§E2.52擬距離

証明.主張 (1)を示す。$d\in\mathcal D$と実数$\varepsilon>0$をとる。§E2.30 定義 2.2により、すべての$x\in X$について$d(x,x)=0<\varepsilon$であるから$\Delta_X\subseteq U^d_\varepsilon$であり、すべての$x,y\in X$について$d(x,y)=d(y,x)$であるから$(U^d_\varepsilon)^{-1}=U^d_\varepsilon$である。$(x,y),(y,z)\in U^d_{\varepsilon/2}$ならば、§E2.30 定義 2.2の三角不等式により$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<\varepsilon$であるから、$U^d_{\varepsilon/2}\circ U^d_{\varepsilon/2}\subseteq U^d_\varepsilon$である。ゆえに$\mathcal S_{\mathcal D}$は§E2.51 命題 1.9の三条件を満たす。§E2.51 命題 1.9により、$\mathcal S_{\mathcal D}$の有限個の元の共通部分の全体$\mathcal B$は、$\mathcal S_{\mathcal D}$を含む$X$の近縁系のうち最も粗いもの$\mathcal U$の近縁基であり、$\mathcal S_{\mathcal D}$は$\mathcal U$の近縁準基である。§E2.51 命題 1.8により$\mathcal U$は$\mathcal B$の元を含む$X\times X$の部分集合の全体に等しく、これは$\mathcal U_{\mathcal D}$である。$\mathcal D\subseteq\mathcal D'$ならば$\mathcal S_{\mathcal D}\subseteq\mathcal S_{\mathcal D'}\subseteq\mathcal U_{\mathcal D'}$であるから、$\mathcal U_{\mathcal D}$が$\mathcal S_{\mathcal D}$を含む最も粗い近縁系であることにより$\mathcal U_{\mathcal D}\subseteq\mathcal U_{\mathcal D'}$である。

主張 (2)を示す。$d=\max\{d_1,d_2\}$とおき、$u,v,w\in X$をとる。$d(u,u)=0$かつ$d(u,v)=d(v,u)$である。$i=1,2$について$d_i(u,w)\leq d_i(u,v)+d_i(v,w)\leq d(u,v)+d(v,w)$であるから、$d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)$である。ゆえに$d$は擬距離である。$x,y\in X$について、$d(x,y)<\varepsilon$であることは、$d_1(x,y)<\varepsilon$かつ$d_2(x,y)<\varepsilon$であることと同値である。定数写像$0$は§E2.30 定義 2.2の三条件を満たし、$0<\varepsilon$であるから$U^0_\varepsilon=X\times X$である。

主張 (3)を示す。$V\in\mathcal U_{\mathcal D}$とし、$U^{d_1}_{\varepsilon_1}\cap\cdots\cap U^{d_k}_{\varepsilon_k}\subseteq V$を満たす$k\in\N$、$d_1,\ldots,d_k\in\mathcal D$、実数$\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k>0$をとる。$k=0$のときは$V=X\times X$である。$\mathcal D$は空でないから$d\in\mathcal D$が存在し、$U^d_1\subseteq X\times X=V$である。$k\geq1$のとき、$d=\max\{d_1,\ldots,d_k\}$は$k$についての帰納法により$\mathcal D$に属し、$\varepsilon=\min\{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k\}$とおくと、主張 (2)と$k$についての帰納法により

である。§E2.51 定義 1.4により$\mathcal S_{\mathcal D}$は$\mathcal U_{\mathcal D}$の近縁基である。

主張 (4)を示す。主張 (2)と$k$についての帰納法により、$\mathcal D^{\vee}$の元は擬距離である。$\mathcal D^{\vee}$は定数写像$0$を含み、$k=1$の場合により$\mathcal D\subseteq\mathcal D^{\vee}$である。§E2.30 定義 2.2により、擬距離$e$と$u,v\in X$について$0=e(u,u)\leq e(u,v)+e(v,u)=2e(u,v)$であるから、$e\geq0$である。したがって$e\in\mathcal D^{\vee}$について$\max\{0,e\}=e$である。また、$d_1,\ldots,d_k,d_1',\ldots,d_l'\in\mathcal D$（$k,l\geq1$）について$\max\{\max\{d_1,\ldots,d_k\},\max\{d_1',\ldots,d_l'\}\}=\max\{d_1,\ldots,d_k,d_1',\ldots,d_l'\}$である。ゆえに$\mathcal D^{\vee}$は有限個の最大で閉じている。$\mathcal D\subseteq\mathcal D^{\vee}$と主張 (1)により$\mathcal U_{\mathcal D}\subseteq\mathcal U_{\mathcal D^{\vee}}$である。主張 (2)と$k$についての帰納法により、$e=\max\{d_1,\ldots,d_k\}\in\mathcal D^{\vee}$と実数$\varepsilon>0$について$U^e_\varepsilon=U^{d_1}_\varepsilon\cap\cdots\cap U^{d_k}_\varepsilon$であり（$k=0$のときは$U^e_\varepsilon=X\times X$）、これは$\mathcal U_{\mathcal D}$に属する。ゆえに$\mathcal S_{\mathcal D^{\vee}}\subseteq\mathcal U_{\mathcal D}$であり、主張 (1)により$\mathcal U_{\mathcal D^{\vee}}\subseteq\mathcal U_{\mathcal D}$である。

主張 (5)を示す。$\{d\}$は空でなく$\max\{d,d\}=d$を満たすから、主張 (3)により$\{U^d_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}$は$\mathcal U_d$の近縁基である。§E2.51 命題 5.2 (1)により、同じ集合族は§E2.51 定義 5.1の距離一様構造の近縁基でもある。§E2.51 命題 1.8の一意性により、二つの一様構造は等しい。▨

証明. 実数$\varepsilon>0$に対して$U_\varepsilon=\{(s,t)\in\R\times\R\mid\lvert s-t\rvert<\varepsilon\}$とおく。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。実数$\varepsilon>0$をとる。§E2.51 命題 5.2 (1)により$U_\varepsilon$は$\R$の近縁であるから、$d$の一様連続性により$(d\times d)^{-1}(U_\varepsilon)$は$X\times X$の始一様構造の近縁であり、§E2.51 定義 4.1により、$k\in\N$、$j_1,\ldots,j_k\in\{1,2\}$、$V_1,\ldots,V_k\in\mathcal U$であって

を満たすものが存在する。$V=V_1\cap\cdots\cap V_k$とおくと（$k=0$のときは$V=X\times X$）、§E2.51 定義 1.3 条件 (a)と§E2.51 定義 1.3 条件 (c)により$V\in\mathcal U$である。$(x,y)\in V$とする。§E2.51 定義 1.3 条件 (d)により$(x,x)\in V$であるから、$X\times X$の二点$(x,x)$と$(x,y)$の組は左辺に属し、$\lvert d(x,x)-d(x,y)\rvert<\varepsilon$である。$d(x,x)=0$であるから$d(x,y)<\varepsilon$である。ゆえに$V\subseteq U^d_\varepsilon$であり、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により$U^d_\varepsilon\in\mathcal U$である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。実数$\varepsilon>0$をとり、

とおく。仮定により$U^d_{\varepsilon/2}\in\mathcal U$であるから、§E2.51 定義 4.1により$T$は$X\times X$の始一様構造の近縁である。$T$に属する$X\times X$の二点$(x,y)$と$(x',y')$の組をとると、$d(x,x')<\varepsilon/2$かつ$d(y,y')<\varepsilon/2$である。§E2.30 定義 2.2の対称性と三角不等式により$d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)$と$d(x',y')\leq d(x',x)+d(x,y)+d(y,y')$が成り立つから、$\lvert d(x,y)-d(x',y')\rvert<\varepsilon$である。ゆえに$T\subseteq(d\times d)^{-1}(U_\varepsilon)$であり、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により$(d\times d)^{-1}(U_\varepsilon)$は近縁である。§E2.51 命題 5.2 (1)により$\{U_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}$は$\R$の距離一様構造の近縁基であるから、§E2.51 命題 3.4 (2)により$d$は一様連続である。

(2)$\Leftrightarrow$(3)を示す。$\mathcal S_{\{d\}}=\{U^d_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}$である。命題 1.2 (1)により$\mathcal U_d$は$\mathcal S_{\{d\}}$を含む$X$の近縁系のうち最も粗いものであるから、$\mathcal S_{\{d\}}\subseteq\mathcal U$であることと$\mathcal U_d\subseteq\mathcal U$であることは同値である。▨

証明.$W_0=X\times X$とおく。$n\in\N$について対称な近縁$W_n$まで定めたとき、§E2.51 定義 1.3 条件 (c)により$W_n\cap V_{n+1}\in\mathcal U$であるから、§E2.51 補題 1.7 (2)により$W_{n+1}\circ W_{n+1}\subseteq W_n\cap V_{n+1}$を満たす対称な近縁$W_{n+1}$をとる。§E2.51 定義 1.3 条件 (d)によりすべての$W_n$は$\Delta_X$を含み、§E2.51 補題 1.2 (5)によりすべての$n\in\N$について$W_{n+1}\subseteq W_{n+1}\circ W_{n+1}\subseteq V_{n+1}$である。列$(W_n)_{n\in\N}$は§E2.51 補題 7.1の三条件を満たすから、§E2.51 補題 7.1により、§E2.51 補題 7.1 (1)、§E2.51 補題 7.1 (3)、§E2.51 補題 7.1 (4)を満たす写像$g\colon X\times X\to[0,1]$が存在する。$y,z\in X$に対して

と定める。$y\in X$であるから右辺の集合は空でなく、$g$の値が$[0,1]$に属するからその元はすべて$[0,1]$に属するので、$d(y,z)\in[0,1]$である。

$y,z,w\in X$とする。$d(y,y)=0$かつ$d(y,z)=d(z,y)$である。すべての$x\in X$について

であるから、$d(y,w)\leq d(y,z)+d(z,w)$である。ゆえに$d$は擬距離である。

実数$\varepsilon>0$をとり、$2^{1-n}<\varepsilon$を満たす$n\in\N$をとる。$(y,z)\in W_n$ならば、§E2.51 補題 7.1 (4)によりすべての$x\in X$について$\lvert g(x,y)-g(x,z)\rvert\leq2^{1-n}$であるから、$d(y,z)\leq2^{1-n}<\varepsilon$である。ゆえに$W_n\subseteq U^d_\varepsilon$であり、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により$U^d_\varepsilon\in\mathcal U$である。補題 1.4 (2)$\Rightarrow$(1)により、$d$は$\mathcal U$に関して一様連続な擬距離である。

$n\in\NN$とし、$(y,z)\in U^d_{2^{-n}}$とする。§E2.51 補題 7.1 (1)により$g(y,y)=0$であるから、$g(y,z)=\lvert g(y,y)-g(y,z)\rvert\leq d(y,z)<2^{-n}$であり、§E2.51 補題 7.1 (3)により$(y,z)\in W_n\subseteq V_n$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$V\in\mathcal U$とし、すべての$n\in\NN$について$V_n=V$とおく。補題 2.1により、値が$[0,1]$に属し$U^d_{1/2}\subseteq V_1=V$を満たす$d\in\mathcal D_{\mathcal U}$が存在する。

主張 (2)を示す。必要性を示す。$\mathcal U_{\mathcal D}=\mathcal U$とする。$d\in\mathcal D$と実数$\varepsilon>0$について$U^d_\varepsilon\in\mathcal U_{\mathcal D}=\mathcal U$であるから、補題 1.4 (2)$\Rightarrow$(1)により$d$は$\mathcal U$に関して一様連続である。$V\in\mathcal U=\mathcal U_{\mathcal D}$とすると、$U^{d_1}_{\varepsilon_1}\cap\cdots\cap U^{d_k}_{\varepsilon_k}\subseteq V$を満たす$k\in\N$、$d_1,\ldots,d_k\in\mathcal D$、実数$\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k>0$が存在する。$\varepsilon$を$\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k$の最小値（$k=0$のときは$1$）とすると、各$i$について$U^{d_i}_\varepsilon\subseteq U^{d_i}_{\varepsilon_i}$であるから、$V$は$U^{d_1}_\varepsilon\cap\cdots\cap U^{d_k}_\varepsilon$を含む。十分性を示す。$\mathcal D$のすべての元が一様連続であるから、補題 1.4 (1)$\Rightarrow$(2)により$\mathcal S_{\mathcal D}\subseteq\mathcal U$であり、命題 1.2 (1)により$\mathcal U_{\mathcal D}\subseteq\mathcal U$である。第二の条件と$\mathcal U_{\mathcal D}$の定義により$\mathcal U\subseteq\mathcal U_{\mathcal D}$である。

主張 (3)を示す。命題 1.2 (2)により、定数写像$0$は擬距離であってすべての$\varepsilon>0$について$U^0_\varepsilon=X\times X\in\mathcal U$を満たすから、補題 1.4 (2)$\Rightarrow$(1)により$0\in\mathcal D_{\mathcal U}$である。$d_1,d_2\in\mathcal D_{\mathcal U}$ならば、命題 1.2 (2)により$\max\{d_1,d_2\}$は擬距離であり、すべての$\varepsilon>0$について$U^{\max\{d_1,d_2\}}_\varepsilon=U^{d_1}_\varepsilon\cap U^{d_2}_\varepsilon\in\mathcal U$であるから、$\max\{d_1,d_2\}\in\mathcal D_{\mathcal U}$である。ゆえに$\mathcal D_{\mathcal U}$は有限個の最大で閉じている。主張 (1)により、任意の$V\in\mathcal U$に対して$U^d_{1/2}\subseteq V$を満たす$d\in\mathcal D_{\mathcal U}$が存在するから、主張 (2)を$k=1$、$\varepsilon=1/2$として適用すると$\mathcal U=\mathcal U_{\mathcal D_{\mathcal U}}$である。命題 1.2 (3)により$\mathcal S_{\mathcal D_{\mathcal U}}$は$\mathcal U$の近縁基である。▨

証明.主張 (1)を示す。$\mathcal B$を$\mathcal U$の高々可算な近縁基とする。§E2.51 定義 1.3 条件 (a)により$X\times X\in\mathcal U$であるから、$\mathcal B$は空でない。§E1.18 定理 3.3 (3)により全射$\N\to\mathcal B$が存在するから、$\mathcal B=\{V_n\mid n\in\NN\}$と書くことができる。補題 2.1により、$\mathcal U$に関して一様連続であり、すべての$n\in\NN$について$U^d_{2^{-n}}\subseteq V_n$を満たす$X$上の擬距離$d$が存在する。補題 1.4 (1)$\Rightarrow$(3)により$\mathcal U_d\subseteq\mathcal U$である。$V\in\mathcal U$とする。$\mathcal B$は$\mathcal U$の近縁基であるから、$V_n\subseteq V$を満たす$n\in\NN$が存在する。$U^d_{2^{-n}}\subseteq V_n\subseteq V$かつ$U^d_{2^{-n}}\in\mathcal U_d$であるから、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により$V\in\mathcal U_d$である。ゆえに$\mathcal U=\mathcal U_d$である。

逆に、$X$上の擬距離$d$が$\mathcal U=\mathcal U_d$を満たすとする。$\{d\}$は有限個の最大で閉じているから、命題 1.2 (3)により$\{U^d_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}$は$\mathcal U$の近縁基である。実数$\varepsilon>0$に対して$2^{-n}\leq\varepsilon$を満たす$n\in\N$をとると$U^d_{2^{-n}}\subseteq U^d_\varepsilon$であるから、$\{U^d_{2^{-n}}\mid n\in\N\}$も$\mathcal U$の近縁基である。$n\mapsto U^d_{2^{-n}}$は$\N$からこの集合族への全射であるから、§E1.18 定理 3.3 (3)によりこの集合族は高々可算である。

主張 (2)を示す。$x,y\in X$が$d(x,y)=0$を満たすとする。$V\in\mathcal U=\mathcal U_d$とする。主張 (1)により$U^d_{2^{-n}}\subseteq V$を満たす$n\in\N$が存在し、$(x,y)\in U^d_{2^{-n}}$であるから$(x,y)\in V$である。ゆえに$(x,y)\in\bigcap\mathcal U$であり、§E2.51 定義 2.7により$\bigcap\mathcal U=\Delta_X$であるから$x=y$である。§E2.30 定義 2.2の三条件とあわせて、$d$は距離である。

主張 (3)を示す。$\mathcal U$が Hausdorff であり、高々可算な近縁基をもつとする。主張 (1)により、$\mathcal U=\mathcal U_d$を満たす$X$上の擬距離$d$が存在し、主張 (2)により$d$は距離である。命題 1.2 (5)により、擬距離$d$が定める一様構造$\mathcal U_d$は、距離$d$が定める距離一様構造に等しい。▨

証明. 演習とする（問題 8.1）。▨

証明.$x,y\in X$について、§E2.30 定義 2.2により$0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$であるから、$d(x,y)\geq0$である。

主張 (1)を示す。$d(x,x)=0$と$d(x,y)=d(y,x)$により、$\sim_d$は反射的かつ対称である。$d(x,y)=d(y,z)=0$ならば$0\leq d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)=0$であるから、$\sim_d$は推移的である。$x\sim_d x'$かつ$y\sim_d y'$ならば、三角不等式により$d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)=d(x',y')$であり、同様に$d(x',y')\leq d(x,y)$であるから、$d(x,y)=d(x',y')$である。ゆえに$\bar d(\pi_d(x),\pi_d(y))=d(x,y)$により写像$\bar d\colon X_d\times X_d\to\R$が定まり、$\pi_d$は全射であるから、この条件を満たす写像は$\bar d$に限る。$\bar d(\pi_d(x),\pi_d(y))=0$であることは$x\sim_d y$、すなわち$\pi_d(x)=\pi_d(y)$であることと同値であり、$\bar d$の対称性と三角不等式は$d$の対称性と三角不等式から従うから、§E2.1 定義 1.1により$\bar d$は距離である。

主張 (2)を示す。$\pi_{d'}(x)=\pi_{d'}(y)$ならば$0\leq d(x,y)\leq d'(x,y)=0$であるから$\pi_d(x)=\pi_d(y)$である。ゆえに$q(\pi_{d'}(x))=\pi_d(x)$により写像$q$が定まり、$\pi_{d'}$は全射であるから、$q\circ\pi_{d'}=\pi_d$を満たす写像は$q$に限る。$x,y\in X$について$\bar d(q(\pi_{d'}(x)),q(\pi_{d'}(y)))=d(x,y)\leq d'(x,y)=\bar d'(\pi_{d'}(x),\pi_{d'}(y))$である。実数$\varepsilon>0$に対して$\delta=\varepsilon$とおくと、$\bar d'(\xi,\eta)<\delta$ならば$\bar d(q(\xi),q(\eta))<\varepsilon$であるから、§E2.4 定義 3.1により$q$は一様連続性をもつ。

主張 (3)を示す。主張 (1)により、すべての$x,y\in X$について$\bar d(\pi_d(x),\pi_d(y))=d(x,y)$であるから、実数$\varepsilon>0$について$(\pi_d\times\pi_d)^{-1}(U^{\bar d}_\varepsilon)=U^d_\varepsilon$であり、$\bar d\circ(\pi_d\times\pi_d)=d$である。命題 1.2 (5)により、擬距離の族$\{\bar d\}$が定める一様構造は距離一様構造$\mathcal U_{\bar d}$に等しく、$\{\bar d\}$は有限個の最大で閉じている。$d$は$\mathcal U$に関して一様連続な擬距離であるから、命題 3.1 (1)により$\pi_d\colon(X,\mathcal U)\to(X_d,\mathcal U_{\bar d})$は一様連続である。▨