位相群の一様構造 | 位相群論 I

命題 1.1. $G$ を位相群、 $e$ をその単位元とする。 $e$ の近傍 $U$ に対して

\begin{aligned} L_U&=\{(x,y)\in G\times G\mid x^{-1}y\in U\},& R_U&=\{(x,y)\in G\times G\mid yx^{-1}\in U\},\\ B_U&=L_U\cap R_U,& Q_U&=\{(x,y)\in G\times G\mid y\in UxU\} \end{aligned}

とおく。

集合族 $\{L_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ 、 $\{R_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ 、 $\{B_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ 、 $\{Q_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ をそれぞれ近縁基とする $G$ の近縁系 $\mathcal U_L$ 、 $\mathcal U_R$ 、 $\mathcal U_B$ 、 $\mathcal U_Q$ が存在する。
$\mathcal U_L$ 、 $\mathcal U_R$ 、 $\mathcal U_B$ 、 $\mathcal U_Q$ はいずれも $G$ の位相と両立する。
各 $a\in G$ について、左平行移動 $x\mapsto ax$ と右平行移動 $x\mapsto xa$ は、 $\mathcal U_L$ 、 $\mathcal U_R$ 、 $\mathcal U_B$ 、 $\mathcal U_Q$ のいずれに関しても $G$ からそれ自身への一様同相写像である。また、左平行移動の全体は $(G,\mathcal U_L)$ から $(G,\mathcal U_L)$ への写像の集合として、右平行移動の全体は $(G,\mathcal U_R)$ から $(G,\mathcal U_R)$ への写像の集合として、一様に同程度連続である。
近縁系として比較すると $\mathcal U_Q\subseteq\mathcal U_L\subseteq\mathcal U_B, \qquad \mathcal U_Q\subseteq\mathcal U_R\subseteq\mathcal U_B$ が成り立つ。
逆元をとる写像 $x\mapsto x^{-1}$ は、 $(G,\mathcal U_L)$ から $(G,\mathcal U_R)$ への一様同相写像である。

証明.主張 (1)を示す。 $U,U'$ を $e$ の近傍とする。 $G$ は $e$ の近傍であるから、 $L_U$ の全体は空でない。 $e\in U$ であるから $\Delta_G\subseteq L_U$ であり、 $L_{U\cap U'}=L_U\cap L_{U'}$ である。§E14.1 系 2.2により、 $V=V^{-1}$ かつ $VV\subseteq U$ を満たす単位元の開近傍 $V$ を取る。 $e\in V$ であるから $V\subseteq VV\subseteq U$ であり、 $L_V=L_{V^{-1}}\subseteq L_{U^{-1}}=L_U^{-1}$ である。 $(x,y),(y,z)\in L_V$ ならば $x^{-1}z=(x^{-1}y)(y^{-1}z)\in VV\subseteq U$ であるから、 $L_V\circ L_V\subseteq L_U$ である。§E2.51 命題 1.8により $L_U$ の全体は近縁系 $\mathcal U_L$ の近縁基をなす。 $R_U$ の全体についても同様である。実際、 $R_V=R_{V^{-1}}\subseteq R_{U^{-1}}=R_U^{-1}$ であり、 $(x,y),(y,z)\in R_V$ ならば $zx^{-1}=(zy^{-1})(yx^{-1})\in VV\subseteq U$ である。

二つの恒等写像 $G\to(G,\mathcal U_L)$ と $G\to(G,\mathcal U_R)$ による始一様構造を取る。§E2.51 命題 4.2により、この一様構造は存在し、 $e$ の近傍 $U,U'$ についての $L_U\cap R_{U'}$ の全体を近縁基とする。 $W=U\cap U'$ とすると $B_W\subseteq L_U\cap R_{U'}$ であるから、 $B_U$ の全体も近縁基をなす。

$Q_G=G\times G$ であり、すべての $U$ について $\Delta_G\subseteq Q_U$ である。 $W=U\cap U'$ とすると $Q_W\subseteq Q_U\cap Q_{U'}$ である。上の $V$ について、 $y\in VxV$ ならば $x\in VyV$ であるから、 $Q_V^{-1}=Q_V$ である。また、 $y\in VxV$ かつ $z\in VyV$ ならば

z\in V(VxV)V=(VV)x(VV)\subseteq UxU

であり、 $Q_V\circ Q_V\subseteq Q_U$ である。 $V\subseteq U$ であるから $Q_V\subseteq Q_U$ であり、 $Q_V=Q_V^{-1}\subseteq Q_U^{-1}$ である。§E2.51 命題 1.8により $Q_U$ の全体は近縁系 $\mathcal U_Q$ の近縁基をなす。

主張 (2)を示す。 $x\in G$ について $L_U[x]=xU$ である。§E14.1 命題 1.4により、 $U$ が $e$ の近傍の全体を動くとき、 $xU$ は $x$ の近傍の全体を動く。 $\mathcal U_L$ の各元はある $L_U$ を含むから、§E2.51 命題 2.1により $\mathcal U_L$ の一様位相が定める $x$ の近傍系は $G$ の位相が定める $x$ の近傍系に等しい。§E2.11 補題 6.8により位相は近傍系から定まるから、 $\mathcal U_L$ は $G$ の位相と両立する。 $\mathcal U_R$ についても、 $R_U[x]=Ux$ であるから、同じ議論が成り立つ。

$\mathcal U_B$ の一様位相は、§E2.51 命題 4.2 (3)により二つの恒等写像による始位相であり、両終域の位相は $G$ の位相に一致する。したがって $\mathcal U_B$ は $G$ の位相と両立する。

$x\in G$ を固定する。各 $Q_U[x]=UxU$ は $xU$ を含み、 $xU$ は§E14.1 命題 1.4により $x$ の近傍である。逆に、 $x$ の任意の近傍 $O$ に対して、写像 $(a,b)\mapsto axb$ の $(e,e)$ における連続性により、 $VxV\subseteq O$ を満たす単位元の開近傍 $V$ が存在する。したがって $Q_U[x]$ の全体は $G$ の位相に関する $x$ の近傍基であり、 $\mathcal U_Q$ は $G$ の位相と両立する。

主張 (3)を示す。 $a\in G$ について $\lambda_a(x)=ax$ 、 $\rho_a(x)=xa$ とおく。 $x,y\in G$ について $(ax)^{-1}(ay)=x^{-1}y$ 、 $(ay)(ax)^{-1}=a(yx^{-1})a^{-1}$ 、 $(xa)^{-1}(ya)=a^{-1}(x^{-1}y)a$ 、 $(ya)(xa)^{-1}=yx^{-1}$ であるから、

(\lambda_a\times\lambda_a)^{-1}(L_U)=L_U,\quad(\lambda_a\times\lambda_a)^{-1}(R_U)=R_{a^{-1}Ua},\quad(\rho_a\times\rho_a)^{-1}(L_U)=L_{aUa^{-1}},\quad(\rho_a\times\rho_a)^{-1}(R_U)=R_U

である。また、 $ay\in U(ax)U$ は $y\in(a^{-1}Ua)xU$ と同値であり、 $ya\in U(xa)U$ は $y\in Ux(aUa^{-1})$ と同値であるから、 $W=U\cap a^{-1}Ua$ 、 $W'=U\cap aUa^{-1}$ とおくと $Q_W\subseteq(\lambda_a\times\lambda_a)^{-1}(Q_U)$ 、 $Q_{W'}\subseteq(\rho_a\times\rho_a)^{-1}(Q_U)$ である。§E14.1 命題 1.4により $a^{-1}Ua$ 、 $aUa^{-1}$ 、 $W$ 、 $W'$ は $e$ の近傍である。 $B_U=L_U\cap R_U$ であるから $B_W\subseteq(\lambda_a\times\lambda_a)^{-1}(B_U)$ 、 $B_{W'}\subseteq(\rho_a\times\rho_a)^{-1}(B_U)$ でもある。§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により、これらの逆像はそれぞれの近縁系に属するから、§E2.51 命題 3.4 (2)により $\lambda_a$ と $\rho_a$ は四つの一様構造のいずれに関しても一様連続である。逆写像は $\lambda_{a^{-1}}$ と $\rho_{a^{-1}}$ であり、同じ理由で一様連続であるから、 $\lambda_a$ と $\rho_a$ は一様同相写像である。さらに、 $A\in\mathcal U_L$ に対して $L_U\subseteq A$ を満たす $e$ の近傍 $U$ を取ると、すべての $a\in G$ と $(x,y)\in L_U$ について $(ax,ay)\in L_U\subseteq A$ であるから、§E2.56 定義 1.3の意味で左平行移動の全体は $\mathcal U_L$ について一様に同程度連続である。右平行移動の全体と $\mathcal U_R$ についても、 $(\rho_a\times\rho_a)(R_U)=R_U$ から同様である。

主張 (4)を示す。 $B_U\subseteq L_U\cap R_U$ であり、 $L_U\cup R_U\subseteq Q_U$ である。近縁基の各元についてのこれらの包含から、近縁系の包含を得る。

主張 (5)を示す。 $\iota(x)=x^{-1}$ とおき、 $U$ を $e$ の近傍とする。§E14.1 命題 1.4により $\iota$ は同相写像であり、 $\iota(e)=e$ であるから、 $U^{-1}=\iota^{-1}(U)$ も $e$ の近傍である。 $x,y\in G$ について、 $(x^{-1},y^{-1})\in R_U$ であることは $y^{-1}x\in U$ 、すなわち $x^{-1}y\in U^{-1}$ であることと同値であるから、 $(\iota\times\iota)^{-1}(R_U)=L_{U^{-1}}$ である。同様に、 $(x^{-1},y^{-1})\in L_U$ であることは $yx^{-1}\in U^{-1}$ であることと同値であるから、 $(\iota\times\iota)^{-1}(L_U)=R_{U^{-1}}$ である。§E2.51 命題 3.4 (2)により、 $\iota\colon(G,\mathcal U_L)\to(G,\mathcal U_R)$ と $\iota\colon(G,\mathcal U_R)\to(G,\mathcal U_L)$ はどちらも一様連続である。 $\iota$ は全単射であり、逆写像は $\iota$ 自身であるから、 $\iota$ は $(G,\mathcal U_L)$ から $(G,\mathcal U_R)$ への一様同相写像である。▨

定義 1.2. $G$ を位相群とし、 $\mathcal U_L$ 、 $\mathcal U_R$ 、 $\mathcal U_B$ 、 $\mathcal U_Q$ を命題 1.1 (1)の近縁系とする。

$\mathcal U_L$ を $G$ の左一様構造 (left uniformity) という。
$\mathcal U_R$ を $G$ の右一様構造 (right uniformity) という。
$\mathcal U_B$ を $G$ の両側一様構造 (two-sided uniformity) という。
$\mathcal U_Q$ を $G$ の Roelcke の一様構造 (Roelcke uniformity) という。

系 1.3. $G$ を位相群とする。

$G$ は完全正則である。
$G$ が T0 ならば、 $G$ は T3½ 空間である。

証明.命題 1.1 (2)により $\mathcal U_L$ は $G$ の位相と両立するから、§E2.51 定理 7.2 (1)により $G$ は完全正則である。 $G$ が T0 であるとすると、 $\mathcal U_L$ の一様位相は $G$ の位相に等しく T0 であるから、§E2.51 命題 2.8により $\mathcal U_L$ は Hausdorff である。 $\mathcal U_L$ は $G$ の位相と両立する Hausdorff な一様構造であるから、§E2.51 定理 7.2 (2)により $G$ は T3½ 空間である。▨

系 1.4. 位相群 $G$ がコンパクトならば

\mathcal U_L=\mathcal U_R=\mathcal U_B=\mathcal U_Q

が成り立つ。

証明.命題 1.1 (2)により、四つの一様構造はすべて $G$ の位相と両立する。§E2.51 定理 8.2により、コンパクト空間の位相と両立する一様構造は高々一つであるから、四つは一致する。▨

注意 1.5.系 1.4と異なり、一般の位相群では、四つの一様構造はいずれも $G$ の位相と両立するが、一致するとは限らない。例 5.1の向きを保つアフィン変換群では、右一様構造は左一様構造に含まれず、恒等写像 $(G,\mathcal U_L)\to(G,\mathcal U_R)$ は一様連続でない。

命題 1.6. $G$ を位相群とする。

$H$ を $G$ の部分群とし、 $H$ に相対位相を入れる。このとき、 $H$ の左一様構造、右一様構造、両側一様構造は、それぞれ $G$ の左一様構造、右一様構造、両側一様構造の $H$ への部分一様構造に等しい。
$G$ が位相群の族 $(G_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の直積群であり、積位相を入れているとする。このとき、 $G$ の左一様構造、右一様構造、両側一様構造、Roelcke の一様構造は、それぞれ $G_\lambda$ の左一様構造、右一様構造、両側一様構造、Roelcke の一様構造の族の積一様構造に等しい。

証明.§E14.1 命題 3.1により、 $H$ と直積群は位相群である。

主張 (1)を示す。 $H$ の単位元の近傍は、 $G$ における $e$ の近傍 $U$ によって $U\cap H$ と書ける集合を含む。 $x,y\in H$ について $x^{-1}y\in H$ 、 $yx^{-1}\in H$ であるから、

L^H_{U\cap H}=L_U\cap(H\times H),\qquad R^H_{U\cap H}=R_U\cap(H\times H),\qquad B^H_{U\cap H}=B_U\cap(H\times H)

である。ここで $L^H$ 、 $R^H$ 、 $B^H$ は $H$ について命題 1.1の集合を表す。命題 1.1 (1)と§E2.51 補題 3.2により、両辺の全体はそれぞれ $H$ の左・右・両側一様構造と、 $G$ の左・右・両側一様構造の部分一様構造の近縁基であるから、両者は等しい。

主張 (2)を示す。 $\pi_\lambda\colon G\to G_\lambda$ を射影とする。積位相の定義により、有限集合 $F\subseteq\Lambda$ と、 $\lambda\in F$ についての $G_\lambda$ の単位元の近傍 $U_\lambda$ とで $U=\bigcap_{\lambda\in F}\pi_\lambda^{-1}(U_\lambda)$ と書ける集合の全体は、 $G$ の単位元の近傍基である。このような $U$ について、演算は座標ごとであるから

L_U=\bigcap_{\lambda\in F}(\pi_\lambda\times\pi_\lambda)^{-1}(L_{U_\lambda}),\qquad R_U=\bigcap_{\lambda\in F}(\pi_\lambda\times\pi_\lambda)^{-1}(R_{U_\lambda}),\qquad B_U=\bigcap_{\lambda\in F}(\pi_\lambda\times\pi_\lambda)^{-1}(B_{U_\lambda}),\qquad Q_U=\bigcap_{\lambda\in F}(\pi_\lambda\times\pi_\lambda)^{-1}(Q_{U_\lambda})

である。ここで $Q_U$ の等式は、 $y\in UxU$ であることが、 $\lambda\in F$ について $\pi_\lambda(y)\in U_\lambda\pi_\lambda(x)U_\lambda$ であることと同値であることによる（ $\lambda\notin F$ の座標には条件がない）。命題 1.1 (1)と§E2.51 定義 4.1により、左辺の全体は $G$ の四つの一様構造の近縁基であり、右辺の全体は各因子の対応する一様構造の積一様構造の近縁基であるから、両者は等しい。▨

定義 2.1. $G$ を位相群とする。 $G$ の部分群 $H$ が中立部分群 (neutral subgroup) であるとは、 $e$ の任意の近傍 $U$ に対して、 $HV\subseteq UH$ を満たす $e$ の近傍 $V$ が存在することをいう。

命題 2.2. $G$ を位相群、 $X$ を $G$ の左等質空間とする。 $x\in X$ について、写像 $\omega_x\colon G\to X$ を $\omega_x(g)=gx$ で定める。 $x\in X$ に関する次の条件を考える。

$\omega_x$ は開写像である。
$\Stab[G]{x}$ は $G$ の中立部分群である。

$p\in X$ を一つ取り、 $\omega_p\colon G\to X$ による $\mathcal U_L$ 、 $\mathcal U_R$ 、 $\mathcal U_B$ 、 $\mathcal U_Q$ の商一様構造をそれぞれ $\mathcal F_L$ 、 $\mathcal F_R$ 、 $\mathcal F_B$ 、 $\mathcal F_Q$ とする。このとき、次が成り立つ。

$\mathcal F_L$ 、 $\mathcal F_R$ 、 $\mathcal F_B$ 、 $\mathcal F_Q$ は $p\in X$ の取り方によらない。
近縁系として比較すると
$\mathcal F_Q\subseteq\mathcal F_L\subseteq\mathcal F_B, \qquad \mathcal F_Q\subseteq\mathcal F_R\subseteq\mathcal F_B$
が成り立つ。
$e$ の近傍 $U$ に対して
$\begin{aligned} F_U&=(\omega_p\times\omega_p)(R_U)=\{(gp,ugp)\mid g\in G,\ u\in U\}=\{(x,ux)\mid x\in X,\ u\in U\},\\ T_U&=(\omega_p\times\omega_p)(B_U)=\{(gp,ugp)\mid g\in G,\ u\in U\cap gUg^{-1}\},\\ E_U&=(\omega_p\times\omega_p)(L_U)=\{(gp,gup)\mid g\in G,\ u\in U\},\\ D_U&=(\omega_p\times\omega_p)(Q_U)=\{(gp,ugu'p)\mid g\in G,\ u,u'\in U\} \end{aligned}$
とおく。このとき、
1. $\{F_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $\mathcal F_R$ の近縁基である。
2. 任意の $e$ の近傍 $e\in U$ に対し、ある $e$ の近傍 $e\in V$ が存在して、任意の元 $h\in\Stab[G]{x}$ で $hVh^{-1} = V\subseteq U$ が成り立つとき、 $\{T_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $\mathcal F_B$ の近縁基である。
3. ある $x\in X$ について条件 (b)が成り立つならば、 $\{E_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $\mathcal F_L$ の近縁基である。
4. ある $x\in X$ について条件 (b)が成り立つならば、 $\{D_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $\mathcal F_Q$ の近縁基である。
各 $g\in G$ について、写像 $p\mapsto gp$ は $\mathcal F_L$ 、 $\mathcal F_R$ 、 $\mathcal F_B$ 、 $\mathcal F_Q$ のいずれに関しても $X$ からそれ自身への一様同相写像である。 $x$ について条件 (b)が成り立つならば、写像 $p\mapsto gp$ （ $g\in G$ ）の全体は $(X,\mathcal F_L)$ から $(X,\mathcal F_L)$ への写像の集合として一様に同程度連続（§E2.56 定義 1.3参照）である。
次の四条件は同値である。
1. $\mathcal F_R$ は $X$ の位相と両立する。
2. $\mathcal F_B$ は $X$ の位相と両立する。
3. すべての $y\in X$ について条件 (a)が成り立つ。
4. ある $y\in X$ について条件 (a)が成り立つ。
$\omega_x$ が開写像であるとき、次の五条件は同値である。
1. $\mathcal F_L$ は $X$ の位相と両立する。
2. $\mathcal F_Q$ は $X$ の位相と両立する。
3. すべての $y\in X$ について条件 (b)が成り立つ。
4. ある $y\in X$ について条件 (b)が成り立つ。
5. $X$ の位相と両立するある一様構造 $\mathcal V$ であって、写像 $p\mapsto gp$ （ $g\in G$ ）の全体が $(X,\mathcal V)$ から $(X,\mathcal V)$ への写像の集合として一様に同程度連続であるものが存在する。
また、主張 (6-5)の一様構造を定める近縁系 $\mathcal V$ は $\mathcal F_L$ に限る。

証明. 以下、 $\omega=\omega_p$ 、 $H=\Stab[G]{p}$ とおく。 $X$ の位相を $\mathcal O_X$ 、 $\omega$ による $G$ の商位相を $\mathcal O_\omega$ と書き、 $X$ の近縁系 $\mathcal F$ の一様位相を§E2.51 命題 2.1のとおり $\mathcal O_{\mathcal F}$ と書く。 $\omega$ は連続写像 $g\mapsto(g,p)$ と作用の合成であるから連続であり、作用は推移的であるから全射である。§E2.12 定義 8.7により $\mathcal O_X\subseteq\mathcal O_\omega$ である。また、 $X$ の近縁系 $\mathcal F,\mathcal F'$ が $\mathcal F\subseteq\mathcal F'$ を満たすならば、§E2.51 命題 2.1により $\mathcal O_{\mathcal F}\subseteq\mathcal O_{\mathcal F'}$ である。

$\omega$ が開写像であることは、 $\mathcal O_X=\mathcal O_\omega$ であることと同値である。実際、 $\omega$ が開写像ならば、 $O\in\mathcal O_\omega$ について $O=\omega(\omega^{-1}(O))\in\mathcal O_X$ である。逆に $\mathcal O_X=\mathcal O_\omega$ ならば、 $G$ の開集合 $V$ について、§E14.1 命題 1.4により $\omega^{-1}(\omega(V))=VH=\bigcup_{h\in H}Vh$ は開集合であるから、 $\omega(V)\in\mathcal O_\omega=\mathcal O_X$ である。

主張 (1)を示す。 $\mathcal U$ を $\mathcal U_L$ 、 $\mathcal U_R$ 、 $\mathcal U_B$ 、 $\mathcal U_Q$ のいずれかとし、 $y\in X$ について、 $\omega_y$ による $\mathcal U$ の商一様構造を $\mathcal F^y$ と書く。 $y\in X$ とする。作用は推移的であるから、 $y=sp$ を満たす $s\in G$ が存在する。 $\rho_s(g)=gs$ とおくと $\omega_y=\omega\circ\rho_s$ である。命題 1.1 (3)により $\rho_s\colon(G,\mathcal U)\to(G,\mathcal U)$ は一様連続であるから、§E2.51 命題 6.1 (1)と§E2.51 命題 3.4 (1)により $\omega_y\colon(G,\mathcal U)\to(X,\mathcal F^p)$ は一様連続であり、§E2.51 命題 6.1 (1)により $\mathcal F^p\subseteq\mathcal F^y$ である。 $\omega=\omega_y\circ\rho_{s^{-1}}$ であるから、同様に $\mathcal F^y\subseteq\mathcal F^p$ である。ゆえに $\mathcal F^y=\mathcal F^p$ であり、 $\mathcal F_L$ 、 $\mathcal F_R$ 、 $\mathcal F_B$ 、 $\mathcal F_Q$ は $p$ の取り方によらない。命題 1.1 (2)と§E2.51 系 6.5 (2)により、四つの商一様構造の一様位相はいずれも $\mathcal O_\omega$ に含まれる。

点 $x\in X$ についての条件 (a)、条件 (b)、および主張 (3-2)の仮定が成り立つかどうかは、いずれも $x$ の取り方によらない。実際、 $x\in X$ とし、 $x=sp$ を満たす $s\in G$ を取る。 $\omega_x=\omega\circ\rho_s$ であり、§E14.1 命題 1.4により $\rho_s$ は同相写像であるから、 $\omega_x$ が開写像であることは $\omega$ が開写像であることと同値である。また、 $\Stab[G]{x}=sHs^{-1}$ である。 $U$ を $e$ の近傍とすると、§E14.1 命題 1.4により $s^{-1}Us$ は $e$ の近傍である。 $p$ について条件 (b)が成り立つならば、定義 2.1により $HV\subseteq s^{-1}UsH$ を満たす $e$ の近傍 $V$ が存在し、 $sVs^{-1}$ は $e$ の近傍であり、 $(sHs^{-1})(sVs^{-1})=sHVs^{-1}\subseteq U(sHs^{-1})$ である。 $p$ について主張 (3-2)の仮定が成り立つならば、すべての $h\in H$ について $hVh^{-1}=V\subseteq s^{-1}Us$ を満たす $e$ の近傍 $V$ を取ると、 $sVs^{-1}$ は $U$ に含まれる $e$ の近傍であり、すべての $h\in H$ について $(shs^{-1})(sVs^{-1})(shs^{-1})^{-1}=sVs^{-1}$ である。したがって、これらは $p$ について成り立てば $x$ について成り立つ。 $p=s^{-1}x$ であるから、逆も同様である。

主張 (2)を示す。§E2.51 命題 6.1 (1)により $\omega\colon(G,\mathcal U_Q)\to(X,\mathcal F_Q)$ は一様連続である。命題 1.1 (4)により $\mathcal U_Q\subseteq\mathcal U_L$ であるから、 $\omega\colon(G,\mathcal U_L)\to(X,\mathcal F_Q)$ も一様連続であり、§E2.51 命題 6.1 (1)により $\mathcal F_Q\subseteq\mathcal F_L$ である。他の包含も同様である。

主張 (3-1)を示す。作用は推移的であるから、 $F_U$ は命題の式のとおりである。 $U,U'$ を $e$ の近傍とする。 $G$ は $e$ の近傍であるから、 $F_U$ の全体は空でない。 $F_{U\cap U'}\subseteq F_U\cap F_{U'}$ であり、 $e\in U$ であるから $\Delta_X\subseteq F_U$ である。§E14.1 系 2.2により、 $V=V^{-1}$ かつ $VV\subseteq U$ を満たす単位元の開近傍 $V$ を取る。 $e\in V$ であるから $V\subseteq U$ である。 $(q,vq)\in F_V$ ならば、 $(vq,q)=(vq,v^{-1}(vq))\in F_V\subseteq F_U$ であるから、 $F_V\subseteq F_U^{-1}$ である。 $(q,vq),(vq,v'vq)\in F_V$ ならば $v'v\in VV\subseteq U$ であるから、 $F_V\circ F_V\subseteq F_U$ である。§E2.51 命題 1.8により $F_U$ の全体は $X$ のある近縁系の近縁基をなす。 $F_U=(\omega\times\omega)(R_U)$ であるから、命題 1.1 (1)と§E2.51 系 6.5 (3)により、この近縁系は $\mathcal F_R$ に等しい。

主張 (3-2)を示す。 $(g,k)\in G\times G$ は $u=kg^{-1}$ とおくと $(g,ug)$ と書け、 $(g,ug)\in B_U$ であることは $u\in U$ かつ $g^{-1}ug\in U$ であることと同値であるから、 $T_U$ は命題の式のとおりである。ある点について主張 (3-2)の仮定が成り立つとすると、上で示したとおり $p$ についても成り立つ。 $V$ を $e$ の近傍とする。§E14.1 系 2.2により、 $P=P^{-1}$ かつ $PP\subseteq V$ を満たす $e$ の開近傍 $P$ を取る。仮定により、すべての $h\in H$ について $hW_0h^{-1}=W_0$ を満たす $e$ の近傍 $W_0\subseteq P$ が存在する。 $W=W_0\cap W_0^{-1}$ とおくと、§E14.1 命題 1.4により $W$ は $e$ の近傍であり、 $e\in P$ であるから $W=W^{-1}$ 、 $W\subseteq P\subseteq PP\subseteq V$ 、 $WW\subseteq PP\subseteq V$ であり、すべての $h\in H$ について $hWh^{-1}=W$ である。

$G$ は $e$ の近傍であるから、 $T_U$ の全体は空でない。 $e$ の近傍 $U,U'$ について $B_{U\cap U'}\subseteq B_U\cap B_{U'}$ であるから $T_{U\cap U'}\subseteq T_U\cap T_{U'}$ である。 $g\in G$ について $(g,g)\in B_U$ であるから $\Delta_X\subseteq T_U$ である。 $W=W^{-1}$ であるから $B_W^{-1}=B_W$ であり、 $T_W=T_W^{-1}\subseteq T_V^{-1}$ である。 $(q,q'),(q',q'')\in T_W$ とする。 $q=gp$ 、 $q'=ugp$ 、 $q'=g'p$ 、 $q''=u'g'p$ （ $g,g'\in G$ 、 $u,u'\in W$ 、 $g^{-1}ug\in W$ 、 $g'^{-1}u'g'\in W$ ）と書ける。 $ugp=g'p$ より $g'=ugh$ を満たす $h\in H$ が存在する。 $y=g^{-1}ug$ 、 $z=g'^{-1}u'g'$ とおくと $g^{-1}g'=yh$ であるから、

g^{-1}u'ug=(g^{-1}g')z(g^{-1}g')^{-1}(g^{-1}ug)=(yh)z(yh)^{-1}y=y(hzh^{-1})

である。 $hzh^{-1}\in hWh^{-1}=W$ であるから $g^{-1}u'ug\in WW\subseteq V$ であり、 $u'u\in WW\subseteq V$ である。 $q''=u'g'p=u'ugp$ であるから $(q,q'')\in T_V$ であり、 $T_W\circ T_W\subseteq T_V$ である。§E2.51 命題 1.8により $T_U$ の全体は $X$ のある近縁系の近縁基をなす。命題 1.1 (1)により $B_U$ の全体は $\mathcal U_B$ の近縁基であるから、§E2.51 系 6.5 (3)により、この近縁系は $\mathcal F_B$ に等しい。

主張 (3-3)と主張 (3-4)を示す。ある $x\in X$ について条件 (b)が成り立つとすると、上で示したとおり $p$ についても成り立つ。 $V$ を $e$ の近傍とする。§E14.1 系 2.2により、 $P=P^{-1}$ かつ $PP\subseteq V$ を満たす $e$ の開近傍 $P$ を取る。条件 (b)と定義 2.1により、 $HT\subseteq PH$ を満たす $e$ の近傍 $T$ を取る。両辺の元の逆元をとると $T^{-1}H\subseteq HP$ である。 $W=P\cap T\cap T^{-1}$ とおくと、§E14.1 命題 1.4により $W$ は $e$ の近傍であり、 $W=W^{-1}$ 、 $W\subseteq WW\subseteq PP\subseteq V$ かつ

WHW\subseteq(T^{-1}H)P\subseteq HPP\subseteq HV

である。

$G$ は $e$ の近傍であるから、どちらの全体も空でない。 $e$ の近傍 $U,U'$ について $E_{U\cap U'}\subseteq E_U\cap E_{U'}$ 、 $D_{U\cap U'}\subseteq D_U\cap D_{U'}$ である。 $\omega$ は全射であり $e\in U$ であるから、 $\Delta_X\subseteq E_U$ 、 $\Delta_X\subseteq D_U$ である。 $W=W^{-1}$ であるから $L_W^{-1}=L_W$ 、 $Q_W^{-1}=Q_W$ であり、したがって $E_W^{-1}=E_W$ 、 $D_W^{-1}=D_W$ である。 $W\subseteq V$ であるから、 $E_W=E_W^{-1}\subseteq E_V^{-1}$ 、 $D_W=D_W^{-1}\subseteq D_V^{-1}$ である。

$(q,q'),(q',q'')\in E_W$ とする。 $q=gp$ 、 $q'=gwp=g'p$ 、 $q''=g'w'p$ （ $g,g'\in G$ 、 $w,w'\in W$ ）と書ける。 $gwp=g'p$ より $g'=gwh$ を満たす $h\in H$ が存在し、 $whw'\in WHW\subseteq HV$ より $whw'=h'v$ を満たす $h'\in H$ 、 $v\in V$ が存在する。 $q=(gh')p$ 、 $q''=gwhw'p=(gh')vp$ であるから $(q,q'')\in E_V$ である。したがって $E_W\circ E_W\subseteq E_V$ である。

$(q,q'),(q',q'')\in D_W$ とする。 $q=gp$ 、 $q'=ugu'p=g'p$ 、 $q''=wg'w'p$ （ $g,g'\in G$ 、 $u,u',w,w'\in W$ ）と書ける。 $g'=ugu'h$ を満たす $h\in H$ が存在し、 $u'hw'\in WHW\subseteq HV$ より $u'hw'=h'v$ を満たす $h'\in H$ 、 $v\in V$ が存在する。 $q=(gh')p$ 、 $q''=(wu)g(u'hw')p=(wu)(gh')vp$ であり、 $wu\in WW\subseteq V$ であるから $(q,q'')\in D_V$ である。したがって $D_W\circ D_W\subseteq D_V$ である。

§E2.51 命題 1.8により、 $E_U$ の全体と $D_U$ の全体は、それぞれ $X$ のある近縁系の近縁基をなす。命題 1.1 (1)により $L_U$ の全体は $\mathcal U_L$ の近縁基であり、 $Q_U$ の全体は $\mathcal U_Q$ の近縁基であるから、§E2.51 系 6.5 (3)により、これらの近縁系はそれぞれ $\mathcal F_L$ 、 $\mathcal F_Q$ に等しい。

主張 (4)を示す。 $g\in G$ について $\tau_g(q)=gq$ 、 $\lambda_g(a)=ga$ とおくと、 $\tau_g\circ\omega=\omega\circ\lambda_g$ である。 $\mathcal U$ を $\mathcal U_L$ 、 $\mathcal U_R$ 、 $\mathcal U_B$ 、 $\mathcal U_Q$ のいずれかとし、 $\mathcal F$ を $\omega$ による $\mathcal U$ の商一様構造とする。命題 1.1 (3)により $\lambda_g\colon(G,\mathcal U)\to(G,\mathcal U)$ は一様連続であるから、§E2.51 命題 6.1 (1)と§E2.51 命題 3.4 (1)により $\omega\circ\lambda_g\colon(G,\mathcal U)\to(X,\mathcal F)$ は一様連続である。 $\omega(a)=\omega(a')$ ならば $\omega(ga)=g\,\omega(a)=g\,\omega(a')=\omega(ga')$ であるから、§E2.51 系 6.5 (1)により、 $h\circ\omega=\omega\circ\lambda_g$ を満たす一様連続写像 $h\colon(X,\mathcal F)\to(X,\mathcal F)$ が存在する。 $\omega$ は全射であるから $h=\tau_g$ である。 $\tau_g$ の逆写像は $\tau_{g^{-1}}$ であり、同じ理由で一様連続であるから、 $\tau_g$ は一様同相写像である。

ある $x\in X$ について条件 (b)が成り立つとすると、上で示したとおり $p$ についても成り立つ。 $(\tau_g\times\tau_g)(E_U)=E_U$ である。 $A\in\mathcal F_L$ に対して、主張 (3-3)により $E_U\subseteq A$ を満たす $e$ の近傍 $U$ を取ると、すべての $g\in G$ と $(q,q')\in E_U$ について $(gq,gq')\in E_U\subseteq A$ である。したがって、§E2.56 定義 1.3の意味で $\tau_g$ の全体は一様に同程度連続である。

主張 (5)を示す。 $q\in X$ と $e$ の近傍 $U$ について $F_U[q]=Uq$ である。 $O\in\mathcal O_\omega$ 、 $q=gp\in O$ とすると、 $\omega^{-1}(O)$ は $g$ を含む $G$ の開集合であるから、§E14.1 命題 1.4により $Ug\subseteq\omega^{-1}(O)$ を満たす $e$ の近傍 $U$ が存在し、 $F_U[q]=\omega(Ug)\subseteq O$ である。主張 (3-1)により $F_U\in\mathcal F_R$ であるから $O\in\mathcal O_{\mathcal F_R}$ であり、主張 (2)と合わせて

\mathcal O_\omega\subseteq\mathcal O_{\mathcal F_R}\subseteq\mathcal O_{\mathcal F_B}\subseteq\mathcal O_\omega

を得る。したがって、主張 (5-1)と主張 (5-2)は、いずれも $\mathcal O_X=\mathcal O_\omega$ であること、すなわち $\omega$ が開写像であることと同値である。上で示したとおり、 $\omega$ が開写像であることは、すべての $y\in X$ について $\omega_y$ が開写像であることとも、ある $y\in X$ について $\omega_y$ が開写像であることとも同値である。ゆえに四条件は同値である。

主張 (6)を示す。 $\omega_x$ が開写像であるとする。上で示したとおり $\omega$ も開写像であるから、 $\mathcal O_X=\mathcal O_\omega$ であり、四つの商一様構造の一様位相はいずれも $\mathcal O_X$ に含まれる。また、主張 (6-3)と主張 (6-4)は、いずれも $p$ について条件 (b)が成り立つことと同値である。したがって、主張 (6-1)、主張 (6-2)、主張 (6-5)が、 $p$ についての条件 (b)と同値であることと、主張 (6-5)の $\mathcal V$ が $\mathcal F_L$ に等しいことを示せばよい。

まず $p$ について条件 (b)が成り立つとする。 $N\in\mathcal O_X$ 、 $q=gp\in N$ とする。写像 $a\mapsto gap$ は $e$ で連続であるから、 $gUp\subseteq N$ を満たす $e$ の近傍 $U$ が存在する。§E14.1 系 2.2により $PP\subseteq U$ を満たす $e$ の開近傍 $P$ を取り、条件 (b)と定義 2.1により $HT\subseteq PH$ を満たす $e$ の近傍 $T$ を取る。§E14.1 命題 1.4により $V=T\cap gPg^{-1}$ は $e$ の近傍である。 $(q,q')\in D_V$ とすると、 $q=g'p$ 、 $q'=ug'u'p$ （ $g'\in G$ 、 $u,u'\in V$ ）と書けて、 $g'=gh$ を満たす $h\in H$ が存在するから

q'=ughu'p=g(g^{-1}ug)(hu')p\in gP(HT)p\subseteq gPPHp=gPPp\subseteq gUp\subseteq N

である。したがって $D_V[q]\subseteq N$ である。主張 (3-4)により $D_V\in\mathcal F_Q$ であるから $N\in\mathcal O_{\mathcal F_Q}$ であり、 $\mathcal O_X\subseteq\mathcal O_{\mathcal F_Q}$ である。ゆえに $\mathcal F_Q$ は $X$ の位相と両立する。

次に $\mathcal F_Q$ が $X$ の位相と両立するとする。主張 (2)により $\mathcal O_X=\mathcal O_{\mathcal F_Q}\subseteq\mathcal O_{\mathcal F_L}\subseteq\mathcal O_X$ であるから、 $\mathcal F_L$ も $X$ の位相と両立する。 $\mathcal F_L$ が $X$ の位相と両立するとし、 $U$ を $e$ の近傍とする。 $\omega$ は開写像であるから $\omega(U)=Up$ は $p$ の近傍であり、§E2.51 命題 2.1により $A[p]\subseteq Up$ を満たす $A\in\mathcal F_L$ が存在する。§E2.51 命題 6.1 (1)により $(\omega\times\omega)^{-1}(A)\in\mathcal U_L$ であるから、 $L_V\subseteq(\omega\times\omega)^{-1}(A)$ を満たす $e$ の近傍 $V$ が存在する。 $h\in H$ 、 $v\in V$ について $(h,hv)\in L_V$ であるから $(p,hvp)\in A$ であり、 $hvp\in A[p]\subseteq Up$ である。 $hvp=up$ （ $u\in U$ ）と書くと $u^{-1}hv\in H$ であるから、 $hv\in uH\subseteq UH$ である。ゆえに $HV\subseteq UH$ であるから、定義 2.1により $H$ は中立部分群であり、 $p$ について条件 (b)が成り立つ。

$p$ について条件 (b)が成り立つならば、前段により $\mathcal F_L$ は $X$ の位相と両立し、主張 (4)により写像 $q\mapsto gq$ の全体は $(X,\mathcal F_L)$ について一様に同程度連続であるから、 $\mathcal V=\mathcal F_L$ について主張 (6-5)が成り立つ。

逆に、 $\mathcal V$ を主張 (6-5)の近縁系とする。すべての $g\in G$ について $(\tau_g\times\tau_g)(D)=D$ を満たす $D\subseteq X\times X$ を、以下この証明で不変という。 $A\in\mathcal V$ とする。写像 $\tau_g$ （ $g\in G$ ）の全体は $(X,\mathcal V)$ について一様に同程度連続であるから、すべての $g\in G$ と $(q,q')\in B$ について $(gq,gq')\in A$ を満たす $B\in\mathcal V$ が存在する。 $D=\bigcup_{g\in G}(\tau_g\times\tau_g)(B)$ とおくと、 $D$ は不変であり、 $B\subseteq D\subseteq A$ であるから、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により $D\in\mathcal V$ である。したがって、 $\mathcal V$ の各元は $\mathcal V$ の不変な元を含む。

$U$ を $e$ の近傍とする。 $Up$ は $p$ の近傍であり、 $\mathcal V$ は $X$ の位相と両立するから、§E2.51 命題 2.1と前段により、 $D[p]\subseteq Up$ を満たす不変な $D\in\mathcal V$ が存在する。 $D[p]$ は $p$ の近傍であり、 $\omega$ は連続であるから、 $Vp\subseteq D[p]$ を満たす $e$ の近傍 $V$ が存在する。 $h\in H$ 、 $v\in V$ について、 $(p,vp)\in D$ であり $D$ は不変であるから、 $(p,hvp)=(hp,hvp)\in D$ である。したがって $hvp\in D[p]\subseteq Up$ であり、 $hvp=up$ （ $u\in U$ ）と書くと $u^{-1}hv\in H$ であるから、 $hv\in uH\subseteq UH$ である。ゆえに $p$ について条件 (b)が成り立つ。

$D\in\mathcal V$ を不変な元とする。上と同様に $Vp\subseteq D[p]$ を満たす $e$ の近傍 $V$ を取ると、 $g\in G$ 、 $v\in V$ について $(p,vp)\in D$ から $(gp,gvp)\in D$ を得るので、 $E_V\subseteq D$ である。逆に、 $V$ を $e$ の近傍とする。 $Vp$ は $p$ の近傍であるから、 $D[p]\subseteq Vp$ を満たす不変な $D\in\mathcal V$ が存在する。 $(q,q')\in D$ とし、 $q=gp$ （ $g\in G$ ）と書くと、 $D$ は不変であるから $(p,g^{-1}q')\in D$ であり、 $g^{-1}q'\in Vp$ である。 $g^{-1}q'=vp$ （ $v\in V$ ）と書くと $(q,q')=(gp,gvp)\in E_V$ であるから、 $D\subseteq E_V$ である。 $\mathcal V$ の各元は不変な元を含み、主張 (3-3)により $E_V$ の全体は $\mathcal F_L$ の近縁基であるから、§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により $\mathcal V=\mathcal F_L$ である。▨

注意 2.3. 点 $x\in X$ について命題 2.2 (3-2)の仮定が成り立つならば、 $x$ について命題 2.2 条件 (b)が成り立つ。実際、 $e$ の近傍 $U$ に対してこの仮定の近傍 $V\subseteq U$ を取ると、 $\Stab[G]{x}V=V\Stab[G]{x}\subseteq U\Stab[G]{x}$ であるから、定義 2.1により $\Stab[G]{x}$ は中立部分群である。しかし、この仮定を命題 2.2 条件 (b)に弱めることはできない。例 5.4では、命題 2.2 条件 (b)が成り立つが、 $\{T_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $X$ のどの近縁系の近縁基でもない。また、命題 2.2 条件 (b)が成り立つとき $F_U\cap E_U$ は $\mathcal F_B$ の元であるが、 $\{F_U\cap E_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $\mathcal F_B$ の近縁基であるとは限らない。例 5.3では、命題 2.2 (3-2)の仮定が成り立つが、 $\{F_U\cap E_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $\mathcal F_B$ の近縁基でない。

定義 2.4. $G$ を位相群、 $X$ を $G$ の左等質空間とし、 $\mathcal F_L$ 、 $\mathcal F_R$ 、 $\mathcal F_B$ 、 $\mathcal F_Q$ を命題 2.2の近縁系とする。

$\mathcal F_L$ を $X$ の左一様構造 (left uniformity) という。
$\mathcal F_R$ を $X$ の右一様構造 (right uniformity) という。
$\mathcal F_B$ を $X$ の両側一様構造 (two-sided uniformity) という。
$\mathcal F_Q$ を $X$ の Roelcke の一様構造 (Roelcke uniformity) という。

注意 2.5.命題 2.2 (1)により、定義 2.4の四つの一様構造は $p$ の取り方によらない。また、 $G$ を左平行移動により $G$ 自身の左等質空間とみなすと、 $\omega_e$ は恒等写像であるから、これら四つは定義 1.2の $\mathcal U_L$ 、 $\mathcal U_R$ 、 $\mathcal U_B$ 、 $\mathcal U_Q$ に等しい。§E2.51 命題 6.1 (1)により、写像 $g\mapsto gp$ は、 $G$ の左一様構造、右一様構造、両側一様構造、Roelcke の一様構造から、それぞれ $X$ の対応する一様構造への一様連続写像である。とくに剰余類空間 $G/H$ では、標準全射 $q\colon G\to G/H$ がそのような一様連続写像である。

注意 2.6. ある $x\in X$ について $\omega_x$ が開写像であっても、 $X$ の左一様構造と Roelcke の一様構造は $X$ の位相と両立するとは限らない。例 5.2では、向きを保つアフィン変換群を実数直線に作用させると、右一様構造と両側一様構造は実数直線の位相と両立するが、左一様構造と Roelcke の一様構造はどちらも $\{\R\times\R\}$ である。したがって $0$ について命題 2.2 条件 (b)は成り立たず、実数直線の位相と両立するどの一様構造に関しても、アフィン変換の全体は一様に同程度連続でない。

補題 2.7. $G$ を位相群、 $K$ を $G$ のコンパクト部分群とする。このとき、 $e$ の任意の近傍 $U$ に対して、すべての $k\in K$ について $kVk^{-1}=V$ を満たす $e$ の近傍 $V\subseteq U$ が存在する。

証明. $U$ に含まれる $e$ の開近傍 $U_0$ を取る。写像 $(k,v)\mapsto kvk^{-1}$ は連続であり、 $k\in K$ について $(k,e)$ を $e$ に写すから、各 $k\in K$ に対して、 $K$ における $k$ の開近傍 $A_k$ と $e$ の開近傍 $B_k$ が存在して、 $a\in A_k$ 、 $v\in B_k$ ならば $ava^{-1}\in U_0$ である。 $K$ を覆う有限個の $A_k$ を取り、対応する $B_k$ の共通部分を $B$ とおくと、 $B$ は $e$ の開近傍であり、すべての $k\in K$ について $kBk^{-1}\subseteq U_0$ である。 $V=\bigcup_{k\in K}kBk^{-1}$ とおく。§E14.1 命題 1.4により各 $kBk^{-1}$ は開集合であるから、 $V$ は $e$ を含む開集合であり、 $V\subseteq U_0\subseteq U$ である。 $k'\in K$ について、 $K$ は部分群であるから $k'Vk'^{-1}=\bigcup_{k\in K}(k'k)B(k'k)^{-1}=V$ である。▨

系 2.8. $G$ を位相群、 $H$ を $G$ の部分群とし、 $H$ は正規部分群、開部分群、コンパクト部分群のいずれかであるとする。このとき、 $H$ は $G$ の中立部分群である。

証明. $U$ を $e$ の近傍とする。 $H$ が正規部分群ならば、 $V=U$ について $HV=UH$ である。 $H$ が開部分群ならば、 $V=H$ は $e$ の近傍であり、 $HV=H\subseteq UH$ である。

$H$ がコンパクト部分群であるとする。補題 2.7により、すべての $k\in H$ について $kVk^{-1}=V$ を満たす $e$ の近傍 $V\subseteq U$ が存在する。 $k\in H$ について $kV=(kVk^{-1})k=Vk$ であるから、 $HV=VH\subseteq UH$ である。

いずれの場合も、定義 2.1により $H$ は中立部分群である。▨

系 2.9. $G$ を位相群、 $H$ を $G$ の部分群とし、 $q\colon G\to G/H$ を標準全射とする。 $G/H$ を§E14.1 系 4.3 (4)により $G$ の左等質空間とみなす。

$G/H$ の右一様構造と両側一様構造は、 $G/H$ の商位相と両立する。
$G/H$ は完全正則である。
$H$ が $G$ の閉集合ならば、 $G/H$ は T3½ 空間である。
次の三条件は同値である。
1. $G/H$ の左一様構造は商位相と両立する。
2. $G/H$ の Roelcke の一様構造は商位相と両立する。
3. $H$ は $G$ の中立部分群である。
これらの条件が成り立つならば、 $\{(q\times q)(L_U)\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $G/H$ の左一様構造の近縁基であり、 $G/H$ から $G/H$ への写像の族 $\{ (-)\mapsto g(-)\mid g\in G\}$ は左一様構造に関して一様に同程度連続（§E2.56 定義 1.3参照）である。

証明. $g\in G$ について $g\cdot eH=gH=q(g)$ であるから $\omega_{eH}=q$ であり、 $eH$ の安定化群は $H$ である。§E14.1 系 4.3 (1)により $q$ は開写像であるから、命題 2.2 (5)により主張 (1)が成り立ち、命題 2.2 (6)、命題 2.2 (3-3)、命題 2.2 (4)を $p=eH$ として適用して主張 (4)を得る。§E2.51 定理 7.2 (1)により $G/H$ は完全正則である。

$H$ を閉集合とする。§E14.1 系 4.3 (2)により $G/H$ は Hausdorff 空間であるから、右一様構造の一様位相は T0 であり、§E2.51 命題 2.8により右一様構造は Hausdorff である。右一様構造は $G/H$ の位相と両立するから、§E2.51 定理 7.2 (2)により $G/H$ は T3½ 空間である。▨

命題 3.1. $G$ を Hausdorff 位相群とし、 $C_c(G)$ をコンパクトな台をもつ連続関数 $f\colon G\to\C$ の全体とする。ここで台は $\operatorname{supp}f=\tpcl{\{x\in G\mid f(x)\ne0\}}$ である。 $f\in C_c(G)$ とする。

単位元 $e$ において $\lim_{a\to e}\sup_{x\in G}|f(ax)-f(x)|=0,\qquad \lim_{a\to e}\sup_{x\in G}|f(xa)-f(x)|=0$ が成り立つ。
$f$ は左一様構造と右一様構造の双方について一様連続である。

証明.主張 (1)を示す。 $\varepsilon>0$ を取り、 $K=\operatorname{supp}f$ とおく。 $K=\varnothing$ ならば $f=0$ であり、すべての結論が成り立つ。 $K\ne\varnothing$ とする。写像

H(a,x)=\max\{|f(ax)-f(x)|,\ |f(xa)-f(x)|\}

は $G\times G$ 上で連続であり、任意の $k\in K$ に対して $H(e,k)=0$ である。各 $k\in K$ に対して、単位元の開近傍 $V_k$ と $k$ の開近傍 $O_k$ であって、 $a\in V_k$ および $x\in O_k$ ならば $H(a,x)<\varepsilon/2$ を満たすものを取る。 $K$ のコンパクト性により、 $K\subseteq O_{k_1}\cup\cdots\cup O_{k_m}$ を満たす有限部分被覆が存在する。§E14.1 系 2.2により、 $V=V^{-1}\subseteq\bigcap_{j=1}^m V_{k_j}$ を満たす単位元の開近傍 $V$ を取る。このとき

a\in V,\quad x\in K\quad\Longrightarrow\quad H(a,x)<\varepsilon/2

である。

$a\in V$ と $x\in G$ を取る。 $x\in K$ ならば $|f(ax)-f(x)|<\varepsilon/2$ である。 $x\notin K$ かつ $ax\in K$ ならば、 $H(a^{-1},ax)<\varepsilon/2$ であるから

|f(ax)-f(x)|=|f(ax)-f(a^{-1}(ax))|<\varepsilon/2

を得る。 $x,ax\notin K$ ならば $f(x)=f(ax)=0$ である。したがって、すべての $x\in G$ について $|f(ax)-f(x)|<\varepsilon/2$ である。

$x\in K$ ならば $|f(xa)-f(x)|\le H(a,x)<\varepsilon/2$ である。 $x\notin K$ かつ $xa\in K$ ならば、 $a^{-1}\in V$ と $xa\in K$ に評価を適用して $|f(xa)-f(x)|<\varepsilon/2$ を得る。 $x,xa\notin K$ ならば両関数値は零である。ゆえに、すべての $a\in V$ に対して

\sup_{x\in G}|f(ax)-f(x)|\le\varepsilon/2<\varepsilon,\qquad \sup_{x\in G}|f(xa)-f(x)|\le\varepsilon/2<\varepsilon

であり、二つの極限が従う。

主張 (2)を示す。 $\varepsilon>0$ に対して前段の $V$ を取る。 $(x,y)\in L_V$ ならば $y=xa$ を満たす $a\in V$ が存在するので $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$ である。 $(x,y)\in R_V$ ならば $y=ax$ を満たす $a\in V$ が存在するので同じ評価が成り立つ。したがって $f$ は両一様構造について一様連続である。▨

定義 4.1. 群 $G$ 上の距離 $D$ が、すべての $a,x,y\in G$ に対して

D(ax,ay)=D(x,y)

を満たすとき、 $D$ を左不変距離 (left-invariant metric) という。

定理 4.2 (Birkhoff–Kakutani の定理). $G$ を Hausdorff 位相群とする。

$G$ が第一可算であるための必要十分条件は、 $G$ の位相と両立する左不変距離が存在することである。
$G$ が第一可算ならば、 $G$ の位相と両立する左不変距離として、有界であり、距離一様構造が $G$ の左一様構造に等しいものを取ることができる。

証明.主張 (1)の必要性と主張 (2)を示す。 $G$ が第一可算であるとし、単位元の可算近傍基 $(U_n)_{n\in\NN}$ を取る。 $L_{U_n}$ の全体は左一様構造 $\mathcal U_L$ の可算近縁基である。また、 $(x,y)\in\bigcap\mathcal U_L$ ならば、 $x^{-1}y$ は単位元のすべての近傍に属する。Hausdorff 性により $x^{-1}y=e$ であるから、 $\bigcap\mathcal U_L=\Delta_G$ である。§E2.52 定理 2.3 (3)により、距離一様構造が $\mathcal U_L$ に等しい距離 $d_0$ が存在する。

$d(x,y)=\min\{d_0(x,y),1\}$ とおく。非負実数 $s,t$ に対して $\min\{s+t,1\}\le\min\{s,1\}+\min\{t,1\}$ であるから $d$ は三角不等式を満たし、距離である。 $0<r<1$ について $d(x,y)<r$ と $d_0(x,y)<r$ は同値であるから、 $d$ の距離一様構造も $\mathcal U_L$ に等しい。

$x,y\in G$ に対して

D(x,y)=\sup_{a\in G}d(ax,ay)

とおく。 $0\le d\le1$ であるから上限は有限である。各写像 $(x,y)\mapsto d(ax,ay)$ は距離であり、すべての $a$ について

d(ax,az)\le d(ax,ay)+d(ay,az)\le D(x,y)+D(y,z)

が成り立つ。上限を取ると $D$ の三角不等式を得る。対称性と $D(x,x)=0$ も成り立ち、 $d(x,y)\le D(x,y)$ であるから $D(x,y)=0$ ならば $x=y$ である。したがって $D$ は $1$ 以下の距離である。任意の $b\in G$ について、 $a\mapsto ab$ は $G$ の全単射であるから

D(bx,by)=\sup_{a\in G}d(abx,aby)=D(x,y)

である。

$\varepsilon>0$ を取る。 $d$ が $\mathcal U_L$ を生成するので、 $L_U\subseteq\{(x,y)\mid d(x,y)<\varepsilon/2\}$ を満たす単位元の近傍 $U$ が存在する。 $(x,y)\in L_U$ ならば、すべての $a\in G$ について $(ax)^{-1}(ay)=x^{-1}y\in U$ である。よって

D(x,y)\le\varepsilon/2<\varepsilon

となり、 $\{D<\varepsilon\}$ は $\mathcal U_L$ の近縁である。逆に、 $\mathcal U_L$ の任意の近縁 $E$ に対して、 $\{d<r\}\subseteq E$ を満たす $r>0$ が存在する。 $d\le D$ により $\{D<r\}\subseteq E$ である。したがって $D$ の距離一様構造は $\mathcal U_L$ に等しく、 $D$ は $G$ の位相と両立する。

主張 (1)の十分性を示す。位相と両立する左不変距離 $D$ が存在すれば、各点 $x\in G$ の開球 $\{y\in G\mid D(x,y)<1/n\}$ （ $n\in\NN$ ）はその点の可算近傍基をなす。したがって $G$ は第一可算である。▨

系 4.3. $G$ を位相群、 $X$ を $G$ の左等質空間、 $p\in X$ とし、写像 $\omega_p\colon G\to X$ 、 $\omega_p(g)=gp$ は開写像であり、 $p$ について命題 2.2 条件 (b)が成り立つとする。このとき、 $X$ が第一可算であることは、 $X$ の左一様構造が高々可算な近縁基をもつための必要十分条件である。

証明. $H=\Stab[G]{p}$ とおき、 $X$ の左一様構造を $\mathcal F_L$ と書く。命題 2.2 (6)により $\mathcal F_L$ は $X$ の位相と両立し、命題 2.2 (3-3)により、 $e$ の近傍 $U$ についての $E_U=\{(gp,gup)\mid g\in G,\ u\in U\}$ の全体は $\mathcal F_L$ の近縁基である。

必要性を示す。 $\{A_n\mid n\in\NN\}$ を $\mathcal F_L$ の高々可算な近縁基とする。 $\mathcal F_L$ は $X$ の位相と両立するから、§E2.51 命題 2.1により、各 $q\in X$ について $(A_n[q])_{n\in\NN}$ は $q$ の可算近傍基である。したがって $X$ は第一可算である。

十分性を示す。 $X$ が第一可算であるとし、 $p$ の可算近傍基 $(W_n)_{n\in\NN}$ を取る。写像 $g\mapsto gp$ は $e$ で連続であるから、各 $n$ について $V_np\subseteq W_n$ を満たす $e$ の近傍 $V_n$ が存在する。 $V$ を $e$ の近傍とする。 $gp=p$ であることは $g\in H$ であることと同値であるから $E_V[p]=HVp$ であり、 $E_V\in\mathcal F_L$ であるから、§E2.51 命題 2.1により $E_V[p]$ は $p$ の近傍である。したがって $W_n\subseteq HVp$ を満たす $n$ が存在する。 $g\in G$ 、 $v'\in V_n$ について、 $v'p\in W_n\subseteq HVp$ であるから $v'p=hvp$ （ $h\in H$ 、 $v\in V$ ）と書け、 $(gp,gv'p)=((gh)p,(gh)vp)\in E_V$ である。ゆえに $E_{V_n}\subseteq E_V$ であり、 $\{E_{V_n}\mid n\in\NN\}$ は $\mathcal F_L$ の高々可算な近縁基である。▨

例 5.1.§E14.1 定義 6.3の向きを保つアフィン変換群 $G$ について、右一様構造 $\mathcal U_R$ は左一様構造 $\mathcal U_L$ に含まれない。とくに $\mathcal U_L\ne\mathcal U_R$ であり、恒等写像 $(G,\mathcal U_L)\to(G,\mathcal U_R)$ は一様連続でない。したがって、同じ位相と両立する一様構造であっても、群の左右の一様構造は一致するとは限らない。

$n\in\NN$ について $x_n=(n,0)$ 、 $y_n=(n,1)$ とおくと、 $x_n^{-1}=(1/n,0)$ であり、

x_n^{-1}y_n=(1,1/n),\qquad y_nx_n^{-1}=(1,1)

である。 $U_0=\{(a,b)\in G\mid -1<b<1\}$ は単位元 $e=(1,0)$ の開近傍であり、 $(1,1)\notin U_0$ であるから、すべての $n\in\NN$ について $(x_n,y_n)\notin R_{U_0}$ である。 $U$ を $e$ の近傍とする。 $G$ の位相は $\R^2$ からの相対位相であるから、十分大きい $n$ について $(1,1/n)\in U$ であり、 $(x_n,y_n)\in L_U\setminus R_{U_0}$ である。ゆえに、 $e$ のすべての近傍 $U$ について $L_U\not\subseteq R_{U_0}$ であり、 $L_U$ の全体は $\mathcal U_L$ の近縁基であるから、 $R_{U_0}\notin\mathcal U_L$ である。 $R_{U_0}\in\mathcal U_R$ であるから $\mathcal U_R\not\subseteq\mathcal U_L$ であり、 $(\id_G\times\id_G)^{-1}(R_{U_0})=R_{U_0}$ であるから、恒等写像 $(G,\mathcal U_L)\to(G,\mathcal U_R)$ は一様連続でない。

例 5.2.§E14.1 定義 6.3の向きを保つアフィン変換群 $G$ を、 $(a,b)t=at+b$ により実数直線 $\R$ に作用させると、 $\R$ は $G$ の左等質空間である。写像 $\omega_0\colon(a,b)\mapsto(a,b)0=b$ は $\R^2$ の開集合 $G$ 上の座標射影であるから開写像であり、命題 2.2 (5)により、 $\R$ の右一様構造と両側一様構造は $\R$ の位相と両立する。一方、 $\R$ の左一様構造と Roelcke の一様構造はどちらも $\{\R\times\R\}$ であり、 $\R$ の位相と両立しない。したがって、命題 2.2 (6)により、 $x=0$ について命題 2.2 条件 (b)は成り立たず、 $\R$ の位相と両立するどの近縁系に関しても、アフィン変換の全体は一様に同程度連続でない。

命題 2.2の $E_U$ を $p=0$ について考える。 $U$ を単位元 $(1,0)$ の近傍とする。 $G$ の位相は $\R^2$ からの相対位相であるから、ある $t>0$ について $(1,t),(1,-t)\in U$ である。 $b,d\in\R$ 、 $b\ne d$ とする。 $a=|d-b|/t$ とし、 $u=(1,(d-b)/a)$ とおくと、 $(d-b)/a=\pm t$ であるから $u\in U$ であり、 $(a,b)u=(a,d)$ である。したがって $(b,d)=((a,b)0,(a,b)u0)\in E_U$ である。 $\Delta_\R\subseteq E_U$ であるから、 $E_U=\R\times\R$ である。

$A$ を $\R$ の左一様構造の元とする。§E2.51 命題 6.1 (1)により、 $A$ の $\omega_0$ による引き戻しはある $L_U$ を含むから、 $\R\times\R=E_U\subseteq A$ である。ゆえに左一様構造は $\{\R\times\R\}$ であり、命題 2.2 (2)により Roelcke の一様構造も $\{\R\times\R\}$ である。

例 5.3. $\R^3$ に積

(a,b,c)(a',b',c')=(a+a',\,b+b',\,c+c'+ab')

を入れた群を $G$ とする。このとき、単位元は $e=(0,0,0)$ 、 $(a,b,c)$ の逆元は $(-a,-b,-c+ab)$ であり、積と逆元をとる写像は多項式で与えられるから連続である。したがって $G$ は $\R^3$ の位相に関して位相群である。 $Z=\{(0,0,c)\mid c\in\R\}$ のすべての元は $G$ のすべての元と可換であるから、 $Z$ は正規部分群であり、すべての $h\in Z$ と $e$ のすべての近傍 $V$ について $hVh^{-1}=V$ である。 $G/Z$ を§E14.1 系 4.3 (4)により $G$ の左等質空間とみなし、 $p=eZ$ とする。 $p$ の安定化群は $Z$ であるから、系 2.8により $p$ について命題 2.2 条件 (b)が成り立ち、命題 2.2 (3-2)の仮定も成り立つ。しかし、 $\{F_U\cap E_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $\mathcal F_B$ の近縁基でない。

$(a,b,c)Z=\{(a,b,c')\mid c'\in\R\}$ であるから、 $(a,b,c)Z$ を $(a,b)$ と書いて $G/Z$ を $\R^2$ と同一視する。 $\varepsilon>0$ について $U_\varepsilon=\{(a,b,c)\in G\mid |a|,|b|,|c|<\varepsilon\}$ とおく。 $U_\varepsilon$ の全体は $e$ の近傍基である。 $g=(a,b,c)$ 、 $k=(a',b',c')$ について

kg^{-1}=(a'-a,\,b'-b,\,c'-c+ab-a'b),\qquad g^{-1}k=(a'-a,\,b'-b,\,c'-c+ab-ab')

である。二つの第三成分の差は $ab'-a'b$ であり、 $c'$ は $c$ と独立に選ぶことができるから、

T_{U_\varepsilon}=\{((a,b),(a',b'))\mid |a'-a|<\varepsilon,\ |b'-b|<\varepsilon,\ |ab'-a'b|<2\varepsilon\}

である。一方、 $u=(\alpha,\beta,\gamma)$ について $u(a,b,c)$ と $(a,b,c)u$ の第一・第二成分はどちらも $(a+\alpha,b+\beta)$ であるから、

F_{U_\varepsilon}\cap E_{U_\varepsilon}=\{((a,b),(a',b'))\mid |a'-a|<\varepsilon,\ |b'-b|<\varepsilon\}

である。

命題 2.2 (3-2)により $T_{U_1}\in\mathcal F_B$ である。 $U$ を $e$ の近傍とし、 $U_\varepsilon\subseteq U$ を満たす $\varepsilon>0$ を取る。 $q=(4/\varepsilon,0)$ 、 $q'=(4/\varepsilon,\varepsilon/2)$ とおくと、 $(q,q')\in F_{U_\varepsilon}\cap E_{U_\varepsilon}\subseteq F_U\cap E_U$ であるが、 $ab'-a'b=2$ であるから $(q,q')\notin T_{U_1}$ である。したがって、どの $F_U\cap E_U$ も $T_{U_1}$ に含まれず、 $\{F_U\cap E_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $\mathcal F_B$ の近縁基でない。

例 5.4. $\R^5$ の元を $(a_1,a_2,b_1,b_2,c)$ と書き、積

(a_1,a_2,b_1,b_2,c)(a_1',a_2',b_1',b_2',c')=(a_1+a_1',\,a_2+a_2',\,b_1+b_1',\,b_2+b_2',\,c+c'+a_1b_1'+a_2b_2')

を入れた群を $G$ とする。このとき、単位元は $e=(0,0,0,0,0)$ 、逆元は $(-a_1,-a_2,-b_1,-b_2,-c+a_1b_1+a_2b_2)$ であり、例 5.3と同じ理由で $G$ は $\R^5$ の位相に関して位相群である。 $N=\{(s,0,0,0,t)\mid s,t\in\R\}$ は部分群であり、 $g=(a_1,a_2,b_1,b_2,c)$ について

g(s,0,0,0,t)g^{-1}=(s,0,0,0,t-sb_1)

であるから正規部分群である。 $G/N$ を§E14.1 系 4.3 (4)により $G$ の左等質空間とみなし、 $p=eN$ とする。 $p$ の安定化群は $N$ であるから、系 2.8により $p$ について命題 2.2 条件 (b)が成り立つ。しかし、 $\{T_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $G/N$ のどの近縁系の近縁基でもない。

$(a_1,a_2,b_1,b_2,c)N=\{(a_1',a_2,b_1,b_2,c')\mid a_1',c'\in\R\}$ であるから、 $(a_1,a_2,b_1,b_2,c)N$ を $(a_2,b_1,b_2)$ と書いて $G/N$ を $\R^3$ と同一視する。 $\varepsilon>0$ について、 $U_\varepsilon$ をすべての成分の絶対値が $\varepsilon$ より小さい元の全体とする。 $U_\varepsilon$ の全体は $e$ の近傍基である。 $g=(a_1,a_2,b_1,b_2,c)$ 、 $k=(a_1',a_2',b_1',b_2',c')$ について、 $kg^{-1}$ と $g^{-1}k$ の第一から第四成分はどちらも $k$ と $g$ の成分の差であり、第五成分はそれぞれ

c'-c+a_1b_1+a_2b_2-a_1'b_1-a_2'b_2,\qquad c'-c+a_1b_1+a_2b_2-a_1b_1'-a_2b_2'

である。二つの第五成分の差は

a_1(b_1'-b_1)+a_2(b_2'-b_2)-(a_1'-a_1)b_1-(a_2'-a_2)b_2

であり、 $c'$ は $c$ と独立に選ぶことができる。したがって、 $((a_2,b_1,b_2),(a_2',b_1',b_2'))\in T_{U_\varepsilon}$ であることは、 $|a_2'-a_2|$ 、 $|b_1'-b_1|$ 、 $|b_2'-b_2|$ がいずれも $\varepsilon$ より小さく、さらに $|a_1'-a_1|<\varepsilon$ を満たすある $a_1,a_1'\in\R$ について上の差の絶対値が $2\varepsilon$ より小さいことと同値である。

$0<\varepsilon\le1$ とし、

q_0=(1/\varepsilon,0,0),\qquad q_1=(1/\varepsilon,\varepsilon/2,\varepsilon/2),\qquad q_2=(1/\varepsilon,0,\varepsilon)

とおく。 $(q_0,q_1)$ については $a_1=a_1'=-1/\varepsilon$ とおくと差は $0$ であり、 $(q_1,q_2)$ については $a_1=a_1'=1/\varepsilon$ とおくと差は $0$ である。したがって $(q_0,q_1),(q_1,q_2)\in T_{U_\varepsilon}$ である。一方、 $(q_0,q_2)$ については、 $a_1,a_1'$ の選び方によらず差は $1$ である。ゆえに $(q_0,q_2)\notin T_{U_{1/2}}$ であり、 $T_{U_\varepsilon}\circ T_{U_\varepsilon}\not\subseteq T_{U_{1/2}}$ である。

$e$ の任意の近傍 $W$ はある $U_\varepsilon$ （ $0<\varepsilon\le1$ ）を含み、 $T_{U_\varepsilon}\subseteq T_W$ であるから、 $T_W\circ T_W\not\subseteq T_{U_{1/2}}$ である。§E2.51 命題 1.8により、 $\{T_U\mid U\text{ は }e\text{ の近傍}\}$ は $G/N$ のどの近縁系の近縁基でもない。

問題 6.1.命題 1.1 (5)を証明せよ。

§E14.3位相群の一様構造

1 四つの一様構造

2 等質空間の一様構造

3 コンパクト台関数の一様連続性

4 左不変距離

5 例

6 演習

参考文献

前提記事