左不変ベクトル場と Lie 環 | 多様体入門

1 左不変ベクトル場

定義 1.1. $X\in\mathfrak{X}(G)$ が左不変 (left-invariant) であるとは、すべての $g\in G$ に対して

(L_g)_*X=X

が成り立つことをいう。ここで $(L_g)_*$ は微分同相 $L_g$ による押し出し（§E22.7 定義 2.1）である。同値な形で書くと、すべての $g,h\in G$ に対して

d(L_g)_h\bigl(X_h\bigr)=X_{gh}

が成り立つことをいう。 $G$ 上の左不変な $C^\infty$ ベクトル場の全体を $\mathfrak{g}$ と書く。

証明. 二つの条件が同値であることを示す。§E22.7 定義 2.1により、 $q\in G$ に対して

\bigl((L_g)_*X\bigr)_q=d(L_g)_{L_g^{-1}(q)}\bigl(X_{L_g^{-1}(q)}\bigr)

である。§E22.24 命題 3.1により $L_g^{-1}=L_{g^{-1}}$ であるから $L_g^{-1}(q)=g^{-1}q$ である。 $h=g^{-1}q$ と置くと $q=gh$ であり、 $h$ は $q$ が $G$ を動くとき $G$ を動く。したがって $(L_g)_*X=X$ がすべての $q$ で成り立つことと、 $d(L_g)_h(X_h)=X_{gh}$ がすべての $h$ で成り立つことは同値である。▨

左不変であるという条件は、 $X$ の値が単位元における値によって完全に決まることを含んでいる。実際、 $h=e$ と取ると $d(L_g)_e(X_e)=X_g$ である。逆に、 $T_eG$ の元を一つ与えると、この式によって各点の接ベクトルが定まる。問題は、こうして定まる対応が $C^\infty$ ベクトル場になるかどうかである。次の定理により、この対応は $C^\infty$ ベクトル場である。

定理 1.2. $G$ を Lie 群とする。写像

\varepsilon\colon\mathfrak{g}\longrightarrow T_eG,\qquad\varepsilon(X)=X_e

は線形同型である。その逆写像は、 $v\in T_eG$ に対して

\bigl(X^{v}\bigr)_g=d(L_g)_e(v)\qquad(g\in G)

で定まる対応 $v\mapsto X^{v}$ で与えられる。とくに $X^{v}$ は $G$ 上の $C^\infty$ ベクトル場であり、左不変である。したがって $\dim\mathfrak{g}=\dim T_eG=\dim G$ である。

証明の順序は次のとおりである。第一に、 $\mathfrak{g}$ が $\mathfrak{X}(G)$ の線形部分空間であり $\varepsilon$ が線形であることを確かめる。第二に、 $v\in T_eG$ に対して定めた対応 $X^{v}$ が左不変性の式を満たすことを、連鎖律と $L_g\circ L_h=L_{gh}$ から導く。第三に、 $X^{v}$ が $C^\infty$ であることを示す。この段が証明の中心である。 $v$ を通る滑らかな曲線 $\gamma$ を取り、 $X^{v}f$ を積の写像 $\mu$ と $\gamma$ の合成の $t$ についての偏導関数として書き直す。 $\mu$ が $C^\infty$ であることから、この偏導関数は $g$ について $C^\infty$ である。第四に、 $\varepsilon$ と $v\mapsto X^{v}$ が互いに逆であることを確かめる。

証明. $\mathfrak{g}$ が線形部分空間であり $\varepsilon$ が線形であること。 $X,Y\in\mathfrak{g}$ 、 $a,b\in\R$ とすると、 $d(L_g)_h$ が線形写像であるから

d(L_g)_h\bigl((aX+bY)_h\bigr)=a\,d(L_g)_h(X_h)+b\,d(L_g)_h(Y_h)=aX_{gh}+bY_{gh}=(aX+bY)_{gh}

である。よって $aX+bY\in\mathfrak{g}$ である。 $\varepsilon(aX+bY)=(aX+bY)_e=aX_e+bY_e$ であるから $\varepsilon$ は線形である。

$X^{v}$ が左不変性の式を満たすこと。 $g,h\in G$ とする。 $L_g\circ L_h=L_{gh}$ である。実際、すべての $k\in G$ に対して $L_g(L_h(k))=g(hk)=(gh)k=L_{gh}(k)$ である。連鎖律（§E22.3 定理 5.3）を $e$ において適用すると

d(L_g)_h\circ d(L_h)_e=d(L_{gh})_e

である（ $L_h(e)=h$ に注意する）。したがって

d(L_g)_h\bigl((X^{v})_h\bigr)=d(L_g)_h\bigl(d(L_h)_e(v)\bigr)=d(L_{gh})_e(v)=(X^{v})_{gh}

である。

$X^{v}$ が $C^\infty$ であること。 $X^{v}$ は $G$ の各点 $g$ に接ベクトル $(X^{v})_g\in T_gG$ を対応させる（滑らかさをまだ仮定しない）対応である。§E22.4 命題 5.2により、 $X^{v}$ が $C^\infty$ ベクトル場であることを示すには、 $G$ の一つのアトラスに属する各チャートについて成分が $C^\infty$ であることを示せば十分である。成分は座標関数への作用として書かれるので、次を示せば足りる。すなわち、 $G$ の任意の開集合 $U$ と $f\in C^\infty(U)$ に対して、関数

g\longmapsto(X^{v})_g(f)\qquad(g\in U)

が $U$ 上で $C^\infty$ であることを示せばよい。ここで§E22.3 注意 1.5の同一視によって、 $U$ の上でだけ定義された関数への接ベクトルの作用を用いている。

§E22.3 命題 4.3により、 $v\in T_eG$ に対して $\varepsilon_0>0$ と滑らかな曲線 $\gamma\colon(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\to G$ で $\gamma(0)=e$ かつ $v_\gamma=v$ 、すなわちすべての $\phi\in C^\infty(G)$ に対して $v(\phi)=(\phi\circ\gamma)'(0)$ を満たすものが存在する。

$g\in U$ を固定する。微分の定義（§E22.3 定義 5.1）により

(X^{v})_g(f)=d(L_g)_e(v)(f)=v\bigl(f\circ L_g\bigr) =\bigl((f\circ L_g)\circ\gamma\bigr)'(0) =\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f\bigl(g\,\gamma(t)\bigr)

である。ここで $f\circ L_g$ は $L_g^{-1}(U)=g^{-1}U$ の上で定義された $C^\infty$ 関数であり、 $e\in g^{-1}U$ である。

写像 $\Theta(g,t)=g\,\gamma(t)=\mu\bigl(g,\gamma(t)\bigr)$ を考える。 $\mu\colon G\times G\to G$ は§E22.24 定義 1.1により $C^\infty$ であり、 $(g,t)\mapsto(g,\gamma(t))$ は $C^\infty$ 写像であるから（積のチャートに関する座標表示が二つの $C^\infty$ 写像を並べたものである）、§E22.1 系 4.3により $\Theta\colon G\times(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\to G$ は $C^\infty$ である。

$g_0\in U$ を取る。 $\Theta(g_0,0)=g_0\in U$ であり $\Theta$ は連続であるから、 $g_0$ の開近傍 $W\subseteq U$ と $0<\varepsilon_1\le\varepsilon_0$ を、 $\Theta(W\times(-\varepsilon_1,\varepsilon_1))\subseteq U$ となるように取ることができる。 $W$ の上のチャート $(W,\varphi)$ を $G$ の可微分構造から取り（必要なら $W$ を縮める）、 $\varphi$ の像の座標を $x$ と書くと、

(x,t)\longmapsto f\Bigl(\Theta\bigl(\varphi^{-1}(x),t\bigr)\Bigr)

は $C^\infty$ 写像の合成として $\varphi(W)\times(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)$ の上で $C^\infty$ である。 $C^\infty$ 写像の偏導関数はふたたび $C^\infty$ であるから、この写像の $t$ についての偏導関数を $t=0$ で評価したもの

x\longmapsto\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0}f\Bigl(\Theta\bigl(\varphi^{-1}(x),t\bigr)\Bigr)

は $\varphi(W)$ の上で $C^\infty$ である。上の計算により、この関数は $x\mapsto(X^{v})_{\varphi^{-1}(x)}(f)$ に等しい。すなわち $g\mapsto(X^{v})_g(f)$ は $W$ の上で $C^\infty$ である。 $g_0\in U$ は任意であったから、この関数は $U$ の上で $C^\infty$ である。

したがって、 $G$ のチャート $(U,\varphi)$ 、 $\varphi=(x^1,\dots,x^n)$ を取ると、 $X^{v}$ の成分 $(X^{v})^{i}=X^{v}(x^{i})$ は $U$ 上で $C^\infty$ であり、§E22.4 命題 5.2により $X^{v}\in\mathfrak{X}(G)$ である。左不変性は上で示したので $X^{v}\in\mathfrak{g}$ である。

二つの対応が互いに逆であること。 $v\in T_eG$ に対して $\varepsilon(X^{v})=(X^{v})_e=d(L_e)_e(v)$ である。 $L_e=\operatorname{id}_G$ であるから§E22.3 定理 5.3により $d(L_e)_e=\operatorname{id}_{T_eG}$ であり、 $\varepsilon(X^{v})=v$ である。逆に $X\in\mathfrak{g}$ を取り $v=X_e$ と置くと、左不変性により各 $g$ で $(X^{v})_g=d(L_g)_e(X_e)=X_g$ であるから $X^{v}=X$ である。

$v\mapsto X^{v}$ が線形であることは、 $d(L_g)_e$ が線形であることから従う。よって $\varepsilon$ は線形同型である。§E22.3 定理 3.3により $\dim T_eG=\dim G$ である。▨

注意 1.3.定理 1.2の証明で滑らかさを示す段は、積の写像 $\mu$ が $C^\infty$ であるという§E22.24 定義 1.1の条件を用いている。 $G$ が多様体であって群でもあるというだけでは、 $\mu$ の $C^\infty$ 性が無く、 $X^{v}$ が $C^\infty$ であることを導くことができない。すなわち、この定理では Lie 群の定義に置いた両立の条件を実際に用いている。

2 括弧積で閉じること

定理 2.1. $G$ を Lie 群、 $X,Y\in\mathfrak{g}$ とすると $[X,Y]\in\mathfrak{g}$ である。

証明. $g\in G$ を任意に取る。§E22.24 命題 3.1により $L_g$ は $G$ の微分同相である。 $X$ と $Y$ は左不変であるから $(L_g)_*X=X$ 、 $(L_g)_*Y=Y$ である。§E22.7 定理 2.6の系を微分同相 $L_g$ へ適用すると

(L_g)_*[X,Y]=\bigl[(L_g)_*X,\ (L_g)_*Y\bigr]=[X,Y]

である。 $[X,Y]$ は§E22.7 定義 1.2により $G$ 上の $C^\infty$ ベクトル場である。 $g$ は任意であったから定義 1.1により $[X,Y]\in\mathfrak{g}$ である。▨

定義 2.2. $\R$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ と、双線形写像 $[\cdot,\cdot]\colon V\times V\to V$ の組が Lie 環 (Lie algebra) であるとは、次の二つが成り立つことをいう。

すべての $u,w\in V$ に対して $[u,w]=-[w,u]$ である。
すべての $u,w,z\in V$ に対して Jacobi 律 $[[u,w],z]+[[w,z],u]+[[z,u],w]=0$ が成り立つ。

この双線形写像を括弧積 (Lie bracket) という。

定理 2.3. $G$ を Lie 群とする。

$\mathfrak{g}$ は、§E22.7 定義 1.2の括弧積によって Lie 環である。
$u,w\in T_eG$ に対して $[u,w]_{\mathfrak{g}}=\bigl[X^{u},X^{w}\bigr]_e$ と定めると、 $T_eG$ はこの括弧積によって Lie 環であり、定理 1.2の線形同型 $\varepsilon$ は括弧積を保つ。

$T_eG$ にこの構造を与えたものを $G$ の Lie 環という。以後、 $\mathfrak{g}$ と $T_eG$ を $\varepsilon$ によって同一視し、どちらも $\mathfrak{g}$ と書く。

証明.主張 (1)を示す。定理 1.2により $\mathfrak{g}$ は $\mathfrak{X}(G)$ の有限次元線形部分空間である。定理 2.1により括弧積は $\mathfrak{g}$ から出ない。双線形性、交代性および Jacobi 律は§E22.7 命題 1.4により $\mathfrak{X}(G)$ の全体について与えられており、部分空間へ制限しても成り立つ。よって $\mathfrak{g}$ は定義 2.2の意味で Lie 環である。

主張 (2)を示す。 $\varepsilon$ は線形同型であり、その逆写像は $v\mapsto X^{v}$ である。 $T_eG$ の括弧積を上の式で定めると、定義から

\varepsilon\bigl([X,Y]\bigr)=[X,Y]_e=\bigl[X^{X_e},X^{Y_e}\bigr]_e=[X_e,Y_e]_{\mathfrak{g}}=\bigl[\varepsilon(X),\varepsilon(Y)\bigr]_{\mathfrak{g}}

である。ここで $X^{X_e}=X$ と $X^{Y_e}=Y$ を用いた（定理 1.2）。したがって $\varepsilon$ は括弧積を保つ。双線形性、交代性および Jacobi 律は、 $\varepsilon$ が線形同型で括弧積を保つことから、 $\mathfrak{g}$ の対応する性質へ移して確かめることができる。すなわち、 $u=\varepsilon(X)$ などと置けば、 $T_eG$ における等式は $\mathfrak{g}$ における等式に $\varepsilon$ を施したものである。▨

3 行列群における括弧積

以下、 $M_n(\R)$ を§E22.24 命題 2.1のとおり $\R^{n^{2}}$ と同一視し、 $\GL_n(\R)$ をその開部分多様体と見る。§E22.24 注意 2.2により各点の接空間は $M_n(\R)$ と同一視される。 $M_n(\R)$ の成分を座標関数 $x^{ij}$ （ $1\le i,j\le n$ ）として用いる。すなわち $x^{ij}(A)=A_{ij}$ である。

補題 3.1. $g\in \GL_n(\R)$ 、 $A\in \GL_n(\R)$ 、 $H\in M_n(\R)$ とする。§E22.24 注意 2.2の同一視のもとで

d(L_g)_A(H)=gH

が成り立つ。

証明. $L_g$ は $\GL_n(\R)$ の上で $L_g(B)=gB$ で与えられる。この写像は、 $M_n(\R)$ の上の線形写像 $\Lambda_g(B)=gB$ の $\GL_n(\R)$ への制限である。線形写像の全微分は各点でその写像自身に等しい。実際、 $\Lambda_g(B+tH)=\Lambda_g(B)+t\Lambda_g(H)$ であり、 $t$ の一次の項の係数は $\Lambda_g(H)=gH$ である。§E22.24 注意 2.2の同一視のもとで $d(L_g)_A(H)=gH$ である。▨

命題 3.2. $A\in M_n(\R)=T_I\bigl(\GL_n(\R)\bigr)$ に対して、定理 1.2で定める左不変ベクトル場 $X^{A}$ は

\bigl(X^{A}\bigr)_g=gA\qquad\bigl(g\in \GL_n(\R)\bigr)

で与えられる。座標 $x^{ij}$ に関する成分は

\bigl(X^{A}\bigr)^{ij}(g)=(gA)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}g_{ik}A_{kj}

であり、 $g$ の成分についての一次式である。

証明.定理 1.2により $(X^{A})_g=d(L_g)_I(A)$ であり、補題 3.1によりこれは $gA$ である。成分は§E22.3 例 3.4の同一視により $(gA)_{ij}$ である。▨

定理 3.3. $n$ を正の整数とする。

$A,B\in M_n(\R)$ に対して、 $\GL_n(\R)$ の Lie 環における括弧積は $[A,B]_{\mathfrak{gl}}=AB-BA$ である。
$G\subseteq \GL_n(\R)$ を埋め込み Lie 部分群（§E22.24 定義 1.1）とし、 $\mathfrak{g}=T_IG$ を包含写像の微分によって $M_n(\R)$ の線形部分空間と見る。このとき $\mathfrak{g}$ は行列の交換子で閉じており、 $G$ の Lie 環における括弧積は $[A,B]_{\mathfrak{g}}=AB-BA$ である。

同じ主張が $\GL_n(\C)$ とその埋め込み Lie 部分群についても、 $M_n(\C)$ を実ベクトル空間と見て成り立つ。

証明では、まず§E22.7 命題 1.3を命題 3.2の成分へ適用して主張 (1)を計算で得る。次に、包含写像 $\iota\colon G\to \GL_n(\R)$ について $X^{A}$ と $X^{A}$ が $\iota$ に関して関連することを $\iota\circ L^{G}_g=L^{\GL}_g\circ\iota$ から確かめ、§E22.7 定理 2.6を適用して主張 (2)を得る。

証明.主張 (1)を示す。座標 $x^{ij}$ に関する偏微分を $\partial_{kl}=\partial/\partial x^{kl}$ と書く。命題 3.2により $(X^{B})^{ij}(g)=\sum_{m=1}^{n}g_{im}B_{mj}$ であるから

\partial_{kl}\bigl(X^{B}\bigr)^{ij}=\sum_{m=1}^{n}\frac{\partial g_{im}}{\partial g_{kl}}B_{mj} =\sum_{m=1}^{n}\delta_{ik}\delta_{ml}B_{mj}=\delta_{ik}B_{lj}

である。ここで $\partial g_{im}/\partial g_{kl}=\delta_{ik}\delta_{ml}$ を用いた。したがって

\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}\bigl(X^{A}\bigr)^{kl}\,\partial_{kl}\bigl(X^{B}\bigr)^{ij} =\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}(gA)_{kl}\,\delta_{ik}B_{lj} =\sum_{l=1}^{n}(gA)_{il}B_{lj}=(gAB)_{ij}

である。添字 $A$ と $B$ を入れ替えると

\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}\bigl(X^{B}\bigr)^{kl}\,\partial_{kl}\bigl(X^{A}\bigr)^{ij}=(gBA)_{ij}

である。§E22.7 命題 1.3により

\bigl[X^{A},X^{B}\bigr]^{ij}(g)=(gAB)_{ij}-(gBA)_{ij}=\bigl(g(AB-BA)\bigr)_{ij}

である。すなわち $[X^{A},X^{B}]_g=g(AB-BA)$ であり、命題 3.2により右辺は $(X^{AB-BA})_g$ に等しい。 $g=I$ と取ると

[A,B]_{\mathfrak{gl}}=\bigl[X^{A},X^{B}\bigr]_I=AB-BA

である。

主張 (2)を示す。 $\iota\colon G\to \GL_n(\R)$ を包含写像とする。 $G$ は埋め込み部分多様体であるから $\iota$ は $C^\infty$ であり、 $d\iota_g$ は単射である（§E22.5 命題 4.2）。 $T_IG$ を $d\iota_I$ の像と同一視し、 $\mathfrak{g}\subseteq M_n(\R)$ と見る。

$A\in\mathfrak{g}$ を取る。 $G$ 上の左不変ベクトル場を $Y^{A}$ 、 $\GL_n(\R)$ 上の左不変ベクトル場を $X^{A}$ と書く。 $Y^{A}$ と $X^{A}$ が $\iota$ に関して関連することを示す。 $g\in G$ とすると、 $G$ の左移動 $L^{G}_g$ と $\GL_n(\R)$ の左移動 $L^{\GL}_g$ について $\iota\circ L^{G}_g=L^{\GL}_g\circ\iota$ が成り立つ（両辺は $h\in G$ を $gh$ へ写す）。§E22.3 定理 5.3を $e=I$ において適用すると

d\iota_g\circ d\bigl(L^{G}_g\bigr)_I=d\bigl(L^{\GL}_g\bigr)_I\circ d\iota_I

である。両辺を $A\in T_IG$ に施すと、左辺は $d\iota_g\bigl((Y^{A})_g\bigr)$ 、右辺は $d(L^{\GL}_g)_I(A)=(X^{A})_g$ である（ $d\iota_I(A)=A$ は同一視による）。よって $Y^{A}$ と $X^{A}$ は $\iota$ に関して関連する（§E22.7 定義 2.3）。

$A,B\in\mathfrak{g}$ とする。§E22.7 定理 2.6により $[Y^{A},Y^{B}]$ と $[X^{A},X^{B}]$ も $\iota$ に関して関連する。 $g=I$ で評価すると

d\iota_I\Bigl(\bigl[Y^{A},Y^{B}\bigr]_I\Bigr)=\bigl[X^{A},X^{B}\bigr]_I=AB-BA

である。左辺は、同一視のもとで $[A,B]_{\mathfrak{g}}\in\mathfrak{g}\subseteq M_n(\R)$ である。したがって $[A,B]_{\mathfrak{g}}=AB-BA$ であり、とくに $AB-BA\in\mathfrak{g}$ である。すなわち $\mathfrak{g}$ は行列の交換子で閉じている。

複素の場合。 $M_n(\C)$ を $\R^{2n^{2}}$ と同一視すると、 $\GL_n(\C)$ はその開部分多様体である（§E22.24 命題 2.1）。実の座標を取って上と同じ計算を行うことができるが、複素の座標 $x^{ij}$ とその共役を用いても同じ結論に至る。実際、 $(X^{B})^{ij}(g)=\sum_{m=1}^{n}g_{im}B_{mj}$ は $g$ の成分について複素線形であり、実部と虚部に分けて偏微分を計算しても、複素数の積の双線形性から上と同じ形の和が得られる。よって $[A,B]_{\mathfrak{gl}_n(\C)}=AB-BA$ である。埋め込み Lie 部分群についても同じ議論が成り立つ。▨

例 3.4.§E22.24 注意 4.11に並べた単位元における接空間が、定理 3.3のとおり交換子で閉じていることを直接に確かめる。

直交群。 $T_I\Orth(n)=\{H\mid H^{\mathsf T}+H=0\}$ である。 $H,K$ をこの条件を満たす行列とすると

(HK-KH)^{\mathsf T}=K^{\mathsf T}H^{\mathsf T}-H^{\mathsf T}K^{\mathsf T}=(-K)(-H)-(-H)(-K)=KH-HK=-(HK-KH)

である。よって $HK-KH$ も交代行列である。

ユニタリ群。 $T_I\Uni(n)=\{H\mid H^{*}+H=0\}$ である。 $(HK-KH)^{*}=K^{*}H^{*}-H^{*}K^{*}=KH-HK=-(HK-KH)$ であるから、歪 Hermite 行列の交換子はふたたび歪 Hermite 行列である。

特殊線形群。 $T_I\SL_n(\R)=\{H\mid\operatorname{tr}H=0\}$ である。トレースについて $\operatorname{tr}(HK)=\operatorname{tr}(KH)$ が成り立つ。実際、

\operatorname{tr}(HK)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}H_{ik}K_{ki} =\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}K_{ki}H_{ik}=\operatorname{tr}(KH)

である。よって $\operatorname{tr}(HK-KH)=0$ であり、条件は $H$ と $K$ が満たすかどうかによらず交換子について成り立つ。とくに $\mathfrak{sl}_n(\R)$ は交換子で閉じている。

斜交群。 $T_I\Sp_{2n}(\R)=\{H\mid H^{\mathsf T}J+JH=0\}$ である。 $H^{\mathsf T}J=-JH$ と $K^{\mathsf T}J=-JK$ から

(HK-KH)^{\mathsf T}J=(K^{\mathsf T}H^{\mathsf T}-H^{\mathsf T}K^{\mathsf T})J =K^{\mathsf T}(-JH)-H^{\mathsf T}(-JK) =-(K^{\mathsf T}J)H+(H^{\mathsf T}J)K

であり、ふたたび $K^{\mathsf T}J=-JK$ 、 $H^{\mathsf T}J=-JH$ を用いると

=JKH-JHK=-J(HK-KH)

である。よって $HK-KH$ も条件を満たす。

$\mathfrak{sl}_2(\R)$ の括弧積の表。§E22.24 例 4.6の基底を

h=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

と書く。直接の計算により

hx=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad xh=\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix},\quad hy=\begin{pmatrix}0&0\\-1&0\end{pmatrix},\quad yh=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

であり、

xy=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad yx=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}

である。したがって

[h,x]=2x,\qquad [h,y]=-2y,\qquad [x,y]=h

である。三つの括弧積はいずれもトレースが $0$ であり、 $\mathfrak{sl}_2(\R)$ に属する。

4 群の交換子の二次の項

定理 3.3では、行列群の括弧積が交換子 $AB-BA$ であることが述べられている。この交換子は、群の交換子 $ghg^{-1}h^{-1}$ を単位元の近くで二次まで展開したときに現れる。以下では、この事実を行列指数関数の展開によって確かめる。ここで用いるのは行列指数関数だけであり、一般の Lie 群の指数写像は用いない。

補題 4.1. $M_n(\R)$ に劣乗法的なノルム $\lVert\cdot\rVert$ を一つ固定する（§E13.12 命題 1.1と同じものである）。 $A\in M_n(\R)$ とし、

E_A(t)=e^{tA}-\left(I+tA+\frac{t^{2}}{2}A^{2}\right)

と置く。 $|t|\le1$ を満たすすべての $t$ に対して

\bigl\lVert E_A(t)\bigr\rVert\le|t|^{3}\,e^{\lVert A\rVert}

が成り立つ。

証明.§E13.12 定義 1.2と§E13.12 命題 1.1により、級数 $e^{tA}=\sum_{k\ge0}t^{k}A^{k}/k!$ は絶対収束する。定義から

E_A(t)=\sum_{k=3}^{\infty}\frac{t^{k}A^{k}}{k!}

である。ノルムの劣乗法性により $\lVert A^{k}\rVert\le\lVert A\rVert^{k}$ である。 $|t|\le1$ かつ $k\ge3$ ならば $|t|^{k}\le|t|^{3}$ であるから

\bigl\lVert E_A(t)\bigr\rVert\le\sum_{k=3}^{\infty}\frac{|t|^{k}\lVert A\rVert^{k}}{k!} \le|t|^{3}\sum_{k=3}^{\infty}\frac{\lVert A\rVert^{k}}{k!} \le|t|^{3}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lVert A\rVert^{k}}{k!}=|t|^{3}e^{\lVert A\rVert}

である。▨

定理 4.2. $A,B\in M_n(\R)$ とし、

\Phi(t)=e^{tA}e^{tB}e^{-tA}e^{-tB}\qquad(t\in\R)

と置く。 $A$ と $B$ だけに依存する定数 $C\ge0$ が存在して、 $|t|\le1$ を満たすすべての $t$ に対して

\bigl\lVert\Phi(t)-I-t^{2}(AB-BA)\bigr\rVert\le C\,|t|^{3}

が成り立つ。とくに

\lim_{t\to0}\frac{\Phi(t)-I}{t^{2}}=AB-BA

である。

証明の要は次の二段である。第一に、 $P(t)=e^{tA}e^{tB}$ を二次まで展開すると $P(t)=I+tS+t^{2}Q+(\text{三次以上})$ となる（ $S=A+B$ 、 $Q=\tfrac12A^{2}+AB+\tfrac12B^{2}$ ）。第二に、 $e^{-tA}e^{-tB}=P(-t)$ であるから $\Phi(t)=P(t)P(-t)$ であり、 $t$ の一次の項が打ち消し合って二次の項は $2Q-S^{2}$ になる。 $2Q-S^{2}=AB-BA$ を計算する。

証明. 以下、 $|t|\le1$ とし、 $a=\lVert A\rVert$ 、 $b=\lVert B\rVert$ と置く。 $C_1,C_2,\dots$ は $a$ と $b$ だけに依存する定数を表す。

第一段。 $P(t)=e^{tA}e^{tB}$ を展開する。 $p(t)=I+tA+\tfrac{t^{2}}{2}A^{2}$ 、 $q(t)=I+tB+\tfrac{t^{2}}{2}B^{2}$ と置くと、補題 4.1により $e^{tA}=p(t)+E_A(t)$ 、 $e^{tB}=q(t)+E_B(t)$ であり $\lVert E_A(t)\rVert\le|t|^{3}e^{a}$ 、 $\lVert E_B(t)\rVert\le|t|^{3}e^{b}$ である。 $|t|\le1$ であるから

\lVert p(t)\rVert\le1+a+\tfrac{a^{2}}{2}\le e^{a},\qquad \lVert q(t)\rVert\le e^{b}

である。したがって

P(t)=p(t)q(t)+p(t)E_B(t)+E_A(t)q(t)+E_A(t)E_B(t)

の右辺の第二項以降のノルムは、劣乗法性により

e^{a}|t|^{3}e^{b}+|t|^{3}e^{a}e^{b}+|t|^{3}e^{a}\cdot|t|^{3}e^{b}\le 3e^{a+b}|t|^{3}=C_1|t|^{3}

で抑えられる（ $|t|^{3}\le1$ を用いた）。

$p(t)q(t)$ を展開する。

p(t)q(t)=I+t(A+B)+t^{2}\left(\frac{A^{2}}{2}+AB+\frac{B^{2}}{2}\right)+t^{3}R_1+t^{4}R_2

であり、

R_1=\frac{A^{2}B}{2}+\frac{AB^{2}}{2},\qquad R_2=\frac{A^{2}B^{2}}{4}

である。実際、 $p(t)q(t)$ の展開は $t^{i+j}$ （ $0\le i,j\le2$ ）の項の和であり、 $t^{0}$ の項は $I$ 、 $t^{1}$ の項は $A+B$ 、 $t^{2}$ の項は $\tfrac{A^{2}}{2}+AB+\tfrac{B^{2}}{2}$ 、 $t^{3}$ の項は $\tfrac{A^{2}}{2}B+A\tfrac{B^{2}}{2}$ 、 $t^{4}$ の項は $\tfrac{A^{2}}{2}\cdot\tfrac{B^{2}}{2}$ である。 $|t|\le1$ であるから $\lVert t^{3}R_1+t^{4}R_2\rVert\le|t|^{3}(\lVert R_1\rVert+\lVert R_2\rVert)=C_2|t|^{3}$ である。

$S=A+B$ 、 $Q=\tfrac{A^{2}}{2}+AB+\tfrac{B^{2}}{2}$ と置くと、以上より

P(t)=I+tS+t^{2}Q+\Delta(t),\qquad\lVert\Delta(t)\rVert\le C_3|t|^{3}

\text{(4.2.1)}

である（ $C_3=C_1+C_2$ ）。

第二段。 $\Phi(t)=P(t)P(-t)$ を計算する。 $e^{-tA}=e^{(-t)A}$ 、 $e^{-tB}=e^{(-t)B}$ であるから $e^{-tA}e^{-tB}=P(-t)$ であり、 $\Phi(t)=P(t)P(-t)$ である。式 (4.2.1)を $t$ と $-t$ について書き

P(t)=I+tS+t^{2}Q+\Delta(t),\qquad P(-t)=I-tS+t^{2}Q+\Delta(-t)

とする。 $u(t)=I+tS+t^{2}Q$ 、 $v(t)=I-tS+t^{2}Q$ と置くと、 $|t|\le1$ に対して $\lVert u(t)\rVert\le1+\lVert S\rVert+\lVert Q\rVert=C_4$ 、 $\lVert v(t)\rVert\le C_4$ である。

\Phi(t)=u(t)v(t)+u(t)\Delta(-t)+\Delta(t)v(t)+\Delta(t)\Delta(-t)

であり、第二項以降のノルムは $2C_4C_3|t|^{3}+C_3^{2}|t|^{6}\le C_5|t|^{3}$ で抑えられる。

$u(t)v(t)$ を展開する。

u(t)v(t)=I+t(S-S)+t^{2}\bigl(Q+Q-S^{2}\bigr)+t^{3}\bigl(SQ-QS\bigr)+t^{4}Q^{2}

である。実際、 $t^{0}$ の項は $I$ 、 $t^{1}$ の項は $-S+S=0$ 、 $t^{2}$ の項は $Q+S\cdot(-S)+Q=2Q-S^{2}$ である。 $t^{3}$ の項は、 $u$ の $t^{1}$ の項 $tS$ と $v$ の $t^{2}$ の項 $t^{2}Q$ の積 $t^{3}SQ$ と、 $u$ の $t^{2}$ の項 $t^{2}Q$ と $v$ の $t^{1}$ の項 $-tS$ の積 $-t^{3}QS$ の和であるから、 $t^{3}(SQ-QS)$ である。 $t^{4}$ の項は $t^{2}Q\cdot t^{2}Q=t^{4}Q^{2}$ である。よって

u(t)v(t)=I+t^{2}\bigl(2Q-S^{2}\bigr)+t^{3}(SQ-QS)+t^{4}Q^{2}

であり、 $|t|\le1$ に対して最後の二項のノルムは $|t|^{3}\bigl(\lVert SQ-QS\rVert+\lVert Q^{2}\rVert\bigr)=C_6|t|^{3}$ で抑えられる。

二次の項を計算する。

2Q=A^{2}+2AB+B^{2},\qquad S^{2}=(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}

である。ここで $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ は行列の積が結合的で分配的であることによる（ $AB$ と $BA$ をまとめてはならない）。したがって

2Q-S^{2}=\bigl(A^{2}+2AB+B^{2}\bigr)-\bigl(A^{2}+AB+BA+B^{2}\bigr)=AB-BA

である。

以上を合わせると、 $C=C_5+C_6$ と置いて

\bigl\lVert\Phi(t)-I-t^{2}(AB-BA)\bigr\rVert\le C|t|^{3}\qquad(|t|\le1)

を得る。両辺を $t^{2}$ （ $t\ne0$ ）で割ると

\left\lVert\frac{\Phi(t)-I}{t^{2}}-(AB-BA)\right\rVert\le C|t|

であり、 $t\to0$ のとき右辺は $0$ へ収束する。▨

例 4.3.

A=x=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad B=y=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

と置く。 $A^{2}=0$ 、 $B^{2}=0$ であるから

e^{tA}=I+tA=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix},\qquad e^{tB}=I+tB=\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}

であり、いずれも行列式が $1$ であるから $\SL_2(\R)$ に属する。積を計算する。

e^{tA}e^{tB}=\begin{pmatrix}1+t^{2}&t\\t&1\end{pmatrix}, \qquad e^{-tA}e^{-tB}=\begin{pmatrix}1+t^{2}&-t\\-t&1\end{pmatrix}

である。したがって

\Phi(t)=\begin{pmatrix}1+t^{2}&t\\t&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1+t^{2}&-t\\-t&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(1+t^{2})^{2}-t^{2}&-t(1+t^{2})+t\\ t(1+t^{2})-t&-t^{2}+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+t^{2}+t^{4}&-t^{3}\\ t^{3}&1-t^{2}\end{pmatrix}

である。よって

\Phi(t)-I=\begin{pmatrix}t^{2}+t^{4}&-t^{3}\\ t^{3}&-t^{2}\end{pmatrix} =t^{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}+t^{3}\begin{pmatrix}t&-1\\1&0\end{pmatrix}

であり、 $t\to0$ のとき $\bigl(\Phi(t)-I\bigr)/t^{2}\to\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}=h$ である。

一方、例 3.4の計算により $[x,y]=xy-yx=h$ である。二つは一致し、定理 4.2と整合する。

$\Phi(t)$ の行列式も確かめる。 $\det\Phi(t)=(1+t^{2}+t^{4})(1-t^{2})+t^{6}=1-t^{2}+t^{2}-t^{4}+t^{4}-t^{6}+t^{6}=1$ であり、 $\Phi(t)\in \SL_2(\R)$ である。これは $\SL_2(\R)$ が群であることと整合する。

注意 4.4 (この記事が用いる指数の範囲).定理 4.2は、行列指数関数 $e^{tA}=\sum_{k\ge0}t^{k}A^{k}/k!$ だけを用いて述べられている。一般の Lie 群に対する指数写像 $\exp\colon\mathfrak{g}\to G$ の定義と、それが原点の近傍で局所微分同相であることは§E22.26 1パラメータ部分群と指数写像で扱う。同じ記事では、行列群において $\exp$ が行列指数関数に一致することも示す。

§E22.27 閉部分群定理では、群の交換子の極限公式を一般の Lie 群について述べる。そこでは指数は $m^{2}$ 乗であり、本記事の $t^{2}$ で割る形とは書き方が異なる。両者は、 $t=1/m$ と取り $m^{2}$ 倍することが、 $t^{2}$ で割ることに対応するという関係にある。

5 境界

左不変性と右不変性。本記事では左移動に関する不変性だけを扱った。右不変ベクトル場の全体も $T_eG$ と線形同型であり括弧積で閉じているが、その括弧積は左不変の場合と符号が異なる。左不変ベクトル場と右不変ベクトル場の対応と、その対応を与える逆元の写像の微分は、本記事の主張には含まれない。

Lie 環の抽象論へ進まない。本記事では定義 2.2で Lie 環を定義し、定理 2.3で $T_eG$ にその構造を与えるところまでを扱った。

指数の扱い。定理 4.2の証明では行列指数関数の展開だけを用いており、一般の Lie 群の指数写像を用いていない。

6 演習

問題 6.1 (左不変ベクトル場と Lie 環の確認). 次の各問に答えよ。

$G$ を $n$ 次元 Lie 群、 $v_1,\dots,v_n$ を $T_eG$ の基底とし、 $X_i=X^{v_i}$ と置く。写像 $\Psi\colon G\times\R^n\longrightarrow TG, \qquad \Psi(g,a)=\Bigl(g,\ \sum_{i=1}^{n}a^{i}(X_i)_g\Bigr)$ が微分同相であることを示せ。ここで $G\times\R^n$ には積多様体の構造を、 $TG$ には§E22.4 定理 3.1の構造を与える。
$G=\GL_n(\R)$ 、 $A\in M_n(\R)$ とし、 $\gamma_1(t)=I+tA$ 、 $\gamma_2(t)=e^{tA}$ と置く。ある $\varepsilon>0$ について、 $\gamma_1,\gamma_2\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to \GL_n(\R)$ がいずれも $\gamma_k(0)=I$ かつ $v_{\gamma_k}=A$ を満たす滑らかな曲線であることを示し、 $A^{2}\ne0$ ならば $\gamma_1\ne\gamma_2$ であることを示せ。さらに、 $\gamma_2$ は $X^{A}$ の積分曲線であるが、 $A^{2}\ne0$ ならば $\gamma_1$ は $X^{A}$ の積分曲線でないことを示せ。最後に、 $\dim G\ge1$ である一般の Lie 群 $G$ と $v\in T_eG$ についても、 $\gamma(0)=e$ かつ $v_\gamma=v$ を満たす滑らかな曲線 $\gamma$ が一意でないことを確かめよ。
定理 2.1の証明は§E22.7 定理 2.6の系を用いている。系ではなく本体の主張（関連するベクトル場についての形）を直接用いて同じ結論を導け。 $X$ と $X$ が $L_g$ に関して関連することを、左不変性から確かめよ。
右移動 $R_g$ で不変なベクトル場の全体を $\mathfrak{g}'$ と書く。 $\mathfrak{g}'$ もまた $T_eG$ と線形同型であり、括弧積で閉じていることを示せ。さらに $G$ がアーベル群であるとき $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}'$ であることを示せ。
$G=\R^2$ に積 $(x,y)(x',y')=(x+x',\ y+e^{x}y')$ を与える。 $G$ が恒等写像のチャートによる可微分構造のもとで Lie 群であることを示し、単位元 $e$ における座標ベクトル $\partial/\partial x|_e$ 、 $\partial/\partial y|_e$ が定める左不変ベクトル場 $X_1$ 、 $X_2$ と、同じ接ベクトルが定める右不変ベクトル場 $Z_1$ 、 $Z_2$ （(4)）を座標で表せ。さらに $[X_1,X_2]=X_2$ と $[Z_1,Z_2]=-Z_2$ を示せ。
$E=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ とし、 $S=\{I+sE\mid -1/2<s<1/2\}$ と置く。 $S$ は $I$ を含む $\GL_2(\R)$ の $1$ 次元埋め込み部分多様体であって部分群でなく、 $T_IS$ は $E$ で張られることを示せ。さらに、 $\GL_2(\R)$ 上の左不変ベクトル場 $X^{E}$ の $g\in S\setminus\{I\}$ における値は $d\iota_g(T_gS)$ に属さないことを示せ。一方、 $B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ と $g\in \SO(2)$ については、 $(X^{B})_g$ が $d\iota_g\bigl(T_g\SO(2)\bigr)$ に属することを、§E22.5 定理 4.3による接空間の記述を用いて確かめよ。
$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ 、 $B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ について、定理 4.2の $\Phi(t)=e^{tA}e^{tB}e^{-tA}e^{-tB}$ を閉じた形で求め、 $t\to0$ のとき $\bigl(\Phi(t)-I\bigr)/t^{2}$ が $AB-BA$ に収束することを確かめよ。
$A$ と $B$ が可換であるとき、定理 4.2の $\Phi(t)$ が恒等的に $I$ に等しいことを§E13.12 命題 3.2から導け。この場合に定理の主張がどう読めるかを述べよ。

解答 (演習の解答).

各 $g\in G$ で $d(L_g)_e$ は線形同型であるから（§E22.24 命題 3.1）、 $(X_i)_g=d(L_g)_e(v_i)$ （ $1\le i\le n$ ）は $T_gG$ の基底である。よって $a\mapsto\sum_ia^{i}(X_i)_g$ は $\R^n$ から $T_gG$ への線形同型であり、 $\Psi$ は全単射である。 $G$ のチャート $(U,\varphi)$ 、 $\varphi=(x^1,\dots,x^n)$ を取り、 $U$ の上で $(X_i)_p=\sum_jX_i^{j}(p)\,\partial/\partial x^{j}|_p$ と書く。定理 1.2により $X_i$ は $C^\infty$ ベクトル場であるから、§E22.4 命題 5.2により $X_i^{j}\in C^\infty(U)$ である。 $x\in\varphi(U)$ に対して $n$ 次正方行列 $C(x)$ を $C(x)_{ji}=X_i^{j}(\varphi^{-1}(x))$ で定めると、 $C(x)$ の成分は $C^\infty$ であり、各 $x$ で列が基底の成分であるから $C(x)$ は可逆である。 $G\times\R^n$ のチャート $\varphi\times\operatorname{id}$ と $TG$ のチャート $\tilde\varphi$ に関する $\Psi$ の座標表示は $(x,a)\longmapsto\bigl(x,\ C(x)a\bigr)$ であり $C^\infty$ である。 $\Psi^{-1}$ の座標表示は $(x,\xi)\mapsto\bigl(x,\ C(x)^{-1}\xi\bigr)$ であり、§E22.24 命題 2.1の証明のとおり $C(x)^{-1}$ の成分は分母 $\det C(x)$ が消えない $C(x)$ の成分の有理式であるから、これも $C^\infty$ である。 $\Psi$ は $U\times\R^n$ を $\pi^{-1}(U)$ の上へ写し、チャートは同相写像であるから、座標表示の連続性により $\Psi$ と $\Psi^{-1}$ は連続である。 $U$ は $G$ を覆うチャートの定義域を動くので、§E22.1 命題 4.2により $\Psi$ と $\Psi^{-1}$ は滑らかであり、 $\Psi$ は微分同相である。
$\det(I+tA)$ は $t$ の多項式であり $t=0$ で $1$ であるから、ある $\varepsilon>0$ について $|t|<\varepsilon$ ならば $\det(I+tA)\ne0$ である。よって $\gamma_1$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)$ から $\GL_n(\R)$ への写像であり、成分が $t$ の一次式であるから $C^\infty$ である。§E13.12 定理 2.1により $(e^{tA})^{-1}=e^{-tA}$ であるから $\gamma_2(t)\in \GL_n(\R)$ であり、 $\frac{d}{dt}e^{tA}=e^{tA}A$ を繰り返し用いると $\gamma_2$ の成分はすべての階数の導関数を持つので $C^\infty$ である。§E22.3 命題 4.3の証明により、恒等写像のチャートに関して $v_\gamma$ の成分は $\gamma'(0)$ の成分であるから、§E22.24 注意 2.2の同一視のもとで $v_\gamma=\gamma'(0)$ である。 $\gamma_1'(0)=A$ 、 $\gamma_2'(0)=e^{0A}A=A$ であり、 $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=I$ であるから、 $v_{\gamma_1}=v_{\gamma_2}=A$ である。二階導関数は $\gamma_1''(0)=0$ 、 $\gamma_2''(0)=A^{2}$ であるから、 $A^{2}\ne0$ ならば $\gamma_1\ne\gamma_2$ である。速度ベクトルも同じ同一視のもとで $\gamma'(t)$ と書くことができ、命題 3.2により $(X^{A})_g=gA$ である。 $\gamma_2'(t)=e^{tA}A=\gamma_2(t)A$ であるから $\gamma_2$ は $X^{A}$ の積分曲線である。一方 $\gamma_1'(t)=A$ 、 $\gamma_1(t)A=A+tA^{2}$ であり、 $A^{2}\ne0$ ならば $t\ne0$ で両者は異なるので、 $\gamma_1$ は積分曲線でない。一般の場合を示す。 $e$ を含むチャート $(U,\varphi)$ を取り、 $\varphi(e)=0$ としてよい。 $v=\sum_{i=1}^{n}a^{i}\partial/\partial x^{i}|_e$ と書き、 $a=(a^{1},\dots,a^{n})$ と置く。 $\varepsilon_0>0$ を $|t|<\varepsilon_0$ に対して $ta\in\varphi(U)$ となるように取り、 $\gamma(t)=\varphi^{-1}(ta)$ と定める。 $\gamma$ は一意でない。実際、 $\gamma_2(t)=\varphi^{-1}(ta+t^{2}c)$ （ $c\in\R^{n}$ は任意）と定めると、 $(\varphi\circ\gamma_2)'(0)=a$ であるから $\gamma_2$ も同じ接ベクトルを与える（§E22.3 命題 4.3）。 $|t|$ が十分小さければ $ta+t^{2}c\in\varphi(U)$ であり、 $\gamma_2$ は§E22.1 系 7.2により滑らかである。 $c\ne0$ ならば $t\ne0$ で $\varphi(\gamma_2(t))-\varphi(\gamma(t))=t^{2}c\ne0$ であるから、 $\gamma\ne\gamma_2$ である。 $\dim G\ge1$ であるから $c\ne0$ を取ることができる。
$X\in\mathfrak{g}$ とすると、左不変性の第二の形により各 $h$ で $d(L_g)_h(X_h)=X_{gh}=X_{L_g(h)}$ である。これは§E22.7 定義 2.3の定義そのものであり、 $X$ と $X$ が $L_g$ に関して関連することを意味する。 $Y$ についても同様である。§E22.7 定理 2.6の本体により $[X,Y]$ と $[X,Y]$ は $L_g$ に関して関連する。すなわち各 $h$ で $d(L_g)_h([X,Y]_h)=[X,Y]_{gh}$ であり、 $[X,Y]$ は左不変である。
$R_g\circ R_h=R_{hg}$ である（ $k(hg)=(kh)g$ による）。 $v\in T_eG$ に対して $(Z^{v})_g=d(R_g)_e(v)$ と定めると、 $d(R_g)_h\bigl((Z^{v})_h\bigr)=d(R_g)_h\bigl(d(R_h)_e(v)\bigr)=d(R_{hg})_e(v)=(Z^{v})_{hg}$ であるから右不変である。滑らかさは定理 1.2の証明と同じ議論による（ $\Theta(g,t)=\gamma(t)g$ を取る）。括弧積で閉じることは、 $R_g$ が微分同相であることと§E22.7 定理 2.6の系から従う。 $G$ がアーベル群ならば $L_g=R_g$ であるから、左不変性と右不変性は同じ条件であり $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}'$ である。
結合律は $\bigl((x,y)(x',y')\bigr)(x'',y'')=\bigl(x+x'+x'',\ y+e^{x}y'+e^{x+x'}y''\bigr)=(x,y)\bigl((x',y')(x'',y'')\bigr)$ による。右側の等号では $(x',y')(x'',y'')=(x'+x'',\ y'+e^{x'}y'')$ と $e^{x}(y'+e^{x'}y'')=e^{x}y'+e^{x+x'}y''$ を用いた。 $e=(0,0)$ は単位元であり、 $(x,y)^{-1}=(-x,\ -e^{-x}y)$ である。実際 $(x,y)(-x,-e^{-x}y)=(0,\ y-e^{x}e^{-x}y)=(0,0)$ 、 $(-x,-e^{-x}y)(x,y)=(0,\ -e^{-x}y+e^{-x}y)=(0,0)$ である。積と逆元の写像の成分は多項式と指数関数の合成と積であるから $C^\infty$ であり、 $G$ は Lie 群である。 $L_{(x,y)}(x',y')=(x+x',\ y+e^{x}y')$ の $(x',y')$ に関する Jacobi 行列は $\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{x}\end{pmatrix}$ であり、§E22.3 命題 5.5により $(X_1)_{(x,y)}=\frac{\partial}{\partial x}\Big|_{(x,y)}, \qquad (X_2)_{(x,y)}=e^{x}\frac{\partial}{\partial y}\Big|_{(x,y)}$ である。 $R_{(x,y)}(x',y')=(x'+x,\ y'+e^{x'}y)$ の $(x',y')$ に関する Jacobi 行列は $\begin{pmatrix}1&0\\e^{x'}y&1\end{pmatrix}$ であり、 $(x',y')=e$ で $\begin{pmatrix}1&0\\y&1\end{pmatrix}$ となるので $(Z_1)_{(x,y)}=\frac{\partial}{\partial x}\Big|_{(x,y)}+y\frac{\partial}{\partial y}\Big|_{(x,y)}, \qquad (Z_2)_{(x,y)}=\frac{\partial}{\partial y}\Big|_{(x,y)}$ である。§E22.7 命題 1.3により、 $[X_1,X_2]$ の $\partial/\partial y$ の成分は $X_1(e^{x})-X_2(0)=e^{x}$ 、 $\partial/\partial x$ の成分は $X_1(0)-X_2(1)=0$ であるから、 $[X_1,X_2]=e^{x}\,\partial/\partial y=X_2$ である。同様に、 $[Z_1,Z_2]$ の $\partial/\partial x$ の成分は $Z_1(0)-Z_2(1)=0$ 、 $\partial/\partial y$ の成分は $Z_1(1)-Z_2(y)=0-1=-1$ であるから、 $[Z_1,Z_2]=-\partial/\partial y=-Z_2$ である。
$\det(I+sE)=1-s^{2}>0$ （ $|s|<1/2$ ）であるから $S\subseteq \GL_2(\R)$ である。 $E$ を含む $M_2(\R)$ の基底 $E,F_2,F_3,F_4$ を取り、線形同型 $\Lambda(u^1,\dots,u^4)=I+u^1E+u^2F_2+u^3F_3+u^4F_4$ の逆写像を、開集合 $W=\GL_2(\R)\cap\Lambda\bigl((-1/2,1/2)\times\R^{3}\bigr)$ に制限したものを $\psi$ と書く。 $\psi$ は恒等写像のチャートと $C^\infty$ 両立する（座標変換は平行移動と線形写像の合成である）ので、 $(W,\psi)$ は $\GL_2(\R)$ のチャートであり、 $S\subseteq W$ かつ $\psi(W\cap S)=\psi(W)\cap(\R\times\{0\})$ である。したがって $S$ の各点で $(W,\psi)$ はスライスチャートであり、 $S$ は $1$ 次元埋め込み部分多様体である（§E22.5 定義 4.1）。 $s,s'\ne0$ のとき $(I+sE)(I+s'E)=(1+ss')I+(s+s')E$ は $I$ の係数が $1$ でないので $S$ に属さず、 $S$ は部分群でない。曲線 $c(s)=I+sE$ は、スライスチャート $(W,\psi)$ から得られる $S$ のチャート（§E22.5 命題 4.2）に関して $s\mapsto s$ と表されるので、 $S$ の中の滑らかな曲線であり、 $\iota\circ c$ の速度は各点で $E$ である。したがって、 $d\iota_g(T_gS)$ は $1$ 次元であって $E$ を含み、 $E$ で張られる。とくに $T_IS$ は $E$ で張られる。一方、命題 3.2により $g=I+sE$ における値は $(X^{E})_g=gE=E+sE^{2}=sI+E$ であり、 $s\ne0$ ならば $E$ の実数倍でない。よって $(X^{E})_g\notin d\iota_g(T_gS)$ である。 $\SO(2)$ については、 $A\in \Orth(2)$ ならば $(\det A)^{2}=\det(A^{\mathsf T}A)=1$ であり、 $\det$ は $\Orth(2)$ の上で $\pm1$ の値だけを取る連続関数であるから、 $\SO(2)=\Orth(2)\cap\det^{-1}\bigl((0,\infty)\bigr)$ は $\Orth(2)$ の開集合であり、 $T_g\SO(2)$ は $T_g\Orth(2)$ と一致する。§E22.5 定理 4.3を§E22.5 定理 5.2の写像 $F(A)=A^{\mathsf T}A$ に適用すると、 $g\in \SO(2)$ で $d\iota_g\bigl(T_g\SO(2)\bigr)=\ker dF_g=\{H\mid H^{\mathsf T}g+g^{\mathsf T}H=0\}$ である。 $H=(X^{B})_g=gB$ と置くと、 $g^{\mathsf T}g=I$ と $B^{\mathsf T}=-B$ により $H^{\mathsf T}g+g^{\mathsf T}H=B^{\mathsf T}g^{\mathsf T}g+g^{\mathsf T}gB=B^{\mathsf T}+B=0$ であるから、 $(X^{B})_g\in d\iota_g\bigl(T_g\SO(2)\bigr)$ である。
$A$ は対角行列であるから $e^{tA}=\begin{pmatrix}e^{t}&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}$ であり、 $B^{2}=0$ であるから $e^{tB}=I+tB$ である（§E13.12 定義 1.2の級数が有限和になる）。 $e^{tA}Be^{-tA}=\begin{pmatrix}0&e^{2t}\\0&0\end{pmatrix}=e^{2t}B$ であるから $e^{tA}e^{tB}e^{-tA}=I+te^{tA}Be^{-tA}=I+te^{2t}B$ であり、 $B^{2}=0$ により $\Phi(t)=(I+te^{2t}B)(I-tB)=I+t\bigl(e^{2t}-1\bigr)B=\begin{pmatrix}1&t(e^{2t}-1)\\0&1\end{pmatrix}$ である。 $t\ne0$ に対して $\bigl(\Phi(t)-I\bigr)/t^{2}=\dfrac{e^{2t}-1}{t}B$ であり、 $\lim_{t\to0}(e^{2t}-1)/t=2$ であるから、極限は $2B=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}$ である。一方 $AB=B$ 、 $BA=-B$ であるから $AB-BA=2B$ であり、二つは一致する。
$A$ と $B$ が可換ならば§E13.12 命題 3.2により $e^{tA}e^{tB}=e^{tA+tB}=e^{tB}e^{tA}$ である。したがって $\Phi(t)=e^{tA}e^{tB}e^{-tA}e^{-tB}=e^{tA}e^{-tA}e^{tB}e^{-tB}=I\cdot I=I$ である（可換であるから $e^{tB}$ と $e^{-tA}$ の順序を入れ替えることができ、§E13.12 定理 2.1により $e^{tA}e^{-tA}=I$ である）。このとき $\Phi(t)-I=0$ であり、定理の主張は $AB-BA=0$ を与える。実際、可換であることは $AB=BA$ と同値である。

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§E22.25左不変ベクトル場と Lie 環

1 左不変ベクトル場

2 括弧積で閉じること

3 行列群における括弧積

4 群の交換子の二次の項

5 境界

6 演習

参考文献

前提記事