1 ベクトル値の初期値問題 定義 1.1. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω
y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y),\qquad
\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0 y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 をベクトル値初期値問題 (vector-valued initial value problem )
t 0 t_0 t 0 I I I y : I → R d \boldsymbol y:I\to\R^d y : I → R d t ∈ I t\in I t ∈ I
( t , y ( t ) ) ∈ Ω , y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 (t,\boldsymbol y(t))\in\Omega,\qquad
\boldsymbol y'(t)=f(t,\boldsymbol y(t)),\qquad
\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0 ( t , y ( t )) ∈ Ω , y ′ ( t ) = f ( t , y ( t )) , y ( t 0 ) = y 0 を満たすとき、y \boldsymbol y y I I I 解 (solution )t 0 t_0 t 0 局所解 (local solution )
定義 1.2. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω t 0 t_0 t 0 I I I y ∈ A C l o c ( I ; R d ) \boldsymbol y\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\R^d) y ∈ A C loc ( I ; R d )
( t , y ( t ) ) ∈ Ω ( t ∈ I ) , y ( t 0 ) = y 0 , (t,\boldsymbol y(t))\in\Omega\quad(t\in I),\qquad
\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0, ( t , y ( t )) ∈ Ω ( t ∈ I ) , y ( t 0 ) = y 0 , およびI I I
y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) \boldsymbol y'(t)=f(t,\boldsymbol y(t)) y ′ ( t ) = f ( t , y ( t )) を満たすとき、y \boldsymbol y y 絶対連続解 (absolutely continuous solution )t 0 t_0 t 0
同じ初期値問題の二つの局所解について、初期時刻を含むある開区間が存在して、二つの局所解がその区間上で一致するとき、二つの局所解は同じ解の芽 (solution germ )
補題 1.3. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω y : I → R d \boldsymbol y:I\to\R^d y : I → R d t 0 t_0 t 0 I I I y \boldsymbol y y I I I
証明. 古典解y \boldsymbol y y I I I §E13.2 系 2.7 (2) をK = R \mathbb K=\R K = R y ∈ A C l o c ( I ; R d ) \boldsymbol y\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\R^d) y ∈ A C loc ( I ; R d ) I I I y \boldsymbol y y ▨
2 時間可測なベクトル場と積分方程式 定義 2.1. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R B = { u : ∥ u − c ∥ ≤ b } B=\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol c\|\leq b\} B = { u : ∥ u − c ∥ ≤ b } b > 0 b>0 b > 0 f : J × B → R d f:J\times B\to\R^d f : J × B → R d Carathéodory 条件 (Carathéodory conditions )
すべてのu ∈ B \boldsymbol u\in B u ∈ B t ↦ f ( t , u ) t\mapsto f(t,\boldsymbol u) t ↦ f ( t , u )
ある Lebesgue 零集合N ⊆ J N\subseteq J N ⊆ J t ∈ J ∖ N t\in J\setminus N t ∈ J ∖ N u ↦ f ( t , u ) \boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u) u ↦ f ( t , u ) B B B
ある非負関数m ∈ L 1 ( J ) m\in L^1(J) m ∈ L 1 ( J ) t ∈ J ∖ N t\in J\setminus N t ∈ J ∖ N u ∈ B \boldsymbol u\in B u ∈ B ∥ f ( t , u ) ∥ ≤ m ( t ) \|f(t,\boldsymbol u)\|\leq m(t) ∥ f ( t , u ) ∥ ≤ m ( t )
さらに、ある非負関数ℓ ∈ L 1 ( J ) \ell\in L^1(J) ℓ ∈ L 1 ( J ) N N N t t t u , v ∈ B \boldsymbol u,\boldsymbol v\in B u , v ∈ B
∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ ℓ ( t ) ∥ u − v ∥ \|f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\|
\leq\ell(t)\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\| ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ ℓ ( t ) ∥ u − v ∥ が成り立つとき、ℓ \ell ℓ m , ℓ m,\ell m , ℓ N N N
開集合Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f f f Ω \Omega Ω J × B J\times B J × B f f f Ω \Omega Ω J × B J\times B J × B f f f f f f m , ℓ , N m,\ell,N m , ℓ , N
補題 2.3. d , k ∈ N ≥ 1 d,k\in\NN d , k ∈ N ≥ 1 R d \R^d R d R k \R^k R k ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R B ⊆ R d B\subseteq\R^d B ⊆ R d f : J × B → R k f:J\times B\to\R^k f : J × B → R k u ∈ B \boldsymbol u\in B u ∈ B t ↦ f ( t , u ) t\mapsto f(t,\boldsymbol u) t ↦ f ( t , u ) N ⊆ J N\subseteq J N ⊆ J u ↦ f ( t , u ) \boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u) u ↦ f ( t , u ) y : J → B \boldsymbol y:J\to B y : J → B t ↦ f ( t , y ( t ) ) t\mapsto f(t,\boldsymbol y(t)) t ↦ f ( t , y ( t ))
さらに、非負関数m ∈ L 1 ( J ) m\in L^1(J) m ∈ L 1 ( J ) t ∈ J ∖ N t\in J\setminus N t ∈ J ∖ N u ∈ B \boldsymbol u\in B u ∈ B ∥ f ( t , u ) ∥ ≤ m ( t ) \|f(t,\boldsymbol u)\|\leq m(t) ∥ f ( t , u ) ∥ ≤ m ( t ) y : J → B \boldsymbol y:J\to B y : J → B f ( ⋅ , y ( ⋅ ) ) ∈ L 1 ( J ; R k ) f(\cdot,\boldsymbol y(\cdot))\in L^1(J;\R^k) f ( ⋅ , y ( ⋅ )) ∈ L 1 ( J ; R k )
証明. B B B { q 1 , q 2 , … } \{\boldsymbol q_1,\boldsymbol q_2,\ldots\} { q 1 , q 2 , … } B B B n , k ∈ N ≥ 1 n,k\in\NN n , k ∈ N ≥ 1
E n , k = { t ∈ J : ∥ y ( t ) − q k ∥ < 1 / n } ∖ ⋃ j < k { t ∈ J : ∥ y ( t ) − q j ∥ < 1 / n } E_{n,k}=\{t\in J:\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol q_k\|<1/n\}
\setminus\bigcup_{j<k}\{t\in J:\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol q_j\|<1/n\} E n , k = { t ∈ J : ∥ y ( t ) − q k ∥ < 1/ n } ∖ j < k ⋃ { t ∈ J : ∥ y ( t ) − q j ∥ < 1/ n } とおく。各E n , k E_{n,k} E n , k n n n J J J t ∈ E n , k t\in E_{n,k} t ∈ E n , k y n ( t ) = q k \boldsymbol y_n(t)=\boldsymbol q_k y n ( t ) = q k ∥ y n ( t ) − y ( t ) ∥ < 1 / n \|\boldsymbol y_n(t)-\boldsymbol y(t)\|<1/n ∥ y n ( t ) − y ( t ) ∥ < 1/ n
g n ( t ) = f ( t , y n ( t ) ) g_n(t)=f(t,\boldsymbol y_n(t)) g n ( t ) = f ( t , y n ( t )) U ⊆ R k U\subseteq\R^k U ⊆ R k
g n − 1 ( U ) = ⋃ k ∈ N ≥ 1 ( E n , k ∩ { t : f ( t , q k ) ∈ U } ) g_n^{-1}(U)=\bigcup_{k\in\NN}
\bigl(E_{n,k}\cap\{t:f(t,\boldsymbol q_k)\in U\}\bigr) g n − 1 ( U ) = k ∈ N ≥ 1 ⋃ ( E n , k ∩ { t : f ( t , q k ) ∈ U } ) は可測である。従ってg n g_n g n N N N g n g_n g n g ~ n \widetilde g_n g n g ~ n \widetilde g_n g n t ∉ N t\notin N t ∈ / N g n ( t ) → f ( t , y ( t ) ) g_n(t)\to f(t,\boldsymbol y(t)) g n ( t ) → f ( t , y ( t )) g ~ n \widetilde g_n g n §E10.7 定理 5.1 を各成分へ適用すると、その極限は可測である。f ( t , y ( t ) ) f(t,\boldsymbol y(t)) f ( t , y ( t )) N N N
支配関数m m m §E10.1 命題 2.2 により、あるC > 0 C>0 C > 0 w ∈ R k \boldsymbol w\in\R^k w ∈ R k ∥ w ∥ 2 \|\boldsymbol w\|_2 ∥ w ∥ 2 C ∥ w ∥ C\|\boldsymbol w\| C ∥ w ∥ ∥ f ( t , y ( t ) ) ∥ 2 ≤ C m ( t ) \|f(t,\boldsymbol y(t))\|_2\leq Cm(t) ∥ f ( t , y ( t )) ∥ 2 ≤ C m ( t ) J J J ▨
補題 2.4. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω t 0 t_0 t 0 I I I y : I → R d \boldsymbol y:I\to\R^d y : I → R d Ω \Omega Ω g ( t ) = f ( t , y ( t ) ) g(t)=f(t,\boldsymbol y(t)) g ( t ) = f ( t , y ( t )) L l o c 1 ( I ; R d ) L^1_{\mathrm{loc}}(I;\R^d) L loc 1 ( I ; R d ) y \boldsymbol y y t ∈ I t\in I t ∈ I
y ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s \boldsymbol y(t)=\boldsymbol y_0+\int_{t_0}^{t}f(s,\boldsymbol y(s))\,ds y ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s )) d s が成り立つことである。t < t 0 t<t_0 t < t 0 − ∫ t t 0 -\int_t^{t_0} − ∫ t t 0
証明. 必要性を示す。絶対連続解y \boldsymbol y y §E13.2 系 2.6 を適用すると、すべてのt ∈ I t\in I t ∈ I
y ( t ) = y ( t 0 ) + ∫ t 0 t y ′ ( s ) d s \boldsymbol y(t)=\boldsymbol y(t_0)+\int_{t_0}^t\boldsymbol y'(s)\,ds y ( t ) = y ( t 0 ) + ∫ t 0 t y ′ ( s ) d s である。初期条件とy ′ = g \boldsymbol y'=g y ′ = g
十分性を示す。g ∈ L l o c 1 ( I ; R d ) g\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\R^d) g ∈ L loc 1 ( I ; R d ) §E13.2 系 2.6 により、積分方程式の右辺は局所絶対連続であり、導関数はほとんど至る所でg g g t = t 0 t=t_0 t = t 0 ▨
補題 2.5. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω t 0 t_0 t 0 I I I y : I → R d \boldsymbol y:I\to\R^d y : I → R d Ω \Omega Ω
y \boldsymbol y y y \boldsymbol y y t ↦ f ( t , y ( t ) ) t\mapsto f(t,\boldsymbol y(t)) t ↦ f ( t , y ( t )) I I I t ∈ I t\in I t ∈ I y ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s \boldsymbol y(t)=\boldsymbol y_0+\int_{t_0}^t f(s,\boldsymbol y(s))\,ds y ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s )) d s 証明. (a) ⇒ \Rightarrow ⇒ (b) 補題 1.3 により絶対連続解である。
(b) ⇒ \Rightarrow ⇒ (c) y \boldsymbol y y f f f g ( t ) = f ( t , y ( t ) ) g(t)=f(t,\boldsymbol y(t)) g ( t ) = f ( t , y ( t )) I I I g ∈ L l o c 1 ( I ; R d ) g\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\R^d) g ∈ L loc 1 ( I ; R d ) 補題 2.4 により積分方程式が成り立つ。
(c) ⇒ \Rightarrow ⇒ (a) g ( t ) = f ( t , y ( t ) ) g(t)=f(t,\boldsymbol y(t)) g ( t ) = f ( t , y ( t )) g ∈ L l o c 1 ( I ; R d ) g\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\R^d) g ∈ L loc 1 ( I ; R d ) 補題 2.4 によりy \boldsymbol y y y \boldsymbol y y f f f g g g I I I I I I y ′ = g \boldsymbol y'=g y ′ = g §E13.2 系 2.7 によりy \boldsymbol y y I I I I I I t ∈ I t\in I t ∈ I y ′ ( t ) = g ( t ) \boldsymbol y'(t)=g(t) y ′ ( t ) = g ( t ) t = t 0 t=t_0 t = t 0 y \boldsymbol y y ▨
3 Picard 作用素と局所存在 系 3.1. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ g ∈ L 1 ( J ; R d ) g\in L^1(J;\R^d) g ∈ L 1 ( J ; R d ) E ⊆ J E\subseteq J E ⊆ J t ↦ ∥ g ( t ) ∥ t\mapsto\|g(t)\| t ↦ ∥ g ( t ) ∥ J J J
∥ ∫ E g ( t ) d t ∥ ≤ ∫ E ∥ g ( t ) ∥ d t \left\|\int_E g(t)\,dt\right\|\leq\int_E\|g(t)\|\,dt ∫ E g ( t ) d t ≤ ∫ E ∥ g ( t ) ∥ d t が成り立つ。
証明. §E13.2 補題 1.3 (2) をK = R \mathbb K=\R K = R ∥ ⋅ ∥ ∗ = ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\|_\ast=\|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ ∗ = ∥ ⋅ ∥ ▨
補題 3.2. T T T K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 K d \mathbb K^d K d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ y : T → K d \boldsymbol y:T\to\mathbb K^d y : T → K d C b ( T ; K d ) C_b(T;\mathbb K^d) C b ( T ; K d ) ∥ y ∥ ∞ = sup t ∈ T ∥ y ( t ) ∥ \|\boldsymbol y\|_\infty=\sup_{t\in T}\|\boldsymbol y(t)\| ∥ y ∥ ∞ = sup t ∈ T ∥ y ( t ) ∥ C b ( T ; K d ) C_b(T;\mathbb K^d) C b ( T ; K d ) ∥ ⋅ ∥ ∞ \|\cdot\|_\infty ∥ ⋅ ∥ ∞
証明. C b ( T ; K d ) C_b(T;\mathbb K^d) C b ( T ; K d ) ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ ∥ ⋅ ∥ ∞ \|\cdot\|_\infty ∥ ⋅ ∥ ∞
K d \mathbb K^d K d x 1 , … , x N x_1,\ldots,x_N x 1 , … , x N K = C \mathbb K=\C K = C ∥ u ∥ 1 = ∑ k = 1 d ∣ u k ∣ \|\boldsymbol u\|_1=\sum_{k=1}^d|u_k| ∥ u ∥ 1 = ∑ k = 1 d ∣ u k ∣ K d \mathbb K^d K d §E10.1 命題 2.2 により、あるc , C > 0 c,C>0 c , C > 0 u ∈ K d \boldsymbol u\in\mathbb K^d u ∈ K d c ∥ u ∥ 1 ≤ ∥ u ∥ ≤ C ∥ u ∥ 1 c\|\boldsymbol u\|_1\leq\|\boldsymbol u\|\leq C\|\boldsymbol u\|_1 c ∥ u ∥ 1 ≤ ∥ u ∥ ≤ C ∥ u ∥ 1 i i i ∣ x i ( u ) ∣ ≤ ∥ u ∥ 1 |x_i(\boldsymbol u)|\leq\|\boldsymbol u\|_1 ∣ x i ( u ) ∣ ≤ ∥ u ∥ 1 ∥ u ∥ 1 ≤ ∑ i = 1 N ∣ x i ( u ) ∣ \|\boldsymbol u\|_1\leq\sum_{i=1}^N|x_i(\boldsymbol u)| ∥ u ∥ 1 ≤ ∑ i = 1 N ∣ x i ( u ) ∣ u ∈ K d \boldsymbol u\in\mathbb K^d u ∈ K d
∣ x i ( u ) ∣ ≤ c − 1 ∥ u ∥ ( 1 ≤ i ≤ N ) , ∥ u ∥ ≤ C ∑ i = 1 N ∣ x i ( u ) ∣ |x_i(\boldsymbol u)|\leq c^{-1}\|\boldsymbol u\|\quad(1\leq i\leq N),\qquad
\|\boldsymbol u\|\leq C\sum_{i=1}^N|x_i(\boldsymbol u)| ∣ x i ( u ) ∣ ≤ c − 1 ∥ u ∥ ( 1 ≤ i ≤ N ) , ∥ u ∥ ≤ C i = 1 ∑ N ∣ x i ( u ) ∣ が成り立つ。
( y n ) (\boldsymbol y_n) ( y n ) C b ( T ; K d ) C_b(T;\mathbb K^d) C b ( T ; K d ) i i i x i ∘ y n x_i\circ\boldsymbol y_n x i ∘ y n T T T d ∞ ( x i ∘ y n , x i ∘ y k ) ≤ c − 1 ∥ y n − y k ∥ ∞ d_\infty(x_i\circ\boldsymbol y_n,x_i\circ\boldsymbol y_k)\leq c^{-1}\|\boldsymbol y_n-\boldsymbol y_k\|_\infty d ∞ ( x i ∘ y n , x i ∘ y k ) ≤ c − 1 ∥ y n − y k ∥ ∞ ( x i ∘ y n ) n (x_i\circ\boldsymbol y_n)_n ( x i ∘ y n ) n C b ( T ) C_b(T) C b ( T ) §E2.16 定理 2.7 により、あるw i ∈ C b ( T ) w_i\in C_b(T) w i ∈ C b ( T ) d ∞ ( x i ∘ y n , w i ) → 0 d_\infty(x_i\circ\boldsymbol y_n,w_i)\to0 d ∞ ( x i ∘ y n , w i ) → 0 w 1 , … , w N w_1,\ldots,w_N w 1 , … , w N y : T → K d \boldsymbol y:T\to\mathbb K^d y : T → K d t , s ∈ T t,s\in T t , s ∈ T
∥ y ( t ) − y ( s ) ∥ ≤ C ∑ i = 1 N ∣ w i ( t ) − w i ( s ) ∣ , ∥ y ( t ) ∥ ≤ C ∑ i = 1 N ∣ w i ( t ) ∣ \|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol y(s)\|\leq C\sum_{i=1}^N|w_i(t)-w_i(s)|,\qquad
\|\boldsymbol y(t)\|\leq C\sum_{i=1}^N|w_i(t)| ∥ y ( t ) − y ( s ) ∥ ≤ C i = 1 ∑ N ∣ w i ( t ) − w i ( s ) ∣ , ∥ y ( t ) ∥ ≤ C i = 1 ∑ N ∣ w i ( t ) ∣ であるから、y \boldsymbol y y t ∈ T t\in T t ∈ T
∥ y n ( t ) − y ( t ) ∥ ≤ C ∑ i = 1 N d ∞ ( x i ∘ y n , w i ) \|\boldsymbol y_n(t)-\boldsymbol y(t)\|\leq C\sum_{i=1}^N d_\infty(x_i\circ\boldsymbol y_n,w_i) ∥ y n ( t ) − y ( t ) ∥ ≤ C i = 1 ∑ N d ∞ ( x i ∘ y n , w i ) であるから、∥ y n − y ∥ ∞ → 0 \|\boldsymbol y_n-\boldsymbol y\|_\infty\to0 ∥ y n − y ∥ ∞ → 0 C b ( T ; K d ) C_b(T;\mathbb K^d) C b ( T ; K d ) ▨
系 3.3. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ c ∈ R d \boldsymbol c\in\R^d c ∈ R d b > 0 b>0 b > 0
X = { y ∈ C ( J ; R d ) : ∥ y ( t ) − c ∥ ≤ b がすべての t ∈ J で成り立つ } X=\{\boldsymbol y\in C(J;\R^d):\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol c\|\leq b\ \text{がすべての }t\in J\text{ で成り立つ}\} X = { y ∈ C ( J ; R d ) : ∥ y ( t ) − c ∥ ≤ b がすべての t ∈ J で成り立つ } とおく。このとき、X X X d ∞ ( y , z ) = max t ∈ J ∥ y ( t ) − z ( t ) ∥ d_\infty(\boldsymbol y,\boldsymbol z)=\max_{t\in J}\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol z(t)\| d ∞ ( y , z ) = max t ∈ J ∥ y ( t ) − z ( t ) ∥
証明. J J J y : J → R d \boldsymbol y:J\to\R^d y : J → R d t ↦ ∥ y ( t ) ∥ t\mapsto\|\boldsymbol y(t)\| t ↦ ∥ y ( t ) ∥ C ( J ; R d ) = C b ( J ; R d ) C(J;\R^d)=C_b(J;\R^d) C ( J ; R d ) = C b ( J ; R d ) 補題 3.2 のノルム∥ ⋅ ∥ ∞ \|\cdot\|_\infty ∥ ⋅ ∥ ∞ C ( J ; R d ) C(J;\R^d) C ( J ; R d ) X X X ( y n ) (\boldsymbol y_n) ( y n ) y ∈ C ( J ; R d ) \boldsymbol y\in C(J;\R^d) y ∈ C ( J ; R d ) t ∈ J t\in J t ∈ J ∥ y ( t ) − c ∥ = lim n ∥ y n ( t ) − c ∥ ≤ b \|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol c\|=\lim_n\|\boldsymbol y_n(t)-\boldsymbol c\|\leq b ∥ y ( t ) − c ∥ = lim n ∥ y n ( t ) − c ∥ ≤ b X X X C ( J ; R d ) C(J;\R^d) C ( J ; R d ) §E2.5 系 3.4 によりX X X c \boldsymbol c c X X X X X X ▨
補題 3.4. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R t 0 ∈ J t_0\in J t 0 ∈ J y 0 ∈ R d \boldsymbol y_0\in\R^d y 0 ∈ R d B ⊆ R d B\subseteq\R^d B ⊆ R d f : J × B → R d f:J\times B\to\R^d f : J × B → R d ℓ \ell ℓ y : J → R d \boldsymbol y:J\to\R^d y : J → R d y ( J ) ⊆ B \boldsymbol y(J)\subseteq B y ( J ) ⊆ B X X X y ∈ X \boldsymbol y\in X y ∈ X
( T y ) ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s ( t ∈ J ) (T\boldsymbol y)(t)=\boldsymbol y_0+\int_{t_0}^tf(s,\boldsymbol y(s))\,ds\qquad(t\in J) ( T y ) ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s )) d s ( t ∈ J ) とおく。さらに、t ∈ J t\in J t ∈ J H ( t ) = ∣ ∫ t 0 t ℓ ( s ) d s ∣ H(t)=\left|\int_{t_0}^t\ell(s)\,ds\right| H ( t ) = ∫ t 0 t ℓ ( s ) d s Λ = ∫ J ℓ ( s ) d s \Lambda=\int_J\ell(s)\,ds Λ = ∫ J ℓ ( s ) d s y , z : J → R d \boldsymbol y,\boldsymbol z:J\to\R^d y , z : J → R d
d w ( y , z ) = max t ∈ J e − 2 H ( t ) ∥ y ( t ) − z ( t ) ∥ d_w(\boldsymbol y,\boldsymbol z)=\max_{t\in J}e^{-2H(t)}\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol z(t)\| d w ( y , z ) = t ∈ J max e − 2 H ( t ) ∥ y ( t ) − z ( t ) ∥ とおく。このとき、次が成り立つ。
各y ∈ X \boldsymbol y\in X y ∈ X s ↦ f ( s , y ( s ) ) s\mapsto f(s,\boldsymbol y(s)) s ↦ f ( s , y ( s )) J J J T y T\boldsymbol y T y J J J
d w d_w d w J J J d ∞ d_\infty d ∞ e − 2 Λ d ∞ ≤ d w ≤ d ∞ e^{-2\Lambda}d_\infty\leq d_w\leq d_\infty e − 2Λ d ∞ ≤ d w ≤ d ∞ ( X , d w ) (X,d_w) ( X , d w ) すべてのy , z ∈ X \boldsymbol y,\boldsymbol z\in X y , z ∈ X d w ( T y , T z ) ≤ 1 2 d w ( y , z ) d_w(T\boldsymbol y,T\boldsymbol z)\leq\frac12d_w(\boldsymbol y,\boldsymbol z) d w ( T y , T z ) ≤ 2 1 d w ( y , z )
証明. 主張 (1) を示す。y ∈ X \boldsymbol y\in X y ∈ X 補題 2.3 によりg ( s ) = f ( s , y ( s ) ) g(s)=f(s,\boldsymbol y(s)) g ( s ) = f ( s , y ( s )) J J J J J J α \alpha α ( T y ) ( t ) = y 0 − ∫ α t 0 g ( s ) d s + ∫ α t g ( s ) d s (T\boldsymbol y)(t)=\boldsymbol y_0-\int_\alpha^{t_0}g(s)\,ds+\int_\alpha^tg(s)\,ds ( T y ) ( t ) = y 0 − ∫ α t 0 g ( s ) d s + ∫ α t g ( s ) d s §E13.2 補題 1.3 (3) によりT y T\boldsymbol y T y J J J
主張 (2) を示す。§E13.2 補題 1.3 (3) によりt ↦ ∫ t 0 t ℓ ( s ) d s t\mapsto\int_{t_0}^t\ell(s)\,ds t ↦ ∫ t 0 t ℓ ( s ) d s H H H 0 ≤ H ≤ Λ 0\leq H\leq\Lambda 0 ≤ H ≤ Λ y , z \boldsymbol y,\boldsymbol z y , z t ↦ e − 2 H ( t ) ∥ y ( t ) − z ( t ) ∥ t\mapsto e^{-2H(t)}\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol z(t)\| t ↦ e − 2 H ( t ) ∥ y ( t ) − z ( t ) ∥ J J J e − 2 Λ ≤ e − 2 H ( t ) ≤ 1 e^{-2\Lambda}\leq e^{-2H(t)}\leq1 e − 2Λ ≤ e − 2 H ( t ) ≤ 1 e − 2 Λ d ∞ ≤ d w ≤ d ∞ e^{-2\Lambda}d_\infty\leq d_w\leq d_\infty e − 2Λ d ∞ ≤ d w ≤ d ∞ d w ( y , z ) = 0 d_w(\boldsymbol y,\boldsymbol z)=0 d w ( y , z ) = 0 d ∞ ( y , z ) = 0 d_\infty(\boldsymbol y,\boldsymbol z)=0 d ∞ ( y , z ) = 0 y = z \boldsymbol y=\boldsymbol z y = z d w d_w d w B B B c \boldsymbol c c b b b 系 3.3 により( X , d ∞ ) (X,d_\infty) ( X , d ∞ ) ( X , d w ) (X,d_w) ( X , d w ) d ∞ ≤ e 2 Λ d w d_\infty\leq e^{2\Lambda}d_w d ∞ ≤ e 2Λ d w ( X , d ∞ ) (X,d_\infty) ( X , d ∞ ) X X X d ∞ d_\infty d ∞ d w ≤ d ∞ d_w\leq d_\infty d w ≤ d ∞ d w d_w d w ( X , d w ) (X,d_w) ( X , d w )
主張 (3) を示す。y , z ∈ X \boldsymbol y,\boldsymbol z\in X y , z ∈ X t ∈ J t\in J t ∈ J t = t 0 t=t_0 t = t 0 ( T y ) ( t 0 ) = ( T z ) ( t 0 ) (T\boldsymbol y)(t_0)=(T\boldsymbol z)(t_0) ( T y ) ( t 0 ) = ( T z ) ( t 0 ) t ≠ t 0 t\neq t_0 t = t 0 t 0 t_0 t 0 t t t J t J_t J t t > t 0 t>t_0 t > t 0 ε = 1 \varepsilon=1 ε = 1 t < t 0 t<t_0 t < t 0 ε = − 1 \varepsilon=-1 ε = − 1 s ∈ J t s\in J_t s ∈ J t H ( s ) = ε ∫ t 0 s ℓ ( r ) d r H(s)=\varepsilon\int_{t_0}^s\ell(r)\,dr H ( s ) = ε ∫ t 0 s ℓ ( r ) d r §E13.2 系 2.6 によりH H H J t J_t J t J t J_t J t H ′ = ε ℓ H'=\varepsilon\ell H ′ = ε ℓ §E13.2 定理 3.1 (1) をΦ ( x ) = e 2 x \Phi(x)=e^{2x} Φ ( x ) = e 2 x H ∣ J t H|_{J_t} H ∣ J t E ( s ) = e 2 H ( s ) E(s)=e^{2H(s)} E ( s ) = e 2 H ( s ) J t J_t J t E ′ = 2 ε ℓ E E'=2\varepsilon\ell E E ′ = 2 ε ℓ E §E13.2 定理 2.5 (3) と§E10.10 定理 3.2 により
e 2 H ( t ) − 1 = E ( t ) − E ( t 0 ) = ε ∫ J t E ′ ( s ) d s = 2 ∫ J t ℓ ( s ) e 2 H ( s ) d s e^{2H(t)}-1=E(t)-E(t_0)=\varepsilon\int_{J_t}E'(s)\,ds=2\int_{J_t}\ell(s)e^{2H(s)}\,ds e 2 H ( t ) − 1 = E ( t ) − E ( t 0 ) = ε ∫ J t E ′ ( s ) d s = 2 ∫ J t ℓ ( s ) e 2 H ( s ) d s である。Carathéodory 条件と Lipschitz 係数の共通零集合をN N N s ∈ J t ∖ N s\in J_t\setminus N s ∈ J t ∖ N
∥ f ( s , y ( s ) ) − f ( s , z ( s ) ) ∥ ≤ ℓ ( s ) ∥ y ( s ) − z ( s ) ∥ ≤ ℓ ( s ) e 2 H ( s ) d w ( y , z ) \|f(s,\boldsymbol y(s))-f(s,\boldsymbol z(s))\|
\leq\ell(s)\|\boldsymbol y(s)-\boldsymbol z(s)\|
\leq\ell(s)e^{2H(s)}d_w(\boldsymbol y,\boldsymbol z) ∥ f ( s , y ( s )) − f ( s , z ( s )) ∥ ≤ ℓ ( s ) ∥ y ( s ) − z ( s ) ∥ ≤ ℓ ( s ) e 2 H ( s ) d w ( y , z ) であるから、系 3.1 により
∥ ( T y ) ( t ) − ( T z ) ( t ) ∥ ≤ ∫ J t ∥ f ( s , y ( s ) ) − f ( s , z ( s ) ) ∥ d s ≤ d w ( y , z ) e 2 H ( t ) − 1 2 \|(T\boldsymbol y)(t)-(T\boldsymbol z)(t)\|
\leq\int_{J_t}\|f(s,\boldsymbol y(s))-f(s,\boldsymbol z(s))\|\,ds
\leq d_w(\boldsymbol y,\boldsymbol z)\,\frac{e^{2H(t)}-1}{2} ∥ ( T y ) ( t ) − ( T z ) ( t ) ∥ ≤ ∫ J t ∥ f ( s , y ( s )) − f ( s , z ( s )) ∥ d s ≤ d w ( y , z ) 2 e 2 H ( t ) − 1 である。両辺にe − 2 H ( t ) e^{-2H(t)} e − 2 H ( t )
e − 2 H ( t ) ∥ ( T y ) ( t ) − ( T z ) ( t ) ∥ ≤ 1 − e − 2 H ( t ) 2 d w ( y , z ) ≤ 1 2 d w ( y , z ) e^{-2H(t)}\|(T\boldsymbol y)(t)-(T\boldsymbol z)(t)\|
\leq\frac{1-e^{-2H(t)}}{2}d_w(\boldsymbol y,\boldsymbol z)
\leq\frac12d_w(\boldsymbol y,\boldsymbol z) e − 2 H ( t ) ∥ ( T y ) ( t ) − ( T z ) ( t ) ∥ ≤ 2 1 − e − 2 H ( t ) d w ( y , z ) ≤ 2 1 d w ( y , z ) を得る。t ∈ J t\in J t ∈ J d w ( T y , T z ) ≤ 1 2 d w ( y , z ) d_w(T\boldsymbol y,T\boldsymbol z)\leq\frac12d_w(\boldsymbol y,\boldsymbol z) d w ( T y , T z ) ≤ 2 1 d w ( y , z ) ▨
定理 3.5. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω a , b > 0 a,b>0 a , b > 0
R = J × B ⊆ Ω , J = [ t 0 − a , t 0 + a ] , B = { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } R=J\times B\subseteq\Omega,\qquad
J=[t_0-a,t_0+a],\qquad
B=\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol y_0\|\leq b\} R = J × B ⊆ Ω , J = [ t 0 − a , t 0 + a ] , B = { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } 上でf f f m ∈ L 1 ( J ) m\in L^1(J) m ∈ L 1 ( J ) ℓ ∈ L 1 ( J ) \ell\in L^1(J) ℓ ∈ L 1 ( J )
∫ t 0 − h t 0 m ( s ) d s ≤ b , ∫ t 0 t 0 + h m ( s ) d s ≤ b \int_{t_0-h}^{t_0}m(s)\,ds\leq b,\qquad
\int_{t_0}^{t_0+h}m(s)\,ds\leq b ∫ t 0 − h t 0 m ( s ) d s ≤ b , ∫ t 0 t 0 + h m ( s ) d s ≤ b を満たす0 < h ≤ a 0<h\leq a 0 < h ≤ a h h h I h = [ t 0 − h , t 0 + h ] I_h=[t_0-h,t_0+h] I h = [ t 0 − h , t 0 + h ]
初期値問題y ′ = f ( t , y ) \boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y) y ′ = f ( t , y ) y ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0 y ( t 0 ) = y 0 I h I_h I h y \boldsymbol y y y ( I h ) ⊆ B \boldsymbol y(I_h)\subseteq B y ( I h ) ⊆ B y \boldsymbol y y ( t 0 − h , t 0 + h ) (t_0-h,t_0+h) ( t 0 − h , t 0 + h ) y ( 0 ) ( t ) = y 0 \boldsymbol y^{(0)}(t)=\boldsymbol y_0 y ( 0 ) ( t ) = y 0 y ( n + 1 ) ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( n ) ( s ) ) d s ( t ∈ I h ) \boldsymbol y^{(n+1)}(t)=\boldsymbol y_0+\int_{t_0}^tf(s,\boldsymbol y^{(n)}(s))\,ds\qquad(t\in I_h) y ( n + 1 ) ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( n ) ( s )) d s ( t ∈ I h ) n n n I h I_h I h y \boldsymbol y y
I ⊆ I h I\subseteq I_h I ⊆ I h t 0 t_0 t 0 z : I → R d \boldsymbol z:I\to\R^d z : I → R d z ( I ) ⊆ B \boldsymbol z(I)\subseteq B z ( I ) ⊆ B I I I z = y \boldsymbol z=\boldsymbol y z = y 同じ初期値をもつ任意の二つの絶対連続な局所解は、t 0 t_0 t 0
証明. §E13.2 補題 1.3 (1) を非負可積分関数m m m δ > 0 \delta>0 δ > 0 δ \delta δ m m m b b b h = min { a , δ / 2 } h=\min\{a,\delta/2\} h = min { a , δ /2 }
主張 (1) を示す。f f f I h × B I_h\times B I h × B m , ℓ m,\ell m , ℓ I h I_h I h 補題 3.4 をJ = I h J=I_h J = I h X X X T T T d w d_w d w y ∈ X \boldsymbol y\in X y ∈ X t ∈ I h t\in I_h t ∈ I h t 0 t_0 t 0 t t t J t J_t J t J t J_t J t [ t 0 − h , t 0 ] [t_0-h,t_0] [ t 0 − h , t 0 ] [ t 0 , t 0 + h ] [t_0,t_0+h] [ t 0 , t 0 + h ] 系 3.1 と支配関数の評価により
∥ ( T y ) ( t ) − y 0 ∥ ≤ ∫ J t ∥ f ( s , y ( s ) ) ∥ d s ≤ ∫ J t m ( s ) d s ≤ b \|(T\boldsymbol y)(t)-\boldsymbol y_0\|
\leq\int_{J_t}\|f(s,\boldsymbol y(s))\|\,ds
\leq\int_{J_t}m(s)\,ds
\leq b ∥ ( T y ) ( t ) − y 0 ∥ ≤ ∫ J t ∥ f ( s , y ( s )) ∥ d s ≤ ∫ J t m ( s ) d s ≤ b である。補題 3.4 (1) によりT y T\boldsymbol y T y T ( X ) ⊆ X T(X)\subseteq X T ( X ) ⊆ X 補題 3.4 (2) と補題 3.4 (3) により、T T T ( X , d w ) (X,d_w) ( X , d w ) 1 / 2 1/2 1/2 §E2.7 Banach の不動点定理 の§E2.7 定理 2.2 により、T T T X X X y \boldsymbol y y y ( 0 ) ∈ X \boldsymbol y^{(0)}\in X y ( 0 ) ∈ X y ( n ) = T n y ( 0 ) \boldsymbol y^{(n)}=T^n\boldsymbol y^{(0)} y ( n ) = T n y ( 0 ) d w d_w d w y \boldsymbol y y d ∞ ≤ e 2 Λ d w d_\infty\leq e^{2\Lambda}d_w d ∞ ≤ e 2Λ d w I h I_h I h y \boldsymbol y y s ↦ f ( s , y ( s ) ) s\mapsto f(s,\boldsymbol y(s)) s ↦ f ( s , y ( s )) R ⊆ Ω R\subseteq\Omega R ⊆ Ω 補題 2.4 によりy \boldsymbol y y I h I_h I h ( t 0 − h , t 0 + h ) (t_0-h,t_0+h) ( t 0 − h , t 0 + h )
主張 (2) を示す。[ α , β ] ⊆ I [\alpha,\beta]\subseteq I [ α , β ] ⊆ I α < β \alpha<\beta α < β f f f [ α , β ] × B [\alpha,\beta]\times B [ α , β ] × B 補題 2.3 を適用することができ、s ↦ f ( s , z ( s ) ) s\mapsto f(s,\boldsymbol z(s)) s ↦ f ( s , z ( s )) [ α , β ] [\alpha,\beta] [ α , β ] f ( ⋅ , z ( ⋅ ) ) ∈ L l o c 1 ( I ; R d ) f(\cdot,\boldsymbol z(\cdot))\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\R^d) f ( ⋅ , z ( ⋅ )) ∈ L loc 1 ( I ; R d ) 補題 2.4 により、すべてのt ∈ I t\in I t ∈ I z ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , z ( s ) ) d s \boldsymbol z(t)=\boldsymbol y_0+\int_{t_0}^tf(s,\boldsymbol z(s))\,ds z ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , z ( s )) d s t ∈ I t\in I t ∈ I t = t 0 t=t_0 t = t 0 z ( t 0 ) = y 0 = y ( t 0 ) \boldsymbol z(t_0)=\boldsymbol y_0=\boldsymbol y(t_0) z ( t 0 ) = y 0 = y ( t 0 ) t ≠ t 0 t\neq t_0 t = t 0 t 0 t_0 t 0 t t t J t J_t J t I I I 補題 3.4 をJ = J t J=J_t J = J t T t T_t T t d w , t d_{w,t} d w , t y ∣ J t \boldsymbol y|_{J_t} y ∣ J t z ∣ J t \boldsymbol z|_{J_t} z ∣ J t J t J_t J t B B B T t T_t T t 補題 3.4 (3) により
d w , t ( y ∣ J t , z ∣ J t ) = d w , t ( T t y ∣ J t , T t z ∣ J t ) ≤ 1 2 d w , t ( y ∣ J t , z ∣ J t ) d_{w,t}(\boldsymbol y|_{J_t},\boldsymbol z|_{J_t})
=d_{w,t}(T_t\boldsymbol y|_{J_t},T_t\boldsymbol z|_{J_t})
\leq\frac12d_{w,t}(\boldsymbol y|_{J_t},\boldsymbol z|_{J_t}) d w , t ( y ∣ J t , z ∣ J t ) = d w , t ( T t y ∣ J t , T t z ∣ J t ) ≤ 2 1 d w , t ( y ∣ J t , z ∣ J t ) であるから、d w , t ( y ∣ J t , z ∣ J t ) = 0 d_{w,t}(\boldsymbol y|_{J_t},\boldsymbol z|_{J_t})=0 d w , t ( y ∣ J t , z ∣ J t ) = 0 z ( t ) = y ( t ) \boldsymbol z(t)=\boldsymbol y(t) z ( t ) = y ( t )
主張 (3) を示す。同じ初期値をもつ二つの絶対連続な局所解u , v \boldsymbol u,\boldsymbol v u , v u ( t 0 ) = v ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol u(t_0)=\boldsymbol v(t_0)=\boldsymbol y_0 u ( t 0 ) = v ( t 0 ) = y 0 0 < η ≤ h 0<\eta\leq h 0 < η ≤ h ( t 0 − η , t 0 + η ) (t_0-\eta,t_0+\eta) ( t 0 − η , t 0 + η ) B B B 主張 (2) をI = ( t 0 − η , t 0 + η ) I=(t_0-\eta,t_0+\eta) I = ( t 0 − η , t 0 + η ) u \boldsymbol u u v \boldsymbol v v ( t 0 − η , t 0 + η ) (t_0-\eta,t_0+\eta) ( t 0 − η , t 0 + η ) u = y = v \boldsymbol u=\boldsymbol y=\boldsymbol v u = y = v ▨
4 連続なベクトル場の場合 定義 4.1. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d R d \R^d R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d 状態変数について局所 Lipschitz 連続 (locally Lipschitz continuous in the state variable )( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω U ⊆ Ω U\subseteq\Omega U ⊆ Ω L U ≥ 0 L_U\ge0 L U ≥ 0 ( t , u ) , ( t , v ) ∈ U (t,\boldsymbol u),(t,\boldsymbol v)\in U ( t , u ) , ( t , v ) ∈ U
∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L U ∥ u − v ∥ \lVert f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\rVert
\le L_U\lVert\boldsymbol u-\boldsymbol v\rVert ∥ f ( t , u ) − f ( t , v )∥ ≤ L U ∥ u − v ∥ が成り立つことをいう。
補題 4.2. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d R d \R^d R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d t t t u ↦ f ( t , u ) \boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u) u ↦ f ( t , u ) Ω t = { u : ( t , u ) ∈ Ω } \Omega_t=\{\boldsymbol u:(t,\boldsymbol u)\in\Omega\} Ω t = { u : ( t , u ) ∈ Ω } D u f ( t , u ) D_{\boldsymbol u}f(t,\boldsymbol u) D u f ( t , u ) Ω \Omega Ω ( t , u ) (t,\boldsymbol u) ( t , u ) f f f
証明. R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ 2 \|\cdot\|_2 ∥ ⋅ ∥ 2 ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω Ω \Omega Ω r > 0 r>0 r > 0 R = [ t 0 − r , t 0 + r ] × { u : ∥ u − y 0 ∥ 2 ≤ r } R=[t_0-r,t_0+r]\times\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol y_0\|_2\leq r\} R = [ t 0 − r , t 0 + r ] × { u : ∥ u − y 0 ∥ 2 ≤ r } Ω \Omega Ω R R R D u f D_{\boldsymbol u}f D u f K = max R ∥ D u f ∥ o p K=\max_R\|D_{\boldsymbol u}f\|_{\mathrm{op}} K = max R ∥ D u f ∥ op U = ( t 0 − r , t 0 + r ) × { u : ∥ u − y 0 ∥ 2 < r } U=(t_0-r,t_0+r)\times\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol y_0\|_2<r\} U = ( t 0 − r , t 0 + r ) × { u : ∥ u − y 0 ∥ 2 < r } ( t , u ) , ( t , v ) ∈ U (t,\boldsymbol u),(t,\boldsymbol v)\in U ( t , u ) , ( t , v ) ∈ U [ u , v ] [\boldsymbol u,\boldsymbol v] [ u , v ] { w : ∥ w − y 0 ∥ 2 < r } ⊆ Ω t \{\boldsymbol w:\|\boldsymbol w-\boldsymbol y_0\|_2<r\}\subseteq\Omega_t { w : ∥ w − y 0 ∥ 2 < r } ⊆ Ω t w \boldsymbol w w ∥ D u f ( t , w ) ∥ o p ≤ K \|D_{\boldsymbol u}f(t,\boldsymbol w)\|_{\mathrm{op}}\leq K ∥ D u f ( t , w ) ∥ op ≤ K §E4.3 定理 2.1 をu ↦ f ( t , u ) \boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u) u ↦ f ( t , u ) ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ 2 ≤ K ∥ u − v ∥ 2 \|f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\|_2\leq K\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\|_2 ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ 2 ≤ K ∥ u − v ∥ 2 §E10.1 命題 2.2 により、あるc , C > 0 c,C>0 c , C > 0 c ∥ ⋅ ∥ 2 ≤ ∥ ⋅ ∥ ≤ C ∥ ⋅ ∥ 2 c\|\cdot\|_2\leq\|\cdot\|\leq C\|\cdot\|_2 c ∥ ⋅ ∥ 2 ≤ ∥ ⋅ ∥ ≤ C ∥ ⋅ ∥ 2
∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ C K c ∥ u − v ∥ \|f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\|\leq\frac{CK}{c}\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\| ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ c C K ∥ u − v ∥ である。U U U ( t 0 , y 0 ) (t_0,\boldsymbol y_0) ( t 0 , y 0 ) L U = C K / c L_U=CK/c L U = C K / c ▨
補題 4.3. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d
J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R B ⊆ R d B\subseteq\R^d B ⊆ R d J × B ⊆ Ω J\times B\subseteq\Omega J × B ⊆ Ω M = max ( t , u ) ∈ J × B ∥ f ( t , u ) ∥ M=\max_{(t,\boldsymbol u)\in J\times B}\|f(t,\boldsymbol u)\| M = max ( t , u ) ∈ J × B ∥ f ( t , u ) ∥ L ≥ 0 L\geq0 L ≥ 0 t ∈ J t\in J t ∈ J u , v ∈ B \boldsymbol u,\boldsymbol v\in B u , v ∈ B ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L ∥ u − v ∥ \|f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\|\leq L\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\| ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L ∥ u − v ∥ f f f J × B J\times B J × B N = ∅ N=\varnothing N = ∅ m = M m=M m = M ℓ = L \ell=L ℓ = L f f f J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R B ⊆ R d B\subseteq\R^d B ⊆ R d J × B ⊆ Ω J\times B\subseteq\Omega J × B ⊆ Ω M = max ( t , u ) ∈ J × B ∥ f ( t , u ) ∥ M=\max_{(t,\boldsymbol u)\in J\times B}\|f(t,\boldsymbol u)\| M = max ( t , u ) ∈ J × B ∥ f ( t , u ) ∥ L ≥ 0 L\geq0 L ≥ 0 t ∈ J t\in J t ∈ J u , v ∈ B \boldsymbol u,\boldsymbol v\in B u , v ∈ B ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L ∥ u − v ∥ \|f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\|\leq L\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\| ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L ∥ u − v ∥ f f f J × B J\times B J × B N = ∅ N=\varnothing N = ∅ m = M m=M m = M ℓ = L \ell=L ℓ = L f f f 任意の( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω y ′ = f ( t , y ) \boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y) y ′ = f ( t , y ) y ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0 y ( t 0 ) = y 0
証明. 主張 (1) を示す。§E10.1 命題 2.2 により∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ B B B J × B J\times B J × B R 1 + d \R^{1+d} R 1 + d f f f M M M u ∈ B \boldsymbol u\in B u ∈ B t ↦ f ( t , u ) t\mapsto f(t,\boldsymbol u) t ↦ f ( t , u ) t ∈ J t\in J t ∈ J u ↦ f ( t , u ) \boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u) u ↦ f ( t , u ) B B B ∥ f ∥ ≤ M \|f\|\leq M ∥ f ∥ ≤ M J × B J\times B J × B M , L M,L M , L J J J N = ∅ N=\varnothing N = ∅ m = M m=M m = M ℓ = L \ell=L ℓ = L
主張 (2) を示す。M M M 主張 (1) による。あるL ≥ 0 L\geq0 L ≥ 0 n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 t n ∈ J t_n\in J t n ∈ J u n , v n ∈ B \boldsymbol u_n,\boldsymbol v_n\in B u n , v n ∈ B
∥ f ( t n , u n ) − f ( t n , v n ) ∥ > n ∥ u n − v n ∥ \|f(t_n,\boldsymbol u_n)-f(t_n,\boldsymbol v_n)\|>n\|\boldsymbol u_n-\boldsymbol v_n\| ∥ f ( t n , u n ) − f ( t n , v n ) ∥ > n ∥ u n − v n ∥ となる。左辺は2 M 2M 2 M ∥ u n − v n ∥ < 2 M / n \|\boldsymbol u_n-\boldsymbol v_n\|<2M/n ∥ u n − v n ∥ < 2 M / n R 1 + 2 d \R^{1+2d} R 1 + 2 d ( t n , u n , v n ) (t_n,\boldsymbol u_n,\boldsymbol v_n) ( t n , u n , v n ) §E10.1 補題 2.1 により、座標ごとにある( t , u , v ) (t,\boldsymbol u,\boldsymbol v) ( t , u , v ) ( t n k , u n k , v n k ) (t_{n_k},\boldsymbol u_{n_k},\boldsymbol v_{n_k}) ( t n k , u n k , v n k ) J J J B B B t ∈ J t\in J t ∈ J u , v ∈ B \boldsymbol u,\boldsymbol v\in B u , v ∈ B ∥ u − v ∥ = lim k ∥ u n k − v n k ∥ = 0 \|\boldsymbol u-\boldsymbol v\|=\lim_k\|\boldsymbol u_{n_k}-\boldsymbol v_{n_k}\|=0 ∥ u − v ∥ = lim k ∥ u n k − v n k ∥ = 0 v = u \boldsymbol v=\boldsymbol u v = u ( t , u ) ∈ Ω (t,\boldsymbol u)\in\Omega ( t , u ) ∈ Ω U U U L U L_U L U ( t n k , u n k ) (t_{n_k},\boldsymbol u_{n_k}) ( t n k , u n k ) ( t n k , v n k ) (t_{n_k},\boldsymbol v_{n_k}) ( t n k , v n k ) ( t , u ) (t,\boldsymbol u) ( t , u ) k k k U U U
n k ∥ u n k − v n k ∥ < ∥ f ( t n k , u n k ) − f ( t n k , v n k ) ∥ ≤ L U ∥ u n k − v n k ∥ n_k\|\boldsymbol u_{n_k}-\boldsymbol v_{n_k}\|
<\|f(t_{n_k},\boldsymbol u_{n_k})-f(t_{n_k},\boldsymbol v_{n_k})\|
\leq L_U\|\boldsymbol u_{n_k}-\boldsymbol v_{n_k}\| n k ∥ u n k − v n k ∥ < ∥ f ( t n k , u n k ) − f ( t n k , v n k ) ∥ ≤ L U ∥ u n k − v n k ∥ である。この狭義不等式からu n k ≠ v n k \boldsymbol u_{n_k}\neq\boldsymbol v_{n_k} u n k = v n k k k k n k < L U n_k<L_U n k < L U n k → ∞ n_k\to\infty n k → ∞ k k k n k ≥ L U n_k\geq L_U n k ≥ L U L ≥ 0 L\geq0 L ≥ 0 主張 (1) により、f f f J × B J\times B J × B N = ∅ N=\varnothing N = ∅ m = M m=M m = M ℓ = L \ell=L ℓ = L Ω \Omega Ω f f f
主張 (3) を示す。f f f 補題 2.5 により補題 2.5 条件 (b) から補題 2.5 条件 (a) が従う。▨
系 4.4 (Picard–Lindelöf の定理). d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω a , b > 0 a,b>0 a , b > 0
R = [ t 0 − a , t 0 + a ] × { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } R=[t_0-a,t_0+a]\times\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol y_0\|\leq b\} R = [ t 0 − a , t 0 + a ] × { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } はΩ \Omega Ω L ≥ 0 L\geq0 L ≥ 0 ( t , u ) , ( t , v ) ∈ R (t,\boldsymbol u),(t,\boldsymbol v)\in R ( t , u ) , ( t , v ) ∈ R
∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L ∥ u − v ∥ \|f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\|\leq L\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\| ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L ∥ u − v ∥ が成り立つと仮定する。このとき、初期値問題y ′ = f ( t , y ) \boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y) y ′ = f ( t , y ) y ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0 y ( t 0 ) = y 0 t 0 t_0 t 0 M = max ( t , u ) ∈ R ∥ f ( t , u ) ∥ M=\max_{(t,\boldsymbol u)\in R}\|f(t,\boldsymbol u)\| M = max ( t , u ) ∈ R ∥ f ( t , u ) ∥ 0 < h ≤ a 0<h\leq a 0 < h ≤ a M h ≤ b Mh\leq b M h ≤ b h h h [ t 0 − h , t 0 + h ] [t_0-h,t_0+h] [ t 0 − h , t 0 + h ] { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } \{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol y_0\|\leq b\} { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b }
f f f Ω \Omega Ω ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω a , b > 0 a,b>0 a , b > 0 L ≥ 0 L\geq0 L ≥ 0
証明. 補題 4.3 (1) により、M M M f f f R R R N = ∅ N=\varnothing N = ∅ m = M m=M m = M ℓ = L \ell=L ℓ = L 0 < h ≤ a 0<h\leq a 0 < h ≤ a M h ≤ b Mh\leq b M h ≤ b t 0 t_0 t 0 h h h m m m M h ≤ b Mh\leq b M h ≤ b 定理 3.5 (1) により、I h = [ t 0 − h , t 0 + h ] I_h=[t_0-h,t_0+h] I h = [ t 0 − h , t 0 + h ] 補題 4.3 (3) によりそれは古典解である。I h I_h I h 補題 1.3 により絶対連続解であるから、定理 3.5 (2) により一つに限る。M > 0 M>0 M > 0 h = min { a , b / M } h=\min\{a,b/M\} h = min { a , b / M } M = 0 M=0 M = 0 h = a h=a h = a ( t 0 − h , t 0 + h ) (t_0-h,t_0+h) ( t 0 − h , t 0 + h ) 補題 1.3 により絶対連続な局所解であるから、定理 3.5 (3) によりt 0 t_0 t 0
f f f Ω \Omega Ω ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω R ⊆ Ω R\subseteq\Omega R ⊆ Ω a , b > 0 a,b>0 a , b > 0 補題 4.3 (2) により、R R R L ≥ 0 L\geq0 L ≥ 0 ▨
5 不連続な係数と一意性の限界 例 5.1. Ω = R 2 \Omega=\R^2 Ω = R 2
a ( t ) = { 1 , t < 0 , 2 , t ≥ 0 a(t)=\begin{cases}1,&t<0,\\2,&t\geq0\end{cases} a ( t ) = { 1 , 2 , t < 0 , t ≥ 0 によって定まる初期値問題y ′ = a ( t ) y y'=a(t)y y ′ = a ( t ) y y ( 0 ) = 1 y(0)=1 y ( 0 ) = 1 R = [ − 1 , 1 ] × [ 0 , 2 ] R=[-1,1]\times[0,2] R = [ − 1 , 1 ] × [ 0 , 2 ] f ( t , u ) = a ( t ) u f(t,u)=a(t)u f ( t , u ) = a ( t ) u
∣ f ( t , u ) ∣ ≤ 4 , ∣ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∣ ≤ 2 ∣ u − v ∣ |f(t,u)|\leq4,\qquad |f(t,u)-f(t,v)|\leq2|u-v| ∣ f ( t , u ) ∣ ≤ 4 , ∣ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∣ ≤ 2∣ u − v ∣ が成り立つ。従って支配関数m = 4 m=4 m = 4 ℓ = 2 \ell=2 ℓ = 2 N = ∅ N=\varnothing N = ∅ b = 1 b=1 b = 1 h = 1 / 4 h=1/4 h = 1/4
∫ − h 0 m ( t ) d t = ∫ 0 h m ( t ) d t = 1 ≤ b \int_{-h}^0m(t)\,dt=\int_0^hm(t)\,dt=1\leq b ∫ − h 0 m ( t ) d t = ∫ 0 h m ( t ) d t = 1 ≤ b となる。定理 3.5 (1) により、[ − 1 / 4 , 1 / 4 ] [-1/4,1/4] [ − 1/4 , 1/4 ] [ 0 , 2 ] [0,2] [ 0 , 2 ]
実際、全実数上で
y ( t ) = { e t , t ≤ 0 , e 2 t , t ≥ 0 y(t)=\begin{cases}e^t,&t\leq0,\\e^{2t},&t\geq0\end{cases} y ( t ) = { e t , e 2 t , t ≤ 0 , t ≥ 0 とおくと、g ( t ) = a ( t ) y ( t ) g(t)=a(t)y(t) g ( t ) = a ( t ) y ( t ) t ≤ 0 t\leq0 t ≤ 0 ∫ 0 t g ( s ) d s = e t − 1 \int_0^tg(s)\,ds=e^t-1 ∫ 0 t g ( s ) d s = e t − 1 t ≥ 0 t\geq0 t ≥ 0 ∫ 0 t g ( s ) d s = e 2 t − 1 \int_0^tg(s)\,ds=e^{2t}-1 ∫ 0 t g ( s ) d s = e 2 t − 1 t t t y ( t ) = 1 + ∫ 0 t g ( s ) d s y(t)=1+\int_0^tg(s)\,ds y ( t ) = 1 + ∫ 0 t g ( s ) d s 補題 2.4 によりy y y 1 1 1 2 2 2 y y y
この初期値問題には、原点を含む開区間上の古典解は存在しない。古典解が存在すれば、補題 1.3 によりそれは絶対連続な局所解であり、定理 3.5 (3) により原点を含むある開区間上でy y y y y y
例 5.2. Ω = R 2 \Omega=\R^2 Ω = R 2 t ≠ 0 t\neq0 t = 0 f ( t , u ) = ∣ t ∣ − 1 / 2 u f(t,u)=|t|^{-1/2}u f ( t , u ) = ∣ t ∣ − 1/2 u t = 0 t=0 t = 0 f ( 0 , u ) = 0 f(0,u)=0 f ( 0 , u ) = 0 y ′ = f ( t , y ) y'=f(t,y) y ′ = f ( t , y ) y ( 0 ) = 1 y(0)=1 y ( 0 ) = 1 R = [ − 1 , 1 ] × [ 0 , 2 ] R=[-1,1]\times[0,2] R = [ − 1 , 1 ] × [ 0 , 2 ] t ↦ f ( t , u ) t\mapsto f(t,u) t ↦ f ( t , u ) N = { 0 } N=\{0\} N = { 0 } t t t u ↦ f ( t , u ) u\mapsto f(t,u) u ↦ f ( t , u ) t ∉ N t\notin N t ∈ / N u , v ∈ [ 0 , 2 ] u,v\in[0,2] u , v ∈ [ 0 , 2 ]
∣ f ( t , u ) ∣ ≤ 2 ∣ t ∣ − 1 / 2 , ∣ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∣ ≤ ∣ t ∣ − 1 / 2 ∣ u − v ∣ |f(t,u)|\leq2|t|^{-1/2},\qquad |f(t,u)-f(t,v)|\leq|t|^{-1/2}|u-v| ∣ f ( t , u ) ∣ ≤ 2∣ t ∣ − 1/2 , ∣ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∣ ≤ ∣ t ∣ − 1/2 ∣ u − v ∣ が成り立つ。従ってm ( t ) = 2 ∣ t ∣ − 1 / 2 m(t)=2|t|^{-1/2} m ( t ) = 2∣ t ∣ − 1/2 ℓ ( t ) = ∣ t ∣ − 1 / 2 \ell(t)=|t|^{-1/2} ℓ ( t ) = ∣ t ∣ − 1/2 L 1 ( [ − 1 , 1 ] ) L^1([-1,1]) L 1 ([ − 1 , 1 ]) sup u ∈ [ 0 , 2 ] ∣ f ( t , u ) ∣ = 2 ∣ t ∣ − 1 / 2 \sup_{u\in[0,2]}|f(t,u)|=2|t|^{-1/2} sup u ∈ [ 0 , 2 ] ∣ f ( t , u ) ∣ = 2∣ t ∣ − 1/2 t → 0 t\to0 t → 0 R R R u ≠ 0 u\neq0 u = 0 f f f ( 0 , u ) (0,u) ( 0 , u ) b = 1 b=1 b = 1 h = 1 / 16 h=1/16 h = 1/16
∫ − h 0 m ( t ) d t = ∫ 0 h m ( t ) d t = 4 h = 1 ≤ b \int_{-h}^0m(t)\,dt=\int_0^hm(t)\,dt=4\sqrt h=1\leq b ∫ − h 0 m ( t ) d t = ∫ 0 h m ( t ) d t = 4 h = 1 ≤ b となる。定理 3.5 (1) により、[ − 1 / 16 , 1 / 16 ] [-1/16,1/16] [ − 1/16 , 1/16 ] [ 0 , 2 ] [0,2] [ 0 , 2 ]
実際、φ ( t ) = ∫ 0 t ∣ s ∣ − 1 / 2 d s \varphi(t)=\int_0^t|s|^{-1/2}\,ds φ ( t ) = ∫ 0 t ∣ s ∣ − 1/2 d s t ≥ 0 t\geq0 t ≥ 0 φ ( t ) = 2 t \varphi(t)=2\sqrt t φ ( t ) = 2 t t ≤ 0 t\leq0 t ≤ 0 φ ( t ) = − 2 − t \varphi(t)=-2\sqrt{-t} φ ( t ) = − 2 − t s ↦ ∣ s ∣ − 1 / 2 s\mapsto|s|^{-1/2} s ↦ ∣ s ∣ − 1/2 R \R R §E13.2 系 2.6 によりφ \varphi φ R \R R φ ′ ( t ) = ∣ t ∣ − 1 / 2 \varphi'(t)=|t|^{-1/2} φ ′ ( t ) = ∣ t ∣ − 1/2 §E13.2 定理 3.1 (1) をΦ ( x ) = e x \Phi(x)=e^x Φ ( x ) = e x y = e φ y=e^{\varphi} y = e φ R \R R y ′ ( t ) = ∣ t ∣ − 1 / 2 y ( t ) = f ( t , y ( t ) ) y'(t)=|t|^{-1/2}y(t)=f(t,y(t)) y ′ ( t ) = ∣ t ∣ − 1/2 y ( t ) = f ( t , y ( t )) y ( 0 ) = 1 y(0)=1 y ( 0 ) = 1 y y y R \R R ∣ t ∣ ≤ 1 / 16 |t|\leq1/16 ∣ t ∣ ≤ 1/16 ∣ φ ( t ) ∣ ≤ 1 / 2 |\varphi(t)|\leq1/2 ∣ φ ( t ) ∣ ≤ 1/2 y ( t ) ∈ [ e − 1 / 2 , e 1 / 2 ] ⊆ [ 0 , 2 ] y(t)\in[e^{-1/2},e^{1/2}]\subseteq[0,2] y ( t ) ∈ [ e − 1/2 , e 1/2 ] ⊆ [ 0 , 2 ] t > 0 t>0 t > 0 e x − 1 ≥ x e^x-1\geq x e x − 1 ≥ x
y ( t ) − y ( 0 ) t ≥ 2 t t = 2 t \frac{y(t)-y(0)}{t}\geq\frac{2\sqrt t}{t}=\frac2{\sqrt t} t y ( t ) − y ( 0 ) ≥ t 2 t = t 2 であり、右辺はt ↓ 0 t\downarrow0 t ↓ 0 y y y 補題 1.3 によりそれは絶対連続な局所解であり、定理 3.5 (3) により原点を含むある開区間上でy y y y y y
支配関数が可積分であるという仮定は外すことができない。t ≠ 0 t\neq0 t = 0 f ( t , u ) = 1 / t f(t,u)=1/t f ( t , u ) = 1/ t t = 0 t=0 t = 0 f ( 0 , u ) = 0 f(0,u)=0 f ( 0 , u ) = 0 y ′ = f ( t , y ) y'=f(t,y) y ′ = f ( t , y ) y ( 0 ) = 0 y(0)=0 y ( 0 ) = 0 f f f t ↦ f ( t , u ) t\mapsto f(t,u) t ↦ f ( t , u ) ℓ = 0 \ell=0 ℓ = 0 ∣ f ( t , u ) ∣ = 1 / ∣ t ∣ |f(t,u)|=1/|t| ∣ f ( t , u ) ∣ = 1/∣ t ∣ 0 0 0 0 0 0 y y y I I I I I I β > 0 \beta>0 β > 0 [ 0 , β ] [0,\beta] [ 0 , β ] β > 0 \beta>0 β > 0 [ − β , 0 ] [-\beta,0] [ − β , 0 ] §E13.2 系 2.6 によりy ′ y' y ′ [ 0 , β ] [0,\beta] [ 0 , β ] ( 0 , β ) (0,\beta) ( 0 , β ) y ′ ( t ) = 1 / t y'(t)=1/t y ′ ( t ) = 1/ t 0 < ε < β 0<\varepsilon<\beta 0 < ε < β ε \varepsilon ε
∫ [ 0 , β ] ∣ y ′ ( t ) ∣ d t ≥ ∫ ε β d t t = log β ε \int_{[0,\beta]}|y'(t)|\,dt\geq\int_\varepsilon^\beta\frac{dt}{t}=\log\frac\beta\varepsilon ∫ [ 0 , β ] ∣ y ′ ( t ) ∣ d t ≥ ∫ ε β t d t = log ε β であり、ε ↓ 0 \varepsilon\downarrow0 ε ↓ 0 y ′ y' y ′ ∣ y ′ ( t ) ∣ = 1 / ∣ t ∣ |y'(t)|=1/|t| ∣ y ′ ( t ) ∣ = 1/∣ t ∣
例 5.3. 実数値初期値問題
y ′ = ∣ y ∣ , y ( 0 ) = 0 y'=\sqrt{|y|},\qquad y(0)=0 y ′ = ∣ y ∣ , y ( 0 ) = 0 を考える。このとき、零関数y ≡ 0 y\equiv0 y ≡ 0 c ≥ 0 c\ge0 c ≥ 0
y c ( t ) = { 0 , t ≤ c , ( t − c ) 2 4 , t ≥ c ( t ∈ R ) y_c(t)=
\begin{cases}
0,&t\le c,\\[1mm]
\dfrac{(t-c)^2}{4},&t\ge c
\end{cases}
\qquad(t\in\R) y c ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 , 4 ( t − c ) 2 , t ≤ c , t ≥ c ( t ∈ R ) と定める。y c y_c y c y c ( 0 ) = 0 y_c(0)=0 y c ( 0 ) = 0 y c y_c y c t > c t>c t > c c = 0 c=0 c = 0 y c y_c y c ∣ y ∣ \sqrt{|y|} ∣ y ∣ y = 0 y=0 y = 0 問題 6.3 ）。
6 演習 問題 6.1 (具体的な矩形による Picard の適用). 初期値問題
y ′ = t + y 2 , y ( 0 ) = 0 y'=t+y^2,\qquad y(0)=0 y ′ = t + y 2 , y ( 0 ) = 0 を考える。Ω = R 2 \Omega=\R^2 Ω = R 2 R = [ − 1 , 1 ] 2 R=[-1,1]^2 R = [ − 1 , 1 ] 2 M = max R ∣ t + y 2 ∣ = 2 M=\max_R|t+y^2|=2 M = max R ∣ t + y 2 ∣ = 2 L = 2 L=2 L = 2 系 4.4 を適用して解の存在を示すことができる区間[ − h , h ] [-h,h] [ − h , h ] h h h 0 < h ≤ 1 / 2 0<h\leq1/2 0 < h ≤ 1/2 X h = { y ∈ C ( [ − h , h ] ; R ) : ∣ y ( t ) ∣ ≤ 1 がすべての t ∈ [ − h , h ] で成り立つ } X_h=\{y\in C([-h,h];\R):|y(t)|\leq1\ \text{がすべての }t\in[-h,h]\text{ で成り立つ}\} X h = { y ∈ C ([ − h , h ] ; R ) : ∣ y ( t ) ∣ ≤ 1 がすべての t ∈ [ − h , h ] で成り立つ } ( T y ) ( t ) = ∫ 0 t ( s + y ( s ) 2 ) d s (Ty)(t)=\int_0^t(s+y(s)^2)\,ds ( T y ) ( t ) = ∫ 0 t ( s + y ( s ) 2 ) d s T T T X h X_h X h X h X_h X h h < 1 / 2 h<1/2 h < 1/2 T T T 2 h 2h 2 h h = 1 / 2 h=1/2 h = 1/2 T T T q < 1 q<1 q < 1
解答. f ( t , y ) = t + y 2 f(t,y)=t+y^2 f ( t , y ) = t + y 2 ( t , y ) ∈ [ − 1 , 1 ] 2 (t,y)\in[-1,1]^2 ( t , y ) ∈ [ − 1 , 1 ] 2
∣ f ( t , y ) ∣ ≤ ∣ t ∣ + ∣ y ∣ 2 ≤ 2 |f(t,y)|\le |t|+|y|^2\le2 ∣ f ( t , y ) ∣ ≤ ∣ t ∣ + ∣ y ∣ 2 ≤ 2 であり、f ( 1 , 1 ) = 2 f(1,1)=2 f ( 1 , 1 ) = 2 M = 2 M=2 M = 2 t ∈ [ − 1 , 1 ] t\in[-1,1] t ∈ [ − 1 , 1 ] u , v ∈ [ − 1 , 1 ] u,v\in[-1,1] u , v ∈ [ − 1 , 1 ]
∣ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∣ = ∣ u 2 − v 2 ∣ = ∣ u + v ∣ ∣ u − v ∣ ≤ 2 ∣ u − v ∣ |f(t,u)-f(t,v)|=|u^2-v^2|=|u+v||u-v|\le2|u-v| ∣ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∣ = ∣ u 2 − v 2 ∣ = ∣ u + v ∣∣ u − v ∣ ≤ 2∣ u − v ∣ であるから、L = 2 L=2 L = 2 系 4.4 の条件は0 < h ≤ a = 1 0<h\leq a=1 0 < h ≤ a = 1 M h = 2 h ≤ b = 1 Mh=2h\leq b=1 M h = 2 h ≤ b = 1 h h h 1 / 2 1/2 1/2 [ − 1 / 2 , 1 / 2 ] [-1/2,1/2] [ − 1/2 , 1/2 ] ∣ y ∣ ≤ 1 |y|\leq1 ∣ y ∣ ≤ 1
0 < h ≤ 1 / 2 0<h\leq1/2 0 < h ≤ 1/2 系 3.3 により、X h X_h X h y ∈ X h y\in X_h y ∈ X h t ∈ [ − h , h ] t\in[-h,h] t ∈ [ − h , h ]
∣ ( T y ) ( t ) ∣ ≤ M ∣ t ∣ ≤ M h ≤ 1 |(Ty)(t)|\le M|t|\le Mh\le1 ∣ ( T y ) ( t ) ∣ ≤ M ∣ t ∣ ≤ M h ≤ 1 であり、T y Ty T y T ( X h ) ⊆ X h T(X_h)\subseteq X_h T ( X h ) ⊆ X h y , z ∈ X h y,z\in X_h y , z ∈ X h t ∈ [ − h , h ] t\in[-h,h] t ∈ [ − h , h ]
∣ ( T y ) ( t ) − ( T z ) ( t ) ∣ ≤ ∣ ∫ 0 t ∣ y ( s ) + z ( s ) ∣ ∣ y ( s ) − z ( s ) ∣ d s ∣ ≤ 2 ∣ t ∣ ∥ y − z ∥ ∞ |(Ty)(t)-(Tz)(t)|\leq\left|\int_0^t|y(s)+z(s)||y(s)-z(s)|\,ds\right|\leq2|t|\,\lVert y-z\rVert_\infty ∣ ( T y ) ( t ) − ( T z ) ( t ) ∣ ≤ ∫ 0 t ∣ y ( s ) + z ( s ) ∣∣ y ( s ) − z ( s ) ∣ d s ≤ 2∣ t ∣ ∥ y − z ∥ ∞ であるから、∥ T y − T z ∥ ∞ ≤ 2 h ∥ y − z ∥ ∞ \lVert Ty-Tz\rVert_\infty\leq2h\lVert y-z\rVert_\infty ∥ T y − T z ∥ ∞ ≤ 2 h ∥ y − z ∥ ∞ h < 1 / 2 h<1/2 h < 1/2 2 h < 1 2h<1 2 h < 1 T T T 2 h 2h 2 h
h = 1 / 2 h=1/2 h = 1/2 0 < ε < 1 0<\varepsilon<1 0 < ε < 1 y ≡ 1 y\equiv1 y ≡ 1 z ≡ 1 − ε z\equiv1-\varepsilon z ≡ 1 − ε y , z ∈ X 1 / 2 y,z\in X_{1/2} y , z ∈ X 1/2 ∥ y − z ∥ ∞ = ε \lVert y-z\rVert_\infty=\varepsilon ∥ y − z ∥ ∞ = ε
( T y ) ( 1 / 2 ) − ( T z ) ( 1 / 2 ) = ∫ 0 1 / 2 ( 1 − ( 1 − ε ) 2 ) d s = ε − ε 2 2 (Ty)(1/2)-(Tz)(1/2)=\int_0^{1/2}\bigl(1-(1-\varepsilon)^2\bigr)\,ds=\varepsilon-\frac{\varepsilon^2}{2} ( T y ) ( 1/2 ) − ( T z ) ( 1/2 ) = ∫ 0 1/2 ( 1 − ( 1 − ε ) 2 ) d s = ε − 2 ε 2 であるから、∥ T y − T z ∥ ∞ ≥ ( 1 − ε / 2 ) ∥ y − z ∥ ∞ \lVert Ty-Tz\rVert_\infty\geq(1-\varepsilon/2)\lVert y-z\rVert_\infty ∥ T y − T z ∥ ∞ ≥ ( 1 − ε /2 ) ∥ y − z ∥ ∞ T T T q < 1 q<1 q < 1 q q q 0 < ε < 1 0<\varepsilon<1 0 < ε < 1 1 − ε / 2 ≤ q 1-\varepsilon/2\leq q 1 − ε /2 ≤ q ε → 0 \varepsilon\to0 ε → 0 1 ≤ q 1\leq q 1 ≤ q q < 1 q<1 q < 1 h = 1 / 2 h=1/2 h = 1/2 T T T [ − 1 / 2 , 1 / 2 ] [-1/2,1/2] [ − 1/2 , 1/2 ] 補題 3.4 の指数重み付き距離についての縮小による。▨
問題 6.2 (縮小条件を課さない Picard 反復の収束). d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ ( t 0 , y 0 ) ∈ R × R d (t_0,\boldsymbol y_0)\in\R\times\R^d ( t 0 , y 0 ) ∈ R × R d a , b > 0 a,b>0 a , b > 0 R = [ t 0 − a , t 0 + a ] × { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } R=[t_0-a,t_0+a]\times\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol y_0\|\le b\} R = [ t 0 − a , t 0 + a ] × { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } f : R → R d f:R\to\R^d f : R → R d M , L ≥ 0 M,L\ge0 M , L ≥ 0 ∥ f ∥ ≤ M \|f\|\le M ∥ f ∥ ≤ M ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L ∥ u − v ∥ \|f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\|\le L\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\| ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L ∥ u − v ∥ R R R 0 < h ≤ a 0<h\le a 0 < h ≤ a M h ≤ b Mh\le b M h ≤ b L h < 1 Lh<1 L h < 1 I h = [ t 0 − h , t 0 + h ] I_h=[t_0-h,t_0+h] I h = [ t 0 − h , t 0 + h ] φ 0 ≡ y 0 \boldsymbol\varphi_0\equiv\boldsymbol y_0 φ 0 ≡ y 0 φ n + 1 ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , φ n ( s ) ) d s \boldsymbol\varphi_{n+1}(t)=\boldsymbol y_0+\int_{t_0}^{t}f(s,\boldsymbol\varphi_n(s))\,ds φ n + 1 ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , φ n ( s )) d s φ n \boldsymbol\varphi_n φ n ( t , φ n ( t ) ) ∈ R (t,\boldsymbol\varphi_n(t))\in R ( t , φ n ( t )) ∈ R t ∈ I h t\in I_h t ∈ I h
∥ φ n + 1 ( t ) − φ n ( t ) ∥ ≤ M L n ∣ t − t 0 ∣ n + 1 ( n + 1 ) ! \|\boldsymbol\varphi_{n+1}(t)-\boldsymbol\varphi_n(t)\|\le\frac{ML^{n}|t-t_0|^{n+1}}{(n+1)!} ∥ φ n + 1 ( t ) − φ n ( t ) ∥ ≤ ( n + 1 )! M L n ∣ t − t 0 ∣ n + 1 が成り立つこと、( φ n ) (\boldsymbol\varphi_n) ( φ n ) I h I_h I h y ′ = f ( t , y ) \boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y) y ′ = f ( t , y ) y ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0 y ( t 0 ) = y 0 I h I_h I h d = 1 d=1 d = 1 f ( t , u ) = u f(t,u)=u f ( t , u ) = u t 0 = 0 t_0=0 t 0 = 0 y 0 = 1 y_0=1 y 0 = 1 φ n ( t ) = ∑ k = 0 n t k / k ! \varphi_n(t)=\sum_{k=0}^{n}t^{k}/k! φ n ( t ) = ∑ k = 0 n t k / k ! h > 0 h>0 h > 0 φ n \varphi_n φ n [ − h , h ] [-h,h] [ − h , h ] e t e^{t} e t
解答. φ 0 \boldsymbol\varphi_0 φ 0 I h I_h I h ( t , φ 0 ( t ) ) ∈ R (t,\boldsymbol\varphi_0(t))\in R ( t , φ 0 ( t )) ∈ R φ n \boldsymbol\varphi_n φ n I h I_h I h ( t , φ n ( t ) ) ∈ R (t,\boldsymbol\varphi_n(t))\in R ( t , φ n ( t )) ∈ R s ↦ f ( s , φ n ( s ) ) s\mapsto f(s,\boldsymbol\varphi_n(s)) s ↦ f ( s , φ n ( s )) I h I_h I h φ n + 1 \boldsymbol\varphi_{n+1} φ n + 1 系 3.1 により∥ φ n + 1 ( t ) − y 0 ∥ ≤ M ∣ t − t 0 ∣ ≤ M h ≤ b \|\boldsymbol\varphi_{n+1}(t)-\boldsymbol y_0\|\le M|t-t_0|\le Mh\le b ∥ φ n + 1 ( t ) − y 0 ∥ ≤ M ∣ t − t 0 ∣ ≤ M h ≤ b ( t , φ n + 1 ( t ) ) ∈ R (t,\boldsymbol\varphi_{n+1}(t))\in R ( t , φ n + 1 ( t )) ∈ R n n n
n = 0 n=0 n = 0 ∥ φ 1 ( t ) − φ 0 ( t ) ∥ ≤ M ∣ t − t 0 ∣ \|\boldsymbol\varphi_1(t)-\boldsymbol\varphi_0(t)\|\le M|t-t_0| ∥ φ 1 ( t ) − φ 0 ( t ) ∥ ≤ M ∣ t − t 0 ∣ n n n 系 3.1 により
∥ φ n + 2 ( t ) − φ n + 1 ( t ) ∥ ≤ ∣ ∫ t 0 t L M L n ∣ s − t 0 ∣ n + 1 ( n + 1 ) ! d s ∣ = M L n + 1 ∣ t − t 0 ∣ n + 2 ( n + 2 ) ! \|\boldsymbol\varphi_{n+2}(t)-\boldsymbol\varphi_{n+1}(t)\|\le\Bigl|\int_{t_0}^{t}L\,\frac{ML^{n}|s-t_0|^{n+1}}{(n+1)!}\,ds\Bigr|=\frac{ML^{n+1}|t-t_0|^{n+2}}{(n+2)!} ∥ φ n + 2 ( t ) − φ n + 1 ( t ) ∥ ≤ ∫ t 0 t L ( n + 1 )! M L n ∣ s − t 0 ∣ n + 1 d s = ( n + 2 )! M L n + 1 ∣ t − t 0 ∣ n + 2 である。帰納法により、すべてのn n n
したがってsup I h ∥ φ n + 1 − φ n ∥ ≤ M L n h n + 1 / ( n + 1 ) ! \sup_{I_h}\|\boldsymbol\varphi_{n+1}-\boldsymbol\varphi_n\|\le ML^{n}h^{n+1}/(n+1)! sup I h ∥ φ n + 1 − φ n ∥ ≤ M L n h n + 1 / ( n + 1 )! m > n m>n m > n sup I h ∥ φ m − φ n ∥ ≤ ∑ k ≥ n M L k h k + 1 / ( k + 1 ) ! → 0 \sup_{I_h}\|\boldsymbol\varphi_m-\boldsymbol\varphi_n\|\le\sum_{k\ge n}ML^{k}h^{k+1}/(k+1)!\to0 sup I h ∥ φ m − φ n ∥ ≤ ∑ k ≥ n M L k h k + 1 / ( k + 1 )! → 0 t t t ( φ n ( t ) ) (\boldsymbol\varphi_n(t)) ( φ n ( t )) R d \R^d R d φ ( t ) \boldsymbol\varphi(t) φ ( t ) I h I_h I h φ \boldsymbol\varphi φ ( t , φ ( t ) ) ∈ R (t,\boldsymbol\varphi(t))\in R ( t , φ ( t )) ∈ R
∥ ∫ t 0 t ( f ( s , φ n ( s ) ) − f ( s , φ ( s ) ) ) d s ∥ ≤ L h sup I h ∥ φ n − φ ∥ → 0 \Bigl\|\int_{t_0}^{t}\bigl(f(s,\boldsymbol\varphi_n(s))-f(s,\boldsymbol\varphi(s))\bigr)ds\Bigr\|\le Lh\sup_{I_h}\|\boldsymbol\varphi_n-\boldsymbol\varphi\|\to0 ∫ t 0 t ( f ( s , φ n ( s )) − f ( s , φ ( s )) ) d s ≤ L h I h sup ∥ φ n − φ ∥ → 0 であるから、定義式でn → ∞ n\to\infty n → ∞ φ ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , φ ( s ) ) d s \boldsymbol\varphi(t)=\boldsymbol y_0+\int_{t_0}^{t}f(s,\boldsymbol\varphi(s))\,ds φ ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , φ ( s )) d s s ↦ f ( s , φ ( s ) ) s\mapsto f(s,\boldsymbol\varphi(s)) s ↦ f ( s , φ ( s )) I h I_h I h §D1.19 定理 1.1 を各成分に適用すると、φ \boldsymbol\varphi φ I h I_h I h φ ′ ( t ) = f ( t , φ ( t ) ) \boldsymbol\varphi'(t)=f(t,\boldsymbol\varphi(t)) φ ′ ( t ) = f ( t , φ ( t )) φ ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol\varphi(t_0)=\boldsymbol y_0 φ ( t 0 ) = y 0 φ \boldsymbol\varphi φ I h I_h I h
f ( t , u ) = u f(t,u)=u f ( t , u ) = u y 0 = 1 y_0=1 y 0 = 1 φ 0 = 1 \varphi_0=1 φ 0 = 1 φ n ( t ) = ∑ k = 0 n t k / k ! \varphi_n(t)=\sum_{k=0}^{n}t^{k}/k! φ n ( t ) = ∑ k = 0 n t k / k ! φ n + 1 ( t ) = 1 + ∫ 0 t ∑ k = 0 n s k / k ! d s = 1 + ∑ k = 0 n t k + 1 / ( k + 1 ) ! = ∑ k = 0 n + 1 t k / k ! \varphi_{n+1}(t)=1+\int_0^t\sum_{k=0}^{n}s^{k}/k!\,ds=1+\sum_{k=0}^{n}t^{k+1}/(k+1)!=\sum_{k=0}^{n+1}t^{k}/k! φ n + 1 ( t ) = 1 + ∫ 0 t ∑ k = 0 n s k / k ! d s = 1 + ∑ k = 0 n t k + 1 / ( k + 1 )! = ∑ k = 0 n + 1 t k / k ! h > 0 h>0 h > 0 t ∈ [ − h , h ] t\in[-h,h] t ∈ [ − h , h ] §D1.24 定義 1.1 により∣ e t − φ n ( t ) ∣ ≤ ∑ k > n h k / k ! |e^{t}-\varphi_n(t)|\le\sum_{k>n}h^{k}/k! ∣ e t − φ n ( t ) ∣ ≤ ∑ k > n h k / k ! t t t n → ∞ n\to\infty n → ∞ 0 0 0 f f f L = 1 L=1 L = 1 h ≥ 1 h\ge1 h ≥ 1 L h < 1 Lh<1 L h < 1 [ − h , h ] [-h,h] [ − h , h ] ▨
問題 6.3 (Lipschitz 条件を外した場合の反例). 例 5.3 のうち、解であることと右辺の非 Lipschitz 性を証明せよ。
解答. y ≡ 0 y\equiv0 y ≡ 0 y ′ = 0 = ∣ y ∣ y'=0=\sqrt{|y|} y ′ = 0 = ∣ y ∣ y ( 0 ) = 0 y(0)=0 y ( 0 ) = 0
t < c t<c t < c y c ′ = 0 = ∣ y c ∣ y_c'=0=\sqrt{|y_c|} y c ′ = 0 = ∣ y c ∣ t > c t>c t > c
y c ′ ( t ) = t − c 2 = ( t − c ) 2 4 = ∣ y c ( t ) ∣ y_c'(t)=\frac{t-c}{2}
=\sqrt{\frac{(t-c)^2}{4}}
=\sqrt{|y_c(t)|} y c ′ ( t ) = 2 t − c = 4 ( t − c ) 2 = ∣ y c ( t ) ∣ である。t = c t=c t = c y c y_c y c c ≥ 0 c\ge0 c ≥ 0 y c ( 0 ) = 0 y_c(0)=0 y c ( 0 ) = 0 t > c t>c t > c y c ( t ) > 0 y_c(t)>0 y c ( t ) > 0 y c y_c y c
a , b > 0 a,b>0 a , b > 0 L ≥ 0 L\ge0 L ≥ 0 [ − a , a ] × [ − b , b ] [-a,a]\times[-b,b] [ − a , a ] × [ − b , b ] 0 < y ≤ b 0<y\le b 0 < y ≤ b
1 y = ∣ y − 0 ∣ ∣ y − 0 ∣ ≤ L \frac1{\sqrt y}=\frac{|\sqrt y-\sqrt0|}{|y-0|}\le L y 1 = ∣ y − 0∣ ∣ y − 0 ∣ ≤ L となるが、左辺はy ↓ 0 y\downarrow0 y ↓ 0 y ≤ min { b , 1 / ( L + 1 ) 2 } y\leq\min\{b,1/(L+1)^2\} y ≤ min { b , 1/ ( L + 1 ) 2 } 1 / y ≥ L + 1 > L 1/\sqrt y\geq L+1>L 1/ y ≥ L + 1 > L y = 0 y=0 y = 0 系 4.4 の仮定が成り立たない。したがって、状態変数に関する局所 Lipschitz 条件を外すと、同じ初期値に対する一意性が失われ得る。▨