§E2.55写像空間の一様構造

証明. 演習とする（問題 5.1）。▨

証明.$x\in X$について射影を$\pi_x\colon Y^X\to Y$とすると、すべての$V\subseteq Y\times Y$について$(\pi_x\times\pi_x)^{-1}(V)=E_{\{x\}}(V)$である。

主張 (1)を示す。$x\in X$と$V\in\mathcal V$をとる。補題 1.1 (1)により$E_X(V)\subseteq E_{\{x\}}(V)$であり、$E_X(V)\in\mathcal V_{\mathrm u}$であるから、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により$(\pi_x\times\pi_x)^{-1}(V)\in\mathcal V_{\mathrm u}$である。§E2.51 定義 3.3により$\pi_x\colon(Y^X,\mathcal V_{\mathrm u})\to(Y,\mathcal V)$は一様連続であり、§E2.51 命題 4.2 (1)により$\mathcal P\subseteq\mathcal V_{\mathrm u}$である。

主張 (2)を示す。$K$を$X$のコンパクト部分集合とし、$V\in\mathcal V$について

とおく。$Y^K$の一様収束の一様構造は$\{E'_K(V)\mid V\in\mathcal V\}$を近縁基とし、$(r_K\times r_K)^{-1}(E'_K(V))=E_K(V)$である。したがって、§E2.51 定義 4.1の近縁準基$\mathcal S$は$E_K(V)$の形の集合をすべて含み、$\mathcal S$の各元$S$について、$E_K(V)\subseteq S$を満たす$X$のコンパクト部分集合$K$と$V\in\mathcal V$が存在する。$\mathcal S$の有限個の元$S_1,\ldots,S_m$をとり、各$i$について$E_{K_i}(V_i)\subseteq S_i$を満たす$X$のコンパクト部分集合$K_i$と$V_i\in\mathcal V$をとると、補題 1.1 (1)により

である。§E2.19 補題 2.8により$K_1\cup\cdots\cup K_m$はコンパクトであり、§E2.51 定義 1.3 条件 (c)により$V_1\cap\cdots\cap V_m\in\mathcal V$である。$m=0$のときは、§E2.19 例 2.9 (1)により空集合はコンパクトであり、$E_\emptyset(Y\times Y)=Y^X\times Y^X$である。§E2.51 定義 4.1により$\mathcal V_{\mathrm c}$は$\mathcal S$の有限個の元の共通部分を含む集合の全体であるから、$E_K(V)$の形の集合はすべて$\mathcal V_{\mathrm c}$に属し、$\mathcal V_{\mathrm c}$の各元は$E_K(V)$の形の集合を含む。

主張 (3)を示す。$x\in X$と$V\in\mathcal V$について、§E2.19 例 2.9 (1)により$\{x\}$はコンパクトであるから、主張 (2)により$(\pi_x\times\pi_x)^{-1}(V)=E_{\{x\}}(V)\in\mathcal V_{\mathrm c}$である。§E2.51 定義 3.3により$\pi_x\colon(Y^X,\mathcal V_{\mathrm c})\to(Y,\mathcal V)$は一様連続であり、§E2.51 命題 4.2 (1)により$\mathcal P\subseteq\mathcal V_{\mathrm c}$である。$V'\in\mathcal V_{\mathrm c}$とすると、主張 (2)により$E_K(V)\subseteq V'$を満たす$X$のコンパクト部分集合$K$と$V\in\mathcal V$が存在し、補題 1.1 (1)により$E_X(V)\subseteq E_K(V)\subseteq V'$である。$E_X(V)\in\mathcal V_{\mathrm u}$であるから、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により$V'\in\mathcal V_{\mathrm u}$であり、$\mathcal V_{\mathrm c}\subseteq\mathcal V_{\mathrm u}$である。$X$がコンパクトならば、主張 (2)によりすべての$V\in\mathcal V$について$E_X(V)\in\mathcal V_{\mathrm c}$であり、$\mathcal V_{\mathrm u}$の各元は$E_X(V)$の形の集合を含むから、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により$\mathcal V_{\mathrm u}\subseteq\mathcal V_{\mathrm c}$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$f$を$(Y^X,\mathcal V_{\mathrm u})$の一様位相に関する$C(X,Y)$の閉包の元とし、$x\in X$と$f(x)$の近傍$N$をとる。§E2.51 命題 2.1により$V[f(x)]\subseteq N$を満たす$V\in\mathcal V$が存在し、§E2.51 補題 1.7 (2)により$W\circ W\circ W\subseteq V$を満たす対称な近縁$W$が存在する。§E2.51 命題 2.1により$E_X(W)[f]$は$f$の近傍であるから、§E2.11 命題 7.2 (2)により$E_X(W)[f]\cap C(X,Y)$は空でない。$g\in E_X(W)[f]\cap C(X,Y)$をとると、すべての$z\in X$について$(f(z),g(z))\in W$である。§E2.51 命題 2.1により$W[g(x)]$は$g(x)$の近傍である。$g$は連続であるから、§E2.12 命題 1.4により$g$は$x$で連続であり、§E2.12 定義 1.3により$M=g^{-1}(W[g(x)])$は$x$の近傍である。$x'\in M$とすると、$(f(x),g(x))\in W$、$(g(x),g(x'))\in W$であり、$W$の対称性により$(g(x'),f(x'))\in W$であるから、$(f(x),f(x'))\in W\circ W\circ W\subseteq V$であり、$f(x')\in N$である。ゆえに$M\subseteq f^{-1}(N)$であり、近傍の上位集合は近傍であるから$f^{-1}(N)$は$x$の近傍である。§E2.12 定義 1.3により$f$は$x$で連続であり、§E2.12 命題 1.4により$f\in C(X,Y)$である。したがって$C(X,Y)$の閉包は$C(X,Y)$に含まれ、§E2.11 命題 2.5 (1)と§E2.11 命題 2.5 (2)により$C(X,Y)$は閉集合である。

主張 (2)を示す。$(Y,\mathcal V)$を完備とし、$\mathfrak F$を$(Y^X,\mathcal V_{\mathrm u})$の Cauchy フィルターとする。$x\in X$について、射影を$\pi_x\colon Y^X\to Y$とする。$V\in\mathcal V$とすると、$E_X(V)\in\mathcal V_{\mathrm u}$であるから$F\times F\subseteq E_X(V)$を満たす$F\in\mathfrak F$が存在し、$\pi_x(F)\times\pi_x(F)\subseteq V$である。§E2.50 命題 3.2 (1)により$\pi_x(\mathfrak F)$は$\{\pi_x(F)\mid F\in\mathfrak F\}$が生成する$Y$上のフィルターであるから、§E2.53 補題 1.2 (1)により$\pi_x(\mathfrak F)$は$Y$上の Cauchy フィルターである。$(Y,\mathcal V)$は完備であるから、$\pi_x(\mathfrak F)$は極限をもつ。各$x\in X$について$\pi_x(\mathfrak F)$の極限$f(x)$を一つとり、写像$f\colon X\to Y$を定める。

$V\in\mathcal V$をとり、§E2.51 定義 1.3 条件 (f)により$W\circ W\subseteq V$を満たす$W\in\mathcal V$をとり、$F\times F\subseteq E_X(W)$を満たす$F\in\mathfrak F$をとる。$g\in F$と$x\in X$をとる。§E2.51 命題 2.1により$W[f(x)]$は$f(x)$の近傍であり、$\pi_x(\mathfrak F)$は$f(x)$に収束するから、$W[f(x)]\in\pi_x(\mathfrak F)$、すなわち$\pi_x^{-1}(W[f(x)])\in\mathfrak F$である。§E2.50 定義 1.1 条件 (c)と§E2.50 定義 1.1 条件 (b)により$F\cap\pi_x^{-1}(W[f(x)])$は空でないから、$h(x)\in W[f(x)]$を満たす$h\in F$が存在する。$(f(x),h(x))\in W$であり、$(h,g)\in F\times F\subseteq E_X(W)$により$(h(x),g(x))\in W$であるから、$(f(x),g(x))\in W\circ W\subseteq V$である。$x\in X$は任意であるから$(f,g)\in E_X(V)$である。ゆえに$F\subseteq E_X(V)[f]$であり、§E2.50 定義 1.1 条件 (d)により$E_X(V)[f]\in\mathfrak F$である。$V\in\mathcal V$は任意であるから、すべての$V\in\mathcal V$について$E_X(V)[f]\in\mathfrak F$である。§E2.51 命題 2.1により、$\mathcal V_{\mathrm u}$の一様位相に関する$f$の近傍は$V'\in\mathcal V_{\mathrm u}$について$V'[f]$の形の集合であり、$E_X(V)\subseteq V'$を満たす$V\in\mathcal V$が存在するから、$V'[f]\supseteq E_X(V)[f]$である。§E2.50 定義 1.1 条件 (d)により、$f$の近傍はすべて$\mathfrak F$に属する。したがって$\mathfrak F$は$\mathcal V_{\mathrm u}$の一様位相に関して$f$に収束し、$(Y^X,\mathcal V_{\mathrm u})$は完備である。主張 (1)により$C(X,Y)$は閉集合であるから、§E2.53 命題 2.1 (1)により、一様収束の一様構造を入れた$C(X,Y)$は完備である。▨

証明.§E2.30 定義 2.2により、$Y$上の擬距離$e$と$u,v\in Y$について$0=e(u,u)\leq e(u,v)+e(v,u)=2e(u,v)$であるから、$e(u,v)\geq0$である。

主張 (1)を示す。$d^\infty_A$を定める集合は$0$を含み、その元はすべて$[0,1]$に属するから、$d^\infty_A$の値は$[0,1]$に属する。$f,g,h\in Y^X$とする。$d(f(x),f(x))=0$であるから$d^\infty_A(f,f)=0$であり、$d$の対称性により$d^\infty_A(f,g)=d^\infty_A(g,f)$である。$0$以上の実数$a,b$について$\min\{1,a+b\}\leq\min\{1,a\}+\min\{1,b\}$であるから、$d$の三角不等式と$t\mapsto\min\{1,t\}$の単調性により、すべての$x\in A$について

である。右辺は$0$以上であるから、$d^\infty_A(f,h)\leq d^\infty_A(f,g)+d^\infty_A(g,h)$である。ゆえに$d^\infty_A$は擬距離である。$0<\varepsilon\leq1$とする。$(f,g)\in E_A(U^d_{\varepsilon/2})$ならば、すべての$x\in A$について$\min\{1,d(f(x),g(x))\}<\varepsilon/2$であるから、$d^\infty_A(f,g)\leq\varepsilon/2<\varepsilon$である。$d^\infty_A(f,g)<\varepsilon$ならば、すべての$x\in A$について$\min\{1,d(f(x),g(x))\}<\varepsilon\leq1$であるから$d(f(x),g(x))<\varepsilon$であり、$(f,g)\in E_A(U^d_\varepsilon)$である。

主張 (2)を示す。$\mathcal D$は空でないから、$\{d^\infty_X\mid d\in\mathcal D\}$は空でない。$d_1,d_2\in\mathcal D$について$\max\{d_1,d_2\}\in\mathcal D$であり、実数$a,b$について$\min\{1,\max\{a,b\}\}=\max\{\min\{1,a\},\min\{1,b\}\}$であるから、上限の定義により$(\max\{d_1,d_2\})^\infty_X=\max\{(d_1)^\infty_X,(d_2)^\infty_X\}$である。ゆえに$\{d^\infty_X\mid d\in\mathcal D\}$は有限個の最大で閉じている。$d\in\mathcal D$と実数$\varepsilon>0$をとり、$\eta=\min\{\varepsilon,1\}$とおく。§E2.52 定義 1.1により$U^d_{\eta/2}\in\mathcal U_{\mathcal D}=\mathcal V$であるから$E_X(U^d_{\eta/2})\in\mathcal V_{\mathrm u}$であり、主張 (1)により$E_X(U^d_{\eta/2})\subseteq U^{d^\infty_X}_\eta\subseteq U^{d^\infty_X}_\varepsilon$であるから、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により$U^{d^\infty_X}_\varepsilon\in\mathcal V_{\mathrm u}$である。§E2.52 補題 1.4 (2)$\Rightarrow$(1)により、$d^\infty_X$は$\mathcal V_{\mathrm u}$に関して一様連続な擬距離である。$V'\in\mathcal V_{\mathrm u}$とすると、$E_X(V)\subseteq V'$を満たす$V\in\mathcal V$が存在し、§E2.52 命題 1.2 (3)により、$U^d_\varepsilon\subseteq V$を満たす$d\in\mathcal D$と実数$\varepsilon>0$が存在する。$\eta=\min\{\varepsilon,1\}$とおくと、補題 1.1 (1)と主張 (1)により$U^{d^\infty_X}_\eta\subseteq E_X(U^d_\eta)\subseteq E_X(V)\subseteq V'$である。§E2.52 定理 2.2 (2)を$k=1$として適用すると、$\{d^\infty_X\mid d\in\mathcal D\}$が定める一様構造は$\mathcal V_{\mathrm u}$に等しい。

主張 (3)を示す。$d\in\mathcal D$、$X$のコンパクト部分集合$K$、実数$\varepsilon>0$をとり、$\eta=\min\{\varepsilon,1\}$とおく。命題 1.3 (2)により$E_K(U^d_{\eta/2})\in\mathcal V_{\mathrm c}$であり、主張 (1)により$E_K(U^d_{\eta/2})\subseteq U^{d^\infty_K}_\varepsilon$であるから、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により$U^{d^\infty_K}_\varepsilon\in\mathcal V_{\mathrm c}$である。§E2.52 補題 1.4 (2)$\Rightarrow$(1)により、$d^\infty_K$は$\mathcal V_{\mathrm c}$に関して一様連続な擬距離である。$V'\in\mathcal V_{\mathrm c}$とすると、命題 1.3 (2)により$E_K(V)\subseteq V'$を満たす$X$のコンパクト部分集合$K$と$V\in\mathcal V$が存在し、§E2.52 命題 1.2 (3)により、$U^d_\varepsilon\subseteq V$を満たす$d\in\mathcal D$と実数$\varepsilon>0$が存在する。$\eta=\min\{\varepsilon,1\}$とおくと、補題 1.1 (1)と主張 (1)により$U^{d^\infty_K}_\eta\subseteq E_K(U^d_\eta)\subseteq V'$である。§E2.52 定理 2.2 (2)を$k=1$として適用すると、主張の族が定める一様構造は$\mathcal V_{\mathrm c}$に等しい。

主張 (4)を示す。$d$を$\mathcal V$に関して一様連続な$Y$上の擬距離とする。§E2.52 補題 6.2 (3)により、$d\colon Y\times Y\to\R$は$Y\times Y$の積位相に関して連続である。$f,g\in C$とし、$Y\times Y$の二つの射影を$\pr_1,\pr_2$とする。$\pr_1$と写像$x\mapsto(f(x),g(x))$の合成は$f$、$\pr_2$との合成は$g$であり、いずれも連続であるから、§E2.14 定義 1.9と§E2.12 定理 3.4により$x\mapsto(f(x),g(x))$は$X$から$Y\times Y$への連続写像であり、§E2.12 命題 1.10により$x\mapsto d(f(x),g(x))$は$X$から$\R$への連続写像である。$X\neq\emptyset$ならば、§E2.19 定理 4.4により、この関数は$X$上で最大値をとる。

$f,g,h\in C$とする。$d(f(x),f(x))=0$と$d$の対称性により、$d^{\max}_X(f,f)=0$かつ$d^{\max}_X(f,g)=d^{\max}_X(g,f)$である。すべての$x\in X$について$d(f(x),h(x))\leq d(f(x),g(x))+d(g(x),h(x))\leq d^{\max}_X(f,g)+d^{\max}_X(g,h)$であり、$d^{\max}_X$の値は$0$以上であるから、$d^{\max}_X(f,h)\leq d^{\max}_X(f,g)+d^{\max}_X(g,h)$である。ゆえに$d^{\max}_X$は$C$上の擬距離である。$X=\emptyset$ならば$d^\infty_X(f,g)$と$\min\{1,d^{\max}_X(f,g)\}$はいずれも$0$である。$X\neq\emptyset$ならば、$t\mapsto\min\{1,t\}$は単調であるから、$\min\{1,d^{\max}_X(f,g)\}$は$x\mapsto\min\{1,d(f(x),g(x))\}$の$X$上の最大値であり、この関数の値は$0$以上であるから、この最大値は$d^\infty_X(f,g)$に等しい。

$\mathcal D$を$\mathcal U_{\mathcal D}=\mathcal V$を満たす$Y$上の擬距離の族であって、有限個の最大で閉じているものとする。$d\in\mathcal D$とすると、§E2.52 定義 1.1により、すべての実数$\varepsilon>0$について$U^d_\varepsilon\in\mathcal U_{\mathcal D}=\mathcal V$であるから、§E2.52 補題 1.4 (2)$\Rightarrow$(1)により$d$は$\mathcal V$に関して一様連続である。主張 (2)と§E2.52 命題 1.2 (3)により$\{U^{d^\infty_X}_\varepsilon\mid d\in\mathcal D,\ \varepsilon>0\}$は$\mathcal V_{\mathrm u}$の近縁基であり、§E2.51 補題 3.2により$\{U^{d^\infty_X}_\varepsilon\cap(C\times C)\mid d\in\mathcal D,\ \varepsilon>0\}$は$\mathcal W$の近縁基である。$d\in\mathcal D$と$0<\eta\leq1$を満たす実数$\eta$について、$C$の上で$d^\infty_X=\min\{1,d^{\max}_X\}$であるから、$U^{d^\infty_X}_\eta\cap(C\times C)=U^{d^{\max}_X}_\eta$である。$W'\in\mathcal W$とすると、$U^{d^\infty_X}_\varepsilon\cap(C\times C)\subseteq W'$を満たす$d\in\mathcal D$と実数$\varepsilon>0$が存在し、$\eta=\min\{\varepsilon,1\}$とおくと$U^{d^{\max}_X}_\eta=U^{d^\infty_X}_\eta\cap(C\times C)\subseteq W'$である。$d\in\mathcal D$と実数$\varepsilon>0$について、$\eta=\min\{\varepsilon,1\}$とおくと$U^{d^\infty_X}_\eta\cap(C\times C)=U^{d^{\max}_X}_\eta\subseteq U^{d^{\max}_X}_\varepsilon$であるから、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により$U^{d^{\max}_X}_\varepsilon\in\mathcal W$である。ゆえに$\{U^{d^{\max}_X}_\varepsilon\mid d\in\mathcal D,\ \varepsilon>0\}$は$\mathcal W$の近縁基である。▨