§E21.5被覆空間と持ち上げ

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空間の間の連続写像は、道とそのホモトピーを別の空間へ移す。逆に、与えられた道を写像の定義域の道として表す持ち上げについては、一般の連続写像では存在も一意性も保証されない。被覆写像は、各点の十分小さい開近傍の逆像が、その近傍と同相な互いに交わらない開集合に分かれる全射連続写像であり、持ち上げを扱うための基本的な枠組みを与える。たとえば、指数写像R→S1\R\to S^1、t↦e2πitt\mapsto e^{2\pi it}は、円周の短い開弧の逆像を、その開弧と同相な開区間に分ける。被覆写像の局所的な構造は、始点を指定した道や、一辺上の持ち上げを指定したホモトピーの一意な持ち上げを保証し、被覆空間と底空間の基本群を結びつける。本記事では、被覆写像の基本性質と、持ち上げが存在するための条件を扱う。

1 被覆写像

定義 1.1 (被覆写像と持ち上げ).

  1. 全射連続写像p:E→Xp:E\to Xが 被覆写像 (covering map) であるとは、各x∈Xx\in Xに開近傍UUが存在して、p−1(U)p^{-1}(U)が互いに交わらない開集合VλV_\lambdaの和であり、各制限p∣Vλ:Vλ→Up|_{V_\lambda}:V_\lambda\to Uが同相写像となることをいう。このようなUUを 均等被覆近傍 (evenly covered neighborhood)、各VλV_\lambdaを シート (sheet) という。
  2. 被覆写像p:E→Xp:E\to Xと連続写像f:Y→Xf:Y\to Xに対し、p∘f~=fp\circ\widetilde f=fを満たす連続写像f~:Y→E\widetilde f:Y\to Eをffの 持ち上げ (lift) という。

定義 1.2.p:E→Xp:E\to Xを被覆写像とする。

  1. EEをXXの 被覆空間 (covering space) という。
  2. x∈Xx\in Xに対しp−1(x)p^{-1}(x)をxx上の ファイバー (fiber) という。
  3. 正の整数nnに対し、すべてのファイバーがnn点からなるとき、ppを nn重被覆 (n-sheeted covering) という。

命題 1.3.

  1. p:R→S1p:\R\to S^1、p(t)=e2πitp(t)=e^{2\pi it}は被覆写像である。一周より短い開弧UUは均等被覆近傍であり、p−1(U)p^{-1}(U)は整数平行移動で並ぶ開区間の非交和である。
  2. 正の整数nnに対し、pn:S1→S1p_n:S^1\to S^1、pn(z)=znp_n(z)=z^nはnn重被覆である。

証明.主張 (1)を示す。一周より短い開弧をU={eiθ:a<θ<b}U=\{e^{i\theta}:a<\theta<b\}、b−a<2πb-a<2\piと表示する。各整数kkに対し、ppは開区間((a+2πk)/(2π),(b+2πk)/(2π))((a+2\pi k)/(2\pi),(b+2\pi k)/(2\pi))からUUへの同相写像である。逆写像は、UU上の連続な偏角を用いてeiθ↦θ/(2π)+ke^{i\theta}\mapsto\theta/(2\pi)+kと書くことができる。これらの区間は互いに交わらず、p−1(U)p^{-1}(U)を覆う。

主張 (2)を示す。同じ開弧UUに対し、pn−1(U)p_n^{-1}(U)はVk={ei(θ+2πk)/n:a<θ<b},0≤k<nV_k=\{e^{i(\theta+2\pi k)/n}:a<\theta<b\},\qquad 0\le k<nという互いに交わらないnn個の開弧に分かれる。各制限の逆写像はeiθ↦ei(θ+2πk)/ne^{i\theta}\mapsto e^{i(\theta+2\pi k)/n}であるから、各ファイバーはnn点からなる。▨

命題 1.4.

  1. 正の整数kkと被覆写像pj:Ej→Xjp_j:E_j\to X_j（1≤j≤k1\le j\le k）に対し、積p1×⋯×pk:∏j=1kEj→∏j=1kXjp_1\times\cdots\times p_k:\prod_{j=1}^k E_j\to\prod_{j=1}^k X_jは被覆写像である。
  2. 正の整数nnに対し、qn:Rn→(S1)nq_n:\R^n\to(S^1)^n、qn(t1,…,tn)=(e2πit1,…,e2πitn)q_n(t_1,\ldots,t_n)=(e^{2\pi it_1},\ldots,e^{2\pi it_n})は被覆写像である。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。演習とする（問題 4.1 (2)）。▨

2 持ち上げの一意性と存在

補題 2.1.p:E→Xp:E\to Xを被覆写像、YYを連結空間、f:Y→Xf:Y\to Xを連続写像とする。ffの二つの持ち上げu,v:Y→Eu,v:Y\to Eが一点で一致するなら、u=vu=vである。

証明.A={y∈Y:u(y)=v(y)}A=\{y\in Y:u(y)=v(y)\}とおく。任意のy∈Yy\in Yに対し、f(y)f(y)の均等被覆近傍UUと、u(y),v(y)u(y),v(y)を含むシートV,WV,Wをとる。N=u−1(V)∩v−1(W)N=u^{-1}(V)\cap v^{-1}(W)はyyの開近傍である。V=WV=Wならp∣Vp|_Vの単射性によりN⊆AN\subseteq Aであり、V≠WV\ne Wならシートの非交性によりN⊆Y∖AN\subseteq Y\setminus Aである。よってAAとその補集合は開である。仮定によりA≠∅A\ne\varnothingなので、連結性からA=YA=Yである。▨

定理 2.2.p:E→Xp:E\to Xを被覆写像とする。

  1. 道α:[0,1]→X\alpha:[0,1]\to Xとe0∈p−1(α(0))e_0\in p^{-1}(\alpha(0))に対し、α~(0)=e0\widetilde\alpha(0)=e_0を満たす持ち上げα~:[0,1]→E\widetilde\alpha:[0,1]\to Eが一意に存在する。
  2. 連続写像H:[0,1]2→XH:[0,1]^2\to Xと道H(−,0)H(-,0)の持ち上げH~0\widetilde H_0に対し、H~(s,0)=H~0(s)\widetilde H(s,0)=\widetilde H_0(s)を満たす持ち上げH~:[0,1]2→E\widetilde H:[0,1]^2\to Eが一意に存在する。H(0,t)H(0,t)とH(1,t)H(1,t)がそれぞれttに依存しないなら、H~(0,t)\widetilde H(0,t)とH~(1,t)\widetilde H(1,t)もそれぞれttに依存しない。

証明.主張 (1)を示す。均等被覆近傍のα\alphaによる逆像は[0,1][0,1]の開被覆をなす。§E2.9 補題 2.3により、分割0=t0<⋯<tm=10=t_0<\cdots<t_m=1と均等被覆近傍UiU_iを、α([ti−1,ti])⊆Ui\alpha([t_{i-1},t_i])\subseteq U_iとなるようにとることができる。e0e_0を含むU1U_1上のシートV1V_1を選び、最初の区間でα~=(p∣V1)−1∘α\widetilde\alpha=(p|_{V_1})^{-1}\circ\alphaと定める。ti−1t_{i-1}まで定まったとき、その終点を含むUiU_i上のシートViV_iを選び、同じ式で次の区間へ延長する。隣り合う式は分点で一致し、有限閉被覆の貼り合わせにより連続な道を得る。一意性は補題 2.1を連結空間[0,1][0,1]に適用して得る。

主張 (2)を示す。均等被覆近傍のHHによる逆像の開被覆に§E2.9 補題 2.3を適用し、各小長方形の像が一つの均等被覆近傍に入る有限格子をとる。最下段の各長方形から始め、段ごとに左から右へ持ち上げを定める。長方形RRの像を含む均等被覆近傍をUUとする。既に定まった下辺の持ち上げは連結集合をp−1(U)p^{-1}(U)へ写すので、その像は一つのシートVVに含まれる。RR上で(p∣V)−1∘H(p|_V)^{-1}\circ Hと定めると、下辺では既存の値に一致する。左辺の値も既に定まっている場合は、共通の左下の点で一致するから、補題 2.1により左辺全体で一致する。有限個の閉長方形上の写像を貼り合わせると、所要のH~\widetilde Hを得る。一意性は同じ補題を連結空間[0,1]2[0,1]^2に適用して得る。

端の道H(0,−)H(0,-)が定値なら、その持ち上げH~(0,−)\widetilde H(0,-)と、H~0(0)\widetilde H_0(0)を値とする定値道は始点で一致する。道の持ち上げの一意性により両者は等しい。右端についても同じ議論を適用する。▨

系 2.3. 基点付き被覆写像p:(E,e0)→(X,x0)p:(E,e_0)\to(X,x_0)は単射準同型p#:π1(E,e0)→π1(X,x0)p_\#:\pi_1(E,e_0)\to\pi_1(X,x_0)を誘導する。

証明.p#([α])=1p_\#([\alpha])=1とし、p∘αp\circ\alphaからex0e_{x_0}への端点固定ホモトピーをとる。定理 2.2 (2)により、初期値α\alphaをもつ持ち上げを得る。その両端はe0e_0に固定され、終時刻の道は定値道ex0e_{x_0}のe0e_0からの持ち上げである。定理 2.2 (1)の一意性により終時刻の道はee0e_{e_0}である。よって[α]=1[\alpha]=1であり、p#p_\#は単射である。▨

3 写像の持ち上げ判定

定理 3.1.YYを連結かつ局所弧状連結な空間（§E2.43 定義 8.1）、p:(E,e0)→(X,x0)p:(E,e_0)\to(X,x_0)を被覆写像、f:(Y,y0)→(X,x0)f:(Y,y_0)\to(X,x_0)を基点を保つ連続写像とする。基点を保つ持ち上げf~:(Y,y0)→(E,e0)\widetilde f:(Y,y_0)\to(E,e_0)が存在することはf#(π1(Y,y0))⊆p#(π1(E,e0))f_\#(\pi_1(Y,y_0))\subseteq p_\#(\pi_1(E,e_0))が成り立つための必要十分条件である。持ち上げが存在すれば一意である。

証明. 持ち上げが存在すれば、§E21.4 命題 1.2によりf#=p#∘f~#f_\#=p_\#\circ\widetilde f_\#であり、像の包含が成り立つ。

像の包含を仮定する。§E2.43 系 8.5によりYYは弧状連結である。y∈Yy\in Yに対し、y0y_0からyyへの道γ\gammaを選び、f∘γf\circ\gammaのe0e_0からの持ち上げの終点をf~(y)\widetilde f(y)と定める。

別の道γ′\gamma'を選ぶと、像の包含により、EEのe0e_0におけるループη\etaで[p∘η]=[f∘(γ∗γˉ′)][p\circ\eta]=[f\circ(\gamma*\bar\gamma')]を満たすものが存在する。この端点固定ホモトピーを持ち上げると、f∘(γ∗γˉ′)f\circ(\gamma*\bar\gamma')のe0e_0からの持ち上げも終点がe0e_0である。道の持ち上げの一意性により、その前半はf∘γf\circ\gammaの持ち上げであり、後半を逆向きにたどる道はf∘γ′f\circ\gamma'のe0e_0からの持ち上げである。したがってf∘γf\circ\gammaとf∘γ′f\circ\gamma'の持ち上げの終点は等しく、f~\widetilde fは道の選択によらない。定値道を選べばf~(y0)=e0\widetilde f(y_0)=e_0であり、構成によりp∘f~=fp\circ\widetilde f=fである。

y∈Yy\in Yをとり、f(y)f(y)の均等被覆近傍UUと、f~(y)\widetilde f(y)を含むシートVVを選ぶ。局所弧状連結性により、yyを含む弧状連結な開集合W⊆f−1(U)W\subseteq f^{-1}(U)をとることができる。任意のz∈Wz\in Wに対し、WW内のyyからzzへの道δ\deltaをとる。y0y_0からyyへの道にδ\deltaを連結すると、f∘δf\circ\deltaの持ち上げはVV内の(p∣V)−1∘f∘δ(p|_V)^{-1}\circ f\circ\deltaである。よってf~∣W=(p∣V)−1∘f∣W\widetilde f|_W=(p|_V)^{-1}\circ f|_Wであり、f~\widetilde fは連続である。一意性は補題 2.1による。▨

例 3.2.S={(x,sin⁡(1/x)):0<x≤1}S=\{(x,\sin(1/x)):0<x\le1\}、J={0}×[−1,1]J=\{0\}\times[-1,1]、T=S∪JT=S\cup Jとし、q=(1,sin⁡1)∈Sq=(1,\sin1)\in Sとする。TTは連結であり、JJとSSの点を結ぶ道は存在しない（§E2.43 命題 5.5、§E2.43 補題 5.4）。TTの点qqと円周C=S1C=S^1の点11を接着した空間をYYとし、y0=(0,0)∈Jy_0=(0,0)\in Jを基点とする。

接着の普遍性により、TT上で恒等写像、CC上で定値qqであるレトラクションr:Y→Tr:Y\to Tが存在する。したがってTTはYYに埋め込まれる。JJの点からSSまたはCCの点へ至る道がYYに存在すれば、rrとの合成はTT内でJJとSSを結ぶ道となる。よってy0y_0の弧状連結成分はJJである。JJは区間と同相なので、その中のループは端点を固定して収縮し、π1(Y,y0)=1\pi_1(Y,y_0)=1である。YYは連結な二空間を一点で接着した空間なので連結であるが、弧状連結ではない。したがって§E2.43 系 8.5により局所弧状連結ではない。

f:Y→S1f:Y\to S^1をTT上で定値11、CC上で恒等写像として定める。接着点で値が一致するのでffは連続であり、指数被覆p:(R,0)→(S1,1)p:(\R,0)\to(S^1,1)に対して基本群の像の包含条件を満たす。しかし、持ち上げf~\widetilde fが存在すれば、c=f~(1∈C)c=\widetilde f(1\in C)とおいたとき、道s↦f~(e2πis∈C)s\mapsto\widetilde f(e^{2\pi is}\in C)は一意性によりs↦c+ss\mapsto c+sである。左辺はs=0,1s=0,1で同じ値をとるが、右辺は異なる値をとるので、持ち上げは存在しない。

4 演習

問題 4.1.

  1. n≥1n\ge1、m∈Zm\in\Z、ζn=1\zeta^n=1とする。pn(z)=znp_n(z)=z^nに関する道αm(s)=e2πims\alpha_m(s)=e^{2\pi ims}のζ\zetaからの持ち上げを求め、それが閉じるための必要十分条件がn∣mn\mid mであることを示せ。またpn∘g=pmp_n\circ g=p_m（pm(z)=zmp_m(z)=z^m）を満たす連続写像g:S1→S1g:S^1\to S^1の存在条件を求めよ。
  2. 命題 1.4の証明を完成させよ。さらにa,b∈Za,b\in\Zに対し、γ(u)=(e2πiau,e2πibu)\gamma(u)=(e^{2\pi iau},e^{2\pi ibu})のq2q_2に関する(0,0)(0,0)からの持ち上げの終点を求めよ。
  3. 任意の連続写像f:D2→S1f:D^2\to S^1が指数被覆p:R→S1p:\R\to S^1を介して持ち上がり、持ち上げが整数定数の差を除いて一意であることを示せ。
解答.
  1. α~m(s)=ζe2πims/n\widetilde\alpha_m(s)=\zeta e^{2\pi ims/n}はζ\zetaを始点とする持ち上げであり、定理 2.2 (1)により一意である。終点がζ\zetaに等しいことはe2πim/n=1e^{2\pi im/n}=1、すなわちn∣mn\mid mであるための必要十分条件である。pn∘g=pmp_n\circ g=p_mなら、g(e2πis)g(e^{2\pi is})はαm\alpha_mの閉じた持ち上げなのでn∣mn\mid mである。逆にm=nkm=nkならg(z)=zkg(z)=z^kが条件を満たす。
  2. 二つの被覆の均等被覆近傍U1,U2U_1,U_2とシートVλ(1),Vμ(2)V^{(1)}_\lambda,V^{(2)}_\muに対し、U1×U2U_1\times U_2の逆像は互いに交わらない開集合Vλ(1)×Vμ(2)V^{(1)}_\lambda\times V^{(2)}_\muの和である。各制限は同相写像の積であり、同相写像である。よって二つの被覆の積は被覆であり、帰納法により有限個の積についても成り立つ。命題 1.3 (1)の指数被覆のnn個の積がqnq_nである。指定された道の持ち上げは一意性によりu↦(au,bu)u\mapsto(au,bu)であり、終点は(a,b)(a,b)である。
  3. D2D^2は凸であり、小さい開球との交わりも凸なので局所弧状連結である。§E21.4 定理 3.4によりD2D^2は単連結である。x0∈D2x_0\in D^2とa∈p−1(f(x0))a\in p^{-1}(f(x_0))を選ぶと、f#(π1(D2,x0))f_\#(\pi_1(D^2,x_0))は自明なので、定理 3.1によりf~(x0)=a\widetilde f(x_0)=aを満たす持ち上げを得る。二つの持ち上げのx0x_0での値の差は整数kkである。一方へ定数kkを加えると他方とx0x_0で一致する持ち上げになるから、補題 2.1により全体でも一致する。

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参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.道・ホモトピーの持ち上げと、基本群による持ち上げ判定の標準的な証明を参考にした。

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