1 半空間の上の微分 半空間の相対開集合はR n \R^n R n
定義 1.1. D ⊆ H n D\subseteq\mathbb{H}^n D ⊆ H n H n \mathbb{H}^n H n f : D → R m f\colon D\to\R^m f : D → R m C ∞ C^\infty C ∞ smooth on a half-space )x ∈ D x\in D x ∈ D R n \R^n R n x x x W W W C ∞ C^\infty C ∞ f ~ : W → R m \tilde f\colon W\to\R^m f ~ : W → R m W ∩ D W\cap D W ∩ D f ~ = f \tilde f=f f ~ = f f ~ \tilde f f ~ x x x f f f 拡張 (smooth extension )
D D D R n \R^n R n f ~ = f \tilde f=f f ~ = f C ∞ C^\infty C ∞
補題 1.2. D ⊆ H n D\subseteq\mathbb{H}^n D ⊆ H n f : D → R m f\colon D\to\R^m f : D → R m C ∞ C^\infty C ∞ x ∈ D x\in D x ∈ D x x x f f f f ~ \tilde f f ~ f ^ \hat f f ^ D f ~ ( x ) = D f ^ ( x ) D\tilde f(x)=D\hat f(x) D f ~ ( x ) = D f ^ ( x ) D f ( x ) Df(x) D f ( x ) D f : D → M m , n ( R ) Df\colon D\to M_{m,n}(\R) D f : D → M m , n ( R ) C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞ D D D D D D
証明. x n > 0 x^n>0 x n > 0 D D D x x x R n \R^n R n f ~ = f ^ = f \tilde f=\hat f=f f ~ = f ^ = f
x n = 0 x^n=0 x n = 0 1 ≤ j ≤ n − 1 1\le j\le n-1 1 ≤ j ≤ n − 1 h h h x + h e j x+he_j x + h e j n n n 0 0 0 x + h e j ∈ H n x+he_j\in\mathbb{H}^n x + h e j ∈ H n e j e_j e j j j j D D D H n \mathbb{H}^n H n ∣ h ∣ |h| ∣ h ∣ x + h e j ∈ D x+he_j\in D x + h e j ∈ D
∂ f ~ ∂ x j ( x ) = lim h → 0 f ~ ( x + h e j ) − f ~ ( x ) h = lim h → 0 f ( x + h e j ) − f ( x ) h \frac{\partial\tilde f}{\partial x^j}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\tilde f(x+he_j)-\tilde f(x)}{h}
=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+he_j)-f(x)}{h} ∂ x j ∂ f ~ ( x ) = h → 0 lim h f ~ ( x + h e j ) − f ~ ( x ) = h → 0 lim h f ( x + h e j ) − f ( x ) であり、右辺はf f f j = n j=n j = n f ~ \tilde f f ~ x x x R n \R^n R n lim h → 0 ( f ~ ( x + h e n ) − f ~ ( x ) ) / h \lim_{h\to 0}\bigl(\tilde f(x+he_n)-\tilde f(x)\bigr)/h lim h → 0 ( f ~ ( x + h e n ) − f ~ ( x ) ) / h
∂ f ~ ∂ x n ( x ) = lim h → 0 + f ( x + h e n ) − f ( x ) h \frac{\partial\tilde f}{\partial x^n}(x)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x+he_n)-f(x)}{h} ∂ x n ∂ f ~ ( x ) = h → 0 + lim h f ( x + h e n ) − f ( x ) であり、h > 0 h>0 h > 0 x + h e n ∈ D x+he_n\in D x + h e n ∈ D f f f D f ~ ( x ) = D f ^ ( x ) D\tilde f(x)=D\hat f(x) D f ~ ( x ) = D f ^ ( x )
D f Df D f ∂ f ~ i / ∂ x j \partial\tilde f^{\,i}/\partial x^j ∂ f ~ i / ∂ x j D D D ∂ f ~ i / ∂ x j \partial\tilde f^{\,i}/\partial x^j ∂ f ~ i / ∂ x j C ∞ C^\infty C ∞ D f Df D f 定義 1.1 の意味でC ∞ C^\infty C ∞ D D D ▨
補題 1.3. D , D ′ ⊆ H n D,D'\subseteq\mathbb{H}^n D , D ′ ⊆ H n τ : D → D ′ \tau\colon D\to D' τ : D → D ′ τ \tau τ τ − 1 \tau^{-1} τ − 1 C ∞ C^\infty C ∞
すべてのx ∈ D x\in D x ∈ D D τ ( x ) D\tau(x) D τ ( x ) D ( τ − 1 ) ( τ ( x ) ) = D τ ( x ) − 1 D(\tau^{-1})(\tau(x))=D\tau(x)^{-1} D ( τ − 1 ) ( τ ( x )) = D τ ( x ) − 1
τ ( D ∩ Int H n ) = D ′ ∩ Int H n \tau\bigl(D\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n\bigr)=D'\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n τ ( D ∩ Int H n ) = D ′ ∩ Int H n τ ( D ∩ ∂ H n ) = D ′ ∩ ∂ H n \tau\bigl(D\cap\partial\mathbb{H}^n\bigr)=D'\cap\partial\mathbb{H}^n τ ( D ∩ ∂ H n ) = D ′ ∩ ∂ H n x ∈ D ∩ ∂ H n x\in D\cap\partial\mathbb{H}^n x ∈ D ∩ ∂ H n 1 ≤ j ≤ n − 1 1\le j\le n-1 1 ≤ j ≤ n − 1 ∂ τ n ∂ x j ( x ) = 0 \dfrac{\partial\tau^n}{\partial x^j}(x)=0 ∂ x j ∂ τ n ( x ) = 0 ∂ τ n ∂ x n ( x ) > 0 \dfrac{\partial\tau^n}{\partial x^n}(x)>0 ∂ x n ∂ τ n ( x ) > 0 証明. 主張 (1) を示す。σ = τ − 1 \sigma=\tau^{-1} σ = τ − 1 x ∈ D x\in D x ∈ D x x x τ \tau τ τ ~ \tilde\tau τ ~ W W W τ ( x ) \tau(x) τ ( x ) σ \sigma σ σ ~ \tilde\sigma σ ~ W ′ W' W ′ τ ~ \tilde\tau τ ~ W W W τ ~ ( W ) ⊆ W ′ \tilde\tau(W)\subseteq W' τ ~ ( W ) ⊆ W ′ y ∈ W ∩ D y\in W\cap D y ∈ W ∩ D σ ~ ( τ ~ ( y ) ) = σ ( τ ( y ) ) = y \tilde\sigma(\tilde\tau(y))=\sigma(\tau(y))=y σ ~ ( τ ~ ( y )) = σ ( τ ( y )) = y C ∞ C^\infty C ∞ σ ~ ∘ τ ~ \tilde\sigma\circ\tilde\tau σ ~ ∘ τ ~ W ∩ D W\cap D W ∩ D W ∩ D W\cap D W ∩ D W ∩ H n W\cap\mathbb{H}^n W ∩ H n x x x 補題 1.2 の最後の主張により両者のx x x §E4.3 定理 1.1 ）から
D σ ~ ( τ ( x ) ) D τ ~ ( x ) = I D\tilde\sigma\bigl(\tau(x)\bigr)\,D\tilde\tau(x)=I D σ ~ ( τ ( x ) ) D τ ~ ( x ) = I である。τ \tau τ σ \sigma σ D τ ~ ( x ) D σ ~ ( τ ( x ) ) = I D\tilde\tau(x)\,D\tilde\sigma(\tau(x))=I D τ ~ ( x ) D σ ~ ( τ ( x )) = I D τ ( x ) D\tau(x) D τ ( x ) D σ ( τ ( x ) ) D\sigma(\tau(x)) D σ ( τ ( x ))
主張 (2) を示す。x ∈ D ∩ Int H n x\in D\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n x ∈ D ∩ Int H n τ ( x ) ∈ ∂ H n \tau(x)\in\partial\mathbb{H}^n τ ( x ) ∈ ∂ H n D ∩ Int H n D\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n D ∩ Int H n R n \R^n R n τ \tau τ C ∞ C^\infty C ∞ 主張 (1) によりD τ ( x ) D\tau(x) D τ ( x ) §E4.7 定理 2.1 によりx x x O 0 ⊆ D ∩ Int H n O_0\subseteq D\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n O 0 ⊆ D ∩ Int H n τ ( x ) \tau(x) τ ( x ) V 0 ⊆ R n V_0\subseteq\R^n V 0 ⊆ R n τ : O 0 → V 0 \tau\colon O_0\to V_0 τ : O 0 → V 0 V 0 ⊆ τ ( D ) = D ′ ⊆ H n V_0\subseteq\tau(D)=D'\subseteq\mathbb{H}^n V 0 ⊆ τ ( D ) = D ′ ⊆ H n V 0 V_0 V 0 R n \R^n R n τ ( x ) \tau(x) τ ( x ) n n n 0 0 0 V 0 V_0 V 0 n n n V 0 ⊆ H n V_0\subseteq\mathbb{H}^n V 0 ⊆ H n τ ( D ∩ Int H n ) ⊆ D ′ ∩ Int H n \tau\bigl(D\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n\bigr)\subseteq D'\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n τ ( D ∩ Int H n ) ⊆ D ′ ∩ Int H n σ \sigma σ τ \tau τ τ ( D ∩ ∂ H n ) = D ′ ∩ ∂ H n \tau\bigl(D\cap\partial\mathbb{H}^n\bigr)=D'\cap\partial\mathbb{H}^n τ ( D ∩ ∂ H n ) = D ′ ∩ ∂ H n
主張 (3) を示す。主張 (2) により、( x ′ , 0 ) ∈ D (x',0)\in D ( x ′ , 0 ) ∈ D x ′ x' x ′ τ n ( x ′ , 0 ) = 0 \tau^n(x',0)=0 τ n ( x ′ , 0 ) = 0 1 ≤ j ≤ n − 1 1\le j\le n-1 1 ≤ j ≤ n − 1 x + h e j x+he_j x + h e j n n n 0 0 0 補題 1.2 の証明で見たとおり
∂ τ n ∂ x j ( x ) = lim h → 0 τ n ( x + h e j ) − τ n ( x ) h = 0 \frac{\partial\tau^n}{\partial x^j}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\tau^n(x+he_j)-\tau^n(x)}{h}=0 ∂ x j ∂ τ n ( x ) = h → 0 lim h τ n ( x + h e j ) − τ n ( x ) = 0 である。また
∂ τ n ∂ x n ( x ) = lim h → 0 + τ n ( x + h e n ) − 0 h \frac{\partial\tau^n}{\partial x^n}(x)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\tau^n(x+he_n)-0}{h} ∂ x n ∂ τ n ( x ) = h → 0 + lim h τ n ( x + h e n ) − 0 であり、τ n ≥ 0 \tau^n\ge 0 τ n ≥ 0 h > 0 h>0 h > 0 0 0 0 0 0 0 D τ ( x ) D\tau(x) D τ ( x ) n n n 0 0 0 ▨
2 境界を持つ多様体 補題 2.1. R n : R n → R n R_n\colon\R^n\to\R^n R n : R n → R n R n ( x 1 , … , x n − 1 , x n ) = ( x 1 , … , x n − 1 , − x n ) R_n(x^1,\dots,x^{n-1},x^n)=(x^1,\dots,x^{n-1},-x^n) R n ( x 1 , … , x n − 1 , x n ) = ( x 1 , … , x n − 1 , − x n ) R n R_n R n det R n = − 1 \det R_n=-1 det R n = − 1 R n ∘ R n = id R_n\circ R_n=\operatorname{id} R n ∘ R n = id R n ( H − n ) = H n R_n(\mathbb{H}^n_{-})=\mathbb{H}^n R n ( H − n ) = H n R n ( ∂ H n ) = ∂ H n R_n(\partial\mathbb{H}^n)=\partial\mathbb{H}^n R n ( ∂ H n ) = ∂ H n D ⊆ H − n D\subseteq\mathbb{H}^n_{-} D ⊆ H − n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n R n ( D ) R_n(D) R n ( D ) H n \mathbb{H}^n H n f : D → R m f\colon D\to\R^m f : D → R m f f f 定義 1.1 と同じ意味でC ∞ C^\infty C ∞ f ∘ R n f\circ R_n f ∘ R n R n ( D ) R_n(D) R n ( D ) C ∞ C^\infty C ∞ D f ( x ) = D ( f ∘ R n ) ( R n x ) R n Df(x)=D(f\circ R_n)(R_n x)\,R_n D f ( x ) = D ( f ∘ R n ) ( R n x ) R n
証明. R n R_n R n R n R_n R n R n \R^n R n f ~ \tilde f f ~ x x x f f f f ~ ∘ R n \tilde f\circ R_n f ~ ∘ R n R n x R_nx R n x f ∘ R n f\circ R_n f ∘ R n §E4.3 定理 1.1 ）による。▨
上の補題により、H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n R n R_n R n H n \mathbb{H}^n H n 定義 1.1 、補題 1.2 、補題 1.3 を、H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n
R n \R^n R n H n \mathbb{H}^n H n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n 許容領域 と呼ぶ。R n \R^n R n H n \mathbb{H}^n H n Int H n \operatorname{Int}\mathbb{H}^n Int H n 定義 1.1 は許容領域の上の写像に対してそのまま意味を持ち、R n \R^n R n C ∞ C^\infty C ∞
定義 2.2. M M M M M M 境界付きチャート (chart with boundary )M M M U U U U U U φ ( U ) ⊆ R n \varphi(U)\subseteq\R^n φ ( U ) ⊆ R n φ \varphi φ ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) 両立する (compatible charts with boundary )U ∩ V = ∅ U\cap V=\varnothing U ∩ V = ∅
ψ ∘ φ − 1 : φ ( U ∩ V ) ⟶ ψ ( U ∩ V ) \psi\circ\varphi^{-1}\colon\varphi(U\cap V)\longrightarrow\psi(U\cap V) ψ ∘ φ − 1 : φ ( U ∩ V ) ⟶ ψ ( U ∩ V ) とその逆写像がともに定義 1.1 の意味でC ∞ C^\infty C ∞ M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ n n n §E22.1 命題 2.3 と同じ議論による。
境界付きチャート( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 正の型の境界チャート (positive-type boundary chart )φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) H n \mathbb{H}^n H n φ ( U ) ∩ ∂ H n ≠ ∅ \varphi(U)\cap\partial\mathbb{H}^n\ne\varnothing φ ( U ) ∩ ∂ H n = ∅ H n \mathbb{H}^n H n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n 負の型の境界チャート (negative-type boundary chart )境界チャート (boundary chart )内部チャート (interior chart )p ∈ M p\in M p ∈ M M M M boundary point ofM M M )p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) φ ( p ) ∈ ∂ H n \varphi(p)\in\partial\mathbb{H}^n φ ( p ) ∈ ∂ H n ∂ M \partial M ∂ M M ∖ ∂ M M\setminus\partial M M ∖ ∂ M Int M \operatorname{Int}M Int M 内点 (interior point )
一つの境界チャートが正の型と負の型を兼ねることはない。実際、∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n H n \mathbb{H}^n H n n n n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n R n \R^n R n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n
命題 2.3. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ p ∈ M p\in M p ∈ M p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) φ ( p ) ∈ ∂ H n \varphi(p)\in\partial\mathbb{H}^n φ ( p ) ∈ ∂ H n
p p p ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) ψ ( p ) ∈ ∂ H n \psi(p)\in\partial\mathbb{H}^n ψ ( p ) ∈ ∂ H n p p p R n \R^n R n 証明. 条件 (a) を示す。負の型の境界チャートについては補題 2.1 のR n R_n R n R n ( ∂ H n ) = ∂ H n R_n(\partial\mathbb{H}^n)=\partial\mathbb{H}^n R n ( ∂ H n ) = ∂ H n ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) τ = ψ ∘ φ − 1 \tau=\psi\circ\varphi^{-1} τ = ψ ∘ φ − 1 φ ( U ∩ V ) \varphi(U\cap V) φ ( U ∩ V ) ψ ( U ∩ V ) \psi(U\cap V) ψ ( U ∩ V ) τ \tau τ τ − 1 \tau^{-1} τ − 1 C ∞ C^\infty C ∞ H n \mathbb{H}^n H n 補題 1.3 (2) を適用することができ、ψ ( p ) = τ ( φ ( p ) ) ∈ ∂ H n \psi(p)=\tau(\varphi(p))\in\partial\mathbb{H}^n ψ ( p ) = τ ( φ ( p )) ∈ ∂ H n
条件 (b) を示す。( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) R n \R^n R n 注意 2.4 の微分同相Θ \Theta Θ ( V , Θ ∘ ψ ) (V,\Theta\circ\psi) ( V , Θ ∘ ψ ) Int H n \operatorname{Int}\mathbb{H}^n Int H n φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) 補題 1.3 の対象になる。同補題の補題 1.3 (2) によりΘ ( ψ ( p ) ) ∈ ∂ H n \Theta(\psi(p))\in\partial\mathbb{H}^n Θ ( ψ ( p )) ∈ ∂ H n Θ \Theta Θ Int H n \operatorname{Int}\mathbb{H}^n Int H n ▨
対偶として、p p p R n \R^n R n p p p
命題 2.5. Int M \operatorname{Int}M Int M M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞
証明. p ∈ Int M p\in\operatorname{Int}M p ∈ Int M p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 注意 2.4 により、φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) H n \mathbb{H}^n H n φ ( p ) ∈ ∂ H n \varphi(p)\in\partial\mathbb{H}^n φ ( p ) ∈ ∂ H n ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) p p p φ ( p ) ∈ Int H n \varphi(p)\in\operatorname{Int}\mathbb{H}^n φ ( p ) ∈ Int H n U 0 = φ − 1 ( φ ( U ) ∩ Int H n ) U_0=\varphi^{-1}\bigl(\varphi(U)\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n\bigr) U 0 = φ − 1 ( φ ( U ) ∩ Int H n ) U 0 U_0 U 0 M M M p ∈ U 0 p\in U_0 p ∈ U 0 U 0 U_0 U 0 ( U 0 , φ ∣ U 0 ) (U_0,\varphi|_{U_0}) ( U 0 , φ ∣ U 0 ) Int H n \operatorname{Int}\mathbb{H}^n Int H n 命題 2.3 により内点である。よってInt M \operatorname{Int}M Int M ( U 0 , φ ∣ U 0 ) (U_0,\varphi|_{U_0}) ( U 0 , φ ∣ U 0 ) R n \R^n R n C ∞ C^\infty C ∞ Int M \operatorname{Int}M Int M C ∞ C^\infty C ∞ ▨
定理 2.6. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M ≠ ∅ \partial M\ne\varnothing ∂ M = ∅ ∂ M \partial M ∂ M M M M ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) (U,\varphi=(x^1,\dots,x^n)) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ))
U ∂ = U ∩ ∂ M , φ ∂ = ( x 1 , … , x n − 1 ) ∣ U ∂ U^\partial=U\cap\partial M,
\qquad
\varphi^\partial=(x^1,\dots,x^{n-1})\big|_{U^\partial} U ∂ = U ∩ ∂ M , φ ∂ = ( x 1 , … , x n − 1 ) U ∂ と定めると、これらの全体は∂ M \partial M ∂ M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M \partial M ∂ M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) C ∞ C^\infty C ∞ ι : ∂ M → M \iota\colon\partial M\to M ι : ∂ M → M C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M \partial M ∂ M M M M 1 1 1
φ ( U ∩ ∂ M ) = φ ( U ) ∩ ( R n − 1 × { 0 } ) \varphi(U\cap\partial M)=\varphi(U)\cap\bigl(\R^{n-1}\times\{0\}\bigr) φ ( U ∩ ∂ M ) = φ ( U ) ∩ ( R n − 1 × { 0 } ) を満たす。
証明. ∂ M \partial M ∂ M
( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 命題 2.3 により、q ∈ U q\in U q ∈ U ∂ M \partial M ∂ M φ ( q ) ∈ ∂ H n \varphi(q)\in\partial\mathbb{H}^n φ ( q ) ∈ ∂ H n φ ( U ∩ ∂ M ) = φ ( U ) ∩ ∂ H n \varphi(U\cap\partial M)=\varphi(U)\cap\partial\mathbb{H}^n φ ( U ∩ ∂ M ) = φ ( U ) ∩ ∂ H n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n R n − 1 × { 0 } \R^{n-1}\times\{0\} R n − 1 × { 0 } φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) H n \mathbb{H}^n H n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n φ ( U ) ∩ ∂ H n \varphi(U)\cap\partial\mathbb{H}^n φ ( U ) ∩ ∂ H n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n n n n R n − 1 \R^{n-1} R n − 1 φ ∂ \varphi^\partial φ ∂ φ \varphi φ n n n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n R n − 1 \R^{n-1} R n − 1 ∂ M \partial M ∂ M
座標変換を確かめる。( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) τ = ψ ∘ φ − 1 \tau=\psi\circ\varphi^{-1} τ = ψ ∘ φ − 1 補題 1.3 (2) によりτ \tau τ ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n x ′ ∈ R n − 1 x'\in\R^{n-1} x ′ ∈ R n − 1
ψ ∂ ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( τ 1 ( x ′ , 0 ) , … , τ n − 1 ( x ′ , 0 ) ) \psi^\partial\circ(\varphi^\partial)^{-1}(x')=\bigl(\tau^1(x',0),\dots,\tau^{n-1}(x',0)\bigr) ψ ∂ ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( τ 1 ( x ′ , 0 ) , … , τ n − 1 ( x ′ , 0 ) ) である。τ \tau τ C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞ τ ~ \tilde\tau τ ~ x ′ ↦ τ ~ i ( x ′ , 0 ) x'\mapsto\tilde\tau^{i}(x',0) x ′ ↦ τ ~ i ( x ′ , 0 ) i ≤ n − 1 i\le n-1 i ≤ n − 1 C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞ { ( U ∂ , φ ∂ ) } \{(U^\partial,\varphi^\partial)\} {( U ∂ , φ ∂ )} ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) C ∞ C^\infty C ∞ R n − 1 \R^{n-1} R n − 1 ∂ M \partial M ∂ M
包含写像の座標表示は
φ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( x ′ , 0 ) \varphi\circ\iota\circ(\varphi^\partial)^{-1}(x')=(x',0) φ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( x ′ , 0 ) であるから、ι \iota ι C ∞ C^\infty C ∞ a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) a'\mapsto(a',0) a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) ι \iota ι ∂ M \partial M ∂ M M M M ι \iota ι ι \iota ι ∂ M \partial M ∂ M x n = 0 x^n=0 x n = 0 ∂ M \partial M ∂ M M M M 1 1 1 ▨
3 境界を持つ多様体の接空間と微分形式 境界点においても接空間はn n n C ∞ ( M ) C^\infty(M) C ∞ ( M ) §E22.4 定義 1.1 ）をそのまま用いる。この記述はH n \mathbb{H}^n H n
定義 3.1. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ p ∈ M p\in M p ∈ M p p p ( U α , φ α ) (U_\alpha,\varphi_\alpha) ( U α , φ α ) a ∈ R n a\in\R^n a ∈ R n ( α , a ) (\alpha,a) ( α , a )
( α , a ) ∼ ( β , b ) ⟺ b = D ( φ β ∘ φ α − 1 ) ( φ α ( p ) ) a (\alpha,a)\sim(\beta,b)
\iff
b=D\bigl(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\bigr)\bigl(\varphi_\alpha(p)\bigr)\,a ( α , a ) ∼ ( β , b ) ⟺ b = D ( φ β ∘ φ α − 1 ) ( φ α ( p ) ) a で同値関係を定める（右辺の Jacobi 行列は補題 1.2 により境界点でも定まる）。同値類の全体をT p M T_pM T p M M M M p p p 接空間 (tangent space of a manifold with boundary )( U α , φ α ) (U_\alpha,\varphi_\alpha) ( U α , φ α ) a ↦ [ ( α , a ) ] a\mapsto[(\alpha,a)] a ↦ [( α , a )] T p M T_pM T p M φ α \varphi_\alpha φ α x 1 , … , x n x^1,\dots,x^n x 1 , … , x n [ ( α , e i ) ] [(\alpha,e_i)] [( α , e i )] ∂ / ∂ x i ∣ p \partial/\partial x^i|_p ∂ / ∂ x i ∣ p
d ( φ α ) p : T p M → R n , [ ( α , a ) ] ↦ a d(\varphi_\alpha)_p\colon T_pM\to\R^n,\qquad [(\alpha,a)]\mapsto a d ( φ α ) p : T p M → R n , [( α , a )] ↦ a を、チャートによる座標表示 (coordinate representation )
推移律と、線形空間の構造がチャートのとり方に依らないことは、補題 1.3 (1) と連鎖律から従う。実際、三つのチャートに対する Jacobi 行列は合成の関係を満たし、各 Jacobi 行列は可逆である。
命題 3.2. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞
すべてのp ∈ M p\in M p ∈ M dim T p M = n \dim T_pM=n dim T p M = n n n n n − 1 n-1 n − 1
p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M ι : ∂ M → M \iota\colon\partial M\to M ι : ∂ M → M ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) d ι p ( T p ( ∂ M ) ) = { v ∈ T p M ∣ d φ p ( v ) の第 n 成分が 0 } d\iota_p\bigl(T_p(\partial M)\bigr)=\Bigl\{v\in T_pM\ \Bigm|\ d\varphi_p(v)\text{ の第 }n\text{ 成分が }0\Bigr\} d ι p ( T p ( ∂ M ) ) = { v ∈ T p M d φ p ( v ) の第 n 成分が 0 } T p M T_pM T p M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) d ι p d\iota_p d ι p φ ∂ \varphi^\partial φ ∂ φ \varphi φ a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) a'\mapsto(a',0) a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) M M M T p M T_pM T p M §E22.3 接空間と微分写像 の意味の接空間と自然に同型である。 証明. 主張 (1) を示す。チャートを一つ固定するとT p M T_pM T p M R n \R^n R n H n \mathbb{H}^n H n a a a R n \R^n R n n n n M M M
主張 (2) を示す。( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) p p p τ = ψ ∘ φ − 1 \tau=\psi\circ\varphi^{-1} τ = ψ ∘ φ − 1 a = d φ p ( v ) a=d\varphi_p(v) a = d φ p ( v ) b = d ψ p ( v ) = D τ ( φ ( p ) ) a b=d\psi_p(v)=D\tau(\varphi(p))a b = d ψ p ( v ) = D τ ( φ ( p )) a 補題 1.3 (3) により
b n = ∑ j = 1 n ∂ τ n ∂ x j ( φ ( p ) ) a j = ∂ τ n ∂ x n ( φ ( p ) ) a n b^n=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial\tau^n}{\partial x^j}\bigl(\varphi(p)\bigr)a^j
=\frac{\partial\tau^n}{\partial x^n}\bigl(\varphi(p)\bigr)\,a^n b n = j = 1 ∑ n ∂ x j ∂ τ n ( φ ( p ) ) a j = ∂ x n ∂ τ n ( φ ( p ) ) a n であり、係数は正である。よってa n = 0 a^n=0 a n = 0 b n = 0 b^n=0 b n = 0
ι \iota ι ψ ∂ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 \psi^\partial\circ\iota\circ(\varphi^\partial)^{-1} ψ ∂ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 φ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( x ′ , 0 ) \varphi\circ\iota\circ(\varphi^\partial)^{-1}(x')=(x',0) φ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( x ′ , 0 ) a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) a'\mapsto(a',0) a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) d ι p d\iota_p d ι p a n = 0 a^n=0 a n = 0 ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 )
主張 (3) を示す。§E22.4 命題 1.3 による。▨
以後、p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) d ι p d\iota_p d ι p T p M T_pM T p M
境界を持つ多様体の上の微分形式も、成分による判定（§E22.10 命題 2.2 ）をそのまま定義に採る。
証明. 挙げた主張はいずれも、各点で成り立つ等式か、または各境界付きチャートの上で成分について成り立つ等式である。したがって一つの境界付きチャート( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ )
D = φ ( U ) D=\varphi(U) D = φ ( U ) x 0 ∈ D x_0\in D x 0 ∈ D ω \omega ω ω I ∘ φ − 1 \omega_I\circ\varphi^{-1} ω I ∘ φ − 1 D D D C ∞ C^\infty C ∞ 定義 1.1 によりx 0 x_0 x 0 R n \R^n R n W W W C ∞ C^\infty C ∞ W W W ω ~ \tilde\omega ω ~ R n \R^n R n W W W §E22.1 命題 7.1 ）の上の微分形式であり、W ∩ D W\cap D W ∩ D ω \omega ω
外積と引き戻しは成分の和と積だけで書かれ、外微分は成分の偏導関数を係数とする（§E22.11 定理 2.4 ）。補題 1.2 により、D D D C ∞ C^\infty C ∞ W W W W ∩ D W\cap D W ∩ D D D D x 0 x_0 x 0 D D D C ∞ C^\infty C ∞ F F F C ∞ C^\infty C ∞ ▨
4 正則な劣位集合 境界を持つ多様体の具体例は、関数の劣位集合として得られる。
命題 4.1. N N N n n n C ∞ C^\infty C ∞ f ∈ C ∞ ( N ) f\in C^\infty(N) f ∈ C ∞ ( N ) c ∈ R c\in\R c ∈ R f − 1 ( c ) f^{-1}(c) f − 1 ( c ) p p p d f p ≠ 0 df_p\ne 0 d f p = 0 M = { p ∈ N ∣ f ( p ) ≤ c } M=\{p\in N\mid f(p)\le c\} M = { p ∈ N ∣ f ( p ) ≤ c } M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M = f − 1 ( c ) \partial M=f^{-1}(c) ∂ M = f − 1 ( c ) f − 1 ( c ) f^{-1}(c) f − 1 ( c ) p p p N N N ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) (U,\varphi=(x^1,\dots,x^n)) ( U , φ = ( x 1 , … , x n )) x n = c − f x^n=c-f x n = c − f ( U ∩ M , φ ∣ U ∩ M ) (U\cap M,\varphi|_{U\cap M}) ( U ∩ M , φ ∣ U ∩ M ) M M M
証明. M M M
f ( p ) < c f(p)<c f ( p ) < c { f < c } \{f<c\} { f < c } N N N N N N R n \R^n R n 定義 2.2 の意味の境界付きチャートである。
f ( p ) = c f(p)=c f ( p ) = c p p p N N N ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) (V,\psi=(y^1,\dots,y^n)) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n )) f ^ = f ∘ ψ − 1 \hat f=f\circ\psi^{-1} f ^ = f ∘ ψ − 1 d f p ≠ 0 df_p\ne 0 d f p = 0 k k k ∂ f ^ / ∂ y k ( ψ ( p ) ) ≠ 0 \partial\hat f/\partial y^k(\psi(p))\ne 0 ∂ f ^ / ∂ y k ( ψ ( p )) = 0 G : ψ ( V ) → R n G\colon\psi(V)\to\R^n G : ψ ( V ) → R n
G ( y ) = ( y 1 , … , y k ^ , … , y n , c − f ^ ( y ) ) G(y)=\bigl(y^1,\dots,\widehat{y^k},\dots,y^n,\ c-\hat f(y)\bigr) G ( y ) = ( y 1 , … , y k , … , y n , c − f ^ ( y ) ) で定める（y k ^ \widehat{y^k} y k G G G n − 1 n-1 n − 1 y k y^k y k − ∇ f ^ -\nabla\hat f − ∇ f ^ k k k ± ∂ f ^ / ∂ y k \pm\partial\hat f/\partial y^k ± ∂ f ^ / ∂ y k ψ ( p ) \psi(p) ψ ( p ) 0 0 0 §E4.7 定理 2.1 と§E22.5 補題 1.1 により、ψ ( p ) \psi(p) ψ ( p ) O O O G ∣ O G|_O G ∣ O C ∞ C^\infty C ∞
U = ψ − 1 ( O ) U=\psi^{-1}(O) U = ψ − 1 ( O ) φ = G ∘ ψ ∣ U \varphi=G\circ\psi|_U φ = G ∘ ψ ∣ U ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) N N N n n n c − f c-f c − f
U ∩ M = { q ∈ U ∣ φ n ( q ) ≥ 0 } , φ ( U ∩ M ) = φ ( U ) ∩ H n U\cap M=\{q\in U\mid \varphi^n(q)\ge 0\},
\qquad
\varphi(U\cap M)=\varphi(U)\cap\mathbb{H}^n U ∩ M = { q ∈ U ∣ φ n ( q ) ≥ 0 } , φ ( U ∩ M ) = φ ( U ) ∩ H n であり、右辺はH n \mathbb{H}^n H n φ ∣ U ∩ M \varphi|_{U\cap M} φ ∣ U ∩ M
以上で得た境界付きチャートどうしの座標変換は、N N N C ∞ C^\infty C ∞ M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ q ∈ U ∩ M q\in U\cap M q ∈ U ∩ M f ( q ) = c f(q)=c f ( q ) = c f < c f<c f < c ∂ M = f − 1 ( c ) \partial M=f^{-1}(c) ∂ M = f − 1 ( c ) ▨
例 4.2 (閉球体と球面). N = R n N=\R^n N = R n f ( x ) = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 f(x)=\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2 f ( x ) = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 c = 1 c=1 c = 1 f − 1 ( 1 ) = S n − 1 f^{-1}(1)=S^{n-1} f − 1 ( 1 ) = S n − 1 d f x = 2 ∑ i = 1 n x i d x i ≠ 0 df_x=2\sum_{i=1}^{n}x^i\,dx^i\ne 0 d f x = 2 ∑ i = 1 n x i d x i = 0 x ≠ 0 x\ne 0 x = 0 命題 4.1 により閉球体
B ‾ n = { x ∈ R n ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } \overline{B}^n=\{x\in\R^n\mid \lVert x\rVert\le 1\} B n = { x ∈ R n ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } はn n n C ∞ C^\infty C ∞ ∂ B ‾ n = S n − 1 \partial\overline{B}^n=S^{n-1} ∂ B n = S n − 1
この境界に定理 2.6 により得られる可微分構造は、§E22.1 命題 5.1 の立体射影のアトラスで定まるものと一致する。実際、p ∈ S n − 1 p\in S^{n-1} p ∈ S n − 1 p k ≠ 0 p^k\ne 0 p k = 0 命題 4.1 の構成により得られる境界チャートの座標は( x 1 , … , x k ^ , … , x n ) (x^1,\dots,\widehat{x^k},\dots,x^n) ( x 1 , … , x k , … , x n ) x k x^k x k
x k = ± 1 − ∑ 1 ≤ i ≤ n i ≠ k ( x i ) 2 x^k=\pm\sqrt{1-\sum_{\substack{1\le i\le n\\ i\ne k}}(x^i)^2} x k = ± 1 − 1 ≤ i ≤ n i = k ∑ ( x i ) 2 は根号の中が正である範囲でC ∞ C^\infty C ∞ φ N ( x ) = ( x 1 , … , x n − 1 ) / ( 1 − x n ) \varphi_N(x)=(x^1,\dots,x^{n-1})/(1-x^n) φ N ( x ) = ( x 1 , … , x n − 1 ) / ( 1 − x n ) x 1 , … , x k ^ , … , x n x^1,\dots,\widehat{x^k},\dots,x^n x 1 , … , x k , … , x n C ∞ C^\infty C ∞ φ N − 1 \varphi_N^{-1} φ N − 1 u u u C ∞ C^\infty C ∞
5 境界を持つ多様体の上の1の分割 向きの二つの定義が同値であることを示すために、1の分割の存在を、境界を持つ多様体の場合へ拡張する。
補題 5.1. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞
M M M p ∈ M p\in M p ∈ M p p p V V V C ∞ C^\infty C ∞ χ : M → [ 0 , 1 ] \chi\colon M\to[0,1] χ : M → [ 0 , 1 ] p p p χ ≡ 1 \chi\equiv 1 χ ≡ 1 supp χ \operatorname{supp}\chi supp χ supp χ ⊆ V \operatorname{supp}\chi\subseteq V supp χ ⊆ V M M M { U α } α ∈ A \{U_\alpha\}_{\alpha\in A} { U α } α ∈ A §E22.2 定義 4.1 の三条件を満たす族{ ψ α } α ∈ A \{\psi_\alpha\}_{\alpha\in A} { ψ α } α ∈ A 証明. 主張 (1) を示す。p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 注意 2.4 によりφ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) H n \mathbb{H}^n H n R n \R^n R n W ^ \hat W W ^ φ ( U ) = W ^ ∩ H n \varphi(U)=\hat W\cap\mathbb{H}^n φ ( U ) = W ^ ∩ H n B r ( φ ( p ) ) ‾ ⊆ W ^ \overline{B_r(\varphi(p))}\subseteq\hat W B r ( φ ( p )) ⊆ W ^ r > 0 r>0 r > 0 C = B r ( φ ( p ) ) ‾ ∩ H n C=\overline{B_r(\varphi(p))}\cap\mathbb{H}^n C = B r ( φ ( p )) ∩ H n R n \R^n R n C ⊆ φ ( U ) C\subseteq\varphi(U) C ⊆ φ ( U ) φ − 1 ( C ) \varphi^{-1}(C) φ − 1 ( C ) φ − 1 ( B r ( φ ( p ) ) ∩ H n ) \varphi^{-1}\bigl(B_r(\varphi(p))\cap\mathbb{H}^n\bigr) φ − 1 ( B r ( φ ( p )) ∩ H n )
主張 (2) を示す。最初にチャートの定義域をU ∩ V U\cap V U ∩ V r r r C C C φ − 1 ( C ) ⊆ V \varphi^{-1}(C)\subseteq V φ − 1 ( C ) ⊆ V §E22.2 補題 1.4 によりC ∞ C^\infty C ∞ χ 0 : R n → [ 0 , 1 ] \chi_0\colon\R^n\to[0,1] χ 0 : R n → [ 0 , 1 ] B r / 2 ( φ ( p ) ) B_{r/2}(\varphi(p)) B r /2 ( φ ( p )) 1 1 1 B r ( φ ( p ) ) B_r(\varphi(p)) B r ( φ ( p )) 0 0 0
χ ( q ) = { χ 0 ( φ ( q ) ) ( q ∈ U ) , 0 ( q ∈ M ∖ φ − 1 ( C ) ) \chi(q)=
\begin{cases}
\chi_0(\varphi(q))&(q\in U),\\
0&(q\in M\setminus\varphi^{-1}(C))
\end{cases} χ ( q ) = { χ 0 ( φ ( q )) 0 ( q ∈ U ) , ( q ∈ M ∖ φ − 1 ( C )) と定める。二つの開集合U U U M ∖ φ − 1 ( C ) M\setminus\varphi^{-1}(C) M ∖ φ − 1 ( C ) M M M φ − 1 ( C ) \varphi^{-1}(C) φ − 1 ( C ) M M M φ ( q ) ∉ C \varphi(q)\notin C φ ( q ) ∈ / C ∥ φ ( q ) − φ ( p ) ∥ > r \lVert\varphi(q)-\varphi(p)\rVert>r ∥ φ ( q ) − φ ( p )∥ > r 0 0 0 χ \chi χ C ∞ C^\infty C ∞ { χ ≠ 0 } ⊆ φ − 1 ( C ) \{\chi\ne0\}\subseteq\varphi^{-1}(C) { χ = 0 } ⊆ φ − 1 ( C ) supp χ ⊆ φ − 1 ( C ) ⊆ V \operatorname{supp}\chi\subseteq\varphi^{-1}(C)\subseteq V supp χ ⊆ φ − 1 ( C ) ⊆ V φ − 1 ( B r / 2 ( φ ( p ) ) ∩ H n ) \varphi^{-1}\bigl(B_{r/2}(\varphi(p))\cap\mathbb{H}^n\bigr) φ − 1 ( B r /2 ( φ ( p )) ∩ H n ) χ ≡ 1 \chi\equiv 1 χ ≡ 1
主張 (3) を示す。§E22.2 定理 4.2 の証明でM M M M M M §E22.2 命題 2.4 のコンパクト集合の増大列が得られること（同命題は第二可算・局所コンパクト Hausdorff 空間についての主張であり、多様体であることは用いられていない）。第二に、山型関数（§E22.2 命題 1.6 ）。第三に、§E2.19 定義 2.1 の有限部分被覆。第四に、局所有限な閉集合族の閉包についての§E2.58 命題 1.4 (2) （純粋に位相的である）。第五に、局所有限な族の和の滑らかさ（§E22.2 補題 3.1 。その証明では、関数がC ∞ C^\infty C ∞ 定義 1.1 による定義からも成り立つ）。
境界を持つ多様体は、定義により Hausdorff かつ第二可算であり、主張 (1) により局所コンパクトであり、主張 (2) により山型関数を持つ。よって同じ証明がそのまま通用する。▨
以後、境界を持つ多様体に対しても§E22.2 定理 4.2 を引用する。
6 向き 向きは、最高次外冪の消えない切断によって定める。この定め方では内積を用いない。
定義 6.1. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ μ ∈ Ω n ( M ) \mu\in\Omega^n(M) μ ∈ Ω n ( M ) 向き形式 (orientation form )p ∈ M p\in M p ∈ M μ p ≠ 0 \mu_p\ne 0 μ p = 0 μ \mu μ μ ′ \mu' μ ′ 同値 (equivalent orientation forms )C ∞ C^\infty C ∞ h : M → R h\colon M\to\R h : M → R μ ′ = h μ \mu'=h\mu μ ′ = h μ
M M M 向きづけ可能 (orientable )M M M 向き (orientation )向きづけられた多様体 (oriented manifold )
dim Alt n ( T p M ) = 1 \dim\operatorname{Alt}^n(T_pM)=1 dim Alt n ( T p M ) = 1 §E22.10 定理 1.4 と§E3.15 定理 1.2 ）、二つの向き形式μ , μ ′ \mu,\mu' μ , μ ′ μ p ′ = h ( p ) μ p \mu'_p=h(p)\mu_p μ p ′ = h ( p ) μ p h ( p ) ≠ 0 h(p)\ne 0 h ( p ) = 0 h = μ 1 ⋯ n ′ / μ 1 ⋯ n h=\mu'_{1\cdots n}/\mu_{1\cdots n} h = μ 1 ⋯ n ′ / μ 1 ⋯ n h h h C ∞ C^\infty C ∞
定義 6.2. M M M [ μ ] [\mu] [ μ ] n n n C ∞ C^\infty C ∞ ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) (U,\varphi=(x^1,\dots,x^n)) ( U , φ = ( x 1 , … , x n )) 向きを保つ (positively oriented chart )U U U
μ ∣ U = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n , h > 0 \mu|_U=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n,\qquad h>0 μ ∣ U = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n , h > 0 と表されることをいう。h h h
命題 6.3. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ M M M μ \mu μ − μ -\mu − μ
証明. μ \mu μ μ ′ \mu' μ ′ μ ′ = h μ \mu'=h\mu μ ′ = h μ C ∞ C^\infty C ∞ h h h h h h 0 0 0 h − 1 ( ( 0 , ∞ ) ) h^{-1}\bigl((0,\infty)\bigr) h − 1 ( ( 0 , ∞ ) ) h − 1 ( ( − ∞ , 0 ) ) h^{-1}\bigl((-\infty,0)\bigr) h − 1 ( ( − ∞ , 0 ) ) M M M M M M M M M §E2.43 定義 1.1 ）。h > 0 h>0 h > 0 μ ′ \mu' μ ′ μ \mu μ h < 0 h<0 h < 0 μ ′ = ( − h ) ( − μ ) \mu'=(-h)(-\mu) μ ′ = ( − h ) ( − μ ) − μ -\mu − μ μ \mu μ − μ -\mu − μ h ≡ − 1 h\equiv-1 h ≡ − 1 ▨
定理 6.4. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞
M M M 定義 6.1 の意味で向きづけ可能である。M M M { ( U α , φ α ) } \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\} {( U α , φ α )} α , β \alpha,\beta α , β φ β ∘ φ α − 1 \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1} φ β ∘ φ α − 1 φ α ( U α ∩ U β ) \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta) φ α ( U α ∩ U β ) 条件 (b) を満たすアトラスを向きづけアトラス (oriented atlas )[ μ ] [\mu] [ μ ] M M M
証明. (a) ⇒ \Rightarrow ⇒ (b) μ \mu μ p ∈ M p\in M p ∈ M p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) U U U φ ( p ) \varphi(p) φ ( p ) H n \mathbb{H}^n H n U U U μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \mu=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n h h h 0 0 0 U U U
h < 0 h<0 h < 0 R ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ( − x 1 , x 2 , … , x n ) R(x^1,x^2,\dots,x^n)=(-x^1,x^2,\dots,x^n) R ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ( − x 1 , x 2 , … , x n ) φ ˉ = R ∘ φ \bar\varphi=R\circ\varphi φ ˉ = R ∘ φ R R R det R = − 1 \det R=-1 det R = − 1 §E22.10 系 4.3 によりφ ˉ \bar\varphi φ ˉ μ \mu μ − h > 0 -h>0 − h > 0
φ ˉ \bar\varphi φ ˉ n ≥ 2 n\ge 2 n ≥ 2 R R R n n n φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) R n \R^n R n φ ˉ ( U ) \bar\varphi(U) φ ˉ ( U ) H n \mathbb{H}^n H n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n φ ˉ ( U ) \bar\varphi(U) φ ˉ ( U ) n = 1 n=1 n = 1 R ( x ) = − x R(x)=-x R ( x ) = − x φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) R \R R φ ˉ ( U ) \bar\varphi(U) φ ˉ ( U ) H 1 \mathbb{H}^1 H 1 φ ˉ ( U ) \bar\varphi(U) φ ˉ ( U ) H − 1 \mathbb{H}^1_{-} H − 1 H − 1 \mathbb{H}^1_{-} H − 1 φ ˉ ( U ) \bar\varphi(U) φ ˉ ( U ) H 1 \mathbb{H}^1 H 1 φ ˉ \bar\varphi φ ˉ M M M
局所モデルとして二つの半空間を許したことにより、n = 1 n=1 n = 1 H 1 \mathbb{H}^1 H 1 補題 1.3 (3) ）、n = 1 n=1 n = 1 H 1 \mathbb{H}^1 H 1 注意 6.5 を見よ。
以上により、向きを保つ境界付きチャートの定義域はM M M
向きを保つ二つのチャート( U , φ = ( x i ) ) (U,\varphi=(x^i)) ( U , φ = ( x i )) ( V , ψ = ( y a ) ) (V,\psi=(y^a)) ( V , ψ = ( y a )) U ∩ V U\cap V U ∩ V μ \mu μ h φ h_\varphi h φ h ψ h_\psi h ψ §E22.10 系 4.3 により
h φ = h ψ ⋅ det ( ∂ y a ∂ x i ) h_\varphi=h_\psi\cdot\det\Bigl(\frac{\partial y^a}{\partial x^i}\Bigr) h φ = h ψ ⋅ det ( ∂ x i ∂ y a ) である。h φ > 0 h_\varphi>0 h φ > 0 h ψ > 0 h_\psi>0 h ψ > 0
(b) ⇒ \Rightarrow ⇒ (a) { ( U α , φ α ) } α ∈ A \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A} {( U α , φ α ) } α ∈ A { ψ α } α ∈ A \{\psi_\alpha\}_{\alpha\in A} { ψ α } α ∈ A 補題 5.1 (3) ）。φ α \varphi_\alpha φ α x α 1 , … , x α n x_\alpha^1,\dots,x_\alpha^n x α 1 , … , x α n U α U_\alpha U α n n n ψ α d x α 1 ∧ ⋯ ∧ d x α n \psi_\alpha\,dx_\alpha^1\wedge\cdots\wedge dx_\alpha^n ψ α d x α 1 ∧ ⋯ ∧ d x α n M ∖ supp ψ α M\setminus\operatorname{supp}\psi_\alpha M ∖ supp ψ α 0 0 0 M M M U α U_\alpha U α M ∖ supp ψ α M\setminus\operatorname{supp}\psi_\alpha M ∖ supp ψ α M M M ψ α \psi_\alpha ψ α 0 0 0 M M M C ∞ C^\infty C ∞ n n n η α \eta_\alpha η α
μ = ∑ α ∈ A η α \mu=\sum_{\alpha\in A}\eta_\alpha μ = α ∈ A ∑ η α と置く。{ supp ψ α } \{\operatorname{supp}\psi_\alpha\} { supp ψ α } §E22.2 補題 3.1 と同じ議論によりμ ∈ Ω n ( M ) \mu\in\Omega^n(M) μ ∈ Ω n ( M )
p ∈ M p\in M p ∈ M p ∈ U β p\in U_\beta p ∈ U β β \beta β U β U_\beta U β μ \mu μ φ β \varphi_\beta φ β η α \eta_\alpha η α φ β \varphi_\beta φ β p ∈ U α p\in U_\alpha p ∈ U α §E22.10 系 4.3 により
ψ α ( p ) det ( ∂ x α a ∂ x β i ) ( p ) \psi_\alpha(p)\,\det\Bigl(\frac{\partial x_\alpha^a}{\partial x_\beta^i}\Bigr)(p) ψ α ( p ) det ( ∂ x β i ∂ x α a ) ( p ) であり、p ∉ supp ψ α p\notin\operatorname{supp}\psi_\alpha p ∈ / supp ψ α 0 0 0 ψ α ( p ) ≥ 0 \psi_\alpha(p)\ge 0 ψ α ( p ) ≥ 0 ∑ α ψ α ( p ) = 1 \sum_\alpha\psi_\alpha(p)=1 ∑ α ψ α ( p ) = 1 ψ α ( p ) > 0 \psi_\alpha(p)>0 ψ α ( p ) > 0 α \alpha α μ p ≠ 0 \mu_p\ne 0 μ p = 0 μ \mu μ μ \mu μ φ β \varphi_\beta φ β ▨
以下の局所ホモロジーの係数はZ \Z Z n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 H n ( R n , R n ∖ { 0 } ) H_n(\R^n,\R^n\setminus\{0\}) H n ( R n , R n ∖ { 0 }) η 0 \eta_0 η 0 T a ( u ) = u + a T_a(u)=u+a T a ( u ) = u + a η a \eta_a η a U ⊆ R n U\subseteq\R^n U ⊆ R n a ∈ U a\in U a ∈ U §E21.17 命題 1.6 ）で対応するH n ( U , U ∖ { a } ) H_n(U,U\setminus\{a\}) H n ( U , U ∖ { a }) η a \eta_a η a
補題 6.7. n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 U , V ⊆ R n U,V\subseteq\R^n U , V ⊆ R n f : U → V f:U\to V f : U → V C ∞ C^\infty C ∞ x ∈ U x\in U x ∈ U f f f
f ∗ ( η x ) = sgn ( det D f x ) η f ( x ) f_*(\eta_x)=\operatorname{sgn}(\det Df_x)\,\eta_{f(x)} f ∗ ( η x ) = sgn ( det D f x ) η f ( x ) を満たす。
証明. 局所切除の同型と対の写像の関手性により、開近傍をさらに縮めても誘導される同型は変わらない。平行移動による生成元の定め方から、x = f ( x ) = 0 x=f(x)=0 x = f ( x ) = 0 A = D f 0 A=Df_0 A = D f 0 v ↦ ∥ A v ∥ v\mapsto\|Av\| v ↦ ∥ A v ∥ c c c ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0
∥ f ( h ) − A h ∥ < c 2 ∥ h ∥ ( 0 < ∥ h ∥ < ε ) \|f(h)-Ah\|<\frac c2\|h\|\qquad(0<\|h\|<\varepsilon) ∥ f ( h ) − A h ∥ < 2 c ∥ h ∥ ( 0 < ∥ h ∥ < ε ) が成り立つ。f f f B ε ( 0 ) B_\varepsilon(0) B ε ( 0 )
F t ( h ) = A h + t ( f ( h ) − A h ) ( 0 ≤ t ≤ 1 ) F_t(h)=Ah+t\bigl(f(h)-Ah\bigr)\qquad(0\le t\le1) F t ( h ) = A h + t ( f ( h ) − A h ) ( 0 ≤ t ≤ 1 ) について、h ≠ 0 h\ne0 h = 0
∥ F t ( h ) ∥ ≥ ∥ A h ∥ − t ∥ f ( h ) − A h ∥ > c 2 ∥ h ∥ > 0 \|F_t(h)\|\ge \|Ah\|-t\|f(h)-Ah\|>\frac c2\|h\|>0 ∥ F t ( h ) ∥ ≥ ∥ A h ∥ − t ∥ f ( h ) − A h ∥ > 2 c ∥ h ∥ > 0 である。したがってF t F_t F t ( B ε ( 0 ) , B ε ( 0 ) ∖ { 0 } ) (B_\varepsilon(0),B_\varepsilon(0)\setminus\{0\}) ( B ε ( 0 ) , B ε ( 0 ) ∖ { 0 }) ( R n , R n ∖ { 0 } ) (\R^n,\R^n\setminus\{0\}) ( R n , R n ∖ { 0 }) §E21.13 命題 3.2 の柱体作用素は、部分空間を保つホモトピーに対してその部分空間の鎖も保つので、商の相対鎖複体にも鎖ホモトピーを誘導する。よってf ∗ = A ∗ f_*=A_* f ∗ = A ∗
A A A §E3.33 定理 2.2 を適用すると、A = Q R A=QR A = QR Q Q Q R R R ( 1 − t ) R + t I (1-t)R+tI ( 1 − t ) R + t I Q ( ( 1 − t ) R + t I ) Q((1-t)R+tI) Q (( 1 − t ) R + t I ) A A A Q Q Q
行列式が正の直交行列は、直交行列の中で恒等行列と道で結ばれる。これを次元による帰納法で確かめる。n = 1 n=1 n = 1 I I I n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 v v v e 1 e_1 e 1 v ≠ ± e 1 v\ne\pm e_1 v = ± e 1 v , e 1 v,e_1 v , e 1 v = − e 1 v=-e_1 v = − e 1 e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2 0 0 0 π \pi π v = e 1 v=e_1 v = e 1 1 1 1 ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 )
したがってdet A > 0 \det A>0 det A > 0 A A A I I I det A < 0 \det A<0 det A < 0 r r r r Q rQ r Q Q Q Q r r r §E21.19 命題 2.9 により− id -\id − id ▨
命題 6.8. M M M 定義 6.1 の向き形式の同値類と、整数係数の局所ホモロジーの生成元からなる整合的な族とは一対一に対応する。正の次元では整合性と位相的な向きは§E21.36 定義 2.1 に従う。零次元でも同じ整合条件を用い、各点の零次ホモロジーの生成元を指定する。
正の次元では、向き形式に関して正のチャート( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) x ∈ U x\in U x ∈ U φ ∗ − 1 ( η φ ( x ) ) \varphi_*^{-1}(\eta_{\varphi(x)}) φ ∗ − 1 ( η φ ( x ) ) x x x ε x \varepsilon_x ε x x x x ε x \varepsilon_x ε x F : M → N F:M\to N F : M → N ( F − 1 ) ∗ (F^{-1})^* ( F − 1 ) ∗ F ∗ F_* F ∗
証明. まずn = dim M ≥ 1 n=\dim M\ge1 n = dim M ≥ 1 ( η a ) a ∈ R n (\eta_a)_{a\in\R^n} ( η a ) a ∈ R n C C C §E21.36 補題 1.4 (1) により、原点への制限がη 0 \eta_0 η 0 α ∈ H n ( R n , R n ∖ C ) \alpha\in H_n(\R^n,\R^n\setminus C) α ∈ H n ( R n , R n ∖ C ) a a a C C C u ↦ u + t a u\mapsto u+ta u ↦ u + t a ( R n , R n ∖ C ) (\R^n,\R^n\setminus C) ( R n , R n ∖ C ) ( R n , R n ∖ { a } ) (\R^n,\R^n\setminus\{a\}) ( R n , R n ∖ { a }) u + t a = a u+ta=a u + t a = a u = ( 1 − t ) a ∈ C u=(1-t)a\in C u = ( 1 − t ) a ∈ C α a = ( T a ) ∗ α 0 = η a \alpha_a=(T_a)_*\alpha_0=\eta_a α a = ( T a ) ∗ α 0 = η a §E21.36 命題 2.4 (3) ）。
向き形式μ \mu μ 定理 6.4 により、μ \mu μ M M M 補題 6.7 により、両チャートから得られる局所生成元は一致する。したがって各点の生成元s x s_x s x
逆に、整合的な生成元の族s = ( s x ) s=(s_x) s = ( s x ) x x x U U U φ \varphi φ φ ∗ − 1 ( η φ ( y ) ) \varphi_*^{-1}(\eta_{\varphi(y)}) φ ∗ − 1 ( η φ ( y ) ) U U U x x x s x s_x s x §E21.36 命題 2.4 (1) により、同じ符号での一致がU U U s s s
こうして各点の近傍で得られるチャートどうしの座標変換は、標準局所生成元を保つ。前補題によりその Jacobi 行列式は正である。したがってこれらは向きづけアトラスをなし、定理 6.4 の1の分割による構成が、このアトラスに関して正の向き形式μ \mu μ μ \mu μ s s s
二つの向き形式μ , ν \mu,\nu μ , ν μ \mu μ ν = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \nu=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n ν = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n h < 0 h<0 h < 0 ν \nu ν μ \mu μ h > 0 h>0 h > 0 ν / μ \nu/\mu ν / μ
開集合への制限については、同じチャートを制限して用い、局所切除の同型の合成を取れば、どちらの順に制限しても同じ局所生成元を得る。微分同相F : M → N F:M\to N F : M → N μ \mu μ φ \varphi φ N N N ( F − 1 ) ∗ μ (F^{-1})^*\mu ( F − 1 ) ∗ μ φ ∘ F − 1 \varphi\circ F^{-1} φ ∘ F − 1 F ∗ s x F_*s_x F ∗ s x
n = 0 n=0 n = 0 M M M Z \Z Z 注意 6.6 の向き形式の同値類も、各点の符号の指定に等しい。制限は符号の族の制限、微分同相による移送は点の対応による符号の移送なので、全単射と二つの両立性が従う。空の多様体では両側とも唯一の空のデータからなり、同じ主張が成り立つ。▨
命題 6.9. M M M N N N M × N M\times N M × N
証明. 定理 6.4 によりM M M { ( U α , φ α ) } \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\} {( U α , φ α )} N N N { ( V λ , ψ λ ) } \{(V_\lambda,\psi_\lambda)\} {( V λ , ψ λ )} §E22.1 命題 7.3 により{ ( U α × V λ , φ α × ψ λ ) } \{(U_\alpha\times V_\lambda,\varphi_\alpha\times\psi_\lambda)\} {( U α × V λ , φ α × ψ λ )} M × N M\times N M × N
( φ β × ψ ν ) ∘ ( φ α × ψ λ ) − 1 = ( φ β ∘ φ α − 1 ) × ( ψ ν ∘ ψ λ − 1 ) (\varphi_\beta\times\psi_\nu)\circ(\varphi_\alpha\times\psi_\lambda)^{-1}
=(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})\times(\psi_\nu\circ\psi_\lambda^{-1}) ( φ β × ψ ν ) ∘ ( φ α × ψ λ ) − 1 = ( φ β ∘ φ α − 1 ) × ( ψ ν ∘ ψ λ − 1 ) であり、その Jacobi 行列は二つの Jacobi 行列を対角に並べた区分行列である。行列式は二つの行列式の積であるから正である。ふたたび定理 6.4 によりM × N M\times N M × N ▨
例 6.10. ι : S n − 1 → R n \iota\colon S^{n-1}\to\R^n ι : S n − 1 → R n Ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \Omega=dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n Ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n P = ∑ i = 1 n x i ∂ / ∂ x i P=\sum_{i=1}^{n}x^i\,\partial/\partial x^i P = ∑ i = 1 n x i ∂ / ∂ x i
μ = ι ∗ ( ι P Ω ) ∈ Ω n − 1 ( S n − 1 ) \mu=\iota^*\bigl(\iota_P\Omega\bigr)\in\Omega^{n-1}(S^{n-1}) μ = ι ∗ ( ι P Ω ) ∈ Ω n − 1 ( S n − 1 ) と置く。ここでι P \iota_P ι P §E22.12 定義 1.1 ）である。この構成はR n \R^n R n Ω \Omega Ω P P P S n − 1 S^{n-1} S n − 1
μ \mu μ f ( x ) = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 f(x)=\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2 f ( x ) = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 S n − 1 = f − 1 ( 1 ) S^{n-1}=f^{-1}(1) S n − 1 = f − 1 ( 1 ) p ∈ S n − 1 p\in S^{n-1} p ∈ S n − 1 d f p ( P p ) = ∑ i = 1 n x i ⋅ 2 x i = 2 ≠ 0 df_p(P_p)=\sum_{i=1}^{n}x^i\cdot 2x^i=2\ne 0 d f p ( P p ) = ∑ i = 1 n x i ⋅ 2 x i = 2 = 0 P p ∉ ker d f p = T p S n − 1 P_p\notin\ker df_p=T_pS^{n-1} P p ∈ / ker d f p = T p S n − 1 §E22.5 定理 4.3 ）。dim T p R n = n \dim T_p\R^n=n dim T p R n = n dim T p S n − 1 = n − 1 \dim T_pS^{n-1}=n-1 dim T p S n − 1 = n − 1
T p R n = R P p ⊕ T p S n − 1 T_p\R^n=\R P_p\oplus T_pS^{n-1} T p R n = R P p ⊕ T p S n − 1 である。( v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 ) T p S n − 1 T_pS^{n-1} T p S n − 1 ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) (P_p,v_1,\dots,v_{n-1}) ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) T p R n T_p\R^n T p R n Ω p \Omega_p Ω p 0 0 0
μ p ( v 1 , … , v n − 1 ) = Ω p ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) ≠ 0 \mu_p(v_1,\dots,v_{n-1})=\Omega_p(P_p,v_1,\dots,v_{n-1})\ne 0 μ p ( v 1 , … , v n − 1 ) = Ω p ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) = 0 である。よってS n − 1 S^{n-1} S n − 1
一方、§E22.1 命題 5.1 の二枚の立体射影を並べたアトラスは向きづけアトラスではない。座標変換はφ S ∘ φ N − 1 ( u ) = u / ∥ u ∥ 2 \varphi_S\circ\varphi_N^{-1}(u)=u/\lVert u\rVert^2 φ S ∘ φ N − 1 ( u ) = u / ∥ u ∥ 2
D ( u ∥ u ∥ 2 ) = 1 ∥ u ∥ 2 ( I − 2 u u T ∥ u ∥ 2 ) D\Bigl(\frac{u}{\lVert u\rVert^2}\Bigr)
=\frac{1}{\lVert u\rVert^{2}}\Bigl(I-2\,\frac{u\,u^{\mathsf T}}{\lVert u\rVert^{2}}\Bigr) D ( ∥ u ∥ 2 u ) = ∥ u ∥ 2 1 ( I − 2 ∥ u ∥ 2 u u T ) である（成分ごとに∂ j ( u i ∥ u ∥ − 2 ) = δ j i ∥ u ∥ − 2 − 2 u i u j ∥ u ∥ − 4 \partial_j(u^i\lVert u\rVert^{-2})=\delta^i_j\lVert u\rVert^{-2}-2u^iu^j\lVert u\rVert^{-4} ∂ j ( u i ∥ u ∥ − 2 ) = δ j i ∥ u ∥ − 2 − 2 u i u j ∥ u ∥ − 4 u u u − 1 -1 − 1 n − 2 n-2 n − 2 1 1 1 − 1 -1 − 1
det D ( φ S ∘ φ N − 1 ) ( u ) = − 1 ∥ u ∥ 2 ( n − 1 ) < 0 \det D\bigl(\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}\bigr)(u)=-\frac{1}{\lVert u\rVert^{2(n-1)}}<0 det D ( φ S ∘ φ N − 1 ) ( u ) = − ∥ u ∥ 2 ( n − 1 ) 1 < 0 である。n − 1 = 2 n-1=2 n − 1 = 2 φ S ∘ φ N − 1 ( u , v ) = ( u / ( u 2 + v 2 ) , v / ( u 2 + v 2 ) ) \varphi_S\circ\varphi_N^{-1}(u,v)=\bigl(u/(u^2+v^2),\,v/(u^2+v^2)\bigr) φ S ∘ φ N − 1 ( u , v ) = ( u / ( u 2 + v 2 ) , v / ( u 2 + v 2 ) ) − 1 / ( u 2 + v 2 ) 2 -1/(u^2+v^2)^2 − 1/ ( u 2 + v 2 ) 2
これはS n − 1 S^{n-1} S n − 1 φ S \varphi_S φ S
φ ~ S = r ∘ φ S , r ( u 1 , u 2 , … , u n − 1 ) = ( − u 1 , u 2 , … , u n − 1 ) \widetilde\varphi_S=r\circ\varphi_S,\qquad r(u^1,u^2,\dots,u^{n-1})=(-u^1,u^2,\dots,u^{n-1}) φ S = r ∘ φ S , r ( u 1 , u 2 , … , u n − 1 ) = ( − u 1 , u 2 , … , u n − 1 ) を用いると、φ ~ S ∘ φ N − 1 = r ∘ ( φ S ∘ φ N − 1 ) \widetilde\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}=r\circ(\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}) φ S ∘ φ N − 1 = r ∘ ( φ S ∘ φ N − 1 ) ( − 1 ) ⋅ ( − ∥ u ∥ − 2 ( n − 1 ) ) > 0 (-1)\cdot(-\lVert u\rVert^{-2(n-1)})>0 ( − 1 ) ⋅ ( − ∥ u ∥ − 2 ( n − 1 ) ) > 0 { ( U N , φ N ) , ( U S , φ ~ S ) } \{(U_N,\varphi_N),(U_S,\widetilde\varphi_S)\} {( U N , φ N ) , ( U S , φ S )}
例 6.11. S 1 S^1 S 1 例 6.10 により向きづけ可能である。命題 6.9 を繰り返し用いると、円環面T n = ( S 1 ) n T^n=(S^1)^n T n = ( S 1 ) n §E22.1 例 7.4 ）は向きづけ可能である。とくにT 2 T^2 T 2
7 向きづけ可能でない例 命題 7.1. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ M M M ( U 1 , φ 1 ) (U_1,\varphi_1) ( U 1 , φ 1 ) ( U 2 , φ 2 ) (U_2,\varphi_2) ( U 2 , φ 2 ) U 1 U_1 U 1 U 2 U_2 U 2 U 1 ∩ U 2 ≠ ∅ U_1\cap U_2\ne\varnothing U 1 ∩ U 2 = ∅
J = det D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) J=\det D\bigl(\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}\bigr) J = det D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) がφ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) \varphi_1(U_1\cap U_2) φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) M M M
証明. M M M μ \mu μ U i U_i U i μ \mu μ φ i \varphi_i φ i h i h_i h i h i h_i h i U i U_i U i 0 0 0 U i U_i U i ε i ∈ { + 1 , − 1 } \varepsilon_i\in\{+1,-1\} ε i ∈ { + 1 , − 1 }
§E22.10 系 4.3 をx = φ 1 x=\varphi_1 x = φ 1 y = φ 2 y=\varphi_2 y = φ 2 U 1 ∩ U 2 U_1\cap U_2 U 1 ∩ U 2
h 1 = h 2 ⋅ ( J ∘ φ 1 ) h_1=h_2\cdot\bigl(J\circ\varphi_1\bigr) h 1 = h 2 ⋅ ( J ∘ φ 1 ) が成り立つ。両辺の符号を比べると、U 1 ∩ U 2 U_1\cap U_2 U 1 ∩ U 2 ε 1 = ε 2 ⋅ sign ( J ∘ φ 1 ) \varepsilon_1=\varepsilon_2\cdot\operatorname{sign}\bigl(J\circ\varphi_1\bigr) ε 1 = ε 2 ⋅ sign ( J ∘ φ 1 ) ε 2 \varepsilon_2 ε 2 J J J φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) \varphi_1(U_1\cap U_2) φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) ▨
Möbius の帯を、チャートの族から直接構成する。
例 7.2. M ~ = R × ( − 1 , 1 ) \widetilde M=\R\times(-1,1) M = R × ( − 1 , 1 )
( s , t ) ∼ ( s + m , ( − 1 ) m t ) ( m ∈ Z ) (s,t)\sim(s+m,(-1)^{m}t)\qquad(m\in\Z) ( s , t ) ∼ ( s + m , ( − 1 ) m t ) ( m ∈ Z ) で同値関係を定め、商集合をM M M ( s , t ) (s,t) ( s , t ) [ s , t ] [s,t] [ s , t ] M M M Möbius の帯 (Möbius band )
各有理数c c c R c = ( c , c + 1 ) × ( − 1 , 1 ) R_c=(c,c+1)\times(-1,1) R c = ( c , c + 1 ) × ( − 1 , 1 ) V c = { [ s , t ] ∣ ( s , t ) ∈ R c } V_c=\{[s,t]\mid (s,t)\in R_c\} V c = {[ s , t ] ∣ ( s , t ) ∈ R c } η c : V c → R c \eta_c\colon V_c\to R_c η c : V c → R c [ s , t ] ↦ ( s , t ) [s,t]\mapsto(s,t) [ s , t ] ↦ ( s , t ) ( s , t ) ∈ R c (s,t)\in R_c ( s , t ) ∈ R c η c \eta_c η c ( s , t ) , ( s ′ , t ′ ) ∈ R c (s,t),(s',t')\in R_c ( s , t ) , ( s ′ , t ′ ) ∈ R c s ′ = s + m s'=s+m s ′ = s + m ∣ s ′ − s ∣ < 1 |s'-s|<1 ∣ s ′ − s ∣ < 1 m = 0 m=0 m = 0 ( s , t ) = ( s ′ , t ′ ) (s,t)=(s',t') ( s , t ) = ( s ′ , t ′ )
§E22.4 補題 2.1 の五条件を確かめる。添字集合Q \Q Q η c ( V c ) = R c \eta_c(V_c)=R_c η c ( V c ) = R c [ s , t ] [s,t] [ s , t ] s s s ( c , c + 1 ) (c,c+1) ( c , c + 1 ) c c c η c ( V c ∩ V c ′ ) \eta_c(V_c\cap V_{c'}) η c ( V c ∩ V c ′ )
⋃ m ∈ Z ( R c ∩ ( ( c ′ − m , c ′ + 1 − m ) × ( − 1 , 1 ) ) ) \bigcup_{m\in\Z}\bigl(R_c\cap\bigl((c'-m,c'+1-m)\times(-1,1)\bigr)\bigr) m ∈ Z ⋃ ( R c ∩ ( ( c ′ − m , c ′ + 1 − m ) × ( − 1 , 1 ) ) ) であり、開集合の合併であるから開集合である。座標変換は、この合併の各成分の上で( s , t ) ↦ ( s + m , ( − 1 ) m t ) (s,t)\mapsto(s+m,(-1)^mt) ( s , t ) ↦ ( s + m , ( − 1 ) m t ) C ∞ C^\infty C ∞ [ s 0 , t 0 ] [s_0,t_0] [ s 0 , t 0 ] [ s 1 , t 1 ] [s_1,t_1] [ s 1 , t 1 ] s 0 , s 1 ∈ [ 0 , 1 ) s_0,s_1\in[0,1) s 0 , s 1 ∈ [ 0 , 1 ) c c c max ( s 0 , s 1 ) − 1 < c < min ( s 0 , s 1 ) \max(s_0,s_1)-1<c<\min(s_0,s_1) max ( s 0 , s 1 ) − 1 < c < min ( s 0 , s 1 ) V c V_c V c §E22.4 補題 2.1 によりM M M 2 2 2 C ∞ C^\infty C ∞ V c V_c V c R c R_c R c
命題 7.3. 例 7.2 の Möbius の帯M M M R P 2 \mathbb{RP}^2 RP 2 T 2 T^2 T 2
証明. Möbius の帯 。c = 0 c=0 c = 0 c = 1 / 2 c=1/2 c = 1/2 ( V 0 , η 0 ) (V_0,\eta_0) ( V 0 , η 0 ) ( V 1 / 2 , η 1 / 2 ) (V_{1/2},\eta_{1/2}) ( V 1/2 , η 1/2 ) η 0 ( V 0 ∩ V 1 / 2 ) \eta_0(V_0\cap V_{1/2}) η 0 ( V 0 ∩ V 1/2 ) ( s , t ) ∈ R 0 = ( 0 , 1 ) × ( − 1 , 1 ) (s,t)\in R_0=(0,1)\times(-1,1) ( s , t ) ∈ R 0 = ( 0 , 1 ) × ( − 1 , 1 ) V 1 / 2 V_{1/2} V 1/2 s + m ∈ ( 1 / 2 , 3 / 2 ) s+m\in(1/2,3/2) s + m ∈ ( 1/2 , 3/2 ) m m m m = 0 m=0 m = 0 s ∈ ( 1 / 2 , 1 ) s\in(1/2,1) s ∈ ( 1/2 , 1 ) m = 1 m=1 m = 1 s ∈ ( 0 , 1 / 2 ) s\in(0,1/2) s ∈ ( 0 , 1/2 ) m m m
η 0 ( V 0 ∩ V 1 / 2 ) = ( ( 0 , 1 2 ) ∪ ( 1 2 , 1 ) ) × ( − 1 , 1 ) \eta_0(V_0\cap V_{1/2})=\Bigl(\bigl(0,\tfrac12\bigr)\cup\bigl(\tfrac12,1\bigr)\Bigr)\times(-1,1) η 0 ( V 0 ∩ V 1/2 ) = ( ( 0 , 2 1 ) ∪ ( 2 1 , 1 ) ) × ( − 1 , 1 ) である。座標変換η 1 / 2 ∘ η 0 − 1 \eta_{1/2}\circ\eta_0^{-1} η 1/2 ∘ η 0 − 1 s ∈ ( 1 / 2 , 1 ) s\in(1/2,1) s ∈ ( 1/2 , 1 ) ( s , t ) ↦ ( s , t ) (s,t)\mapsto(s,t) ( s , t ) ↦ ( s , t ) 1 1 1 s ∈ ( 0 , 1 / 2 ) s\in(0,1/2) s ∈ ( 0 , 1/2 ) ( s , t ) ↦ ( s + 1 , − t ) (s,t)\mapsto(s+1,-t) ( s , t ) ↦ ( s + 1 , − t ) ( 1 0 0 − 1 ) \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} ( 1 0 0 − 1 ) − 1 -1 − 1 命題 7.1 によりM M M
実射影平面 。§E22.1 命題 6.1 のチャート( U 1 , φ 1 ) (U_1,\varphi_1) ( U 1 , φ 1 ) ( U 2 , φ 2 ) (U_2,\varphi_2) ( U 2 , φ 2 ) R 2 \R^2 R 2 φ 1 − 1 ( u , v ) = [ 1 : u : v ] \varphi_1^{-1}(u,v)=[1:u:v] φ 1 − 1 ( u , v ) = [ 1 : u : v ] φ 2 ( [ 1 : u : v ] ) = ( 1 / u , v / u ) \varphi_2([1:u:v])=(1/u,\ v/u) φ 2 ([ 1 : u : v ]) = ( 1/ u , v / u ) φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = { ( u , v ) ∣ u ≠ 0 } \varphi_1(U_1\cap U_2)=\{(u,v)\mid u\ne 0\} φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = {( u , v ) ∣ u = 0 }
D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) ( u , v ) = ( − u − 2 0 − v u − 2 u − 1 ) , det = − 1 u 3 D\bigl(\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}\bigr)(u,v)
=\begin{pmatrix}-u^{-2}&0\\ -vu^{-2}&u^{-1}\end{pmatrix},
\qquad
\det=-\frac{1}{u^{3}} D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) ( u , v ) = ( − u − 2 − v u − 2 0 u − 1 ) , det = − u 3 1 である。u > 0 u>0 u > 0 u < 0 u<0 u < 0 命題 7.1 によりR P 2 \mathbb{RP}^2 RP 2
円環面 。例 6.11 による。▨
命題 7.4. n n n R P n \mathbb{RP}^n RP n §E22.1 命題 6.1 のアトラス{ ( U i , φ i ) } i = 1 n + 1 \{(U_i,\varphi_i)\}_{i=1}^{n+1} {( U i , φ i ) } i = 1 n + 1 i ≠ j i\ne j i = j φ i ( U i ∩ U j ) \varphi_i(U_i\cap U_j) φ i ( U i ∩ U j )
det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) ( u ) = ( − 1 ) j − i ( t i j ( u ) ) n + 1 \det D\bigl(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}\bigr)(u)=\frac{(-1)^{j-i}}{\bigl(t_{ij}(u)\bigr)^{\,n+1}} det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) ( u ) = ( t ij ( u ) ) n + 1 ( − 1 ) j − i が成り立つ。ここでt i j ( u ) t_{ij}(u) t ij ( u ) φ i − 1 ( u ) \varphi_i^{-1}(u) φ i − 1 ( u ) j j j u u u j > i j>i j > i u j − 1 u^{j-1} u j − 1 j < i j<i j < i u j u^{j} u j
n n n R P n \mathbb{RP}^n RP n n n n R P n \mathbb{RP}^n RP n 証明. 次元の偶奇による向きづけ可能性の違いは§E21.36 命題 5.5 (1) と命題 6.8 から従う。以下では斉次座標の行列式を計算し、偶数次元の符号の不一致と、奇数次元の正のアトラスを具体的に確かめる。
行列式の計算 。φ i − 1 ( u ) = [ u 1 : ⋯ : u i − 1 : 1 : u i : ⋯ : u n ] \varphi_i^{-1}(u)=[u^1:\cdots:u^{i-1}:1:u^{i}:\cdots:u^{n}] φ i − 1 ( u ) = [ u 1 : ⋯ : u i − 1 : 1 : u i : ⋯ : u n ] i i i 1 1 1 k k k x k x^k x k t = x j = t i j ( u ) t=x^j=t_{ij}(u) t = x j = t ij ( u ) φ j \varphi_j φ j x j x^j x j j j j φ j ∘ φ i − 1 ( u ) \varphi_j\circ\varphi_i^{-1}(u) φ j ∘ φ i − 1 ( u ) 1 / t 1/t 1/ t u m / t u^m/t u m / t m ≠ s m\ne s m = s s s s t = u s t=u^s t = u s n − 1 n-1 n − 1
補助写像Ψ ( u ) \Psi(u) Ψ ( u ) s s s 1 / u s 1/u^s 1/ u s m m m m ≠ s m\ne s m = s u m / u s u^m/u^s u m / u s Ψ \Psi Ψ s s s 1 / u s 1/u^s 1/ u s s s s ( 0 , … , − 1 / ( u s ) 2 , … , 0 ) (0,\dots,-1/(u^s)^2,\dots,0) ( 0 , … , − 1/ ( u s ) 2 , … , 0 )
det D Ψ ( u ) = ( − 1 ( u s ) 2 ) ( 1 u s ) n − 1 = − 1 ( u s ) n + 1 \det D\Psi(u)=\Bigl(-\frac{1}{(u^s)^2}\Bigr)\Bigl(\frac{1}{u^s}\Bigr)^{n-1}=-\frac{1}{(u^s)^{n+1}} det D Ψ ( u ) = ( − ( u s ) 2 1 ) ( u s 1 ) n − 1 = − ( u s ) n + 1 1 である。φ j ∘ φ i − 1 \varphi_j\circ\varphi_i^{-1} φ j ∘ φ i − 1 Ψ \Psi Ψ φ j \varphi_j φ j r r r k k k k ≠ j k\ne j k = j r = k r=k r = k k < j k<j k < j r = k − 1 r=k-1 r = k − 1 k > j k>j k > j 1 / u s 1/u^s 1/ u s i i i Ψ \Psi Ψ s s s i < j i<j i < j i i i i > j i>j i > j i − 1 i-1 i − 1 s s s ∣ j − i ∣ |j-i| ∣ j − i ∣ ( − 1 ) ∣ j − i ∣ − 1 (-1)^{|j-i|-1} ( − 1 ) ∣ j − i ∣ − 1
det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) = ( − 1 ) ∣ j − i ∣ − 1 ⋅ ( − 1 t n + 1 ) = ( − 1 ) j − i t n + 1 \det D\bigl(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}\bigr)=(-1)^{|j-i|-1}\cdot\Bigl(-\frac{1}{t^{n+1}}\Bigr)=\frac{(-1)^{j-i}}{t^{n+1}} det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) = ( − 1 ) ∣ j − i ∣ − 1 ⋅ ( − t n + 1 1 ) = t n + 1 ( − 1 ) j − i である（( − 1 ) ∣ j − i ∣ = ( − 1 ) j − i (-1)^{|j-i|}=(-1)^{j-i} ( − 1 ) ∣ j − i ∣ = ( − 1 ) j − i
偶数次元の座標変換を確かめる。n n n n + 1 n+1 n + 1 t n + 1 t^{n+1} t n + 1 t t t i = 1 i=1 i = 1 j = 2 j=2 j = 2 t = u 1 t=u^1 t = u 1 φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = { u ∣ u 1 ≠ 0 } \varphi_1(U_1\cap U_2)=\{u\mid u^1\ne 0\} φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = { u ∣ u 1 = 0 } det \det det u 1 > 0 u^1>0 u 1 > 0 u 1 < 0 u^1<0 u 1 < 0 U 1 U_1 U 1 U 2 U_2 U 2 R n \R^n R n 命題 7.1 によりR P n \mathbb{RP}^n RP n
奇数次元の正のアトラスを構成する。n n n n + 1 n+1 n + 1 t n + 1 > 0 t^{n+1}>0 t n + 1 > 0 det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) \det D(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}) det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) ( − 1 ) j − i = ( − 1 ) i + j (-1)^{j-i}=(-1)^{i+j} ( − 1 ) j − i = ( − 1 ) i + j ρ i \rho_i ρ i i i i i i i ( u 1 , u 2 , … , u n ) ↦ ( − u 1 , u 2 , … , u n ) (u^1,u^2,\dots,u^n)\mapsto(-u^1,u^2,\dots,u^n) ( u 1 , u 2 , … , u n ) ↦ ( − u 1 , u 2 , … , u n ) det ρ i = ( − 1 ) i \det\rho_i=(-1)^i det ρ i = ( − 1 ) i φ ~ i = ρ i ∘ φ i \widetilde\varphi_i=\rho_i\circ\varphi_i φ i = ρ i ∘ φ i
sgn det D ( φ ~ j ∘ φ ~ i − 1 ) = sgn ( det ρ j ) sgn det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) sgn ( det ρ i − 1 ) = ( − 1 ) j ( − 1 ) i + j ( − 1 ) i = 1 \operatorname{sgn}\det D\bigl(\widetilde\varphi_j\circ\widetilde\varphi_i^{-1}\bigr)
=\operatorname{sgn}(\det\rho_j)\,\operatorname{sgn}\det D\bigl(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}\bigr)\,\operatorname{sgn}(\det\rho_i^{-1})
=(-1)^{j}(-1)^{i+j}(-1)^{i}=1 sgn det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) = sgn ( det ρ j ) sgn det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) sgn ( det ρ i − 1 ) = ( − 1 ) j ( − 1 ) i + j ( − 1 ) i = 1 である。したがって行列式は正であり、{ ( U i , φ ~ i ) } \{(U_i,\widetilde\varphi_i)\} {( U i , φ i )} 定理 6.4 によりR P n \mathbb{RP}^n RP n ▨
8 外向きのベクトルと境界の誘導向き 定義 8.1. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M ν ∈ T p M \nu\in T_pM ν ∈ T p M p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 型の符号 (sign of boundary-chart type )ϵ φ \epsilon_\varphi ϵ φ ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 ν \nu ν p p p outward-pointing atp p p )p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) d φ p ( ν ) ∈ R n d\varphi_p(\nu)\in\R^n d φ p ( ν ) ∈ R n n n n a n a^n a n
ϵ φ a n < 0 \epsilon_\varphi\,a^n<0 ϵ φ a n < 0 を満たすことをいう。正の型のチャートではa n < 0 a^n<0 a n < 0 a n > 0 a^n>0 a n > 0 d φ p ( ν ) d\varphi_p(\nu) d φ p ( ν ) φ ( U ) \varphi(U) φ ( U )
命題 8.2. 定義 8.1 の条件は、p p p p p p T p M T_pM T p M T p M T_pM T p M T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) ν \nu ν
証明. ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) p p p a = d φ p ( ν ) a=d\varphi_p(\nu) a = d φ p ( ν ) b = d ψ p ( ν ) b=d\psi_p(\nu) b = d ψ p ( ν )
まず両方が正の型である場合を考える。τ = ψ ∘ φ − 1 \tau=\psi\circ\varphi^{-1} τ = ψ ∘ φ − 1 命題 3.2 (2) の証明で計算したとおり
b n = ∂ τ n ∂ x n ( φ ( p ) ) a n b^n=\frac{\partial\tau^n}{\partial x^n}\bigl(\varphi(p)\bigr)\,a^n b n = ∂ x n ∂ τ n ( φ ( p ) ) a n であり、係数は補題 1.3 (3) により正である。よってa n < 0 a^n<0 a n < 0 b n < 0 b^n<0 b n < 0
一般の場合は補題 2.1 のR n R_n R n ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) ( V , R n ∘ ψ ) (V,R_n\circ\psi) ( V , R n ∘ ψ ) d ( R n ∘ ψ ) p ( ν ) d(R_n\circ\psi)_p(\nu) d ( R n ∘ ψ ) p ( ν ) n n n − b n -b^n − b n ϵ R n ∘ ψ = + 1 \epsilon_{R_n\circ\psi}=+1 ϵ R n ∘ ψ = + 1 ϵ ψ = − 1 \epsilon_\psi=-1 ϵ ψ = − 1 ϵ ψ b n < 0 \epsilon_\psi b^n<0 ϵ ψ b n < 0 ( − b n ) < 0 (-b^n)<0 ( − b n ) < 0 ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ )
一つの境界チャートを固定すると、外向きベクトルの全体は{ v ∣ ϵ φ d φ p ( v ) n < 0 } \{v\mid \epsilon_\varphi\,d\varphi_p(v)^n<0\} { v ∣ ϵ φ d φ p ( v ) n < 0 } v ↦ ϵ φ d φ p ( v ) n v\mapsto\epsilon_\varphi\,d\varphi_p(v)^n v ↦ ϵ φ d φ p ( v ) n T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) 命題 3.2 (2) ）、ν \nu ν T p M = T p ( ∂ M ) ⊕ R ν T_pM=T_p(\partial M)\oplus\R\nu T p M = T p ( ∂ M ) ⊕ R ν ▨
境界に直交するという条件を定義に採らない 。直交性は接空間に内積を選んで初めて定まるので、計量を導入しない本単元では用いることができない。上の定義では、チャートの第n n n
補題 8.3. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ M M M C ∞ C^\infty C ∞ ν \nu ν p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M ν p \nu_p ν p
証明. ∂ M \partial M ∂ M p p p p p p ( U p , φ p ) (U_p,\varphi_p) ( U p , φ p ) U 0 = Int M U_0=\operatorname{Int}M U 0 = Int M { U 0 } ∪ { U p } p ∈ ∂ M \{U_0\}\cup\{U_p\}_{p\in\partial M} { U 0 } ∪ { U p } p ∈ ∂ M M M M { ψ 0 } ∪ { ψ p } \{\psi_0\}\cup\{\psi_p\} { ψ 0 } ∪ { ψ p } §E22.2 定理 4.2 ）。ϵ p = ϵ φ p \epsilon_p=\epsilon_{\varphi_p} ϵ p = ϵ φ p U p U_p U p − ϵ p ∂ / ∂ x p n -\epsilon_p\,\partial/\partial x_p^n − ϵ p ∂ / ∂ x p n ψ p \psi_p ψ p M ∖ supp ψ p M\setminus\operatorname{supp}\psi_p M ∖ supp ψ p 0 0 0
ν = ∑ p ∈ ∂ M ψ p ⋅ ( − ϵ p ∂ ∂ x p n ) \nu=\sum_{p\in\partial M}\psi_p\cdot\Bigl(-\epsilon_p\frac{\partial}{\partial x_p^n}\Bigr) ν = p ∈ ∂ M ∑ ψ p ⋅ ( − ϵ p ∂ x p n ∂ ) と置く。局所有限性から右辺は各点の近傍で有限和であり、ν \nu ν M M M C ∞ C^\infty C ∞
q ∈ ∂ M q\in\partial M q ∈ ∂ M supp ψ 0 ⊆ U 0 = Int M \operatorname{supp}\psi_0\subseteq U_0=\operatorname{Int}M supp ψ 0 ⊆ U 0 = Int M ψ 0 ( q ) = 0 \psi_0(q)=0 ψ 0 ( q ) = 0 ∑ p ψ p ( q ) = 1 \sum_p\psi_p(q)=1 ∑ p ψ p ( q ) = 1 ψ p ( q ) > 0 \psi_p(q)>0 ψ p ( q ) > 0 p p p − ϵ p ∂ / ∂ x p n ∣ q -\epsilon_p\,\partial/\partial x_p^n|_q − ϵ p ∂ / ∂ x p n ∣ q n n n − ϵ p -\epsilon_p − ϵ p ϵ p ⋅ ( − ϵ p ) = − 1 < 0 \epsilon_p\cdot(-\epsilon_p)=-1<0 ϵ p ⋅ ( − ϵ p ) = − 1 < 0 命題 8.2 により外向きベクトルの全体は凸錐であるから、正の係数による有限個の外向きベクトルの和であるν q \nu_q ν q ▨
定義 8.4. M M M [ μ ] [\mu] [ μ ] n n n C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M ≠ ∅ \partial M\ne\varnothing ∂ M = ∅ n ≥ 2 n\ge 2 n ≥ 2 補題 8.3 の外向きベクトル場ν \nu ν ∂ M \partial M ∂ M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) μ ∂ \mu_\partial μ ∂
( μ ∂ ) p ( v 1 , … , v n − 1 ) = μ p ( ν p , v 1 , … , v n − 1 ) ( p ∈ ∂ M , v 1 , … , v n − 1 ∈ T p ( ∂ M ) ) (\mu_\partial)_p(v_1,\dots,v_{n-1})=\mu_p\bigl(\nu_p,v_1,\dots,v_{n-1}\bigr)
\qquad(p\in\partial M,\ v_1,\dots,v_{n-1}\in T_p(\partial M)) ( μ ∂ ) p ( v 1 , … , v n − 1 ) = μ p ( ν p , v 1 , … , v n − 1 ) ( p ∈ ∂ M , v 1 , … , v n − 1 ∈ T p ( ∂ M )) で定める。[ μ ∂ ] [\mu_\partial] [ μ ∂ ] ∂ M \partial M ∂ M 誘導向き (induced boundary orientation )( v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 ) T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) ν \nu ν ( ν , v 1 , … , v n − 1 ) (\nu,v_1,\dots,v_{n-1}) ( ν , v 1 , … , v n − 1 ) T p M T_pM T p M
n = 1 n=1 n = 1 注意 6.6 の約束のもとで、p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M
ε p = { + 1 ( μ p ( ν p ) > 0 ) , − 1 ( μ p ( ν p ) < 0 ) \varepsilon_p=
\begin{cases}
+1&(\mu_p(\nu_p)>0),\\
-1&(\mu_p(\nu_p)<0)
\end{cases} ε p = { + 1 − 1 ( μ p ( ν p ) > 0 ) , ( μ p ( ν p ) < 0 ) を与えることを誘導向きという。これは上の言い換えで( v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 )
命題 8.5. 定義 8.4 のμ ∂ \mu_\partial μ ∂ ∂ M \partial M ∂ M ν \nu ν M M M μ \mu μ
証明. 向き形式であること 。p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M ( v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 ) T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) 命題 8.2 により( ν p , v 1 , … , v n − 1 ) (\nu_p,v_1,\dots,v_{n-1}) ( ν p , v 1 , … , v n − 1 ) T p M T_pM T p M μ p \mu_p μ p 0 0 0 0 0 0 ( μ ∂ ) p ≠ 0 (\mu_\partial)_p\ne 0 ( μ ∂ ) p = 0
滑らかさ 。p p p ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) (U,\varphi=(x^1,\dots,x^n)) ( U , φ = ( x 1 , … , x n )) U U U μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \mu=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ν = ∑ i = 1 n a i ∂ / ∂ x i \nu=\sum_{i=1}^{n}a^i\,\partial/\partial x^i ν = ∑ i = 1 n a i ∂ / ∂ x i T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) ∂ / ∂ x 1 , … , ∂ / ∂ x n − 1 \partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^{n-1} ∂ / ∂ x 1 , … , ∂ / ∂ x n − 1
( μ ∂ ) ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n − 1 ) = ∑ i = 1 n a i μ ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n − 1 ) (\mu_\partial)\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial}{\partial x^{n-1}}\Bigr)
=\sum_{i=1}^{n}a^i\,\mu\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial}{\partial x^{n-1}}\Bigr) ( μ ∂ ) ( ∂ x 1 ∂ , … , ∂ x n − 1 ∂ ) = i = 1 ∑ n a i μ ( ∂ x i ∂ , ∂ x 1 ∂ , … , ∂ x n − 1 ∂ ) であり、i ≤ n − 1 i\le n-1 i ≤ n − 1 0 0 0 i = n i=n i = n ∂ / ∂ x n \partial/\partial x^n ∂ / ∂ x n n n n n − 1 n-1 n − 1
a n ( − 1 ) n − 1 μ ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) = ( − 1 ) n − 1 a n h a^n\,(-1)^{n-1}\,\mu\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial}{\partial x^n}\Bigr)=(-1)^{n-1}a^nh a n ( − 1 ) n − 1 μ ( ∂ x 1 ∂ , … , ∂ x n ∂ ) = ( − 1 ) n − 1 a n h である。よってU ∩ ∂ M U\cap\partial M U ∩ ∂ M
μ ∂ = ( − 1 ) n − 1 a n h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 \mu_\partial=(-1)^{n-1}\,a^n\,h\ dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1} μ ∂ = ( − 1 ) n − 1 a n h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 であり、成分はC ∞ C^\infty C ∞ ϵ φ a n < 0 \epsilon_\varphi a^n<0 ϵ φ a n < 0 h > 0 h>0 h > 0 ( − 1 ) n − 1 a n h (-1)^{n-1}a^nh ( − 1 ) n − 1 a n h
( − 1 ) n − 1 ⋅ sign ( a n ) = ( − 1 ) n − 1 ⋅ ( − ϵ φ ) = ( − 1 ) n ϵ φ (-1)^{n-1}\cdot\operatorname{sign}(a^n)=(-1)^{n-1}\cdot(-\epsilon_\varphi)=(-1)^{n}\epsilon_\varphi ( − 1 ) n − 1 ⋅ sign ( a n ) = ( − 1 ) n − 1 ⋅ ( − ϵ φ ) = ( − 1 ) n ϵ φ である。すなわち、正の型の境界チャートでは( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n ( − 1 ) n − 1 (-1)^{n-1} ( − 1 ) n − 1 この符号が§E22.16 Stokes の定理 の両辺に現れて相殺する。
ν \nu ν ν ′ \nu' ν ′ p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M T p M = T p ( ∂ M ) ⊕ R ν p T_pM=T_p(\partial M)\oplus\R\nu_p T p M = T p ( ∂ M ) ⊕ R ν p ν p ′ = c ( p ) ν p + w p \nu'_p=c(p)\nu_p+w_p ν p ′ = c ( p ) ν p + w p w p ∈ T p ( ∂ M ) w_p\in T_p(\partial M) w p ∈ T p ( ∂ M ) c = ( a ′ ) n / a n > 0 c=(a')^n/a^n>0 c = ( a ′ ) n / a n > 0 c c c C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞ v 1 , … , v n − 1 v_1,\dots,v_{n-1} v 1 , … , v n − 1 T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) w p w_p w p μ p ( w p , v 1 , … , v n − 1 ) = 0 \mu_p(w_p,v_1,\dots,v_{n-1})=0 μ p ( w p , v 1 , … , v n − 1 ) = 0 μ ∂ ′ = c μ ∂ \mu'_\partial=c\,\mu_\partial μ ∂ ′ = c μ ∂ c > 0 c>0 c > 0
μ \mu μ μ ′ = h 0 μ \mu'=h_0\mu μ ′ = h 0 μ h 0 > 0 h_0>0 h 0 > 0 μ ∂ ′ = ( h 0 ∣ ∂ M ) μ ∂ \mu'_\partial=(h_0|_{\partial M})\,\mu_\partial μ ∂ ′ = ( h 0 ∣ ∂ M ) μ ∂ h 0 ∣ ∂ M > 0 h_0|_{\partial M}>0 h 0 ∣ ∂ M > 0 ▨
例 8.6. H n \mathbb{H}^n H n Ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \Omega=dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n Ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n ν = − ∂ / ∂ x n \nu=-\partial/\partial x^n ν = − ∂ / ∂ x n 命題 8.5 の計算でa n = − 1 a^n=-1 a n = − 1 h = 1 h=1 h = 1
Ω ∂ = ( − 1 ) n − 1 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 ⋅ d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 = ( − 1 ) n d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 \Omega_\partial=(-1)^{n-1}\cdot(-1)\cdot 1\cdot dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}
=(-1)^{n}\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1} Ω ∂ = ( − 1 ) n − 1 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 ⋅ d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 = ( − 1 ) n d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 である。すなわち、∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n ( x 1 , … , x n − 1 ) (x^1,\dots,x^{n-1}) ( x 1 , … , x n − 1 ) n n n ( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n §E22.16 Stokes の定理 の証明に現れる符号である。
H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n Ω \Omega Ω ν = + ∂ / ∂ x n \nu=+\partial/\partial x^n ν = + ∂ / ∂ x n a n = + 1 a^n=+1 a n = + 1 h = 1 h=1 h = 1 Ω ∂ = ( − 1 ) n − 1 d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 \Omega_\partial=(-1)^{n-1}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1} Ω ∂ = ( − 1 ) n − 1 d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1
n = 1 n=1 n = 1 M = [ 0 , 1 ] M=[0,1] M = [ 0 , 1 ] 注意 6.5 の局所モデルを用いる）。μ = d t \mu=dt μ = d t t = 0 t=0 t = 0 φ ( t ) = t \varphi(t)=t φ ( t ) = t ν = − ∂ / ∂ t \nu=-\partial/\partial t ν = − ∂ / ∂ t μ ( ν ) = − 1 < 0 \mu(\nu)=-1<0 μ ( ν ) = − 1 < 0 ε 0 = − 1 \varepsilon_0=-1 ε 0 = − 1 t = 1 t=1 t = 1 φ ( t ) = t − 1 \varphi(t)=t-1 φ ( t ) = t − 1 ν = + ∂ / ∂ t \nu=+\partial/\partial t ν = + ∂ / ∂ t μ ( ν ) = + 1 > 0 \mu(\nu)=+1>0 μ ( ν ) = + 1 > 0 ε 1 = + 1 \varepsilon_1=+1 ε 1 = + 1 ∂ M = { 0 , 1 } \partial M=\{0,1\} ∂ M = { 0 , 1 } ε 0 = − 1 \varepsilon_0=-1 ε 0 = − 1 ε 1 = + 1 \varepsilon_1=+1 ε 1 = + 1 0 0 0 f f f ε 1 f ( 1 ) + ε 0 f ( 0 ) = f ( 1 ) − f ( 0 ) \varepsilon_1f(1)+\varepsilon_0f(0)=f(1)-f(0) ε 1 f ( 1 ) + ε 0 f ( 0 ) = f ( 1 ) − f ( 0 )
B ‾ n \overline{B}^n B n 例 4.2 ）にΩ \Omega Ω p ∈ S n − 1 p\in S^{n-1} p ∈ S n − 1 P = ∑ i = 1 n x i ∂ / ∂ x i P=\sum_{i=1}^{n}x^i\,\partial/\partial x^i P = ∑ i = 1 n x i ∂ / ∂ x i 命題 4.1 により得られる境界チャートの第n n n c − f = 1 − ∑ i = 1 n ( x i ) 2 c-f=1-\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2 c − f = 1 − ∑ i = 1 n ( x i ) 2 P ( 1 − ∑ i = 1 n ( x i ) 2 ) = − 2 ∑ i = 1 n ( x i ) 2 = − 2 < 0 P\bigl(1-\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2\bigr)=-2\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2=-2<0 P ( 1 − ∑ i = 1 n ( x i ) 2 ) = − 2 ∑ i = 1 n ( x i ) 2 = − 2 < 0 ( v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 ) S n − 1 S^{n-1} S n − 1 Ω p ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) > 0 \Omega_p(P_p,v_1,\dots,v_{n-1})>0 Ω p ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) > 0 例 6.10 のμ = ι ∗ ( ι P Ω ) \mu=\iota^*(\iota_P\Omega) μ = ι ∗ ( ι P Ω ) ∂ B ‾ n = S n − 1 \partial\overline{B}^n=S^{n-1} ∂ B n = S n − 1 [ μ ] [\mu] [ μ ]
9 境界 本記事では角を持つ多様体を扱わない。閉立方体[ 0 , 1 ] n [0,1]^n [ 0 , 1 ] n n ≥ 2 n\ge 2 n ≥ 2 定義 2.2 の意味の境界付き多様体ではない。角を持つ対象の上で積分定理を述べるには、角の近傍での局所モデルを別に用意する必要がある。本単元では、そのような局所モデルを扱わず、境界が滑らかな多様体だけを扱う。
R P n \mathbb{RP}^n RP n 命題 7.4 で次元の偶奇によって決定した。向きづけ可能でない多様体の向きづけ二重被覆は、対蹠写像による球面の商と同じ形の構成を要するので、本記事では扱わない。
本単元では計量を導入しないので、外向きのベクトルをチャートの第n n n
10 演習 問題 10.1.
D = [ 0 , 1 ) D=[0,1) D = [ 0 , 1 ) H 1 \mathbb{H}^1 H 1 f : D → R f\colon D\to\R f : D → R 定義 1.1 の意味でC ∞ C^\infty C ∞ k k k ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) k k k f ( k ) f^{(k)} f ( k ) x → 0 + x\to0^{+} x → 0 + 0 0 0 f f f f ~ \tilde f f ~ k k k 0 0 0 g ( x ) = x 3 / 2 g(x)=x^{3/2} g ( x ) = x 3/2 D D D ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) C ∞ C^\infty C ∞ D D D 定義 1.1 の意味のC ∞ C^\infty C ∞ n = 1 n=1 n = 1 D , D ′ ⊆ H 1 D,D'\subseteq\mathbb{H}^1 D , D ′ ⊆ H 1 τ : D → D ′ \tau\colon D\to D' τ : D → D ′ τ ( D ∩ { 0 } ) = D ′ ∩ { 0 } \tau(D\cap\{0\})=D'\cap\{0\} τ ( D ∩ { 0 }) = D ′ ∩ { 0 } τ ( x ) = x 3 \tau(x)=x^3 τ ( x ) = x 3 τ : H 1 → H 1 \tau\colon\mathbb{H}^1\to\mathbb{H}^1 τ : H 1 → H 1 C ∞ C^\infty C ∞ 補題 1.3 (1) と補題 1.3 (3) の結論がともに成り立たないことを示し、補題 1.3 の仮定のうち満たされないものを答えよ。n = 1 n=1 n = 1 M = H 1 = [ 0 , ∞ ) M=\mathbb{H}^1=[0,\infty) M = H 1 = [ 0 , ∞ ) p = 0 p=0 p = 0 T 0 M T_0M T 0 M a ∈ R a\in\R a ∈ R M M M { a ≥ 0 } \{a\ge0\} { a ≥ 0 } { a > 0 } \{a>0\} { a > 0 } T 0 M T_0M T 0 M 命題 3.2 (1) のn n n M = R M=\R M = R ( U 1 , φ 1 ) = ( ( − ∞ , 1 ) , x ) (U_1,\varphi_1)=((-\infty,1),x) ( U 1 , φ 1 ) = (( − ∞ , 1 ) , x ) ( U 2 , φ 2 ) = ( ( − 1 , ∞ ) , − x ) (U_2,\varphi_2)=((-1,\infty),-x) ( U 2 , φ 2 ) = (( − 1 , ∞ ) , − x ) { ψ 1 , ψ 2 } \{\psi_1,\psi_2\} { ψ 1 , ψ 2 } 定理 6.4 (b) ⇒ \Rightarrow ⇒ (a) 1 1 1 μ = ψ 1 d φ 1 + ψ 2 d φ 2 \mu=\psi_1\,d\varphi_1+\psi_2\,d\varphi_2 μ = ψ 1 d φ 1 + ψ 2 d φ 2 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] 0 0 0 §E22.2 定義 4.1 の三条件を満たすが値が[ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] C ∞ C^\infty C ∞ μ \mu μ 定理 6.4 (a) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (b) φ \varphi φ R ∘ φ R\circ\varphi R ∘ φ M = R M=\R M = R μ = d x \mu=dx μ = d x φ \varphi φ R ∘ φ R\circ\varphi R ∘ φ ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 連結性の仮定を外すと命題 7.1 の結論が成り立たないことを示せ。すなわち、命題 7.3 の証明のW = V 0 ∩ V 1 / 2 W=V_0\cap V_{1/2} W = V 0 ∩ V 1/2 M M M W W W ( W , η 0 ∣ W ) (W,\eta_0|_W) ( W , η 0 ∣ W ) ( W , η 1 / 2 ∣ W ) (W,\eta_{1/2}|_W) ( W , η 1/2 ∣ W ) W W W
例 6.10 の向き形式μ = ι ∗ ( ι P Ω ) \mu=\iota^*(\iota_P\Omega) μ = ι ∗ ( ι P Ω ) §E22.1 命題 5.1 の立体射影φ N ( x ) = ( x 1 , … , x n − 1 ) / ( 1 − x n ) \varphi_N(x)=(x^1,\dots,x^{n-1})/(1-x^n) φ N ( x ) = ( x 1 , … , x n − 1 ) / ( 1 − x n ) u = ( u 1 , … , u n − 1 ) u=(u^1,\dots,u^{n-1}) u = ( u 1 , … , u n − 1 ) ( φ N − 1 ) ∗ μ = ( − 1 ) n 2 n − 1 ( 1 + ∥ u ∥ 2 ) n − 1 d u 1 ∧ ⋯ ∧ d u n − 1 \bigl(\varphi_N^{-1}\bigr)^*\mu=(-1)^{n}\,\frac{2^{n-1}}{\bigl(1+\lVert u\rVert^2\bigr)^{n-1}}\,du^1\wedge\cdots\wedge du^{n-1} ( φ N − 1 ) ∗ μ = ( − 1 ) n ( 1 + ∥ u ∥ 2 ) n − 1 2 n − 1 d u 1 ∧ ⋯ ∧ d u n − 1 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 φ N \varphi_N φ N [ μ ] [\mu] [ μ ] n n n φ S ( x ) = ( x 1 , … , x n − 1 ) / ( 1 + x n ) \varphi_S(x)=(x^1,\dots,x^{n-1})/(1+x^n) φ S ( x ) = ( x 1 , … , x n − 1 ) / ( 1 + x n ) 定義 8.4 の規約を「外向きのベクトルを最後に置く」に変えると、例 8.6 の符号がどう変わるかを計算する。M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M ≠ ∅ \partial M\ne\varnothing ∂ M = ∅ C ∞ C^\infty C ∞ ρ : M → [ 0 , ∞ ) \rho\colon M\to[0,\infty) ρ : M → [ 0 , ∞ ) ρ − 1 ( 0 ) = ∂ M \rho^{-1}(0)=\partial M ρ − 1 ( 0 ) = ∂ M p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M p p p ν \nu ν d ρ p ( ν ) < 0 d\rho_p(\nu)<0 d ρ p ( ν ) < 0 局所モデルをR \R R H 1 \mathbb{H}^1 H 1 1 1 1 M M M p p p H 1 \mathbb{H}^1 H 1 定義 8.4 の符号はε p = − 1 \varepsilon_p=-1 ε p = − 1 M = [ 0 , 1 ] M=[0,1] M = [ 0 , 1 ] 例 8.6 の計算から導け。
n n n 命題 7.4 (2) と同じくdet ρ i = ϵ i = ( − 1 ) i \det\rho_i=\epsilon_i=(-1)^i det ρ i = ϵ i = ( − 1 ) i ρ i \rho_i ρ i φ ~ i = ρ i ∘ φ i \widetilde\varphi_i=\rho_i\circ\varphi_i φ i = ρ i ∘ φ i i = 1 i=1 i = 1 j = 2 j=2 j = 2 φ ~ 2 ∘ φ ~ 1 − 1 \widetilde\varphi_2\circ\widetilde\varphi_1^{-1} φ 2 ∘ φ 1 − 1 φ ~ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) \widetilde\varphi_1(U_1\cap U_2) φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) { ( U i , φ ~ i ) } \{(U_i,\widetilde\varphi_i)\} {( U i , φ i )} 解答. (1) を示す。f ~ \tilde f f ~ 0 0 0 f f f 0 0 0 R \R R W W W W W W δ ∈ ( 0 , 1 ) \delta\in(0,1) δ ∈ ( 0 , 1 ) ( − δ , δ ) ⊆ W (-\delta,\delta)\subseteq W ( − δ , δ ) ⊆ W ( 0 , δ ) (0,\delta) ( 0 , δ ) W ∩ D W\cap D W ∩ D ( 0 , δ ) (0,\delta) ( 0 , δ ) f ~ = f \tilde f=f f ~ = f ( 0 , δ ) (0,\delta) ( 0 , δ ) f ( k ) = f ~ ( k ) f^{(k)}=\tilde f^{(k)} f ( k ) = f ~ ( k ) f ~ ( k ) \tilde f^{(k)} f ~ ( k ) W W W
lim x → 0 + f ( k ) ( x ) = lim x → 0 + f ~ ( k ) ( x ) = f ~ ( k ) ( 0 ) \lim_{x\to0^{+}}f^{(k)}(x)=\lim_{x\to0^{+}}\tilde f^{(k)}(x)=\tilde f^{(k)}(0) x → 0 + lim f ( k ) ( x ) = x → 0 + lim f ~ ( k ) ( x ) = f ~ ( k ) ( 0 ) であり、極限は有限である。左辺はf f f f ~ ( k ) ( 0 ) \tilde f^{(k)}(0) f ~ ( k ) ( 0 ) k = 1 k=1 k = 1 補題 1.2 のn = 1 n=1 n = 1
g ( x ) = x 3 / 2 = x x g(x)=x^{3/2}=x\sqrt{x} g ( x ) = x 3/2 = x x [ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) C ∞ C^\infty C ∞
g ′ ( x ) = 3 2 x 1 / 2 , g ′ ′ ( x ) = 3 4 x − 1 / 2 g'(x)=\tfrac32x^{1/2},\qquad g''(x)=\tfrac34x^{-1/2} g ′ ( x ) = 2 3 x 1/2 , g ′′ ( x ) = 4 3 x − 1/2 である。x → 0 + x\to0^{+} x → 0 + g ′ ′ ( x ) → ∞ g''(x)\to\infty g ′′ ( x ) → ∞ g ′ ′ g'' g ′′ x → 0 + x\to0^{+} x → 0 + g g g D D D C ∞ C^\infty C ∞ k = 2 k=2 k = 2 g ′ ′ g'' g ′′ g g g D D D C ∞ C^\infty C ∞ 0 0 0 W W W W W W C ∞ C^\infty C ∞ W ∩ D W\cap D W ∩ D g g g
(2) を示す。前半を示す。x ∈ D x\in D x ∈ D x > 0 x>0 x > 0 τ ( x ) = 0 \tau(x)=0 τ ( x ) = 0 D ∩ ( 0 , ∞ ) D\cap(0,\infty) D ∩ ( 0 , ∞ ) R \R R ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 I = ( x − ε , x + ε ) ⊆ D ∩ ( 0 , ∞ ) I=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq D\cap(0,\infty) I = ( x − ε , x + ε ) ⊆ D ∩ ( 0 , ∞ ) I I I D D D τ \tau τ τ ( I ) \tau(I) τ ( I ) D ′ D' D ′ D ′ D' D ′ H 1 \mathbb{H}^1 H 1 τ ( I ) \tau(I) τ ( I ) H 1 \mathbb{H}^1 H 1 I I I §E2.43 定理 2.2 により連結であり、§E2.43 定理 1.4 によりτ ( I ) \tau(I) τ ( I ) τ ( I ) \tau(I) τ ( I ) 0 0 0 0 0 0 H 1 \mathbb{H}^1 H 1 b > 0 b>0 b > 0 [ 0 , b ) ⊆ τ ( I ) [0,b)\subseteq\tau(I) [ 0 , b ) ⊆ τ ( I ) τ ( I ) ∖ { 0 } \tau(I)\setminus\{0\} τ ( I ) ∖ { 0 } ( 0 , ∞ ) (0,\infty) ( 0 , ∞ ) τ \tau τ I ∖ { x } I\setminus\{x\} I ∖ { x } τ ( I ) ∖ { 0 } \tau(I)\setminus\{0\} τ ( I ) ∖ { 0 } I ∖ { x } I\setminus\{x\} I ∖ { x } ( x − ε , x ) (x-\varepsilon,x) ( x − ε , x ) ( x , x + ε ) (x,x+\varepsilon) ( x , x + ε ) §E2.43 定義 1.1 ）。逆写像に§E2.43 定理 1.4 を適用すると、連結なτ ( I ) ∖ { 0 } \tau(I)\setminus\{0\} τ ( I ) ∖ { 0 } I ∖ { x } I\setminus\{x\} I ∖ { x } τ ( D ∩ ( 0 , ∞ ) ) ⊆ D ′ ∩ ( 0 , ∞ ) \tau(D\cap(0,\infty))\subseteq D'\cap(0,\infty) τ ( D ∩ ( 0 , ∞ )) ⊆ D ′ ∩ ( 0 , ∞ ) τ − 1 \tau^{-1} τ − 1 τ \tau τ τ ( D ∩ { 0 } ) = D ′ ∩ { 0 } \tau(D\cap\{0\})=D'\cap\{0\} τ ( D ∩ { 0 }) = D ′ ∩ { 0 }
後半を示す。τ ( x ) = x 3 \tau(x)=x^3 τ ( x ) = x 3 [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ ) [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ ) [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ ) R \R R C ∞ C^\infty C ∞ x ↦ x 3 x\mapsto x^3 x ↦ x 3 τ \tau τ C ∞ C^\infty C ∞ y ↦ y 1 / 3 y\mapsto y^{1/3} y ↦ y 1/3 τ \tau τ D τ ( 0 ) = τ ′ ( 0 ) = 0 D\tau(0)=\tau'(0)=0 D τ ( 0 ) = τ ′ ( 0 ) = 0 補題 1.3 (1) の可逆性も、補題 1.3 (3) の不等式∂ τ 1 / ∂ x 1 ( 0 ) > 0 \partial\tau^1/\partial x^1(0)>0 ∂ τ 1 / ∂ x 1 ( 0 ) > 0 τ − 1 \tau^{-1} τ − 1 C ∞ C^\infty C ∞ τ − 1 ( y ) = y 1 / 3 \tau^{-1}(y)=y^{1/3} τ − 1 ( y ) = y 1/3 ( 0 , ∞ ) (0,\infty) ( 0 , ∞ ) 1 3 y − 2 / 3 \tfrac13y^{-2/3} 3 1 y − 2/3 y → 0 + y\to0^{+} y → 0 + τ − 1 \tau^{-1} τ − 1 [ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) (1) の前半をk = 1 k=1 k = 1 τ − 1 \tau^{-1} τ − 1 C ∞ C^\infty C ∞ 補題 1.3 (2) の結論τ ( 0 ) = 0 \tau(0)=0 τ ( 0 ) = 0
(3) を示す。n = 1 n=1 n = 1 M = H 1 = [ 0 , ∞ ) M=\mathbb{H}^1=[0,\infty) M = H 1 = [ 0 , ∞ ) p = 0 p=0 p = 0 T 0 M T_0M T 0 M a ∈ R a\in\R a ∈ R M M M p p p M M M a ≥ 0 a\ge0 a ≥ 0 [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ ) 1 1 1 − 1 -1 − 1 − 1 -1 − 1 1 1 1 − 1 -1 − 1 a > 0 a>0 a > 0 0 0 0 定義 3.1 ではa a a R \R R T 0 M = R T_0M=\R T 0 M = R 1 1 1 a < 0 a<0 a < 0
(4) を示す。前半を示す。supp ψ 2 ⊆ U 2 = ( − 1 , ∞ ) \operatorname{supp}\psi_2\subseteq U_2=(-1,\infty) supp ψ 2 ⊆ U 2 = ( − 1 , ∞ ) ψ 2 ( − 1 ) = 0 \psi_2(-1)=0 ψ 2 ( − 1 ) = 0 ψ 1 ( − 1 ) + ψ 2 ( − 1 ) = 1 \psi_1(-1)+\psi_2(-1)=1 ψ 1 ( − 1 ) + ψ 2 ( − 1 ) = 1 ψ 1 ( − 1 ) = 1 \psi_1(-1)=1 ψ 1 ( − 1 ) = 1 supp ψ 1 ⊆ ( − ∞ , 1 ) \operatorname{supp}\psi_1\subseteq(-\infty,1) supp ψ 1 ⊆ ( − ∞ , 1 ) ψ 1 ( 1 ) = 0 \psi_1(1)=0 ψ 1 ( 1 ) = 0 ψ 2 ( 1 ) = 1 \psi_2(1)=1 ψ 2 ( 1 ) = 1 d φ 1 = d x d\varphi_1=dx d φ 1 = d x d φ 2 = − d x d\varphi_2=-dx d φ 2 = − d x μ = ( ψ 1 − ψ 2 ) d x \mu=(\psi_1-\psi_2)\,dx μ = ( ψ 1 − ψ 2 ) d x ψ 2 − ψ 1 \psi_2-\psi_1 ψ 2 − ψ 1 − 1 -1 − 1 − 1 -1 − 1 1 1 1 1 1 1 §D1.12 定理 1.1 により、あるc ∈ ( − 1 , 1 ) c\in(-1,1) c ∈ ( − 1 , 1 ) ψ 1 ( c ) = ψ 2 ( c ) \psi_1(c)=\psi_2(c) ψ 1 ( c ) = ψ 2 ( c ) μ c = 0 \mu_c=0 μ c = 0 φ 2 ∘ φ 1 − 1 ( x ) = − x \varphi_2\circ\varphi_1^{-1}(x)=-x φ 2 ∘ φ 1 − 1 ( x ) = − x x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x ∈ ( − 1 , 1 ) − 1 -1 − 1 R \R R d x dx d x
後半を示す。M = R M=\R M = R ( U 1 , φ 1 ) = ( R , x ) (U_1,\varphi_1)=(\R,x) ( U 1 , φ 1 ) = ( R , x ) ( U 2 , φ 2 ) = ( R , 2 x ) (U_2,\varphi_2)=(\R,2x) ( U 2 , φ 2 ) = ( R , 2 x ) φ 2 ∘ φ 1 − 1 ( x ) = 2 x \varphi_2\circ\varphi_1^{-1}(x)=2x φ 2 ∘ φ 1 − 1 ( x ) = 2 x 2 > 0 2>0 2 > 0 ψ 1 ≡ 2 \psi_1\equiv2 ψ 1 ≡ 2 ψ 2 ≡ − 1 \psi_2\equiv-1 ψ 2 ≡ − 1 §E22.2 定義 4.1 の三条件を満たす。実際、台はいずれもR \R R U 1 = U 2 = R U_1=U_2=\R U 1 = U 2 = R 1 1 1
μ = ψ 1 d φ 1 + ψ 2 d φ 2 = 2 d x − d ( 2 x ) = 0 \mu=\psi_1\,d\varphi_1+\psi_2\,d\varphi_2=2\,dx-d(2x)=0 μ = ψ 1 d φ 1 + ψ 2 d φ 2 = 2 d x − d ( 2 x ) = 0 であり、μ \mu μ R \R R 0 0 0 μ \mu μ φ 1 \varphi_1 φ 1 ψ 1 ⋅ 1 + ψ 2 ⋅ 2 = 2 − 2 = 0 \psi_1\cdot1+\psi_2\cdot2=2-2=0 ψ 1 ⋅ 1 + ψ 2 ⋅ 2 = 2 − 2 = 0
(5) を示す。成分の符号をそろえる操作は、U U U μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \mu=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n h < 0 h<0 h < 0 φ \varphi φ R ∘ φ R\circ\varphi R ∘ φ U U U − h -h − h U U U h h h U U U U U U h h h φ \varphi φ R ∘ φ R\circ\varphi R ∘ φ M = R M=\R M = R μ = d x \mu=dx μ = d x U = ( − 2 , − 1 ) ∪ ( 1 , 2 ) U=(-2,-1)\cup(1,2) U = ( − 2 , − 1 ) ∪ ( 1 , 2 ) φ ( x ) = x \varphi(x)=x φ ( x ) = x x ∈ ( 1 , 2 ) x\in(1,2) x ∈ ( 1 , 2 ) φ ( x ) = 10 − x \varphi(x)=10-x φ ( x ) = 10 − x x ∈ ( − 2 , − 1 ) x\in(-2,-1) x ∈ ( − 2 , − 1 ) φ \varphi φ U U U ( 1 , 2 ) ∪ ( 11 , 12 ) (1,2)\cup(11,12) ( 1 , 2 ) ∪ ( 11 , 12 ) μ \mu μ ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) 1 1 1 ( − 2 , − 1 ) (-2,-1) ( − 2 , − 1 ) − 1 -1 − 1 R ∘ φ = − φ R\circ\varphi=-\varphi R ∘ φ = − φ ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) − 1 -1 − 1 ( − 2 , − 1 ) (-2,-1) ( − 2 , − 1 ) 1 1 1
(6) を示す。命題 7.3 の証明で求めたとおり
η 0 ( W ) = ( ( 0 , 1 2 ) ∪ ( 1 2 , 1 ) ) × ( − 1 , 1 ) \eta_0(W)=\Bigl(\bigl(0,\tfrac12\bigr)\cup\bigl(\tfrac12,1\bigr)\Bigr)\times(-1,1) η 0 ( W ) = ( ( 0 , 2 1 ) ∪ ( 2 1 , 1 ) ) × ( − 1 , 1 ) であり、座標変換η 1 / 2 ∘ η 0 − 1 \eta_{1/2}\circ\eta_0^{-1} η 1/2 ∘ η 0 − 1 s ∈ ( 1 2 , 1 ) s\in(\tfrac12,1) s ∈ ( 2 1 , 1 ) ( s , t ) ↦ ( s , t ) (s,t)\mapsto(s,t) ( s , t ) ↦ ( s , t ) s ∈ ( 0 , 1 2 ) s\in(0,\tfrac12) s ∈ ( 0 , 2 1 ) ( s , t ) ↦ ( s + 1 , − t ) (s,t)\mapsto(s+1,-t) ( s , t ) ↦ ( s + 1 , − t ) 1 1 1 − 1 -1 − 1
W W W M M M §E22.1 命題 7.1 により2 2 2 C ∞ C^\infty C ∞ ( W , η 0 ∣ W ) (W,\eta_0|_W) ( W , η 0 ∣ W ) W W W η 0 ∣ W = ( s , t ) \eta_0|_W=(s,t) η 0 ∣ W = ( s , t ) d s ∧ d t ds\wedge dt d s ∧ d t W W W 0 0 0 2 2 2 d s ∧ d t ds\wedge dt d s ∧ d t W W W W W W 命題 7.1 の仮定のうち満たされないのは、U 1 = U 2 = W U_1=U_2=W U 1 = U 2 = W W W W η 0 − 1 ( ( 0 , 1 2 ) × ( − 1 , 1 ) ) \eta_0^{-1}\bigl((0,\tfrac12)\times(-1,1)\bigr) η 0 − 1 ( ( 0 , 2 1 ) × ( − 1 , 1 ) ) η 0 − 1 ( ( 1 2 , 1 ) × ( − 1 , 1 ) ) \eta_0^{-1}\bigl((\tfrac12,1)\times(-1,1)\bigr) η 0 − 1 ( ( 2 1 , 1 ) × ( − 1 , 1 ) ) d s ∧ d t ds\wedge dt d s ∧ d t η 1 / 2 ∣ W \eta_{1/2}|_W η 1/2 ∣ W §E22.10 系 4.3 により前者の部分の上で− 1 -1 − 1 1 1 1 W W W
(7) を示す。s = 1 + ∥ u ∥ 2 s=1+\lVert u\rVert^2 s = 1 + ∥ u ∥ 2 §E22.1 命題 5.1 の証明によりφ N − 1 ( u ) = G ( u ) \varphi_N^{-1}(u)=G(u) φ N − 1 ( u ) = G ( u )
G ( u ) = 1 s ( 2 u 1 , … , 2 u n − 1 , ∥ u ∥ 2 − 1 ) G(u)=\frac1s\bigl(2u^1,\dots,2u^{n-1},\ \lVert u\rVert^2-1\bigr) G ( u ) = s 1 ( 2 u 1 , … , 2 u n − 1 , ∥ u ∥ 2 − 1 ) である。G G G R n − 1 \R^{n-1} R n − 1 R n \R^n R n d G ( ∂ / ∂ u j ) dG(\partial/\partial u^j) d G ( ∂ / ∂ u j ) ∂ j G ( u ) ∈ T G ( u ) R n \partial_jG(u)\in T_{G(u)}\R^n ∂ j G ( u ) ∈ T G ( u ) R n x x x P P P x x x §E22.10 命題 5.2 と§E22.10 系 3.6 により、( φ N − 1 ) ∗ μ (\varphi_N^{-1})^*\mu ( φ N − 1 ) ∗ μ
h ( u ) = Ω ( G ( u ) , ∂ 1 G ( u ) , … , ∂ n − 1 G ( u ) ) = det C ( u ) , C ( u ) = ( G ( u ) ∂ 1 G ( u ) ⋯ ∂ n − 1 G ( u ) ) h(u)=\Omega\bigl(G(u),\partial_1G(u),\dots,\partial_{n-1}G(u)\bigr)=\det C(u),\qquad C(u)=\bigl(G(u)\ \ \partial_1G(u)\ \cdots\ \partial_{n-1}G(u)\bigr) h ( u ) = Ω ( G ( u ) , ∂ 1 G ( u ) , … , ∂ n − 1 G ( u ) ) = det C ( u ) , C ( u ) = ( G ( u ) ∂ 1 G ( u ) ⋯ ∂ n − 1 G ( u ) ) である（C ( u ) C(u) C ( u ) n n n n n n C ( u ) T C ( u ) C(u)^{\mathsf T}C(u) C ( u ) T C ( u ) G T G = 1 G^{\mathsf T}G=1 G T G = 1 G ( u ) ∈ S n − 1 G(u)\in S^{n-1} G ( u ) ∈ S n − 1 u j u^j u j G T ∂ j G = 0 G^{\mathsf T}\partial_jG=0 G T ∂ j G = 0
∂ j G = ( 2 e j s − 4 u j s 2 u , 4 u j s 2 ) \partial_jG=\Bigl(\frac{2e_j}{s}-\frac{4u^j}{s^2}\,u,\ \frac{4u^j}{s^2}\Bigr) ∂ j G = ( s 2 e j − s 2 4 u j u , s 2 4 u j ) （e j e_j e j R n − 1 \R^{n-1} R n − 1 j j j
( ∂ i G ) T ∂ j G = 4 δ i j s 2 − 16 u i u j s 3 + 16 u i u j ∥ u ∥ 2 s 4 + 16 u i u j s 4 = 4 δ i j s 2 (\partial_iG)^{\mathsf T}\partial_jG=\frac{4\delta_{ij}}{s^2}-\frac{16u^iu^j}{s^3}+\frac{16u^iu^j\lVert u\rVert^2}{s^4}+\frac{16u^iu^j}{s^4}=\frac{4\delta_{ij}}{s^2} ( ∂ i G ) T ∂ j G = s 2 4 δ ij − s 3 16 u i u j + s 4 16 u i u j ∥ u ∥ 2 + s 4 16 u i u j = s 2 4 δ ij である（∥ u ∥ 2 + 1 = s \lVert u\rVert^2+1=s ∥ u ∥ 2 + 1 = s C T C C^{\mathsf T}C C T C 1 , 4 / s 2 , … , 4 / s 2 1,4/s^2,\dots,4/s^2 1 , 4/ s 2 , … , 4/ s 2 §D3.4 定理 9.1 により( det C ) 2 = ( 4 / s 2 ) n − 1 (\det C)^2=(4/s^2)^{n-1} ( det C ) 2 = ( 4/ s 2 ) n − 1 ∣ h ( u ) ∣ = 2 n − 1 / s n − 1 \lvert h(u)\rvert=2^{n-1}/s^{n-1} ∣ h ( u )∣ = 2 n − 1 / s n − 1 h h h R n − 1 \R^{n-1} R n − 1 0 0 0 §E2.43 定理 1.4 と§E2.43 定理 2.2 により符号が一定である。u = 0 u=0 u = 0 G ( 0 ) = − e n ′ G(0)=-e'_n G ( 0 ) = − e n ′ ∂ j G ( 0 ) = 2 e j ′ \partial_jG(0)=2e'_j ∂ j G ( 0 ) = 2 e j ′ e i ′ e'_i e i ′ R n \R^n R n n − 1 n-1 n − 1
h ( 0 ) = det ( − e n ′ 2 e 1 ′ ⋯ 2 e n − 1 ′ ) = − 2 n − 1 ( − 1 ) n − 1 det ( e 1 ′ ⋯ e n ′ ) = ( − 1 ) n 2 n − 1 h(0)=\det\bigl(-e'_n\ \ 2e'_1\ \cdots\ 2e'_{n-1}\bigr)=-2^{n-1}(-1)^{n-1}\det\bigl(e'_1\ \cdots\ e'_n\bigr)=(-1)^n2^{n-1} h ( 0 ) = det ( − e n ′ 2 e 1 ′ ⋯ 2 e n − 1 ′ ) = − 2 n − 1 ( − 1 ) n − 1 det ( e 1 ′ ⋯ e n ′ ) = ( − 1 ) n 2 n − 1 である。したがってh ( u ) = ( − 1 ) n 2 n − 1 / s n − 1 h(u)=(-1)^n2^{n-1}/s^{n-1} h ( u ) = ( − 1 ) n 2 n − 1 / s n − 1
φ N \varphi_N φ N h > 0 h>0 h > 0 φ N \varphi_N φ N [ μ ] [\mu] [ μ ] n n n φ S \varphi_S φ S 例 6.10 によりφ N ( U N ∩ U S ) \varphi_N(U_N\cap U_S) φ N ( U N ∩ U S ) det D ( φ S ∘ φ N − 1 ) < 0 \det D(\varphi_S\circ\varphi_N^{-1})<0 det D ( φ S ∘ φ N − 1 ) < 0 §E22.10 系 4.3 によりU N ∩ U S U_N\cap U_S U N ∩ U S μ \mu μ φ S \varphi_S φ S h h h ( − 1 ) n − 1 (-1)^{n-1} ( − 1 ) n − 1 U S U_S U S R n − 1 \R^{n-1} R n − 1 U S U_S U S φ S \varphi_S φ S n n n
(8) を示す。規約を( μ ∂ ) p ( v 1 , … , v n − 1 ) = μ p ( v 1 , … , v n − 1 , ν p ) (\mu_\partial)_p(v_1,\dots,v_{n-1})=\mu_p(v_1,\dots,v_{n-1},\nu_p) ( μ ∂ ) p ( v 1 , … , v n − 1 ) = μ p ( v 1 , … , v n − 1 , ν p ) ν \nu ν n − 1 n-1 n − 1 μ ∂ \mu_\partial μ ∂ ( − 1 ) n − 1 (-1)^{n-1} ( − 1 ) n − 1 ν = ∑ i a i ∂ / ∂ x i \nu=\sum_ia^i\partial/\partial x^i ν = ∑ i a i ∂ / ∂ x i μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \mu=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n μ ( ∂ / ∂ x 1 , … , ∂ / ∂ x n − 1 , ν ) = a n h \mu(\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^{n-1},\nu)=a^nh μ ( ∂ / ∂ x 1 , … , ∂ / ∂ x n − 1 , ν ) = a n h H n \mathbb{H}^n H n ν = − ∂ / ∂ x n \nu=-\partial/\partial x^n ν = − ∂ / ∂ x n a n = − 1 a^n=-1 a n = − 1 h = 1 h=1 h = 1
Ω ∂ n e w = − d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 \Omega_\partial^{\mathrm{new}}=-\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1} Ω ∂ new = − d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 であり、もとの( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n n n n − 1 -1 − 1 ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n ( x 1 , … , x n − 1 ) (x^1,\dots,x^{n-1}) ( x 1 , … , x n − 1 ) n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n a n = + 1 a^n=+1 a n = + 1 Ω ∂ n e w = + d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 \Omega_\partial^{\mathrm{new}}=+dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1} Ω ∂ new = + d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 ( − 1 ) n − 1 (-1)^{n-1} ( − 1 ) n − 1 + 1 +1 + 1 n = 1 n=1 n = 1 ν \nu ν M = [ 0 , 1 ] M=[0,1] M = [ 0 , 1 ] ε 0 = − 1 \varepsilon_0=-1 ε 0 = − 1 ε 1 = + 1 \varepsilon_1=+1 ε 1 = + 1 B ‾ n \overline{B}^n B n ( v 1 , … , v n − 1 ) ↦ Ω p ( v 1 , … , v n − 1 , P p ) = ( − 1 ) n − 1 Ω p ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1})\mapsto\Omega_p(v_1,\dots,v_{n-1},P_p)=(-1)^{n-1}\Omega_p(P_p,v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 ) ↦ Ω p ( v 1 , … , v n − 1 , P p ) = ( − 1 ) n − 1 Ω p ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) ( − 1 ) n − 1 [ μ ] (-1)^{n-1}[\mu] ( − 1 ) n − 1 [ μ ] n n n [ μ ] [\mu] [ μ ] n n n [ − μ ] [-\mu] [ − μ ]
(9) を示す。∂ M \partial M ∂ M p p p p p p ( U p , φ p ) (U_p,\varphi_p) ( U p , φ p ) 補題 2.1 のR n R_n R n φ p ( U p ) \varphi_p(U_p) φ p ( U p ) H n \mathbb{H}^n H n φ p \varphi_p φ p n n n x p n x_p^n x p n 定理 2.6 により、q ∈ U p q\in U_p q ∈ U p ∂ M \partial M ∂ M x p n ( q ) = 0 x_p^n(q)=0 x p n ( q ) = 0 x p n ≥ 0 x_p^n\ge0 x p n ≥ 0 q ∈ U p ∩ Int M q\in U_p\cap\operatorname{Int}M q ∈ U p ∩ Int M x p n ( q ) > 0 x_p^n(q)>0 x p n ( q ) > 0 U 0 = Int M U_0=\operatorname{Int}M U 0 = Int M { U 0 } ∪ { U p } p ∈ ∂ M \{U_0\}\cup\{U_p\}_{p\in\partial M} { U 0 } ∪ { U p } p ∈ ∂ M M M M { ψ 0 } ∪ { ψ p } p ∈ ∂ M \{\psi_0\}\cup\{\psi_p\}_{p\in\partial M} { ψ 0 } ∪ { ψ p } p ∈ ∂ M 補題 5.1 (3) ）。U p U_p U p ψ p x p n \psi_px_p^n ψ p x p n M ∖ supp ψ p M\setminus\operatorname{supp}\psi_p M ∖ supp ψ p 0 0 0
ρ = ψ 0 + ∑ p ∈ ∂ M ψ p x p n \rho=\psi_0+\sum_{p\in\partial M}\psi_p\,x_p^n ρ = ψ 0 + p ∈ ∂ M ∑ ψ p x p n と置く。延長は二つの開集合U p U_p U p M ∖ supp ψ p M\setminus\operatorname{supp}\psi_p M ∖ supp ψ p C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞ §E22.2 補題 3.1 と同じ議論によりρ \rho ρ M M M C ∞ C^\infty C ∞
各項は0 0 0 ρ ≥ 0 \rho\ge0 ρ ≥ 0 q ∈ ∂ M q\in\partial M q ∈ ∂ M supp ψ 0 ⊆ Int M \operatorname{supp}\psi_0\subseteq\operatorname{Int}M supp ψ 0 ⊆ Int M ψ 0 ( q ) = 0 \psi_0(q)=0 ψ 0 ( q ) = 0 ψ p ( q ) ≠ 0 \psi_p(q)\ne0 ψ p ( q ) = 0 q ∈ U p q\in U_p q ∈ U p x p n ( q ) = 0 x_p^n(q)=0 x p n ( q ) = 0 ρ ( q ) = 0 \rho(q)=0 ρ ( q ) = 0 q ∈ Int M q\in\operatorname{Int}M q ∈ Int M ψ 0 ( q ) > 0 \psi_0(q)>0 ψ 0 ( q ) > 0 ρ ( q ) ≥ ψ 0 ( q ) > 0 \rho(q)\ge\psi_0(q)>0 ρ ( q ) ≥ ψ 0 ( q ) > 0 ψ 0 ( q ) = 0 \psi_0(q)=0 ψ 0 ( q ) = 0 ∑ p ψ p ( q ) = 1 \sum_p\psi_p(q)=1 ∑ p ψ p ( q ) = 1 ψ p ( q ) > 0 \psi_p(q)>0 ψ p ( q ) > 0 p p p q ∈ U p ∩ Int M q\in U_p\cap\operatorname{Int}M q ∈ U p ∩ Int M ρ ( q ) ≥ ψ p ( q ) x p n ( q ) > 0 \rho(q)\ge\psi_p(q)x_p^n(q)>0 ρ ( q ) ≥ ψ p ( q ) x p n ( q ) > 0 ρ − 1 ( 0 ) = ∂ M \rho^{-1}(0)=\partial M ρ − 1 ( 0 ) = ∂ M
p 0 ∈ ∂ M p_0\in\partial M p 0 ∈ ∂ M ν ∈ T p 0 M \nu\in T_{p_0}M ν ∈ T p 0 M supp ψ 0 \operatorname{supp}\psi_0 supp ψ 0 p 0 p_0 p 0 ψ 0 \psi_0 ψ 0 p 0 p_0 p 0 0 0 0 ( d ψ 0 ) p 0 = 0 (d\psi_0)_{p_0}=0 ( d ψ 0 ) p 0 = 0 p 0 p_0 p 0 O O O 0 0 0 p p p p 0 ∈ supp ψ p ⊆ U p p_0\in\operatorname{supp}\psi_p\subseteq U_p p 0 ∈ supp ψ p ⊆ U p p 0 ∉ supp ψ p p_0\notin\operatorname{supp}\psi_p p 0 ∈ / supp ψ p p 0 p_0 p 0 0 0 0 命題 3.4 により積の外微分の公式が成り立つので
d ρ p 0 = ∑ p ( x p n ( p 0 ) ( d ψ p ) p 0 + ψ p ( p 0 ) ( d x p n ) p 0 ) = ∑ p ψ p ( p 0 ) ( d x p n ) p 0 d\rho_{p_0}=\sum_{p}\Bigl(x_p^n(p_0)\,(d\psi_p)_{p_0}+\psi_p(p_0)\,(dx_p^n)_{p_0}\Bigr)=\sum_{p}\psi_p(p_0)\,(dx_p^n)_{p_0} d ρ p 0 = p ∑ ( x p n ( p 0 ) ( d ψ p ) p 0 + ψ p ( p 0 ) ( d x p n ) p 0 ) = p ∑ ψ p ( p 0 ) ( d x p n ) p 0 である（和は上の有限個のp p p p 0 ∈ ∂ M p_0\in\partial M p 0 ∈ ∂ M x p n ( p 0 ) = 0 x_p^n(p_0)=0 x p n ( p 0 ) = 0 ( d x p n ) p 0 ( ν ) (dx_p^n)_{p_0}(\nu) ( d x p n ) p 0 ( ν ) d φ p ( ν ) d\varphi_p(\nu) d φ p ( ν ) n n n φ p \varphi_p φ p 定義 8.1 と命題 8.2 により負である。ψ p ( p 0 ) ≥ 0 \psi_p(p_0)\ge0 ψ p ( p 0 ) ≥ 0 ψ 0 ( p 0 ) = 0 \psi_0(p_0)=0 ψ 0 ( p 0 ) = 0 ∑ p ψ p ( p 0 ) = 1 \sum_p\psi_p(p_0)=1 ∑ p ψ p ( p 0 ) = 1 p p p ψ p ( p 0 ) > 0 \psi_p(p_0)>0 ψ p ( p 0 ) > 0 d ρ p 0 ( ν ) < 0 d\rho_{p_0}(\nu)<0 d ρ p 0 ( ν ) < 0
(10) を示す。前半を示す。( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) p p p φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) H 1 \mathbb{H}^1 H 1 φ \varphi φ x x x 命題 2.3 によりφ ( p ) = 0 \varphi(p)=0 φ ( p ) = 0 U U U μ = h d x \mu=h\,dx μ = h d x h > 0 h>0 h > 0 − 1 -1 − 1 ν = − ∂ / ∂ x ∣ p \nu=-\partial/\partial x|_p ν = − ∂ / ∂ x ∣ p φ \varphi φ 定義 8.1 により外向きであり、μ p ( ν ) = − h ( p ) < 0 \mu_p(\nu)=-h(p)<0 μ p ( ν ) = − h ( p ) < 0 T p M T_pM T p M 1 1 1 命題 8.2 によりp p p ν \nu ν 0 0 0 { c ν ∣ c > 0 } \{c\nu\mid c>0\} { c ν ∣ c > 0 } ν ′ \nu' ν ′ μ p ( ν p ′ ) < 0 \mu_p(\nu'_p)<0 μ p ( ν p ′ ) < 0 μ \mu μ h 0 μ h_0\mu h 0 μ h 0 > 0 h_0>0 h 0 > 0 ε p = − 1 \varepsilon_p=-1 ε p = − 1
後半を示す。M = [ 0 , 1 ] M=[0,1] M = [ 0 , 1 ] R \R R H 1 \mathbb{H}^1 H 1 A \mathcal{A} A 定理 6.4 により、M M M [ μ ] [\mu] [ μ ] A \mathcal{A} A 0 0 0 A \mathcal{A} A 命題 2.3 条件 (b) により像がR \R R H 1 \mathbb{H}^1 H 1 1 1 1 [ μ ] [\mu] [ μ ] ε 0 = ε 1 = − 1 \varepsilon_0=\varepsilon_1=-1 ε 0 = ε 1 = − 1 M M M 命題 6.3 により[ μ ] [\mu] [ μ ] [ d t ] [dt] [ d t ] [ − d t ] [-dt] [ − d t ] 例 8.6 により、[ d t ] [dt] [ d t ] ε 0 = − 1 \varepsilon_0=-1 ε 0 = − 1 ε 1 = + 1 \varepsilon_1=+1 ε 1 = + 1 [ − d t ] [-dt] [ − d t ] ν \nu ν ( − d t ) ( ν ) (-dt)(\nu) ( − d t ) ( ν ) d t ( ν ) dt(\nu) d t ( ν ) ε 0 = + 1 \varepsilon_0=+1 ε 0 = + 1 ε 1 = − 1 \varepsilon_1=-1 ε 1 = − 1 ε 0 \varepsilon_0 ε 0 ε 1 \varepsilon_1 ε 1 + 1 +1 + 1 ε 0 = ε 1 = − 1 \varepsilon_0=\varepsilon_1=-1 ε 0 = ε 1 = − 1
(11) を示す。n n n ρ i \rho_i ρ i det ρ i = ( − 1 ) i \det\rho_i=(-1)^i det ρ i = ( − 1 ) i φ ~ i = ρ i ∘ φ i \widetilde\varphi_i=\rho_i\circ\varphi_i φ i = ρ i ∘ φ i i = 1 i=1 i = 1 j = 2 j=2 j = 2 t 12 ( u ) = u 1 t_{12}(u)=u^1 t 12 ( u ) = u 1 det D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) ( u ) = ( − 1 ) 2 − 1 / ( u 1 ) n + 1 = − 1 / ( u 1 ) n + 1 \det D(\varphi_2\circ\varphi_1^{-1})(u)=(-1)^{2-1}/(u^1)^{n+1}=-1/(u^1)^{n+1} det D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) ( u ) = ( − 1 ) 2 − 1 / ( u 1 ) n + 1 = − 1/ ( u 1 ) n + 1 ρ 1 ( u ) = ( − u 1 , u 2 , … , u n ) \rho_1(u)=(-u^1,u^2,\dots,u^n) ρ 1 ( u ) = ( − u 1 , u 2 , … , u n ) ρ 2 = i d \rho_2=\mathrm{id} ρ 2 = id φ ~ 1 \widetilde\varphi_1 φ 1 u ~ = ρ 1 ( u ) \tilde u=\rho_1(u) u ~ = ρ 1 ( u )
det D ( φ ~ 2 ∘ φ ~ 1 − 1 ) ( u ~ ) = det ρ 2 ⋅ ( − 1 ( u 1 ) n + 1 ) ⋅ det ρ 1 − 1 = 1 ⋅ ( − 1 ( u 1 ) n + 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 ( u 1 ) n + 1 \det D\bigl(\widetilde\varphi_2\circ\widetilde\varphi_1^{-1}\bigr)(\tilde u)
=\det\rho_2\cdot\Bigl(-\frac{1}{(u^1)^{n+1}}\Bigr)\cdot\det\rho_1^{-1}
=1\cdot\Bigl(-\frac{1}{(u^1)^{n+1}}\Bigr)\cdot(-1)
=\frac{1}{(u^1)^{n+1}} det D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) ( u ~ ) = det ρ 2 ⋅ ( − ( u 1 ) n + 1 1 ) ⋅ det ρ 1 − 1 = 1 ⋅ ( − ( u 1 ) n + 1 1 ) ⋅ ( − 1 ) = ( u 1 ) n + 1 1 である（u 1 = − u ~ 1 u^1=-\tilde u^1 u 1 = − u ~ 1 n + 1 n+1 n + 1 u 1 u^1 u 1 φ ~ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = { u ~ : u ~ 1 ≠ 0 } \widetilde\varphi_1(U_1\cap U_2)=\{\tilde u:\tilde u^1\ne0\} φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = { u ~ : u ~ 1 = 0 } u ~ 1 < 0 \tilde u^1<0 u ~ 1 < 0 u ~ 1 > 0 \tilde u^1>0 u ~ 1 > 0 n = 2 n=2 n = 2 φ ~ 2 ∘ φ ~ 1 − 1 ( u ~ , v ) = φ 2 ∘ φ 1 − 1 ( − u ~ , v ) = ( − 1 / u ~ , − v / u ~ ) \widetilde\varphi_2\circ\widetilde\varphi_1^{-1}(\tilde u,v)=\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}(-\tilde u,v)=(-1/\tilde u,\,-v/\tilde u) φ 2 ∘ φ 1 − 1 ( u ~ , v ) = φ 2 ∘ φ 1 − 1 ( − u ~ , v ) = ( − 1/ u ~ , − v / u ~ ) ( u ~ − 2 0 v u ~ − 2 − u ~ − 1 ) \begin{pmatrix}\tilde u^{-2}&0\\ v\tilde u^{-2}&-\tilde u^{-1}\end{pmatrix} ( u ~ − 2 v u ~ − 2 0 − u ~ − 1 ) − 1 / u ~ 3 -1/\tilde u^{3} − 1/ u ~ 3 ϵ i = ( − 1 ) i \epsilon_i=(-1)^i ϵ i = ( − 1 ) i ± 1 \pm1 ± 1 ( u 1 ) n + 1 (u^1)^{n+1} ( u 1 ) n + 1 { ( U i , φ ~ i ) } \{(U_i,\widetilde\varphi_i)\} {( U i , φ i )} 命題 7.4 (1) と整合する。▨