局所的に与えられたデータが貼り合わさる条件を層として定め、位相空間上の層から Grothendieck トポスの一般論へ進む。前半では、位相空間上の前層と層、エタール空間、アーベル群の層、Čech コホモロジー、細層と c-軟弱層による分解を扱う。後半では、Grothendieck 位相と site 上の層、幾何的射と点、Boolean 局所化、層コホモロジーと Čech コホモロジーを一般の Grothendieck トポスの上で構成し、Giraud の定理と Deligne の定理を証明する。Galois 圏によって局所定数対象の圏を基本群の作用する集合の圏として記述し、最後に位相空間へ戻って sober 空間と Godement の定理を扱う。
前提知識
- 圏論 I: 圏、関手、随伴、極限と余極限、フィルター余極限、Kan 拡張、前層の圏の普遍性、アーベル圏、入射分解、δ-関手、導来関手、非輪状分解を、site 上の層の構成と層コホモロジーの定義に用いる。宇宙と大きさの規約も圏論 I に従う。
- 位相空間論 I: 開集合と連続写像、商写像、コンパクト性、Hausdorff 性、パラコンパクト性と 1 の分割、局所コンパクト性、Lebesgue 数を、位相空間上の層と細層、コンパクト台の切断に用いる。
- 環論入門: 加群の完全列、Ext と Tor、複体の長完全列を、アーベル群の層と層コホモロジーの計算に用いる。
- 群論入門: 群作用と商、群コホモロジー、非可換一次コホモロジー、融合積を、torsor、群の作用のトポスの例、Galois 圏に用いる。
- 体論入門: 無限次 Galois 理論と絶対 Galois 群を、有限 Galois 圏の例に用いる。
- 数学の基礎: Zorn の補題、整列定理、超限帰納法を、脆弱層の非輪状性、Boolean 代数上の層のエピ射の分裂、Deligne の定理の証明に用いる。
- 複素解析: 主値の対数を、指数列の局所的な持ち上げに用いる。
被覆空間と基本群は前提にしない。局所定数層と被覆写像の対応、基本群による分類は位相幾何入門が本単元の結果の系として扱う。
学習順序
すべての記事を必修とし、次の内容別区分の順に進む。
| 内容別区分 | 内容と到達点 |
|---|---|
| 位相空間上の層 | 前層と層、エタール空間と層化、茎、順像と逆像を圏の言葉を使わずに構成する。アーベル群の層の核と余核、Čech コホモロジーとパラコンパクト空間上の長完全列、群の層と torsor、細層と細分解、コンパクト台と c-軟弱層を扱う。 |
| Grothendieck トポス | Grothendieck 位相と site 上の層、層化、small-generated site の比較補題、Grothendieck トポスの基本構成と Giraud の定理を扱う。幾何的射と点、coherent トポスと Deligne の定理、frame 上の層、Boolean 局所化、アーベル群の層の圏、層コホモロジー、Čech コホモロジー、torsor と非アーベルコホモロジーへ進む。 |
| 局所定数層 | 表現可能なファイバー関手を備えた Galois 圏の基本定理と Galois 対応、有限 Galois 圏と副有限群を扱う。局所連結なトポスの局所定数対象の圏とトポスの基本群を定める。 |
| 位相空間への適用 | 位相空間上の層のトポスを一般論の対象として同定し、sober 空間と連続写像による幾何的射、位相空間の層コホモロジー、Godement の定理を扱う。 |
位相空間上の層
Grothendieck トポス
- Grothendieck 位相と site
- 層
- 幾何的射
- frame 上の層
- Boolean 局所化
- アーベル群の層の圏
- 層コホモロジー
- Čech コホモロジー
- torsor と非アーベルコホモロジー
- 大きい site 上の層コホモロジー
局所定数層
- Galois 圏
- 局所定数対象
位相空間への適用
- 位相空間上の層
- sober 空間
- 位相空間の層コホモロジー
- Godement の定理
構成上の方針
位相空間上の層を先に具体的に構成し、その後で site 上の層の一般論を立ち上げる。一般論の記事は位相空間を参照せず、点、茎、摩天楼層、Godement の分解、脆弱層、Čech コホモロジーを Grothendieck トポスまたは frame の上で述べる。位相空間に固有の主張は、トポスの点と既約閉集合の対応、sober 化、連続写像と幾何的射の対応、パラコンパクト空間での Čech コホモロジーの消滅、コンパクト台に限り、区分の末尾に置く。
Boolean 局所化を点の代わりに用いる。完備 Boolean 代数上の層ではエピ射が分裂するので、その順像は大域切断を完全にし、入射分解の代わりになる関手的な分解を与える。点が十分なトポスでは、この分解は茎と摩天楼層による Godement の分解に一致する。
Čech コホモロジーは一般の site の上で、plus 構成の右導来関手として定める。層コホモロジーへの比較射は次数 1 まで常に同型であり、Godement の定理はパラコンパクト空間でこの比較射がすべての次数で同型であることを述べる。
後続の単元と範囲
- 位相幾何入門: 局所定数層と被覆写像の対応、局所定数層の圏と基本群の作用する集合の圏の圏同値、離散群の torsor の分類、層コホモロジーと特異コホモロジーの比較を、本単元の結果の系として扱う。
- 多様体入門: 微分形式の層の細分解と本単元の Godement の定理を用いて de Rham の定理を示す。
- 層コホモロジー: 高次順像と Leray のスペクトル系列へ進む。
- トポス理論: 初等トポス、分類トポス、トポスの内部論理へ進む。
高次順像と Leray のスペクトル系列、Verdier 双対と層のコンパクト台の順像、導来圏、コンパクト台でない軟弱層の一般論は扱わない。pro-離散群になる一般のトポスの基本群は扱わず、ファイバー関手が表現可能な場合に限る。「大きい site 上の層コホモロジー」は議論中であり、内容の確定を保留している。