§E22.16Stokes の定理

最終更新

微積分学の基本定理では、区間の内部での導関数の積分が、区間の端点での値の差に等しいと述べられる。§E4 実解析 IIの Green の定理、発散定理および古典的な Stokes の定理は、いずれも同じ形をしている。左辺は領域の内部での微分の積分であり、右辺は境界での積分である。

本単元のこれまでの記事で、任意の次元の向きづけられた境界付き多様体の上で最高次形式を積分する手立てと、外微分によって次数を一つ上げる手立てがそろった。この二つの手立てを組み合わせると、Green の定理、発散定理および古典的な Stokes の定理は

∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega

という一つの等式の特別な場合として得られる。本記事ではこの等式を証明し、三次元の古典的な形との対応を明示する。

証明の骨組みは二段である。第一に、1の分割を用いて、台が一つのチャートに収まる場合へ帰着させる。第二に、半空間Hn\mathbb{H}^nの上でこの場合を累次積分と微積分学の基本定理によって直接計算する。第二段で用いる任意の正の有限次元の閉直方体上の累次積分定理は、§E4 実解析 IIの§E4.12 定理 1.1による。

以下、MMは向きづけられたnn次元C∞C^\infty境界付き多様体（n≥1n\ge 1）とする。次元の制限は置かない。許容領域とZ(D)Z(D)の記号は§E22.15 向きと多様体上の積分に従い、00次元多様体の上の積分は§E22.15 定義 2.2の約束に従う。

1 定理の主張

定理 1.1 (Stokes の定理).MMを向きづけられたnn次元C∞C^\infty境界付き多様体（n≥1n\ge 1）、ω∈Ωcn−1(M)\omega\in\Omega^{n-1}_c(M)とする。ι ⁣:∂M→M\iota\colon\partial M\to Mを包含写像とし、∂M\partial Mに§E22.14 定義 8.4の誘導向きを与える。このとき

∫Mdω=∫∂Mι∗ω\int_M d\omega=\int_{\partial M}\iota^*\omega

が成り立つ。∂M=∅\partial M=\varnothingのときは右辺を00と読む。

∂M\partial Mの誘導向きは、外向きのベクトルを先に置く規約によって定める（§E22.14 定義 8.4）。

dω∈Ωcn(M)d\omega\in\Omega^n_c(M)である（supp⁡dω⊆supp⁡ω\operatorname{supp}d\omega\subseteq\operatorname{supp}\omegaは、外微分が局所的であること（§E22.11 補題 2.2）による）。またι∗ω∈Ωcn−1(∂M)\iota^*\omega\in\Omega^{n-1}_c(\partial M)である（台はsupp⁡ω∩∂M\operatorname{supp}\omega\cap\partial Mの閉部分集合であるからコンパクトである）。∂M≠∅\partial M\ne\varnothingのとき、∂M\partial Mは境界を持たない(n−1)(n-1)次元多様体である（§E22.14 定理 2.6）から、右辺は§E22.15 向きと多様体上の積分の意味で定まる。

証明方針。出発点は積分の定義そのもの、すなわち向きを保つチャートによる被覆に従属する1の分割である。supp⁡ω\operatorname{supp}\omegaがコンパクトであることから、寄与する添字の有限集合A0A_0が定まり、ω\omegaは有限和∑α∈A0ψαω\sum_{\alpha\in A_0}\psi_\alpha\omegaに等しい。外微分と二つの積分はいずれも線形であるから、各項について定理を示せばよい。各項の台は一つのチャートに収まるので、そのチャートでRn\R^nの側へ引き戻すと、問題は「半空間の相対開集合の上で、台がコンパクトな(n−1)(n-1)次形式について等式を示すこと」に帰着する。半空間の場合は、外微分の座標表示dη=∑i=1n(−1)i−1∂ifi dx1∧⋯∧dxnd\eta=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\partial_if_i\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^nを書き、§E4.12 定理 1.1で各項を一変数ずつ積分する。台がコンパクトであることからi<ni<nの項は消え、i=ni=nの項だけが境界からの寄与を残す。最後に、その寄与の符号が§E22.14 定義 8.4の規約から決まる符号と相殺することを確かめる。境界チャートの局所モデルがHn\mathbb{H}^nであるかH−n\mathbb{H}^n_{-}であるかによって両辺の符号は(−1)n(-1)^nと(−1)n−1(-1)^{n-1}に分かれるが、二つの辺で同じように分かれるので相殺する。n=1n=1では境界が00次元になるので、右辺は符号つきの有限和として読む。

2 半空間の場合

補題 2.1.n≥1n\ge 1とし、D⊆RnD\subseteq\R^nを許容領域、η∈Ωn−1(D)\eta\in\Omega^{n-1}(D)を台がコンパクトかつDDに含まれるものとする。

η=∑i=1nfi dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn\eta=\sum_{i=1}^{n}f_i\,dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\cdots\wedge dx^n

と表し（dxi^\widehat{dx^i}はその因子を省くことを表す。n=1n=1のときはη=f1\eta=f_1という00次形式である）、各fif_iをDDの外で00として延長したものを同じ記号で表す。このとき次が成り立つ。

  1. DDがRn\R^nの開集合であるならば∫D(dη の成分)=0\displaystyle\int_D(d\eta\ \text{の成分})=0である。
  2. DDがHn\mathbb{H}^nの相対開集合であるならば、supp⁡fn(⋅,0)\operatorname{supp}f_n(\cdot,0)を含む十分大きい閉長方形R′=∏i=1n−1[−c,c]⊆Rn−1R'=\prod_{i=1}^{n-1}[-c,c]\subseteq\R^{n-1}を取って ∫D(dη の成分)=(−1)n∫R′fn(x′,0) dx′\int_D(d\eta\ \text{の成分})=(-1)^{n}\int_{R'}f_n(x',0)\,dx' である。
  3. DDがH−n\mathbb{H}^n_{-}の相対開集合であるならば、同じR′R'に対して ∫D(dη の成分)=(−1)n−1∫R′fn(x′,0) dx′\int_D(d\eta\ \text{の成分})=(-1)^{n-1}\int_{R'}f_n(x',0)\,dx' である。

n=1n=1のときはRn−1=R0\R^{n-1}=\R^0は一点集合であり、R′R'もその一点、∫R′g(x′) dx′\int_{R'}g(x')\,dx'はggの値そのものと読む。この読み方のもとで主張 (2)では∫H1f1′ dx1=−f1(0)\int_{\mathbb{H}^1}f_1'\,dx^1=-f_1(0)、主張 (3)では∫H−1f1′ dx1=f1(0)\int_{\mathbb{H}^1_{-}}f_1'\,dx^1=f_1(0)が述べられている。

証明. 延長したfif_iがRn\R^n（またはHn\mathbb{H}^n）の上でC∞C^\inftyであることを確かめる。K=supp⁡ηK=\operatorname{supp}\etaはコンパクトでDDに含まれる。DDと（Hn\mathbb{H}^nまたはRn\R^nの中での）KKの補集合は開被覆をなし、共通部分の上でfi=0f_i=0であるから、延長はC∞C^\inftyである。

外微分を計算する。§E22.11 定理 2.4により

d(fi dx1∧⋯dxi^⋯∧dxn)=dfi∧dx1∧⋯dxi^⋯∧dxnd\Bigl(f_i\,dx^1\wedge\cdots\widehat{dx^i}\cdots\wedge dx^n\Bigr) =df_i\wedge dx^1\wedge\cdots\widehat{dx^i}\cdots\wedge dx^n

であり、dfi=∑j=1n∂jfi dxjdf_i=\sum_{j=1}^{n}\partial_jf_i\,dx^jのうちj≠ij\ne iの項は同じ因子を二度含むので消える（§E22.10 系 3.6）。残るj=ij=iの項では、dxidx^iを先頭から第iiの位置へ移すのにi−1i-1回の入れ替えを要するので

dη=∑i=1n(−1)i−1 ∂fi∂xi  dx1∧⋯∧dxnd\eta=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\,\frac{\partial f_i}{\partial x^i}\;dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

である。

主張 (1)を示す。c>0c>0を、K⊆(−c,c)nK\subseteq(-c,c)^nとなるように取り、R=[−c,c]nR=[-c,c]^nと置く。§E22.15 定義 1.1により、求める積分は∫R∑i=1n(−1)i−1∂ifi\int_R\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\partial_if_iである。§E4.12 定理 1.1により、ii番目の項はxix^iについて先に積分することができ、微積分学の基本定理により

∫−cc∂fi∂xi dxi=fi(…,c,… )−fi(…,−c,… )=0\int_{-c}^{c}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}\,dx^i=f_i(\dots,c,\dots)-f_i(\dots,-c,\dots)=0

である（supp⁡fi⊆(−c,c)n\operatorname{supp}f_i\subseteq(-c,c)^nによる）。残る(n−1)(n-1)重積分の被積分関数が00であるから、各項は00である。

主張 (2)を示す。c>0c>0を、K⊆(−c,c)n−1×[0,c)K\subseteq(-c,c)^{n-1}\times[0,c)となるように取り、R=[−c,c]n−1×[0,c]R=[-c,c]^{n-1}\times[0,c]、R′=[−c,c]n−1R'=[-c,c]^{n-1}と置く。i<ni<nの項については、主張 (1)と同じくxix^iについて先に積分すると00になる（xix^iの範囲は[−c,c][-c,c]であり、台は∣xi∣<c|x^i|<cに含まれる）。i=ni=nの項については、xnx^nについて先に積分すると

∫0c∂fn∂xn dxn=fn(x′,c)−fn(x′,0)=−fn(x′,0)\int_0^{c}\frac{\partial f_n}{\partial x^n}\,dx^n=f_n(x',c)-f_n(x',0)=-f_n(x',0)

である（supp⁡fn⊆{xn<c}\operatorname{supp}f_n\subseteq\{x^n<c\}による）。したがって

∫D(dη の成分)=(−1)n−1∫R′(−fn(x′,0)) dx′=(−1)n∫R′fn(x′,0) dx′\int_D(d\eta\ \text{の成分})=(-1)^{n-1}\int_{R'}\bigl(-f_n(x',0)\bigr)\,dx'=(-1)^{n}\int_{R'}f_n(x',0)\,dx'

である。

主張 (3)を示す。c>0c>0を、K⊆(−c,c)n−1×(−c,0]K\subseteq(-c,c)^{n-1}\times(-c,0]となるように取り、R=[−c,c]n−1×[−c,0]R=[-c,c]^{n-1}\times[-c,0]と置く。i<ni<nの項が消えることは主張 (2)と同じである。i=ni=nの項については

∫−c0∂fn∂xn dxn=fn(x′,0)−fn(x′,−c)=fn(x′,0)\int_{-c}^{0}\frac{\partial f_n}{\partial x^n}\,dx^n=f_n(x',0)-f_n(x',-c)=f_n(x',0)

であるから

∫D(dη の成分)=(−1)n−1∫R′fn(x′,0) dx′\int_D(d\eta\ \text{の成分})=(-1)^{n-1}\int_{R'}f_n(x',0)\,dx'

である。▨

3 1の分割による局所化

補題 3.1.MMをC∞C^\infty境界付き多様体、{Uα}α∈A\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}を開被覆、{ψα}α∈A\{\psi_\alpha\}_{\alpha\in A}を従属する滑らかな1の分割、ω∈Ωck(M)\omega\in\Omega^{k}_c(M)とする。K=supp⁡ωK=\operatorname{supp}\omegaと置き、A0={α∣supp⁡ψα∩K≠∅}A_0=\{\alpha\mid\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K\ne\varnothing\}と置く。このときA0A_0は有限集合であり、

ω=∑α∈A0ψαω（M の全体で成り立つ有限和）\omega=\sum_{\alpha\in A_0}\psi_\alpha\omega \qquad\text{（$M$ の全体で成り立つ有限和）}

であり、ψ=∑α∈A0ψα\psi=\sum_{\alpha\in A_0}\psi_\alphaはKKのある開近傍の上で恒等的に11である。とくにdψ∧ω=0d\psi\wedge\omega=0がMMの全体で成り立ち、

dω=∑α∈A0d(ψαω)d\omega=\sum_{\alpha\in A_0}d(\psi_\alpha\omega)

である。各ψαω\psi_\alpha\omegaの台はコンパクトかつUαU_\alphaに含まれる。

証明.A0A_0が有限であることと、α∉A0\alpha\notin A_0に対してψαω=0\psi_\alpha\omega=0であること、および各ψαω\psi_\alpha\omegaの台がコンパクトかつUαU_\alphaに含まれることは§E22.15 補題 2.3で示した。したがってω=∑α∈Aψαω=∑α∈A0ψαω\omega=\sum_{\alpha\in A}\psi_\alpha\omega=\sum_{\alpha\in A_0}\psi_\alpha\omegaである。

ψ\psiがKKの開近傍の上で11であることを示す。p∈Kp\in Kを取る。族{supp⁡ψα}\{\operatorname{supp}\psi_\alpha\}は局所有限であるから、ppを含む開集合O1O_1で、O1∩supp⁡ψα≠∅O_1\cap\operatorname{supp}\psi_\alpha\ne\varnothingとなるα\alphaが有限個F={α1,…,αr}F=\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\}しかないものが存在する。α∈F∖A0\alpha\in F\setminus A_0に対してはsupp⁡ψα∩K=∅\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K=\varnothingであるから、M∖supp⁡ψαM\setminus\operatorname{supp}\psi_\alphaはppを含む開集合である。

O=O1∩⋂α∈F∖A0(M∖supp⁡ψα)O=O_1\cap\bigcap_{\alpha\in F\setminus A_0}\bigl(M\setminus\operatorname{supp}\psi_\alpha\bigr)

と置くと、OOは有限個の開集合の共通部分であるから開集合でありp∈Op\in Oである。OOの上では、α∉F\alpha\notin Fならばψα=0\psi_\alpha=0、α∈F∖A0\alpha\in F\setminus A_0ならばψα=0\psi_\alpha=0であるから

1=∑α∈Aψα=∑α∈F∩A0ψα=∑α∈A0ψα=ψ1=\sum_{\alpha\in A}\psi_\alpha=\sum_{\alpha\in F\cap A_0}\psi_\alpha=\sum_{\alpha\in A_0}\psi_\alpha=\psi

である（三番目の等号は、α∈A0∖F\alpha\in A_0\setminus Fに対してOOの上でψα=0\psi_\alpha=0であることによる）。KKの各点についてこのようなOOを取り、その合併を取ればKKの開近傍が得られる。

dψd\psiはこの近傍の上で00であり、ω\omegaはKKの外で00であるから、dψ∧ω=0d\psi\wedge\omega=0がMMの全体で成り立つ。最後に、ddは線形であり和は有限であるからdω=∑α∈A0d(ψαω)d\omega=\sum_{\alpha\in A_0}d(\psi_\alpha\omega)である。▨

注意 3.2 (1の分割の微分の和が消えることの意味).d(ψαω)=dψα∧ω+ψα dωd(\psi_\alpha\omega)=d\psi_\alpha\wedge\omega+\psi_\alpha\,d\omegaであるから（§E22.11 定義 2.1 条件 (c)を00次形式ψα\psi_\alphaへ適用した）、α∈A0\alpha\in A_0について加えると

∑α∈A0d(ψαω)=(∑α∈A0dψα)∧ω+ψ dω=dψ∧ω+ψ dω\sum_{\alpha\in A_0}d(\psi_\alpha\omega)=\Bigl(\sum_{\alpha\in A_0}d\psi_\alpha\Bigr)\wedge\omega+\psi\,d\omega =d\psi\wedge\omega+\psi\,d\omega

である。補題 3.1により第一項は00であり、ψ\psiはK⊇supp⁡dωK\supseteq\operatorname{supp}d\omegaの近傍で11であるから第二項はdωd\omegaである。すなわち分解の途中で余分な項が現れない。この打ち消しは、ψ\psiがKKの一点で11になることではなく、KKの開近傍の上で恒等的に11になることから従う。ψ≤1\psi\le 1かつψ(p)=1\psi(p)=1という最大性だけでは、ppが∂M\partial Mの点であるときにdψp=0d\psi_p=0を導くことができない（第nn方向の片側微分は00以下であるとしか言えない）。

4 主定理の証明

証明.定理 1.1を示す。

第一段（線形性による帰着）。MMの向きを保つ境界付きチャートからなるアトラス{(Uα,φα)}α∈A\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}と、従属する滑らかな1の分割{ψα}\{\psi_\alpha\}を取る（§E22.14 定理 6.4、§E22.14 補題 5.1）。補題 3.1により、有限集合A0A_0が定まり

ω=∑α∈A0ψαω,dω=∑α∈A0d(ψαω)\omega=\sum_{\alpha\in A_0}\psi_\alpha\omega, \qquad d\omega=\sum_{\alpha\in A_0}d(\psi_\alpha\omega)

である。∫M\int_Mと∫∂M\int_{\partial M}は線形であり（§E22.15 命題 2.6 (1)）、ι∗\iota^*も線形であるから、各ψαω\psi_\alpha\omegaについて定理を示せば十分である。したがって以下、supp⁡ω\operatorname{supp}\omegaが向きを保つ一つの境界付きチャート(U,φ)(U,\varphi)の定義域に含まれるとしてよい。

第二段（チャートへの引き戻し）。D=φ(U)D=\varphi(U)は許容領域であり、η=(φ−1)∗ω∈Ωn−1(D)\eta=(\varphi^{-1})^*\omega\in\Omega^{n-1}(D)の台はコンパクトかつDDに含まれる。supp⁡dω⊆supp⁡ω⊆U\operatorname{supp}d\omega\subseteq\operatorname{supp}\omega\subseteq Uであるから、§E22.15 命題 2.6 (3)により

∫Mdω=∫D((φ−1)∗(dω) の成分)\int_Md\omega=\int_{D}\bigl((\varphi^{-1})^*(d\omega)\ \text{の成分}\bigr)

である。§E22.11 命題 3.1により(φ−1)∗(dω)=dη(\varphi^{-1})^*(d\omega)=d\etaであるから、右辺は補題 2.1の左辺である。

第三段（内部チャートの場合）。(U,φ)(U,\varphi)が内部チャートであるとする。このときD=φ(U)D=\varphi(U)はRn\R^nの開集合である。実際、内部チャートの像は、Rn\R^nの開集合であるか、またはHn\mathbb{H}^nの相対開集合で∂Hn\partial\mathbb{H}^nと交わらないものであり、後者はInt⁡Hn\operatorname{Int}\mathbb{H}^nに含まれるのでRn\R^nの開集合である。補題 2.1 (1)により∫Mdω=0\int_Md\omega=0である。一方U∩∂M=∅U\cap\partial M=\varnothingでありsupp⁡ω⊆U\operatorname{supp}\omega\subseteq Uであるから、∂M\partial Mの各点でω=0\omega=0でありι∗ω=0\iota^*\omega=0である。よって∫∂Mι∗ω=0\int_{\partial M}\iota^*\omega=0であり、両辺は一致する。∂M=∅\partial M=\varnothingの場合もこの場合に含まれる。

公式 4.1. 第四段（境界チャートの場合）。(U,φ=(x1,…,xn))(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))が境界チャートであるとし、その型の符号をϵ=ϵφ∈{+1,−1}\epsilon=\epsilon_\varphi\in\{+1,-1\}と書く（§E22.14 定義 8.1）。補題 2.1 (2)と補題 2.1 (3)をまとめると

∫Mdω=(−1)nϵ∫R′fn(x′,0) dx′\int_Md\omega=(-1)^{n}\epsilon\int_{R'}f_n(x',0)\,dx'(4.1.1)\text{(4.1.1)}

である（ϵ=+1\epsilon=+1が補題 2.1 (2)、ϵ=−1\epsilon=-1が補題 2.1 (3)である。(−1)n⋅(−1)=(−1)n−1(-1)^{n}\cdot(-1)=(-1)^{n-1}）。ここでfnf_nはη\etaのdx1∧⋯∧dxn−1dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}に付く成分であり、R′=[−c,c]n−1R'=[-c,c]^{n-1}はsupp⁡fn(⋅,0)\operatorname{supp}f_n(\cdot,0)を含む十分大きい閉長方形である。n=1n=1のときはR′R'は一点であり、右辺は−ϵf1(0)-\epsilon f_1(0)と読む。

右辺を計算する。以下n≥2n\ge 2とし、n=1n=1の場合は第五段で別に扱う。§E22.14 定理 2.6により(U∂,φ∂)=(U∩∂M,(x1,…,xn−1))(U^\partial,\varphi^\partial)=(U\cap\partial M,(x^1,\dots,x^{n-1}))は∂M\partial Mのチャートであり、φ∂(U∂)\varphi^\partial(U^\partial)はRn−1\R^{n-1}の開集合である。j ⁣:φ∂(U∂)→Dj\colon\varphi^\partial(U^\partial)\to Dをj(x′)=(x′,0)j(x')=(x',0)とするとφ∘ι∘(φ∂)−1=j\varphi\circ\iota\circ(\varphi^\partial)^{-1}=jである。したがって§E22.10 命題 5.2により

((φ∂)−1)∗(ι∗ω)=j∗((φ−1)∗ω)=j∗η\bigl((\varphi^\partial)^{-1}\bigr)^*\bigl(\iota^*\omega\bigr)=j^*\bigl((\varphi^{-1})^*\omega\bigr)=j^*\eta

である。jjの成分はx1,…,xn−1,0x^1,\dots,x^{n-1},0であるから§E22.10 命題 5.4によりj∗(dxi)=dxij^*(dx^i)=dx^i（i≤n−1i\le n-1）、j∗(dxn)=0j^*(dx^n)=0である。よってη\etaの表示のうちdxndx^nを因子に含む項、すなわちi≠ni\ne nの項はすべて00へ写り、

j∗η=fn(x′,0) dx1∧⋯∧dxn−1j^*\eta=f_n(x',0)\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}

である。

(U∂,φ∂)(U^\partial,\varphi^\partial)が誘導向きについて向きを保つかどうかを調べる。MMの向き形式をμ\muとし、UUの上でμ=h dx1∧⋯∧dxn\mu=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n（h>0h>0）と書く。ν=−ϵ ∂/∂xn\nu=-\epsilon\,\partial/\partial x^nはU∩∂MU\cap\partial Mの各点で外向きであり（§E22.14 定義 8.1。座標表示の第nn成分は−ϵ-\epsilonでありϵ⋅(−ϵ)=−1<0\epsilon\cdot(-\epsilon)=-1<0である）、§E22.14 命題 8.5の計算にan=−ϵa^n=-\epsilonを代入すると、このν\nuを用いた誘導向き形式は

μ∂=(−1)n−1⋅(−ϵ)⋅h  dx1∧⋯∧dxn−1=(−1)nϵ h  dx1∧⋯∧dxn−1\mu_\partial=(-1)^{n-1}\cdot(-\epsilon)\cdot h\;dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1} =(-1)^{n}\epsilon\,h\;dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}

である。h>0h>0であるから、φ∂\varphi^\partialに関するμ∂\mu_\partialの成分の符号は(−1)nϵ(-1)^n\epsilonである。

(−1)nϵ=+1(-1)^n\epsilon=+1のとき、(U∂,φ∂)(U^\partial,\varphi^\partial)は向きを保つので§E22.15 命題 2.6 (3)により

∫∂Mι∗ω=∫φ∂(U∂)fn(⋅,0)=∫R′fn(x′,0) dx′\int_{\partial M}\iota^*\omega=\int_{\varphi^\partial(U^\partial)}f_n(\cdot,0)=\int_{R'}f_n(x',0)\,dx'

である。(−1)nϵ=−1(-1)^n\epsilon=-1のとき、(U∂,φ∂)(U^\partial,\varphi^\partial)は向きを反転するので§E22.15 命題 2.6 (5)により

∫∂Mι∗ω=−∫R′fn(x′,0) dx′\int_{\partial M}\iota^*\omega=-\int_{R'}f_n(x',0)\,dx'

である。いずれの場合も

∫∂Mι∗ω=(−1)nϵ∫R′fn(x′,0) dx′\int_{\partial M}\iota^*\omega=(-1)^{n}\epsilon\int_{R'}f_n(x',0)\,dx'

であり、式 (4.1.1)と一致する。

第五段（n=1n=1の境界チャートの場合）。∂H1={0}\partial\mathbb{H}^1=\{0\}は一点であるからU∩∂MU\cap\partial Mは高々一点であり、境界チャートの場合はちょうど一点ppである。η=f1\eta=f_1はDDの上の関数であり、ι∗ω\iota^*\omegaは∂M\partial Mの上の関数としてppで値f1(0)f_1(0)を取り、∂M∖{p}\partial M\setminus\{p\}ではsupp⁡ω⊆U\operatorname{supp}\omega\subseteq Uにより00である。§E22.15 定義 2.2の00次元の約束により

∫∂Mι∗ω=εp f1(0)\int_{\partial M}\iota^*\omega=\varepsilon_p\,f_1(0)

である。

εp\varepsilon_pを求める。UUの上でμ=h dx1\mu=h\,dx^1（h>0h>0）と書き、外向きベクトルをν=−ϵ ∂/∂x1\nu=-\epsilon\,\partial/\partial x^1と取るとμp(νp)=−ϵh\mu_p(\nu_p)=-\epsilon hである。h>0h>0であるから、§E22.14 定義 8.4のn=1n=1の規約によりεp=−ϵ=(−1)1ϵ\varepsilon_p=-\epsilon=(-1)^1\epsilonである。これは第四段でn≥2n\ge2について得た符号(−1)nϵ(-1)^n\epsilonのn=1n=1の場合にほかならない。よって

∫∂Mι∗ω=−ϵ f1(0)\int_{\partial M}\iota^*\omega=-\epsilon\,f_1(0)

であり、式 (4.1.1)のn=1n=1の読み方と一致する。▨

注意 4.2 (台のコンパクト性を使う箇所). 台のコンパクト性は二箇所で必要である。第一に、補題 3.1で和を有限和へ帰着させるために用いる。無限個の項の和では、外微分と積分を項別に交換する根拠が失われる。第二に、補題 2.1でfif_iが閉長方形の側面で00になることを保証するために用いる。台がコンパクトでないとi<ni<nの項が消えず、境界以外からの寄与が残る。

実例として、M=H2M=\mathbb{H}^2、ω=x1 dx2\omega=x^1\,dx^2を取る。dω=dx1∧dx2d\omega=dx^1\wedge dx^2であり∫Mdω\int_M d\omegaは発散する。一方、境界上ではι∗(dx2)=0\iota^*(dx^2)=0であるから∫∂Mι∗ω=0\int_{\partial M}\iota^*\omega=0である。したがって、この例では左辺が有限の積分として定まらず、台の仮定を外した等式へ拡張することができない。台のコンパクト性により、両辺が有限の値を持つことと、上の二つの操作が正当であることが同時に保証される。

例 4.3.g(t)=t2−tg(t)=t^2-tと置くとg−1(0)={0,1}g^{-1}(0)=\{0,1\}であり、g′(0)=−1g'(0)=-1、g′(1)=1g'(1)=1はどちらも00でない。したがって§E22.14 命題 4.1により

M={t∈R∣g(t)≤0}=[0,1]M=\{t\in\R\mid g(t)\le 0\}=[0,1]

は11次元C∞C^\infty境界付き多様体であり∂M={0,1}\partial M=\{0,1\}である。μ=dt\mu=dtが定める向きを与える。MMはコンパクトであるから、f∈C∞(M)=Ω0(M)f\in C^\infty(M)=\Omega^0(M)はつねにΩc0(M)\Omega^0_c(M)に属する。

左辺。df=f′ dtd f=f'\,dtであり、§E22.15 定理 4.2により

∫Mdf=∫[0,1]f′=∫01f′(t) dt\int_M df=\int_{[0,1]}f'=\int_0^1f'(t)\,dt

である。

右辺。§E22.14 例 8.6で計算したとおり、∂M\partial Mの誘導向きはε0=−1\varepsilon_0=-1、ε1=+1\varepsilon_1=+1である。§E22.15 定義 2.2の00次元の約束により

∫∂Mι∗f=ε1f(1)+ε0f(0)=f(1)−f(0)\int_{\partial M}\iota^*f=\varepsilon_1f(1)+\varepsilon_0f(0)=f(1)-f(0)

である。

したがって定理 1.1により

∫01f′(t) dt=f(1)−f(0)\int_0^1f'(t)\,dt=f(1)-f(0)

が得られる。これは微積分学の基本定理である。符号f(1)−f(0)f(1)-f(0)が正しい向きに出ることは、外向きのベクトルを先に置くという§E22.14 定義 8.4の規約により決まる。t=1t=1では外向きベクトルが+∂/∂t+\partial/\partial tでありμ\muに整合するので符号は+1+1、t=0t=0では外向きベクトルが−∂/∂t-\partial/\partial tであり整合しないので符号は−1-1である。規約を逆に取ると両方の符号が反転し、f(0)−f(1)f(0)-f(1)が出る。

本例により、Stokes の定理が微積分学の基本定理を特別な場合として含むことが示されるが、本例は基本定理そのものの証明ではない。基本定理は一次元の積分論に属し、本記事の補題 2.1の証明でも既知として用いている。

5 三次元の古典的な積分定理

注意 5.1 (三次元空間のベクトル場と微分形式の対応).R3\R^3に標準内積と体積形式Ω=dx∧dy∧dz\Omega=dx\wedge dy\wedge dzを固定する。R3\R^3上のC∞C^\inftyベクトル場F⃗=(F1,F2,F3)\vec F=(F_1,F_2,F_3)に対して、二つの対応

F⃗ ⟼ F⃗♭=F1 dx+F2 dy+F3 dz∈Ω1,\vec F\ \longmapsto\ \vec F^{\flat}=F_1\,dx+F_2\,dy+F_3\,dz\in\Omega^1,F⃗ ⟼ ιF⃗Ω=F1 dy∧dz+F2 dz∧dx+F3 dx∧dy∈Ω2\vec F\ \longmapsto\ \iota_{\vec F}\Omega=F_1\,dy\wedge dz+F_2\,dz\wedge dx+F_3\,dx\wedge dy\in\Omega^2

を定める（後者は§E22.12 例 1.3の計算である）。関数uuには33次形式u Ωu\,\Omegaを対応させる。§E22.11 例 2.6により、この対応のもとで

df=(grad⁡f)♭,d(F⃗♭)=ιcurl⁡F⃗Ω,d(ιF⃗Ω)=(div⁡F⃗) Ωdf=(\operatorname{grad}f)^{\flat}, \qquad d\bigl(\vec F^{\flat}\bigr)=\iota_{\operatorname{curl}\vec F}\Omega, \qquad d\bigl(\iota_{\vec F}\Omega\bigr)=(\operatorname{div}\vec F)\,\Omega

が成り立つ。ここでgrad⁡\operatorname{grad}、curl⁡\operatorname{curl}、div⁡\operatorname{div}は§E4.17 定義 1.2の演算である。

この二つの対応はR3\R^3に固定した内積と体積形式に依存している。F⃗♭\vec F^{\flat}はF⃗♭(v)=F⃗⋅v\vec F^{\flat}(v)=\vec F\cdot vで定まる11形式であり、内積を取り替えれば別の11形式になる。ιF⃗Ω\iota_{\vec F}\Omegaは体積形式Ω\Omegaの選び方に依存し、Ω\Omegaを定数倍すれば対応も定数倍される。一般の多様体では、接空間に内積を与える計量と、それが定める体積形式を選ばなければ、ベクトル場と11形式・22形式のこのような対応を書くことができない。本単元では計量を導入しないので、この対応はR3\R^3という固定した舞台に限って用いる。計量を選んだうえで一般の多様体でこの対応を扱うのは§F30 Riemann 幾何 Iである。

以下の三つの命題では、古典記法のF⃗⋅n⃗ dA\vec F\cdot\vec n\,dAを境界上の22形式ι∗(ιF⃗Ω)\iota^*(\iota_{\vec F}\Omega)として、F⃗⋅dr⃗\vec F\cdot d\vec rを境界上の11形式としてまとめて扱う。この書き換えによって計量や体積形式への依存が消えるわけではなく、依存先はF⃗↦F⃗♭\vec F\mapsto\vec F^\flatおよびF⃗↦ιF⃗Ω\vec F\mapsto\iota_{\vec F}\Omegaという対応に集約される。曲線r⃗ ⁣:I→R3\vec r\colon I\to\R^3に対するdr⃗=r⃗′(t) dtd\vec r=\vec r'(t)\,dt自体は位置写像の微分として計量を用いずに定まる。境界曲線をG∘ιG\circ\iotaで表すとき、古典記法のF⃗⋅dr⃗\vec F\cdot d\vec rに当たる11形式は(G∘ι)∗(F⃗♭)(G\circ\iota)^*(\vec F^\flat)であり、このF⃗♭\vec F^\flatへの対応が標準内積に依存する。古典的な形との照合は§E4 実解析 IIの枠組みで行われるものであり、本記事では微分形式の側の等式を示すにとどめる。

以下、DDは§E22.15 定理 4.2の仮定を満たすもの、すなわちRm\R^mの開集合の上のC∞C^\infty関数ffと正則値ccについてD={f≤c}D=\{f\le c\}がコンパクトであるものとし、dx1∧⋯∧dxmdx^1\wedge\cdots\wedge dx^mが定める向きを与える。

命題 5.2.m=2m=2、D⊆R2D\subseteq\R^2を上の形の領域、P,QP,QをDDの近傍でC∞C^\inftyな関数とする。ω=P dx+Q dy\omega=P\,dx+Q\,dyと置くと

∬D(∂Q∂x−∂P∂y) dx dy=∫∂Dι∗(P dx+Q dy)\iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dx\,dy=\int_{\partial D}\iota^*\bigl(P\,dx+Q\,dy\bigr)

が成り立つ。左辺は§E4.11 定義 3.1の Riemann 積分である。

証明.§E22.11 定理 2.4により

dω=dP∧dx+dQ∧dy=(∂Q∂x−∂P∂y)dx∧dyd\omega=dP\wedge dx+dQ\wedge dy=\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dx\wedge dy

である。ω\omegaをDDの外で00とする必要はなく、DDはコンパクトであるからω∣D∈Ωc1(D)\omega|_D\in\Omega^1_c(D)である。定理 1.1により∫Ddω=∫∂Dι∗ω\int_Dd\omega=\int_{\partial D}\iota^*\omegaであり、§E22.15 定理 4.2により左辺は表示した Riemann 積分に等しい。▨

注意 5.3 (E3 の Green の定理との関係). §E4 実解析 IIの§E4.22 定理 4.1では、区分的に一階連続微分可能な正則領域に対して同じ等式を証明している。その領域の族は角を持つものを含んでおり、本単元の枠組み（§E22.14 定義 2.2）には収まらない。逆に本記事の命題 5.2は、境界が滑らかである場合を任意の次元の定理の特別な場合として得たものである。Green の定理の一次的な責務は§E4 実解析 IIにあり、本記事ではそれを再証明していない。

命題 5.4.m=3m=3、D⊆R3D\subseteq\R^3を上の形の領域、F⃗\vec FをDDの近傍でC∞C^\inftyなベクトル場とする。ω=ιF⃗Ω\omega=\iota_{\vec F}\Omegaと置くと

∭Ddiv⁡F⃗ dx dy dz=∫∂Dι∗(ιF⃗Ω)\iiint_D\operatorname{div}\vec F\,dx\,dy\,dz=\int_{\partial D}\iota^*\bigl(\iota_{\vec F}\Omega\bigr)

が成り立つ。

証明.注意 5.1によりdω=(div⁡F⃗) Ωd\omega=(\operatorname{div}\vec F)\,\Omegaである。定理 1.1と§E22.15 定理 4.2から主張を得る。▨

命題 5.5.SSを向きづけられたコンパクトな22次元C∞C^\infty境界付き多様体、G ⁣:S→R3G\colon S\to\R^3をC∞C^\infty写像、F⃗\vec FをG(S)G(S)の近傍でC∞C^\inftyなベクトル場とする。このとき

∫SG∗(ιcurl⁡F⃗ Ω)=∫∂S(G∘ι)∗(F⃗♭)\int_S G^*\bigl(\iota_{\operatorname{curl}\vec F}\,\Omega\bigr)=\int_{\partial S}\bigl(G\circ\iota\bigr)^*\bigl(\vec F^{\flat}\bigr)

が成り立つ。

証明.ω=G∗(F⃗♭)∈Ω1(S)\omega=G^*(\vec F^{\flat})\in\Omega^1(S)と置く。SSはコンパクトであるからω∈Ωc1(S)\omega\in\Omega^1_c(S)である。§E22.11 命題 3.1と注意 5.1により

dω=G∗(d(F⃗♭))=G∗(ιcurl⁡F⃗Ω)d\omega=G^*\bigl(d(\vec F^{\flat})\bigr)=G^*\bigl(\iota_{\operatorname{curl}\vec F}\Omega\bigr)

である。定理 1.1をSSとω\omegaへ適用し、ι∗(G∗(F⃗♭))=(G∘ι)∗(F⃗♭)\iota^*\bigl(G^*(\vec F^\flat)\bigr)=(G\circ\iota)^*(\vec F^\flat)（§E22.10 命題 5.2）を用いると主張を得る。▨

注意 5.6 (古典的な形との対応). 古典的な形の右辺は、それぞれ次のように書かれる。Green の定理では∮∂DP dx+Q dy\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy、発散定理では∬∂DF⃗⋅n⃗ dA\iint_{\partial D}\vec F\cdot\vec n\,dA、古典的な Stokes の定理では∮∂SF⃗⋅dr⃗\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec rと∬S(curl⁡F⃗)⋅n⃗ dA\iint_S(\operatorname{curl}\vec F)\cdot\vec n\,dAである。微分形式では、発散定理のF⃗⋅n⃗ dA\vec F\cdot\vec n\,dAをι∗(ιF⃗Ω)\iota^*(\iota_{\vec F}\Omega)として、古典的な Stokes の定理の(curl⁡F⃗)⋅n⃗ dA(\operatorname{curl}\vec F)\cdot\vec n\,dAをG∗(ιcurl⁡F⃗Ω)G^*(\iota_{\operatorname{curl}\vec F}\Omega)として、n⃗\vec nとdAdAに分解せずに記す。この書き換えによって依存性が消えるわけではなく、体積形式を用いる対応F⃗↦ιF⃗Ω\vec F\mapsto\iota_{\vec F}\Omegaに依存性が集約される。一方、dr⃗d\vec r自体は位置写像の微分として計量を用いずに定まる。境界曲線をG∘ιG\circ\iotaで表すと、(G∘ι)∗(F⃗♭)(G\circ\iota)^*(\vec F^\flat)が古典記法のF⃗⋅dr⃗\vec F\cdot d\vec rに当たり、計量依存性は標準内積を用いる対応F⃗↦F⃗♭\vec F\mapsto\vec F^\flatに集約される。その照合は§E4 実解析 IIの§E4.24 定理 5.1と§E4.23 定理 3.1が扱う範囲である。次の例では、一致を具体的な場合に数値で確かめる。

例 5.7.F⃗=(x,y,z)\vec F=(x,y,z)、D=B‾3={x2+y2+z2≤1}D=\overline{B}^3=\{x^2+y^2+z^2\le 1\}とする。DDは§E22.14 例 4.2により33次元C∞C^\infty境界付き多様体であり、∂D=S2\partial D=S^2である。Ω\Omegaが定める向きを与える。

左辺。div⁡F⃗=3\operatorname{div}\vec F=3であるからdω=3 Ωd\omega=3\,\Omegaである。§E22.15 定理 4.2により

∫Ddω=3∫D1=3vol⁡(B‾3)\int_D d\omega=3\int_D 1=3\operatorname{vol}(\overline B^3)

である。体積を計算する。K={(x,y)∣x2+y2≤1}K=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}は Jordan 可測であり（§E4.11 例 2.4）、β(x,y)=max⁡(0,1−x2−y2)\beta(x,y)=\sqrt{\max\bigl(0,1-x^2-y^2\bigr)}はR2\R^2の上で連続、α=−β\alpha=-\betaである。B‾3={(x,y,z)∣(x,y)∈K, α≤z≤β}\overline B^3=\{(x,y,z)\mid(x,y)\in K,\ \alpha\le z\le\beta\}であるから§E4.24 補題 2.1により

vol⁡(B‾3)=∬K21−x2−y2 dx dy\operatorname{vol}(\overline B^3)=\iint_K 2\sqrt{1-x^2-y^2}\,dx\,dy

である。被積分関数はR2\R^2の上で連続であり、閉円板と開円板の差である単位円は Jordan 零集合であるから（§E4.11 例 2.4）、§E4.14 命題 3.1を適用して

vol⁡(B‾3)=∫02π ⁣ ⁣∫0121−r2 r dr dθ=2π⋅2⋅[−13(1−r2)3/2]01=2π⋅23=4π3\operatorname{vol}(\overline B^3)=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{1}2\sqrt{1-r^2}\,r\,dr\,d\theta =2\pi\cdot 2\cdot\Bigl[-\tfrac13(1-r^2)^{3/2}\Bigr]_0^1=2\pi\cdot\frac23=\frac{4\pi}{3}

である。よって左辺は3⋅4π3=4π3\cdot\frac{4\pi}{3}=4\piである。

右辺。F⃗\vec Fは位置ベクトル場P=x ∂x+y ∂y+z ∂zP=x\,\partial_x+y\,\partial_y+z\,\partial_zにほかならないのでω=ιPΩ\omega=\iota_P\Omegaであり、

ι∗ω=ι∗(ιPΩ)=μ\iota^*\omega=\iota^*\bigl(\iota_P\Omega\bigr)=\mu

は§E22.14 例 6.10のS2S^2の向き形式である。§E22.14 例 8.6により、∂B‾3=S2\partial\overline B^3=S^2の誘導向きはちょうど[μ][\mu]である。したがって§E22.15 例 5.2により

∫∂Dι∗ω=∫S2μ=4π\int_{\partial D}\iota^*\omega=\int_{S^2}\mu=4\pi

である。

両辺はともに4π4\piであり、定理 1.1の主張どおり一致する。§E4 実解析 IIの§E4.24 例 6.3では、同じF⃗\vec Fと単位球について古典的な形の両辺を計算して4π4\piを得ている。二つの計算は同じ値を与えており、命題 5.4の対応が具体例で確かめられた。

6 境界

本記事では角を持つ多様体を扱わない。閉立方体[0,1]n[0,1]^nに対して同じ等式を述べるには、稜と頂点の近傍での局所モデルを別に用意する必要がある。§E4 実解析 IIの Green の定理と発散定理は、区分的に滑らかな境界を持つ領域に対して直接証明されており、角のある場合を含んでいる。これらの定理と本記事の Stokes の定理とでは、仮定の族が異なる。一方の定理が他方の定理を含むわけではない。

n=1n=1の場合は例 4.3のとおり微積分学の基本定理に一致する。この場合を定理の主張に含めることができるのは、§E22.14 定義 2.2で局所モデルとしてHn\mathbb{H}^nとH−n\mathbb{H}^n_{-}の両方が許されているからである。H1\mathbb{H}^1の相対開集合だけを局所モデルに採ると、[0,1][0,1]の二つの境界点で向きを保つチャートを同時に取ることができない。そのため、§E22.15 定義 2.2の右辺を作ることができない（§E22.14 注意 6.5）。

台がコンパクトでない形式に対しては、両辺の広義積分としての収束を別に議論する必要がある。本単元では、この収束の議論を扱わない。

定理 1.1により、∂M=∅\partial M=\varnothingの場合に∫Mdη=0\int_Md\eta=0が得られる。

7 演習

問題 7.1.

  1. n≥2n\ge2、1≤k≤n1\le k\le nとし、Hk={x∈Rn∣xk≤0}H_k=\{x\in\R^n\mid x^k\le0\}と置く。HkH_kの上のC∞C^\infty関数f1,…,fnf_1,\dots,f_nはいずれも台がコンパクトであるとし、η=∑i=1nfi dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn\eta=\sum_{i=1}^{n}f_i\,dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\cdots\wedge dx^n、g=∑i=1n(−1)i−1∂fi/∂xig=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\partial f_i/\partial x^iと置く（dη=g dx1∧⋯∧dxnd\eta=g\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^nである）。b>0b>0を、各fif_iの台が{x∣−b<xk≤0, ∣xi∣<b (i≠k)}\{x\mid -b<x^k\le0,\ |x^i|<b\ (i\ne k)\}に含まれるように取り、R={x∣−b≤xk≤0, ∣xi∣≤b (i≠k)}R=\{x\mid -b\le x^k\le0,\ |x^i|\le b\ (i\ne k)\}と置く。§E4.12 定理 1.1によって項ごとに積分の順序を選び、 ∫Rg=(−1)k−1∫R′fk∣xk=0 dx′\int_Rg=(-1)^{k-1}\int_{R'}f_k\big|_{x^k=0}\,dx' を示す。ここでR′=[−b,b]n−1R'=[-b,b]^{n-1}はxkx^kを除くn−1n-1個の変数の閉長方形であり、fk∣xk=0f_k|_{x^k=0}はfkf_kにxk=0x^k=0を代入したn−1n-1変数の関数である。さらに、HkH_kに§E22.14 命題 4.1（関数xkx^k、値00）による境界付き多様体の構造とdx1∧⋯∧dxndx^1\wedge\cdots\wedge dx^nが定める向きを与え、∂Hk\partial H_kの誘導向きについて∫∂Hkι∗η\int_{\partial H_k}\iota^*\etaが上の右辺に等しいことを示す。
  2. M=H2M=\mathbb{H}^2とし、台がコンパクトでない11次形式ω=arctan⁡(x1) e−x2 dx2\omega=\arctan(x^1)\,e^{-x^2}\,dx^2を考える。ι∗ω=0\iota^*\omega=0であることを示す。またR>0R>0に対して、dωd\omegaの成分の閉長方形[−R,R]×[0,R][-R,R]\times[0,R]の上の積分をI(R)I(R)と書く。I(R)I(R)をx1x^1について先に積分して計算し、lim⁡R→∞I(R)=π\lim_{R\to\infty}I(R)=\piであることを示す。
  3. MMをC∞C^\infty境界付き多様体、ω∈Ωck(M)\omega\in\Omega^k_c(M)、K=supp⁡ωK=\operatorname{supp}\omegaとし、ψ∈C∞(M)\psi\in C^\infty(M)がKKの各点でψ=1\psi=1を満たすとする（KKの開近傍の上でψ≡1\psi\equiv1であることは仮定しない）。KKの各点でdψ=0d\psi=0であること、したがってdψ∧ω=0d\psi\wedge\omega=0がMMの全体で成り立つことを示す。一方、M=H2M=\mathbb{H}^2の上のC∞C^\infty関数ψ\psiで、ψ≤1\psi\le1かつψ(0)=1\psi(0)=1を満たし、dψ0≠0d\psi_0\ne0となるものを挙げる。
  4. n≥2n\ge2とし、MMを向き[μ][\mu]を持つnn次元C∞C^\infty境界付き多様体、ν\nuを§E22.14 補題 8.3の外向きベクトル場とする。∂M\partial Mの上の(n−1)(n-1)次形式μ∂♯\mu_\partial^\sharpを(μ∂♯)p(v1,…,vn−1)=μp(v1,…,vn−1,νp)(\mu_\partial^\sharp)_p(v_1,\dots,v_{n-1})=\mu_p(v_1,\dots,v_{n-1},\nu_p)で定め、[μ∂♯][\mu_\partial^\sharp]を向きとする∂M\partial Mを∂M♯\partial M^\sharpと書く（外向きのベクトルを最後に置く規約）。μ∂♯=(−1)n−1μ∂\mu_\partial^\sharp=(-1)^{n-1}\mu_\partialであることを示し、ω∈Ωcn−1(M)\omega\in\Omega^{n-1}_c(M)に対して∫Mdω=(−1)n−1∫∂M♯ι∗ω\int_Md\omega=(-1)^{n-1}\int_{\partial M^\sharp}\iota^*\omegaが成り立つことを導く。さらに、M=B‾2M=\overline{B}^2（dx∧dydx\wedge dyが定める向き）、ω=x dy\omega=x\,dyのとき両辺を計算して確かめる。
  5. 0<a<b0<a<bとし、A={(x,y)∈R2∣a2≤x2+y2≤b2}A=\{(x,y)\in\R^2\mid a^2\le x^2+y^2\le b^2\}にdx∧dydx\wedge dyが定める向きを与える。r>0r>0に対してγr(t)=(rcos⁡t,rsin⁡t)\gamma_r(t)=(r\cos t,r\sin t)、Cr={(x,y)∣x2+y2=r2}C_r=\{(x,y)\mid x^2+y^2=r^2\}と置く。AAが§E22.14 命題 4.1により22次元C∞C^\infty境界付き多様体であって∂A=Ca∪Cb\partial A=C_a\cup C_bであることを示し、∂A\partial Aの誘導向きについて、CbC_bの各点でγb′(t)\gamma_b'(t)が向きに整合し、CaC_aの各点で−γa′(t)-\gamma_a'(t)が向きに整合することを示す。これを用いて、R2∖{0}\R^2\setminus\{0\}の上の閉11次形式α\alphaについて、γr∗α=gr(t) dt\gamma_r^*\alpha=g_r(t)\,dtと書くとき∫02πga(t) dt=∫02πgb(t) dt\int_0^{2\pi}g_a(t)\,dt=\int_0^{2\pi}g_b(t)\,dtが成り立つことを定理 1.1から導き、α=(x dy−y dx)/(x2+y2)\alpha=(x\,dy-y\,dx)/(x^2+y^2)についてこの値を求める。
  6. 閉正方形[0,1]2[0,1]^2は§E4.22 定理 4.1の領域であるが、[0,1]2[0,1]^2を含む開集合NNの上のC∞C^\infty関数ffとffの正則値ccによって[0,1]2={x∈N∣f(x)≤c}[0,1]^2=\{x\in N\mid f(x)\le c\}と表すことはできず、命題 5.2の仮定を満たさないことを示す。また、f(x,y)=(x2−4)2+y2f(x,y)=(x^2-4)^2+y^2、c=1c=1についてD={f≤c}D=\{f\le c\}は命題 5.2の仮定を満たすが、連結でないので§E4.22 定理 4.1の領域でないことを示す。
  7. 注意 5.1の二つの対応のうち、F⃗↦F⃗♭\vec F\mapsto\vec F^{\flat}が内積に依存し、F⃗↦ιF⃗Ω\vec F\mapsto\iota_{\vec F}\Omegaが体積形式に依存する。R3\R^3の内積を⟨x,y⟩=2x1y1+x2y2+x3y3\langle x,y\rangle=2x^1y^1+x^2y^2+x^3y^3へ取り替えたとき、二つの対応がそれぞれどう変わるかを書き下す。
  8. 例 5.7で、F⃗=(x,y,z)\vec F=(x,y,z)をF⃗=(0,0,z)\vec F=(0,0,z)へ取り替えて両辺を計算し、ふたたび一致することを確かめる。
解答.

(1)を示す。ggはRRの上で連続であるから、各項(−1)i−1∂fi/∂xi(-1)^{i-1}\partial f_i/\partial x^iに§E4.12 定理 1.1を適用し、積分する変数の順序を項ごとに選ぶことができる。i≠ki\ne kの項ではxix^iについて最初に積分する。xix^iの範囲は[−b,b][-b,b]であり、fif_iの台は∣xi∣<b|x^i|<bに含まれるので、微積分学の基本定理により

∫−bb∂fi∂xi dxi=fi∣xi=b−fi∣xi=−b=0\int_{-b}^{b}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}\,dx^i=f_i\big|_{x^i=b}-f_i\big|_{x^i=-b}=0

である。残るn−1n-1重積分の被積分関数が00であるから、この項の積分は00である。i=ki=kの項ではxkx^kについて最初に積分する。xkx^kの範囲は[−b,0][-b,0]であり、fkf_kの台はxk>−bx^k>-bに含まれるので

∫−b0∂fk∂xk dxk=fk∣xk=0−fk∣xk=−b=fk∣xk=0\int_{-b}^{0}\frac{\partial f_k}{\partial x^k}\,dx^k=f_k\big|_{x^k=0}-f_k\big|_{x^k=-b}=f_k\big|_{x^k=0}

である（xk=0x^k=0での偏導関数は片側微分である）。したがって∫Rg=(−1)k−1∫R′fk∣xk=0 dx′\int_Rg=(-1)^{k-1}\int_{R'}f_k|_{x^k=0}\,dx'である。

次に境界の側を計算する。φ(x)=(x1,…,xk^,…,xn,−xk)\varphi(x)=(x^1,\dots,\widehat{x^k},\dots,x^n,-x^k)はRn\R^nの線形同型であり、第nn成分は0−xk0-x^kであるから、φ\varphiをHkH_kへ制限したものは§E22.14 命題 4.1の構成による正の型の境界チャートであって、定義域はHkH_k全体である。よって∂Hk={x∣xk=0}\partial H_k=\{x\mid x^k=0\}であり、§E22.14 定理 2.6によりφ∂=(x1,…,xk^,…,xn)\varphi^\partial=(x^1,\dots,\widehat{x^k},\dots,x^n)は∂Hk\partial H_k全体を定義域としRn−1\R^{n-1}を像とするチャートである。ν=∂/∂xk\nu=\partial/\partial x^kについてdφ(ν)d\varphi(\nu)の第nn成分は−1-1であるから、§E22.14 定義 8.1によりν\nuは外向きである。§E22.14 命題 3.2 (2)によりTp(∂Hk)T_p(\partial H_k)は∂/∂xi\partial/\partial x^i（i≠ki\ne k）で張られる。∂/∂xk\partial/\partial x^kを先頭から第kkの位置へ移すにはk−1k-1回の入れ替えを要するので、§E22.14 定義 8.4のμ∂\mu_\partialについて

μ∂(∂∂x1,…,∂∂xk^,…,∂∂xn)=(dx1∧⋯∧dxn)(∂∂xk,∂∂x1,…,∂∂xk^,…,∂∂xn)=(−1)k−1\mu_\partial\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\widehat{\frac{\partial}{\partial x^k}},\dots,\frac{\partial}{\partial x^n}\Bigr) =(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n)\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^k},\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\widehat{\frac{\partial}{\partial x^k}},\dots,\frac{\partial}{\partial x^n}\Bigr)=(-1)^{k-1}

である。すなわちφ∂\varphi^\partialに関するμ∂\mu_\partialの成分は(−1)k−1(-1)^{k-1}である。j=(φ∂)−1j=(\varphi^\partial)^{-1}はx′↦(x1,…,xk−1,0,xk+1,…,xn)x'\mapsto(x^1,\dots,x^{k-1},0,x^{k+1},\dots,x^n)であり、§E22.10 命題 5.4によりj∗(dxk)=0j^*(dx^k)=0、j∗(dxi)=dxij^*(dx^i)=dx^i（i≠ki\ne k）である。η\etaのi≠ki\ne kの項は因子dxkdx^kを含むので00へ写り

((φ∂)−1)∗(ι∗η)=fk∣xk=0 dx1∧⋯∧dxk^∧⋯∧dxn\bigl((\varphi^\partial)^{-1}\bigr)^*(\iota^*\eta)=f_k\big|_{x^k=0}\,dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^k}\wedge\cdots\wedge dx^n

である。kkが奇数ならばφ∂\varphi^\partialは向きを保つので§E22.15 命題 2.6 (3)により、kkが偶数ならば向きを反転するので§E22.15 命題 2.6 (5)により

∫∂Hkι∗η=(−1)k−1∫R′fk∣xk=0 dx′\int_{\partial H_k}\iota^*\eta=(-1)^{k-1}\int_{R'}f_k\big|_{x^k=0}\,dx'

である（fk∣xk=0f_k|_{x^k=0}の台は(−b,b)n−1(-b,b)^{n-1}に含まれる）。これは前半の値に等しい。k=nk=nの場合は補題 2.1 (3)にあたる。

(2)を示す。∂H2={x2=0}\partial\mathbb{H}^2=\{x^2=0\}のチャートx1x^1についてj(x1)=(x1,0)j(x^1)=(x^1,0)と置くと、§E22.10 命題 5.4によりj∗(dx2)=0j^*(dx^2)=0であるからι∗ω=0\iota^*\omega=0であり、∫∂H2ι∗ω=0\int_{\partial\mathbb{H}^2}\iota^*\omega=0である。一方§E22.11 定理 2.4により

dω=∂∂x1(arctan⁡(x1)e−x2) dx1∧dx2+∂∂x2(arctan⁡(x1)e−x2) dx2∧dx2=e−x21+(x1)2 dx1∧dx2d\omega=\frac{\partial}{\partial x^1}\bigl(\arctan(x^1)e^{-x^2}\bigr)\,dx^1\wedge dx^2+\frac{\partial}{\partial x^2}\bigl(\arctan(x^1)e^{-x^2}\bigr)\,dx^2\wedge dx^2=\frac{e^{-x^2}}{1+(x^1)^2}\,dx^1\wedge dx^2

である。成分は連続であるから§E4.12 定理 1.1によりx1x^1について先に積分することができ、微積分学の基本定理により

∫−RR∂∂x1(arctan⁡(x1)e−x2) dx1=(arctan⁡R−arctan⁡(−R))e−x2=2arctan⁡(R) e−x2\int_{-R}^{R}\frac{\partial}{\partial x^1}\bigl(\arctan(x^1)e^{-x^2}\bigr)\,dx^1=\bigl(\arctan R-\arctan(-R)\bigr)e^{-x^2}=2\arctan(R)\,e^{-x^2}

である。したがって

I(R)=∫0R2arctan⁡(R) e−x2 dx2=2arctan⁡(R)(1−e−R)I(R)=\int_0^R2\arctan(R)\,e^{-x^2}\,dx^2=2\arctan(R)\bigl(1-e^{-R}\bigr)

であり、R→∞R\to\inftyのときarctan⁡R→π/2\arctan R\to\pi/2、e−R→0e^{-R}\to0であるからlim⁡R→∞I(R)=π\lim_{R\to\infty}I(R)=\piである。補題 2.1の記法ではω=f1 dx2\omega=f_1\,dx^2（f1=arctan⁡(x1)e−x2f_1=\arctan(x^1)e^{-x^2}、f2=0f_2=0）であり、I(R)I(R)はすべてi=1i=1の項から生じる。この項をx1x^1について積分すると、端点x1=±Rx^1=\pm Rが台の外にないので、端点での値f1(±R,x2)=±arctan⁡(R) e−x2f_1(\pm R,x^2)=\pm\arctan(R)\,e^{-x^2}の差2arctan⁡(R) e−x22\arctan(R)\,e^{-x^2}が残り、R→∞R\to\inftyとしてもこの差は00に近づかない。dωd\omegaの成分は正でありI(R)I(R)は有限の極限を持つので、等式∫Mdω=∫∂Mι∗ω\int_Md\omega=\int_{\partial M}\iota^*\omegaの左辺をlim⁡R→∞I(R)\lim_{R\to\infty}I(R)と読んでも、左辺はπ\pi、右辺は00であって一致しない。

(3)を示す。W={p∈M∣ωp≠0}W=\{p\in M\mid\omega_p\ne0\}と置くと、§E22.15 定義 2.1によりK=W‾K=\overline Wである。WWは開集合である。実際、p∈Wp\in Wを含むチャートの上でω\omegaの成分は連続関数であり、ppで00でない成分はppのある近傍で00でない。p∈Kp\in Kを取り、ppを含む境界付きチャート(U,φ)(U,\varphi)を取ってD=φ(U)D=\varphi(U)、ψ^=ψ∘φ−1\hat\psi=\psi\circ\varphi^{-1}と置く。§E22.14 補題 1.2によりDψ^D\hat\psiはDDの上で連続である（DDがH−n\mathbb{H}^n_{-}の相対開集合である場合は§E22.14 補題 2.1のRnR_nでHn\mathbb{H}^nの側へ移して同じ結論を得る）。O=φ(W∩U)O=\varphi(W\cap U)はDDの相対開集合であり、その上でψ^\hat\psiは定数関数11に一致する。§E22.14 補題 1.2の最後の主張を、OOの上で一致する二つの関数ψ^∣O\hat\psi|_Oと11に適用すると、OOの各点でDψ^=0D\hat\psi=0である。p∈W‾p\in\overline Wであるからppの任意の近傍はW∩UW\cap Uと交わり、φ\varphiは同相写像であるからφ(p)\varphi(p)はOOのDDにおける閉包に属する。Dψ^D\hat\psiの零点の全体はDDの閉集合でOOを含むのでDψ^(φ(p))=0D\hat\psi(\varphi(p))=0、すなわちdψp=0d\psi_p=0である。p∉Kp\notin Kではωp=0\omega_p=0であるから、MMの各点で(dψ∧ω)p=dψp∧ωp=0(d\psi\wedge\omega)_p=d\psi_p\wedge\omega_p=0である。

例としてψ(x1,x2)=1−x2\psi(x^1,x^2)=1-x^2を取る。H2\mathbb{H}^2の上ではx2≥0x^2\ge0であるからψ≤1\psi\le1であり、ψ(0)=1\psi(0)=1である。しかしdψ=−dx2d\psi=-dx^2であるからdψ0≠0d\psi_0\ne0である。実際、§E22.14 補題 1.2により∂2ψ(0)=lim⁡h→0+(ψ(0,h)−1)/h=−1\partial_2\psi(0)=\lim_{h\to0^+}(\psi(0,h)-1)/h=-1である。原点はψ\psiがH2\mathbb{H}^2の上で最大値を取る点であるが、境界点であるので片側微分は負になりうる。前半の結論dψp=0d\psi_p=0は、一点での最大性からではなく、ψ\psiがK=W‾K=\overline Wの全体で11であることから従う。

(4)を示す。μp\mu_pは交代形式であるから、引数νp\nu_pを最後の位置から先頭へ移すn−1n-1回の入れ替えにより

(μ∂♯)p(v1,…,vn−1)=μp(v1,…,vn−1,νp)=(−1)n−1μp(νp,v1,…,vn−1)=(−1)n−1(μ∂)p(v1,…,vn−1)(\mu_\partial^\sharp)_p(v_1,\dots,v_{n-1})=\mu_p(v_1,\dots,v_{n-1},\nu_p)=(-1)^{n-1}\mu_p(\nu_p,v_1,\dots,v_{n-1})=(-1)^{n-1}(\mu_\partial)_p(v_1,\dots,v_{n-1})

である。§E22.14 命題 8.5によりμ∂\mu_\partialは向き形式であるから、μ∂♯=(−1)n−1μ∂\mu_\partial^\sharp=(-1)^{n-1}\mu_\partialも向き形式である。nnが奇数ならば∂M♯\partial M^\sharpは誘導向きを与えた∂M\partial Mに等しく、nnが偶数ならば反対の向きを与えた∂M\partial Mに等しい。§E22.15 命題 2.6 (2)により∫∂M♯ι∗ω=(−1)n−1∫∂Mι∗ω\int_{\partial M^\sharp}\iota^*\omega=(-1)^{n-1}\int_{\partial M}\iota^*\omegaであり、定理 1.1と合わせて

∫Mdω=∫∂Mι∗ω=(−1)n−1∫∂M♯ι∗ω\int_Md\omega=\int_{\partial M}\iota^*\omega=(-1)^{n-1}\int_{\partial M^\sharp}\iota^*\omega

を得る。

M=B‾2M=\overline B^2、ω=x dy\omega=x\,dyとする。dω=dx∧dyd\omega=dx\wedge dyであるから、§E22.15 定理 4.2 (2)により左辺は Riemann 積分∫B‾21\int_{\overline B^2}1に等しい。単位円は Jordan 零集合であるから（§E4.11 例 2.4）、この積分は開円板の上の積分に等しく、§E4.14 命題 3.1により

∫Mdω=∫02π ⁣ ⁣∫01r dr dθ=π\int_Md\omega=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1r\,dr\,d\theta=\pi

である。境界の側を計算する。§E22.14 例 8.6により∂M=S1\partial M=S^1の誘導向きはμ=ι∗(x dy−y dx)\mu=\iota^*(x\,dy-y\,dx)の向きであり、§E22.15 例 5.1のチャートφ1,φ2\varphi_1,\varphi_2はこの向きを保つ。γ(t)=(cos⁡t,sin⁡t)\gamma(t)=(\cos t,\sin t)についてγ∗(x dy)=cos⁡t⋅cos⁡t dt=cos⁡2t dt\gamma^*(x\,dy)=\cos t\cdot\cos t\,dt=\cos^2t\,dtである。同じ例の1の分割{ψ1,ψ2}\{\psi_1,\psi_2\}とui=ψi∘γu_i=\psi_i\circ\gammaを用いると、u2(t)cos⁡2tu_2(t)\cos^2tが2π2\pi周期であることから

∫S1ι∗ω=∫02πu1(t)cos⁡2t dt+∫−ππu2(t)cos⁡2t dt=∫02πcos⁡2t dt=π\int_{S^1}\iota^*\omega=\int_0^{2\pi}u_1(t)\cos^2t\,dt+\int_{-\pi}^{\pi}u_2(t)\cos^2t\,dt=\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi

である。これは定理 1.1の等式と一致する。n=2n=2であるから∂M♯\partial M^\sharpは反対の向きを与えたS1S^1であり、∫∂M♯ι∗ω=−π\int_{\partial M^\sharp}\iota^*\omega=-\piである。したがって(−1)n−1∫∂M♯ι∗ω=(−1)⋅(−π)=π(-1)^{n-1}\int_{\partial M^\sharp}\iota^*\omega=(-1)\cdot(-\pi)=\piであり、左辺に一致する。

(5)を示す。m=(a2+b2)/2m=(a^2+b^2)/2、w=(b2−a2)/2w=(b^2-a^2)/2と置き、f(x,y)=(x2+y2−m)2f(x,y)=(x^2+y^2-m)^2、c=w2c=w^2とする。f≤cf\le cは∣x2+y2−m∣≤w|x^2+y^2-m|\le w、すなわちa2≤x2+y2≤b2a^2\le x^2+y^2\le b^2と同値であるからA={f≤c}A=\{f\le c\}であり、f−1(c)=Ca∪Cbf^{-1}(c)=C_a\cup C_bである。df=4(x2+y2−m)(x dx+y dy)df=4(x^2+y^2-m)(x\,dx+y\,dy)であり、f−1(c)f^{-1}(c)の点ではx2+y2−m=±w≠0x^2+y^2-m=\pm w\ne0かつ(x,y)≠0(x,y)\ne0であるからdf≠0df\ne0である。§E22.14 命題 4.1によりAAは22次元C∞C^\infty境界付き多様体であり、∂A=Ca∪Cb\partial A=C_a\cup C_bである。

外向きのベクトルを求める。p∈∂Ap\in\partial Aの周りの§E22.14 命題 4.1の境界チャートは第22成分がc−fc-fである正の型のチャートであるから、§E22.14 定義 8.1により、v∈TpAv\in T_pAが外向きであることはd(c−f)p(v)<0d(c-f)_p(v)<0、すなわちdfp(v)>0df_p(v)>0と同値である。位置ベクトル場P=x ∂x+y ∂yP=x\,\partial_x+y\,\partial_yについてdf(P)=4(x2+y2−m)(x2+y2)df(P)=4(x^2+y^2-m)(x^2+y^2)であるから、CbC_bの上でdf(P)=4wb2>0df(P)=4wb^2>0、CaC_aの上でdf(P)=−4wa2<0df(P)=-4wa^2<0である。したがってCbC_bの上ではPPが、CaC_aの上では−P-Pが外向きである。またf∘γrf\circ\gamma_rは定数であるからdf(γr′(t))=0df(\gamma_r'(t))=0であり、§E22.14 命題 3.2 (2)によりr=a,br=a,bについてγr′(t)∈Tγr(t)(∂A)\gamma_r'(t)\in T_{\gamma_r(t)}(\partial A)である。

(dx∧dy)(P,γb′(t))=det⁡(bcos⁡tbsin⁡t−bsin⁡tbcos⁡t)=b2>0,(dx∧dy)(−P,−γa′(t))=a2>0(dx\wedge dy)\bigl(P,\gamma_b'(t)\bigr)=\det\begin{pmatrix}b\cos t&b\sin t\\ -b\sin t&b\cos t\end{pmatrix}=b^2>0, \qquad (dx\wedge dy)\bigl(-P,-\gamma_a'(t)\bigr)=a^2>0

であるから、§E22.14 定義 8.4によりγb′(t)\gamma_b'(t)と−γa′(t)-\gamma_a'(t)はそれぞれの点で誘導向きに整合する。

CrC_rの上の11次形式β\betaの積分を、γr∗β=g(t) dt\gamma_r^*\beta=g(t)\,dtを用いて表す。§E22.15 例 5.1と同じく、γr∣(0,2π)\gamma_r|_{(0,2\pi)}とγr∣(−π,π)\gamma_r|_{(-\pi,\pi)}の逆写像はCrC_rを覆う二つのチャートであり、その座標ベクトルはγr′(t)\gamma_r'(t)である。CrC_rにγr′(t)\gamma_r'(t)が整合する向きを与えると二つのチャートは向きを保つ。従属する1の分割{ψ1,ψ2}\{\psi_1,\psi_2\}についてui=ψi∘γru_i=\psi_i\circ\gamma_rと置くと、u2gu_2gが2π2\pi周期であることから

∫Crβ=∫02πu1g dt+∫−ππu2g dt=∫02π(u1+u2)g dt=∫02πg dt\int_{C_r}\beta=\int_0^{2\pi}u_1g\,dt+\int_{-\pi}^{\pi}u_2g\,dt=\int_0^{2\pi}(u_1+u_2)g\,dt=\int_0^{2\pi}g\,dt

である。反対の向きでは、§E22.15 命題 2.6 (2)により値は−∫02πg dt-\int_0^{2\pi}g\,dtである。CaC_aとCbC_bは∂A\partial Aの互いに交わらない開集合であるから、それぞれのチャートを合わせたものは∂A\partial Aの向きを保つアトラスであり、従属する1の分割の項をCaC_aに属するものとCbC_bに属するものに分けると∫∂Aβ=∫Caβ∣Ca+∫Cbβ∣Cb\int_{\partial A}\beta=\int_{C_a}\beta|_{C_a}+\int_{C_b}\beta|_{C_b}である。

α\alphaをR2∖{0}\R^2\setminus\{0\}の上の閉11次形式とする。A⊆R2∖{0}A\subseteq\R^2\setminus\{0\}はコンパクトであるからα∣A∈Ωc1(A)\alpha|_A\in\Omega^1_c(A)であり、d(α∣A)=0d(\alpha|_A)=0である。γr∗(ι∗α)=γr∗α\gamma_r^*(\iota^*\alpha)=\gamma_r^*\alphaであるから、定理 1.1と上の計算により

0=∫Adα=∫∂Aι∗α=∫02πgb(t) dt−∫02πga(t) dt0=\int_Ad\alpha=\int_{\partial A}\iota^*\alpha=\int_0^{2\pi}g_b(t)\,dt-\int_0^{2\pi}g_a(t)\,dt

であり、二つの積分は等しい。α=(x dy−y dx)/(x2+y2)\alpha=(x\,dy-y\,dx)/(x^2+y^2)は§E22.11 例 5.3の閉形式であり、

γr∗α=rcos⁡t⋅rcos⁡t−rsin⁡t⋅(−rsin⁡t)r2 dt=dt\gamma_r^*\alpha=\frac{r\cos t\cdot r\cos t-r\sin t\cdot(-r\sin t)}{r^2}\,dt=dt

であるから、値はすべてのr>0r>0について2π2\piである。

(6)を示す。§E4.22 定理 4.1の領域は区分的に一階連続微分可能な正則領域、すなわち有界連結開集合の閉包であって、境界が有限個の互いに交わらない区分的にC1C^1級の正則単純閉曲線の和であり、各境界点で局所的な片側性を持つものであり、P,QP,QはDDを含む開集合の上でC1C^1級であればよい。命題 5.2の領域は、C∞C^\infty関数ffと正則値ccによるD={f≤c}D=\{f\le c\}がコンパクトであるものであり、P,QP,QはDDの近傍でC∞C^\inftyであることを要する。前者の族は角を持つ領域を含む。たとえば閉正方形[0,1]2[0,1]^2はその例であるが、後者の族に属さない。実際、R2\R^2の開集合N⊇[0,1]2N\supseteq[0,1]^2の上のC∞C^\infty関数ffと、f−1(c)f^{-1}(c)の各点でdf≠0df\ne0となるccについて[0,1]2={x∈N∣f(x)≤c}[0,1]^2=\{x\in N\mid f(x)\le c\}であるとすると、§E22.15 定理 4.2 (1)により[0,1]2[0,1]^2の位相的な境界はf−1(c)f^{-1}(c)であり、境界は四つの辺の和であるから、辺の上でf=cf=cである。とくにすべてのs∈[0,1]s\in[0,1]についてf(s,0)=f(0,s)=cf(s,0)=f(0,s)=cであるから、ffが(0,0)(0,0)で微分可能であることにより∂xf(0,0)=lim⁡s→0+(f(s,0)−f(0,0))/s=0\partial_xf(0,0)=\lim_{s\to0^+}(f(s,0)-f(0,0))/s=0、同様に∂yf(0,0)=0\partial_yf(0,0)=0である。するとf−1(c)f^{-1}(c)の点(0,0)(0,0)でdf=0df=0となり、仮定に反する。C1C^1級にとどまるP,QP,Qも後者の仮定を満たさない。逆に、後者の族は連結でない領域を含む。f(x,y)=(x2−4)2+y2f(x,y)=(x^2-4)^2+y^2、c=1c=1とすると、df=(4x(x2−4), 2y)df=(4x(x^2-4),\,2y)が消えるのはffの値が1616または00の点だけであるから11は正則値であり、f→∞f\to\infty（∥(x,y)∥→∞\lVert(x,y)\rVert\to\infty）であるからD={f≤1}D=\{f\le1\}はコンパクトである。x=0x=0ではf≥16f\ge16であるからDDは{x>0}\{x>0\}と{x<0}\{x<0\}に分かれ、(2,0)(2,0)と(−2,0)(-2,0)を含むので両方が空でなく、DDは連結でない。連結な集合の閉包は連結であるから、DDは連結な開集合の閉包でなく、前者の族に属さない。また後者の仮定は境界を等位集合f−1(c)f^{-1}(c)として与えるだけであり、前者が要求する区分的にC1C^1級の単純閉曲線による表示を与えない。したがって、どちらの仮定の族も他方を含まない。

(7)を示す。新しい内積は行列G=diag⁡(2,1,1)G=\operatorname{diag}(2,1,1)による⟨x,y⟩=xTGy\langle x,y\rangle=x^{\mathsf T}Gyである。F⃗♭\vec F^{\flat}はF⃗♭(v)=⟨F⃗,v⟩=2F1v1+F2v2+F3v3\vec F^{\flat}(v)=\langle\vec F,v\rangle=2F_1v^1+F_2v^2+F_3v^3で定まるので

F⃗♭=2F1 dx+F2 dy+F3 dz\vec F^{\flat}=2F_1\,dx+F_2\,dy+F_3\,dz

に変わる。これに伴い、df=(grad⁡f)♭df=(\operatorname{grad}f)^{\flat}を満たす勾配は(12∂xf,∂yf,∂zf)\bigl(\tfrac12\partial_xf,\partial_yf,\partial_zf\bigr)に変わる。ιF⃗Ω\iota_{\vec F}\Omegaは内積を用いず体積形式Ω\Omegaだけで定まるので、Ω=dx∧dy∧dz\Omega=dx\wedge dy\wedge dzを保つ限りF1 dy∧dz+F2 dz∧dx+F3 dx∧dyF_1\,dy\wedge dz+F_2\,dz\wedge dx+F_3\,dx\wedge dyのまま変わらない。体積形式も新しい内積から定まるもの、すなわち新しい内積に関する正規直交基底(e1/2,e2,e3)(e_1/\sqrt2,e_2,e_3)で値11を取るΩ′\Omega'に取り替えると、(dx∧dy∧dz)(e1/2,e2,e3)=1/2(dx\wedge dy\wedge dz)(e_1/\sqrt2,e_2,e_3)=1/\sqrt2であるからΩ′=2 dx∧dy∧dz\Omega'=\sqrt2\,dx\wedge dy\wedge dzであり、

ιF⃗Ω′=2 (F1 dy∧dz+F2 dz∧dx+F3 dx∧dy)\iota_{\vec F}\Omega'=\sqrt2\,\bigl(F_1\,dy\wedge dz+F_2\,dz\wedge dx+F_3\,dx\wedge dy\bigr)

となって定数2\sqrt2倍される。

(8)を示す。F⃗=(0,0,z)\vec F=(0,0,z)とするとω=ιF⃗Ω=z dx∧dy\omega=\iota_{\vec F}\Omega=z\,dx\wedge dyであり、div⁡F⃗=1\operatorname{div}\vec F=1であるからdω=dz∧dx∧dy=Ωd\omega=dz\wedge dx\wedge dy=\Omegaである。左辺は§E22.15 定理 4.2と例 5.7の体積の計算により∫Ddω=vol⁡(B‾3)=4π3\int_Dd\omega=\operatorname{vol}(\overline B^3)=\frac{4\pi}{3}である。右辺∫S2ι∗(z dx∧dy)\int_{S^2}\iota^*(z\,dx\wedge dy)を、§E22.15 例 5.2と同じ向きを保つアトラス{(UN,φ~N),(US,φS)}\{(U_N,\widetilde\varphi_N),(U_S,\varphi_S)\}と対称な1の分割{ψN,ψS}\{\psi_N,\psi_S\}で計算する。∂B‾3=S2\partial\overline B^3=S^2の誘導向きは[μ][\mu]であり、これらのチャートは[μ][\mu]について向きを保つ。σ(x,y,z)=(x,−y,−z)\sigma(x,y,z)=(x,-y,-z)についてσ∗(z dx∧dy)=(−z) dx∧d(−y)=z dx∧dy\sigma^*(z\,dx\wedge dy)=(-z)\,dx\wedge d(-y)=z\,dx\wedge dyであり、σ\sigmaはS2S^2を保つのでσ∗(ι∗(z dx∧dy))=ι∗(z dx∧dy)\sigma^*(\iota^*(z\,dx\wedge dy))=\iota^*(z\,dx\wedge dy)である。例と同じ議論により二つの項は等しく、右辺はφS\varphi_Sの項の22倍である。G=φS−1G=\varphi_S^{-1}、v=(a,b)v=(a,b)、s=1+a2+b2s=1+a^2+b^2とするとx=2a/sx=2a/s、y=2b/sy=2b/s、z=(2−s)/sz=(2-s)/sであり、

det⁡∂(x,y)∂(a,b)=(2s−4a2)(2s−4b2)−16a2b2s4=4s2−8s(s−1)s4=4(2−s)s3\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(a,b)}=\frac{(2s-4a^2)(2s-4b^2)-16a^2b^2}{s^4}=\frac{4s^2-8s(s-1)}{s^4}=\frac{4(2-s)}{s^3}

であるから、G∗(z dx∧dy)G^*(z\,dx\wedge dy)の成分は2−ss⋅4(2−s)s3=4(1−∥v∥2)2(1+∥v∥2)4\frac{2-s}{s}\cdot\frac{4(2-s)}{s^3}=\frac{4(1-\lVert v\rVert^2)^2}{(1+\lVert v\rVert^2)^4}である。例のとおりψS∘G(v)=g(−z)\psi_S\circ G(v)=g(-z)、−z=(∥v∥2−1)/(∥v∥2+1)-z=(\lVert v\rVert^2-1)/(\lVert v\rVert^2+1)であり、§E4.14 命題 3.1により

∫S2ι∗ω=2⋅2π∫0Rg(r2−1r2+1)4r(1−r2)2(1+r2)4 dr\int_{S^2}\iota^*\omega=2\cdot2\pi\int_0^{R}g\Bigl(\frac{r^2-1}{r^2+1}\Bigr)\frac{4r(1-r^2)^2}{(1+r^2)^4}\,dr

である。t=(r2−1)/(r2+1)t=(r^2-1)/(r^2+1)と置くとdt/dr=4r/(1+r2)2dt/dr=4r/(1+r^2)^2、(1−r2)2/(1+r2)2=t2(1-r^2)^2/(1+r^2)^2=t^2であるから、RRをggの台の外まで届くように取ると

∫S2ι∗ω=4π∫−11g(t) t2 dt=4π∫−11g(t)+g(−t)2 t2 dt=2π∫−11t2 dt=4π3\int_{S^2}\iota^*\omega=4\pi\int_{-1}^{1}g(t)\,t^2\,dt=4\pi\int_{-1}^{1}\frac{g(t)+g(-t)}{2}\,t^2\,dt=2\pi\int_{-1}^{1}t^2\,dt=\frac{4\pi}{3}

である。二番目の等号はt↦−tt\mapsto-tの置換とt2t^2が偶関数であることによる。両辺はともに4π3\frac{4\pi}{3}であり、一致する。▨

参考文献

  1. John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 218, Springer, New York, 2013.1の分割による局所化と半空間上の直接計算という証明の構成、および誘導向きから来る符号の追跡を参考にした。
  2. Michael Spivak, Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, CRC Press, 2018, originally published 1965.半空間の場合の計算と、古典的な三つの積分定理を特別な場合として読む扱いを参考にした。
  3. Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential Topology, AMS Chelsea Publishing 370, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010, originally published 1974.外向きベクトルを先に置く誘導向きの規約のもとでの符号を参考にした。
  4. Raoul Bott and Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 82, Springer, New York, 1982.Stokes の定理を de Rham 理論の道具として用いる位置づけを参考にした。

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