§E2.54全有界性

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$V\in\mathcal U$とする。§E2.51 補題 1.7 (2)により、$W\circ W\subseteq V$を満たす対称な近縁$W$が存在する。主張 (1)により、$X=W[F]$を満たす$X$の有限部分集合$F$が存在する。$F=\{a_1,\ldots,a_n\}$と書き、$A_i=W[a_i]$とおくと、$X=A_1\cup\cdots\cup A_n$である。$y,z\in A_i$ならば、$W$の対称性により$(y,a_i)\in W$であり、$(a_i,z)\in W$であるから、$(y,z)\in W\circ W\subseteq V$である。ゆえに$A_i\times A_i\subseteq V$である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$\mathfrak U$を$X$上の超フィルターとし、$V\in\mathcal U$をとる。主張 (2)により、$X=A_1\cup\cdots\cup A_n$を満たし、各$i$について$A_i\times A_i\subseteq V$を満たす$n\in\N$と$X$の部分集合$A_1,\ldots,A_n$が存在する。どの$A_i$も$\mathfrak U$に属さないと仮定する。§E2.50 定義 1.1 条件 (a)と§E2.50 定義 1.1 条件 (b)により$X\in\mathfrak U$かつ$\emptyset\notin\mathfrak U$であるから、$X\neq\emptyset$であり、したがって$n\geq1$である。§E2.50 補題 2.2 (1)$\Rightarrow$(2)により、すべての$i$について$X\setminus A_i\in\mathfrak U$であるから、§E2.50 定義 1.1 条件 (c)を繰り返し適用して

が$\mathfrak U$に属する。これは§E2.50 定義 1.1 条件 (b)に反する。ゆえに$A_i\in\mathfrak U$を満たす$i$が存在し、$A_i\times A_i\subseteq V$であるから、$\mathfrak U$は Cauchy フィルターである。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$(X,\mathcal U)$が全有界でないと仮定すると、$V\in\mathcal U$であって、$X$のどの有限部分集合$F$についても$X\neq V[F]$となるものが存在する。

とおく。$X\setminus V[\emptyset]=X$であるから$\mathfrak B\neq\emptyset$であり、$V$の選び方により$\mathfrak B$の元はすべて空でない。$X$の有限部分集合$F,G$について$(X\setminus V[F])\cap(X\setminus V[G])=X\setminus V[F\cup G]$であり、$F\cup G$は有限集合であるから、$\mathfrak B$は$X$上のフィルター基である。§E2.50 定理 2.4により、$\langle\mathfrak B\rangle\subseteq\mathfrak U$を満たす$X$上の超フィルター$\mathfrak U$が存在する。主張 (3)により$\mathfrak U$は Cauchy フィルターであるから、$A\times A\subseteq V$を満たす$A\in\mathfrak U$が存在する。§E2.50 定義 1.1 条件 (b)により$A\neq\emptyset$であるから、$a\in A$をとると、すべての$y\in A$について$(a,y)\in V$であるから、$A\subseteq V[a]$である。$F=\{a\}$について$X\setminus V[a]\in\mathfrak B$であり、§E2.50 命題 1.3 (1)により$\mathfrak B\subseteq\mathfrak U$であるから、§E2.50 定義 1.1 条件 (c)により$A\cap(X\setminus V[a])=\emptyset$が$\mathfrak U$に属する。これは§E2.50 定義 1.1 条件 (b)に反する。

(3)$\Rightarrow$(4)を示す。$s$を$X$のネットとする。§E2.50 命題 5.6 (1)により$\mathfrak F(s)$は$X$上のフィルターであり、§E2.50 定理 2.4により$\mathfrak F(s)\subseteq\mathfrak U$を満たす$X$上の超フィルター$\mathfrak U$が存在する。§E2.50 補題 5.7 (2)により、$\mathfrak U\subseteq\mathfrak F(t)$を満たす$s$の部分ネット$t$が存在する。主張 (3)により$\mathfrak U$は Cauchy フィルターであり、§E2.50 命題 5.6 (1)により$\mathfrak F(t)$は$\mathfrak U$より細かいフィルターであるから、§E2.53 補題 1.2 (3)により$\mathfrak F(t)$は Cauchy フィルターである。§E2.53 命題 1.3 (1)により$t$は Cauchy ネットである。

(4)$\Rightarrow$(3)を示す。$\mathfrak U$を$X$上の超フィルターとする。§E2.50 命題 5.6 (2)により、フィルターのネット$s_{\mathfrak U}$は$\mathfrak F(s_{\mathfrak U})=\mathfrak U$を満たす。主張 (4)により、$s_{\mathfrak U}$の部分ネット$t$であって Cauchy ネットであるものが存在する。§E2.50 補題 5.7 (1)により$\mathfrak U=\mathfrak F(s_{\mathfrak U})\subseteq\mathfrak F(t)$であり、§E2.50 命題 5.6 (1)により$\mathfrak F(t)$は$X$上のフィルターであるから、§E2.50 定義 2.1により$\mathfrak F(t)=\mathfrak U$である。§E2.53 命題 1.3 (1)により$\mathfrak F(t)$は Cauchy フィルターであるから、$\mathfrak U$は Cauchy フィルターである。▨

証明. 演習とする（問題 8.1）。▨

証明. 必要性を示す。$(X,\mathcal U)$が完備かつ全有界であるとし、$\mathfrak U$を$X$上の超フィルターとする。補題 1.2 (1)$\Rightarrow$(3)により$\mathfrak U$は Cauchy フィルターであり、$(X,\mathcal U)$は完備であるから、$\mathfrak U$は収束する。§E2.50 定理 7.1 (3)$\Rightarrow$(1)により$\mathcal O_{\mathcal U}$はコンパクトである。

十分性を示す。$\mathcal O_{\mathcal U}$がコンパクトであるとする。§E2.53 系 1.4により$(X,\mathcal U)$は完備である。$\mathfrak U$を$X$上の超フィルターとすると、§E2.50 定理 7.1 (1)$\Rightarrow$(3)により$\mathfrak U$は収束し、§E2.53 補題 1.2 (2)により Cauchy フィルターである。補題 1.2 (3)$\Rightarrow$(1)により$(X,\mathcal U)$は全有界である。▨

証明.主張 (1)を示す。$K$を$A\subseteq K$を満たす$Z$のコンパクトな部分集合とする。$K$に部分一様構造を入れると、§E2.51 系 4.4 (2)によりその一様位相は$\mathcal O_{\mathcal W}$の部分空間位相である。$K$は$Z$のコンパクトな部分集合であるから、この一様位相はコンパクトである。定理 2.1により$K$は全有界であり、$A\subseteq K$であるから、補題 1.3 (2)により$A$は全有界である。$\tpcl{A}$がコンパクトならば、$A\subseteq\tpcl{A}$であるから、前半の主張を$K=\tpcl{A}$に適用して、$A$は全有界である。

主張 (2)を示す。$(Z,\mathcal W)$を完備とし、$A$を全有界とする。補題 1.3 (3)により$\tpcl{A}$は全有界である。§E2.11 命題 2.5 (1)により$\tpcl{A}$は閉集合であるから、§E2.53 命題 2.1 (1)により、部分一様構造を入れた$\tpcl{A}$は完備である。定理 2.1により$\tpcl{A}$の一様位相はコンパクトであり、§E2.51 系 4.4 (2)によりこの一様位相は部分空間位相であるから、$\tpcl{A}$はコンパクトである。逆に、$\tpcl{A}$がコンパクトならば、主張 (1)により$A$は全有界である。▨

証明.§E2.53 定理 6.2 (4)により、$\iota$は像$\iota(X)$が$\widehat X$で稠密である一様埋め込みである。$A=\iota(X)$に部分一様構造を入れ、$\iota_0\colon X\to A$を$\iota_0(x)=\iota(x)$で定めると、§E2.51 定義 3.3により$\iota_0$は一様同相写像である。$\iota_0$と$\iota_0^{-1}$はともに一様連続な全射であるから、補題 1.3 (4)により、$(X,\mathcal U)$が全有界であることと$A$が全有界であることは同値である。$A$は$\widehat X$で稠密であるから、$\tpcl[\widehat X]{A}=\widehat X$である。補題 1.3 (3)により、$A$が全有界であることと$\tpcl[\widehat X]{A}=\widehat X$が全有界であることは同値である。§E2.53 定義 6.1により$\widehat X$は完備であるから、定理 2.1により、$\widehat X$が全有界であることと$\widehat X$の一様位相がコンパクトであることは同値である。▨

証明.主張 (1)は定義 1.1と§E2.52 命題 3.1 (4)による。

主張 (2)を示す。$A$に制限距離$d_A$を入れる。§E2.51 命題 5.2 (4)により、距離一様構造$\mathcal U_{d_A}$は部分一様構造$(\mathcal U_d)_A$に等しい。§E2.52 命題 1.2 (5)により、擬距離の族$\{d_A\}$が定める一様構造は$\mathcal U_{d_A}$に等しく、$\{d_A\}$は空でなく$\max\{d_A,d_A\}=d_A$を満たすから、有限個の最大で閉じている。主張 (1)を$(A,\mathcal U_{d_A})$と$\{d_A\}$に適用すると、$A$が$(X,\mathcal U_d)$の部分集合として全有界であることは、任意の実数$\varepsilon>0$に対して$A=U^{d_A}_\varepsilon[F]$を満たす$A$の有限部分集合$F$が存在することと同値である。$a\in A$について$U^{d_A}_\varepsilon[a]$は距離空間$(A,d_A)$の開球$B(a,\varepsilon)$である。$A\neq\emptyset$のとき、$A=U^{d_A}_\varepsilon[F]$を満たす$F$は空でないから、この条件は§E2.8 定義 1.2の条件に一致する。$A=\emptyset$のときは、$F=\emptyset$が$A=U^{d_A}_\varepsilon[F]$を満たし、§E2.8 定義 1.2により空距離空間は全有界であるから、二つの条件はいずれも成り立つ。▨

証明.命題 3.1 (2)により、$A$が全有界であることは、$A$が制限距離に関して§E2.8 定義 1.2の意味で全有界であることと同値である。§E2.31 補題 2.3により、後者は$A$が§E2.8 定義 1.1の意味で有界であることと同値である。$A$が有界であるとき、§E2.8 定義 1.1により、$A=\emptyset$であるか、$A\subseteq B(c,R)$を満たす$c\in\R$と実数$R>0$が存在する。前者の場合は$M=0$が、後者の場合は$M=\lvert c\rvert+R$が条件を満たす。逆に、すべての$a\in A$について$\lvert a\rvert\leq M$を満たす実数$M$が存在するならば、$A\subseteq B(0,\max\{M,0\}+1)$であるから、§E2.8 定義 1.1により$A$は有界である。▨

証明.主張 (1)を示す。必要性を示す。$A$を全有界とし、$\lambda\in\Lambda$とする。§E2.51 命題 4.2 (1)により$f_\lambda\colon(X,\mathcal U)\to(Y_\lambda,\mathcal V_\lambda)$は一様連続であるから、補題 1.3 (4)により$f_\lambda(A)$は全有界である。

十分性を示す。すべての$\lambda\in\Lambda$について$f_\lambda(A)$が全有界であるとし、$N\in\mathcal U_A$とする。§E2.51 定義 3.1により、$N=V\cap(A\times A)$を満たす$V\in\mathcal U$が存在する。§E2.51 定義 4.1により、$k\in\N$、$\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\Lambda$と$W_i\in\mathcal V_{\lambda_i}$$(1\leq i\leq k)$であって

を満たすものが存在する。ここで$0$個の元の共通部分は$X\times X$とする。各$i$について$A_i=f_{\lambda_i}(A)$とおく。$A_i$は全有界であり、§E2.51 定義 3.1により$W_i\cap(A_i\times A_i)$は$A_i$の部分一様構造に属するから、補題 1.2 (1)$\Rightarrow$(2)を一様部分空間$A_i$に適用すると、$A_i=B_{i,1}\cup\cdots\cup B_{i,n_i}$を満たし、各$j$について$B_{i,j}\times B_{i,j}\subseteq W_i$を満たす$n_i\in\N$と$A_i$の部分集合$B_{i,1},\ldots,B_{i,n_i}$が存在する。$J=\prod_{i=1}^{k}\{1,\ldots,n_i\}$は有限集合である。$\sigma=(j_1,\ldots,j_k)\in J$に対して

とおく。ここで$k=0$のとき$J$はただ一つの元からなり、その元$\sigma$について$C_\sigma=A$とする。$x\in A$とすると、各$i$について$f_{\lambda_i}(x)\in A_i$であるから、$f_{\lambda_i}(x)\in B_{i,j_i}$を満たす$j_i$が存在し、$x\in C_{(j_1,\ldots,j_k)}$である。ゆえに$A=\bigcup_{\sigma\in J}C_\sigma$である。$\sigma=(j_1,\ldots,j_k)\in J$と$y,z\in C_\sigma$をとると、各$i$について$(f_{\lambda_i}(y),f_{\lambda_i}(z))\in B_{i,j_i}\times B_{i,j_i}\subseteq W_i$であるから、$(y,z)\in\bigcap_{i=1}^{k}(f_{\lambda_i}\times f_{\lambda_i})^{-1}(W_i)\subseteq V$である。$(y,z)\in A\times A$でもあるから、$C_\sigma\times C_\sigma\subseteq V\cap(A\times A)=N$である。$N\in\mathcal U_A$は任意であるから、一様部分空間$(A,\mathcal U_A)$は補題 1.2 (2)の条件を満たし、補題 1.2 (2)$\Rightarrow$(1)により$A$は全有界である。

主張 (2)を示す。$\pi_\lambda\colon X\to X_\lambda$を射影とする。§E2.51 定義 4.1により、積一様構造は射影の族$(\pi_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$による始一様構造である。すべての$(X_\lambda,\mathcal U_\lambda)$が全有界ならば、補題 1.3 (2)により各$\pi_\lambda(X)\subseteq X_\lambda$は全有界であるから、主張 (1)を$A=X$に適用すると、$X$は全有界である。すべての$X_\lambda$が空でなく、$X$が全有界であるとし、$\lambda\in\Lambda$をとる。$y\in X_\lambda$に対して、$\lambda$成分が$y$であり、$\mu\neq\lambda$について$\mu$成分が$X_\mu$に属する$X$の元が存在するから、$\pi_\lambda(X)=X_\lambda$である。主張 (1)を$A=X$に適用すると、$X_\lambda=\pi_\lambda(X)$は全有界である。

主張 (3)を示す。$\R$に距離$\lvert s-t\rvert$が定める距離一様構造を入れる。§E2.52 命題 5.2 (1)により、$\mathcal U_{C_b(X)}$は族$(f)_{f\in C_b(X)}$による始一様構造に等しい。$f\in C_b(X)$について、すべての$x\in X$について$\lvert f(x)\rvert\leq M$を満たす実数$M$が存在するから、系 3.2により$f(X)$は$\R$の全有界な部分集合である。主張 (1)を$A=X$に適用すると、$(X,\mathcal U_{C_b(X)})$は全有界である。▨

証明. 各$\lambda\in\Lambda$について$M_\lambda$に距離一様構造$\mathcal U_{e_\lambda}$を入れ、族$(\varphi_\lambda\colon Z\to(M_\lambda,\mathcal U_{e_\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}$による$Z$の始一様構造を$\mathcal W_0$とする。$\lambda\in\Lambda$とする。$\mathcal W$の近縁基は$\mathcal W$に含まれるから、すべての実数$\varepsilon>0$について$(\varphi_\lambda\times\varphi_\lambda)^{-1}(U^{e_\lambda}_\varepsilon)\in\mathcal W$である。§E2.51 命題 5.2 (1)により$\{U^{e_\lambda}_\varepsilon\mid\varepsilon>0\}$は$\mathcal U_{e_\lambda}$の近縁基であるから、§E2.51 命題 3.4 (2)により$\varphi_\lambda\colon(Z,\mathcal W)\to(M_\lambda,\mathcal U_{e_\lambda})$は一様連続である。$\lambda\in\Lambda$は任意であるから、§E2.51 命題 4.2 (1)により$\mathcal W_0\subseteq\mathcal W$である。$W\in\mathcal W$とすると、仮定により、$(\varphi_\lambda\times\varphi_\lambda)^{-1}(U^{e_\lambda}_\varepsilon)\subseteq W$を満たす$\lambda\in\Lambda$と実数$\varepsilon>0$が存在する。§E2.51 命題 5.2 (1)により$U^{e_\lambda}_\varepsilon\in\mathcal U_{e_\lambda}$であるから、§E2.51 定義 4.1により$W\in\mathcal W_0$である。ゆえに$\mathcal W=\mathcal W_0$である。

$\mathcal W=\mathcal W_0$であるから、命題 4.1 (1)を族$(\varphi_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$と$A$に適用すると、$A$が全有界であることは、すべての$\lambda\in\Lambda$について$\varphi_\lambda(A)$が$(M_\lambda,\mathcal U_{e_\lambda})$の全有界な部分集合であることと同値である。命題 3.1 (2)により、$\varphi_\lambda(A)$が$(M_\lambda,\mathcal U_{e_\lambda})$の全有界な部分集合であることは、$\varphi_\lambda(A)$が制限距離に関して全有界であることと同値である。▨

証明.$\mathcal U$は$\mathcal O_{\mathcal U}$と両立するから、§E2.51 定理 7.2 (1)により$(X,\mathcal O_{\mathcal U})$は完全正則である。$(X,\mathcal O_{\mathcal U})$の微細一様構造を$\mathcal U_{\mathrm f}$とすると、§E2.52 定理 6.4 (1)により$\mathcal U_{\mathrm f}$は$\mathcal O_{\mathcal U}$と両立する。$\mathcal O_{\mathcal U}$はコンパクトであるから、§E2.51 定理 8.2 (1)により$\mathcal U=\mathcal U_{\mathrm f}$である。§E2.52 定理 6.4 (3)により$f\colon(X,\mathcal U_{\mathrm f})\to(Y,\mathcal V)$は一様連続であるから、$f\colon(X,\mathcal U)\to(Y,\mathcal V)$は一様連続である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$X$を擬コンパクトとし、$\mathcal U$を$\mathcal O$と両立する$X$の一様構造とする。$\mathcal U$に関して一様連続な$X$上の擬距離の全体を$\mathcal D_{\mathcal U}$とする。$d\in\mathcal D_{\mathcal U}$について、距離空間$(X_d,\bar d)$と商写像$\pi_d\colon X\to X_d$を§E2.52 補題 4.1 (1)のとおりとし、$X_d$に距離一様構造$\mathcal U_{\bar d}$を入れる。§E2.52 定理 2.2 (3)により$\mathcal U_{\mathcal D_{\mathcal U}}=\mathcal U$であるから、§E2.52 命題 4.2 (1)により、$\mathcal U$は族$(\pi_d\colon X\to(X_d,\mathcal U_{\bar d}))_{d\in\mathcal D_{\mathcal U}}$による始一様構造に等しい。各$d\in\mathcal D_{\mathcal U}$について商写像$\pi_d$は全射であるから、$\pi_d(X)=X_d$である。命題 4.1 (1)を$A=X$に適用すると、$(X,\mathcal U)$が全有界であるための必要十分条件は、すべての$d\in\mathcal D_{\mathcal U}$について$(X_d,\mathcal U_{\bar d})$が全有界であることである。

$d\in\mathcal D_{\mathcal U}$とする。§E2.52 補題 4.1 (3)により$\pi_d\colon(X,\mathcal U)\to(X_d,\mathcal U_{\bar d})$は一様連続であるから、§E2.51 命題 3.4 (3)により、$\pi_d$は$\mathcal O_{\mathcal U}=\mathcal O$と$\mathcal U_{\bar d}$の一様位相に関して連続である。§E2.51 命題 5.2 (2)によりこの一様位相は$\bar d$から生じる位相$\mathcal O_{\bar d}$に等しい。$\pi_d$は全射であるから、§E2.36 補題 1.4により$(X_d,\mathcal O_{\bar d})$は擬コンパクトである。§E2.12 定義 6.6により$(X_d,\mathcal O_{\bar d})$は距離化可能であるから、§E2.36 系 2.3により$(X_d,\mathcal O_{\bar d})$はコンパクトである。$\mathcal U_{\bar d}$の一様位相は$\mathcal O_{\bar d}$であるから、定理 2.1により$(X_d,\mathcal U_{\bar d})$は全有界である。ゆえに$(X,\mathcal U)$は全有界である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。§E2.52 命題 5.2 (3)により$\mathcal U_{C(X,\R)}$は$\mathcal O$と両立する$X$の一様構造であるから、主張 (2)により$(X,\mathcal U_{C(X,\R)})$は全有界である。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$f\in C(X,\R)$とし、$\R$に距離$\lvert s-t\rvert$が定める距離一様構造を入れる。§E2.52 命題 5.2 (1)により$f\colon(X,\mathcal U_{C(X,\R)})\to\R$は一様連続であり、$(X,\mathcal U_{C(X,\R)})$は全有界であるから、補題 1.3 (4)により$f(X)$は全有界である。系 3.2により、すべての$x\in X$について$\lvert f(x)\rvert\leq M$を満たす実数$M$が存在する。§E2.36 定義 1.1により$X$は擬コンパクトである。▨