§E2.50フィルター

最終更新

位相空間における閉包、連続性、コンパクト性は、解析学では点列の収束によって調べられることが多い。しかし点列の添字は可算個であるから、第一可算でない空間では、閉包や連続性を点列によって判定することができない場合がある。たとえば順序数空間ω1+1\omega_1+1では、点ω1\omega_1は部分集合ω1\omega_1の閉包に属するが、ω1\omega_1の点からなる点列で点ω1\omega_1に収束するものは存在しない。フィルターとネットは、点列の収束をこのような空間にも通用する形へ一般化する概念である。フィルターは、点列が最終的に属する集合の全体がもつ性質を集合の族の公理として取り出したものであり、各点の近傍系はその代表的な例である。本記事では、フィルターとネットを導入し、収束による位相的な性質の特徴づけについて解説する。

1 フィルターとフィルター基

定義 1.1 (フィルター).XXを集合とする。P(X)\mathcal P(X)の部分集合F\mathfrak FがXX上の フィルター (filter) であるとは、次の四条件がすべて成り立つことをいう。

  1. X∈FX\in\mathfrak Fである。
  2. ∅∉F\emptyset\notin\mathfrak Fである。
  3. F,G∈FF,G\in\mathfrak FならばF∩G∈FF\cap G\in\mathfrak Fである。
  4. F∈FF\in\mathfrak FかつF⊆G⊆XF\subseteq G\subseteq XならばG∈FG\in\mathfrak Fである。

XX上のフィルターF\mathfrak F、G\mathfrak GがF⊆G\mathfrak F\subseteq\mathfrak Gを満たすとき、G\mathfrak GはF\mathfrak Fより 細かい (finer filter) という。

定義 1.2 (フィルター基).XXを集合とする。P(X)\mathcal P(X)の部分集合B\mathfrak BがXX上の フィルター基 (filter base) であるとは、次の三条件がすべて成り立つことをいう。

  1. B≠∅\mathfrak B\neq\emptysetである。
  2. ∅∉B\emptyset\notin\mathfrak Bである。
  3. 任意のB1,B2∈BB_1,B_2\in\mathfrak Bに対して、B⊆B1∩B2B\subseteq B_1\cap B_2を満たすB∈BB\in\mathfrak Bが存在する。

フィルター基B\mathfrak Bに対して、

⟨B⟩={ F⊆X∣B⊆F を満たす B∈B が存在する }\langle\mathfrak B\rangle=\{\,F\subseteq X\mid B\subseteq F\text{ を満たす }B\in\mathfrak B\text{ が存在する}\,\}

をB\mathfrak Bが 生成するフィルター (filter generated by a base) という。

命題 1.3.XXを集合、B\mathfrak BをXX上のフィルター基とする。

  1. ⟨B⟩\langle\mathfrak B\rangleはXX上のフィルターであり、B⊆⟨B⟩\mathfrak B\subseteq\langle\mathfrak B\rangleである。
  2. XX上の任意のフィルターG\mathfrak Gについて、B⊆G\mathfrak B\subseteq\mathfrak Gであることと⟨B⟩⊆G\langle\mathfrak B\rangle\subseteq\mathfrak Gであることは同値である。

証明.主張 (1)を示す。B≠∅\mathfrak B\neq\emptysetであるからB∈BB\in\mathfrak BをとるとB⊆XB\subseteq Xであり、X∈⟨B⟩X\in\langle\mathfrak B\rangleである。∅∈⟨B⟩\emptyset\in\langle\mathfrak B\rangleならばB⊆∅B\subseteq\emptysetを満たすB∈BB\in\mathfrak Bが存在し、B=∅∈BB=\emptyset\in\mathfrak Bとなって定義 1.2に反する。F1,F2∈⟨B⟩F_1,F_2\in\langle\mathfrak B\rangleに対してB1⊆F1B_1\subseteq F_1、B2⊆F2B_2\subseteq F_2を満たすB1,B2∈BB_1,B_2\in\mathfrak Bをとると、B⊆B1∩B2B\subseteq B_1\cap B_2を満たすB∈BB\in\mathfrak Bが存在し、B⊆F1∩F2B\subseteq F_1\cap F_2であるからF1∩F2∈⟨B⟩F_1\cap F_2\in\langle\mathfrak B\rangleである。F∈⟨B⟩F\in\langle\mathfrak B\rangleとF⊆G⊆XF\subseteq G\subseteq Xに対して、B⊆FB\subseteq Fを満たすB∈BB\in\mathfrak BがB⊆GB\subseteq Gを満たすからG∈⟨B⟩G\in\langle\mathfrak B\rangleである。B∈BB\in\mathfrak BはB⊆BB\subseteq BによりB∈⟨B⟩B\in\langle\mathfrak B\rangleを満たす。

主張 (2)を示す。B⊆G\mathfrak B\subseteq\mathfrak Gとし、F∈⟨B⟩F\in\langle\mathfrak B\rangleをとる。B⊆FB\subseteq Fを満たすB∈BB\in\mathfrak BはG\mathfrak Gの元であるから、定義 1.1 条件 (d)によりF∈GF\in\mathfrak Gである。逆に⟨B⟩⊆G\langle\mathfrak B\rangle\subseteq\mathfrak Gならば、主張 (1)のB⊆⟨B⟩\mathfrak B\subseteq\langle\mathfrak B\rangleによりB⊆G\mathfrak B\subseteq\mathfrak Gである。▨

定義 1.4 (主フィルター).XXを集合、AAをXXの空でない部分集合とする。A≠∅A\neq\emptysetでありA∩A=AA\cap A=Aであるから、{A}\{A\}はXX上のフィルター基であり、⟨{A}⟩={F⊆X∣A⊆F}\langle\{A\}\rangle=\{F\subseteq X\mid A\subseteq F\}である。⟨{A}⟩\langle\{A\}\rangleをAAが生成する 主フィルター (principal filter) という。

命題 1.5.(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間、x∈Xx\in Xとする。このときNO(x)\mathcal N_{\mathcal O}(x)はXX上のフィルターである。

証明.§E2.11 補題 6.6によりNO(x)\mathcal N_{\mathcal O}(x)は近傍系の公理を満たす。§E2.11 定義 6.5 条件 (a)によりX∈NO(x)X\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)である。§E2.11 定義 6.5 条件 (b)によりNO(x)\mathcal N_{\mathcal O}(x)の元はxxを含むから、∅∉NO(x)\emptyset\notin\mathcal N_{\mathcal O}(x)である。§E2.11 定義 6.5 条件 (d)と§E2.11 定義 6.5 条件 (c)により、定義 1.1 条件 (c)と定義 1.1 条件 (d)が成り立つ。▨

補題 1.6.XXを集合、F\mathfrak F、G\mathfrak GをXX上のフィルターとする。

  1. F\mathfrak FとG\mathfrak Gの両方より細かいXX上のフィルターが存在するための必要十分条件は、任意のF∈FF\in\mathfrak Fと任意のG∈GG\in\mathfrak GについてF∩G≠∅F\cap G\neq\emptysetであることである。
  2. 任意のF∈FF\in\mathfrak Fと任意のG∈GG\in\mathfrak GについてF∩G≠∅F\cap G\neq\emptysetであるとき、B={F∩G∣F∈F, G∈G}\mathfrak B=\{F\cap G\mid F\in\mathfrak F,\ G\in\mathfrak G\}はXX上のフィルター基であり、⟨B⟩\langle\mathfrak B\rangleはF\mathfrak FとG\mathfrak Gの両方より細かい。さらに、F\mathfrak FとG\mathfrak Gの両方より細かいXX上の任意のフィルターは、⟨B⟩\langle\mathfrak B\rangleより細かい。

証明.主張 (2)を示す。定義 1.1 条件 (a)によりX=X∩X∈BX=X\cap X\in\mathfrak BであるからB≠∅\mathfrak B\neq\emptysetであり、仮定により∅∉B\emptyset\notin\mathfrak Bである。F,F′∈FF,F'\in\mathfrak FとG,G′∈GG,G'\in\mathfrak Gについて、定義 1.1 条件 (c)によりF∩F′∈FF\cap F'\in\mathfrak FかつG∩G′∈GG\cap G'\in\mathfrak Gであり、(F∩G)∩(F′∩G′)=(F∩F′)∩(G∩G′)∈B(F\cap G)\cap(F'\cap G')=(F\cap F')\cap(G\cap G')\in\mathfrak Bであるから、B\mathfrak Bはフィルター基である。F∈FF\in\mathfrak FはF=F∩X∈BF=F\cap X\in\mathfrak Bを満たし、G∈GG\in\mathfrak GはG=X∩G∈BG=X\cap G\in\mathfrak Bを満たすから、命題 1.3 (1)によりF⊆⟨B⟩\mathfrak F\subseteq\langle\mathfrak B\rangleかつG⊆⟨B⟩\mathfrak G\subseteq\langle\mathfrak B\rangleである。H\mathfrak HをF\mathfrak FとG\mathfrak Gの両方より細かいXX上のフィルターとする。F∈FF\in\mathfrak FとG∈GG\in\mathfrak GについてF,G∈HF,G\in\mathfrak Hであるから、定義 1.1 条件 (c)によりF∩G∈HF\cap G\in\mathfrak Hである。したがってB⊆H\mathfrak B\subseteq\mathfrak Hであり、命題 1.3 (2)により⟨B⟩⊆H\langle\mathfrak B\rangle\subseteq\mathfrak Hである。

主張 (1)を示す。H\mathfrak HをF\mathfrak FとG\mathfrak Gの両方より細かいXX上のフィルターとし、F∈FF\in\mathfrak FとG∈GG\in\mathfrak Gをとる。F,G∈HF,G\in\mathfrak Hであるから、定義 1.1 条件 (c)と定義 1.1 条件 (b)によりF∩G∈HF\cap G\in\mathfrak Hは空でない。逆に、任意のF∈FF\in\mathfrak Fと任意のG∈GG\in\mathfrak GについてF∩G≠∅F\cap G\neq\emptysetならば、主張 (2)の⟨B⟩\langle\mathfrak B\rangleはF\mathfrak FとG\mathfrak Gの両方より細かいXX上のフィルターである。▨

2 超フィルター

定義 2.1 (超フィルター).XX上のフィルターU\mathfrak Uが 超フィルター (ultrafilter) であるとは、U\mathfrak Uより細かいXX上のフィルターがU\mathfrak U自身に限ることをいう。

補題 2.2.XXを集合、U\mathfrak UをXX上のフィルターとする。このとき、次の三条件は同値である。

  1. U\mathfrak Uは超フィルターである。
  2. 任意のA⊆XA\subseteq Xについて、A∈UA\in\mathfrak UまたはX∖A∈UX\setminus A\in\mathfrak Uである。
  3. A⊆XA\subseteq XがU\mathfrak Uの任意の元と交わるならば、A∈UA\in\mathfrak Uである。

証明.(1)⇒\Rightarrow(3)を示す。A⊆XA\subseteq XがU\mathfrak Uの任意の元と交わるとする。定義 1.1 条件 (a)によりX∈UX\in\mathfrak UであるからA=A∩X≠∅A=A\cap X\neq\emptysetであり、AAが生成する主フィルター⟨{A}⟩\langle\{A\}\rangleの各元はAAを含むから、U\mathfrak Uの任意の元と交わる。補題 1.6 (1)により、U\mathfrak Uと⟨{A}⟩\langle\{A\}\rangleの両方より細かいXX上のフィルターG\mathfrak Gが存在する。主張 (1)によりG=U\mathfrak G=\mathfrak Uであり、A∈⟨{A}⟩⊆G=UA\in\langle\{A\}\rangle\subseteq\mathfrak G=\mathfrak Uである。

(3)⇒\Rightarrow(2)を示す。A⊆XA\subseteq Xとし、X∖A∉UX\setminus A\notin\mathfrak Uとする。F∈UF\in\mathfrak UがAAと交わらないならばF⊆X∖AF\subseteq X\setminus Aであり、定義 1.1 条件 (d)によりX∖A∈UX\setminus A\in\mathfrak Uとなって仮定に反する。したがってAAはU\mathfrak Uの任意の元と交わり、主張 (3)によりA∈UA\in\mathfrak Uである。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。G\mathfrak GをU\mathfrak Uより細かいXX上のフィルターとし、A∈GA\in\mathfrak Gとする。A∉UA\notin\mathfrak Uならば主張 (2)によりX∖A∈U⊆GX\setminus A\in\mathfrak U\subseteq\mathfrak Gであり、定義 1.1 条件 (c)により∅=A∩(X∖A)∈G\emptyset=A\cap(X\setminus A)\in\mathfrak Gとなって定義 1.1 条件 (b)に反する。したがってA∈UA\in\mathfrak Uであり、G=U\mathfrak G=\mathfrak Uである。▨

命題 2.3.XXを集合、a∈Xa\in Xとする。このとき、{a}\{a\}が生成する主フィルターUa={F⊆X∣a∈F}\mathfrak U_a=\{F\subseteq X\mid a\in F\}はXX上の超フィルターである。

証明. 演習とする（問題 11.1）。▨

定理 2.4.XXを集合とする。このとき、XX上の任意のフィルターF\mathfrak Fに対して、F⊆U\mathfrak F\subseteq\mathfrak Uを満たすXX上の超フィルターU\mathfrak Uが存在する。

証明.PPを、F\mathfrak Fより細かいXX上のフィルター全体の集合とし、包含で順序づける。F∈P\mathfrak F\in PであるからPPは空でない。C⊆PC\subseteq Pを鎖とする。C=∅C=\emptysetならばF\mathfrak FがCCの上界である。C≠∅C\neq\emptysetならばG=⋃C\mathfrak G=\bigcup Cとおく。X∈GX\in\mathfrak Gであり、∅∉G\emptyset\notin\mathfrak Gである。F,G∈GF,G\in\mathfrak Gに対してF∈G1F\in\mathfrak G_1、G∈G2G\in\mathfrak G_2を満たすG1,G2∈C\mathfrak G_1,\mathfrak G_2\in Cをとる。CCは鎖であるから、一般性を失わずG1⊆G2\mathfrak G_1\subseteq\mathfrak G_2とすると、F,G∈G2F,G\in\mathfrak G_2でありF∩G∈G2⊆GF\cap G\in\mathfrak G_2\subseteq\mathfrak Gである。F∈GF\in\mathfrak GとF⊆G⊆XF\subseteq G\subseteq XからG∈GG\in\mathfrak Gである。したがってG\mathfrak GはF\mathfrak Fより細かいフィルターであり、CCの上界である。§E1.20 定理 2.1 (3)によりPPは極大元U\mathfrak Uをもつ。G\mathfrak GをU\mathfrak Uより細かいフィルターとすると、F⊆U⊆G\mathfrak F\subseteq\mathfrak U\subseteq\mathfrak GからG∈P\mathfrak G\in Pであり、U\mathfrak Uの極大性によりG=U\mathfrak G=\mathfrak Uである。ゆえにU\mathfrak Uは超フィルターである。▨

命題 2.5.XXを無限集合とする。このとき、XXの一点集合が生成するどの主フィルターとも異なるXX上の超フィルターが存在する。

証明. 演習とする（問題 11.2）。▨

注意 2.6.命題 2.5は、ZF だけでは証明することができない。そのため、命題 2.5の証明では、Zorn の補題によって証明した定理 2.4を用いる。

3 像フィルターと部分集合への制限

定義 3.1 (像フィルター).XX、YYを集合、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像、F\mathfrak FをXX上のフィルターとする。

f(F)={ A⊆Y∣f−1(A)∈F }f(\mathfrak F)=\{\,A\subseteq Y\mid f^{-1}(A)\in\mathfrak F\,\}

をF\mathfrak Fのffによる 像フィルター (image filter) という。

命題 3.2.XX、YYを集合、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像、F\mathfrak F、G\mathfrak GをXX上のフィルターとする。

  1. f(F)f(\mathfrak F)はYY上のフィルターである。また、{f(F)∣F∈F}\{f(F)\mid F\in\mathfrak F\}はYY上のフィルター基であり、f(F)=⟨{f(F)∣F∈F}⟩f(\mathfrak F)=\langle\{f(F)\mid F\in\mathfrak F\}\rangleである。
  2. F⊆G\mathfrak F\subseteq\mathfrak Gならばf(F)⊆f(G)f(\mathfrak F)\subseteq f(\mathfrak G)である。
  3. F\mathfrak Fが超フィルターならばf(F)f(\mathfrak F)はYY上の超フィルターである。
  4. ZZを集合、g ⁣:Y→Zg\colon Y\to Zを写像とすると、(g∘f)(F)=g(f(F))(g\circ f)(\mathfrak F)=g(f(\mathfrak F))である。また、XXの恒等写像idX\mathrm{id}_XについてidX(F)=F\mathrm{id}_X(\mathfrak F)=\mathfrak Fである。

証明.主張 (1)を示す。f−1(Y)=X∈Ff^{-1}(Y)=X\in\mathfrak Fであり、f−1(∅)=∅∉Ff^{-1}(\emptyset)=\emptyset\notin\mathfrak Fである。A,B∈f(F)A,B\in f(\mathfrak F)に対してf−1(A∩B)=f−1(A)∩f−1(B)∈Ff^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)\in\mathfrak Fである。A∈f(F)A\in f(\mathfrak F)とA⊆B⊆YA\subseteq B\subseteq Yに対してf−1(A)⊆f−1(B)f^{-1}(A)\subseteq f^{-1}(B)であるからB∈f(F)B\in f(\mathfrak F)である。A∈f(F)A\in f(\mathfrak F)ならばF=f−1(A)∈FF=f^{-1}(A)\in\mathfrak Fがf(F)⊆Af(F)\subseteq Aを満たす。逆にF∈FF\in\mathfrak Fがf(F)⊆Af(F)\subseteq Aを満たすならばF⊆f−1(f(F))⊆f−1(A)F\subseteq f^{-1}(f(F))\subseteq f^{-1}(A)であるからA∈f(F)A\in f(\mathfrak F)である。ゆえにf(F)f(\mathfrak F)は、f(F)⊆Af(F)\subseteq Aを満たすF∈FF\in\mathfrak Fが存在するA⊆YA\subseteq Yの全体である。定義 1.1 条件 (a)によりX∈FX\in\mathfrak Fであるから、{f(F)∣F∈F}\{f(F)\mid F\in\mathfrak F\}は空でない。F∈FF\in\mathfrak Fについて、定義 1.1 条件 (b)によりF≠∅F\neq\emptysetであるから、f(F)≠∅f(F)\neq\emptysetである。F,G∈FF,G\in\mathfrak Fについて、F∩G∈FF\cap G\in\mathfrak Fかつf(F∩G)⊆f(F)∩f(G)f(F\cap G)\subseteq f(F)\cap f(G)であるから、定義 1.2 条件 (c)が成り立つ。したがって{f(F)∣F∈F}\{f(F)\mid F\in\mathfrak F\}はYY上のフィルター基であり、定義 1.2により、これが生成するフィルターはf(F)f(\mathfrak F)に等しい。

主張 (2)を示す。A∈f(F)A\in f(\mathfrak F)ならばf−1(A)∈F⊆Gf^{-1}(A)\in\mathfrak F\subseteq\mathfrak GであるからA∈f(G)A\in f(\mathfrak G)である。

主張 (3)を示す。F\mathfrak Fを超フィルターとし、A⊆YA\subseteq Yをとる。補題 2.2 (2)によりf−1(A)∈Ff^{-1}(A)\in\mathfrak FまたはX∖f−1(A)=f−1(Y∖A)∈FX\setminus f^{-1}(A)=f^{-1}(Y\setminus A)\in\mathfrak Fであるから、A∈f(F)A\in f(\mathfrak F)またはY∖A∈f(F)Y\setminus A\in f(\mathfrak F)である。主張 (1)によりf(F)f(\mathfrak F)はフィルターであるから、補題 2.2 (2)によりf(F)f(\mathfrak F)は超フィルターである。

主張 (4)を示す。A⊆ZA\subseteq Zについて(g∘f)−1(A)=f−1(g−1(A))(g\circ f)^{-1}(A)=f^{-1}(g^{-1}(A))であるから、A∈(g∘f)(F)A\in(g\circ f)(\mathfrak F)であることはg−1(A)∈f(F)g^{-1}(A)\in f(\mathfrak F)であること、すなわちA∈g(f(F))A\in g(f(\mathfrak F))であることと同値である。A⊆XA\subseteq XについてidX−1(A)=A\mathrm{id}_X^{-1}(A)=Aであるから、idX(F)=F\mathrm{id}_X(\mathfrak F)=\mathfrak Fである。▨

補題 3.3.XXを集合、F\mathfrak FをXX上のフィルター、A⊆XA\subseteq Xとし、任意のF∈FF\in\mathfrak FについてF∩A≠∅F\cap A\neq\emptysetであるとする。ιA ⁣:A→X\iota_A\colon A\to Xを包含写像とし、FA={F∩A∣F∈F}\mathfrak F_A=\{F\cap A\mid F\in\mathfrak F\}とおく。

  1. FA\mathfrak F_AはAA上のフィルターである。
  2. ιA(FA)\iota_A(\mathfrak F_A)は、F\mathfrak Fより細かくAAを元にもつXX上のフィルターである。さらに、F\mathfrak Fより細かくAAを元にもつXX上の任意のフィルターは、ιA(FA)\iota_A(\mathfrak F_A)より細かい。
  3. A∈FA\in\mathfrak FならばιA(FA)=F\iota_A(\mathfrak F_A)=\mathfrak Fである。

証明.主張 (1)を示す。定義 1.1 条件 (a)によりA=X∩A∈FAA=X\cap A\in\mathfrak F_Aであり、仮定により∅∉FA\emptyset\notin\mathfrak F_Aである。F,G∈FF,G\in\mathfrak Fについて、定義 1.1 条件 (c)によりF∩G∈FF\cap G\in\mathfrak Fであり、(F∩A)∩(G∩A)=(F∩G)∩A∈FA(F\cap A)\cap(G\cap A)=(F\cap G)\cap A\in\mathfrak F_Aである。F∈FF\in\mathfrak Fと、F∩A⊆C⊆AF\cap A\subseteq C\subseteq Aを満たすCCについて、定義 1.1 条件 (d)によりF∪C∈FF\cup C\in\mathfrak Fであり、C=(F∪C)∩A∈FAC=(F\cup C)\cap A\in\mathfrak F_Aである。

主張 (2)を示す。B⊆XB\subseteq XについてιA−1(B)=B∩A\iota_A^{-1}(B)=B\cap Aであるから、ιA(FA)={B⊆X∣B∩A∈FA}\iota_A(\mathfrak F_A)=\{B\subseteq X\mid B\cap A\in\mathfrak F_A\}であり、主張 (1)と命題 3.2 (1)により、これはXX上のフィルターである。F∈FF\in\mathfrak FはF∩A∈FAF\cap A\in\mathfrak F_Aを満たし、A∩A=A∈FAA\cap A=A\in\mathfrak F_Aであるから、F⊆ιA(FA)\mathfrak F\subseteq\iota_A(\mathfrak F_A)かつA∈ιA(FA)A\in\iota_A(\mathfrak F_A)である。H\mathfrak HをF\mathfrak Fより細かくAAを元にもつXX上のフィルターとし、B∈ιA(FA)B\in\iota_A(\mathfrak F_A)をとる。B∩A=F∩AB\cap A=F\cap Aを満たすF∈FF\in\mathfrak Fが存在し、F,A∈HF,A\in\mathfrak Hであるから、定義 1.1 条件 (c)によりB∩A∈HB\cap A\in\mathfrak Hであり、定義 1.1 条件 (d)によりB∈HB\in\mathfrak Hである。

主張 (3)を示す。A∈FA\in\mathfrak Fならば、F\mathfrak FはF\mathfrak Fより細かくAAを元にもつXX上のフィルターであるから、主張 (2)によりιA(FA)⊆F⊆ιA(FA)\iota_A(\mathfrak F_A)\subseteq\mathfrak F\subseteq\iota_A(\mathfrak F_A)である。▨

4 フィルターの収束と集積点

定義 4.1 (フィルターの収束と集積点).(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間、F\mathfrak FをXX上のフィルター、x∈Xx\in Xとする。NO(x)⊆F\mathcal N_{\mathcal O}(x)\subseteq\mathfrak Fであるとき、F\mathfrak Fはxxに 収束 (convergence of a filter) するといい、F→x\mathfrak F\to xと書く。このときxxをF\mathfrak Fの 極限 (limit of a filter) という。任意のF∈FF\in\mathfrak Fについてx∈F‾x\in\overline Fであるとき、xxをF\mathfrak Fの集積点といい、この意味の集積点を フィルターの集積点 (cluster point of a filter) と呼ぶ。

補題 4.2.(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間、F\mathfrak FをXX上のフィルター、x∈Xx\in Xとする。このとき、次の三条件は同値である。

  1. xxはF\mathfrak Fの集積点である。
  2. 任意のV∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)と任意のF∈FF\in\mathfrak FについてV∩F≠∅V\cap F\neq\emptysetである。
  3. F\mathfrak Fより細かくxxに収束するXX上のフィルターG\mathfrak Gが存在する。

証明.(1)⇔\Leftrightarrow(2)を示す。§E2.11 命題 7.2 (2)により、F∈FF\in\mathfrak Fについてx∈F‾x\in\overline Fであることと、任意のV∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)についてV∩F≠∅V\cap F\neq\emptysetであることは同値である。

(2)⇔\Leftrightarrow(3)を示す。命題 1.5によりNO(x)\mathcal N_{\mathcal O}(x)はXX上のフィルターであり、XX上のフィルターがxxに収束することは、そのフィルターがNO(x)\mathcal N_{\mathcal O}(x)より細かいことである。したがって主張 (3)は、F\mathfrak FとNO(x)\mathcal N_{\mathcal O}(x)の両方より細かいXX上のフィルターが存在することと同値であり、補題 1.6 (1)により主張 (2)と同値である。▨

命題 4.3.(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間、x∈Xx\in Xとする。

  1. XX上のフィルターF\mathfrak Fがxxに収束するならば、xxはF\mathfrak Fの集積点である。
  2. U\mathfrak UがXX上の超フィルターならば、xxがU\mathfrak Uの集積点であることと、U→x\mathfrak U\to xであることは同値である。

証明.主張 (1)を示す。F→x\mathfrak F\to xならば、G=F\mathfrak G=\mathfrak Fが補題 4.2 (3)を満たすから、補題 4.2によりxxはF\mathfrak Fの集積点である。

主張 (2)を示す。U→x\mathfrak U\to xならば、主張 (1)によりxxはU\mathfrak Uの集積点である。逆にxxをU\mathfrak Uの集積点とする。補題 4.2により、U\mathfrak Uより細かくxxに収束するフィルターG\mathfrak Gが存在する。U\mathfrak Uは超フィルターであるからG=U\mathfrak G=\mathfrak Uであり、U→x\mathfrak U\to xである。▨

注意 4.4. 位相空間XXの部分集合AAの集積点は、xxの任意の近傍がA∖{x}A\setminus\{x\}と交わる点xxである（§E2.11 定義 7.1）。一方、XX上のフィルターF\mathfrak Fの集積点は、補題 4.2により、xxの任意の近傍がF\mathfrak Fの任意の元と交わる点xxであり、xx自身が交わりに属してよい。たとえば、a∈Xa\in Xについて、aaの任意の近傍と命題 2.3のUa\mathfrak U_aの任意の元はともにaaを含むから互いに交わり、aaはUa\mathfrak U_aの集積点である。しかし、{a}∖{a}=∅\{a\}\setminus\{a\}=\emptysetはどの近傍とも交わらないから、aaは集合{a}\{a\}の集積点ではない。

5 ネットと部分ネット

定義 5.1 (有向集合とネット). 集合Λ\LambdaとΛ\Lambda上の二項関係≤\leqが次の四条件を満たすとき、(Λ,≤)(\Lambda,\leq)を 有向集合 (directed set) という。

  1. Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetである。
  2. すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてλ≤λ\lambda\leq\lambdaである。
  3. λ≤μ\lambda\leq\muかつμ≤ν\mu\leq\nuならばλ≤ν\lambda\leq\nuである。
  4. 任意のλ,μ∈Λ\lambda,\mu\in\Lambdaに対して、λ≤ν\lambda\leq\nuかつμ≤ν\mu\leq\nuを満たすν∈Λ\nu\in\Lambdaが存在する。

有向集合(Λ,≤)(\Lambda,\leq)から集合XXへの写像λ↦xλ\lambda\mapsto x_\lambdaをXXの ネット (net) といい、(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}と書く。A⊆XA\subseteq Xについて、あるλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在してλ≥λ0\lambda\geq\lambda_0を満たすすべてのλ\lambdaについてxλ∈Ax_\lambda\in Aであるとき、(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}はAAに 最終的に属する (eventually in) という。任意のλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaに対してλ≥λ0\lambda\geq\lambda_0を満たすλ\lambdaでxλ∈Ax_\lambda\in Aとなるものが存在するとき、(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}はAAに しばしば属する (frequently in) という。

定義 5.2 (ネットの収束と集積点).(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間、(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}をXXのネット、x∈Xx\in Xとする。任意のV∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)について(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}がVVに最終的に属するとき、(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}はxxに 収束 (convergence of a net) するといい、xλ→xx_\lambda\to xと書く。任意のV∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)について(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}がVVにしばしば属するとき、xxを(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}の集積点といい、この意味の集積点を ネットの集積点 (cluster point of a net) と呼ぶ。

定義 5.3 (部分ネット).(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を集合XXのネット、(M,≤)(M,\leq)を有向集合、φ ⁣:M→Λ\varphi\colon M\to\Lambdaを写像とする。任意のλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaに対して、μ≥μ0\mu\geq\mu_0ならばφ(μ)≥λ0\varphi(\mu)\geq\lambda_0を満たすμ0∈M\mu_0\in Mが存在するとき、ネット(xφ(μ))μ∈M(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}を(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}の 部分ネット (subnet) という。

命題 5.4.(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間、(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}をXXの点列とする。

  1. 正の整数全体N≥1\NNは通常の順序≤\leqにより有向集合であり、(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}はN≥1\NNを添字集合とするXXのネットである。x∈Xx\in Xについて、(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}がネットとしてxxに収束することは、(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}がxxに位相収束することと同値である。
  2. 狭義単調増加な写像k↦nkk\mapsto n_k(N≥1→N≥1)(\NN\to\NN)について、部分列(xnk)k∈N≥1(x_{n_k})_{k\in\NN}は(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}の部分ネットである。

証明.主張 (1)を示す。1∈N≥11\in\NNであり、≤\leqは反射律と推移律を満たし、m,n∈N≥1m,n\in\NNに対してmax⁡{m,n}\max\{m,n\}はmmとnnの上界であるから、(N≥1,≤)(\NN,\leq)は有向集合である。Λ=N≥1\Lambda=\NNのとき、定義 5.2の収束の条件は、任意のV∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)に対して、n≥Nn\geq Nを満たすすべてのn∈N≥1n\in\NNについてxn∈Vx_n\in VとなるN∈N≥1N\in\NNが存在することであり、§E2.13 定義 7.1の位相収束の条件に一致する。

主張 (2)を示す。§E2.3 補題 2.2により、すべてのk∈N≥1k\in\NNについてnk≥kn_k\geq kである。m∈N≥1m\in\NNに対して、k≥mk\geq mならばnk≥k≥mn_k\geq k\geq mであるから、定義 5.3の条件がμ0=m\mu_0=mで成り立つ。▨

定義 5.5 (ネットのフィルターとフィルターのネット).s=(xλ)λ∈Λs=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を集合XXのネットとする。ssが最終的に属するXXの部分集合の全体をF(s)\mathfrak F(s)と書き、ssのフィルターという。この意味のフィルターを ネットのフィルター (filter of a net) と呼ぶ（フィルターであることは命題 5.6 (1)で示す）。

F\mathfrak Fを集合XX上のフィルターとする。

ΛF={ (a,F)∣F∈F, a∈F }\Lambda_{\mathfrak F}=\{\,(a,F)\mid F\in\mathfrak F,\ a\in F\,\}

に、(a,F)≤(b,G)(a,F)\leq(b,G)をG⊆FG\subseteq Fで定める。写像(a,F)↦a(a,F)\mapsto aが定めるXXのネットをsFs_{\mathfrak F}と書き、F\mathfrak Fのネットという。この意味のネットを フィルターのネット (net of a filter) と呼ぶ（ΛF\Lambda_{\mathfrak F}が有向集合であることは命題 5.6 (2)で示す）。

命題 5.6.XXを集合とする。

  1. XXの任意のネットssに対して、F(s)\mathfrak F(s)はXX上のフィルターである。
  2. F\mathfrak FをXX上のフィルターとすると、(ΛF,≤)(\Lambda_{\mathfrak F},\leq)は有向集合であり、F(sF)=F\mathfrak F(s_{\mathfrak F})=\mathfrak Fである。
  3. XXが位相空間であるとき、XXのネットs=(xλ)λ∈Λs=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}とx∈Xx\in Xについて、xλ→xx_\lambda\to xであることとF(s)→x\mathfrak F(s)\to xであることは同値であり、xxがssの集積点であることとxxがF(s)\mathfrak F(s)の集積点であることは同値である。
  4. XXが位相空間であるとき、XX上のフィルターF\mathfrak Fとx∈Xx\in Xについて、F→x\mathfrak F\to xであることとsFs_{\mathfrak F}がxxに収束することは同値であり、xxがF\mathfrak Fの集積点であることとxxがsFs_{\mathfrak F}の集積点であることは同値である。
  5. YYを集合、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像、s=(xλ)λ∈Λs=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}をXXのネットとすると、F((f(xλ))λ∈Λ)=f(F(s))\mathfrak F\bigl((f(x_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}\bigr)=f(\mathfrak F(s))である。

証明.主張 (1)を示す。s=(xλ)λ∈Λs=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}とおく。ssの項はすべてXXに属するからX∈F(s)X\in\mathfrak F(s)である。∅∈F(s)\emptyset\in\mathfrak F(s)と仮定すると、λ≥λ0\lambda\geq\lambda_0を満たすすべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてxλ∈∅x_\lambda\in\emptysetとなるλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在する。λ0≥λ0\lambda_0\geq\lambda_0であるからxλ0∈∅x_{\lambda_0}\in\emptysetとなり、∅\emptysetが元をもたないことに反する。したがって∅∉F(s)\emptyset\notin\mathfrak F(s)である。A,B∈F(s)A,B\in\mathfrak F(s)に対して、λ≥λA\lambda\geq\lambda_Aならばxλ∈Ax_\lambda\in AとなるλA∈Λ\lambda_A\in\Lambdaと、λ≥λB\lambda\geq\lambda_Bならばxλ∈Bx_\lambda\in BとなるλB∈Λ\lambda_B\in\Lambdaをとり、λA≤ν\lambda_A\leq\nuかつλB≤ν\lambda_B\leq\nuを満たすν\nuをとると、λ≥ν\lambda\geq\nuのときλ≥λA\lambda\geq\lambda_Aかつλ≥λB\lambda\geq\lambda_Bであるからxλ∈A∩Bx_\lambda\in A\cap Bである。A∈F(s)A\in\mathfrak F(s)とA⊆B⊆XA\subseteq B\subseteq Xに対して、λ≥λ0\lambda\geq\lambda_0ならばxλ∈Ax_\lambda\in Aとなるλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaは、λ≥λ0\lambda\geq\lambda_0ならばxλ∈Bx_\lambda\in Bを満たすから、B∈F(s)B\in\mathfrak F(s)である。

主張 (2)を示す。X∈FX\in\mathfrak Fは空でなく、ΛF≠∅\Lambda_{\mathfrak F}\neq\emptysetである。反射律と推移律は⊆\subseteqの性質から従う。(a,F),(b,G)∈ΛF(a,F),(b,G)\in\Lambda_{\mathfrak F}に対してF∩G∈FF\cap G\in\mathfrak Fは空でないからc∈F∩Gc\in F\cap Gをとると、(c,F∩G)∈ΛF(c,F\cap G)\in\Lambda_{\mathfrak F}は(a,F)(a,F)と(b,G)(b,G)の上界である。したがってΛF\Lambda_{\mathfrak F}は有向集合である。A∈FA\in\mathfrak Fとしa0∈Aa_0\in Aをとると、(a,F)≥(a0,A)(a,F)\geq(a_0,A)ならばa∈F⊆Aa\in F\subseteq AであるからA∈F(sF)A\in\mathfrak F(s_{\mathfrak F})である。逆にA∈F(sF)A\in\mathfrak F(s_{\mathfrak F})とし、(a,F)≥(a0,F0)(a,F)\geq(a_0,F_0)ならばa∈Aa\in Aとなる(a0,F0)∈ΛF(a_0,F_0)\in\Lambda_{\mathfrak F}をとる。任意のa∈F0a\in F_0について(a,F0)≥(a0,F0)(a,F_0)\geq(a_0,F_0)であるからa∈Aa\in Aであり、F0⊆AF_0\subseteq Aである。定義 1.1 条件 (d)によりA∈FA\in\mathfrak Fである。

主張 (3)を示す。xλ→xx_\lambda\to xとは、任意のV∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)についてV∈F(s)V\in\mathfrak F(s)ということであり、これはNO(x)⊆F(s)\mathcal N_{\mathcal O}(x)\subseteq\mathfrak F(s)に当たる。集積点については、xxをssの集積点とし、V∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)とF∈F(s)F\in\mathfrak F(s)をとる。λ≥λ0\lambda\geq\lambda_0のときxλ∈Fx_\lambda\in Fとなるλ0\lambda_0をとると、ssはVVにしばしば属するからλ≥λ0\lambda\geq\lambda_0でxλ∈Vx_\lambda\in Vとなるλ\lambdaが存在し、xλ∈V∩Fx_\lambda\in V\cap Fである。ゆえに補題 4.2 (2)が成り立ち、xxはF(s)\mathfrak F(s)の集積点である。逆にxxをF(s)\mathfrak F(s)の集積点とし、V∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)とλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaをとる。F={xλ∣λ≥λ0}F=\{x_\lambda\mid\lambda\geq\lambda_0\}はF(s)\mathfrak F(s)の元であるから、補題 4.2 (2)によりV∩F≠∅V\cap F\neq\emptysetであり、λ≥λ0\lambda\geq\lambda_0でxλ∈Vx_\lambda\in Vとなるλ\lambdaが存在する。

主張 (4)を示す。主張 (2)によりF(sF)=F\mathfrak F(s_{\mathfrak F})=\mathfrak Fであるから、主張 (3)をs=sFs=s_{\mathfrak F}に適用すればよい。

主張 (5)を示す。A⊆YA\subseteq Yについて、(f(xλ))λ∈Λ(f(x_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}がAAに最終的に属することと、(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}がf−1(A)f^{-1}(A)に最終的に属することは同値であり、これはf−1(A)∈F(s)f^{-1}(A)\in\mathfrak F(s)、すなわちA∈f(F(s))A\in f(\mathfrak F(s))ということである。▨

補題 5.7.s=(xλ)λ∈Λs=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を集合XXのネットとする。

  1. ttがssの部分ネットならば、F(s)⊆F(t)\mathfrak F(s)\subseteq\mathfrak F(t)である。
  2. G\mathfrak GがF(s)\mathfrak F(s)より細かいXX上のフィルターならば、有向集合(M,≤)(M,\leq)と写像φ ⁣:M→Λ\varphi\colon M\to\Lambdaで、μ≤μ′\mu\leq\mu'ならばφ(μ)≤φ(μ′)\varphi(\mu)\leq\varphi(\mu')を満たし、ネットt=(xφ(μ))μ∈Mt=(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}がssの部分ネットであってG⊆F(t)\mathfrak G\subseteq\mathfrak F(t)を満たすものが存在する。

証明.主張 (1)を示す。t=(xφ(μ))μ∈Mt=(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}とし、A∈F(s)A\in\mathfrak F(s)に対して、λ≥λ0\lambda\geq\lambda_0ならばxλ∈Ax_\lambda\in Aとなるλ0\lambda_0をとる。定義 5.3により、μ≥μ0\mu\geq\mu_0ならばφ(μ)≥λ0\varphi(\mu)\geq\lambda_0となるμ0\mu_0が存在し、このときxφ(μ)∈Ax_{\varphi(\mu)}\in Aである。

主張 (2)を示す。

主張 5.7.1.ssはG\mathfrak Gの任意の元にしばしば属する。

証明.G∈GG\in\mathfrak Gとし、ssがGGにしばしば属さないと仮定すると、λ≥λ0\lambda\geq\lambda_0を満たすすべてのλ\lambdaについてxλ∉Gx_\lambda\notin Gとなるλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在するから、X∖G∈F(s)⊆GX\setminus G\in\mathfrak F(s)\subseteq\mathfrak Gである。定義 1.1 条件 (c)により∅=G∩(X∖G)∈G\emptyset=G\cap(X\setminus G)\in\mathfrak Gとなり、定義 1.1 条件 (b)に反する。▨

M={(λ,G)∣G∈G, λ∈Λ, xλ∈G}M=\{(\lambda,G)\mid G\in\mathfrak G,\ \lambda\in\Lambda,\ x_\lambda\in G\}に、(λ,G)≤(λ′,G′)(\lambda,G)\leq(\lambda',G')をλ≤λ′\lambda\leq\lambda'かつG′⊆GG'\subseteq Gで定める。Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetからλ∈Λ\lambda\in\Lambdaをとると、X∈GX\in\mathfrak Gとxλ∈Xx_\lambda\in Xにより(λ,X)∈M(\lambda,X)\in Mであり、M≠∅M\neq\emptysetである。反射律と推移律は≤\leqと⊆\subseteqの性質から従う。(λ1,G1),(λ2,G2)∈M(\lambda_1,G_1),(\lambda_2,G_2)\in Mに対して、λ1≤ν\lambda_1\leq\nuかつλ2≤ν\lambda_2\leq\nuを満たすν∈Λ\nu\in\Lambdaをとる。G1∩G2∈GG_1\cap G_2\in\mathfrak Gであるから、主張 5.7.1によりssはG1∩G2G_1\cap G_2にしばしば属し、λ≥ν\lambda\geq\nuかつxλ∈G1∩G2x_\lambda\in G_1\cap G_2を満たすλ∈Λ\lambda\in\Lambdaが存在する。このλ\lambdaについて(λ,G1∩G2)∈M(\lambda,G_1\cap G_2)\in Mは(λ1,G1)(\lambda_1,G_1)と(λ2,G2)(\lambda_2,G_2)の上界である。したがってMMは有向集合である。

φ ⁣:M→Λ\varphi\colon M\to\Lambdaをφ(λ,G)=λ\varphi(\lambda,G)=\lambdaで定める。(λ,G)≤(λ′,G′)(\lambda,G)\leq(\lambda',G')ならばφ(λ,G)=λ≤λ′=φ(λ′,G′)\varphi(\lambda,G)=\lambda\leq\lambda'=\varphi(\lambda',G')である。λ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaに対してμ0=(λ0,X)∈M\mu_0=(\lambda_0,X)\in Mをとると、(λ,G)≥μ0(\lambda,G)\geq\mu_0ならばλ≥λ0\lambda\geq\lambda_0であるから、t=(xφ(μ))μ∈Mt=(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}はssの部分ネットである。G∈GG\in\mathfrak Gに対して、主張 5.7.1によりssはGGにしばしば属するから、xλ0∈Gx_{\lambda_0}\in Gを満たすλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在し、μ0=(λ0,G)∈M\mu_0=(\lambda_0,G)\in Mである。μ=(λ,G′)≥μ0\mu=(\lambda,G')\geq\mu_0ならばxλ∈G′⊆Gx_\lambda\in G'\subseteq Gであるから、ttはGGに最終的に属し、G∈F(t)G\in\mathfrak F(t)である。▨

定理 5.8.(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間、ssをXXのネット、x∈Xx\in Xとする。このとき、次の四条件は同値である。

  1. xxはssの集積点である。
  2. xxはF(s)\mathfrak F(s)の集積点である。
  3. F(s)\mathfrak F(s)より細かくxxに収束するXX上のフィルターが存在する。
  4. xxに収束するssの部分ネットが存在する。

証明.(1)⇔\Leftrightarrow(2)は命題 5.6 (3)による。(2)⇔\Leftrightarrow(3)は補題 4.2による。

(3)⇒\Rightarrow(4)を示す。F(s)\mathfrak F(s)より細かくxxに収束するXX上のフィルターG\mathfrak Gをとる。補題 5.7 (2)により、G⊆F(t)\mathfrak G\subseteq\mathfrak F(t)を満たすssの部分ネットttが存在する。NO(x)⊆G⊆F(t)\mathcal N_{\mathcal O}(x)\subseteq\mathfrak G\subseteq\mathfrak F(t)であるから、命題 5.6 (3)によりttはxxに収束する。

(4)⇒\Rightarrow(3)を示す。ttをxxに収束するssの部分ネットとする。補題 5.7 (1)によりF(t)\mathfrak F(t)はF(s)\mathfrak F(s)より細かく、命題 5.6 (3)によりF(t)→x\mathfrak F(t)\to xである。▨

注意 5.9. 集合XXのネット(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}の部分ネット(xφ(μ))μ∈M(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}を、有向集合(M,≤)(M,\leq)からの写像φ ⁣:M→Λ\varphi\colon M\to\Lambdaのうち、μ≤μ′\mu\leq\mu'ならばφ(μ)≤φ(μ′)\varphi(\mu)\leq\varphi(\mu')を満たし（単調）、任意のλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaに対してφ(μ)≥λ0\varphi(\mu)\geq\lambda_0を満たすμ∈M\mu\in Mが存在する（共終）ものに限って定める文献もある。単調かつ共終な写像φ\varphiについて、λ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaに対してφ(μ0)≥λ0\varphi(\mu_0)\geq\lambda_0を満たすμ0∈M\mu_0\in Mをとると、μ≥μ0\mu\geq\mu_0ならばφ(μ)≥φ(μ0)≥λ0\varphi(\mu)\geq\varphi(\mu_0)\geq\lambda_0であるから、その定義による部分ネットは定義 5.3の意味の部分ネットである。逆に、XXに位相O\mathcal Oを入れ、s=(xλ)λ∈Λs=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}をXXのネット、x∈Xx\in Xとし、定義 5.3の意味でxxに収束するssの部分ネットが存在するとする。定理 5.8 (4)⇒\Rightarrow(3)により、F(s)\mathfrak F(s)より細かくxxに収束するXX上のフィルターG\mathfrak Gが存在する。補題 5.7 (2)により、有向集合(M,≤)(M,\leq)と単調な写像φ ⁣:M→Λ\varphi\colon M\to\Lambdaで、t=(xφ(μ))μ∈Mt=(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}がssの部分ネットであってG⊆F(t)\mathfrak G\subseteq\mathfrak F(t)を満たすものが存在する。定義 5.3により、各λ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaに対して、μ≥μ0\mu\geq\mu_0ならばφ(μ)≥λ0\varphi(\mu)\geq\lambda_0となるμ0∈M\mu_0\in Mが存在し、μ0≥μ0\mu_0\geq\mu_0からφ(μ0)≥λ0\varphi(\mu_0)\geq\lambda_0であるから、φ\varphiは共終でもある。さらにNO(x)⊆G⊆F(t)\mathcal N_{\mathcal O}(x)\subseteq\mathfrak G\subseteq\mathfrak F(t)であるから、命題 5.6 (3)によりttはxxに収束する。以上より、xxに収束するssの部分ネットが存在するかどうかは、部分ネットを単調かつ共終な写像に限って定めても変わらない。したがって、定理 5.8と定理 7.1は、定理 5.8 (4)と定理 7.1 (5)の部分ネットを、単調かつ共終な写像による部分ネットと読んでも成り立つ。

6 閉包・連続性・Hausdorff 性の特徴づけ

定理 6.1.(X,O)(X,\mathcal O)を位相空間、A⊆XA\subseteq X、x∈Xx\in Xとする。このとき、次の四条件は同値である。

  1. x∈A‾x\in\overline Aである。
  2. A∈FA\in\mathfrak Fを満たしxxに収束するXX上のフィルターF\mathfrak Fが存在する。
  3. A∈UA\in\mathfrak Uを満たしxxに収束するXX上の超フィルターU\mathfrak Uが存在する。
  4. すべての項がAAに属し、xxに収束するXXのネットが存在する。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。x∈A‾x\in\overline Aとする。§E2.11 命題 7.2 (2)により、任意のV∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)についてV∩A≠∅V\cap A\neq\emptysetであり、V=XV=XとするとA≠∅A\neq\emptysetである。AAが生成する主フィルター⟨{A}⟩\langle\{A\}\rangleの各元はAAを含むから、⟨{A}⟩\langle\{A\}\rangleと点xxについて補題 4.2 (2)が成り立つ。補題 4.2 (2)⇒\Rightarrow(3)により、⟨{A}⟩\langle\{A\}\rangleより細かくxxに収束するXX上のフィルターF\mathfrak Fが存在し、A∈⟨{A}⟩⊆FA\in\langle\{A\}\rangle\subseteq\mathfrak Fである。

(2)⇒\Rightarrow(3)を示す。A∈FA\in\mathfrak Fを満たしxxに収束するXX上のフィルターF\mathfrak Fをとる。定理 2.4によりF⊆U\mathfrak F\subseteq\mathfrak Uを満たす超フィルターU\mathfrak Uが存在し、A∈F⊆UA\in\mathfrak F\subseteq\mathfrak UかつNO(x)⊆F⊆U\mathcal N_{\mathcal O}(x)\subseteq\mathfrak F\subseteq\mathfrak Uである。

(3)⇒\Rightarrow(1)を示す。A∈UA\in\mathfrak Uを満たしxxに収束するXX上の超フィルターU\mathfrak Uをとり、V∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)とする。V∈UV\in\mathfrak UかつA∈UA\in\mathfrak Uであるから、定義 1.1 条件 (c)と定義 1.1 条件 (b)によりV∩A≠∅V\cap A\neq\emptysetである。§E2.11 命題 7.2 (2)によりx∈A‾x\in\overline Aである。

(2)⇒\Rightarrow(4)を示す。A∈FA\in\mathfrak Fを満たしxxに収束するXX上のフィルターF\mathfrak Fをとり、ιA ⁣:A→X\iota_A\colon A\to Xを包含写像とする。F∈FF\in\mathfrak Fについて、定義 1.1 条件 (c)と定義 1.1 条件 (b)によりF∩A≠∅F\cap A\neq\emptysetであるから、FA={F∩A∣F∈F}\mathfrak F_A=\{F\cap A\mid F\in\mathfrak F\}は補題 3.3 (1)によりAA上のフィルターである。命題 5.6 (2)により、FA\mathfrak F_AのネットsFAs_{\mathfrak F_A}はF(sFA)=FA\mathfrak F(s_{\mathfrak F_A})=\mathfrak F_Aを満たすAAのネットである。sFAs_{\mathfrak F_A}の各項をXXの点とみたネットをt=ιA∘sFAt=\iota_A\circ s_{\mathfrak F_A}とおくと、ttのすべての項はAAに属し、命題 5.6 (5)と補題 3.3 (3)によりF(t)=ιA(F(sFA))=ιA(FA)=F\mathfrak F(t)=\iota_A(\mathfrak F(s_{\mathfrak F_A}))=\iota_A(\mathfrak F_A)=\mathfrak Fである。F→x\mathfrak F\to xであるから、命題 5.6 (3)によりttはxxに収束する。

(4)⇒\Rightarrow(1)を示す。ネットの項がすべてAAに属し、xxに収束するとする。V∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)に対して、ネットはVVに最終的に属するから、V∩AV\cap Aに属する項が存在する。§E2.11 命題 7.2 (2)によりx∈A‾x\in\overline Aである。▨

定理 6.2.XX、YYを位相空間、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像、a∈Xa\in Xとする。このとき、次の三条件は同値である。

  1. ffはaaで連続である。
  2. aaに収束するXX上の任意のフィルターF\mathfrak Fについて、f(F)→f(a)f(\mathfrak F)\to f(a)である。
  3. aaに収束するXXの任意のネット(xλ)λ∈Λ(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}について、f(xλ)→f(a)f(x_\lambda)\to f(a)である。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。F\mathfrak Fをaaに収束するXX上のフィルターとし、W∈N(f(a))W\in\mathcal N(f(a))とする。§E2.12 定義 1.3によりf−1(W)∈N(a)⊆Ff^{-1}(W)\in\mathcal N(a)\subseteq\mathfrak Fであるから、W∈f(F)W\in f(\mathfrak F)である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。命題 1.5によりN(a)\mathcal N(a)はaaに収束するフィルターであるから、主張 (2)によりf(N(a))→f(a)f(\mathcal N(a))\to f(a)である。W∈N(f(a))W\in\mathcal N(f(a))ならばW∈f(N(a))W\in f(\mathcal N(a))、すなわちf−1(W)∈N(a)f^{-1}(W)\in\mathcal N(a)であり、ffはaaで連続である。

(2)⇒\Rightarrow(3)を示す。s=(xλ)λ∈Λs=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}をaaに収束するXXのネットとする。命題 5.6 (3)によりF(s)→a\mathfrak F(s)\to aであり、主張 (2)によりf(F(s))→f(a)f(\mathfrak F(s))\to f(a)である。命題 5.6 (5)によりf(F(s))=F((f(xλ))λ∈Λ)f(\mathfrak F(s))=\mathfrak F\bigl((f(x_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}\bigr)であるから、命題 5.6 (3)によりf(xλ)→f(a)f(x_\lambda)\to f(a)である。

(3)⇒\Rightarrow(2)を示す。F\mathfrak Fをaaに収束するXX上のフィルターとする。命題 5.6 (4)によりsFs_{\mathfrak F}はaaに収束し、主張 (3)によりf∘sF→f(a)f\circ s_{\mathfrak F}\to f(a)である。命題 5.6 (5)と命題 5.6 (2)によりF(f∘sF)=f(F(sF))=f(F)\mathfrak F(f\circ s_{\mathfrak F})=f(\mathfrak F(s_{\mathfrak F}))=f(\mathfrak F)であるから、命題 5.6 (3)によりf(F)→f(a)f(\mathfrak F)\to f(a)である。▨

系 6.3.XX、YYを位相空間、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像とする。このとき、ffが連続であることは、すべてのa∈Xa\in Xについて定理 6.2 (2)が成り立つための必要十分条件であり、すべてのa∈Xa\in Xについて定理 6.2 (3)が成り立つための必要十分条件でもある。

証明.§E2.12 命題 1.4により、ffが連続であることは、すべてのa∈Xa\in Xでffが連続であることと同値である。定理 6.2を各aaに適用すればよい。▨

定理 6.4.XXを位相空間とする。このとき、次の四条件は同値である。

  1. XXは Hausdorff 空間である。
  2. XX上の任意のフィルターの極限は高々一つである。
  3. XX上の任意の超フィルターの極限は高々一つである。
  4. XXの任意のネットの極限は高々一つである。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。XX上のフィルターF\mathfrak Fがxxとyyに収束し、x≠yx\neq yであると仮定する。§E2.15 定義 1.2により、x∈Ux\in U、y∈Vy\in V、U∩V=∅U\cap V=\emptysetを満たす開集合U,VU,Vが存在する。U∈N(x)⊆FU\in\mathcal N(x)\subseteq\mathfrak FかつV∈N(y)⊆FV\in\mathcal N(y)\subseteq\mathfrak Fであるから∅=U∩V∈F\emptyset=U\cap V\in\mathfrak Fとなり、定義 1.1 条件 (b)に反する。

(2)⇒\Rightarrow(3)は超フィルターがフィルターであることから明らかである。

(3)⇒\Rightarrow(1)を示す。XXが Hausdorff 空間でないと仮定する。§E2.15 定義 1.2により、x≠yx\neq yを満たすx,y∈Xx,y\in Xで、xxの任意の開近傍とyyの任意の開近傍が交わるものが存在する。V∈N(x)V\in\mathcal N(x)とW∈N(y)W\in\mathcal N(y)はそれぞれxxの開近傍とyyの開近傍を含むから、V∩W≠∅V\cap W\neq\emptysetである。命題 1.5によりN(x)\mathcal N(x)とN(y)\mathcal N(y)はXX上のフィルターであるから、補題 1.6 (1)により、N(x)\mathcal N(x)とN(y)\mathcal N(y)の両方より細かいXX上のフィルターG\mathfrak Gが存在する。定理 2.4によりG⊆U\mathfrak G\subseteq\mathfrak Uを満たす超フィルターU\mathfrak Uが存在し、N(x)⊆U\mathcal N(x)\subseteq\mathfrak UかつN(y)⊆U\mathcal N(y)\subseteq\mathfrak Uであるから、U\mathfrak Uはxxとyyの両方に収束する。これは主張 (3)に反する。

(2)⇒\Rightarrow(4)を示す。主張 (2)を仮定し、XXのネットssがxxとyyに収束するとする。命題 5.6 (3)によりF(s)\mathfrak F(s)はxxとyyに収束するから、主張 (2)によりx=yx=yである。

(4)⇒\Rightarrow(2)を示す。主張 (4)を仮定し、XX上のフィルターF\mathfrak Fがxxとyyに収束するとする。命題 5.6 (4)によりsFs_{\mathfrak F}はxxとyyに収束するから、主張 (4)によりx=yx=yである。▨

7 コンパクト性の特徴づけ

定理 7.1.XXを位相空間とする。このとき、次の五条件は同値である。

  1. XXはコンパクトである。
  2. XX上のすべてのフィルターは集積点をもつ。
  3. XX上のすべての超フィルターは収束する。
  4. XXのすべてのネットは集積点をもつ。
  5. XXのすべてのネットは収束する部分ネットをもつ。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。F\mathfrak FをXX上のフィルターとする。F≠∅\mathfrak F\neq\emptysetであり、閉集合族(F‾)F∈F(\overline F)_{F\in\mathfrak F}は、有限個のF1,…,Fn∈FF_1,\ldots,F_n\in\mathfrak FについてF1‾∩⋯∩Fn‾⊇F1∩⋯∩Fn≠∅\overline{F_1}\cap\cdots\cap\overline{F_n}\supseteq F_1\cap\cdots\cap F_n\neq\emptysetであるから有限交差性をもつ。§E2.11 命題 2.5 (1)により各F‾\overline Fは閉集合であるから、§E2.19 定理 3.2によりx∈⋂F∈FF‾x\in\bigcap_{F\in\mathfrak F}\overline Fが存在する。このxxはF\mathfrak Fの集積点である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetと有限交差性をもつ閉集合族(Fλ)λ∈Λ(F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}をとる。B\mathfrak Bを、有限個のFλ1,…,FλnF_{\lambda_1},\ldots,F_{\lambda_n}(n≥1)(n\geq1)の共通部分全体とする。Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetからB≠∅\mathfrak B\neq\emptysetであり、有限交差性から∅∉B\emptyset\notin\mathfrak Bであり、二元の共通部分はB\mathfrak Bの元である。したがってB\mathfrak Bはフィルター基であり、命題 1.3によりF=⟨B⟩\mathfrak F=\langle\mathfrak B\rangleは各FλF_\lambdaを含む。主張 (2)によりF\mathfrak Fの集積点xxが存在し、各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてx∈Fλ‾x\in\overline{F_\lambda}である。FλF_\lambdaは閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (2)によりFλ‾=Fλ\overline{F_\lambda}=F_\lambdaであり、すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてx∈Fλx\in F_\lambdaである。したがって⋂λ∈ΛFλ≠∅\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\neq\emptysetであり、§E2.19 定理 3.2によりXXはコンパクトである。

(2)⇔\Leftrightarrow(3)を示す。主張 (2)を仮定し、U\mathfrak Uを超フィルターとする。U\mathfrak Uは集積点をもち、命題 4.3 (2)によりU\mathfrak Uは収束する。逆に主張 (3)を仮定し、F\mathfrak FをXX上のフィルターとする。定理 2.4によりF⊆U\mathfrak F\subseteq\mathfrak Uを満たす超フィルターU\mathfrak Uが存在し、U\mathfrak Uは収束する。命題 4.3 (1)によりU\mathfrak Uの極限はU\mathfrak Uの集積点であり、F⊆U\mathfrak F\subseteq\mathfrak UからF\mathfrak Fの集積点でもある。

(2)⇔\Leftrightarrow(4)を示す。主張 (2)を仮定し、ssをネットとする。F(s)\mathfrak F(s)は命題 5.6 (1)によりフィルターであり集積点をもつから、命題 5.6 (3)によりssは集積点をもつ。逆に主張 (4)を仮定し、F\mathfrak Fをフィルターとする。sFs_{\mathfrak F}は集積点をもち、命題 5.6 (4)によりF\mathfrak Fの集積点でもある。

(4)⇔\Leftrightarrow(5)は、すべてのネットに定理 5.8を適用することによる。▨

補題 7.2. Hausdorff 空間において、空でないコンパクト集合CCの任意の開近傍に最終的に入るネットは、CC内の点に収束する部分ネットをもつ。また、そのネットが収束するならば、極限はCCに属する。

証明.CCのどの点もネットの集積点でないと仮定する。各c∈Cc\in Cには、ネットのある尾部と交わらない開近傍OcO_cが存在する。CCはコンパクトであるから、CCを覆う有限個のOcO_cを選ぶことができる。有向性により、それらの開集合の和と交わらないネットの尾部が存在する。一方、その和はCCの開近傍なので、仮定によりネットは最終的にその和に入る。この二つは両立しない。したがってCC内に集積点が存在し、定理 5.8により、その点に収束する部分ネットが存在する。

ネットの極限zzがCCに属さないと仮定する。Hausdorff 性とCCのコンパクト性により、zzとCCは互いに交わらない開近傍をもつ。ネットは最終的に両方の開近傍に入ることになるから、矛盾する。ゆえにz∈Cz\in Cである。▨

8 始位相に関する収束と積空間の超フィルター

命題 8.1.XXを集合、{(Yλ,Oλ)}λ∈Λ\{(Y_\lambda,\mathcal O_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}を位相空間の族、fλ ⁣:X→Yλf_\lambda\colon X\to Y_\lambda(λ∈Λ)(\lambda\in\Lambda)を写像の族とし、XXに族(fλ)λ∈Λ(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}による始位相I\mathcal Iを入れる。このとき、XX上のフィルターF\mathfrak Fとx∈Xx\in Xについて、fλ(F)→fλ(x)f_\lambda(\mathfrak F)\to f_\lambda(x)がすべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて成り立つことは、F→x\mathfrak F\to xであるための必要十分条件である。

証明. 必要性を示す。F→x\mathfrak F\to xとする。§E2.12 命題 3.3 (1)により各fλf_\lambdaは連続であるから、系 6.3によりfλ(F)→fλ(x)f_\lambda(\mathfrak F)\to f_\lambda(x)である。

十分性を示す。すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてfλ(F)→fλ(x)f_\lambda(\mathfrak F)\to f_\lambda(x)であるとし、V∈NI(x)V\in\mathcal N_{\mathcal I}(x)をとる。x∈U⊆Vx\in U\subseteq Vを満たすU∈IU\in\mathcal Iが存在する。S={fλ−1(W)∣λ∈Λ, W∈Oλ}\mathcal S=\{f_\lambda^{-1}(W)\mid\lambda\in\Lambda,\ W\in\mathcal O_\lambda\}とおくと、§E2.13 補題 3.1 (1)によりS\mathcal SはI\mathcal Iの準開基であり、§E2.13 定理 2.2によりB(S)\mathcal B(\mathcal S)はI\mathcal Iの開基であるから、x∈B⊆Ux\in B\subseteq Uを満たすB∈B(S)B\in\mathcal B(\mathcal S)が存在する。B=XB=Xならば定義 1.1 条件 (a)によりB∈FB\in\mathfrak Fである。B≠XB\neq Xならば、n≥1n\geq1とλ1,…,λn∈Λ\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\LambdaとWi∈OλiW_i\in\mathcal O_{\lambda_i}(1≤i≤n)(1\leq i\leq n)でB=⋂i=1nfλi−1(Wi)B=\bigcap_{i=1}^nf_{\lambda_i}^{-1}(W_i)を満たすものが存在する。各iiについてfλi(x)∈Wif_{\lambda_i}(x)\in W_iであるからWi∈N(fλi(x))⊆fλi(F)W_i\in\mathcal N(f_{\lambda_i}(x))\subseteq f_{\lambda_i}(\mathfrak F)であり、fλi−1(Wi)∈Ff_{\lambda_i}^{-1}(W_i)\in\mathfrak Fである。定義 1.1 条件 (c)によりB∈FB\in\mathfrak Fである。いずれの場合も定義 1.1 条件 (d)によりV∈FV\in\mathfrak Fであるから、NI(x)⊆F\mathcal N_{\mathcal I}(x)\subseteq\mathfrak Fである。▨

系 8.2.

  1. (Xi)i∈I(X_i)_{i\in I}を位相空間の族、X=∏i∈IXiX=\prod_{i\in I}X_iに積位相を入れ、πi ⁣:X→Xi\pi_i\colon X\to X_iを射影とする。このとき、XX上のフィルターF\mathfrak Fとx∈Xx\in Xについて、F→x\mathfrak F\to xであることは、すべてのi∈Ii\in Iについてπi(F)→xi\pi_i(\mathfrak F)\to x_iであるための必要十分条件である。
  2. (X,O)(X,\mathcal O)を位相空間、A⊆XA\subseteq Xに部分空間位相を入れ、ιA ⁣:A→X\iota_A\colon A\to Xを包含写像とする。このとき、AA上のフィルターG\mathfrak Gとa∈Aa\in Aについて、AAにおいてG→a\mathfrak G\to aであることは、XXにおいてιA(G)→a\iota_A(\mathfrak G)\to aであるための必要十分条件である。

証明.主張 (1)を示す。§E2.14 定義 1.1により積位相は射影の族(πi)i∈I(\pi_i)_{i\in I}による始位相であり、πi(x)=xi\pi_i(x)=x_iであるから、命題 8.1から従う。

主張 (2)を示す。§E2.12 命題 4.3により部分空間位相はιA\iota_A一本による始位相であり、ιA(a)=a\iota_A(a)=aであるから、命題 8.1から従う。▨

命題 8.3.(Xi)i∈I(X_i)_{i\in I}をコンパクト空間の族とし、X=∏i∈IXiX=\prod_{i\in I}X_iに積位相を入れる。このときXX上の任意の超フィルターは収束する。

証明.U\mathfrak UをXX上の超フィルターとし、πi ⁣:X→Xi\pi_i\colon X\to X_iを射影とする。命題 3.2 (3)によりπi(U)\pi_i(\mathfrak U)はXiX_i上の超フィルターであり、XiX_iはコンパクトであるから、定理 7.1 (1)⇒\Rightarrow(3)によりπi(U)\pi_i(\mathfrak U)は収束する。各i∈Ii\in Iについてπi(U)→xi\pi_i(\mathfrak U)\to x_iを満たすxi∈Xix_i\in X_iを選び、x=(xi)i∈Ix=(x_i)_{i\in I}とおく。系 8.2 (1)によりU→x\mathfrak U\to xである。▨

注意 8.4.命題 8.3と定理 7.1 (3)⇒\Rightarrow(1)により、コンパクト空間の族の積がコンパクトであること（§E2.19 定理 8.2）が従う。一方、§E2.19 定理 8.2の証明は Alexander の準開基補題（§E2.19 定理 8.1）による。因子XiX_iがすべて Hausdorff 空間であるとき、命題 8.3の証明の各πi(U)\pi_i(\mathfrak U)の極限は定理 6.4 (1)⇒\Rightarrow(3)によりただ一つであるから、xix_iを選ぶ操作は要らない。この場合、命題 8.3と定理 7.1 (3)⇒\Rightarrow(1)の証明の中で選択公理を用いる箇所は、定理 7.1 (3)⇒\Rightarrow(2)での定理 2.4の適用だけである。したがって、ZF において定理 2.4の主張を仮定すると、コンパクト Hausdorff 空間の族の積がコンパクトであることが従う。

9 第一可算空間の点列

命題 9.1.(X,O)(X,\mathcal O)を第一可算な位相空間、(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}をXXの点列、x∈Xx\in Xとする。このとき、次の二条件は同値である。

  1. xxは点列(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}をネットとみたときの集積点である。
  2. 狭義単調増加な写像k↦nkk\mapsto n_k(N≥1→N≥1)(\NN\to\NN)で、部分列(xnk)k∈N≥1(x_{n_k})_{k\in\NN}がxxに位相収束するものが存在する。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。主張 (1)を仮定する。ネットの集積点と「しばしば属する」の定義により、すべてのm∈N≥1m\in\NNとすべてのV∈NO(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)について、n≥mn\geq mかつxn∈Vx_n\in Vを満たすn∈N≥1n\in\NNが存在し、V∩{xn∣n≥m}≠∅V\cap\{x_n\mid n\geq m\}\neq\emptysetである。§E2.11 命題 7.2 (2)により、すべてのm∈N≥1m\in\NNについてx∈{xn∣n≥m}‾x\in\overline{\{x_n\mid n\geq m\}}である。XXは第一可算であるから、§E2.13 補題 7.6 (1)⇒\Rightarrow(2)により主張 (2)が成り立つ。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。命題 5.4 (2)により部分列(xnk)k∈N≥1(x_{n_k})_{k\in\NN}は(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}の部分ネットであり、命題 5.4 (1)により(xnk)k∈N≥1(x_{n_k})_{k\in\NN}はネットとしてxxに収束するから、定理 5.8 (4)⇒\Rightarrow(1)によりxxは(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}の集積点である。▨

注意 9.2. 第一可算空間では、閉包と連続性が点列で判定される（§E2.13 定理 7.4、§E2.13 定理 7.7）。しかし、第一可算性を仮定しない空間では、閉包と連続性が点列で判定されるとは限らない。たとえば、非可算集合XXに補可算位相を入れ、x∈Xx\in Xとする。このときx∈X∖{x}‾x\in\overline{X\setminus\{x\}}であるが、X∖{x}X\setminus\{x\}の点からなるどの点列もxxに位相収束しない（§E2.13 注意 7.8）。この空間から同じ集合に離散位相を入れた空間への恒等写像ffは、任意のy∈Xy\in Xについて、yyに位相収束する任意の点列をf(y)f(y)に位相収束する点列へ写すが、連続でない（§E2.13 注意 7.9）。また、順序数空間ω1+1\omega_1+1は第一可算でないコンパクト Hausdorff 空間である（§E2.17 定理 4.6、§E2.39 命題 5.10）。例 10.3により、点ω1\omega_1は部分集合ω1\omega_1の閉包に属するが、ω1\omega_1の点からなる点列で点ω1\omega_1に位相収束するものは存在しない。これらの空間でも、定理 6.1により閉包はネットまたはフィルターの収束で判定され、系 6.3により連続性もネットまたはフィルターの収束で判定される。

コンパクト性は、第一可算空間でも点列で判定されるとは限らない。すなわち、第一可算な位相空間のすべての点列が位相収束する部分列をもっても、その空間がコンパクトであるとは限らない。実際、§E2.17 定理 4.6によりω1\omega_1は第一可算であり、§E2.23 定理 6.1によりω1\omega_1は点列コンパクトであるがコンパクトでない。これに対し、定理 7.1により、位相空間がコンパクトであるための必要十分条件は、その空間のすべてのネットが収束する部分ネットをもつことである。

10 例

例 10.1.

  1. (X,O)(X,\mathcal O)を位相空間、a∈Xa\in Xとし、{a}\{a\}が生成する主フィルターをUa={F⊆X∣a∈F}\mathfrak U_a=\{F\subseteq X\mid a\in F\}とする。このとき、Ua\mathfrak U_aはaaに収束し、aaはUa\mathfrak U_aの集積点であるが、集合{a}\{a\}の集積点ではない。実際、aaの任意の近傍はaaを含むから、NO(a)⊆Ua\mathcal N_{\mathcal O}(a)\subseteq\mathfrak U_aであり、Ua→a\mathfrak U_a\to aである。したがって、命題 4.3 (1)によりaaはUa\mathfrak U_aの集積点である。一方、{a}∖{a}=∅\{a\}\setminus\{a\}=\emptysetはどの近傍とも交わらないから、§E2.11 定義 7.1によりaaは集合{a}\{a\}の集積点ではない。
  2. R\Rに通常の位相を入れ、xn=(−1)nx_n=(-1)^nで定める点列(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}を命題 5.4 (1)によりネットとみる。このとき、11はこのネットの集積点であるが、このネットは11に収束しない。実際、11の任意の近傍VVと任意のn0∈N≥1n_0\in\NNに対して、n≥n0n\geq n_0を満たす偶数nnが存在し、xn=1∈Vx_n=1\in Vであるから、このネットはVVにしばしば属し、11はこのネットの集積点である。一方、V=(1/2,3/2)V=(1/2,3/2)は11の近傍であり、任意のn0∈N≥1n_0\in\NNに対してn≥n0n\geq n_0を満たす奇数nnが存在し、xn=−1∉Vx_n=-1\notin Vであるから、このネットはVVに最終的に属さず、11に収束しない。

例 10.2.XXを無限集合とし、Fcof={X∖E∣E⊆X は有限集合}\mathfrak F_{\mathrm{cof}}=\{X\setminus E\mid E\subseteq X\text{ は有限集合}\}とおく。このとき、Fcof\mathfrak F_{\mathrm{cof}}はXX上のフィルターである。実際、X=X∖∅∈FcofX=X\setminus\emptyset\in\mathfrak F_{\mathrm{cof}}であり、XXは無限集合であるから、有限集合EEについてX∖E≠∅X\setminus E\neq\emptysetであり、∅∉Fcof\emptyset\notin\mathfrak F_{\mathrm{cof}}である。有限集合E,E′E,E'について(X∖E)∩(X∖E′)=X∖(E∪E′)(X\setminus E)\cap(X\setminus E')=X\setminus(E\cup E')であり、E∪E′E\cup E'は有限集合である。X∖E⊆G⊆XX\setminus E\subseteq G\subseteq XならばX∖G⊆EX\setminus G\subseteq Eは有限集合であり、G=X∖(X∖G)∈FcofG=X\setminus(X\setminus G)\in\mathfrak F_{\mathrm{cof}}である。

Ocf={∅}∪Fcof\mathcal O_{\mathrm{cf}}=\{\emptyset\}\cup\mathfrak F_{\mathrm{cof}}はXXの位相（補有限位相）である。実際、∅,X∈Ocf\emptyset,X\in\mathcal O_{\mathrm{cf}}である。Ocf\mathcal O_{\mathrm{cf}}の二つの元の共通部分は、一方が∅\emptysetならば∅\emptysetであり、両方がFcof\mathfrak F_{\mathrm{cof}}に属するならば定義 1.1 条件 (c)によりFcof\mathfrak F_{\mathrm{cof}}に属する。Ocf\mathcal O_{\mathrm{cf}}の元からなる集合族の和集合は、すべての元が∅\emptysetならば∅\emptysetであり、そうでなければFcof\mathfrak F_{\mathrm{cof}}のある元を含むから、定義 1.1 条件 (d)によりFcof\mathfrak F_{\mathrm{cof}}に属する。x∈Xx\in XとV∈NOcf(x)V\in\mathcal N_{\mathcal O_{\mathrm{cf}}}(x)をとると、x∈U⊆Vx\in U\subseteq Vを満たすU∈OcfU\in\mathcal O_{\mathrm{cf}}が存在し、U≠∅U\neq\emptysetであるからU∈FcofU\in\mathfrak F_{\mathrm{cof}}であり、定義 1.1 条件 (d)によりV∈FcofV\in\mathfrak F_{\mathrm{cof}}である。したがって、Ocf\mathcal O_{\mathrm{cf}}に関してFcof\mathfrak F_{\mathrm{cof}}はXXのすべての点に収束する。XXは相異なる二点をもつから、定理 6.4 (1)⇒\Rightarrow(2)により(X,Ocf)(X,\mathcal O_{\mathrm{cf}})は Hausdorff 空間でない。

例 10.3. 空間ω1+1\omega_1+1を考え、ω1\omega_1を順序数の大小≤\leqにより有向集合とみる。このとき、各α∈ω1\alpha\in\omega_1に点α∈ω1+1\alpha\in\omega_1+1を対応させるネット(α)α∈ω1(\alpha)_{\alpha\in\omega_1}は点ω1\omega_1に収束し、点ω1\omega_1は部分集合ω1\omega_1の閉包に属する。一方、ω1\omega_1の点からなる点列で点ω1\omega_1に位相収束するものは存在しない。

実際、0∈ω10\in\omega_1であり、≤\leqは反射律と推移律を満たし、α,β∈ω1\alpha,\beta\in\omega_1の大きいほうはα\alphaとβ\betaの上界であるから、(ω1,≤)(\omega_1,\leq)は有向集合である。VVを点ω1\omega_1の近傍とすると、§E2.17 命題 4.3により(γ,ω1]⊆V(\gamma,\omega_1]\subseteq Vを満たすγ<ω1\gamma<\omega_1が存在する。§E1.22 定理 5.1 (5)によりγ+1<ω1\gamma+1<\omega_1であり、α≥γ+1\alpha\geq\gamma+1を満たすすべてのα∈ω1\alpha\in\omega_1についてα∈(γ,ω1]⊆V\alpha\in(\gamma,\omega_1]\subseteq Vであるから、このネットはVVに最終的に属する。ゆえにこのネットは点ω1\omega_1に収束し、すべての項はω1\omega_1に属するから、定理 6.1 (4)⇒\Rightarrow(1)により点ω1\omega_1はω1\omega_1の閉包に属する。(αn)n∈N≥1(\alpha_n)_{n\in\NN}をω1\omega_1の点からなる点列とすると、{αn∣n∈N≥1}\{\alpha_n\mid n\in\NN\}は§E1.18 補題 3.5により高々可算であり、§E2.17 補題 4.2により、すべてのn∈N≥1n\in\NNについてαn≤β\alpha_n\leq\betaを満たすβ<ω1\beta<\omega_1が存在する。§E2.17 命題 4.3により(β,ω1](\beta,\omega_1]は点ω1\omega_1の近傍であり、どのαn\alpha_nも含まないから、(αn)n∈N≥1(\alpha_n)_{n\in\NN}は点ω1\omega_1に位相収束しない。

11 演習

問題 11.1.命題 2.3を証明せよ。

解答.

Ua\mathfrak U_aは{a}\{a\}が生成する主フィルターであるから、命題 1.3 (1)によりXX上のフィルターである。A⊆XA\subseteq Xに対して、a∈Aa\in AならばA∈UaA\in\mathfrak U_aであり、a∉Aa\notin Aならばa∈X∖Aa\in X\setminus AからX∖A∈UaX\setminus A\in\mathfrak U_aである。補題 2.2 (2)⇒\Rightarrow(1)によりUa\mathfrak U_aは超フィルターである。▨

問題 11.2.XXを無限集合とし、Fcof={X∖E∣E⊆X は有限集合}\mathfrak F_{\mathrm{cof}}=\{X\setminus E\mid E\subseteq X\text{ は有限集合}\}とおく。Fcof\mathfrak F_{\mathrm{cof}}を含むXX上の超フィルターが存在し、そのような超フィルターはXXの一点集合が生成するどの主フィルターとも異なることを示して、命題 2.5の証明を完成させよ。

解答.

例 10.2によりFcof\mathfrak F_{\mathrm{cof}}はXX上のフィルターであるから、定理 2.4によりFcof\mathfrak F_{\mathrm{cof}}を含むXX上の超フィルターが存在する。U\mathfrak UをFcof\mathfrak F_{\mathrm{cof}}を含むXX上の超フィルターとし、a∈Xa\in Xとする。{a}\{a\}は有限集合であるからX∖{a}∈Fcof⊆UX\setminus\{a\}\in\mathfrak F_{\mathrm{cof}}\subseteq\mathfrak Uである。一方、a∉X∖{a}a\notin X\setminus\{a\}であるから、X∖{a}X\setminus\{a\}は{a}\{a\}が生成する主フィルター{F⊆X∣a∈F}\{F\subseteq X\mid a\in F\}に属さず、U\mathfrak Uはこの主フィルターと異なる。これで命題 2.5は示された。▨

問題 11.3.XXをコンパクト Hausdorff 空間、IIを集合、U\mathfrak UをII上の超フィルター、f ⁣:I→Xf\colon I\to Xを写像とする。f(U)→xf(\mathfrak U)\to xを満たすx∈Xx\in Xがただ一つ存在することを示せ。さらに、YYを Hausdorff 空間、g ⁣:X→Yg\colon X\to Yを連続写像とするとき、(g∘f)(U)(g\circ f)(\mathfrak U)はg(x)g(x)にのみ収束することを示せ。

解答.

命題 3.2 (3)によりf(U)f(\mathfrak U)はXX上の超フィルターである。XXはコンパクトであるから、定理 7.1 (1)⇒\Rightarrow(3)によりf(U)f(\mathfrak U)は収束し、XXは Hausdorff 空間であるから、定理 6.4 (1)⇒\Rightarrow(3)によりf(U)f(\mathfrak U)の極限はただ一つである。したがって、f(U)→xf(\mathfrak U)\to xを満たすx∈Xx\in Xがただ一つ存在する。命題 3.2 (4)により(g∘f)(U)=g(f(U))(g\circ f)(\mathfrak U)=g(f(\mathfrak U))である。ggは連続であるから、系 6.3によりg(f(U))→g(x)g(f(\mathfrak U))\to g(x)である。YYは Hausdorff 空間であるから、定理 6.4 (1)⇒\Rightarrow(2)により(g∘f)(U)(g\circ f)(\mathfrak U)の極限はg(x)g(x)だけである。▨

問題 11.4.{0,1}\{0,1\}に離散位相を入れ、X={0,1}P(N≥1)X=\{0,1\}^{\mathcal P(\NN)}に積位相を入れる。各n∈N≥1n\in\NNについて、xn∈Xx_n\in Xを、A⊆N≥1A\subseteq\NNに対してn∈An\in Aならばxn(A)=1x_n(A)=1、n∉An\notin Aならばxn(A)=0x_n(A)=0と定める。点列(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}をネットとみたときの集積点が存在し、(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}のどの部分列もXXのどの点にも位相収束しないことを示せ。さらに、XXが第一可算でないことを示せ。

解答.

{0,1}\{0,1\}は有限集合であるから、§E2.19 例 2.3によりコンパクトであり、§E2.19 定理 8.2によりXXはコンパクトである。命題 5.4 (1)により(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}はXXのネットであるから、定理 7.1 (1)⇒\Rightarrow(4)により(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}は集積点をもつ。

狭義単調増加な写像k↦nkk\mapsto n_k(N≥1→N≥1)(\NN\to\NN)とx∈Xx\in Xをとり、(xnk)k∈N≥1(x_{n_k})_{k\in\NN}がxxに位相収束すると仮定する。A={n2j∣j∈N≥1}A=\{n_{2j}\mid j\in\NN\}とおき、AAに対応する射影をπA ⁣:X→{0,1}\pi_A\colon X\to\{0,1\}とすると、XXの各点yyについてπA(y)=y(A)\pi_A(y)=y(A)である。§E2.14 命題 1.2 (1)によりπA\pi_Aは連続であり、{x(A)}\{x(A)\}は離散空間{0,1}\{0,1\}の開集合であるから、πA−1({x(A)})\pi_A^{-1}(\{x(A)\})はxxを含むXXの開集合であり、xxの近傍である。§E2.13 定義 7.1により、k≥k0k\geq k_0を満たすすべてのk∈N≥1k\in\NNについてxnk∈πA−1({x(A)})x_{n_k}\in\pi_A^{-1}(\{x(A)\})、すなわちxnk(A)=x(A)x_{n_k}(A)=x(A)となるk0∈N≥1k_0\in\NNが存在する。k↦nkk\mapsto n_kは単射であるから、nk∈An_k\in Aであることはkkが偶数であることと同値であり、xn2k0(A)=1x_{n_{2k_0}}(A)=1かつxn2k0+1(A)=0x_{n_{2k_0+1}}(A)=0である。2k0≥k02k_0\geq k_0かつ2k0+1≥k02k_0+1\geq k_0であるから、x(A)=1x(A)=1かつx(A)=0x(A)=0となり、両立しない。したがって(xnk)k∈N≥1(x_{n_k})_{k\in\NN}はxxに位相収束しない。

XXが第一可算であると仮定し、(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}の集積点xxをとる。命題 9.1 (1)⇒\Rightarrow(2)により、xxに位相収束する(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}の部分列が存在する。これは、(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}のどの部分列もXXのどの点にも位相収束しないことに反する。ゆえにXXは第一可算でない。▨

参考文献

  1. Nicolas Bourbaki, General Topology, Chapters 1–4, Elements of Mathematics, Springer, Berlin, 1989.フィルターと超フィルター、収束と集積点、コンパクト性の特徴づけを参考にした。
  2. Stephen Willard, General Topology, Dover Publications, 2004, originally published 1970.ネットと部分ネット、ネットとフィルターの対応を参考にした。
  3. Ryszard Engelking, General Topology, revised and completed ed., Sigma Series in Pure Mathematics 6, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.超フィルターによる Tychonoff の定理の扱いを参考にした。

前提記事

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