§E22.10微分形式と外積・引き戻し

証明.$B\in\operatorname{Alt}^k(V)$を取る。$B$は交代$k$重線形写像であるから、§E3.14 定理 1.3により、$\bigwedge^kV$上の線形形式$\widetilde B$であって$\widetilde B(v_1\wedge\cdots\wedge v_k)=B(v_1,\dots,v_k)$を満たすものがただ一つ存在する。$\Lambda(B):=\widetilde B$と定めると、$\Lambda$は well-defined である。

$\Lambda$の線形性を見る。$B,B'\in\operatorname{Alt}^k(V)$、$c\in\R$に対し、$\Lambda(B)+c\Lambda(B')$は線形形式であり、純外積$v_1\wedge\cdots\wedge v_k$の上で$B(v_1,\dots,v_k)+cB'(v_1,\dots,v_k)$、すなわち$(B+cB')(v_1,\dots,v_k)$の値を取る。純外積は$\bigwedge^kV$を生成するので、普遍性における一意性から$\Lambda(B+cB')=\Lambda(B)+c\Lambda(B')$である。

逆写像を作る。$\varphi\in(\bigwedge^kV)^\vee$に対し$\Xi(\varphi)(v_1,\dots,v_k):=\varphi(v_1\wedge\cdots\wedge v_k)$と定める。対応$(v_1,\dots,v_k)\mapsto v_1\wedge\cdots\wedge v_k$は各変数について線形であり、二つの引数が等しいとき値が$0$になる（§E3.14 定義 1.1）ので、$\Xi(\varphi)$は交代$k$重線形形式である。定義から$\Xi(\Lambda(B))=B$である。また$\Lambda(\Xi(\varphi))$と$\varphi$は純外積の上で一致し、純外積が$\bigwedge^kV$を生成するので$\Lambda(\Xi(\varphi))=\varphi$である。したがって$\Lambda$は全単射であり、線形同型である。▨

証明. はじめに、行列式について次を確かめる。置換にわたる展開の各項$\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{k\sigma(k)}$は、各行からちょうど一つ、各列からちょうど一つの成分を含む。したがって行列式は行についても列についても多重線形である。また二つの行が等しいとき、$\sigma$とその二つの添字の互換との合成$\sigma'$を対応させると、$\sigma$の項と$\sigma'$の項は同じ積を持ち符号が反対であるから相殺する。よって行列式は行について交代的であり、列についても同様である。

まず$\alpha^1,\dots,\alpha^k\in V^\vee$を固定し、

と定める。$v_j$は第$j$列だけに現れるので、上で確かめたことから$D_\alpha$は交代$k$重線形形式である。よって補題 1.2により、線形形式$\Lambda(D_\alpha)\in(\bigwedge^kV)^\vee$が定まる。

次に、対応$(\alpha^1,\dots,\alpha^k)\mapsto\Lambda(D_\alpha)$を見る。行列式は行についても多重線形かつ交代的であり、$\alpha^i$は第$i$行だけに現れるので、この対応は$(V^\vee)^k$上の交代$k$重線形写像である。よって§E3.14 定理 1.3を$V^\vee$に対して適用すると、線形写像$\Phi$であって$\Phi(\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^k)=\Lambda(D_\alpha)$を満たすものがただ一つ存在する。これが表示した等式である。

$\Phi$が同型であることを示す。$(e_1,\dots,e_n)$を$V$の基底、$(e^1,\dots,e^n)$をその双対基底とする（§E3.5 定理 1.2）。とくに$\dim V^\vee=n$である。§E3.14 定理 2.1により、増加添字$I=(i_1<\cdots<i_k)$に対する$e_I=e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}$の全体が$\bigwedge^kV$の基底であり、同じ定理を$V^\vee$に適用すると$e^I=e^{i_1}\wedge\cdots\wedge e^{i_k}$の全体が$\bigwedge^k(V^\vee)$の基底である。どちらの次元も$\binom nk$であり、§E3.5 定理 1.2により$(\bigwedge^kV)^\vee$の次元も$\binom nk$である。

増加添字$I=(i_1<\cdots<i_k)$と$J=(j_1<\cdots<j_k)$に対し

である。$I=J$ならばこの行列は単位行列であり、値は$1$である。$I\ne J$ならば、$I$に属して$J$に属さない添字$i_a$が存在するので第$a$行が零ベクトルであり、値は$0$である。したがって$\Phi$は基底$\{e^I\}$を、基底$\{e_J\}$の双対基底へ写す。基底を基底へ写す線形写像は同型であるから、$\Phi$は同型である。▨

証明.$\Psi_V=\Lambda^{-1}\circ\Phi$と定める。補題 1.2と補題 1.3により、これは線形同型である。表示した等式は$\Lambda$と$\Phi$の定義から従う。一意性は、純外積$\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^k$が$\bigwedge^k(V^\vee)$を生成することによる。$k=1$のときは$\det$が$1$次行列の唯一の成分であるから、$\Psi_V(\alpha)(v)=\alpha(v)$である。▨

証明.§E22.4 定理 4.4により、$M$のチャート$(U,\varphi)$と各ファイバーの基底$\{dx^I|_p\}$から、$\Lambda^kT^*M$のチャート

が作られ、$C^\infty$構造が与えられる。ここで$\pi:\Lambda^kT^*M\to M$は射影であり、$(\eta_I)$は$\eta$の基底$\{dx^I\}$に関する成分である。

このチャートで切断$\omega$を表示すると、$\varphi(U)$から$\varphi(U)\times\R^{\binom nk}$への写像$x\mapsto\bigl(x,\ ((\omega_I\circ\varphi^{-1})(x))_I\bigr)$になる。この写像が$C^\infty$であることと、各$\omega_I\circ\varphi^{-1}$が$C^\infty$であることは同値である。よって(a)$\Leftrightarrow$(b)が成り立つ。滑らかさが局所的な性質であり、極大アトラスの任意の二つのチャートの座標変換が$C^\infty$であること（§E22.1 定義 2.2）から、(c)$\Rightarrow$(b)が従う。(b)$\Rightarrow$(c)は自明である。▨

証明.主張 (1)を示す。各ファイバー$\bigwedge^k(T^*_pM)$は$\R$上の線形空間であるから、三つの演算は各点で定まる。$k\ge 1$のとき、結果がふたたび$C^\infty$切断であることは命題 2.2の成分による判定から従う。実際、チャートを取ると$\omega+\eta$、$c\omega$、$f\omega$の成分はそれぞれ$\omega_I+\eta_I$、$c\,\omega_I$、$f\,\omega_I$であり、$C^\infty$関数の和・実数倍・積として$C^\infty$である。$k=0$のときは、主張 (2)により$\Omega^0(M)=C^\infty(M)$であり、三つの演算は関数の和・実数倍・積であるから結果はふたたび$C^\infty$関数である。加群の公理は各点で確かめることができる。

主張 (2)を示す。§E3.14 定義 1.1により$\bigwedge^0(T^*_pM)=\R$であるから、$\Lambda^0T^*M$の切断は$M$上の実数値関数と同一視され、$C^\infty$切断は$C^\infty$関数に対応する。

主張 (3)を示す。$\dim T^*_pM=n$であるから、$k>n$のとき§E3.14 定理 2.1により$\bigwedge^k(T^*_pM)=\{0\}$である。よって切断は零切断だけである。▨

証明. 各点で$\Psi_{T_pM}$が線形同型であることから、対応$\omega(p)\mapsto\omega_p$は各ファイバーで全単射である。切断の水準では、これは各点ごとに全単射を適用することであるから、ふたたび全単射である。▨

証明. 多重線形性は、定義式の各項が各$v_m$について線形であることから従う。双線形性も、定義式が$\alpha$と$\beta$のそれぞれについて線形であることから従う。

置換に対する符号を見る。$\pi\in S_{k+l}$を固定し、$w_m=v_{\pi(m)}$と置く。定義式で$\alpha$の引数は$w_{\sigma(1)},\dots,w_{\sigma(k)}$、すなわち$v_{\pi\sigma(1)},\dots,v_{\pi\sigma(k)}$である。$\beta$についても同様である。そこで$\sigma'=\pi\sigma$と置くと、$\sigma$が$S_{k+l}$を一巡するとき$\sigma'$も$S_{k+l}$を一巡し、$\operatorname{sgn}(\sigma)=\operatorname{sgn}(\pi^{-1}\sigma')=\operatorname{sgn}(\pi)\operatorname{sgn}(\sigma')$である。よって

となり、表示した等式を得る。二つの引数$v_a,v_b$（$a\ne b$）が等しいときは、$\pi$として互換$(a\ b)$を取ると左辺が元の値に等しく右辺が$-1$倍であるから、値は$0$である。よって$\alpha\wedge\beta$は交代的である。▨

証明.$\tau\in S_k$と$\rho\in S_l$に対し、$\tau\oplus\rho\in S_{k+l}$を、$\{1,\dots,k\}$の上で$\tau$、$\{k+1,\dots,k+l\}$の上で$m\mapsto k+\rho(m-k)$として定める。$H=\{\tau\oplus\rho:\tau\in S_k,\ \rho\in S_l\}$は$S_{k+l}$の部分群であり、位数は$k!\,l!$である。

定義式の被加数を$F(\sigma)$と書く。$\sigma$を$\sigma\circ(\tau\oplus\rho)$へ取り替えると、$\alpha$の引数は$\tau$によって、$\beta$の引数は$\rho$によって置換される。$\alpha$と$\beta$が交代的であるから、その効果は$\operatorname{sgn}(\tau)\operatorname{sgn}(\rho)$倍である。一方$\operatorname{sgn}(\sigma\circ(\tau\oplus\rho))=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)\operatorname{sgn}(\rho)$であるから、$F(\sigma\circ(\tau\oplus\rho))=F(\sigma)$である。すなわち$F$は右剰余類$\sigma H$の上で定数である。

各右剰余類$\sigma H$は、集合$\{\sigma(1),\dots,\sigma(k)\}$を定める。逆に$\{1,\dots,k+l\}$の$k$元部分集合$S$を与えると、$\sigma(1)<\cdots<\sigma(k)$が$S$の元を昇順に並べ、$\sigma(k+1)<\cdots<\sigma(k+l)$が補集合の元を昇順に並べるような$\sigma$がただ一つ定まる。これが$\operatorname{Sh}(k,l)$の元であり、対応する剰余類にちょうど一つ属する。剰余類の元の個数は$|H|=k!\,l!$であるから、定義式の和は

に等しい。▨

証明.$P_1(\alpha_1)=\alpha_1$は定義から直ちに従う。$P_r$が引数の置換に対して符号だけ変わることは、命題 3.2の証明と同じ置き換え$\sigma'=\pi\sigma$によって従い、そこから交代性が従う。

第一の等式を示す。$p=k_1+\cdots+k_{r-1}$、$m=k_r$、$N=p+m$と置く。$\gamma=P_{r-1}(\alpha_1,\dots,\alpha_{r-1})$は$\operatorname{Alt}^p(V)$の元であるから、定義 3.1により

である。ここへ$\gamma$の定義を代入する。$w_j=v_{\sigma(j)}$（$j=1,\dots,p$）と置くと

であり、$w_{\tau(j)}=v_{\sigma(\tau(j))}$である。$\tau\in S_p$を、$\{p+1,\dots,N\}$の上で恒等写像として$S_N$の元$\widetilde\tau$へ延長し、$\mu=\sigma\circ\widetilde\tau$と置く。$\widetilde\tau$は$\{p+1,\dots,N\}$を動かさないので$\mu(p+j)=\sigma(p+j)$であり、$\operatorname{sgn}(\mu)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$である。$\tau$を固定するごとに$\sigma\mapsto\mu$は$S_N$の全単射であるから、二重和は

になる。内側の和は$\tau$に依らないので、$\tau$にわたる和は$p!$倍を与える。よって値は

である。

第二の等式も同じ手順で従う。$q=k_2+\cdots+k_r$と置き、$\delta=P_{r-1}(\alpha_2,\dots,\alpha_r)\in\operatorname{Alt}^q(V)$とする。$\alpha_1\wedge\delta$の定義式へ$\delta$の展開を代入し、$\{k_1+1,\dots,N\}$の上の置換$\tau$を$\{1,\dots,k_1\}$の上で恒等写像として$S_N$へ延長して$\mu=\sigma\circ\widetilde\tau$と置くと、同じ計算によって$P_r(\alpha_1,\dots,\alpha_r)$を得る。▨

証明.$k,l,m$のいずれかが$0$の場合は、外積がスカラー倍になるので両方の等式は直ちに従う。以下、$k,l,m\ge 1$とする。

結合性は命題 3.4を$r=3$に適用すると得られる。実際、同命題の第一の等式から$P_3(\alpha,\beta,\gamma)=P_2(\alpha,\beta)\wedge\gamma=(\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma$が、第二の等式から$P_3(\alpha,\beta,\gamma)=\alpha\wedge P_2(\beta,\gamma)=\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma)$が得られる。

次数付き交換性を示す。$N=k+l$とし、$\theta\in S_N$を

で定める。列$\theta(1),\dots,\theta(N)$は$k+1,k+2,\dots,k+l,1,2,\dots,k$であり、前半どうし、後半どうしはいずれも増加している。前半の元はすべて$k$より大きく、後半の元はすべて$k$以下であるから、転倒（$i<j$かつ$\theta(i)>\theta(j)$となる対）の個数はちょうど$kl$である。したがって$\operatorname{sgn}(\theta)=(-1)^{kl}$である。

定義から

である。$\sigma=\mu\circ\theta$と置くと、$\sigma$が$S_N$を一巡するとき$\mu$も一巡する。$1\le i\le l$に対し$\sigma(i)=\mu(\theta(i))=\mu(k+i)$、$1\le j\le k$に対し$\sigma(l+j)=\mu(j)$であるから、被加数は

になる。$\alpha$と$\beta$の値は実数であるから積の順序を入れ替えることができ、$\mu$にわたる和と係数$1/(k!\,l!)$を合わせると$\operatorname{sgn}(\theta)\,(\alpha\wedge\beta)(v_1,\dots,v_N)$を得る。したがって$\beta\wedge\alpha=(-1)^{kl}\alpha\wedge\beta$であり、両辺に$(-1)^{kl}$を掛けると表示した等式になる。