離散群の固有不連続な作用と商多様体 | 多様体入門

1 離散群の作用

定義 1.1. $\Gamma$ を群（§E7.1 定義 1.1）、 $M$ を $C^\infty$ 多様体とする。写像 $\Gamma\times M\to M$ 、 $(\gamma,p)\mapsto\gamma p$ が $\Gamma$ の $M$ への微分同相による作用 (action by diffeomorphisms) であるとは、次の三つがすべて成り立つことをいう。

$\Gamma$ の単位元 $\epsilon$ に対して、すべての $p\in M$ で $\epsilon p=p$ である。
すべての $\gamma,\delta\in\Gamma$ とすべての $p\in M$ に対して $(\gamma\delta)p=\gamma(\delta p)$ である。
各 $\gamma\in\Gamma$ に対して、写像 $\theta_\gamma\colon M\to M$ 、 $\theta_\gamma(p)=\gamma p$ は $M$ の微分同相である。

条件 (a)と条件 (b)は§E7 群論入門で定めた群作用の条件（§E7.10 定義 2.1）である。条件 (c)のうち $\theta_\gamma$ が全単射であることは条件 (a)と条件 (b)から従う（ $\theta_{\gamma^{-1}}$ が逆写像である）ので、実質的な要求は各 $\theta_\gamma$ が $C^\infty$ であることである。このとき逆写像 $\theta_{\gamma^{-1}}$ も $C^\infty$ であるから、 $\theta_\gamma$ は微分同相である。

作用が自由 (free action) であるとは、 $\gamma\in\Gamma$ と $p\in M$ が $\gamma p=p$ を満たすならば $\gamma=\epsilon$ であることをいう。

$p\in M$ の軌道 (orbit) を $\Gamma p=\{\gamma p\mid\gamma\in\Gamma\}$ と書く（§E7.10 定義 4.1）。§E7.10 命題 4.3により、軌道の全体は $M$ を分割する。軌道の全体からなる集合を $M/\Gamma$ と書き、 $\pi\colon M\to M/\Gamma$ 、 $\pi(p)=\Gamma p$ を商写像 (quotient map) という。 $M/\Gamma$ には§E2.12 定義 8.7の商位相を与える。

本記事では、群 $\Gamma$ が離散群 (discrete group) であること、すなわち $\Gamma$ に位相を与えるときは離散位相を与えることを前提とする。以下の議論で $\Gamma$ の位相そのものは用いず、 $\Gamma$ を集合と群構造だけで扱う。

定義 1.2.定義 1.1の意味で離散群 $\Gamma$ が $M$ へ微分同相によって作用しているとする。この作用が真性不連続 (properly discontinuous) であるとは、 $M$ の任意のコンパクト集合 $K$ に対して

\Gamma_K=\bigl\{\gamma\in\Gamma\ \bigm|\ \gamma K\cap K\ne\varnothing\bigr\}

が有限集合であることをいう。

微分同相による作用であるという仮定を落としてはならない。位相同相による作用しか仮定しないと、下の定理 3.1の証明において、商の上に作るチャートどうしの座標変換が $\theta_\gamma$ の座標表示になる段で、その座標表示が $C^\infty$ であることを言うことができない。したがって商は位相多様体にはなるが、誘導チャートが $C^\infty$ アトラスをなすこと、および商写像を局所微分同相にする $C^\infty$ 構造が存在することは一般には保証されない。実際、商写像 $\pi$ を局所微分同相にする構造が存在すると仮定すると、各 $p\in M$ の十分小さい開近傍 $U$ の上で $\theta_\gamma|_U=(\pi|_{\theta_\gamma(U)})^{-1}\circ\pi|_U$ と書くことができるため、各 $\theta_\gamma$ は局所的に $C^\infty$ でなければならない。

注意 1.3 (真性不連続性と弱い条件の区別).定義 1.2の条件のほかに、次の条件を考えることができる。

各点 $p\in M$ に対して、 $p$ の開近傍 $U$ で、 $\gamma\ne\epsilon$ を満たすすべての $\gamma\in\Gamma$ について $\gamma U\cap U=\varnothing$ となるものが存在する。

下の命題 2.2により示されるとおり、作用が自由かつ真性不連続ならばこの条件が成り立つ。逆は成り立たない。定理 4.1により、この条件を満たすが真性不連続でない作用が得られる。その商は Hausdorff にならない。

本記事では、この弱い条件に固有の名前を与えない。必要な箇所ではつねに「各点が $\gamma U\cap U=\varnothing$ となる近傍を持つという条件」と記述で書く。二つの近い術語を並べると、読者が同じ条件を指していると読む危険があるためである。

2 商空間の基本性質

補題 2.1.定義 1.1の状況で、商写像 $\pi\colon M\to M/\Gamma$ は連続な全射であり、開写像である。したがって $M/\Gamma$ は第二可算である。

証明. $\pi$ が連続な全射であることは商位相の定義（§E2.12 定義 8.7）による。

$U\subseteq M$ を開集合とする。

\pi^{-1}\bigl(\pi(U)\bigr)=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}\gamma U

を示す。 $p\in\pi^{-1}(\pi(U))$ とすると $\pi(p)=\pi(q)$ を満たす $q\in U$ が存在し、これは $p=\gamma q$ を満たす $\gamma\in\Gamma$ が存在することを意味する。よって $p\in\gamma U$ である。逆に $p=\gamma q$ （ $q\in U$ ）ならば $\pi(p)=\pi(q)\in\pi(U)$ である。

各 $\gamma U=\theta_\gamma(U)$ は、 $\theta_\gamma$ が微分同相、とくに同相写像であるから $M$ の開集合である。よって $\pi^{-1}(\pi(U))$ は開集合の合併として開集合であり、§E2.12 定義 8.7により $\pi(U)$ は $M/\Gamma$ の開集合である。

$M$ は第二可算であり（§E22.1 定義 2.2）、 $\pi$ は連続な開全射であるから、§E22.1 補題 3.1により $M/\Gamma$ は第二可算である。▨

命題 2.2. $\Gamma$ が $M$ へ微分同相によって自由かつ真性不連続に作用しているとする。このとき各 $p\in M$ に対して、 $p$ の開近傍 $U$ で、 $\gamma\ne\epsilon$ を満たすすべての $\gamma\in\Gamma$ に対して $\gamma U\cap U=\varnothing$ となるものが存在する。とくに $\pi|_U\colon U\to\pi(U)$ は単射である。

証明の骨子は次のとおりである。 $p$ のコンパクトな近傍 $K$ を取ると、真性不連続性により $\gamma K$ が $K$ と交わる $\gamma$ は有限個である。 $K$ の外へ出る $\gamma$ については、 $U\subseteq K$ と取れば自動的に $\gamma U\cap U=\varnothing$ である。残る有限個の $\gamma$ については、自由性から $\gamma p\ne p$ であるから Hausdorff 性で分離することができ、有限個の交わりを取ることができる。

証明.§E22.2 補題 2.3 (4)を $O=M$ に適用して、 $p\in B$ かつ $\overline{B}$ がコンパクトである正則座標球 $B$ を取る（§E22.2 補題 2.1により $M$ は局所コンパクトである）。 $K=\overline{B}$ と置く。 $K$ はコンパクトであり $p\in B\subseteq K$ である。

定義 1.2により $\Gamma_K=\{\gamma\mid\gamma K\cap K\ne\varnothing\}$ は有限集合である。 $\epsilon\in\Gamma_K$ である（ $K\ne\varnothing$ による）。

$\gamma\in\Gamma_K\setminus\{\epsilon\}$ を取る。作用は自由であるから $\gamma p\ne p$ である。 $M$ は Hausdorff であるから（§E22.1 定義 2.2、§E2.15 定義 1.2）、交わらない開集合 $A_\gamma\ni p$ と $C_\gamma\ni\gamma p$ が存在する。

W_\gamma=A_\gamma\cap\theta_\gamma^{-1}(C_\gamma)

と置く。 $\theta_\gamma$ は連続であるから $\theta_\gamma^{-1}(C_\gamma)$ は開集合であり、 $\theta_\gamma(p)=\gamma p\in C_\gamma$ であるから $p\in W_\gamma$ である。 $W_\gamma$ は $p$ の開近傍である。 $q\in W_\gamma$ に対して $\gamma q\in C_\gamma$ であり、 $W_\gamma\subseteq A_\gamma$ かつ $A_\gamma\cap C_\gamma=\varnothing$ であるから $\gamma q\notin W_\gamma$ である。よって $\gamma W_\gamma\cap W_\gamma=\varnothing$ である。

U=B\cap\bigcap_{\gamma\in\Gamma_K\setminus\{\epsilon\}}W_\gamma

と置く。 $\Gamma_K$ は有限集合であるから右辺は有限個の開集合の交わりであり、 $U$ は $p$ の開近傍である。

$\gamma\ne\epsilon$ とする。 $\gamma\in\Gamma_K$ ならば $U\subseteq W_\gamma$ であるから $\gamma U\cap U\subseteq\gamma W_\gamma\cap W_\gamma=\varnothing$ である。 $\gamma\notin\Gamma_K$ ならば $\gamma K\cap K=\varnothing$ であり、 $U\subseteq B\subseteq K$ であるから $\gamma U\cap U\subseteq\gamma K\cap K=\varnothing$ である。

最後に $\pi|_U$ の単射性を示す。 $q_1,q_2\in U$ が $\pi(q_1)=\pi(q_2)$ を満たすとすると、 $q_2=\gamma q_1$ を満たす $\gamma\in\Gamma$ が存在する。 $q_2\in\gamma U\cap U$ であるから、上の結論により $\gamma=\epsilon$ でなければならない。よって $q_1=q_2$ である。▨

命題 2.3. $\Gamma$ が $M$ へ微分同相によって真性不連続に作用しているとする。このとき $M/\Gamma$ は Hausdorff である。

証明. $\pi(p)\ne\pi(q)$ とする。すなわち $q\notin\Gamma p$ である。

§E22.2 補題 2.3 (4)により、 $p\in B_p$ 、 $q\in B_q$ を満たす正則座標球で $\overline{B_p}$ 、 $\overline{B_q}$ がコンパクトであるものを取る。 $K=\overline{B_p}\cup\overline{B_q}$ と置くと、 $K$ は二つのコンパクト集合の合併としてコンパクトである（§E2.19 補題 2.8）。 $\Gamma_K$ は定義 1.2により有限集合である。

$\gamma\in\Gamma_K$ を取る。 $q\notin\Gamma p$ であるから $\gamma p\ne q$ である。 $M$ は Hausdorff であるから、交わらない開集合 $C_\gamma\ni\gamma p$ と $D_\gamma\ni q$ が存在する。

A=B_p\cap\bigcap_{\gamma\in\Gamma_K}\theta_\gamma^{-1}(C_\gamma), \qquad D=B_q\cap\bigcap_{\gamma\in\Gamma_K}D_\gamma

と置く。 $\Gamma_K$ は有限集合であるから $A$ は $p$ の開近傍、 $D$ は $q$ の開近傍である。

$\Gamma A\cap D=\varnothing$ を示す。ここで $\Gamma A=\bigcup_{\gamma}\gamma A$ である。 $\gamma a=d$ （ $a\in A$ 、 $d\in D$ 、 $\gamma\in\Gamma$ ）と仮定する。 $a\in A\subseteq B_p\subseteq K$ であり、 $d\in D\subseteq B_q\subseteq K$ であるから $\gamma K\cap K\ne\varnothing$ 、すなわち $\gamma\in\Gamma_K$ である。すると $a\in\theta_\gamma^{-1}(C_\gamma)$ より $\gamma a\in C_\gamma$ であり、 $d\in D_\gamma$ である。 $C_\gamma\cap D_\gamma=\varnothing$ であるから $\gamma a\ne d$ となり矛盾する。

補題 2.1により $\pi(A)$ と $\pi(D)$ は $M/\Gamma$ の開集合であり、それぞれ $\pi(p)$ 、 $\pi(q)$ を含む。両者が交わると仮定すると、 $a\in A$ 、 $d\in D$ で $\pi(a)=\pi(d)$ 、すなわち $d=\gamma a$ を満たす $\gamma\in\Gamma$ が存在する。これは $\Gamma A\cap D=\varnothing$ に反する。よって $\pi(A)\cap\pi(D)=\varnothing$ であり、 $M/\Gamma$ は Hausdorff である。▨

3 商多様体定理

定理 3.1. $M$ を $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $\Gamma$ を離散群とし、 $\Gamma$ が $M$ へ微分同相によって、自由かつ真性不連続に作用しているとする（定義 1.1、定義 1.2）。このとき次が成り立つ。

商位相を与えた $M/\Gamma$ は Hausdorff かつ第二可算である。
$M/\Gamma$ に $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体の構造が入り、商写像 $\pi\colon M\to M/\Gamma$ は局所微分同相である。すなわち各 $p\in M$ に対して $p$ の開近傍 $U$ が存在し、 $\pi(U)$ は開集合であって $\pi|_U\colon U\to\pi(U)$ は微分同相である。
$\pi$ を局所微分同相にする $M/\Gamma$ の $C^\infty$ 構造は、この一つに限る。
各 $\bar p\in M/\Gamma$ は開近傍 $\bar U$ を持ち、 $\pi^{-1}(\bar U)$ は互いに交わらない開集合の合併 $\pi^{-1}(\bar U)=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}\gamma U$ として書かれ、各 $\gamma U$ に対する $\pi$ の制限は $\gamma U$ から $\bar U$ への微分同相である。この性質を、 $\bar U$ が一様に被覆される (evenly covered) という。

証明の中心は主張 (2)の座標変換の計算である。 $M$ の二つの開集合 $U_1$ 、 $U_2$ を命題 2.2のように取り、 $\pi|_{U_i}$ の逆写像を $\sigma_i$ と書くと、二つのチャートの座標変換は $\sigma_2\circ\pi|_{U_1}$ を経由する。この合成が局所的に $\theta_{\gamma_0}$ に一致することを示すのが要であり、この一致を示す際に作用が微分同相によるものであるという仮定を用いる。

証明.主張 (1)を示す。命題 2.3と補題 2.1による。

主張 (2)を示す。 $p\in M$ を取る。命題 2.2により、 $p$ の開近傍 $U_0$ で $\gamma U_0\cap U_0=\varnothing$ （ $\gamma\ne\epsilon$ ）となるものが存在する。§E22.2 補題 2.3 (4)を $O=U_0$ に適用して、 $p\in U\subseteq U_0$ を満たす正則座標球 $U$ を取る。 $U\subseteq U_0$ であるから、 $\gamma\ne\epsilon$ に対して $\gamma U\cap U\subseteq\gamma U_0\cap U_0=\varnothing$ である。§E22.2 補題 2.3 (2)により $(U,\varphi)$ は $M$ の可微分構造に属するチャートである（ $\varphi$ は外側のチャートの制限である）。

補題 2.1により $\pi(U)$ は開集合であり、命題 2.2により $\pi|_U$ は単射である。 $\pi|_U$ は連続かつ開写像であるから、 $U$ から $\pi(U)$ への同相写像である。逆写像を $\sigma_U\colon\pi(U)\to U$ と書く。

\bar\varphi=\varphi\circ\sigma_U\colon\pi(U)\longrightarrow\varphi(U)\subseteq\R^{n}

と定めると、 $\bar\varphi$ は同相写像の合成として同相写像であり、像 $\varphi(U)$ は $\R^{n}$ の開集合である。よって $(\pi(U),\bar\varphi)$ は $M/\Gamma$ の $n$ 次元チャートである。このようなチャートの全体を $\mathcal{A}$ と書く。 $p$ は任意であったから、 $\mathcal{A}$ の定義域の合併は $M/\Gamma$ に等しい。

座標変換を計算する。 $(\pi(U_1),\bar\varphi_1)$ 、 $(\pi(U_2),\bar\varphi_2)$ を $\mathcal{A}$ の二つのチャートとし、 $\pi(U_1)\cap\pi(U_2)\ne\varnothing$ とする。 $\bar x\in\pi(U_1)\cap\pi(U_2)$ を取り、 $y_0=\sigma_{U_1}(\bar x)\in U_1$ と置く。 $\bar x\in\pi(U_2)$ であるから、 $\gamma_0 y_0\in U_2$ を満たす $\gamma_0\in\Gamma$ が存在する。

$N=U_1\cap\theta_{\gamma_0}^{-1}(U_2)$ と置く。 $\theta_{\gamma_0}$ は連続であるから $N$ は開集合であり、 $y_0\in N$ である。 $y\in N$ に対して $\gamma_0y\in U_2$ であり $\pi(\gamma_0y)=\pi(y)$ であるから、 $\sigma_{U_2}$ の定義（ $U_2$ の中で $\pi$ の値が $\pi(y)$ である唯一の点）により

\sigma_{U_2}\bigl(\pi(y)\bigr)=\gamma_0y=\theta_{\gamma_0}(y) \qquad(y\in N)

である。したがって $\varphi_1(N)$ の上で

\bar\varphi_2\circ\bar\varphi_1^{-1} =\varphi_2\circ\sigma_{U_2}\circ\pi\circ\sigma_{U_1}\circ\bar\varphi_1^{-1} =\varphi_2\circ\theta_{\gamma_0}\circ\varphi_1^{-1}

が成り立つ。ここで $\sigma_{U_1}\circ\bar\varphi_1^{-1}=\varphi_1^{-1}$ を用いた。右辺は、 $\theta_{\gamma_0}$ が $M$ の微分同相であることと§E22.1 系 7.2により、 $C^\infty$ 写像の合成であって $C^\infty$ である。 $\varphi_1(N)$ は $\bar\varphi_1(\bar x)=\varphi_1(y_0)$ を含む開集合である。

$\bar x$ は $\pi(U_1)\cap\pi(U_2)$ の任意の点であったから、 $\bar\varphi_2\circ\bar\varphi_1^{-1}$ は定義域の各点の近傍で $C^\infty$ であり、したがって定義域全体で $C^\infty$ である。添字 $1$ と $2$ を入れ替えれば逆向きの座標変換の $C^\infty$ 性も従う。よって $\mathcal{A}$ は $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスである。

主張 (2)の証明を完成させる。主張 (1)と合わせて、 $M/\Gamma$ は§E22.1 定義 2.2の意味で $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体である（可微分構造は§E22.1 命題 2.3により $\mathcal{A}$ から一意に定まる）。 $\pi$ が局所微分同相であることを示す。上で取った $U$ に対して、チャート $(U,\varphi)$ と $(\pi(U),\bar\varphi)$ に関する $\pi|_U$ の座標表示は

\bar\varphi\circ\pi\circ\varphi^{-1}=\varphi\circ\sigma_U\circ\pi\circ\varphi^{-1}=\varphi\circ\varphi^{-1}=\operatorname{id}

であり、恒等写像は $C^\infty$ である。逆写像 $\sigma_U$ の座標表示も恒等写像である。§E22.1 命題 4.2により $\pi|_U$ と $\sigma_U$ はともに $C^\infty$ であり、 $\pi|_U\colon U\to\pi(U)$ は微分同相である。

主張 (3)を示す。 $\mathcal{B}$ を、 $M/\Gamma$ の同じ位相の上の $C^\infty$ 構造であって $\pi$ を局所微分同相にするものとする。 $\mathcal{A}^{*}$ を主張 (2)で得た可微分構造とし、恒等写像

\operatorname{id}\colon(M/\Gamma,\mathcal{A}^{*})\longrightarrow(M/\Gamma,\mathcal{B})

が微分同相であることを示せば、二つの極大アトラスが一致することが従う（微分同相であれば、一方のチャートは他方のチャートと両立する）。

$\bar p\in M/\Gamma$ を取り、 $p\in\pi^{-1}(\bar p)$ を取る。 $\mathcal{A}^{*}$ について $\pi$ が局所微分同相であることから、 $p$ の開近傍 $U_1$ で $\pi|_{U_1}\colon U_1\to\pi(U_1)$ が $\mathcal{A}^{*}$ に関する微分同相であるものが存在する。同様に $\mathcal{B}$ について $p$ の開近傍 $U_2$ が存在する。 $U=U_1\cap U_2$ と置くと、 $\pi|_U$ は $\pi(U)$ への微分同相である（ $\mathcal{A}^{*}$ についても $\mathcal{B}$ についても、微分同相の開集合への制限であり、補題 2.1により像は開集合である）。 $\pi(U)$ の上で

\operatorname{id}=\bigl(\pi|_U\bigr)_{\mathcal{B}}\circ\Bigl(\bigl(\pi|_U\bigr)_{\mathcal{A}^{*}}\Bigr)^{-1}

であり、右辺は $C^\infty$ 写像の合成である。ここで下付きの記号は、写像の終域にどちらの構造を与えるかを表す。よって $\operatorname{id}$ は $\bar p$ の近傍で $C^\infty$ である。 $\bar p$ は任意であるから§E22.1 命題 4.2により $\operatorname{id}$ は $C^\infty$ である。 $\mathcal{A}^{*}$ と $\mathcal{B}$ の役割を入れ替えると逆写像も $C^\infty$ であるから、 $\operatorname{id}$ は微分同相である。したがって $\mathcal{B}=\mathcal{A}^{*}$ である。

主張 (4)を示す。命題 2.2が与える $U$ は、 $\gamma\ne\epsilon$ ならば $\gamma U\cap U=\varnothing$ を満たす。したがって§E21.10 補題 3.1 (1)により、 $\pi$ は被覆写像であり、 $\bar U=\pi(U)$ に対して

\pi^{-1}(\bar U)=\coprod_{\gamma\in\Gamma}\gamma U

となる。第2項の証明で $U$ を座標近傍へ縮めても、この近傍条件は保たれる。

$\pi|_{\gamma U}$ が微分同相であることを示す。 $\pi\circ\theta_\gamma=\pi$ であるから $\pi|_{\gamma U}=\pi|_U\circ\theta_{\gamma^{-1}}|_{\gamma U}$ である。 $\theta_{\gamma^{-1}}$ は $\gamma U$ から $U$ への微分同相であり、 $\pi|_U$ は $U$ から $\bar U$ への微分同相であるから、合成は $\gamma U$ から $\bar U$ への微分同相である。▨

注意 3.2 (被覆と商の可微分構造).定理 3.1 (4)の被覆としての分解は§E21.10 補題 3.1 (1)による。本記事では、商の可微分構造を構成し、商写像の各シートへの制限が微分同相となることを示した。被覆の分類、被覆変換群、持ち上げの定理および基本群との対応は §E21 位相幾何入門が扱う。

4 真性不連続性を弱めることができないこと

定理 4.1. $M=\R^{2}\setminus\{0\}$ とし、 $\R^{2}$ の開部分多様体（§E22.1 命題 7.1）と見る。 $\Gamma=\Z$ （加法群）とし、

n\cdot(x,y)=\bigl(2^{n}x,\ 2^{-n}y\bigr)\qquad(n\in\Z,\ (x,y)\in M)

と定める。このとき次が成り立つ。

これは定義 1.1の意味で $\Z$ の $M$ への微分同相による作用であり、自由である。
各点 $p\in M$ は開近傍 $U$ を持ち、 $n\ne0$ を満たすすべての $n\in\Z$ に対して $(n\cdot U)\cap U=\varnothing$ である。
この作用は真性不連続でない。実際、 $K=\{(x,y)\in\R^{2}\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le4\}$ は $M$ のコンパクト集合であり、 $\Gamma_K$ は無限集合である。
$M/\Gamma$ は Hausdorff でない。 $p=(1,0)$ の軌道と $q=(0,1)$ の軌道は、 $M/\Gamma$ において開集合で分離することができない。

証明.主張 (1)を示す。 $(x,y)\ne(0,0)$ ならば $(2^{n}x,2^{-n}y)\ne(0,0)$ であるから、値は $M$ に属する。 $0\cdot(x,y)=(x,y)$ であり、

m\cdot\bigl(n\cdot(x,y)\bigr)=m\cdot(2^{n}x,2^{-n}y)=(2^{m+n}x,2^{-m-n}y)=(m+n)\cdot(x,y)

であるから群作用である。 $\theta_n(x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ は $\R^{2}$ の線形同型の $M$ への制限であり、 $M$ を $M$ へ写す。線形写像は $C^\infty$ であり、逆写像 $\theta_{-n}$ も $C^\infty$ であるから $\theta_n$ は $M$ の微分同相である。

自由性を示す。 $n\cdot(x,y)=(x,y)$ とする。 $x\ne0$ ならば $2^{n}x=x$ から $2^{n}=1$ 、すなわち $n=0$ である。 $x=0$ ならば $(x,y)\in M$ より $y\ne0$ であり、 $2^{-n}y=y$ から $2^{-n}=1$ 、すなわち $n=0$ である。

主張 (2)を示す。 $p=(x_0,y_0)\in M$ とする。 $x_0\ne0$ の場合、

U=\Bigl\{(x,y)\in M\ \Bigm|\ \tfrac{1}{\sqrt2}\lvert x_0\rvert<\lvert x\rvert<\sqrt2\,\lvert x_0\rvert\Bigr\}

と置く。 $(x,y)\mapsto\lvert x\rvert$ は連続であるから $U$ は開集合であり、 $p\in U$ である。 $(x,y)\in U$ かつ $n\cdot(x,y)\in U$ とすると $\lvert x\rvert$ と $2^{n}\lvert x\rvert$ がともに区間 $(\lvert x_0\rvert/\sqrt2,\ \sqrt2\lvert x_0\rvert)$ に属する。この区間の右端と左端の比は $2$ であるから

\frac{1}{2}<\frac{2^{n}\lvert x\rvert}{\lvert x\rvert}=2^{n}<2

であり、 $n=0$ である。よって $n\ne0$ ならば $(n\cdot U)\cap U=\varnothing$ である。

$x_0=0$ の場合は $y_0\ne0$ であり、 $U=\{(x,y)\in M\mid\lvert y_0\rvert/\sqrt2<\lvert y\rvert<\sqrt2\lvert y_0\rvert\}$ と置くと、同じ議論で $2^{-n}\in(1/2,2)$ 、すなわち $n=0$ を得る。

主張 (3)を示す。 $K$ は $\R^{2}$ の有界閉集合であるから§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、 $0\notin K$ であるから $K\subseteq M$ である。 $M$ の部分集合としてもコンパクトである。

$n$ を正の整数とし、 $q_n=(2^{-n},1)$ と置く。 $q_n$ のノルムの平方は $4^{-n}+1$ であり、 $1\le 4^{-n}+1\le2\le4$ であるから $q_n\in K$ である。また

n\cdot q_n=\bigl(2^{n}\cdot2^{-n},\ 2^{-n}\cdot1\bigr)=(1,\ 2^{-n})

であり、ノルムの平方は $1+4^{-n}$ であるから同じ理由で $n\cdot q_n\in K$ である。よって $(n\cdot K)\cap K\ne\varnothing$ であり、 $n\in\Gamma_K$ である。 $n$ はすべての正の整数を動くので $\Gamma_K$ は無限集合である。したがってこの作用は真性不連続でない。

主張 (4)を示す。 $p=(1,0)$ 、 $q=(0,1)$ と置く。軌道は

\Gamma p=\{(2^{n},0)\mid n\in\Z\}, \qquad \Gamma q=\{(0,2^{-n})\mid n\in\Z\}

である。 $\Gamma p$ の元はすべて第二成分が $0$ 、 $\Gamma q$ の元はすべて第一成分が $0$ であり、 $M$ の点は $(0,0)$ でないから、二つの軌道は交わらない。よって $\pi(p)\ne\pi(q)$ である。

$\bar A$ を $\pi(p)$ を含む $M/\Gamma$ の開集合、 $\bar D$ を $\pi(q)$ を含む $M/\Gamma$ の開集合とする。 $A=\pi^{-1}(\bar A)$ 、 $D=\pi^{-1}(\bar D)$ と置くと、 $A$ は $p$ を含む $M$ の開集合、 $D$ は $q$ を含む $M$ の開集合である。

$u_m=(1,2^{-m})$ （ $m$ は正の整数）と置く。 $m\to\infty$ のとき $u_m\to(1,0)=p$ であるから、 $A$ が $p$ の開近傍であることにより、ある正の整数 $m_1$ が存在して $m\ge m_1$ ならば $u_m\in A$ である。一方

(-m)\cdot u_m=\bigl(2^{-m}\cdot1,\ 2^{m}\cdot2^{-m}\bigr)=(2^{-m},\ 1)

であり、 $m\to\infty$ のとき $(2^{-m},1)\to(0,1)=q$ であるから、ある正の整数 $m_2$ が存在して $m\ge m_2$ ならば $(-m)\cdot u_m\in D$ である。

$m=\max\{m_1,m_2\}$ と取ると、 $u_m\in A$ かつ $(-m)\cdot u_m\in D$ である。 $\pi(u_m)=\pi((-m)\cdot u_m)$ であるから、この点は $\bar A\cap\bar D$ に属する。よって $\bar A\cap\bar D\ne\varnothing$ である。

$\bar A$ 、 $\bar D$ は任意であったから、 $\pi(p)$ と $\pi(q)$ を交わらない開集合で分離することはできない。したがって $M/\Gamma$ は Hausdorff でない。▨

注意 4.2 (この反例が示していること).定理 4.1の作用は、注意 1.3に書いた弱い条件、すなわち各点が $\gamma U\cap U=\varnothing$ となる近傍を持つという条件を満たす（定理 4.1 (2)）。それにもかかわらず商は Hausdorff でない（定理 4.1 (4)）。したがって、定理 3.1の仮定を弱い条件へ置き換えることはできない。

定理 4.1 (2)の $U$ と定理 4.1 (3)の $K$ を見比べると、何が起きているかが分かる。弱い条件は各点の一つの近傍についての条件であり、その近傍は点ごとにいくらでも小さくなってよい。真性不連続性はコンパクト集合の全体についての条件であり、点ごとに小さくしていくことは許されない。定理 4.1 (3)の $q_n$ は、 $n$ とともに $K$ の中を動きながら、 $n$ 倍の作用で $K$ の中に留まる点であり、 $K$ が一つのコンパクト集合であることが本質である。

5 平坦な円環面

定義 5.1. $v_1,v_2\in\R^{2}$ を一次独立とする。

\Lambda=\bigl\{m v_1+l v_2\ \bigm|\ m,l\in\Z\bigr\}

を $v_1,v_2$ が生成する格子 (lattice) という。 $\Lambda$ は $\R^{2}$ の加法についての部分群である。 $\Lambda$ は $\R^{2}$ へ平行移動によって作用する。すなわち $\lambda\cdot z=z+\lambda$ （ $\lambda\in\Lambda$ 、 $z\in\R^{2}$ ）と定める。

命題 5.2.定義 5.1の $\Lambda$ の作用について、次が成り立つ。

この作用は定義 1.1の意味で微分同相による作用であり、自由かつ真性不連続である。したがって定理 3.1により $\R^{2}/\Lambda$ は 2 次元 $C^\infty$ 多様体である。
$\Lambda=\Z^{2}$ の場合、 $\R^{2}/\Z^{2}$ は円環面 $T^{2}=S^{1}\times S^{1}$ （§E22.1 例 7.4）と微分同相である。
一般の $\Lambda$ についても $\R^{2}/\Lambda$ は $T^{2}$ と微分同相である。

証明.主張 (1)を示す。 $\lambda\cdot(\mu\cdot z)=z+\mu+\lambda=(\lambda+\mu)\cdot z$ であり $0\cdot z=z$ であるから群作用である。 $\theta_\lambda(z)=z+\lambda$ は $\R^{2}$ の平行移動であり、 $C^\infty$ で逆写像 $\theta_{-\lambda}$ も $C^\infty$ であるから微分同相である。 $z+\lambda=z$ から $\lambda=0$ であるから自由である。

真性不連続性を示す。 $T\colon\R^{2}\to\R^{2}$ を $T(m,l)=mv_1+lv_2$ で定めると、 $v_1,v_2$ が一次独立であるから $T$ は線形同型であり、 $\Lambda=T(\Z^{2})$ である。 $T^{-1}$ は線形写像であるから、定数 $C>0$ が存在して $\lVert T^{-1}w\rVert\le C\lVert w\rVert$ がすべての $w$ で成り立つ（成分で書くと右辺は有限個の項の和である）。

$K\subseteq\R^{2}$ をコンパクト集合とする。 $K$ は有界である（§E2.9 系 4.1）から、 $R>0$ を $K\subseteq\overline{B}(0,R)$ となるように取る。 $\lambda\in\Lambda$ が $(\lambda+K)\cap K\ne\varnothing$ を満たすとすると、 $z_1,z_2\in K$ で $z_1+\lambda=z_2$ となるものが存在し、 $\lVert\lambda\rVert=\lVert z_2-z_1\rVert\le 2R$ である。 $\lambda=T(m,l)$ と書くと $\lVert(m,l)\rVert=\lVert T^{-1}\lambda\rVert\le 2CR$ である。 $\lvert m\rvert\le 2CR$ かつ $\lvert l\rvert\le 2CR$ を満たす整数の組は有限個であるから、 $\Lambda_K$ は有限集合である。

主張 (2)を示す。 $E\colon\R\to S^{1}$ を $E(u)=(\cos2\pi u,\sin2\pi u)$ で定め、 $\Pi\colon\R^{2}\to T^{2}$ を $\Pi(u,v)=(E(u),E(v))$ で定める。§E22.5 補題 2.3により、 $E$ は $C^\infty$ であり、至るところ局所微分同相である。積のチャートに関する $\Pi$ の座標表示は二つの局所微分同相を並べたものであるから、 $\Pi$ も $C^\infty$ であり局所微分同相である。

$\Pi$ は全射であり、 $\Pi(u,v)=\Pi(u',v')$ であることと $(u-u',v-v')\in\Z^{2}$ であることは同値である（§E22.9 補題 4.1による）。したがって $\Pi$ は軌道の上で一定であり、全単射

\overline{\Pi}\colon\R^{2}/\Z^{2}\longrightarrow T^{2}, \qquad \overline{\Pi}\bigl(\pi(u,v)\bigr)=\Pi(u,v)

を誘導する。 $\overline{\Pi}\circ\pi=\Pi$ が連続であるから、§E2.12 定理 8.10により $\overline{\Pi}$ は連続である。

$\overline{\Pi}$ が $C^\infty$ であることを示す。 $\bar z\in\R^{2}/\Z^{2}$ を取り、 $z\in\pi^{-1}(\bar z)$ を取る。定理 3.1 (2)により、 $z$ の開近傍 $U$ で $\pi|_U$ が $\pi(U)$ への微分同相であるものが存在する。 $\pi(U)$ の上で $\overline{\Pi}=\Pi\circ(\pi|_U)^{-1}$ であり、右辺は $C^\infty$ 写像の合成である。よって $\overline{\Pi}$ は $\bar z$ の近傍で $C^\infty$ であり、§E22.1 命題 4.2により $C^\infty$ である。

$\overline{\Pi}^{-1}$ が $C^\infty$ であることを示す。 $w\in T^{2}$ を取り、 $z\in\Pi^{-1}(w)$ を取る。 $\Pi$ は局所微分同相であるから、 $z$ の開近傍 $O_1$ で $\Pi|_{O_1}$ が開集合 $\Pi(O_1)$ への微分同相であるものが存在する。定理 3.1 (2)により $z$ の開近傍 $O_2$ で $\pi|_{O_2}$ が微分同相であるものが存在する。 $O=O_1\cap O_2$ と置くと、 $\Pi|_{O}$ と $\pi|_{O}$ はいずれも像への微分同相であり、像は開集合である。 $\Pi(O)$ の上で

\overline{\Pi}^{-1}=\pi|_{O}\circ\bigl(\Pi|_{O}\bigr)^{-1}

である。実際、 $w'\in\Pi(O)$ に対して $z'=(\Pi|_O)^{-1}(w')$ と置くと $\overline{\Pi}(\pi(z'))=\Pi(z')=w'$ である。右辺は $C^\infty$ 写像の合成であるから $\overline{\Pi}^{-1}$ は $w$ の近傍で $C^\infty$ である。よって $\overline{\Pi}$ は微分同相である。

主張 (3)を示す。主張 (1)の $T$ は $\R^{2}$ の線形同型であり $T(\Z^{2})=\Lambda$ である。 $T$ は $\R^{2}$ の微分同相であり、 $T(z+(m,l))=T(z)+T(m,l)$ であるから、軌道を軌道へ写す。したがって全単射

\overline{T}\colon\R^{2}/\Z^{2}\longrightarrow\R^{2}/\Lambda

を誘導する。主張 (2)の証明と同じ議論、すなわち $\pi$ と $\pi'$ （ $\Lambda$ についての商写像）が局所微分同相であることを用いると、 $\overline{T}$ とその逆写像がともに $C^\infty$ であることが従う。主張 (2)と合わせて $\R^{2}/\Lambda$ は $T^{2}$ と微分同相である。▨

命題 5.3.定義 5.1の $\Lambda$ について、 $\R^{2}/\Lambda$ は§E22.24 定義 1.1の意味で 2 次元 Lie 群である。群の演算は $\pi(z)+\pi(w)=\pi(z+w)$ で定まる。

証明. $\R^{2}$ は加法について可換群であり、 $\Lambda$ はその部分群である。可換群のすべての部分群は正規部分群であるから（ $z+\lambda-z=\lambda\in\Lambda$ である。§E7.7 定義 1.1）、§E7.7 定理 2.2により商群 $\R^{2}/\Lambda$ が定まる。剰余類 $z+\Lambda$ は $\Lambda$ の作用による $z$ の軌道に等しいから、商群の台集合は本記事の商空間の台集合に一致する。命題 5.2 (1)によりこれは 2 次元 $C^\infty$ 多様体である。

積の写像 $\bar\alpha\bigl(\pi(z),\pi(w)\bigr)=\pi(z+w)$ が $C^\infty$ であることを示す。 $(\bar z_0,\bar w_0)$ を取り、 $z_0\in\pi^{-1}(\bar z_0)$ 、 $w_0\in\pi^{-1}(\bar w_0)$ を取る。定理 3.1 (2)により、 $z_0+w_0$ の開近傍 $W$ で $\pi|_W$ が微分同相であるものを取る。加法 $\alpha(z,w)=z+w$ は連続であるから、 $z_0$ の開近傍 $U$ と $w_0$ の開近傍 $V$ を、 $\pi|_U$ と $\pi|_V$ がともに微分同相であり、かつ $\alpha(U\times V)\subseteq W$ となるように取ることができる。 $\pi(U)\times\pi(V)$ の上で

\bar\alpha=\pi|_W\circ\alpha\circ\Bigl(\bigl(\pi|_U\bigr)^{-1}\times\bigl(\pi|_V\bigr)^{-1}\Bigr)

であり、右辺は $C^\infty$ 写像の合成である。§E22.1 命題 4.2により $\bar\alpha$ は $C^\infty$ である。

逆元の写像 $\bar\nu(\pi(z))=\pi(-z)$ についても同様である。 $z_0$ の開近傍 $U_1$ と $-z_0$ の開近傍 $U_2$ を、 $\pi|_{U_1}$ と $\pi|_{U_2}$ がともに微分同相であるように取り、 $U=U_1\cap(-U_2)$ と置くと $-U\subseteq U_2$ である。 $\pi(U)$ の上で $\bar\nu=\pi|_{U_2}\circ(-\operatorname{id})\circ(\pi|_U)^{-1}$ であり、右辺は $C^\infty$ 写像の合成である。よって $\R^{2}/\Lambda$ は Lie 群である。▨

注意 5.4 (「平坦」という呼び名について).命題 5.2で構成した $\R^{2}/\Lambda$ を平坦な円環面と呼ぶ。本記事で行った構成は商多様体としての構成であり、計量を用いていない。「平坦」という呼び名は、 $\R^{2}$ から誘導される計量が曲率を持たないことに由来する。その内容、すなわち計量と曲率の定義および平坦であることの意味は、§E23 曲線と曲面と§F30 Riemann 幾何 Iが扱う。本単元では計量を導入しないので、平坦であることを定義も証明もしない。

命題 5.2 (3)では、格子 $\Lambda$ のとり方に依らず $\R^{2}/\Lambda$ が $T^{2}$ と微分同相であることが述べられている。可微分構造の水準では格子の違いは現れない。格子の違いが現れるのは計量を入れた後であり、その扱いは上記の二単元に属する。

6 実射影空間

命題 6.1. $n$ を正の整数とし、 $S^{n}$ に§E22.1 命題 5.1の可微分構造を与える。 $\Gamma=\{1,-1\}$ （乗法についての群）とし、 $\Gamma$ の $S^{n}$ への作用を $(\pm1)\cdot x=\pm x$ で定める。このとき次が成り立つ。

この作用は定義 1.1の意味で微分同相による作用であり、自由かつ真性不連続である。したがって定理 3.1により $S^{n}/\Gamma$ は $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。
$S^{n}/\Gamma$ は、§E22.1 命題 6.1で与えた可微分構造を持つ $\mathbb{RP}^{n}$ と微分同相である。

すなわち、対蹠写像による $S^{n}$ の商は、 $\mathbb{RP}^{n}$ に第一の記事で与えた $C^\infty$ 構造と同じものを与える。

$\mathbb{RP}^{n}$ の可微分構造は、§E22.1 命題 6.1で与えたものである。本記事で示すのは、二つの構成で同じ構造が得られるという点だけである。

証明.主張 (1)を示す。 $1\cdot x=x$ と $(\pm1)\cdot((\pm1)\cdot x)$ の確認は明らかである。 $a(x)=-x$ は $\R^{n+1}$ の線形同型の $S^{n}$ への制限であり、 $S^{n}$ を $S^{n}$ へ写す。 $a$ が $S^{n}$ の微分同相であることを確かめる。 $\varphi_N$ 、 $\varphi_S$ を§E22.1 命題 5.1の立体射影とする。 $x\in U_N$ ならば $x\ne N$ であるから $-x\ne S$ 、すなわち $-x\in U_S$ である。したがって次の座標表示が定義される。

\varphi_S(-x)=\frac{1}{1+(-x^{n+1})}\bigl(-x^{1},\dots,-x^{n}\bigr) =-\frac{1}{1-x^{n+1}}\bigl(x^{1},\dots,x^{n}\bigr)=-\varphi_N(x)

である。ここで $-x\ne S$ （ $x\ne N$ による）であるから $-x\in U_S$ である。したがって $\varphi_S\circ a\circ\varphi_N^{-1}$ は $\R^{n}$ 上の写像 $u\mapsto-u$ であり $C^\infty$ である。同様に $\varphi_N\circ a\circ\varphi_S^{-1}(u)=-u$ である。二つのチャートは $S^{n}$ を覆うので、§E22.1 命題 4.2により $a$ は $C^\infty$ である。 $a\circ a=\operatorname{id}$ であるから $a$ は微分同相である。

自由性を示す。 $-x=x$ とすると $x=0$ であるが $0\notin S^{n}$ である。よって $(-1)\cdot x=x$ となる $x$ は存在せず、作用は自由である。

真性不連続性は $\Gamma$ が有限集合であることから直ちに従う。任意のコンパクト集合 $K$ に対して $\Gamma_K\subseteq\Gamma$ であり、 $\Gamma$ は 2 元集合であるから $\Gamma_K$ は有限である。

主張 (2)を示す。 $\pi\colon S^{n}\to S^{n}/\Gamma$ を商写像、 $\pi_P\colon\R^{n+1}\setminus\{0\}\to\mathbb{RP}^{n}$ を§E22.1 命題 6.1の商写像とする。

次の三つの写像が $C^\infty$ であることを確かめる。

第一に、包含写像 $\iota\colon S^{n}\to\R^{n+1}\setminus\{0\}$ である。§E22.1 命題 5.1の証明により $\iota\circ\varphi_N^{-1}(u)=\Phi(u)=\frac{1}{r+1}(2u^{1},\dots,2u^{n},r-1)$ （ $r=\lVert u\rVert^{2}$ ）であり、各成分は分母 $r+1\ge1$ が消えない有理式であるから $C^\infty$ である。 $\varphi_S$ 側も同様である。 $\Phi(u)\in S^{n}$ であるから $\Phi(u)\ne0$ であり、値は開集合 $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ に属する。よって§E22.1 命題 4.2と§E22.1 命題 7.1により $\iota$ は $C^\infty$ である。

第二に、 $\pi_P$ である。 $\{x\mid x^{i}\ne0\}$ の上でチャート $\varphi_i$ （§E22.1 命題 6.1）に関する座標表示は

x\longmapsto\left(\frac{x^{1}}{x^{i}},\dots,\frac{x^{i-1}}{x^{i}},\frac{x^{i+1}}{x^{i}},\dots,\frac{x^{n+1}}{x^{i}}\right)

であり、分母が消えない有理式であるから $C^\infty$ である。定義域は $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ を覆うので $\pi_P$ は $C^\infty$ である。

第三に、正規化 $\mathcal{N}\colon\R^{n+1}\setminus\{0\}\to S^{n}$ 、 $\mathcal{N}(x)=x/\lVert x\rVert$ である。 $\lVert x\rVert=\bigl(\sum_{i=1}^{n+1}(x^{i})^{2}\bigr)^{1/2}$ は $x\ne0$ で $C^\infty$ である（平方根は正の実数の上で $C^\infty$ である）。 $\mathcal{N}(x)\ne N$ となる $x$ に対して

\varphi_N\bigl(\mathcal{N}(x)\bigr) =\frac{1}{1-x^{n+1}/\lVert x\rVert}\cdot\frac{(x^{1},\dots,x^{n})}{\lVert x\rVert} =\frac{(x^{1},\dots,x^{n})}{\lVert x\rVert-x^{n+1}}

であり、分母は $\mathcal{N}(x)\ne N$ の条件のもとで消えないから $C^\infty$ である。 $\varphi_S$ 側も同様である。よって $\mathcal{N}$ は $C^\infty$ である。

誘導される写像。 $r=\pi_P\circ\iota\colon S^{n}\to\mathbb{RP}^{n}$ と置く。 $x,y\in S^{n}$ に対して $r(x)=r(y)$ であることは、 $y=\lambda x$ と書くことができる $\lambda\ne0$ が存在することであり、 $\lVert x\rVert=\lVert y\rVert=1$ から $\lambda=\pm1$ である。すなわち $r(x)=r(y)$ であることと $y=\pm x$ であることは同値である。 $r$ は全射である（ $[x]\in\mathbb{RP}^{n}$ に対して $\mathcal{N}(x)\in S^{n}$ が $r(\mathcal{N}(x))=[x]$ を満たす）。よって $r$ は軌道の上で一定であり、全単射

\bar r\colon S^{n}/\Gamma\longrightarrow\mathbb{RP}^{n},\qquad\bar r(\pi(x))=r(x)

を誘導する。

一方、 $\pi\circ\mathcal{N}\colon\R^{n+1}\setminus\{0\}\to S^{n}/\Gamma$ は $\pi_P$ の同値関係の上で一定である。実際、 $\mathcal{N}(\lambda x)=\lambda x/\lvert\lambda\rvert\lVert x\rVert=\pm\mathcal{N}(x)$ であり、 $\pi$ は符号の違いを潰す。よって写像

\bar q\colon\mathbb{RP}^{n}\longrightarrow S^{n}/\Gamma,\qquad\bar q\bigl(\pi_P(x)\bigr)=\pi\bigl(\mathcal{N}(x)\bigr)

が定まる。

互いに逆であること。 $x\in S^{n}$ に対して $\bar q(\bar r(\pi(x)))=\bar q(\pi_P(x))=\pi(\mathcal{N}(x))=\pi(x)$ である（ $\lVert x\rVert=1$ による）。 $x\in\R^{n+1}\setminus\{0\}$ に対して $\bar r(\bar q(\pi_P(x)))=\bar r(\pi(\mathcal{N}(x)))=\pi_P(\mathcal{N}(x))=\pi_P(x)$ である（ $\mathcal{N}(x)$ は $x$ の正の実数倍である）。よって $\bar q=\bar r^{-1}$ である。

$\bar r$ が $C^\infty$ であること。 $\bar x\in S^{n}/\Gamma$ を取り、 $x\in\pi^{-1}(\bar x)$ を取る。定理 3.1 (2)により、 $x$ の開近傍 $U$ で $\pi|_U$ が $\pi(U)$ への微分同相であるものが存在する。 $\pi(U)$ の上で $\bar r=r\circ(\pi|_U)^{-1}$ であり、右辺は $C^\infty$ 写像の合成である。§E22.1 命題 4.2により $\bar r$ は $C^\infty$ である。

$\bar q$ が $C^\infty$ であること。§E22.1 命題 6.1の記号で $s_i\colon\R^{n}\to\R^{n+1}$ 、 $s_i(u)=(u^{1},\dots,u^{i-1},1,u^{i},\dots,u^{n})$ とすると、 $s_i(u)$ の第 $i$ 成分は $1$ であるから $s_i(u)\ne0$ であり、 $s_i$ は $\R^{n}$ から $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ へのアフィン写像として $C^\infty$ である。§E22.1 命題 6.1の証明により $\pi_P\circ s_i=\varphi_i^{-1}$ である。したがって $U_i$ の上で

\bar q=\bar q\circ\pi_P\circ s_i\circ\varphi_i=\pi\circ\mathcal{N}\circ s_i\circ\varphi_i

である（第一の等号は $\pi_P\circ s_i\circ\varphi_i=\varphi_i^{-1}\circ\varphi_i=\operatorname{id}_{U_i}$ による）。右辺は $C^\infty$ 写像の合成である（ $\varphi_i$ は§E22.1 系 7.2により $C^\infty$ である）。 $\{U_i\}$ は $\mathbb{RP}^{n}$ を覆うので、§E22.1 命題 4.2により $\bar q$ は $C^\infty$ である。

$\bar r$ は全単射であり、 $\bar r$ と $\bar r^{-1}=\bar q$ がともに $C^\infty$ であるから、 $\bar r$ は微分同相である。▨

例 6.2. $n=2$ の場合を確かめる。§E22.1 命題 6.1では $\mathbb{RP}^{2}$ が 3 枚の斉次座標近傍によるアトラスで与えられ、命題 6.1では $S^{2}/\{\pm1\}$ として与えられる。二つは微分同相である。

商としての側から次元を確かめる。定理 3.1により $\dim(S^{2}/\Gamma)=\dim S^{2}=2$ であり、§E22.1 命題 6.1により得られる次元 $2$ と一致する。

一様に被覆される近傍を書き下す。 $x_0\in S^{2}$ を取り、 $U=\{x\in S^{2}\mid x\cdot x_0>0\}$ （ $x\cdot x_0=\sum_{i=1}^{3}x^{i}x_0^{i}$ ）と置く。ここで用いている $\R^{3}$ の標準的な双線形形式は、 $S^{2}$ を $\R^{3}$ の部分集合として見たときの条件を書くための代数的な補助であり、 $S^{2}$ の上に計量を与えたものではない。 $U$ は開集合であり $x_0\in U$ である。 $x\in U$ ならば $(-x)\cdot x_0=-x\cdot x_0<0$ であるから $-x\notin U$ 、すなわち $(-1)\cdot U\cap U=\varnothing$ である。よって定理 3.1 (4)の意味で $\pi(U)$ は一様に被覆され、 $\pi^{-1}(\pi(U))=U\cup(-U)$ は交わらない二つの開集合の合併である。

$S^{2}$ はコンパクトであるから、 $\pi$ が連続な全射であることにより $\mathbb{RP}^{2}$ もコンパクトである（§E2.19 定理 4.2）。これは§E22.1 例 7.5に述べたことと整合する。

7 作用が自由でない場合

定理 7.1. $M=\R$ とし、 $\Gamma=\{1,-1\}$ が $\R$ へ $(\pm1)\cdot x=\pm x$ で作用するとする。 $Q=\R/\Gamma$ 、 $\pi\colon\R\to Q$ を商写像とする。このとき次が成り立つ。

この作用は微分同相による作用であり真性不連続であるが、自由でない（ $(-1)\cdot0=0$ である）。
$Q$ に $C^\infty$ 多様体の構造を与えて $\pi$ を局所微分同相にすることはできない。
$Q$ は $[0,\infty)$ （ $\R$ からの部分空間位相）と同相であり、1 次元位相多様体ではない。

証明.主張 (1)を示す。 $\theta_{-1}(x)=-x$ は $\R$ の線形同型であり微分同相である。群作用の条件は明らかである。 $\Gamma$ は有限集合であるから、任意のコンパクト集合 $K$ に対して $\Gamma_K\subseteq\Gamma$ は有限であり、作用は真性不連続である。 $(-1)\cdot0=0$ かつ $-1\ne1$ であるから自由でない。

主張 (2)を示す。 $Q$ に $C^\infty$ 多様体の構造が入り $\pi$ が局所微分同相であると仮定する。すると $\pi$ は点 $0$ のある開近傍 $V$ の上で単射である（局所微分同相はとくに局所的に単射である）。 $V$ は $0$ を含む $\R$ の開集合であるから、 $\varepsilon>0$ で $(-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq V$ となるものが存在する。 $x=\varepsilon/2$ と置くと $x\in V$ 、 $-x\in V$ 、 $x\ne-x$ であるが $\pi(x)=\pi(-x)$ である。これは $\pi|_V$ の単射性に反する。よってそのような構造は存在しない。

主張 (3)を示す。 $f\colon\R\to[0,\infty)$ を $f(x)=\lvert x\rvert$ で定めると、 $f$ は連続な全射であり $f(x)=f(y)$ であることと $y=\pm x$ であることは同値である。よって $f$ は全単射 $\bar f\colon Q\to[0,\infty)$ を誘導し、 $\bar f\circ\pi=f$ が連続であるから§E2.12 定理 8.10により $\bar f$ は連続である。逆写像は $\bar f^{-1}(t)=\pi(t)$ であり、これは包含写像 $[0,\infty)\to\R$ と $\pi$ の合成であるから連続である。よって $\bar f$ は同相写像である。

$[0,\infty)$ が 1 次元位相多様体でないことを示す。そうであると仮定すると、 $0$ の開近傍 $V_0$ と、 $\R$ の開集合 $W$ への同相写像 $h\colon V_0\to W$ が存在する。 $a>0$ を $[0,a)\subseteq V_0$ となるように取る。 $h([0,a))$ は $W$ の開集合、したがって $\R$ の開集合であり、 $h|_{[0,a)}$ は $[0,a)$ から $W'=h([0,a))$ への同相写像である。 $w_0=h(0)$ と置く。

$[0,a)\setminus\{0\}=(0,a)$ は連結である（§E2.43 定義 1.1）。同相写像は連結性を保つから $W'\setminus\{w_0\}$ は連結である。 $W'$ は $\R$ の開集合で $w_0$ を含むから、 $\delta>0$ で $(w_0-\delta,w_0+\delta)\subseteq W'$ となるものが存在する。

P=W'\cap(-\infty,w_0),\qquad N_1=W'\cap(w_0,\infty)

と置くと、 $P$ と $N_1$ は交わらない開集合であり、合併は $W'\setminus\{w_0\}$ である。 $w_0-\delta/2\in P$ 、 $w_0+\delta/2\in N_1$ であるからいずれも空でない。これは $W'\setminus\{w_0\}$ が連結であることに反する。よって $[0,\infty)$ は 1 次元位相多様体でない。▨

注意 7.2 (主張 3 の範囲).定理 7.1 (3)では、 $Q$ が 1 次元位相多様体でないことが述べられている。 $Q$ が $n\ne1$ の次元の位相多様体でもないことを示すには、 $\R^{m}$ の開集合と $\R^{n}$ の開集合が同相ならば $m=n$ であるという主張（領域不変性）を要する。本単元ではこの主張を証明せず、§E21 位相幾何入門へ委ねる。

本記事の目的に必要なのは定理 7.1 (2)である。定理 3.1では、商写像を局所微分同相にする $C^\infty$ 構造の存在が主張されている。定理 7.1 (2)により、自由性を落とすとその存在が失われることが示されており、定理の仮定から自由性を外すことができないことが分かる。

8 境界

三つの仮定はいずれも外すことができない。定理 3.1では、作用が微分同相によるものであること、自由であること、真性不連続であることの三つが仮定されている。第一の仮定を位相同相による作用へ弱めると、誘導した座標変換の $C^\infty$ 性と、商写像を局所微分同相にする構造の存在を一般には保証することができない（定義 1.2と解答 (4)）。第二の仮定を外すと、商写像を局所微分同相にする構造が存在しなくなる（定理 7.1）。第三の仮定を弱い条件へ置き換えると商が Hausdorff にならない（定理 4.1）。

離散群でない群の作用。本記事では離散群の作用だけを扱った。Lie 群が多様体へ滑らかに作用する場合、商が多様体になるための条件は別の形になる。その条件は、軌道の次元と安定化群の構造を用いて述べられる。

被覆と商の可微分構造。定理 3.1 (4)は、被覆の各シート上の同相写像が、構成した可微分構造に関して微分同相であることを述べている。

平坦であるという呼び名。注意 5.4のとおり、 $\R^{2}/\Lambda$ を平坦な円環面と呼ぶ根拠は計量にある。本単元では計量を導入せず、商多様体としての構成にとどめる。

9 演習

問題 9.1 (商多様体の確認). 次の各問に答えよ。

定義 1.1の状況で $\Gamma$ が有限群であるとき、商写像 $\pi\colon M\to M/\Gamma$ は閉写像であることを示せ。一方、 $M=\R$ 、 $\Gamma=\Z$ 、 $n\cdot x=x+n$ とするとき、閉集合 $C=\{n+1/n\mid n\ \text{は}\ 2\ \text{以上の整数}\}$ の像 $\pi(C)$ が閉集合でないことを示し、 $\pi$ が閉写像でないことを確かめよ。
定義 5.1の格子 $\Lambda$ と $p\in\R^{2}$ に対して、 $P=\{sv_1+tv_2\mid\lvert s\rvert<\tfrac12,\ \lvert t\rvert<\tfrac12\}$ 、 $U=p+P$ と置く。 $0\ne\lambda\in\Lambda$ ならば $(\lambda+U)\cap U=\varnothing$ であることを示せ。さらに、 $U$ の閉包 $\overline U$ については $(v_1+\overline U)\cap\overline U\ne\varnothing$ であることを示せ。
$\Gamma=\Z$ の $\R^{2}$ への作用を $n\cdot(x,y)=\bigl(x+n,\ (-1)^{n}y\bigr)$ で定める。この作用が微分同相による作用であって自由かつ真性不連続であることを示し、定理 3.1により商 $B=\R^{2}/\Z$ が $2$ 次元 $C^\infty$ 多様体であることを確かめよ。さらに、 $B$ が向きづけ可能でないことを示せ。
$t^{1/3}$ で実数 $t$ の実の三乗根を表し、 $h(x)=(x^{3}+1)^{1/3}$ と置く。 $h$ は $\R$ の同相写像であり、 $n\cdot x=h^{n}(x)=(x^{3}+n)^{1/3}$ （ $n\in\Z$ ）は $\Z$ の $\R$ への作用であって、自由であり、定義 1.2の $\Gamma_K$ がすべてのコンパクト集合 $K$ について有限であることを示せ。さらに、 $h$ は $x=-1$ で微分可能でないことを示し、商位相を与えた $\R/\Z$ の上に、商写像 $\pi$ を局所微分同相にする $C^\infty$ 構造が存在しないことを示せ。
離散群 $\Gamma$ が $M$ へ微分同相によって作用し、各点 $p\in M$ が、 $\gamma\ne\epsilon$ を満たすすべての $\gamma\in\Gamma$ について $\gamma U_p\cap U_p=\varnothing$ となる開近傍 $U_p$ を持つとする。 $M/\Gamma$ が Hausdorff であるならば、この作用は真性不連続であることを示せ。これにより、定理 4.1 (4)の結論の一部である「 $M/\Gamma$ が Hausdorff でないこと」が、定理 4.1 (2)と定理 4.1 (3)から従うことを確かめよ。
定理 4.1の作用を、不変な開集合 $M_+=\{(x,y)\in M\mid x>0\}$ に制限する。制限した作用が自由かつ真性不連続であることを示せ。さらに、§E22.5 補題 2.3の $e$ を用いて $\Psi(x,y)=\bigl(e(\log_2x),\ xy\bigr)$ と置くと、 $\Psi$ が微分同相 $\overline\Psi\colon M_+/\Z\to S^{1}\times\R$ を誘導することを示せ。
$v_1\in\R^{2}$ を $0$ でないベクトル、 $c$ を実数とし、 $v_2=cv_1$ として定義 5.1と同じ式で $\Lambda=\{mv_1+lv_2\mid m,l\in\Z\}$ を定め、 $\Lambda$ を平行移動によって $\R^{2}$ へ作用させる。この作用が自由であることを示せ。さらに、 $c$ が無理数ならば作用は真性不連続でないこと、 $c=p/q$ （ $p,q$ は互いに素な整数、 $q\ge1$ ）ならば $\Lambda=\{(k/q)v_1\mid k\in\Z\}$ であって作用は真性不連続であることを示せ。
$S^{1}=\{z\in\C\mid\lvert z\rvert=1\}$ とし、 $\Gamma=\{1,-1\}$ を命題 6.1のとおり $S^{1}$ へ作用させる。 $q(z)=z^{2}$ が微分同相 $\bar q\colon S^{1}/\Gamma\to S^{1}$ を誘導することを示せ。これと命題 6.1から、 $\mathbb{RP}^{1}$ が $S^{1}$ と微分同相であることを導け。

解答 (演習の解答).

任意の部分集合 $C\subseteq M$ について $\pi^{-1}(\pi(C))=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}\gamma C$ である。実際、 $\pi(p)=\pi(c)$ （ $c\in C$ ）は $p=\gamma c$ を満たす $\gamma$ が存在することと同値である。 $C$ が閉集合ならば、各 $\gamma C=\theta_\gamma(C)$ は同相写像 $\theta_\gamma$ による閉集合の像として閉集合である。 $\Gamma$ が有限ならば右辺は有限個の閉集合の合併であるから閉集合であり、商位相の定義（§E2.12 定義 8.7）により $\pi(C)$ は閉集合である。よって $\pi$ は閉写像である。 $\Gamma=\Z$ の場合を調べる。 $\theta_n(x)=x+n$ は微分同相である。 $C$ の相異なる二点の距離は $1/2$ 以上であるから、有界区間に含まれる $C$ の点は有限個であり、 $C$ は集積点を持たないので閉集合である。上の等式により $\pi^{-1}(\pi(C))=\{k+1/n\mid k\in\Z,\ n\ge2\}$ である。点列 $1/n$ （ $n\ge2$ ）はこの集合に属して $0$ へ収束するが、 $1/n\notin\Z$ であるから $0=k+1/n$ となる $k,n$ は存在せず、 $0$ はこの集合に属さない。よって $\pi^{-1}(\pi(C))$ は閉集合でなく、商位相の定義により $\pi(C)$ は閉集合でない。したがって $\pi$ は閉写像でない。
$z\in(\lambda+U)\cap U$ とすると、 $z=p+u=\lambda+p+u'$ を満たす $u=sv_1+tv_2$ 、 $u'=s'v_1+t'v_2\in P$ が存在する。 $\lambda=mv_1+lv_2$ （ $m,l\in\Z$ ）と書くと $mv_1+lv_2=u-u'=(s-s')v_1+(t-t')v_2$ であり、 $v_1,v_2$ は一次独立であるから $m=s-s'$ 、 $l=t-t'$ である。 $\lvert s-s'\rvert<1$ 、 $\lvert t-t'\rvert<1$ であり $m,l$ は整数であるから $m=l=0$ 、すなわち $\lambda=0$ である。よって $\lambda\ne0$ ならば $(\lambda+U)\cap U=\varnothing$ である。 $T(s,t)=sv_1+tv_2$ は $\R^{2}$ の線形同型であり、とくに同相写像であるから、 $\overline P=T\bigl([-\tfrac12,\tfrac12]^{2}\bigr)$ であり $\overline U=p+\overline P$ である。 $z=p+\tfrac12v_1$ と置くと $z\in\overline U$ であり、 $z=v_1+\bigl(p-\tfrac12v_1\bigr)$ かつ $p-\tfrac12v_1\in\overline U$ であるから $z\in(v_1+\overline U)\cap\overline U$ である。
$0\cdot(x,y)=(x,y)$ であり、 $m\cdot\bigl(n\cdot(x,y)\bigr)=\bigl(x+n+m,\ (-1)^{m}(-1)^{n}y\bigr)=(m+n)\cdot(x,y)$ であるから群作用である。 $\theta_n$ は $\R^{2}$ のアフィン同型であり、 $C^\infty$ であって逆写像 $\theta_{-n}$ も $C^\infty$ であるから微分同相である。 $n\cdot(x,y)=(x,y)$ ならば $x+n=x$ から $n=0$ であり、作用は自由である。 $K$ をコンパクト集合とし、 $R>0$ を $K\subseteq[-R,R]\times\R$ となるように取る（ $K$ の第一成分への射影は有界である）。 $(n\cdot K)\cap K\ne\varnothing$ ならば、第一成分が $[-R,R]$ に属する二点の差が $n$ であるから $\lvert n\rvert\le2R$ である。よって $\Gamma_K$ は有限であり、作用は真性不連続である。定理 3.1により $B$ は $2$ 次元 $C^\infty$ 多様体であり、 $\pi$ は局所微分同相である。 $B$ に向き形式 $\mu$ が存在すると仮定する。 $\pi$ は局所微分同相であるから、各 $z$ で $d\pi_z$ は線形同型であり（§E22.3 系 5.4）、 $(\pi^*\mu)_z=\mu_{\pi(z)}\circ(d\pi_z\times d\pi_z)\ne0$ である。よって $\pi^*\mu=f\,dx\wedge dy$ と書くと $f$ は $\R^{2}$ の上で零点を持たない $C^\infty$ 関数である。 $\pi\circ\theta_1=\pi$ であるから、§E22.10 命題 5.2により $\theta_1^*(\pi^*\mu)=\pi^*\mu$ である。一方§E22.10 命題 5.4により $\theta_1^*(dx)=dx$ 、 $\theta_1^*(dy)=-dy$ であるから $\theta_1^*\bigl(f\,dx\wedge dy\bigr)=-(f\circ\theta_1)\,dx\wedge dy$ であり、すべての $(x,y)$ で $f(x+1,-y)=-f(x,y)$ が成り立つ。 $\{f>0\}$ と $\{f<0\}$ は交わらない開集合であって $\R^{2}$ を覆い、 $\R^{2}$ は連結であるから（§E2.43 定義 1.1）、一方は空である。しかし $f(0,0)$ と $f(1,0)=-f(0,0)$ は符号が異なるので矛盾する。よって $B$ は向きづけ可能でない。
$g(x)=x^{3}$ は狭義単調増加な連続全単射であり、逆写像 $g^{-1}(y)=y^{1/3}$ も連続であるから $\R$ の同相写像である。 $\tau_n(y)=y+n$ と置くと $h=g^{-1}\circ\tau_1\circ g$ であり、帰納法により $h^{n}=g^{-1}\circ\tau_n\circ g$ 、すなわち $h^{n}(x)=(x^{3}+n)^{1/3}$ がすべての $n\in\Z$ で成り立つ。 $h^{m}\circ h^{n}=h^{m+n}$ 、 $h^{0}=\operatorname{id}$ であるから群作用であり、各 $h^{n}$ は同相写像である。 $h^{n}(x)=x$ ならば $x^{3}+n=x^{3}$ から $n=0$ であり、作用は自由である。 $K$ をコンパクト集合とし、 $K\subseteq[-R,R]$ となる $R>0$ を取る。 $h^{n}(K)\cap K\ne\varnothing$ ならば、 $x,x'\in K$ で $x'^{3}=x^{3}+n$ となるものが存在するから $\lvert n\rvert\le2R^{3}$ である。よって $\Gamma_K$ は有限である。 $h(-1)=0$ であり、 $x\ne-1$ に対して $\frac{h(x)-h(-1)}{x+1}=\frac{\bigl((x+1)(x^{2}-x+1)\bigr)^{1/3}}{x+1}=\frac{(x^{2}-x+1)^{1/3}}{(x+1)^{2/3}}$ である。ここで $(x+1)^{2/3}=\bigl((x+1)^{1/3}\bigr)^{2}>0$ である。 $x\to-1$ のとき分子は $3^{1/3}$ へ収束し、分母は $0$ へ収束するので、差商は $+\infty$ へ発散する。よって $h$ は $-1$ で微分可能でない。 $Q=\R/\Z$ に $\pi$ を局所微分同相にする $C^\infty$ 構造が存在すると仮定する。 $0$ の開近傍 $W'$ で $\pi|_{W'}$ が開集合 $\pi(W')$ への微分同相であるものを取る。 $-1$ の開近傍 $W$ を、 $\pi|_W$ が開集合 $\pi(W)$ への微分同相であり、 $h(W)\subseteq W'$ となるように取る（ $h$ は連続であり $h(-1)=0$ である）。 $x\in W$ に対して $\pi(h(x))=\pi(x)$ かつ $h(x)\in W'$ であるから、 $h(x)=(\pi|_{W'})^{-1}\bigl(\pi(x)\bigr)$ である。すなわち $W$ の上で $h=(\pi|_{W'})^{-1}\circ\pi|_W$ であり、右辺は $C^\infty$ 写像の合成であるから $h$ は $-1$ で微分可能になって矛盾する。よってそのような構造は存在しない。この例により、定理 3.1から作用が微分同相によるものであるという仮定を外すと、結論が成り立たない。
$(p,q)\in M\times M$ ごとに、 $p$ の開近傍 $A_{pq}$ と $q$ の開近傍 $D_{pq}$ であって、 $S_{pq}=\{\gamma\in\Gamma\mid\gamma A_{pq}\cap D_{pq}\ne\varnothing\}$ が高々一つの元からなるものを作る。 $\pi(p)\ne\pi(q)$ の場合、 $M/\Gamma$ は Hausdorff であるから、交わらない開集合 $\bar A\ni\pi(p)$ 、 $\bar D\ni\pi(q)$ が存在する。 $A_{pq}=\pi^{-1}(\bar A)$ 、 $D_{pq}=\pi^{-1}(\bar D)$ と置くと、 $\gamma a\in D_{pq}$ （ $a\in A_{pq}$ ）ならば $\pi(\gamma a)=\pi(a)\in\bar A\cap\bar D=\varnothing$ となるので、 $S_{pq}=\varnothing$ である。 $\pi(p)=\pi(q)$ の場合、 $q=\gamma_0p$ を満たす $\gamma_0$ を取り、 $A_{pq}=U_p$ 、 $D_{pq}=\gamma_0U_p$ と置く（ $\theta_{\gamma_0}$ は同相写像であるから $D_{pq}$ は開集合である）。 $\gamma a=\gamma_0a'$ （ $a,a'\in U_p$ ）ならば $(\gamma_0^{-1}\gamma)a=a'$ であり、 $(\gamma_0^{-1}\gamma)U_p\cap U_p\ne\varnothing$ であるから $\gamma_0^{-1}\gamma=\epsilon$ 、すなわち $\gamma=\gamma_0$ である。よって $S_{pq}\subseteq\{\gamma_0\}$ である。 $K$ をコンパクト集合とすると、§E2.19 定理 5.3により $K\times K$ はコンパクトであり、 $\{A_{pq}\times D_{pq}\}_{(p,q)\in K\times K}$ は $K\times K$ の開被覆であるから、有限個 $A_1\times D_1,\dots,A_r\times D_r$ で覆うことができる。それぞれの $S$ を $S_1,\dots,S_r$ と書く。 $\gamma\in\Gamma_K$ ならば、 $k\in K$ で $\gamma k\in K$ となるものが存在し、 $(k,\gamma k)\in A_i\times D_i$ を満たす $i$ を取ると $\gamma k\in\gamma A_i\cap D_i$ であるから $\gamma\in S_i$ である。よって $\Gamma_K\subseteq S_1\cup\cdots\cup S_r$ であり、 $\Gamma_K$ は高々 $r$ 個の元からなる。したがって作用は真性不連続である。定理 4.1では、定理 4.1 (2)により各点が上の $U_p$ を持つ。 $M/\Gamma$ が Hausdorff であるとすると、いま示したことにより作用は真性不連続になり、定理 4.1 (3)に反する。よって $M/\Gamma$ は Hausdorff でない。
$x>0$ ならば $2^{n}x>0$ であるから $M_+$ は不変であり、 $\theta_n$ の $M_+$ への制限は $M_+$ の微分同相である。自由性は定理 4.1 (1)から従う。 $K\subseteq M_+$ をコンパクト集合とすると、連続関数 $(x,y)\mapsto x$ は $K$ の上で正の最小値 $a$ と最大値 $b$ を取る（§E2.19 定理 4.2）。 $(n\cdot K)\cap K\ne\varnothing$ ならば、 $x\in[a,b]$ で $2^{n}x\in[a,b]$ となるものが存在するから $a/b\le2^{n}\le b/a$ であり、そのような整数 $n$ は有限個である。よって制限した作用は真性不連続であり、定理 3.1により $M_+/\Z$ は $2$ 次元 $C^\infty$ 多様体で、商写像 $\pi$ は局所微分同相である。 $\Psi$ は $C^\infty$ 関数の合成であるから $C^\infty$ であり、§E22.9 補題 4.1により $e$ は周期 $1$ を持つので $\Psi(2^{n}x,2^{-n}y)=\bigl(e(\log_2x+n),\ xy\bigr)=\Psi(x,y)$ である。よって $\Psi$ は軌道の上で一定であり、写像 $\overline\Psi$ を誘導する。 $\Psi(x,y)=\Psi(x',y')$ ならば、同じ補題により $\log_2x'-\log_2x=n\in\Z$ であるから $x'=2^{n}x$ であり、 $x'y'=xy$ から $y'=2^{-n}y$ であって $(x',y')=n\cdot(x,y)$ である。よって $\overline\Psi$ は単射である。 $e$ は全射であるから、 $(e(u),c)=\Psi(2^{u},c\,2^{-u})$ により $\overline\Psi$ は全射である。 $\overline\Psi\circ\pi=\Psi$ であり、命題 5.2の証明と同じく、 $\pi$ が微分同相になる開集合 $U$ の上で $\overline\Psi=\Psi\circ(\pi|_U)^{-1}$ と書くことができるので、 $\overline\Psi$ は $C^\infty$ である。逆写像を調べる。 $(w_0,c_0)\in S^{1}\times\R$ を取り、 $w_0=e(u_0)$ とする。§E22.5 補題 2.3により、 $u_0$ を含む開区間 $J$ で $e|_J$ が開集合 $e(J)$ への微分同相になるものが存在する。 $\sigma=(e|_J)^{-1}$ と置くと、 $e(J)\times\R$ の上で $\overline\Psi^{-1}(w,c)=\pi\bigl(2^{\sigma(w)},\ c\,2^{-\sigma(w)}\bigr)$ である。実際、右辺を $\overline\Psi$ で写すと $\bigl(e(\sigma(w)),c\bigr)=(w,c)$ である。右辺は $C^\infty$ 写像の合成であるから、 $\overline\Psi^{-1}$ は $C^\infty$ である。よって $\overline\Psi$ は微分同相である。
$\Lambda$ は $\R^{2}$ の加法についての部分群であり、平行移動 $z\mapsto z+\lambda$ は微分同相であるから、微分同相による作用である。 $z+\lambda=z$ ならば $\lambda=0$ であるから自由である。 $\Lambda=\{(m+lc)v_1\mid m,l\in\Z\}$ である。 $c$ が無理数の場合を考える。正の整数 $N$ に対して、 $0\le l\le N$ を満たす $l$ について $lc$ の小数部分を考えると、 $N+1$ 個の値が長さ $1/N$ の $N$ 個の区間に分かれて属するので、 $l<l'$ で小数部分の差の絶対値が $1/N$ 未満となるものが存在する。その差は $m+(l'-l)c$ （ $m\in\Z$ ）の形であり、 $c$ が無理数で $l'\ne l$ であるから $0$ でない。よって $\Z+c\Z$ は絶対値が任意に小さい $0$ でない元を含む。 $0<\lvert d\rvert<\varepsilon$ を満たす $d\in\Z+c\Z$ の整数倍 $kd$ は間隔 $\lvert d\rvert$ で並ぶので、長さ $\varepsilon$ の開区間はいずれも $\Z+c\Z$ の元を含む。 $\varepsilon>0$ は任意であるから、 $\Z+c\Z$ はすべての開区間と交わる。区間 $[-1/\lVert v_1\rVert,\ 1/\lVert v_1\rVert]$ は互いに交わらない無限個の開区間を含むので、 $\Z+c\Z$ の無限個の元を含み、 $m+lc$ の値が異なれば $\lambda=(m+lc)v_1$ も異なる。 $K=\overline B(0,1)$ と置くと、そのような $\lambda$ について $\lVert\lambda\rVert\le1$ であり、 $-\lambda/2\in K$ かつ $-\lambda/2+\lambda=\lambda/2\in K$ であるから $(\lambda+K)\cap K\ne\varnothing$ である。よって $\Lambda_K$ は無限集合であり、作用は真性不連続でない。 $c=p/q$ の場合、 $m+lc=(mq+lp)/q$ である。 $p,q$ は互いに素であるから、整数 $mq+lp$ はすべての整数を値に取る。よって $\Lambda=\{(k/q)v_1\mid k\in\Z\}$ である。 $K$ をコンパクト集合とし、 $K\subseteq\overline B(0,R)$ と取ると、 $(\lambda+K)\cap K\ne\varnothing$ ならば $\lVert\lambda\rVert\le2R$ であり、 $\lambda=(k/q)v_1$ について $\lvert k\rvert\le2Rq/\lVert v_1\rVert$ である。そのような $k$ は有限個であるから、作用は真性不連続である。
$\R^{2}$ を $\C$ と同一視すると $e(s)=\cos2\pi s+i\sin2\pi s$ であり、加法定理により $e(s)e(s')=e(s+s')$ 、とくに $q(e(s))=e(2s)$ である。命題 6.1により、 $\Gamma$ の作用は自由かつ真性不連続であり、商写像 $\pi\colon S^{1}\to S^{1}/\Gamma$ は局所微分同相である。 $q$ が $C^\infty$ であることを示す。 $z_0=e(s_0)$ とし、§E22.5 補題 2.3により $s_0$ を含む開区間 $J$ で $e|_J$ が開集合 $e(J)$ への微分同相になるものを取る。 $e(J)$ の上で $q=e\circ m_2\circ(e|_J)^{-1}$ （ $m_2(s)=2s$ ）であり、右辺は $C^\infty$ 写像の合成である。 $q(-z)=q(z)$ であるから $q$ は軌道の上で一定であり、写像 $\bar q$ を誘導する。 $z^{2}=w^{2}$ は $(z-w)(z+w)=0$ 、すなわち $w=\pm z$ と同値であるから $\bar q$ は単射である。 $w=e(u)$ に対して $q(e(u/2))=w$ であるから $\bar q$ は全射である。 $\pi$ が微分同相になる開集合 $U$ の上で $\bar q=q\circ(\pi|_U)^{-1}$ であるから $\bar q$ は $C^\infty$ である。逆写像を調べる。 $w_0=e(u_0)$ とし、 $u_0$ を含む開区間 $J'$ で $e|_{J'}$ が開集合 $e(J')$ への微分同相になるものを取って $\sigma=(e|_{J'})^{-1}$ と置く。 $e(J')$ の上で $s(w)=e\bigl(\sigma(w)/2\bigr)$ と定めると、 $s$ は $C^\infty$ であり $q(s(w))=e(\sigma(w))=w$ である。よって $e(J')$ の上で $\bar q^{-1}=\pi\circ s$ であり、 $\bar q^{-1}$ は $C^\infty$ である。したがって $\bar q$ は微分同相である。命題 6.1により $S^{1}/\Gamma$ は $\mathbb{RP}^{1}$ と微分同相であるから、微分同相の合成により $\mathbb{RP}^{1}$ は $S^{1}$ と微分同相である（§E22.1 系 4.3）。

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§E22.28離散群の固有不連続な作用と商多様体