§E13.9線形方程式の基本解系

最終更新

単振動の方程式y′′+y=0y''+y=0では、初期位置と初期速度を指定すると、その運動はcos⁡t\cos tとsin⁡t\sin tの一つの線形結合として定まる。この例では、cos⁡t\cos tとsin⁡t\sin tはそれぞれ一つの運動であり、同時にすべての運動を線形結合で表すための基底でもある。

一般の局所可積分な係数をもつ正規形のnn階線形斉次方程式では、いくつかの解を見つけても、それらの線形結合ですべての解が表されるかどうかは明らかでない。ある一点におけるnn個の初期値を指定すると解が一意に定まるため、解の全体はnn次元の線形空間として捉えることができる。その基底となる解の組が基本解系である。候補となる解の組が基底をなすかどうかは、Wronskian を用いて判定する。基本解系が重要であるのは、無数の解のそれぞれを有限個の解の線形結合として一意に表すことができ、具体的な解の構成を線形代数の問題として扱うことができるからである。

本記事では、局所可積分な係数をもつ線形系の解を係数の定義区間全体で構成して基本行列を導き、高階線形方程式の解全体を有限次元の線形空間として捉えて、基本解系の線形結合によってすべての解を記述する。

1 可積分係数をもつ線形系の全区間解

以下のLloc1(I)L^1_{\mathrm{loc}}(I)は、IIに含まれる任意の有限閉区間上で可積分であることを表す。行列値関数とベクトル値関数の可積分性と絶対連続性は、有限個の成分ごとに考える。

定理 1.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NNとし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間として、

A∈Lloc1(I;Kd×d),b∈Lloc1(I;Kd)A\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^{d\times d}),\qquad \boldsymbol b\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)

とする。このとき、任意のt0∈It_0\in Iとη∈Kd\boldsymbol\eta\in\mathbb K^dに対して、II全体で定義された一意な絶対連続解

x∈ACloc(I;Kd),x′=Ax+bほとんど至る所,x(t0)=η\boldsymbol x\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d),\qquad \boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol b\quad\text{ほとんど至る所},\qquad \boldsymbol x(t_0)=\boldsymbol\eta

が存在する。この解はすべてのt∈It\in Iに対して

x(t)=η+∫t0t(A(s)x(s)+b(s)) ds\boldsymbol x(t)=\boldsymbol\eta+ \int_{t_0}^t\bigl(A(s)\boldsymbol x(s)+\boldsymbol b(s)\bigr)\,ds

を満たす。t<t0t<t_0の積分は向き付き積分とする。

証明.§E13.7 系 4.2をt∗=t0t_*=t_0として適用すると、IIのほとんど至る所でx′=Ax+b\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol bを満たしx(t0)=η\boldsymbol x(t_0)=\boldsymbol\etaを満たすx∈ACloc(I;Kd)\boldsymbol x\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)が一意に存在し、この解はすべてのt∈It\in Iで積分表示を満たす。▨

系 1.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NNとし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間、A:I→Kd×dA:I\to\mathbb K^{d\times d}とb:I→Kd\boldsymbol b:I\to\mathbb K^dを連続とする。このとき、次が成り立つ。

  1. x∈ACloc(I;Kd)\boldsymbol x\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)がIIのほとんど至る所でx′=Ax+b\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol bを満たすならば、x∈C1(I;Kd)\boldsymbol x\in C^1(I;\mathbb K^d)であり、IIのすべての点でx′=Ax+b\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol bが成り立つ。IIに含まれる端点では片側微分とする。
  2. 任意のt0∈It_0\in Iとη∈Kd\boldsymbol\eta\in\mathbb K^dに対して、初期値問題Y′=A(t)Y+b(t)\boldsymbol Y'=A(t)\boldsymbol Y+\boldsymbol b(t)、Y(t0)=η\boldsymbol Y(t_0)=\boldsymbol\etaはII全体で定義された一意なC1C^1級の解をもつ。

証明.主張 (1)を示す。x\boldsymbol xは連続であるから、g=Ax+bg=A\boldsymbol x+\boldsymbol bはII上の連続写像であり、IIの内部のほとんど至る所でx′=g\boldsymbol x'=gである。§E13.2 系 2.7により、x\boldsymbol xはC1C^1級であり、すべての点でx′=g\boldsymbol x'=gである。

主張 (2)を示す。定理 1.1の解Y\boldsymbol Yは、連続なA,bA,\boldsymbol bが局所可積分であるから存在し、よって主張 (1)によりC1C^1級である。C1C^1級の解は§E13.2 系 2.7 (2)により局所絶対連続であり、ほとんど至る所で方程式を満たすから、一意性は定理 1.1の一意性から従う。▨

2 絶対連続な基本行列

定義 2.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、A∈Lloc1(I;Kd×d)A\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^{d\times d})とする。行列値関数Φ∈ACloc(I;Kd×d)\Phi\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^{d\times d})が

Φ′=AΦほとんど至る所,det⁡Φ(t)≠0(t∈I)\Phi'=A\Phi\quad\text{ほとんど至る所},\qquad \det\Phi(t)\ne0\quad(t\in I)

を満たすとき、Φ\Phiを同次系x′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xの基本行列 (fundamental matrix) という。

定理 2.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、A∈Lloc1(I;Kd×d)A\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^{d\times d})とする。同次系x′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xのII上の絶対連続解全体をSA(I)\mathcal S_A(I)と書く。このとき、この集合はK\mathbb Kベクトル空間であり、任意のt0∈It_0\in Iに対して評価写像

Et0:SA(I)⟶Kd,x⟼x(t0)E_{t_0}:\mathcal S_A(I)\longrightarrow\mathbb K^d, \qquad \boldsymbol x\longmapsto\boldsymbol x(t_0)

は線形同型である。特に、dim⁡KSA(I)=d\dim_{\mathbb K}\mathcal S_A(I)=dであり、Φ(t0)=id⁡\Phi(t_0)=\idを満たす基本行列がただ一つ存在する。

x1,…,xd∈SA(I)\boldsymbol x_1,\ldots,\boldsymbol x_d\in\mathcal S_A(I)を列にもつ行列をΨ\Psiとし、t0∈It_0\in Iとする。このとき、次の条件は同値である。

  1. 列x1,…,xd\boldsymbol x_1,\ldots,\boldsymbol x_dはSA(I)\mathcal S_A(I)の基底である。
  2. det⁡Ψ(t0)≠0\det\Psi(t_0)\ne0である。
  3. すべてのt∈It\in Iでdet⁡Ψ(t)≠0\det\Psi(t)\ne0である。

証明. 方程式の線形性と絶対連続関数の線形結合により、SA(I)\mathcal S_A(I)はベクトル空間であり、Et0E_{t_0}は線形である。定理 1.1の存在によりEt0E_{t_0}の全射性が、一意性により単射性が与えられる。従ってEt0E_{t_0}は同型である。

任意のt∈It\in Iで、Ψ(t)\Psi(t)の各列はEtE_tによるxj\boldsymbol x_jの像である。線形同型は基底を基底へ移すので、列が解空間の基底であることと、その時刻でΨ(t)\Psi(t)が可逆であることは同値である。これにより三条件の同値を得る。

Kd\mathbb K^dの標準基底をe1,…,ed\boldsymbol e_1,\ldots,\boldsymbol e_dとし、xj=Et0−1(ej)\boldsymbol x_j=E_{t_0}^{-1}(\boldsymbol e_j)とおく。列を並べたΦ\PhiはΦ(t0)=id⁡\Phi(t_0)=\idを満たし、上の同値性から全点で可逆である。各列は同次解なのでΦ\Phiは基本行列である。各列の初期値が指定されているため、この正規化を満たす基本行列は一意である。▨

3 Abel–Liouville の公式

定理 3.1 (Abel–Liouville の公式).K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、A∈Lloc1(I;Kd×d)A\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^{d\times d})とする。Φ∈ACloc(I;Kd×d)\Phi\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^{d\times d})がΦ′=AΦ\Phi'=A\Phiをほとんど至る所で満たすとする。このとき、D=det⁡ΦD=\det\Phiは局所絶対連続であり、

D′=tr⁡(A)Dほとんど至る所,D(t)=D(t0)exp⁡(∫t0ttr⁡A(s) ds)(t0,t∈I)D'=\operatorname{tr}(A)D\quad\text{ほとんど至る所},\qquad D(t)=D(t_0)\exp\left(\int_{t_0}^t\operatorname{tr}A(s)\,ds\right) \quad(t_0,t\in I)

が成り立つ。従ってDDは恒等的に零であるか、全点で零でないかのいずれかである。

証明.Φ\Phiの列をx1,…,xd\boldsymbol x_1,\ldots,\boldsymbol x_dとする。§E13.2 系 3.2 (3)によりDDは局所絶対連続であり、ほとんど至る所で

D′=∑j=1ddet⁡(x1,…,Axj,…,xd)D'=\sum_{j=1}^d \det(\boldsymbol x_1,\ldots,A\boldsymbol x_j,\ldots,\boldsymbol x_d)

となる。各時刻で、実変数hhの多項式の恒等式

det⁡((id⁡+hA)Φ)=det⁡(id⁡+hA)det⁡Φ\det\bigl((\id+hA)\Phi\bigr)=\det(\id+hA)\det\Phi

の一次係数を比較する。左辺の一次係数は上の和であり、右辺では行列式の展開からdet⁡(id⁡+hA)\det(\id+hA)の一次係数が∑jAjj=tr⁡A\sum_j A_{jj}=\operatorname{tr}Aとなる。従ってD′=tr⁡(A)DD'=\operatorname{tr}(A)Dを得る。この比較はΦ\Phiが特異である場合にも成立する。

t0∈It_0\in Iを固定し、H(t)=∫t0ttr⁡A(s) dsH(t)=\int_{t_0}^t\operatorname{tr}A(s)\,dsとおく。§E13.2 系 2.6、§E13.2 定理 3.1 (1)、§E13.2 定理 3.1 (2)によりe−HDe^{-H}Dは局所絶対連続であり、その導関数はほとんど至る所で

(e−HD)′=e−H(D′−H′D)=0(e^{-H}D)'=e^{-H}(D'-H'D)=0

となる。複素数値の場合も、指数関数を二つの実変数のC1C^1写像として同じ合成則を適用する。積分表示（§E13.2 系 2.6）からe−H(t)D(t)=D(t0)e^{-H(t)}D(t)=D(t_0)を得る。指数関数は零にならないので、最後の二者択一も従う。▨

注意 3.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NN、T>0T>0とし、A∈Lloc1(R;Kd×d)A\in L^1_{\mathrm{loc}}(\R;\mathbb K^{d\times d})がA(t+T)=A(t)A(t+T)=A(t)をほとんど至る所で満たすとする。Φ(0)=id⁡\Phi(0)=\idを満たす基本行列Φ\Phiに対して、Φ(T)\Phi(T)を周期係数の系x′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xのモノドロミー行列という。定理 3.1をt0=0t_0=0で適用すると、det⁡Φ(0)=1\det\Phi(0)=1であるから

det⁡Φ(T)=exp⁡(∫0Ttr⁡A(s) ds)\det\Phi(T)=\exp\left(\int_0^T\operatorname{tr}A(s)\,ds\right)

が成り立つ。すなわち、モノドロミー行列の行列式は、一周期にわたるtr⁡A\operatorname{tr}Aの積分だけで定まる。

4 高階方程式と一階連立系

命題 4.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NNとし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間、p0,…,pn−1,r∈Lloc1(I;K)p_0,\ldots,p_{n-1},r\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)とする。n≥2n\geq2の場合はy∈Cn−1(I;K)y\in C^{n-1}(I;\mathbb K)かつy(n−1)∈ACloc(I;K)y^{(n-1)}\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)、n=1n=1の場合はy∈ACloc(I;K)y\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)を解の正則性とする。含まれる端点での古典導関数は片側導関数とする。

このとき、この正則性をもつyyが

y(n)+∑j=0n−1pj(t)y(j)=r(t)ほとんど至る所y^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}p_j(t)y^{(j)}=r(t) \quad\text{ほとんど至る所}

を満たすことと、

Y=(y,y′,…,y(n−1))T\boldsymbol Y=(y,y',\ldots,y^{(n-1)})^{\mathsf T}

が次の伴随系の絶対連続解であることは同値である。

Y′=A(t)Y+b(t),A(t)=(010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−p0(t)−p1(t)−p2(t)⋯−pn−1(t)),b(t)=(0⋮0r(t)).\boldsymbol Y'=A(t)\boldsymbol Y+\boldsymbol b(t),\qquad A(t)= \begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ -p_0(t)&-p_1(t)&-p_2(t)&\cdots&-p_{n-1}(t) \end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b(t)= \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\0\\r(t)\end{pmatrix}.

n=1n=1ではA=(−p0)A=(-p_0)、b=(r)\boldsymbol b=(r)とする。逆に、伴随系の任意の絶対連続解Y=(Y0,…,Yn−1)T\boldsymbol Y=(Y_0,\ldots,Y_{n-1})^{\mathsf T}に対して、y=Y0y=Y_0は上の正則性をもつ高階方程式の解であり、0≤j≤n−10\leq j\leq n-1についてYj=y(j)Y_j=y^{(j)}が成り立つ。さらに、任意のt0∈It_0\in Iとη0,…,ηn−1∈K\eta_0,\ldots,\eta_{n-1}\in\mathbb Kに対し、y(j)(t0)=ηjy^{(j)}(t_0)=\eta_j(0≤j≤n−1)(0\leq j\leq n-1)を満たす解がII全体でただ一つ存在する。

証明. 上の正則性をもつyyからY\boldsymbol Yを作る。n≥2n\geq2ならば、各有限閉区間でy,…,y(n−2)y,\ldots,y^{(n-2)}は連続な導関数をもつため§E13.2 系 2.7 (2)により局所絶対連続であり、最後の成分も仮定により局所絶対連続である。最初のn−1n-1成分の微分は次の成分に等しく、最後の成分の微分は高階方程式により伴随系の最後の式を満たす。n=1n=1では二つの方程式は同じである。

逆に伴随系の絶対連続解Y=(Y0,…,Yn−1)T\boldsymbol Y=(Y_0,\ldots,Y_{n-1})^{\mathsf T}を取る。n≥2n\geq2の場合、§E13.2 系 2.6により、0≤j<n−10\leq j<n-1と任意のt,t0∈It,t_0\in Iに対して

Yj(t)=Yj(t0)+∫t0tYj+1(s) dsY_j(t)=Y_j(t_0)+\int_{t_0}^tY_{j+1}(s)\,ds

である。Yj+1Y_{j+1}は連続なので、通常の微積分の基本定理によりYjY_jはC1C^1級であり、Yj′=Yj+1Y_j'=Y_{j+1}が全点で成り立つ。含まれる端点では片側微分となる。従ってy=Y0y=Y_0はCn−1C^{n-1}級であり、y(j)=Yjy^{(j)}=Y_jである。y(n−1)=Yn−1y^{(n-1)}=Y_{n-1}は局所絶対連続であり、最後の成分の微分方程式は所要の高階方程式になる。n=1n=1ではy=Y0y=Y_0自身が絶対連続解である。

A,bA,\boldsymbol bは局所可積分なので、定理 1.1を初期ベクトル(η0,…,ηn−1)T(\eta_0,\ldots,\eta_{n-1})^{\mathsf T}に適用する。上の双方向の対応により、高階方程式の全区間存在と一意性を得る。▨

命題 4.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NNとし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間、a0,…,an,g:I→Ka_0,\ldots,a_n,g:I\to\mathbb Kを可測関数とする。an≠0a_n\ne0がほとんど至る所で成り立ち、すべての商aj/ana_j/a_n(0≤j≤n−1)(0\leq j\leq n-1)とg/ang/a_nが局所可積分であるとし、pj=aj/anp_j=a_j/a_n、r=g/anr=g/a_nとおく。このとき、命題 4.1の正則性をもつyyについて、

any(n)+∑j=0n−1ajy(j)=gほとんど至る所a_ny^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}a_jy^{(j)}=g\quad\text{ほとんど至る所}

であることは、

y(n)+∑j=0n−1pjy(j)=rほとんど至る所y^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}p_jy^{(j)}=r\quad\text{ほとんど至る所}

であるための必要十分条件である。従って、ana_nを含む方程式の解は命題 4.1をpj,rp_j,rに適用して扱うことができる。

さらに、a0,…,an,ga_0,\ldots,a_n,gが連続でan(t)≠0a_n(t)\ne0がすべてのt∈It\in Iで成り立つならば、すべての商は連続であり、したがって局所可積分であるから、上の仮定は満たされる。

証明.an≠0a_n\ne0が成り立つ点の全体はIIのほとんど至る所を占める。この集合の各点で、第一の式の両辺をana_nで割ると第二の式になり、第二の式の両辺にana_nを掛けると第一の式になる。従って二つの式はほとんど至る所で同値である。連続の場合、連続関数の商は分母が零にならない限り連続であり、有限閉区間上で有界であるから局所可積分である。▨

系 4.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NNとし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間、p0,…,pn−1,r:I→Kp_0,\ldots,p_{n-1},r:I\to\mathbb Kを連続関数とする。このとき、命題 4.1の正則性をもつyyがy(n)+∑j=0n−1pjy(j)=ry^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}p_jy^{(j)}=rをほとんど至る所で満たすならば、y∈Cn(I;K)y\in C^n(I;\mathbb K)であり、この方程式はIIのすべての点で成り立つ。逆に、y∈Cn(I;K)y\in C^n(I;\mathbb K)がIIのすべての点でこの方程式を満たすならば、yyは同じ正則性をもち、ほとんど至る所で方程式を満たす。含まれる端点での導関数は片側導関数とする。

証明.Y=(y,y′,…,y(n−1))T\boldsymbol Y=(y,y',\ldots,y^{(n-1)})^{\mathsf T}は、命題 4.1により伴随系Y′=AY+b\boldsymbol Y'=A\boldsymbol Y+\boldsymbol bの絶対連続解である。A,bA,\boldsymbol bの成分は連続であるから、系 1.2 (1)によりY∈C1(I;Kn)\boldsymbol Y\in C^1(I;\mathbb K^n)であり、この系はすべての点で成り立つ。特にy(n−1)=Yn−1y^{(n-1)}=Y_{n-1}はC1C^1級であるからy∈Cn(I;K)y\in C^n(I;\mathbb K)であり、最後の成分の式は求める方程式のすべての点での成立を表す。

逆にy∈Cn(I;K)y\in C^n(I;\mathbb K)とすると、n≥2n\geq2ではy∈Cn−1(I;K)y\in C^{n-1}(I;\mathbb K)かつy(n−1)y^{(n-1)}はC1C^1級であるから§E13.2 系 2.7 (2)により局所絶対連続であり、n=1n=1ではyyがC1C^1級であるから同じ補題により局所絶対連続である。方程式は全点で成り立つので、ほとんど至る所でも成り立つ。▨

系 4.4.I⊆RI\subseteq\Rを開区間、n∈N≥1n\in\NNとし、a0,…,an:I→Ra_0,\ldots,a_n:I\to\Rを連続関数、すべてのt∈It\in Iでan(t)≠0a_n(t)\ne0とする。pj=aj/anp_j=a_j/a_nとおく。このpjp_jは命題 4.2の連続な場合の商である。このとき、y∈Cn(I;R)y\in C^n(I;\R)が正規化した方程式

y(n)+∑j=0n−1pj(t)y(j)=0y^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}p_j(t)y^{(j)}=0(4.4.1)\text{(4.4.1)}

の解であることと、Y=(y,y′,…,y(n−1))T\boldsymbol Y=(y,y',\ldots,y^{(n-1)})^{\mathsf T}が、命題 4.1の伴随行列AAに対する

Y′=A(t)Y\boldsymbol Y'=A(t)\boldsymbol Y(4.4.2)\text{(4.4.2)}

の古典解であることは同値である。逆に式 (4.4.2)の任意の古典解の第一成分は、式 (4.4.1)のCnC^n級の解である。

証明.pjp_jは連続であるから、系 4.3をK=R\mathbb K=\R、r=0r=0として適用すると、CnC^n級の解は命題 4.1の正則性をもつ解であり、逆に正則性をもつ解はCnC^n級である。命題 4.1により、このようなyyは伴随系の絶対連続解Y\boldsymbol Yに対応し、系 1.2 (1)により絶対連続解は古典解である。古典解は§E13.2 系 2.7 (2)により局所絶対連続であるから、逆向きも同じ対応による。▨

系 4.5.I⊆RI\subseteq\Rを開区間、n∈N≥1n\in\NN、p0,…,pn−1:I→Rp_0,\ldots,p_{n-1}:I\to\Rを連続関数とする。このとき、式 (4.4.1)について、任意のt0∈It_0\in Iとη0,…,ηn−1∈R\eta_0,\ldots,\eta_{n-1}\in\Rに対して

y(t0)=η0,y′(t0)=η1,…,y(n−1)(t0)=ηn−1y(t_0)=\eta_0,\quad y'(t_0)=\eta_1,\quad\ldots,\quad y^{(n-1)}(t_0)=\eta_{n-1}

を満たすCnC^n級の解がII全体でただ一つ存在する。

証明.命題 4.1の初期値解は、系 4.3によりCnC^n級の解であり、CnC^n級の解は同じ命題の正則性をもつから一意性も同命題による。▨

5 解空間と基本解系

定義 5.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、p0,…,pn−1∈Lloc1(I;K)p_0,\ldots,p_{n-1}\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)とする。斉次方程式

y(n)+∑j=0n−1pjy(j)=0ほとんど至る所y^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}p_jy^{(j)}=0\quad\text{ほとんど至る所}

について、命題 4.1に記した正則性をもつII全体の解の集合をS(I)\mathcal S(I)と書く。関数の和とK\mathbb Kの元による定数倍を演算として、S(I)\mathcal S(I)を解空間 (solution space) という。

定理 5.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、p0,…,pn−1∈Lloc1(I;K)p_0,\ldots,p_{n-1}\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)に対する斉次方程式の解空間をS(I)\mathcal S(I)とする。このとき、任意のt0∈It_0\in Iに対して、写像

Et0:S(I)→Kn,Et0(y)=(y(t0),y′(t0),…,y(n−1)(t0))E_{t_0}:\mathcal S(I)\to\mathbb K^n,\qquad E_{t_0}(y)=\bigl(y(t_0),y'(t_0),\ldots,y^{(n-1)}(t_0)\bigr)

は線形同型である。従ってdim⁡KS(I)=n\dim_{\mathbb K}\mathcal S(I)=nである。

証明.命題 4.1の対応y↦(y,y′,…,y(n−1))Ty\mapsto(y,y',\ldots,y^{(n-1)})^{\mathsf T}は、スカラー方程式の解空間と伴随系の解空間の線形全単射である。この対応に定理 2.2の評価同型を合成するとEt0E_{t_0}を得る。▨

系 5.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、p0,…,pn−1:I→Kp_0,\ldots,p_{n-1}:I\to\mathbb Kを連続関数とする。このとき、斉次方程式の解空間S(I)\mathcal S(I)は、Cn(I;K)C^n(I;\mathbb K)に属しIIのすべての点で方程式を満たす関数全体に等しい。

証明.系 4.3をr=0r=0として適用する。▨

定義 5.4.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、S(I)\mathcal S(I)を局所可積分係数p0,…,pn−1p_0,\ldots,p_{n-1}をもつ斉次nn階方程式の解空間とする。nn個の解y1,…,yn∈S(I)y_1,\ldots,y_n\in\mathcal S(I)に対して、Wronskian (Wronskian) を

W(y1,…,yn)(t)=det⁡(y1(t)⋯yn(t)y1′(t)⋯yn′(t)⋮⋮y1(n−1)(t)⋯yn(n−1)(t))W(y_1,\ldots,y_n)(t)= \det\begin{pmatrix} y_1(t)&\cdots&y_n(t)\\ y_1'(t)&\cdots&y_n'(t)\\ \vdots&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}(t)&\cdots&y_n^{(n-1)}(t) \end{pmatrix}

と定める。y1,…,yny_1,\ldots,y_nが解空間の基底をなすとき、これらを基本解系 (fundamental system of solutions) という。

命題 5.5.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、p0,…,pn−1∈Lloc1(I;K)p_0,\ldots,p_{n-1}\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)に対する斉次nn階方程式の解空間をS(I)\mathcal S(I)とし、y1,…,yn∈S(I)y_1,\ldots,y_n\in\mathcal S(I)、t0∈It_0\in Iとする。このとき、次の三条件は同値である。

  1. y1,…,yny_1,\ldots,y_nは基本解系である。
  2. W(y1,…,yn)(t0)≠0W(y_1,\ldots,y_n)(t_0)\ne0である。
  3. 任意のt∈It\in IでW(y1,…,yn)(t)≠0W(y_1,\ldots,y_n)(t)\ne0である。

証明.yjy_jを伴随系の列解(yj,yj′,…,yj(n−1))T(y_j,y_j',\ldots,y_j^{(n-1)})^{\mathsf T}に対応させる。この対応は命題 4.1により線形同型であり、列を並べた行列の行列式はWWである。従って定理 2.2の三条件の同値により、上の三条件の同値が与えられる。▨

系 5.6 (Abel の公式).K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、p0,…,pn−1∈Lloc1(I;K)p_0,\ldots,p_{n-1}\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)とする。y1,…,yn∈S(I)y_1,\ldots,y_n\in\mathcal S(I)を同じ斉次方程式の解とする。このとき、その Wronskian は

W(t)=W(t0)exp⁡(−∫t0tpn−1(s) ds)(t0,t∈I)W(t)=W(t_0)\exp\left(-\int_{t_0}^t p_{n-1}(s)\,ds\right) \qquad(t_0,t\in I)

を満たす。従ってWWは恒等的に零であるか、全点で零でないかのいずれかである。

証明. 各yjy_jに対応する伴随系の列解を並べると、行列式はWWであり、伴随行列のトレースは−pn−1-p_{n-1}である。定理 3.1に代入すると表示式と二者択一を得る。▨

6 既知の解による二階方程式の次数低下

定理 6.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、P,Q∈Lloc1(I;K)P,Q\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)とする。方程式

y′′+P(t)y′+Q(t)y=0ほとんど至る所y''+P(t)y'+Q(t)y=0\quad\text{ほとんど至る所}(6.1.1)\text{(6.1.1)}

の解はy∈C1(I;K)y\in C^1(I;\mathbb K)、y′∈ACloc(I;K)y'\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)とする。y1y_1をII上のすべての点で零にならない解とし、t∗∈It_*\in Iとする。このとき

y2(t)=y1(t)∫t∗texp⁡(−∫t∗sP(r) dr)y1(s)2 dsy_2(t)=y_1(t)\int_{t_*}^t \frac{\exp\left(-\int_{t_*}^sP(r)\,dr\right)}{y_1(s)^2}\,ds

は式 (6.1.1)の解であり、y1,y2y_1,y_2は基本解系をなす。P,QP,Qが連続ならば、両解はC2C^2級であり、IIのすべての点で方程式を満たす。

証明.命題 4.1により、z(t∗)=0z(t_*)=0、z′(t∗)=1/y1(t∗)z'(t_*)=1/y_1(t_*)を満たす式 (6.1.1)の解zzを取る。このときW(y1,z)(t∗)=1W(y_1,z)(t_*)=1であるから、系 5.6により

W(y1,z)(t)=exp⁡(−∫t∗tP(r) dr)W(y_1,z)(t)=\exp\left(-\int_{t_*}^tP(r)\,dr\right)

である。y1,zy_1,zはC1C^1級であり、y1y_1は零にならないので、商の微分から全点で

(zy1)′(t)=y1(t)z′(t)−y1′(t)z(t)y1(t)2=exp⁡(−∫t∗tP(r) dr)y1(t)2\left(\frac{z}{y_1}\right)'(t) =\frac{y_1(t)z'(t)-y_1'(t)z(t)}{y_1(t)^2} =\frac{\exp\left(-\int_{t_*}^tP(r)\,dr\right)}{y_1(t)^2}

となる。右辺は連続である。t∗t_*からttまで積分し、z(t∗)=0z(t_*)=0を用いるとz(t)=y2(t)z(t)=y_2(t)を得る。従って表示した関数は所要の正則性をもつ解である。またW(y1,y2)W(y_1,y_2)は全点で零でないため、命題 5.5により基本解系をなす。P,QP,Qが連続ならば、y1,y2y_1,y_2は二階の場合の命題 4.1の正則性をもつ解であるから、系 4.3によりC2C^2級であり、全点で方程式を満たす。▨

7 演習

問題 7.1 (正規形でない方程式・特異係数・境界値写像). 次の三つの実数値の二階線形方程式について答えよ。

  1. 方程式t2y′′−4ty′+6y=0t^{2}y''-4ty'+6y=0のR\Rの上のC2C^{2}級の解の全体は、三次元の線形空間であることを示せ。また、y(0)=y′(0)=0y(0)=y'(0)=0を満たす解が一意でないことを示せ。
  2. 方程式y′′+y/(4t2)=0y''+y/(4t^{2})=0の(0,∞)(0,\infty)の上の基本解系を求めよ。さらに、零でない解はどれも、00を含む開区間の上のC1C^{1}級の関数へ延長することができないことを示せ。
  3. 方程式y′′+y=0y''+y=0のR\Rの上の解空間をS\mathcal Sとする。初期値写像E0(y)=(y(0),y′(0))E_{0}(y)=(y(0),y'(0))の逆写像を求めよ。また、B(y)=(y(0),y(π))B(y)=(y(0),y(\pi))で定まる線形写像B:S→R2B:\mathcal S\to\R^{2}は単射でも全射でもなく、B′(y)=(y(0),y(π/2))B'(y)=(y(0),y(\pi/2))で定まる線形写像は全単射であることを示せ。
解答.

  1. (0,∞)(0,\infty)と(−∞,0)(-\infty,0)の上では、方程式は連続係数の正規形y′′−(4/t)y′+(6/t2)y=0y''-(4/t)y'+(6/t^{2})y=0である。t2t^{2}とt3t^{3}はどちらの区間でも解であり、W(t2,t3)=t2⋅3t2−2t⋅t3=t4≠0W(t^{2},t^{3})=t^{2}\cdot3t^{2}-2t\cdot t^{3}=t^{4}\ne0であるから、命題 5.5と定理 5.2により、各区間の解はt2t^{2}とt3t^{3}の一次結合である。

    yyをR\Rの上のC2C^{2}級の解とすると、実数a,b,c,da,b,c,dについて、t>0t>0でy=at2+bt3y=at^{2}+bt^{3}、t<0t<0でy=ct2+dt3y=ct^{2}+dt^{3}である。y′′y''のt→0±t\to0^{\pm}の極限はそれぞれ2a2a、2c2cであり、y′′y''は00で連続であるからa=ca=cである。またy(0)=0y(0)=0である。逆に、実数a,b,da,b,dについてt≥0t\ge0でat2+bt3at^{2}+bt^{3}、t<0t<0でat2+dt3at^{2}+dt^{3}とおくと、00で値・一階導関数・二階導関数の左右の極限はそれぞれ00、00、2a2aで一致するのでC2C^{2}級であり、t=0t=0でも方程式は0=00=0として成り立つ。したがって解の全体は(a,b,d)∈R3(a,b,d)\in\R^{3}と線形同型であり、三次元である。y(0)=y′(0)=0y(0)=y'(0)=0はすべての解で成り立つので、a=0a=0とした解t3t^{3}（t≥0t\ge0）、00（t<0t<0）と零関数はどちらもこの初期値をもつ。正規形の次元定理定理 5.2は、最高階の係数が00になる点を含む区間には適用することができない。

  2. y1=t1/2y_{1}=t^{1/2}、y2=t1/2ln⁡ty_{2}=t^{1/2}\ln tとおく。y1′′=−14t−3/2y_{1}''=-\frac14t^{-3/2}であり、y2′=12t−1/2ln⁡t+t−1/2y_{2}'=\frac12t^{-1/2}\ln t+t^{-1/2}、y2′′=−14t−3/2ln⁡ty_{2}''=-\frac14t^{-3/2}\ln tであるから、どちらも方程式を満たす。W(y1,y2)=t1/2y2′−12t−1/2y2=1≠0W(y_{1},y_{2})=t^{1/2}y_{2}'-\frac12t^{-1/2}y_{2}=1\ne0であるから、命題 5.5により基本解系である。

    零でない解y=ay1+by2y=ay_{1}+by_{2}をとると、y′(t)=t−1/2(a2+b+b2ln⁡t)y'(t)=t^{-1/2}\bigl(\frac a2+b+\frac b2\ln t\bigr)である。b≠0b\ne0ならば括弧の絶対値はt→0+t\to0^{+}で∞\inftyへ発散し、b=0b=0ならばa≠0a\ne0で括弧はa/2≠0a/2\ne0である。どちらの場合もt−1/2→∞t^{-1/2}\to\inftyであるから∣y′(t)∣→∞|y'(t)|\to\inftyである。00を含む開区間の上のC1C^{1}級の延長があれば、y′y'は00の近くで有界になるので矛盾する。

  3. cos⁡t\cos tとsin⁡t\sin tは解であり、W(cos⁡,sin⁡)=cos⁡2t+sin⁡2t=1W(\cos,\sin)=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1であるから基本解系であり、S\mathcal Sの元はy=acos⁡t+bsin⁡ty=a\cos t+b\sin tと一意に書くことができる。E0(y)=(a,b)E_{0}(y)=(a,b)であるから、E0−1(a,b)=acos⁡t+bsin⁡tE_{0}^{-1}(a,b)=a\cos t+b\sin tである。

    B(acos⁡t+bsin⁡t)=(a,−a)B(a\cos t+b\sin t)=(a,-a)である。B(sin⁡)=(0,0)B(\sin)=(0,0)であるからBBは単射でなく、像は{(a,−a):a∈R}\{(a,-a):a\in\R\}であるから(0,1)(0,1)は像に属さず、BBは全射でない。B′(acos⁡t+bsin⁡t)=(a,b)B'(a\cos t+b\sin t)=(a,b)であるから、B′B'は全単射である。

▨

問題 7.2 (既知の解による次数低下). 区間(0,∞)(0,\infty)上の方程式

y′′−2ty′+2t2y=0y''-\frac{2}{t}y'+\frac{2}{t^2}y=0

には既知の解y1(t)=ty_1(t)=tがある。次数低下の公式を用いて、y1y_1と独立な解を一つ求めよ。得られた二つの解が基本解系をなすことを Wronskian により確認せよ。

解答.

P(t)=−2/tP(t)=-2/tである。基点をt∗=1t_*=1とすると、

exp⁡(−∫1sP(r) dr)=s2\exp\left(-\int_1^sP(r)\,dr\right)=s^2

であり、これをy1(s)2=s2y_1(s)^2=s^2で割った被積分関数は11になる。したがって次数低下の公式によりy2(t)=t(t−1)y_2(t)=t(t-1)が与えられる。既知の解の定数倍を加えても独立性は変わらないため、y~2(t)=y2(t)+y1(t)=t2\widetilde y_2(t)=y_2(t)+y_1(t)=t^2を第二の解として取ることができる。実際、

y~2′′−2ty~2′+2t2y~2=2−4+2=0\widetilde y_2''-\frac{2}{t}\widetilde y_2' +\frac{2}{t^2}\widetilde y_2 =2-4+2=0

であり、

W(y1,y~2)(t)=∣tt212t∣=t2≠0W(y_1,\widetilde y_2)(t) = \begin{vmatrix} t&t^2\\ 1&2t \end{vmatrix} =t^2\ne0

が(0,∞)(0,\infty)上で成り立つ。ゆえにt,t2t,t^2は基本解系をなす。▨

問題 7.3.P,QP,Qが連続な実数値関数の場合に、定理 6.1の表示を、y=y1vy=y_1vという置換から再構成せよ。具体的には、w=v′w=v'が満たす一次線形方程式を導き、積分因子によってwwを求め、得られたy2y_2を式 (6.1.1)へ直接代入せよ。さらに、W(y1,y2)W(y_1,y_2)を直接計算してy1,y2y_1,y_2が基本解系をなすことを示せ。

解答.

y=y1vy=y_1vと置くと

y′=y1′v+y1v′,y′′=y1′′v+2y1′v′+y1v′′y'=y_1'v+y_1v',\qquad y''=y_1''v+2y_1'v'+y_1v''

である。式 (6.1.1)の左辺へ代入すると

y′′+Py′+Qy=(y1′′+Py1′+Qy1)v+(2y1′+Py1)v′+y1v′′y''+Py'+Qy =(y_1''+Py_1'+Qy_1)v +(2y_1'+Py_1)v'+y_1v''

となる。y1y_1は式 (6.1.1)の解であるから、yyが式 (6.1.1)の解であるための条件は

y1v′′+(2y1′+Py1)v′=0y_1v''+(2y_1'+Py_1)v'=0

である。w=v′w=v'と置き、y1y_1がII上で零にならないことを用いてy1y_1で割ると

w′+(2y1′y1+P)w=0w'+\left(2\frac{y_1'}{y_1}+P\right)w=0

を得る。この一次線形方程式の積分因子は、零でない定数倍を除いて

y1(t)2exp⁡(∫t∗tP(r) dr)y_1(t)^2\exp\left(\int_{t_*}^{t}P(r)\,dr\right)

である。したがって、積分定数を選ぶことにより

w(t)=exp⁡(−∫t∗tP(r) dr)y1(t)2w(t)=\frac{\exp\left(-\int_{t_*}^{t}P(r)\,dr\right)}{y_1(t)^2}

を得る。実際、分子をE(t)E(t)と書けばE′=−PEE'=-PEであり、

w′=−Pw−2y1′y1ww'=-Pw-2\frac{y_1'}{y_1}w

であるから、このwwは上の一次線形方程式を満たす。

そこで

v(t)=∫t∗tw(s) ds,y2(t)=y1(t)v(t)v(t)=\int_{t_*}^{t}w(s)\,ds,\qquad y_2(t)=y_1(t)v(t)

と置く。v′=wv'=wであり、wwの方程式にy1y_1を掛けると

y1v′′+(2y1′+Py1)v′=0y_1v''+(2y_1'+Py_1)v'=0

となる。したがって、先に得た代入式の右辺は零であり、y2y_2は式 (6.1.1)の解である。

さらに

W(y1,y2)=y1(y1′v+y1v′)−y1′(y1v)=y12v′=exp⁡(−∫t∗tP(r) dr)≠0W(y_1,y_2) =y_1(y_1'v+y_1v')-y_1'(y_1v) =y_1^2v' =\exp\left(-\int_{t_*}^{t}P(r)\,dr\right) \ne0

が任意のt∈It\in Iで成り立つ。よって命題 5.5によりy1,y2y_1,y_2は基本解系をなす。▨

問題 7.4.f(t)=t3f(t)=t^3、g(t)=∣t∣3g(t)=|t|^3を実数全体で定義し、区間[−1,1][-1,1]への制限を考える。f,gf,gがともにC2C^2級であることを示せ。W(f,g)=fg′−f′gW(f,g)=fg'-f'gと定めるとき、W(f,g)W(f,g)が恒等的に零であること、およびf,gf,gが[−1,1][-1,1]上で線形独立であることも示せ。さらに、[−1,1][-1,1]を含む開区間上でf,gf,gが同じ連続係数の正規形二階線形斉次方程式の解ではあり得ない理由を、零初期値に対する一意性を用いて説明せよ。

解答.

ffは多項式であるからC2C^2級である。ggについては

g′(t)=3t∣t∣,g′′(t)=6∣t∣g'(t)=3t|t|,\qquad g''(t)=6|t|

が成り立つ。右辺はt=0t=0でも連続であるから、ggもC2C^2級である。

t>0t>0ではg=fg=fであり、t<0t<0ではg=−fg=-fである。したがってt≠0t\ne0ではW(f,g)(t)=0W(f,g)(t)=0である。またf(0)=g(0)=f′(0)=g′(0)=0f(0)=g(0)=f'(0)=g'(0)=0であるから、W(f,g)(0)=0W(f,g)(0)=0でもある。よってW(f,g)W(f,g)は[−1,1][-1,1]上で恒等的に零である。

af+bg=0af+bg=0が[−1,1][-1,1]上で成り立つと仮定する。t=1t=1を代入するとa+b=0a+b=0であり、t=−1t=-1を代入すると−a+b=0-a+b=0である。これらの二式からa=b=0a=b=0を得るため、f,gf,gは線形独立である。

区間[−1,1][-1,1]を含む開区間II上の連続関数P,Q:I→RP,Q:I\to\Rに対して、ffとggがともに

y′′+P(t)y′+Q(t)y=0y''+P(t)y'+Q(t)y=0

の解であると仮定する。特にffはf(0)=f′(0)=0f(0)=f'(0)=0を満たす。この初期値をもつ解は一意であり、零解も同じ初期値をもつから、ffは[−1,1][-1,1]上で零解に一致しなければならない。しかしf(1)=1f(1)=1であるため、この結論と両立しない。したがってf,gf,gは同じ連続係数の正規形二階線形斉次方程式の解ではない。Wronskian が恒等的に零であることから線形従属性が導かれる命題 5.5は、同じ方程式の解に対する主張である。▨

参考文献

  1. Earl A. Coddington and Norman Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw Hill, 1955.線形微分方程式の基本理論を参考にした。
  2. Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2012.高階線形方程式と一階連立系の対応、解空間の次元、次数低下を参考にした。

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