1 位相線形空間と零近傍 定義 1.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } K \mathbb K K K \mathbb K K E E E E E E E × E → E E\times E\to E E × E → E ( x , y ) ↦ x + y (x,y)\mapsto x+y ( x , y ) ↦ x + y K × E → E \mathbb K\times E\to E K × E → E ( λ , x ) ↦ λ x (\lambda,x)\mapsto\lambda x ( λ , x ) ↦ λ x K \mathbb K K 位相線形空間 (topological vector space )E × E E\times E E × E K × E \mathbb K\times E K × E E E E 0 0 0 E E E 零近傍 (neighborhood of zero )
E , F E,F E , F K \mathbb K K T : E → F T\colon E\to F T : E → F T T T T − 1 T^{-1} T − 1 T T T 線形同相写像 (linear homeomorphism )
定義 1.2. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } A , B ⊆ E A,B\subseteq E A , B ⊆ E λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K x ∈ E x\in E x ∈ E λ A = { λ a ∣ a ∈ A } \lambda A=\{\lambda a\mid a\in A\} λ A = { λa ∣ a ∈ A } A + B = { a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B } A+B=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\} A + B = { a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B } x + A = { x } + A x+A=\{x\}+A x + A = { x } + A − A = ( − 1 ) A -A=(-1)A − A = ( − 1 ) A
A ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E x , y ∈ A x,y\in A x , y ∈ A 0 ≤ s ≤ 1 0\leq s\leq1 0 ≤ s ≤ 1 s s s ( 1 − s ) x + s y ∈ A (1-s)x+sy\in A ( 1 − s ) x + sy ∈ A A A A 凸 (convex )n n n x 1 , … , x n ∈ E x_1,\dots,x_n\in E x 1 , … , x n ∈ E ∑ j = 1 n a j = 1 \sum_{j=1}^na_j=1 ∑ j = 1 n a j = 1 a 1 , … , a n a_1,\dots,a_n a 1 , … , a n ∑ j = 1 n a j x j \sum_{j=1}^na_jx_j ∑ j = 1 n a j x j x 1 , … , x n x_1,\dots,x_n x 1 , … , x n 凸結合 (convex combination )∣ λ ∣ ≤ 1 \lvert\lambda\rvert\leq1 ∣ λ ∣ ≤ 1 λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K λ A ⊆ A \lambda A\subseteq A λ A ⊆ A A A A 平衡 (balanced )x ∈ E x\in E x ∈ E x ∈ t A x\in tA x ∈ t A t > 0 t>0 t > 0 A A A 吸収的 (absorbing )絶対凸 (absolutely convex )
命題 1.4. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
任意のa ∈ E a\in E a ∈ E x ↦ x + a x\mapsto x+a x ↦ x + a E E E E E E λ ≠ 0 \lambda\neq0 λ = 0 λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K x ↦ λ x x\mapsto\lambda x x ↦ λ x E E E E E E a ∈ E a\in E a ∈ E U U U E E E a + U a+U a + U U U U E E E − U -U − U E E E
E E E E E E U U U V ⊆ U V\subseteq U V ⊆ U V V V E E E U U U V + V ⊆ U V+V\subseteq U V + V ⊆ U V V V 任意のA ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E U U U E E E A + U A+U A + U A ‾ \tpcl{A} A
E E E U U U V ‾ ⊆ U \tpcl{V}\subseteq U V ⊆ U V V V 証明. 主張 (1) を示す。a ∈ E a\in E a ∈ E E → E × E E\to E\times E E → E × E x ↦ ( x , a ) x\mapsto(x,a) x ↦ ( x , a ) §E2.12 例 1.12 と§E2.12 定理 3.4 により連続である。この写像と加法の合成x ↦ x + a x\mapsto x+a x ↦ x + a §E2.12 命題 1.10 により連続である。x ↦ x − a x\mapsto x-a x ↦ x − a x ↦ x + a x\mapsto x+a x ↦ x + a λ ≠ 0 \lambda\neq0 λ = 0 x ↦ ( λ , x ) x\mapsto(\lambda,x) x ↦ ( λ , x ) §E2.12 例 1.12 と§E2.12 定理 3.4 により連続であるから、これとスカラー倍の合成x ↦ λ x x\mapsto\lambda x x ↦ λ x x ↦ λ − 1 x x\mapsto\lambda^{-1}x x ↦ λ − 1 x x ↦ λ x x\mapsto\lambda x x ↦ λ x N N N a a a N − a N-a N − a N = a + ( N − a ) N=a+(N-a) N = a + ( N − a ) U U U − U -U − U x ↦ − x x\mapsto-x x ↦ − x U U U − 0 = 0 -0=0 − 0 = 0
主張 (2) を示す。U U U x ∈ E x\in E x ∈ E φ : K → E \varphi\colon\mathbb K\to E φ : K → E t ↦ t x t\mapsto tx t ↦ t x t ↦ ( t , x ) t\mapsto(t,x) t ↦ ( t , x ) φ ( 0 ) = 0 \varphi(0)=0 φ ( 0 ) = 0 φ − 1 ( U ) \varphi^{-1}(U) φ − 1 ( U ) K \mathbb K K 0 0 0 ∣ t ∣ ≤ s \lvert t\rvert\leq s ∣ t ∣ ≤ s t ∈ K t\in\mathbb K t ∈ K t x ∈ U tx\in U t x ∈ U s > 0 s>0 s > 0 s x ∈ U sx\in U s x ∈ U x ∈ s − 1 U x\in s^{-1}U x ∈ s − 1 U
主張 (3) を示す。U U U ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 0 ⋅ 0 = 0 0\cdot0=0 0 ⋅ 0 = 0 §E2.14 補題 1.11 により、∣ λ ∣ < δ \lvert\lambda\rvert<\delta ∣ λ ∣ < δ λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K λ W ⊆ U \lambda W\subseteq U λW ⊆ U δ > 0 \delta>0 δ > 0 W W W V = ⋃ { λ W ∣ λ ∈ K , 0 < ∣ λ ∣ < δ } V=\bigcup\{\lambda W\mid\lambda\in\mathbb K,\ 0<\lvert\lambda\rvert<\delta\} V = ⋃ { λW ∣ λ ∈ K , 0 < ∣ λ ∣ < δ } V ⊆ U V\subseteq U V ⊆ U V V V ( δ / 2 ) W (\delta/2)W ( δ /2 ) W 主張 (1) により( δ / 2 ) W (\delta/2)W ( δ /2 ) W V V V ∣ μ ∣ ≤ 1 \lvert\mu\rvert\leq1 ∣ μ ∣ ≤ 1 μ = 0 \mu=0 μ = 0 0 ∈ W 0\in W 0 ∈ W μ V = { 0 } ⊆ V \mu V=\{0\}\subseteq V μ V = { 0 } ⊆ V μ ≠ 0 \mu\neq0 μ = 0 0 < ∣ λ ∣ < δ 0<\lvert\lambda\rvert<\delta 0 < ∣ λ ∣ < δ λ \lambda λ 0 < ∣ μ λ ∣ < δ 0<\lvert\mu\lambda\rvert<\delta 0 < ∣ μ λ ∣ < δ μ λ W ⊆ V \mu\lambda W\subseteq V μ λW ⊆ V μ V ⊆ V \mu V\subseteq V μ V ⊆ V V V V
主張 (4) を示す。加法は( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 0 + 0 = 0 0+0=0 0 + 0 = 0 §E2.14 補題 1.11 によりW 1 + W 2 ⊆ U W_1+W_2\subseteq U W 1 + W 2 ⊆ U W 1 , W 2 W_1,W_2 W 1 , W 2 V = W 1 ∩ W 2 V=W_1\cap W_2 V = W 1 ∩ W 2 V + V ⊆ U V+V\subseteq U V + V ⊆ U
主張 (5) を示す。x ∈ E x\in E x ∈ E §E2.11 命題 7.2 (2) と主張 (1) により、x ∈ A ‾ x\in\tpcl{A} x ∈ A U U U ( x − U ) ∩ A ≠ ∅ (x-U)\cap A\neq\emptyset ( x − U ) ∩ A = ∅ x − u = a x-u=a x − u = a u ∈ U u\in U u ∈ U a ∈ A a\in A a ∈ A x = a + u x=a+u x = a + u ( x − U ) ∩ A ≠ ∅ (x-U)\cap A\neq\emptyset ( x − U ) ∩ A = ∅ x ∈ A + U x\in A+U x ∈ A + U
主張 (6) を示す。主張 (4) によりW + W ⊆ U W+W\subseteq U W + W ⊆ U W W W 主張 (3) によりV ⊆ W V\subseteq W V ⊆ W V V V 主張 (5) によりV ‾ ⊆ V + V ⊆ W + W ⊆ U \tpcl{V}\subseteq V+V\subseteq W+W\subseteq U V ⊆ V + V ⊆ W + W ⊆ U ▨
命題 1.5. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
E E E E E E { 0 } \{0\} { 0 } { 0 } \{0\} { 0 } E E E 証明. 命題 1.4 (5) をA = { 0 } A=\{0\} A = { 0 } { 0 } ‾ \tpcl{\{0\}} { 0 } 条件 (b) と条件 (c) は同値である。
(a) ⇒ \Rightarrow ⇒ (c) §E2.15 定理 1.11 (4) によりE E E §E2.15 命題 1.5 により{ 0 } \{0\} { 0 }
(b) ⇒ \Rightarrow ⇒ (a) x , y ∈ E x,y\in E x , y ∈ E x ≠ y x\neq y x = y x − y ≠ 0 x-y\neq0 x − y = 0 x − y ∉ U x-y\notin U x − y ∈ / U U U U 命題 1.4 (4) によりV + V ⊆ U V+V\subseteq U V + V ⊆ U V V V W = V ∩ ( − V ) W=V\cap(-V) W = V ∩ ( − V ) 命題 1.4 (1) によりW W W − W = W -W=W − W = W z ∈ ( x + W ) ∩ ( y + W ) z\in(x+W)\cap(y+W) z ∈ ( x + W ) ∩ ( y + W ) z = x + w = y + w ′ z=x+w=y+w' z = x + w = y + w ′ w , w ′ ∈ W w,w'\in W w , w ′ ∈ W x − y = w ′ + ( − w ) ∈ W + W ⊆ V + V ⊆ U x-y=w'+(-w)\in W+W\subseteq V+V\subseteq U x − y = w ′ + ( − w ) ∈ W + W ⊆ V + V ⊆ U x − y ∉ U x-y\notin U x − y ∈ / U ( x + W ) ∩ ( y + W ) = ∅ (x+W)\cap(y+W)=\emptyset ( x + W ) ∩ ( y + W ) = ∅ 命題 1.4 (1) によりx + W x+W x + W y + W y+W y + W x x x y y y int ( x + W ) \tpint{x+W} int ( x + W ) int ( y + W ) \tpint{y+W} int ( y + W ) x x x y y y ▨
補題 1.6. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
E E E M M M M M M E E E M M M E E E E E E E E E E E E O ⊆ E O\subseteq E O ⊆ E A ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E A + O A+O A + O 補題 1.7. E , F E,F E , F K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } T : E → F T\colon E\to F T : E → F T T T 0 0 0 T T T
証明. x ∈ E x\in E x ∈ E N N N T x Tx T x 命題 1.4 (1) によりN = T x + V N=Tx+V N = T x + V F F F V V V T T T 0 0 0 T 0 = 0 T0=0 T 0 = 0 T ( U ) ⊆ V T(U)\subseteq V T ( U ) ⊆ V E E E U U U T T T T ( x + U ) = T x + T ( U ) ⊆ N T(x+U)=Tx+T(U)\subseteq N T ( x + U ) = T x + T ( U ) ⊆ N 命題 1.4 (1) によりx + U x+U x + U x x x T T T x x x ▨
定義 1.8. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E K \mathbb K K E ′ E' E ′ E ′ E' E ′ E E E 連続双対 (continuous dual )
2 半ノルムと局所凸空間 定義 2.1. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } p : E → [ 0 , ∞ ) p\colon E\to[0,\infty) p : E → [ 0 , ∞ ) x , y ∈ E x,y\in E x , y ∈ E λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ) p(x+y)\leq p(x)+p(y) p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ) p ( λ x ) = ∣ λ ∣ p ( x ) p(\lambda x)=\lvert\lambda\rvert p(x) p ( λ x ) = ∣ λ ∣ p ( x ) p p p E E E 半ノルム (seminorm )E E E P \mathcal P P x ≠ 0 x\neq0 x = 0 x ∈ E x\in E x ∈ E p ( x ) ≠ 0 p(x)\neq0 p ( x ) = 0 p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P P \mathcal P P E E E 点を分離する (separating )
P \mathcal P P E E E P \mathcal P P F F F ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 x ∈ E x\in E x ∈ E
B F , ε ( x ) = { y ∈ E ∣ すべての p ∈ F について p ( y − x ) < ε } B_{F,\varepsilon}(x)=\{y\in E\mid\text{すべての }p\in F\text{ について }p(y-x)<\varepsilon\} B F , ε ( x ) = { y ∈ E ∣ すべての p ∈ F について p ( y − x ) < ε } とおく（F = ∅ F=\emptyset F = ∅ B F , ε ( x ) = E B_{F,\varepsilon}(x)=E B F , ε ( x ) = E p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P a ∈ E a\in E a ∈ E E → R E\to\R E → R x ↦ p ( x − a ) x\mapsto p(x-a) x ↦ p ( x − a ) τ P \tau_{\mathcal P} τ P P \mathcal P P topology defined by a family of seminorms )
補題 2.2. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } q q q E E E x , y ∈ E x,y\in E x , y ∈ E ∣ q ( x ) − q ( y ) ∣ ≤ q ( x − y ) \lvert q(x)-q(y)\rvert\leq q(x-y) ∣ q ( x ) − q ( y )∣ ≤ q ( x − y ) E E E q q q q q q q q q { x ∈ E ∣ q ( x ) < 1 } \{x\in E\mid q(x)<1\} { x ∈ E ∣ q ( x ) < 1 }
証明. q ( x ) = q ( ( x − y ) + y ) ≤ q ( x − y ) + q ( y ) q(x)=q((x-y)+y)\leq q(x-y)+q(y) q ( x ) = q (( x − y ) + y ) ≤ q ( x − y ) + q ( y ) q ( y − x ) = ∣ − 1 ∣ q ( x − y ) = q ( x − y ) q(y-x)=\lvert-1\rvert q(x-y)=q(x-y) q ( y − x ) = ∣ − 1 ∣ q ( x − y ) = q ( x − y ) x x x y y y ∣ q ( x ) − q ( y ) ∣ ≤ q ( x − y ) \lvert q(x)-q(y)\rvert\leq q(x-y) ∣ q ( x ) − q ( y )∣ ≤ q ( x − y )
q q q q ( 0 ) = 0 q(0)=0 q ( 0 ) = 0 { x ∣ q ( x ) < 1 } = q − 1 ( ( − 1 , 1 ) ) \{x\mid q(x)<1\}=q^{-1}((-1,1)) { x ∣ q ( x ) < 1 } = q − 1 (( − 1 , 1 )) q q q 1 1 1 U U U M > 0 M>0 M > 0 u ∈ U u\in U u ∈ U q ( u ) ≤ M q(u)\leq M q ( u ) ≤ M x ∈ E x\in E x ∈ E ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 命題 1.4 (1) によりx + ( ε / M ) U x+(\varepsilon/M)U x + ( ε / M ) U x x x y = x + ( ε / M ) u y=x+(\varepsilon/M)u y = x + ( ε / M ) u u ∈ U u\in U u ∈ U ∣ q ( y ) − q ( x ) ∣ ≤ q ( ( ε / M ) u ) ≤ ε \lvert q(y)-q(x)\rvert\leq q((\varepsilon/M)u)\leq\varepsilon ∣ q ( y ) − q ( x )∣ ≤ q (( ε / M ) u ) ≤ ε q q q x x x ▨
定義 2.3. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E E E E 局所凸空間 (locally convex space )
命題 2.4. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } P \mathcal P P E E E
任意のx ∈ E x\in E x ∈ E P \mathcal P P F F F ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 B F , ε ( x ) B_{F,\varepsilon}(x) B F , ε ( x ) τ P \tau_{\mathcal P} τ P x x x x x x
( E , τ P ) (E,\tau_{\mathcal P}) ( E , τ P ) p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P τ P \tau_{\mathcal P} τ P ( E , τ P ) (E,\tau_{\mathcal P}) ( E , τ P ) P \mathcal P P E E E E E E q q q τ P \tau_{\mathcal P} τ P P \mathcal P P F F F C ≥ 0 C\geq0 C ≥ 0 x ∈ E x\in E x ∈ E q ( x ) ≤ C max p ∈ F p ( x ) q(x)\leq C\max_{p\in F}p(x) q ( x ) ≤ C max p ∈ F p ( x ) F = ∅ F=\emptyset F = ∅ 0 0 0 G G G K \mathbb K K T : G → E T\colon G\to E T : G → E T : G → ( E , τ P ) T\colon G\to(E,\tau_{\mathcal P}) T : G → ( E , τ P ) p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P p ∘ T p\circ T p ∘ T E E E ( x k ) k ∈ N ≥ 1 (x_k)_{k\in\NN} ( x k ) k ∈ N ≥ 1 τ P \tau_{\mathcal P} τ P x ∈ E x\in E x ∈ E p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P p ( x k − x ) → 0 p(x_k-x)\to0 p ( x k − x ) → 0 τ \tau τ E E E ( E , τ ) (E,\tau) ( E , τ ) p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P τ \tau τ τ = τ P \tau=\tau_{\mathcal P} τ = τ P τ \tau τ E E E U U U B F , ε ( 0 ) ⊆ U B_{F,\varepsilon}(0)\subseteq U B F , ε ( 0 ) ⊆ U P \mathcal P P F F F ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 証明. p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P a ∈ E a\in E a ∈ E f p , a ( x ) = p ( x − a ) f_{p,a}(x)=p(x-a) f p , a ( x ) = p ( x − a ) §E2.12 命題 3.3 (1) により各f p , a f_{p,a} f p , a τ P \tau_{\mathcal P} τ P
主張 (1) を示す。B F , ε ( x ) = ⋂ p ∈ F f p , x − 1 ( ( − ∞ , ε ) ) B_{F,\varepsilon}(x)=\bigcap_{p\in F}f_{p,x}^{-1}((-\infty,\varepsilon)) B F , ε ( x ) = ⋂ p ∈ F f p , x − 1 (( − ∞ , ε )) p ( 0 ) = 0 p(0)=0 p ( 0 ) = 0 x x x N N N x x x §E2.13 補題 3.1 (1) により、f p , a − 1 ( W ) f_{p,a}^{-1}(W) f p , a − 1 ( W ) p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P a ∈ E a\in E a ∈ E W W W R \R R τ P \tau_{\mathcal P} τ P x ∈ ⋂ i = 1 m f p i , a i − 1 ( W i ) ⊆ N x\in\bigcap_{i=1}^mf_{p_i,a_i}^{-1}(W_i)\subseteq N x ∈ ⋂ i = 1 m f p i , a i − 1 ( W i ) ⊆ N m ∈ N ≥ 0 m\in\N m ∈ N ≥ 0 p i ∈ P p_i\in\mathcal P p i ∈ P a i ∈ E a_i\in E a i ∈ E R \R R W i W_i W i i i i p i ( x − a i ) ∈ W i p_i(x-a_i)\in W_i p i ( x − a i ) ∈ W i ( p i ( x − a i ) − δ i , p i ( x − a i ) + δ i ) ⊆ W i (p_i(x-a_i)-\delta_i,p_i(x-a_i)+\delta_i)\subseteq W_i ( p i ( x − a i ) − δ i , p i ( x − a i ) + δ i ) ⊆ W i δ i > 0 \delta_i>0 δ i > 0 F = { p 1 , … , p m } F=\{p_1,\ldots,p_m\} F = { p 1 , … , p m } ε = min { 1 , δ 1 , … , δ m } \varepsilon=\min\{1,\delta_1,\ldots,\delta_m\} ε = min { 1 , δ 1 , … , δ m } y ∈ B F , ε ( x ) y\in B_{F,\varepsilon}(x) y ∈ B F , ε ( x ) 補題 2.2 により∣ p i ( y − a i ) − p i ( x − a i ) ∣ ≤ p i ( y − x ) < δ i \lvert p_i(y-a_i)-p_i(x-a_i)\rvert\leq p_i(y-x)<\delta_i ∣ p i ( y − a i ) − p i ( x − a i )∣ ≤ p i ( y − x ) < δ i y ∈ f p i , a i − 1 ( W i ) y\in f_{p_i,a_i}^{-1}(W_i) y ∈ f p i , a i − 1 ( W i ) B F , ε ( x ) ⊆ N B_{F,\varepsilon}(x)\subseteq N B F , ε ( x ) ⊆ N
主張 (2) を示す。x 0 , y 0 ∈ E x_0,y_0\in E x 0 , y 0 ∈ E 主張 (1) によりx 0 + y 0 x_0+y_0 x 0 + y 0 B F , ε ( x 0 + y 0 ) B_{F,\varepsilon}(x_0+y_0) B F , ε ( x 0 + y 0 ) x ∈ B F , ε / 2 ( x 0 ) x\in B_{F,\varepsilon/2}(x_0) x ∈ B F , ε /2 ( x 0 ) y ∈ B F , ε / 2 ( y 0 ) y\in B_{F,\varepsilon/2}(y_0) y ∈ B F , ε /2 ( y 0 ) p ∈ F p\in F p ∈ F p ( ( x + y ) − ( x 0 + y 0 ) ) ≤ p ( x − x 0 ) + p ( y − y 0 ) < ε p((x+y)-(x_0+y_0))\leq p(x-x_0)+p(y-y_0)<\varepsilon p (( x + y ) − ( x 0 + y 0 )) ≤ p ( x − x 0 ) + p ( y − y 0 ) < ε §E2.14 補題 1.11 によりB F , ε / 2 ( x 0 ) × B F , ε / 2 ( y 0 ) B_{F,\varepsilon/2}(x_0)\times B_{F,\varepsilon/2}(y_0) B F , ε /2 ( x 0 ) × B F , ε /2 ( y 0 ) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) λ 0 ∈ K \lambda_0\in\mathbb K λ 0 ∈ K λ 0 x 0 \lambda_0x_0 λ 0 x 0 B F , ε ( λ 0 x 0 ) B_{F,\varepsilon}(\lambda_0x_0) B F , ε ( λ 0 x 0 ) M = max p ∈ F p ( x 0 ) M=\max_{p\in F}p(x_0) M = max p ∈ F p ( x 0 ) F = ∅ F=\emptyset F = ∅ M = 0 M=0 M = 0 δ ( M + ∣ λ 0 ∣ + 1 ) < ε \delta(M+\lvert\lambda_0\rvert+1)<\varepsilon δ ( M + ∣ λ 0 ∣ + 1 ) < ε 0 < δ ≤ 1 0<\delta\leq1 0 < δ ≤ 1 ∣ λ − λ 0 ∣ < δ \lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\delta ∣ λ − λ 0 ∣ < δ x ∈ B F , δ ( x 0 ) x\in B_{F,\delta}(x_0) x ∈ B F , δ ( x 0 ) λ x − λ 0 x 0 = ( λ − λ 0 ) x 0 + λ 0 ( x − x 0 ) + ( λ − λ 0 ) ( x − x 0 ) \lambda x-\lambda_0x_0=(\lambda-\lambda_0)x_0+\lambda_0(x-x_0)+(\lambda-\lambda_0)(x-x_0) λ x − λ 0 x 0 = ( λ − λ 0 ) x 0 + λ 0 ( x − x 0 ) + ( λ − λ 0 ) ( x − x 0 ) p ∈ F p\in F p ∈ F
p ( λ x − λ 0 x 0 ) ≤ δ M + ∣ λ 0 ∣ δ + δ 2 ≤ δ ( M + ∣ λ 0 ∣ + 1 ) < ε p(\lambda x-\lambda_0x_0)\leq\delta M+\lvert\lambda_0\rvert\delta+\delta^2\leq\delta(M+\lvert\lambda_0\rvert+1)<\varepsilon p ( λ x − λ 0 x 0 ) ≤ δ M + ∣ λ 0 ∣ δ + δ 2 ≤ δ ( M + ∣ λ 0 ∣ + 1 ) < ε である。ゆえにスカラー倍は( λ 0 , x 0 ) (\lambda_0,x_0) ( λ 0 , x 0 ) ( E , τ P ) (E,\tau_{\mathcal P}) ( E , τ P ) y , z ∈ B F , ε ( 0 ) y,z\in B_{F,\varepsilon}(0) y , z ∈ B F , ε ( 0 ) 0 ≤ s ≤ 1 0\leq s\leq1 0 ≤ s ≤ 1 p ( ( 1 − s ) y + s z ) ≤ ( 1 − s ) p ( y ) + s p ( z ) < ε p((1-s)y+sz)\leq(1-s)p(y)+sp(z)<\varepsilon p (( 1 − s ) y + sz ) ≤ ( 1 − s ) p ( y ) + s p ( z ) < ε B F , ε ( 0 ) B_{F,\varepsilon}(0) B F , ε ( 0 ) 主張 (1) により( E , τ P ) (E,\tau_{\mathcal P}) ( E , τ P ) p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P f p , 0 f_{p,0} f p , 0
主張 (3) を示す。P \mathcal P P x ≠ y x\neq y x = y r = p ( x − y ) > 0 r=p(x-y)>0 r = p ( x − y ) > 0 p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P z ∈ B { p } , r / 2 ( x ) ∩ B { p } , r / 2 ( y ) z\in B_{\{p\},r/2}(x)\cap B_{\{p\},r/2}(y) z ∈ B { p } , r /2 ( x ) ∩ B { p } , r /2 ( y ) p ( x − y ) ≤ p ( x − z ) + p ( z − y ) < r p(x-y)\leq p(x-z)+p(z-y)<r p ( x − y ) ≤ p ( x − z ) + p ( z − y ) < r r = p ( x − y ) r=p(x-y) r = p ( x − y ) x x x y y y B { p } , r / 2 ( x ) B_{\{p\},r/2}(x) B { p } , r /2 ( x ) B { p } , r / 2 ( y ) B_{\{p\},r/2}(y) B { p } , r /2 ( y ) ( E , τ P ) (E,\tau_{\mathcal P}) ( E , τ P ) x ≠ 0 x\neq0 x = 0 命題 1.5 によりx ∉ U x\notin U x ∈ / U U U U 主張 (1) によりU ⊇ B F , ε ( 0 ) U\supseteq B_{F,\varepsilon}(0) U ⊇ B F , ε ( 0 ) F F F ε \varepsilon ε x ∉ B F , ε ( 0 ) x\notin B_{F,\varepsilon}(0) x ∈ / B F , ε ( 0 ) p ( x ) ≥ ε > 0 p(x)\geq\varepsilon>0 p ( x ) ≥ ε > 0 p ∈ F p\in F p ∈ F
主張 (4) を示す。十分性を示す。q ≤ C max p ∈ F p q\leq C\max_{p\in F}p q ≤ C max p ∈ F p q q q B F , 1 ( 0 ) B_{F,1}(0) B F , 1 ( 0 ) C C C 補題 2.2 により連続である。必要性を示す。q q q 補題 2.2 と主張 (1) によりB F , ε ( 0 ) ⊆ { y ∣ q ( y ) < 1 } B_{F,\varepsilon}(0)\subseteq\{y\mid q(y)<1\} B F , ε ( 0 ) ⊆ { y ∣ q ( y ) < 1 } F F F ε \varepsilon ε x ∈ E x\in E x ∈ E m = max p ∈ F p ( x ) m=\max_{p\in F}p(x) m = max p ∈ F p ( x ) m > 0 m>0 m > 0 y = ( ε / ( 2 m ) ) x y=(\varepsilon/(2m))x y = ( ε / ( 2 m )) x p ∈ F p\in F p ∈ F p ( y ) ≤ ε / 2 < ε p(y)\leq\varepsilon/2<\varepsilon p ( y ) ≤ ε /2 < ε q ( y ) < 1 q(y)<1 q ( y ) < 1 q ( x ) < 2 m / ε q(x)<2m/\varepsilon q ( x ) < 2 m / ε m = 0 m=0 m = 0 t > 0 t>0 t > 0 t x ∈ B F , ε ( 0 ) tx\in B_{F,\varepsilon}(0) t x ∈ B F , ε ( 0 ) t q ( x ) < 1 tq(x)<1 tq ( x ) < 1 q ( x ) = 0 q(x)=0 q ( x ) = 0 q ≤ ( 2 / ε ) max p ∈ F p q\leq(2/\varepsilon)\max_{p\in F}p q ≤ ( 2/ ε ) max p ∈ F p
主張 (5) を示す。T T T 主張 (2) と§E2.12 命題 1.10 によりp ∘ T p\circ T p ∘ T p ∘ T p\circ T p ∘ T 主張 (1) によりE E E B F , ε ( 0 ) B_{F,\varepsilon}(0) B F , ε ( 0 ) T − 1 ( B F , ε ( 0 ) ) = ⋂ p ∈ F ( p ∘ T ) − 1 ( ( − ∞ , ε ) ) T^{-1}(B_{F,\varepsilon}(0))=\bigcap_{p\in F}(p\circ T)^{-1}((-\infty,\varepsilon)) T − 1 ( B F , ε ( 0 )) = ⋂ p ∈ F ( p ∘ T ) − 1 (( − ∞ , ε )) G G G T T T 0 0 0 補題 1.7 により連続である。
主張 (6) を示す。x k → x x_k\to x x k → x f p , x f_{p,x} f p , x p ( x k − x ) = f p , x ( x k ) → f p , x ( x ) = 0 p(x_k-x)=f_{p,x}(x_k)\to f_{p,x}(x)=0 p ( x k − x ) = f p , x ( x k ) → f p , x ( x ) = 0 p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P p ( x k − x ) → 0 p(x_k-x)\to0 p ( x k − x ) → 0 N N N x x x 主張 (1) によりB F , ε ( x ) ⊆ N B_{F,\varepsilon}(x)\subseteq N B F , ε ( x ) ⊆ N F F F ε \varepsilon ε F F F k ≥ k 0 k\geq k_0 k ≥ k 0 k k k p ∈ F p\in F p ∈ F p ( x k − x ) < ε p(x_k-x)<\varepsilon p ( x k − x ) < ε k 0 k_0 k 0 k ≥ k 0 k\geq k_0 k ≥ k 0 x k ∈ N x_k\in N x k ∈ N
主張 (7) を示す。各p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P τ \tau τ 命題 1.4 (1) により平行移動はτ \tau τ f p , a f_{p,a} f p , a τ \tau τ §E2.12 定義 3.2 によりτ P ⊆ τ \tau_{\mathcal P}\subseteq\tau τ P ⊆ τ τ = τ P \tau=\tau_{\mathcal P} τ = τ P 主張 (1) によりτ \tau τ B F , ε ( 0 ) B_{F,\varepsilon}(0) B F , ε ( 0 ) τ \tau τ B F , ε ( 0 ) B_{F,\varepsilon}(0) B F , ε ( 0 ) O ∈ τ O\in\tau O ∈ τ x ∈ O x\in O x ∈ O 命題 1.4 (1) によりO − x O-x O − x τ \tau τ B F , ε ( 0 ) ⊆ O − x B_{F,\varepsilon}(0)\subseteq O-x B F , ε ( 0 ) ⊆ O − x F F F ε \varepsilon ε B F , ε ( x ) = x + B F , ε ( 0 ) ⊆ O B_{F,\varepsilon}(x)=x+B_{F,\varepsilon}(0)\subseteq O B F , ε ( x ) = x + B F , ε ( 0 ) ⊆ O 主張 (1) によりB F , ε ( x ) ∈ τ P B_{F,\varepsilon}(x)\in\tau_{\mathcal P} B F , ε ( x ) ∈ τ P O O O τ P \tau_{\mathcal P} τ P τ ⊆ τ P \tau\subseteq\tau_{\mathcal P} τ ⊆ τ P ▨
補題 2.5. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } P , Q \mathcal P,\mathcal Q P , Q E E E τ Q ⊆ τ P \tau_{\mathcal Q}\subseteq\tau_{\mathcal P} τ Q ⊆ τ P q ∈ Q q\in\mathcal Q q ∈ Q τ P \tau_{\mathcal P} τ P Q ⊆ P \mathcal Q\subseteq\mathcal P Q ⊆ P τ Q ⊆ τ P \tau_{\mathcal Q}\subseteq\tau_{\mathcal P} τ Q ⊆ τ P
証明. 恒等線形写像I : ( E , τ P ) → ( E , τ Q ) I\colon(E,\tau_{\mathcal P})\to(E,\tau_{\mathcal Q}) I : ( E , τ P ) → ( E , τ Q ) O ⊆ E O\subseteq E O ⊆ E I − 1 ( O ) = O I^{-1}(O)=O I − 1 ( O ) = O I I I τ Q ⊆ τ P \tau_{\mathcal Q}\subseteq\tau_{\mathcal P} τ Q ⊆ τ P 命題 2.4 (2) により( E , τ P ) (E,\tau_{\mathcal P}) ( E , τ P ) 命題 2.4 (5) をI I I I I I q ∈ Q q\in\mathcal Q q ∈ Q q ∘ I = q q\circ I=q q ∘ I = q τ P \tau_{\mathcal P} τ P
Q ⊆ P \mathcal Q\subseteq\mathcal P Q ⊆ P 命題 2.4 (2) により各q ∈ Q q\in\mathcal Q q ∈ Q τ P \tau_{\mathcal P} τ P τ Q ⊆ τ P \tau_{\mathcal Q}\subseteq\tau_{\mathcal P} τ Q ⊆ τ P ▨
補題 2.6. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } P \mathcal P P E E E E E E τ P \tau_{\mathcal P} τ P ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ E E E x ∈ E x\in E x ∈ E x λ → x x_\lambda\to x x λ → x p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P R \R R ( p ( x λ − x ) ) λ ∈ Λ (p(x_\lambda-x))_{\lambda\in\Lambda} ( p ( x λ − x ) ) λ ∈ Λ 0 0 0
証明. 必要性を示す。x λ → x x_\lambda\to x x λ → x p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P τ P \tau_{\mathcal P} τ P z ↦ p ( z − a ) z\mapsto p(z-a) z ↦ p ( z − a ) p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P a ∈ E a\in E a ∈ E §E2.12 命題 3.3 (1) によりz ↦ p ( z − x ) z\mapsto p(z-x) z ↦ p ( z − x ) §E2.50 定理 6.2 (3) によりp ( x λ − x ) → p ( x − x ) = 0 p(x_\lambda-x)\to p(x-x)=0 p ( x λ − x ) → p ( x − x ) = 0
十分性を示す。すべてのp ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P p ( x λ − x ) → 0 p(x_\lambda-x)\to0 p ( x λ − x ) → 0 N N N x x x 命題 2.4 (1) により、B G , ε ( x ) ⊆ N B_{G,\varepsilon}(x)\subseteq N B G , ε ( x ) ⊆ N P \mathcal P P G G G ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 p ∈ G p\in G p ∈ G ( p ( x λ − x ) ) λ ∈ Λ (p(x_\lambda-x))_{\lambda\in\Lambda} ( p ( x λ − x ) ) λ ∈ Λ 0 0 0 ( − ε , ε ) (-\varepsilon,\varepsilon) ( − ε , ε ) λ ≥ λ p \lambda\geq\lambda_p λ ≥ λ p λ ∈ Λ \lambda\in\Lambda λ ∈ Λ p ( x λ − x ) < ε p(x_\lambda-x)<\varepsilon p ( x λ − x ) < ε λ p ∈ Λ \lambda_p\in\Lambda λ p ∈ Λ §E2.50 定義 5.1 条件 (a) と、§E2.50 定義 5.1 条件 (d) を有限回用いることにより、すべてのp ∈ G p\in G p ∈ G λ p ≤ λ 0 \lambda_p\leq\lambda_0 λ p ≤ λ 0 λ 0 ∈ Λ \lambda_0\in\Lambda λ 0 ∈ Λ λ ≥ λ 0 \lambda\geq\lambda_0 λ ≥ λ 0 §E2.50 定義 5.1 条件 (c) によりすべてのp ∈ G p\in G p ∈ G λ ≥ λ p \lambda\geq\lambda_p λ ≥ λ p p ( x λ − x ) < ε p(x_\lambda-x)<\varepsilon p ( x λ − x ) < ε x λ ∈ B G , ε ( x ) ⊆ N x_\lambda\in B_{G,\varepsilon}(x)\subseteq N x λ ∈ B G , ε ( x ) ⊆ N ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ N N N x λ → x x_\lambda\to x x λ → x ▨
定義 2.7. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } A ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E x ∈ E x\in E x ∈ E
p A ( x ) = inf { t > 0 ∣ x ∈ t A } p_A(x)=\inf\{t>0\mid x\in tA\} p A ( x ) = inf { t > 0 ∣ x ∈ t A } と定め、写像p A : E → [ 0 , ∞ ) p_A\colon E\to[0,\infty) p A : E → [ 0 , ∞ ) A A A Minkowski 汎関数 (Minkowski functional )A A A
命題 2.8. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } A ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E p A p_A p A A A A
任意のx , y ∈ E x,y\in E x , y ∈ E s ≥ 0 s\geq0 s ≥ 0 p A ( x + y ) ≤ p A ( x ) + p A ( y ) p_A(x+y)\leq p_A(x)+p_A(y) p A ( x + y ) ≤ p A ( x ) + p A ( y ) p A ( s x ) = s p A ( x ) p_A(sx)=sp_A(x) p A ( s x ) = s p A ( x )
{ x ∈ E ∣ p A ( x ) < 1 } ⊆ A ⊆ { x ∈ E ∣ p A ( x ) ≤ 1 } \{x\in E\mid p_A(x)<1\}\subseteq A\subseteq\{x\in E\mid p_A(x)\leq1\} { x ∈ E ∣ p A ( x ) < 1 } ⊆ A ⊆ { x ∈ E ∣ p A ( x ) ≤ 1 } A A A p A p_A p A E E E E E E A A A p A p_A p A A A A A = { x ∈ E ∣ p A ( x ) < 1 } A=\{x\in E\mid p_A(x)<1\} A = { x ∈ E ∣ p A ( x ) < 1 } 証明. A A A 0 ∈ t A 0\in tA 0 ∈ t A t > 0 t>0 t > 0 0 = t − 1 ⋅ 0 ∈ A 0=t^{-1}\cdot0\in A 0 = t − 1 ⋅ 0 ∈ A 0 < t ≤ t ′ 0<t\leq t' 0 < t ≤ t ′ x = t a x=ta x = t a a ∈ A a\in A a ∈ A A A A x = t ′ ( ( t / t ′ ) a + ( 1 − t / t ′ ) 0 ) ∈ t ′ A x=t'((t/t')a+(1-t/t')0)\in t'A x = t ′ (( t / t ′ ) a + ( 1 − t / t ′ ) 0 ) ∈ t ′ A x ∈ E x\in E x ∈ E { t > 0 ∣ x ∈ t A } \{t>0\mid x\in tA\} { t > 0 ∣ x ∈ t A }
主張 (1) を示す。0 ∈ t A 0\in tA 0 ∈ t A t > 0 t>0 t > 0 p A ( 0 ) = 0 p_A(0)=0 p A ( 0 ) = 0 s > 0 s>0 s > 0 s x ∈ t A sx\in tA s x ∈ t A x ∈ ( t / s ) A x\in(t/s)A x ∈ ( t / s ) A p A ( s x ) = s p A ( x ) p_A(sx)=sp_A(x) p A ( s x ) = s p A ( x ) x , y ∈ E x,y\in E x , y ∈ E ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 x ∈ s A x\in sA x ∈ s A y ∈ t A y\in tA y ∈ t A s < p A ( x ) + ε s<p_A(x)+\varepsilon s < p A ( x ) + ε t < p A ( y ) + ε t<p_A(y)+\varepsilon t < p A ( y ) + ε x = s a x=sa x = s a y = t b y=tb y = t b a , b ∈ A a,b\in A a , b ∈ A A A A
x + y = ( s + t ) ( s s + t a + t s + t b ) ∈ ( s + t ) A x+y=(s+t)\Bigl(\frac{s}{s+t}a+\frac{t}{s+t}b\Bigr)\in(s+t)A x + y = ( s + t ) ( s + t s a + s + t t b ) ∈ ( s + t ) A であるから、p A ( x + y ) ≤ s + t < p A ( x ) + p A ( y ) + 2 ε p_A(x+y)\leq s+t<p_A(x)+p_A(y)+2\varepsilon p A ( x + y ) ≤ s + t < p A ( x ) + p A ( y ) + 2 ε
主張 (2) を示す。p A ( x ) < 1 p_A(x)<1 p A ( x ) < 1 x ∈ 1 ⋅ A = A x\in1\cdot A=A x ∈ 1 ⋅ A = A x ∈ A x\in A x ∈ A p A ( x ) ≤ 1 p_A(x)\leq1 p A ( x ) ≤ 1
主張 (3) を示す。λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K ∣ λ ∣ = 1 \lvert\lambda\rvert=1 ∣ λ ∣ = 1 A A A λ A ⊆ A \lambda A\subseteq A λ A ⊆ A λ − 1 A ⊆ A \lambda^{-1}A\subseteq A λ − 1 A ⊆ A λ A = A \lambda A=A λ A = A λ x ∈ t A \lambda x\in tA λ x ∈ t A x ∈ t A x\in tA x ∈ t A p A ( λ x ) = p A ( x ) p_A(\lambda x)=p_A(x) p A ( λ x ) = p A ( x ) λ ≠ 0 \lambda\neq0 λ = 0 λ = ∣ λ ∣ ( λ / ∣ λ ∣ ) \lambda=\lvert\lambda\rvert(\lambda/\lvert\lambda\rvert) λ = ∣ λ ∣ ( λ / ∣ λ ∣) 主張 (1) を合わせるとp A ( λ x ) = ∣ λ ∣ p A ( x ) p_A(\lambda x)=\lvert\lambda\rvert p_A(x) p A ( λ x ) = ∣ λ ∣ p A ( x ) λ = 0 \lambda=0 λ = 0 p A ( 0 ) = 0 p_A(0)=0 p A ( 0 ) = 0
主張 (4) を示す。命題 1.4 (3) によりV ⊆ A V\subseteq A V ⊆ A V V V z ∈ V z\in V z ∈ V z , − z ∈ A z,-z\in A z , − z ∈ A 主張 (2) によりp A ( z ) ≤ 1 p_A(z)\leq1 p A ( z ) ≤ 1 p A ( − z ) ≤ 1 p_A(-z)\leq1 p A ( − z ) ≤ 1 x ∈ E x\in E x ∈ E ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 y ∈ x + ε V y\in x+\varepsilon V y ∈ x + ε V 主張 (1) によりp A ( y ) ≤ p A ( x ) + p A ( y − x ) ≤ p A ( x ) + ε p_A(y)\leq p_A(x)+p_A(y-x)\leq p_A(x)+\varepsilon p A ( y ) ≤ p A ( x ) + p A ( y − x ) ≤ p A ( x ) + ε p A ( x ) ≤ p A ( y ) + p A ( x − y ) ≤ p A ( y ) + ε p_A(x)\leq p_A(y)+p_A(x-y)\leq p_A(y)+\varepsilon p A ( x ) ≤ p A ( y ) + p A ( x − y ) ≤ p A ( y ) + ε 命題 1.4 (1) によりx + ε V x+\varepsilon V x + ε V x x x p A p_A p A x x x A A A x ∈ A x\in A x ∈ A t ↦ t x t\mapsto tx t ↦ t x 1 ⋅ x ∈ A 1\cdot x\in A 1 ⋅ x ∈ A ( 1 + δ ) x ∈ A (1+\delta)x\in A ( 1 + δ ) x ∈ A δ > 0 \delta>0 δ > 0 x ∈ ( 1 + δ ) − 1 A x\in(1+\delta)^{-1}A x ∈ ( 1 + δ ) − 1 A p A ( x ) ≤ ( 1 + δ ) − 1 < 1 p_A(x)\leq(1+\delta)^{-1}<1 p A ( x ) ≤ ( 1 + δ ) − 1 < 1 主張 (2) と合わせてA = { x ∣ p A ( x ) < 1 } A=\{x\mid p_A(x)<1\} A = { x ∣ p A ( x ) < 1 } ▨
定理 2.9. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E τ \tau τ E E E P E \mathcal P_E P E
E E E E E E E E E τ = τ P E \tau=\tau_{\mathcal P_E} τ = τ P E τ = τ P \tau=\tau_{\mathcal P} τ = τ P E E E P \mathcal P P 証明. (a) ⇒ \Rightarrow ⇒ (b) U U U W ⊆ U W\subseteq U W ⊆ U W W W 命題 1.4 (3) によりV ⊆ W V\subseteq W V ⊆ W V V V A = ⋂ { β W ∣ β ∈ K , ∣ β ∣ = 1 } A=\bigcap\{\beta W\mid\beta\in\mathbb K,\ \lvert\beta\rvert=1\} A = ⋂ { β W ∣ β ∈ K , ∣ β ∣ = 1 } A ⊆ W ⊆ U A\subseteq W\subseteq U A ⊆ W ⊆ U A A A ∣ β ∣ = 1 \lvert\beta\rvert=1 ∣ β ∣ = 1 β − 1 V ⊆ V ⊆ W \beta^{-1}V\subseteq V\subseteq W β − 1 V ⊆ V ⊆ W V ⊆ β W V\subseteq\beta W V ⊆ β W V ⊆ A V\subseteq A V ⊆ A A A A ∣ λ ∣ ≤ 1 \lvert\lambda\rvert\leq1 ∣ λ ∣ ≤ 1 λ = r γ \lambda=r\gamma λ = r γ 0 ≤ r ≤ 1 0\leq r\leq1 0 ≤ r ≤ 1 ∣ γ ∣ = 1 \lvert\gamma\rvert=1 ∣ γ ∣ = 1 γ A = ⋂ ∣ β ∣ = 1 γ β W = A \gamma A=\bigcap_{\lvert\beta\rvert=1}\gamma\beta W=A γ A = ⋂ ∣ β ∣ = 1 γ β W = A a ∈ A a\in A a ∈ A r a = ( 1 − r ) 0 + r a ∈ A ra=(1-r)0+ra\in A r a = ( 1 − r ) 0 + r a ∈ A λ A = r γ A = r A ⊆ A \lambda A=r\gamma A=rA\subseteq A λ A = r γ A = r A ⊆ A A A A
(b) ⇒ \Rightarrow ⇒ (c) U U U 命題 1.4 (6) により、V ‾ ⊆ U \tpcl{V}\subseteq U V ⊆ U V V V A ⊆ V A\subseteq V A ⊆ V A A A 補題 1.6 (3) と補題 1.6 (4) によりA ‾ \tpcl{A} A A ⊆ A ‾ A\subseteq\tpcl{A} A ⊆ A A ‾ \tpcl{A} A A ‾ ⊆ V ‾ ⊆ U \tpcl{A}\subseteq\tpcl{V}\subseteq U A ⊆ V ⊆ U (c) ⇒ \Rightarrow ⇒ (b)
(b) ⇒ \Rightarrow ⇒ (d) U U U A ⊆ U A\subseteq U A ⊆ U A A A 命題 1.4 (2) によりA A A 命題 2.8 (3) と命題 2.8 (4) によりp A ∈ P E p_A\in\mathcal P_E p A ∈ P E 命題 2.8 (2) によりB { p A } , 1 ( 0 ) ⊆ A ⊆ U B_{\{p_A\},1}(0)\subseteq A\subseteq U B { p A } , 1 ( 0 ) ⊆ A ⊆ U 命題 2.4 (7) によりτ = τ P E \tau=\tau_{\mathcal P_E} τ = τ P E
(d) ⇒ \Rightarrow ⇒ (e) P = P E \mathcal P=\mathcal P_E P = P E (e) ⇒ \Rightarrow ⇒ (a) 命題 2.4 (2) である。▨
命題 2.10. X X X K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } P = { ∥ ⋅ ∥ } \mathcal P=\{\lVert\cdot\rVert\} P = {∥ ⋅ ∥} x ∈ X x\in X x ∈ X ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 B { ∥ ⋅ ∥ } , ε ( x ) B_{\{\lVert\cdot\rVert\},\varepsilon}(x) B {∥ ⋅ ∥} , ε ( x ) { y ∣ ∥ y − x ∥ < ε } \{y\mid\lVert y-x\rVert<\varepsilon\} { y ∣ ∥ y − x ∥ < ε } 命題 2.4 (1) により、τ P \tau_{\mathcal P} τ P 命題 2.4 (2) と命題 2.4 (3) により、X X X §E10.2 定理 1.5 により、X X X K \mathbb K K X ′ X' X ′ §E10.2 定義 2.1 のX ∗ X^* X ∗
3 有界集合と前コンパクト集合 定義 3.1. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } A ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E E E E U U U A ⊆ t U A\subseteq tU A ⊆ t U t > 0 t>0 t > 0 A A A 有界 (bounded )
定義 3.2. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } A ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E E E E U U U A ⊆ F + U A\subseteq F+U A ⊆ F + U F ⊆ E F\subseteq E F ⊆ E A A A 前コンパクト (precompact )
命題 3.3. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
E E E E E E E E E E E E P \mathcal P P τ P \tau_{\mathcal P} τ P A ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P sup a ∈ A p ( a ) < ∞ \sup_{a\in A}p(a)<\infty sup a ∈ A p ( a ) < ∞ A A A sup a ∈ A ∥ a ∥ < ∞ \sup_{a\in A}\lVert a\rVert<\infty sup a ∈ A ∥ a ∥ < ∞ 証明. 主張 (1) を示す。A A A U U U 命題 1.4 (4) と命題 1.4 (3) によりV + V ⊆ U V+V\subseteq U V + V ⊆ U V V V A ⊆ F + V A\subseteq F+V A ⊆ F + V F F F 命題 1.4 (2) により、各x ∈ F x\in F x ∈ F x ∈ t x V x\in t_xV x ∈ t x V t x > 0 t_x>0 t x > 0 V V V t ≥ t x t\geq t_x t ≥ t x x ∈ t x V = t ( t x / t ) V ⊆ t V x\in t_xV=t(t_x/t)V\subseteq tV x ∈ t x V = t ( t x / t ) V ⊆ t V t = max ( { 1 } ∪ { t x ∣ x ∈ F } ) t=\max(\{1\}\cup\{t_x\mid x\in F\}) t = max ({ 1 } ∪ { t x ∣ x ∈ F }) F ⊆ t V F\subseteq tV F ⊆ t V V = t ( t − 1 V ) ⊆ t V V=t(t^{-1}V)\subseteq tV V = t ( t − 1 V ) ⊆ t V A ⊆ t V + t V = t ( V + V ) ⊆ t U A\subseteq tV+tV=t(V+V)\subseteq tU A ⊆ t V + t V = t ( V + V ) ⊆ t U
主張 (2) を示す。A A A U U U int ( U ) \tpint{U} int ( U ) 0 0 0 命題 1.4 (1) によりa + int ( U ) a+\tpint{U} a + int ( U ) a ∈ A a\in A a ∈ A A A A §E2.19 命題 2.6 によりA ⊆ F + int ( U ) ⊆ F + U A\subseteq F+\tpint{U}\subseteq F+U A ⊆ F + int ( U ) ⊆ F + U F ⊆ A F\subseteq A F ⊆ A
主張 (3) を示す。A A A p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P 命題 2.4 (1) によりB { p } , 1 ( 0 ) B_{\{p\},1}(0) B { p } , 1 ( 0 ) A ⊆ t B { p } , 1 ( 0 ) A\subseteq tB_{\{p\},1}(0) A ⊆ t B { p } , 1 ( 0 ) t > 0 t>0 t > 0 a ∈ A a\in A a ∈ A p ( a ) < t p(a)<t p ( a ) < t p ∈ P p\in\mathcal P p ∈ P sup A p < ∞ \sup_Ap<\infty sup A p < ∞ U U U 命題 2.4 (1) によりB F , ε ( 0 ) ⊆ U B_{F,\varepsilon}(0)\subseteq U B F , ε ( 0 ) ⊆ U F F F ε \varepsilon ε M = max ( { 0 } ∪ { sup A p ∣ p ∈ F } ) M=\max(\{0\}\cup\{\sup_Ap\mid p\in F\}) M = max ({ 0 } ∪ { sup A p ∣ p ∈ F }) t > M / ε t>M/\varepsilon t > M / ε t > 0 t>0 t > 0 a ∈ A a\in A a ∈ A p ∈ F p\in F p ∈ F p ( t − 1 a ) < ε p(t^{-1}a)<\varepsilon p ( t − 1 a ) < ε A ⊆ t B F , ε ( 0 ) ⊆ t U A\subseteq tB_{F,\varepsilon}(0)\subseteq tU A ⊆ t B F , ε ( 0 ) ⊆ t U 命題 2.10 によりP = { ∥ ⋅ ∥ } \mathcal P=\{\lVert\cdot\rVert\} P = {∥ ⋅ ∥} ▨
命題 3.4. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } d d d E E E x , y , a ∈ E x,y,a\in E x , y , a ∈ E d ( x + a , y + a ) = d ( x , y ) d(x+a,y+a)=d(x,y) d ( x + a , y + a ) = d ( x , y ) d d d E E E A ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E A A A ( E , d ) (E,d) ( E , d ) §E2.8 定義 1.2 の意味で全有界であることである。
証明. x ∈ E x\in E x ∈ E r > 0 r>0 r > 0 B d ( x , r ) = { y ∈ E ∣ d ( y , x ) < r } B_d(x,r)=\{y\in E\mid d(y,x)<r\} B d ( x , r ) = { y ∈ E ∣ d ( y , x ) < r } d d d B d ( x , r ) = x + B d ( 0 , r ) B_d(x,r)=x+B_d(0,r) B d ( x , r ) = x + B d ( 0 , r ) d d d E E E B d ( 0 , r ) B_d(0,r) B d ( 0 , r ) E E E B d ( 0 , r ) B_d(0,r) B d ( 0 , r ) A = ∅ A=\emptyset A = ∅ A A A A ≠ ∅ A\neq\emptyset A = ∅
必要性を示す。A A A ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 A ⊆ F + B d ( 0 , ε / 2 ) A\subseteq F+B_d(0,\varepsilon/2) A ⊆ F + B d ( 0 , ε /2 ) F ⊆ E F\subseteq E F ⊆ E F + B d ( 0 , ε / 2 ) = ⋃ x ∈ F B d ( x , ε / 2 ) F+B_d(0,\varepsilon/2)=\bigcup_{x\in F}B_d(x,\varepsilon/2) F + B d ( 0 , ε /2 ) = ⋃ x ∈ F B d ( x , ε /2 ) F ′ = { x ∈ F ∣ A ∩ B d ( x , ε / 2 ) ≠ ∅ } F'=\{x\in F\mid A\cap B_d(x,\varepsilon/2)\neq\emptyset\} F ′ = { x ∈ F ∣ A ∩ B d ( x , ε /2 ) = ∅ } x ∈ F ′ x\in F' x ∈ F ′ a x ∈ A ∩ B d ( x , ε / 2 ) a_x\in A\cap B_d(x,\varepsilon/2) a x ∈ A ∩ B d ( x , ε /2 ) a ∈ A a\in A a ∈ A a ∈ B d ( x , ε / 2 ) a\in B_d(x,\varepsilon/2) a ∈ B d ( x , ε /2 ) x ∈ F ′ x\in F' x ∈ F ′ d ( a , a x ) ≤ d ( a , x ) + d ( x , a x ) < ε d(a,a_x)\leq d(a,x)+d(x,a_x)<\varepsilon d ( a , a x ) ≤ d ( a , x ) + d ( x , a x ) < ε { a x ∣ x ∈ F ′ } \{a_x\mid x\in F'\} { a x ∣ x ∈ F ′ } A A A ε \varepsilon ε A A A
十分性を示す。A A A U U U B d ( 0 , r ) ⊆ U B_d(0,r)\subseteq U B d ( 0 , r ) ⊆ U r > 0 r>0 r > 0 A A A r r r F F F A ⊆ ⋃ a ∈ F B d ( a , r ) = F + B d ( 0 , r ) ⊆ F + U A\subseteq\bigcup_{a\in F}B_d(a,r)=F+B_d(0,r)\subseteq F+U A ⊆ ⋃ a ∈ F B d ( a , r ) = F + B d ( 0 , r ) ⊆ F + U A A A ▨
4 有限次元の位相線形空間 定理 4.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 K n \mathbb K^n K n E E E K \mathbb K K T : K n → E T\colon\mathbb K^n\to E T : K n → E T T T K \mathbb K K n n n
証明. K n \mathbb K^n K n K \mathbb K K §E2.14 定理 1.6 により連続であり、K n \mathbb K^n K n n = 0 n=0 n = 0 E = { 0 } E=\{0\} E = { 0 } n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 e 1 , … , e n e_1,\ldots,e_n e 1 , … , e n K n \mathbb K^n K n
T ( c ) = ∑ i = 1 n c i T ( e i ) T(c)=\sum_{i=1}^nc_iT(e_i) T ( c ) = ∑ i = 1 n c i T ( e i ) c ↦ c i T ( e i ) c\mapsto c_iT(e_i) c ↦ c i T ( e i ) c ↦ c i c\mapsto c_i c ↦ c i t ↦ ( t , T ( e i ) ) t\mapsto(t,T(e_i)) t ↦ ( t , T ( e i )) T T T c ∈ K n c\in\mathbb K^n c ∈ K n ∥ c ∥ = ( ∑ i = 1 n ∣ c i ∣ 2 ) 1 / 2 \lVert c\rVert=(\sum_{i=1}^n\lvert c_i\rvert^2)^{1/2} ∥ c ∥ = ( ∑ i = 1 n ∣ c i ∣ 2 ) 1/2 K = R \mathbb K=\R K = R m = n m=n m = n Φ = id R n \Phi=\id_{\R^n} Φ = id R n K = C \mathbb K=\C K = C m = 2 n m=2n m = 2 n Φ ( c ) = ( ℜ c 1 , ℑ c 1 , … , ℜ c n , ℑ c n ) \Phi(c)=(\Re c_1,\Im c_1,\ldots,\Re c_n,\Im c_n) Φ ( c ) = ( ℜ c 1 , ℑ c 1 , … , ℜ c n , ℑ c n ) Φ : K n → R m \Phi\colon\mathbb K^n\to\R^m Φ : K n → R m ∣ t ∣ 2 = ( ℜ t ) 2 + ( ℑ t ) 2 \lvert t\rvert^2=(\Re t)^2+(\Im t)^2 ∣ t ∣ 2 = ( ℜ t ) 2 + ( ℑ t ) 2 R m \R^m R m d 2 d_2 d 2 d 2 ( Φ ( c ) , Φ ( c ′ ) ) = ∥ c − c ′ ∥ d_2(\Phi(c),\Phi(c'))=\lVert c-c'\rVert d 2 ( Φ ( c ) , Φ ( c ′ )) = ∥ c − c ′ ∥ d ( c , c ′ ) = ∥ c − c ′ ∥ d(c,c')=\lVert c-c'\rVert d ( c , c ′ ) = ∥ c − c ′ ∥ K n \mathbb K^n K n Φ \Phi Φ ( K n , d ) (\mathbb K^n,d) ( K n , d ) ( R m , d 2 ) (\R^m,d_2) ( R m , d 2 ) d d d K n \mathbb K^n K n i i i p i p_i p i ∣ p i ( c ) − p i ( c ′ ) ∣ ≤ d ( c , c ′ ) \lvert p_i(c)-p_i(c')\rvert\leq d(c,c') ∣ p i ( c ) − p i ( c ′ )∣ ≤ d ( c , c ′ ) d d d §E2.14 定理 1.6 により恒等写像はd d d O O O d d d a ∈ O a\in O a ∈ O { c ∣ d ( c , a ) < ε } ⊆ O \{c\mid d(c,a)<\varepsilon\}\subseteq O { c ∣ d ( c , a ) < ε } ⊆ O ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 §E2.14 定理 1.6 を恒等写像に適用すると各p i p_i p i G = ⋂ i = 1 n p i − 1 ( { t ∈ K ∣ ∣ t − a i ∣ < ε / n } ) G=\bigcap_{i=1}^np_i^{-1}(\{t\in\mathbb K\mid\lvert t-a_i\rvert<\varepsilon/\sqrt n\}) G = ⋂ i = 1 n p i − 1 ({ t ∈ K ∣ ∣ t − a i ∣ < ε / n }) a a a c ∈ G c\in G c ∈ G d ( c , a ) 2 < n ( ε / n ) 2 = ε 2 d(c,a)^2<n(\varepsilon/\sqrt n)^2=\varepsilon^2 d ( c , a ) 2 < n ( ε / n ) 2 = ε 2 G ⊆ O G\subseteq O G ⊆ O O O O S = { c ∈ K n ∣ ∥ c ∥ = 1 } S=\{c\in\mathbb K^n\mid\lVert c\rVert=1\} S = { c ∈ K n ∣ ∥ c ∥ = 1 } Φ ( S ) \Phi(S) Φ ( S ) ( R m , d 2 ) (\R^m,d_2) ( R m , d 2 ) §E2.9 定理 4.3 によりコンパクトである。Φ − 1 \Phi^{-1} Φ − 1 §E2.19 定理 4.2 によりS = Φ − 1 ( Φ ( S ) ) S=\Phi^{-1}(\Phi(S)) S = Φ − 1 ( Φ ( S )) K n \mathbb K^n K n §E2.19 定理 4.2 によりT ( S ) T(S) T ( S ) E E E §E2.19 命題 6.4 によりT ( S ) T(S) T ( S ) T T T 0 ∉ S 0\notin S 0 ∈ / S 0 ∉ T ( S ) 0\notin T(S) 0 ∈ / T ( S ) E ∖ T ( S ) E\setminus T(S) E ∖ T ( S ) 命題 1.4 (3) によりV ∩ T ( S ) = ∅ V\cap T(S)=\emptyset V ∩ T ( S ) = ∅ V V V
c ∈ T − 1 ( V ) c\in T^{-1}(V) c ∈ T − 1 ( V ) ∥ c ∥ ≥ 1 \lVert c\rVert\geq1 ∥ c ∥ ≥ 1 c / ∥ c ∥ ∈ S c/\lVert c\rVert\in S c / ∥ c ∥ ∈ S V V V T ( c / ∥ c ∥ ) = ∥ c ∥ − 1 T ( c ) ∈ V T(c/\lVert c\rVert)=\lVert c\rVert^{-1}T(c)\in V T ( c / ∥ c ∥) = ∥ c ∥ − 1 T ( c ) ∈ V T ( c / ∥ c ∥ ) ∈ V ∩ T ( S ) T(c/\lVert c\rVert)\in V\cap T(S) T ( c / ∥ c ∥) ∈ V ∩ T ( S ) V ∩ T ( S ) = ∅ V\cap T(S)=\emptyset V ∩ T ( S ) = ∅ T − 1 ( V ) ⊆ { c ∣ ∥ c ∥ < 1 } T^{-1}(V)\subseteq\{c\mid\lVert c\rVert<1\} T − 1 ( V ) ⊆ { c ∣ ∥ c ∥ < 1 } ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 T − 1 ( ε V ) = ε T − 1 ( V ) ⊆ { c ∣ ∥ c ∥ < ε } T^{-1}(\varepsilon V)=\varepsilon T^{-1}(V)\subseteq\{c\mid\lVert c\rVert<\varepsilon\} T − 1 ( ε V ) = ε T − 1 ( V ) ⊆ { c ∣ ∥ c ∥ < ε } 命題 1.4 (1) によりε V \varepsilon V ε V T − 1 T^{-1} T − 1 0 0 0 補題 1.7 により連続である。
L L L K \mathbb K K n n n φ : K n → L \varphi\colon\mathbb K^n\to L φ : K n → L φ \varphi φ K n \mathbb K^n K n L L L L L L τ 1 , τ 2 \tau_1,\tau_2 τ 1 , τ 2 L L L i = 1 , 2 i=1,2 i = 1 , 2 φ : K n → ( L , τ i ) \varphi\colon\mathbb K^n\to(L,\tau_i) φ : K n → ( L , τ i ) ( L , τ 1 ) → ( L , τ 2 ) (L,\tau_1)\to(L,\tau_2) ( L , τ 1 ) → ( L , τ 2 ) φ − 1 : ( L , τ 1 ) → K n \varphi^{-1}\colon(L,\tau_1)\to\mathbb K^n φ − 1 : ( L , τ 1 ) → K n φ : K n → ( L , τ 2 ) \varphi\colon\mathbb K^n\to(L,\tau_2) φ : K n → ( L , τ 2 ) τ 1 = τ 2 \tau_1=\tau_2 τ 1 = τ 2 ▨
例 4.2.
K \mathbb K K { ∅ , K } \{\emptyset,\mathbb K\} { ∅ , K } K \mathbb K K K = K 1 \mathbb K=\mathbb K^1 K = K 1 K \mathbb K K { t ∣ ∣ t ∣ < 1 } \{t\mid\lvert t\rvert<1\} { t ∣ ∣ t ∣ < 1 } 定理 4.1 の結論は Hausdorff 性を外すと成り立たない。E E E K \mathbb K K B B B E E E §E3.3 定理 2.1 によりB B B x ∈ E x\in E x ∈ E b b b 0 0 0 ( c b ( x ) ) b ∈ B (c_b(x))_{b\in B} ( c b ( x ) ) b ∈ B x = ∑ b ∈ B c b ( x ) b x=\sum_{b\in B}c_b(x)b x = ∑ b ∈ B c b ( x ) b c b : E → K c_b\colon E\to\mathbb K c b : E → K ∥ x ∥ 1 = ∑ b ∈ B ∣ c b ( x ) ∣ \lVert x\rVert_1=\sum_{b\in B}\lvert c_b(x)\rvert ∥ x ∥ 1 = ∑ b ∈ B ∣ c b ( x )∣ ∥ x ∥ ∞ = max b ∈ B ∣ c b ( x ) ∣ \lVert x\rVert_\infty=\max_{b\in B}\lvert c_b(x)\rvert ∥ x ∥ ∞ = max b ∈ B ∣ c b ( x )∣ x = 0 x=0 x = 0 0 0 0 ∥ ⋅ ∥ 1 \lVert\cdot\rVert_1 ∥ ⋅ ∥ 1 ∥ ⋅ ∥ ∞ \lVert\cdot\rVert_\infty ∥ ⋅ ∥ ∞ E E E 命題 2.10 により、どちらの位相についてもE E E ∥ x ∥ ∞ ≤ ∥ x ∥ 1 \lVert x\rVert_\infty\leq\lVert x\rVert_1 ∥ x ∥ ∞ ≤ ∥ x ∥ 1 ( E , ∥ ⋅ ∥ 1 ) → ( E , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (E,\lVert\cdot\rVert_1)\to(E,\lVert\cdot\rVert_\infty) ( E , ∥ ⋅ ∥ 1 ) → ( E , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) §E10.2 定理 1.5 により連続である。実数ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 m > 1 / ε m>1/\varepsilon m > 1/ ε m ∈ N ≥ 1 m\in\NN m ∈ N ≥ 1 E E E B B B m m m B m ⊆ B B_m\subseteq B B m ⊆ B x = m − 1 ∑ b ∈ B m b x=m^{-1}\sum_{b\in B_m}b x = m − 1 ∑ b ∈ B m b x x x ∥ x ∥ ∞ = 1 / m < ε \lVert x\rVert_\infty=1/m<\varepsilon ∥ x ∥ ∞ = 1/ m < ε ∥ x ∥ 1 = 1 \lVert x\rVert_1=1 ∥ x ∥ 1 = 1 ∥ ⋅ ∥ 1 \lVert\cdot\rVert_1 ∥ ⋅ ∥ 1 { x ∣ ∥ x ∥ 1 < 1 } \{x\mid\lVert x\rVert_1<1\} { x ∣ ∥ x ∥ 1 < 1 } ∥ ⋅ ∥ ∞ \lVert\cdot\rVert_\infty ∥ ⋅ ∥ ∞ { x ∣ ∥ x ∥ ∞ < ε } \{x\mid\lVert x\rVert_\infty<\varepsilon\} { x ∣ ∥ x ∥ ∞ < ε } ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 c 00 c_{00} c 00 j j j 1 1 1 e j e_j e j B = { e j ∣ j ∈ N ≥ 1 } B=\{e_j\mid j\in\NN\} B = { e j ∣ j ∈ N ≥ 1 } ∥ x ∥ 1 = ∑ j ∣ x j ∣ \lVert x\rVert_1=\sum_j\lvert x_j\rvert ∥ x ∥ 1 = ∑ j ∣ x j ∣ ∥ x ∥ ∞ = sup j ∣ x j ∣ \lVert x\rVert_\infty=\sup_j\lvert x_j\rvert ∥ x ∥ ∞ = sup j ∣ x j ∣ ( c 00 , ∥ ⋅ ∥ 1 ) → ( c 00 , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (c_{00},\lVert\cdot\rVert_1)\to(c_{00},\lVert\cdot\rVert_\infty) ( c 00 , ∥ ⋅ ∥ 1 ) → ( c 00 , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) 系 4.3. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
E E E E E E E E E E E E K \mathbb K K F F F 証明. 主張 (2) を示す。n = dim E n=\dim E n = dim E φ : K n → E \varphi\colon\mathbb K^n\to E φ : K n → E 定理 4.1 によりφ − 1 \varphi^{-1} φ − 1 T : E → F T\colon E\to F T : E → F ( T ∘ φ ) ( c ) = ∑ i = 1 n c i T ( φ ( e i ) ) (T\circ\varphi)(c)=\sum_{i=1}^nc_iT(\varphi(e_i)) ( T ∘ φ ) ( c ) = ∑ i = 1 n c i T ( φ ( e i )) F F F T ∘ φ T\circ\varphi T ∘ φ T = ( T ∘ φ ) ∘ φ − 1 T=(T\circ\varphi)\circ\varphi^{-1} T = ( T ∘ φ ) ∘ φ − 1
主張 (1) を示す。M M M E E E m = dim M m=\dim M m = dim M x ∈ M ‾ x\in\tpcl{M} x ∈ M x ∉ M x\notin M x ∈ / M M ′ = M + K x M'=M+\mathbb Kx M ′ = M + K x m + 1 m+1 m + 1 補題 1.6 (1) により部分空間位相について Hausdorff 位相線形空間である。M M M f 1 , … , f m f_1,\ldots,f_m f 1 , … , f m x x x ψ : K m + 1 → M ′ \psi\colon\mathbb K^{m+1}\to M' ψ : K m + 1 → M ′ ψ ( c ) = ∑ i = 1 m c i f i + c m + 1 x \psi(c)=\sum_{i=1}^mc_if_i+c_{m+1}x ψ ( c ) = ∑ i = 1 m c i f i + c m + 1 x 定理 4.1 によりψ \psi ψ ψ − 1 ( M ) = { c ∣ c m + 1 = 0 } \psi^{-1}(M)=\{c\mid c_{m+1}=0\} ψ − 1 ( M ) = { c ∣ c m + 1 = 0 } c ↦ c m + 1 c\mapsto c_{m+1} c ↦ c m + 1 { 0 } \{0\} { 0 } M M M M ′ M' M ′ §E2.12 命題 4.7 (1) によりM ′ M' M ′ M M M M ‾ ∩ M ′ \tpcl{M}\cap M' M ∩ M ′ x x x M M M M ′ M' M ′ x ∈ M x\in M x ∈ M x ∉ M x\notin M x ∈ / M M ‾ = M \tpcl{M}=M M = M ▨
5 標準一様構造、完備性、F 空間と Fréchet 空間 証明. U , U ′ U,U' U , U ′ E E E E E E N U N_U N U 0 ∈ U 0\in U 0 ∈ U Δ E ⊆ N U \Delta_E\subseteq N_U Δ E ⊆ N U N U ∩ U ′ = N U ∩ N U ′ N_{U\cap U'}=N_U\cap N_{U'} N U ∩ U ′ = N U ∩ N U ′ 命題 1.4 (1) により− U -U − U N − U = N U − 1 N_{-U}=N_U^{-1} N − U = N U − 1 命題 1.4 (4) によりV + V ⊆ U V+V\subseteq U V + V ⊆ U V V V ( x , y ) , ( y , z ) ∈ N V (x,y),(y,z)\in N_V ( x , y ) , ( y , z ) ∈ N V z − x = ( y − x ) + ( z − y ) ∈ V + V ⊆ U z-x=(y-x)+(z-y)\in V+V\subseteq U z − x = ( y − x ) + ( z − y ) ∈ V + V ⊆ U N V ∘ N V ⊆ N U N_V\circ N_V\subseteq N_U N V ∘ N V ⊆ N U §E2.51 命題 1.8 により、N U N_U N U E E E U E \mathcal U_E U E
x ∈ E x\in E x ∈ E N U [ x ] = x + U N_U[x]=x+U N U [ x ] = x + U 命題 1.4 (1) により、U U U E E E x + U x+U x + U x x x U E \mathcal U_E U E N U N_U N U §E2.51 命題 2.1 によりU E \mathcal U_E U E x x x E E E x x x §E2.11 補題 6.8 により位相は近傍系から定まるから、U E \mathcal U_E U E E E E
a ∈ E a\in E a ∈ E τ a ( x ) = x + a \tau_a(x)=x+a τ a ( x ) = x + a τ a ( y ) − τ a ( x ) = y − x \tau_a(y)-\tau_a(x)=y-x τ a ( y ) − τ a ( x ) = y − x ( τ a × τ a ) − 1 ( N U ) = N U (\tau_a\times\tau_a)^{-1}(N_U)=N_U ( τ a × τ a ) − 1 ( N U ) = N U §E2.51 命題 3.4 (2) によりτ a \tau_a τ a τ a \tau_a τ a τ − a \tau_{-a} τ − a τ a \tau_a τ a ▨
系 5.4. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E E E E E E E
証明. 命題 5.1 によりU E \mathcal U_E U E E E E §E2.51 定理 7.2 (1) によりE E E E E E U E \mathcal U_E U E E E E §E2.51 命題 2.8 によりU E \mathcal U_E U E U E \mathcal U_E U E E E E §E2.51 定理 7.2 (2) によりE E E ▨
証明. 主張 (1) を示す。W ∈ U F W\in\mathcal U_F W ∈ U F N V ⊆ W N_V\subseteq W N V ⊆ W F F F V V V T T T T 0 = 0 T0=0 T 0 = 0 U = T − 1 ( V ) U=T^{-1}(V) U = T − 1 ( V ) E E E ( x , y ) ∈ N U (x,y)\in N_U ( x , y ) ∈ N U T y − T x = T ( y − x ) ∈ V Ty-Tx=T(y-x)\in V T y − T x = T ( y − x ) ∈ V N U ⊆ ( T × T ) − 1 ( N V ) ⊆ ( T × T ) − 1 ( W ) N_U\subseteq(T\times T)^{-1}(N_V)\subseteq(T\times T)^{-1}(W) N U ⊆ ( T × T ) − 1 ( N V ) ⊆ ( T × T ) − 1 ( W ) §E2.51 定義 1.3 条件 (b) により( T × T ) − 1 ( W ) ∈ U E (T\times T)^{-1}(W)\in\mathcal U_E ( T × T ) − 1 ( W ) ∈ U E T T T T T T T − 1 T^{-1} T − 1 §E2.51 定義 3.3 によりT T T
主張 (2) を示す。部分空間位相の定義により、M M M E E E U U U U ∩ M U\cap M U ∩ M U ∩ M U\cap M U ∩ M M M M M M M N U ∩ M N_{U\cap M} N U ∩ M N U ∩ ( M × M ) N_U\cap(M\times M) N U ∩ ( M × M ) U M \mathcal U_M U M N U ∩ M = N U ∩ ( M × M ) N_{U\cap M}=N_U\cap(M\times M) N U ∩ M = N U ∩ ( M × M ) { V ∩ ( M × M ) ∣ V ∈ U E } \{V\cap(M\times M)\mid V\in\mathcal U_E\} { V ∩ ( M × M ) ∣ V ∈ U E } V ∩ ( M × M ) V\cap(M\times M) V ∩ ( M × M ) N U ⊆ V N_U\subseteq V N U ⊆ V U U U N U ∩ ( M × M ) N_U\cap(M\times M) N U ∩ ( M × M ) ▨
定義 5.7. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E ( x n ) n ∈ N ≥ 1 (x_n)_{n\in\NN} ( x n ) n ∈ N ≥ 1 E E E U U U m , n ≥ N m,n\geq N m , n ≥ N m , n m,n m , n x m − x n ∈ U x_m-x_n\in U x m − x n ∈ U N ∈ N ≥ 1 N\in\NN N ∈ N ≥ 1 ( x n ) n ∈ N ≥ 1 (x_n)_{n\in\NN} ( x n ) n ∈ N ≥ 1 E E E Cauchy 列 (Cauchy sequence )
定義 5.8. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } ( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) §E2.53 定義 1.1 の意味で完備であるとき、すなわち( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) E E E E E E 完備 (complete )E E E E E E E E E 点列完備 (sequentially complete )
命題 5.9. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
E E E E E E ( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) E E E E E E E E E B \mathcal B B E E E B \mathcal B B E E E E E E d d d E E E x , y , a ∈ E x,y,a\in E x , y , a ∈ E d ( x + a , y + a ) = d ( x , y ) d(x+a,y+a)=d(x,y) d ( x + a , y + a ) = d ( x , y ) d d d E E E E E E E E E ( E , d ) (E,d) ( E , d ) E E E ( E , d ) (E,d) ( E , d ) 証明. 主張 (1) を示す。§E2.53 定義 1.1 により、点列( x n ) (x_n) ( x n ) ( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) V ∈ U E V\in\mathcal U_E V ∈ U E m , n ≥ N m,n\geq N m , n ≥ N m , n m,n m , n ( x m , x n ) ∈ V (x_m,x_n)\in V ( x m , x n ) ∈ V N N N U E \mathcal U_E U E N U N_U N U N U N_U N U U E \mathcal U_E U E ( x m , x n ) ∈ N U (x_m,x_n)\in N_U ( x m , x n ) ∈ N U x n − x m ∈ U x_n-x_m\in U x n − x m ∈ U m m m n n n
主張 (2) を示す。E E E ( x n ) (x_n) ( x n ) E E E 主張 (1) により( x n ) (x_n) ( x n ) ( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) §E2.53 定義 1.1 によりN ≥ 1 \NN N ≥ 1 §E2.53 命題 1.3 (3) により、このネットはU E \mathcal U_E U E E E E x ∈ E x\in E x ∈ E N ≥ 1 \NN N ≥ 1 ( x n ) (x_n) ( x n ) x x x
主張 (3) を示す。E E E U U U B ∈ B B\in\mathcal B B ∈ B N B ⊆ N U N_B\subseteq N_U N B ⊆ N U { N B ∣ B ∈ B } \{N_B\mid B\in\mathcal B\} { N B ∣ B ∈ B } U E \mathcal U_E U E §E2.53 命題 3.1 (1) により、( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) ( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) 主張 (1) によりこれはE E E
主張 (4) を示す。d d d E E E { x ∣ d ( x , 0 ) < 1 / k } \{x\mid d(x,0)<1/k\} { x ∣ d ( x , 0 ) < 1/ k } k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 E E E E E E d d d d ( x m − x n , 0 ) = d ( x m , x n ) d(x_m-x_n,0)=d(x_m,x_n) d ( x m − x n , 0 ) = d ( x m , x n ) E E E ( E , d ) (E,d) ( E , d ) §E2.13 命題 7.2 により、点列がE E E d d d E E E ( E , d ) (E,d) ( E , d ) 主張 (3) により、E E E E E E ▨
命題 5.10. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } M M M E E E M M M
E E E M M M E E E M M M E E E M M M M M M E E E 証明. 補題 1.6 (1) によりM M M 命題 5.6 (2) によりM M M U M \mathcal U_M U M U E \mathcal U_E U E U E \mathcal U_E U E E E E
主張 (1) を示す。( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) M M M §E2.53 命題 2.1 (1) により( M , U M ) (M,\mathcal U_M) ( M , U M ) M M M
主張 (2) を示す。( x , y ) ∈ ⋂ U E (x,y)\in\bigcap\mathcal U_E ( x , y ) ∈ ⋂ U E U U U y − x ∈ U y-x\in U y − x ∈ U 命題 1.5 によりx = y x=y x = y U E \mathcal U_E U E ( M , U M ) (M,\mathcal U_M) ( M , U M ) §E2.53 命題 2.1 (2) によりM M M E E E ▨
例 5.11. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } I I I K \mathbb K K x = ( x i ) i ∈ I x=(x_i)_{i\in I} x = ( x i ) i ∈ I K I \mathbb K^I K I P = { p i ∣ i ∈ I } \mathcal P=\{p_i\mid i\in I\} P = { p i ∣ i ∈ I } p i ( x ) = ∣ x i ∣ p_i(x)=\lvert x_i\rvert p i ( x ) = ∣ x i ∣ x ∈ K I x\in\mathbb K^I x ∈ K I supp x = { i ∈ I ∣ x i ≠ 0 } \operatorname{supp}x=\{i\in I\mid x_i\neq0\} supp x = { i ∈ I ∣ x i = 0 } M = { x ∈ K I ∣ supp x は高々可算 } M=\{x\in\mathbb K^I\mid\operatorname{supp}x\text{ は高々可算}\} M = { x ∈ K I ∣ supp x は高々可算 } M M M M M M K I \mathbb K^I K I M M M M M M
証明. 高々可算集合Y Y Y N ≥ 0 \N N ≥ 0 Y Y Y n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 { 0 , … , n − 1 } \{0,\ldots,n-1\} { 0 , … , n − 1 } Y Y Y Y Y Y N ≥ 0 \N N ≥ 0 x , y ∈ K I x,y\in\mathbb K^I x , y ∈ K I λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K supp ( x + y ) ⊆ supp x ∪ supp y \operatorname{supp}(x+y)\subseteq\operatorname{supp}x\cup\operatorname{supp}y supp ( x + y ) ⊆ supp x ∪ supp y supp ( λ x ) ⊆ supp x \operatorname{supp}(\lambda x)\subseteq\operatorname{supp}x supp ( λ x ) ⊆ supp x supp 0 = ∅ \operatorname{supp}0=\emptyset supp 0 = ∅ §E1.18 定理 5.1 によりM M M 補題 1.6 (1) によりM M M x ≠ 0 x\neq0 x = 0 x i ≠ 0 x_i\neq0 x i = 0 i i i p i ( x ) ≠ 0 p_i(x)\neq0 p i ( x ) = 0 P \mathcal P P 命題 2.4 (3) によりK I \mathbb K^I K I
( x ( k ) ) k ∈ N ≥ 1 (x^{(k)})_{k\in\NN} ( x ( k ) ) k ∈ N ≥ 1 M M M i ∈ I i\in I i ∈ I ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 B { p i } , ε ( 0 ) ∩ M B_{\{p_i\},\varepsilon}(0)\cap M B { p i } , ε ( 0 ) ∩ M M M M ( x i ( k ) ) k ∈ N ≥ 1 (x^{(k)}_i)_{k\in\NN} ( x i ( k ) ) k ∈ N ≥ 1 K \mathbb K K y i ∈ K y_i\in\mathbb K y i ∈ K y = ( y i ) i ∈ I y=(y_i)_{i\in I} y = ( y i ) i ∈ I y i ≠ 0 y_i\neq0 y i = 0 x i ( k ) ≠ 0 x^{(k)}_i\neq0 x i ( k ) = 0 k k k supp y ⊆ ⋃ k ∈ N ≥ 1 supp x ( k ) \operatorname{supp}y\subseteq\bigcup_{k\in\NN}\operatorname{supp}x^{(k)} supp y ⊆ ⋃ k ∈ N ≥ 1 supp x ( k ) §E1.18 定理 6.3 によりsupp y \operatorname{supp}y supp y y ∈ M y\in M y ∈ M i ∈ I i\in I i ∈ I p i ( x ( k ) − y ) → 0 p_i(x^{(k)}-y)\to0 p i ( x ( k ) − y ) → 0 命題 2.4 (6) により( x ( k ) ) (x^{(k)}) ( x ( k ) ) K I \mathbb K^I K I y y y M M M M M M y y y M M M
x ∈ K I x\in\mathbb K^I x ∈ K I N N N x x x 命題 2.4 (1) によりB F , ε ( x ) ⊆ N B_{F,\varepsilon}(x)\subseteq N B F , ε ( x ) ⊆ N P \mathcal P P F F F ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 J = { i ∈ I ∣ p i ∈ F } J=\{i\in I\mid p_i\in F\} J = { i ∈ I ∣ p i ∈ F } i ∈ J i\in J i ∈ J z i = x i z_i=x_i z i = x i i ∉ J i\notin J i ∈ / J z i = 0 z_i=0 z i = 0 supp z ⊆ J \operatorname{supp}z\subseteq J supp z ⊆ J z ∈ M z\in M z ∈ M p ∈ F p\in F p ∈ F p ( z − x ) = 0 p(z-x)=0 p ( z − x ) = 0 z ∈ B F , ε ( x ) ⊆ N z\in B_{F,\varepsilon}(x)\subseteq N z ∈ B F , ε ( x ) ⊆ N §E2.11 命題 7.2 (2) によりx ∈ M ‾ x\in\tpcl{M} x ∈ M M ‾ = K I \tpcl{M}=\mathbb K^I M = K I
M M M 命題 5.10 (2) によりM M M K I \mathbb K^I K I M = M ‾ = K I M=\tpcl{M}=\mathbb K^I M = M = K I 1 1 1 u ∈ K I u\in\mathbb K^I u ∈ K I supp u = I \operatorname{supp}u=I supp u = I I I I u ∉ M u\notin M u ∈ / M M M M M M M M M M 命題 5.9 (3) により、点列完備なM M M M M M ▨
命題 5.12. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } ( p k ) k ∈ N ≥ 1 (p_k)_{k\in\NN} ( p k ) k ∈ N ≥ 1 E E E P = { p k ∣ k ∈ N ≥ 1 } \mathcal P=\{p_k\mid k\in\NN\} P = { p k ∣ k ∈ N ≥ 1 } E E E x , y ∈ E x,y\in E x , y ∈ E
d ( x , y ) = ∑ k = 1 ∞ 2 − k min { 1 , p k ( x − y ) } d(x,y)=\sum_{k=1}^\infty2^{-k}\min\{1,p_k(x-y)\} d ( x , y ) = k = 1 ∑ ∞ 2 − k min { 1 , p k ( x − y )} とおく。このとき、d d d E E E x , y , a ∈ E x,y,a\in E x , y , a ∈ E d ( x + a , y + a ) = d ( x , y ) d(x+a,y+a)=d(x,y) d ( x + a , y + a ) = d ( x , y ) d d d τ P \tau_{\mathcal P} τ P
証明. d ( x , y ) ∈ [ 0 , 1 ] d(x,y)\in[0,1] d ( x , y ) ∈ [ 0 , 1 ] p k ( y − x ) = p k ( x − y ) p_k(y-x)=p_k(x-y) p k ( y − x ) = p k ( x − y ) d ( y , x ) = d ( x , y ) d(y,x)=d(x,y) d ( y , x ) = d ( x , y ) d ( x , y ) = 0 d(x,y)=0 d ( x , y ) = 0 k k k p k ( x − y ) = 0 p_k(x-y)=0 p k ( x − y ) = 0 P \mathcal P P x = y x=y x = y a , b , c ≥ 0 a,b,c\geq0 a , b , c ≥ 0 a ≤ b + c a\leq b+c a ≤ b + c min { 1 , a } ≤ min { 1 , b } + min { 1 , c } \min\{1,a\}\leq\min\{1,b\}+\min\{1,c\} min { 1 , a } ≤ min { 1 , b } + min { 1 , c } b ≥ 1 b\geq1 b ≥ 1 c ≥ 1 c\geq1 c ≥ 1 1 1 1 b + c ≥ a b+c\geq a b + c ≥ a p k ( x − z ) ≤ p k ( x − y ) + p k ( y − z ) p_k(x-z)\leq p_k(x-y)+p_k(y-z) p k ( x − z ) ≤ p k ( x − y ) + p k ( y − z ) 2 − k 2^{-k} 2 − k d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) d d d ( x + a ) − ( y + a ) = x − y (x+a)-(y+a)=x-y ( x + a ) − ( y + a ) = x − y
x ∈ E x\in E x ∈ E r > 0 r>0 r > 0 B d ( x , r ) = { y ∣ d ( y , x ) < r } B_d(x,r)=\{y\mid d(y,x)<r\} B d ( x , r ) = { y ∣ d ( y , x ) < r } B d ( x , r ) = x + B d ( 0 , r ) B_d(x,r)=x+B_d(0,r) B d ( x , r ) = x + B d ( 0 , r ) B F , ε ( x ) = x + B F , ε ( 0 ) B_{F,\varepsilon}(x)=x+B_{F,\varepsilon}(0) B F , ε ( x ) = x + B F , ε ( 0 ) r > 0 r>0 r > 0 2 − N < r / 2 2^{-N}<r/2 2 − N < r /2 N ∈ N ≥ 1 N\in\NN N ∈ N ≥ 1 F = { p 1 , … , p N } F=\{p_1,\ldots,p_N\} F = { p 1 , … , p N } y ∈ B F , r / 2 ( 0 ) y\in B_{F,r/2}(0) y ∈ B F , r /2 ( 0 )
d ( y , 0 ) ≤ ∑ k = 1 N 2 − k p k ( y ) + ∑ k = N + 1 ∞ 2 − k < r 2 + 2 − N < r d(y,0)\leq\sum_{k=1}^N2^{-k}p_k(y)+\sum_{k=N+1}^\infty2^{-k}<\frac r2+2^{-N}<r d ( y , 0 ) ≤ k = 1 ∑ N 2 − k p k ( y ) + k = N + 1 ∑ ∞ 2 − k < 2 r + 2 − N < r であるから、B F , r / 2 ( 0 ) ⊆ B d ( 0 , r ) B_{F,r/2}(0)\subseteq B_d(0,r) B F , r /2 ( 0 ) ⊆ B d ( 0 , r ) P \mathcal P P F F F ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 F ⊆ { p 1 , … , p N } F\subseteq\{p_1,\ldots,p_N\} F ⊆ { p 1 , … , p N } N N N ε ′ = min { ε , 1 / 2 } \varepsilon'=\min\{\varepsilon,1/2\} ε ′ = min { ε , 1/2 } d ( y , 0 ) < 2 − N ε ′ d(y,0)<2^{-N}\varepsilon' d ( y , 0 ) < 2 − N ε ′ k ≤ N k\leq N k ≤ N 2 − k min { 1 , p k ( y ) } < 2 − N ε ′ ≤ 2 − k ε ′ 2^{-k}\min\{1,p_k(y)\}<2^{-N}\varepsilon'\leq2^{-k}\varepsilon' 2 − k min { 1 , p k ( y )} < 2 − N ε ′ ≤ 2 − k ε ′ min { 1 , p k ( y ) } < ε ′ < 1 \min\{1,p_k(y)\}<\varepsilon'<1 min { 1 , p k ( y )} < ε ′ < 1 p k ( y ) < ε ′ ≤ ε p_k(y)<\varepsilon'\leq\varepsilon p k ( y ) < ε ′ ≤ ε B d ( 0 , 2 − N ε ′ ) ⊆ B F , ε ( 0 ) B_d(0,2^{-N}\varepsilon')\subseteq B_{F,\varepsilon}(0) B d ( 0 , 2 − N ε ′ ) ⊆ B F , ε ( 0 )
O ⊆ E O\subseteq E O ⊆ E 命題 2.4 (1) により、O O O x x x B d ( x , r ) B_d(x,r) B d ( x , r ) O O O O O O x x x B F , ε ( x ) B_{F,\varepsilon}(x) B F , ε ( x ) O O O O O O d d d O ∈ τ P O\in\tau_{\mathcal P} O ∈ τ P ▨
定義 5.13. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E E E E E E d d d x , y , a ∈ E x,y,a\in E x , y , a ∈ E d ( x + a , y + a ) = d ( x , y ) d(x+a,y+a)=d(x,y) d ( x + a , y + a ) = d ( x , y ) d d d E E E ( E , d ) (E,d) ( E , d ) E E E F 空間 (F-space )
定義 5.14. 局所凸空間である F 空間を Fréchet 空間 (Fréchet space )
補題 5.15. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
I I I ( E i ) i ∈ I (E_i)_{i\in I} ( E i ) i ∈ I K \mathbb K K ∏ i ∈ I E i \prod_{i\in I}E_i ∏ i ∈ I E i E i E_i E i ∏ i ∈ I E i \prod_{i\in I}E_i ∏ i ∈ I E i E i E_i E i ∏ i ∈ I E i \prod_{i\in I}E_i ∏ i ∈ I E i E , F E,F E , F K \mathbb K K d E , d F d_E,d_F d E , d F E , F E,F E , F E , F E,F E , F ( x , y ) , ( x ′ , y ′ ) ∈ E × F (x,y),(x',y')\in E\times F ( x , y ) , ( x ′ , y ′ ) ∈ E × F d ( ( x , y ) , ( x ′ , y ′ ) ) = max { d E ( x , x ′ ) , d F ( y , y ′ ) } d((x,y),(x',y'))=\max\{d_E(x,x'),d_F(y,y')\} d (( x , y ) , ( x ′ , y ′ )) = max { d E ( x , x ′ ) , d F ( y , y ′ )} d d d E × F E\times F E × F d d d E × F E\times F E × F ( ( x k , y k ) ) k ∈ N ≥ 1 ((x_k,y_k))_{k\in\NN} (( x k , y k ) ) k ∈ N ≥ 1 ( x , y ) ∈ E × F (x,y)\in E\times F ( x , y ) ∈ E × F E E E x k → x x_k\to x x k → x F F F y k → y y_k\to y y k → y ( E , d E ) (E,d_E) ( E , d E ) ( F , d F ) (F,d_F) ( F , d F ) ( E × F , d ) (E\times F,d) ( E × F , d ) E , F E,F E , F E × F E\times F E × F E E E K \mathbb K K M M M E E E M M M 証明. 主張 (1) を示す。P = ∏ i ∈ I E i P=\prod_{i\in I}E_i P = ∏ i ∈ I E i pr i : P → E i \pr_i\colon P\to E_i pr i : P → E i P P P s s s m m m E i E_i E i s i s_i s i m i m_i m i a , b ∈ P a,b\in P a , b ∈ P λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K
pr i ( s ( a , b ) ) = s i ( pr i ( a ) , pr i ( b ) ) , pr i ( m ( λ , a ) ) = m i ( λ , pr i ( a ) ) \pr_i(s(a,b))=s_i(\pr_i(a),\pr_i(b)),\qquad
\pr_i(m(\lambda,a))=m_i(\lambda,\pr_i(a)) pr i ( s ( a , b )) = s i ( pr i ( a ) , pr i ( b )) , pr i ( m ( λ , a )) = m i ( λ , pr i ( a )) である。各射影pr i \pr_i pr i §E2.14 定理 1.6 により、写像( a , b ) ↦ ( pr i ( a ) , pr i ( b ) ) (a,b)\mapsto(\pr_i(a),\pr_i(b)) ( a , b ) ↦ ( pr i ( a ) , pr i ( b )) ( λ , a ) ↦ ( λ , pr i ( a ) ) (\lambda,a)\mapsto(\lambda,\pr_i(a)) ( λ , a ) ↦ ( λ , pr i ( a )) s i , m i s_i,m_i s i , m i pr i ∘ s \pr_i\circ s pr i ∘ s pr i ∘ m \pr_i\circ m pr i ∘ m s , m s,m s , m P P P
各E i E_i E i U U U P P P §E2.14 命題 1.3 により、有限集合J ⊆ I J\subseteq I J ⊆ I i ∈ J i\in J i ∈ J E i E_i E i U i U_i U i ⋂ i ∈ J pr i − 1 ( U i ) ⊆ U \bigcap_{i\in J}\pr_i^{-1}(U_i)\subseteq U ⋂ i ∈ J pr i − 1 ( U i ) ⊆ U i ∈ J i\in J i ∈ J V i ⊆ U i V_i\subseteq U_i V i ⊆ U i V i V_i V i V = ⋂ i ∈ J pr i − 1 ( V i ) V=\bigcap_{i\in J}\pr_i^{-1}(V_i) V = ⋂ i ∈ J pr i − 1 ( V i ) V ⊆ U V\subseteq U V ⊆ U P P P
各E i E_i E i a , b ∈ P a,b\in P a , b ∈ P pr i ( a ) ≠ pr i ( b ) \pr_i(a)\neq\pr_i(b) pr i ( a ) = pr i ( b ) i ∈ I i\in I i ∈ I E i E_i E i pr i ( a ) \pr_i(a) pr i ( a ) pr i ( b ) \pr_i(b) pr i ( b ) O i , W i O_i,W_i O i , W i pr i − 1 ( O i ) \pr_i^{-1}(O_i) pr i − 1 ( O i ) pr i − 1 ( W i ) \pr_i^{-1}(W_i) pr i − 1 ( W i ) a , b a,b a , b P P P
主張 (2) を示す。d d d §E2.1 定義 2.5 の最大値距離であるから、§E2.1 定理 2.8 によりE × F E\times F E × F d E d_E d E d F d_F d F ( x , y ) ∈ E × F (x,y)\in E\times F ( x , y ) ∈ E × F r > 0 r>0 r > 0 d d d B d E ( x , r ) × B d F ( y , r ) B_{d_E}(x,r)\times B_{d_F}(y,r) B d E ( x , r ) × B d F ( y , r ) §E2.2 補題 1.2 と§E2.14 補題 1.11 により積位相の開集合である。O ⊆ E × F O\subseteq E\times F O ⊆ E × F O O O d d d O O O d d d O O O §E2.11 補題 2.6 によりO O O O O O ( x , y ) ∈ O (x,y)\in O ( x , y ) ∈ O §E2.14 補題 1.11 により( x , y ) ∈ U × V ⊆ O (x,y)\in U\times V\subseteq O ( x , y ) ∈ U × V ⊆ O E E E U U U F F F V V V d E , d F d_E,d_F d E , d F E , F E,F E , F B d E ( x , r ) ⊆ U B_{d_E}(x,r)\subseteq U B d E ( x , r ) ⊆ U B d F ( y , r ) ⊆ V B_{d_F}(y,r)\subseteq V B d F ( y , r ) ⊆ V r > 0 r>0 r > 0 r r r d d d ( x , y ) (x,y) ( x , y ) r r r O O O O O O d d d d ( ( x k , y k ) , ( x , y ) ) → 0 d((x_k,y_k),(x,y))\to0 d (( x k , y k ) , ( x , y )) → 0 d E ( x k , x ) → 0 d_E(x_k,x)\to0 d E ( x k , x ) → 0 d F ( y k , y ) → 0 d_F(y_k,y)\to0 d F ( y k , y ) → 0 §E2.13 命題 7.2 により、E × F E\times F E × F E E E F F F ( E , d E ) (E,d_E) ( E , d E ) ( F , d F ) (F,d_F) ( F , d F ) ( ( x k , y k ) ) k ∈ N ≥ 1 ((x_k,y_k))_{k\in\NN} (( x k , y k ) ) k ∈ N ≥ 1 ( E × F , d ) (E\times F,d) ( E × F , d ) d E ( x k , x l ) d_E(x_k,x_l) d E ( x k , x l ) d F ( y k , y l ) d_F(y_k,y_l) d F ( y k , y l ) d ( ( x k , y k ) , ( x l , y l ) ) d((x_k,y_k),(x_l,y_l)) d (( x k , y k ) , ( x l , y l )) ( x k ) (x_k) ( x k ) ( y k ) (y_k) ( y k ) ( E , d E ) (E,d_E) ( E , d E ) ( F , d F ) (F,d_F) ( F , d F ) x ∈ E x\in E x ∈ E y ∈ F y\in F y ∈ F d ( ( x k , y k ) , ( x , y ) ) = max { d E ( x k , x ) , d F ( y k , y ) } → 0 d((x_k,y_k),(x,y))=\max\{d_E(x_k,x),d_F(y_k,y)\}\to0 d (( x k , y k ) , ( x , y )) = max { d E ( x k , x ) , d F ( y k , y )} → 0 ( E × F , d ) (E\times F,d) ( E × F , d ) E , F E,F E , F 定義 5.13 の距離をd E , d F d_E,d_F d E , d F 主張 (1) と以上によりE × F E\times F E × F
主張 (3) を示す。d d d E E E 定義 5.13 の条件を満たす距離とし、d M d_M d M d d d M × M M\times M M × M 補題 1.6 (1) によりM M M §E2.1 命題 2.2 によりd M d_M d M M M M M M M ( E , d ) (E,d) ( E , d ) §E2.5 定理 3.2 により( M , d M ) (M,d_M) ( M , d M ) y ∈ M y\in M y ∈ M r > 0 r>0 r > 0 §E2.1 命題 2.2 によりd M d_M d M M ∩ B d ( y , r ) M\cap B_d(y,r) M ∩ B d ( y , r ) O O O y ∈ O y\in O y ∈ O O = M ∩ W O=M\cap W O = M ∩ W E E E W W W B d ( y , r ) ⊆ W B_d(y,r)\subseteq W B d ( y , r ) ⊆ W r > 0 r>0 r > 0 d M d_M d M y y y r r r O O O §E2.11 補題 2.6 により、d M d_M d M M M M M M M ▨
系 5.16. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
E E E E E E E E E d d d d d d E E E d d d ( E , d ) (E,d) ( E , d ) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E ノルムが定める位相を入れた Banach 空間は Fréchet 空間である。
証明. 主張 (1) は命題 5.9 (4) による。
主張 (2) を示す。P \mathcal P P E E E E E E B { 0 } , ε ( x ) = E B_{\{0\},\varepsilon}(x)=E B { 0 } , ε ( x ) = E 命題 2.4 (1) によりP \mathcal P P τ P \tau_{\mathcal P} τ P P \mathcal P P P \mathcal P P P = { p k ∣ k ∈ N ≥ 1 } \mathcal P=\{p_k\mid k\in\NN\} P = { p k ∣ k ∈ N ≥ 1 } 命題 5.12 の距離d d d E E E { x ∣ d ( x , 0 ) < 1 / k } \{x\mid d(x,0)<1/k\} { x ∣ d ( x , 0 ) < 1/ k } k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 E E E E E E 命題 5.9 (3) により点列完備なE E E 命題 5.9 (4) により( E , d ) (E,d) ( E , d ) 命題 2.4 (2) によりE E E E E E
主張 (3) を示す。必要性を示す。E E E d d d 定義 5.13 の距離とする。E E E 命題 5.9 (4) によりE E E k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 定理 2.9 条件 (b) により、絶対凸な零近傍A k ⊆ { x ∣ d ( x , 0 ) < 1 / k } A_k\subseteq\{x\mid d(x,0)<1/k\} A k ⊆ { x ∣ d ( x , 0 ) < 1/ k } 命題 1.4 (2) 、命題 2.8 (3) 、命題 2.8 (4) によりp A k p_{A_k} p A k 命題 2.8 (2) によりB { p A k } , 1 ( 0 ) ⊆ A k B_{\{p_{A_k}\},1}(0)\subseteq A_k B { p A k } , 1 ( 0 ) ⊆ A k E E E { x ∣ d ( x , 0 ) < 1 / k } \{x\mid d(x,0)<1/k\} { x ∣ d ( x , 0 ) < 1/ k } 命題 2.4 (7) によりE E E { p A k ∣ k ∈ N ≥ 1 } \{p_{A_k}\mid k\in\NN\} { p A k ∣ k ∈ N ≥ 1 } E E E E E E P \mathcal P P 命題 2.4 (3) によりP \mathcal P P 命題 5.9 (2) によりE E E 主張 (2) によりE E E
主張 (4) を示す。X X X d ( x , y ) = ∥ x − y ∥ d(x,y)=\lVert x-y\rVert d ( x , y ) = ∥ x − y ∥ d d d ( X , d ) (X,d) ( X , d ) 命題 2.10 によりX X X X X X ▨
6 完備化 命題 6.1. F F F K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } D D D F F F D D D G G G K \mathbb K K T : D → G T\colon D\to G T : D → G x ∈ D x\in D x ∈ D T ~ x = T x \widetilde Tx=Tx T x = T x T ~ : F → G \widetilde T\colon F\to G T : F → G T ~ \widetilde T T
証明. 命題 5.6 (2) によりD D D U F \mathcal U_F U F 命題 5.6 (1) によりT T T G G G 命題 1.5 によりU G \mathcal U_G U G N V N_V N V { ( x , y ) ∣ y − x = 0 } \{(x,y)\mid y-x=0\} {( x , y ) ∣ y − x = 0 } ( G , U G ) (G,\mathcal U_G) ( G , U G ) §E2.53 定理 4.1 により、すべてのx ∈ D x\in D x ∈ D T ~ x = T x \widetilde Tx=Tx T x = T x T ~ : F → G \widetilde T\colon F\to G T : F → G §E2.51 命題 3.4 (3) によりT ~ \widetilde T T T ~ \widetilde T T G G G §E2.22 補題 2.1 による。
F × F F\times F F × F G G G ( x , y ) ↦ T ~ ( x + y ) (x,y)\mapsto\widetilde T(x+y) ( x , y ) ↦ T ( x + y ) ( x , y ) ↦ T ~ x + T ~ y (x,y)\mapsto\widetilde Tx+\widetilde Ty ( x , y ) ↦ T x + T y D × D D\times D D × D §E2.14 補題 1.12 によりD × D D\times D D × D F × F F\times F F × F §E2.22 補題 2.1 により二つの写像は等しい。λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K F F F G G G x ↦ T ~ ( λ x ) x\mapsto\widetilde T(\lambda x) x ↦ T ( λ x ) x ↦ λ T ~ x x\mapsto\lambda\widetilde Tx x ↦ λ T x D D D §E2.22 補題 2.1 により等しい。ゆえにT ~ \widetilde T T ▨
定理 6.2. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
K \mathbb K K E ^ \widehat E E ι : E → E ^ \iota\colon E\to\widehat E ι : E → E ι \iota ι ι ( E ) \iota(E) ι ( E ) E ^ \widehat E E ( E ^ , ι ) (\widehat E,\iota) ( E , ι ) ( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) §E2.53 定義 6.1 の意味の完備化である。( E ^ , ι ) (\widehat E,\iota) ( E , ι ) ( F , j ) (F,j) ( F , j ) 主張 (1) の性質をもつならば、φ ∘ ι = j \varphi\circ\iota=j φ ∘ ι = j φ : E ^ → F \varphi\colon\widehat E\to F φ : E → F ( E ^ , ι ) (\widehat E,\iota) ( E , ι ) 主張 (1) の性質をもつ組とし、F F F K \mathbb K K T : E → F T\colon E\to F T : E → F T ^ ∘ ι = T \widehat T\circ\iota=T T ∘ ι = T T ^ : E ^ → F \widehat T\colon\widehat E\to F T : E → F ( E ^ , ι ) (\widehat E,\iota) ( E , ι ) 主張 (1) の性質をもつ組とする。このとき、E E E p p p p ^ ∘ ι = p \widehat p\circ\iota=p p ∘ ι = p E ^ \widehat E E p ^ \widehat p p E E E E E E P \mathcal P P E ^ \widehat E E { p ^ ∣ p ∈ P } \{\widehat p\mid p\in\mathcal P\} { p ∣ p ∈ P } E E E E ^ \widehat E E 証明. 主張 (1) を示す。( x , y ) ∈ ⋂ U E (x,y)\in\bigcap\mathcal U_E ( x , y ) ∈ ⋂ U E U U U y − x ∈ U y-x\in U y − x ∈ U 命題 1.5 によりx = y x=y x = y U E \mathcal U_E U E §E2.53 定理 6.2 (3) と§E2.53 定理 6.2 (4) により、( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) ( E ^ , ι ) (\widehat E,\iota) ( E , ι ) ι \iota ι E ^ \widehat E E U ^ \widehat{\mathcal U} U E ^ \widehat E E §E2.51 系 4.8 によりι \iota ι k ∈ { 2 , 3 } k\in\{2,3\} k ∈ { 2 , 3 } E k E^k E k E ^ k \widehat E^k E k ι k : E k → E ^ k \iota^k\colon E^k\to\widehat E^k ι k : E k → E k ι k ( x 1 , … , x k ) = ( ι ( x 1 ) , … , ι ( x k ) ) \iota^k(x_1,\ldots,x_k)=(\iota(x_1),\ldots,\iota(x_k)) ι k ( x 1 , … , x k ) = ( ι ( x 1 ) , … , ι ( x k )) §E2.53 命題 7.2 により( E ^ k , ι k ) (\widehat E^k,\iota^k) ( E k , ι k ) E k E^k E k k = 1 k=1 k = 1 E ^ 1 = E ^ \widehat E^1=\widehat E E 1 = E ι 1 = ι \iota^1=\iota ι 1 = ι
主張 6.2.1. k ∈ { 1 , 2 , 3 } k\in\{1,2,3\} k ∈ { 1 , 2 , 3 } Y Y Y φ , ψ : E ^ k → Y \varphi,\psi\colon\widehat E^k\to Y φ , ψ : E k → Y φ ∘ ι k = ψ ∘ ι k \varphi\circ\iota^k=\psi\circ\iota^k φ ∘ ι k = ψ ∘ ι k φ = ψ \varphi=\psi φ = ψ
証明. §E2.51 命題 3.4 (1) によりφ ∘ ι k \varphi\circ\iota^k φ ∘ ι k §E2.53 定義 6.1 により、g ∘ ι k = φ ∘ ι k g\circ\iota^k=\varphi\circ\iota^k g ∘ ι k = φ ∘ ι k g : E ^ k → Y g\colon\widehat E^k\to Y g : E k → Y φ \varphi φ ψ \psi ψ ▨
加法s : E × E → E s\colon E\times E\to E s : E × E → E E E E U U U 命題 1.4 (4) によりV + V ⊆ U V+V\subseteq U V + V ⊆ U V V V π 1 , π 2 \pi_1,\pi_2 π 1 , π 2 §E2.51 定義 4.1 によりQ = ( π 1 × π 1 ) − 1 ( N V ) ∩ ( π 2 × π 2 ) − 1 ( N V ) Q=(\pi_1\times\pi_1)^{-1}(N_V)\cap(\pi_2\times\pi_2)^{-1}(N_V) Q = ( π 1 × π 1 ) − 1 ( N V ) ∩ ( π 2 × π 2 ) − 1 ( N V ) E × E E\times E E × E ( ( x , y ) , ( x ′ , y ′ ) ) ∈ Q ((x,y),(x',y'))\in Q (( x , y ) , ( x ′ , y ′ )) ∈ Q ( x ′ + y ′ ) − ( x + y ) ∈ V + V ⊆ U (x'+y')-(x+y)\in V+V\subseteq U ( x ′ + y ′ ) − ( x + y ) ∈ V + V ⊆ U Q ⊆ ( s × s ) − 1 ( N U ) Q\subseteq(s\times s)^{-1}(N_U) Q ⊆ ( s × s ) − 1 ( N U ) λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K m λ : E → E m_\lambda\colon E\to E m λ : E → E x ↦ λ x x\mapsto\lambda x x ↦ λ x 命題 5.6 (1) により一様連続である。§E2.53 定義 6.1 により、α ∘ ι 2 = ι ∘ s \alpha\circ\iota^2=\iota\circ s α ∘ ι 2 = ι ∘ s α : E ^ 2 → E ^ \alpha\colon\widehat E^2\to\widehat E α : E 2 → E μ λ ∘ ι = ι ∘ m λ \mu_\lambda\circ\iota=\iota\circ m_\lambda μ λ ∘ ι = ι ∘ m λ μ λ : E ^ → E ^ \mu_\lambda\colon\widehat E\to\widehat E μ λ : E → E ξ , η ∈ E ^ \xi,\eta\in\widehat E ξ , η ∈ E ξ + η = α ( ξ , η ) \xi+\eta=\alpha(\xi,\eta) ξ + η = α ( ξ , η ) λ ξ = μ λ ( ξ ) \lambda\xi=\mu_\lambda(\xi) λ ξ = μ λ ( ξ ) 0 = ι ( 0 ) 0=\iota(0) 0 = ι ( 0 )
ξ , η , ζ ∈ E ^ \xi,\eta,\zeta\in\widehat E ξ , η , ζ ∈ E λ , ν ∈ K \lambda,\nu\in\mathbb K λ , ν ∈ K
( ξ + η ) + ζ = ξ + ( η + ζ ) , ξ + η = η + ξ , ξ + 0 = ξ , ξ + ( − 1 ) ξ = 0 , λ ( ξ + η ) = λ ξ + λ η , ( λ + ν ) ξ = λ ξ + ν ξ , ( λ ν ) ξ = λ ( ν ξ ) , 1 ξ = ξ \begin{gathered}
(\xi+\eta)+\zeta=\xi+(\eta+\zeta),\quad\xi+\eta=\eta+\xi,\quad\xi+0=\xi,\quad\xi+(-1)\xi=0,\\
\lambda(\xi+\eta)=\lambda\xi+\lambda\eta,\quad(\lambda+\nu)\xi=\lambda\xi+\nu\xi,\quad(\lambda\nu)\xi=\lambda(\nu\xi),\quad1\xi=\xi
\end{gathered} ( ξ + η ) + ζ = ξ + ( η + ζ ) , ξ + η = η + ξ , ξ + 0 = ξ , ξ + ( − 1 ) ξ = 0 , λ ( ξ + η ) = λ ξ + λ η , ( λ + ν ) ξ = λ ξ + ν ξ , ( λ ν ) ξ = λ ( ν ξ ) , 1 ξ = ξ の両辺は、それぞれE ^ 3 \widehat E^3 E 3 E ^ 2 \widehat E^2 E 2 E ^ \widehat E E E ^ \widehat E E α \alpha α μ λ \mu_\lambda μ λ c c c W W W ( c × c ) − 1 ( W ) (c\times c)^{-1}(W) ( c × c ) − 1 ( W ) §E2.51 命題 3.4 (1) と§E2.51 系 4.5 (1) により両辺は一様連続である。両辺にι k \iota^k ι k ι ∘ s = α ∘ ι 2 \iota\circ s=\alpha\circ\iota^2 ι ∘ s = α ∘ ι 2 ι ∘ m λ = μ λ ∘ ι \iota\circ m_\lambda=\mu_\lambda\circ\iota ι ∘ m λ = μ λ ∘ ι E E E ι \iota ι 主張 6.2.1 により各等式はE ^ \widehat E E E ^ \widehat E E K \mathbb K K ι \iota ι
§E2.51 命題 3.4 (3) と§E2.51 系 4.5 (2) により、α \alpha α μ λ \mu_\lambda μ λ ξ ∈ E ^ \xi\in\widehat E ξ ∈ E η ↦ ( η , ξ ) \eta\mapsto(\eta,\xi) η ↦ ( η , ξ ) §E2.12 例 1.12 と§E2.12 定理 3.4 により連続であり、これとα \alpha α η ↦ η + ξ \eta\mapsto\eta+\xi η ↦ η + ξ η ↦ η + ( − 1 ) ξ \eta\mapsto\eta+(-1)\xi η ↦ η + ( − 1 ) ξ μ − 1 ∘ μ − 1 = μ 1 \mu_{-1}\circ\mu_{-1}=\mu_1 μ − 1 ∘ μ − 1 = μ 1 μ − 1 \mu_{-1} μ − 1 ξ ∈ E ^ \xi\in\widehat E ξ ∈ E ξ + W \xi+W ξ + W W W W E ^ \widehat E E 0 0 0 W W W 0 0 0 − W -W − W 0 0 0 α \alpha α ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) §E2.14 補題 1.11 により、E ^ \widehat E E 0 0 0 W W W W 1 + W 1 ⊆ W W_1+W_1\subseteq W W 1 + W 1 ⊆ W 0 0 0 W 1 W_1 W 1
主張 6.2.2. E E E U U U ι ( U ) ‾ \tpcl{\iota(U)} ι ( U ) E ^ \widehat E E 0 0 0 E ^ \widehat E E 0 0 0 W W W ι ( U ) ‾ ⊆ W \tpcl{\iota(U)}\subseteq W ι ( U ) ⊆ W E E E U U U
証明. U U U E E E ι \iota ι ι ( U ) \iota(U) ι ( U ) ι ( E ) \iota(E) ι ( E ) 0 0 0 0 ∈ O 0\in O 0 ∈ O O ∩ ι ( E ) ⊆ ι ( U ) O\cap\iota(E)\subseteq\iota(U) O ∩ ι ( E ) ⊆ ι ( U ) E ^ \widehat E E O O O ξ ∈ O \xi\in O ξ ∈ O N N N ξ \xi ξ N ∩ O N\cap O N ∩ O ξ \xi ξ §E2.11 命題 2.9 (2) によりその開集合はι ( E ) \iota(E) ι ( E ) N ∩ ι ( U ) ≠ ∅ N\cap\iota(U)\neq\emptyset N ∩ ι ( U ) = ∅ §E2.11 命題 7.2 (2) によりξ ∈ ι ( U ) ‾ \xi\in\tpcl{\iota(U)} ξ ∈ ι ( U ) O ⊆ ι ( U ) ‾ O\subseteq\tpcl{\iota(U)} O ⊆ ι ( U )
W W W 0 0 0 W 1 + W 1 ⊆ W W_1+W_1\subseteq W W 1 + W 1 ⊆ W 0 0 0 W 1 W_1 W 1 W 2 = W 1 ∩ ( − W 1 ) W_2=W_1\cap(-W_1) W 2 = W 1 ∩ ( − W 1 ) ι \iota ι ι ( 0 ) = 0 \iota(0)=0 ι ( 0 ) = 0 ι − 1 ( W 2 ) \iota^{-1}(W_2) ι − 1 ( W 2 ) E E E 命題 1.4 (3) によりU ⊆ ι − 1 ( W 2 ) U\subseteq\iota^{-1}(W_2) U ⊆ ι − 1 ( W 2 ) U U U ξ ∈ ι ( U ) ‾ \xi\in\tpcl{\iota(U)} ξ ∈ ι ( U ) ξ + W 2 \xi+W_2 ξ + W 2 ξ \xi ξ §E2.11 命題 7.2 (2) によりξ + w = ι ( u ) \xi+w=\iota(u) ξ + w = ι ( u ) w ∈ W 2 w\in W_2 w ∈ W 2 u ∈ U u\in U u ∈ U − W 2 = W 2 -W_2=W_2 − W 2 = W 2 ι ( u ) ∈ W 2 \iota(u)\in W_2 ι ( u ) ∈ W 2 ξ = ι ( u ) + ( − w ) ∈ W 2 + W 2 ⊆ W \xi=\iota(u)+(-w)\in W_2+W_2\subseteq W ξ = ι ( u ) + ( − w ) ∈ W 2 + W 2 ⊆ W ▨
λ 0 ∈ K \lambda_0\in\mathbb K λ 0 ∈ K ξ 0 ∈ E ^ \xi_0\in\widehat E ξ 0 ∈ E W W W 0 0 0 W 2 + W 2 ⊆ W W_2+W_2\subseteq W W 2 + W 2 ⊆ W W 1 + W 1 ⊆ W 2 W_1+W_1\subseteq W_2 W 1 + W 1 ⊆ W 2 0 0 0 W 2 , W 1 W_2,W_1 W 2 , W 1 主張 6.2.2 によりB = ι ( U ) ‾ ⊆ W 1 B=\tpcl{\iota(U)}\subseteq W_1 B = ι ( U ) ⊆ W 1 E E E U U U ∣ t ∣ ≤ 1 \lvert t\rvert\leq1 ∣ t ∣ ≤ 1 §E2.12 命題 1.7 (2) とμ t ∘ ι = ι ∘ m t \mu_t\circ\iota=\iota\circ m_t μ t ∘ ι = ι ∘ m t μ t ( B ) ⊆ μ t ( ι ( U ) ) ‾ = ι ( t U ) ‾ ⊆ B \mu_t(B)\subseteq\tpcl{\mu_t(\iota(U))}=\tpcl{\iota(tU)}\subseteq B μ t ( B ) ⊆ μ t ( ι ( U )) = ι ( t U ) ⊆ B 主張 6.2.2 によりB B B 0 0 0 ξ 0 + B \xi_0+B ξ 0 + B ξ 0 \xi_0 ξ 0 §E2.11 命題 7.2 (2) によりι ( x 0 ) = ξ 0 + b 0 \iota(x_0)=\xi_0+b_0 ι ( x 0 ) = ξ 0 + b 0 x 0 ∈ E x_0\in E x 0 ∈ E b 0 ∈ B b_0\in B b 0 ∈ B ζ 0 = ( − 1 ) b 0 \zeta_0=(-1)b_0 ζ 0 = ( − 1 ) b 0 ζ 0 ∈ B \zeta_0\in B ζ 0 ∈ B ξ 0 = ι ( x 0 ) + ζ 0 \xi_0=\iota(x_0)+\zeta_0 ξ 0 = ι ( x 0 ) + ζ 0 t ↦ ι ( t x 0 ) t\mapsto\iota(tx_0) t ↦ ι ( t x 0 ) t = 0 t=0 t = 0 0 0 0 ∣ t ∣ < δ \lvert t\rvert<\delta ∣ t ∣ < δ ι ( t x 0 ) ∈ W 1 \iota(tx_0)\in W_1 ι ( t x 0 ) ∈ W 1 0 < δ ≤ 1 0<\delta\leq1 0 < δ ≤ 1 Z = B ∩ μ λ 0 − 1 ( W 1 ) Z=B\cap\mu_{\lambda_0}^{-1}(W_1) Z = B ∩ μ λ 0 − 1 ( W 1 ) 0 0 0 ∣ λ − λ 0 ∣ < δ \lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\delta ∣ λ − λ 0 ∣ < δ ξ ∈ ξ 0 + Z \xi\in\xi_0+Z ξ ∈ ξ 0 + Z t = λ − λ 0 t=\lambda-\lambda_0 t = λ − λ 0 ζ = ξ − ξ 0 \zeta=\xi-\xi_0 ζ = ξ − ξ 0 E ^ \widehat E E
λ ξ − λ 0 ξ 0 = ι ( t x 0 ) + t ζ 0 + λ 0 ζ + t ζ \lambda\xi-\lambda_0\xi_0=\iota(tx_0)+t\zeta_0+\lambda_0\zeta+t\zeta λ ξ − λ 0 ξ 0 = ι ( t x 0 ) + t ζ 0 + λ 0 ζ + tζ であり、ι ( t x 0 ) ∈ W 1 \iota(tx_0)\in W_1 ι ( t x 0 ) ∈ W 1 t ζ 0 ∈ B ⊆ W 1 t\zeta_0\in B\subseteq W_1 t ζ 0 ∈ B ⊆ W 1 λ 0 ζ ∈ W 1 \lambda_0\zeta\in W_1 λ 0 ζ ∈ W 1 t ζ ∈ B ⊆ W 1 t\zeta\in B\subseteq W_1 tζ ∈ B ⊆ W 1 λ ξ − λ 0 ξ 0 ∈ ( W 1 + W 1 ) + ( W 1 + W 1 ) ⊆ W \lambda\xi-\lambda_0\xi_0\in(W_1+W_1)+(W_1+W_1)\subseteq W λ ξ − λ 0 ξ 0 ∈ ( W 1 + W 1 ) + ( W 1 + W 1 ) ⊆ W { λ ∣ ∣ λ − λ 0 ∣ < δ } × ( ξ 0 + Z ) \{\lambda\mid\lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\delta\}\times(\xi_0+Z) { λ ∣ ∣ λ − λ 0 ∣ < δ } × ( ξ 0 + Z ) ( λ 0 , ξ 0 ) (\lambda_0,\xi_0) ( λ 0 , ξ 0 ) K × E ^ → E ^ \mathbb K\times\widehat E\to\widehat E K × E → E ( λ 0 , ξ 0 ) (\lambda_0,\xi_0) ( λ 0 , ξ 0 ) E ^ \widehat E E
証明. δ : E ^ 2 → E ^ \delta\colon\widehat E^2\to\widehat E δ : E 2 → E δ ( ξ , η ) = η + ( − 1 ) ξ \delta(\xi,\eta)=\eta+(-1)\xi δ ( ξ , η ) = η + ( − 1 ) ξ §E2.51 命題 3.4 (1) と§E2.51 系 4.5 (1) によりδ \delta δ π 1 , π 2 \pi_1,\pi_2 π 1 , π 2 E ^ 2 \widehat E^2 E 2 §E2.51 定義 4.1 により、E ^ 2 \widehat E^2 E 2 Q Q Q ( π i × π i ) − 1 ( W ) (\pi_i\times\pi_i)^{-1}(W) ( π i × π i ) − 1 ( W ) i ∈ { 1 , 2 } i\in\{1,2\} i ∈ { 1 , 2 } W ∈ U ^ W\in\widehat{\mathcal U} W ∈ U W W W W 0 W_0 W 0 0 0 0 W 0 = E ^ × E ^ W_0=\widehat E\times\widehat E W 0 = E × E §E2.51 定義 1.3 によりW 0 ∈ U ^ W_0\in\widehat{\mathcal U} W 0 ∈ U ( π 1 × π 1 ) − 1 ( W 0 ) ∩ ( π 2 × π 2 ) − 1 ( W 0 ) ⊆ Q (\pi_1\times\pi_1)^{-1}(W_0)\cap(\pi_2\times\pi_2)^{-1}(W_0)\subseteq Q ( π 1 × π 1 ) − 1 ( W 0 ) ∩ ( π 2 × π 2 ) − 1 ( W 0 ) ⊆ Q
V ∈ U ^ V\in\widehat{\mathcal U} V ∈ U α \alpha α ( π 1 × π 1 ) − 1 ( W 0 ) ∩ ( π 2 × π 2 ) − 1 ( W 0 ) ⊆ ( α × α ) − 1 ( V ) (\pi_1\times\pi_1)^{-1}(W_0)\cap(\pi_2\times\pi_2)^{-1}(W_0)\subseteq(\alpha\times\alpha)^{-1}(V) ( π 1 × π 1 ) − 1 ( W 0 ) ∩ ( π 2 × π 2 ) − 1 ( W 0 ) ⊆ ( α × α ) − 1 ( V ) W 0 ∈ U ^ W_0\in\widehat{\mathcal U} W 0 ∈ U §E2.51 命題 2.1 によりW 0 [ 0 ] = { η ∣ ( 0 , η ) ∈ W 0 } W_0[0]=\{\eta\mid(0,\eta)\in W_0\} W 0 [ 0 ] = { η ∣ ( 0 , η ) ∈ W 0 } 0 0 0 η + ( − 1 ) ξ ∈ W 0 [ 0 ] \eta+(-1)\xi\in W_0[0] η + ( − 1 ) ξ ∈ W 0 [ 0 ] §E2.51 定義 1.3 条件 (d) により( ξ , ξ ) ∈ W 0 (\xi,\xi)\in W_0 ( ξ , ξ ) ∈ W 0 ( 0 , η + ( − 1 ) ξ ) ∈ W 0 (0,\eta+(-1)\xi)\in W_0 ( 0 , η + ( − 1 ) ξ ) ∈ W 0 ( ( ξ , 0 ) , ( ξ , η + ( − 1 ) ξ ) ) ((\xi,0),(\xi,\eta+(-1)\xi)) (( ξ , 0 ) , ( ξ , η + ( − 1 ) ξ )) ( α ( ξ , 0 ) , α ( ξ , η + ( − 1 ) ξ ) ) = ( ξ , η ) ∈ V (\alpha(\xi,0),\alpha(\xi,\eta+(-1)\xi))=(\xi,\eta)\in V ( α ( ξ , 0 ) , α ( ξ , η + ( − 1 ) ξ )) = ( ξ , η ) ∈ V N W 0 [ 0 ] ⊆ V N_{W_0[0]}\subseteq V N W 0 [ 0 ] ⊆ V V ∈ U E ^ V\in\mathcal U_{\widehat E} V ∈ U E
N N N E ^ \widehat E E 0 0 0 §E2.51 命題 2.1 によりW [ 0 ] ⊆ N W[0]\subseteq N W [ 0 ] ⊆ N W ∈ U ^ W\in\widehat{\mathcal U} W ∈ U δ \delta δ ( π 1 × π 1 ) − 1 ( W 0 ) ∩ ( π 2 × π 2 ) − 1 ( W 0 ) ⊆ ( δ × δ ) − 1 ( W ) (\pi_1\times\pi_1)^{-1}(W_0)\cap(\pi_2\times\pi_2)^{-1}(W_0)\subseteq(\delta\times\delta)^{-1}(W) ( π 1 × π 1 ) − 1 ( W 0 ) ∩ ( π 2 × π 2 ) − 1 ( W 0 ) ⊆ ( δ × δ ) − 1 ( W ) W 0 ∈ U ^ W_0\in\widehat{\mathcal U} W 0 ∈ U ( ξ , η ) ∈ W 0 (\xi,\eta)\in W_0 ( ξ , η ) ∈ W 0 ( ξ , ξ ) ∈ W 0 (\xi,\xi)\in W_0 ( ξ , ξ ) ∈ W 0 ( ( ξ , ξ ) , ( ξ , η ) ) ((\xi,\xi),(\xi,\eta)) (( ξ , ξ ) , ( ξ , η )) ( δ ( ξ , ξ ) , δ ( ξ , η ) ) = ( 0 , η + ( − 1 ) ξ ) ∈ W (\delta(\xi,\xi),\delta(\xi,\eta))=(0,\eta+(-1)\xi)\in W ( δ ( ξ , ξ ) , δ ( ξ , η )) = ( 0 , η + ( − 1 ) ξ ) ∈ W η + ( − 1 ) ξ ∈ W [ 0 ] ⊆ N \eta+(-1)\xi\in W[0]\subseteq N η + ( − 1 ) ξ ∈ W [ 0 ] ⊆ N W 0 ⊆ N N W_0\subseteq N_N W 0 ⊆ N N §E2.51 定義 1.3 条件 (b) によりN N ∈ U ^ N_N\in\widehat{\mathcal U} N N ∈ U U E ^ \mathcal U_{\widehat E} U E N N N_N N N U ^ \widehat{\mathcal U} U ▨
主張 6.2.3 により( E ^ , U E ^ ) (\widehat E,\mathcal U_{\widehat E}) ( E , U E ) E ^ \widehat E E ξ \xi ξ E ^ \widehat E E 0 0 0 N N N ( 0 , ξ ) (0,\xi) ( 0 , ξ ) U E ^ = U ^ \mathcal U_{\widehat E}=\widehat{\mathcal U} U E = U U ^ \widehat{\mathcal U} U ξ = 0 \xi=0 ξ = 0 命題 1.5 によりE ^ \widehat E E ( E ^ , ι ) (\widehat E,\iota) ( E , ι )
( F , j ) (F,j) ( F , j ) j j j E E E j ( E ) j(E) j ( E ) x ↦ j ( x ) x\mapsto j(x) x ↦ j ( x ) 命題 5.6 (1) により( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E ) ( j ( E ) , U j ( E ) ) (j(E),\mathcal U_{j(E)}) ( j ( E ) , U j ( E ) ) 命題 5.6 (2) によりU j ( E ) \mathcal U_{j(E)} U j ( E ) U F \mathcal U_F U F §E2.51 定義 3.3 によりj j j ( F , U F ) (F,\mathcal U_F) ( F , U F ) 命題 1.5 によりU F \mathcal U_F U F §E2.53 定理 6.2 (1) により( F , j ) (F,j) ( F , j ) ( E , U E ) (E,\mathcal U_E) ( E , U E )
主張 (3) を示す。ι 0 : E → ι ( E ) \iota_0\colon E\to\iota(E) ι 0 : E → ι ( E ) x ↦ ι ( x ) x\mapsto\iota(x) x ↦ ι ( x ) T ∘ ι 0 − 1 : ι ( E ) → F T\circ\iota_0^{-1}\colon\iota(E)\to F T ∘ ι 0 − 1 : ι ( E ) → F 命題 6.1 により、ι ( E ) \iota(E) ι ( E ) T ∘ ι 0 − 1 T\circ\iota_0^{-1} T ∘ ι 0 − 1 T ^ : E ^ → F \widehat T\colon\widehat E\to F T : E → F T ^ \widehat T T T ^ ∘ ι = T \widehat T\circ\iota=T T ∘ ι = T ι ( E ) \iota(E) ι ( E )
主張 (2) を示す。主張 (3) によりφ ∘ ι = j \varphi\circ\iota=j φ ∘ ι = j φ : E ^ → F \varphi\colon\widehat E\to F φ : E → F ( F , j ) (F,j) ( F , j ) 主張 (3) を適用するとψ ∘ j = ι \psi\circ j=\iota ψ ∘ j = ι ψ : F → E ^ \psi\colon F\to\widehat E ψ : F → E ψ ∘ φ \psi\circ\varphi ψ ∘ φ id E ^ \id_{\widehat E} id E θ ∘ ι = ι \theta\circ\iota=\iota θ ∘ ι = ι θ \theta θ 主張 (3) の一意性によりψ ∘ φ = id E ^ \psi\circ\varphi=\id_{\widehat E} ψ ∘ φ = id E φ ∘ ψ \varphi\circ\psi φ ∘ ψ id F \id_F id F θ ∘ j = j \theta\circ j=j θ ∘ j = j θ : F → F \theta\colon F\to F θ : F → F ( F , j ) (F,j) ( F , j ) 主張 (3) の一意性によりφ ∘ ψ = id F \varphi\circ\psi=\id_F φ ∘ ψ = id F φ \varphi φ
主張 (4) を示す。p p p E E E U = { x ∈ E ∣ p ( x ) < 1 } U=\{x\in E\mid p(x)<1\} U = { x ∈ E ∣ p ( x ) < 1 } 補題 2.2 によりU U U E E E U U U 主張 6.2.2 によりB = ι ( U ) ‾ B=\tpcl{\iota(U)} B = ι ( U ) E ^ \widehat E E 0 0 0 補題 1.6 (3) と補題 1.6 (4) により絶対凸である。命題 1.4 (2) 、命題 2.8 (3) 、命題 2.8 (4) により、p ^ = p B \widehat p=p_B p = p B E ^ \widehat E E x ∈ E x\in E x ∈ E t > 0 t>0 t > 0 p ( x ) < t p(x)<t p ( x ) < t x ∈ t U x\in tU x ∈ t U ι ( x ) ∈ t B \iota(x)\in tB ι ( x ) ∈ tB p ^ ( ι ( x ) ) ≤ p ( x ) \widehat p(\iota(x))\leq p(x) p ( ι ( x )) ≤ p ( x ) ι ( x ) ∈ t B \iota(x)\in tB ι ( x ) ∈ tB μ t \mu_t μ t t B = ι ( t U ) ‾ tB=\tpcl{\iota(tU)} tB = ι ( t U ) §E2.12 命題 4.7 (1) とι \iota ι x x x E E E t U = { y ∣ p ( y ) < t } tU=\{y\mid p(y)<t\} t U = { y ∣ p ( y ) < t } p p p { y ∣ p ( y ) ≤ t } \{y\mid p(y)\leq t\} { y ∣ p ( y ) ≤ t } p ( x ) ≤ t p(x)\leq t p ( x ) ≤ t p ( x ) ≤ p ^ ( ι ( x ) ) p(x)\leq\widehat p(\iota(x)) p ( x ) ≤ p ( ι ( x )) p ^ ∘ ι = p \widehat p\circ\iota=p p ∘ ι = p E ^ \widehat E E ι ( E ) \iota(E) ι ( E ) §E2.22 補題 2.1 により等しい。
E E E P \mathcal P P P \mathcal P P F F F ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 F ^ = { p ^ ∣ p ∈ F } \widehat F=\{\widehat p\mid p\in F\} F = { p ∣ p ∈ F } ξ ∈ E ^ \xi\in\widehat E ξ ∈ E max p ∈ F p ^ ( ξ ) < ε \max_{p\in F}\widehat p(\xi)<\varepsilon max p ∈ F p ( ξ ) < ε N N N ξ \xi ξ O = { η ∣ max p ∈ F p ^ ( η ) < ε } O=\{\eta\mid\max_{p\in F}\widehat p(\eta)<\varepsilon\} O = { η ∣ max p ∈ F p ( η ) < ε } ξ \xi ξ §E2.11 命題 2.9 (2) により、N ∩ O N\cap O N ∩ O ξ \xi ξ ι ( E ) \iota(E) ι ( E ) ι ( x ) ∈ N ∩ O \iota(x)\in N\cap O ι ( x ) ∈ N ∩ O max p ∈ F p ( x ) < ε \max_{p\in F}p(x)<\varepsilon max p ∈ F p ( x ) < ε ι ( x ) ∈ N ∩ ι ( B F , ε ( 0 ) ) \iota(x)\in N\cap\iota(B_{F,\varepsilon}(0)) ι ( x ) ∈ N ∩ ι ( B F , ε ( 0 )) §E2.11 命題 7.2 (2) により、B F ^ , ε ( 0 ) ⊆ ι ( B F , ε ( 0 ) ) ‾ B_{\widehat F,\varepsilon}(0)\subseteq\tpcl{\iota(B_{F,\varepsilon}(0))} B F , ε ( 0 ) ⊆ ι ( B F , ε ( 0 )) W W W E ^ \widehat E E 0 0 0 主張 6.2.2 によりι ( U ) ‾ ⊆ W \tpcl{\iota(U)}\subseteq W ι ( U ) ⊆ W E E E U U U 命題 2.4 (1) によりB F , ε ( 0 ) ⊆ U B_{F,\varepsilon}(0)\subseteq U B F , ε ( 0 ) ⊆ U F F F ε \varepsilon ε B F ^ , ε ( 0 ) ⊆ W B_{\widehat F,\varepsilon}(0)\subseteq W B F , ε ( 0 ) ⊆ W 命題 2.4 (7) により、E ^ \widehat E E { p ^ ∣ p ∈ P } \{\widehat p\mid p\in\mathcal P\} { p ∣ p ∈ P } E E E 定理 2.9 条件 (d) によりP \mathcal P P E E E 命題 2.4 (2) によりE ^ \widehat E E ▨
7 指数が 1 より小さいL p L^p L p 補題 7.1. p p p 0 < p < 1 0<p<1 0 < p < 1 ∞ p = ∞ \infty^p=\infty ∞ p = ∞
任意の実数a , b ≥ 0 a,b\geq0 a , b ≥ 0 ( a + b ) p ≤ a p + b p (a+b)^p\leq a^p+b^p ( a + b ) p ≤ a p + b p
非負実数の任意の列( a k ) k ∈ N ≥ 1 (a_k)_{k\in\NN} ( a k ) k ∈ N ≥ 1 [ 0 , ∞ ] [0,\infty] [ 0 , ∞ ] ( ∑ k = 1 ∞ a k ) p ≤ ∑ k = 1 ∞ a k p \bigl(\sum_{k=1}^\infty a_k\bigr)^p\leq\sum_{k=1}^\infty a_k^p ( ∑ k = 1 ∞ a k ) p ≤ ∑ k = 1 ∞ a k p
証明. 主張 (1) を示す。a + b = 0 a+b=0 a + b = 0 0 0 0 a + b > 0 a+b>0 a + b > 0 u = a / ( a + b ) u=a/(a+b) u = a / ( a + b ) v = b / ( a + b ) v=b/(a+b) v = b / ( a + b ) [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] u + v = 1 u+v=1 u + v = 1 0 < t ≤ 1 0<t\leq1 0 < t ≤ 1 t p = t ⋅ t p − 1 ≥ t t^p=t\cdot t^{p-1}\geq t t p = t ⋅ t p − 1 ≥ t 0 p = 0 0^p=0 0 p = 0 u p + v p ≥ u + v = 1 u^p+v^p\geq u+v=1 u p + v p ≥ u + v = 1 ( a + b ) p (a+b)^p ( a + b ) p
主張 (2) を示す。主張 (1) と帰納法により、N ∈ N ≥ 1 N\in\NN N ∈ N ≥ 1 S N = ∑ k = 1 N a k S_N=\sum_{k=1}^Na_k S N = ∑ k = 1 N a k S N p ≤ ∑ k = 1 N a k p ≤ ∑ k = 1 ∞ a k p S_N^p\leq\sum_{k=1}^Na_k^p\leq\sum_{k=1}^\infty a_k^p S N p ≤ ∑ k = 1 N a k p ≤ ∑ k = 1 ∞ a k p S = ∑ k = 1 ∞ a k S=\sum_{k=1}^\infty a_k S = ∑ k = 1 ∞ a k S < ∞ S<\infty S < ∞ t ↦ t p t\mapsto t^p t ↦ t p S p = lim N S N p S^p=\lim_NS_N^p S p = lim N S N p S = ∞ S=\infty S = ∞ S N p → ∞ = S p S_N^p\to\infty=S^p S N p → ∞ = S p ▨
例 7.2. p p p 0 < p < 1 0<p<1 0 < p < 1 ( X , F , μ ) (X,\mathcal F,\mu) ( X , F , μ ) K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C }
L p ( X , F , μ ; K ) = { [ f ] ∈ M K ( X ) / ∼ μ ∣ ∫ X ∣ f ∣ p d μ < ∞ } , d ( [ f ] , [ g ] ) = ∫ X ∣ f − g ∣ p d μ L^p(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K)=\Bigl\{[f]\in\mathcal M_{\mathbb K}(X)/{\sim_\mu}\ \Bigm|\ \int_X\lvert f\rvert^p\,d\mu<\infty\Bigr\},\qquad d([f],[g])=\int_X\lvert f-g\rvert^p\,d\mu L p ( X , F , μ ; K ) = { [ f ] ∈ M K ( X ) / ∼ μ ∫ X ∣ f ∣ p d μ < ∞ } , d ([ f ] , [ g ]) = ∫ X ∣ f − g ∣ p d μ とおく。このとき、L p ( X , F , μ ; K ) L^p(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K) L p ( X , F , μ ; K ) §E10.22 命題 1.3 の線形空間M K ( X ) / ∼ μ \mathcal M_{\mathbb K}(X)/{\sim_\mu} M K ( X ) / ∼ μ d d d d d d L p ( X , F , μ ; K ) L^p(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K) L p ( X , F , μ ; K )
正の整数の全体N ≥ 1 \NN N ≥ 1 κ \kappa κ ℓ p = L p ( N ≥ 1 , P ( N ≥ 1 ) , κ ; K ) \ell^p=L^p(\NN,\mathcal P(\NN),\kappa;\mathbb K) ℓ p = L p ( N ≥ 1 , P ( N ≥ 1 ) , κ ; K ) κ \kappa κ ℓ p \ell^p ℓ p ∑ n = 1 ∞ ∣ x n ∣ p < ∞ \sum_{n=1}^\infty\lvert x_n\rvert^p<\infty ∑ n = 1 ∞ ∣ x n ∣ p < ∞ x = ( x n ) n ∈ N ≥ 1 x=(x_n)_{n\in\NN} x = ( x n ) n ∈ N ≥ 1 d ( x , y ) = ∑ n = 1 ∞ ∣ x n − y n ∣ p d(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\lvert x_n-y_n\rvert^p d ( x , y ) = ∑ n = 1 ∞ ∣ x n − y n ∣ p ℓ p \ell^p ℓ p
証明. f ∼ μ f ′ f\sim_\mu f' f ∼ μ f ′ g ∼ μ g ′ g\sim_\mu g' g ∼ μ g ′ ∣ f − g ∣ p \lvert f-g\rvert^p ∣ f − g ∣ p ∣ f ′ − g ′ ∣ p \lvert f'-g'\rvert^p ∣ f ′ − g ′ ∣ p §E10.10 定理 3.2 (1) によりd d d f , g ∈ M K ( X ) f,g\in\mathcal M_{\mathbb K}(X) f , g ∈ M K ( X ) ∣ f + g ∣ p ≤ ( ∣ f ∣ + ∣ g ∣ ) p ≤ ∣ f ∣ p + ∣ g ∣ p \lvert f+g\rvert^p\leq(\lvert f\rvert+\lvert g\rvert)^p\leq\lvert f\rvert^p+\lvert g\rvert^p ∣ f + g ∣ p ≤ (∣ f ∣ + ∣ g ∣ ) p ≤ ∣ f ∣ p + ∣ g ∣ p 補題 7.1 (1) により成り立ち、∣ λ f ∣ p = ∣ λ ∣ p ∣ f ∣ p \lvert\lambda f\rvert^p=\lvert\lambda\rvert^p\lvert f\rvert^p ∣ λ f ∣ p = ∣ λ ∣ p ∣ f ∣ p L p ( X , F , μ ; K ) L^p(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K) L p ( X , F , μ ; K ) L p L^p L p f − g f-g f − g g − h g-h g − h d ( f , h ) ≤ d ( f , g ) + d ( g , h ) d(f,h)\leq d(f,g)+d(g,h) d ( f , h ) ≤ d ( f , g ) + d ( g , h ) d ( f , g ) = 0 d(f,g)=0 d ( f , g ) = 0 §E10.22 系 3.1 により∣ f − g ∣ p = 0 \lvert f-g\rvert^p=0 ∣ f − g ∣ p = 0 [ f ] = [ g ] [f]=[g] [ f ] = [ g ] d d d
d ( f + g , f 0 + g 0 ) ≤ d ( f , f 0 ) + d ( g , g 0 ) d(f+g,f_0+g_0)\leq d(f,f_0)+d(g,g_0) d ( f + g , f 0 + g 0 ) ≤ d ( f , f 0 ) + d ( g , g 0 ) λ f − λ 0 f 0 = ( λ − λ 0 ) f 0 + λ 0 ( f − f 0 ) + ( λ − λ 0 ) ( f − f 0 ) \lambda f-\lambda_0f_0=(\lambda-\lambda_0)f_0+\lambda_0(f-f_0)+(\lambda-\lambda_0)(f-f_0) λ f − λ 0 f 0 = ( λ − λ 0 ) f 0 + λ 0 ( f − f 0 ) + ( λ − λ 0 ) ( f − f 0 ) 補題 7.1 (1) を二回適用すると
d ( λ f , λ 0 f 0 ) ≤ ∣ λ − λ 0 ∣ p d ( f 0 , 0 ) + ∣ λ 0 ∣ p d ( f , f 0 ) + ∣ λ − λ 0 ∣ p d ( f , f 0 ) d(\lambda f,\lambda_0f_0)\leq\lvert\lambda-\lambda_0\rvert^pd(f_0,0)+\lvert\lambda_0\rvert^pd(f,f_0)+\lvert\lambda-\lambda_0\rvert^pd(f,f_0) d ( λ f , λ 0 f 0 ) ≤ ∣ λ − λ 0 ∣ p d ( f 0 , 0 ) + ∣ λ 0 ∣ p d ( f , f 0 ) + ∣ λ − λ 0 ∣ p d ( f , f 0 ) であり、右辺は( λ , f ) → ( λ 0 , f 0 ) (\lambda,f)\to(\lambda_0,f_0) ( λ , f ) → ( λ 0 , f 0 ) 0 0 0 L p L^p L p
( f n ) n ∈ N ≥ 1 (f_n)_{n\in\NN} ( f n ) n ∈ N ≥ 1 d d d n 1 < n 2 < ⋯ n_1<n_2<\cdots n 1 < n 2 < ⋯ m , l ≥ n k m,l\geq n_k m , l ≥ n k d ( f m , f l ) < 2 − k d(f_m,f_l)<2^{-k} d ( f m , f l ) < 2 − k g k = f n k g_k=f_{n_k} g k = f n k §E10.11 系 1.5 によりh = ∑ k = 1 ∞ ∣ g k + 1 − g k ∣ h=\sum_{k=1}^\infty\lvert g_{k+1}-g_k\rvert h = ∑ k = 1 ∞ ∣ g k + 1 − g k ∣ [ 0 , ∞ ] [0,\infty] [ 0 , ∞ ] ( ∑ k = 1 N ∣ g k + 1 − g k ∣ ) p (\sum_{k=1}^N\lvert g_{k+1}-g_k\rvert)^p ( ∑ k = 1 N ∣ g k + 1 − g k ∣ ) p t ↦ t p t\mapsto t^p t ↦ t p §E10.7 命題 1.3 と§E10.7 命題 1.2 により可測であり、§E10.7 定理 5.1 によりその極限h p h^p h p 補題 7.1 (2) と§E10.11 系 1.5 により
∫ X h p d μ ≤ ∑ k = 1 ∞ ∫ X ∣ g k + 1 − g k ∣ p d μ < ∑ k = 1 ∞ 2 − k = 1 \int_Xh^p\,d\mu\leq\sum_{k=1}^\infty\int_X\lvert g_{k+1}-g_k\rvert^p\,d\mu<\sum_{k=1}^\infty2^{-k}=1 ∫ X h p d μ ≤ k = 1 ∑ ∞ ∫ X ∣ g k + 1 − g k ∣ p d μ < k = 1 ∑ ∞ 2 − k = 1 であり、§E10.10 命題 3.5 によりA = { h < ∞ } A=\{h<\infty\} A = { h < ∞ } μ ( X ∖ A ) = 0 \mu(X\setminus A)=0 μ ( X ∖ A ) = 0 x ∈ A x\in A x ∈ A ∑ k ( g k + 1 ( x ) − g k ( x ) ) \sum_k(g_{k+1}(x)-g_k(x)) ∑ k ( g k + 1 ( x ) − g k ( x )) ( g k ( x ) ) (g_k(x)) ( g k ( x )) x ∈ A x\in A x ∈ A g ( x ) = lim k g k ( x ) g(x)=\lim_kg_k(x) g ( x ) = lim k g k ( x ) x ∉ A x\notin A x ∈ / A g ( x ) = 0 g(x)=0 g ( x ) = 0 g g g g k 1 A g_k\mathbf 1_A g k 1 A §E10.7 定理 5.1 と§E10.7 定理 8.1 により可測である。x ∈ A x\in A x ∈ A k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 ∣ g ( x ) − g k ( x ) ∣ ≤ ∑ j ≥ k ∣ g j + 1 ( x ) − g j ( x ) ∣ \lvert g(x)-g_k(x)\rvert\leq\sum_{j\geq k}\lvert g_{j+1}(x)-g_j(x)\rvert ∣ g ( x ) − g k ( x )∣ ≤ ∑ j ≥ k ∣ g j + 1 ( x ) − g j ( x )∣ 補題 7.1 (2) により∣ g − g k ∣ p ≤ ∑ j ≥ k ∣ g j + 1 − g j ∣ p \lvert g-g_k\rvert^p\leq\sum_{j\geq k}\lvert g_{j+1}-g_j\rvert^p ∣ g − g k ∣ p ≤ ∑ j ≥ k ∣ g j + 1 − g j ∣ p A A A §E10.10 定理 3.2 (1) と§E10.11 系 1.5 により∫ X ∣ g − g k ∣ p d μ ≤ ∑ j ≥ k 2 − j = 2 1 − k \int_X\lvert g-g_k\rvert^p\,d\mu\leq\sum_{j\geq k}2^{-j}=2^{1-k} ∫ X ∣ g − g k ∣ p d μ ≤ ∑ j ≥ k 2 − j = 2 1 − k [ g − g 1 ] ∈ L p [g-g_1]\in L^p [ g − g 1 ] ∈ L p [ g ] = [ g − g 1 ] + [ g 1 ] ∈ L p [g]=[g-g_1]+[g_1]\in L^p [ g ] = [ g − g 1 ] + [ g 1 ] ∈ L p d ( g k , g ) → 0 d(g_k,g)\to0 d ( g k , g ) → 0 m ≥ n k m\geq n_k m ≥ n k d ( f m , g ) ≤ d ( f m , g k ) + d ( g k , g ) < 2 − k + 2 1 − k d(f_m,g)\leq d(f_m,g_k)+d(g_k,g)<2^{-k}+2^{1-k} d ( f m , g ) ≤ d ( f m , g k ) + d ( g k , g ) < 2 − k + 2 1 − k ( f n ) (f_n) ( f n ) g g g ( L p , d ) (L^p,d) ( L p , d ) L p L^p L p
ℓ p \ell^p ℓ p u : N ≥ 1 → [ 0 , ∞ ] u\colon\NN\to[0,\infty] u : N ≥ 1 → [ 0 , ∞ ] u = ∑ n u ( n ) 1 { n } u=\sum_nu(n)\mathbf 1_{\{n\}} u = ∑ n u ( n ) 1 { n } §E10.11 系 1.5 により∫ u d κ = ∑ n u ( n ) \int u\,d\kappa=\sum_nu(n) ∫ u d κ = ∑ n u ( n ) d ( x , y ) = ∑ n ∣ x n − y n ∣ p d(x,y)=\sum_n\lvert x_n-y_n\rvert^p d ( x , y ) = ∑ n ∣ x n − y n ∣ p ℓ p \ell^p ℓ p { x ∣ d ( x , 0 ) < 1 } \{x\mid d(x,0)<1\} { x ∣ d ( x , 0 ) < 1 } U U U { x ∣ d ( x , 0 ) < r } ⊆ U \{x\mid d(x,0)<r\}\subseteq U { x ∣ d ( x , 0 ) < r } ⊆ U 0 < r ≤ 1 0<r\leq1 0 < r ≤ 1 e j = 1 { j } e_j=\mathbf 1_{\{j\}} e j = 1 { j } s = ( r / 2 ) 1 / p s=(r/2)^{1/p} s = ( r /2 ) 1/ p d ( s e j , 0 ) = r / 2 < r d(se_j,0)=r/2<r d ( s e j , 0 ) = r /2 < r s e j ∈ U se_j\in U s e j ∈ U N ∈ N ≥ 1 N\in\NN N ∈ N ≥ 1 z N = N − 1 ∑ j = 1 N s e j z_N=N^{-1}\sum_{j=1}^Nse_j z N = N − 1 ∑ j = 1 N s e j U U U U U U z N ∈ U z_N\in U z N ∈ U d ( z N , 0 ) = N ( s / N ) p = N 1 − p r / 2 d(z_N,0)=N(s/N)^p=N^{1-p}r/2 d ( z N , 0 ) = N ( s / N ) p = N 1 − p r /2 N 1 − p r / 2 ≥ 1 N^{1-p}r/2\geq1 N 1 − p r /2 ≥ 1 N N N z N ∉ { x ∣ d ( x , 0 ) < 1 } z_N\notin\{x\mid d(x,0)<1\} z N ∈ / { x ∣ d ( x , 0 ) < 1 } U ⊆ { x ∣ d ( x , 0 ) < 1 } U\subseteq\{x\mid d(x,0)<1\} U ⊆ { x ∣ d ( x , 0 ) < 1 } ℓ p \ell^p ℓ p ▨
命題 7.3. p p p 0 < p < 1 0<p<1 0 < p < 1 K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] §E10.9 系 9.2 の測度λ 1 B \lambda_1^B λ 1 B λ \lambda λ L p ( [ 0 , 1 ] ) = L p ( [ 0 , 1 ] , B ( [ 0 , 1 ] ) , λ ; K ) L^p([0,1])=L^p([0,1],\mathcal B([0,1]),\lambda;\mathbb K) L p ([ 0 , 1 ]) = L p ([ 0 , 1 ] , B ([ 0 , 1 ]) , λ ; K )
内点をもつL p ( [ 0 , 1 ] ) L^p([0,1]) L p ([ 0 , 1 ]) L p ( [ 0 , 1 ] ) L^p([0,1]) L p ([ 0 , 1 ])
L p ( [ 0 , 1 ] ) ′ = { 0 } L^p([0,1])'=\{0\} L p ([ 0 , 1 ] ) ′ = { 0 } L p ( [ 0 , 1 ] ) L^p([0,1]) L p ([ 0 , 1 ]) 有界数列a = ( a n ) n ∈ N ≥ 1 ∈ ℓ ∞ a=(a_n)_{n\in\NN}\in\ell^\infty a = ( a n ) n ∈ N ≥ 1 ∈ ℓ ∞ x ∈ ℓ p x\in\ell^p x ∈ ℓ p ∑ n = 1 ∞ a n x n \sum_{n=1}^\infty a_nx_n ∑ n = 1 ∞ a n x n Φ ( a ) ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n x n \Phi(a)(x)=\sum_{n=1}^\infty a_nx_n Φ ( a ) ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n x n Φ ( a ) \Phi(a) Φ ( a ) ( ℓ p ) ′ (\ell^p)' ( ℓ p ) ′ Φ : ℓ ∞ → ( ℓ p ) ′ \Phi\colon\ell^\infty\to(\ell^p)' Φ : ℓ ∞ → ( ℓ p ) ′ ( ℓ p ) ′ (\ell^p)' ( ℓ p ) ′ ℓ p \ell^p ℓ p
証明. 主張 (1) を示す。C C C v 0 v_0 v 0 命題 1.4 (1) によりC − v 0 C-v_0 C − v 0 { f ∣ d ( f , 0 ) < r } ⊆ C − v 0 \{f\mid d(f,0)<r\}\subseteq C-v_0 { f ∣ d ( f , 0 ) < r } ⊆ C − v 0 r > 0 r>0 r > 0 C − v 0 C-v_0 C − v 0 f ∈ L p ( [ 0 , 1 ] ) f\in L^p([0,1]) f ∈ L p ([ 0 , 1 ]) I = ∫ [ 0 , 1 ] ∣ f ∣ p d λ I=\int_{[0,1]}\lvert f\rvert^p\,d\lambda I = ∫ [ 0 , 1 ] ∣ f ∣ p d λ t ∈ [ 0 , 1 ] t\in[0,1] t ∈ [ 0 , 1 ] Ψ ( t ) = ∫ [ 0 , 1 ] ∣ f ∣ p 1 [ 0 , t ] d λ \Psi(t)=\int_{[0,1]}\lvert f\rvert^p\mathbf 1_{[0,t]}\,d\lambda Ψ ( t ) = ∫ [ 0 , 1 ] ∣ f ∣ p 1 [ 0 , t ] d λ t m → t t_m\to t t m → t ∣ f ∣ p 1 [ 0 , t m ] \lvert f\rvert^p\mathbf 1_{[0,t_m]} ∣ f ∣ p 1 [ 0 , t m ] λ ( { t } ) = 0 \lambda(\{t\})=0 λ ({ t }) = 0 ∣ f ∣ p 1 [ 0 , t ] \lvert f\rvert^p\mathbf 1_{[0,t]} ∣ f ∣ p 1 [ 0 , t ] ∣ f ∣ p \lvert f\rvert^p ∣ f ∣ p §E10.11 定理 3.1 によりΨ ( t m ) → Ψ ( t ) \Psi(t_m)\to\Psi(t) Ψ ( t m ) → Ψ ( t ) Ψ \Psi Ψ Ψ ( 0 ) = 0 \Psi(0)=0 Ψ ( 0 ) = 0 Ψ ( 1 ) = I \Psi(1)=I Ψ ( 1 ) = I I = 0 I=0 I = 0 §E10.22 系 3.1 によりf = 0 f=0 f = 0 f f f 0 0 0 C − v 0 C-v_0 C − v 0 I > 0 I>0 I > 0 p < 1 p<1 p < 1 N p − 1 I < r N^{p-1}I<r N p − 1 I < r N ∈ N ≥ 1 N\in\NN N ∈ N ≥ 1 t 0 = 0 t_0=0 t 0 = 0 t N = 1 t_N=1 t N = 1 1 ≤ k < N 1\leq k<N 1 ≤ k < N t k − 1 ∈ [ 0 , 1 ) t_{k-1}\in[0,1) t k − 1 ∈ [ 0 , 1 ) Ψ ( t k − 1 ) = ( k − 1 ) I / N \Psi(t_{k-1})=(k-1)I/N Ψ ( t k − 1 ) = ( k − 1 ) I / N Ψ ( t k − 1 ) < k I / N < I = Ψ ( 1 ) \Psi(t_{k-1})<kI/N<I=\Psi(1) Ψ ( t k − 1 ) < k I / N < I = Ψ ( 1 ) §E2.43 系 2.3 によりΨ ( t k ) = k I / N \Psi(t_k)=kI/N Ψ ( t k ) = k I / N t k ∈ ( t k − 1 , 1 ) t_k\in(t_{k-1},1) t k ∈ ( t k − 1 , 1 ) 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t N = 1 0=t_0<t_1<\cdots<t_N=1 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t N = 1 0 ≤ k ≤ N 0\leq k\leq N 0 ≤ k ≤ N Ψ ( t k ) = k I / N \Psi(t_k)=kI/N Ψ ( t k ) = k I / N J 1 = [ 0 , t 1 ] J_1=[0,t_1] J 1 = [ 0 , t 1 ] 2 ≤ k ≤ N 2\leq k\leq N 2 ≤ k ≤ N J k = ( t k − 1 , t k ] J_k=(t_{k-1},t_k] J k = ( t k − 1 , t k ] J 1 , … , J N J_1,\ldots,J_N J 1 , … , J N [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ∫ J k ∣ f ∣ p d λ = Ψ ( t k ) − Ψ ( t k − 1 ) = I / N \int_{J_k}\lvert f\rvert^p\,d\lambda=\Psi(t_k)-\Psi(t_{k-1})=I/N ∫ J k ∣ f ∣ p d λ = Ψ ( t k ) − Ψ ( t k − 1 ) = I / N g k = N f 1 J k g_k=Nf\mathbf 1_{J_k} g k = N f 1 J k f = N − 1 ∑ k = 1 N g k f=N^{-1}\sum_{k=1}^Ng_k f = N − 1 ∑ k = 1 N g k d ( g k , 0 ) = N p ⋅ I / N = N p − 1 I < r d(g_k,0)=N^p\cdot I/N=N^{p-1}I<r d ( g k , 0 ) = N p ⋅ I / N = N p − 1 I < r g k g_k g k C − v 0 C-v_0 C − v 0 f f f C − v 0 C-v_0 C − v 0 C − v 0 = L p ( [ 0 , 1 ] ) C-v_0=L^p([0,1]) C − v 0 = L p ([ 0 , 1 ]) C = L p ( [ 0 , 1 ] ) C=L^p([0,1]) C = L p ([ 0 , 1 ])
主張 (2) を示す。φ ∈ L p ( [ 0 , 1 ] ) ′ \varphi\in L^p([0,1])' φ ∈ L p ([ 0 , 1 ] ) ′ C = { f ∣ ℜ φ ( f ) < 1 } C=\{f\mid\Re\varphi(f)<1\} C = { f ∣ ℜ φ ( f ) < 1 } C C C ℜ φ \Re\varphi ℜ φ 0 0 0 主張 (1) によりC = L p ( [ 0 , 1 ] ) C=L^p([0,1]) C = L p ([ 0 , 1 ]) f f f t t t t ℜ φ ( f ) = ℜ φ ( t f ) < 1 t\Re\varphi(f)=\Re\varphi(tf)<1 t ℜ φ ( f ) = ℜ φ ( t f ) < 1 ℜ φ ( f ) = 0 \Re\varphi(f)=0 ℜ φ ( f ) = 0 K = C \mathbb K=\C K = C ℑ φ ( f ) = − ℜ φ ( i f ) = 0 \Im\varphi(f)=-\Re\varphi(if)=0 ℑ φ ( f ) = − ℜ φ ( i f ) = 0 φ = 0 \varphi=0 φ = 0 L p ( [ 0 , 1 ] ) L^p([0,1]) L p ([ 0 , 1 ]) { f ∣ d ( f , 0 ) < 1 } \{f\mid d(f,0)<1\} { f ∣ d ( f , 0 ) < 1 } 0 0 0 主張 (1) によりL p ( [ 0 , 1 ] ) L^p([0,1]) L p ([ 0 , 1 ]) L p ( [ 0 , 1 ] ) ⊆ { f ∣ d ( f , 0 ) < 1 } L^p([0,1])\subseteq\{f\mid d(f,0)<1\} L p ([ 0 , 1 ]) ⊆ { f ∣ d ( f , 0 ) < 1 } 2 1 / p 2^{1/p} 2 1/ p f f f d ( f , 0 ) = 2 d(f,0)=2 d ( f , 0 ) = 2 { f ∣ d ( f , 0 ) < 1 } \{f\mid d(f,0)<1\} { f ∣ d ( f , 0 ) < 1 } L p ( [ 0 , 1 ] ) L^p([0,1]) L p ([ 0 , 1 ])
主張 (3) を示す。x ∈ ℓ p x\in\ell^p x ∈ ℓ p ( ∣ x k ∣ ) k ∈ N ≥ 1 (\lvert x_k\rvert)_{k\in\NN} (∣ x k ∣ ) k ∈ N ≥ 1 補題 7.1 (2) を適用すると( ∑ n ∣ x n ∣ ) p ≤ d ( x , 0 ) (\sum_n\lvert x_n\rvert)^p\leq d(x,0) ( ∑ n ∣ x n ∣ ) p ≤ d ( x , 0 ) a ∈ ℓ ∞ a\in\ell^\infty a ∈ ℓ ∞ ∣ ∑ n a n x n ∣ ≤ ∥ a ∥ ∞ d ( x , 0 ) 1 / p \lvert\sum_na_nx_n\rvert\leq\lVert a\rVert_\infty d(x,0)^{1/p} ∣ ∑ n a n x n ∣ ≤ ∥ a ∥ ∞ d ( x , 0 ) 1/ p Φ ( a ) \Phi(a) Φ ( a ) d ( x , 0 ) < ( ε / ( ∥ a ∥ ∞ + 1 ) ) p d(x,0)<(\varepsilon/(\lVert a\rVert_\infty+1))^p d ( x , 0 ) < ( ε / (∥ a ∥ ∞ + 1 ) ) p ∣ Φ ( a ) ( x ) ∣ < ε \lvert\Phi(a)(x)\rvert<\varepsilon ∣ Φ ( a ) ( x )∣ < ε Φ ( a ) \Phi(a) Φ ( a ) 0 0 0 補題 1.7 により連続である。Φ \Phi Φ e n = 1 { n } e_n=\mathbf 1_{\{n\}} e n = 1 { n } Φ ( a ) ( e n ) = a n \Phi(a)(e_n)=a_n Φ ( a ) ( e n ) = a n φ ∈ ( ℓ p ) ′ \varphi\in(\ell^p)' φ ∈ ( ℓ p ) ′ a n = φ ( e n ) a_n=\varphi(e_n) a n = φ ( e n ) φ \varphi φ 0 0 0 d ( x , 0 ) < r d(x,0)<r d ( x , 0 ) < r ∣ φ ( x ) ∣ < 1 \lvert\varphi(x)\rvert<1 ∣ φ ( x )∣ < 1 r > 0 r>0 r > 0 s = ( r / 2 ) 1 / p s=(r/2)^{1/p} s = ( r /2 ) 1/ p d ( s e n , 0 ) = r / 2 < r d(se_n,0)=r/2<r d ( s e n , 0 ) = r /2 < r s ∣ a n ∣ < 1 s\lvert a_n\rvert<1 s ∣ a n ∣ < 1 a ∈ ℓ ∞ a\in\ell^\infty a ∈ ℓ ∞ x ∈ ℓ p x\in\ell^p x ∈ ℓ p N ∈ N ≥ 1 N\in\NN N ∈ N ≥ 1 x ( N ) = ∑ n = 1 N x n e n x^{(N)}=\sum_{n=1}^Nx_ne_n x ( N ) = ∑ n = 1 N x n e n d ( x ( N ) , x ) = ∑ n > N ∣ x n ∣ p → 0 d(x^{(N)},x)=\sum_{n>N}\lvert x_n\rvert^p\to0 d ( x ( N ) , x ) = ∑ n > N ∣ x n ∣ p → 0 φ \varphi φ φ ( x ) = lim N φ ( x ( N ) ) = lim N ∑ n = 1 N a n x n = Φ ( a ) ( x ) \varphi(x)=\lim_N\varphi(x^{(N)})=\lim_N\sum_{n=1}^Na_nx_n=\Phi(a)(x) φ ( x ) = lim N φ ( x ( N ) ) = lim N ∑ n = 1 N a n x n = Φ ( a ) ( x ) Φ \Phi Φ x ≠ 0 x\neq0 x = 0 x n ≠ 0 x_n\neq0 x n = 0 n n n Φ ( e n ) ( x ) = x n ≠ 0 \Phi(e_n)(x)=x_n\neq0 Φ ( e n ) ( x ) = x n = 0 ▨
8 滑らかな関数の空間と試験関数の空間 補題 8.1. n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 R n \R^n R n x ∈ R n x\in\R^n x ∈ R n ∣ x ∣ \lvert x\rvert ∣ x ∣ Ω ⊆ R n \Omega\subseteq\R^n Ω ⊆ R n x ∈ R n x\in\R^n x ∈ R n Ω ≠ R n \Omega\neq\R^n Ω = R n g ( x ) = d ( x , R n ∖ Ω ) g(x)=d(x,\R^n\setminus\Omega) g ( x ) = d ( x , R n ∖ Ω ) Ω = R n \Omega=\R^n Ω = R n g ( x ) = 1 g(x)=1 g ( x ) = 1 j ∈ N ≥ 1 j\in\NN j ∈ N ≥ 1 K j = { x ∈ R n ∣ ∣ x ∣ ≤ j , g ( x ) ≥ 1 / j } K_j=\{x\in\R^n\mid\lvert x\rvert\leq j,\ g(x)\geq1/j\} K j = { x ∈ R n ∣ ∣ x ∣ ≤ j , g ( x ) ≥ 1/ j } K j K_j K j Ω \Omega Ω K j ⊆ K j + 1 K_j\subseteq K_{j+1} K j ⊆ K j + 1 Ω \Omega Ω K j K_j K j Ω = ⋃ j ∈ N ≥ 1 K j \Omega=\bigcup_{j\in\NN}K_j Ω = ⋃ j ∈ N ≥ 1 K j
証明. g g g Ω ≠ R n \Omega\neq\R^n Ω = R n §E2.10 命題 5.2 (1) により連続であり、Ω = R n \Omega=\R^n Ω = R n x ↦ ∣ x ∣ x\mapsto\lvert x\rvert x ↦ ∣ x ∣ K j K_j K j §E2.9 定理 4.3 によりコンパクトである。Ω = R n \Omega=\R^n Ω = R n K j ⊆ Ω K_j\subseteq\Omega K j ⊆ Ω Ω ≠ R n \Omega\neq\R^n Ω = R n x ∈ K j x\in K_j x ∈ K j g ( x ) > 0 g(x)>0 g ( x ) > 0 R n ∖ Ω \R^n\setminus\Omega R n ∖ Ω §E2.10 命題 5.2 (2) によりx ∉ R n ∖ Ω x\notin\R^n\setminus\Omega x ∈ / R n ∖ Ω K j ⊆ Ω K_j\subseteq\Omega K j ⊆ Ω K j ⊆ K j + 1 K_j\subseteq K_{j+1} K j ⊆ K j + 1 g g g Ω \Omega Ω Ω = R n \Omega=\R^n Ω = R n g = 1 g=1 g = 1 Ω ≠ R n \Omega\neq\R^n Ω = R n §E2.15 補題 3.1 による。K ⊆ Ω K\subseteq\Omega K ⊆ Ω g g g K K K §E2.19 定理 4.4 により∣ x ∣ \lvert x\rvert ∣ x ∣ K K K R R R g g g K K K m > 0 m>0 m > 0 j ≥ max { R , 1 / m } j\geq\max\{R,1/m\} j ≥ max { R , 1/ m } K ⊆ K j K\subseteq K_j K ⊆ K j x ∈ Ω x\in\Omega x ∈ Ω K = { x } K=\{x\} K = { x } Ω = ⋃ j K j \Omega=\bigcup_jK_j Ω = ⋃ j K j ▨
例 8.2. n n n Ω \Omega Ω ( K j ) j ∈ N ≥ 1 (K_j)_{j\in\NN} ( K j ) j ∈ N ≥ 1 補題 8.1 のとおりとし、K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } { 1 , … , n } \{1,\ldots,n\} { 1 , … , n } w = ( i 1 , … , i m ) w=(i_1,\ldots,i_m) w = ( i 1 , … , i m ) m ∈ N ≥ 0 m\in\N m ∈ N ≥ 0 W n W_n W n Ω \Omega Ω K \mathbb K K f f f ∂ w f = ∂ i 1 ∂ i 2 ⋯ ∂ i m f \partial^wf=\partial_{i_1}\partial_{i_2}\cdots\partial_{i_m}f ∂ w f = ∂ i 1 ∂ i 2 ⋯ ∂ i m f m = 0 m=0 m = 0 ∂ w f = f \partial^wf=f ∂ w f = f ∂ i \partial_i ∂ i i i i w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n ∂ w f \partial^wf ∂ w f Ω \Omega Ω Ω \Omega Ω K \mathbb K K f f f C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) j ∈ N ≥ 1 j\in\NN j ∈ N ≥ 1 w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n
p j , w ( f ) = sup x ∈ K j ∣ ∂ w f ( x ) ∣ ( f ∈ C ∞ ( Ω ) ) p_{j,w}(f)=\sup_{x\in K_j}\lvert\partial^wf(x)\rvert\qquad(f\in C^\infty(\Omega)) p j , w ( f ) = x ∈ K j sup ∣ ∂ w f ( x )∣ ( f ∈ C ∞ ( Ω )) とおく（K j = ∅ K_j=\emptyset K j = ∅ 0 0 0 W n W_n W n { p j , w ∣ j ∈ N ≥ 1 , w ∈ W n } \{p_{j,w}\mid j\in\NN,\ w\in W_n\} { p j , w ∣ j ∈ N ≥ 1 , w ∈ W n } C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) Ω \Omega Ω K K K w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n f ↦ sup x ∈ K ∣ ∂ w f ( x ) ∣ f\mapsto\sup_{x\in K}\lvert\partial^wf(x)\rvert f ↦ sup x ∈ K ∣ ∂ w f ( x )∣ C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) ( f k ) (f_k) ( f k ) f f f Ω \Omega Ω K K K w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n ∂ w f k \partial^wf_k ∂ w f k K K K ∂ w f \partial^wf ∂ w f
証明. ∂ w f \partial^wf ∂ w f K j K_j K j §E2.19 定理 4.4 によりp j , w ( f ) < ∞ p_{j,w}(f)<\infty p j , w ( f ) < ∞ p j , w p_{j,w} p j , w f ≠ 0 f\neq0 f = 0 f ( x ) ≠ 0 f(x)\neq0 f ( x ) = 0 x ∈ Ω x\in\Omega x ∈ Ω 補題 8.1 によりx ∈ K j x\in K_j x ∈ K j j j j p j , ( ) ( f ) > 0 p_{j,()}(f)>0 p j , ( ) ( f ) > 0 ( ) () ( ) 0 0 0 K ⊆ Ω K\subseteq\Omega K ⊆ Ω 補題 8.1 によりK ⊆ K j K\subseteq K_j K ⊆ K j j j j sup K ∣ ∂ w f ∣ ≤ p j , w ( f ) \sup_K\lvert\partial^wf\rvert\leq p_{j,w}(f) sup K ∣ ∂ w f ∣ ≤ p j , w ( f ) 命題 2.4 (4) によりこの半ノルムは連続である。収束の特徴づけは、この事実と命題 2.4 (6) による。
( f k ) (f_k) ( f k ) C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) B { p j , w } , ε ( 0 ) B_{\{p_{j,w}\},\varepsilon}(0) B { p j , w } , ε ( 0 ) j j j w w w p j , w ( f k − f l ) → 0 p_{j,w}(f_k-f_l)\to0 p j , w ( f k − f l ) → 0 k , l → ∞ k,l\to\infty k , l → ∞ x ∈ Ω x\in\Omega x ∈ Ω { y ∣ ∣ y − x ∣ ≤ r } ⊆ Ω \{y\mid\lvert y-x\rvert\leq r\}\subseteq\Omega { y ∣ ∣ y − x ∣ ≤ r } ⊆ Ω r > 0 r>0 r > 0 補題 8.1 によりあるK j K_j K j K j K_j K j ∂ w f k ∣ K j \partial^wf_k\vert_{K_j} ∂ w f k ∣ K j §E10.1 定理 3.5 によりK j K_j K j w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n g w ( x ) = lim k ∂ w f k ( x ) g_w(x)=\lim_k\partial^wf_k(x) g w ( x ) = lim k ∂ w f k ( x ) x ∈ Ω x\in\Omega x ∈ Ω K j K_j K j ∂ w f k \partial^wf_k ∂ w f k g w g_w g w g w g_w g w Ω \Omega Ω Ω \Omega Ω
w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n i ∈ { 1 , … , n } i\in\{1,\ldots,n\} i ∈ { 1 , … , n } ( i ) w (i)w ( i ) w w w w i i i x ∈ Ω x\in\Omega x ∈ Ω { y ∣ ∣ y − x ∣ ≤ r } ⊆ Ω \{y\mid\lvert y-x\rvert\leq r\}\subseteq\Omega { y ∣ ∣ y − x ∣ ≤ r } ⊆ Ω r > 0 r>0 r > 0 K j K_j K j e i e_i e i i i i ϕ k ( t ) = ∂ w f k ( x + t e i ) \phi_k(t)=\partial^wf_k(x+te_i) ϕ k ( t ) = ∂ w f k ( x + t e i ) ∣ t ∣ ≤ r \lvert t\rvert\leq r ∣ t ∣ ≤ r [ − r , r ] [-r,r] [ − r , r ] ∂ ( i ) w f k ( x + t e i ) \partial^{(i)w}f_k(x+te_i) ∂ ( i ) w f k ( x + t e i ) [ − r , r ] [-r,r] [ − r , r ] K j K_j K j g ( i ) w ( x + t e i ) g_{(i)w}(x+te_i) g ( i ) w ( x + t e i ) ϕ k ( 0 ) \phi_k(0) ϕ k ( 0 ) §D1.22 定理 4.2 によりt ↦ g w ( x + t e i ) t\mapsto g_w(x+te_i) t ↦ g w ( x + t e i ) t = 0 t=0 t = 0 g ( i ) w ( x ) g_{(i)w}(x) g ( i ) w ( x ) ∂ i g w = g ( i ) w \partial_ig_w=g_{(i)w} ∂ i g w = g ( i ) w w w w g = g ( ) g=g_{()} g = g ( ) w w w ∂ w g = g w \partial^wg=g_w ∂ w g = g w g ∈ C ∞ ( Ω ) g\in C^\infty(\Omega) g ∈ C ∞ ( Ω ) p j , w ( f k − g ) = sup K j ∣ ∂ w f k − g w ∣ → 0 p_{j,w}(f_k-g)=\sup_{K_j}\lvert\partial^wf_k-g_w\rvert\to0 p j , w ( f k − g ) = sup K j ∣ ∂ w f k − g w ∣ → 0 命題 2.4 (6) によりf k → g f_k\to g f k → g C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) { p j , w ∣ j ∈ N ≥ 1 , w ∈ W n } \{p_{j,w}\mid j\in\NN,\ w\in W_n\} { p j , w ∣ j ∈ N ≥ 1 , w ∈ W n } 系 5.16 (2) によりC ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) ▨
例 8.3. n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 W n W_n W n ∂ w \partial^w ∂ w 例 8.2 のとおりとする。多重指数β = ( β 1 , … , β n ) ∈ N ≥ 0 n \beta=(\beta_1,\ldots,\beta_n)\in\N^n β = ( β 1 , … , β n ) ∈ N ≥ 0 n x ∈ R n x\in\R^n x ∈ R n x β = x 1 β 1 ⋯ x n β n x^\beta=x_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n} x β = x 1 β 1 ⋯ x n β n f ∈ C ∞ ( R n ) f\in C^\infty(\R^n) f ∈ C ∞ ( R n ) β ∈ N ≥ 0 n \beta\in\N^n β ∈ N ≥ 0 n w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n
q β , w ( f ) = sup x ∈ R n ∣ x β ∂ w f ( x ) ∣ < ∞ q_{\beta,w}(f)=\sup_{x\in\R^n}\lvert x^\beta\partial^wf(x)\rvert<\infty q β , w ( f ) = x ∈ R n sup ∣ x β ∂ w f ( x )∣ < ∞ を満たすものの全体をS ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) S ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) C ∞ ( R n ) C^\infty(\R^n) C ∞ ( R n ) { q β , w ∣ β ∈ N ≥ 0 n , w ∈ W n } \{q_{\beta,w}\mid\beta\in\N^n,\ w\in W_n\} { q β , w ∣ β ∈ N ≥ 0 n , w ∈ W n } S ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) S ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) S ( R n ) → C ∞ ( R n ) \mathcal S(\R^n)\to C^\infty(\R^n) S ( R n ) → C ∞ ( R n )
証明. q β , w ( f + g ) ≤ q β , w ( f ) + q β , w ( g ) q_{\beta,w}(f+g)\leq q_{\beta,w}(f)+q_{\beta,w}(g) q β , w ( f + g ) ≤ q β , w ( f ) + q β , w ( g ) q β , w ( λ f ) = ∣ λ ∣ q β , w ( f ) q_{\beta,w}(\lambda f)=\lvert\lambda\rvert q_{\beta,w}(f) q β , w ( λ f ) = ∣ λ ∣ q β , w ( f ) S ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) q β , w q_{\beta,w} q β , w q 0 , ( ) q_{0,()} q 0 , ( ) 例 8.2 のp j , w p_{j,w} p j , w p j , w ≤ q 0 , w p_{j,w}\leq q_{0,w} p j , w ≤ q 0 , w 命題 2.4 (5) と命題 2.4 (4) により包含写像は連続である。
( f k ) (f_k) ( f k ) S ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) β , w \beta,w β , w q β , w ( f k − f l ) → 0 q_{\beta,w}(f_k-f_l)\to0 q β , w ( f k − f l ) → 0 p j , w ≤ q 0 , w p_{j,w}\leq q_{0,w} p j , w ≤ q 0 , w ( f k ) (f_k) ( f k ) C ∞ ( R n ) C^\infty(\R^n) C ∞ ( R n ) 例 8.2 によりC ∞ ( R n ) C^\infty(\R^n) C ∞ ( R n ) g g g w w w x x x ∂ w f k ( x ) → ∂ w g ( x ) \partial^wf_k(x)\to\partial^wg(x) ∂ w f k ( x ) → ∂ w g ( x ) β , w \beta,w β , w ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 k , l ≥ k 0 k,l\geq k_0 k , l ≥ k 0 q β , w ( f k − f l ) < ε q_{\beta,w}(f_k-f_l)<\varepsilon q β , w ( f k − f l ) < ε k 0 k_0 k 0 k ≥ k 0 k\geq k_0 k ≥ k 0 x ∈ R n x\in\R^n x ∈ R n ∣ x β ( ∂ w f k ( x ) − ∂ w f l ( x ) ) ∣ < ε \lvert x^\beta(\partial^wf_k(x)-\partial^wf_l(x))\rvert<\varepsilon ∣ x β ( ∂ w f k ( x ) − ∂ w f l ( x ))∣ < ε l → ∞ l\to\infty l → ∞ ∣ x β ( ∂ w f k ( x ) − ∂ w g ( x ) ) ∣ ≤ ε \lvert x^\beta(\partial^wf_k(x)-\partial^wg(x))\rvert\leq\varepsilon ∣ x β ( ∂ w f k ( x ) − ∂ w g ( x ))∣ ≤ ε ∣ x β ∂ w g ( x ) ∣ ≤ q β , w ( f k ) + ε \lvert x^\beta\partial^wg(x)\rvert\leq q_{\beta,w}(f_k)+\varepsilon ∣ x β ∂ w g ( x )∣ ≤ q β , w ( f k ) + ε g ∈ S ( R n ) g\in\mathcal S(\R^n) g ∈ S ( R n ) q β , w ( f k − g ) ≤ ε q_{\beta,w}(f_k-g)\leq\varepsilon q β , w ( f k − g ) ≤ ε 命題 2.4 (6) によりf k → g f_k\to g f k → g S ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) { q β , w } \{q_{\beta,w}\} { q β , w } 系 5.16 (2) によりS ( R n ) \mathcal S(\R^n) S ( R n ) ▨
定義 8.4. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } ( E m ) m ∈ N ≥ 1 (E_m)_{m\in\NN} ( E m ) m ∈ N ≥ 1 E m ⊆ E m + 1 E_m\subseteq E_{m+1} E m ⊆ E m + 1 ⋃ m E m = E \bigcup_mE_m=E ⋃ m E m = E E E E E m E_m E m τ m \tau_m τ m E E E p p p m m m p ∣ E m p\vert_{E_m} p ∣ E m τ m \tau_m τ m P i n d \mathcal P_{\mathrm{ind}} P ind τ P i n d \tau_{\mathcal P_{\mathrm{ind}}} τ P ind ( ( E m , τ m ) ) m ∈ N ≥ 1 ((E_m,\tau_m))_{m\in\NN} (( E m , τ m ) ) m ∈ N ≥ 1 局所凸帰納極限位相 (locally convex inductive limit topology )E E E ( ( E m , τ m ) ) m ∈ N ≥ 1 ((E_m,\tau_m))_{m\in\NN} (( E m , τ m ) ) m ∈ N ≥ 1 局所凸帰納極限 (locally convex inductive limit )
命題 8.5. 定義 8.4 の記号の下で、E E E τ \tau τ
E E E m m m ( E m , τ m ) → ( E , τ ) (E_m,\tau_m)\to(E,\tau) ( E m , τ m ) → ( E , τ ) σ \sigma σ E E E E E E m m m ( E m , τ m ) → ( E , σ ) (E_m,\tau_m)\to(E,\sigma) ( E m , τ m ) → ( E , σ ) σ ⊆ τ \sigma\subseteq\tau σ ⊆ τ E E E U U U m m m U ∩ E m U\cap E_m U ∩ E m ( E m , τ m ) (E_m,\tau_m) ( E m , τ m ) B \mathcal B B B \mathcal B B ( E , τ ) (E,\tau) ( E , τ ) ( E , τ ) (E,\tau) ( E , τ ) B \mathcal B B 証明. 主張 (1) を示す。命題 2.4 (2) によりE E E p ∈ P i n d p\in\mathcal P_{\mathrm{ind}} p ∈ P ind i m : E m → E i_m\colon E_m\to E i m : E m → E p ∘ i m = p ∣ E m p\circ i_m=p\vert_{E_m} p ∘ i m = p ∣ E m 命題 2.4 (5) によりi m i_m i m
主張 (2) を示す。P σ \mathcal P_\sigma P σ ( E , σ ) (E,\sigma) ( E , σ ) q ∈ P σ q\in\mathcal P_\sigma q ∈ P σ i m : ( E m , τ m ) → ( E , σ ) i_m\colon(E_m,\tau_m)\to(E,\sigma) i m : ( E m , τ m ) → ( E , σ ) q ∣ E m = q ∘ i m q\vert_{E_m}=q\circ i_m q ∣ E m = q ∘ i m P σ ⊆ P i n d \mathcal P_\sigma\subseteq\mathcal P_{\mathrm{ind}} P σ ⊆ P ind q ∈ P σ q\in\mathcal P_\sigma q ∈ P σ a ∈ E a\in E a ∈ E x ↦ q ( x − a ) x\mapsto q(x-a) x ↦ q ( x − a ) τ \tau τ §E2.12 命題 3.3 (1) によりτ \tau τ §E2.12 定義 3.2 によりτ P σ ⊆ τ \tau_{\mathcal P_\sigma}\subseteq\tau τ P σ ⊆ τ 定理 2.9 条件 (d) によりσ = τ P σ \sigma=\tau_{\mathcal P_\sigma} σ = τ P σ
主張 (3) を示す。U ∈ B U\in\mathcal B U ∈ B x ∈ E x\in E x ∈ E x ∈ E m x\in E_m x ∈ E m m m m 命題 1.4 (2) によりU ∩ E m U\cap E_m U ∩ E m E m E_m E m U U U E E E 命題 2.8 (3) によりp U p_U p U E E E x ∈ E m x\in E_m x ∈ E m t > 0 t>0 t > 0 x ∈ t U x\in tU x ∈ t U x ∈ t ( U ∩ E m ) x\in t(U\cap E_m) x ∈ t ( U ∩ E m ) t − 1 x ∈ E m t^{-1}x\in E_m t − 1 x ∈ E m p U ∣ E m p_U\vert_{E_m} p U ∣ E m E m E_m E m U ∩ E m U\cap E_m U ∩ E m 命題 2.8 (4) によりτ m \tau_m τ m p U ∈ P i n d p_U\in\mathcal P_{\mathrm{ind}} p U ∈ P ind 命題 2.8 (2) と命題 2.4 (1) によりU U U B { p U } , 1 ( 0 ) B_{\{p_U\},1}(0) B { p U } , 1 ( 0 ) U U U ( E , τ ) (E,\tau) ( E , τ ) 命題 2.4 (1) により( E , τ ) (E,\tau) ( E , τ ) B F , ε ( 0 ) B_{F,\varepsilon}(0) B F , ε ( 0 ) F ⊆ P i n d F\subseteq\mathcal P_{\mathrm{ind}} F ⊆ P ind B F , ε ( 0 ) B_{F,\varepsilon}(0) B F , ε ( 0 ) B F , ε ( 0 ) ∩ E m B_{F,\varepsilon}(0)\cap E_m B F , ε ( 0 ) ∩ E m p ∣ E m p\vert_{E_m} p ∣ E m p ∈ F p\in F p ∈ F E m E_m E m B F , ε ( 0 ) ∈ B B_{F,\varepsilon}(0)\in\mathcal B B F , ε ( 0 ) ∈ B ▨
定義 8.6. n n n Ω \Omega Ω ( K j ) j ∈ N ≥ 1 (K_j)_{j\in\NN} ( K j ) j ∈ N ≥ 1 補題 8.1 のとおりとし、W n W_n W n ∂ w \partial^w ∂ w C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) 例 8.2 のとおりとする。Ω \Omega Ω K K K Ω ∖ K \Omega\setminus K Ω ∖ K 0 0 0 f ∈ C ∞ ( Ω ) f\in C^\infty(\Omega) f ∈ C ∞ ( Ω ) D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) { r K , w ∣ w ∈ W n } \{r_{K,w}\mid w\in W_n\} { r K , w ∣ w ∈ W n } r K , w ( f ) = sup x ∈ K ∣ ∂ w f ( x ) ∣ r_{K,w}(f)=\sup_{x\in K}\lvert\partial^wf(x)\rvert r K , w ( f ) = sup x ∈ K ∣ ∂ w f ( x )∣ K = ∅ K=\emptyset K = ∅ 0 0 0 D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) 命題 2.4 (2) によりD K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) D ( Ω ) = ⋃ j ∈ N ≥ 1 D K j ( Ω ) \mathcal D(\Omega)=\bigcup_{j\in\NN}\mathcal D_{K_j}(\Omega) D ( Ω ) = ⋃ j ∈ N ≥ 1 D K j ( Ω ) ( D K j ( Ω ) ) j ∈ N ≥ 1 (\mathcal D_{K_j}(\Omega))_{j\in\NN} ( D K j ( Ω ) ) j ∈ N ≥ 1 D ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) D ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) Ω \Omega Ω 試験関数の空間 (space of test functions )
命題 8.7. 定義 8.6 の記号の下で、次が成り立つ。
D ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) Ω \Omega Ω K K K D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) Ω \Omega Ω K K K D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) K ⊆ K ′ K\subseteq K' K ⊆ K ′ Ω \Omega Ω K , K ′ K,K' K , K ′ D K ( Ω ) ⊆ D K ′ ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega)\subseteq\mathcal D_{K'}(\Omega) D K ( Ω ) ⊆ D K ′ ( Ω ) D ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) Ω \Omega Ω K K K D K ( Ω ) → D ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega)\to\mathcal D(\Omega) D K ( Ω ) → D ( Ω ) D ( Ω ) → C ∞ ( Ω ) \mathcal D(\Omega)\to C^\infty(\Omega) D ( Ω ) → C ∞ ( Ω ) 証明. K ⊆ Ω K\subseteq\Omega K ⊆ Ω f ∈ D K ( Ω ) f\in\mathcal D_K(\Omega) f ∈ D K ( Ω ) K K K Ω ∖ K \Omega\setminus K Ω ∖ K f f f 0 0 0 w w w ∂ w f \partial^wf ∂ w f Ω ∖ K \Omega\setminus K Ω ∖ K 0 0 0
主張 (1) を示す。補題 8.1 によりΩ \Omega Ω K K K K j K_j K j D K ( Ω ) ⊆ D K j ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega)\subseteq\mathcal D_{K_j}(\Omega) D K ( Ω ) ⊆ D K j ( Ω ) K j K_j K j
主張 (2) を示す。K ⊆ K ′ K\subseteq K' K ⊆ K ′ D K ( Ω ) ⊆ D K ′ ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega)\subseteq\mathcal D_{K'}(\Omega) D K ( Ω ) ⊆ D K ′ ( Ω ) f ∈ D K ( Ω ) f\in\mathcal D_K(\Omega) f ∈ D K ( Ω ) r K ′ , w ( f ) = r K , w ( f ) r_{K',w}(f)=r_{K,w}(f) r K ′ , w ( f ) = r K , w ( f ) 命題 2.4 (5) により包含写像は連続である。r K , ( ) r_{K,()} r K , ( ) D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) { r K , w } \{r_{K,w}\} { r K , w } ( f k ) (f_k) ( f k ) D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) w w w r K , w ( f k − f l ) → 0 r_{K,w}(f_k-f_l)\to0 r K , w ( f k − f l ) → 0 p j , w ( f k − f l ) ≤ r K , w ( f k − f l ) p_{j,w}(f_k-f_l)\leq r_{K,w}(f_k-f_l) p j , w ( f k − f l ) ≤ r K , w ( f k − f l ) ( f k ) (f_k) ( f k ) C ∞ ( Ω ) C^\infty(\Omega) C ∞ ( Ω ) 例 8.2 によりあるg ∈ C ∞ ( Ω ) g\in C^\infty(\Omega) g ∈ C ∞ ( Ω ) g g g Ω ∖ K \Omega\setminus K Ω ∖ K 0 0 0 g ∈ D K ( Ω ) g\in\mathcal D_K(\Omega) g ∈ D K ( Ω ) 補題 8.1 によりK ⊆ K j K\subseteq K_j K ⊆ K j j j j r K , w ( f k − g ) ≤ p j , w ( f k − g ) → 0 r_{K,w}(f_k-g)\leq p_{j,w}(f_k-g)\to0 r K , w ( f k − g ) ≤ p j , w ( f k − g ) → 0 命題 2.4 (6) によりf k → g f_k\to g f k → g D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) { r K , w ∣ w ∈ W n } \{r_{K,w}\mid w\in W_n\} { r K , w ∣ w ∈ W n } 系 5.16 (2) によりD K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω )
主張 (3) を示す。q ( f ) = sup x ∈ Ω ∣ f ( x ) ∣ q(f)=\sup_{x\in\Omega}\lvert f(x)\rvert q ( f ) = sup x ∈ Ω ∣ f ( x )∣ D ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) D K j ( Ω ) \mathcal D_{K_j}(\Omega) D K j ( Ω ) r K j , ( ) r_{K_j,()} r K j , ( ) q ∈ P i n d q\in\mathcal P_{\mathrm{ind}} q ∈ P ind q q q 命題 2.4 (3) によりD ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) 命題 8.5 (1) により局所凸空間である。K ⊆ K j K\subseteq K_j K ⊆ K j j j j D K ( Ω ) → D ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega)\to\mathcal D(\Omega) D K ( Ω ) → D ( Ω ) 主張 (2) の包含写像D K ( Ω ) → D K j ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega)\to\mathcal D_{K_j}(\Omega) D K ( Ω ) → D K j ( Ω ) 命題 8.5 (1) の包含写像の合成であるから連続である。j ′ ∈ N ≥ 1 j'\in\NN j ′ ∈ N ≥ 1 w w w p j ′ , w p_{j',w} p j ′ , w D K i ( Ω ) \mathcal D_{K_i}(\Omega) D K i ( Ω ) r K i , w r_{K_i,w} r K i , w 命題 2.4 (4) により連続であり、p j ′ , w ∣ D ( Ω ) ∈ P i n d p_{j',w}\vert_{\mathcal D(\Omega)}\in\mathcal P_{\mathrm{ind}} p j ′ , w ∣ D ( Ω ) ∈ P ind 命題 2.4 (2) によりp j ′ , w ∣ D ( Ω ) p_{j',w}\vert_{\mathcal D(\Omega)} p j ′ , w ∣ D ( Ω ) D ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) 命題 2.4 (5) により包含写像D ( Ω ) → C ∞ ( Ω ) \mathcal D(\Omega)\to C^\infty(\Omega) D ( Ω ) → C ∞ ( Ω ) ▨
9 演習 解答. E E E
補題 1.6 (1) :M M M §E2.14 補題 1.13 を二回用いると、M × M M\times M M × M E × E E\times E E × E K × M \mathbb K\times M K × M K × E \mathbb K\times E K × E M M M M × M → M M\times M\to M M × M → M M → E M\to E M → E E E E M × M → E × E M\times M\to E\times E M × M → E × E §E2.12 定理 4.4 (3) によりM M M M M M K × M → M \mathbb K\times M\to M K × M → M M → E M\to E M → E E E E K × M → K × E \mathbb K\times M\to\mathbb K\times E K × M → K × E §E2.12 定理 4.4 (3) によりM M M E E E §E2.15 定理 2.1 (3) によりM M M
任意のA ⊆ E A\subseteq E A ⊆ E A ‾ × A ‾ ⊆ A × A ‾ \tpcl{A}\times\tpcl{A}\subseteq\tpcl{A\times A} A × A ⊆ A × A ( x , y ) ∈ A ‾ × A ‾ (x,y)\in\tpcl{A}\times\tpcl{A} ( x , y ) ∈ A × A N N N ( x , y ) (x,y) ( x , y ) §E2.14 補題 1.11 によりO 1 × O 2 ⊆ N O_1\times O_2\subseteq N O 1 × O 2 ⊆ N x , y x,y x , y O 1 , O 2 O_1,O_2 O 1 , O 2 §E2.11 命題 7.2 (2) によりO 1 ∩ A O_1\cap A O 1 ∩ A O 2 ∩ A O_2\cap A O 2 ∩ A N ∩ ( A × A ) ≠ ∅ N\cap(A\times A)\neq\emptyset N ∩ ( A × A ) = ∅ §E2.11 命題 7.2 (2) により( x , y ) ∈ A × A ‾ (x,y)\in\tpcl{A\times A} ( x , y ) ∈ A × A c : E × E → E c\colon E\times E\to E c : E × E → E c ( A × A ) ⊆ A c(A\times A)\subseteq A c ( A × A ) ⊆ A §E2.12 命題 1.7 (2) によりc ( A ‾ × A ‾ ) ⊆ c ( A × A ‾ ) ⊆ c ( A × A ) ‾ ⊆ A ‾ c(\tpcl{A}\times\tpcl{A})\subseteq c(\tpcl{A\times A})\subseteq\tpcl{c(A\times A)}\subseteq\tpcl{A} c ( A × A ) ⊆ c ( A × A ) ⊆ c ( A × A ) ⊆ A
補題 1.6 (2) :M M M M ‾ + M ‾ ⊆ M ‾ \tpcl{M}+\tpcl{M}\subseteq\tpcl{M} M + M ⊆ M λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K x ↦ λ x x\mapsto\lambda x x ↦ λ x §E2.12 命題 1.7 (2) を適用するとλ M ‾ ⊆ λ M ‾ ⊆ M ‾ \lambda\tpcl{M}\subseteq\tpcl{\lambda M}\subseteq\tpcl{M} λ M ⊆ λ M ⊆ M 0 ∈ M ⊆ M ‾ 0\in M\subseteq\tpcl{M} 0 ∈ M ⊆ M M ‾ \tpcl{M} M
補題 1.6 (3) :A A A 0 ≤ s ≤ 1 0\leq s\leq1 0 ≤ s ≤ 1 ( x , y ) ↦ ( 1 − s ) x + s y (x,y)\mapsto(1-s)x+sy ( x , y ) ↦ ( 1 − s ) x + sy A × A A\times A A × A A A A A ‾ × A ‾ \tpcl{A}\times\tpcl{A} A × A A ‾ \tpcl{A} A
補題 1.6 (4) :A A A ∣ λ ∣ ≤ 1 \lvert\lambda\rvert\leq1 ∣ λ ∣ ≤ 1 x ↦ λ x x\mapsto\lambda x x ↦ λ x §E2.12 命題 1.7 (2) を適用するとλ A ‾ ⊆ λ A ‾ ⊆ A ‾ \lambda\tpcl{A}\subseteq\tpcl{\lambda A}\subseteq\tpcl{A} λ A ⊆ λ A ⊆ A
補題 1.6 (5) :A + O = ⋃ a ∈ A ( a + O ) A+O=\bigcup_{a\in A}(a+O) A + O = ⋃ a ∈ A ( a + O ) 命題 1.4 (1) により各a + O a+O a + O ▨
問題 9.2. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } K \mathbb K K x = ( x n ) n ∈ N ≥ 1 x=(x_n)_{n\in\NN} x = ( x n ) n ∈ N ≥ 1 K N ≥ 1 \mathbb K^{\NN} K N ≥ 1 { p n ∣ n ∈ N ≥ 1 } \{p_n\mid n\in\NN\} { p n ∣ n ∈ N ≥ 1 } p n ( x ) = ∣ x n ∣ p_n(x)=\lvert x_n\rvert p n ( x ) = ∣ x n ∣ K N ≥ 1 \mathbb K^{\NN} K N ≥ 1 K N ≥ 1 \mathbb K^{\NN} K N ≥ 1
解答. 族{ p n } \{p_n\} { p n } x ≠ 0 x\neq0 x = 0 x n ≠ 0 x_n\neq0 x n = 0 n n n p n ( x ) ≠ 0 p_n(x)\neq0 p n ( x ) = 0 ( x ( k ) ) k ∈ N ≥ 1 (x^{(k)})_{k\in\NN} ( x ( k ) ) k ∈ N ≥ 1 n n n p n ( x ( k ) − x ( l ) ) → 0 p_n(x^{(k)}-x^{(l)})\to0 p n ( x ( k ) − x ( l ) ) → 0 ( x n ( k ) ) k (x^{(k)}_n)_k ( x n ( k ) ) k K \mathbb K K y n y_n y n y = ( y n ) y=(y_n) y = ( y n ) p n ( x ( k ) − y ) → 0 p_n(x^{(k)}-y)\to0 p n ( x ( k ) − y ) → 0 命題 2.4 (6) によりx ( k ) → y x^{(k)}\to y x ( k ) → y K N ≥ 1 \mathbb K^{\NN} K N ≥ 1 系 5.16 (2) により Fréchet 空間である。
U U U 命題 2.4 (1) によりB F , ε ( 0 ) ⊆ U B_{F,\varepsilon}(0)\subseteq U B F , ε ( 0 ) ⊆ U F F F ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 F ⊆ { p 1 , … , p N } F\subseteq\{p_1,\ldots,p_N\} F ⊆ { p 1 , … , p N } N N N e = ( e n ) e=(e_n) e = ( e n ) e N + 1 = 1 e_{N+1}=1 e N + 1 = 1 n ≠ N + 1 n\neq N+1 n = N + 1 e n = 0 e_n=0 e n = 0 t ∈ K t\in\mathbb K t ∈ K t e ∈ B F , ε ( 0 ) ⊆ U te\in B_{F,\varepsilon}(0)\subseteq U t e ∈ B F , ε ( 0 ) ⊆ U p N + 1 ( t e ) = ∣ t ∣ p_{N+1}(te)=\lvert t\rvert p N + 1 ( t e ) = ∣ t ∣ t t t 命題 3.3 (3) によりU U U
ノルム∥ ⋅ ∥ \lVert\cdot\rVert ∥ ⋅ ∥ K N ≥ 1 \mathbb K^{\NN} K N ≥ 1 { x ∣ ∥ x ∥ < 1 } \{x\mid\lVert x\rVert<1\} { x ∣ ∥ x ∥ < 1 } 命題 3.3 (3) をノルム∥ ⋅ ∥ \lVert\cdot\rVert ∥ ⋅ ∥ K N ≥ 1 \mathbb K^{\NN} K N ≥ 1 ▨
問題 9.3. X X X K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } B = { x ∈ X ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } B=\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\} B = { x ∈ X ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } B B B
解答. B B B 命題 3.3 (3) による。B B B { x ∣ ∥ x ∥ < 1 / 2 } \{x\mid\lVert x\rVert<1/2\} { x ∣ ∥ x ∥ < 1/2 } 1 2 B \tfrac12B 2 1 B B ⊆ F + 1 2 B B\subseteq F+\tfrac12B B ⊆ F + 2 1 B F F F F F F M M M B ⊆ M + 1 2 B B\subseteq M+\tfrac12B B ⊆ M + 2 1 B k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 B ⊆ M + 2 − k B B\subseteq M+2^{-k}B B ⊆ M + 2 − k B B ⊆ M + 2 − k ( M + 1 2 B ) = M + 2 − k − 1 B B\subseteq M+2^{-k}(M+\tfrac12B)=M+2^{-k-1}B B ⊆ M + 2 − k ( M + 2 1 B ) = M + 2 − k − 1 B k k k B ⊆ M + 2 − k B B\subseteq M+2^{-k}B B ⊆ M + 2 − k B x ∈ B x\in B x ∈ B k k k ∥ x − m k ∥ ≤ 2 − k \lVert x-m_k\rVert\leq2^{-k} ∥ x − m k ∥ ≤ 2 − k m k ∈ M m_k\in M m k ∈ M x ∈ M ‾ x\in\tpcl{M} x ∈ M 命題 2.10 と系 4.3 (1) によりM M M B ⊆ M B\subseteq M B ⊆ M x ∈ X x\in X x ∈ X x ∈ t B x\in tB x ∈ tB t > 0 t>0 t > 0 X ⊆ M X\subseteq M X ⊆ M X X X M M M B B B ▨
問題 9.4. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } c 00 c_{00} c 00 c 0 c_0 c 0 j : c 00 → c 0 j\colon c_{00}\to c_0 j : c 00 → c 0 ( c 0 , j ) (c_0,j) ( c 0 , j ) 定理 6.2 (1) の性質をもつことを示せ。
解答. §E10.1 例 3.4 によりc 0 c_0 c 0 系 5.16 (4) と命題 5.9 (4) によりc 0 c_0 c 0 j j j c 00 c_{00} c 00 c 0 c_0 c 0 c 00 c_{00} c 00 c 0 c_0 c 0 j j j x ∈ c 0 x\in c_0 x ∈ c 0 N ∈ N ≥ 1 N\in\NN N ∈ N ≥ 1 x ( N ) = ( x 1 , … , x N , 0 , 0 , … ) ∈ c 00 x^{(N)}=(x_1,\ldots,x_N,0,0,\ldots)\in c_{00} x ( N ) = ( x 1 , … , x N , 0 , 0 , … ) ∈ c 00 ∥ x − x ( N ) ∥ ∞ = sup n > N ∣ x n ∣ → 0 \lVert x-x^{(N)}\rVert_\infty=\sup_{n>N}\lvert x_n\rvert\to0 ∥ x − x ( N ) ∥ ∞ = sup n > N ∣ x n ∣ → 0 j ( c 00 ) j(c_{00}) j ( c 00 ) c 0 c_0 c 0 ( c 0 , j ) (c_0,j) ( c 0 , j ) 定理 6.2 (1) の性質をもつ。▨