§E2.58パラコンパクト空間

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コンパクト空間では、任意の開被覆から有限部分被覆を取り出すことができる。この性質は、コンパクトでない距離空間など、多くの空間では成り立たない。有限部分被覆の代わりに、各点が有限個の元としか交わらない近傍をもつという意味で局所有限な開被覆による細分を要求すると、コンパクト空間と距離空間をともに含む広い空間のクラスが得られる。このようなクラスの空間をパラコンパクト空間という。正則なパラコンパクト空間では、任意の開被覆に従属する 1 の分割が存在する。また、Hausdorff なパラコンパクト空間は正則かつ正規である。本記事では、パラコンパクト空間の定義を導入し、基本的な性質や代表的な例について解説する。

1 集合族と細分

定義 1.1 (星).XXを位相空間、A=(Aj)j∈J\mathcal A=(A_j)_{j\in J}をXXの部分集合族とし、x∈Xx\in X、B⊆XB\subseteq Xとする。Jx={j∈J∣x∈Aj}J_x=\{j\in J\mid x\in A_j\}とおく。

St⁡(x,A)=⋃j∈JxAj,St⁡(B,A)=⋃{Aj∣j∈J, Aj∩B≠∅}\operatorname{St}(x,\mathcal A)=\bigcup_{j\in J_x}A_j,\qquad \operatorname{St}(B,\mathcal A)=\bigcup\{A_j\mid j\in J,\ A_j\cap B\neq\emptyset\}

をそれぞれA\mathcal Aに関するxxの 星 (star)、A\mathcal Aに関するBBの星という。

定義 1.2.XXを位相空間、A=(Aj)j∈J\mathcal A=(A_j)_{j\in J}をXXの部分集合族とする。

  1. XXの各点xxが、V∩Aj≠∅V\cap A_j\neq\emptysetを満たすj∈Jj\in Jが高々一つであるような近傍VVをもつとき、A\mathcal Aを 疎な族 (discrete family) という。
  2. 任意のJ′⊆JJ'\subseteq Jについて⋃j∈J′Aj‾=⋃j∈J′Aj‾\tpcl{\bigcup_{j\in J'}A_j}=\bigcup_{j\in J'}\tpcl{A_j}が成り立つとき、A\mathcal Aを 閉包保存 (closure-preserving) な族という。
  3. JJの部分集合の列(Jn)n∈N≥1(J_n)_{n\in\NN}で、J=⋃n∈N≥1JnJ=\bigcup_{n\in\NN}J_nを満たし、各nnについて部分族(Aj)j∈Jn(A_j)_{j\in J_n}が局所有限であるものが存在するとき、A\mathcal Aを σ-局所有限 (σ-locally finite) な族という。JJの部分集合の列(Jn)n∈N≥1(J_n)_{n\in\NN}で、J=⋃n∈N≥1JnJ=\bigcup_{n\in\NN}J_nを満たし、各nnについて部分族(Aj)j∈Jn(A_j)_{j\in J_n}が疎な族であるものが存在するとき、A\mathcal Aを σ-疎 (σ-discrete) な族という。

注意 1.3. 疎な族の元は§E2.28 疎集合とは限らず、疎集合からなる族は疎な族とは限らない。XXが空でない位相空間ならば、一元族(X)(X)は疎な族であるが、int⁡(X‾)=X≠∅\tpint{\tpcl{X}}=X\neq\emptysetであるからXXはXXで疎でない。R\Rの族({1/n})n∈N≥1(\{1/n\})_{n\in\NN}の各元は内部が空な閉集合であるからR\Rで疎であるが、00の任意の近傍は無限個の{1/n}\{1/n\}と交わるので、この族は疎な族でない。

命題 1.4.XXを位相空間、A=(Aj)j∈J\mathcal A=(A_j)_{j\in J}をXXの部分集合族とする。

  1. A\mathcal Aが疎な族であることと、A\mathcal Aが局所有限であって、相異なるj,k∈Jj,k\in JについてAj‾∩Ak‾=∅\tpcl{A_j}\cap\tpcl{A_k}=\emptysetが成り立つことは同値である。
  2. A\mathcal Aが疎な族ならばA\mathcal Aは局所有限であり、A\mathcal Aが局所有限ならばA\mathcal Aは閉包保存である。
  3. A\mathcal Aが疎な族ならば(Aj‾)j∈J(\tpcl{A_j})_{j\in J}も疎な族である。A\mathcal Aが局所有限ならば(Aj‾)j∈J(\tpcl{A_j})_{j\in J}も局所有限である。A\mathcal Aが閉包保存ならば、(Aj‾)j∈J(\tpcl{A_j})_{j\in J}も閉包保存である。
  4. A\mathcal Aが閉集合からなる閉包保存な族ならば、任意のJ′⊆JJ'\subseteq Jについて⋃j∈J′Aj\bigcup_{j\in J'}A_jは閉集合である。

証明. 演習とする（問題 10.3）。▨

定義 1.5.XXを位相空間、U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの被覆とする。

  1. 値がすべてXXの閉集合であるXXの被覆を、XXの 閉被覆 (closed cover) という。
  2. XXの被覆V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}がU\mathcal Uの細分であり、族(St⁡(x,V))x∈X(\operatorname{St}(x,\mathcal V))_{x\in X}がU\mathcal Uの細分であるとき、V\mathcal Vを被覆U\mathcal Uの重心細分といい、このような細分を 被覆の重心細分 (barycentric refinement) という。
  3. XXの被覆V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}がU\mathcal Uの細分であり、族(St⁡(Vj,V))j∈J(\operatorname{St}(V_j,\mathcal V))_{j\in J}がU\mathcal Uの細分であるとき、V\mathcal VをU\mathcal Uの 星型細分 (star refinement) という。
  4. XXの被覆V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}と写像φ ⁣:J→I\varphi\colon J\to Iが、任意のJ′⊆JJ'\subseteq Jについて⋃j∈J′Vj‾⊆⋃j∈J′Uφ(j)\tpcl{\bigcup_{j\in J'}V_j}\subseteq\bigcup_{j\in J'}U_{\varphi(j)}を満たすとき、V\mathcal Vをφ\varphiに関するU\mathcal Uの クッション細分 (cushioned refinement) という。
  5. XXの被覆V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}と写像φ ⁣:J→I\varphi\colon J\to I、およびJJの部分集合の列(Jn)n∈N≥1(J_n)_{n\in\NN}で、J=⋃n∈N≥1JnJ=\bigcup_{n\in\NN}J_nを満たし、各n∈N≥1n\in\NNと任意のJ′⊆JnJ'\subseteq J_nについて⋃j∈J′Vj‾⊆⋃j∈J′Uφ(j)\tpcl{\bigcup_{j\in J'}V_j}\subseteq\bigcup_{j\in J'}U_{\varphi(j)}が成り立つものが存在するとき、V\mathcal Vをφ\varphiに関するU\mathcal Uの σ-クッション細分 (σ-cushioned refinement) という。

補題 1.6.XXを位相空間、U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの部分集合族とし、XXの部分集合族V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}がU\mathcal Uの細分であって、φ ⁣:J→I\varphi\colon J\to Iがその細分射であるとする。i∈Ii\in Iに対して

Ci=⋃j∈φ−1(i)VjC_i=\bigcup_{j\in\varphi^{-1}(i)}V_j

とおく。

  1. 各i∈Ii\in IについてCi⊆UiC_i\subseteq U_iである。V\mathcal VがXXの被覆ならば、(Ci)i∈I(C_i)_{i\in I}もXXの被覆である。
  2. V\mathcal Vの各元が開集合ならば、各CiC_iは開集合である。
  3. V\mathcal Vが疎な族ならば(Ci)i∈I(C_i)_{i\in I}も疎な族である。V\mathcal Vが局所有限ならば(Ci)i∈I(C_i)_{i\in I}も局所有限である。V\mathcal Vが閉包保存ならば、(Ci)i∈I(C_i)_{i\in I}も閉包保存である。
  4. U\mathcal UとV\mathcal VがXXの被覆であり、V\mathcal Vがφ\varphiに関するU\mathcal Uのクッション細分ならば、(Ci)i∈I(C_i)_{i\in I}は恒等写像id⁡I\operatorname{id}_Iに関するU\mathcal Uのクッション細分である。
  5. V\mathcal Vが閉集合からなる閉包保存な族ならば、各CiC_iは閉集合である。

証明. 演習とする（問題 10.3）。▨

2 基本性質

定義 2.1 (パラコンパクト空間). 位相空間XXの任意の開被覆が、局所有限な開被覆による細分をもつとき、XXは パラコンパクト (paracompact) であるといい、XXを パラコンパクト空間 (paracompact space) という。

注意 2.2. Engelking [1] のように、パラコンパクト性の定義に Hausdorff 性を含める文献がある。本記事では、パラコンパクト性の定義に分離公理を含めず、各主張が要する分離公理をその主張の仮定として書く。どちらの定義を採るかによって、「パラコンパクト空間は正規である」という主張の成否が変わる。Hausdorff 性を含める定義の下では、この主張は定理 2.7により成り立つ。本記事の定義の下では、例 9.2の三点空間がパラコンパクトであって正規でないので、この主張は成り立たない。

命題 2.3. コンパクト空間はパラコンパクトである。離散位相を入れた集合はパラコンパクトである。

証明.XXをコンパクト空間、U\mathcal UをXXの開被覆とする。XXはコンパクトであるから、U\mathcal Uは有限部分被覆をもつ。§E2.19 補題 1.3 (1)により有限部分被覆はU\mathcal Uの細分であり、添字集合が有限な族は局所有限であるから、有限部分被覆は局所有限な開被覆によるU\mathcal Uの細分である。

XXを離散位相を入れた集合、U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。各x∈Xx\in Xについてx∈Ui(x)x\in U_{i(x)}を満たすi(x)∈Ii(x)\in Iを選ぶ。一点集合の族({x})x∈X(\{x\})_{x\in X}はXXの開被覆であり、x↦i(x)x\mapsto i(x)は細分射である。各点xxの近傍{x}\{x\}はこの族の元のうち{x}\{x\}としか交わらないから、この族は局所有限である。▨

定理 2.4.XX、YYを位相空間、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを固有閉写像とする。このとき、YYがパラコンパクトならば、XXもパラコンパクトである。

証明.U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とし、§E2.20 補題 3.1の記号UAU_A、VAV_A（A∈[I]<∞A\in[I]^{<\infty}）を用いる。§E2.20 補題 3.1 (2)により(VA)A∈[I]<∞(V_A)_{A\in[I]^{<\infty}}はYYの開被覆であるから、YYがパラコンパクトであることにより、局所有限な開被覆(Wk)k∈K(W_k)_{k\in K}と細分射k↦A(k)k\mapsto A(k)が存在する。§E2.20 補題 3.1 (1)により、各k∈Kk\in Kについて

f−1(Wk)⊆f−1(VA(k))⊆UA(k)=⋃i∈A(k)Uif^{-1}(W_k)\subseteq f^{-1}(V_{A(k)})\subseteq U_{A(k)}=\bigcup_{i\in A(k)}U_i

である。L={(k,i)∈K×I∣i∈A(k)}L=\{(k,i)\in K\times I\mid i\in A(k)\}とおき、(k,i)∈L(k,i)\in Lに対してOk,i=f−1(Wk)∩UiO_{k,i}=f^{-1}(W_k)\cap U_iとおく。

各Ok,iO_{k,i}は開集合であり、Ok,i⊆UiO_{k,i}\subseteq U_iであるから、(k,i)↦i(k,i)\mapsto iは族(Ok,i)(k,i)∈L(O_{k,i})_{(k,i)\in L}からU\mathcal Uへの細分射である。x∈Xx\in Xをとると、f(x)∈Wkf(x)\in W_kを満たすk∈Kk\in Kが存在し、上の包含によりx∈Uix\in U_iを満たすi∈A(k)i\in A(k)が存在するから、x∈Ok,ix\in O_{k,i}である。したがってこの族はXXの開被覆である。§E2.36 命題 3.2 (2)により(f−1(Wk))k∈K(f^{-1}(W_k))_{k\in K}は局所有限であるから、xxの近傍NNで、N∩f−1(Wk)≠∅N\cap f^{-1}(W_k)\neq\emptysetを満たすkkが有限集合K0K_0に属するものが存在する。N∩Ok,i≠∅N\cap O_{k,i}\neq\emptysetならばk∈K0k\in K_0かつi∈A(k)i\in A(k)であり、各A(k)A(k)は有限集合であるから、そのような(k,i)(k,i)は有限個である。ゆえに(Ok,i)(k,i)∈L(O_{k,i})_{(k,i)\in L}は局所有限な開被覆によるU\mathcal Uの細分である。▨

系 2.5.XXをパラコンパクト空間とする。

  1. XXの閉集合AAに部分空間位相を入れた空間はパラコンパクトである。
  2. KKをコンパクト空間とすると、X×KX\times Kはパラコンパクトである。

証明.主張 (1)は、§E2.20 命題 1.2 (3)により包含写像A→XA\to Xが固有閉写像であることと、定理 2.4から従う。主張 (2)は、§E2.20 命題 4.5により射影pr⁡X ⁣:X×K→X\pr_X\colon X\times K\to Xが固有閉写像であることと、定理 2.4から従う。▨

補題 2.6.XXをパラコンパクト空間、AA、BBをXXの互いに交わらない閉集合とする。BBの各点bbに対して、b∈Wb\in WかつW‾∩A=∅\tpcl{W}\cap A=\emptysetを満たすXXの開集合WWが存在すると仮定する。このとき、A⊆UA\subseteq U、B⊆VB\subseteq V、U∩V=∅U\cap V=\emptysetを満たすXXの開集合UU、VVが存在する。

証明.W\mathcal Wを、W‾∩A=∅\tpcl{W}\cap A=\emptysetを満たすXXの開集合WWの全体とし、族(W)W∈W(W)_{W\in\mathcal W}に添字∗*をもつ元X∖BX\setminus Bを加えた族をU\mathcal Uとする。仮定によりBBはW\mathcal Wの元で覆われるから、U\mathcal UはXXの開被覆である。XXはパラコンパクトであるから、局所有限な開被覆(Ok)k∈K(O_k)_{k\in K}と細分射ψ ⁣:K→W⊔{∗}\psi\colon K\to\mathcal W\sqcup\{*\}が存在する。KB={k∈K∣Ok∩B≠∅}K_B=\{k\in K\mid O_k\cap B\neq\emptyset\}とおく。

k∈KBk\in K_BならばOk⊈X∖BO_k\not\subseteq X\setminus Bであるからψ(k)∈W\psi(k)\in\mathcal Wであり、Ok⊆ψ(k)O_k\subseteq\psi(k)からOk‾∩A⊆ψ(k)‾∩A=∅\tpcl{O_k}\cap A\subseteq\tpcl{\psi(k)}\cap A=\emptysetである。V=⋃k∈KBOkV=\bigcup_{k\in K_B}O_kとおくと、VVは開集合であり、BBの各点を含むOkO_kの添字はKBK_Bに属するからB⊆VB\subseteq Vである。命題 1.4 (2)により(Ok)k∈KB(O_k)_{k\in K_B}は閉包保存であるから、

V‾∩A=⋃k∈KB(Ok‾∩A)=∅\tpcl{V}\cap A=\bigcup_{k\in K_B}\bigl(\tpcl{O_k}\cap A\bigr)=\emptyset

である。U=X∖V‾U=X\setminus\tpcl{V}とおくと、UUはAAを含む開集合であり、U∩V=∅U\cap V=\emptysetである。▨

定理 2.7.XXをパラコンパクトな Hausdorff 空間とする。このとき、XXは T4 空間である。

証明.FFをXXの閉集合、x∈X∖Fx\in X\setminus Fとする。§E2.15 定理 1.11 (4)と§E2.15 命題 1.5により{x}\{x\}は閉集合である。b∈Fb\in Fをとると、XXは Hausdorff 空間であるから、b∈Wb\in W、x∈W′x\in W'、W∩W′=∅W\cap W'=\emptysetを満たす開集合WW、W′W'が存在する。W′W'はWWと交わらないxxの開近傍であるからx∉W‾x\notin\tpcl{W}であり、W‾∩{x}=∅\tpcl{W}\cap\{x\}=\emptysetである。補題 2.6をA={x}A=\{x\}、B=FB=Fに適用すると、xxとFFを分離する互いに交わらない開集合が得られる。ゆえにXXは正則である。

AA、BBをXXの互いに交わらない閉集合とする。XXは正則であるから、§E2.21 補題 2.1を閉集合の組(B,A)(B,A)に適用すると、BBの各点bbに対してb∈Wb\in WかつW‾∩A=∅\tpcl{W}\cap A=\emptysetを満たす開集合WWが存在する。補題 2.6によりAAとBBは互いに交わらない開集合で分離される。ゆえにXXは正規である。

XXは正規であり、§E2.15 定理 1.11 (4)により T1 空間であるから、§E2.15 定義 1.8により T4 空間である。▨

補題 2.8.XXをパラコンパクトな正則空間とする。このとき、XXの任意の開被覆(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}に対して、同じ添字集合IIで添字づけられたXXの局所有限な開被覆(Vi)i∈I(V_i)_{i\in I}であって、各i∈Ii\in IについてVi‾⊆Ui\tpcl{V_i}\subseteq U_iを満たすものが存在する。

証明.L={(i,W)∣i∈I, W は X の開集合, W‾⊆Ui}L=\{(i,W)\mid i\in I,\ W\text{ は }X\text{ の開集合},\ \tpcl{W}\subseteq U_i\}とおく。x∈Xx\in Xに対してx∈Uix\in U_iを満たすiiをとると、XXは正則であるから、§E2.15 補題 2.6によりx∈Wx\in WかつW‾⊆Ui\tpcl{W}\subseteq U_iを満たす開集合WWが存在する。したがって(W)(i,W)∈L(W)_{(i,W)\in L}はXXの開被覆である。XXはパラコンパクトであるから、局所有限な開被覆(Ok)k∈K(O_k)_{k\in K}と細分射k↦(ik,Wk)k\mapsto(i_k,W_k)が存在し、Ok‾⊆Wk‾⊆Uik\tpcl{O_k}\subseteq\tpcl{W_k}\subseteq U_{i_k}である。φ(k)=ik\varphi(k)=i_kとおくとφ\varphiは(Ok)k∈K(O_k)_{k\in K}から(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}への細分射であり、Vi=⋃k∈φ−1(i)OkV_i=\bigcup_{k\in\varphi^{-1}(i)}O_kとおく。補題 1.6 (1)、補題 1.6 (2)、補題 1.6 (3)により(Vi)i∈I(V_i)_{i\in I}はXXの局所有限な開被覆である。命題 1.4 (2)により(Ok)k∈K(O_k)_{k\in K}は閉包保存であるから、

Vi‾=⋃k∈φ−1(i)Ok‾⊆Ui\tpcl{V_i}=\bigcup_{k\in\varphi^{-1}(i)}\tpcl{O_k}\subseteq U_i

である。▨

3 1 の分割

定義 3.1 (1 の分割).XXを位相空間、(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。連続写像ϕi ⁣:X→[0,1]\phi_i\colon X\to[0,1]の族(ϕi)i∈I(\phi_i)_{i\in I}が次の条件を満たすとき、(ϕi)i∈I(\phi_i)_{i\in I}を(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}に 従属する 1 の分割 (partition of unity subordinate to an open cover) という。

  1. 各i∈Ii\in Iについて、§E2.24 定義 2.3の台supp⁡ϕi\supp\phi_iはUiU_iに含まれる。
  2. 族(supp⁡ϕi)i∈I(\supp\phi_i)_{i\in I}は局所有限である。
  3. 各x∈Xx\in Xについて、ϕi(x)≠0\phi_i(x)\neq0を満たすi∈Ii\in Iは有限個であり、∑i∈Iϕi(x)=1\sum_{i\in I}\phi_i(x)=1である。

定理 3.2.XXを位相空間とし、XXについての次の二条件を考える。

  1. XXはパラコンパクトである。
  2. XXの任意の開被覆に対して、その開被覆に従属する 1 の分割が存在する。

このとき(2)⇒\Rightarrow(1)が成り立つ。XXが正則ならば(1)⇔\Leftrightarrow(2)が成り立つ。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。XXを正則なパラコンパクト空間、(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。補題 2.8により、XXの局所有限な開被覆(Vi)i∈I(V_i)_{i\in I}で各iiについてVi‾⊆Ui\tpcl{V_i}\subseteq U_iを満たすものが存在する。同じ補題を(Vi)i∈I(V_i)_{i\in I}に適用すると、XXの開被覆(Wi)i∈I(W_i)_{i\in I}で各iiについてWi‾⊆Vi\tpcl{W_i}\subseteq V_iを満たすものが存在する。XXの互いに交わらない閉集合の組は、§E2.21 補題 2.1と補題 2.6により互いに交わらない開集合で分離されるから、XXは正規である。§E2.18 定理 3.1を互いに交わらない閉集合X∖ViX\setminus V_iとWi‾\tpcl{W_i}に適用すると、連続写像fi ⁣:X→[0,1]f_i\colon X\to[0,1]でX∖ViX\setminus V_i上で00、Wi‾\tpcl{W_i}上で11をとるものが存在する。

{x∣fi(x)≠0}⊆Vi\{x\mid f_i(x)\neq0\}\subseteq V_iであるからsupp⁡fi⊆Vi‾⊆Ui\supp f_i\subseteq\tpcl{V_i}\subseteq U_iである。命題 1.4 (3)により(Vi‾)i∈I(\tpcl{V_i})_{i\in I}は局所有限であり、§E2.36 命題 3.2 (1)により(supp⁡fi)i∈I(\supp f_i)_{i\in I}は局所有限である。(Vi)i∈I(V_i)_{i\in I}は局所有限な開集合の族であり、各fif_iはX∖ViX\setminus V_i上で00をとるから、§E2.36 補題 3.3によりs=∑i∈Ifis=\sum_{i\in I}f_iは連続写像X→RX\to\Rを定める。x∈Xx\in Xをとるとx∈Wix\in W_iを満たすiiが存在し、fi(x)=1f_i(x)=1であり、各fkf_kは非負であるからs(x)≥1s(x)\geq1である。ϕi=fi/s\phi_i=f_i/sとおくと、ϕi\phi_iは連続であり、0≤fi≤s0\leq f_i\leq sから値は[0,1][0,1]に属する。{x∣ϕi(x)≠0}={x∣fi(x)≠0}\{x\mid\phi_i(x)\neq0\}=\{x\mid f_i(x)\neq0\}であるからsupp⁡ϕi=supp⁡fi\supp\phi_i=\supp f_iであり、各xxについて∑i∈Iϕi(x)=s(x)/s(x)=1\sum_{i\in I}\phi_i(x)=s(x)/s(x)=1である。ゆえに(ϕi)i∈I(\phi_i)_{i\in I}は(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}に従属する 1 の分割である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とし、(ϕi)i∈I(\phi_i)_{i\in I}をそれに従属する 1 の分割とする。Oi=ϕi−1((0,1])O_i=\phi_i^{-1}((0,1])とおくと、OiO_iは開集合であり、Oi⊆supp⁡ϕi⊆UiO_i\subseteq\supp\phi_i\subseteq U_iである。§E2.36 命題 3.2 (1)により(Oi)i∈I(O_i)_{i\in I}は局所有限である。各xxについて∑i∈Iϕi(x)=1\sum_{i\in I}\phi_i(x)=1であるからϕi(x)>0\phi_i(x)>0を満たすiiが存在し、(Oi)i∈I(O_i)_{i\in I}はXXの被覆である。ゆえに(Oi)i∈I(O_i)_{i\in I}は局所有限な開被覆による(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}の細分であり、XXはパラコンパクトである。▨

4 細分による特徴づけ

補題 4.1.XXを位相空間、U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの被覆、V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}をXXの被覆とし、写像φ ⁣:J→I\varphi\colon J\to Iが各j∈Jj\in JについてVj⊆Uφ(j)V_j\subseteq U_{\varphi(j)}を満たすとする。JJの部分集合の列(Jn)n∈N≥1(J_n)_{n\in\NN}がJ=⋃n∈N≥1JnJ=\bigcup_{n\in\NN}J_nを満たし、各nnについてWn=⋃j∈JnVjW_n=\bigcup_{j\in J_n}V_jが開集合であるとする。J∗={(n,j)∈N≥1×J∣j∈Jn}J^*=\{(n,j)\in\NN\times J\mid j\in J_n\}とおき、(n,j)∈J∗(n,j)\in J^*に対して

Vn,j′=Vj∖⋃k<nWkV'_{n,j}=V_j\setminus\bigcup_{k<n}W_k

とおく。

  1. (Vn,j′)(n,j)∈J∗(V'_{n,j})_{(n,j)\in J^*}はXXの被覆であり、(n,j)↦φ(j)(n,j)\mapsto\varphi(j)はこの族からU\mathcal Uへの細分射である。
  2. 各nnについて(Vj)j∈Jn(V_j)_{j\in J_n}が局所有限ならば、(Vn,j′)(n,j)∈J∗(V'_{n,j})_{(n,j)\in J^*}は局所有限である。
  3. 各nnと任意のJ′⊆JnJ'\subseteq J_nについて⋃j∈J′Vj‾⊆⋃j∈J′Uφ(j)\tpcl{\bigcup_{j\in J'}V_j}\subseteq\bigcup_{j\in J'}U_{\varphi(j)}が成り立つならば、(Vn,j′)(n,j)∈J∗(V'_{n,j})_{(n,j)\in J^*}は(n,j)↦φ(j)(n,j)\mapsto\varphi(j)に関するU\mathcal Uのクッション細分である。

証明.V\mathcal VはXXの被覆であるから⋃n∈N≥1Wn=X\bigcup_{n\in\NN}W_n=Xである。(n,j)∈J∗(n,j)\in J^*とm<nm<nについてVn,j′⊆X∖WmV'_{n,j}\subseteq X\setminus W_mである。

主張 (1)を示す。x∈Xx\in Xをとり、x∈Wnx\in W_nを満たす最小のnnをとる。x∈Vjx\in V_jを満たすj∈Jnj\in J_nが存在し、nnの最小性からx∉⋃k<nWkx\notin\bigcup_{k<n}W_kであるから、x∈Vn,j′x\in V'_{n,j}である。またVn,j′⊆Vj⊆Uφ(j)V'_{n,j}\subseteq V_j\subseteq U_{\varphi(j)}である。

主張 (2)を示す。x∈Xx\in Xをとり、x∈Wmx\in W_mを満たすmmをとる。WmW_mはxxの開近傍であり、n>mn>mならばWm∩Vn,j′=∅W_m\cap V'_{n,j}=\emptysetである。n≤mn\leq mについて、§E2.36 命題 3.2 (1)により(Vn,j′)j∈Jn(V'_{n,j})_{j\in J_n}は局所有限であるから、xxの近傍NnN_nで、Nn∩Vn,j′≠∅N_n\cap V'_{n,j}\neq\emptysetを満たすj∈Jnj\in J_nが有限個であるものが存在する。N=Wm∩N1∩⋯∩NmN=W_m\cap N_1\cap\cdots\cap N_mはxxの近傍であり、N∩Vn,j′≠∅N\cap V'_{n,j}\neq\emptysetを満たす(n,j)∈J∗(n,j)\in J^*は有限個である。

主張 (3)を示す。L⊆J∗L\subseteq J^*とし、x∈⋃(n,j)∈LVn,j′‾x\in\tpcl{\bigcup_{(n,j)\in L}V'_{n,j}}とする。x∈Wmx\in W_mを満たすmmをとる。WmW_mはxxの開近傍であって⋃(n,j)∈L, n>mVn,j′\bigcup_{(n,j)\in L,\,n>m}V'_{n,j}と交わらないから、x∈⋃(n,j)∈L, n≤mVn,j′‾x\in\tpcl{\bigcup_{(n,j)\in L,\,n\leq m}V'_{n,j}}である。有限個の集合の和の閉包は閉包の和であるから、Ln={j∈Jn∣(n,j)∈L}L_n=\{j\in J_n\mid(n,j)\in L\}とおくと、x∈⋃j∈LnVn,j′‾x\in\tpcl{\bigcup_{j\in L_n}V'_{n,j}}を満たすn≤mn\leq mが存在し、そのnnについて

x∈⋃j∈LnVn,j′‾⊆⋃j∈LnVj‾⊆⋃j∈LnUφ(j)x\in\tpcl{\bigcup_{j\in L_n}V'_{n,j}}\subseteq\tpcl{\bigcup_{j\in L_n}V_j}\subseteq\bigcup_{j\in L_n}U_{\varphi(j)}

である。ゆえにx∈⋃(n,j)∈LUφ(j)x\in\bigcup_{(n,j)\in L}U_{\varphi(j)}である。▨

補題 4.2.XXを正則空間とする。このとき、次が成り立つ。

  1. XXの任意の開被覆が局所有限な被覆による細分をもつならば、XXの任意の開被覆は局所有限な閉被覆による細分をもつ。
  2. XXの任意の開被覆が閉包保存な被覆による細分をもつならば、XXの任意の開被覆は閉包保存な閉被覆による細分をもつ。

証明.U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とし、L={(i,W)∣i∈I, W は X の開集合, W‾⊆Ui}L=\{(i,W)\mid i\in I,\ W\text{ は }X\text{ の開集合},\ \tpcl{W}\subseteq U_i\}とおく。x∈Xx\in Xに対してx∈Uix\in U_iを満たすiiをとると、XXは正則であるから、§E2.15 補題 2.6によりx∈Wx\in WかつW‾⊆Ui\tpcl{W}\subseteq U_iを満たす開集合WWが存在する。したがって(W)(i,W)∈L(W)_{(i,W)\in L}はXXの開被覆である。

主張 (1)を示す。仮定により、開被覆(W)(i,W)∈L(W)_{(i,W)\in L}の細分である局所有限な被覆(Ak)k∈K(A_k)_{k\in K}と、細分射k↦(ik,Wk)k\mapsto(i_k,W_k)が存在する。(Ak‾)k∈K(\tpcl{A_k})_{k\in K}はXXの閉被覆であり、命題 1.4 (3)により局所有限である。Ak‾⊆Wk‾⊆Uik\tpcl{A_k}\subseteq\tpcl{W_k}\subseteq U_{i_k}であるから、k↦ikk\mapsto i_kはU\mathcal Uへの細分射であり、(Ak‾)k∈K(\tpcl{A_k})_{k\in K}は局所有限な閉被覆によるU\mathcal Uの細分である。

主張 (2)を示す。仮定により、開被覆(W)(i,W)∈L(W)_{(i,W)\in L}の細分である閉包保存な被覆(Ak)k∈K(A_k)_{k\in K}と、細分射k↦(ik,Wk)k\mapsto(i_k,W_k)が存在する。(Ak‾)k∈K(\tpcl{A_k})_{k\in K}はXXの閉被覆であり、命題 1.4 (3)により閉包保存である。Ak‾⊆Wk‾⊆Uik\tpcl{A_k}\subseteq\tpcl{W_k}\subseteq U_{i_k}であるから、(Ak‾)k∈K(\tpcl{A_k})_{k\in K}は閉包保存な閉被覆によるU\mathcal Uの細分である。▨

補題 4.3.XXを位相空間とする。このとき、XXの任意の開被覆が局所有限な閉被覆による細分をもつならば、XXはパラコンパクトである。

証明.U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とし、U\mathcal Uの細分である局所有限な閉被覆A=(As)s∈S\mathcal A=(A_s)_{s\in S}と細分射ψ ⁣:S→I\psi\colon S\to Iをとる。A\mathcal Aは局所有限であるから、各x∈Xx\in Xは、有限個のssについてしかAsA_sと交わらない開近傍OxO_xをもつ。(Ox)x∈X(O_x)_{x\in X}はXXの開被覆であるから、仮定によりその細分である局所有限な閉被覆B=(Bt)t∈T\mathcal B=(B_t)_{t\in T}が存在する。各t∈Tt\in TについてBt⊆OxB_t\subseteq O_xを満たすx∈Xx\in Xが存在するから、Bt∩As≠∅B_t\cap A_s\neq\emptysetを満たすssは有限個である。

s∈Ss\in Sに対して

As∗=X∖⋃{Bt∣t∈T, Bt∩As=∅}A^*_s=X\setminus\bigcup\{B_t\mid t\in T,\ B_t\cap A_s=\emptyset\}

とおく。命題 1.4 (2)によりB\mathcal Bは閉包保存であるから、命題 1.4 (4)により右辺で除く和集合は閉集合であり、As∗A^*_sは開集合である。Bt∩As=∅B_t\cap A_s=\emptysetを満たすBtB_tはAsA_sの点を含まないからAs⊆As∗A_s\subseteq A^*_sである。また、Bt∩As∗≠∅B_t\cap A^*_s\neq\emptysetならばBt∩As≠∅B_t\cap A_s\neq\emptysetである。

Vs=As∗∩Uψ(s)V_s=A^*_s\cap U_{\psi(s)}とおく。VsV_sは開集合であり、As⊆Vs⊆Uψ(s)A_s\subseteq V_s\subseteq U_{\psi(s)}であるから、(Vs)s∈S(V_s)_{s\in S}はXXの開被覆であってψ\psiを細分射とするU\mathcal Uの細分である。x∈Xx\in Xをとり、有限個のt1,…,tmt_1,\dots,t_mについてしかBtB_tと交わらないxxの近傍NNをとる。B\mathcal BはXXの被覆であるからN⊆Bt1∪⋯∪BtmN\subseteq B_{t_1}\cup\cdots\cup B_{t_m}である。N∩Vs≠∅N\cap V_s\neq\emptysetならば、Btk∩As∗≠∅B_{t_k}\cap A^*_s\neq\emptysetを満たすkkが存在し、そのkkについてBtk∩As≠∅B_{t_k}\cap A_s\neq\emptysetである。各BtkB_{t_k}と交わるAsA_sは有限個であるから、NNと交わるVsV_sは有限個である。ゆえに(Vs)s∈S(V_s)_{s\in S}は局所有限な開被覆によるU\mathcal Uの細分である。▨

命題 4.4.XXを位相空間とし、XXの任意の開被覆U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}に対して、XXの被覆V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}と写像φ ⁣:J→I\varphi\colon J\to Iで、V\mathcal Vがφ\varphiに関するU\mathcal Uのクッション細分であるものが存在するとする。

  1. XXは正規である。
  2. XXの任意の開被覆は σ-疎な開被覆による細分をもつ。

証明.

主張 4.4.1.XXの任意の開被覆(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}に対して、XXの閉被覆(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}で、恒等写像id⁡I\operatorname{id}_Iに関する(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}のクッション細分であるものが存在する。このとき各i∈Ii\in IについてFi⊆UiF_i\subseteq U_iである。

証明. 仮定により、φ\varphiに関する(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}のクッション細分V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}が存在する。任意のjjについてJ′={j}J'=\{j\}とするとVj⊆Vj‾⊆Uφ(j)V_j\subseteq\tpcl{V_j}\subseteq U_{\varphi(j)}であるから、φ\varphiは細分射である。Ci=⋃j∈φ−1(i)VjC_i=\bigcup_{j\in\varphi^{-1}(i)}V_jとおくと、補題 1.6 (1)と補題 1.6 (4)により(Ci)i∈I(C_i)_{i\in I}はid⁡I\operatorname{id}_Iに関する(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}のクッション細分である。Fi=Ci‾F_i=\tpcl{C_i}とおく。(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}はXXの閉被覆であり、任意のI′⊆II'\subseteq Iについて⋃i∈I′Ci‾⊆⋃i∈I′Ci‾\bigcup_{i\in I'}\tpcl{C_i}\subseteq\tpcl{\bigcup_{i\in I'}C_i}であるから

⋃i∈I′Fi‾=⋃i∈I′Ci‾⊆⋃i∈I′Ui\tpcl{\bigcup_{i\in I'}F_i}=\tpcl{\bigcup_{i\in I'}C_i}\subseteq\bigcup_{i\in I'}U_i

である。I′={i}I'=\{i\}とするとFi⊆UiF_i\subseteq U_iを得る。▨

主張 (1)を示す。EE、FFをXXの互いに交わらない閉集合とする。(X∖F,X∖E)(X\setminus F,X\setminus E)はXXの開被覆であるから、主張 4.4.1により、閉集合C1⊆X∖FC_1\subseteq X\setminus F、C2⊆X∖EC_2\subseteq X\setminus EでC1∪C2=XC_1\cup C_2=Xを満たすものが存在する。X∖C1X\setminus C_1とX∖C2X\setminus C_2は開集合であり、C1∪C2=XC_1\cup C_2=Xから互いに交わらない。C1∩F=∅C_1\cap F=\emptysetからF⊆X∖C1F\subseteq X\setminus C_1であり、C2∩E=∅C_2\cap E=\emptysetからE⊆X∖C2E\subseteq X\setminus C_2である。ゆえにXXは正規である。

主張 (2)を示す。X=∅X=\emptysetならば空の族が求める細分を与えるから、X≠∅X\neq\emptysetとする。U=(Ua)a∈A\mathcal U=(U_a)_{a\in A}をXXの開被覆とするとA≠∅A\neq\emptysetである。§E1.20 定理 2.1 (2)によりAAに整列順序<<を入れる。

主張 4.4.2.(Ha)a∈A(H_a)_{a\in A}を閉集合からなるXXの疎な族で、各a∈Aa\in AについてHa⊆UaH_a\subseteq U_aを満たすものとする。このとき、開集合からなるXXの疎な族(Oa)a∈A(O_a)_{a\in A}で、各a∈Aa\in AについてHa⊆Oa⊆UaH_a\subseteq O_a\subseteq U_aを満たすものが存在する。

証明.a∈Aa\in Aに対してRa=X∖⋃b≠aHbR_a=X\setminus\bigcup_{b\neq a}H_bとおく。命題 1.4 (2)により(Hb)b≠a(H_b)_{b\neq a}は閉包保存であるから、命題 1.4 (4)によりRaR_aは開集合である。x∈Xx\in Xをとる。命題 1.4 (1)によりxxを含むHbH_bは高々一つである。x∈Hax\in H_aを満たすaaがあればそのaaについて、なければ任意のa∈Aa\in Aについて、x∈Rax\in R_aである。したがって(Ra)a∈A(R_a)_{a\in A}はXXの開被覆である。主張 4.4.1により、XXの閉被覆(Ba)a∈A(B_a)_{a\in A}でid⁡A\operatorname{id}_Aに関する(Ra)a∈A(R_a)_{a\in A}のクッション細分であるものが存在する。Pa=X∖⋃b≠aBb‾P_a=X\setminus\tpcl{\bigcup_{b\neq a}B_b}とおく。

PaP_aは開集合である。a≠a′a\neq a'ならば、任意のb∈Ab\in Aはb≠ab\neq aまたはb≠a′b\neq a'を満たすからPa∩Pa′⊆X∖⋃b∈ABb=∅P_a\cap P_{a'}\subseteq X\setminus\bigcup_{b\in A}B_b=\emptysetである。クッション性により⋃b≠aBb‾⊆⋃b≠aRb\tpcl{\bigcup_{b\neq a}B_b}\subseteq\bigcup_{b\neq a}R_bであり、b≠ab\neq aならばRb∩Ha=∅R_b\cap H_a=\emptysetであるから、Ha⊆PaH_a\subseteq P_aである。

命題 1.4 (2)と命題 1.4 (4)によりH=⋃a∈AHaH=\bigcup_{a\in A}H_aは閉集合であり、H⊆⋃a∈APaH\subseteq\bigcup_{a\in A}P_aである。主張 (1)によりXXは正規であるから、§E2.18 補題 2.1 (1)⇒\Rightarrow(2)により、開集合QQでH⊆Q⊆Q‾⊆⋃a∈APaH\subseteq Q\subseteq\tpcl{Q}\subseteq\bigcup_{a\in A}P_aを満たすものが存在する。Oa=Q∩Pa∩UaO_a=Q\cap P_a\cap U_aとおくと、OaO_aは開集合であってHa⊆Oa⊆UaH_a\subseteq O_a\subseteq U_aを満たす。z∈Xz\in Xをとる。z∉Q‾z\notin\tpcl{Q}ならば、X∖Q‾X\setminus\tpcl{Q}はどのOaO_aとも交わらないzzの近傍である。z∈Q‾z\in\tpcl{Q}ならばz∈Paz\in P_aを満たすaaが存在し、PaP_aはObO_b（b≠ab\neq a）と交わらないzzの近傍である。ゆえに(Oa)a∈A(O_a)_{a\in A}は疎な族である。▨

m∈N≥1m\in\NNについて、XXの開被覆Gm=(Ga,m)a∈A\mathcal G_m=(G_{a,m})_{a\in A}と、XXの閉被覆Fm=(Fa,m)a∈A\mathcal F_m=(F_{a,m})_{a\in A}でid⁡A\operatorname{id}_Aに関するGm\mathcal G_mのクッション細分であるものを、帰納的に次のように定める。Ga,1=UaG_{a,1}=U_aとおく。Gm\mathcal G_mがXXの開被覆として定まったとき、主張 4.4.1によりFm\mathcal F_mをとり、

Ga,m+1=Ua∖⋃b<aFb,m‾G_{a,m+1}=U_a\setminus\tpcl{\bigcup_{b<a}F_{b,m}}

とおく。Ga,m+1G_{a,m+1}は開集合である。x∈Xx\in Xをとる。x∈⋃b<λFb,m‾x\in\tpcl{\bigcup_{b<\lambda}F_{b,m}}を満たすλ∈A\lambda\in Aが存在しないならば、x∈Fa,mx\in F_{a,m}を満たすaaについて、x∈Fa,m⊆Ga,m⊆Uax\in F_{a,m}\subseteq G_{a,m}\subseteq U_aかつx∉⋃b<aFb,m‾x\notin\tpcl{\bigcup_{b<a}F_{b,m}}であるからx∈Ga,m+1x\in G_{a,m+1}である。そのようなλ\lambdaが存在するならば、その最小のものをλ\lambdaとする。クッション性により⋃b<λFb,m‾⊆⋃b<λGb,m\tpcl{\bigcup_{b<\lambda}F_{b,m}}\subseteq\bigcup_{b<\lambda}G_{b,m}であるから、x∈Gb,m⊆Ubx\in G_{b,m}\subseteq U_bを満たすb<λb<\lambdaが存在し、λ\lambdaの最小性からx∉⋃c<bFc,m‾x\notin\tpcl{\bigcup_{c<b}F_{c,m}}である。ゆえにx∈Gb,m+1x\in G_{b,m+1}であり、Gm+1\mathcal G_{m+1}はXXの開被覆である。

x∈Xx\in Xとm∈N≥1m\in\NNについてfm(x)=min⁡{a∈A∣x∈Fa,m}f_m(x)=\min\{a\in A\mid x\in F_{a,m}\}とおく。x∈Fc,m+1x\in F_{c,m+1}ならばc≤fm(x)c\leq f_m(x)である。実際、c>fm(x)c>f_m(x)ならばx∈Ffm(x),m⊆⋃b<cFb,m‾x\in F_{f_m(x),m}\subseteq\tpcl{\bigcup_{b<c}F_{b,m}}であるからx∉Gc,m+1x\notin G_{c,m+1}であり、Fc,m+1⊆Gc,m+1F_{c,m+1}\subseteq G_{c,m+1}と両立しない。したがってfm+1(x)≤fm(x)f_{m+1}(x)\leq f_m(x)である。{fm(x)∣m∈N≥1}\{f_m(x)\mid m\in\NN\}の最小元をfm0(x)f_{m_0}(x)とすると、m≥m0m\geq m_0ならばfm(x)=fm0(x)f_m(x)=f_{m_0}(x)である。

a∈Aa\in Aとn∈N≥1n\in\NNに対してHa,n=⋂m≥nFa,mH_{a,n}=\bigcap_{m\geq n}F_{a,m}とおく。Ha,nH_{a,n}は閉集合であり、Ha,n⊆Fa,n⊆Ga,n⊆UaH_{a,n}\subseteq F_{a,n}\subseteq G_{a,n}\subseteq U_aである。x∈Xx\in Xについて上のm0m_0をとりa=fm0(x)a=f_{m_0}(x)とおくと、m≥m0m\geq m_0ならばx∈Fa,mx\in F_{a,m}であるからx∈Ha,m0x\in H_{a,m_0}である。したがって(Ha,n)(a,n)∈A×N≥1(H_{a,n})_{(a,n)\in A\times\NN}はXXの被覆である。

n∈N≥1n\in\NNとz∈Xz\in Xをとる。zzについて上のm0m_0をとり、m=max⁡{n,m0}m=\max\{n,m_0\}とおくとfm(z)=fm+1(z)f_m(z)=f_{m+1}(z)であり、この値をffとおく。z∈Ff,m+1⊆Gf,m+1z\in F_{f,m+1}\subseteq G_{f,m+1}であるから、zzは開集合O1=X∖⋃b<fFb,m‾O_1=X\setminus\tpcl{\bigcup_{b<f}F_{b,m}}に属する。a>fa>fならばz∈Ff,m⊆⋃b<aFb,m‾z\in F_{f,m}\subseteq\tpcl{\bigcup_{b<a}F_{b,m}}であるからz∉Ga,m+1z\notin G_{a,m+1}であり、クッション性により⋃a>fFa,m+1‾⊆⋃a>fGa,m+1\tpcl{\bigcup_{a>f}F_{a,m+1}}\subseteq\bigcup_{a>f}G_{a,m+1}であるから、zzは開集合O2=X∖⋃a>fFa,m+1‾O_2=X\setminus\tpcl{\bigcup_{a>f}F_{a,m+1}}に属する。b<fb<fならばHb,n⊆Fb,mH_{b,n}\subseteq F_{b,m}はO1O_1と交わらず、a>fa>fならばHa,n⊆Fa,m+1H_{a,n}\subseteq F_{a,m+1}はO2O_2と交わらない。zzの開近傍O1∩O2O_1\cap O_2と交わるHa,nH_{a,n}はa=fa=fのものに限られるから、(Ha,n)a∈A(H_{a,n})_{a\in A}は疎な族である。

各n∈N≥1n\in\NNについて、主張 4.4.2を(Ha,n)a∈A(H_{a,n})_{a\in A}に適用して、開集合からなる疎な族(Oa,n)a∈A(O_{a,n})_{a\in A}でHa,n⊆Oa,n⊆UaH_{a,n}\subseteq O_{a,n}\subseteq U_aを満たすものをとる。(Ha,n)(a,n)∈A×N≥1(H_{a,n})_{(a,n)\in A\times\NN}がXXの被覆であるから、(Oa,n)(a,n)∈A×N≥1(O_{a,n})_{(a,n)\in A\times\NN}はXXの開被覆であり、(a,n)↦a(a,n)\mapsto aはU\mathcal Uへの細分射である。Jn=A×{n}J_n=A\times\{n\}とおけば各(Oa,n)(a,n)∈Jn(O_{a,n})_{(a,n)\in J_n}は疎な族であるから、この開被覆は σ-疎であり、U\mathcal Uの細分である。▨

定理 4.5.XXを正則空間とする。このとき、次の 14 条件は同値である。

  1. XXの任意の開被覆は、局所有限な開被覆による細分をもつ。すなわち、XXはパラコンパクトである。
  2. XXの任意の開被覆は、局所有限な被覆による細分をもつ。
  3. XXの任意の開被覆は、局所有限な閉被覆による細分をもつ。
  4. XXの任意の開被覆は、σ-局所有限な開被覆による細分をもつ。
  5. XXの任意の開被覆は、開被覆による重心細分をもつ。
  6. XXの任意の開被覆は、開被覆による星型細分をもつ。
  7. XXの任意の開被覆は、σ-疎な開被覆による細分をもつ。
  8. XXの任意の開被覆は、閉包保存な開被覆による細分をもつ。
  9. XXの任意の開被覆は、閉包保存な被覆による細分をもつ。
  10. XXの任意の開被覆は、閉包保存な閉被覆による細分をもつ。
  11. XXの任意の開被覆は、開被覆によるクッション細分をもつ。
  12. XXの任意の開被覆は、クッション細分をもつ。
  13. XXの任意の開被覆は、閉被覆によるクッション細分をもつ。
  14. XXの任意の開被覆は、開被覆による σ-クッション細分をもつ。

証明.(1)⇒\Rightarrow(5)を示す。U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。XXは正則なパラコンパクト空間であるから、補題 2.8により、同じ添字集合IIで添字づけられたXXの局所有限な開被覆(Pi)i∈I(P_i)_{i\in I}で、各iiについてPi⊆UiP_i\subseteq U_iを満たすものが存在する。同じ補題を(Pi)i∈I(P_i)_{i\in I}に適用し、XXの局所有限な開被覆(Qi)i∈I(Q_i)_{i\in I}で各iiについてQi‾⊆Pi\tpcl{Q_i}\subseteq P_iを満たすものをとって、Fi=Qi‾F_i=\tpcl{Q_i}とおく。命題 1.4 (3)により(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}はXXの局所有限な閉被覆である。x∈Xx\in Xに対してIx={i∈I∣x∈Fi}I_x=\{i\in I\mid x\in F_i\}とおくと、IxI_xは空でない有限集合である。

Vx=⋂i∈IxPi∖⋃i∈I∖IxFiV_x=\bigcap_{i\in I_x}P_i\setminus\bigcup_{i\in I\setminus I_x}F_i

とおく。命題 1.4 (2)と命題 1.4 (4)により⋃i∈I∖IxFi\bigcup_{i\in I\setminus I_x}F_iは閉集合であるから、VxV_xはxxを含む開集合である。y∈Xy\in Xをとり、y∈Fiy\in F_iを満たすiiをとる。y∈Vxy\in V_xならば、y∉⋃k∈I∖IxFky\notin\bigcup_{k\in I\setminus I_x}F_kとy∈Fiy\in F_iからi∈Ixi\in I_xであり、Vx⊆PiV_x\subseteq P_iである。したがってSt⁡(y,(Vx)x∈X)⊆Pi⊆Ui\operatorname{St}(y,(V_x)_{x\in X})\subseteq P_i\subseteq U_iであり、(St⁡(y,(Vx)x∈X))y∈X(\operatorname{St}(y,(V_x)_{x\in X}))_{y\in X}はU\mathcal Uの細分である。Vx⊆St⁡(x,(Vx)x∈X)V_x\subseteq\operatorname{St}(x,(V_x)_{x\in X})であるから(Vx)x∈X(V_x)_{x\in X}もU\mathcal Uの細分である。ゆえに(Vx)x∈X(V_x)_{x\in X}は開被覆によるU\mathcal Uの重心細分である。

(5)⇒\Rightarrow(6)を示す。U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とし、主張 (5)を二度用いて、開被覆によるU\mathcal Uの重心細分V\mathcal Vと、開被覆によるV\mathcal Vの重心細分W=(Wk)k∈K\mathcal W=(W_k)_{k\in K}をとる。§E2.19 補題 1.3 (2)によりW\mathcal WはU\mathcal Uの細分である。k∈Kk\in Kをとる。Wk=∅W_k=\emptysetならばSt⁡(Wk,W)=∅\operatorname{St}(W_k,\mathcal W)=\emptysetである。Wk≠∅W_k\neq\emptysetならばx0∈Wkx_0\in W_kをとる。Wl∩Wk≠∅W_l\cap W_k\neq\emptysetを満たすl∈Kl\in Kとy∈Wl∩Wky\in W_l\cap W_kをとると、Wl∪Wk⊆St⁡(y,W)W_l\cup W_k\subseteq\operatorname{St}(y,\mathcal W)であり、St⁡(y,W)⊆V\operatorname{St}(y,\mathcal W)\subseteq Vを満たすV\mathcal Vの元VVが存在する。x0∈Wk⊆Vx_0\in W_k\subseteq VであるからWl⊆V⊆St⁡(x0,V)W_l\subseteq V\subseteq\operatorname{St}(x_0,\mathcal V)である。したがってSt⁡(Wk,W)⊆St⁡(x0,V)\operatorname{St}(W_k,\mathcal W)\subseteq\operatorname{St}(x_0,\mathcal V)であり、右辺を含むU\mathcal Uの元が存在する。ゆえに(St⁡(Wk,W))k∈K(\operatorname{St}(W_k,\mathcal W))_{k\in K}はU\mathcal Uの細分であり、W\mathcal Wは開被覆によるU\mathcal Uの星型細分である。

(6)⇒\Rightarrow(11)を示す。U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とし、開被覆によるU\mathcal Uの星型細分V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}と、St⁡(Vj,V)⊆Uφ(j)\operatorname{St}(V_j,\mathcal V)\subseteq U_{\varphi(j)}を満たす写像φ ⁣:J→I\varphi\colon J\to Iをとる。J′⊆JJ'\subseteq Jとし、x∈⋃j∈J′Vj‾x\in\tpcl{\bigcup_{j\in J'}V_j}とする。x∈Vkx\in V_kを満たすk∈Jk\in Jをとると、VkV_kはxxの開近傍であるから、Vk∩Vj≠∅V_k\cap V_j\neq\emptysetを満たすj∈J′j\in J'が存在する。このjjについてx∈Vk⊆St⁡(Vj,V)⊆Uφ(j)x\in V_k\subseteq\operatorname{St}(V_j,\mathcal V)\subseteq U_{\varphi(j)}である。ゆえにV\mathcal Vはφ\varphiに関するU\mathcal Uのクッション細分である。

(11)⇒\Rightarrow(14)は、すべてのnnについてJn=JJ_n=Jとおけば定義から従う。

(14)⇒\Rightarrow(12)を示す。U\mathcal UをXXの開被覆とし、主張 (14)により、開被覆(Vj)j∈J(V_j)_{j\in J}による、φ\varphiに関するU\mathcal Uの σ-クッション細分と、その定義に現れる列(Jn)n∈N≥1(J_n)_{n\in\NN}をとる。J′={j}J'=\{j\}とした包含により各jjについてVj⊆Uφ(j)V_j\subseteq U_{\varphi(j)}であり、各⋃j∈JnVj\bigcup_{j\in J_n}V_jは開集合である。補題 4.1 (1)と補題 4.1 (3)により、補題 4.1の族(Vn,j′)(n,j)∈J∗(V'_{n,j})_{(n,j)\in J^*}はU\mathcal Uのクッション細分である。

(12)⇒\Rightarrow(7)は命題 4.4 (2)である。(7)⇒\Rightarrow(4)は、疎な族が局所有限であること（命題 1.4 (2)）から従う。

(4)⇒\Rightarrow(2)を示す。U\mathcal UをXXの開被覆とし、主張 (4)により σ-局所有限な開被覆(Vj)j∈J(V_j)_{j\in J}によるU\mathcal Uの細分、細分射φ\varphi、およびJJの部分集合の列(Jn)n∈N≥1(J_n)_{n\in\NN}で各(Vj)j∈Jn(V_j)_{j\in J_n}が局所有限であるものをとる。各⋃j∈JnVj\bigcup_{j\in J_n}V_jは開集合であるから、補題 4.1 (1)と補題 4.1 (2)により、補題 4.1の族(Vn,j′)(n,j)∈J∗(V'_{n,j})_{(n,j)\in J^*}は局所有限な被覆によるU\mathcal Uの細分である。

(2)⇒\Rightarrow(3)は補題 4.2 (1)であり、(3)⇒\Rightarrow(1)は補題 4.3である。

(1)⇒\Rightarrow(8)は命題 1.4 (2)から従い、(8)⇒\Rightarrow(9)は定義から従う。(9)⇒\Rightarrow(10)は補題 4.2 (2)である。

(10)⇒\Rightarrow(13)を示す。U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とし、主張 (10)により、閉包保存な閉被覆(Vj)j∈J(V_j)_{j\in J}によるU\mathcal Uの細分と、その細分射φ\varphiをとる。命題 1.4 (4)により、任意のJ′⊆JJ'\subseteq Jについて⋃j∈J′Vj‾=⋃j∈J′Vj⊆⋃j∈J′Uφ(j)\tpcl{\bigcup_{j\in J'}V_j}=\bigcup_{j\in J'}V_j\subseteq\bigcup_{j\in J'}U_{\varphi(j)}であるから、(Vj)j∈J(V_j)_{j\in J}はφ\varphiに関するU\mathcal Uのクッション細分である。

(13)⇒\Rightarrow(12)は定義から従う。▨

系 4.6. 次が成り立つ。

  1. Lindelöf 空間の任意の開被覆は σ-局所有限な開被覆による細分をもつ。
  2. 正則な Lindelöf 空間はパラコンパクトである。

証明.主張 (1)を示す。XXを Lindelöf 空間、U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。§E2.21 定義 1.1により、高々可算なI0⊆II_0\subseteq Iで(Ui)i∈I0(U_i)_{i\in I_0}がXXの開被覆であるものが存在する。§E2.19 補題 1.3 (1)によりこの部分被覆はU\mathcal Uの細分である。I0I_0は高々可算であるから、高々一つの元からなるI0I_0の部分集合の列(Jn)n∈N≥1(J_n)_{n\in\NN}でI0=⋃n∈N≥1JnI_0=\bigcup_{n\in\NN}J_nを満たすものが存在する。各(Ui)i∈Jn(U_i)_{i\in J_n}は高々一つの元からなる族であるから局所有限であり、この部分被覆は σ-局所有限である。

主張 (2)は、主張 (1)と定理 4.5 (4)⇒\Rightarrow(1)から従う。▨

系 4.7.XXをパラコンパクトな正則空間、(Fn)n∈N≥1(F_n)_{n\in\NN}をXXの閉集合の列とする。このとき、A=⋃n∈N≥1FnA=\bigcup_{n\in\NN}F_nに部分空間位相を入れた空間はパラコンパクトである。

証明.§E2.15 定理 2.1によりAAは正則である。(Oa)a∈Λ(O_a)_{a\in\Lambda}をAAの開被覆とし、各aaについてUa∩A=OaU_a\cap A=O_aを満たすXXの開集合UaU_aをとる。n∈N≥1n\in\NNを固定する。(Ua)a∈Λ(U_a)_{a\in\Lambda}に添字∗*をもつ元X∖FnX\setminus F_nを加えた族はXXの開被覆であるから、XXがパラコンパクトであることにより、局所有限な開被覆(Wn,k)k∈Kn(W_{n,k})_{k\in K_n}と細分射ψn ⁣:Kn→Λ⊔{∗}\psi_n\colon K_n\to\Lambda\sqcup\{*\}が存在する。Kn′={k∈Kn∣Wn,k∩Fn≠∅}K'_n=\{k\in K_n\mid W_{n,k}\cap F_n\neq\emptyset\}とおく。k∈Kn′k\in K'_nならばWn,k⊈X∖FnW_{n,k}\not\subseteq X\setminus F_nであるからψn(k)∈Λ\psi_n(k)\in\Lambdaであり、Wn,k∩A⊆Uψn(k)∩A=Oψn(k)W_{n,k}\cap A\subseteq U_{\psi_n(k)}\cap A=O_{\psi_n(k)}である。包含写像A→XA\to Xに§E2.36 命題 3.2 (2)を適用すると、(Wn,k∩A)k∈Kn′(W_{n,k}\cap A)_{k\in K'_n}はAAの開集合からなる局所有限な族である。FnF_nの各点を含むWn,kW_{n,k}の添字はKn′K'_nに属するから、この族の和集合はFnF_nを含む。

nnを動かすと、族(Wn,k∩A)(n,k)(W_{n,k}\cap A)_{(n,k)}（n∈N≥1n\in\NN、k∈Kn′k\in K'_n）は σ-局所有限なAAの開被覆であり、(n,k)↦ψn(k)(n,k)\mapsto\psi_n(k)を細分射とする(Oa)a∈Λ(O_a)_{a\in\Lambda}の細分である。AAは正則であるから、定理 4.5 (4)⇒\Rightarrow(1)によりAAはパラコンパクトである。▨

定理 4.8.XXをパラコンパクトな Hausdorff 空間、YYを位相空間とし、f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを連続な閉写像であって全射であるものとする。このときYYはパラコンパクトな Hausdorff 空間である。

証明.定理 2.7によりXXは T4 空間であるから、§E2.18 命題 1.2 (1)と§E2.18 命題 1.2 (2)によりYYは正規な T1 空間、すなわち T4 空間である。§E2.15 定理 1.11 (1)によりYYは T3 空間であり、§E2.15 定理 1.11 (3)により Hausdorff 空間であって、§E2.15 定義 1.8により正則である。

V=(Vi)i∈I\mathcal V=(V_i)_{i\in I}をYYの開被覆とする。(f−1(Vi))i∈I(f^{-1}(V_i))_{i\in I}はXXの開被覆である。XXは T4 空間であるから、§E2.15 定理 1.11 (1)と§E2.15 定義 1.8により正則である。定理 4.5 (1)⇒\Rightarrow(3)により、局所有限な閉被覆(Ak)k∈K(A_k)_{k\in K}による(f−1(Vi))i∈I(f^{-1}(V_i))_{i\in I}の細分と、その細分射ψ\psiが存在する。ffは閉写像であるから各f(Ak)f(A_k)は閉集合であり、f(Ak)⊆Vψ(k)f(A_k)\subseteq V_{\psi(k)}であって、ffは全射であるから(f(Ak))k∈K(f(A_k))_{k\in K}はYYの閉被覆であって、ψ\psiを細分射とするV\mathcal Vの細分である。K′⊆KK'\subseteq Kをとる。命題 1.4 (2)と命題 1.4 (4)により⋃k∈K′Ak\bigcup_{k\in K'}A_kは閉集合であるから、⋃k∈K′f(Ak)=f(⋃k∈K′Ak)\bigcup_{k\in K'}f(A_k)=f\bigl(\bigcup_{k\in K'}A_k\bigr)は閉集合であり、

⋃k∈K′f(Ak)‾=⋃k∈K′f(Ak)=⋃k∈K′f(Ak)‾\tpcl{\bigcup_{k\in K'}f(A_k)}=\bigcup_{k\in K'}f(A_k)=\bigcup_{k\in K'}\tpcl{f(A_k)}

である。したがって(f(Ak))k∈K(f(A_k))_{k\in K}は閉包保存な閉被覆によるV\mathcal Vの細分である。YYは正則であるから、定理 4.5 (10)⇒\Rightarrow(1)によりYYはパラコンパクトである。▨

5 距離空間

定理 5.1 (A. H. Stone の定理). 距離化可能な位相空間はパラコンパクトである。さらに、その任意の開被覆は σ-疎な開被覆による細分をもつ。

証明.XXを距離化可能な位相空間とし、§E2.12 定義 6.6によりXXの位相を定める距離ddをとる。§E2.15 定理 3.2 (4)によりXXは T3 空間であり、§E2.15 定義 1.8により正則である。

U=(Ua)a∈A\mathcal U=(U_a)_{a\in A}をXXの開被覆とする。n∈N≥1n\in\NNとa∈Aa\in Aに対して

Vn,a=⋃{B(y,1/n)∣y∈X, B(y,2/n)⊆Ua}V_{n,a}=\bigcup\{B(y,1/n)\mid y\in X,\ B(y,2/n)\subseteq U_a\}

とおく。Vn,aV_{n,a}は開集合であり、Vn,a⊆UaV_{n,a}\subseteq U_aである。x∈Xx\in Xをとり、x∈Uax\in U_aを満たすaaをとると、UaU_aは開集合であるからB(x,2/n)⊆UaB(x,2/n)\subseteq U_aを満たすnnが存在し、x∈B(x,1/n)⊆Vn,ax\in B(x,1/n)\subseteq V_{n,a}である。したがって(Vn,a)(n,a)∈N≥1×A(V_{n,a})_{(n,a)\in\NN\times A}はXXの開被覆である。

n∈N≥1n\in\NNとA′⊆AA'\subseteq Aをとり、z∈⋃a∈A′Vn,a‾z\in\tpcl{\bigcup_{a\in A'}V_{n,a}}とする。B(z,1/n)B(z,1/n)はzzの開近傍であるから、d(z,w)<1/nd(z,w)<1/nを満たすw∈⋃a∈A′Vn,aw\in\bigcup_{a\in A'}V_{n,a}が存在する。w∈B(y,1/n)w\in B(y,1/n)かつB(y,2/n)⊆UaB(y,2/n)\subseteq U_aを満たすy∈Xy\in Xとa∈A′a\in A'をとると、d(z,y)≤d(z,w)+d(w,y)<2/nd(z,y)\leq d(z,w)+d(w,y)<2/nであるからz∈B(y,2/n)⊆Uaz\in B(y,2/n)\subseteq U_aである。ゆえにJn={n}×AJ_n=\{n\}\times Aとおけば、(Vn,a)(n,a)∈N≥1×A(V_{n,a})_{(n,a)\in\NN\times A}は開被覆による、(n,a)↦a(n,a)\mapsto aに関するU\mathcal Uの σ-クッション細分である。U\mathcal Uは任意であったからXXは定理 4.5 (14)を満たす。XXは正則であるから、定理 4.5 (14)⇒\Rightarrow(1)と定理 4.5 (14)⇒\Rightarrow(7)により、XXはパラコンパクトであり、XXの任意の開被覆は σ-疎な開被覆による細分をもつ。▨

定理 5.2.XXを位相空間とし、XXについての次の二条件を考える。

  1. XXはパラコンパクトである。
  2. XXの任意の開被覆U\mathcal Uに対して、距離空間YY、連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Y、およびYYの開被覆(Vj)j∈J(V_j)_{j\in J}で、(f−1(Vj))j∈J(f^{-1}(V_j))_{j\in J}がU\mathcal Uの細分であるものが存在する。

このとき(2)⇒\Rightarrow(1)が成り立つ。XXが正則ならば(1)⇔\Leftrightarrow(2)が成り立つ。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。XXを正則なパラコンパクト空間、U=(Ua)a∈A\mathcal U=(U_a)_{a\in A}をXXの開被覆とする。X=∅X=\emptysetならば、Y=∅Y=\emptysetと族(∅)a∈A(\emptyset)_{a\in A}が条件を満たすので、X≠∅X\neq\emptysetとするとA≠∅A\neq\emptysetである。定理 3.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)により、U\mathcal Uに従属する 1 の分割(ϕa)a∈A(\phi_a)_{a\in A}が存在する。AAに離散位相を入れるとAA上の写像はすべて連続であるから、x∈Xx\in Xに対してF(x)(a)=ϕa(x)F(x)(a)=\phi_a(x)と定めるとF(x)∈Cb(A)F(x)\in C_b(A)であり、写像F ⁣:X→Cb(A)F\colon X\to C_b(A)が定まる。Cb(A)C_b(A)には§E2.16 定義 2.1の一様距離d∞d_\inftyを入れる。

FFは連続である。実際、x0∈Xx_0\in Xとε>0\varepsilon>0をとる。定義 3.1 条件 (b)により、x0x_0の近傍NNで、N∩supp⁡ϕa≠∅N\cap\supp\phi_a\neq\emptysetを満たすaaが有限集合A0A_0に属するものが存在する。各ϕa\phi_a（a∈A0a\in A_0）は連続であるから、x0x_0の近傍N′N'で、x∈N′x\in N'とa∈A0a\in A_0について∣ϕa(x)−ϕa(x0)∣<ε\lvert\phi_a(x)-\phi_a(x_0)\rvert<\varepsilonを満たすものが存在する。x∈Nx\in Nかつa∉A0a\notin A_0ならばϕa(x)=ϕa(x0)=0\phi_a(x)=\phi_a(x_0)=0であるから、x∈N∩N′x\in N\cap N'についてd∞(F(x),F(x0))<εd_\infty(F(x),F(x_0))<\varepsilonである。

a∈Aa\in Aに対してWa={y∈Cb(A)∣y(a)>0}W_a=\{y\in C_b(A)\mid y(a)>0\}とおく。y,y′∈Cb(A)y,y'\in C_b(A)について∣y(a)−y′(a)∣≤d∞(y,y′)\lvert y(a)-y'(a)\rvert\leq d_\infty(y,y')であるから、y(a)=c>0y(a)=c>0ならばB(y,c)⊆WaB(y,c)\subseteq W_aであり、WaW_aは開集合である。F−1(Wa)={x∣ϕa(x)>0}⊆supp⁡ϕa⊆UaF^{-1}(W_a)=\{x\mid\phi_a(x)>0\}\subseteq\supp\phi_a\subseteq U_aである。Y=F(X)Y=F(X)にd∞d_\inftyの制限を入れ、f ⁣:X→Yf\colon X\to YをFFの終域をYYに制限した写像とすると、ffは連続である。x∈Xx\in Xについて∑a∈Aϕa(x)=1\sum_{a\in A}\phi_a(x)=1であるからϕa(x)>0\phi_a(x)>0を満たすaaが存在し、(Wa∩Y)a∈A(W_a\cap Y)_{a\in A}はYYの開被覆である。f−1(Wa∩Y)=F−1(Wa)⊆Uaf^{-1}(W_a\cap Y)=F^{-1}(W_a)\subseteq U_aであるから、(f−1(Wa∩Y))a∈A(f^{-1}(W_a\cap Y))_{a\in A}はU\mathcal Uの細分である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。U\mathcal UをXXの開被覆とし、主張 (2)のYY、ff、(Vj)j∈J(V_j)_{j\in J}と、(f−1(Vj))j∈J(f^{-1}(V_j))_{j\in J}からU\mathcal Uへの細分射ψ\psiをとる。定理 5.1によりYYはパラコンパクトであるから、YYの局所有限な開被覆(Wk)k∈K(W_k)_{k\in K}と、(Vj)j∈J(V_j)_{j\in J}への細分射χ\chiが存在する。§E2.36 命題 3.2 (2)により(f−1(Wk))k∈K(f^{-1}(W_k))_{k\in K}はXXの局所有限な開被覆であり、f−1(Wk)⊆f−1(Vχ(k))f^{-1}(W_k)\subseteq f^{-1}(V_{\chi(k)})であるから、ψ∘χ\psi\circ\chiはこの族からU\mathcal Uへの細分射である。ゆえにXXはパラコンパクトである。▨

6 玉野の定理

定理 6.1 (玉野の定理).XXを T3½ 空間とする。このとき、次の三条件は同値である。

  1. XXはパラコンパクトである。
  2. X×βXX\times\beta Xは正規である。
  3. X×αXX\times\alpha Xが正規であるようなXXのコンパクト化(αX,e)(\alpha X,e)が存在する。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。§E2.22 系 2.4によりβX\beta Xはコンパクト Hausdorff 空間であるから、系 2.5 (2)によりX×βXX\times\beta Xはパラコンパクトである。§E2.15 定理 1.11 (2)と§E2.15 定理 1.11 (3)によりXXは Hausdorff 空間であり、§E2.15 定理 2.8 (3)によりX×βXX\times\beta Xは Hausdorff 空間である。定理 2.7によりX×βXX\times\beta Xは正規である。

(2)⇒\Rightarrow(3)は、§E2.22 系 2.4によりβX\beta XがXXのコンパクト化であることから従う。

(3)⇒\Rightarrow(1)を示す。X=∅X=\emptysetならばXXはパラコンパクトであるから、X≠∅X\neq\emptysetとする。(αX,e)(\alpha X,e)を主張 (3)のコンパクト化とし、U=(Ua)a∈A\mathcal U=(U_a)_{a\in A}をXXの開被覆とする。eeは位相的埋め込みであるから、各aaについてαX\alpha Xの開集合U~a\tilde U_aでe−1(U~a)=Uae^{-1}(\tilde U_a)=U_aを満たすものが存在する。F=αX∖⋃a∈AU~aF=\alpha X\setminus\bigcup_{a\in A}\tilde U_aとおくと、FFは閉集合であり、U\mathcal UがXXの被覆であることからF∩e(X)=∅F\cap e(X)=\emptysetである。

αX\alpha Xは Hausdorff 空間であるから、§E2.15 命題 2.11により対角集合Δ⊆αX×αX\Delta\subseteq\alpha X\times\alpha Xは閉集合であり、Γ={(x,e(x))∣x∈X}\Gamma=\{(x,e(x))\mid x\in X\}は連続写像e×id⁡αXe\times\operatorname{id}_{\alpha X}によるΔ\Deltaの逆像としてX×αXX\times\alpha Xの閉集合である。X×FX\times Fも閉集合であり、F∩e(X)=∅F\cap e(X)=\emptysetからΓ∩(X×F)=∅\Gamma\cap(X\times F)=\emptysetである。X×αXX\times\alpha Xは正規であるから、§E2.18 定理 3.1により連続写像u ⁣:X×αX→[0,1]u\colon X\times\alpha X\to[0,1]で、Γ\Gamma上で00、X×FX\times F上で11をとるものが存在する。

σ ⁣:αX×X→X×αX\sigma\colon\alpha X\times X\to X\times\alpha Xをσ(p,x)=(x,p)\sigma(p,x)=(x,p)で定めると、σ\sigmaは同相写像である。§E2.20 命題 4.5により射影X×αX→XX\times\alpha X\to Xは閉写像であるから、射影pr⁡X ⁣:αX×X→X\pr_X\colon\alpha X\times X\to Xはそれとσ\sigmaの合成として閉写像であり、§E2.36 注意 4.2により z-閉である。αX\alpha XとXXは空でなく、u∘σ∈Cb(αX×X)u\circ\sigma\in C_b(\alpha X\times X)であるから、§E2.36 定理 4.4 (1)⇒\Rightarrow(3)により、Φ(x)=u(x,⋅)\Phi(x)=u(x,\cdot)で定まる写像Φ ⁣:X→Cb(αX)\Phi\colon X\to C_b(\alpha X)は連続である。

Y=Φ(X)Y=\Phi(X)にCb(αX)C_b(\alpha X)の一様距離の制限を入れる。§E2.16 命題 3.3により(g,p)↦g(p)(g,p)\mapsto g(p)はY×αXY\times\alpha X上の連続写像であるから、

Z={(g,p)∈Y×αX∣g(p)=0}Z=\{(g,p)\in Y\times\alpha X\mid g(p)=0\}

はY×αXY\times\alpha Xの閉集合である。j ⁣:X→Y×αXj\colon X\to Y\times\alpha Xをj(x)=(Φ(x),e(x))j(x)=(\Phi(x),e(x))で定めると、jjは連続であり、Φ(x)(e(x))=u(x,e(x))=0\Phi(x)(e(x))=u(x,e(x))=0からj(X)⊆Zj(X)\subseteq Zである。g=Φ(x)∈Yg=\Phi(x)\in Yとp∈Fp\in Fについてg(p)=u(x,p)=1g(p)=u(x,p)=1であるから、Z∩(Y×F)=∅Z\cap(Y\times F)=\emptysetである。

YYは距離空間であるから、定理 5.1によりパラコンパクトであり、αX\alpha Xはコンパクトであるから、系 2.5 (2)によりY×αXY\times\alpha Xはパラコンパクトである。ZZはY×αXY\times\alpha Xの閉集合であるから、系 2.5 (1)によりZZはパラコンパクトである。(g,p)∈Z(g,p)\in ZならばZ∩(Y×F)=∅Z\cap(Y\times F)=\emptysetからp∉Fp\notin Fであり、p∈U~ap\in\tilde U_aを満たすa∈Aa\in Aが存在する。したがって((Y×U~a)∩Z)a∈A((Y\times\tilde U_a)\cap Z)_{a\in A}はZZの開被覆である。ZZはパラコンパクトであるから、ZZの局所有限な開被覆(Wk)k∈K(W_k)_{k\in K}と、((Y×U~a)∩Z)a∈A((Y\times\tilde U_a)\cap Z)_{a\in A}への細分射χ ⁣:K→A\chi\colon K\to Aが存在する。

j(X)⊆Zj(X)\subseteq Zであるから、jjは連続写像X→ZX\to Zを定める。§E2.36 命題 3.2 (2)により(j−1(Wk))k∈K(j^{-1}(W_k))_{k\in K}はXXの局所有限な開被覆であり、

j−1(Wk)⊆j−1((Y×U~χ(k))∩Z)=e−1(U~χ(k))=Uχ(k)j^{-1}(W_k)\subseteq j^{-1}\bigl((Y\times\tilde U_{\chi(k)})\cap Z\bigr)=e^{-1}(\tilde U_{\chi(k)})=U_{\chi(k)}

であるから、χ\chiはこの族からU\mathcal Uへの細分射である。ゆえに(j−1(Wk))k∈K(j^{-1}(W_k))_{k\in K}は局所有限な開被覆によるU\mathcal Uの細分であり、XXはパラコンパクトである。▨

7 Dieudonné 完備性

定理 7.1. パラコンパクトな Hausdorff 空間は完全正則であり、Dieudonné 完備である。

証明.XXをパラコンパクトな Hausdorff 空間とし、その位相をO\mathcal Oとする。定理 2.7によりXXは T4 空間であるから、§E2.15 定理 1.11 (1)により正則であり、§E2.18 系 3.2により T3½ 空間であるから、§E2.15 定義 1.8 (2)により完全正則である。Uf\mathcal U_{\mathrm f}をXXの微細一様構造（§E2.52 定義 6.3）とし、F\mathfrak Fを(X,Uf)(X,\mathcal U_{\mathrm f})の Cauchy フィルターとする。

F\mathfrak Fが集積点をもたないと仮定する。各x∈Xx\in Xに対して、§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)により、xxの近傍NxN_xと、Nx∩Fx=∅N_x\cap F_x=\emptysetを満たすFx∈FF_x\in\mathfrak Fが存在する。Ox=int⁡(Nx)O_x=\tpint{N_x}とおくと、U0=(Ox)x∈X\mathcal U_0=(O_x)_{x\in X}はXXの開被覆である。XXは正則なパラコンパクト空間であるから、定理 4.5 (1)⇒\Rightarrow(6)を繰り返し用いて、XXの開被覆の列(Un)n∈N≥1(\mathcal U_n)_{n\in\NN}であって、各n∈N≥1n\in\NNについてUn\mathcal U_nがUn−1\mathcal U_{n-1}の開被覆による星型細分（定義 1.5 (3)）であるものをとる。n∈N≥1n\in\NNについて

Vn=⋃W∈UnW×WV_n=\bigcup_{W\in\mathcal U_n}W\times W

とおく。

{Vn∣n∈N≥1}\{V_n\mid n\in\NN\}を近縁基とするXXの近縁系V\mathcal Vが存在する。実際、Un\mathcal U_nはXXの被覆であるからΔX⊆Vn\Delta_X\subseteq V_nであり、Vn−1=VnV_n^{-1}=V_nである。(x,y),(y,z)∈Vn+1(x,y),(y,z)\in V_{n+1}ならば、x,y∈Wx,y\in Wとy,z∈W′y,z\in W'を満たすW,W′∈Un+1W,W'\in\mathcal U_{n+1}が存在し、y∈W∩W′y\in W\cap W'であるから、定義 1.1の星についてx,z∈St⁡(W,Un+1)x,z\in\operatorname{St}(W,\mathcal U_{n+1})である。Un+1\mathcal U_{n+1}はUn\mathcal U_nの星型細分であるから、St⁡(W,Un+1)\operatorname{St}(W,\mathcal U_{n+1})はUn\mathcal U_nのある元に含まれ、(x,z)∈Vn(x,z)\in V_nである。ゆえにVn+1∘Vn+1⊆VnV_{n+1}\circ V_{n+1}\subseteq V_nである。(x,y)∈Vn+1(x,y)\in V_{n+1}ならば(y,y)∈Vn+1(y,y)\in V_{n+1}であるから(x,y)∈Vn+1∘Vn+1⊆Vn(x,y)\in V_{n+1}\circ V_{n+1}\subseteq V_nであり、Vn+1⊆VnV_{n+1}\subseteq V_nである。§E2.51 命題 1.8により主張が従う。

V⊆Uf\mathcal V\subseteq\mathcal U_{\mathrm f}である。実際、x∈Xx\in XについてVn[x]=St⁡(x,Un)V_n[x]=\operatorname{St}(x,\mathcal U_n)はxxを含む開集合であるから、§E2.51 命題 2.1によりOV⊆O\mathcal O_{\mathcal V}\subseteq\mathcal Oである。恒等写像X→(X,Uf)X\to(X,\mathcal U_{\mathrm f})とX→(X,V)X\to(X,\mathcal V)の族による始一様構造をW\mathcal Wとする。§E2.51 命題 4.2 (3)と§E2.52 定理 6.4 (1)により、OW\mathcal O_{\mathcal W}はO\mathcal OとOV\mathcal O_{\mathcal V}の恒等写像による始位相（§E2.12 定義 3.2）であり、OV⊆O\mathcal O_{\mathcal V}\subseteq\mathcal OであるからOW=O\mathcal O_{\mathcal W}=\mathcal Oである。§E2.52 定理 6.4 (2)によりW⊆Uf\mathcal W\subseteq\mathcal U_{\mathrm f}であり、§E2.51 命題 4.2 (1)により恒等写像(X,W)→(X,V)(X,\mathcal W)\to(X,\mathcal V)は一様連続であるからV⊆W\mathcal V\subseteq\mathcal Wである。

したがってV1∈UfV_1\in\mathcal U_{\mathrm f}であり、F\mathfrak Fは Cauchy フィルターであるから、F×F⊆V1F\times F\subseteq V_1を満たすF∈FF\in\mathfrak Fが存在する。FFは空でないからx∈Fx\in Fをとると、F⊆V1[x]=St⁡(x,U1)F\subseteq V_1[x]=\operatorname{St}(x,\mathcal U_1)である。x∈Wx\in Wを満たすW∈U1W\in\mathcal U_1をとるとSt⁡(x,U1)⊆St⁡(W,U1)\operatorname{St}(x,\mathcal U_1)\subseteq\operatorname{St}(W,\mathcal U_1)であり、U1\mathcal U_1はU0\mathcal U_0の星型細分であるから、St⁡(W,U1)⊆Oy\operatorname{St}(W,\mathcal U_1)\subseteq O_yを満たすy∈Xy\in Xが存在する。このときF⊆Oy⊆NyF\subseteq O_y\subseteq N_yであるからF∩Fy=∅F\cap F_y=\emptysetとなり、§E2.50 定義 1.1 条件 (c)と§E2.50 定義 1.1 条件 (b)に反する。ゆえにF\mathfrak Fは集積点zzをもち、§E2.53 補題 1.2 (4)によりF\mathfrak Fはzzに収束する。したがって(X,Uf)(X,\mathcal U_{\mathrm f})は完備であり、§E2.57 定義 1.2によりXXは Dieudonné 完備である。▨

系 7.2. 距離化可能な位相空間は Dieudonné 完備である。

証明.定理 5.1により距離化可能な位相空間はパラコンパクトである。§E2.12 定義 6.6によりその位相を定める距離をとると、§E2.15 定理 3.2 (1)により Hausdorff 空間であるから、定理 7.1により Dieudonné 完備である。▨

定理 7.3.XXを T3½ 空間とし、§E2.22 定義 2.3の Stone–Čech のコンパクト化e ⁣:X→βXe\colon X\to\beta XによりXXをβX\beta Xの部分空間とみなす。p∈βX∖Xp\in\beta X\setminus Xについて、X∪{p}X\cup\{p\}にはβX\beta Xの部分空間位相を入れる。このとき、次の三条件は同値である。

  1. XXは Dieudonné 完備である。
  2. 任意のp∈βX∖Xp\in\beta X\setminus Xに対して、完備距離空間(M,d)(M,d)と連続写像f ⁣:X→Mf\colon X\to Mであって、g∣X=fg|_X=fを満たす連続写像g ⁣:X∪{p}→Mg\colon X\cup\{p\}\to Mが存在しないものが存在する。
  3. 任意のp∈βX∖Xp\in\beta X\setminus Xに対して、距離空間(M,d)(M,d)と連続写像f ⁣:X→Mf\colon X\to Mであって、g∣X=fg|_X=fを満たす連続写像g ⁣:X∪{p}→Mg\colon X\cup\{p\}\to Mが存在しないものが存在する。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。XXは Dieudonné 完備であるとし、Uf\mathcal U_{\mathrm f}をXXの微細一様構造、D\mathcal DをXX上の連続な擬距離の全体とする。p∈βX∖Xp\in\beta X\setminus Xとし、N={N∩X∣N∈NβX(p)}\mathfrak N=\{N\cap X\mid N\in\mathcal N_{\beta X}(p)\}とおく。§E2.22 系 2.4によりXXはβX\beta Xで稠密であるから、§E2.11 命題 7.2 (2)によりN\mathfrak Nの元はすべて空でなく、§E2.50 補題 3.3 (1)によりN\mathfrak NはXX上のフィルターである。

N\mathfrak NはXXに集積点をもたない。実際、x∈Xx\in Xとすると、βX\beta Xは Hausdorff でありx≠px\neq pであるから、xxとppのβX\beta Xにおける開近傍NxN_x、NNでNx∩N=∅N_x\cap N=\emptysetを満たすものが存在する。Nx∩XN_x\cap XはXXにおけるxxの近傍であり、N∩X∈NN\cap X\in\mathfrak Nと交わらないから、§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりxxはN\mathfrak Nの集積点でない。(X,Uf)(X,\mathcal U_{\mathrm f})は完備であるから、N\mathfrak Nが Cauchy フィルターならば、§E2.52 定理 6.4 (1)によりXXの位相に関してある点に収束し、§E2.50 命題 4.3 (1)によりその点はN\mathfrak Nの集積点となって矛盾する。ゆえにN\mathfrak Nは Cauchy フィルターでない。連続な擬距離の有限個の最大は連続な擬距離であり、定数00も連続な擬距離であるから、§E2.52 命題 1.2 (2)によりD\mathcal Dは有限個の最大で閉じている。§E2.52 定義 6.3によりUD=Uf\mathcal U_{\mathcal D}=\mathcal U_{\mathrm f}であるから、§E2.53 補題 1.2 (8)により、ρ∈D\rho\in\mathcal Dと実数ε>0\varepsilon>0であって、どのN∈NβX(p)N\in\mathcal N_{\beta X}(p)についてもρ(x,x′)≥ε\rho(x,x')\geq\varepsilonを満たすx,x′∈N∩Xx,x'\in N\cap Xが存在するものがある。

§E2.52 補題 4.1 (1)により、ρ\rhoの商距離空間(Xρ,ρˉ)(X_\rho,\bar\rho)と商写像πρ\pi_\rhoをとり、§E2.6 定理 2.6により、(Xρ,ρˉ)(X_\rho,\bar\rho)の完備化である完備距離空間(M,d)(M,d)と、距離を保つ写像ι ⁣:Xρ→M\iota\colon X_\rho\to Mをとる。f=ι∘πρf=\iota\circ\pi_\rhoとおくと、x,x′∈Xx,x'\in Xについてd(f(x),f(x′))=ρ(x,x′)d(f(x),f(x'))=\rho(x,x')である。ffは連続である。実際、ρ∈D\rho\in\mathcal Dであるから、§E2.52 定義 1.1により実数δ>0\delta>0についてUδρ∈UfU^\rho_\delta\in\mathcal U_{\mathrm f}であり、§E2.52 補題 1.4 (2)⇒\Rightarrow(1)によりρ\rhoはUf\mathcal U_{\mathrm f}に関して一様連続である。§E2.52 補題 4.1 (3)によりπρ ⁣:(X,Uf)→(Xρ,Uρˉ)\pi_\rho\colon(X,\mathcal U_{\mathrm f})\to(X_\rho,\mathcal U_{\bar\rho})は一様連続である。§E2.52 定理 6.4 (1)によりUf\mathcal U_{\mathrm f}の一様位相はXXの位相に等しく、§E2.51 命題 5.2 (2)によりUρˉ\mathcal U_{\bar\rho}の一様位相はρˉ\bar\rhoから生じる位相に等しいから、§E2.51 命題 3.4 (3)によりπρ\pi_\rhoは連続である。ι\iotaは距離を保つから連続であり、ffは連続である。

g∣X=fg|_X=fを満たす連続写像g ⁣:X∪{p}→Mg\colon X\cup\{p\}\to Mが存在したとする。B={y∈M∣d(y,g(p))<ε/2}B=\{y\in M\mid d(y,g(p))<\varepsilon/2\}はMMの開集合であるから、g−1(B)g^{-1}(B)はppを含むX∪{p}X\cup\{p\}の開集合であり、部分空間位相の定義により、g−1(B)=N∩(X∪{p})g^{-1}(B)=N\cap(X\cup\{p\})を満たすβX\beta Xの開集合NNが存在する。NNはppの近傍であり、x,x′∈N∩Xx,x'\in N\cap Xについて

ρ(x,x′)=d(f(x),f(x′))≤d(g(x),g(p))+d(g(p),g(x′))<ε\rho(x,x')=d(f(x),f(x'))\leq d(g(x),g(p))+d(g(p),g(x'))<\varepsilon

であるから、ρ\rhoとε\varepsilonの取り方に反する。ゆえにそのようなggは存在しない。

(2)⇒\Rightarrow(3)は、完備距離空間が距離空間であることから従う。

(3)⇒\Rightarrow(1)を示す。主張 (3)を仮定し、Uf\mathcal U_{\mathrm f}をXXの微細一様構造、F\mathfrak Fを(X,Uf)(X,\mathcal U_{\mathrm f})の Cauchy フィルター、j ⁣:X→βXj\colon X\to\beta Xを包含写像とする。§E2.22 系 2.4によりβX\beta Xはコンパクトであるから、§E2.50 定理 7.1 (1)⇒\Rightarrow(2)によりβX\beta X上のフィルターj(F)j(\mathfrak F)は集積点ppをもつ。

p∉Xp\notin Xであると仮定する。主張 (3)により、距離空間(M,d)(M,d)と連続写像f ⁣:X→Mf\colon X\to Mであって、g∣X=fg|_X=fを満たす連続写像g ⁣:X∪{p}→Mg\colon X\cup\{p\}\to Mが存在しないものをとる。§E2.15 定理 3.2 (3)によりMMは T3½ 空間であり、その微細一様構造をUfM\mathcal U^M_{\mathrm f}とすると、§E2.52 定理 6.4 (1)によりUfM\mathcal U^M_{\mathrm f}の一様位相はMMの位相に等しい。§E2.52 定理 6.4 (3)によりf ⁣:(X,Uf)→(M,UfM)f\colon(X,\mathcal U_{\mathrm f})\to(M,\mathcal U^M_{\mathrm f})は一様連続であるから、§E2.53 補題 1.2 (6)によりf(F)f(\mathfrak F)は(M,UfM)(M,\mathcal U^M_{\mathrm f})の Cauchy フィルターである。系 7.2によりMMは Dieudonné 完備であるから、f(F)f(\mathfrak F)はあるm∈Mm\in Mに収束する。

x∈Xx\in Xについてh(x)=min⁡{1,d(f(x),m)}h(x)=\min\{1,d(f(x),m)\}とおくと、h ⁣:X→[0,1]h\colon X\to[0,1]は連続である。[0,1][0,1]はコンパクト Hausdorff 空間であるから、§E2.22 定理 3.2により、h~∣X=h\tilde h|_X=hを満たす連続写像h~ ⁣:βX→[0,1]\tilde h\colon\beta X\to[0,1]が存在する。h~(p)=0\tilde h(p)=0である。実際、c=h~(p)>0c=\tilde h(p)>0とすると、f(F)f(\mathfrak F)はmmに収束するから、f(F)⊆{y∈M∣d(y,m)<c/2}f(F)\subseteq\{y\in M\mid d(y,m)<c/2\}を満たすF∈FF\in\mathfrak Fが存在し、h(F)⊆[0,c/2)h(F)\subseteq[0,c/2)である。h~−1((c/2,1])\tilde h^{-1}((c/2,1])はppの開近傍であり、h~\tilde hはXX上でhhに等しいからj(F)j(F)と交わらない。これは§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりppがj(F)j(\mathfrak F)の集積点であることに反する。

g ⁣:X∪{p}→Mg\colon X\cup\{p\}\to Mをg∣X=fg|_X=f、g(p)=mg(p)=mで定める。βX\beta Xは Hausdorff であるから{p}\{p\}は閉集合であり、XXはX∪{p}X\cup\{p\}の開集合であるから、ggはXXの各点で連続である。mmの任意の近傍は、あるε∈(0,1)\varepsilon\in(0,1)について{y∈M∣d(y,m)<ε}\{y\in M\mid d(y,m)<\varepsilon\}を含む。このようなε\varepsilonについて、h~−1([0,ε))\tilde h^{-1}([0,\varepsilon))はppの開近傍であり、x∈h~−1([0,ε))∩Xx\in\tilde h^{-1}([0,\varepsilon))\cap Xならばd(g(x),m)=h(x)<εd(g(x),m)=h(x)<\varepsilonであるから、§E2.12 定義 1.3によりggはppで連続である。§E2.12 命題 1.4によりggは連続であり、ffの取り方に反する。ゆえにp∈Xp\in Xである。

XXにおけるppの近傍N′N'をとると、部分空間位相の定義により、βX\beta Xにおけるppの開近傍NNでN∩X⊆N′N\cap X\subseteq N'を満たすものが存在する。F∈FF\in\mathfrak FについてN∩j(F)≠∅N\cap j(F)\neq\emptysetであるからN′∩F≠∅N'\cap F\neq\emptysetであり、§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりppはF\mathfrak Fの集積点である。§E2.52 定理 6.4 (1)と§E2.53 補題 1.2 (4)によりF\mathfrak Fはppに収束するから、(X,Uf)(X,\mathcal U_{\mathrm f})は完備であり、§E2.57 定義 1.2によりXXは Dieudonné 完備である。▨

8 メタコンパクト空間と強パラコンパクト空間

定義 8.1.XXを位相空間、A=(Aj)j∈J\mathcal A=(A_j)_{j\in J}をXXの部分集合族とする。

  1. すべてのx∈Xx\in XについてJx={j∈J∣x∈Aj}J_x=\{j\in J\mid x\in A_j\}が有限集合であるとき、A\mathcal Aを 点有限 (point-finite) な族という。
  2. すべてのj∈Jj\in Jについて{k∈J∣Ak∩Aj≠∅}\{k\in J\mid A_k\cap A_j\neq\emptyset\}が有限集合であるとき、A\mathcal Aを 星状有限 (star-finite) な族という。

定義 8.2.XXを位相空間とする。

  1. XXの任意の開被覆が点有限な開被覆による細分をもつとき、XXは メタコンパクト (metacompact) であるという。
  2. XXの任意の開被覆が星状有限な開被覆による細分をもつとき、XXは 強パラコンパクト (strongly paracompact) であるという。

命題 8.3. 強パラコンパクトな位相空間はパラコンパクトであり、パラコンパクトな位相空間はメタコンパクトである。

証明.XXを位相空間、V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}をXXの開被覆とする。V\mathcal Vが星状有限ならば、x∈Xx\in Xに対してx∈Vjx\in V_jを満たすjjをとると、VjV_jは有限個のkkについてしかVkV_kと交わらないxxの近傍であるから、V\mathcal Vは局所有限である。V\mathcal Vが局所有限ならば、x∈Xx\in Xの近傍NNで有限個のkkについてしかVkV_kと交わらないものをとると、x∈Vjx\in V_jを満たすVjV_jはNNと交わるから、JxJ_xは有限集合であり、V\mathcal Vは点有限である。この二つの含意を、開被覆による細分に適用すればよい。▨

補題 8.4.XXを位相空間、U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。このとき、部分集合D⊆XD\subseteq Xで、各UiU_iがDDの点を高々一つしか含まず、St⁡(D,U)=X\operatorname{St}(D,\mathcal U)=Xを満たすものが存在する。

証明.D\mathcal Dを、各UiU_iがDDの点を高々一つしか含まないようなD⊆XD\subseteq Xの全体とし、包含で順序づける。∅∈D\emptyset\in\mathcal DであるからD\mathcal Dは空でない。C⊆D\mathcal C\subseteq\mathcal Dを空でない鎖とし、UiU_iが⋃C\bigcup\mathcal Cの相異なる二点y∈D1y\in D_1、z∈D2z\in D_2（D1,D2∈CD_1,D_2\in\mathcal C）を含むとする。C\mathcal Cは鎖であるからD1⊆D2D_1\subseteq D_2またはD2⊆D1D_2\subseteq D_1であり、UiU_iはC\mathcal Cの一つの元の相異なる二点を含むことになって、C⊆D\mathcal C\subseteq\mathcal Dと両立しない。したがって⋃C∈D\bigcup\mathcal C\in\mathcal Dであり、これはC\mathcal Cの上界である。空の鎖は上界∅\emptysetをもつ。§E1.20 定理 2.1 (3)により、D\mathcal Dは極大元DDをもつ。

x∈X∖St⁡(D,U)x\in X\setminus\operatorname{St}(D,\mathcal U)が存在すると仮定する。xxを含むUiU_iはDDと交わらない。U\mathcal Uは被覆であるからxxを含むUiU_iが存在し、x∉Dx\notin Dである。UiU_iがxxを含むならばUi∩(D∪{x})={x}U_i\cap(D\cup\{x\})=\{x\}であり、UiU_iがxxを含まないならばUi∩(D∪{x})=Ui∩DU_i\cap(D\cup\{x\})=U_i\cap Dは高々一点である。したがってD∪{x}∈DD\cup\{x\}\in\mathcal Dであり、D⊊D∪{x}D\subsetneq D\cup\{x\}はDDの極大性に反する。ゆえにSt⁡(D,U)=X\operatorname{St}(D,\mathcal U)=Xである。▨

系 8.5.XXを可算コンパクト空間、U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。

  1. 有限集合F⊆XF\subseteq XでSt⁡(F,U)=X\operatorname{St}(F,\mathcal U)=Xを満たすものが存在する。
  2. U\mathcal Uが点有限ならば、U\mathcal Uは有限部分被覆をもつ。
  3. XXがメタコンパクトならば、XXはコンパクトである。

証明.主張 (1)を示す。補題 8.4のDDをとる。DDが無限集合であると仮定し、相異なる点の列(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}をDDからとる。Wn=St⁡(xn,U)W_n=\operatorname{St}(x_n,\mathcal U)とおき、W0W_0を、どのxnx_nも含まないUiU_iの和集合とする。W0,W1,…W_0,W_1,\dotsは開集合であり、XXの各点yyについてy∈Uiy\in U_iを満たすi∈Ii\in Iが存在し、そのUiU_iはいずれかのxnx_nを含むか、どのxnx_nも含まないかのいずれかであるから、(Wn)n∈N≥0(W_n)_{n\in\N}はXXの可算開被覆である。xmx_mを含むUiU_iはDDの点を高々一つしか含まないから、m≠nm\neq nならばxm∉Wnx_m\notin W_nであり、xm∉W0x_m\notin W_0である。したがってxmx_mを含むWnW_nはWmW_mだけであり、(Wn)n∈N≥0(W_n)_{n\in\N}のどの有限部分族も、添字の最大値NNについてxN+1x_{N+1}を含まない。これは§E2.23 定義 1.1によりXXが可算コンパクトであることと両立しない。ゆえにDDは有限集合であり、F=DF=Dとすればよい。

主張 (2)を示す。主張 (1)のFFをとる。St⁡(F,U)\operatorname{St}(F,\mathcal U)は⋃x∈FJx\bigcup_{x\in F}J_xを添字とするUiU_iの和集合であり、U\mathcal Uが点有限であることから各JxJ_xは有限集合であるから、⋃x∈FJx\bigcup_{x\in F}J_xは有限集合である。St⁡(F,U)=X\operatorname{St}(F,\mathcal U)=Xであるから、(Ui)i∈⋃x∈FJx(U_i)_{i\in\bigcup_{x\in F}J_x}はU\mathcal Uの有限部分被覆である。

主張 (3)を示す。XXがメタコンパクトならば、U\mathcal Uは点有限な開被覆(Vj)j∈J(V_j)_{j\in J}による細分をもち、その細分射をφ\varphiとする。XXは可算コンパクトであるから、主張 (2)により(Vj)j∈J(V_j)_{j\in J}は有限部分被覆(Vj)j∈J0(V_j)_{j\in J_0}をもち、(Uφ(j))j∈J0(U_{\varphi(j)})_{j\in J_0}はU\mathcal Uの有限部分被覆である。U\mathcal Uは任意であったから、XXはコンパクトである。▨

系 8.6. 擬コンパクトなパラコンパクト Hausdorff 空間はコンパクトである。

証明.XXを擬コンパクトなパラコンパクト Hausdorff 空間とする。定理 2.7によりXXは T4 空間であるから、§E2.36 補題 2.2により可算コンパクトである。命題 8.3によりXXはメタコンパクトであるから、系 8.5 (3)によりXXはコンパクトである。▨

補題 8.7.XXを位相空間、(fn)n∈N≥1(f_n)_{n\in\NN}を連続写像fn ⁣:X→[0,1]f_n\colon X\to[0,1]の列とし、(coz⁡(fn))n∈N≥1(\operatorname{coz}(f_n))_{n\in\NN}がXXの被覆であるとする。このとき、余零集合からなるXXの被覆で、添字集合が可算であり、(coz⁡(fn))n∈N≥1(\operatorname{coz}(f_n))_{n\in\NN}の細分であって星状有限であるものが存在する。

証明.n∈N≥1n\in\NNに対してhn=max⁡{f1,…,fn}h_n=\max\{f_1,\dots,f_n\}、gn=max⁡{0,1−nhn}g_n=\max\{0,1-nh_n\}とおき、Un={x∈X∣hn(x)<1/n}U_n=\{x\in X\mid h_n(x)<1/n\}とおく。hnh_n、gng_nは連続であり、UnU_nは開集合であって、gng_nはX∖UnX\setminus U_n上で00をとる。(Un)n∈N≥1(U_n)_{n\in\NN}は局所有限である。実際、x∈Xx\in Xに対してfk(x)=c>0f_k(x)=c>0を満たすkkをとると、N={y∣hk(y)>c/2}N=\{y\mid h_k(y)>c/2\}はxxを含む開集合であり、n≥kn\geq kかつn≥2/cn\geq2/cならばNN上でhn≥hk>c/2≥1/nh_n\geq h_k>c/2\geq1/nであるからN∩Un=∅N\cap U_n=\emptysetであり、NNと交わるUnU_nはn<max⁡{k,2/c}n<\max\{k,2/c\}のものに限られる。§E2.36 補題 3.3によりt=∑n∈N≥1gnt=\sum_{n\in\NN}g_nは連続写像X→RX\to\Rを定める。

m∈N≥1m\in\NNとx∈Xx\in Xについてhm(x)=0h_m(x)=0ならば、n≤mn\leq mについてhn(x)=0h_n(x)=0、gn(x)=1g_n(x)=1であるからt(x)≥mt(x)\geq mである。したがってt(x)<mt(x)<mならばhm(x)>0h_m(x)>0であり、x∈coz⁡(fi)x\in\operatorname{coz}(f_i)を満たすi≤mi\leq mが存在する。

J={(n,i)∈N≥0×N≥1∣i≤n+1}J=\{(n,i)\in\N\times\NN\mid i\leq n+1\}とおき、(n,i)∈J(n,i)\in Jに対して

Vn,i=coz⁡(fi⋅max⁡{0,1−∣t−n∣})=coz⁡(fi)∩t−1((n−1,n+1))V_{n,i}=\operatorname{coz}\bigl(f_i\cdot\max\{0,1-\lvert t-n\rvert\}\bigr)=\operatorname{coz}(f_i)\cap t^{-1}\bigl((n-1,n+1)\bigr)

とおく。JJは可算であり、Vn,i⊆coz⁡(fi)V_{n,i}\subseteq\operatorname{coz}(f_i)であるから(n,i)↦i(n,i)\mapsto iは細分射である。x∈Xx\in Xに対してn∈N≥0n\in\Nをn≤t(x)<n+1n\leq t(x)<n+1を満たすようにとると、x∈coz⁡(fi)x\in\operatorname{coz}(f_i)を満たすi≤n+1i\leq n+1が存在し、t(x)∈(n−1,n+1)t(x)\in(n-1,n+1)であるからx∈Vn,ix\in V_{n,i}である。したがって(Vn,i)(n,i)∈J(V_{n,i})_{(n,i)\in J}はXXの被覆である。Vn,i∩Vn′,i′≠∅V_{n,i}\cap V_{n',i'}\neq\emptysetならば(n−1,n+1)∩(n′−1,n′+1)≠∅(n-1,n+1)\cap(n'-1,n'+1)\neq\emptysetであるから∣n−n′∣≤1\lvert n-n'\rvert\leq1であり、i′≤n′+1≤n+2i'\leq n'+1\leq n+2である。そのような(n′,i′)(n',i')は有限個であるから、(Vn,i)(n,i)∈J(V_{n,i})_{(n,i)\in J}は星状有限である。▨

定理 8.8. 正則な Lindelöf 空間は強パラコンパクトである。

証明.XXを正則な Lindelöf 空間、U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。X=∅X=\emptysetならば空の族が求める細分を与えるから、X≠∅X\neq\emptysetとする。§E2.21 定理 2.3によりXXは正規である。x∈Xx\in Xに対してx∈Ui(x)x\in U_{i(x)}を満たすi(x)∈Ii(x)\in Iを選び、§E2.15 補題 2.6によりx∈Wxx\in W_xかつWx‾⊆Ui(x)\tpcl{W_x}\subseteq U_{i(x)}を満たす開集合WxW_xをとる。§E2.18 定理 3.1により、連続写像gx ⁣:X→[0,1]g_x\colon X\to[0,1]でX∖Ui(x)X\setminus U_{i(x)}上で00、Wx‾\tpcl{W_x}上で11をとるものが存在する。x∈coz⁡(gx)⊆Ui(x)x\in\operatorname{coz}(g_x)\subseteq U_{i(x)}であるから、(coz⁡(gx))x∈X(\operatorname{coz}(g_x))_{x\in X}はXXの開被覆である。§E2.21 定義 1.1により、高々可算なX0⊆XX_0\subseteq Xで(coz⁡(gx))x∈X0(\operatorname{coz}(g_x))_{x\in X_0}がXXの被覆であるものが存在する。X≠∅X\neq\emptysetからX0≠∅X_0\neq\emptysetであり、全射N≥1→X0\NN\to X_0、n↦xnn\mapsto x_nをとってfn=gxnf_n=g_{x_n}とおくと、(coz⁡(fn))n∈N≥1(\operatorname{coz}(f_n))_{n\in\NN}はXXの被覆である。補題 8.7により、余零集合からなる星状有限なXXの被覆V\mathcal Vで(coz⁡(fn))n∈N≥1(\operatorname{coz}(f_n))_{n\in\NN}の細分であるものが存在する。余零集合は開集合であり、coz⁡(fn)⊆Ui(xn)\operatorname{coz}(f_n)\subseteq U_{i(x_n)}であるから、§E2.19 補題 1.3 (2)によりV\mathcal Vは星状有限な開被覆によるU\mathcal Uの細分である。▨

9 例

例 9.1.F={1/n∣n∈N≥1}F=\{1/n\mid n\in\NN\}とし、§E2.15 例 5.4の空間R(F)R(F)を考える。このとき、§E2.15 例 5.4 (2)によりR(F)R(F)は第二可算な T2 空間であるから、§E2.21 命題 1.6により Lindelöf である。系 4.6 (1)によりR(F)R(F)は定理 4.5 (4)を満たし、補題 4.1 (1)と補題 4.1 (2)により定理 4.5 (2)も満たす。一方、§E2.15 例 5.4 (3)によりR(F)R(F)は T3 でなく、§E2.15 定理 1.11 (4)により T1 であるから、§E2.15 定義 1.8により正則でない。定理 2.7と§E2.15 定理 1.11 (1)により、パラコンパクトな Hausdorff 空間は T3 空間であるから、R(F)R(F)はパラコンパクトでなく、補題 4.3により定理 4.5 (3)を満たさない。定理 4.5と系 4.6 (2)から正則性の仮定を除くことはできない。

例 9.2.X={a,b,c}X=\{a,b,c\}に、開集合の全体が∅\emptyset、{a}\{a\}、{a,b}\{a,b\}、{a,c}\{a,c\}、XXである位相を入れる。このとき、XXは有限であるから、§E2.19 例 2.3と命題 2.3によりパラコンパクトである。XXの閉集合はXX、{b,c}\{b,c\}、{b}\{b\}、{c}\{c\}、∅\emptysetであるから{a}‾=X\tpcl{\{a\}}=Xである。連続写像g ⁣:X→Rg\colon X\to\Rについて、g−1({g(a)})g^{-1}(\{g(a)\})はaaを含む閉集合であるからXXに等しく、ggは定数である。

開被覆({a,b},{a,c})(\{a,b\},\{a,c\})に従属する 1 の分割(ϕ1,ϕ2)(\phi_1,\phi_2)が存在すると仮定する。ϕ1\phi_1は定数であり、その値が00でなければsupp⁡ϕ1=X⊈{a,b}\supp\phi_1=X\not\subseteq\{a,b\}となるから、ϕ1=0\phi_1=0である。同様にϕ2=0\phi_2=0であり、ϕ1(a)+ϕ2(a)=0≠1\phi_1(a)+\phi_2(a)=0\neq1となる。ゆえにこの開被覆に従属する 1 の分割は存在しない。

点aaと閉集合{b,c}\{b,c\}について、{b,c}\{b,c\}を含む開集合はXXだけであってaaを含むから、XXは正則でない。閉集合{b}\{b\}と{c}\{c\}について、それぞれを含む開集合はいずれもaaを含むから、XXは正規でない。したがって定理 3.2の定理 3.2 (1)⇒\Rightarrow(2)から正則性の仮定を除くことはできず、定理 2.7から Hausdorff 性の仮定を除くことはできない。

距離空間YYへの連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yも定数である。実際、YYは§E2.15 定理 3.2 (1)と§E2.15 定理 1.11 (4)により T1 空間であるから、§E2.15 命題 1.5によりf−1({f(a)})f^{-1}(\{f(a)\})はaaを含む閉集合であり、XXに等しい。したがってYYの開被覆(Vj)j∈J(V_j)_{j\in J}について、各f−1(Vj)f^{-1}(V_j)は∅\emptysetまたはXXであり、f−1(Vj)=Xf^{-1}(V_j)=Xを満たすjjが存在するが、XXは{a,b}\{a,b\}にも{a,c}\{a,c\}にも含まれない。ゆえに開被覆({a,b},{a,c})(\{a,b\},\{a,c\})について定理 5.2 (2)の写像は存在せず、定理 5.2の定理 5.2 (1)⇒\Rightarrow(2)からも正則性の仮定を除くことはできない。

例 9.3.

  1. §E2.18 定義 7.1の Tychonoff の板TTと角を除いた Tychonoff の板PPを考える。§E2.19 定理 7.2と§E2.19 定理 5.3によりTTはコンパクトであるから、命題 2.3によりパラコンパクトである。§E2.18 命題 7.2によりTTとPPは T3½ 空間である。TTは T1 空間であるから、§E2.15 命題 1.5によりTTの一点は閉集合であり、PPはTTの開集合である。§E2.15 定理 1.11 (2)と§E2.15 定義 1.8によりTTは正則であり、§E2.15 定理 1.11 (2)と§E2.15 定理 1.11 (3)によりPPは Hausdorff 空間である。§E2.18 定理 7.3によりPPは正規でないから、定理 2.7によりPPはパラコンパクトでない。したがってパラコンパクトな正則空間の開部分空間はパラコンパクトとは限らず、系 4.7によりPPはTTの閉集合の列の和集合として表されない。
  2. Sorgenfrey 直線Rℓ\R_\ellは、§E2.21 系 4.4により正則であり、§E2.21 定理 3.1により Lindelöf である。系 4.6 (2)と定理 8.8により、Rℓ\R_\ellはパラコンパクトかつ強パラコンパクトである。Sorgenfrey 平面Rℓ×Rℓ\R_\ell\times\R_\ellは、§E2.21 命題 3.2と§E2.15 定理 1.11 (3)により Hausdorff 空間であり、§E2.18 定理 8.4により正規でないから、定理 2.7によりパラコンパクトでない。したがってパラコンパクトな空間二つの直積はパラコンパクトとは限らない。一方、因子の一方がコンパクトであれば、系 2.5 (2)により直積はパラコンパクトである。
  3. 離散位相を入れた非可算集合は、命題 2.3によりパラコンパクトであるが、§E2.21 例 1.7 (1)により Lindelöf でない。
  4. ω1\omega_1は§E2.17 系 6.5により T4 空間であり、§E2.23 系 6.2により可算コンパクトであり、§E2.19 定理 7.2によりコンパクトでない。系 8.5 (3)によりω1\omega_1はメタコンパクトでなく、命題 8.3によりパラコンパクトでない。
  5. ω1×(ω1+1)\omega_1\times(\omega_1+1)は正規でない。実際、§E2.18 系 3.2によりω1\omega_1は T3½ 空間であり、主張 (4)によりパラコンパクトでないから、定理 6.1 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりω1×βω1\omega_1\times\beta\omega_1は正規でない。§E2.22 命題 7.4の同相写像h ⁣:βω1→ω1+1h\colon\beta\omega_1\to\omega_1+1について、id⁡×h\operatorname{id}\times hはω1×βω1\omega_1\times\beta\omega_1からω1×(ω1+1)\omega_1\times(\omega_1+1)への同相写像である。
  6. 離散位相を入れた集合ω1\omega_1から順序位相を入れたω1\omega_1への恒等写像は、連続な全単射である。定義域は命題 2.3によりパラコンパクトであり、Hausdorff 空間である。終域は主張 (4)によりパラコンパクトでない。したがって定理 4.8から写像が閉写像であるという仮定を除くことはできない。

例 9.4.R\Rの開被覆((k−2,k+2))k∈Z((k-2,k+2))_{k\in\Z}を考え、k∈Zk\in\Zに対してϕk(x)=max⁡{0,1−∣x−k∣}\phi_k(x)=\max\{0,1-\lvert x-k\rvert\}とおく。このとき、ϕk\phi_kはR\Rから[0,1][0,1]への連続写像であり、{x∣ϕk(x)≠0}=(k−1,k+1)\{x\mid\phi_k(x)\neq0\}=(k-1,k+1)であるからsupp⁡ϕk=[k−1,k+1]⊆(k−2,k+2)\supp\phi_k=[k-1,k+1]\subseteq(k-2,k+2)である。x∈Rx\in\Rの近傍(x−1,x+1)(x-1,x+1)と交わる[k−1,k+1][k-1,k+1]は∣k−x∣<2\lvert k-x\rvert<2を満たすkkのものに限られるから、(supp⁡ϕk)k∈Z(\supp\phi_k)_{k\in\Z}は局所有限である。x∈[m,m+1]x\in[m,m+1]（m∈Zm\in\Z）ならば、ϕm(x)=1−(x−m)\phi_m(x)=1-(x-m)、ϕm+1(x)=x−m\phi_{m+1}(x)=x-mであり、k≠m,m+1k\neq m,m+1について∣x−k∣≥1\lvert x-k\rvert\geq1からϕk(x)=0\phi_k(x)=0であるから、∑k∈Zϕk(x)=1\sum_{k\in\Z}\phi_k(x)=1である。ゆえに(ϕk)k∈Z(\phi_k)_{k\in\Z}はこの開被覆に従属する 1 の分割である。

10 演習

問題 10.1.R\Rの族([−n,n])n∈N≥1([-n,n])_{n\in\NN}と((−n,n))n∈N≥1((-n,n))_{n\in\NN}がいずれも閉包保存であり、点有限でないことを示せ。とくに((−n,n))n∈N≥1((-n,n))_{n\in\NN}は閉包保存なR\Rの開被覆であって、局所有限でないことを示せ。

解答.

J′⊆N≥1J'\subseteq\NNをとる。J′=∅J'=\emptysetならば両辺はともに∅\emptysetである。J′J'が空でない有限集合ならば、その最大元をmmとすると、⋃n∈J′[−n,n]=[−m,m]\bigcup_{n\in J'}[-n,n]=[-m,m]は閉集合であり、⋃n∈J′(−n,n)=(−m,m)\bigcup_{n\in J'}(-n,n)=(-m,m)の閉包は[−m,m][-m,m]である。[−n,n][-n,n]は(−n,n)(-n,n)の閉包であるから、いずれの族についても

⋃n∈J′An‾=[−m,m]=⋃n∈J′An‾\tpcl{\bigcup_{n\in J'}A_n}=[-m,m]=\bigcup_{n\in J'}\tpcl{A_n}

が成り立つ（AnA_nは[−n,n][-n,n]または(−n,n)(-n,n)）。J′J'が無限集合ならば、任意のt∈Rt\in\Rについて∣t∣<n\lvert t\rvert<nを満たすn∈J′n\in J'が存在するから、いずれの族についても⋃n∈J′An=⋃n∈J′An‾=R\bigcup_{n\in J'}A_n=\bigcup_{n\in J'}\tpcl{A_n}=\Rであり、左辺の閉包もR\Rである。ゆえに二つの族は閉包保存である。

00はすべての[−n,n][-n,n]と(−n,n)(-n,n)に属するから、いずれの族についても00を含む元の添字の集合は無限集合N≥1\NNであり、二つの族は点有限でない。00の任意の近傍は00を含むすべての元と交わるから、二つの族は局所有限でない。((−n,n))n∈N≥1((-n,n))_{n\in\NN}は開集合からなり、その和集合はR\Rであるから、R\Rの開被覆である。▨

問題 10.2.ω1\omega_1の開被覆([0,α))α<ω1([0,\alpha))_{\alpha<\omega_1}の細分である局所有限な開被覆が存在しないことを、系 8.5を用いずに示せ。

解答.

V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}を([0,α))α<ω1([0,\alpha))_{\alpha<\omega_1}の細分である局所有限な開被覆とし、細分射をj↦αjj\mapsto\alpha_jとすると、各jjについてVj⊆[0,αj)V_j\subseteq[0,\alpha_j)である。x0=0x_0=0とし、x0∈Vj0x_0\in V_{j_0}を満たすj0j_0をとる。j0,…,jnj_0,\dots,j_nが定まったとき、xn+1=max⁡{αj0,…,αjn}x_{n+1}=\max\{\alpha_{j_0},\dots,\alpha_{j_n}\}とおき、xn+1∈Vjn+1x_{n+1}\in V_{j_{n+1}}を満たすjn+1j_{n+1}をとる。k≤nk\leq nならばVjkV_{j_k}の元はαjk≤xn+1\alpha_{j_k}\leq x_{n+1}より小さいからxn+1∉Vjkx_{n+1}\notin V_{j_k}であり、jn+1∉{j0,…,jn}j_{n+1}\notin\{j_0,\dots,j_n\}である。またxn∈Vjnx_n\in V_{j_n}からxn<αjn≤xn+1x_n<\alpha_{j_n}\leq x_{n+1}である。

§E2.17 補題 4.2により{xn∣n∈N≥0}\{x_n\mid n\in\N\}はω1\omega_1で上に有界である。したがって{xn∣n∈N≥0}\{x_n\mid n\in\N\}の上界全体はω1\omega_1の空でない部分集合であり、ω1\omega_1は整列集合であるからその最小元β\betaが存在する。β<ω1\beta<\omega_1は{xn∣n∈N≥0}\{x_n\mid n\in\N\}の上限である。(xn)(x_n)は狭義単調増加であるから、すべてのnnについてxn<βx_n<\betaである。NNをβ\betaの近傍とすると、§E2.17 定理 1.2によりβ∈(a,b)⊆N\beta\in(a,b)\subseteq Nを満たす基本開集合(a,b)(a,b)が存在する。a<βa<\betaでありβ\betaは{xn}\{x_n\}の最小の上界であるから、xn0>ax_{n_0}>aを満たすn0n_0が存在し、n≥n0n\geq n_0ならばa<xn<β<ba<x_n<\beta<bであってxn∈Nx_n\in Nである。したがってNNは相異なる無限個の添字jnj_n（n≥n0n\geq n_0）についてVjnV_{j_n}と交わり、V\mathcal Vがβ\betaで局所有限であることと両立しない。ゆえにそのような開被覆は存在しない。▨

問題 10.3.命題 1.4と補題 1.6を証明せよ。

解答.

開集合OOと部分集合AAについて、O∩A‾≠∅O\cap\tpcl{A}\neq\emptysetとO∩A≠∅O\cap A\neq\emptysetは同値である。

命題 1.4 (1)を示す。A\mathcal Aが疎な族であるとする。各点の近傍で高々一つのAjA_jとしか交わらないものは有限個のAjA_jとしか交わらないから、A\mathcal Aは局所有限である。相異なるj,kj,kとx∈Aj‾∩Ak‾x\in\tpcl{A_j}\cap\tpcl{A_k}があるとすると、xxの任意の近傍はAjA_jとAkA_kの両方と交わり、xxが高々一つのAjA_jとしか交わらない近傍をもつことと両立しない。逆に、A\mathcal Aが局所有限であって閉包が互いに交わらないとする。x∈Xx\in Xの近傍VVでV∩Aj≠∅V\cap A_j\neq\emptysetを満たすjjが有限集合J0J_0に属するものをとり、J1={j∈J0∣x∉Aj‾}J_1=\{j\in J_0\mid x\notin\tpcl{A_j}\}とおく。V′=V∖⋃j∈J1Aj‾V'=V\setminus\bigcup_{j\in J_1}\tpcl{A_j}はxxの近傍であり、V′∩Aj≠∅V'\cap A_j\neq\emptysetならばj∈J0∖J1j\in J_0\setminus J_1、すなわちx∈Aj‾x\in\tpcl{A_j}である。閉包は互いに交わらないから、そのようなjjは高々一つである。

命題 1.4 (2)を示す。疎な族が局所有限であることは命題 1.4 (1)による。A\mathcal Aが局所有限であるとし、J′⊆JJ'\subseteq Jをとる。各j∈J′j\in J'についてAj⊆⋃k∈J′AkA_j\subseteq\bigcup_{k\in J'}A_kであるから⋃j∈J′Aj‾⊆⋃j∈J′Aj‾\bigcup_{j\in J'}\tpcl{A_j}\subseteq\tpcl{\bigcup_{j\in J'}A_j}である。x∉⋃j∈J′Aj‾x\notin\bigcup_{j\in J'}\tpcl{A_j}とし、xxの近傍VVでV∩Aj≠∅V\cap A_j\neq\emptysetを満たすjjが有限集合J0J_0に属するものをとる。V′=V∖⋃j∈J0∩J′Aj‾V'=V\setminus\bigcup_{j\in J_0\cap J'}\tpcl{A_j}はxxの近傍であり、すべてのj∈J′j\in J'についてV′∩Aj=∅V'\cap A_j=\emptysetである。したがってx∉⋃j∈J′Aj‾x\notin\tpcl{\bigcup_{j\in J'}A_j}であり、等号が成り立つ。

命題 1.4 (3)を示す。x∈Xx\in Xの近傍VVに対してx∈O⊆Vx\in O\subseteq Vを満たす開集合OOをとると、O∩Aj‾≠∅O\cap\tpcl{A_j}\neq\emptysetとO∩Aj≠∅O\cap A_j\neq\emptysetは同値であるから、OOと交わるAj‾\tpcl{A_j}の添字はVVと交わるAjA_jの添字に含まれる。したがって、A\mathcal Aが疎な族ならば(Aj‾)j∈J(\tpcl{A_j})_{j\in J}も疎な族であり、A\mathcal Aが局所有限ならば(Aj‾)j∈J(\tpcl{A_j})_{j\in J}も局所有限である。A\mathcal Aが閉包保存ならば、J′⊆JJ'\subseteq Jについて⋃j∈J′Aj‾=⋃j∈J′Aj‾\bigcup_{j\in J'}\tpcl{A_j}=\tpcl{\bigcup_{j\in J'}A_j}は閉集合であるから、⋃j∈J′Aj‾‾=⋃j∈J′Aj‾=⋃j∈J′Aj‾‾\tpcl{\bigcup_{j\in J'}\tpcl{A_j}}=\bigcup_{j\in J'}\tpcl{A_j}=\bigcup_{j\in J'}\tpcl{\tpcl{A_j}}である。

命題 1.4 (4)を示す。各AjA_jは閉集合であるから⋃j∈J′Aj‾=⋃j∈J′Aj‾=⋃j∈J′Aj\tpcl{\bigcup_{j\in J'}A_j}=\bigcup_{j\in J'}\tpcl{A_j}=\bigcup_{j\in J'}A_jであり、⋃j∈J′Aj\bigcup_{j\in J'}A_jは閉集合である。

補題 1.6 (1)を示す。φ(j)=i\varphi(j)=iならばVj⊆Uφ(j)=UiV_j\subseteq U_{\varphi(j)}=U_iであるからCi⊆UiC_i\subseteq U_iである。V\mathcal VがXXの被覆ならば、x∈Vjx\in V_jを満たすjjについてx∈Cφ(j)x\in C_{\varphi(j)}である。補題 1.6 (2)は開集合の和集合が開集合であることによる。

補題 1.6 (3)を示す。x∈Xx\in Xの近傍VVについて、V∩Ci≠∅V\cap C_i\neq\emptysetならばV∩Vj≠∅V\cap V_j\neq\emptysetを満たすj∈φ−1(i)j\in\varphi^{-1}(i)が存在する。したがって、VVと交わるVjV_jの添字の集合をJ0J_0とすると、VVと交わるCiC_iの添字はφ(J0)\varphi(J_0)に含まれる。J0J_0が高々一つの元からなるならばφ(J0)\varphi(J_0)もそうであり、J0J_0が有限ならばφ(J0)\varphi(J_0)も有限である。V\mathcal Vが閉包保存であるとし、I′⊆II'\subseteq Iをとると、

⋃i∈I′Ci‾=⋃j∈φ−1(I′)Vj‾=⋃j∈φ−1(I′)Vj‾=⋃i∈I′⋃j∈φ−1(i)Vj‾=⋃i∈I′Ci‾\tpcl{\bigcup_{i\in I'}C_i}=\tpcl{\bigcup_{j\in\varphi^{-1}(I')}V_j}=\bigcup_{j\in\varphi^{-1}(I')}\tpcl{V_j}=\bigcup_{i\in I'}\bigcup_{j\in\varphi^{-1}(i)}\tpcl{V_j}=\bigcup_{i\in I'}\tpcl{C_i}

である。最後の等号は、V\mathcal Vの部分族(Vj)j∈φ−1(i)(V_j)_{j\in\varphi^{-1}(i)}が閉包保存であることによる。

補題 1.6 (4)を示す。I′⊆II'\subseteq Iについて

⋃i∈I′Ci‾=⋃j∈φ−1(I′)Vj‾⊆⋃j∈φ−1(I′)Uφ(j)⊆⋃i∈I′Ui\tpcl{\bigcup_{i\in I'}C_i}=\tpcl{\bigcup_{j\in\varphi^{-1}(I')}V_j}\subseteq\bigcup_{j\in\varphi^{-1}(I')}U_{\varphi(j)}\subseteq\bigcup_{i\in I'}U_i

である。補題 1.6 (1)により(Ci)i∈I(C_i)_{i\in I}はXXの被覆であるから、(Ci)i∈I(C_i)_{i\in I}はid⁡I\operatorname{id}_Iに関するU\mathcal Uのクッション細分である。

補題 1.6 (5)は、命題 1.4 (4)をJ′=φ−1(i)J'=\varphi^{-1}(i)に適用すれば従う。▨

問題 10.4.18Z={m/8∣m∈Z}\frac18\Z=\{m/8\mid m\in\Z\}とし、c∈18Zc\in\frac18\Zに対してVc=(c−1/8,c+1/8)V_c=(c-1/8,c+1/8)とおく。族(Vc)c∈18Z(V_c)_{c\in\frac18\Z}がR\Rの開被覆((k−1,k+1))k∈Z((k-1,k+1))_{k\in\Z}の星型細分であることを、各ccについてSt⁡(Vc,(Vc′)c′∈18Z)\operatorname{St}(V_c,(V_{c'})_{c'\in\frac18\Z})を含む(k−1,k+1)(k-1,k+1)を明示して示せ。

解答.

t∈Rt\in\Rに対してc=⌊8t⌋/8c=\lfloor 8t\rfloor/8とおくと0≤t−c<1/80\leq t-c<1/8であるからt∈Vct\in V_cであり、(Vc)c∈18Z(V_c)_{c\in\frac18\Z}はR\Rの開被覆である。c,c′∈18Zc,c'\in\frac18\Zについて、Vc∩Vc′≠∅V_c\cap V_{c'}\neq\emptysetであることと∣c−c′∣<1/4\lvert c-c'\rvert<1/4であることは同値であり、これはc′∈{c−1/8,c,c+1/8}c'\in\{c-1/8,c,c+1/8\}と同値である。したがって

St⁡(Vc,(Vc′)c′∈18Z)=Vc−1/8∪Vc∪Vc+1/8=(c−1/4,c+1/4)\operatorname{St}(V_c,(V_{c'})_{c'\in\frac18\Z})=V_{c-1/8}\cup V_c\cup V_{c+1/8}=(c-1/4,c+1/4)

である。k(c)=⌊c+1/2⌋k(c)=\lfloor c+1/2\rfloorとおくと∣c−k(c)∣≤1/2\lvert c-k(c)\rvert\leq1/2であるから、

(c−1/4,c+1/4)⊆(k(c)−3/4,k(c)+3/4)⊆(k(c)−1,k(c)+1)(c-1/4,c+1/4)\subseteq(k(c)-3/4,k(c)+3/4)\subseteq(k(c)-1,k(c)+1)

である。Vc⊆St⁡(Vc,(Vc′)c′∈18Z)V_c\subseteq\operatorname{St}(V_c,(V_{c'})_{c'\in\frac18\Z})であるから、c↦k(c)c\mapsto k(c)は(Vc)c∈18Z(V_c)_{c\in\frac18\Z}と星の族の両方について細分射であり、(Vc)c∈18Z(V_c)_{c\in\frac18\Z}は開被覆による星型細分である。▨

参考文献

  1. Ryszard Engelking, General Topology, revised and completed ed., Sigma Series in Pure Mathematics 6, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.パラコンパクト空間の細分による特徴づけ、閉写像の像と Fσ 部分空間への適用、距離化可能な空間のパラコンパクト性、玉野の定理、および点有限な被覆と星状有限な被覆による被覆性質の扱いを参考にした。
  2. James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000.パラコンパクト Hausdorff 空間の正規性、局所有限な閉被覆による細分からパラコンパクト性を導く判定、距離化可能な空間のパラコンパクト性、および 1 の分割の構成を参考にした。
  3. Stephen Willard, General Topology, Dover Publications, 2004, originally published 1970.一般位相空間におけるパラコンパクト性の定式化と、星型細分による特徴づけを参考にした。

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