§E22.7Lie 微分と括弧積の自然性

証明. 以下では$D_{X,Y}$を$[X,Y]$と書く。$[X,Y]$が$\R$線形であることは$X$と$Y$の線形性から従う。Leibniz 則を確かめる。$f,g\in C^\infty(M)$とすると

である。差を取ると、$(Xf)(Yg)$、$(Xg)(Yf)$を含む四つの項が打ち消し合い

を得る。したがって$[X,Y]$は導分である。▨

証明.§E22.3 補題 1.3により、点$p\in U$における導分の値は、$p$の任意の近傍上での関数の値だけで決まる。したがって$U$上の$C^\infty$関数$f$について$[X,Y]f$を計算すれば足りる。座標表示で$\partial_i=\partial/\partial x^i$と書くと

である。同じ計算で

である。二階の項を比較する。第二の式の二階の項で添字$i$と$j$を入れ替えると

である。$f$は$C^\infty$であるから§E4.4 定理 2.1により$\partial_j\partial_if=\partial_i\partial_jf$であり、この和は第一の式の二階の項に等しい。したがって差を取ると二階の項は打ち消し合い、

を得る。右辺の括弧の中の関数は$U$上で$C^\infty$である。▨

証明.主張 (1)と主張 (2)は定義式$[X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf)$から直ちに従う。

主張 (3)を示す。$f\in C^\infty(M)$に対して、導分の合成を作用素の積として書くと$[X,Y]=XY-YX$（$C^\infty(M)$から$C^\infty(M)$への$\R$線形写像としての等式）である。したがって

である。同様に

である。三つを加えると、$XYZ$、$YXZ$、$ZXY$、$ZYX$、$YZX$、$XZY$の各項がそれぞれ符号の異なる二回ずつ現れて打ち消し合い、和は$0$である。▨

証明.$q\in N$、$g\in C^\infty(N)$とし、$p=F^{-1}(q)$と置く。微分の定義により

である。$g\circ F\in C^\infty(M)$であるから$X(g\circ F)\in C^\infty(M)$であり、$F^{-1}$は$C^\infty$であるから右辺は$N$上の$C^\infty$関数である。よって$q\mapsto(F_*X)_q$は$C^\infty(N)$上の導分を定め、§E22.4 定理 5.3により$C^\infty$ベクトル場である。▨

証明.$p\in M$、$g\in C^\infty(N)$とする。微分の定義により$dF_p(X_p)(g)=X_p(g\circ F)$であり、$Y_{F(p)}(g)=(Yg)(F(p))$である。したがって$dF_p(X_p)=Y_{F(p)}$がすべての$p$で成り立つことと、すべての$p$とすべての$g$に対して$X_p(g\circ F)=(Yg)(F(p))$が成り立つことは同値である。接ベクトルは$C^\infty(N)$上の導分として定義されているので、二つの接ベクトルが等しいことと、すべての$g\in C^\infty(N)$に対する値が等しいことは同値である。▨

証明.命題 2.4の条件を用いる。$g\in C^\infty(N)$とする。$X_2$と$Y_2$が関連することから$X_2(g\circ F)=(Y_2g)\circ F$である。$Y_2g\in C^\infty(N)$であるから、$X_1$と$Y_1$が関連することを関数$Y_2g$に対して用いると

である。添字$1$と$2$を入れ替えて$X_2\bigl(X_1(g\circ F)\bigr)=\bigl(Y_2(Y_1g)\bigr)\circ F$を得る。差を取ると

である。$g$は任意であったから、命題 2.4により$[X_1,X_2]$と$[Y_1,Y_2]$は$F$に関して関連する。

系を示す。$F$を微分同相とすると、定義 2.1の定義から$dF_p(X_p)=(F_*X)_{F(p)}$であり、$X$と$F_*X$は$F$に関して関連する。$Y$と$F_*Y$についても同様である。したがって上の主張により$[X,Y]$と$[F_*X,F_*Y]$は$F$に関して関連する。一方$[X,Y]$と$F_*[X,Y]$も$F$に関して関連する。$F$は全単射であるから、$N$の各点$q$で

である。▨

証明.$p$の周りのチャート$(U,\psi)$、$\psi=(x^1,\dots,x^n)$を一つ固定し、$T_pM$の基底を$\{\partial/\partial x^i|_p\}$に取る。この二つは以下の議論を通じて動かさない。

$t_0\in J_p$を任意に取り、$q_0=\varphi_{t_0}(p)$と置く。$q_0$は$U$に属するとは限らないので、$q_0$の周りに別のチャート$(U'',\psi'')$、$\psi''=(z^1,\dots,z^n)$を取る。$\varphi(-t_0,q_0)=p\in U$であり、§E22.6 定理 7.1により$\varphi$は連続であるから、$t_0$を含む開区間$I$と$q_0$の開近傍$U_0\subseteq U''$が存在して、$t\in I$と$q\in U_0$のとき$\varphi(-t,q)$が定義され$U$に属する。そこで

と置く。§E22.6 定理 7.1により$\varphi$は$C^\infty$であり、チャートとその逆写像も$C^\infty$であるから、$H$は$C^\infty$である。$\widetilde A(t,z)=D_zH(t,z)$と置くと、$\widetilde A(t,z)$は$\{\partial/\partial z^j|_{(\psi'')^{-1}(z)}\}$を始域の基底、$\{\partial/\partial x^i|_{\varphi(-t,(\psi'')^{-1}(z))}\}$を終域の基底として、線形写像$d(\varphi_{-t})_{(\psi'')^{-1}(z)}$を表す行列である。

$c(t)=\psi''\bigl(\varphi_t(p)\bigr)$と置くと、$c$は$I$を縮めれば$C^\infty$であり$H(t,c(t))=\psi(p)$である。すなわち$\widetilde A(t,c(t))$は、いま固定した$T_pM$の基底に関して$d(\varphi_{-t})_{\varphi_t(p)}$を表す行列である。$Y$の$(U'',\psi'')$における座標表示を$\widetilde G$と書くと、$\widetilde G$は$C^\infty$であり

である。右辺は$C^\infty$写像の合成と行列の積であるから、$t$について$C^\infty$である。$t_0\in J_p$は任意であったから、$V_p$は$J_p$上で$C^\infty$である。$T_pM$の基底を取り替えると$V_p$は固定した正則行列を掛けたものになるので、$C^\infty$性は基底のとり方に依らない。▨

証明. 主張は点ごとの等式であるから、$p$の周りのチャート$(U,\psi)$を取って座標で計算すれば足りる。$\psi(p)=0$としてよい。$F$を$X$の座標表示、$G$を$Y$の座標表示とし、$\Phi(t,x)$を流れの座標表示、$A(t,x)=D_x\Phi(t,x)$とする。$t=0$の近くでは$\varphi_t(p)\in U$であるから、命題 3.1の証明で$(U'',\psi'')=(U,\psi)$と取ることができ、そこでの$H(t,x)$は$\Phi(-t,x)$、$\widetilde A(t,x)$は$A(-t,x)$、$c(t)$は$\Phi(t,0)$である。すなわち

であり、$(\mathcal{L}_XY)_p$の座標成分は$V'(0)$である。

$A(0,x)$を計算する。$\Phi(0,x)=x$であるから$A(0,x)=D_x(x)=I_n$であり、$x$に依らない。したがって

である。

$\partial_tA(t,x)$を計算する。$\Phi$は$C^\infty$であるから、その各成分へ§E4.4 定理 2.1を適用すると、二階の偏導関数は微分の順序に依らない。よって

であり、$t=0$、$x=0$で

である。

$B(t)=A(-t,\Phi(t,0))$と置く。連鎖律（§E4.3 定理 1.1）と$\partial_t\Phi(0,0)=F(0)$により

である。ここで式 (3.3.1)と式 (3.3.2)を用いた。また$B(0)=A(0,0)=I_n$である。

$C(t)=G(\Phi(t,0))$と置くと、連鎖律により$C'(0)=DG(0)F(0)$であり$C(0)=G(0)$である。

積の微分により

である。第$j$成分を書き下すと

である。$F^i$と$G^i$は$X$と$Y$の座標成分であるから、右辺は命題 1.3の$[X,Y]$の第$j$成分の$p$における値に等しい。よって$(\mathcal{L}_XY)_p=[X,Y]_p$である。$p$は任意であった。▨

証明.(a)$\Rightarrow$(b)を示す。$p\in M$を固定し、命題 3.1の記号で$V_p(t)=d(\varphi_{-t})_{\varphi_t(p)}(Y_{\varphi_t(p)})$と置く。$t\in J_p$と、$t+u\in J_p$を満たす十分小さい$u$に対して、$q=\varphi_t(p)$と置くと$\varphi_{t+u}(p)=\varphi_u(q)$であり、群法則（§E22.6 定理 7.1 (3)）と連鎖律（§E22.3 定理 5.3）により

である。$d(\varphi_{-t})_q$は$u$に依らない線形写像であるから、$u=0$で微分して

を得る。定理 3.3と仮定$[X,Y]=0$により右辺は$0$である。$J_p$は区間であり$V_p$は$C^\infty$であるから$V_p$は定数であり、$V_p(t)=V_p(0)=Y_p$である。両辺へ線形同型$d(\varphi_t)_p$を施すと$Y_{\varphi_t(p)}=d(\varphi_t)_p(Y_p)$を得る。

(b)$\Rightarrow$(c)を示す。$p\in M$を取る。§E22.6 定理 7.1により$X$の流れの定義域は開集合であるから、$\varepsilon_1>0$と$p$の開近傍$O_1$を、$|t|<\varepsilon_1$と$r\in O_1$について$\varphi_t(r)$が定義されるように取ることができる。$Y$の流れ$\psi$は$(0,p)$の近傍で連続であり$\psi(0,p)=p\in O_1$であるから、$0<\varepsilon\le\varepsilon_1$と$p$の開近傍$O\subseteq O_1$を、$|s|<\varepsilon$と$q\in O$について$\psi_s(q)$が定義され$\psi_s(q)\in O_1$となるように取ることができる。

$q\in O$と$|t|<\varepsilon$を固定し、$c(s)=\varphi_t\bigl(\psi_s(q)\bigr)$（$|s|<\varepsilon$）と置く。右辺は上の選び方により定義され、$s$について$C^\infty$である。曲線$s\mapsto\psi_s(q)$の速度ベクトルは$Y_{\psi_s(q)}$であるから、連鎖律により

である。第二の等号に条件 (b)を用いた。したがって$c$は$Y$の積分曲線であり$c(0)=\varphi_t(q)$である。§E22.6 定理 1.4により$(-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq J^Y_{\varphi_t(q)}$であり$c(s)=\psi_s\bigl(\varphi_t(q)\bigr)$である。すなわち$\psi_s(\varphi_t(q))$も定義され、$\varphi_t(\psi_s(q))=\psi_s(\varphi_t(q))$である。