§E14.26可算型群

最終更新

距離化可能な Hausdorff 位相群では、各点の近傍を可算個の近傍によって記述することができる。一方、コンパクト Hausdorff 位相群には、第一可算でないものもある。可算型という位相空間の性質は、点の近傍の代わりにコンパクト集合の近傍を用いることによって、これら二つの群のクラスをともに含む条件を与える。

本記事では、コンパクト部分群による商の距離化可能性によって可算型群を定義し、この条件が位相空間として可算型であることや、コンパクト化の剰余の性質と同値であることを示す。さらに、位相群の任意のコンパクト化の剰余が Lindelöf であるか擬コンパクトであるかの少なくとも一方であるという Arhangel'skiĭ の二分法を導く。

1 定義

定理 1.1.GGを Hausdorff 位相群、KKをGGのコンパクト部分群とし、q ⁣:G→G/Kq\colon G\to G/Kを商写像とする。G/KG/Kを§E14.1 系 4.3 (4)によりGGの左等質空間とみなす。このとき、次の条件は同値である。

  1. KKはGGにおいて可算近傍基をもつ。
  2. G/KG/Kの左一様構造は高々可算な近縁基をもつ。
  3. G/KG/Kは第一可算である。
  4. G/KG/Kは距離化可能である。

証明.GGは Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4によりKKはGGの閉集合であり、§E14.1 系 4.3 (2)によりG/KG/Kは Hausdorff 空間である。g∈Gg\in Gについてg⋅eK=q(g)g\cdot eK=q(g)であるから、eKeKの安定化群はKKであり、写像g↦g⋅eKg\mapsto g\cdot eKはqqに等しい。§E14.1 系 4.3 (1)によりqqは開写像であり、§E14.3 系 2.8により、eKeKについて§E14.3 命題 2.2 条件 (b)が成り立ち、H=KH=Kについて§E14.3 系 2.9 (4-3)が成り立つ。§E14.3 系 2.9 (4)により、G/KG/Kの左一様構造は商位相と両立する。

(1)⇒\Rightarrow(3)を示す。(On)n∈N≥1(O_n)_{n\in\NN}をKKの可算近傍基とする。NNを点eKeKの近傍とすると、qqは連続でありq(K)={eK}q(K)=\{eK\}であるから、q−1(N)q^{-1}(N)はKKの近傍である。したがってOn⊆q−1(N)O_n\subseteq q^{-1}(N)を満たすnnが存在し、q(On)⊆Nq(O_n)\subseteq Nである。qqは開写像であるから、各q(On)q(O_n)はeKeKの近傍である。ゆえに(q(On))n∈N≥1(q(O_n))_{n\in\NN}はeKeKの可算近傍基である。g∈Gg\in Gについて、写像aK↦gaKaK\mapsto gaKは§E14.1 系 4.3 (4)により連続であり、逆写像aK↦g−1aKaK\mapsto g^{-1}aKも連続であるから、同相写像である。したがって(gq(On))n∈N≥1(gq(O_n))_{n\in\NN}はgKgKの可算近傍基であり、G/KG/Kは第一可算である。

(3)⇒\Rightarrow(2)を示す。§E14.3 系 4.3をp=eKp=eKとして適用すればよい。

(2)⇒\Rightarrow(4)を示す。G/KG/Kは Hausdorff 空間であり、左一様構造は商位相と両立するから、§E2.51 命題 2.8により左一様構造は Hausdorff である。§E2.52 定理 2.3 (3)により、距離一様構造が左一様構造に等しいG/KG/K上の距離ddが存在する。§E2.51 命題 5.2 (2)によりddが定める位相は左一様構造の一様位相、すなわち商位相に等しいから、G/KG/Kは距離化可能である。

(4)⇒\Rightarrow(1)を示す。§E2.13 命題 4.2により点eKeKは可算近傍基をもつから、{eK}\{eK\}はG/KG/Kにおいて可算近傍基をもつコンパクト部分集合である。KKはコンパクトであるから、§E14.1 系 4.3 (3)によりqqは完全写像であり、§E2.20 定義 2.1により固有な閉写像である。§E2.29 補題 2.1 (2)により、q−1({eK})=Kq^{-1}(\{eK\})=KはGGにおいて可算近傍基をもつ。▨

定義 1.2. Hausdorff 位相群GGが 可算型群 (feathered group) であるとは、左剰余類空間G/KG/Kが距離化可能となるコンパクト部分群K⊆GK\subseteq Gが存在することをいう。可算型群はフェザード群とも呼ばれる。

注意 1.3. あとで示す定理 2.3により、この条件はGGが位相空間として可算型であることと同値である。本サイトではこの同値性を重要視し、可算型群という名称を用いる。

定理 1.4. 次が成り立つ。

  1. 可算型群の任意の閉部分群は可算型群である。
  2. 高々可算個の可算型群の直積は、積位相に関して可算型群である。

証明.主張 (1)を示す。GGを可算型群、H⊆GH\subseteq Gを閉部分群とし、G/KG/Kが距離化可能となるコンパクト部分群K⊆GK\subseteq Gをとる。q ⁣:G→G/Kq\colon G\to G/Kを商写像とし、L=H∩KL=H\cap Kと置く。LLはHHのコンパクト部分群である。h,h′∈Hh,h'\in Hについて、q(h)=q(h′)q(h)=q(h')であることはhL=h′LhL=h'Lであることと同値であるから、qqのHHへの制限は単射連続写像H/L→G/KH/L\to G/Kを誘導する。KKはコンパクトであるから、§E14.1 系 4.3 (3)よりqqは完全写像であり、とくに閉写像である。HHはGGの閉集合であるから、この単射連続写像は閉写像である。したがってH/LH/LはG/KG/Kの部分空間に同相であり、距離化可能である。

主張 (2)を示す。自明な群を因子として補うことで、可算型群の列(Gn)n∈N≥1(G_n)_{n\in\NN}の直積G=∏n∈N≥1GnG=\prod_{n\in\NN}G_nを考えれば十分である。各nnについて、Gn/KnG_n/K_nが距離化可能となるコンパクト部分群Kn⊆GnK_n\subseteq G_nをとる。§E2.19 定理 8.2より、K=∏n∈N≥1KnK=\prod_{n\in\NN}K_nはGGのコンパクト部分群である。§E14.1 系 4.3 (1)より商写像qn ⁣:Gn→Gn/Knq_n\colon G_n\to G_n/K_nは連続な開全射であるから、その直積∏n∈N≥1qn ⁣:G→∏n∈N≥1(Gn/Kn)\prod_{n\in\NN}q_n\colon G\to\prod_{n\in\NN}(G_n/K_n)も連続な開全射であり、そのファイバーはKKの左剰余類である。したがって、この写像は同相写像G/K→∏n∈N≥1(Gn/Kn)G/K\to\prod_{n\in\NN}(G_n/K_n)を誘導する。§E2.14 系 3.2より右辺は距離化可能である。▨

系 1.5. 可算型群はパラコンパクトである。（問題 4.1も参照せよ。）

証明.GGを可算型群とし、G/KG/Kが距離化可能となるコンパクト部分群K⊆GK\subseteq Gをとる。§E2.58 定理 5.1よりG/KG/Kはパラコンパクトである。§E14.1 系 4.3 (3)より商写像G→G/KG\to G/Kは完全写像であり、§E2.20 定義 2.1により固有閉写像であるから、§E2.58 定理 2.4よりGGもパラコンパクトである。▨

2 同値条件

補題 2.1.GGを位相群、(Un)n∈N≥0(U_n)_{n\in \N}を可算個の単位元の近傍からなる集合族とする。このとき、H⊆⋂n∈N≥0UnH\subseteq \bigcap_{n\in\N}U_nとなるGδG_{\delta}な閉部分群H⊆GH\subseteq Gが存在する。

証明.e∈Ge\in Gを単位元とする。n∈N≥0n\in \Nに関して帰納的に§E14.1 系 2.2を用いることで、次の条件を満たす開集合族(Vn)n∈N≥0(V_n)_{n\in \N}がとれる：

  1. 任意のn∈N≥0n\in \Nに対して、e∈Vn−1=Vne\in V_n^{-1}=V_nとVn+12⊂Vn∩UnV_{n+1}^2 \subset V_n\cap U_nが成り立つ。

H:=⋂n∈N≥0V‾nH:=\bigcap_{n\in \N}\overline{V}_nと置く。これは単位元を含むGGの閉部分集合である。また、V‾n+1⊂Vn\overline{V}_{n+1}\subset V_nであり、したがってH=⋂n∈N≥0Vn⊆⋂n∈N≥0UnH = \bigcap_{n\in \N}V_n\subseteq \bigcap_{n\in \N}U_nが成り立つ。特に、H⊆GH\subseteq GはGδG_{\delta}部分集合である。さらにVn−1=VnV_n^{-1}=V_nであるからH−1=HH^{-1}=Hであり、またVn+12⊂VnV_{n+1}^2\subset V_nであるからH2⊂HH^2\subset Hである。これはH⊂GH\subset Gが部分群であることを意味する。以上で示された。▨

定理 2.2.GGを局所コンパクトでない Hausdorff 位相群、αG\alpha GをGGの任意のコンパクト化とする。このとき、コンパクト化の剰余αG∖G\alpha G\setminus Gが擬コンパクトであることは、αG∖G\alpha G\setminus GがαG\alpha Gの空でない任意のGδG_{\delta}集合と交わるための必要十分条件である。

証明.§E14.1 命題 1.4の平行移動により、GGのある点がコンパクト近傍を持てば、GGのすべての点がコンパクト近傍を持つ。GGは局所コンパクトでないので、Glc=∅G_{\mathrm{lc}}=\emptysetである（§E2.24 定義 1.3参照）。したがって、§E2.24 補題 1.9より、αG∖G\alpha G\setminus GはαG\alpha Gで稠密である。

αG∖G\alpha G\setminus Gが擬コンパクトであるとする。§E14.3 系 1.3よりGGは T3½ 空間であり、Glc=∅G_{\mathrm{lc}}=\emptysetであるから、§E2.36 問題 7.7より、αG∖G\alpha G\setminus GはαG\alpha Gの空でない任意のGδG_{\delta}集合と交わる。

逆に、αG∖G\alpha G\setminus Gが擬コンパクトでないとする。αG∖G\alpha G\setminus Gと交わらないαG\alpha Gの空でないGδG_{\delta}集合が存在することを示す。

αG∖G\alpha G\setminus Gは擬コンパクトでないため、§E2.36 定義 1.1より、非有界な連続写像f ⁣:αG∖G→Rf\colon \alpha G\setminus G\to\Rが存在する。∣f∣\lvert f\rvertに取り替えることで、f≥0f\geq 0としてよい。各n∈N≥0n\in\Nに対してf−1((n,∞))f^{-1}((n,\infty))はαG∖G\alpha G\setminus Gの空でない開集合なので、αG\alpha Gの開集合UnU_nであって

Un∩(αG∖G)=f−1((n,∞))U_n\cap(\alpha G\setminus G)=f^{-1}((n,\infty))

を満たすものをとる。UnU_nをU0∩⋯∩UnU_0\cap\cdots\cap U_nに取り替えることで、(Un)n∈N≥0(U_n)_{n\in\N}は減少列であるとしてよい。

F=⋂n∈N≥0cl⁡αG(Un)F=\bigcap_{n\in\N}\tpcl[\alpha G]{U_n}と置く。各UnU_nは空でないので、§E2.19 系 3.3より、FFは空でないコンパクト集合である。さらにF⊆GF\subseteq Gである。実際、αG∖G\alpha G\setminus GはαG\alpha Gで稠密でありUnU_nは開集合なので、cl⁡αG(Un)\tpcl[\alpha G]{U_n}はf−1((n,∞))f^{-1}((n,\infty))のαG\alpha Gにおける閉包に等しい。したがって、cl⁡αG(Un)∩(αG∖G)\tpcl[\alpha G]{U_n}\cap(\alpha G\setminus G)はf−1((n,∞))f^{-1}((n,\infty))のαG∖G\alpha G\setminus Gにおける閉包であり、f−1([n,∞))f^{-1}([n,\infty))に含まれる。ゆえにF∩(αG∖G)⊆⋂n∈N≥0f−1([n,∞))=∅F\cap(\alpha G\setminus G)\subseteq\bigcap_{n\in\N}f^{-1}([n,\infty))=\emptysetである。

各n∈N≥0n\in\Nに対してVn=Un∩GV_n=U_n\cap Gと置く。GGはαG\alpha Gで稠密なので、VnV_nはGGの空でない開集合である。Wn=VnVn−1W_n=V_nV_n^{-1}と置くと、Wn=⋃y∈VnVny−1W_n=\bigcup_{y\in V_n}V_ny^{-1}は単位元eeを含むGGの開集合である。また、C=FF−1C=FF^{-1}と置くと、CCは連続写像(x,y)↦xy−1(x,y)\mapsto xy^{-1}によるコンパクト集合F×FF\times Fの像なので、GGのコンパクト部分集合である。

CCを含むαG\alpha Gの任意の開集合OOに対して、あるn∈N≥0n\in\Nが存在してWn⊆OW_n\subseteq Oが成り立つことを示す。写像(x,y)↦xy−1(x,y)\mapsto xy^{-1}の連続性より、αG×αG\alpha G\times\alpha Gの開集合PPであって、P∩(G×G)P\cap(G\times G)がこの写像によるO∩GO\cap Gの逆像に等しいものが存在する。F×F⊆PF\times F\subseteq Pであり、(cl⁡αG(Un)×cl⁡αG(Un))n∈N≥0(\tpcl[\alpha G]{U_n}\times\tpcl[\alpha G]{U_n})_{n\in\N}はコンパクト空間αG×αG\alpha G\times\alpha Gの閉集合の減少列であって、その共通部分はF×FF\times Fである。したがって、§E2.19 補題 3.4より、あるn∈N≥0n\in\Nについてcl⁡αG(Un)×cl⁡αG(Un)⊆P\tpcl[\alpha G]{U_n}\times\tpcl[\alpha G]{U_n}\subseteq Pが成り立つ。このときVn×Vn⊆P∩(G×G)V_n\times V_n\subseteq P\cap(G\times G)であるから、Wn⊆OW_n\subseteq Oである。

各n∈N≥0n\in\Nに対して、αG\alpha Gの開集合Wn′W'_nであってWn′∩G=WnW'_n\cap G=W_nを満たすものをとり、D=⋂n∈N≥0Wn′D=\bigcap_{n\in\N}W'_nと置く。DDはeeを含むαG\alpha GのGδG_{\delta}集合である。D⊆CD\subseteq Cを示す。p∈αG∖Cp\in\alpha G\setminus Cとする。§E2.19 補題 6.1 (1)より、ppの開近傍と交わらずCCを含むαG\alpha Gの開集合OOが存在し、p∉cl⁡αG(O)p\notin\tpcl[\alpha G]{O}が成り立つ。上で示したことより、Wn⊆OW_n\subseteq Oを満たすn∈N≥0n\in\Nが存在する。GGはαG\alpha Gで稠密でありWn′W'_nは開集合なので、Wn′⊆cl⁡αG(Wn′∩G)=cl⁡αG(Wn)⊆cl⁡αG(O)W'_n\subseteq\tpcl[\alpha G]{W'_n\cap G}=\tpcl[\alpha G]{W_n}\subseteq\tpcl[\alpha G]{O}である。よってp∉Wn′p\notin W'_nであり、p∉Dp\notin Dである。以上よりD⊆C⊆GD\subseteq C\subseteq Gであるから、DDはαG∖G\alpha G\setminus Gと交わらないαG\alpha Gの空でないGδG_{\delta}集合である。▨

定理 2.3.GGを T0 位相群、e∈Ge\in Gを単位元とする。このとき、次の条件は同値である。

  1. GGは位相空間として可算型である。
  2. GGは位相空間として点可算型である。
  3. GGのコンパクト部分群であって、可算近傍基を持つものが存在する。
  4. eeを含むコンパクト部分集合であって、可算近傍基を持つものが存在する。
  5. あるGGのコンパクト化αG\alpha GとαG\alpha Gのある空でないGδG_{\delta}部分集合U⊆αGU\subseteq \alpha Gが存在し、U⊆GU\subseteq Gが成り立つ。
  6. GGは可算型群である。すなわち、GGのコンパクト部分群KKであって、剰余類空間G/KG/Kが距離化可能であるものが存在する。
  7. ある距離化可能空間XXと完全写像f ⁣:G→Xf\colon G\to Xが存在する。
  8. GGのあるコンパクト化αG\alpha Gが存在して、αG∖G\alpha G\setminus Gは Lindelöf である。
  9. GGは局所コンパクトであるか、またはあるコンパクト化αG\alpha Gが存在してαG∖G\alpha G\setminus Gは擬コンパクトでない。

特に、主張 (8)と主張 (9)の主張が成立することはコンパクト化αG\alpha Gの取り方に依らない。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)、(2)⇒\Rightarrow(4)、(3)⇒\Rightarrow(4)は定義より明らかであり、(4)⇒\Rightarrow(5)は§E2.29 系 3.3より明らかである。

(5)⇒\Rightarrow(1)を示す。GGのコンパクト化αG\alpha Gと、αG\alpha Gの空でないGδG_{\delta}部分集合U⊆GU\subseteq Gをとり、x∈Ux\in Uをとる。§E2.19 系 6.12よりαG\alpha Gは T3½ 空間であるから、§E2.29 補題 3.1 (1)より、連続写像h ⁣:αG→[0,1]h\colon\alpha G\to[0,1]であってx∈h−1({0})⊆Ux\in h^{-1}(\{0\})\subseteq Uを満たすものが存在する。K′=h−1({0})K'=h^{-1}(\{0\})はαG\alpha GのGδG_{\delta}集合であるコンパクト集合であり、K′⊆GK'\subseteq Gであるから、§E2.29 系 3.3よりGGで可算近傍基を持つ。K=x−1K′K=x^{-1}K'と置くと、§E14.1 命題 1.4より、KKはeeを含むコンパクト部分集合であり、可算近傍基(Vn)n∈N≥0(V_n)_{n\in \N}を持つ。

C⊂GC\subset Gをコンパクト部分集合とする。このとき、C=C⋅e⊂CK⊆GC = C\cdot e\subset CK\subseteq Gである。また、CKCKは乗法G×G→GG\times G\to Gによるコンパクト集合C×KC\times Kの像なのでコンパクトである。さらに(CVn)n∈N≥0(CV_n)_{n\in\N}はCKCKの可算近傍基である。実際、各VnV_nはKKを含む開集合VVを含むので、CVnCV_nは開集合CV=⋃c∈CcVCV=\bigcup_{c\in C}cVを含み、CKCKの近傍である。また、OOをCKCKを含むGGの開集合とすると、G×CG\times Cの開集合{(y,c)∣cy∈O}\{(y,c)\mid cy\in O\}はK×CK\times Cを含むので、§E2.19 命題 5.2より、KKを含むGGの開集合WWであってCW⊆OCW\subseteq Oを満たすものが存在する。Vn⊆WV_n\subseteq Wを満たすn∈N≥0n\in\Nをとると、CVn⊆OCV_n\subseteq Oである。以上よりGGは可算型である。したがって、主張 (1)、主張 (2)、主張 (4)、主張 (5)は同値である。

(4)⇒\Rightarrow(3)を示す。eeを含むコンパクト部分集合K⊆GK\subseteq Gであって、可算近傍基(Un)n∈N≥0(U_n)_{n\in \N}を持つものをとる。補題 2.1より、あるGδG_{\delta}閉部分群H⊆GH\subseteq Gであって、H⊂⋂n∈N≥0Un=KH\subset \bigcap_{n\in\N}U_n = Kとなるものが存在する。ここでKKはコンパクトなので、HHもコンパクトである。GGのコンパクト化αG\alpha Gを一つとる。§E2.29 系 3.3より、KKはαG\alpha GのGδG_{\delta}集合である。また、HHはGGのGδG_{\delta}集合なので、αG\alpha GのGδG_{\delta}集合H′H'であってH′∩G=HH'\cap G=Hを満たすものが存在する。H⊆K⊆GH\subseteq K\subseteq GよりH=H′∩KH=H'\cap Kであるから、HHはαG\alpha GのGδG_{\delta}集合である。したがって、ふたたび§E2.29 系 3.3より、HHはGGで可算近傍基を持つ。以上で(4)⇒\Rightarrow(3)が示され、主張 (1)から主張 (5)までの条件は同値である。

(3)⇔\Leftrightarrow(6)は定理 1.1 (1)⇔\Leftrightarrow(4)そのものである。(6)⇒\Rightarrow(7)は§E14.1 系 4.3 (3)より明らかである。(7)⇒\Rightarrow(1)は§E2.29 補題 1.7 (2)と§E2.29 定理 4.10より明らかである。

(1)⇔\Leftrightarrow(8)は Henriksen-Isbell の定理§E2.29 定理 4.2よりただちに従う。

(8)⇒\Rightarrow(9)を示す。αG\alpha GをαG∖G\alpha G\setminus Gが Lindelöf であるコンパクト化とする。αG∖G\alpha G\setminus Gがコンパクトならば、§E2.24 補題 1.9よりGlc=GG_{\mathrm{lc}}=Gであり、GGは局所コンパクトである。αG∖G\alpha G\setminus Gがコンパクトでないとする。§E2.19 系 6.12、§E2.15 定理 1.11 (2)および§E2.15 系 2.2より、αG∖G\alpha G\setminus Gは T3 かつ Lindelöf であるから、§E2.34 定理 2.1より T3½ かつ実コンパクトである。したがって、§E2.36 定理 2.4よりαG∖G\alpha G\setminus Gは擬コンパクトでない。

(9)⇒\Rightarrow(5)を示す。GGが局所コンパクトであるときは、§E2.29 系 4.5より主張 (1)が成り立つので、主張 (5)も成り立つ。GGが局所コンパクトでないときは、あるコンパクト化αG\alpha GについてαG∖G\alpha G\setminus Gは擬コンパクトでない。定理 2.2より、αG∖G\alpha G\setminus Gと交わらないαG\alpha Gの空でないGδG_{\delta}集合が存在する。この集合はGGに含まれるので、主張 (5)が成り立つ。

最後に、これらの条件が成り立つとき、§E2.29 定理 4.2より任意のコンパクト化の剰余は Lindelöf であるから、(8)⇒\Rightarrow(9)の議論を任意のコンパクト化に適用することができる。したがって、主張 (8)と主張 (9)の主張が成立することはコンパクト化αG\alpha Gの取り方に依らない。▨

注意 2.4. Hausdorff 位相群について、可算型であること、p-空間であること、パラコンパクトな p-空間であることは同値である。p-空間の一般論を必要とするこの同値の証明は省略する。

定理 2.5 (Arhangel'skiĭ の二分法).GGを Hausdorff 位相群、αG\alpha GをGGの任意のコンパクト化とする。このとき、剰余Y=αG∖GY=\alpha G\setminus Gは Lindelöf または擬コンパクトである。とくに、YYが擬コンパクトでないならばGGは可算型群である。

証明.YYが擬コンパクトでないとする。このとき定理 2.3 (9)が成り立つので、定理 2.3よりGGは可算型群であり、位相空間として可算型である。したがって、§E2.29 定理 4.2よりYYは Lindelöf である。▨

系 2.6.GGを Hausdorff 位相群、αG\alpha GをGGのコンパクト化とし、剰余Y=αG∖GY=\alpha G\setminus Gが Dieudonné 完備であるとする。このとき、次が成り立つ。

  1. YYは Lindelöf である。
  2. GGは可算型群である。
  3. GGの任意のコンパクト化の剰余は Lindelöf である。

証明.定理 2.5により、YYは Lindelöf または擬コンパクトである。YYが擬コンパクトである場合には、§E2.19 系 6.12と§E2.15 系 2.2により完全正則であり、仮定により Dieudonné 完備なので、§E2.57 定理 4.2によりコンパクトである。したがって§E2.21 命題 1.2により、この場合にもYYは Lindelöf である。主張 (2)と主張 (3)は定理 2.3と§E2.29 定理 4.2による。▨

3 例

例 3.1. Hausdorff 位相群が距離化可能ならば、自明な部分群による商がもとの群に同相なので、その群は可算型群である。Hausdorff 位相群がコンパクトならば、全体を部分群として取った商は一点空間なので、その群も可算型群である。

非可算集合IIに対して、各因子に離散位相と22を法とする加法を入れた群{0,1}I\{0,1\}^Iは、§E2.19 定理 8.2によりコンパクトなので可算型群である。この群が第一可算でないことは§E2.29 注意 1.8による。

例 3.2. 非可算集合IIに対して、加法群RI\R^Iは積位相に関して Raikov 完備であるが、可算型群ではない。特にRω1\R^{\omega_1}は可算型群ではない。

空でないコンパクト集合C⊆RIC\subseteq\R^Iが可算近傍基をもつと仮定し、§E2.29 補題 1.3により、RI\R^Iの開集合からなるCCの可算近傍基(Un)n∈N≥1(U_n)_{n\in\NN}を取る。各nnについて、UnU_nに含まれる基本開集合によるCCの被覆から有限部分被覆を取る。その和をBnB_n、制限される座標の合併を有限集合FnF_nとすると、C⊆Bn⊆UnC\subseteq B_n\subseteq U_nである。

i∈I∖⋃nFni\in I\setminus\bigcup_nF_nを取る。pr⁡i(C)\pr_i(C)は実数直線のコンパクト部分集合なので、あるM>0M>0についてpr⁡i(C)⊆[−M,M]\pr_i(C)\subseteq[-M,M]である。c∈Cc\in Cのii座標だけをM+2M+2に変えた点は、すべてのBnB_nに属するが、CCの開近傍{x∣∣xi∣<M+1}\{x\mid |x_i|<M+1\}に属さない。したがって、どのUnU_nもこの開近傍に含まれず、矛盾する。ゆえにRI\R^Iには可算近傍基をもつ非空コンパクト集合が存在せず、位相空間として可算型ではない。したがって、定理 2.3により可算型群ではない。

加法群R\Rの両側一様構造は通常の距離の一様構造であり、実数の完備性と§E2.53 命題 3.1 (2)により完備である。RI\R^Iの単位元の基本近傍は有限個の座標を制限して定まるので、その両側一様構造は各因子の一様構造の積に等しい。したがって§E2.53 命題 2.5 (1)によりRI\R^Iは Raikov 完備である。各因子は可算型であるから、この例は可算型群の直積における高々可算性の仮定の必要性も示す。

例 3.3. T3½ 空間XXであって、剰余βX∖X\beta X\setminus Xが Lindelöf でも擬コンパクトでもないものが存在する。

DDを非可算離散空間とする。§E2.36 例 6.1 (2)により、T3½ 空間XXであってβX∖X\beta X\setminus XがDDに同相であるものが存在する。§E2.21 例 1.7 (1)によりDDは Lindelöf でない。また、相異なる点dn∈Dd_n\in Dを選び、u(dn)=nu(d_n)=n、それ以外の点ではu=0u=0と定めると、u ⁣:D→Ru\colon D\to\Rは連続かつ非有界である。したがってDDは擬コンパクトではない。この例により、位相群の剰余の二分法を一般の T3½ 空間へ拡張することはできない。

例 3.4. 実数加法群R\Rの一点コンパクト化における剰余は一点集合なので擬コンパクトである。しかし、R\Rの空でない開区間は、このコンパクト化でも開集合であり、剰余と交わらない。したがって、定理 2.2から非局所コンパクト性の仮定を除くことはできない。

例 3.5. 通常の位相をもつ有理数加法群Q\Qの任意のコンパクト化αQ\alpha\Qにおいて、剰余αQ∖Q\alpha\Q\setminus\Qは Lindelöf であるが、σ-コンパクトではない。

Q\Qは距離化可能なので、§E2.29 系 4.3により任意の剰余は Lindelöf である。また、§E2.28 系 5.2によりQ\Qは Čech 完備でないので、§E2.26 系 2.4によりどの剰余も σ-コンパクトではない。

例 3.6.IIを非可算集合とし、加法群G=RIG=\R^Iに積位相を入れる。このとき、GGの任意のコンパクト化αG\alpha Gの剰余αG∖G\alpha G\setminus Gは擬コンパクトであり、Lindelöf ではない。また、GGは Čech 完備でなく、どの剰余も σ-コンパクトではない。

例 3.2により、GGは位相空間として可算型ではない。したがって§E2.29 定理 4.2により、どの剰余も Lindelöf ではない。定理 2.5により、すべての剰余は擬コンパクトである。

さらに§E2.29 系 4.5により、GGは Čech 完備ではない。§E2.26 系 2.4により、どの剰余も σ-コンパクトではない。

4 演習

問題 4.1. 可算型空間であるがパラコンパクトでない T3½ 空間の例を挙げなさい。特に系 1.5は位相群に特有の現象である。

解答.

[0,ω1)[0, \omega_1)は局所コンパクトなので可算型空間であるがパラコンパクトでない。▨

問題 4.2.GGを可算型群、PPを単位元の近傍とする。このとき、PPに含まれ、GGにおいて可算近傍基を持つコンパクト部分群が存在することを示せ。

解答.

定理 2.3より、単位元を含むコンパクト部分集合K⊆GK\subseteq Gであって、可算近傍基(Un)n∈N≥0(U_n)_{n\in\N}を持つものが存在する。補題 2.1を単位元の近傍の族(Un∩P)n∈N≥0(U_n\cap P)_{n\in\N}に適用すると、GδG_{\delta}閉部分群H⊆K∩PH\subseteq K\cap Pが得られる。定理 2.3の定理 2.3 (4)⇒\Rightarrow(3)の証明は、HHがKKに含まれるGδG_{\delta}閉部分群であることだけを用いる。したがって、HHはGGで可算近傍基を持つコンパクト部分群である。▨

問題 4.3.GGを可算型群、NNをGGの閉正規部分群とする。このとき、商群G/NG/Nは可算型群であることを示せ。

解答.

π ⁣:G→G/N\pi\colon G\to G/Nを商写像とする。§E14.1 系 4.3より、π\piは連続な開全射であり、G/NG/Nは Hausdorff である。定理 2.3より、GGのコンパクト部分群KKであって、可算近傍基を持つものが存在する。§E2.29 補題 1.3より、GGの開集合からなるKKの可算近傍基(On)n∈N≥1(O_n)_{n\in\NN}をとる。

π(K)\pi(K)はG/NG/Nのコンパクト部分群であり、各π(On)\pi(O_n)はπ(K)\pi(K)を含む開集合である。PPをπ(K)\pi(K)を含むG/NG/Nの開集合とすると、π−1(P)\pi^{-1}(P)はKKを含む開集合であるから、On⊆π−1(P)O_n\subseteq\pi^{-1}(P)を満たすnnが存在し、π(On)⊆P\pi(O_n)\subseteq Pである。したがって(π(On))n∈N≥1(\pi(O_n))_{n\in\NN}はπ(K)\pi(K)の可算近傍基であり、定理 2.3よりG/NG/Nは可算型群である。▨

参考文献

  1. Liang-Xue Peng and Ying Liu, On Lindelöf feathered topological groups, Topology and its Applications 285 (2020), 107405.フェザード群の呼称、可算型との同値、およびパラコンパクトな p-空間との関係を参考にした。
  2. A. V. Arhangel'skii, Two types of remainders of topological groups, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 49 (2008), no. 1, 119–126.位相群の剰余の二分法、非擬コンパクトな剰余からの開集合列の構成、および Dieudonné 完備な剰余への系を参考にした。

前提記事

9 本の記事・単元を表示