Euler 標数と Betti 数 | 位相幾何入門

1 Betti 数と捩れ係数

定義 1.1. $H_n(X;\Z)$ が有限生成であるとする。有限生成アーベル群の構造定理§E6.53 定理 16.2による表示

H_n(X;\Z)\cong\Z^{b_n(X)}\oplus \bigoplus_{j=1}^{s_n}\Z/d_{n,j}\Z, \qquad 2\leq d_{n,1}\mid\cdots\mid d_{n,s_n}

において、一意に定まる非負整数 $b_n(X)$ を第 $n$ Betti 数 (Betti number)、整数 $d_{n,1},\ldots,d_{n,s_n}$ を第 $n$ ホモロジーの捩れ係数 (torsion coefficients) という。捩れ部分が零ならば $s_n=0$ とし、捩れ係数の列は空である。§E6.53 補題 14.3 (1)により $b_n(X)=\operatorname{rank}_{\Z}H_n(X;\Z)$ である。

例 1.2.§E21.24 命題 4.1 (1)により、実射影平面の整数係数ホモロジーは零次が $\Z$ 、一次が $\Z/2\Z$ 、それ以外が零である。したがって $(b_0,b_1,b_2)=(1,0,0)$ であり、唯一の捩れ係数は一次の $2$ である。一点空間も同じ Betti 数を持つので、Betti 数だけから捩れ係数を復元することはできない。

2 Euler 標数とホモロジー

定義 2.1. 開胞体が有限個である CW 複体を有限 CW 複体 (finite CW complex) という。有限 CW 複体 $X$ の $n$ 次元開胞体の個数を $c_n(X)$ とするとき、

\chi(X)=\sum_{n\geq0}(-1)^nc_n(X)

を Euler 標数 (Euler characteristic) という。この和では有限個の項だけが零でない。

定理 2.2. 有限 CW 複体 $X$ について、すべての $n\geq0$ で $H_n(X;\Z)$ は有限生成であり、有限個の次数を除いて $b_n(X)=0$ である。また、

\chi(X)=\sum_{n\geq0}(-1)^nb_n(X)

が成り立つ。したがって Euler 標数は、位相空間 $X$ に与えた有限 CW 複体の構造によらない。

証明.§E21.24 命題 5.1 (1)により各ホモロジー群は有限生成である。§E21.23 命題 1.1 (2)と§E21.23 命題 1.1 (3)により、胞体鎖群 $C_n^{\mathrm{cell}}(X)$ は $c_n(X)$ 個の胞体を基底とする自由アーベル群である。よってその階数は $c_n(X)$ であり、この鎖複体は有限個の次数を除いて零である。

§E6.51 命題 1.3を $R=\Z$ とこの胞体鎖複体に適用し、§E21.24 定理 2.1 (2)の比較同型を用いると、

\sum_n(-1)^nc_n(X) =\sum_n(-1)^n\operatorname{rank}_{\Z}H_n(C_\bullet^{\mathrm{cell}}(X)) =\sum_n(-1)^nb_n(X)

を得る。 $C_n^{\mathrm{cell}}(X)=0$ ならばその次数のホモロジーも零なので、右辺は有限和である。右辺は特異ホモロジーだけから定まり、胞体分解には依存しない。▨

系 2.3. 有限 CW 複体 $X,Y$ がホモトピー同値ならば、 $\chi(X)=\chi(Y)$ である。

証明.§E21.13 系 3.3により各次数の整数係数ホモロジーが同型になる。構造定理の一意性から $b_n(X)=b_n(Y)$ である。定理 2.2の交代和に代入すると結論を得る。▨

注意 2.4. $D^2$ には、境界上の一点、そこを除いた境界の開弧、円板の内部をそれぞれ零・一・二胞体とする分解がある。一胞体の特性写像は両端をその一点へ送る境界円周の一周、二胞体の特性写像は $D^2$ の恒等写像である。§E21.22 系 3.2により、これは有限 CW 複体であり、 $\chi(D^2)=1-1+1=1$ である。実射影平面も§E21.22 命題 4.2 (2)の分解により $\chi(\mathbb{RP}^2)=1-1+1=1$ である。一次ホモロジーの捩れ係数 $2$ は、Betti 数の交代和には現れない。

命題 2.5. 体 $K$ と有限 CW 複体 $X$ に対して、各 $H_n(X;K)$ は有限次元であり、有限個の次数を除いて零である。また、

\chi(X)=\sum_{n\geq0}(-1)^n\dim_KH_n(X;K)

が成り立つ。

証明. 証明は問題 4.1 (1)の演習とする。解答は解答にある。▨

3 多面体の Euler 公式

定理 3.1 (多面体の Euler 公式).

$S^2$ と同相な有限 CW 複体 $X$ は $\chi(X)=2$ を満たす。三次元以上の胞体がなければ $c_0(X)-c_1(X)+c_2(X)=2$ である。
$P\subseteq\R^3$ $P \subseteq R^{3}$ を内点を持つコンパクト凸集合とする。有限点集合 $\mathcal V$ $V$ 、 $\mathcal V$ $V$ の相異なる二点を端点とする線分の有限集合 $\mathcal E$ $E$ 、有限集合 $\mathcal F$ $F$ が与えられ、各 $\Phi\in\mathcal F$ $Φ \in F$ はあるアフィン平面内で内点を持つコンパクト凸集合であるとする。さらに次の条件を仮定する。
1. 各 $\Phi\in\mathcal F$ のその平面内での境界は、 $\mathcal E$ のいくつかの元の和集合である。
2. $\{v\}$ 、 $v\in\mathcal V$ 、各線分の両端を除いた開線分、各 $\Phi$ のその平面内での内部は、互いに交わらず、その和集合が $\partial P$ である。
このとき $|\mathcal V|-|\mathcal E|+|\mathcal F|=2$ $∣ V ∣ - ∣ E ∣ + ∣ F ∣ = 2$ である。

証明.主張 (1)を示す。§E21.18 定理 2.2 (2)により $S^2$ の Betti 数は $b_0=b_2=1$ 、そのほかは零である。同相はホモロジー同型を誘導するので、定理 2.2により主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。 $X^0=\mathcal V$ 、 $X^1=\mathcal V\cup\bigcup\mathcal E$ 、 $X^2=\partial P$ と置く。各辺には閉区間から線分へのアフィン同相を特性写像として与える。各面の平面を $\R^2$ とアフィン同一視し、§E21.2 補題 3.1 (2)を適用すると、 $D^2$ からその面への同相で、境界を面の境界へ、内部を面の内部へ送るものを得る。第一の条件により面の境界は $X^1$ に写り、辺の境界は $X^0$ に写る。第二の条件により開胞体は互いに交わらず $\partial P$ を覆う。

$\partial P$ は Hausdorff であり、胞体は有限個なので、§E21.22 系 3.2によりこれらは CW 複体構造を定める。§E21.2 補題 3.1 (1)を $P\subseteq\R^3$ に適用すると $\partial P\cong S^2$ である。主張 (1)により、零・一・二胞体の個数の交代和は $2$ となる。▨

系 3.2. 球面、円環面および実射影平面の Euler 標数は、 $\chi(S^2)=2$ 、 $\chi(T^2)=0$ 、 $\chi(\mathbb{RP}^2)=1$ である。それぞれの標準胞体分解の $(c_0,c_1,c_2)$ は $(1,0,1)$ 、 $(1,2,1)$ 、 $(1,1,1)$ であり、Betti 数の組は $(1,0,1)$ 、 $(1,2,1)$ 、 $(1,0,0)$ である。

証明. 球面のホモロジーは§E21.18 定理 2.2 (2)による。円環面では§E21.7 命題 4.4 (1)の同相 $T^2\cong\Sigma_1$ と§E21.24 命題 4.4 (1)を用い、実射影平面では§E21.24 命題 4.1 (1)を用いると、表示した Betti 数を得る。定理 2.2により各 Euler 標数を得る。

胞体数は、球面と実射影平面について§E21.22 命題 4.2 (1)と§E21.22 命題 4.2 (2)、円環面について $\Sigma_1$ の§E21.22 命題 4.2 (5)による。それらの交代和も同じ値になる。▨

4 演習

問題 4.1.

体 $K$ と有限 CW 複体 $X$ について、命題 2.5を証明せよ。有限自由鎖複体の階数の交代和と、係数付きの胞体比較を用いてよい。
$X=\mathbb{RP}^2$ 、 $K=\mathbb F_2$ に対して前項の等式を確かめ、各次数の $\dim_{\mathbb F_2}H_n(\mathbb{RP}^2;\mathbb F_2)$ と $b_n(\mathbb{RP}^2)$ を比較せよ。

解答.

係数付きの胞体鎖群は $C_n^{\mathrm{cell}}(X)\otimes K$ であり、§E6.12 定理 10.1により $c_n(X)$ 次元の $K$ ベクトル空間である。有限個の次数を除いて零なので、§E6.51 命題 1.3を $R=K$ として適用することができる。§E6.53 補題 14.3 (2)により階数は次元に等しい。§E21.24 定理 3.4 (1)の比較同型は係数の準同型について自然であり、各 $k\in K$ の乗法と可換なので $K$ 線形である。したがって $\chi(X)=\sum_n(-1)^nc_n(X)=\sum_n(-1)^n\dim_KH_n(X;K)$ である。有限生成性と零になる次数も、同じ有限鎖複体から従う。
§E21.24 命題 4.1 (2)により、零・一・二次の次元はすべて $1$ 、そのほかは零である。よって交代和は $1-1+1=1=\chi(\mathbb{RP}^2)$ となる。一方、整数係数の Betti 数は $(1,0,0)$ であり、一次と二次では体係数の次元と異なる。等しいのはこの場合の交代和であって、各次数の値ではない。

▨

問題 4.2.定理 3.1 (2)の仮定に加えて、各面の境界がちょうど五辺からなり、各辺がちょうど二面の境界に含まれ、各頂点がちょうど三辺の端点であるとする。頂点・辺・面の個数 $(V,E,F)$ を求め、正十二面体の個数 $(20,30,12)$ と一致することを確かめよ。

解答.

面とその境界辺の組を数えると $5F=2E$ 、頂点とそこを端点とする辺の組を数えると $3V=2E$ である。Euler の公式に代入すると

2=V-E+F=\frac{2E}{3}-E+\frac{2E}{5}=\frac{E}{15}

なので、 $E=30$ 、 $V=20$ 、 $F=12$ となる。これは正十二面体の個数に一致する。▨

問題 4.3. $D^2$ と $\mathbb{RP}^2$ がホモトピー同値でないことを示せ。また、この二空間を用いて、Euler 標数が等しい有限 CW 複体がホモトピー同値とは限らないことを示せ。

解答.

$D^2$ は可縮なので、§E21.13 系 3.4 (2)により $H_1(D^2;\Z)=0$ である。一方、§E21.24 命題 4.1 (1)により $H_1(\mathbb{RP}^2;\Z)\cong\Z/2\Z$ である。ホモトピー同値ならば両群は同型になるはずなので、二空間はホモトピー同値でない。両者は零・一・二胞体を一つずつ持つ分解があり、Euler 標数はともに $1$ である。▨

§E21.25Euler 標数と Betti 数

1 Betti 数と捩れ係数

2 Euler 標数とホモロジー

3 多面体の Euler 公式

4 演習

参考文献

前提記事