathcal U_dに属するから、点列(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}が(X,Ud)(X,\mathcal U_d)の Cauchy 列であることは、任意の実数ε>0\varepsilon>0に対して、m,n≥Nm,n\geq Nを満たすすべてのm,nm,nについてd(xm,xn)<εd(x_m,x_n)<\varepsilonとなる正の整数NNが存在すること、すなわち§E2.5 定義 1.1の条件と同値である。§E2.51 命題 5.2 (2)によりOUd=Od\mathcal O_{\mathcal U_d}=\mathcal O_dであり、§E2.50 命題 5.4 (1)によりネットとしての収束は位相収束に一致し、§E2.13 命題 7.2によりOd\mathcal O_dに関する位相収束は距離による収束と同値である。ゆえに、(X,Ud)(X,\mathcal U_d)が点列完備であることは、(X,d)(X,d)が§E2.5 定義 1.1の意味で完備であることと同値である。主張 (1)により、(X,Ud)(X,\mathcal U_d)が点列完備であることは、(X,Ud)(X,\mathcal U_d)が完備であることと同値である。▨

注意 3.2. 距離空間(X,d)(X,d)とA⊆XA\subseteq Xについて、§E2.51 命題 5.2 (4)により制限距離dAd_Aの距離一様構造は部分一様構造(Ud)A(\mathcal U_d)_Aに等しく、§E2.51 命題 5.2 (1)によりUd\mathcal U_dは Hausdorff であり、§E2.51 命題 5.2 (2)によりOUd=Od\mathcal O_{\mathcal U_d}=\mathcal O_dである。したがって命題 3.1 (2)と命題 2.1から、完備距離空間の閉集合が制限距離について完備であること（§E2.5 定理 3.2）と、距離空間の部分集合で制限距離について完備なものが閉集合であること（§E2.5 定理 3.3）が再び得られる。

補題 3.3.(X,d)(X,d)、(Y,e)(Y,e)を距離空間とし、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを等長写像とする。このとき、ffは一様空間(X,Ud)(X,\mathcal U_d)から(Y,Ue)(Y,\mathcal U_e)への一様埋め込みである。

証明.§E2.6 命題 1.2によりffは単射である。ffは等長写像であるから、すべての実数ε>0\varepsilon>0について(f×f)−1(Uεe)=Uεd∈Ud(f\times f)^{-1}(U^e_\varepsilon)=U^d_\varepsilon\in\mathcal U_dである。§E2.51 命題 5.2 (1)により{Uεe∣ε>0}\{U^e_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}はUe\mathcal U_eの近縁基であるから、§E2.51 命題 3.4 (2)によりffは一様連続である。§E2.51 命題 5.2 (1)によりUd\mathcal U_dの各元はあるUεd=(f×f)−1(Uεe)U^d_\varepsilon=(f\times f)^{-1}(U^e_\varepsilon)を含むから、§E2.51 補題 4.6によりffは一様埋め込みである。▨

例 3.4.X=(0,1]X=(0,1]に二つの距離d(x,y)=∣x−y∣d(x,y)=\lvert x-y\rvertとd′(x,y)=∣1/x−1/y∣d'(x,y)=\lvert1/x-1/y\rvertを入れる。§E2.51 例 5.3により、Ud\mathcal U_dとUd′\mathcal U_{d'}はXXの同じ位相と両立する。§E2.5 例 6.3により(X,d′)(X,d')は完備であり(X,d)(X,d)は完備でないから、命題 3.1 (2)により(X,Ud′)(X,\mathcal U_{d'})は完備であり(X,Ud)(X,\mathcal U_d)は完備でない。したがって、一様空間の完備性は一様位相だけでは定まらない。

例 3.5.§E2.22 命題 7.1によりω1+1\omega_1+1はω1\omega_1のコンパクト化であるから、§E2.22 定義 1.1によりω1+1\omega_1+1はコンパクト Hausdorff 空間である。§E2.19 系 6.12によりω1+1\omega_1+1は T3½ 空間であるから、§E2.51 定理 7.2 (2)により、ω1+1\omega_1+1の位相と両立する Hausdorff な一様構造V\mathcal Vが存在する。ω1\omega_1に部分一様構造Vω1\mathcal V_{\omega_1}を入れる。§E2.51 系 4.4 (2)と§E2.17 注意 4.1により、Vω1\mathcal V_{\omega_1}の一様位相はω1\omega_1の順序位相に等しい。

このとき、(ω1,Vω1)(\omega_1,\mathcal V_{\omega_1})は点列完備である。実際、(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}を(ω1,Vω1)(\omega_1,\mathcal V_{\omega_1})の Cauchy 列とする。§E2.23 定理 6.1によりω1\omega_1は点列コンパクト空間であるから、§E2.23 定義 3.1により、狭義単調増加な写像k↦nkk\mapsto n_k(N≥1→N≥1)(\NN\to\NN)とx∈ω1x\in\omega_1であって(xnk)k∈N≥1(x_{n_k})_{k\in\NN}がxxに位相収束するものが存在する。§E2.50 命題 5.4 (2)により部分列(xnk)k∈N≥1(x_{n_k})_{k\in\NN}は(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}の部分ネットであり、§E2.50 命題 5.4 (1)によりネットとしてxxに収束するから、§E2.50 定理 5.8 (4)⇒\Rightarrow(1)によりxxは(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}の集積点である。命題 1.3 (4)により(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}はxxに収束する。

(ω1,Vω1)(\omega_1,\mathcal V_{\omega_1})は完備でない。実際、完備であると仮定する。V\mathcal Vは Hausdorff であるから、命題 2.1 (2)によりω1\omega_1はω1+1\omega_1+1の閉集合であり、§E2.11 命題 2.5 (2)によりω1+1\omega_1+1におけるω1\omega_1の閉包はω1\omega_1である。一方、ω1\omega_1はω1+1\omega_1+1で稠密であるから、ω1+1\omega_1+1におけるω1\omega_1の閉包はω1+1\omega_1+1であり、点ω1\omega_1を含む。点ω1\omega_1は集合ω1\omega_1に属さないから、これは閉包がω1\omega_1であることに反する。

命題 3.1 (1)により、Vω1\mathcal V_{\omega_1}は高々可算な近縁基をもたない。

注意 3.6.ω1\omega_1の位相と両立するω1\omega_1の一様構造のうち、完備なものは存在しない。この事実は§E2.57 命題 5.1 (2)で証明する。

4 稠密な部分空間

定理 4.1.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間、A⊆XA\subseteq XをOU\mathcal O_{\mathcal U}に関して稠密な部分集合とし、AAに部分一様構造UA\mathcal U_Aを入れる。(Y,V)(Y,\mathcal V)を完備 Hausdorff 一様空間、f ⁣:A→Yf\colon A\to Yを一様連続写像とする。このとき、すべてのa∈Aa\in Aについてg(a)=f(a)g(a)=f(a)を満たす一様連続写像g ⁣:X→Yg\colon X\to Yがただ一つ存在する。

証明.ιA ⁣:A→X\iota_A\colon A\to Xを包含写像とし、x∈Xx\in Xに対してNx={N∩A∣N∈NOU(x)}\mathfrak N_x=\{N\cap A\mid N\in\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)\}とおく。

x∈Xx\in Xとする。AAは稠密であるから、§E2.11 命題 7.2 (2)により、すべてのN∈NOU(x)N\in\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)についてN∩A≠∅N\cap A\neq\emptysetである。§E2.50 命題 1.5によりNOU(x)\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)はXX上のフィルターであり、§E2.50 定義 4.1によりxxに収束するから、補題 1.2 (2)により Cauchy フィルターである。補題 1.2 (7)によりNx\mathfrak N_xは(A,UA)(A,\mathcal U_A)の Cauchy フィルターである。補題 1.2 (6)によりf(Nx)f(\mathfrak N_x)はYY上の Cauchy フィルターであり、YYは完備であるから、f(Nx)f(\mathfrak N_x)は収束する。§E2.51 命題 2.8 (1)⇒\Rightarrow(2)によりOV\mathcal O_{\mathcal V}は T2 であるから、§E2.50 定理 6.4 (1)⇒\Rightarrow(2)によりf(Nx)f(\mathfrak N_x)の極限はただ一つである。この極限をg(x)g(x)と定める。

a∈Aa\in Aとする。§E2.50 補題 3.3 (2)によりιA(Na)\iota_A(\mathfrak N_a)はNOU(a)\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(a)より細かいから、ιA(Na)\iota_A(\mathfrak N_a)はaaに収束する。§E2.51 系 4.4 (2)によりOUA\mathcal O_{\mathcal U_A}はOU\mathcal O_{\mathcal U}の部分空間位相であるから、§E2.50 系 8.2 (2)によりNa\mathfrak N_aはOUA\mathcal O_{\mathcal U_A}に関してaaに収束する。§E2.51 命題 3.4 (3)によりffは連続であるから、§E2.50 定理 6.2 (1)⇒\Rightarrow(2)によりf(Na)f(\mathfrak N_a)はf(a)f(a)に収束する。極限の一意性によりg(a)=f(a)g(a)=f(a)である。

W∈VW\in\mathcal Vをとる。§E2.51 補題 1.7 (2)により、W1∘W1∘W1⊆WW_1\circ W_1\circ W_1\subseteq Wを満たす対称な近縁W1∈VW_1\in\mathcal Vが存在する。ffは一様連続であるから(f×f)−1(W1)∈UA(f\times f)^{-1}(W_1)\in\mathcal U_Aであり、§E2.51 定義 3.1により、(f×f)−1(W1)=V∩(A×A)(f\times f)^{-1}(W_1)=V\cap(A\times A)を満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在する。§E2.51 補題 1.7 (2)により、V1∘V1∘V1⊆VV_1\circ V_1\circ V_1\subseteq Vを満たす対称な近縁V1∈UV_1\in\mathcal Uをとる。(x,y)∈V1(x,y)\in V_1とする。V1[x]∩A∈NxV_1[x]\cap A\in\mathfrak N_xであるから、§E2.50 命題 3.2 (1)によりf(V1[x]∩A)∈f(Nx)f(V_1[x]\cap A)\in f(\mathfrak N_x)である。f(Nx)f(\mathfrak N_x)はg(x)g(x)に収束し、§E2.51 命題 2.1によりW1[g(x)]W_1[g(x)]はg(x)g(x)の近傍であるから、W1[g(x)]∈f(Nx)W_1[g(x)]\in f(\mathfrak N_x)である。§E2.50 定義 1.1 条件 (c)と§E2.50 定義 1.1 条件 (b)によりW1[g(x)]∩f(V1[x]∩A)W_1[g(x)]\cap f(V_1[x]\cap A)は空でないから、(g(x),f(a))∈W1(g(x),f(a))\in W_1を満たすa∈V1[x]∩Aa\in V_1[x]\cap Aが存在する。同じ理由で、(g(y),f(b))∈W1(g(y),f(b))\in W_1を満たすb∈V1[y]∩Ab\in V_1[y]\cap Aが存在する。V1V_1の対称性により(a,x)∈V1(a,x)\in V_1であり、(x,y)∈V1(x,y)\in V_1、(y,b)∈V1(y,b)\in V_1であるから、(a,b)∈(V1∘V1∘V1)∩(A×A)⊆V∩(A×A)(a,b)\in(V_1\circ V_1\circ V_1)\cap(A\times A)\subseteq V\cap(A\times A)であり、(f(a),f(b))∈W1(f(a),f(b))\in W_1である。W1W_1の対称性により(f(b),g(y))∈W1(f(b),g(y))\in W_1であるから、(g(x),g(y))∈W1∘W1∘W1⊆W(g(x),g(y))\in W_1\circ W_1\circ W_1\subseteq Wである。ゆえにV1⊆(g×g)−1(W)V_1\subseteq(g\times g)^{-1}(W)であり、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により(g×g)−1(W)∈U(g\times g)^{-1}(W)\in\mathcal Uである。したがってggは一様連続である。

g′ ⁣:X→Yg'\colon X\to Yを、すべてのa∈Aa\in Aについてg′(a)=f(a)g'(a)=f(a)を満たす一様連続写像とする。§E2.51 命題 3.4 (3)によりggとg′g'は連続であり、OV\mathcal O_{\mathcal V}は T2 であるから、§E2.22 補題 2.1によりg′=gg'=gである。▨

補題 4.2.(X,U)(X,\mathcal U)、(Y,V)(Y,\mathcal V)を一様空間とし、j ⁣:X→Yj\colon X\to Yを、像j(X)j(X)がOV\mathcal O_{\mathcal V}に関して稠密である一様埋め込みとする。このとき、XX上の任意の Cauchy フィルターF\mathfrak Fについて像フィルターj(F)j(\mathfrak F)がOV\mathcal O_{\mathcal V}に関して収束するならば、(Y,V)(Y,\mathcal V)は完備である。

証明.Φ\PhiをYY上の Cauchy フィルターとする。V∈VV\in\mathcal VとF∈ΦF\in\Phiをとる。FFは空でないからy∈Fy\in Fをとると、§E2.51 命題 2.1によりV[y]V[y]はyyの近傍であり、V[y]⊆V[F]V[y]\subseteq V[F]である。j(X)j(X)は稠密であるから、§E2.11 命題 7.2 (2)によりV[F]∩j(X)≠∅V[F]\cap j(X)\neq\emptysetであり、j−1(V[F])≠∅j^{-1}(V[F])\neq\emptysetである。B={j−1(V[F])∣V∈V, F∈Φ}\mathfrak B=\{j^{-1}(V[F])\mid V\in\mathcal V,\ F\in\Phi\}とおく。Y×Y∈VY\times Y\in\mathcal VとY∈ΦY\in\PhiによりB≠∅\mathfrak B\neq\emptysetである。V,V′∈VV,V'\in\mathcal VとF,F′∈ΦF,F'\in\Phiについて、V∩V′∈VV\cap V'\in\mathcal V、F∩F′∈ΦF\cap F'\in\Phiであり、j−1((V∩V′)[F∩F′])⊆j−1(V[F])∩j−1(V′[F′])j^{-1}((V\cap V')[F\cap F'])\subseteq j^{-1}(V[F])\cap j^{-1}(V'[F'])である。ゆえにB\mathfrak BはXX上のフィルター基であり、F=⟨B⟩\mathfrak F=\langle\mathfrak B\rangleとおく。

U∈UU\in\mathcal Uをとる。§E2.51 補題 4.6により、(j×j)−1(W)⊆U(j\times j)^{-1}(W)\subseteq Uを満たすW∈VW\in\mathcal Vが存在する。補題 1.2 (5)により、W′[F]×W′[F]⊆WW'[F]\times W'[F]\subseteq Wを満たすW′∈VW'\in\mathcal VとF∈ΦF\in\Phiが存在する。B=j−1(W′[F])∈BB=j^{-1}(W'[F])\in\mathfrak BについてB×B⊆(j×j)−1(W)⊆UB\times B\subseteq(j\times j)^{-1}(W)\subseteq Uである。補題 1.2 (1)によりF\mathfrak Fは Cauchy フィルターであり、仮定によりj(F)j(\mathfrak F)はあるy∈Yy\in Yに収束する。

F∈ΦF\in\Phiとyyの近傍NNをとる。§E2.51 命題 2.1によりN=V[y]N=V[y]を満たすV∈VV\in\mathcal Vが存在し、§E2.51 補題 1.7 (2)によりW∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たす対称な近縁WWが存在する。§E2.51 命題 2.1によりW[y]W[y]はyyの近傍であるから、W[y]∈j(F)W[y]\in j(\mathfrak F)、すなわちj−1(W[y])∈Fj^{-1}(W[y])\in\mathfrak Fである。j−1(W[F])∈B⊆Fj^{-1}(W[F])\in\mathfrak B\subseteq\mathfrak Fであるから、§E2.50 定義 1.1 条件 (c)と§E2.50 定義 1.1 条件 (b)により、j(x)∈W[y]∩W[F]j(x)\in W[y]\cap W[F]を満たすx∈Xx\in Xが存在する。(b,j(x))∈W(b,j(x))\in Wを満たすb∈Fb\in Fをとる。(y,j(x))∈W(y,j(x))\in Wと、WWの対称性による(j(x),b)∈W(j(x),b)\in Wから(y,b)∈W∘W⊆V(y,b)\in W\circ W\subseteq Vであり、b∈N∩Fb\in N\cap Fである。§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりyyはΦ\Phiの集積点であり、補題 1.2 (4)によりΦ\Phiはyyに収束する。▨

5 擬距離による商空間の完備化の射影極限

定理 5.1.(X,U)(X,\mathcal U)を Hausdorff 一様空間とし、U\mathcal Uに関して一様連続なXX上の擬距離の全体をDU\mathcal D_{\mathcal U}とする。各d∈DUd\in\mathcal D_{\mathcal U}について、距離空間(Xd,dˉ)(X_d,\bar d)と写像πd ⁣:X→Xd\pi_d\colon X\to X_dを§E2.52 補題 4.1 (1)のとおりとし、(Xd^,d^,ιd)(\widehat{X_d},\widehat d,\iota_d)を§E2.6 定理 2.6が与える(Xd,dˉ)(X_d,\bar d)の完備化とし、jd=ιd∘πd ⁣:X→Xd^j_d=\iota_d\circ\pi_d\colon X\to\widehat{X_d}とおく。d,d′∈DUd,d'\in\mathcal D_{\mathcal U}がすべてのx,y∈Xx,y\in Xについてd(x,y)≤d′(x,y)d(x,y)\leq d'(x,y)を満たすときd≤d′d\leq d'と書き、qd,d′ ⁣:Xd′→Xdq_{d,d'}\colon X_{d'}\to X_dを§E2.52 補題 4.1 (2)の写像とし、pd,d′ ⁣:Xd′^→Xd^p_{d,d'}\colon\widehat{X_{d'}}\to\widehat{X_d}を、§E2.6 系 3.3によりpd,d′∘ιd′=ιd∘qd,d′p_{d,d'}\circ\iota_{d'}=\iota_d\circ q_{d,d'}を満たすただ一つの一様連続写像とする。P=∏d∈DUXd^P=\prod_{d\in\mathcal D_{\mathcal U}}\widehat{X_d}に積一様構造を入れ、prd ⁣:P→Xd^\mathrm{pr}_d\colon P\to\widehat{X_d}を射影とし、ξ∈P\xi\in Pについてξd=prd(ξ)\xi_d=\mathrm{pr}_d(\xi)と書く。PPの部分集合

L={ξ∈P∣d≤d′ を満たすすべての d,d′∈DU について pd,d′(ξd′)=ξd}L=\{\xi\in P\mid d\leq d'\text{ を満たすすべての }d,d'\in\mathcal D_{\mathcal U}\text{ について }p_{d,d'}(\xi_{d'})=\xi_d\}

を族(Xd^)d∈DU(\widehat{X_d})_{d\in\mathcal D_{\mathcal U}}と写像pd,d′p_{d,d'}の射影極限 (projective limit) といい、LLに部分一様構造を入れる。j ⁣:X→Pj\colon X\to Pを、すべてのx∈Xx\in Xとすべてのd∈DUd\in\mathcal D_{\mathcal U}についてprd(j(x))=jd(x)\mathrm{pr}_d(j(x))=j_d(x)を満たす写像とする。

  1. LLはPPの閉集合であり、完備 Hausdorff 一様空間である。
  2. j(X)⊆Lj(X)\subseteq Lであり、jjをLLへの写像とみなすと、j ⁣:X→Lj\colon X\to Lは像が稠密な一様埋め込みである。

証明.主張 (1)を示す。各d∈DUd\in\mathcal D_{\mathcal U}について、§E2.6 定義 1.4 条件 (a)により(Xd^,d^)(\widehat{X_d},\widehat d)は完備距離空間であるから、命題 3.1 (2)により(Xd^,Ud^)(\widehat{X_d},\mathcal U_{\widehat d})は完備であり、命題 2.5 (1)によりPPは完備である。

d≤d′d\leq d'を満たすd,d′∈DUd,d'\in\mathcal D_{\mathcal U}をとる。§E2.51 命題 4.2 (1)と§E2.51 命題 3.4 (3)により、射影prd\mathrm{pr}_dとprd′\mathrm{pr}_{d'}はPPの一様位相とXd^\widehat{X_d}、Xd′^\widehat{X_{d'}}の一様位相に関して連続であり、§E2.51 命題 5.2 (2)によりXd^\widehat{X_d}とXd′^\widehat{X_{d'}}の一様位相は距離から生じる位相である。§E2.4 命題 3.3によりpd,d′p_{d,d'}は連続である。h ⁣:P→Xd^×Xd^h\colon P\to\widehat{X_d}\times\widehat{X_d}をh(ξ)=(pd,d′(ξd′),ξd)h(\xi)=(p_{d,d'}(\xi_{d'}),\xi_d)で定めると、§E2.12 命題 1.10、§E2.14 定義 1.9、§E2.12 定理 3.4によりhhは連続である。§E2.15 定理 3.2 (1)によりXd^\widehat{X_d}は T2 であるから、§E2.15 命題 2.11によりXd^×Xd^\widehat{X_d}\times\widehat{X_d}の対角集合ΔXd^\Delta_{\widehat{X_d}}は閉集合であり、§E2.12 命題 1.6 (2)により{ξ∈P∣pd,d′(ξd′)=ξd}=h−1(ΔXd^)\{\xi\in P\mid p_{d,d'}(\xi_{d'})=\xi_d\}=h^{-1}(\Delta_{\widehat{X_d}})はPPの閉集合である。LLはこれらの閉集合の共通部分であるから、§E2.11 定理 2.3 条件 (b)によりPPの閉集合であり、命題 2.1 (1)により完備である。

§E2.51 系 4.5 (2)によりPPの一様位相は積位相であり、§E2.15 定理 3.2 (1)と§E2.15 定理 2.8 (3)により T2 である。§E2.51 系 4.4 (2)によりLLの一様位相はPPの一様位相の部分空間位相であり、§E2.15 定理 2.1 (3)により T2 である。§E2.51 命題 2.8 (2)⇒\Rightarrow(1)によりLLの一様構造は Hausdorff である。

主張 (2)を示す。x∈Xx\in Xと、d≤d′d\leq d'を満たすd,d′∈DUd,d'\in\mathcal D_{\mathcal U}について、qd,d′∘πd′=πdq_{d,d'}\circ\pi_{d'}=\pi_dであるから

pd,d′(jd′(x))=pd,d′(ιd′(πd′(x)))=ιd(qd,d′(πd′(x)))=ιd(πd(x))=jd(x)p_{d,d'}(j_{d'}(x))=p_{d,d'}(\iota_{d'}(\pi_{d'}(x)))=\iota_d(q_{d,d'}(\pi_{d'}(x)))=\iota_d(\pi_d(x))=j_d(x)

であり、j(x)∈Lj(x)\in Lである。

d∈DUd\in\mathcal D_{\mathcal U}とする。§E2.6 定義 1.4 条件 (b)によりιd\iota_dは等長写像であり、§E2.52 補題 4.1 (1)によりすべてのx,y∈Xx,y\in Xについてdˉ(πd(x),πd(y))=d(x,y)\bar d(\pi_d(x),\pi_d(y))=d(x,y)であるから、すべてのx,y∈Xx,y\in Xについてd^(jd(x),jd(y))=d(x,y)\widehat d(j_d(x),j_d(y))=d(x,y)であり、実数ε>0\varepsilon>0について(jd×jd)−1(Uεd^)=Uεd(j_d\times j_d)^{-1}(U^{\widehat d}_\varepsilon)=U^d_\varepsilonである。補題 3.3によりιd ⁣:(Xd,Udˉ)→(Xd^,Ud^)\iota_d\colon(X_d,\mathcal U_{\bar d})\to(\widehat{X_d},\mathcal U_{\widehat d})は一様埋め込みであるから、§E2.51 補題 4.6により一様連続である。§E2.52 補題 4.1 (3)によりπd ⁣:(X,U)→(Xd,Udˉ)\pi_d\colon(X,\mathcal U)\to(X_d,\mathcal U_{\bar d})は一様連続であるから、§E2.51 命題 3.4 (1)によりjd=ιd∘πdj_d=\iota_d\circ\pi_dは一様連続である。§E2.51 系 4.5 (1)によりj ⁣:X→Pj\colon X\to Pは一様連続であり、§E2.51 系 4.4 (3)によりj ⁣:X→Lj\colon X\to Lは一様連続である。

x,y∈Xx,y\in Xを相異なる二点とする。U\mathcal Uは Hausdorff であるから(x,y)∉V(x,y)\notin Vを満たすV∈UV\in\mathcal Uが存在し、§E2.52 定理 2.2 (1)によりU1/2d⊆VU^d_{1/2}\subseteq Vを満たすd∈DUd\in\mathcal D_{\mathcal U}が存在する。d(x,y)≥1/2d(x,y)\geq1/2であるからd^(jd(x),jd(y))≠0\widehat d(j_d(x),j_d(y))\neq0であり、j(x)≠j(y)j(x)\neq j(y)である。ゆえにjjは単射である。

V∈UV\in\mathcal Uをとり、§E2.52 定理 2.2 (1)によりU1/2d⊆VU^d_{1/2}\subseteq Vを満たすd∈DUd\in\mathcal D_{\mathcal U}をとる。T=(prd×prd)−1(U1/2d^)T=(\mathrm{pr}_d\times\mathrm{pr}_d)^{-1}(U^{\widehat d}_{1/2})は§E2.51 定義 4.1によりPPの積一様構造に属し、§E2.51 定義 3.1によりT∩(L×L)T\cap(L\times L)はLLの部分一様構造に属する。(j×j)−1(T∩(L×L))=(jd×jd)−1(U1/2d^)=U1/2d⊆V(j\times j)^{-1}(T\cap(L\times L))=(j_d\times j_d)^{-1}(U^{\widehat d}_{1/2})=U^d_{1/2}\subseteq Vであるから、§E2.51 補題 4.6によりj ⁣:X→Lj\colon X\to Lは一様埋め込みである。

ξ∈L\xi\in Lとし、NNをLLの一様位相に関するξ\xiの近傍とする。§E2.51 命題 2.1により、LLの部分一様構造のある元SSについてN=S[ξ]N=S[\xi]であり、§E2.51 定義 3.1により、PPの積一様構造のある元T′T'についてS=T′∩(L×L)S=T'\cap(L\times L)である。§E2.51 定義 4.1により、k∈N≥0k\in\N、d1,…,dk∈DUd_1,\ldots,d_k\in\mathcal D_{\mathcal U}、および各iiについてXdi^\widehat{X_{d_i}}の距離一様構造の元WiW_iであって、⋂i=1k(prdi×prdi)−1(Wi)⊆T′\bigcap_{i=1}^{k}(\mathrm{pr}_{d_i}\times\mathrm{pr}_{d_i})^{-1}(W_i)\subseteq T'を満たすものが存在する。ここで00個の元の共通部分はP×PP\times Pとする。§E2.51 命題 5.2 (1)により、すべてのiiについてUεdi^⊆WiU^{\widehat{d_i}}_\varepsilon\subseteq W_iを満たす実数ε>0\varepsilon>0が存在する。k≥1k\geq1のときはd=max⁡{d1,…,dk}d=\max\{d_1,\ldots,d_k\}とし、k=0k=0のときはddをDU\mathcal D_{\mathcal U}の元とする。§E2.52 定理 2.2 (3)によりDU\mathcal D_{\mathcal U}は有限個の最大で閉じているから、d∈DUd\in\mathcal D_{\mathcal U}であり、すべてのiiについてdi≤dd_i\leq dである。各pdi,dp_{d_i,d}は一様連続性をもつから、§E2.4 定義 3.1により、各iiについて、d^(η,η′)<δi\widehat d(\eta,\eta')<\delta_iを満たすすべてのη,η′∈Xd^\eta,\eta'\in\widehat{X_d}についてdi^(pdi,d(η),pdi,d(η′))<ε\widehat{d_i}(p_{d_i,d}(\eta),p_{d_i,d}(\eta'))<\varepsilonとなる実数δi>0\delta_i>0が存在する。δ=min⁡{δ1,…,δk}\delta=\min\{\delta_1,\ldots,\delta_k\}とおく（k=0k=0のときはδ=1\delta=1とおく）。§E2.6 定義 1.4 条件 (c)によりιd(Xd)\iota_d(X_d)はXd^\widehat{X_d}で稠密であり、πd\pi_dは全射であるからιd(Xd)=jd(X)\iota_d(X_d)=j_d(X)である。§E2.2 補題 1.2によりBd^(ξd,δ)B_{\widehat d}(\xi_d,\delta)はξd\xi_dを含む開集合であるから、§E2.11 命題 2.9 (2)により、d^(ξd,jd(x))<δ\widehat d(\xi_d,j_d(x))<\deltaを満たすx∈Xx\in Xが存在する。ξ∈L\xi\in Lとj(x)∈Lj(x)\in Lにより、すべてのiiについてξdi=pdi,d(ξd)\xi_{d_i}=p_{d_i,d}(\xi_d)かつjdi(x)=pdi,d(jd(x))j_{d_i}(x)=p_{d_i,d}(j_d(x))であるから、di^(ξdi,jdi(x))<ε\widehat{d_i}(\xi_{d_i},j_{d_i}(x))<\varepsilonであり、(ξdi,jdi(x))∈Wi(\xi_{d_i},j_{d_i}(x))\in W_iである。ゆえに(ξ,j(x))∈T′∩(L×L)=S(\xi,j(x))\in T'\cap(L\times L)=Sであり、j(x)∈Nj(x)\in Nである。§E2.11 命題 7.2 (2)によりξ\xiはLLにおけるj(X)j(X)の閉包に属するから、j(X)j(X)はLLで稠密である。▨

6 完備化の普遍性

定義 6.1 (完備化).(X,U)(X,\mathcal U)を Hausdorff 一様空間とする。完備 Hausdorff 一様空間X^\widehat Xと一様連続写像ι ⁣:X→X^\iota\colon X\to\widehat Xの組(X^,ι)(\widehat X,\iota)がXXの 完備化 (completion) であるとは、任意の完備 Hausdorff 一様空間YYと任意の一様連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yに対して、f^∘ι=f\widehat f\circ\iota=fを満たす一様連続写像f^ ⁣:X^→Y\widehat f\colon\widehat X\to Yがただ一つ存在することをいう。

定理 6.2.(X,U)(X,\mathcal U)を Hausdorff 一様空間とする。

  1. YYを完備 Hausdorff 一様空間とし、j ⁣:X→Yj\colon X\to Yを像j(X)j(X)がYYで稠密である一様埋め込みとする。このとき(Y,j)(Y,j)はXXの完備化である。
  2. (X^1,ι1)(\widehat X_1,\iota_1)と(X^2,ι2)(\widehat X_2,\iota_2)をXXの完備化とする。このときφ∘ι1=ι2\varphi\circ\iota_1=\iota_2を満たす一様同相写像φ ⁣:X^1→X^2\varphi\colon\widehat X_1\to\widehat X_2がただ一つ存在する。
  3. XXは完備化をもつ。
  4. (X^,ι)(\widehat X,\iota)をXXの完備化とする。このときι ⁣:X→X^\iota\colon X\to\widehat Xは像ι(X)\iota(X)がX^\widehat Xで稠密である一様埋め込みである。

証明.主張 (1)を示す。A=j(X)A=j(X)にYYの部分一様構造を入れ、j0 ⁣:X→Aj_0\colon X\to Aをj0(x)=j(x)j_0(x)=j(x)で定める。jjは一様埋め込みであるからj0j_0は一様同相写像であり、§E2.51 補題 4.6によりjjは一様連続である。ZZを完備 Hausdorff 一様空間、f ⁣:X→Zf\colon X\to Zを一様連続写像とする。写像g ⁣:Y→Zg\colon Y\to Zについて、g∘j=fg\circ j=fであることは、すべてのa∈Aa\in Aについてg(a)=f(j0−1(a))g(a)=f(j_0^{-1}(a))であることと同値である。§E2.51 命題 3.4 (1)によりf∘j0−1 ⁣:A→Zf\circ j_0^{-1}\colon A\to Zは一様連続であり、AAはYYで稠密であるから、定理 4.1により、すべてのa∈Aa\in Aについてg(a)=f(j0−1(a))g(a)=f(j_0^{-1}(a))を満たす一様連続写像g ⁣:Y→Zg\colon Y\to Zがただ一つ存在する。定義 6.1により(Y,j)(Y,j)はXXの完備化である。

主張 (2)を示す。(X^1,ι1)(\widehat X_1,\iota_1)の普遍性を、完備 Hausdorff 一様空間X^2\widehat X_2と一様連続写像ι2\iota_2に適用すると、φ∘ι1=ι2\varphi\circ\iota_1=\iota_2を満たす一様連続写像φ ⁣:X^1→X^2\varphi\colon\widehat X_1\to\widehat X_2がただ一つ存在する。(X^2,ι2)(\widehat X_2,\iota_2)の普遍性をX^1\widehat X_1とι1\iota_1に適用すると、ψ∘ι2=ι1\psi\circ\iota_2=\iota_1を満たす一様連続写像ψ ⁣:X^2→X^1\psi\colon\widehat X_2\to\widehat X_1が存在する。§E2.51 命題 3.4 (1)によりψ∘φ\psi\circ\varphiとid⁡X^1\id_{\widehat X_1}は一様連続であり、(ψ∘φ)∘ι1=ψ∘ι2=ι1=id⁡X^1∘ι1(\psi\circ\varphi)\circ\iota_1=\psi\circ\iota_2=\iota_1=\id_{\widehat X_1}\circ\iota_1を満たす。(X^1,ι1)(\widehat X_1,\iota_1)の普遍性をX^1\widehat X_1とι1\iota_1に適用したときの一意性により、ψ∘φ=id⁡X^1\psi\circ\varphi=\id_{\widehat X_1}である。同じ理由でφ∘ψ=id⁡X^2\varphi\circ\psi=\id_{\widehat X_2}である。ゆえにφ\varphiは全単射であり、φ\varphiと逆写像ψ\psiは一様連続であるから、φ\varphiは一様同相写像である。一様同相写像φ′ ⁣:X^1→X^2\varphi'\colon\widehat X_1\to\widehat X_2がφ′∘ι1=ι2\varphi'\circ\iota_1=\iota_2を満たすならば、φ′\varphi'は一様連続であるから、普遍性の一意性によりφ′=φ\varphi'=\varphiである。

主張 6.2.1.定理 5.1の射影極限LLと写像jjについて、(L,j)(L,j)はXXの完備化である。

証明.定理 5.1 (1)によりLLは完備 Hausdorff 一様空間であり、定理 5.1 (2)によりj ⁣:X→Lj\colon X\to Lは像が稠密な一様埋め込みであるから、主張 (1)により(L,j)(L,j)はXXの完備化である。▨

主張 (3)は主張 6.2.1から従う。

主張 (4)を示す。主張 6.2.1と主張 (2)により、φ∘j=ι\varphi\circ j=\iotaを満たす一様同相写像φ ⁣:L→X^\varphi\colon L\to\widehat Xが存在する。φ\varphiとjjは単射であるからι\iotaは単射であり、ι\iotaは一様連続である。V∈UV\in\mathcal Uをとる。定理 5.1 (2)と§E2.51 補題 4.6により、(j×j)−1(W)⊆V(j\times j)^{-1}(W)\subseteq Vを満たすLLの近縁系の元WWが存在する。φ−1\varphi^{-1}は一様連続であるから、W′=(φ−1×φ−1)−1(W)W'=(\varphi^{-1}\times\varphi^{-1})^{-1}(W)はX^\widehat Xの近縁系に属し、φ−1∘ι=j\varphi^{-1}\circ\iota=jにより(ι×ι)−1(W′)=(j×j)−1(W)⊆V(\iota\times\iota)^{-1}(W')=(j\times j)^{-1}(W)\subseteq Vである。§E2.51 補題 4.6によりι\iotaは一様埋め込みである。§E2.51 命題 3.4 (3)によりφ\varphiは連続であるから、§E2.12 命題 1.7 (1)⇒\Rightarrow(2)によりX^=φ(L)=φ(cl⁡L(j(X)))⊆cl⁡X^(φ(j(X)))=cl⁡X^(ι(X))\widehat X=\varphi(L)=\varphi(\tpcl[L]{j(X)})\subseteq\tpcl[\widehat X]{\varphi(j(X))}=\tpcl[\widehat X]{\iota(X)}である。ゆえにι(X)\iota(X)はX^\widehat Xで稠密である。▨

注意 6.3. Hausdorff 一様空間の完備化を、完備 Hausdorff 一様空間と、像が稠密な一様埋め込みとの組として定義する文献もある。定理 6.2 (1)と定理 6.2 (4)により、二つの定義は一致する。定義 6.1の普遍性は、Hausdorff でない一様空間(X,U)(X,\mathcal U)と、完備 Hausdorff 一様空間X^\widehat Xへの一様連続写像ι\iotaについても意味をもち、この普遍性をもつ組は Hausdorff 完備化と呼ばれることがある。この場合、U\mathcal Uは Hausdorff でないから、x≠yx\neq yかつ(x,y)∈⋂U(x,y)\in\bigcap\mathcal Uを満たすx,y∈Xx,y\in Xが存在する。X^\widehat Xの近縁系の任意の元WWについて(ι×ι)−1(W)∈U(\iota\times\iota)^{-1}(W)\in\mathcal Uは(x,y)(x,y)を含むから、(ι(x),ι(y))(\iota(x),\iota(y))はX^\widehat Xの近縁系のすべての元に属し、X^\widehat Xの一様構造は Hausdorff であるからι(x)=ι(y)\iota(x)=\iota(y)である。したがってι\iotaは単射でない。そのため、Hausdorff でない一様空間については、この普遍性をもつ組は、一様埋め込みによる定義の完備化にならない。

系 6.4.(X,U)(X,\mathcal U)、(Y,V)(Y,\mathcal V)、(Z,UZ)(Z,\mathcal U_Z)を Hausdorff 一様空間とし、(X^,ιX)(\widehat X,\iota_X)、(Y^,ιY)(\widehat Y,\iota_Y)、(Z^,ιZ)(\widehat Z,\iota_Z)をそれぞれの完備化とする。

  1. 一様連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yに対して、f^∘ιX=ιY∘f\widehat f\circ\iota_X=\iota_Y\circ fを満たす一様連続写像f^ ⁣:X^→Y^\widehat f\colon\widehat X\to\widehat Yがただ一つ存在する。
  2. 主張 (1)の写像について、id⁡X^=id⁡X^\widehat{\id_X}=\id_{\widehat X}であり、一様連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yとg ⁣:Y→Zg\colon Y\to Zについてg∘f^=g^∘f^\widehat{g\circ f}=\widehat g\circ\widehat fである。

証明.主張 (1)を示す。§E2.51 命題 3.4 (1)によりιY∘f ⁣:X→Y^\iota_Y\circ f\colon X\to\widehat Yは一様連続であり、Y^\widehat Yは完備 Hausdorff 一様空間であるから、定義 6.1により、f^∘ιX=ιY∘f\widehat f\circ\iota_X=\iota_Y\circ fを満たす一様連続写像f^ ⁣:X^→Y^\widehat f\colon\widehat X\to\widehat Yがただ一つ存在する。

主張 (2)を示す。id⁡X^\id_{\widehat X}は一様連続でありid⁡X^∘ιX=ιX∘id⁡X\id_{\widehat X}\circ\iota_X=\iota_X\circ\id_Xを満たすから、主張 (1)の一意性によりid⁡X^=id⁡X^\widehat{\id_X}=\id_{\widehat X}である。§E2.51 命題 3.4 (1)によりg^∘f^\widehat g\circ\widehat fは一様連続であり、(g^∘f^)∘ιX=g^∘ιY∘f=ιZ∘(g∘f)(\widehat g\circ\widehat f)\circ\iota_X=\widehat g\circ\iota_Y\circ f=\iota_Z\circ(g\circ f)を満たすから、主張 (1)の一意性によりg∘f^=g^∘f^\widehat{g\circ f}=\widehat g\circ\widehat fである。▨

7 部分空間と積の完備化

命題 7.1.(X,U)(X,\mathcal U)を完備 Hausdorff 一様空間、A⊆XA\subseteq Xとし、AAとA‾\tpcl{A}に部分一様構造を入れ、ι ⁣:A→A‾\iota\colon A\to\tpcl{A}を包含写像とする。このとき、AAは Hausdorff 一様空間であり、(A‾,ι)(\tpcl{A},\iota)はAAの完備化である。

証明. 演習とする（問題 10.2）。▨

命題 7.2.((Xλ,Uλ))λ∈Λ((X_\lambda,\mathcal U_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}を Hausdorff 一様空間の族とし、各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて(Xλ^,ιλ)(\widehat{X_\lambda},\iota_\lambda)をXλX_\lambdaの完備化とする。X=∏λ∈ΛXλX=\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaとX^=∏λ∈ΛXλ^\widehat X=\prod_{\lambda\in\Lambda}\widehat{X_\lambda}に積一様構造を入れ、ι ⁣:X→X^\iota\colon X\to\widehat Xをι((xλ)λ∈Λ)=(ιλ(xλ))λ∈Λ\iota((x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda})=(\iota_\lambda(x_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}で定める。このとき、XXは Hausdorff 一様空間であり、(X^,ι)(\widehat X,\iota)はXXの完備化である。

証明. 演習とする（問題 10.3）。▨

例 7.3.例 3.5の Hausdorff な一様構造V\mathcal Vをω1+1\omega_1+1に入れ、ω1\omega_1に部分一様構造Vω1\mathcal V_{\omega_1}を入れ、ι ⁣:ω1→ω1+1\iota\colon\omega_1\to\omega_1+1を包含写像とする。このとき、(ω1+1,ι)(\omega_1+1,\iota)は(ω1,Vω1)(\omega_1,\mathcal V_{\omega_1})の完備化である。実際、§E2.22 命題 7.1と§E2.22 定義 1.1により、ω1+1\omega_1+1はコンパクトであり、ω1\omega_1はω1+1\omega_1+1で稠密である。V\mathcal Vの一様位相はω1+1\omega_1+1の位相に等しいから、系 1.4により(ω1+1,V)(\omega_1+1,\mathcal V)は完備である。ω1+1\omega_1+1におけるω1\omega_1の閉包はω1+1\omega_1+1であるから、命題 7.1により(ω1+1,ι)(\omega_1+1,\iota)は(ω1,Vω1)(\omega_1,\mathcal V_{\omega_1})の完備化である。§E2.22 命題 7.1により(ω1+1)∖ι(ω1)(\omega_1+1)\setminus\iota(\omega_1)は点ω1\omega_1だけからなるから、点列完備な一様空間(ω1,Vω1)(\omega_1,\mathcal V_{\omega_1})の完備化は、ω1\omega_1に一点を加えて得られる。

注意 7.4. Hausdorff 一様空間(X,U)(X,\mathcal U)の完備化(X^,ι)(\widehat X,\iota)について、X^\widehat Xの一様位相がコンパクトであるための必要十分条件は、(X,U)(X,\mathcal U)が全有界であることである。この事実は§E2.54 系 2.4で証明する。

8 極小 Cauchy フィルターによる構成

定義 8.1 (極小 Cauchy フィルター).(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とする。XX上の Cauchy フィルターF\mathfrak Fが 極小 Cauchy フィルター (minimal Cauchy filter) であるとは、G⊆F\mathfrak G\subseteq\mathfrak Fを満たすXX上の任意の Cauchy フィルターG\mathfrak GについてG=F\mathfrak G=\mathfrak Fが成り立つことをいう。

補題 8.2.(X,U)(X,\mathcal U)を一様空間とし、F\mathfrak FをXX上の Cauchy フィルターとし、BF={V[F]∣V∈U, F∈F}\mathfrak B_{\mathfrak F}=\{V[F]\mid V\in\mathcal U,\ F\in\mathfrak F\}とおく。

  1. BF\mathfrak B_{\mathfrak F}はXX上のフィルター基であり、F0=⟨BF⟩\mathfrak F_0=\langle\mathfrak B_{\mathfrak F}\rangleはF0⊆F\mathfrak F_0\subseteq\mathfrak Fを満たす Cauchy フィルターである。G⊆F\mathfrak G\subseteq\mathfrak Fを満たすXX上の任意の Cauchy フィルターG\mathfrak Gについて、F0⊆G\mathfrak F_0\subseteq\mathfrak Gである。
  2. F0\mathfrak F_0は極小 Cauchy フィルターであり、F\mathfrak Fに含まれるXX上の極小 Cauchy フィルターはF0\mathfrak F_0だけである。とくに、F\mathfrak Fが極小 Cauchy フィルターであることとF=F0\mathfrak F=\mathfrak F_0であることは同値である。
  3. x∈Xx\in Xとする。このとき、近傍系NOU(x)\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)は極小 Cauchy フィルターであり、F\mathfrak Fがxxに収束することと、F0=NOU(x)\mathfrak F_0=\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)であることは同値である。
  4. G\mathfrak G、H\mathfrak HをXX上の極小 Cauchy フィルターとする。このとき、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対してA×A⊆VA\times A\subseteq Vを満たすA∈G∩HA\in\mathfrak G\cap\mathfrak Hが存在するならば、G=H\mathfrak G=\mathfrak Hである。

証明.主張 (1)を示す。X=(X×X)[X]∈BFX=(X\times X)[X]\in\mathfrak B_{\mathfrak F}である。V∈UV\in\mathcal UとF∈FF\in\mathfrak Fについて、§E2.51 定義 1.3 条件 (d)によりF⊆V[F]F\subseteq V[F]であり、F≠∅F\neq\emptysetであるからV[F]≠∅V[F]\neq\emptysetであり、§E2.50 定義 1.1 条件 (d)によりV[F]∈FV[F]\in\mathfrak Fである。V,V′∈UV,V'\in\mathcal UとF,F′∈FF,F'\in\mathfrak Fについて、V∩V′∈UV\cap V'\in\mathcal U、F∩F′∈FF\cap F'\in\mathfrak Fであり、(V∩V′)[F∩F′]⊆V[F]∩V′[F′](V\cap V')[F\cap F']\subseteq V[F]\cap V'[F']である。ゆえにBF\mathfrak B_{\mathfrak F}はフィルター基であり、BF⊆F\mathfrak B_{\mathfrak F}\subseteq\mathfrak Fであるから、§E2.50 命題 1.3 (2)によりF0⊆F\mathfrak F_0\subseteq\mathfrak Fである。補題 1.2 (5)により、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対してW[F]×W[F]⊆VW[F]\times W[F]\subseteq Vを満たすW[F]∈BFW[F]\in\mathfrak B_{\mathfrak F}が存在するから、補題 1.2 (1)によりF0\mathfrak F_0は Cauchy フィルターである。

G⊆F\mathfrak G\subseteq\mathfrak Fを満たす Cauchy フィルターG\mathfrak Gをとり、V∈UV\in\mathcal UとF∈FF\in\mathfrak Fをとる。G×G⊆VG\times G\subseteq Vを満たすG∈GG\in\mathfrak Gが存在する。G∈FG\in\mathfrak FであるからG∩F∈FG\cap F\in\mathfrak Fは空でなく、a∈G∩Fa\in G\cap Fをとる。y∈Gy\in Gならば(a,y)∈G×G⊆V(a,y)\in G\times G\subseteq Vであるからy∈V[a]⊆V[F]y\in V[a]\subseteq V[F]である。ゆえにG⊆V[F]G\subseteq V[F]であり、§E2.50 定義 1.1 条件 (d)によりV[F]∈GV[F]\in\mathfrak Gである。したがってBF⊆G\mathfrak B_{\mathfrak F}\subseteq\mathfrak Gであり、§E2.50 命題 1.3 (2)によりF0⊆G\mathfrak F_0\subseteq\mathfrak Gである。

主張 (2)を示す。G⊆F0\mathfrak G\subseteq\mathfrak F_0を満たす Cauchy フィルターG\mathfrak Gをとると、G⊆F\mathfrak G\subseteq\mathfrak Fであるから、主張 (1)によりF0⊆G\mathfrak F_0\subseteq\mathfrak Gであり、G=F0\mathfrak G=\mathfrak F_0である。ゆえにF0\mathfrak F_0は極小 Cauchy フィルターである。G⊆F\mathfrak G\subseteq\mathfrak Fを満たす極小 Cauchy フィルターG\mathfrak Gをとると、主張 (1)によりF0⊆G\mathfrak F_0\subseteq\mathfrak Gであり、F0\mathfrak F_0は Cauchy フィルターであるから、G\mathfrak Gの極小性によりF0=G\mathfrak F_0=\mathfrak Gである。F\mathfrak Fが極小 Cauchy フィルターならば、F\mathfrak F自身がF\mathfrak Fに含まれる極小 Cauchy フィルターであるからF=F0\mathfrak F=\mathfrak F_0であり、逆にF=F0\mathfrak F=\mathfrak F_0ならばF\mathfrak Fは極小 Cauchy フィルターである。

主張 (3)を示す。x∈Xx\in Xとし、N=NOU(x)\mathfrak N=\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)とおく。§E2.50 命題 1.5によりN\mathfrak Nはフィルターであり、N\mathfrak Nはxxに収束するから、補題 1.2 (2)により Cauchy フィルターである。主張 (1)をN\mathfrak Nに適用して得る極小 Cauchy フィルターN0⊆N\mathfrak N_0\subseteq\mathfrak Nをとる。N0\mathfrak N_0の元はすべてxxの近傍であるからxxを含み、§E2.11 命題 2.5 (1)によりその閉包もxxを含む。ゆえにxxはN0\mathfrak N_0の集積点であり、補題 1.2 (4)によりN0\mathfrak N_0はxxに収束する。したがってN⊆N0\mathfrak N\subseteq\mathfrak N_0であり、N=N0\mathfrak N=\mathfrak N_0は極小 Cauchy フィルターである。F\mathfrak Fがxxに収束するならばN⊆F\mathfrak N\subseteq\mathfrak Fであり、N\mathfrak NはF\mathfrak Fに含まれる極小 Cauchy フィルターであるから、主張 (2)によりN=F0\mathfrak N=\mathfrak F_0である。逆にF0=N\mathfrak F_0=\mathfrak Nならば、N=F0⊆F\mathfrak N=\mathfrak F_0\subseteq\mathfrak Fであるから、F\mathfrak Fはxxに収束する。

主張 (4)を示す。X∈G∩HX\in\mathfrak G\cap\mathfrak Hかつ∅∉G∩H\emptyset\notin\mathfrak G\cap\mathfrak Hであり、G∩H\mathfrak G\cap\mathfrak Hは二つの元の共通部分と上位集合で閉じているから、G∩H\mathfrak G\cap\mathfrak HはXX上のフィルターであり、仮定により Cauchy フィルターである。G∩H⊆G\mathfrak G\cap\mathfrak H\subseteq\mathfrak Gであるから、G\mathfrak Gの極小性によりG∩H=G\mathfrak G\cap\mathfrak H=\mathfrak Gである。同じ理由でG∩H=H\mathfrak G\cap\mathfrak H=\mathfrak Hであり、G=H\mathfrak G=\mathfrak Hである。▨

定理 8.3.(X,U)(X,\mathcal U)を Hausdorff 一様空間とし、XX上の極小 Cauchy フィルターの全体をX~\widetilde Xとする。V∈UV\in\mathcal Uに対して

V~={(F,G)∈X~×X~∣A×A⊆V を満たす A∈F∩G が存在する}\widetilde V=\{(\mathfrak F,\mathfrak G)\in\widetilde X\times\widetilde X\mid A\times A\subseteq V\text{ を満たす }A\in\mathfrak F\cap\mathfrak G\text{ が存在する}\}

とおく。補題 8.2 (3)により、各x∈Xx\in XについてNOU(x)\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)は極小 Cauchy フィルターであるから、写像ι~ ⁣:X→X~\widetilde\iota\colon X\to\widetilde Xをι~(x)=NOU(x)\widetilde\iota(x)=\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)で定める。

  1. {V~∣V∈U}\{\widetilde V\mid V\in\mathcal U\}を近縁基とするX~\widetilde Xの近縁系U~\widetilde{\mathcal U}がただ一つ存在し、U~\widetilde{\mathcal U}は Hausdorff である。
  2. ι~ ⁣:X→(X~,U~)\widetilde\iota\colon X\to(\widetilde X,\widetilde{\mathcal U})は、像ι~(X)\widetilde\iota(X)がX~\widetilde Xで稠密である一様埋め込みである。
  3. XX上の任意の Cauchy フィルターF\mathfrak Fについて、像フィルターι~(F)\widetilde\iota(\mathfrak F)は、補題 8.2 (1)の極小 Cauchy フィルターF0\mathfrak F_0に収束する。
  4. (X~,U~)(\widetilde X,\widetilde{\mathcal U})は完備であり、(X~,ι~)(\widetilde X,\widetilde\iota)はXXの完備化である。

証明.主張 (1)を示す。B={V~∣V∈U}\mathcal B=\{\widetilde V\mid V\in\mathcal U\}とおく。§E2.51 定義 1.3 条件 (a)によりB≠∅\mathcal B\neq\emptysetである。V,V′∈UV,V'\in\mathcal UについてV∩V′∈UV\cap V'\in\mathcal Uであり、V∩V′~⊆V~∩V′~\widetilde{V\cap V'}\subseteq\widetilde V\cap\widetilde{V'}である。F∈X~\mathfrak F\in\widetilde XとV∈UV\in\mathcal Uについて、F\mathfrak Fは Cauchy フィルターであるからA×A⊆VA\times A\subseteq Vを満たすA∈FA\in\mathfrak Fが存在し、(F,F)∈V~(\mathfrak F,\mathfrak F)\in\widetilde Vである。V~\widetilde Vの定義はF\mathfrak FとG\mathfrak Gについて対称であるから、V~−1=V~\widetilde V^{-1}=\widetilde Vである。V∈UV\in\mathcal Uとし、§E2.51 定義 1.3 条件 (f)によりW∘W⊆VW\circ W\subseteq Vを満たすW∈UW\in\mathcal Uをとる。(F,H)∈W~∘W~(\mathfrak F,\mathfrak H)\in\widetilde W\circ\widetilde Wとし、(F,G)∈W~(\mathfrak F,\mathfrak G)\in\widetilde Wかつ(G,H)∈W~(\mathfrak G,\mathfrak H)\in\widetilde Wを満たすG∈X~\mathfrak G\in\widetilde Xをとる。A×A⊆WA\times A\subseteq Wを満たすA∈F∩GA\in\mathfrak F\cap\mathfrak Gと、B×B⊆WB\times B\subseteq Wを満たすB∈G∩HB\in\mathfrak G\cap\mathfrak Hが存在する。A∩B∈GA\cap B\in\mathfrak Gは空でないから、c∈A∩Bc\in A\cap Bをとる。C=A∪BC=A\cup Bとおくと、§E2.50 定義 1.1 条件 (d)によりC∈F∩HC\in\mathfrak F\cap\mathfrak Hである。y,z∈Cy,z\in Cとする。y,z∈Ay,z\in Aまたはy,z∈By,z\in Bならば(y,z)∈W(y,z)\in Wである。y∈Ay\in Aかつz∈Bz\in Bならば、(y,c)∈A×A⊆W(y,c)\in A\times A\subseteq Wと(c,z)∈B×B⊆W(c,z)\in B\times B\subseteq Wから(y,z)∈W∘W(y,z)\in W\circ Wである。y∈By\in Bかつz∈Az\in Aならば、(y,c)∈B×B⊆W(y,c)\in B\times B\subseteq Wと(c,z)∈A×A⊆W(c,z)\in A\times A\subseteq Wから(y,z)∈W∘W(y,z)\in W\circ Wである。§E2.51 定義 1.3 条件 (d)と§E2.51 補題 1.2 (5)によりW⊆W∘WW\subseteq W\circ Wであるから、C×C⊆W∘W⊆VC\times C\subseteq W\circ W\subseteq Vであり、(F,H)∈V~(\mathfrak F,\mathfrak H)\in\widetilde Vである。ゆえにW~∘W~⊆V~\widetilde W\circ\widetilde W\subseteq\widetilde Vである。以上によりB\mathcal Bは§E2.51 命題 1.8の四条件を満たすから、§E2.51 命題 1.8により、B\mathcal Bを近縁基とするX~\widetilde Xの近縁系U~\widetilde{\mathcal U}がただ一つ存在する。

U~\widetilde{\mathcal U}の各元はあるV~\widetilde Vを含み、各V~\widetilde VはU~\widetilde{\mathcal U}に属するから、⋂U~=⋂V∈UV~\bigcap\widetilde{\mathcal U}=\bigcap_{V\in\mathcal U}\widetilde Vである。(F,G)∈⋂V∈UV~(\mathfrak F,\mathfrak G)\in\bigcap_{V\in\mathcal U}\widetilde Vならば、任意のV∈UV\in\mathcal Uに対してA×A⊆VA\times A\subseteq Vを満たすA∈F∩GA\in\mathfrak F\cap\mathfrak Gが存在するから、補題 8.2 (4)によりF=G\mathfrak F=\mathfrak Gである。§E2.51 定義 1.3 条件 (d)とあわせて⋂U~=ΔX~\bigcap\widetilde{\mathcal U}=\Delta_{\widetilde X}であり、U~\widetilde{\mathcal U}は Hausdorff である。

主張 (2)を示す。x,y∈Xx,y\in Xがι~(x)=ι~(y)\widetilde\iota(x)=\widetilde\iota(y)を満たすとすると、NOU(x)\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)はxxとyyに収束する。§E2.51 命題 2.8 (1)⇒\Rightarrow(2)によりOU\mathcal O_{\mathcal U}は T2 であるから、§E2.50 定理 6.4 (1)⇒\Rightarrow(2)によりx=yx=yである。ゆえにι~\widetilde\iotaは単射である。

V∈UV\in\mathcal Uとする。(x,y)∈(ι~×ι~)−1(V~)(x,y)\in(\widetilde\iota\times\widetilde\iota)^{-1}(\widetilde V)ならば、A×A⊆VA\times A\subseteq Vを満たすA∈NOU(x)∩NOU(y)A\in\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)\cap\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(y)が存在し、x,y∈Ax,y\in Aであるから(x,y)∈V(x,y)\in Vである。ゆえに(ι~×ι~)−1(V~)⊆V(\widetilde\iota\times\widetilde\iota)^{-1}(\widetilde V)\subseteq Vである。§E2.51 補題 1.7 (2)により、W∘W∘W⊆VW\circ W\circ W\subseteq Vを満たす対称な近縁WWをとる。(x,y)∈W(x,y)\in Wとし、A=W[x]∪W[y]A=W[x]\cup W[y]とおく。§E2.51 命題 2.1と§E2.50 定義 1.1 条件 (d)によりA∈NOU(x)∩NOU(y)A\in\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)\cap\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(y)である。u,v∈Au,v\in Aとする。u,v∈W[x]u,v\in W[x]ならば、WWの対称性による(u,x)∈W(u,x)\in Wと(x,v)∈W(x,v)\in Wから(u,v)∈W∘W(u,v)\in W\circ Wである。u,v∈W[y]u,v\in W[y]のときも同じく(u,v)∈W∘W(u,v)\in W\circ Wである。u∈W[x]u\in W[x]かつv∈W[y]v\in W[y]ならば、(u,x),(x,y),(y,v)∈W(u,x),(x,y),(y,v)\in Wから(u,v)∈W∘W∘W(u,v)\in W\circ W\circ Wである。u∈W[y]u\in W[y]かつv∈W[x]v\in W[x]ならば、WWの対称性による(u,y),(y,x)∈W(u,y),(y,x)\in Wと(x,v)∈W(x,v)\in Wから(u,v)∈W∘W∘W(u,v)\in W\circ W\circ Wである。§E2.51 定義 1.3 条件 (d)と§E2.51 補題 1.2 (5)によりW∘W⊆W∘W∘WW\circ W\subseteq W\circ W\circ Wであるから、A×A⊆W∘W∘W⊆VA\times A\subseteq W\circ W\circ W\subseteq Vであり、(ι~(x),ι~(y))∈V~(\widetilde\iota(x),\widetilde\iota(y))\in\widetilde Vである。ゆえにW⊆(ι~×ι~)−1(V~)W\subseteq(\widetilde\iota\times\widetilde\iota)^{-1}(\widetilde V)であり、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により(ι~×ι~)−1(V~)∈U(\widetilde\iota\times\widetilde\iota)^{-1}(\widetilde V)\in\mathcal Uである。{V~∣V∈U}\{\widetilde V\mid V\in\mathcal U\}はU~\widetilde{\mathcal U}の近縁基であるから、§E2.51 命題 3.4 (2)によりι~\widetilde\iotaは一様連続である。(ι~×ι~)−1(V~)⊆V(\widetilde\iota\times\widetilde\iota)^{-1}(\widetilde V)\subseteq Vとあわせて、§E2.51 補題 4.6によりι~\widetilde\iotaは一様埋め込みである。

F∈X~\mathfrak F\in\widetilde Xとし、NNをF\mathfrak Fの近傍とする。§E2.51 命題 2.1によりN=S[F]N=S[\mathfrak F]を満たすS∈U~S\in\widetilde{\mathcal U}が存在し、SSはあるV~\widetilde V（V∈UV\in\mathcal U）を含む。補題 1.2 (5)により、W[F]×W[F]⊆VW[F]\times W[F]\subseteq Vを満たすW∈UW\in\mathcal UとF∈FF\in\mathfrak Fが存在する。x∈Fx\in Fをとる。§E2.51 定義 1.3 条件 (d)によりF⊆W[F]F\subseteq W[F]であるから、§E2.50 定義 1.1 条件 (d)によりW[F]∈FW[F]\in\mathfrak Fである。§E2.51 命題 2.1によりW[x]W[x]はxxの近傍であり、W[x]⊆W[F]W[x]\subseteq W[F]であるから、W[F]∈NOU(x)W[F]\in\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U}}(x)である。ゆえに(F,ι~(x))∈V~⊆S(\mathfrak F,\widetilde\iota(x))\in\widetilde V\subseteq Sであり、ι~(x)∈N\widetilde\iota(x)\in Nである。§E2.11 命題 7.2 (2)によりF∈cl⁡X~(ι~(X))\mathfrak F\in\tpcl[\widetilde X]{\widetilde\iota(X)}であり、ι~(X)\widetilde\iota(X)はX~\widetilde Xで稠密である。

主張 (3)を示す。補題 8.2 (2)によりF0∈X~\mathfrak F_0\in\widetilde Xである。NNをF0\mathfrak F_0の近傍とすると、§E2.51 命題 2.1によりN=S[F0]N=S[\mathfrak F_0]を満たすS∈U~S\in\widetilde{\mathcal U}が存在し、主張 (1)により、あるV∈UV\in\mathcal UについてV~⊆S\widetilde V\subseteq Sであるから、V~[F0]⊆N\widetilde V[\mathfrak F_0]\subseteq Nである。補題 1.2 (5)により、W[F]×W[F]⊆VW[F]\times W[F]\subseteq Vを満たすW∈UW\in\mathcal UとF∈FF\in\mathfrak Fが存在する。x∈Fx\in Fとする。W[F]∈BF⊆F0W[F]\in\mathfrak B_{\mathfrak F}\subseteq\mathfrak F_0であり、§E2.51 命題 2.1によりW[x]W[x]はxxの近傍であってW[x]⊆W[F]W[x]\subseteq W[F]であるから、§E2.50 定義 1.1 条件 (d)によりW[F]W[F]はxxの近傍である。したがってW[F]∈F0∩ι~(x)W[F]\in\mathfrak F_0\cap\widetilde\iota(x)であり、W[F]×W[F]⊆VW[F]\times W[F]\subseteq Vであるから、(F0,ι~(x))∈V~(\mathfrak F_0,\widetilde\iota(x))\in\widetilde Vである。ゆえにι~(x)∈V~[F0]⊆N\widetilde\iota(x)\in\widetilde V[\mathfrak F_0]\subseteq Nである。x∈Fx\in Fは任意であるからF⊆ι~−1(N)F\subseteq\widetilde\iota^{-1}(N)であり、§E2.50 定義 1.1 条件 (d)によりι~−1(N)∈F\widetilde\iota^{-1}(N)\in\mathfrak F、すなわちN∈ι~(F)N\in\widetilde\iota(\mathfrak F)である。ゆえにι~(F)\widetilde\iota(\mathfrak F)はF0\mathfrak F_0に収束する。

主張 (4)を示す。主張 (2)と主張 (3)により補題 4.2の仮定が成り立つから、(X~,U~)(\widetilde X,\widetilde{\mathcal U})は完備である。主張 (1)によりU~\widetilde{\mathcal U}は Hausdorff であるから、主張 (2)と定理 6.2 (1)により(X~,ι~)(\widetilde X,\widetilde\iota)はXXの完備化である。▨

例 8.4.[0,1][0,1]に距離e(s,t)=∣s−t∣e(s,t)=\lvert s-t\rvertを入れ、X=(0,1]X=(0,1]に制限距離ddを入れ、それぞれに距離一様構造Ue\mathcal U_e、Ud\mathcal U_dを入れる。§E2.51 命題 5.2 (1)によりUd\mathcal U_dは Hausdorff である。ι ⁣:X→[0,1]\iota\colon X\to[0,1]を包含写像とし、(X,Ud)(X,\mathcal U_d)について定理 8.3の組(X~,ι~)(\widetilde X,\widetilde\iota)をとる。B={(0,ε)∣0<ε≤1}\mathfrak B=\{(0,\varepsilon)\mid0<\varepsilon\leq1\}とおく。このとき、F=⟨B⟩\mathfrak F=\langle\mathfrak B\rangleはXX上の極小 Cauchy フィルターである。また、Φ∘ι~=ι\Phi\circ\widetilde\iota=\iotaを満たす一様同相写像Φ ⁣:X~→[0,1]\Phi\colon\widetilde X\to[0,1]がただ一つ存在し、Φ(F)=0\Phi(\mathfrak F)=0である。とくに、F\mathfrak FはXXのどの点の近傍系とも異なる。

実際、(0,1)∈B(0,1)\in\mathfrak Bであり、B\mathfrak Bの元は空でなく、0<ε′≤ε≤10<\varepsilon'\leq\varepsilon\leq1ならば(0,ε′)⊆(0,ε)(0,\varepsilon')\subseteq(0,\varepsilon)であるから、B\mathfrak Bは§E2.50 定義 1.2の三条件を満たす。V∈UdV\in\mathcal U_dをとる。§E2.51 命題 5.2 (1)によりUεd⊆VU^d_\varepsilon\subseteq Vを満たす実数ε>0\varepsilon>0が存在し、δ=min⁡{ε,1}\delta=\min\{\varepsilon,1\}とおくと(0,δ)×(0,δ)⊆Uδd⊆V(0,\delta)\times(0,\delta)\subseteq U^d_\delta\subseteq Vであるから、補題 1.2 (1)によりF\mathfrak Fは Cauchy フィルターである。

0<ε≤10<\varepsilon\leq1とする。a∈(0,ε/2)a\in(0,\varepsilon/2)と、∣y−a∣<ε/2\lvert y-a\rvert<\varepsilon/2を満たすy∈Xy\in Xについてy<εy<\varepsilonであるから、Uε/2d[(0,ε/2)]⊆(0,ε)U^d_{\varepsilon/2}[(0,\varepsilon/2)]\subseteq(0,\varepsilon)である。§E2.50 命題 1.3 (1)により(0,ε/2)∈F(0,\varepsilon/2)\in\mathfrak Fであり、§E2.51 命題 5.2 (1)によりUε/2d∈UdU^d_{\varepsilon/2}\in\mathcal U_dであるから、補題 8.2 (1)のBF\mathfrak B_{\mathfrak F}とF0\mathfrak F_0についてUε/2d[(0,ε/2)]∈BF⊆F0U^d_{\varepsilon/2}[(0,\varepsilon/2)]\in\mathfrak B_{\mathfrak F}\subseteq\mathfrak F_0であり、§E2.50 定義 1.1 条件 (d)により(0,ε)∈F0(0,\varepsilon)\in\mathfrak F_0である。ゆえにB⊆F0\mathfrak B\subseteq\mathfrak F_0であり、§E2.50 命題 1.3 (2)によりF⊆F0\mathfrak F\subseteq\mathfrak F_0である。補題 8.2 (1)によりF0⊆F\mathfrak F_0\subseteq\mathfrak FであるからF=F0\mathfrak F=\mathfrak F_0であり、補題 8.2 (2)によりF\mathfrak Fは極小 Cauchy フィルターである。

[0,1][0,1]はR\Rの閉集合であるから、§E2.5 例 4.1と§E2.5 定理 3.2により([0,1],e)([0,1],e)は完備距離空間である。命題 3.1 (2)により([0,1],Ue)([0,1],\mathcal U_e)は完備であり、§E2.51 命題 5.2 (1)によりUe\mathcal U_eは Hausdorff である。OUe\mathcal O_{\mathcal U_e}に関する00の任意の近傍NNについて、§E2.51 命題 2.1と§E2.51 命題 5.2 (1)によりUεe[0]⊆NU^e_\varepsilon[0]\subseteq Nを満たす実数ε\varepsilonであって0<ε≤10<\varepsilon\leq1を満たすものが存在し、(0,ε)⊆Uεe[0]⊆N(0,\varepsilon)\subseteq U^e_\varepsilon[0]\subseteq Nである。とくにN∩X≠∅N\cap X\neq\emptysetであるから、§E2.11 命題 7.2 (2)により00は[0,1][0,1]におけるXXの閉包に属する。§E2.11 命題 2.5 (1)によりこの閉包はXXを含むから、[0,1][0,1]に等しい。[0,1][0,1]自身の部分一様構造はUe\mathcal U_eであり、§E2.51 命題 5.2 (4)によりUd\mathcal U_dはUe\mathcal U_eの部分一様構造に等しいから、命題 7.1により([0,1],ι)([0,1],\iota)は(X,Ud)(X,\mathcal U_d)の完備化である。定理 8.3 (4)と定理 6.2 (2)により、Φ∘ι~=ι\Phi\circ\widetilde\iota=\iotaを満たす一様同相写像Φ ⁣:X~→[0,1]\Phi\colon\widetilde X\to[0,1]がただ一つ存在する。

F0=F\mathfrak F_0=\mathfrak Fであるから、定理 8.3 (3)によりι~(F)\widetilde\iota(\mathfrak F)はF\mathfrak Fに収束する。§E2.51 命題 3.4 (3)によりΦ\Phiは連続であるから、§E2.50 定理 6.2 (1)⇒\Rightarrow(2)によりΦ(ι~(F))\Phi(\widetilde\iota(\mathfrak F))はΦ(F)\Phi(\mathfrak F)に収束し、§E2.50 命題 3.2 (4)によりΦ(ι~(F))=(Φ∘ι~)(F)=ι(F)\Phi(\widetilde\iota(\mathfrak F))=(\Phi\circ\widetilde\iota)(\mathfrak F)=\iota(\mathfrak F)である。OUe\mathcal O_{\mathcal U_e}に関する00の任意の近傍NNは、あるε\varepsilon（0<ε≤10<\varepsilon\leq1）についてι((0,ε))=(0,ε)\iota((0,\varepsilon))=(0,\varepsilon)を含み、(0,ε)∈F(0,\varepsilon)\in\mathfrak Fであるから、§E2.50 命題 3.2 (1)によりN∈ι(F)N\in\iota(\mathfrak F)である。ゆえにι(F)\iota(\mathfrak F)は00に収束する。§E2.51 命題 2.8 (1)⇒\Rightarrow(2)によりOUe\mathcal O_{\mathcal U_e}は T2 であるから、§E2.50 定理 6.4 (1)⇒\Rightarrow(2)によりΦ(F)=0\Phi(\mathfrak F)=0である。x∈Xx\in XについてΦ(ι~(x))=ι(x)=x≠0\Phi(\widetilde\iota(x))=\iota(x)=x\neq0であるから、ι~(x)=NOUd(x)\widetilde\iota(x)=\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U_d}}(x)はF\mathfrak Fと異なる。

9 距離空間の完備化との一致と構成の一様同相

定理 9.1.

  1. (X,d)(X,d)を距離空間とし、(Y,e,ι)(Y,e,\iota)を§E2.6 定義 1.4の意味の(X,d)(X,d)の完備化とし、YYに距離一様構造Ue\mathcal U_eを入れる。このとき、(Y,ι)(Y,\iota)は一様空間(X,Ud)(X,\mathcal U_d)の完備化である。
  2. (X,U)(X,\mathcal U)を Hausdorff 一様空間とし、U\mathcal Uが高々可算な近縁基をもつとする。このときU=Ud\mathcal U=\mathcal U_dを満たすXX上の距離ddが存在する。そのような任意の距離ddについて、§E2.6 定理 2.6が与える(X,d)(X,d)の完備化を(X^,d^,ι)(\widehat X,\widehat d,\iota)とすると、(X^,ι)(\widehat X,\iota)は(X,U)(X,\mathcal U)の完備化である。

証明.主張 (1)を示す。§E2.6 定義 1.4 条件 (a)により(Y,e)(Y,e)は完備距離空間であるから、命題 3.1 (2)により(Y,Ue)(Y,\mathcal U_e)は完備であり、§E2.51 命題 5.2 (1)によりUe\mathcal U_eとUd\mathcal U_dは Hausdorff である。§E2.6 定義 1.4 条件 (b)によりι\iotaは等長写像であるから、補題 3.3によりι ⁣:(X,Ud)→(Y,Ue)\iota\colon(X,\mathcal U_d)\to(Y,\mathcal U_e)は一様埋め込みである。§E2.6 定義 1.4 条件 (c)によりι(X)\iota(X)はOe\mathcal O_eに関して稠密であり、§E2.51 命題 5.2 (2)によりOe=OUe\mathcal O_e=\mathcal O_{\mathcal U_e}である。定理 6.2 (1)により(Y,ι)(Y,\iota)は(X,Ud)(X,\mathcal U_d)の完備化である。

主張 (2)を示す。§E2.52 定理 2.3 (3)により、距離一様構造がU\mathcal Uに等しいXX上の距離が存在する。ddを、距離一様構造Ud\mathcal U_dがU\mathcal Uに等しいXX上の任意の距離とし、(X^,d^,ι)(\widehat X,\widehat d,\iota)を§E2.6 定理 2.6が与える(X,d)(X,d)の完備化とする。主張 (1)により(X^,ι)(\widehat X,\iota)は(X,Ud)=(X,U)(X,\mathcal U_d)=(X,\mathcal U)の完備化である。▨

系 9.2.(X,U)(X,\mathcal U)を Hausdorff 一様空間とし、(L,j)(L,j)を定理 5.1の射影極限LLと写像jjの組とし、(X~,ι~)(\widetilde X,\widetilde\iota)を定理 8.3の組とする。

  1. Φ∘ι~=j\Phi\circ\widetilde\iota=jを満たす一様同相写像Φ ⁣:X~→L\Phi\colon\widetilde X\to Lがただ一つ存在する。
  2. ddを、距離一様構造Ud\mathcal U_dがU\mathcal Uに等しいXX上の距離とし、§E2.6 定理 2.6が与える(X,d)(X,d)の完備化を(X^,d^,ι)(\widehat X,\widehat d,\iota)とする。このときΨ∘ι=j\Psi\circ\iota=jを満たす一様同相写像Ψ ⁣:X^→L\Psi\colon\widehat X\to Lがただ一つ存在する。

証明.定理 5.1 (1)、定理 5.1 (2)、定理 6.2 (1)により(L,j)(L,j)はXXの完備化であり、定理 8.3 (4)により(X~,ι~)(\widetilde X,\widetilde\iota)はXXの完備化であるから、定理 6.2 (2)により主張 (1)の一様同相写像Φ\Phiがただ一つ存在する。主張 (2)の仮定のもとで、定理 9.1 (1)により(X^,ι)(\widehat X,\iota)は(X,Ud)=(X,U)(X,\mathcal U_d)=(X,\mathcal U)の完備化である。定理 6.2 (2)により主張 (2)の一様同相写像Ψ\Psiがただ一つ存在する。▨

注意 9.3.(X,d)(X,d)を距離空間、(Y,e,ι)(Y,e,\iota)を§E2.6 定義 1.4の意味の(X,d)(X,d)の完備化、(Z,dZ)(Z,d_Z)を完備距離空間とする。§E2.51 命題 5.2 (3)により、XXからZZへの写像とYYからZZへの写像について、一様連続性をもつことと距離一様構造に関して一様連続であることは同値であり、命題 3.1 (2)と§E2.51 命題 5.2 (1)により(Z,UdZ)(Z,\mathcal U_{d_Z})は完備 Hausdorff 一様空間である。したがって§E2.6 定理 3.2は、定理 9.1 (1)が与える普遍性を、値域が完備距離空間である場合に限ったものである。また、(X,d)(X,d)の二つの完備化(Y1,e1,ι1)(Y_1,e_1,\iota_1)、(Y2,e2,ι2)(Y_2,e_2,\iota_2)について、§E2.6 定理 4.5の等長全単射Φ\Phiとその逆写像は等長写像であるから、一様連続性をもつ。§E2.6 定理 4.5によりΦ∘ι1=ι2\Phi\circ\iota_1=\iota_2である。定理 9.1 (1)により(Y1,ι1)(Y_1,\iota_1)と(Y2,ι2)(Y_2,\iota_2)は一様空間(X,Ud)(X,\mathcal U_d)の完備化であり、§E2.51 命題 5.2 (3)によりΦ\Phiは一様同相写像である。したがって、この二つの完備化に定理 6.2 (2)を適用して得る一様同相写像はΦ\Phiに等しく、等長写像である。

10 演習

問題 10.1.命題 1.3の証明を完成させよ。

解答.

命題 1.3 (1)を示す。s=(xλ)λ∈Λs=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を Cauchy ネットとし、V∈UV\in\mathcal Uをとる。λ,μ≥λ0\lambda,\mu\geq\lambda_0ならば(xλ,xμ)∈V(x_\lambda,x_\mu)\in Vとなるλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaをとり、F={xλ∣λ≥λ0}F=\{x_\lambda\mid\lambda\geq\lambda_0\}とおくと、ssはFFに最終的に属するからF∈F(s)F\in\mathfrak F(s)であり、F×F⊆VF\times F\subseteq Vである。§E2.50 命題 5.6 (1)によりF(s)\mathfrak F(s)はフィルターであるから、F(s)\mathfrak F(s)は Cauchy フィルターである。逆にF(s)\mathfrak F(s)が Cauchy フィルターであるとし、V∈UV\in\mathcal Uをとる。F×F⊆VF\times F\subseteq Vを満たすF∈F(s)F\in\mathfrak F(s)が存在し、ssはFFに最終的に属するから、λ≥λ0\lambda\geq\lambda_0ならばxλ∈Fx_\lambda\in Fとなるλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在する。λ,μ≥λ0\lambda,\mu\geq\lambda_0ならば(xλ,xμ)∈F×F⊆V(x_\lambda,x_\mu)\in F\times F\subseteq Vである。ゆえにssは Cauchy ネットである。

命題 1.3 (2)を示す。§E2.50 命題 5.6 (2)によりF(sF)=F\mathfrak F(s_{\mathfrak F})=\mathfrak Fであるから、命題 1.3 (1)をs=sFs=s_{\mathfrak F}に適用すればよい。

命題 1.3 (3)を示す。(X,U)(X,\mathcal U)が完備であるとし、ssを Cauchy ネットとする。命題 1.3 (1)によりF(s)\mathfrak F(s)は Cauchy フィルターであるから、あるx∈Xx\in Xに収束し、§E2.50 命題 5.6 (3)によりssはxxに収束する。逆に、すべての Cauchy ネットが収束するとし、F\mathfrak Fを Cauchy フィルターとする。命題 1.3 (2)によりsFs_{\mathfrak F}は Cauchy ネットであるから、あるx∈Xx\in Xに収束し、§E2.50 命題 5.6 (4)によりF\mathfrak Fはxxに収束する。

命題 1.3 (4)を示す。§E2.50 命題 5.6 (3)によりxxはF(s)\mathfrak F(s)の集積点であり、命題 1.3 (1)によりF(s)\mathfrak F(s)は Cauchy フィルターである。補題 1.2 (4)によりF(s)\mathfrak F(s)はxxに収束し、§E2.50 命題 5.6 (3)によりssはxxに収束する。▨

問題 10.2.命題 7.1の証明を完成させよ。

解答.

B⊆XB\subseteq Xに部分一様構造UB\mathcal U_Bを入れると、§E2.51 系 4.4 (2)によりOUB\mathcal O_{\mathcal U_B}はOU\mathcal O_{\mathcal U}の部分空間位相である。§E2.51 命題 2.8 (1)⇒\Rightarrow(2)によりOU\mathcal O_{\mathcal U}は T2 であるから、§E2.15 定理 2.1 (3)によりOUB\mathcal O_{\mathcal U_B}は T2 であり、§E2.51 命題 2.8 (2)⇒\Rightarrow(1)によりUB\mathcal U_Bは Hausdorff である。とくにAAとA‾\tpcl{A}は Hausdorff 一様空間である。§E2.11 命題 2.5 (1)によりA‾\tpcl{A}は閉集合であるから、命題 2.1 (1)によりA‾\tpcl{A}は完備である。

C=A‾C=\tpcl{A}とおく。ι\iotaは単射である。V∈UV\in\mathcal Uについて(ι×ι)−1(V∩(C×C))=V∩(A×A)(\iota\times\iota)^{-1}(V\cap(C\times C))=V\cap(A\times A)である。§E2.51 定義 3.1によりUC\mathcal U_Cの元はV∩(C×C)V\cap(C\times C)、UA\mathcal U_Aの元はV∩(A×A)V\cap(A\times A)（V∈UV\in\mathcal U）の形であるから、ι\iotaは一様連続であり、UA\mathcal U_Aの任意の元V∩(A×A)V\cap(A\times A)に対してW=V∩(C×C)∈UCW=V\cap(C\times C)\in\mathcal U_Cは(ι×ι)−1(W)⊆V∩(A×A)(\iota\times\iota)^{-1}(W)\subseteq V\cap(A\times A)を満たす。§E2.51 補題 4.6によりι\iotaは一様埋め込みである。§E2.12 命題 4.7 (1)によりCCにおけるAAの閉包はA‾∩C=C\tpcl{A}\cap C=Cであるから、AAはCCで稠密である。定理 6.2 (1)により(C,ι)(C,\iota)はAAの完備化である。▨

問題 10.3.命題 7.2の証明を完成させよ。

解答.

πλ ⁣:X→Xλ\pi_\lambda\colon X\to X_\lambdaとπ^λ ⁣:X^→Xλ^\widehat\pi_\lambda\colon\widehat X\to\widehat{X_\lambda}を射影とする。π^λ∘ι=ιλ∘πλ\widehat\pi_\lambda\circ\iota=\iota_\lambda\circ\pi_\lambdaである。

§E2.51 系 4.5 (2)によりXXとX^\widehat Xの一様位相は積位相である。§E2.51 命題 2.8 (1)⇒\Rightarrow(2)により各XλX_\lambdaと各Xλ^\widehat{X_\lambda}の一様位相は T2 であるから、§E2.15 定理 2.8 (3)によりXXとX^\widehat Xの一様位相は T2 であり、§E2.51 命題 2.8 (2)⇒\Rightarrow(1)によりXXとX^\widehat Xは Hausdorff 一様空間である。命題 2.5 (1)によりX^\widehat Xは完備である。

定理 6.2 (4)により、各ιλ\iota_\lambdaは像が稠密な一様埋め込みである。各ιλ\iota_\lambdaは単射であるからι\iotaは単射である。各λ∈Λ\lambda\in\LambdaについてXλ^\widehat{X_\lambda}の一様構造をU^λ\widehat{\mathcal U}_\lambdaと書き、XXの積一様構造をU\mathcal Uと書く。X^\widehat Xの積一様構造は射影の族(π^λ)λ∈Λ(\widehat\pi_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}による始一様構造であるから、§E2.51 補題 4.3により、一つの写像ι\iotaからなる族によるXXの始一様構造は、族(π^λ∘ι)λ∈Λ=(ιλ∘πλ)λ∈Λ(\widehat\pi_\lambda\circ\iota)_{\lambda\in\Lambda}=(\iota_\lambda\circ\pi_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}による始一様構造U′\mathcal U'に等しい。§E2.51 定義 4.1により、U′\mathcal U'は

S′={(πλ×πλ)−1((ιλ×ιλ)−1(W))∣λ∈Λ, W∈U^λ}\mathcal S'=\{(\pi_\lambda\times\pi_\lambda)^{-1}\bigl((\iota_\lambda\times\iota_\lambda)^{-1}(W)\bigr)\mid\lambda\in\Lambda,\ W\in\widehat{\mathcal U}_\lambda\}

の有限個の元の共通部分を含むX×XX\times Xの部分集合の全体であり、U\mathcal UはS={(πλ×πλ)−1(V)∣λ∈Λ, V∈Uλ}\mathcal S=\{(\pi_\lambda\times\pi_\lambda)^{-1}(V)\mid\lambda\in\Lambda,\ V\in\mathcal U_\lambda\}の有限個の元の共通部分を含むX×XX\times Xの部分集合の全体である。各ιλ\iota_\lambdaは一様連続であるからS′⊆S\mathcal S'\subseteq\mathcal Sであり、S′\mathcal S'の有限個の元の共通部分はS\mathcal Sの有限個の元の共通部分であるから、U′⊆U\mathcal U'\subseteq\mathcal Uである。§E2.51 補題 4.6により、各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaと各V∈UλV\in\mathcal U_\lambdaに対して(ιλ×ιλ)−1(W)⊆V(\iota_\lambda\times\iota_\lambda)^{-1}(W)\subseteq Vを満たすW∈U^λW\in\widehat{\mathcal U}_\lambdaが存在するから、S\mathcal Sの各元はS′\mathcal S'のある元を含み、U⊆U′\mathcal U\subseteq\mathcal U'である。ゆえにU\mathcal Uは一つの写像ι\iotaからなる族による始一様構造に等しく、§E2.51 系 4.7によりι\iotaは一様埋め込みである。

ι\iotaの定義によりι(X)=∏λ∈Λιλ(Xλ)\iota(X)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\iota_\lambda(X_\lambda)であり、定理 6.2 (4)により各ιλ(Xλ)\iota_\lambda(X_\lambda)はXλ^\widehat{X_\lambda}で稠密である。§E2.51 系 4.5 (2)によりX^\widehat Xの一様位相は積位相であるから、§E2.14 補題 1.12によりι(X)\iota(X)はX^\widehat Xで稠密である。定理 6.2 (1)により(X^,ι)(\widehat X,\iota)はXXの完備化である。▨

問題 10.4.XXを二つ以上の元をもつ集合とし、U={X×X}\mathcal U=\{X\times X\}とする。U\mathcal UがXXの一様構造であって Hausdorff でないことを示せ。XXの空でない任意の部分集合AAについて、AAに部分一様構造UA\mathcal U_Aを入れると(A,UA)(A,\mathcal U_A)が完備であることを示せ。さらに、XXの一点からなる部分集合がOU\mathcal O_{\mathcal U}に関して閉集合でないことを示し、命題 2.1 (2)の結論がU\mathcal Uの Hausdorff 性の仮定なしには成り立たないことを確かめよ。

解答.

U\mathcal Uの元はX×XX\times Xだけである。X×XX\times Xは対角集合ΔX\Delta_Xを含み、(X×X)−1=X×X(X\times X)^{-1}=X\times Xかつ(X×X)∘(X×X)⊆X×X(X\times X)\circ(X\times X)\subseteq X\times Xであり、X×X⊆V′⊆X×XX\times X\subseteq V'\subseteq X\times XならばV′=X×XV'=X\times Xであるから、U\mathcal Uは§E2.51 定義 1.3の六条件を満たす。XXの相異なる二点x,yx,yについて(x,y)∈X×X=⋂U(x,y)\in X\times X=\bigcap\mathcal Uであるから、⋂U≠ΔX\bigcap\mathcal U\neq\Delta_Xであり、§E2.51 定義 2.7によりU\mathcal Uは Hausdorff でない。

AAをXXの空でない部分集合とする。§E2.51 定義 3.1によりUA={(X×X)∩(A×A)}={A×A}\mathcal U_A=\{(X\times X)\cap(A\times A)\}=\{A\times A\}である。a∈Aa\in Aについて(A×A)[a]=A(A\times A)[a]=Aであるから、§E2.51 命題 2.1によりNOUA(a)={A}\mathcal N_{\mathcal O_{\mathcal U_A}}(a)=\{A\}である。AA上の任意のフィルターG\mathfrak Gは§E2.50 定義 1.1 条件 (a)によりAAを元にもつから、§E2.50 定義 4.1によりG\mathfrak GはAAの任意の点に収束する。とくにAA上のすべての Cauchy フィルターは収束するから、(A,UA)(A,\mathcal U_A)は完備である。

x∈Xx\in Xとし、xxと異なるy∈Xy\in Xをとる。OU\mathcal O_{\mathcal U}の元OOがyyを含むならば、§E2.51 命題 2.1により(X×X)[y]=X⊆O(X\times X)[y]=X\subseteq Oである。X∖{x}X\setminus\{x\}はyyを含みxxを含まないからOU\mathcal O_{\mathcal U}に属さず、{x}\{x\}はOU\mathcal O_{\mathcal U}に関して閉集合でない。A={x}A=\{x\}について(A,UA)(A,\mathcal U_A)は完備であるから、命題 2.1 (2)の結論は、U\mathcal Uが Hausdorff であるという仮定を除くと成り立たない。▨

問題 10.5.[0,1][0,1]に距離e(s,t)=∣s−t∣e(s,t)=\lvert s-t\rvertの距離一様構造Ue\mathcal U_eを入れ、A=(0,1]A=(0,1]に部分一様構造(Ue)A(\mathcal U_e)_Aを入れる。Y=[−1,1]Y=[-1,1]に距離eY(u,v)=∣u−v∣e_Y(u,v)=\lvert u-v\rvertの距離一様構造UeY\mathcal U_{e_Y}を入れる。すべてのt∈At\in Aについてf(t)=sin⁡(1/t)f(t)=\sin(1/t)と定める。ffがAAからYYへの写像であって一様位相に関して連続であること、AAが[0,1][0,1]で稠密であること、(Y,UeY)(Y,\mathcal U_{e_Y})が完備 Hausdorff 一様空間であることを示せ。さらに、すべてのa∈Aa\in Aについてg(a)=f(a)g(a)=f(a)を満たし一様位相に関して連続である写像g ⁣:[0,1]→Yg\colon[0,1]\to Yが存在しないことを示し、定理 4.1の結論が、ffの一様連続性の仮定を連続性に弱めると成り立たないことを確かめよ。

解答.

eAe_AをeeのAAへの制限距離とする。§E2.51 命題 5.2 (4)により(Ue)A=UeA(\mathcal U_e)_A=\mathcal U_{e_A}であり、§E2.51 命題 5.2 (2)により、[0,1][0,1]、AA、YYの一様位相は、それぞれee、eAe_A、eYe_Yから生じる位相である。

すべての実数ssについて、§D1.24 系 2.2によりsin⁡2s+cos⁡2s=1\sin^2s+\cos^2s=1であるから∣sin⁡s∣≤1\lvert\sin s\rvert\leq1であり、f(A)⊆Yf(A)\subseteq Yである。t0∈At_0\in Aと実数ε>0\varepsilon>0をとり、δ=min⁡{t0/2, t02ε/2}\delta=\min\{t_0/2,\ t_0^2\varepsilon/2\}とおく。t∈At\in Aが∣t−t0∣<δ\lvert t-t_0\rvert<\deltaを満たすならば、t>t0/2t>t_0/2であるから∣1/t−1/t0∣=∣t−t0∣/(tt0)<2δ/t02≤ε\lvert1/t-1/t_0\rvert=\lvert t-t_0\rvert/(tt_0)<2\delta/t_0^2\leq\varepsilonである。ゆえに、t↦1/tt\mapsto1/tは§D1.11 定義 1.2の意味でt0t_0において連続である。§D1.24 定理 1.3により正弦はR\Rのすべての点で微分可能であるから、§D1.14 命題 1.2により正弦は1/t01/t_0において連続であり、§D1.11 命題 3.2によりffはt0t_0において連続である。∣f(t)−f(t0)∣=eY(f(t),f(t0))\lvert f(t)-f(t_0)\rvert=e_Y(f(t),f(t_0))であるから、f ⁣:(A,eA)→(Y,eY)f\colon(A,e_A)\to(Y,e_Y)は§E2.4 定義 1.1の意味の連続写像である。AAとYYの一様位相はeAe_AとeYe_Yから生じる位相であるから、§E2.4 定理 2.1によりffは一様位相に関して連続である。

NNをOUe\mathcal O_{\mathcal U_e}に関する00の近傍とする。§E2.51 命題 2.1と§E2.51 命題 5.2 (1)により、Uεe[0]⊆NU^e_\varepsilon[0]\subseteq Nを満たす実数ε\varepsilonであって0<ε≤10<\varepsilon\leq1を満たすものが存在する。ε/2∈Uεe[0]∩A\varepsilon/2\in U^e_\varepsilon[0]\cap AであるからN∩A≠∅N\cap A\neq\emptysetであり、§E2.11 命題 7.2 (2)により00は[0,1][0,1]におけるAAの閉包に属する。§E2.11 命題 2.5 (1)によりこの閉包はAAを含むから、[0,1][0,1]に等しい。ゆえにAAは[0,1][0,1]で稠密である。

YYはR\Rの閉集合であるから、§E2.5 例 4.1と§E2.5 定理 3.2により(Y,eY)(Y,e_Y)は完備距離空間である。命題 3.1 (2)により(Y,UeY)(Y,\mathcal U_{e_Y})は完備であり、§E2.51 命題 5.2 (1)によりUeY\mathcal U_{e_Y}は Hausdorff である。

一様位相に関して連続な写像g ⁣:[0,1]→Yg\colon[0,1]\to Yが、すべてのa∈Aa\in Aについてg(a)=f(a)g(a)=f(a)を満たすと仮定する。[0,1][0,1]とYYの一様位相はeeとeYe_Yから生じる位相であるから、§E2.4 定理 2.1によりggは§E2.4 定義 1.1の意味の連続写像である。ggは00において連続であるから、t<δt<\deltaを満たすすべてのt∈[0,1]t\in[0,1]について∣g(t)−g(0)∣<1/2\lvert g(t)-g(0)\rvert<1/2となる実数δ>0\delta>0が存在する。§D1.24 補題 4.1と§D1.24 定義 4.2によりπ>0\pi>0であり、§D1.4 命題 2.1によりmax⁡{1,1/δ}/(2π)<n\max\{1,1/\delta\}/(2\pi)<nを満たす正の整数nnが存在する。s=1/(2πn)s=1/(2\pi n)、t=1/(π/2+2πn)t=1/(\pi/2+2\pi n)とおくと、0<t<s<min⁡{1,δ}0<t<s<\min\{1,\delta\}であるから、s,t∈As,t\in Aである。§D1.24 定理 4.5 (1)とnnについての帰納法により、すべての実数θ\thetaについてsin⁡(θ+2πn)=sin⁡θ\sin(\theta+2\pi n)=\sin\thetaである。§D1.24 定理 1.3によりsin⁡0=0\sin0=0であり、§D1.24 定義 4.2と§D1.24 補題 4.1によりsin⁡(π/2)=1\sin(\pi/2)=1であるから、g(s)=f(s)=sin⁡(2πn)=0g(s)=f(s)=\sin(2\pi n)=0かつg(t)=f(t)=sin⁡(π/2+2πn)=1g(t)=f(t)=\sin(\pi/2+2\pi n)=1である。したがって∣g(0)∣<1/2\lvert g(0)\rvert<1/2かつ∣1−g(0)∣<1/2\lvert1-g(0)\rvert<1/2であり、1≤∣1−g(0)∣+∣g(0)∣<11\leq\lvert1-g(0)\rvert+\lvert g(0)\rvert<1となって矛盾する。ゆえに、そのようなggは存在しない。

§E2.51 命題 3.4 (3)により一様連続写像は連続であるから、すべてのa∈Aa\in Aについてg(a)=f(a)g(a)=f(a)を満たす一様連続写像g ⁣:[0,1]→Yg\colon[0,1]\to Yも存在しない。AAは[0,1][0,1]で稠密であり、(Y,UeY)(Y,\mathcal U_{e_Y})は完備 Hausdorff 一様空間であり、ffは一様位相に関して連続であるから、[0,1][0,1]、AA、YY、ffは、ffの一様連続性を連続性に弱めた定理 4.1の仮定を満たし、その結論を満たさない。とくに、定理 4.1により、ffは(Ue)A(\mathcal U_e)_AとUeY\mathcal U_{e_Y}に関して一様連続でない。▨

参考文献

  1. Nicolas Bourbaki, General Topology, Chapters 1–4, Elements of Mathematics, Springer, Berlin, 1989.Cauchy フィルターと極小 Cauchy フィルター、完備化の普遍性と稠密な部分空間からの延長の扱いを参考にした。
  2. Ryszard Engelking, General Topology, revised and completed ed., Sigma Series in Pure Mathematics 6, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.部分空間と積の完備性、および擬距離による完備化の構成の扱いを参考にした。
  3. Stephen Willard, General Topology, Dover Publications, 2004, originally published 1970.Cauchy ネットと完備性の扱いを参考にした。

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