葉層と葉 | 多様体入門

1 葉層と板

定義 1.1. $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とする。 $D$ に対する平坦チャート（§E22.8 定義 2.2）の全体を $\mathcal{F}(D)$ と書き、 $D$ が定める $M$ の $k$ 次元葉層 ( $k$ -dimensional foliation) という。§E22.8 定理 4.1により $\mathcal{F}(D)$ に属するチャートの定義域は $M$ を覆う。 $\mathcal{F}(D)$ に属するチャートの板（§E22.8 定義 2.2）を、この葉層の板という。

補題 1.2. $N$ を境界を持たない連結な $C^\infty$ 多様体、 $h\in C^\infty(N)$ とし、すべての $q\in N$ で $dh_q=0$ であるとする。このとき $h$ は定数である。

証明. $q_0\in N$ を取り、 $A=\{q\in N:h(q)=h(q_0)\}$ と置く。 $h$ は連続であるから $A$ は閉集合である。 $A$ が開集合であることを示す。 $q\in A$ を取り、 $q$ の周りのチャート $(W,\alpha)$ で $\alpha(W)$ が開球であるものを取る。 $h\circ\alpha^{-1}$ の全微分は至るところ $0$ であり $\alpha(W)$ は凸であるから、§E4.3 系 2.3により $h\circ\alpha^{-1}$ は定数である。よって $W\subseteq A$ である。 $N$ は連結であり $A$ は空でない開かつ閉な部分集合であるから $A=N$ である。▨

補題 1.3. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とする。 $(U,\chi)$ と $(U',\chi')$ を $D$ に対する平坦チャートとし、それぞれの座標を $(t^1,\dots,t^k,u^{k+1},\dots,u^n)$ 、 $(t'^1,\dots,t'^k,u'^{k+1},\dots,u'^n)$ と書く。

$U\cap U'$ の上で $\frac{\partial u'^a}{\partial t^i}=0\qquad(1\le i\le k,\ k+1\le a\le n)$ が成り立つ。すなわち、座標変換 $\chi'\circ\chi^{-1}$ の後半 $n-k$ 個の成分は、前半 $k$ 個の変数に依存しない。
$P$ を $(U,\chi)$ の板とすると、 $P\cap U'$ の各連結成分の上で $u'^{k+1},\dots,u'^n$ は定数であり、その連結成分は $(U',\chi')$ のただ一枚の板に含まれる。

証明.主張 (1)を示す。 $q\in U\cap U'$ とする。 $\partial/\partial t^i|_q\in D_q$ であり、 $(U',\chi')$ が平坦チャートであることから $D_q$ は $\partial/\partial t'^1|_q,\dots,\partial/\partial t'^k|_q$ が張る。したがって

\frac{\partial}{\partial t^i}\Big|_q=\sum_{j=1}^{k}c^j\,\frac{\partial}{\partial t'^j}\Big|_q

と書くことができる。関数 $u'^a$ （ $a>k$ ）へ作用させると、 $\partial u'^a/\partial t'^j=0$ であるから

\frac{\partial u'^a}{\partial t^i}(q)=\sum_{j=1}^{k}c^j\,\frac{\partial u'^a}{\partial t'^j}(q)=0

である。

主張 (2)を示す。 $P$ は§E22.8 命題 2.3により $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体であり、そのチャートは $\chi$ の最初の $k$ 座標である。 $C$ を $P\cap U'$ の連結成分とすると、 $C$ は $P$ の開集合であるから境界を持たない連結な $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。 $a>k$ に対して $u'^a|_C$ の微分は、 $C$ の座標ベクトル場が $\partial/\partial t^i$ であることと主張 (1)により $0$ である。よって補題 1.2により $u'^a$ は $C$ の上で定数である。したがって $C$ は $(U',\chi')$ の一枚の板に含まれる。板どうしは交わらないので、その板は一意である。▨

補題 1.4. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とする。 $(U,\chi)$ を $D$ に対する平坦チャート、 $\iota:N\to M$ を $D$ の連結な積分多様体（§E22.8 定義 2.1）で $\iota(N)\subseteq U$ を満たすものとする。このとき $\iota(N)$ は $(U,\chi)$ のただ一枚の板 $P$ に含まれる。さらに $\iota$ を $P$ への写像とみなしたものは単射なはめ込みであり、 $N$ から $P$ の開集合への微分同相を与える。

証明. $a>k$ を取り、 $h=u^a\circ\iota\in C^\infty(N)$ と置く。 $q\in N$ に対して $dh_q=d(u^a)_{\iota(q)}\circ d\iota_q$ であり、 $d\iota_q(T_qN)=D_{\iota(q)}$ は $\partial/\partial t^i$ が張るので $d(u^a)$ はその上で消える。よって $dh_q=0$ であり、補題 1.2により $h$ は定数である。 $a$ は任意であったから、 $\iota(N)$ は一枚の板 $P$ に含まれる。 $P$ が一意であることは、板どうしが交わらないことによる。

$P$ は§E22.8 命題 2.3により $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体であり、そのチャートは $\chi$ の最初の $k$ 座標である。 $\iota$ の $P$ への座標表示は $\chi\circ\iota$ の最初の $k$ 成分であるから $C^\infty$ である。その微分は、 $M$ への $\iota$ の微分が単射であることから単射である。 $\dim N=\dim P=k$ であるから微分は同型であり、§E4.7 定理 2.1と§E22.5 補題 1.1により $\iota:N\to P$ は局所微分同相である。 $\iota$ は単射であるから、 $N$ から開集合 $\iota(N)\subseteq P$ への微分同相である。▨

2 葉の定義と可算性

定義 2.1. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とする。葉層 $\mathcal{F}(D)$ の板の有限列 $P_1,\dots,P_m$ が

P_r\cap P_{r+1}\ne\varnothing\qquad(1\le r\le m-1)

を満たすとき、この列を板の鎖 (chain of plaques) という。 $p,q\in M$ に対して、 $p\sim q$ であるとは、板の鎖 $P_1,\dots,P_m$ であって $p\in P_1$ かつ $q\in P_m$ を満たすものが存在することをいう。

命題 2.2.定義 2.1の関係 $\sim$ は $M$ 上の同値関係である。その同値類を葉層 $\mathcal{F}(D)$ の葉 (leaf) という。

証明. 反射律は、各点が少なくとも一枚の板に属することによる（定義 1.1のとおり平坦チャートの定義域が $M$ を覆い、各点はその点を含む板に属する）。対称律は列を逆順にすることによる。推移律は二つの鎖を連結することによる。▨

補題 2.3. $M$ 、 $D$ を定義 2.1のとおりとし、 $L$ を葉、 $P$ を板とする。 $P\cap L\ne\varnothing$ ならば $P\subseteq L$ である。

証明. $q\in P\cap L$ とする。 $P$ の任意の点 $r$ に対して、長さ $1$ の鎖 $(P)$ が $q$ と $r$ を結ぶので $r\sim q$ であり、 $r\in L$ である。▨

定理 2.4. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とし、 $L$ を葉層 $\mathcal{F}(D)$ の葉とする。

$L$ は高々可算個の板の和集合である。
任意の平坦チャート $(U',\chi')$ に対して、 $L$ と交わる $(U',\chi')$ の板は高々可算個である。

証明. 可算な平坦チャートの族を取る。 $M$ は第二可算（§E2.13 定義 5.1）であるから Lindelöf である（§E2.21 命題 1.6）。平坦チャートの定義域からなる開被覆にこれを適用して、可算な部分族 $\mathcal{C}=\{(U_m,\chi_m)\}_{m\ge1}$ であって $\{U_m\}$ が $M$ を覆うものを取る。

第一段。任意の板の中の二点は、 $\mathcal{C}$ の板の鎖で結ばれる。 $P$ を平坦チャート $(U,\chi)$ の板、 $p,q\in P$ とする。 $P$ は $\chi$ によって $\R^k$ の開直方体と同相であるから弧状連結であり、 $P$ の中の連続な道 $c:[0,1]\to P$ で $c(0)=p$ 、 $c(1)=q$ となるものが存在する。

A=\{s\in[0,1]:\ p\ \text{と}\ c(s)\ \text{が}\ \mathcal{C}\ \text{の板の鎖で結ばれる}\}

と置く。 $0\in A$ である。

$s\in[0,1]$ を取り、 $c(s)\in U_m$ となる $m$ を選ぶ。 $P\cap U_m$ は $P$ の開集合であり、 $P$ は局所連結であるから、 $c(s)$ を含む $P\cap U_m$ の連結成分 $C$ は $P$ の開集合である。補題 1.3 (2)により、 $C$ は $(U_m,\chi_m)$ のただ一枚の板 $Q$ に含まれる。 $c$ は連続であるから、 $s$ を含む $[0,1]$ の相対開集合 $I$ が存在して $c(I)\subseteq C\subseteq Q$ である。 $s'\in I$ に対して、 $c(s)$ と $c(s')$ はともに $Q$ に属するので長さ $1$ の鎖で結ばれる。したがって $s\in A$ ならば $I\subseteq A$ であり、 $s\notin A$ ならば $I\cap A=\varnothing$ である。よって $A$ は $[0,1]$ の開かつ閉な部分集合であり、 $[0,1]$ は連結である（§E2.43 定義 1.1）から $A=[0,1]$ である。とくに $1\in A$ 、すなわち $p$ と $q$ は $\mathcal{C}$ の板の鎖で結ばれる。

したがって、 $p\sim q$ であることと、 $\mathcal{C}$ の板だけを用いた鎖で $p$ と $q$ が結ばれることは同値である。任意の鎖の各板の中で、両端の点を $\mathcal{C}$ の板の鎖に置き換えればよい。

第二段。一枚の板は高々可算個の板としか交わらない。 $P$ を平坦チャート $(U,\chi)$ の板、 $(U',\chi')$ を平坦チャートとする。 $P\cap U'$ は $P$ の開集合である。 $P$ は $\R^k$ の開直方体と微分同相であるから第二可算であり、局所連結である。よって $P\cap U'$ の連結成分は開集合であり、その個数は高々可算である（各成分は $P$ の可算基の元を少なくとも一つ含み、成分どうしは交わらない）。補題 1.3 (2)により、各連結成分は $(U',\chi')$ のただ一枚の板に含まれる。 $P$ と交わる $(U',\chi')$ の板は、 $P\cap U'$ のある連結成分と交わるから、その個数は連結成分の個数以下であり高々可算である。

第三段。主張 (1)を示す。 $p\in L$ を取り、 $p$ を含む $\mathcal{C}$ の板を一つ選んで $P^0$ とする。 $\mathcal{S}_1=\{P^0\}$ とし、 $\mathcal{S}_{r+1}$ を、 $\mathcal{S}_r$ のいずれかの板と交わる $\mathcal{C}$ の板の全体とする。第二段と $\mathcal{C}$ が可算であることから、 $\mathcal{S}_r$ が可算であれば $\mathcal{S}_{r+1}$ も可算である（可算個の可算集合の和集合である）。よって帰納法により各 $\mathcal{S}_r$ は可算であり、 $\mathcal{S}=\bigcup_{r\ge1}\mathcal{S}_r$ も可算である。

$L=\bigcup_{Q\in\mathcal{S}}Q$ を示す。第一段により、 $q\in L$ に対して $p$ と $q$ を結ぶ $\mathcal{C}$ の板の鎖 $Q_1,\dots,Q_N$ が存在する。 $p\in Q_1\cap P^0$ であるから $Q_1\in\mathcal{S}_2$ であり、以下順に $Q_l\in\mathcal{S}_{l+1}$ である。よって $q\in Q_N\subseteq\bigcup_{Q\in\mathcal{S}}Q$ である。逆に $\mathcal{S}$ の各板は $P^0$ から鎖で到達することができるので $L$ に含まれる。

第四段。主張 (2)を示す。 $(U',\chi')$ を平坦チャートとする。主張 (1)により $L=\bigcup_{Q\in\mathcal{S}}Q$ であり、 $L$ と交わる $(U',\chi')$ の板は、ある $Q\in\mathcal{S}$ と交わる。第二段により各 $Q$ と交わる $(U',\chi')$ の板は高々可算であり、 $\mathcal{S}$ は可算であるから、全体としても高々可算である。▨

3 葉の多様体構造

定理 3.1. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とし、 $L$ を葉層 $\mathcal{F}(D)$ の葉とする。 $L$ に含まれる板の全体を基底とする位相を $L$ に入れ、各板 $P$ に§E22.8 命題 2.3の $C^\infty$ 構造を与えると、 $L$ は連結な $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体になり、包含写像 $\iota_L:L\to M$ は単射なはめ込みである。この構造によって $L$ は $D$ の連結な積分多様体であり、 $L$ の点を通る $D$ の任意の連結な積分多様体の像は $L$ に含まれる。

証明. 板が基底をなすこと。補題 2.3により、 $L$ と交わる板は $L$ に含まれる。各点 $q\in L$ はある板に属する。 $q\in P_1\cap P_2$ （ $P_i$ は $L$ に含まれる板、 $(U_i,\chi_i)$ の板）とする。 $q$ の周りの平坦チャート $(U_3,\chi_3)$ を $U_3\subseteq U_1\cap U_2$ となるように取る（§E22.8 定理 4.1のチャートを縮めればよい）。 $q$ を通る $(U_3,\chi_3)$ の板 $P_3$ は連結な積分多様体（§E22.8 命題 2.3）であり $U_1$ に含まれるから、補題 1.4により $(U_1,\chi_1)$ の一枚の板に含まれる。 $q\in P_3$ かつ $q\in P_1$ であるから、その板は $P_1$ である。同様に $P_3\subseteq P_2$ である。よって板の全体は基底の条件を満たす。

Hausdorff 性。 $q\ne q'$ を $L$ の二点とする。 $M$ は Hausdorff（§E2.15 定義 1.2）であるから、交わらない開集合 $V\ni q$ 、 $V'\ni q'$ が $M$ に存在する。 $V$ に含まれる平坦チャートを取り、その $q$ を通る板を $P$ 、同様に $V'$ に含まれる平坦チャートの $q'$ を通る板を $P'$ とすると、 $P\cap P'=\varnothing$ であり、両者は $L$ の開集合である。

第二可算性。定理 2.4 (1)により $L$ は高々可算個の板の和集合である。各板は $L$ の開集合であり、 $\R^k$ の開直方体と同相であるから第二可算である。可算個の第二可算な開部分空間の和集合は第二可算であるから、 $L$ は第二可算である。

チャートの両立。 $P$ を $(U,\chi)$ の板、 $P'$ を $(U',\chi')$ の板とし、 $P\cap P'\ne\varnothing$ とする。板のチャートは $\chi$ と $\chi'$ の最初の $k$ 座標であるから、座標変換は $\chi'\circ\chi^{-1}$ の最初の $k$ 成分を、後半の座標を定数に固定して制限したものである。 $\chi'\circ\chi^{-1}$ は $C^\infty$ であるから、この制限も $C^\infty$ である。逆向きも同様であるから、二つのチャートは両立する。

以上により $L$ は $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。連結性は、 $L$ の任意の二点が板の鎖で結ばれ、各板が連結であることから従う。

包含写像。 $\iota_L$ の板 $P$ 上での座標表示は $(t^1,\dots,t^k)\mapsto(t^1,\dots,t^k,c)$ であるから $C^\infty$ であり、微分は単射である。 $\iota_L$ は包含写像であるから単射である。よって $\iota_L$ は単射なはめ込みであり、§E22.5 定義 4.4の意味で $L$ ははめ込み部分多様体である。 $T_qL$ の像は $\partial/\partial t^i$ が張る空間、すなわち $D_q$ であるから、 $L$ は $D$ の積分多様体である。

極大性。 $\iota:N\to M$ を $D$ の連結な積分多様体とし、 $\iota(N)\cap L\ne\varnothing$ とする。 $q_0\in N$ を $\iota(q_0)\in L$ となるように取り、 $q\in N$ を任意に取る。 $N$ は連結な多様体であるから弧状連結であり、 $q_0$ から $q$ への連続な道 $c:[0,1]\to N$ が存在する。

A=\{s\in[0,1]:\ \iota(c(s))\sim\iota(q_0)\}

と置く。 $0\in A$ である。

$s\in[0,1]$ を取り、 $\iota(c(s))$ の周りの平坦チャート $(U,\chi)$ を取る。 $\iota^{-1}(U)$ は $N$ の開集合であり、 $N$ は局所連結であるから、 $c(s)$ を含む連結成分 $C$ は開集合である。 $\iota|_C$ は連結な積分多様体であり像が $U$ に含まれるから、補題 1.4により $\iota(C)$ は一枚の板 $P$ に含まれる。 $c$ は連続であるから、 $s$ を含む $[0,1]$ の相対開集合 $I$ で $c(I)\subseteq C$ となるものが存在する。 $s'\in I$ に対して $\iota(c(s))$ と $\iota(c(s'))$ はともに $P$ に属するので $\iota(c(s))\sim\iota(c(s'))$ である。したがって $s\in A$ ならば $I\subseteq A$ であり、 $s\notin A$ ならば $I\cap A=\varnothing$ である。よって $A$ は $[0,1]$ の開かつ閉な部分集合であり、 $[0,1]$ は連結であるから $A=[0,1]$ である。とくに $\iota(q)=\iota(c(1))\sim\iota(q_0)$ であり $\iota(q)\in L$ である。よって $\iota(N)\subseteq L$ である。▨

系 3.2. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とし、 $L$ を葉層 $\mathcal{F}(D)$ の葉とする。 $\iota:N\to M$ を $D$ の連結な積分多様体で $\iota(N)\subseteq L$ を満たすものとする。このとき $\iota(N)$ は $L$ の開集合であり、 $\iota:N\to L$ は $N$ から $\iota(N)$ への微分同相である。

証明. $q\in N$ を取り、 $\iota(q)$ の周りの平坦チャート $(U,\chi)$ を取る。 $\iota^{-1}(U)$ は $N$ の開集合であり、 $N$ は局所連結であるから、 $q$ を含む連結成分 $C$ は開集合である。 $\iota|_C$ は連結な積分多様体であり像が $U$ に含まれるから、補題 1.4により一枚の板 $P$ の開集合への微分同相を与える。 $P$ は $L$ と交わるので補題 2.3により $L$ に含まれ、 $L$ の開集合である。したがって $\iota(C)$ は $L$ の開集合であり、 $\iota(N)$ はこれらの和集合として $L$ の開集合である。また $\iota|_C$ は $L$ のチャートに関して $C$ からの微分同相であるから、 $\iota:N\to L$ は局所微分同相であり、単射であるから $\iota(N)$ への微分同相である。▨

定理 3.3. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とし、 $L$ を葉層 $\mathcal{F}(D)$ の葉とする。 $L$ の上の位相 $\mathcal{T}$ と $C^\infty$ 構造 $\mathcal{A}$ が、 $(L,\mathcal{T},\mathcal{A})$ を連結な $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体にし、包含写像を単射なはめ込みかつ $D$ の積分多様体にするならば、 $\mathcal{T}$ と $\mathcal{A}$ は定理 3.1で構成したものに一致する。

証明. $N=(L,\mathcal{T},\mathcal{A})$ と書き、 $\iota:N\to M$ を包含写像とする。

$L$ に含まれる各板は $N$ の開集合であり、 $N$ から誘導される $C^\infty$ 構造は板の構造に一致する。 $P$ を $L$ に含まれる板、 $(U,\chi)$ をその平坦チャートとする。 $\iota^{-1}(U)$ は $N$ の開集合であり、 $N$ は局所連結であるから、その連結成分は開集合である。各連結成分 $C$ は連結な積分多様体であり像が $U$ に含まれるから、補題 1.4により一枚の板 $P_C$ の開集合への微分同相を与える。 $P_C=P$ となる成分 $C$ を集めると、対応する $\iota(C)$ は互いに交わらず（成分が交わらず $\iota$ が単射である）、いずれも $P$ の開集合であり、和集合は $P$ に等しい。実際、 $P\subseteq L$ の各点は $\iota$ の像であり、その原像が属する連結成分 $C$ について $P_C$ はその点を含む板、すなわち $P$ である。 $P$ は連結であるから、そのような成分はちょうど一つであり、 $\iota|_C:C\to P$ は微分同相である。とくに $P=\iota(C)$ は $N$ の開集合である。

板は $\mathcal{T}$ の基底をなす。 $W\in\mathcal{T}$ 、 $q\in W$ とする。 $\iota(q)$ の周りの平坦チャート $(U,\chi)$ を取り、 $q$ を含む $\iota^{-1}(U)$ の連結成分を $C$ 、対応する板を $P$ とすると、上により $\iota|_C:C\to P$ は微分同相である。 $C\cap W$ は $C$ の開集合であるから $\iota(C\cap W)$ は $P$ の開集合であり、 $P$ の位相は $M$ からの相対位相であるから、 $M$ の開集合 $V\ni\iota(q)$ が存在して $P\cap V\subseteq\iota(C\cap W)$ である。 $\iota(q)$ の周りの平坦チャート $(U',\chi')$ を $U'\subseteq U\cap V$ となるように取り、 $\iota(q)$ を通るその板を $P'$ とする。 $P'$ は連結な積分多様体であり $U$ に含まれるから、補題 1.4により $(U,\chi)$ の一枚の板に含まれ、 $\iota(q)$ を含むことからその板は $P$ である。よって $P'\subseteq P\cap U'\subseteq P\cap V\subseteq\iota(C\cap W)\subseteq\iota(W)$ である。 $P'$ は $L$ と交わるので $L$ に含まれ、前段により $N$ の開集合である。したがって $W$ は板の和集合である。

以上により $\mathcal{T}$ は $L$ に含まれる板が生成する位相であり、定理 3.1の位相に一致する。さらに各板の上で $\mathcal{A}$ から誘導される $C^\infty$ 構造は板の構造に一致するので、 $\mathcal{A}$ も定理 3.1の構造に一致する。▨

4 円環面上の線形葉層

以下の二つの例では、円周 $S^1=\{z\in\C:|z|=1\}$ を $\R^2=\C$ の部分多様体として扱う。 $|z|=1$ という条件は $\R^2$ に固定した多項式の条件であって、円周そのものに計量を与えたものではない。

補題 4.1.§E22.5 補題 2.3の写像を $E:\R\to S^1$ 、 $E(u)=(\cos2\pi u,\ \sin2\pi u)$ と書く。このとき $E$ は全射であり、 $E(u)=E(u')$ であることと $u-u'\in\Z$ であることは同値である。

証明. $S^1$ の各点はある $\theta\in\R$ によって $(\cos\theta,\sin\theta)$ と表すことができるので、その点は $E(\theta/(2\pi))$ に等しい。よって $E$ は全射である。また、三角関数の周期性により、 $E(u)=E(u')$ であることと $2\pi(u-u')\in2\pi\Z$ であることは同値である。これは $u-u'\in\Z$ と同値である。▨

例 4.2. $T^2=S^1\times S^1$ を積多様体（§E22.1 命題 7.3）とし、 $\alpha$ を無理数とする。 $\Pi:\R^2\to T^2$ を $\Pi(u,v)=(E(u),E(v))$ とすると、§E22.5 補題 2.3により $\Pi$ は局所微分同相である。 $\Pi$ の局所逆写像が定めるチャートを取ると、二つのチャートの座標変換は整数ベクトルによる平行移動である。したがって $\R^2$ 上の定数ベクトル場 $\partial/\partial u+\alpha\,\partial/\partial v$ は $T^2$ 上の $C^\infty$ ベクトル場 $X$ を定める。 $X$ は至るところ消えないので、 $D_q=\operatorname{span}\{X_q\}$ は階数 $1$ の $C^\infty$ 分布であり、§E22.8 例 5.1により対合的である。これが定める葉層を考える。

$X$ の流れ。局所座標で $\varphi_t(u,v)=(u+t,v+\alpha t)$ であるから、 $T^2$ の上では

\varphi_t\bigl(E(u),E(v)\bigr)=\bigl(E(u+t),\ E(v+\alpha t)\bigr)

である。右辺は $\R$ 全体で定義されるので $X$ は完備である。

各軌道は単射なはめ込みの像である。 $q_0=(E(u_0),E(v_0))\in T^2$ を取る。 $t\mapsto\varphi_t(q_0)$ が単射であることを示す。 $\varphi_t(q_0)=\varphi_s(q_0)$ とすると、補題 4.1により $t-s\in\Z$ かつ $\alpha(t-s)\in\Z$ である。 $t-s=m$ （ $m$ は整数）と置くと $\alpha m\in\Z$ であり、 $\alpha$ は無理数であるから $m=0$ 、すなわち $t=s$ である。この事実は初期点 $q_0$ に依らない。速度ベクトルは $X_{\varphi_t(q_0)}\ne0$ であるから、 $t\mapsto\varphi_t(q_0)$ は単射なはめ込みであり、その像は $D$ の連結な積分多様体である。

葉は流れの軌道である。軌道 $\{\varphi_t(q):t\in\R\}$ は上により連結な積分多様体の像であり、軌道は $T^2$ を分割する。系 3.2により各軌道は、それを含む葉の開集合である。一つの葉は、それに含まれる軌道たちの交わらない開集合による和集合であり、葉は連結であるから、葉はちょうど一つの軌道である。

点 $(E(0),E(0))$ を通る葉。この葉は

\gamma(t)=\bigl(E(t),\ E(\alpha t)\bigr)\qquad(t\in\R)

の像である（前段の $q_0=(E(0),E(0))$ の場合である）。§E22.5 例 2.4により、 $\gamma$ は単射なはめ込みであるが像への同相写像ではなく、像は $T^2$ で稠密である。

葉は埋め込み部分多様体でない。定理 3.1と系 3.2により、 $\gamma$ は $\R$ から葉 $L$ への微分同相である。仮に $L$ が $T^2$ の埋め込み部分多様体であれば、 $L$ の多様体としての位相は $T^2$ からの相対位相であり、包含写像は像への同相写像である。すると $\gamma$ も像への同相写像になり、§E22.5 例 2.4に反する。したがって $L$ は埋め込み部分多様体でなく、はめ込み部分多様体にとどまる。

板との関係。 $L$ は $T^2$ で稠密であるから、どの平坦チャートの定義域とも交わり、その中で無限個の板と交わる。定理 2.4により、その個数は高々可算である。これを具体的に確かめる。 $\Pi$ の局所逆写像が定めるチャートの座標を $(u,v)$ とすると、 $D$ は $\partial/\partial u+\alpha\,\partial/\partial v$ が張るので、座標を $(t,w)=(u,\ v-\alpha u)$ へ取り替えると $D$ は $\partial/\partial t$ が張る。この座標変換は線形同型であるが、もとのチャートの像が開直方体であっても新しい座標での像は平行四辺形になるので、そのままでは§E22.8 定義 2.2で要求される開直方体の条件を満たさない。そこで、新しい座標での像に含まれる開直方体を一つ取り、その逆像へ定義域を縮める。こうして得た平坦チャートを $(U,\chi)$ とすると、 $L\cap U$ の板は $w=v-\alpha u$ の値が $\{m-\alpha l:l,m\in\Z\}$ の元であるものに対応し、この集合は可算無限である。

5 充実トーラス上の Reeb 成分

充実トーラス $\mathbb{T}=D^2\times S^1$ （ $D^2=\{(x,y)\in\R^2:x^2+y^2\le1\}$ ）は境界を持つ対象であり、本記事のここまでの枠組み（境界を持たない多様体）の外にある。以下では $\mathbb{T}$ を具体的な対象として扱い、内部 $\mathring{\mathbb{T}}=\mathring{D^2}\times S^1$ （ $\mathring{D^2}=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ ）における葉層を本記事の枠組みで構成する。さらに、分布を境界まで滑らかに延長し、境界点の半空間型の平坦チャートを直接構成して、境界 $\partial D^2\times S^1=S^1\times S^1$ が一枚の極大なコンパクト葉になることを示す。

例 5.1. $f:\mathring{D^2}\to\R$ を

f(x,y)=\exp\left(\frac{1}{1-x^2-y^2}\right)

で定める。 $1-x^2-y^2>0$ であるから $f$ は $\mathring{D^2}$ 上で $C^\infty$ であり、 $x^2+y^2\to1$ のとき $f\to+\infty$ である。

分布を定める。 $\mathring{\mathbb{T}}=\mathring{D^2}\times S^1$ は境界を持たない $3$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。§E22.5 補題 2.3の $E$ の局所逆写像を $s$ と書くと、 $\partial/\partial s$ は局所座標のとり方に依らず定まる $S^1$ 上の $C^\infty$ ベクトル場である（二つの局所逆写像は定数だけ異なる）。これを $\mathring{\mathbb{T}}$ 上のベクトル場と見て $T$ と書く。

Z_1=\frac{\partial}{\partial x}+f_x\,T,\qquad Z_2=\frac{\partial}{\partial y}+f_y\,T

と定める（ $f_x=\partial f/\partial x$ 、 $f_y=\partial f/\partial y$ ）。 $Z_1$ と $Z_2$ は $C^\infty$ であり、 $\mathring{D^2}$ 方向の成分がそれぞれ $\partial/\partial x$ 、 $\partial/\partial y$ であるから各点で一次独立である。 $D=\operatorname{span}\{Z_1,Z_2\}$ は階数 $2$ の $C^\infty$ 分布である。

対合性。局所座標 $(x,y,s)$ では $T=\partial/\partial s$ であり、 $Z_1$ の成分は $(1,0,f_x)$ 、 $Z_2$ の成分は $(0,1,f_y)$ である。§E22.7 命題 1.3により、 $[Z_1,Z_2]$ の第一成分と第二成分は、 $Z_1$ と $Z_2$ の第一・第二成分が定数であることから $0$ である。第三成分は

\left(1\cdot\frac{\partial f_y}{\partial x}+0\cdot\frac{\partial f_y}{\partial y}+f_x\frac{\partial f_y}{\partial s}\right) -\left(0\cdot\frac{\partial f_x}{\partial x}+1\cdot\frac{\partial f_x}{\partial y}+f_y\frac{\partial f_x}{\partial s}\right) =\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}-\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}=0

である（ $f$ は $s$ に依らないので $\partial f_x/\partial s=\partial f_y/\partial s=0$ であり、二階偏導関数の対称性は§E4.4 定理 2.1による）。よって $[Z_1,Z_2]=0$ であり $D$ は対合的である。§E22.8 定理 4.1により $D$ は葉層を定める。

葉を同定する。 $\lambda\in S^1$ を取り、 $\lambda=E(\mu)$ とする。写像

\Lambda_\mu:\mathring{D^2}\to\mathring{\mathbb{T}},\qquad \Lambda_\mu(x,y)=\bigl((x,y),\ E(f(x,y)+\mu)\bigr)

は $C^\infty$ 写像の合成であるから $C^\infty$ であり、第一成分を見れば単射である。局所座標 $(x,y,s)$ での表示は $(x,y)\mapsto(x,y,f(x,y)+\mu)$ であるから、微分は単射であり、像の接空間は $(1,0,f_x)$ と $(0,1,f_y)$ が張る空間、すなわち $D$ である。よって $\Lambda_\mu$ の像は連結な積分多様体である。

$\mu$ を $[0,1)$ の範囲で動かすと、これらの像は $\mathring{\mathbb{T}}$ を分割する。実際、 $((x,y),w)\in\mathring{\mathbb{T}}$ に対して $w=E(\nu)$ となる $\nu$ を取ると、 $\mu\equiv\nu-f(x,y)$ （ $\bmod\ 1$ ）がただ一つ定まる。系 3.2により各像はそれを含む葉の開集合であり、葉は連結であるから、葉はちょうど一つの像に一致する。すなわち $\mathring{\mathbb{T}}$ の葉は $L_\mu=\Lambda_\mu(\mathring{D^2})$ （ $\mu\in[0,1)$ ）である。

葉の微分同相型。 $\Lambda_\mu$ は $\mathring{D^2}$ から $L_\mu$ への微分同相である（系 3.2）。さらに

\Psi:\mathring{D^2}\to\R^2,\qquad \Psi(x,y)=\frac{(x,y)}{\sqrt{1-x^2-y^2}}

は $C^\infty$ であり、逆写像 $\Psi^{-1}(a,b)=\dfrac{(a,b)}{\sqrt{1+a^2+b^2}}$ も $C^\infty$ であるから微分同相である。よってすべての葉 $L_\mu$ は $\R^2$ と微分同相であり、コンパクトでない。

葉の閉包は境界の円環面を含む。 $(q,w)\in\partial D^2\times S^1$ を取り、 $q\in\partial D^2$ 、 $w=E(\nu)$ とする。 $\mu$ を固定する。 $t\in[0,1)$ に対して $p_t=tq\in\mathring{D^2}$ と置くと

f(p_t)=\exp\left(\frac{1}{1-t^2}\right)

であり、 $t$ について連続かつ狭義単調増加で、 $t\to1^-$ のとき $+\infty$ へ発散する。したがって十分大きいすべての整数 $m$ に対して、中間値の定理により $f(p_{t_m})+\mu-\nu=m$ を満たす $t_m\in[0,1)$ が存在し、 $m\to\infty$ のとき $t_m\to1$ である。このとき

\Lambda_\mu(p_{t_m})=\bigl(p_{t_m},\ E(f(p_{t_m})+\mu)\bigr)=\bigl(t_mq,\ E(\nu+m)\bigr)=(t_mq,\ w)

であり、 $m\to\infty$ で $(q,w)$ へ収束する。よって $(q,w)\in\overline{L_\mu}$ である。 $(q,w)$ は任意であったから、各葉の閉包は境界の円環面 $\partial D^2\times S^1$ を含む。

分布を境界まで延長する。境界の近傍では極座標 $(r,\theta)$ を用いる。 $1/2<r<1$ とすると

\frac{\partial f}{\partial r} =\frac{2r}{(1-r^2)^2}\exp\left(\frac{1}{1-r^2}\right)>0

である。この近傍で

h(r)=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1} =\frac{(1-r^2)^2}{2r}\exp\left(-\frac{1}{1-r^2}\right)

と置き、 $h(1)=0$ と定める。 $u=1-r^2$ と置く。関数 $\eta(u)=e^{-1/u}$ （ $u>0$ ）、 $\eta(u)=0$ （ $u\le0$ ）は、§E22.2 補題 1.2により原点で平坦である。したがって、 $r=1$ の近傍で

\widetilde h(r)=\frac{(1-r^2)^2}{2r}\,\eta(1-r^2)

と置くと、 $\widetilde h$ は $C^\infty$ であり、 $r<1$ では $h$ に一致し、 $r\ge1$ では $0$ である。よって、以下では $h$ をこの $C^\infty$ 延長の意味で用いる。とくに、 $h$ のすべての導関数は $r=1$ で $0$ になる。

$A=\partial/\partial\theta$ とし、 $1/2<r\le1$ の範囲で

B=T+h(r)\frac{\partial}{\partial r}

と置く。内部では

\operatorname{span}\left\{\frac{\partial}{\partial\theta}, \frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial r}T\right\} =\operatorname{span}\{A,B\}=D

である。 $A$ と $B$ は境界まで $C^\infty$ であり、 $r=1$ でも $A=\partial/\partial\theta$ 、 $B=T$ は一次独立である。したがって、内部の $D$ は境界まで階数 $2$ の $C^\infty$ 分布 $\widetilde D$ に延長し、境界では

\widetilde D_{(q,w)}=T_{(q,w)}(\partial D^2\times S^1)

となる。また、 $h$ は $\theta$ と $s$ に依らないので $[A,B]=0$ であり、延長した分布は境界を含む近傍でも対合的である。

境界点の半空間型の平坦チャートを構成する。 $V=h(r)\,\partial/\partial r$ とし、その局所流を $\phi_\sigma(r)$ と書く。上で構成した $h$ を $1$ の両側で用いる。通常の常微分方程式の滑らかな依存性により、 $\phi_\sigma(r)$ は $(\sigma,r)$ の $C^\infty$ 関数であり、 $\phi_\sigma(1)=1$ である。また変分方程式から

\frac{\partial\phi_\sigma}{\partial r}(r) =\exp\left(\int_0^\sigma h'\bigl(\phi_t(r)\bigr)\,dt\right)>0

を得る。

境界点 $((\cos\theta_0,\sin\theta_0),E(s_0))$ を固定する。 $a$ 、 $\sigma$ 、 $\tau$ を十分小さく取り、 $\tau\ge0$ として

Q(a,\sigma,\tau)= \left( \phi_\sigma(1-\tau)(\cos(\theta_0+a),\sin(\theta_0+a)), E(s_0+\sigma) \right)

と定める。 $Q$ の三つの座標方向の微分は、それぞれ $A$ 、 $B$ 、および $A$ と $B$ の張る平面に属さない零でない動径方向のベクトルである。したがって、 $Q$ を $\tau\ge0$ に制限した写像は、十分小さい半直方体から境界点の相対開近傍への $C^\infty$ 微分同相になる。その逆写像を $(a,\sigma,\tau)$ と書くと

\widetilde D=\operatorname{span}\left\{\frac{\partial}{\partial a}, \frac{\partial}{\partial\sigma}\right\}, \qquad \partial D^2\times S^1=\{\tau=0\}

である。これは境界点における半空間型の平坦チャートである。

境界の円環面が極大な葉であることを示す。 $N=\partial D^2\times S^1$ は連結であり、各点で $T_qN=\widetilde D_q$ であるから、 $N$ は連結な積分多様体である。 $P$ を $\widetilde D$ の連結な積分多様体とし、 $P$ が $N$ と交わるとする。上の半空間型の平坦チャートでは、 $d\tau$ は $\widetilde D$ 上で消える。したがって、 $P$ 上の関数 $\tau|_P$ は $P\cap N$ の各点の近傍で定数 $0$ であり、 $P\cap N$ は $P$ の開集合である。一方、 $N$ は $\mathbb{T}$ の閉集合であるから $P\cap N$ は $P$ の閉集合でもある。 $P$ の連結性から $P\subseteq N$ を得る。よって $N$ はそれより大きい連結な積分多様体に含まれず、 $\widetilde D$ の一枚の極大な葉である。 $N\cong S^1\times S^1$ はコンパクトである。

Reeb 成分。以上により、 $\mathbb{T}=D^2\times S^1$ の分割

\mathcal{R}=\{L_\mu:\mu\in[0,1)\}\cup\{\partial D^2\times S^1\}

が得られる。内部の成分はいずれも $\R^2$ と微分同相な非コンパクトな葉である。境界の成分は $S^1\times S^1$ と微分同相な一枚のコンパクト葉である。内部では既に $L_\mu$ が極大な葉であり、境界と交わる連結な積分多様体は境界に含まれるので、延長によって異なる $L_\mu$ が結合することもない。したがって $\mathcal{R}$ は $\widetilde D$ の葉全体である。この葉層を充実トーラス上の Reeb 成分 (Reeb component) という。

注意 5.2 (進まない範囲). Reeb 成分は、葉層に非コンパクトな葉とコンパクトな葉が同居する典型的な例である。三次元球面上の Reeb 葉層は、球面を二つの充実トーラスへ分ける分解を用いて二つの Reeb 成分を貼り合わせて作るが、その分解は本単元で扱わないので構成しない。

6 境界

葉の位相。葉は $M$ のはめ込み部分多様体であり、その位相は一般に $M$ からの相対位相より真に細かい。例 4.2の葉は $M$ で稠密であり、相対位相では $1$ 次元多様体にならない。定理 3.3により、葉 $L$ を連結な $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体にし、包含写像を単射なはめ込みかつ $D$ の積分多様体にする位相と $C^\infty$ 構造は一つしかない。そのため、「葉の位相」という言い方は曖昧さを持たない。

境界を持つ場合。例 5.1は境界を持つ対象を扱う唯一の箇所である。本記事では、境界を持つ多様体の一般論を先取りせず、Reeb 成分に必要な半空間型の平坦チャートだけを具体的に構成した。

微分形式による定式化。例 5.1の分布は、内部では局所的に $ds-df$ の零点集合である。境界を含む極座標の近傍では、滑らかに延長した $1$ 形式 $dr-h(r)\,ds$ の零点集合として同じ分布を表すことができる。

7 演習

問題 7.1.

補題 1.3 (1)の逆を示せ。すなわち、 $(U',\chi')$ を $\chi'(U')$ が $\R^n$ の開直方体である $M$ のチャートとし、その座標を $(t'^1,\dots,t'^k,u'^{k+1},\dots,u'^n)$ と書く。 $D$ に対する任意の平坦チャート $(U,\chi)$ （座標 $(t^1,\dots,t^k,u^{k+1},\dots,u^n)$ ）について、 $U\cap U'$ の上で $\partial u'^a/\partial t^i=0$ （ $1\le i\le k$ 、 $k+1\le a\le n$ ）が成り立つとする。このとき $(U',\chi')$ は $D$ に対する平坦チャートであることを示せ。
連続写像 $c\colon[0,1]\to M$ が $D$ に接する区分的 $C^\infty$ 曲線であるとは、分割 $0=s_0<s_1<\dots<s_N=1$ と、各 $j$ について $[s_{j-1},s_j]$ を含む開区間 $J_j$ 上の $C^\infty$ 曲線 $c_j\colon J_j\to M$ が存在して、 $c_j$ の $[s_{j-1},s_j]$ への制限が $c$ の制限に一致し、すべての $s\in[s_{j-1},s_j]$ で $c_j'(s)=d(c_j)_s(d/ds)\in D_{c(s)}$ が成り立つことをいう。 $p,q\in M$ について、 $p\sim q$ （定義 2.1）であることと、 $c(0)=p$ 、 $c(1)=q$ を満たす $D$ に接する区分的 $C^\infty$ 曲線 $c$ が存在することは同値であることを示せ。
定理 2.4の第二段は $P$ が第二可算であることだけを使い、 $M$ の第二可算性は可算な族 $\mathcal{C}$ を取る段で使う。 $M$ を、Hausdorff で $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスを持つが第二可算とは限らない空間（§E22.1 命題 3.3の型）とし、分布・平坦チャート・板・葉と葉の位相を同じ定義で考える。葉 $L$ が一つの平坦チャートの非可算個の板と交わるならば、 $L$ は葉の位相で第二可算でなく、 $L$ を含む $M$ の連結成分も第二可算でないことを示せ。とくに $M=\R^2\times\R_d$ 、 $D=\operatorname{span}\{\partial/\partial x\}$ ではこの現象が起きないことを確かめよ。
定理 3.1の葉 $L$ について、 $M$ の任意の開集合 $V$ に対して $V\cap L$ が $L$ の開集合であること、すなわち $L$ の位相が $M$ からの相対位相より細かいことを示せ。さらに、例 4.2の点 $(E(0),E(0))$ を通る葉 $L$ について、 $L$ に含まれる板はどれも相対位相の開集合でないことを示し、 $L$ の位相と相対位相が一致しないことを結論せよ。
定理 3.3で、 $(L,\mathcal{T},\mathcal{A})$ が連結であるという仮定を除いても同じ結論が成り立つことを示せ。さらに、包含写像が単射なはめ込みかつ $D$ の積分多様体であるという仮定を、包含写像が単射な $C^\infty$ 写像であってすべての $q\in L$ で $d\iota_q(T_qL)\subseteq D_q$ を満たすという仮定に弱めると、 $C^\infty$ 構造が一意でないことを、 $M=\R^2$ 、 $D=\operatorname{span}\{\partial/\partial x\}$ 、 $L=\R\times\{0\}$ の場合の例で示せ。
例 4.2で $\alpha$ を有理数 $p/q$ （既約分数）に取り替えると、葉はどのような対象になるかを決定し、そのとき葉が埋め込み部分多様体になることを示せ。
例 5.1の $f$ を $f(x,y)=\dfrac{1}{1-x^2-y^2}$ に取り替えたとき、 $h=(\partial f/\partial r)^{-1}$ が $r=1$ まで滑らかに延長することを確かめよ。さらに、内部葉の閉包と境界葉に関する結論が同じように成立することを示せ。最後に、 $f$ を定数関数 $0$ に取り替えると、各内部葉の閉包と境界の円環面の共通部分は一つの円周であり、閉包は円環面を含まないことを示せ。一方、有界な関数 $f(x,y)=\sin\bigl(1/(1-x^2-y^2)\bigr)$ に取り替えた場合には、各内部葉の閉包が境界の円環面を含むことを示せ。

解答.

(1)を示す。 $q\in U'$ を取る。§E22.8 定理 4.1により、 $q$ を含む $D$ の平坦チャート $(U,\chi)$ 、 $\chi=(t^1,\dots,t^k,u^{k+1},\dots,u^n)$ が存在する。 $1\le i\le k$ とする。§E22.3 定理 3.3を $T_qM$ の元 $\partial/\partial t^i|_q$ とチャート $(U',\chi')$ に適用すると

\frac{\partial}{\partial t^i}\Big|_q=\sum_{j=1}^{k}\frac{\partial t'^j}{\partial t^i}(q)\,\frac{\partial}{\partial t'^j}\Big|_q+\sum_{a=k+1}^{n}\frac{\partial u'^a}{\partial t^i}(q)\,\frac{\partial}{\partial u'^a}\Big|_q

D_q\subseteq\operatorname{span}\left\{\frac{\partial}{\partial t'^1}\Big|_q,\dots,\frac{\partial}{\partial t'^k}\Big|_q\right\}

が成り立つ。右辺の $k$ 個のベクトルは§E22.3 定理 3.3の基底の一部であるから一次独立であり、右辺は $k$ 次元である。 $D_q$ も $k$ 次元であるから、両辺は等しい。 $q\in U'$ は任意であり、 $\chi'(U')$ は開直方体であるから、§E22.8 定義 2.2により $(U',\chi')$ は $D$ に対する平坦チャートである。

(2)を示す。まず、 $p\sim q$ ならば $D$ に接する区分的 $C^\infty$ 曲線で $p$ と $q$ を結ぶものが存在することを示す。板の鎖 $P_1,\dots,P_m$ で $p\in P_1$ 、 $q\in P_m$ を満たすものを取り、 $x_0=p$ 、 $x_m=q$ と置き、 $1\le r\le m-1$ について $x_r\in P_r\cap P_{r+1}$ を選ぶ。 $x_{r-1}$ と $x_r$ はともに $P_r$ に属する。 $P_r$ を板に持つ平坦チャートを $(U_r,\chi_r)$ とし、 $\chi_r(U_r)=I_1\times\dots\times I_n$ 、 $\chi_r(P_r)=I_1\times\dots\times I_k\times\{b_r\}$ と書き、 $\chi_r(x_{r-1})=(a_r,b_r)$ 、 $\chi_r(x_r)=(a_r',b_r)$ （ $a_r,a_r'\in I_1\times\dots\times I_k$ ）とする。開直方体 $I_1\times\dots\times I_k$ は凸であるから、 $\sigma\in[0,1]$ に対して $(1-\sigma)a_r+\sigma a_r'$ はこの開直方体に属する。集合 $\{\sigma\in\R:(1-\sigma)a_r+\sigma a_r'\in I_1\times\dots\times I_k\}$ は $[0,1]$ を含む開集合であり、 $0$ と $1$ のそれぞれの近傍を含むので、ある $\varepsilon>0$ について区間 $(-\varepsilon,1+\varepsilon)$ を含む。そこで

\gamma_r(\sigma)=\chi_r^{-1}\bigl((1-\sigma)a_r+\sigma a_r',\ b_r\bigr)\qquad(-\varepsilon<\sigma<1+\varepsilon)

と置くと、 $\gamma_r$ は $C^\infty$ であり、 $\gamma_r(0)=x_{r-1}$ 、 $\gamma_r(1)=x_r$ である。 $\gamma_r$ の座標表示の導関数は $(a_r'-a_r,0)$ であるから、 $\gamma_r'(\sigma)=\sum_{i=1}^{k}(a_r'^{\,i}-a_r^{\,i})\,\partial/\partial t^i|_{\gamma_r(\sigma)}$ であり、 $\chi_r$ が平坦チャートであることから $\gamma_r'(\sigma)\in D_{\gamma_r(\sigma)}$ である。 $s_r=r/m$ と置き、 $s\in[s_{r-1},s_r]$ に対して $c(s)=\gamma_r(ms-r+1)$ と定める。 $\gamma_r(1)=x_r=\gamma_{r+1}(0)$ であるから $c$ は分点で矛盾なく定まり、連続である。 $c_r(s)=\gamma_r(ms-r+1)$ は $[s_{r-1},s_r]$ を含む開区間で定義された $C^\infty$ 曲線であり、§E22.3 定理 5.3により $c_r'(s)=m\,\gamma_r'(ms-r+1)\in D_{c(s)}$ である。よって $c$ は $D$ に接する区分的 $C^\infty$ 曲線であり、 $c(0)=p$ 、 $c(1)=q$ を満たす。

逆に、 $c$ を $D$ に接する区分的 $C^\infty$ 曲線とし、分割 $s_0<\dots<s_N$ と曲線 $c_j$ を定義のとおりに取る。 $c(0)=p$ とし、

A=\{s\in[0,1]:\ c(s)\sim p\}

と置く。 $0\in A$ である。 $s\in[0,1]$ を取り、§E22.8 定理 4.1により $c(s)$ を含む平坦チャート $(U,\chi)$ 、 $\chi=(t^1,\dots,t^k,u^{k+1},\dots,u^n)$ を取る。 $c^{-1}(U)$ は $s$ を含む $[0,1]$ の相対開集合であるから、 $s$ を含む $[0,1]$ の相対開区間 $I$ で $c(I)\subseteq U$ を満たすものが存在する。 $a>k$ を取り、 $g=u^a\circ c$ を $I$ の上の関数とする。各 $j$ について $I_j=I\cap(s_{j-1},s_j)$ と置く。 $\sigma\in I_j$ では $c=c_j$ であり、§E22.3 定理 5.3により $g'(\sigma)=d(u^a)\bigl(c_j'(\sigma)\bigr)=c_j'(\sigma)u^a$ である。 $c_j'(\sigma)\in D_{c(\sigma)}$ は $\partial/\partial t^1,\dots,\partial/\partial t^k$ の $c(\sigma)$ における値の一次結合であり、 $\partial u^a/\partial t^i=0$ であるから $g'(\sigma)=0$ である。 $I_j$ が空でなければ $I_j$ は開区間であるから、§E4.3 系 2.3により $g$ は $I_j$ の上で定数であり、 $g$ は連続であるから $I\cap[s_{j-1},s_j]$ の上で定数である。隣り合う $I\cap[s_{j-1},s_j]$ と $I\cap[s_j,s_{j+1}]$ は、ともに空でなければ点 $s_j$ を共有するので、 $g$ は $I$ の上で定数である。 $a>k$ は任意であったから、 $c(I)$ は板 $\{x\in U:\ u^a(x)=u^a(c(s))\ (k<a\le n)\}$ に含まれる。したがって $s'\in I$ に対して $c(s)$ と $c(s')$ は長さ $1$ の鎖で結ばれ、 $c(s)\sim c(s')$ である。よって、 $s\in A$ ならば $I\subseteq A$ であり、 $s\notin A$ ならば $I\cap A=\varnothing$ である。 $A$ は $[0,1]$ の開かつ閉な部分集合であり、 $[0,1]$ は連結である（§E2.43 定義 1.1）から $A=[0,1]$ である。とくに $c(1)\sim p$ である。

(3)を示す。定義 2.1、命題 2.2、補題 2.3は、定義と証明に第二可算性を用いないので、この $M$ についてもそのまま用いる。葉の位相は定理 3.1と同じく $L$ に含まれる板が生成する位相とする。 $L$ を葉、 $(U,\chi)$ を平坦チャートとし、 $L$ と交わる $(U,\chi)$ の板の全体 $\mathcal{P}$ が非可算であるとする。

第一に、 $L$ が葉の位相で第二可算でないことを示す。 $\mathcal{P}$ の各板は補題 2.3により $L$ に含まれ、葉の位相を生成する集合の一つであるから $L$ の空でない開集合である。 $(U,\chi)$ の相異なる板は後半の座標 $u$ の値が異なるので交わらない。 $\mathcal{B}$ を葉の位相の基底とすると、各 $P\in\mathcal{P}$ に対して $\varnothing\ne B_P\subseteq P$ を満たす $B_P\in\mathcal{B}$ が存在する。 $P\ne P'$ ならば $B_P\cap B_{P'}\subseteq P\cap P'=\varnothing$ であり、 $B_P$ と $B_{P'}$ は空でないから $B_P\ne B_{P'}$ である。よって $P\mapsto B_P$ は単射であり、 $\mathcal{B}$ は非可算である。これは§E22.1 命題 3.3 (3)の証明と同じ論法である。

第二に、 $L$ を含む $M$ の連結成分 $C$ が第二可算でないことを示す。 $p\in L$ を取り、 $C$ を $p$ の連結成分とする（§E2.43 定義 6.1）。各板は $\chi$ によって開直方体の部分集合 $I_1\times\cdots\times I_k\times\{c\}$ と同相であるから、 $M$ の連結な部分集合である。連結な部分集合 $A$ が $C$ と点 $y$ で交わるならば、§E2.43 定理 6.2 (1)と§E2.43 定理 6.2 (2)により $A\subseteq C(y)=C$ である。 $q\in L$ を $p$ と結ぶ板の鎖 $P_1,\dots,P_m$ を取ると、 $P_1$ は $p$ を含むので $P_1\subseteq C$ であり、 $P_{r+1}$ は $P_r\subseteq C$ と交わるので $P_{r+1}\subseteq C$ である。よって $L\subseteq C$ である。同じ理由で、定義域が $C$ と交わる平坦チャートの定義域は、像が開直方体であって連結であるから $C$ に含まれる。とくに $U\subseteq C$ である。また $M$ の各点はチャートによって $\R^n$ の開集合と同相な近傍を持ち、 $\R^n$ の開球は連結であるから $M$ は局所連結であり、§E2.43 命題 8.2により $C$ は $M$ の開集合である。

$C$ が第二可算であると仮定して矛盾を導く。 $C$ は Hausdorff 空間の部分空間として Hausdorff であり、仮定により第二可算であり、定義域が $C$ に含まれる $M$ のチャートの全体は $C$ の $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスである（各点のチャートの定義域を開集合 $C$ と交わらせればよい）。よって $C$ は§E22.1 定義 2.2の意味の多様体であり、 $D$ の $C$ への制限は $C$ の上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布である。定義域が $C$ に含まれる $D$ の平坦チャートは、この制限に対する平坦チャートである。 $L$ の点を始点とする $D$ の板の鎖は、上の議論により各板が $C$ と交わり、その板の平坦チャートの定義域は $C$ に含まれるので、制限した分布の板の鎖である。逆に制限した分布の板の鎖は $D$ の板の鎖である。したがって、制限した分布の $p$ を通る葉は $L$ に等しい。定理 2.4 (2)を多様体 $C$ 、葉 $L$ 、平坦チャート $(U,\chi)$ （ $U\subseteq C$ ）に適用すると、 $L$ と交わる $(U,\chi)$ の板は高々可算個であり、 $\mathcal{P}$ が非可算であることに反する。よって $C$ は第二可算でない。

最後に $M=\R^2\times\R_d$ を考える。§E22.1 命題 3.3と同じく、 $M$ は Hausdorff であり、 $\{(\R^2\times\{a\},(x,y))\}_{a\in\R}$ は $2$ 次元 $C^\infty$ アトラスであり、 $M$ は第二可算でない。 $D=\operatorname{span}\{\partial/\partial x\}$ は各チャートの上の局所枠 $\partial/\partial x$ で張られる階数 $1$ の $C^\infty$ 分布であり、 $[\partial_x,\partial_x]=0$ であるから対合的である。各 $\R^2\times\{a\}$ は開集合であって $\R^2$ と同相であるから連結であり、これらは互いに交わらず $M$ を覆う。連結な部分集合は交わる $\R^2\times\{a\}$ の一つに含まれるので（そうでなければ、その $\R^2\times\{a\}$ と残りの和集合という交わらない二つの開集合で分離される）、連結成分はちょうど $\R^2\times\{a\}$ たちであり、いずれも $\R^2$ と同相であるから第二可算である。上で示したことの対偶により、この $M$ ではどの葉もどの平坦チャートの非可算個の板とも交わらない。実際、葉は直線 $\R\times\{b\}\times\{a\}$ であり、一つの成分の中にとどまる。

(4)を示す。 $V$ を $M$ の開集合とし、 $r\in V\cap L$ を取る。 $r$ の周りの平坦チャート $(U,\chi)$ を取ると、 $\chi(U\cap V)$ は $\chi(r)$ を含む開集合であるから、 $\chi(r)\in B\subseteq\chi(U\cap V)$ を満たす開直方体 $B$ が存在する。 $(\chi^{-1}(B),\chi|_{\chi^{-1}(B)})$ は像が開直方体であり、その上で $D$ は $\partial/\partial t^1,\dots,\partial/\partial t^k$ が張るので、§E22.8 定義 2.2の平坦チャートであって、定義域は $V$ に含まれる。このチャートの $r$ を通る板 $P$ は $r\in L$ を含むので、補題 2.3により $L$ に含まれ、 $L$ の位相の基底の元であるから $L$ の開集合である。 $P\subseteq\chi^{-1}(B)\subseteq V$ であるから $r\in P\subseteq V\cap L$ である。 $r\in V\cap L$ は任意であったから、 $V\cap L$ は $L$ の開集合の和集合であり、 $L$ の開集合である。 $V$ は $M$ の任意の開集合であったから、相対位相の開集合はすべて $L$ の位相の開集合であり、 $L$ の位相は相対位相より細かい。

次に、 $M=T^2$ とし、 $L$ を例 4.2の点 $(E(0),E(0))$ を通る葉とする。同じ例により $L$ は $T^2$ で稠密である。 $P$ を $L$ に含まれる板とし、 $(U,\chi)$ 、 $\chi=(t,u)$ を $P$ を板に持つ平坦チャート、 $b$ を $P$ の上の $u$ の値とする。 $P$ が相対位相の開集合である、すなわち $T^2$ の開集合 $W$ が存在して $P=W\cap L$ であると仮定して矛盾を導く。 $x\in P$ を取ると $x\in W$ であるから、 $\chi(U\cap W)$ は $\chi(x)=(t(x),b)$ を含む開集合であり、 $\chi(x)\in J_1\times J_2\subseteq\chi(U\cap W)$ を満たす開区間 $J_1$ 、 $J_2$ が存在する。 $J_2$ は $b$ を含む開区間であるから $J_2\setminus\{b\}$ は空でない開集合であり、 $O=\chi^{-1}\bigl(J_1\times(J_2\setminus\{b\})\bigr)$ は $T^2$ の空でない開集合である。 $L$ は稠密であるから、 $y\in O\cap L$ が存在する。 $y\in U\cap W$ であるから $y\in W\cap L=P$ である。一方、 $P=\{z\in U:u(z)=b\}$ であり $u(y)\ne b$ であるから $y\notin P$ である。この矛盾により、 $P$ は相対位相の開集合でない。 $L$ の点はある板に属し、その板は補題 2.3により $L$ に含まれるので、 $L$ に含まれる板は存在する。その板は $L$ の位相の開集合であるが、相対位相の開集合でない。したがって $L$ の位相と相対位相は一致しない。

(5)を示す。まず連結性の仮定を除く。 $N=(L,\mathcal{T},\mathcal{A})$ を $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体とし、包含写像 $\iota\colon N\to M$ が単射なはめ込みかつ $D$ の積分多様体であるとする。 $N$ の各点はチャートによって $\R^k$ の開球と同相な近傍を持つので $N$ は局所連結であり、§E2.43 命題 8.2により $N$ の各連結成分 $C$ は $N$ の開集合である。したがって $C$ は $N$ の開部分多様体として連結な $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体であり、 $\iota|_C$ は単射なはめ込みであってすべての点で $d\iota_q(T_qC)=D_q$ を満たすので、 $D$ の連結な積分多様体であり、像は $L$ に含まれる。系 3.2により $\iota(C)$ は定理 3.1の位相で $L$ の開集合である。 $N$ の連結成分は互いに交わらず $N$ を覆い、 $\iota$ は集合 $L$ の恒等写像であるから、集合 $\iota(C)$ は互いに交わらず $L$ を覆う。 $N$ の連結成分が二つ以上あると仮定し、その一つを $C_1$ とすると、 $\iota(C_1)$ と、 $C_1$ 以外の成分の像の和集合とは、定理 3.1の位相で $L$ の交わらない空でない開集合であり、和集合は $L$ である。このような分解が存在することは、同じ定理により $L$ が連結であることに反する。 $L$ は空でないので、 $N$ の連結成分はちょうど一つであり、 $N$ は連結である。よって定理 3.3がそのまま適用され、 $\mathcal{T}$ と $\mathcal{A}$ は定理 3.1で構成したものに一致する。

次に例を作る。 $M=\R^2$ 、 $D=\operatorname{span}\{\partial/\partial x\}$ とする。 $\partial/\partial x$ は至るところ消えないので $D$ は階数 $1$ の $C^\infty$ 分布であり、 $[\partial/\partial x,\partial/\partial x]=0$ であるから対合的である。正の数 $R$ について、恒等写像の $(-R,R)\times(-1,1)$ への制限は $D$ に対する平坦チャートであり、その板 $(-R,R)\times\{0\}$ は原点を含む。 $R$ を動かすと、原点を通る葉は $\R\times\{0\}$ を含む。逆に、各板は連結な積分多様体であり、関数 $y$ の微分は $D$ の上で消えるので、補題 1.2により $y$ は各板の上で定数である。板の鎖で隣り合う板は点を共有するので、原点から鎖でつながる板の上で $y$ の値はすべて $0$ である。よって原点を通る葉は $L=\R\times\{0\}$ であり、定理 3.1の構造では、 $L$ の位相は板 $(-R,R)\times\{0\}$ を基底とする位相、すなわち相対位相であり、 $C^\infty$ 構造はチャート $\xi\colon L\to\R$ 、 $\xi(x,0)=x$ が定める。

全単射 $\beta\colon\R\to L$ 、 $\beta(\tau)=(\tau^3,0)$ を考える。 $\tau\mapsto\tau^3$ は $\R$ の同相写像であるから、 $\beta$ は $L$ の相対位相に関して同相写像であり、 $\{(L,\beta^{-1})\}$ 、 $\beta^{-1}(x,0)=x^{1/3}$ は $L$ の上の $1$ 次元 $C^\infty$ アトラスである（チャートが一つなので両立の条件は自明である）。このアトラスが定める $C^\infty$ 構造を $\mathcal{A}'$ とすると、 $(L,\mathcal{A}')$ は相対位相の下で Hausdorff かつ第二可算な連結な $1$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。包含写像 $\iota\colon(L,\mathcal{A}')\to\R^2$ の座標表示は $\iota\circ\beta(\tau)=(\tau^3,0)$ であるから $C^\infty$ であり、単射である。 $d\iota$ は $d/d\tau$ を $3\tau^2\,\partial/\partial x$ へ写すので、すべての点で $d\iota(T_{\beta(\tau)}L)\subseteq D_{\beta(\tau)}$ が成り立つ。一方、 $\tau=0$ では $d\iota=0$ であるから $\iota$ ははめ込みでない。 $\mathcal{A}'$ は定理 3.1の構造と異なる。実際、二つのチャートの座標変換 $\xi\circ\beta(\tau)=\tau^3$ の逆写像 $x\mapsto x^{1/3}$ は $x=0$ で微分することができないので $C^\infty$ でなく、チャート $\xi$ と $\beta^{-1}$ は両立しない。§E22.1 注意 2.5により二つのアトラスは同じ $C^\infty$ 構造を定めない。したがって、弱めた仮定の下では $C^\infty$ 構造は一意でない。

(6)を示す。 $\alpha=p/q$ （ $p\in\Z$ 、 $q\ge1$ 、 $\gcd(p,q)=1$ ）とする。 $X$ 、 $D$ と流れ $\varphi_t(E(u),E(v))=(E(u+t),E(v+\alpha t))$ の構成は $\alpha$ が無理数であることを用いていないので、そのまま成り立つ。葉は $q_0=(E(u_0),E(v_0))$ ごとに、 $t\in[0,q]$ で第一成分を $q$ 回、第二成分を $p$ 回（ $p<0$ のときは逆向きに $\lvert p\rvert$ 回）回る閉曲線 $\{(E(u_0+t),E(v_0+pt/q)):t\in\R\}$ であり、 $S^1$ と微分同相であって、 $T^2$ の $1$ 次元埋め込み部分多様体である。以下これを示す。

軌道が円周の像であることを示す。 $G\colon\R\to T^2$ を $G(s)=(E(u_0+qs),E(v_0+ps))$ と置く。 $E(s)=E(s')$ ならば補題 4.1により $s-s'\in\Z$ であり、 $q(s-s')$ と $p(s-s')$ も整数であるから $G(s)=G(s')$ である。よって $F(E(s))=G(s)$ により写像 $F\colon S^1\to T^2$ が定まる。逆に $G(s)=G(s')$ とすると、 $d=s-s'$ について $qd\in\Z$ かつ $pd\in\Z$ である。 $ap+bq=1$ を満たす整数 $a,b$ が存在する。実際、 $\Lambda=\{ap+bq\mid a,b\in\Z\}$ は $q\ge1$ を含むので正の元を持ち、その最小のものを $e$ とする。 $q=m_1e+m_2$ （ $m_1,m_2$ は整数、 $0\le m_2<e$ ）と割ると $m_2=q-m_1e$ は $\Lambda$ に属し、 $e$ の最小性から $m_2=0$ であるから $e$ は $q$ を割り切る。 $p$ についても同じ割り算により $e$ は $p$ を割り切る。 $e$ は $p$ と $q$ の正の公約数であり、 $\gcd(p,q)=1$ から $e=1\in\Lambda$ である。この $a,b$ について $d=a(pd)+b(qd)\in\Z$ であり、 $E(s)=E(s')$ である。したがって $F$ は単射である。§E22.5 補題 2.3により $E$ は局所微分同相であるから、 $F$ は局所的に $G$ と $E$ の局所逆写像の合成であり $C^\infty$ である。 $G$ の速度は $\frac{d}{ds}(u_0+qs,v_0+ps)=q(1,\alpha)$ に対応する $q\,X_{G(s)}\ne0$ であるから、 $dF$ は至るところ単射であり、その像は $D$ に一致する。よって $(S^1,F)$ は $D$ の連結な積分多様体である。さらに $\varphi_t(q_0)=G(t/q)=F(E(t/q))$ であるから、 $F$ の像は $q_0$ の軌道に等しい。

葉が軌道であることを示す。軌道は $T^2$ を分割し、上により各軌道は連結な積分多様体の像である。定理 3.1により各軌道は一つの葉に含まれ、系 3.2によりその葉の開集合である。一つの葉は、それに含まれる軌道たちの交わらない開集合による和集合であり、葉は連結であるから、葉はちょうど一つの軌道である。したがって $q_0$ を通る葉 $L$ は $F(S^1)$ であり、系 3.2により $F\colon S^1\to L$ は微分同相である。とくに $L$ はコンパクトである。

$L$ が埋め込み部分多様体であることを示す。 $w(u,v)=v-v_0-\alpha(u-u_0)$ と置き、 $\Pi^{-1}(L)=\{(u,v)\in\R^2:w(u,v)\in\tfrac1q\Z\}$ を確かめる。 $(u,v)\in\Pi^{-1}(L)$ とすると、ある $t$ について $\Pi(u,v)=\Pi(u_0+t,v_0+\alpha t)$ であり、補題 4.1により整数 $m,m'$ が存在して $u=u_0+t+m$ 、 $v=v_0+\alpha t+m'$ である。このとき $w(u,v)=m'-\alpha m=(qm'-pm)/q\in\frac1q\Z$ である。逆に $w(u,v)=j/q$ （ $j\in\Z$ ）とし、 $ap+bq=1$ を満たす整数 $a,b$ を取って $m=-aj$ 、 $m'=bj$ と置くと $qm'-pm=j$ である。 $t=u-u_0-m$ と置くと $v_0+\alpha t+m'=v_0+\alpha(u-u_0)+(qm'-pm)/q=v$ であるから、 $\Pi(u,v)=\varphi_t(q_0)\in L$ である。

$r\in L$ を取り、 $\Pi(u_*,v_*)=r$ となる $(u_*,v_*)$ を選ぶ。 $w_*=w(u_*,v_*)$ は $\frac1q\Z$ に属する。 $\varepsilon>0$ を $\varepsilon<1/q$ かつ $\varepsilon(1+\lvert\alpha\rvert)<1/2$ を満たすように取り、

W=\bigl\{(u,v)\in\R^2:\ \lvert u-u_*\rvert<\varepsilon,\ \lvert w(u,v)-w_*\rvert<\varepsilon\bigr\}

と置く。 $W$ の点では $\lvert v-v_*\rvert=\lvert w(u,v)-w_*+\alpha(u-u_*)\rvert<\varepsilon(1+\lvert\alpha\rvert)<1/2$ であるから、 $W$ の二点の座標の差は $u$ 、 $v$ のどちらも絶対値が $1$ より小さく、補題 4.1により $\Pi$ は $W$ の上で単射である。 $\Pi$ は局所微分同相であるから、 $\Pi(W)$ は $T^2$ の開集合であり、 $\Pi|_W\colon W\to\Pi(W)$ は微分同相である。線形同型 $(u,v)\mapsto(u-u_*,\,w(u,v)-w_*)$ と合成した

\phi=\bigl(u-u_*,\ w-w_*\bigr)\circ(\Pi|_W)^{-1}\colon\Pi(W)\to(-\varepsilon,\varepsilon)^2

は $T^2$ のチャートである。 $z\in W$ について $\Pi(z)\in L$ であることと $z\in\Pi^{-1}(L)$ であることは同値であるから、 $\Pi(W)\cap L=\Pi(W\cap\Pi^{-1}(L))$ である。 $W$ の点では $\lvert w-w_*\rvert<\varepsilon<1/q$ であり、 $w_*\in\frac1q\Z$ であるから、 $w\in\frac1q\Z$ は $w=w_*$ と同値である。したがって

\phi\bigl(\Pi(W)\cap L\bigr)=\phi\bigl(\Pi(W)\bigr)\cap\bigl(\R\times\{0\}\bigr)

であり、 $(\Pi(W),\phi)$ は $r$ を含むスライスチャートである。 $r\in L$ は任意であったから、§E22.5 定義 4.1により $L$ は $T^2$ の $1$ 次元埋め込み部分多様体である。

(7)を示す。 $f(x,y)=1/(1-x^2-y^2)$ は $\mathring{D^2}$ の上で $C^\infty$ であり、 $s$ に依らない。極座標では $f=1/(1-r^2)$ であり

\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{2r}{(1-r^2)^2}>0\quad(0<r<1),\qquad h(r)=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}=\frac{(1-r^2)^2}{2r}

である。右辺は $r>0$ の全体で定義された $C^\infty$ 関数であるから、 $h$ は $r=1$ を含む範囲 $1/2<r<3/2$ へ $C^\infty$ に延長し、 $h(1)=0$ である。この場合には平坦な関数による延長は要らない。

結論が同じように成り立つことを示す。分布の定義、対合性、葉の同定と葉の微分同相型の議論は、 $f$ が $\mathring{D^2}$ の上の $C^\infty$ 関数で $s$ に依らないことだけを用いるので、そのまま成り立つ。すなわち $D=\operatorname{span}\{Z_1,Z_2\}$ は対合的であり、葉は $L_\mu=\Lambda_\mu(\mathring{D^2})$ （ $\mu\in[0,1)$ ）であって $\R^2$ と微分同相である。閉包については、 $q\in\partial D^2$ と $p_t=tq$ に対して $f(p_t)=1/(1-t^2)$ であり、これは $[0,1)$ の上で連続かつ狭義単調増加で、 $t\to1^-$ のとき $+\infty$ へ発散する。したがって $m>1+\mu-\nu$ を満たすすべての整数 $m$ について、中間値の定理により $f(p_{t_m})+\mu-\nu=m$ を満たす $t_m\in[0,1)$ が存在する。 $t^*<1$ を固定すると $f(p_t)$ は $[0,t^*]$ の上で $1/(1-t^{*2})$ 以下であるから、 $m$ が十分大きければ $t_m>t^*$ であり、 $t_m\to1$ である。もとの議論と同じく $\Lambda_\mu(p_{t_m})=(t_mq,w)\to(q,w)$ であるから、各葉の閉包は境界の円環面を含む。境界への延長について、 $A=\partial/\partial\theta$ と $B=T+h(r)\,\partial/\partial r$ は $1/2<r\le1$ で $C^\infty$ であり、 $r<1$ では $hf_r=1$ から $B=h\,(\partial/\partial r+f_rT)$ であるので、 $\operatorname{span}\{A,B\}=D$ である。 $r=1$ では $h(1)=0$ から $B=T$ であり、 $A$ と一次独立で、 $\widetilde D$ は境界の接空間に一致する。 $h$ は $r$ だけの関数であるから $[A,B]=0$ である。半空間型の平坦チャートの構成は、 $V=h(r)\,\partial/\partial r$ が $r=1$ の両側で $C^\infty$ であることと $h(1)=0$ だけを用いる。実際、流れ $\phi_\sigma$ は $(\sigma,r)$ について $C^\infty$ であり、定数関数 $1$ は $h(1)=0$ により解であるから、解の一意性により $\phi_\sigma(1)=1$ であり、変分方程式から $\partial\phi_\sigma/\partial r>0$ である。したがって同じ写像 $Q$ が半空間型の平坦チャートを与え、境界の円環面が一枚の極大なコンパクト葉であるという議論も、このチャートだけを用いるのでそのまま成り立つ。

$f$ を定数関数 $0$ に取り替えた場合を考える。分布、対合性および葉の同定の議論は、 $f$ が $\mathring{D^2}$ の上の $C^\infty$ 関数で $s$ に依らないことだけを用いるので、そのまま成り立つ。 $f\equiv0$ では $\Lambda_\mu(x,y)=((x,y),E(\mu))$ であるから、内部葉は $L_\mu=\mathring{D^2}\times\{E(\mu)\}$ である。 $D^2\times\{E(\mu)\}$ は $\mathbb{T}$ の閉集合であって $L_\mu$ を含むので、 $\overline{L_\mu}\subseteq D^2\times\{E(\mu)\}$ である。逆に $q\in\partial D^2$ に対して $(tq,E(\mu))\in L_\mu$ は $t\to1^-$ のとき $(q,E(\mu))$ へ収束するので、 $\overline{L_\mu}=D^2\times\{E(\mu)\}$ である。したがって $\overline{L_\mu}\cap(\partial D^2\times S^1)=\partial D^2\times\{E(\mu)\}$ は一つの円周である。 $q\in\partial D^2$ について、点 $(q,E(\mu+1/2))$ は境界の円環面に属するが、補題 4.1により $E(\mu+1/2)\ne E(\mu)$ であるから $\overline{L_\mu}$ に属さない。よって閉包は円環面を含まない。

$f(x,y)=\sin\bigl(1/(1-x^2-y^2)\bigr)$ に取り替えた場合を考える。この $f$ は $\mathring{D^2}$ の上で $C^\infty$ であり $s$ に依らず、 $\lvert f\rvert\le1$ である。上と同じ理由で、内部葉は $L_\mu=\Lambda_\mu(\mathring{D^2})$ （ $\mu\in[0,1)$ ）である。 $(q,w)\in\partial D^2\times S^1$ を取り、 $w=E(\nu)$ とする。 $\lvert m-\mu+\nu\rvert\le1/2$ を満たす整数 $m$ を取り、 $c=m-\mu+\nu$ 、 $\theta=\arcsin c$ と置くと、 $\lvert\theta\rvert\le\pi/6$ である。正の整数 $j$ に対して $\tau_j=\theta+2\pi j$ と置くと $\tau_j\ge2\pi-\pi/6>1$ であるから、 $t_j=\sqrt{1-1/\tau_j}\in(0,1)$ が定まり、 $1/(1-t_j^2)=\tau_j$ である。 $p_{t_j}=t_jq$ と置くと

f(p_{t_j})+\mu=\sin(\theta+2\pi j)+\mu=c+\mu=m+\nu

であるから、

\Lambda_\mu(p_{t_j})=\bigl(t_jq,\ E(m+\nu)\bigr)=(t_jq,\ w)

である。 $j\to\infty$ のとき $\tau_j\to\infty$ であるから $t_j\to1$ であり、 $\Lambda_\mu(p_{t_j})$ は $(q,w)$ へ収束する。よって $(q,w)\in\overline{L_\mu}$ であり、各内部葉の閉包は境界の円環面を含む。▨

§E22.9葉層と葉