§E2.57完備性の諸相

証明.$\mathfrak F$を$(X,\mathcal U')$の Cauchy フィルターとし、$V\in\mathcal U$をとる。$V\in\mathcal U'$であるから、$F\times F\subseteq V$を満たす$F\in\mathfrak F$が存在する。ゆえに$\mathfrak F$は$(X,\mathcal U)$の Cauchy フィルターであり、$(X,\mathcal U)$は完備であるから、$\mathfrak F$は$\mathcal O_{\mathcal U}$に関してある点$x\in X$に収束する。$\mathcal O_{\mathcal U}=\mathcal O_{\mathcal U'}$であるから、$\mathfrak F$は$\mathcal O_{\mathcal U'}$に関して$x$に収束する。▨

証明.$\mathcal U_{\mathrm f}$を$X$の微細一様構造とする。§E2.52 定理 6.4 (1)により$\mathcal U_{\mathrm f}$は$\mathcal O$と両立する。

必要性を示す。$X$は Dieudonné 完備であるから$(X,\mathcal U_{\mathrm f})$は完備であり、$\mathcal U=\mathcal U_{\mathrm f}$が条件を満たす。

十分性を示す。$\mathcal U$を$\mathcal O$と両立する$X$の一様構造であって$(X,\mathcal U)$が完備であるものとする。§E2.52 定理 6.4 (2)により$\mathcal U\subseteq\mathcal U_{\mathrm f}$であり、$\mathcal O_{\mathcal U}=\mathcal O=\mathcal O_{\mathcal U_{\mathrm f}}$である。補題 1.1により$(X,\mathcal U_{\mathrm f})$は完備である。▨

証明.$f\in C$について$\pr_f\colon\R^{C}\to\R$を射影とする。

主張 (1)を示す。§E2.5 例 4.1により標準距離を入れた$\R$は完備であるから、§E2.53 命題 3.1 (2)により$\R$は距離一様構造に関して完備である。ゆえに§E2.53 命題 2.5 (1)により$(\R^{C},\mathcal W)$は完備である。§E2.51 命題 5.2 (2)により$\R$の距離一様構造の一様位相は通常の位相であるから、§E2.51 系 4.5 (2)により$\mathcal W$の一様位相は通常の位相の積位相である。§E2.51 命題 5.2 (1)により$\R$の距離一様構造は Hausdorff であるから、§E2.51 命題 2.8 (1)$\Rightarrow$(2)により$\R$の通常の位相は T2 であり、§E2.15 定理 2.8 (3)によりその積位相、すなわち$\mathcal W$の一様位相は T2 である。ゆえに§E2.51 命題 2.8 (2)$\Rightarrow$(1)により$\mathcal W$は Hausdorff である。

主張 (2)を示す。§E2.34 定義 4.1により、すべての$f\in C$について$\pr_f\circ e_X=f$である。$\mathcal W$は射影の族$(\pr_f)_{f\in C}$による始一様構造であるから、§E2.51 補題 4.3により、$e_X$からなる族による始一様構造は族$(f)_{f\in C}$による始一様構造に等しく、§E2.52 命題 5.2 (1)によりこれは$\mathcal U_C$に等しい。§E2.34 定理 4.2 (1)により$e_X$は位相的埋め込みであるから単射である。ゆえに§E2.51 系 4.7により、$e_X\colon(X,\mathcal U_C)\to(\R^{C},\mathcal W)$は一様埋め込みである。▨

証明.$C=C(X,\R)$とおき、$\R^{C}$に命題 2.1の積一様構造$\mathcal W$を入れる。命題 2.1 (2)により$e_X\colon(X,\mathcal U_C)\to(\R^{C},\mathcal W)$は一様埋め込みであり、命題 2.1 (1)により$(\R^{C},\mathcal W)$は完備 Hausdorff 一様空間であって、その一様位相は$\R$の通常の位相の積位相である。§E2.53 補題 2.4 (1)と§E2.53 補題 2.4 (2)により、$(X,\mathcal U_C)$が完備であることは、$e_X(X)$が積位相に関して$\R^{C}$の閉集合であることと同値である。§E2.34 定理 4.2 (3)により、$e_X(X)$が$\R^{C}$の閉集合であることは、$X$が実コンパクトであることと同値である。▨

証明.$C_X=C(X,\R)$、$C_\upsilon=C(\upsilon X,\R)$とおき、$\R$に距離$\lvert s-t\rvert$が定める距離一様構造を入れる。§E2.34 命題 5.2により、$\upsilon X$は T3½ 空間であり、$X$は$\upsilon X$で稠密である。

主張 (1)を示す。§E2.52 命題 5.2 (1)により$\mathcal U_{C_\upsilon}$は族$(g)_{g\in C_\upsilon}$による始一様構造に等しいから、§E2.51 補題 4.3により、$\iota$からなる族による始一様構造は族$(g\circ\iota)_{g\in C_\upsilon}$による始一様構造に等しい。$g\in C_\upsilon$について$g\circ\iota$は$g$の$X$への制限$g|_X$であり、§E2.34 命題 5.3 (2)により$g\mapsto g|_X$は$C_\upsilon$から$C_X$への全単射である。したがって、$g\in C_\upsilon$と$\R$の近縁$W$についての集合$((g\circ\iota)\times(g\circ\iota))^{-1}(W)$の全体は、$u\in C_X$と$\R$の近縁$W$についての集合$(u\times u)^{-1}(W)$の全体に等しい。§E2.51 定義 4.1により、族$(g\circ\iota)_{g\in C_\upsilon}$による始一様構造は族$(u)_{u\in C_X}$による始一様構造に等しく、§E2.52 命題 5.2 (1)によりこれは$\mathcal U_{C_X}$に等しい。§E2.51 系 4.4 (1)により$\iota$からなる族による始一様構造は$(\mathcal U_{C_\upsilon})_X$に等しいから、$(\mathcal U_{C_\upsilon})_X=\mathcal U_{C_X}$である。

主張 (2)を示す。§E2.52 補題 6.6を T3½ 空間$\upsilon X$に適用すると、$\mathcal U_{C_\upsilon}$は$\upsilon X$の位相と両立する Hausdorff な一様構造である。§E2.34 定理 5.6により$\upsilon X$は実コンパクトであるから、定理 2.2を$\upsilon X$に適用すると、$(\upsilon X,\mathcal U_{C_\upsilon})$は完備である。

主張 (3)を示す。§E2.51 系 4.4 (1)により、一つの写像$\iota$からなる族による始一様構造は部分一様構造$(\mathcal U_{C_\upsilon})_X$に等しく、主張 (1)によりこれは$\mathcal U_{C_X}$に等しい。$\iota$は単射であるから、§E2.51 系 4.7により$\iota\colon(X,\mathcal U_{C_X})\to(\upsilon X,\mathcal U_{C_\upsilon})$は一様埋め込みである。主張 (2)により$\mathcal U_{C_\upsilon}$の一様位相は$\upsilon X$の位相に等しいから、$\iota(X)=X$は$\mathcal U_{C_\upsilon}$の一様位相に関して稠密である。§E2.52 補題 6.6により$\mathcal U_{C_X}$は Hausdorff であり、主張 (2)により$(\upsilon X,\mathcal U_{C_\upsilon})$は完備 Hausdorff 一様空間であるから、§E2.53 定理 6.2 (1)により$(\upsilon X,\iota)$は$(X,\mathcal U_{C_X})$の完備化である。▨

証明.$\mathcal U_{\mathrm f}$を$X$の微細一様構造、$\mathcal U_\mu$を$\mu X$の一様構造とする。§E2.53 定義 6.1により$(\mu X,\mathcal U_\mu)$は完備 Hausdorff 一様空間であり、§E2.53 定理 6.2 (4)により$\iota\colon(X,\mathcal U_{\mathrm f})\to(\mu X,\mathcal U_\mu)$は像$\iota(X)$が$\mu X$で稠密である一様埋め込みである。

主張 (1)を示す。$\mathcal U_\mu$は一様位相$\mathcal O_{\mathcal U_\mu}$と両立する Hausdorff な一様構造であるから、§E2.51 定理 7.2 (2)により$\mu X$は T3½ 空間である。§E2.15 定義 1.8 (2)により$\mu X$は完全正則である。$(\mu X,\mathcal U_\mu)$は完備であるから、定理 1.3により$\mu X$は Dieudonné 完備である。$\iota$は一様埋め込みであるから、§E2.51 系 4.8により、$\iota$は一様位相$\mathcal O_{\mathcal U_{\mathrm f}}$と$\mathcal O_{\mathcal U_\mu}$に関して位相的埋め込みである。§E2.52 定理 6.4 (1)により$\mathcal O_{\mathcal U_{\mathrm f}}=\mathcal O$であるから、$\iota$は$(X,\mathcal O)$から$\mu X$への位相的埋め込みである。

主張 (2)を示す。$\mathcal U^Y_{\mathrm f}$を$Y$の微細一様構造とする。§E2.52 補題 6.6により$\mathcal U^Y_{\mathrm f}$は$Y$の位相と両立する Hausdorff な一様構造であり、$Y$は Dieudonné 完備であるから$(Y,\mathcal U^Y_{\mathrm f})$は完備である。$f$は$\mathcal O$と$Y$の位相$\mathcal O_{\mathcal U^Y_{\mathrm f}}$に関して連続であるから、§E2.52 定理 6.4 (3)により$f\colon(X,\mathcal U_{\mathrm f})\to(Y,\mathcal U^Y_{\mathrm f})$は一様連続である。§E2.53 定義 6.1により、$F\circ\iota=f$を満たす一様連続写像$F\colon\mu X\to(Y,\mathcal U^Y_{\mathrm f})$が存在し、§E2.51 命題 3.4 (3)により$F$は連続である。連続写像$F'\colon\mu X\to Y$が$F'\circ\iota=f$を満たすとする。$F'$と$F$は$\mu X$で稠密な$\iota(X)$の上で一致する。§E2.15 定理 1.11 (2)と§E2.15 定理 1.11 (3)により$Y$は Hausdorff であるから、§E2.22 補題 2.1により$F'=F$である。

主張 (3)を示す。必要性を示す。$X$は Dieudonné 完備であるから$(X,\mathcal U_{\mathrm f})$は完備であり、$\mathcal U_\mu$は Hausdorff であるから、§E2.53 補題 2.4 (2)により$\iota(X)$は$\mu X$の閉集合である。$\iota(X)$は$\mu X$で稠密であるから、§E2.11 定義 2.7と§E2.11 命題 2.5 (2)により$\mu X=\tpcl[\mu X]{\iota(X)}=\iota(X)$である。十分性を示す。$\iota(X)=\mu X$は$\mu X$の閉集合であり、$(\mu X,\mathcal U_\mu)$は完備であるから、§E2.53 補題 2.4 (1)により$(X,\mathcal U_{\mathrm f})$は完備である。§E2.15 定義 1.8 (2)により$X$は完全正則であるから、$X$は Dieudonné 完備である。▨

証明.§E2.15 定義 1.8 (2)により$X$は完全正則である。定理 2.2により$(X,\mathcal U_{C(X,\R)})$は完備であり、§E2.52 命題 5.2 (3)により$\mathcal U_{C(X,\R)}$は$\mathcal O$と両立するから、定理 1.3により$X$は Dieudonné 完備である。▨

証明.$\mathcal U_{\mathrm f}$を$X$の微細一様構造とする。§E2.52 定理 6.4 (1)により$\mathcal U_{\mathrm f}$は$\mathcal O$と両立する。

必要性を示す。$X$をコンパクトとする。§E2.23 定理 1.3により$X$は可算コンパクトであるから、§E2.36 補題 2.1により擬コンパクトである。$\mathcal O_{\mathcal U_{\mathrm f}}=\mathcal O$はコンパクトであるから、§E2.53 系 1.4により$(X,\mathcal U_{\mathrm f})$は完備である。ゆえに$X$は Dieudonné 完備である。

十分性を示す。$X$を擬コンパクトかつ Dieudonné 完備とする。$\mathcal U_{\mathrm f}$は$\mathcal O$と両立するから、§E2.54 定理 6.1 (1)$\Rightarrow$(2)により$(X,\mathcal U_{\mathrm f})$は全有界である。$X$は Dieudonné 完備であるから$(X,\mathcal U_{\mathrm f})$は完備であり、§E2.54 定理 2.1により$\mathcal O_{\mathcal U_{\mathrm f}}=\mathcal O$はコンパクトである。▨

証明.$\mathcal U_{\mathrm f}$を$X$の微細一様構造とする。

主張 (1)を示す。§E2.15 定義 1.8 (2)により$X$は完全正則であり、§E2.52 定理 6.4 (1)により$\mathcal U_{\mathrm f}$は$\mathcal O$と両立するから、§E2.54 定理 6.1 (1)$\Rightarrow$(2)により$(X,\mathcal U_{\mathrm f})$は全有界である。定義 3.1により$(\mu X,\iota)$は Hausdorff 一様空間$(X,\mathcal U_{\mathrm f})$の完備化であるから、§E2.54 系 2.4により$\mu X$はコンパクトである。定理 3.2 (1)により、$\mu X$は T3½ 空間であり、$\iota$は像$\iota(X)$が$\mu X$で稠密である位相的埋め込みである。§E2.15 定理 1.11 (2)と§E2.15 定理 1.11 (3)により$\mu X$は Hausdorff であるから、§E2.22 定義 1.1により$(\mu X,\iota)$は$X$のコンパクト化である。

主張 (2)を示す。$K$をコンパクト Hausdorff 空間とし、$f\colon X\to K$を連続写像とする。§E2.19 系 6.12により$K$は T3½ 空間であり、§E2.15 定義 1.8 (2)により完全正則であるから、定理 4.2により$K$は Dieudonné 完備である。定理 3.2 (2)により、$F\circ\iota=f$を満たす連続写像$F\colon\mu X\to K$がただ一つ存在する。主張 (1)により$(\mu X,\iota)$は$X$のコンパクト化であるから、§E2.22 系 3.3により、$X$のすべての点を固定する同相写像$\beta X\to\mu X$が存在する。▨

証明.主張 (1)を示す。§E2.17 系 6.5により$\omega_1$は T4 空間であるから、§E2.18 系 3.2により T3½ 空間である。§E2.24 定理 5.2により$\omega_1$は局所コンパクトであり、§E2.17 系 4.4により Hausdorff であるから、§E2.26 補題 2.2 (3)により Čech 完備である。

主張 (2)を示す。主張 (1)と§E2.15 定義 1.8 (2)により$\omega_1$は完全正則である。§E2.23 系 6.2により$\omega_1$は可算コンパクトであるから、§E2.36 補題 2.1により擬コンパクトである。§E2.19 定理 7.2により$\omega_1$はコンパクトでないから、定理 4.2により$\omega_1$は Dieudonné 完備でない。定理 1.3により、$\omega_1$の位相と両立する$\omega_1$の一様構造であって完備であるものは存在しない。▨

証明.§E2.12 定義 6.6により、$\mathcal O_{d_0}=\mathcal O$を満たす$X$上の距離$d_0$が存在する。

(1)$\Rightarrow$(2)は主張 5.2.1から従う。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。主張 (2)により$(X,d_0)$は完備距離化可能であるから、§E2.10 定義 1.7により、$d_0$と同値であって$(X,e)$が完備であるような$X$上の距離$e$が存在する。§E2.10 定義 1.1により$\mathcal O_e=\mathcal O_{d_0}=\mathcal O$である。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$d$を主張 (3)の距離とする。$d$は$d$自身と同値であり、$(X,d)$は完備であるから、§E2.10 定義 1.7により$(X,d)$は完備距離化可能である。主張 5.2.1により$X$は Čech 完備である。

(3)$\Rightarrow$(4)を示す。$d$を主張 (3)の距離とし、$\mathcal U_d$を$d$が定める距離一様構造とする。§E2.51 命題 5.2 (2)により$\mathcal O_{\mathcal U_d}=\mathcal O_d=\mathcal O$であり、§E2.53 命題 3.1 (2)により$(X,\mathcal U_d)$は完備である。§E2.52 命題 1.2 (5)により$\mathcal U_d$は擬距離$d$が定める一様構造に等しいから、§E2.52 定理 2.3 (1)により$\{U^d_{2^{-n}}\mid n\in\N\}$は$\mathcal U_d$の高々可算な近縁基である。

(4)$\Rightarrow$(3)を示す。$\mathcal U$を主張 (4)の一様構造とする。§E2.15 定理 3.2 (4)を距離空間$(X,d_0)$に適用すると、$\mathcal O=\mathcal O_{d_0}$は T0 である。$\mathcal O_{\mathcal U}=\mathcal O$であるから、§E2.51 命題 2.8 (3)$\Rightarrow$(1)により$\mathcal U$は Hausdorff である。§E2.52 定理 2.3 (3)により、距離一様構造$\mathcal U_d$が$\mathcal U$に等しい$X$上の距離$d$が存在する。§E2.51 命題 5.2 (2)により$\mathcal O_d=\mathcal O_{\mathcal U}=\mathcal O$である。$\mathcal U_d=\mathcal U$であり、$(X,\mathcal U)$は完備であるから、§E2.53 命題 3.1 (2)により$(X,d)$は完備である。▨