§E22.13Frobenius の定理の微分形式による定式化

最終更新

分布を与える方法には二通りある。一つは、分布を張るベクトル場の枠を与える方法である。もう一つは、分布を消す一次独立な11形式の組を与える方法である。後者では、分布に接する曲面を求める問題が、連立の全微分方程式

ω1=0,…,ωn−k=0\omega^1=0,\quad\dots,\quad\omega^{n-k}=0

を解く問題として書かれる。

本記事では、この二つの与え方が局所的に同じものであることを確かめ、可積分性が外積イデアルの条件として書き直されることを証明する。可積分性の書き直しには、外微分の不変表示を用いる。分布を消す11形式ω\omegaと、分布に属するベクトル場X,YX,Yに対してω(X)=ω(Y)=0\omega(X)=\omega(Y)=0であるから、不変表示は

dω(X,Y)=−ω([X,Y])d\omega(X,Y)=-\omega\bigl([X,Y]\bigr)

となる。すなわちdωd\omegaが分布の上で消えることと、括弧積が分布に属することが同値になる。この等式を用いることで、Frobenius の定理の微分形式版をベクトル場版から導く。

最後に、行列に値を持つ11形式AAに対する線形な全微分方程式系dY=A YdY=A\,Yを扱い、その可解性がdA−A∧A=0dA-A\wedge A=0と同値であることを示す。

以下、MMを境界を持たないnn次元C∞C^\infty多様体、1≤k≤n−11\le k\le n-1とする。

1 枠と余枠

補題 1.1.U⊆MU\subseteq Mを開集合とする。

  1. Y1,…,YnY_1,\dots,Y_nをUU上のC∞C^\inftyベクトル場で、各点q∈Uq\in Uで(Y1∣q,…,Yn∣q)(Y_1|_q,\dots,Y_n|_q)がTqMT_qMの基底をなすものとする。このときεa(Yb)=δba\varepsilon^a(Y_b)=\delta^a_bで定まるε1,…,εn\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^nはUU上のC∞C^\infty11形式であり、各点でTq∗MT^*_qMの基底をなす。
  2. 逆に、ε1,…,εn\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^nをUU上のC∞C^\infty11形式で各点Tq∗MT^*_qMの基底をなすものとすると、εa(Yb)=δba\varepsilon^a(Y_b)=\delta^a_bで定まるY1,…,YnY_1,\dots,Y_nはUU上のC∞C^\inftyベクトル場である。
  3. 1 の状況で、ξ∈Ωm(U)\xi\in\Omega^m(U)（1≤m≤n1\le m\le n）は増加添字B=(b1<⋯<bm)B=(b_1<\cdots<b_m)にわたって ξ=∑BξB  εb1∧⋯∧εbm,ξB=ξ(Yb1,…,Ybm)\xi=\sum_{B}\xi_B\;\varepsilon^{b_1}\wedge\cdots\wedge\varepsilon^{b_m}, \qquad \xi_B=\xi\bigl(Y_{b_1},\dots,Y_{b_m}\bigr) と一意に表され、係数ξB\xi_BはUU上のC∞C^\infty関数である。

証明.主張 (1)を示す。チャート(V,φ=(x1,…,xn))(V,\varphi=(x^1,\dots,x^n))をUUの中に取り、Yb=∑i=1nAbi ∂/∂xiY_b=\sum_{i=1}^{n}A^i_b\,\partial/\partial x^iと書く。A=(Abi)A=(A^i_b)の成分はC∞C^\inftyであり、各点でAAは可逆である。εa=∑i=1nBia dxi\varepsilon^a=\sum_{i=1}^{n}B^a_i\,dx^iと置くとεa(Yb)=∑i=1nBiaAbi\varepsilon^a(Y_b)=\sum_{i=1}^{n}B^a_iA^i_bであるから、条件はBA=IBA=I、すなわちB=A−1B=A^{-1}である。Cramer の公式によりA−1A^{-1}の成分はAAの成分の多項式をdet⁡A\det Aで割ったものであり、det⁡A\det Aは消えないのでBBの成分はC∞C^\inftyである。よって§E22.10 命題 2.2によりεa\varepsilon^aはC∞C^\inftyである。BBが可逆であるから(ε1∣q,…,εn∣q)(\varepsilon^1|_q,\dots,\varepsilon^n|_q)はTq∗MT^*_qMの基底である。

主張 (2)を示す。同じ計算を逆向きに行う。εa=∑i=1nBia dxi\varepsilon^a=\sum_{i=1}^{n}B^a_i\,dx^iの成分行列BBはC∞C^\inftyで各点可逆であり、A=B−1A=B^{-1}の成分がC∞C^\inftyであることからYb=∑i=1nAbi ∂/∂xiY_b=\sum_{i=1}^{n}A^i_b\,\partial/\partial x^iはC∞C^\inftyベクトル場である。

主張 (3)を示す。各点で{εb1∣q∧⋯∧εbm∣q}\{\varepsilon^{b_1}|_q\wedge\cdots\wedge\varepsilon^{b_m}|_q\}は⋀m(Tq∗M)\bigwedge^m(T^*_qM)の基底である（§E3.14 定理 2.1）。§E22.10 系 3.6により

(εb1∧⋯∧εbm)(Yc1,…,Ycm)=det⁡(δcsbr)r,s=1m\bigl(\varepsilon^{b_1}\wedge\cdots\wedge\varepsilon^{b_m}\bigr)\bigl(Y_{c_1},\dots,Y_{c_m}\bigr) =\det\bigl(\delta^{b_r}_{c_s}\bigr)_{r,s=1}^{m}

であり、増加添字BB、CCに対してこれはB=CB=Cのとき11、そうでないとき00である（§E22.10 命題 4.1の証明と同じ議論）。よって展開は一意であり、係数はξ(Yb1,…,Ybm)\xi(Y_{b_1},\dots,Y_{b_m})に等しい。これはC∞C^\infty関数である。▨

補題 1.2.DDをMM上の階数kkのC∞C^\infty分布とする（§E22.8 定義 1.1）。

  1. 各点p∈Mp\in Mに対し、ppの開近傍UUと、UU上のC∞C^\infty11形式の組(ε1,…,εk,ω1,…,ωn−k)(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})であって、各点でTq∗MT^*_qMの基底をなし、UUの各点qqで Dq=⋂a=1n−kker⁡ωqaD_q=\bigcap_{a=1}^{n-k}\ker\omega^a_q となるものが存在する。
  2. 逆に、開集合UUの上のC∞C^\infty11形式ω1,…,ωn−k\omega^1,\dots,\omega^{n-k}が各点で一次独立であるならば、q↦⋂aker⁡ωqaq\mapsto\bigcap_a\ker\omega^a_qはUU上の階数kkのC∞C^\infty分布である。

証明.主張 (1)を示す。§E22.8 定義 1.1により、ppのある開近傍U0U_0の上でDDを張るC∞C^\inftyベクトル場の枠X1,…,XkX_1,\dots,X_kが存在する。U0U_0をチャートの定義域に取り替え、座標基底を∂/∂x1,…,∂/∂xn\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^nとする。X1∣p,…,Xk∣pX_1|_p,\dots,X_k|_pは一次独立であるから、座標基底のうちn−kn-k個を選んでTpMT_pMの基底を作ることができる。番号を付け替えて、それらを∂/∂xk+1∣p,…,∂/∂xn∣p\partial/\partial x^{k+1}|_p,\dots,\partial/\partial x^{n}|_pとする。

Y1,…,YnY_1,\dots,Y_nをX1,…,Xk,∂/∂xk+1,…,∂/∂xnX_1,\dots,X_k,\partial/\partial x^{k+1},\dots,\partial/\partial x^{n}と定め、これらを座標基底で表した行列をAAとする。AAの成分はC∞C^\inftyでありdet⁡A(p)≠0\det A(p)\ne0であるから、det⁡A\det Aの連続性によりdet⁡A≠0\det A\ne0となるppの開近傍U⊆U0U\subseteq U_0が存在する。UUの上で(Y1,…,Yn)(Y_1,\dots,Y_n)は各点で基底をなすC∞C^\infty枠である。

補題 1.1 (1)により双対なC∞C^\infty余枠(ε1,…,εk,ω1,…,ωn−k)(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})が定まる（ωa=εk+a\omega^a=\varepsilon^{k+a}と書いた）。v=∑b=1ncbYb∣qv=\sum_{b=1}^{n}c^bY_b|_qに対してωa(v)=ck+a\omega^a(v)=c^{k+a}であるから、⋂aker⁡ωqa\bigcap_a\ker\omega^a_qはY1∣q,…,Yk∣qY_1|_q,\dots,Y_k|_qが張る部分空間、すなわちDqD_qである。

主張 (2)を示す。各点qqでω1∣q,…,ωn−k∣q\omega^1|_q,\dots,\omega^{n-k}|_qは一次独立であるから、共通の核はkk次元である。q0∈Uq_0\in Uを取り、座標基底の双対基底dx1,…,dxndx^1,\dots,dx^nのうちkk個を選んで( ⋅ ,ω1∣q0,…,ωn−k∣q0)(\,\cdot\,,\omega^1|_{q_0},\dots,\omega^{n-k}|_{q_0})がTq0∗MT^*_{q_0}Mの基底になるようにする。番号を付け替えてdx1,…,dxkdx^1,\dots,dx^kとする。行列式の連続性から、q0q_0のある近傍U′U'の上で(dx1,…,dxk,ω1,…,ωn−k)(dx^1,\dots,dx^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})は各点で基底をなす。補題 1.1 (2)により、双対なC∞C^\infty枠(Z1,…,Zk,W1,…,Wn−k)(Z_1,\dots,Z_k,W_1,\dots,W_{n-k})が定まる。ωa(Zi)=0\omega^a(Z_i)=0であるからZ1,…,ZkZ_1,\dots,Z_kは⋂aker⁡ωa\bigcap_a\ker\omega^aに属し、次元から各点でそれを張る。よって⋂aker⁡ωa\bigcap_a\ker\omega^aは階数kkのC∞C^\infty分布である。▨

以下、この記事では適合余枠という語を次の意味で用いる。MMをnn次元C∞C^\infty多様体、1≤k≤n−11\le k\le n-1とし、U⊆MU\subseteq Mを開集合とする。UU上のC∞C^\infty11形式の組(ε1,…,εk,ω1,…,ωn−k)(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})が各点q∈Uq\in UでTq∗MT^*_qMの基底をなすとき、この組をUU上の適合余枠といい、補題 1.1 (2)により得られる双対枠を(Y1,…,Yk,Z1,…,Zn−k)(Y_1,\dots,Y_k,Z_1,\dots,Z_{n-k})と書く。このときD=⋂a=1n−kker⁡ωaD=\bigcap_{a=1}^{n-k}\ker\omega^aはUU上の階数kkのC∞C^\infty分布であり、各点qqでY1∣q,…,Yk∣qY_1|_q,\dots,Y_k|_qがDqD_qを張る。補題 1.2により、MM上の任意の階数kkのC∞C^\infty分布は、各点の近傍で適合余枠から得られるこの形に表される。

2 外積イデアル

定義 2.1.U⊆MU\subseteq Mを開集合、ω1,…,ωn−k\omega^1,\dots,\omega^{n-k}をUU上のC∞C^\infty11形式で各点において一次独立であるものとする。ω1,…,ωn−k\omega^1,\dots,\omega^{n-k}が生成する外積イデアル (generated exterior ideal)I\mathcal{I}を

Im={ ∑a=1n−kηa∧ωa : η1,…,ηn−k∈Ωm−1(U) }⊆Ωm(U)(m≥1)\mathcal{I}^m=\Bigl\{\ \sum_{a=1}^{n-k}\eta_a\wedge\omega^a\ :\ \eta_1,\dots,\eta_{n-k}\in\Omega^{m-1}(U)\ \Bigr\}\subseteq\Omega^m(U) \qquad(m\ge 1)

で定め、I=⋃m≥1Im\mathcal{I}=\bigcup_{m\ge1}\mathcal{I}^mと書く。ここで∑a=1n−k\sum_{a=1}^{n-k}は添字aaについての和を明示的に表す。

命題 2.2.UU、ω1,…,ωn−k\omega^1,\dots,\omega^{n-k}、I\mathcal{I}を定義 2.1のとおりとする。m,l≥1m,l\ge 1、ξ∈Im\xi\in\mathcal{I}^m、ζ∈Ωl(U)\zeta\in\Omega^l(U)とすると

ζ∧ξ∈Im+l,ξ∧ζ∈Im+l\zeta\wedge\xi\in\mathcal{I}^{m+l}, \qquad \xi\wedge\zeta\in\mathcal{I}^{m+l}

が成り立つ。

証明.ξ=∑a=1n−kηa∧ωa\xi=\sum_{a=1}^{n-k}\eta_a\wedge\omega^a（ηa∈Ωm−1(U)\eta_a\in\Omega^{m-1}(U)）と書く。各aaについて、§E22.10 定理 3.5の結合性から

ζ∧(ηa∧ωa)=(ζ∧ηa)∧ωa\zeta\wedge\bigl(\eta_a\wedge\omega^a\bigr)=\bigl(\zeta\wedge\eta_a\bigr)\wedge\omega^a

である。ζ∧ηa∈Ωm+l−1(U)\zeta\wedge\eta_a\in\Omega^{m+l-1}(U)であるから、aaについて和を取るとζ∧ξ∈Im+l\zeta\wedge\xi\in\mathcal{I}^{m+l}を得る。

つぎに各aaについて、ηa\eta_aの次数はm−1m-1、ωa\omega^aの次数は11であるから、§E22.10 定理 3.5の次数付き交換性を二度用いて

(ηa∧ωa)∧ζ=(−1)l ηa∧ζ∧ωa=(−1)l(−1)(m−1)l (ζ∧ηa)∧ωa\bigl(\eta_a\wedge\omega^a\bigr)\wedge\zeta =(-1)^{l}\,\eta_a\wedge\zeta\wedge\omega^a =(-1)^{l}(-1)^{(m-1)l}\,\bigl(\zeta\wedge\eta_a\bigr)\wedge\omega^a

である（第一の等号ではωa∧ζ=(−1)1⋅lζ∧ωa\omega^a\wedge\zeta=(-1)^{1\cdot l}\zeta\wedge\omega^a、第二の等号ではηa∧ζ=(−1)(m−1)lζ∧ηa\eta_a\wedge\zeta=(-1)^{(m-1)l}\zeta\wedge\eta_aを用いた）。右辺はIm+l\mathcal{I}^{m+l}の元の定数倍であるから、aaについて和を取るとξ∧ζ∈Im+l\xi\wedge\zeta\in\mathcal{I}^{m+l}を得る。▨

補題 2.3.U⊆MU\subseteq Mを開集合、(ε1,…,εk,ω1,…,ωn−k)(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})をUU上の適合余枠、(Y1,…,Yk,Z1,…,Zn−k)(Y_1,\dots,Y_k,Z_1,\dots,Z_{n-k})をその双対枠、D=⋂a=1n−kker⁡ωaD=\bigcap_{a=1}^{n-k}\ker\omega^a、I\mathcal{I}をω1,…,ωn−k\omega^1,\dots,\omega^{n-k}が生成する外積イデアル（定義 2.1）とする。m≥1m\ge 1とξ∈Ωm(U)\xi\in\Omega^m(U)に対して次は同値である。

  1. ξ∈Im\xi\in\mathcal{I}^mである。

  2. すべてのq∈Uq\in Uとv1,…,vm∈Dqv_1,\dots,v_m\in D_qに対してξq(v1,…,vm)=0\xi_q(v_1,\dots,v_m)=0である。

    とくにI\mathcal{I}は、DDを消す形式の全体として、ω1,…,ωn−k\omega^1,\dots,\omega^{n-k}のとり方に依らずに定まる。

証明.(a)⇒\Rightarrow(b)を示す。ξ=∑a=1n−kηa∧ωa\xi=\sum_{a=1}^{n-k}\eta_a\wedge\omega^a（ηa∈Ωm−1(U)\eta_a\in\Omega^{m-1}(U)）とし、v1,…,vm∈Dqv_1,\dots,v_m\in D_qとする。各aaについてξa=ηa∧ωa\xi_a=\eta_a\wedge\omega^aと置く。ωa\omega^aは11形式であるから、§E22.10 命題 3.3を(m−1,1)(m-1,1)シャッフルに適用すると、各aaについて

(ξa)q(v1,…,vm)=∑j=1m(−1)m−j (ηa)q(v1,…,vj^,…,vm) ωqa(vj)(\xi_a)_q(v_1,\dots,v_m)=\sum_{j=1}^{m}(-1)^{m-j}\,(\eta_a)_q\bigl(v_1,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_m\bigr)\,\omega^a_q(v_j)

となる。vj∈Dqv_j\in D_qからωqa(vj)=0\omega^a_q(v_j)=0であり、すべての項が消える。したがってξq(v1,…,vm)=∑a=1n−k(ξa)q(v1,…,vm)=0\xi_q(v_1,\dots,v_m)=\sum_{a=1}^{n-k}(\xi_a)_q(v_1,\dots,v_m)=0である。

(b)⇒\Rightarrow(a)を示す。補題 1.1 (3)を余枠(θ1,…,θn)=(ε1,…,εk,ω1,…,ωn−k)(\theta^1,\dots,\theta^n)=(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})に適用して

ξ=∑BξB θb1∧⋯∧θbm\xi=\sum_{B}\xi_B\,\theta^{b_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{b_m}

と展開する（B=(b1<⋯<bm)B=(b_1<\cdots<b_m)）。BBが{1,…,k}\{1,\dots,k\}に含まれない項、すなわちbr≥k+1b_r\ge k+1となるrrを持つ項は、§E22.10 系 3.6により因子を並べ替えて±(形式)∧ωbr−k\pm(\text{形式})\wedge\omega^{b_r-k}の形に書くことができ、Im\mathcal{I}^mに属する。それらの和をξ′′\xi''と置き、B⊆{1,…,k}B\subseteq\{1,\dots,k\}の項の和をξ′\xi'と置くとξ=ξ′+ξ′′\xi=\xi'+\xi''である。

ξ′′∈Im\xi''\in\mathcal{I}^mであるから、すでに示した含意によりξ′′\xi''はDDを消す。仮定からξ\xiもDDを消すので、ξ′\xi'もDDを消す。DqD_qはY1∣q,…,Yk∣qY_1|_q,\dots,Y_k|_qが張るので、増加添字B⊆{1,…,k}B\subseteq\{1,\dots,k\}に対して

ξB′=ξ′(Yb1,…,Ybm)=0\xi'_B=\xi'\bigl(Y_{b_1},\dots,Y_{b_m}\bigr)=0

である（補題 1.1 (3)）。よってξ′=0\xi'=0でありξ=ξ′′∈Im\xi=\xi''\in\mathcal{I}^mである。

最後の主張は、2 の条件がDDだけで書かれていることによる。▨

3 Frobenius の定理の微分形式版

定理 3.1 (Frobenius の定理).MMを境界を持たないnn次元C∞C^\infty多様体、1≤k≤n−11\le k\le n-1、U⊆MU\subseteq Mを開集合とする。(ε1,…,εk,ω1,…,ωn−k)(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})をUU上の適合余枠とする。すなわち、これらはUU上のC∞C^\infty11形式であって、各点q∈Uq\in UでTq∗MT^*_qMの基底をなすとする。(Y1,…,Yk,Z1,…,Zn−k)(Y_1,\dots,Y_k,Z_1,\dots,Z_{n-k})をその双対枠（補題 1.1）とし、

D=⋂a=1n−kker⁡ωaD=\bigcap_{a=1}^{n-k}\ker\omega^{a}

と置く。DDはUU上の階数kkのC∞C^\infty分布であり、各点qqでY1∣q,…,Yk∣qY_1|_q,\dots,Y_k|_qがDqD_qを張る（補題 1.2）。I\mathcal{I}をω1,…,ωn−k\omega^1,\dots,\omega^{n-k}が生成する外積イデアル（定義 2.1）とする。このとき次の三つは同値である。

  1. DDは可積分である。すなわちUUの各点を通るkk次元積分多様体が存在する。
  2. dI⊆Id\mathcal{I}\subseteq\mathcal{I}である。すなわちξ∈Im\xi\in\mathcal{I}^mならばdξ∈Im+1d\xi\in\mathcal{I}^{m+1}である。
  3. UU上の11形式θba\theta^a_b（a,b=1,…,n−ka,b=1,\dots,n-k）が存在して dωa=∑b=1n−kθba∧ωb(a=1,…,n−k)d\omega^a=\sum_{b=1}^{n-k}\theta^a_b\wedge\omega^b \qquad(a=1,\dots,n-k) が成り立つ。

証明.(b)⇒\Rightarrow(c)を示す。条件 (b)を仮定する。ωa\omega^aはηb=δba\eta_b=\delta^a_b（定数関数）を取るとI1\mathcal{I}^1に属するのでdωa∈I2d\omega^a\in\mathcal{I}^2である。I2\mathcal{I}^2の元は∑b=1n−kηb∧ωb\sum_{b=1}^{n-k}\eta_b\wedge\omega^b（ηb∈Ω1(U)\eta_b\in\Omega^1(U)）の形であるから、θba=ηb\theta^a_b=\eta_bと置けば条件 (c)を得る。

(c)⇒\Rightarrow(b)を示す。条件 (c)を仮定する。ξ=∑a=1n−kηa∧ωa∈Im\xi=\sum_{a=1}^{n-k}\eta_a\wedge\omega^a\in\mathcal{I}^m（ηa∈Ωm−1(U)\eta_a\in\Omega^{m-1}(U)）とする。§E22.11 定義 2.1 条件 (c)により

dξ=∑a=1n−k(dηa∧ωa+(−1)m−1ηa∧dωa)d\xi=\sum_{a=1}^{n-k}\Bigl(d\eta_a\wedge\omega^a+(-1)^{m-1}\eta_a\wedge d\omega^a\Bigr)

である。第一の和はIm+1\mathcal{I}^{m+1}に属する。第二の和は 3 と§E22.10 定理 3.5の結合性により

∑a=1n−k(−1)m−1ηa∧(∑b=1n−kθba∧ωb)=∑b=1n−k(∑a=1n−k(−1)m−1ηa∧θba)∧ωb\sum_{a=1}^{n-k}(-1)^{m-1}\eta_a\wedge\Bigl(\sum_{b=1}^{n-k}\theta^a_b\wedge\omega^b\Bigr) =\sum_{b=1}^{n-k}\Bigl(\sum_{a=1}^{n-k}(-1)^{m-1}\eta_a\wedge\theta^a_b\Bigr)\wedge\omega^b

と書き直され（命題 2.2の証明と同じ計算である）、これもIm+1\mathcal{I}^{m+1}に属する。よってdξ∈Im+1d\xi\in\mathcal{I}^{m+1}である。

(a)⇔\Leftrightarrow(c)を示す。§E22.8 定理 4.1を開部分多様体UU（§E22.1 命題 7.1）へ適用すると、条件 (a)はDDが対合的であること、すなわちDDに属する任意の二つのC∞C^\inftyベクトル場X,YX,Yに対して[X,Y][X,Y]もまたDDに属することと同値である。積分多様体の存在は各点の近傍だけで述べられる条件であるから、UUの上で調べれば足りる。

X,YX,YをUU上のC∞C^\inftyベクトル場で、各点でDDに属するものとする。ωa(X)=ωa(Y)=0\omega^a(X)=\omega^a(Y)=0であるから、§E22.11 定理 4.2により

dωa(X,Y)=X(ωa(Y))−Y(ωa(X))−ωa([X,Y])=−ωa([X,Y])d\omega^a(X,Y)=X\bigl(\omega^a(Y)\bigr)-Y\bigl(\omega^a(X)\bigr)-\omega^a\bigl([X,Y]\bigr)=-\omega^a\bigl([X,Y]\bigr)

である。[X,Y][X,Y]が各点でDDに属することは、すべてのaaについてωa([X,Y])=0\omega^a([X,Y])=0となることと同値である。したがって

  • DDが対合的であること

と

  • すべてのaaと、DDに属するすべてのC∞C^\inftyベクトル場X,YX,Yに対してdωa(X,Y)=0d\omega^a(X,Y)=0となること

は同値である。後者は、dωad\omega^aが各点でDqD_qを消すことと同値である。実際、v,w∈Dqv,w\in D_qに対しては、定数係数の一次結合∑i=1kciYi\sum_{i=1}^{k}c^iY_iと∑i=1kc′iYi\sum_{i=1}^{k}c'^iY_iを取るとDDに属するC∞C^\inftyベクトル場であってqqでそれぞれvv、wwに等しいものが得られ、dωad\omega^aは各点で決まる形式であるからdωqa(v,w)=dωa(X,Y)(q)d\omega^a_q(v,w)=d\omega^a(X,Y)(q)である。

補題 2.3により、dωad\omega^aがDDを消すこととdωa∈I2d\omega^a\in\mathcal{I}^2であることは同値であり、後者は条件 (c)と同じ主張である。▨

例 3.2.M=R3M=\R^3、座標を(x,y,z)(x,y,z)とし、n=3n=3、k=2k=2の場合を見る。

可積分でない例。ω=dz−y dx\omega=dz-y\,dxとする。ω\omegaはどの点でも消えないので、D=ker⁡ωD=\ker\omegaは階数22のC∞C^\infty分布である。dω=−dy∧dx=dx∧dyd\omega=-dy\wedge dx=dx\wedge dyであるから

ω∧dω=(dz−y dx)∧dx∧dy=dz∧dx∧dy=dx∧dy∧dz≠0\omega\wedge d\omega=(dz-y\,dx)\wedge dx\wedge dy=dz\wedge dx\wedge dy=dx\wedge dy\wedge dz\ne0

である。もしdω=θ∧ωd\omega=\theta\wedge\omegaと書けたとするとω∧dω=ω∧θ∧ω=−ω∧ω∧θ=0\omega\wedge d\omega=\omega\wedge\theta\wedge\omega=-\omega\wedge\omega\wedge\theta=0となり矛盾する。よって定理 3.1 条件 (c)が成り立たず、DDは可積分でない。

可積分である例。U={(x,y,z)∈R3:y>0}U=\{(x,y,z)\in\R^3:y>0\}の上でω=y dx−x dy\omega=y\,dx-x\,dyとする。ω\omegaはUUのどの点でも消えない。dω=dy∧dx−dx∧dy=−2 dx∧dyd\omega=dy\wedge dx-dx\wedge dy=-2\,dx\wedge dyであるから

ω∧dω=(y dx−x dy)∧(−2 dx∧dy)=0\omega\wedge d\omega=(y\,dx-x\,dy)\wedge(-2\,dx\wedge dy)=0

である（どちらの項もdxdxまたはdydyを二度含む）。実際、u=x/yu=x/yと置くと

du=y dx−x dyy2,ω=y2 dudu=\frac{y\,dx-x\,dy}{y^2},\qquad \omega=y^2\,du

であるからdω=d(y2)∧du=d(y2)y2∧ωd\omega=d(y^2)\wedge du=\frac{d(y^2)}{y^2}\wedge\omegaとなり、定理 3.1 条件 (c)がθ=d(y2)/y2\theta=d(y^2)/y^2で成り立つ。積分多様体はu=x/yu=x/yが一定の面、すなわちzz軸を縁とする開いた半平面である。U={y>0}U=\{y>0\}であるからzz軸自身はUUに属さず、積分多様体はその縁を含まない。ω\omega自身は完全形式でない（dω≠0d\omega\ne0）が、y−2y^{-2}という因子を掛けるとy−2ω=duy^{-2}\omega=duとなり、完全形式になる。

4 全微分方程式の可解性

定理 4.1.MMを境界を持たないnn次元C∞C^\infty多様体、1≤k≤n−11\le k\le n-1、U⊆MU\subseteq Mを開集合、(ε1,…,εk,ω1,…,ωn−k)(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})をUU上の適合余枠（各点でTq∗MT^*_qMの基底をなすC∞C^\infty11形式の組）とし、(Y1,…,Yk,Z1,…,Zn−k)(Y_1,\dots,Y_k,Z_1,\dots,Z_{n-k})をその双対枠、D=⋂a=1n−kker⁡ωaD=\bigcap_{a=1}^{n-k}\ker\omega^aとする。このとき次は同値である。

  1. DDは可積分である。

  2. UUの各点q0q_0に対して、q0q_0の開近傍V⊆UV\subseteq UとC∞C^\infty関数u1,…,un−k:V→Ru^1,\dots,u^{n-k}:V\to\Rであって、du1,…,dun−kdu^1,\dots,du^{n-k}が各点で一次独立であり、VVの上で

    ωa=∑b=1n−kcba dub(a=1,…,n−k)\omega^a=\sum_{b=1}^{n-k}c^a_b\,du^b\qquad(a=1,\dots,n-k)

    と表されるもの（cbac^a_bはC∞C^\infty関数で行列(cba)(c^a_b)は各点で可逆）が存在する。

    このときu=(u1,…,un−k) ⁣:V→Rn−ku=(u^1,\dots,u^{n-k})\colon V\to\R^{n-k}は沈め込みである。各t∈Rn−kt\in\R^{n-k}に対して、空でない共通レベル集合u−1(t)u^{-1}(t)の各連結成分はDDのkk次元埋め込み積分多様体である。逆に、(N,ι)(N,\iota)がι(N)⊆V\iota(N)\subseteq Vを満たす連結な積分多様体ならば、ι(N)\iota(N)は一つの共通レベル集合の一つの連結成分に含まれる。したがって、共通レベル集合の連結成分は、像の包含関係に関してVV内で極大な連結積分多様体を与えるが、一般の連結積分多様体の像はその真部分集合でもよい。

証明.(a)⇒\Rightarrow(b)を示す。§E22.8 定理 4.1により、q0q_0の周りに平坦チャート(V,ψ=(y1,…,yn))(V,\psi=(y^1,\dots,y^n))が存在して、D∣VD|_Vは∂/∂y1,…,∂/∂yk\partial/\partial y^1,\dots,\partial/\partial y^kが張る。ua=yk+au^a=y^{k+a}（a=1,…,n−ka=1,\dots,n-k）と置く。du1,…,dun−kdu^1,\dots,du^{n-k}は座標の双対基底の一部であるから各点で一次独立である。

ωa\omega^aはDDを消すので、補題 1.1 (3)を余枠(dy1,…,dyn)(dy^1,\dots,dy^n)に適用してωa=∑i=1nωia dyi\omega^a=\sum_{i=1}^{n}\omega^a_i\,dy^iと書くと、i≤ki\le kに対してωia=ωa(∂/∂yi)=0\omega^a_i=\omega^a(\partial/\partial y^i)=0である。よってωa=∑b=1n−kcba dub\omega^a=\sum_{b=1}^{n-k}c^a_b\,du^b（cba=ωk+bac^a_b=\omega^a_{k+b}）である。行列(cba)(c^a_b)は、ω1,…,ωn−k\omega^1,\dots,\omega^{n-k}が各点で一次独立であることから可逆である。

(b)⇒\Rightarrow(a)を示す。§E22.11 定義 2.1 条件 (c)と§E22.11 定義 2.1 条件 (d)により

dωa=∑b=1n−kdcba∧dub+∑b=1n−kcba d(dub)=∑b=1n−kdcba∧dubd\omega^a=\sum_{b=1}^{n-k}dc^a_b\wedge du^b+\sum_{b=1}^{n-k}c^a_b\,d(du^b)=\sum_{b=1}^{n-k}dc^a_b\wedge du^b

である。(cba)(c^a_b)の逆行列を(c~ba)(\tilde c^a_b)と書くとdub=∑e=1n−kc~eb ωedu^b=\sum_{e=1}^{n-k}\tilde c^b_e\,\omega^eであるから

dωa=∑e=1n−k(∑b=1n−kc~eb dcba)∧ωed\omega^a=\sum_{e=1}^{n-k}\Bigl(\sum_{b=1}^{n-k}\tilde c^b_e\,dc^a_b\Bigr)\wedge\omega^e

となり、定理 3.1 条件 (c)が成り立つ。よってDDは可積分である。

積分多様体の記述。du1,…,dun−kdu^1,\dots,du^{n-k}は各点で一次独立であるから、u=(u1,…,un−k)u=(u^1,\dots,u^{n-k})は沈め込みである。したがって、u−1(t)u^{-1}(t)が空でなければ、§E22.5 定理 4.3によりu−1(t)u^{-1}(t)はVVのkk次元埋め込み部分多様体であり、各q∈u−1(t)q\in u^{-1}(t)における接空間はker⁡duq\ker du_qである。行列(cba)(c^a_b)が可逆であることから

Dq=⋂a=1n−kker⁡ωqa=⋂b=1n−kker⁡duqb=ker⁡duqD_q=\bigcap_{a=1}^{n-k}\ker\omega^a_q=\bigcap_{b=1}^{n-k}\ker du^b_q=\ker du_q

となるので、u−1(t)u^{-1}(t)の各連結成分はDDの積分多様体である。多様体の各点には連結な座標近傍があるため、各連結成分はu−1(t)u^{-1}(t)の開部分多様体であり、次元と接空間は変わらない。

逆に、(N,ι)(N,\iota)をι(N)⊆V\iota(N)\subseteq Vを満たす連結な積分多様体とする。各aaについて

d(ua∘ι)p=duι(p)a∘dιp=0d(u^a\circ\iota)_p=du^a_{\iota(p)}\circ d\iota_p=0

である。したがってua∘ιu^a\circ\iotaは局所定数である。NNは連結であるから、局所定数関数ua∘ιu^a\circ\iotaはNN上で定数である。よって、あるt∈Rn−kt\in\R^{n-k}に対してι(N)⊆u−1(t)\iota(N)\subseteq u^{-1}(t)であり、ι(N)\iota(N)は連結なのでu−1(t)u^{-1}(t)の一つの連結成分に含まれる。その連結成分自身が積分多様体であるため、連結成分は像の包含関係に関してVV内で極大である。▨

系 4.2.MMを境界を持たないnn次元C∞C^\infty多様体とし、n≥2n\ge 2とする（本記事の設定1≤k≤n−11\le k\le n-1においてk=n−1k=n-1とすることに対応する）。U⊆MU\subseteq Mを開集合、ω\omegaをUU上のC∞C^\infty11形式でどの点でも消えないものとする。D=ker⁡ωD=\ker\omegaはUU上の階数n−1n-1のC∞C^\infty分布である（補題 1.2 (2)をn−k=1n-k=1の場合に適用する）。次は同値である。

  1. DDは可積分である。
  2. UUの各点の近傍でdω=θ∧ωd\omega=\theta\wedge\omegaとなる11形式θ\thetaが存在する。
  3. ω∧dω=0\omega\wedge d\omega=0である。
  4. UUの各点の近傍で、消えないC∞C^\infty関数ffとC∞C^\infty関数uu（duduはどの点でも消えない）が存在してω=f du\omega=f\,duとなる。

証明. 四つの主張はいずれも各点の近傍で確かめれば足りる（可積分性は各点を通る積分多様体の存在であり、条件 (c)は各点での等式である）。そこで補題 1.2 (2)の議論により、各点の近傍を、(ε1,…,εn−1,ω)(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^{n-1},\omega)が各点でTq∗MT^*_qMの基底をなす開集合に取り替える。この組はn−k=1n-k=1の場合の適合余枠であり、D=ker⁡ωD=\ker\omegaがそれに対応する階数n−1n-1の分布である。

(a)⇔\Leftrightarrow(b)は定理 3.1である。(a)⇔\Leftrightarrow(d)は定理 4.1であり、f=c11f=c^1_1、u=u1u=u^1と読み替えればよい。

(b)⇒\Rightarrow(c)を示す。dω=θ∧ωd\omega=\theta\wedge\omegaならば、§E22.10 定理 3.5により

ω∧dω=ω∧θ∧ω=−ω∧ω∧θ=0\omega\wedge d\omega=\omega\wedge\theta\wedge\omega=-\omega\wedge\omega\wedge\theta=0

である（11形式どうしは反交換し、ω∧ω=0\omega\wedge\omega=0である）。この主張は各点で成り立つので、局所的な条件 (b)から大域的な条件 (c)が従う。

(c)⇒\Rightarrow(b)を示す。q0∈Uq_0\in Uを取る。ω∣q0≠0\omega|_{q_0}\ne0であるから、補題 1.2 (2)の議論により、q0q_0の近傍VVとC∞C^\infty11形式ε1,…,εn−1\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^{n-1}であって(ε1,…,εn−1,ω)(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^{n-1},\omega)が各点でTq∗MT^*_qMの基底をなすものを取ることができる。補題 1.1 (3)により

dω=∑1≤i<j≤n−1Aij εi∧εj+∑i=1n−1Bi εi∧ωd\omega=\sum_{1\le i<j\le n-1}A_{ij}\,\varepsilon^i\wedge\varepsilon^j+\sum_{i=1}^{n-1}B_i\,\varepsilon^i\wedge\omega

と一意に表される。ω∧ω=0\omega\wedge\omega=0から

ω∧dω=∑1≤i<j≤n−1Aij ω∧εi∧εj\omega\wedge d\omega=\sum_{1\le i<j\le n-1}A_{ij}\,\omega\wedge\varepsilon^i\wedge\varepsilon^j

であり、{ω∧εi∧εj}i<j\{\omega\wedge\varepsilon^i\wedge\varepsilon^j\}_{i<j}は33次外冪の基底の一部（符号を除く）であるから一次独立である。したがってω∧dω=0\omega\wedge d\omega=0は、すべてのi<ji<jでAij=0A_{ij}=0であることと同値である。そのとき

dω=(∑i=1n−1Bi εi)∧ωd\omega=\Bigl(\sum_{i=1}^{n-1}B_i\,\varepsilon^i\Bigr)\wedge\omega

であり、θ=∑i=1n−1Biεi\theta=\sum_{i=1}^{n-1}B_i\varepsilon^iと置けば 2 を得る。▨

例 4.3.U⊆R3U\subseteq\R^3を開集合、ω=P dx+Q dy+R dz\omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dzをどの点でも消えないC∞C^\infty11形式とする。§E22.11 例 2.6の計算により

dω=(∂R∂y−∂Q∂z)dy∧dz+(∂P∂z−∂R∂x)dz∧dx+(∂Q∂x−∂P∂y)dx∧dyd\omega=\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Bigr)dy\wedge dz +\Bigl(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Bigr)dz\wedge dx +\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dx\wedge dy

である。外積を取ると、同じ座標微分を二つ含む項が消えるので

ω∧dω=[P(∂R∂y−∂Q∂z)+Q(∂P∂z−∂R∂x)+R(∂Q∂x−∂P∂y)]dx∧dy∧dz\omega\wedge d\omega=\left[P\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Bigr) +Q\Bigl(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Bigr) +R\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\right]dx\wedge dy\wedge dz

である（dy∧dz∧dx=dz∧dx∧dy=dx∧dy∧dzdy\wedge dz\wedge dx=dz\wedge dx\wedge dy=dx\wedge dy\wedge dzを用いた）。したがって系 4.2により、全微分方程式P dx+Q dy+R dz=0P\,dx+Q\,dy+R\,dz=0が局所的に積分因子を持つための必要十分条件は、角括弧の中の式が恒等的に00になることである。

例 3.2のω=dz−y dx\omega=dz-y\,dxではP=−yP=-y、Q=0Q=0、R=1R=1であり、角括弧の中は−y⋅0+0⋅0+1⋅(0−(−1))=1≠0-y\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot(0-(-1))=1\ne0である。ω=y dx−x dy\omega=y\,dx-x\,dyではP=yP=y、Q=−xQ=-x、R=0R=0であり、角括弧の中はy⋅0+(−x)⋅0+0⋅(−1−1)=0y\cdot 0+(-x)\cdot 0+0\cdot(-1-1)=0である。

5 行列に値を持つ 1 形式

定義 5.1.U⊆RnU\subseteq\R^nを開集合、mmを正の整数とする。UU上の Mm(R)M_m(\R)に値を持つC∞C^\infty11形式 (Mm(R)M_m(\R)-valued smooth11-form) とは、mm次正方行列の形に並べたC∞C^\infty11形式の族A=(Aβα)α,β=1mA=(A^\alpha_\beta)_{\alpha,\beta=1}^{m}のことをいう。

行列に値を持つ形式PP（各成分がpp次形式）とQQ（各成分がqq次形式）に対し、積P∧QP\wedge Qを

(P∧Q)βα=∑γ=1mPγα∧Qβγ(P\wedge Q)^\alpha_\beta=\sum_{\gamma=1}^{m}P^\alpha_\gamma\wedge Q^\gamma_\beta

で定め、dPdPを成分ごとの外微分で定める。

AAに対する線形な全微分方程式系 (linear total differential system) とは、C∞C^\infty写像Y:V→Mm(R)Y:V\to M_m(\R)（V⊆UV\subseteq Uは開集合）についての方程式dY=A YdY=A\,Yのことをいう。ここでYYの成分は00次形式と読み、dY=(dYβα)dY=(dY^\alpha_\beta)とする。

命題 5.2.U⊆RnU\subseteq\R^nを開集合、AAをUU上のMm(R)M_m(\R)に値を持つC∞C^\infty11形式とする。このときC∞C^\infty写像A1,…,An:U→Mm(R)A_1,\dots,A_n:U\to M_m(\R)が一意に定まって

A=∑i=1nAi dxiA=\sum_{i=1}^{n}A_i\,dx^i

が成り立つ。またC∞C^\infty写像Y:V→Mm(R)Y:V\to M_m(\R)（V⊆UV\subseteq Uは開集合）に対し、dY=A YdY=A\,Yが成り立つことと

∂Y∂xi=AiY(i=1,…,n)\frac{\partial Y}{\partial x^i}=A_iY\qquad(i=1,\dots,n)

がVVの上で成り立つことは同値である。

証明. 各成分AβαA^\alpha_\betaはU⊆RnU\subseteq\R^n上のC∞C^\infty11形式であるから、§E22.10 命題 4.1によりAβα=∑i=1n(Ai)βα dxiA^\alpha_\beta=\sum_{i=1}^n (A_i)^\alpha_\beta\,dx^iと一意に表され、係数(Ai)βα(A_i)^\alpha_\betaはC∞C^\infty関数である。これらを行列に並べたものをAiA_iと書けば第一の主張を得る。

第二の主張を見る。dYβα=∑i=1n(∂Yβα/∂xi) dxidY^\alpha_\beta=\sum_{i=1}^{n}(\partial Y^\alpha_\beta/\partial x^i)\,dx^i（§E22.11 命題 1.1）であり、

(A Y)βα=∑γ=1mAγα Yβγ=∑i=1n(∑γ=1m(Ai)γαYβγ)dxi=∑i=1n(AiY)βα dxi(A\,Y)^\alpha_\beta=\sum_{\gamma=1}^{m}A^\alpha_\gamma\,Y^\gamma_\beta =\sum_{i=1}^{n}\Bigl(\sum_{\gamma=1}^{m}(A_i)^\alpha_\gamma Y^\gamma_\beta\Bigr)dx^i =\sum_{i=1}^{n}(A_iY)^\alpha_\beta\,dx^i

である。{dxi}\{dx^i\}が各点でTx∗RnT^*_x\R^nの基底であるから、二つの11形式が等しいことと、すべてのiiについてdxidx^iの係数が等しいことは同値である。▨

定理 5.3.U⊆RnU\subseteq\R^nを開集合、AAをUU上のMm(R)M_m(\R)に値を持つC∞C^\infty11形式とする。次は同値である。

  1. すべてのx0∈Ux_0\in UとすべてのY0∈Mm(R)Y_0\in M_m(\R)に対し、x0x_0の開近傍VVとC∞C^\infty写像Y:V→Mm(R)Y:V\to M_m(\R)であってdY=A YdY=A\,YとY(x0)=Y0Y(x_0)=Y_0を満たすものが存在する。
  2. UUの上でdA−A∧A=0dA-A\wedge A=0である。命題 5.2の座標表示A=∑i=1nAi dxiA=\sum_{i=1}^{n}A_i\,dx^iを用いると、この条件はすべてのi,ji,jについて ∂Aj∂xi−∂Ai∂xj=AiAj−AjAi\frac{\partial A_j}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^j}=A_iA_j-A_jA_i が成り立つことと同値である。

証明. はじめに座標表示を確かめる。A=∑j=1nAj dxjA=\sum_{j=1}^{n}A_j\,dx^jから

dA=∑j=1ndAj∧dxj=∑i=1n∑j=1n∂Aj∂xi dxi∧dxj=∑1≤i<j≤n(∂Aj∂xi−∂Ai∂xj)dxi∧dxjdA=\sum_{j=1}^{n}dA_j\wedge dx^j=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial A_j}{\partial x^i}\,dx^i\wedge dx^j =\sum_{1\le i<j\le n}\Bigl(\frac{\partial A_j}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^j}\Bigr)dx^i\wedge dx^j

であり、

A∧A=∑i=1n∑j=1nAiAj dxi∧dxj=∑1≤i<j≤n(AiAj−AjAi)dxi∧dxjA\wedge A=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_iA_j\,dx^i\wedge dx^j=\sum_{1\le i<j\le n}\bigl(A_iA_j-A_jA_i\bigr)dx^i\wedge dx^j

である。{dxi∧dxj}i<j\{dx^i\wedge dx^j\}_{i<j}が各点で基底をなすので、dA−A∧A=0dA-A\wedge A=0と表示した座標の条件は同値である。

(a)⇒\Rightarrow(b)を示す。x0∈Ux_0\in Uを取り、Y0=IY_0=I（単位行列）として解YYを取る。∂Y/∂xj=AjY\partial Y/\partial x^j=A_jYの両辺をxix^iで偏微分すると

∂2Y∂xi∂xj=∂Aj∂xiY+Aj∂Y∂xi=∂Aj∂xiY+AjAiY\frac{\partial^2Y}{\partial x^i\partial x^j}=\frac{\partial A_j}{\partial x^i}Y+A_j\frac{\partial Y}{\partial x^i} =\frac{\partial A_j}{\partial x^i}Y+A_jA_iY

である。§E4.4 定理 2.1により左辺はiiとjjの入れ替えで不変であるから

(∂Aj∂xi−∂Ai∂xj)Y=(AiAj−AjAi)Y\Bigl(\frac{\partial A_j}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^j}\Bigr)Y=\bigl(A_iA_j-A_jA_i\bigr)Y

である。x=x0x=x_0ではY=IY=Iであるから、x0x_0において 2 の等式が成り立つ。x0x_0は任意であったから、UUの全体で成り立つ。

(b)⇒\Rightarrow(a)を示す。N=U×Mm(R)N=U\times M_m(\R)と置く。NNはRn+m2\R^{n+m^2}の開集合であるからC∞C^\infty多様体であり（§E22.1 命題 7.1）、座標は(xi,Yβα)(x^i,Y^\alpha_\beta)である。NN上のMm(R)M_m(\R)に値を持つ11形式

Θ=dY−A Y,Θβα=dYβα−∑γAγα Yβγ\Theta=dY-A\,Y,\qquad \Theta^\alpha_\beta=dY^\alpha_\beta-\sum_{\gamma}A^\alpha_\gamma\,Y^\gamma_\beta

を考える（AAは射影N→UN\to Uによる引き戻しと読む）。m2m^2個の11形式Θβα\Theta^\alpha_\betaは各点で一次独立である。実際、Θβα\Theta^\alpha_\betaのdYβαdY^\alpha_\betaの係数が単位行列の形をしているので、一次結合が00ならばdYdY方向の係数がすべて00になる。

したがって補題 1.2 (2)によりD=⋂α,βker⁡ΘβαD=\bigcap_{\alpha,\beta}\ker\Theta^\alpha_\betaはNN上の階数nnのC∞C^\infty分布である。

dΘd\Thetaを計算する。YβγY^\gamma_\betaは00次形式であるから

d(∑γAγαYβγ)=∑γ(dYβγ∧Aγα+Yβγ dAγα)=−∑γAγα∧dYβγ+∑γ(dAγα)Yβγd\Bigl(\sum_\gamma A^\alpha_\gamma Y^\gamma_\beta\Bigr) =\sum_\gamma\Bigl(dY^\gamma_\beta\wedge A^\alpha_\gamma+Y^\gamma_\beta\,dA^\alpha_\gamma\Bigr) =-\sum_\gamma A^\alpha_\gamma\wedge dY^\gamma_\beta+\sum_\gamma\bigl(dA^\alpha_\gamma\bigr)Y^\gamma_\beta

である（11形式どうしの反交換を用いた）。d(dYβα)=0d(dY^\alpha_\beta)=0であるから、行列の記法で

dΘ=A∧dY−(dA) Yd\Theta=A\wedge dY-(dA)\,Y

である。dY=Θ+A YdY=\Theta+A\,Yを代入すると

dΘ=A∧Θ+(A∧A) Y−(dA) Y=A∧Θ−(dA−A∧A)Yd\Theta=A\wedge\Theta+(A\wedge A)\,Y-(dA)\,Y=A\wedge\Theta-\bigl(dA-A\wedge A\bigr)Y

である。条件 (b)により第二項は消え、成分で書くと

dΘβα=∑γAγα∧Θβγd\Theta^\alpha_\beta=\sum_{\gamma}A^\alpha_\gamma\wedge\Theta^\gamma_\beta

である。これは定理 3.1 条件 (c)の形であるから、DDは可積分である。

(x0,Y0)∈N(x_0,Y_0)\in Nを通るnn次元積分多様体LLを取る。射影π:N→U\pi:N\to Uを考える。(x,Y)∈N(x,Y)\in Nにおいて、u∈Rnu\in\R^nに対してΘ\Thetaを消す接ベクトルは、dYdY成分がA(u)YA(u)Yであるものにちょうど一つ定まる。したがってdπd\piのD(x,Y)D_{(x,Y)}への制限はTxUT_xUへの線形同型である。よってπ∣L\pi|_Lの微分は各点で同型であり、LLとUUのチャートで表示してC∞C^\infty級の逆関数定理（§E4 実解析 IIの§E4.7 定理 2.1と、それをC∞C^\infty級へ持ち上げた§E22.5 補題 1.1）を適用すると、(x0,Y0)(x_0,Y_0)のある近傍でπ∣L\pi|_Lはx0x_0の開近傍VVへの微分同相である。その逆写像をx↦(x,Y(x))x\mapsto(x,Y(x))と書くとY:V→Mm(R)Y:V\to M_m(\R)はC∞C^\inftyでありY(x0)=Y0Y(x_0)=Y_0である。

LLの接空間がDDに等しいことから、x↦(x,Y(x))x\mapsto(x,Y(x))の微分の像はΘ\Thetaを消す。すなわちu∈Rnu\in\R^nに対してdY(u)−A(u)Y(x)=0dY(u)-A(u)Y(x)=0であり、これはdY=A YdY=A\,Yにほかならない。▨

例 5.4.n=2n=2、m=2m=2とし、座標を(x,y)(x,y)とする。

成り立たない例。

A=(0010)dx+(0−100)dyA=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}dx+\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}dy

とする。A1A_1とA2A_2は定数行列であるから∂A2/∂x−∂A1/∂y=0\partial A_2/\partial x-\partial A_1/\partial y=0である。一方

A1A2=(000−1),A2A1=(−1000),A1A2−A2A1=(100−1)≠OA_1A_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad A_2A_1=\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad A_1A_2-A_2A_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\ne O

である。したがって定理 5.3 条件 (b)が成り立たず、同定理により 1 も成り立たない。

この場合に解がどこまで存在しないのかを直接確かめる。V⊆R2V\subseteq\R^2を開集合、Y:V→M2(R)Y:V\to M_2(\R)をdY=A YdY=A\,Yの解とする。定理 5.3 (a)⇒\Rightarrow(b)の証明と同じ計算により、VVの上で

(∂A2∂x−∂A1∂y)Y=(A1A2−A2A1)Y\Bigl(\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\Bigr)Y=\bigl(A_1A_2-A_2A_1\bigr)Y

が成り立つ（§E4.4 定理 2.1を用いる）。左辺はOO、右辺はdiag⁡(1,−1) Y\operatorname{diag}(1,-1)\,Yであり、diag⁡(1,−1)\operatorname{diag}(1,-1)は正則であるからY=OY=Oである。すなわち局所解は恒等的にOOであるものに限られる。したがってY0=OY_0=Oに対してはY≡OY\equiv Oが解であるが、Y0≠OY_0\ne Oに対しては局所解が存在しない。

成り立つ例。C∈M2(R)C\in M_2(\R)を固定し

A=C(y dx+x dy)=C d(xy)A=C\bigl(y\,dx+x\,dy\bigr)=C\,d(xy)

とする。A1=yCA_1=yC、A2=xCA_2=xCであるから∂A2/∂x−∂A1/∂y=C−C=O\partial A_2/\partial x-\partial A_1/\partial y=C-C=Oであり、A1A2−A2A1=xy(CC−CC)=OA_1A_2-A_2A_1=xy(CC-CC)=Oである。よって定理 5.3 条件 (b)が成り立つ。

実際に解を書き下すことができる。Y(x,y)=exyCY0Y(x,y)=e^{xyC}Y_0と置く。行列指数関数の性質（§E13 常微分方程式論の§E13.12 定理 2.1）によりddtetC=CetC\frac{d}{dt}e^{tC}=Ce^{tC}であるから、§E4.3 定理 1.1により

∂Y∂x=yC exyCY0=A1Y,∂Y∂y=xC exyCY0=A2Y\frac{\partial Y}{\partial x}=yC\,e^{xyC}Y_0=A_1Y,\qquad \frac{\partial Y}{\partial y}=xC\,e^{xyC}Y_0=A_2Y

である。Y(0,0)=Y0Y(0,0)=Y_0であり、dY=A YdY=A\,Yを満たす。

6 境界

本記事の主張はすべて局所的である。分布を消す一次独立な11形式の組は各点の近傍でしか取ることができず、大域的に取ることができるとは限らない。定理 4.1により得られる第一積分u1,…,un−ku^1,\dots,u^{n-k}も、平坦チャートの上でしか定まらない。

定理 5.3の条件dA−A∧A=0dA-A\wedge A=0は、行列に値を持つ11形式AAから作られる22形式が消えるという形をしている。本記事ではRn\R^nの開集合の上の線形な全微分方程式系という具体的な設定に限ってこの条件を扱い、この設定を一般化した場合は扱わない。

系 4.2により、単独の Pfaff 方程式が局所的に積分因子を持つ条件が得られる。積分因子が大域的に存在するかどうか、およびω∧dω\omega\wedge d\omegaがどこでも消えない場合にどのような構造が現れるかは、本単元では扱わない。

7 演習

問題 7.1.

  1. U=R2∖{0}U=\R^2\setminus\{0\}の上のベクトル場Y1=x ∂/∂x+y ∂/∂yY_1=x\,\partial/\partial x+y\,\partial/\partial y、Y2=−y ∂/∂x+x ∂/∂yY_2=-y\,\partial/\partial x+x\,\partial/\partial yを考える。(Y1∣q,Y2∣q)(Y_1|_q,Y_2|_q)がUUの各点qqでTqR2T_q\R^2の基底をなすことを示し、補題 1.1 (1)により定まるε1,ε2\varepsilon^1,\varepsilon^2をdx,dydx,dyで表せ。さらにdx∧dydx\wedge dyを補題 1.1 (3)の形に展開し、ε1\varepsilon^1とε2\varepsilon^2のそれぞれについて、dx,dydx,dyに関する係数のいずれかが原点の近くで有界でないことを示せ。
  2. 補題 2.3の記号のもとで、m>km>kならばIm=Ωm(U)\mathcal{I}^m=\Omega^m(U)であることを示せ。さらにR3\R^3の上でω=dz−y dx\omega=dz-y\,dxと置き（n=3n=3、k=2k=2）、P,Q,R∈C∞(R3)P,Q,R\in C^\infty(\R^3)に対してξ=P dy∧dz+Q dz∧dx+R dx∧dy\xi=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dyがω\omegaの生成する外積イデアルのI2\mathcal{I}^2に属するための必要十分条件をP,Q,RP,Q,Rの関係として求め、その条件のもとでξ=η∧ω\xi=\eta\wedge\omegaを満たすη∈Ω1(R3)\eta\in\Omega^1(\R^3)を一つ求めよ。
  3. 定理 3.1の記号のもとで、X,YX,YをUU上のC∞C^\inftyベクトル場で各点でDDに属するものとする。各点q∈Uq\in Uで、値ωa([X,Y])(q)\omega^a([X,Y])(q)がXqX_qとYqY_qだけで定まることを示せ。さらに、X,YX,Yが一点qqでだけDqD_qに属するという仮定に弱めると、この結論と等式dωqa(Xq,Yq)=−ωqa([X,Y]q)d\omega^a_q(X_q,Y_q)=-\omega^a_q([X,Y]_q)がともに成り立たない例を、R3\R^3の上のω=dz−y dx\omega=dz-y\,dxと原点q=0q=0について作れ。
  4. G=(gba)a,b=1n−kG=(g^a_b)_{a,b=1}^{n-k}を、UU上のC∞C^\infty関数を成分とし各点で可逆な行列とし、ω~a=∑b=1n−kgba ωb\tilde\omega^a=\sum_{b=1}^{n-k}g^a_b\,\omega^bと置く。ω1,…,ωn−k\omega^1,\dots,\omega^{n-k}が11形式θba\theta^a_bについて定理 3.1 条件 (c)の等式を満たすならば、行列の記法でθ~=(dG+Gθ)G−1\tilde\theta=(dG+G\theta)G^{-1}と定めた11形式θ~ba\tilde\theta^a_bについてdω~a=∑b=1n−kθ~ba∧ω~bd\tilde\omega^a=\sum_{b=1}^{n-k}\tilde\theta^a_b\wedge\tilde\omega^bが成り立つことを示せ。さらにn−k=1n-k=1のとき、定理 3.1 条件 (c)の11形式θ11\theta^1_1がω1\omega^1から一意に定まらないことを示せ。
  5. 系 4.2 (c)⇒\Rightarrow(b)の証明で用いた集合{ω∧εi∧εj}i<j\{\omega\wedge\varepsilon^i\wedge\varepsilon^j\}_{i<j}がn=2n=2のとき空であることを確かめ、そのとき系 4.2 条件 (c)が自動的に成り立つことを示せ。さらにU=R2∖{0}U=\R^2\setminus\{0\}の上のω=x dy−y dx\omega=x\,dy-y\,dxについて、UUの各点の近傍で系 4.2 条件 (d)のf,uf,uを求めよ。また、UUの全体でω=f du\omega=f\,duを満たし、duduがどの点でも消えないC∞C^\infty関数f,u ⁣:U→Rf,u\colon U\to\Rは存在しないことを示せ。
  6. R4\R^4の座標を(x,y,s,t)(x,y,s,t)とし、ω1=ds−t dx−s dy\omega^1=ds-t\,dx-s\,dy、ω2=dt−s dx−t dy\omega^2=dt-s\,dx-t\,dy、D=ker⁡ω1∩ker⁡ω2D=\ker\omega^1\cap\ker\omega^2と置く。DDが可積分であることを定理 3.1 条件 (c)によって確かめ、定理 4.1 条件 (b)のu1,u2u^1,u^2と(cba)(c^a_b)をV=R4V=\R^4として一組求めよ。ω1+ω2\omega^1+\omega^2とω1−ω2\omega^1-\omega^2を考えてよい。さらに、共通レベル集合u−1(a,b)u^{-1}(a,b)（(a,b)∈R2(a,b)\in\R^2）を、(x,y)(x,y)を変数とする写像のグラフとして書け。
  7. 定理 5.3 (a)⇒\Rightarrow(b)の記号でFij=∂Aj/∂xi−∂Ai/∂xj−(AiAj−AjAi)F_{ij}=\partial A_j/\partial x^i-\partial A_i/\partial x^j-(A_iA_j-A_jA_i)と置く。x0x_0の近傍でdY=A YdY=A\,Y、Y(x0)=Y0Y(x_0)=Y_0を満たす解YYが存在するならばFij(x0)Y0=OF_{ij}(x_0)Y_0=Oであることを示し、Y0Y_0が正則ならば定理 5.3 条件 (b)がx0x_0で成り立つことを導く。さらに、Y0Y_0が正則でないときにはFij(x0)=OF_{ij}(x_0)=Oが従わない例を、例 5.4の成り立たない例を用いて作る。
  8. U⊆RnU\subseteq\R^nとAAを定理 5.3のとおりとし、V⊆UV\subseteq Uを開集合、Y ⁣:V→Mm(R)Y\colon V\to M_m(\R)をdY=A YdY=A\,Yを満たすC∞C^\infty写像とし、tr⁡A=∑α=1mAαα\operatorname{tr}A=\sum_{\alpha=1}^{m}A^\alpha_\alphaと置く。VVの上でd(det⁡Y)=(tr⁡A)det⁡Yd(\det Y)=(\operatorname{tr}A)\det Yが成り立つことを示せ。これを用いて、VVが連結であり、ある点x0∈Vx_0\in VでY(x0)Y(x_0)が正則ならば、VVのすべての点xxでY(x)Y(x)が正則であることを示せ。さらに、定理 5.3 条件 (b)が成り立つならばd(tr⁡A)=0d(\operatorname{tr}A)=0であることを示せ。
  9. 例 5.4の記号で、変数が一つ（n=1n=1）の場合には、AAがどのような行列値11次形式であっても可積分条件定理 5.3 条件 (b)が成り立つことを、dA−A∧AdA-A\wedge Aの成分が22次形式であることから示す。
解答.

(1)を示す。Yb=∑i=12Abi ∂/∂xiY_b=\sum_{i=1}^{2}A^i_b\,\partial/\partial x^i（x1=xx^1=x、x2=yx^2=y）と書くと

A=(x−yyx),det⁡A=x2+y2A=\begin{pmatrix}x&-y\\ y&x\end{pmatrix},\qquad \det A=x^2+y^2

であり、UUの各点でdet⁡A>0\det A>0であるから、(Y1∣q,Y2∣q)(Y_1|_q,Y_2|_q)は各点q∈Uq\in Uで基底をなす。補題 1.1 (1)の証明のとおり、εa=∑i=12Bia dxi\varepsilon^a=\sum_{i=1}^{2}B^a_i\,dx^iの成分行列はB=A−1B=A^{-1}であり

B=1x2+y2(xy−yx)B=\frac{1}{x^2+y^2}\begin{pmatrix}x&y\\ -y&x\end{pmatrix}

であるから

ε1=x dx+y dyx2+y2,ε2=−y dx+x dyx2+y2\varepsilon^1=\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2},\qquad \varepsilon^2=\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}

である。実際、ε1(Y1)=(x2+y2)/(x2+y2)=1\varepsilon^1(Y_1)=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)=1、ε1(Y2)=(−xy+yx)/(x2+y2)=0\varepsilon^1(Y_2)=(-xy+yx)/(x^2+y^2)=0、ε2(Y1)=(−yx+xy)/(x2+y2)=0\varepsilon^2(Y_1)=(-yx+xy)/(x^2+y^2)=0、ε2(Y2)=(y2+x2)/(x2+y2)=1\varepsilon^2(Y_2)=(y^2+x^2)/(x^2+y^2)=1である。補題 1.1 (3)によりdx∧dy=ξ12 ε1∧ε2dx\wedge dy=\xi_{12}\,\varepsilon^1\wedge\varepsilon^2、ξ12=(dx∧dy)(Y1,Y2)\xi_{12}=(dx\wedge dy)(Y_1,Y_2)であり、§E22.10 系 3.6により

(dx∧dy)(Y1,Y2)=det⁡(dx(Y1)dx(Y2)dy(Y1)dy(Y2))=det⁡(x−yyx)=x2+y2(dx\wedge dy)(Y_1,Y_2)=\det\begin{pmatrix}dx(Y_1)&dx(Y_2)\\ dy(Y_1)&dy(Y_2)\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}x&-y\\ y&x\end{pmatrix}=x^2+y^2

であるから、UUの上でdx∧dy=(x2+y2) ε1∧ε2dx\wedge dy=(x^2+y^2)\,\varepsilon^1\wedge\varepsilon^2である。外積を直接計算しても

ε1∧ε2=x2 dx∧dy−y2 dy∧dx(x2+y2)2=dx∧dyx2+y2\varepsilon^1\wedge\varepsilon^2=\frac{x^2\,dx\wedge dy-y^2\,dy\wedge dx}{(x^2+y^2)^2}=\frac{dx\wedge dy}{x^2+y^2}

となり、同じ結果を得る。最後の主張を示す。xx軸上の点(x,0)(x,0)（x≠0x\ne0）では、ε1\varepsilon^1のdxdxに関する係数はx/x2=1/xx/x^2=1/xであり、ε2\varepsilon^2のdydyに関する係数も1/x1/xである。x→0x\to0のとき1/x1/xは有界でないので、どちらの形式も原点の近くで有界でない係数を持つ。とくに、ε1\varepsilon^1とε2\varepsilon^2はいずれも、R2\R^2の上の連続な係数を持つ11形式をUUへ制限したものではない。係数の分母x2+y2x^2+y^2はdet⁡A\det Aに等しく、det⁡A\det Aは原点で00になる。

(2)を示す。m>km>kとし、ξ∈Ωm(U)\xi\in\Omega^m(U)、q∈Uq\in U、v1,…,vm∈Dqv_1,\dots,v_m\in D_qとする。dim⁡Dq=k<m\dim D_q=k<mであるからv1,…,vmv_1,\dots,v_mは一次従属であり、あるjjと実数cic_i（i≠ji\ne j）が存在してvj=∑i≠jciviv_j=\sum_{i\ne j}c_iv_iとなる。ξq\xi_qの第jj引数についての線形性により

ξq(v1,…,vm)=∑i≠jci ξq(v1,…,vj−1,vi,vj+1,…,vm)\xi_q(v_1,\dots,v_m)=\sum_{i\ne j}c_i\,\xi_q\bigl(v_1,\dots,v_{j-1},v_i,v_{j+1},\dots,v_m\bigr)

であり、右辺の各項は第ii引数と第jj引数がともにviv_iであるから、交代性により00である。よってξ\xiは補題 2.3 条件 (b)を満たし、補題 2.3によりξ∈Im\xi\in\mathcal{I}^mである。Im⊆Ωm(U)\mathcal{I}^m\subseteq\Omega^m(U)は定義 2.1による。したがってIm=Ωm(U)\mathcal{I}^m=\Omega^m(U)である。

後半を示す。dz=ω+y dxdz=\omega+y\,dxであるから(dx,dy,ω)(dx,dy,\omega)はR3\R^3の各点で余接空間の基底をなし、k=2k=2の適合余枠である。その双対枠は

Y1=∂∂x+y∂∂z,Y2=∂∂y,Z1=∂∂zY_1=\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial z},\qquad Y_2=\frac{\partial}{\partial y},\qquad Z_1=\frac{\partial}{\partial z}

である。実際、ω(Y1)=y−y=0\omega(Y_1)=y-y=0、ω(Y2)=0\omega(Y_2)=0、ω(Z1)=1\omega(Z_1)=1であり、dxdxとdydyの値も双対性の条件を満たす。したがってD=ker⁡ωD=\ker\omegaの各点の空間DqD_qはY1∣q,Y2∣qY_1|_q,Y_2|_qが張る。DqD_qの二つのベクトルはY1∣q,Y2∣qY_1|_q,Y_2|_qの一次結合であり、ξq\xi_qは双線形かつ交代的であるから、ξq\xi_qがDqD_qを消すことはξ(Y1,Y2)(q)=0\xi(Y_1,Y_2)(q)=0と同値である。よって補題 2.3により、ξ∈I2\xi\in\mathcal{I}^2であることはR3\R^3の上でξ(Y1,Y2)=0\xi(Y_1,Y_2)=0が成り立つことと同値である。dz(Y1)=ydz(Y_1)=y、dz(Y2)=0dz(Y_2)=0であるから、§E22.10 系 3.6により

(dy∧dz)(Y1,Y2)=0⋅0−1⋅y=−y,(dz∧dx)(Y1,Y2)=y⋅0−0⋅1=0,(dx∧dy)(Y1,Y2)=1⋅1−0⋅0=1(dy\wedge dz)(Y_1,Y_2)=0\cdot0-1\cdot y=-y,\qquad (dz\wedge dx)(Y_1,Y_2)=y\cdot0-0\cdot1=0,\qquad (dx\wedge dy)(Y_1,Y_2)=1\cdot1-0\cdot0=1

であり、ξ(Y1,Y2)=R−yP\xi(Y_1,Y_2)=R-yPである。したがって、求める必要十分条件はR3\R^3の上でR=yPR=yPが成り立つことである。この条件のもとでη=−Q dx+P dy\eta=-Q\,dx+P\,dyと置くと

η∧ω=(−Q dx+P dy)∧(dz−y dx)=−Q dx∧dz+P dy∧dz−yP dy∧dx=P dy∧dz+Q dz∧dx+yP dx∧dy\eta\wedge\omega=(-Q\,dx+P\,dy)\wedge(dz-y\,dx)=-Q\,dx\wedge dz+P\,dy\wedge dz-yP\,dy\wedge dx =P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+yP\,dx\wedge dy

であり（dx∧dx=0dx\wedge dx=0を用いた）、右辺はR=yPR=yPによりξ\xiに等しい。

(3)を示す。X,YX,YはUUの各点でDDに属するので、関数ωa(X)\omega^a(X)とωa(Y)\omega^a(Y)はUUの上で恒等的に00である。§E22.11 定理 4.2により、UUの上で

dωa(X,Y)=X(ωa(Y))−Y(ωa(X))−ωa([X,Y])=−ωa([X,Y])d\omega^a(X,Y)=X\bigl(\omega^a(Y)\bigr)-Y\bigl(\omega^a(X)\bigr)-\omega^a\bigl([X,Y]\bigr)=-\omega^a\bigl([X,Y]\bigr)

である。dωad\omega^aは各点qqで交代双線形形式dωqad\omega^a_qを与えるので、dωa(X,Y)(q)=dωqa(Xq,Yq)d\omega^a(X,Y)(q)=d\omega^a_q(X_q,Y_q)はXqX_qとYqY_qだけで定まる。よってωa([X,Y])(q)=−dωqa(Xq,Yq)\omega^a([X,Y])(q)=-d\omega^a_q(X_q,Y_q)もXqX_qとYqY_qだけで定まる。

例を作る。ω=dz−y dx\omega=dz-y\,dxに対してdω=−dy∧dx=dx∧dyd\omega=-dy\wedge dx=dx\wedge dyである。X=∂/∂xX=\partial/\partial x、Y=∂/∂yY=\partial/\partial yと置くとω(X)=−y\omega(X)=-y、ω(Y)=0\omega(Y)=0であるから、X0,Y0∈D0X_0,Y_0\in D_0であるが、y≠0y\ne0の点ではXXはDDに属さない。[X,Y]=0[X,Y]=0であるから−ω0([X,Y]0)=0-\omega_0([X,Y]_0)=0であり、一方dω0(X0,Y0)=1d\omega_0(X_0,Y_0)=1である。よって等式dω0(X0,Y0)=−ω0([X,Y]0)d\omega_0(X_0,Y_0)=-\omega_0([X,Y]_0)は成り立たない。次にX′=∂/∂x+y ∂/∂zX'=\partial/\partial x+y\,\partial/\partial zと置くと、ω(X′)=−y+y=0\omega(X')=-y+y=0であるからX′X'はR3\R^3の各点でDDに属し、X0′=X0X'_0=X_0である。C∞C^\infty関数ffに対して

[X′,Y]f=(∂∂x+y∂∂z)∂f∂y−∂∂y(∂f∂x+y∂f∂z)=−∂f∂z[X',Y]f=\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial z}\Bigr)\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr)=-\frac{\partial f}{\partial z}

であるから[X′,Y]=−∂/∂z[X',Y]=-\partial/\partial zであり、ω([X′,Y])=−1\omega([X',Y])=-1である。X0′=X0X'_0=X_0でありYYは共通であるのに、ω([X,Y])(0)=0\omega([X,Y])(0)=0とω([X′,Y])(0)=−1\omega([X',Y])(0)=-1は異なる。したがって、X,YX,Yが原点でだけDDに属するという仮定のもとでは、ω([X,Y])(0)\omega([X,Y])(0)はX0,Y0X_0,Y_0だけで定まらない。X′X'とYYはともに各点でDDに属するので、前半の結論のとおり−ω([X′,Y])(0)=1=dω0(X0′,Y0)-\omega([X',Y])(0)=1=d\omega_0(X'_0,Y_0)が成り立つ。

(4)を示す。Cramer の公式によりG−1=((g−1)ba)G^{-1}=((g^{-1})^a_b)の成分はUU上のC∞C^\infty関数であり、ωc=∑e=1n−k(g−1)ec ω~e\omega^c=\sum_{e=1}^{n-k}(g^{-1})^c_e\,\tilde\omega^eである。§E22.11 定義 2.1 条件 (a)と、§E22.11 定義 2.1 条件 (c)を00次形式gcag^a_cと11形式ωc\omega^cに適用したものにより

dω~a=∑c=1n−k(dgca∧ωc+gca dωc)=∑c=1n−kdgca∧ωc+∑b=1n−k∑c=1n−kgba θcb∧ωc=∑c=1n−k(dG+Gθ)ca∧ωcd\tilde\omega^a=\sum_{c=1}^{n-k}\Bigl(dg^a_c\wedge\omega^c+g^a_c\,d\omega^c\Bigr) =\sum_{c=1}^{n-k}dg^a_c\wedge\omega^c+\sum_{b=1}^{n-k}\sum_{c=1}^{n-k}g^a_b\,\theta^b_c\wedge\omega^c =\sum_{c=1}^{n-k}\bigl(dG+G\theta\bigr)^a_c\wedge\omega^c

である。ここで(dG+Gθ)ca=dgca+∑bgba θcb(dG+G\theta)^a_c=dg^a_c+\sum_{b}g^a_b\,\theta^b_cは11形式である。ωc\omega^cに上の表示を代入し、00次形式との積が外積の両側へ移ることを用いると

dω~a=∑e=1n−k(∑c=1n−k(dG+Gθ)ca (g−1)ec)∧ω~e=∑e=1n−kθ~ea∧ω~ed\tilde\omega^a=\sum_{e=1}^{n-k}\Bigl(\sum_{c=1}^{n-k}\bigl(dG+G\theta\bigr)^a_c\,(g^{-1})^c_e\Bigr)\wedge\tilde\omega^e =\sum_{e=1}^{n-k}\tilde\theta^a_e\wedge\tilde\omega^e

を得る。

n−k=1n-k=1の場合を示す。ω=ω1\omega=\omega^1、θ=θ11\theta=\theta^1_1と書き、dω=θ∧ωd\omega=\theta\wedge\omegaとする。任意のf∈C∞(U)f\in C^\infty(U)に対して、ω∧ω=0\omega\wedge\omega=0であるから

(θ+fω)∧ω=θ∧ω+f ω∧ω=θ∧ω=dω(\theta+f\omega)\wedge\omega=\theta\wedge\omega+f\,\omega\wedge\omega=\theta\wedge\omega=d\omega

であり、θ+fω\theta+f\omegaも同じ等式を満たす。ω\omegaはどの点でも消えないので、f≡1f\equiv1と取るとθ+ω≠θ\theta+\omega\ne\thetaである。よってθ\thetaはω\omegaから一意に定まらない。たとえば例 3.2の可積分である例では、θ=d(y2)/y2\theta=d(y^2)/y^2とθ=d(y2)/y2+y dx−x dy\theta=d(y^2)/y^2+y\,dx-x\,dyがともにdω=θ∧ωd\omega=\theta\wedge\omegaを満たす。

(5)を示す。n=2n=2のときk=n−1=1k=n-1=1であり、添字の組(i,j)(i,j)は1≤i<j≤n−1=11\le i<j\le n-1=1を満たす必要があるが、そのような組は存在しない。したがって集合{ω∧εi∧εj}i<j\{\omega\wedge\varepsilon^i\wedge\varepsilon^j\}_{i<j}は空であり、展開の第一の和も空であるからdω=B1 ε1∧ωd\omega=B_1\,\varepsilon^1\wedge\omegaである。このときω∧dω=B1 ω∧ε1∧ω=−B1 ω∧ω∧ε1=0\omega\wedge d\omega=B_1\,\omega\wedge\varepsilon^1\wedge\omega=-B_1\,\omega\wedge\omega\wedge\varepsilon^1=0である。別の見方として、ω∧dω\omega\wedge d\omegaは33次形式であり、UUは22次元であるから§E22.10 命題 2.3 (3)によりΩ3(U)={0}\Omega^3(U)=\{0\}である。いずれにしても系 4.2 条件 (c)は自動的に成り立つ。

後半を示す。ω=x dy−y dx\omega=x\,dy-y\,dxはx=y=0x=y=0のときに限って消えるので、UUのどの点でも消えない。U1={(x,y)∈U∣x≠0}U_1=\{(x,y)\in U\mid x\ne0\}、U2={(x,y)∈U∣y≠0}U_2=\{(x,y)\in U\mid y\ne0\}と置くとU=U1∪U2U=U_1\cup U_2である。U1U_1の上でu=y/xu=y/x、f=x2f=x^2と置くと

du=dyx−y dxx2,f du=x dy−y dx=ωdu=\frac{dy}{x}-\frac{y\,dx}{x^2},\qquad f\,du=x\,dy-y\,dx=\omega

であり、duduのdydyに関する係数1/x1/xは消えないのでduduはどの点でも消えず、ffも消えない。U2U_2の上でu=−x/yu=-x/y、f=y2f=y^2と置くと

du=−dxy+x dyy2,f du=−y dx+x dy=ωdu=-\frac{dx}{y}+\frac{x\,dy}{y^2},\qquad f\,du=-y\,dx+x\,dy=\omega

であり、同じくduduとffは消えない。よってUUの各点の近傍で系 4.2 条件 (d)が成り立つ。

UUの全体でω=f du\omega=f\,duを満たし、duduがどの点でも消えないC∞C^\infty関数f,uf,uが存在したとして矛盾を導く。P=x ∂/∂x+y ∂/∂yP=x\,\partial/\partial x+y\,\partial/\partial y、T=−y ∂/∂x+x ∂/∂yT=-y\,\partial/\partial x+x\,\partial/\partial yと置くとω(P)=xy−yx=0\omega(P)=xy-yx=0である。各点でωq≠0\omega_q\ne0であるからf(q)≠0f(q)\ne0であり、du(P)=ω(P)/f=0du(P)=\omega(P)/f=0がUUの上で成り立つ。γ(t)=(cos⁡t,sin⁡t)\gamma(t)=(\cos t,\sin t)、h=u∘γh=u\circ\gammaと置くと、hhはR\R上のC∞C^\infty関数でありh(t+2π)=h(t)h(t+2\pi)=h(t)を満たす。§D1.13 定理 2.1によりhhは[0,2π][0,2\pi]の上で最大値を点t0t_0でとり、周期性によりh(t0)h(t_0)はhhのR\R全体での最大値である。§D1.14 補題 2.1を開区間(t0−1,t0+1)(t_0-1,t_0+1)に適用するとh′(t0)=0h'(t_0)=0である。q=γ(t0)q=\gamma(t_0)と置くと、§E4.3 定理 1.1によりh′(t0)=duq(γ′(t0))h'(t_0)=du_q(\gamma'(t_0))であり、γ′(t0)=(−sin⁡t0,cos⁡t0)\gamma'(t_0)=(-\sin t_0,\cos t_0)はTqT_qに等しいからduq(Tq)=0du_q(T_q)=0である。Pq=(cos⁡t0,sin⁡t0)P_q=(\cos t_0,\sin t_0)とTqT_qを列とする行列の行列式はcos⁡2t0+sin⁡2t0=1\cos^2t_0+\sin^2t_0=1であるから、Pq,TqP_q,T_qはTqR2T_q\R^2の基底であり、duq(Pq)=duq(Tq)=0du_q(P_q)=du_q(T_q)=0からduq=0du_q=0となる。これはduduがどの点でも消えないことに反する。よって、そのようなf,uf,uは存在しない。

(6)を示す。ds=ω1+t dx+s dyds=\omega^1+t\,dx+s\,dy、dt=ω2+s dx+t dydt=\omega^2+s\,dx+t\,dyであるから、(dx,dy,ω1,ω2)(dx,dy,\omega^1,\omega^2)はR4\R^4の各点で余接空間の基底をなし、k=2k=2の適合余枠である。§E22.11 定義 2.1の条件によりdω1=−dt∧dx−ds∧dyd\omega^1=-dt\wedge dx-ds\wedge dyであり、dsds、dtdtに上の表示を代入すると

dω1=−(ω2+s dx+t dy)∧dx−(ω1+t dx+s dy)∧dy=−ω2∧dx−t dy∧dx−ω1∧dy−t dx∧dy=dx∧ω2+dy∧ω1d\omega^1=-(\omega^2+s\,dx+t\,dy)\wedge dx-(\omega^1+t\,dx+s\,dy)\wedge dy =-\omega^2\wedge dx-t\,dy\wedge dx-\omega^1\wedge dy-t\,dx\wedge dy =dx\wedge\omega^2+dy\wedge\omega^1

である。同様にdω2=−ds∧dx−dt∧dyd\omega^2=-ds\wedge dx-dt\wedge dyから

dω2=−(ω1+t dx+s dy)∧dx−(ω2+s dx+t dy)∧dy=dx∧ω1+dy∧ω2d\omega^2=-(\omega^1+t\,dx+s\,dy)\wedge dx-(\omega^2+s\,dx+t\,dy)\wedge dy=dx\wedge\omega^1+dy\wedge\omega^2

である。よってθ11=dy\theta^1_1=dy、θ21=dx\theta^1_2=dx、θ12=dx\theta^2_1=dx、θ22=dy\theta^2_2=dyについて定理 3.1 条件 (c)が成り立ち、定理 3.1によりDDは可積分である。

u1,u2u^1,u^2を求める。

ω1+ω2=d(s+t)−(s+t)(dx+dy),ω1−ω2=d(s−t)+(s−t)(dx−dy)\omega^1+\omega^2=d(s+t)-(s+t)(dx+dy),\qquad \omega^1-\omega^2=d(s-t)+(s-t)(dx-dy)

である。u1=(s+t)e−x−yu^1=(s+t)e^{-x-y}、u2=(s−t)ex−yu^2=(s-t)e^{x-y}と置くと

du1=e−x−y(d(s+t)−(s+t)(dx+dy))=e−x−y(ω1+ω2),du2=ex−y(d(s−t)+(s−t)(dx−dy))=ex−y(ω1−ω2)du^1=e^{-x-y}\bigl(d(s+t)-(s+t)(dx+dy)\bigr)=e^{-x-y}(\omega^1+\omega^2),\qquad du^2=e^{x-y}\bigl(d(s-t)+(s-t)(dx-dy)\bigr)=e^{x-y}(\omega^1-\omega^2)

である。したがって

ω1=12(ex+y du1+ey−x du2),ω2=12(ex+y du1−ey−x du2)\omega^1=\tfrac12\bigl(e^{x+y}\,du^1+e^{y-x}\,du^2\bigr),\qquad \omega^2=\tfrac12\bigl(e^{x+y}\,du^1-e^{y-x}\,du^2\bigr)

であり、(cba)=12(ex+yey−xex+y−ey−x)(c^a_b)=\dfrac12\begin{pmatrix}e^{x+y}&e^{y-x}\\ e^{x+y}&-e^{y-x}\end{pmatrix}の行列式は−12e2y≠0-\tfrac12e^{2y}\ne0である。ω1,ω2\omega^1,\omega^2は各点で一次独立であり(cba)(c^a_b)は各点で可逆であるから、du1,du2du^1,du^2も各点で一次独立である。

最後に、u1=au^1=a、u2=bu^2=bはs+t=aex+ys+t=ae^{x+y}、s−t=bey−xs-t=be^{y-x}と同値であるから

u−1(a,b)={(x,y,s(x,y),t(x,y)) ∣ (x,y)∈R2},s(x,y)=12(aex+y+bey−x),t(x,y)=12(aex+y−bey−x)u^{-1}(a,b)=\Bigl\{\bigl(x,y,s(x,y),t(x,y)\bigr)\ \Bigm|\ (x,y)\in\R^2\Bigr\},\qquad s(x,y)=\tfrac12\bigl(ae^{x+y}+be^{y-x}\bigr),\quad t(x,y)=\tfrac12\bigl(ae^{x+y}-be^{y-x}\bigr)

である。この集合はC∞C^\infty写像(x,y)↦(s(x,y),t(x,y))(x,y)\mapsto(s(x,y),t(x,y))のグラフであり、R2\R^2と同相であるから連結である。したがって定理 4.1 条件 (b)の後半により、u−1(a,b)u^{-1}(a,b)はDDの22次元埋め込み積分多様体である。実際、sx=ts_x=t、sy=ss_y=s、tx=st_x=s、ty=tt_y=tが成り立ち、グラフの上でω1\omega^1とω2\omega^2の引き戻しは00になる。

(7)を示す。Fij=∂Aj/∂xi−∂Ai/∂xj−(AiAj−AjAi)F_{ij}=\partial A_j/\partial x^i-\partial A_i/\partial x^j-(A_iA_j-A_jA_i)と置く。YYをdY=A YdY=A\,Y、Y(x0)=Y0Y(x_0)=Y_0を満たす解とすると、証明と同じ計算によりVVの上でFijY=OF_{ij}Y=Oであり、とくにFij(x0)Y0=OF_{ij}(x_0)Y_0=Oである。一般のY0Y_0で得ることができるのはこの等式までであり、Y0Y_0の各列がFij(x0)F_{ij}(x_0)の核に属することにとどまる。Y0Y_0が正則であれば、右からY0−1Y_0^{-1}を掛けてFij(x0)=OF_{ij}(x_0)=Oを得るので、Y0=IY_0=Iの場合と同じ結論になる。したがって、各x0x_0について初期値が正則な解が一つ存在すれば定理 5.3 条件 (b)がx0x_0で成り立つ。Y0Y_0が正則でなければFij(x0)=OF_{ij}(x_0)=Oは結論されない。実際、例 5.4の成り立たない例ではY0=OY_0=Oに対してY≡OY\equiv Oが解であり、F12=−diag⁡(1,−1)≠OF_{12}=-\operatorname{diag}(1,-1)\ne OであってもF12Y0=OF_{12}Y_0=Oは成り立つ。

(8)を示す。m=1m=1のときはdet⁡Y=Y\det Y=Y、tr⁡A=A\operatorname{tr}A=Aであり、等式はdY=A YdY=A\,Yそのものである。m≥2m\ge2とし、YYの(α,β)(\alpha,\beta)余因子をCαβC_{\alpha\beta}と書く（§D3.4 定義 7.1）。第α\alpha行についての余因子展開（§D3.4 定理 7.2）det⁡Y=∑β=1mYβαCαβ\det Y=\sum_{\beta=1}^{m}Y^\alpha_\beta C_{\alpha\beta}においてCαβC_{\alpha\beta}は第α\alpha行の成分を含まないので、行列式を成分の多項式と見たとき∂(det⁡)/∂Yβα=Cαβ\partial(\det)/\partial Y^\alpha_\beta=C_{\alpha\beta}である。§E4.3 定理 1.1により

d(det⁡Y)=∑α=1m∑β=1mCαβ dYβαd(\det Y)=\sum_{\alpha=1}^{m}\sum_{\beta=1}^{m}C_{\alpha\beta}\,dY^\alpha_\beta

である。adj⁡Y\operatorname{adj}Yの(β,α)(\beta,\alpha)成分はCαβC_{\alpha\beta}であり、§D3.16 補題 2.1によりYadj⁡Y=(det⁡Y)IY\operatorname{adj}Y=(\det Y)Iである。dYβα=∑γ=1mAγαYβγdY^\alpha_\beta=\sum_{\gamma=1}^{m}A^\alpha_\gamma Y^\gamma_\betaを代入すると

d(det⁡Y)=∑α,γ=1m(∑β=1mYβγ (adj⁡Y)αβ)Aγα=∑α,γ=1m(det⁡Y) δαγ Aγα=(tr⁡A)det⁡Yd(\det Y)=\sum_{\alpha,\gamma=1}^{m}\Bigl(\sum_{\beta=1}^{m}Y^\gamma_\beta\,(\operatorname{adj}Y)^\beta_\alpha\Bigr)A^\alpha_\gamma =\sum_{\alpha,\gamma=1}^{m}(\det Y)\,\delta^\gamma_\alpha\,A^\alpha_\gamma=(\operatorname{tr}A)\det Y

を得る。

次にVVを連結とし、S={x∈V∣det⁡Y(x)≠0}S=\{x\in V\mid\det Y(x)\ne0\}と置く。det⁡Y\det Yは連続であるからSSはVVの開集合であり、x0∈Sx_0\in Sである。SSがVVの閉集合であることを示す。p1∈Vp_1\in VをSSのVVにおける閉包の点とし、p1p_1を中心とする開球B⊆VB\subseteq Vを取る。B∩SB\cap Sは空でないのでp2∈B∩Sp_2\in B\cap Sを取り、γ(τ)=p2+τ(p1−p2)\gamma(\tau)=p_2+\tau(p_1-p_2)（τ∈[0,1]\tau\in[0,1]）と置く。BBは凸であるからγ([0,1])⊆B\gamma([0,1])\subseteq Bである。ϕ(τ)=det⁡Y(γ(τ))\phi(\tau)=\det Y(\gamma(\tau))と置くと、前段の等式と§E4.3 定理 1.1により

ϕ′(τ)=a(τ) ϕ(τ),a(τ)=(tr⁡A)γ(τ)(p1−p2)\phi'(\tau)=a(\tau)\,\phi(\tau),\qquad a(\tau)=(\operatorname{tr}A)_{\gamma(\tau)}\bigl(p_1-p_2\bigr)

であり、aaは[0,1][0,1]の上の連続関数である。χ(τ)=ϕ(τ)exp⁡(−∫0τa(σ) dσ)\chi(\tau)=\phi(\tau)\exp\bigl(-\int_0^\tau a(\sigma)\,d\sigma\bigr)と置くとχ′=0\chi'=0であるから、§D1.14 定理 3.1によりχ\chiは定数であり、ϕ(1)=ϕ(0)exp⁡(∫01a(σ) dσ)\phi(1)=\phi(0)\exp\bigl(\int_0^1a(\sigma)\,d\sigma\bigr)である。ϕ(0)=det⁡Y(p2)≠0\phi(0)=\det Y(p_2)\ne0であるからdet⁡Y(p1)=ϕ(1)≠0\det Y(p_1)=\phi(1)\ne0であり、p1∈Sp_1\in Sである。よってSSはVVの空でない開かつ閉な部分集合であり、§E2.43 命題 1.3によりS=VS=Vである。

最後に、定理 5.3 条件 (b)のもとでdA=A∧AdA=A\wedge Aであるから

d(tr⁡A)=∑α=1mdAαα=∑α=1m(A∧A)αα=∑α,γ=1mAγα∧Aαγd(\operatorname{tr}A)=\sum_{\alpha=1}^{m}dA^\alpha_\alpha=\sum_{\alpha=1}^{m}(A\wedge A)^\alpha_\alpha=\sum_{\alpha,\gamma=1}^{m}A^\alpha_\gamma\wedge A^\gamma_\alpha

である。右辺で添字の名α,γ\alpha,\gammaを入れ替え、11形式どうしの反交換Aαγ∧Aγα=−Aγα∧AαγA^\gamma_\alpha\wedge A^\alpha_\gamma=-A^\alpha_\gamma\wedge A^\gamma_\alphaを用いると、右辺はその−1-1倍に等しい。よって右辺は00であり、d(tr⁡A)=0d(\operatorname{tr}A)=0である。

(9)を示す。dA−A∧AdA-A\wedge Aの各成分はUUの上の22次形式である。n=1n=1ではUUは11次元であるから、§E22.10 命題 2.3 (3)によりΩ2(U)={0}\Omega^2(U)=\{0\}であり、dA−A∧AdA-A\wedge Aのすべての成分は零である。したがって定理 5.3 条件 (b)はAAによらず成り立つ。座標で見ても、A=A1 dx1A=A_1\,dx^1に対してdA=dA1∧dx1=∂A1∂x1 dx1∧dx1=OdA=dA_1\wedge dx^1=\frac{\partial A_1}{\partial x^1}\,dx^1\wedge dx^1=O、A∧A=A1A1 dx1∧dx1=OA\wedge A=A_1A_1\,dx^1\wedge dx^1=Oであり、条件の式はi=j=1i=j=1の自明な等式O=A1A1−A1A1O=A_1A_1-A_1A_1だけになる。成り立たない例で条件を破ったのは、二つの座標方向の係数の交換子A1A2−A2A1A_1A_2-A_2A_1であり、変数が一つではそのような項が現れない。たとえば成り立たない例のdxdxの部分だけを取ったA=A1 dxA=A_1\,dx、A1=(0010)A_1=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}ではA12=OA_1^2=Oであり、Y(x)=(I+xA1)Y0Y(x)=(I+xA_1)Y_0がdYdx=A1Y0=A1Y\frac{dY}{dx}=A_1Y_0=A_1YとY(0)=Y0Y(0)=Y_0を満たす。▨

参考文献

  1. Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics 94, Springer, 1983, originally published 1971.分布の消滅イデアルによる Frobenius の定理の定式化と、ベクトル場版との同値の議論を参考にした。
  2. John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 218, Springer, New York, 2013.分布を局所的な余枠で表す方法と、平坦チャートから第一積分を取り出す議論を参考にした。
  3. Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Wiley Classics Library, vol. 1, Wiley, New York, 1996, originally published 1963.Pfaff 方程式系と全微分方程式の可解性に関する古典的な定式化を参考にした。

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