閉曲面の分類 | 位相幾何入門

1 三角形分割と局所ホモロジー

定理 1.1 (コンパクト曲面の三角形分割定理). 閉曲面は有限三角形分割を持つ。空の閉曲面には空の単体的複体を用いる。

注意 1.2. この三角形分割定理は外部結果として用い、証明を Moise の三角形分割の扱い [1] へ委ねる。以下の分類で外部結果として認めるのはこの定理であり、三角形分割を得た後の局所構造、多角形表示および語の標準化は証明する。三角形分割は§E21.12 定義 3.2の意味である。

命題 1.3. 境界を持たない曲面 $M$ と $x\in M$ に対して、整数係数の局所ホモロジーは

H_n(M,M\setminus\{x\};\Z)\cong \begin{cases}\Z&n=2,\\0&n\neq2\end{cases}

である。

証明. $x$ の座標近傍 $U$ と同相写像 $h:U\to W\subseteq\R^2$ を取る。 $M$ は Hausdorff なので $\{x\}$ は閉である。§E21.17 命題 1.6 (2)と§E21.17 命題 1.6 (3)を $U$ と $W$ に適用すると、

H_n(M,M\setminus\{x\})\cong H_n(U,U\setminus\{x\}) \cong H_n(W,W\setminus\{h(x)\}) \cong H_n(\R^2,\R^2\setminus\{h(x)\})

である。§E21.20 命題 2.1の $m=2$ の場合から結論を得る。▨

補題 1.4. 閉曲面 $M$ の有限三角形分割 $(K,h)$ を取り、 $h$ で $M=|K|$ と同一視する。

各単体の次元は二以下であり、各単体はある二単体の面である。各二単体の相対内部は $M$ の開集合である。
各辺はちょうど二枚の二単体の面である。
$M$ が連結ならば、二単体を頂点とし、辺を共有する二単体を結ぶ双対隣接グラフは連結である。空のグラフもここでは連結とみなす。
各頂点 $v$ のまわりの二単体は $k\geq3$ 枚であり、 $\sigma_1,\ldots,\sigma_k$ と巡回順に並べると、 $\sigma_j\cap\sigma_{j+1}$ は $v$ を含む辺である。 $v$ を含む辺はこれらの $k$ 本だけである。閉星 $\operatorname{St}(v)=\bigcup_j\sigma_j$ は $v$ の近傍であり、 $v$ を中心へ送る同相 $\operatorname{St}(v)\cong D^2$ を持つ。

証明. 単体 $\rho$ に対し、 $\rho$ を面に持たない単体の和の補集合を $O_\rho$ とする。各単体はコンパクトで $M$ は Hausdorff なので、その有限和は閉であり、 $O_\rho$ は開である。§E21.12 補題 3.3 (1)により、 $O_\rho$ は $\rho$ を面に持つ単体の相対内部の和に等しい。

主張 (1)を示す。他の単体の真の面でない $n$ 単体 $\rho$ を取ると、 $O_\rho=\mathring\rho$ は $M$ で開である。 $n=0$ ならば一点が曲面の開集合となり、座標近傍の中で $\R^2$ の一点が開となって矛盾する。 $n\geq1$ ならば $\mathring\rho$ は $\R^n$ の開集合と同相なので、切除と§E21.20 命題 2.1により、その点の局所ホモロジーは次数 $n$ で $\Z$ である。命題 1.3と比べると $n=2$ である。有限複体の各単体は極大な単体の面なので、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。辺 $e=[v_0,v_1]$ を含む二単体を $\sigma_i=[v_0,v_1,w_i]$ 、 $1\leq i\leq k$ 、とする。主張 (1)により $k\geq1$ であり、異なる二枚の交わりは $e$ に等しい。 $x\in\mathring e$ と $S=\bigcup_i\sigma_i$ を取ると、 $S$ は $O_e$ を含むので $x$ の近傍である。各三角形の中で $x$ への直線ホモトピーを取ると共有辺上で一致するので、有限閉集合での貼り合わせにより $S$ は可縮である。切除と対の長完全列から

H_2(M,M\setminus\{x\})\cong H_2(S,S\setminus\{x\}) \cong H_1(S\setminus\{x\})

を得る。

各 $\sigma_i\setminus\{x\}$ の点を $x$ からの半直線に沿って $[v_0,w_i]\cup[w_i,v_1]$ まで動かすと、変位レトラクションを得る。 $e\setminus\{x\}$ 上では $v_0$ 側を $v_0$ 、 $v_1$ 側を $v_1$ へ動かすので、各三角形の変位は共有辺で一致する。したがって $S\setminus\{x\}$ はグラフ $\Theta=\bigcup_i([v_0,w_i]\cup[w_i,v_1])$ へ変位レトラクトする。各辺を $v_0\to w_i\to v_1$ の向きに取る。§E21.12 補題 3.5 (2)と§E21.24 定理 3.2により、 $H_1(\Theta)$ は辺の一次鎖の境界の核である。二辺の係数を $a_i,b_i$ とすると、境界が零である条件は各 $i$ で $a_i=b_i$ 、かつ $\sum_i a_i=0$ である。ゆえに $H_1(\Theta)\cong\Z^{k-1}$ である。局所ホモロジーが $\Z$ であることから $k-1=1$ 、したがって $k=2$ を得る。

主張 (3)を示す。 $M\neq\varnothing$ とする。連結な曲面から一点 $x$ を除いた空間は連結である。実際、分離 $M\setminus\{x\}=A\sqcup B$ があれば、 $x$ の十分小さい座標円板の穿孔部分は連結なので、一方、例えば $A$ に含まれる。すると $A\cup\{x\}$ と $B$ は $M$ の分離となり矛盾する。点を除いても曲面であるから、帰納的に有限個の点を除いても連結である。

双対グラフが非連結ならば、その一つの成分の二単体の合併を $A$ 、残りの二単体の合併を $B$ とする。主張 (1)により $M=A\cup B$ であり、両者は空でない閉集合である。両者の三角形は辺を共有しないので、 $F=A\cap B$ は有限個の頂点からなる。 $A\setminus F$ と $B\setminus F$ はそれぞれ三角形の内部を含む空でない閉集合であり、 $M\setminus F$ の分離となる。これは前段に反する。

主張 (4)を示す。 $v$ を含む三角形の $v$ の対辺の合併を $L_v$ とする。主張 (2)によりこのグラフの各頂点の次数は二である。単体的複体の交わりの条件によりループと多重辺はないので、 $L_v$ は長さ三以上の有限個の閉路の非交和である。その個数を $c$ とする。閉星は $O_v$ を含み、 $v$ への直線ホモトピーで可縮であり、 $v$ を除くと放射状の射影により $L_v$ へ変位レトラクトする。主張 (2)と同じ切除と対の完全列により

\Z\cong H_2(M,M\setminus\{v\})\cong H_1(L_v)\cong\Z^c

である。最後の同型は、各閉路で境界が零となる係数が全辺で等しいことを単体的鎖で計算したものである。よって $c=1$ であり、求める巡回順序を得る。

$v$ を正 $k$ 角形の中心に、 $L_v$ の頂点を巡回順にその頂点へ送り、各三角形上でアフィンに延長する。共通の面で一致するので連続であり、閉星から正多角形への全単射である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射として同相であり、§E21.2 補題 3.1 (2)により中心を保つ閉円板への同相を得る。空の曲面では最初の定義から $K=\varnothing$ なので、各主張は成り立つ。▨

2 一つの多角形による表示

補題 2.1. 空でない連結閉曲面 $M$ に対して、ある曲面の語 $w$ が存在し $M\cong P_w$ となる。さらに、 $M\cong S^2$ であるか、 $w$ を一頂点の語に選ぶことができる。

証明. 有限三角形分割を選ぶ。補題 1.4 (3)の双対グラフの全域木を取り、その辺に沿う貼り合わせだけを行う。木の葉を順に付け加えると、各段で円板に三角形を一つの境界辺に沿って貼るので、結果は一枚の多角形状の円板 $P$ である。全域木に属さない各辺は二つの三角形に接するので、 $P$ の境界にちょうど二回現れる。

各辺に向きを選び、境界を一周して文字と指数を読むと曲面の語 $w$ を得る。すべての辺を貼ると元の三角形分割に戻る。頂点の写しも、そのリンクが一つの閉路であることにより辺の貼り合わせで元の一つの頂点へ移る。境界の辺の媒介変数を保つ $P\cong D^2$ を取ると、貼り合わせは $\approx_w$ に一致する。よって商写像の普遍性とコンパクト性により $M\cong P_w$ である。

この表示の一骨格 $G$ は境界円周の連続像なので連結である。全域木 $T\subseteq G$ を一点に縮約しても曲面の同相型は変わらないことを確かめる。木の一辺 $e$ を取る。頂点の閉星の円板と辺に沿う二枚の三角形の長方形から、 $e$ を内部に含む閉円板近傍 $N$ を作ることができる。具体的には両端で互いに交わらない小円板を選び、その間を辺に沿う細い長方形でつなぐ。各接合は境界の一つの弧に沿って行うので、その和は円板である。小円板を半円板、長方形を中央の帯へ送る区分的な写像により、対 $(N,e)$ を

(R,I)=([-2,2]\times[-1,1],[-1,1]\times\{0\})

に同相に移すことができる。ほかの辺は十分小さい頂点円板の中の互いに交わらない放射状の弧として残す。有限個の弧の巡回順を保って円板の座標を選び、それらを端点 $(\pm1,0)$ からの $(\pm(1+r),tr)$ 、 $0\leq r\leq\varepsilon$ 、の形にすることができる。各端点での値 $t\in[-1,1]$ は相異なるように取る。

$R$ 上で $r(x,y)=\max\{|y|,|x|-1,0\}$ と置き、

F(x,y)=\left(\frac{2r(x,y)x}{1+r(x,y)},y\right)

と定める。この写像は $I$ を原点へ送り、 $\partial R$ 上では恒等写像である。 $r>0$ の等位集合は長方形 $[-1-r,1+r]\times[-r,r]$ の境界であり、 $F$ はこれを $[-2r,2r]\times[-r,r]$ の境界へ一対一に写す。したがって $F$ のファイバーは $I$ と、それ以外の一点集合である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射として $R/I\cong R$ を得る。境界を固定するので、外側の恒等写像と貼り合わせて $M/e\cong M$ となる。

この構成では、残る辺の端の弧 $(\pm(1+r),tr)$ は $(\pm2r,tr)$ という相異なる放射状の弧へ移る。したがって新しい頂点でも、再び小円板と辺の帯を選ぶことができる。木の葉辺を順に縮約し、同じ構成を有限回適用すると $M/T\cong M$ を得る。

$G=T$ ならば多角形の境界全体が一点となるので、 $M/T\cong P/\partial P\cong S^2$ である。最後の同相は§E21.23 命題 1.1 (1)による。

$G\neq T$ の場合、 $P$ の境界で $T$ の辺に対応する閉弧をそれぞれ一点に縮める。少なくとも一つの辺が残るので、得られる円板は再び円板である。このことは次の明示写像から分かる。境界角度の連続な非減少写像の持ち上げ $f:\R\to\R$ を、 $f(\theta+2\pi)=f(\theta)+2\pi$ を満たし、ちょうど縮める閉弧上で一定となるように選ぶ。写像

re^{i\theta}\longmapsto r\exp\bigl(i((1-r)\theta+rf(\theta))\bigr)

は内部で一対一であり、境界で指定した閉弧だけを縮める。よってその商は閉円板と同相である。残った辺の対を貼ると $M/T$ になり、全域木がすべての頂点を結ぶので、得られた語は一頂点の語である。▨

定義 2.2. 多角形の境界の異なる二点を端点とし、それ以外では内部を通る単純な弧に沿って多角形を切り、同じ文字を持つ辺を貼り直して円板を得、その境界を読む操作を切断貼り合わせ変形 (cut-and-paste transformation) という。文字の改名、同じ文字の二つの指数の同時反転、巡回置換、語全体の逆順化 $w\mapsto w^{-1}$ 、および切断貼り合わせ変形で移り合う曲面の語を同値という。

補題 2.3. 同値な曲面の語 $w,w'$ に対して、 $P_w\cong P_{w'}$ である。

証明. 文字の改名・指数の同時反転・巡回置換・逆順化は§E21.7 補題 1.4による。切断貼り合わせの場合は、切片の非交和に、元の辺の貼り合わせと切断辺の二つの写しの貼り合わせをすべて課した商を取る。どの対を先に貼るかによらず、同じ同値関係の商である。各切片上の恒等写像は、いずれの貼り合わせの商写像とも両立する。§E2.12 定理 8.10により両商の間に互いに逆な連続写像を得るので、両者は同相である。▨

3 対になった辺の取り出し

補題 3.1. 曲面の語に対して次の操作を行うことができ、各操作は多角形表示の同相型を保つ。取り出した対以外の各文字は、残る語の中に二度ずつ現れる。

残る語 $W$ が空でなければ、隣り合う $aa^{-1}$ または $a^{-1}a$ を折り畳んで削除することができる。残部が空の $aa^{-1}$ は球面の模型として扱う。
同じ符号で現れる対を平方として取り出すことができる。具体的には、ほかに $a$ を含まない部分語 $X,Y$ に対して $aXaY\sim ddY^{-1}X$ である。ここで $d$ は新しい文字である。
反対符号で現れる二対が交互に現れる場合、その二対を交換子として取り出すことができる。具体的には $aXbYa^{-1}Zb^{-1}T\sim ede^{-1}d^{-1}XTZY$ であり、 $d,e$ は新しい文字である。

証明.主張 (1)を示す。二本の隣接辺を貼った円板が、残りの境界を持つ円板になることを示す。二本の辺を三角形

\{(r,t)\mid 0\leq t\leq r\leq1\}

の $t=0$ と $t=r$ に、残りの境界を $r=1$ に対応させる。残部が空でないので、この対応は境界の同相であり、円板の同相へ延長することができる。 $r>0$ で $(r,t)\mapsto r e^{2\pi it/r}$ 、 $(0,0)\mapsto0$ とすると、写像は連続であり、同じ $r$ の二本の辺の点だけを同一視する。誘導される商から $D^2$ への連続全単射は同相なので、残りの辺の貼り合わせを加えると $P_{aa^{-1}W}\cong P_W$ を得る。 $a^{-1}a$ も文字の反転で同じである。残部が空ならば§E21.7 命題 2.4の球面模型である。

以下では、切断して得た円板の境界語を丸括弧で並べる。境界語 $UV$ を二つの頂点で切ると、切断辺 $d$ を導入して $(Ud),(d^{-1}V)$ を得る。同じ向きの文字 $a$ で始まる二つの円板 $(aP),(aQ)$ を貼ると、片方の境界の読み方を反転して $PQ^{-1}$ を得る。反対向きの $(aP),(a^{-1}Q)$ を貼る場合には $PQ$ を得る。いずれも二枚の円板を一つの境界弧で貼る操作である。

主張 (2)を示す。二つの $a$ の直前を切断の端点に取ると、

aXaY\longmapsto(aXd),(d^{-1}aY) \longmapsto XddY^{-1}\sim ddY^{-1}X

となる。二つの出現の符号が負ならば、先に文字の向きを反転する。すでに隣接している対は巡回置換だけで平方として取り出してもよく、二辺形 $aa$ に切断を加える必要はない。

主張 (3)を示す。最初に $a^{-1}$ の直前から正の $a$ の直後までを一方の境界弧とする切断を行い、 $b$ の対を貼る。続いて $a^{-1}ZY$ を一方の境界弧とする切断を行い、 $a$ の対を貼る。境界語は順に

\begin{aligned} aXbYa^{-1}Zb^{-1}T &\longmapsto(a^{-1}Zb^{-1}Tad),(d^{-1}XbY)\\ &\longmapsto Tad a^{-1}ZYd^{-1}X\\ &\sim a^{-1}ZYd^{-1}XTad\\ &\longmapsto(a^{-1}ZYe),(e^{-1}d^{-1}XTad)\\ &\longmapsto ZYed e^{-1}d^{-1}XT\\ &\sim ede^{-1}d^{-1}XTZY \end{aligned}

と変わる。各行の貼り合わせは、表示した二つの円板の反対向きの対に沿う。最初の切断の両側の境界弧は少なくともそれぞれ三辺と一辺を、二回目では一辺と三辺を含むので、部分語が空でも切断端点は異なる境界頂点の出現である。直線の対角線が境界辺と重なる場合は、その端点を固定して内部へ曲げた弧を用いる。切片が二辺形になっても円板として同じ貼り合わせを行うことができる。交換子だけの四辺形ならば、初めから取り出しが済んでいる。

二つの変換列は、未処理の文字の出現を消さずに並べ替え、主張 (2)では部分語の向きを反転するだけである。したがって残る文字は二度ずつ現れる。▨

定理 3.2. 一頂点の曲面の語は、切断貼り合わせ変形と語の対称性によって、次のいずれかの標準語に移る。

ある $g\geq1$ に対する $w_g=[a_1,b_1]\cdots[a_g,b_g]$ 。ここで $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$ である。
ある $h\geq1$ に対する $w'_h=a_1a_1\cdots a_ha_h$ 。

証明.主張 (1)または主張 (2)の標準語へ移ることを示す。標準化で用いる切断の端点は、現在の多角形の異なる境界頂点の出現に限る。切断辺の端点は元の頂点であり、貼り直しによる商の同相は新旧の頂点を同じ商の点へ送る。したがって、これらの操作は一頂点性を保つ。

一頂点の語には、反対符号で現れ、ほかのどの文字対とも交互に現れない対は存在しない。実際、その対の符号を選んで語を $aUa^{-1}V$ と書くと、どの別の文字も $U$ の中か $V$ の中だけに現れる。 $a$ の貼り合わせは $U$ の両端を互いに、 $V$ の両端を互いに同一視し、ほかの貼り合わせもそれぞれの弧の中だけで行われる。よって $U$ 側と $V$ 側の頂点は異なる商の点を与える。片方が空でもその弧の一頂点は残るので、やはり一頂点性に反する。とくに隣り合う $aa^{-1}$ は現れない。

未処理の文字対の個数について帰納する。同符号の対があれば補題 3.1 (2)で平方として取り出す。この操作は未処理の対を一つ減らす。すでに取り出した平方や交換子は、切断の端点の間の部分語の中に全体として含まれるので、分断されず、移動または逆順化されるだけである。平方の逆順化は文字の反転で再び平方になり、交換子の逆順化も二文字の交換で再び交換子になる。

未処理の対がすべて反対符号になり、なお残っているとする。どの未処理の対も、取り出し済みのブロックの文字対とは交互に現れない。未処理の対の中で孤立した対があれば、語全体でも孤立し、前段に反する。したがって交互に現れる二対があり、補題 3.1 (3)で交換子として取り出すことができる。この操作は未処理の対を二つ減らし、既出のブロックを分断しない。有限回で、語は平方と交換子の積になる。

平方と交換子がともにあれば、巡回順で隣り合う交換子と平方を選び、文字を替えて $[a,b]ccQ$ と書く。ここで $Q$ は残りのブロックの積である。 $a^{-1}b^{-1}c$ を一方の境界弧として切り、同じ向きの $c$ を貼ると、

\begin{aligned} [a,b]ccQ &\sim a^{-1}b^{-1}ccQab\\ &\longmapsto(a^{-1}b^{-1}cd),(d^{-1}cQab)\\ &\longmapsto da^{-1}b^{-1}db^{-1}a^{-1}Q^{-1}. \end{aligned}

次の各変形では、表示した同符号の対へ平方取り出しの公式を適用する。

\begin{aligned} da^{-1}b^{-1}db^{-1}a^{-1}Q^{-1} &\sim xx d^{-1}Qb^{-1}db^{-1}\\ &\sim yyQ^{-1}dx^{-1}x^{-1}d\\ &\sim zzQy^{-1}y^{-1}x^{-1}x^{-1}\\ &\sim Qy^{-1}y^{-1}x^{-1}x^{-1}zz. \end{aligned}

順に $a^{-1}$ 、 $b^{-1}$ 、 $d$ の対を取り出した。各切断の両側にはその対の辺があるので、 $Q$ が空でも異なる境界頂点を端点に取ることができる。 $Q$ の各ブロックは分断されない。これにより交換子一つと平方一つが平方三つに替わり、交換子の個数が一つ減る。反復すると平方だけの積になる。

平方が一つもなければ交換子だけの積である。最初の語は空でなく、各段では対を取り出して残すので、最後のブロック数は正である。文字を改めると主張の二つの標準語を得る。▨

注意 3.3. 交換子一個の多角形表示は§E21.7 命題 4.4 (1)の円環面であり、平方一個の多角形表示は§E21.7 命題 4.4 (3)の実射影平面である。ブロックの連結は§E21.7 命題 5.3の連結和に対応するので、§E21.7 系 5.4により標準閉曲面はこれらの連結和としても表される。標準語が一頂点であることは§E21.7 補題 4.2による。

4 閉曲面の分類

定理 4.1 (閉曲面分類定理). 空でない連結閉曲面は、次のいずれか一つに同相である。表示した空間は互いに同相でない。

球面 $S^2$ 。
ある $g\geq1$ に対する標準閉曲面 $\Sigma_g=P_{w_g}$ 。
ある $h\geq1$ に対する標準閉曲面 $N_h=P_{w'_h}$ 。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)のいずれか一つに同相であることを示す。補題 2.1により、曲面は球面に同相であるか、一頂点の語 $w$ に対する $P_w$ に同相である。後者では定理 3.2と補題 2.3により、標準語の多角形表示に移る。したがって存在が従う。

球面と $\Sigma_g$ の二次ホモロジーは $\Z$ 、 $N_h$ の二次ホモロジーは零である。球面については§E21.18 定理 2.2 (2)、標準閉曲面については§E21.24 命題 4.4 (1)と§E21.24 命題 4.4 (2)による。したがって $N_h$ は前二者と同相でない。

標準の胞体分解§E21.22 命題 4.2 (5)は、零胞体と二胞体を一つずつ、一胞体をそれぞれ $2g$ 個と $h$ 個持つ。よって $\chi(\Sigma_g)=2-2g$ 、 $\chi(N_h)=2-h$ である。球面は $\chi(S^2)=2$ である。§E21.25 系 2.3により同相な空間の Euler 標数は等しいから、球面と各 $\Sigma_g$ 、異なる $g$ の間、異なる $h$ の間も同相でない。▨

系 4.2. 空でない連結閉曲面 $M$ の同相類は、 $H_2(M;\Z)$ と $\chi(M)$ の組で定まる。 $H_2(M;\Z)\cong\Z$ で $\chi(M)=2$ ならば $M\cong S^2$ である。 $H_2(M;\Z)\cong\Z$ で $\chi(M)\leq0$ ならば $M\cong\Sigma_{(2-\chi(M))/2}$ である。 $H_2(M;\Z)=0$ ならば $\chi(M)\leq1$ であり、 $M\cong N_{2-\chi(M)}$ である。

証明. 分類定理の三つの場合について、その証明で得た二次ホモロジーと Euler 標数の値を解けばよい。向きづけ可能な標準語の場合には $\chi=2-2g$ なので添字は正の整数となり、平方の標準語の場合には $\chi=2-h$ なので $2-\chi$ は正の整数となる。▨

注意 4.3. 円環面 $\Sigma_1$ と $N_2$ はともに Euler 標数が零であるが、二次ホモロジーが異なるので同相でない。Euler 標数だけでは分類に足りない。 $H_2(M;\Z)\cong\Z$ と曲面の向きづけ可能性の同値は、向きと基本類の議論で示す。

5 標準閉曲面の不変量

命題 5.1. $g,h\geq1$ に対して、基本群は

\pi_1(\Sigma_g)\cong\langle a_1,b_1,\ldots,a_g,b_g\mid\textstyle\prod_{i=1}^g[a_i,b_i]\rangle, \qquad \pi_1(N_h)\cong\langle a_1,\ldots,a_h\mid\textstyle\prod_{i=1}^ha_i^2\rangle

である。整数係数ホモロジーは

H_n(\Sigma_g;\Z)\cong \begin{cases}\Z&n=0,2,\\\Z^{2g}&n=1,\\0&\text{それ以外},\end{cases} \qquad H_n(N_h;\Z)\cong \begin{cases}\Z&n=0,\\\Z^{h-1}\oplus\Z/2\Z&n=1,\\0&\text{それ以外}\end{cases}

である。最後の「それ以外」は負の次数も含む。

証明. 基本群の表示は§E21.8 命題 4.5と§E21.8 命題 4.6による。整数係数ホモロジーは§E21.24 命題 4.4 (1)と§E21.24 命題 4.4 (2)による。これらの計算で用いる標準閉曲面と二胞体模型の同一視は§E21.7 系 4.3で与えられている。▨

注意 5.2.§E21.26 例 3.2では、同じ一次ホモロジー群を基本群の表示の可換化から求めている。

系 5.3 (Klein の壺). Klein の壺 $K$ は $N_2$ に同相である。したがって $\chi(K)=0$ 、 $H_1(K;\Z)\cong\Z\oplus\Z/2\Z$ 、 $H_2(K;\Z)=0$ である。

証明.§E21.7 命題 4.4 (2)により $K\cong P_{abab^{-1}}$ である。平方取り出しの公式を $a\,b\,a\,b^{-1}$ に適用すると $abab^{-1}\sim ddbb$ となるので、 $K\cong N_2$ である。ホモロジーは命題 5.1の $h=2$ の場合による。標準胞体分解の胞体数は $(1,2,1)$ なので Euler 標数は零である。▨

6 演習

問題 6.1.

曲面の語 $abca^{-1}b^{-1}c^{-1}$ の六頂点の同値類を求め、一骨格の全域木の一辺を縮約して一頂点の標準語へ移せ。また、 $aba^{-1}b^{-1}cc$ が向きづけ不可能な語であることを指数から判定し、平方三個の標準語に移ることを示せ。
$H_2(M;\Z)\cong\Z$ 、 $\chi(M)=-4$ である空でない連結閉曲面 $M$ の同相型、基本群の最小生成元数、一次 Betti 数を求めよ。
$N_3$ の胞体境界 $\partial_2$ を書き、すべての整数係数ホモロジー群を求めよ。一次ホモロジーの自由生成元二つと位数二の元を、三つの一胞体の基底の整数係数一次結合で与えよ。

解答.

六角形の頂点を巡回順に $v_0,\ldots,v_5$ とする。 $a$ の対は $v_0\sim v_4$ 、 $v_1\sim v_3$ 、 $b$ の対は $v_1\sim v_5$ 、 $v_2\sim v_4$ 、 $c$ の対は $v_2\sim v_0$ 、 $v_3\sim v_5$ を与える。したがって類は $\{v_0,v_2,v_4\}$ と $\{v_1,v_3,v_5\}$ の二つである。 $c$ は二つの頂点を結ぶ全域木であり、縮約すると語は $aba^{-1}b^{-1}$ になる。後半の語は $c$ が同符号で現れるので、§E21.7 定義 6.1の意味で向きづけ不可能である。標準化の証明の $Q$ が空の変換列により、 $[a,b]cc$ は平方三個の積へ移る。
$2-2g=-4$ より $g=3$ であり、 $M\cong\Sigma_3$ である。表示は六つの生成元を与え、一次ホモロジーは $\Z^6$ なので $b_1=6$ である。基本群を $r$ 元で生成すれば、その可換化も $r$ 元で生成されるので、 $\Z^6$ の階数から $r\geq6$ である。よって最小生成元数は六である。
一胞体の基底を $e_1,e_2,e_3$ とすると、 $\partial_1=0$ 、 $\partial_2(1)=2(e_1+e_2+e_3)$ である。 $\partial_2$ は単射なので $H_2=0$ であり、 $H_0\cong\Z$ である。 $e_1,e_2,u=e_1+e_2+e_3$ は整数基底であり、 $e_3=u-e_1-e_2$ によって逆の変換を得る。この基底で関係は $2u=0$ なので、 $[e_1],[e_2]$ が自由生成元、 $[u]$ が位数二の元となり、 $H_1\cong\Z^2\oplus\Z/2\Z$ である。二次より高い次数と負の次数は零である。

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§E21.27閉曲面の分類