§E21.6円周の基本群

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円周上のループの端点を固定した連続変形では、正の向きに二周するループを定値ループへ移すことはできない。しかし、ループの曲線としての表示だけから、変形の可否を一般に判定することは容易でない。周回の向きと回数を整数で表す巻き数によって、円周の基本群は整数の加法群と同型であることが分かる。この同型により、ループの変形に関する問題を整数の等式に移すことができる。巻き数による計算は、円板から円周へのレトラクションの非存在に加えて、円板の連続な自己写像が不動点をもつという二次元 Brouwer 不動点定理と、正の次数の複素多項式が根をもつという代数学の基本定理の証明にも用いられる。本記事では、指数被覆による円周の基本群の計算とその応用を扱う。

1 円周と巻き数

命題 1.1.e:[0,1]→S1e:[0,1]\to S^1、e(t)=e2πite(t)=e^{2\pi it}は全射であり、そのファイバーは{0,1}\{0,1\}と0<t<10<t<1の各一点である。したがってeeは同相写像[0,1]/(0∼1)→S1[0,1]/(0\sim1)\to S^1を誘導する。

証明.e(s)=e(t)e(s)=e(t)であることはs−t∈Zs-t\in\Zであるための必要十分条件であり、s,t∈[0,1]s,t\in[0,1]ではs=ts=tまたは{s,t}={0,1}\{s,t\}=\{0,1\}である。円周上の任意の点について、偏角を[0,2π][0,2\pi]内に選ぶことができるので、eeは全射である。商の普遍性により連続な全単射[0,1]/(0∼1)→S1[0,1]/(0\sim1)\to S^1が定まる。定義域はコンパクトであり、値域は Hausdorff なので、§E2.19 定理 6.8により同相写像である。▨

命題 1.2.p:R→S1p:\R\to S^1、p(t)=e2πitp(t)=e^{2\pi it}とする。このとき、基点11におけるループα\alphaの、始点00をもつ持ち上げα~\widetilde\alphaの終点は整数である。また、α\alphaとβ\betaが端点を固定してホモトピックなら、α~(1)=β~(1)\widetilde\alpha(1)=\widetilde\beta(1)である。

証明.§E21.5 命題 1.3 (1)と§E21.5 定理 2.2 (1)により、α~\widetilde\alphaは一意に存在する。p(α~(1))=α(1)=1p(\widetilde\alpha(1))=\alpha(1)=1であり、p−1(1)=Zp^{-1}(1)=\Zなので、終点は整数である。

HHをα\alphaからβ\betaへの端点固定ホモトピーとする。§E21.5 定理 2.2 (2)により、下辺がα~\widetilde\alphaである持ち上げH~\widetilde Hが存在し、左辺は00、右辺はα~(1)\widetilde\alpha(1)に固定される。上辺はβ\betaの始点00をもつ持ち上げなので、道の持ち上げの一意性によりβ~\widetilde\betaである。したがって両終点は等しい。▨

定義 1.3 (巻き数). 指数被覆p:R→S1p:\R\to S^1、p(t)=e2πitp(t)=e^{2\pi it}に関して、基点11におけるループα\alphaの始点00をもつ持ち上げをα~\widetilde\alphaとする。

  1. 整数α~(1)\widetilde\alpha(1)をα\alphaの 巻き数 (winding number) という。
  2. 命題 1.2により定まる写像wind⁡:π1(S1,1)→Z,[α]↦α~(1)\operatorname{wind}:\pi_1(S^1,1)\to\Z,\qquad[\alpha]\mapsto\widetilde\alpha(1)を 巻き数写像 (winding number map) という。

命題 1.4. 巻き数写像は、道の積に対してwind⁡([α][β])=wind⁡([α])+wind⁡([β])\operatorname{wind}([\alpha][\beta])=\operatorname{wind}([\alpha])+\operatorname{wind}([\beta])を満たす群準同型である。

証明.α~,β~\widetilde\alpha,\widetilde\betaを始点00の持ち上げとし、m=α~(1)∈Zm=\widetilde\alpha(1)\in\Zとおく。p(m+β~(s))=p(β~(s))=β(s)p(m+\widetilde\beta(s))=p(\widetilde\beta(s))=\beta(s)であるから、m+β~m+\widetilde\betaはβ\betaの始点mmの持ち上げである。したがって

α∗β~(s)={α~(2s)0≤s≤12,m+β~(2s−1)12≤s≤1\widetilde{\alpha*\beta}(s)= \begin{cases} \widetilde\alpha(2s)&0\le s\le\frac12,\\ m+\widetilde\beta(2s-1)&\frac12\le s\le1 \end{cases}

である。終点をとると加法性を得る。▨

定理 1.5.

  1. 巻き数写像wind⁡:π1(S1,1)→Z\operatorname{wind}:\pi_1(S^1,1)\to\Zは群の同型である。
  2. ループα1(s)=e2πis\alpha_1(s)=e^{2\pi is}の類は1∈Z1\in\Zに対応し、π1(S1,1)\pi_1(S^1,1)の生成元である。

証明.主張 (1)を示す。任意のn∈Zn\in\Zに対し、αn(s)=e2πins\alpha_n(s)=e^{2\pi ins}の始点00の持ち上げはs↦nss\mapsto nsである。よってwind⁡([αn])=n\operatorname{wind}([\alpha_n])=nであり、巻き数写像は全射である。

wind⁡([α])=0\operatorname{wind}([\alpha])=0とすると、α~(0)=α~(1)=0\widetilde\alpha(0)=\widetilde\alpha(1)=0である。K(s,t)=(1−t)α~(s)K(s,t)=(1-t)\widetilde\alpha(s)はR\R内の端点固定ホモトピーであり、α~\widetilde\alphaを定値道へ移す。p∘Kp\circ Kにより[α]=1[\alpha]=1を得るので、巻き数写像は単射である。

主張 (2)を示す。α1\alpha_1の類はZ\Zの生成元11に対応する。▨

例 1.6.α(s)=e4πis\alpha(s)=e^{4\pi is}とβ(s)=e4πis2\beta(s)=e^{4\pi is^2}の始点00の持ち上げは、それぞれ2s2sと2s22s^2である。両者の巻き数は22なので、定理 1.5により[α]=[β][\alpha]=[\beta]である。一方、γ(s)=e2πisin⁡(2πs)\gamma(s)=e^{2\pi i\sin(2\pi s)}は円周全体を像にもつが、持ち上げsin⁡(2πs)\sin(2\pi s)の終点は00であるから巻き数は00である。

2 レトラクションと不動点

定理 2.1. 包含写像i:S1↪D2i:S^1\hookrightarrow D^2に対して、r∘i=id⁡S1r\circ i=\id_{S^1}を満たす連続写像r:D2→S1r:D^2\to S^1は存在しない。

証明. そのようなrrが存在すると仮定する。基点を11とすると、§E21.4 命題 1.2によりr#∘i#=id⁡π1(S1,1)r_\#\circ i_\#=\id_{\pi_1(S^1,1)}である。§E21.4 定理 3.4 (2)によりπ1(D2,1)\pi_1(D^2,1)は自明群なので、r#∘i#r_\#\circ i_\#は自明な準同型である。しかし定理 1.5 (1)によりπ1(S1,1)≅Z\pi_1(S^1,1)\cong\Zであり、その恒等準同型は自明でない。▨

系 2.2.S1S^1とD2D^2はホモトピー同値ではない。

証明.定理 1.5 (1)と§E21.4 定理 3.4 (2)により、両空間の基本群はそれぞれZ\Zと自明群であり、同型でない。したがって§E21.4 定理 2.2により両空間はホモトピー同値でない。▨

注意 2.3. 変位レトラクトならレトラクションが存在するので、円周は円板の変位レトラクトでもない。レトラクションの非存在は、この変位に関する結論より強い条件である。

補題 2.4.n≥1n\ge1とし、連続写像f:Dn→Dnf:D^n\to D^nが不動点をもたないとする。v(x)=x−f(x)v(x)=x-f(x)とおき、

a(x)=∥v(x)∥2,b(x)=⟨x,v(x)⟩,c(x)=∥x∥2−1,λ(x)=−b(x)+b(x)2−a(x)c(x)a(x)a(x)=\lVert v(x)\rVert^2,\quad b(x)=\langle x,v(x)\rangle,\quad c(x)=\lVert x\rVert^2-1, \qquad\lambda(x)=\frac{-b(x)+\sqrt{b(x)^2-a(x)c(x)}}{a(x)}

と定める。このときλ(x)≥0\lambda(x)\ge0であり、r(x)=x+λ(x)v(x)r(x)=x+\lambda(x)v(x)はDnD^nからSn−1S^{n-1}へのレトラクションである。

証明.v(x)≠0v(x)\ne0なのでa(x)>0a(x)>0であり、c(x)≤0c(x)\le0なのでb(x)2−a(x)c(x)≥∣b(x)∣\sqrt{b(x)^2-a(x)c(x)}\ge|b(x)|である。したがってλ\lambdaは非負の連続関数である。二次方程式aλ2+2bλ+c=0a\lambda^2+2b\lambda+c=0により、∥x+λ(x)v(x)∥2=1\lVert x+\lambda(x)v(x)\rVert^2=1であるから、rrはSn−1S^{n-1}への連続写像である。

x∈Sn−1x\in S^{n-1}ならc(x)=0c(x)=0であり、∥f(x)∥≤1\lVert f(x)\rVert\le1からb(x)=1−⟨x,f(x)⟩≥0b(x)=1-\langle x,f(x)\rangle\ge0である。よってλ(x)=(−b(x)+∣b(x)∣)/a(x)=0\lambda(x)=(-b(x)+|b(x)|)/a(x)=0であり、r(x)=xr(x)=xである。▨

定理 2.5 (二次元 Brouwer 不動点定理). 任意の連続写像f:D2→D2f:D^2\to D^2は不動点をもつ。

証明. 不動点が存在しなければ、補題 2.4によりD2D^2からS1S^1へのレトラクションが存在する。これは定理 2.1に反する。▨

3 零点の存在と巻き数

補題 3.1.R>0R>0とし、F:{z∈C:∣z∣≤R}→C∖{0}F:\{z\in\C:|z|\le R\}\to\C\setminus\{0\}を連続写像とする。このとき、基点11のループ

γ(s)=F(Re2πis)∣F(Re2πis)∣(F(R)∣F(R)∣)−1\gamma(s)=\frac{F(Re^{2\pi is})}{|F(Re^{2\pi is})|}\left(\frac{F(R)}{|F(R)|}\right)^{-1}

の巻き数は00である。

証明.rt=(1−t)Rr_t=(1-t)Rとおき、

G(s,t)=F(rte2πis)∣F(rte2πis)∣(F(rt)∣F(rt)∣)−1G(s,t)=\frac{F(r_te^{2\pi is})}{|F(r_te^{2\pi is})|}\left(\frac{F(r_t)}{|F(r_t)|}\right)^{-1}

と定める。FFは零をとらないのでGGは連続であり、G(0,t)=G(1,t)=1G(0,t)=G(1,t)=1、G(s,0)=γ(s)G(s,0)=\gamma(s)、G(s,1)=1G(s,1)=1である。よってγ\gammaは端点を固定して定値ループとホモトピックであり、命題 1.2により巻き数は00である。▨

定理 3.2 (代数学の基本定理). 正の次数をもつ複素係数多項式は、複素数の範囲に少なくとも一つの根をもつ。

証明. 最高次係数で割り、P(z)=zn+∑k=0n−1akzkP(z)=z^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kz^k、n≥1n\ge1とする。PPが根をもたないと仮定する。A=∑k=0n−1∣ak∣A=\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|とし、R>max⁡{1,A}R>\max\{1,A\}をとると、∣z∣=R|z|=R上で

∣∑k=0n−1akzk∣≤ARn−1<Rn\left|\sum_{k=0}^{n-1}a_kz^k\right|\le AR^{n-1}<R^n

である。したがって、すべてのu∈[0,1]u\in[0,1]に対してQu(z)=zn+u∑k=0n−1akzkQ_u(z)=z^n+u\sum_{k=0}^{n-1}a_kz^kは∣z∣=R|z|=R上で零をとらない。

写像

H(s,u)=Qu(Re2πis)∣Qu(Re2πis)∣(Qu(R)∣Qu(R)∣)−1H(s,u)=\frac{Q_u(Re^{2\pi is})}{|Q_u(Re^{2\pi is})|}\left(\frac{Q_u(R)}{|Q_u(R)|}\right)^{-1}

は連続であり、H(0,u)=H(1,u)=1H(0,u)=H(1,u)=1を満たす。u=0u=0ではH(s,0)=e2πinsH(s,0)=e^{2\pi ins}であり、u=1u=1ではPPによる正規化ループγ\gammaである。命題 1.2によりwind⁡([γ])=n\operatorname{wind}([\gamma])=nである。一方、仮定によりPPは閉円板上で零をとらないので、補題 3.1により同じ巻き数は00である。これはn≥1n\ge1に反する。▨

4 演習

問題 4.1.

  1. 基点11の円周上のループα,β\alpha,\betaに対し、複素数の積による点ごとの積(α⋅β)(s)=α(s)β(s)(\alpha\cdot\beta)(s)=\alpha(s)\beta(s)の巻き数が、両ループの巻き数の和であることを示せ。またα⋅β≃α∗β\alpha\cdot\beta\simeq\alpha*\betaを示せ。
  2. 連続写像f:D2→R2f:D^2\to\R^2がf(S1)⊆D2f(S^1)\subseteq D^2を満たすなら、あるx∈D2x\in D^2が存在してf(x)=xf(x)=xとなることを示せ。
  3. P(z)=zn+an−1zn−1+⋯+a0P(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0、n≥1n\ge1とし、R=1+∑k=0n−1∣ak∣R=1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|とおく。PPが開円板{∣z∣<R}\{|z|<R\}に根をもつことを、巻き数を用いて示せ。
解答.
  1. α~,β~\widetilde\alpha,\widetilde\betaを始点00の持ち上げとする。指数の加法性によりα~+β~\widetilde\alpha+\widetilde\betaはα⋅β\alpha\cdot\betaの始点00の持ち上げである。終点をとると、巻き数の加法性を得る。命題 1.4によりα∗β\alpha*\betaも同じ巻き数をもち、定理 1.5の単射性により両ループは端点を固定してホモトピックである。
  2. ρ:R2→D2\rho:\R^2\to D^2をρ(y)=y/max⁡{1,∥y∥}\rho(y)=y/\max\{1,\lVert y\rVert\}とおく。定理 2.5をρ∘f\rho\circ fに適用し、x=ρ(f(x))x=\rho(f(x))となるx∈D2x\in D^2をとる。∥f(x)∥>1\lVert f(x)\rVert>1なら∥x∥=1\lVert x\rVert=1であり、仮定f(S1)⊆D2f(S^1)\subseteq D^2に反する。したがって∥f(x)∥≤1\lVert f(x)\rVert\le1であり、x=ρ(f(x))=f(x)x=\rho(f(x))=f(x)である。
  3. A=∑k=0n−1∣ak∣A=\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|とおく。R=1+A≥1R=1+A\ge1なので、∣z∣=R|z|=R上で∣∑k<nakzk∣≤ARn−1<Rn|\sum_{k<n}a_kz^k|\le AR^{n-1}<R^nである。よって定理 3.2の証明と同じQuQ_uとHHがこの半径でも定まり、境界上の正規化ループの巻き数はnnである。開円板に根が無いと仮定すると、上の狭義不等式から境界にも根が無いので、補題 3.1により巻き数は00である。これはn≥1n\ge1に反する。

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参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.指数被覆による円周の基本群の計算を参考にした。
  2. John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1978.巻き数を用いる代数学の基本定理の標準的な位相的証明を参考にした。

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