§E22.15向きと多様体上の積分

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§E4 実解析 IIの重積分では、Rn\R^nの座標を固定したうえで関数を積分する。多様体の上には固定した座標がないので、同じ方法をそのまま用いることができない。二つのチャートで同じ関数を積分すると、変数変換公式によって値が Jacobi 行列式の絶対値の倍だけ食い違う。

二つのチャートで積分した値の食い違いを消す方法は、積分の対象を関数から最高次微分形式へ取り替えることである。nn次形式の成分は、座標変換に対してちょうど Jacobi 行列式の倍になる（§E22.10 系 4.3）。一方、重積分は変数変換に対して Jacobi 行列式の絶対値の倍になる。両者は、Jacobi 行列式が正である座標変換に限って一致する。向きを固定して座標変換を Jacobi 行列式が正であるものに限れば、nn次形式の積分は座標のとり方に依らない値を持つ。

本記事では、積分の対象を最高次微分形式に取るという方針に従って、向きづけられたnn次元C∞C^\infty境界付き多様体MMと台がコンパクトなω∈Ωn(M)\omega\in\Omega^n(M)に対して∫Mω\int_M\omegaを定義し、その値が向きを保つアトラスと1の分割のとり方に依らないことを証明する。あわせて、Rn\R^nの正則な劣位集合の上では、この積分が§E4 実解析 IIの Riemann 重積分に一致することを示す。この一致は、§E22.16 Stokes の定理で古典的な積分定理を特別な場合として得るために必要である。

以下、MMはnn次元C∞C^\infty境界付き多様体とする。次元の制限は置かない。向きづけられたMMに対して、向きを保つ境界付きチャートの定義域がMMを覆うことは§E22.14 定理 6.4により保証される。n=1n=1でMMが境界を持つ場合にもそのようなチャートの定義域がMMを覆うのは、局所モデルとして二つの半空間を許したからである（§E22.14 注意 6.5）。

1 ユークリッド空間の側の準備

§E22.14 境界を持つ多様体と境界の向きに従い、Rn\R^nの開集合、Hn={xn≥0}\mathbb{H}^n=\{x^n\ge0\}の相対開集合、およびH−n={xn≤0}\mathbb{H}^n_{-}=\{x^n\le 0\}の相対開集合をまとめて許容領域と呼ぶ。許容領域DDに対して

Z(D)=D∩∂Hn(D⊆Hn または D⊆H−n のとき),Z(D)=∅(D が Rn の開集合のとき)Z(D)=D\cap\partial\mathbb{H}^n\quad(D\subseteq\mathbb{H}^n\text{ または }D\subseteq\mathbb{H}^n_{-}\text{ のとき}), \qquad Z(D)=\varnothing\quad(D\text{ が }\R^n\text{ の開集合のとき})

と置く。いずれの場合もD∖Z(D)D\setminus Z(D)はRn\R^nの開集合である。DDがH−n\mathbb{H}^n_{-}の相対開集合である場合は、§E22.14 補題 2.1のRnR_nを合成することでHn\mathbb{H}^nの相対開集合の場合へ移る。RnR_nは座標の一つの符号を変える線形写像であるから、閉長方形を閉長方形へ写し、直積分割を直積分割へ写し、小長方形の体積を保つ。したがって Riemann 重積分の値を保つ。以下、H−n\mathbb{H}^n_{-}の場合はこの移動によって扱う。

定義 1.1.DDを許容領域、f ⁣:D→Rf\colon D\to\Rを連続関数でK=supp⁡fK=\operatorname{supp}fがコンパクトかつK⊆DK\subseteq Dであるものとする。KKを含む閉長方形R⊆RnR\subseteq\R^nを取り、ffをR∖KR\setminus Kの上で00としてRRへ延長したものをf~\tilde fと書く。

∫Df=∫Rf~\int_Df=\int_R\tilde f

と定める（右辺は§E4.10 定義 1.3の Riemann 重積分）。

補題 1.2.定義 1.1においてf~\tilde fはRR上で連続であり、∫Rf~\int_R\tilde fはKKを含む閉長方形RRのとり方に依らない。さらに、この積分はffについて線形であり、∣f∣≤C|f|\le CかつK⊆SK\subseteq S（SSは閉長方形）ならば∣∫Df∣≤C ∣S∣\bigl|\int_Df\bigr|\le C\,|S|が成り立つ。

証明.R∩DR\cap DとR∖KR\setminus KはともにRRの相対開集合であり、K⊆DK\subseteq DからRRを覆う。R∩DR\cap Dの上でf~=f\tilde f=fは連続であり、R∖KR\setminus Kの上でf~=0\tilde f=0は連続であり、共通部分ではf=0f=0であるから両者は一致する。よってf~\tilde fはRR上で連続であり、§E4.10 定理 3.1により可積分である。

R1,R2R_1,R_2をともにKKを含む閉長方形とし、S⊇R1∪R2S\supseteq R_1\cup R_2となる閉長方形SSを取る。RiR_i上のf~\tilde fをSSの外側で00として延長すると、どちらもSS上の同じ関数（KKの外で00、KKの上でff）を与える。§E4.11 補題 3.2により∫Rif~=∫S(その関数)\int_{R_i}\tilde f=\int_S(\text{その関数})であるから二つは等しい。

線形性は§E4.10 命題 4.1 (1)による（共通のRRを取ればよい）。最後の評価は、K⊆SK\subseteq Sを含む閉長方形RRを取ると∣f~∣≤C⋅1S|\tilde f|\le C\cdot\mathbf{1}_{S}であり、1S\mathbf{1}_Sが可積分で∫R1S=∣S∣\int_R\mathbf{1}_S=|S|であることと§E4.10 命題 4.1 (2)、§E4.10 命題 4.1 (3)による。▨

補題 1.3.∂Hn\partial\mathbb{H}^nに含まれるコンパクト集合は Jordan 零集合である（§E4.11 定義 1.1）。

証明.Z⊆∂HnZ\subseteq\partial\mathbb{H}^nをコンパクトとすると有界であるから、c>0c>0を取ってZ⊆[−c,c]n−1×{0}Z\subseteq[-c,c]^{n-1}\times\{0\}とすることができる。δ>0\delta>0に対して開長方形

Qδ=(−c−1,c+1)n−1×(−δ,δ)Q_\delta=(-c-1,c+1)^{n-1}\times(-\delta,\delta)

はZZを含み、体積は(2c+2)n−1⋅2δ(2c+2)^{n-1}\cdot 2\deltaである。δ\deltaを小さく取ればこれは任意に小さくなる。▨

補題 1.4.{Cε}ε>0\{C_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}をRn\R^nのコンパクト集合の族であって、ε≤ε′\varepsilon\le\varepsilon'ならばCε⊆Cε′C_\varepsilon\subseteq C_{\varepsilon'}を満たすものとし、C0=⋂ε>0CεC_0=\bigcap_{\varepsilon>0}C_\varepsilonが Jordan 零集合であるとする。このとき任意のη>0\eta>0に対してε0>0\varepsilon_0>0が存在して、0<ε≤ε00<\varepsilon\le\varepsilon_0ならばCεC_\varepsilonは体積の総和がη\eta未満である有限個の開長方形で覆われる。

証明.η>0\eta>0を取る。C0C_0は Jordan 零集合であるから、体積の総和がη\eta未満である有限個の開長方形Q1,…,QsQ_1,\dots,Q_sで覆われる。O=Q1∪⋯∪QsO=Q_1\cup\cdots\cup Q_sと置く。

ε1=1\varepsilon_1=1とし、Lε=Cε∖OL_\varepsilon=C_\varepsilon\setminus O（0<ε≤10<\varepsilon\le 1）と置く。LεL_\varepsilonは開集合の補集合とコンパクト集合の交わりであるからコンパクトであり、族は減少する。⋂0<ε≤1Lε=C0∖O=∅\bigcap_{0<\varepsilon\le1}L_\varepsilon=C_0\setminus O=\varnothingである。したがって開集合の族{Rn∖Lε}0<ε≤1\{\R^n\setminus L_\varepsilon\}_{0<\varepsilon\le1}はL1L_1を覆う。L1L_1はコンパクトであるから（§E2.19 定義 2.1）有限個ε(1),…,ε(r)\varepsilon^{(1)},\dots,\varepsilon^{(r)}で覆われる。ε0=min⁡jε(j)\varepsilon_0=\min_j\varepsilon^{(j)}と置くと、族が減少するのでLε0⊆Lε(j)L_{\varepsilon_0}\subseteq L_{\varepsilon^{(j)}}であり、L1⊆⋃j(Rn∖Lε(j))⊆Rn∖Lε0L_1\subseteq\bigcup_j(\R^n\setminus L_{\varepsilon^{(j)}})\subseteq\R^n\setminus L_{\varepsilon_0}である。Lε0⊆L1L_{\varepsilon_0}\subseteq L_1であるからLε0=∅L_{\varepsilon_0}=\varnothingである。0<ε≤ε00<\varepsilon\le\varepsilon_0ならばLε⊆Lε0=∅L_\varepsilon\subseteq L_{\varepsilon_0}=\varnothing、すなわちCε⊆OC_\varepsilon\subseteq Oである。▨

定理 1.5 (変数変換公式).D,D′D,D'を許容領域、τ ⁣:D→D′\tau\colon D\to D'を全単射でτ\tauとτ−1\tau^{-1}がともにC∞C^\infty級であるものとする。g ⁣:D′→Rg\colon D'\to\Rを連続関数で台がコンパクトかつD′D'に含まれるものとすると、(g∘τ) ∣det⁡Dτ∣(g\circ\tau)\,|\det D\tau|もDDの上の連続関数で台がコンパクトかつDDに含まれ、

∫D′g=∫D(g∘τ) ∣det⁡Dτ∣\int_{D'}g=\int_{D}(g\circ\tau)\,\bigl|\det D\tau\bigr|

が成り立つ。

証明.f=(g∘τ)∣det⁡Dτ∣f=(g\circ\tau)|\det D\tau|と置く。∣det⁡Dτ∣|\det D\tau|は至るところ正であるから（§E22.14 補題 1.3 (1)）、{f≠0}=τ−1({g≠0})\{f\ne0\}=\tau^{-1}(\{g\ne0\})である。τ\tauは同相写像であるから、DDにおける閉包はτ−1(supp⁡g)\tau^{-1}(\operatorname{supp}g)であり、これはコンパクトである。K=supp⁡fK=\operatorname{supp}fと置く。

半空間の型を正の型へそろえる。DDがH−n\mathbb{H}^n_{-}の相対開集合であるときは、DDをRn(D)R_n(D)へ、ffをf∘Rnf\circ R_nへ取り替える。D′D'についても同様に取り替え、τ\tauをRn∘τ∘RnR_n\circ\tau\circ R_n（必要な側だけ合成する）へ取り替える。§E22.14 補題 2.1により取り替えた写像は同じ性質を持ち、∣det⁡∣|\det|は∣det⁡Rn∣=1|\det R_n|=1により変わらず、二つの積分の値も上で述べたとおり変わらない。よって以下、DDとD′D'はそれぞれRn\R^nの開集合であるかHn\mathbb{H}^nの相対開集合であるとしてよい。

τ\tauはZ(D)Z(D)をZ(D′)Z(D')の上へ写す。実際、D,D′D,D'がともにHn\mathbb{H}^nの相対開集合であるときは§E22.14 補題 1.3 (2)による。DDがRn\R^nの開集合であるときはZ(D)=∅Z(D)=\varnothingであり、§E4.7 定理 2.1によりτ(D)=D′\tau(D)=D'はRn\R^nの開集合であるからZ(D′)=∅Z(D')=\varnothingである（D′D'がHn\mathbb{H}^nの相対開集合でありかつRn\R^nの開集合ならばD′⊆Int⁡HnD'\subseteq\operatorname{Int}\mathbb{H}^nである）。D′D'がRn\R^nの開集合である場合もτ−1\tau^{-1}について同じ議論を行えばよい。

Z(D)=∅Z(D)=\varnothingの場合を先に片づける。このときDDとD′D'はともにRn\R^nの開集合である。KKを含み閉包がDDに含まれる有限個の開長方形の合併をEEと取る（KKの各点に対して閉包がDDに含まれる開長方形を取り、コンパクト性から有限個を選ぶ）。∂E\partial Eは有限個の長方形の境界の合併に含まれ、それぞれ Jordan 零集合であるからEEは Jordan 可測である（§E4.11 定義 2.1）。E‾⊆D\overline E\subseteq Dでありggはτ(E‾)\tau(\overline E)の近傍で連続であるから、§E4.14 定理 2.1を適用して

∫τ(E)g=∫E(g∘τ)∣det⁡Dτ∣=∫Ef\int_{\tau(E)}g=\int_E(g\circ\tau)|\det D\tau|=\int_Ef

を得る。supp⁡g=τ(K)⊆τ(E)\operatorname{supp}g=\tau(K)\subseteq\tau(E)とK⊆EK\subseteq Eから、両辺は定義 1.1の積分に一致する。すなわち∫D′g=∫Df\int_{D'}g=\int_Dfである。

以下Z(D)≠∅Z(D)\ne\varnothing、すなわちD,D′D,D'がともにHn\mathbb{H}^nの相対開集合である場合を扱う。D+=D∖Z(D)D_+=D\setminus Z(D)、D+′=D′∖Z(D′)D'_+=D'\setminus Z(D')と置くと、これらはRn\R^nの開集合でありτ(D+)=D+′\tau(D_+)=D'_+である。

§E22.2 補題 1.3の関数をρ\rhoと書く。すなわち、ρ\rhoはR\R上のC∞C^\infty関数であり、t≤0t\le0で00、t≥1t\ge1で11、値域は[0,1][0,1]である。ε>0\varepsilon>0に対して

cε(x)=ρ(xnε−1)c_\varepsilon(x)=\rho\Bigl(\frac{x^n}{\varepsilon}-1\Bigr)

と置く。cεc_\varepsilonはRn\R^n上のC∞C^\infty関数であり、xn≤εx^n\le\varepsilonで00、xn≥2εx^n\ge2\varepsilonで11である。また

Aε={x∈K∣xn≤2ε}A_\varepsilon=\{x\in K\mid x^n\le 2\varepsilon\}

と置く。AεA_\varepsilonはコンパクトであり、ε\varepsilonについて増大し、⋂ε>0Aε=K∩∂Hn\bigcap_{\varepsilon>0}A_\varepsilon=K\cap\partial\mathbb{H}^nである。

第一段（各ε\varepsilonでの等式）。cεfc_\varepsilon fの台はK∩{xn≥ε}K\cap\{x^n\ge\varepsilon\}に含まれ、これはコンパクトでD+D_+に含まれる。Z(D)=∅Z(D)=\varnothingの場合と同じ手順で、supp⁡(cεf)\operatorname{supp}(c_\varepsilon f)を含み閉包がD+D_+に含まれる有限個の開長方形の合併EEを取り、§E4.14 定理 2.1をτ∣D+ ⁣:D+→D+′\tau|_{D_+}\colon D_+\to D'_+へ適用すると

∫τ(E)(cε∘τ−1)g=∫E(cε∘τ−1)(τ(u)) g(τ(u)) ∣det⁡Dτ(u)∣ du=∫Ecεf\int_{\tau(E)}\bigl(c_\varepsilon\circ\tau^{-1}\bigr)g=\int_E\bigl(c_\varepsilon\circ\tau^{-1}\bigr)(\tau(u))\,g(\tau(u))\,|\det D\tau(u)|\,du=\int_Ec_\varepsilon f

である。両辺の被積分関数の台はそれぞれτ(E)\tau(E)、EEに含まれるコンパクト集合であるから、定義 1.1の積分として

∫D′(cε∘τ−1)g=∫Dcεf\int_{D'}\bigl(c_\varepsilon\circ\tau^{-1}\bigr)g=\int_{D}c_\varepsilon f(1.5.1)\text{(1.5.1)}

が成り立つ。

第二段（左側の極限）。C=sup⁡∣f∣C=\sup|f|と置く。∣f−cεf∣≤C|f-c_\varepsilon f|\le Cであり、cε=1c_\varepsilon=1となる範囲では差が00であるから、差の台はAεA_\varepsilonに含まれる。KKを含む閉長方形R=∏i=1n−1[−c,c]×[0,c]R=\prod_{i=1}^{n-1}[-c,c]\times[0,c]を取るとAε⊆Sε=∏i=1n−1[−c,c]×[0,2ε]A_\varepsilon\subseteq S_\varepsilon=\prod_{i=1}^{n-1}[-c,c]\times[0,2\varepsilon]であり、補題 1.2の評価から

∣∫Df−∫Dcεf∣≤C ∣Sε∣=C (2c)n−1⋅2ε\Bigl|\int_Df-\int_Dc_\varepsilon f\Bigr|\le C\,|S_\varepsilon|=C\,(2c)^{n-1}\cdot 2\varepsilon

である。右辺はε→0+\varepsilon\to0^{+}で00へ収束する。

第三段（右側の極限）。C′=sup⁡∣g∣C'=\sup|g|と置く。g−(cε∘τ−1)gg-(c_\varepsilon\circ\tau^{-1})gの台はτ(Aε)\tau(A_\varepsilon)に含まれる。τ\tauは同相写像であるから{τ(Aε)}ε>0\{\tau(A_\varepsilon)\}_{\varepsilon>0}はコンパクト集合の増大族であり、

⋂ε>0τ(Aε)=τ(⋂ε>0Aε)=τ(K∩∂Hn)\bigcap_{\varepsilon>0}\tau(A_\varepsilon)=\tau\Bigl(\bigcap_{\varepsilon>0}A_\varepsilon\Bigr)=\tau\bigl(K\cap\partial\mathbb{H}^n\bigr)

である。右辺はτ(Z(D))⊆∂Hn\tau(Z(D))\subseteq\partial\mathbb{H}^nに含まれるコンパクト集合であるから、補題 1.3により Jordan 零集合である。補題 1.4により、任意のη>0\eta>0に対してε0>0\varepsilon_0>0が存在して、0<ε≤ε00<\varepsilon\le\varepsilon_0ならばτ(Aε)\tau(A_\varepsilon)は体積の総和がη\eta未満である有限個の開長方形Q1,…,QsQ_1,\dots,Q_sで覆われる。このとき差の絶対値はC′∑j=1s1Qj‾C'\sum_{j=1}^{s}\mathbf{1}_{\overline{Q_j}}で上から押さえられるので、§E4.10 命題 4.1により

∣∫D′g−∫D′(cε∘τ−1)g∣≤C′∑j=1s∣Qj∣<C′η\Bigl|\int_{D'}g-\int_{D'}\bigl(c_\varepsilon\circ\tau^{-1}\bigr)g\Bigr|\le C'\sum_{j=1}^{s}|Q_j|<C'\eta

である。η\etaは任意であるから、左辺はε→0+\varepsilon\to0^{+}で00へ収束する。

第二段と第三段の極限を式 (1.5.1)へ適用すると∫D′g=∫Df\int_{D'}g=\int_Dfを得る。▨

2 多様体上の積分

積分に用いる向きは、§E22.14 定義 6.1の向き形式の同値類である。境界を持たない場合には、§E22.14 命題 6.8によって、整数係数の局所ホモロジーによる向きと対応する。この対応は微分同相による向きの移送を保つ。

定義 2.1.MMをC∞C^\infty境界付き多様体とする。ω∈Ωk(M)\omega\in\Omega^k(M)の台 (support of a differential form) を

supp⁡ω={p∈M∣ωp≠0}‾\operatorname{supp}\omega=\overline{\{p\in M\mid \omega_p\ne 0\}}

で定め、supp⁡ω\operatorname{supp}\omegaがコンパクトであるkk次形式の全体をΩck(M)\Omega^k_c(M)と書く。

定義 2.2.MMを向きづけられたnn次元C∞C^\infty境界付き多様体（n≥1n\ge 1）、ω∈Ωcn(M)\omega\in\Omega^n_c(M)とする。向きを保つ境界付きチャートからなるアトラス{(Uα,φα)}α∈A\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}と、それに従属する滑らかな1の分割{ψα}α∈A\{\psi_\alpha\}_{\alpha\in A}（§E22.14 補題 5.1）を取る。α\alphaごとに(φα−1)∗(ψαω)(\varphi_\alpha^{-1})^*(\psi_\alpha\omega)は許容領域φα(Uα)\varphi_\alpha(U_\alpha)の上のnn次形式であり、その成分をfαf_\alphaと書く。すなわち

(φα−1)∗(ψαω)=fα dx1∧⋯∧dxn(\varphi_\alpha^{-1})^*(\psi_\alpha\omega)=f_\alpha\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

である。このとき

∫Mω=∑α∈A∫φα(Uα)fα\int_M\omega=\sum_{\alpha\in A}\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}f_\alpha

と定める。右辺の各項は定義 1.1の積分であり、次の補題によりこの和は有限和である。

n=0n=0の場合の約束。PPを向きづけられた00次元多様体（離散空間に符号εp∈{+1,−1}\varepsilon_p\in\{+1,-1\}を与えたもの。§E22.14 注意 6.6）、f∈Ωc0(P)f\in\Omega^0_c(P)とすると、supp⁡f\operatorname{supp}fはコンパクトな離散集合であるから有限集合である。このとき

∫Pf=∑p∈Pεp f(p)\int_Pf=\sum_{p\in P}\varepsilon_p\,f(p)

と定める（有限和である）。11次元の境界付き多様体の境界での積分はこの意味で読む。ここで境界の誘導向きは、外向きのベクトルを先に置く規約によって定める（§E22.14 定義 8.4）。

補題 2.3.定義 2.2の設定で、K=supp⁡ωK=\operatorname{supp}\omegaと置く。supp⁡ψα∩K≠∅\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K\ne\varnothingを満たすα\alphaは有限個である。それ以外のα\alphaに対してはψαω=0\psi_\alpha\omega=0でありfα=0f_\alpha=0である。また各α\alphaについてfαf_\alphaは連続であり、supp⁡fα=φα(supp⁡(ψαω))\operatorname{supp}f_\alpha=\varphi_\alpha\bigl(\operatorname{supp}(\psi_\alpha\omega)\bigr)はコンパクトかつφα(Uα)\varphi_\alpha(U_\alpha)に含まれる。

証明. 族{supp⁡ψα}\{\operatorname{supp}\psi_\alpha\}は局所有限であるから（§E22.2 定義 4.1）、各p∈Kp\in Kに対してppを含む開集合OpO_pで、OpO_pと交わるsupp⁡ψα\operatorname{supp}\psi_\alphaが有限個であるものが存在する。KKはコンパクトであるから有限個のOp1,…,OpmO_{p_1},\dots,O_{p_m}で覆われる（§E2.19 定義 2.1）。supp⁡ψα∩K≠∅\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K\ne\varnothingならば、あるiiについてsupp⁡ψα∩Opi≠∅\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap O_{p_i}\ne\varnothingであるから、そのようなα\alphaは有限個である。

supp⁡ψα∩K=∅\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K=\varnothingならば、ψαω\psi_\alpha\omegaはMMの全体で00である。実際、ψα(p)≠0\psi_\alpha(p)\ne0ならばp∈supp⁡ψαp\in\operatorname{supp}\psi_\alphaであるからp∉Kp\notin Kでありωp=0\omega_p=0である。

ψαω\psi_\alpha\omegaの台はsupp⁡ψα∩K\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap Kの閉部分集合であるからコンパクトであり、UαU_\alphaに含まれる。φα\varphi_\alphaは同相写像であるから、fαf_\alphaの台はその像であり、コンパクトかつφα(Uα)\varphi_\alpha(U_\alpha)に含まれる。fαf_\alphaが連続（実際C∞C^\infty）であることは§E22.14 定義 3.3による。▨

命題 2.4.定義 2.2の値は、向きを保つアトラスと1の分割のとり方に依らない。

証明は二段に分かれる。第一段は「台が一つのチャートに収まる場合には、どの向きを保つチャートで計算しても同じ値になる」ことであり、変数変換公式はこの段で用いる。第二段は、二つの1の分割を掛け合わせた二重和を作り、和の順序を入れ替えることである。二重和が有限和であることは補題 2.3により保証される。

補題 2.5.MMを向きづけられたnn次元C∞C^\infty境界付き多様体、ω∈Ωcn(M)\omega\in\Omega^n_c(M)とし、supp⁡ω⊆U∩V\operatorname{supp}\omega\subseteq U\cap Vを満たす向きを保つ二つの境界付きチャート(U,φ)(U,\varphi)、(V,ϕ)(V,\phi)を取る。(φ−1)∗ω=f dx1∧⋯∧dxn(\varphi^{-1})^*\omega=f\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n、(ϕ−1)∗ω=g dy1∧⋯∧dyn(\phi^{-1})^*\omega=g\,dy^1\wedge\cdots\wedge dy^nと書くと

∫φ(U)f=∫ϕ(V)g\int_{\varphi(U)}f=\int_{\phi(V)}g

が成り立つ。

証明.W=U∩VW=U\cap Vと置く。supp⁡f⊆φ(W)\operatorname{supp}f\subseteq\varphi(W)、supp⁡g⊆ϕ(W)\operatorname{supp}g\subseteq\phi(W)であるから、補題 1.2により、積分をφ(W)\varphi(W)とϕ(W)\phi(W)の上のものとして計算してよい。

τ=ϕ∘φ−1 ⁣:φ(W)→ϕ(W)\tau=\phi\circ\varphi^{-1}\colon\varphi(W)\to\phi(W)と置く。φ−1=ϕ−1∘τ\varphi^{-1}=\phi^{-1}\circ\tauであるから§E22.10 命題 5.2により

f dx1∧⋯∧dxn=(φ−1)∗ω=τ∗((ϕ−1)∗ω)=τ∗(g dy1∧⋯∧dyn)f\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n=(\varphi^{-1})^*\omega=\tau^*\bigl((\phi^{-1})^*\omega\bigr)=\tau^*\bigl(g\,dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n\bigr)

である。§E22.10 命題 5.4と§E22.10 系 3.6により

τ∗(dy1∧⋯∧dyn)=det⁡(Dτ) dx1∧⋯∧dxn\tau^*\bigl(dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n\bigr)=\det\bigl(D\tau\bigr)\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

であるからf=(g∘τ) det⁡Dτf=(g\circ\tau)\,\det D\tauである。

(U,φ)(U,\varphi)と(V,ϕ)(V,\phi)はともに向きを保つので、§E22.14 定理 6.4によりdet⁡Dτ>0\det D\tau>0である。したがってdet⁡Dτ=∣det⁡Dτ∣\det D\tau=|\det D\tau|であり、定理 1.5により

∫ϕ(W)g=∫φ(W)(g∘τ) ∣det⁡Dτ∣=∫φ(W)f\int_{\phi(W)}g=\int_{\varphi(W)}(g\circ\tau)\,|\det D\tau|=\int_{\varphi(W)}f

である。▨

証明.命題 2.4を示す。向きを保つアトラス{(Uα,φα)}α∈A\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}と従属する1の分割{ψα}\{\psi_\alpha\}、および向きを保つアトラス{(Vβ,ϕβ)}β∈B\{(V_\beta,\phi_\beta)\}_{\beta\in B}と従属する1の分割{σβ}\{\sigma_\beta\}を取る。K=supp⁡ωK=\operatorname{supp}\omegaと置き、

A0={α∈A∣supp⁡ψα∩K≠∅},B0={β∈B∣supp⁡σβ∩K≠∅}A_0=\{\alpha\in A\mid\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K\ne\varnothing\}, \qquad B_0=\{\beta\in B\mid\operatorname{supp}\sigma_\beta\cap K\ne\varnothing\}

と置く。補題 2.3によりA0A_0とB0B_0は有限集合であり、α∉A0\alpha\notin A_0またはβ∉B0\beta\notin B_0の項は00である。したがって

∑α∈A∫φα(Uα)fα=∑α∈A0∫φα(Uα)fα,∑β∈B∫ϕβ(Vβ)gβ=∑β∈B0∫ϕβ(Vβ)gβ\sum_{\alpha\in A}\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}f_\alpha=\sum_{\alpha\in A_0}\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}f_\alpha, \qquad \sum_{\beta\in B}\int_{\phi_\beta(V_\beta)}g_\beta=\sum_{\beta\in B_0}\int_{\phi_\beta(V_\beta)}g_\beta

である（gβg_\betaは(ϕβ−1)∗(σβω)(\phi_\beta^{-1})^*(\sigma_\beta\omega)の成分）。

α∈A0\alpha\in A_0を固定する。Kα=supp⁡(ψαω)K_\alpha=\operatorname{supp}(\psi_\alpha\omega)はコンパクトでありKα⊆KK_\alpha\subseteq Kである。β∉B0\beta\notin B_0ならばsupp⁡σβ∩Kα=∅\operatorname{supp}\sigma_\beta\cap K_\alpha=\varnothingであるから、KαK_\alphaの上でσβ=0\sigma_\beta=0である。よってMMの全体で

ψαω=∑β∈B0σβ ψαω\psi_\alpha\omega=\sum_{\beta\in B_0}\sigma_\beta\,\psi_\alpha\omega

が成り立つ。実際、p∈Kαp\in K_\alphaでは∑β∈B0σβ(p)=∑β∈Bσβ(p)=1\sum_{\beta\in B_0}\sigma_\beta(p)=\sum_{\beta\in B}\sigma_\beta(p)=1であり、p∉Kαp\notin K_\alphaでは両辺が00である。この式は有限和であるから、引き戻しと補題 1.2の線形性により

∫φα(Uα)fα=∑β∈B0∫φα(Uα)fαβ,fαβ=((φα−1)∗(ψασβω)) の成分\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}f_\alpha=\sum_{\beta\in B_0}\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}f_{\alpha\beta}, \qquad f_{\alpha\beta}=\bigl((\varphi_\alpha^{-1})^*(\psi_\alpha\sigma_\beta\omega)\bigr)\text{ の成分}

である。同様にβ∈B0\beta\in B_0を固定すると

∫ϕβ(Vβ)gβ=∑α∈A0∫ϕβ(Vβ)gαβ,gαβ=((ϕβ−1)∗(ψασβω)) の成分\int_{\phi_\beta(V_\beta)}g_\beta=\sum_{\alpha\in A_0}\int_{\phi_\beta(V_\beta)}g_{\alpha\beta}, \qquad g_{\alpha\beta}=\bigl((\phi_\beta^{-1})^*(\psi_\alpha\sigma_\beta\omega)\bigr)\text{ の成分}

である。

α∈A0\alpha\in A_0、β∈B0\beta\in B_0に対してψασβω\psi_\alpha\sigma_\beta\omegaの台はsupp⁡ψα∩supp⁡σβ∩K\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap\operatorname{supp}\sigma_\beta\cap Kに含まれ、コンパクトかつUα∩VβU_\alpha\cap V_\betaに含まれる。(Uα,φα)(U_\alpha,\varphi_\alpha)と(Vβ,ϕβ)(V_\beta,\phi_\beta)はともに向きを保つので、補題 2.5により

∫φα(Uα)fαβ=∫ϕβ(Vβ)gαβ\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}f_{\alpha\beta}=\int_{\phi_\beta(V_\beta)}g_{\alpha\beta}

である。A0×B0A_0\times B_0は有限集合であるから和の順序を入れ替えることができ、

∑α∈A0∫φα(Uα)fα=∑α∈A0∑β∈B0∫φα(Uα)fαβ=∑β∈B0∑α∈A0∫ϕβ(Vβ)gαβ=∑β∈B0∫ϕβ(Vβ)gβ\sum_{\alpha\in A_0}\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}f_\alpha =\sum_{\alpha\in A_0}\sum_{\beta\in B_0}\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}f_{\alpha\beta} =\sum_{\beta\in B_0}\sum_{\alpha\in A_0}\int_{\phi_\beta(V_\beta)}g_{\alpha\beta} =\sum_{\beta\in B_0}\int_{\phi_\beta(V_\beta)}g_\beta

を得る。よって二つの定め方は同じ値を与える。▨

命題 2.6.MMを向きづけられたnn次元C∞C^\infty境界付き多様体とする。

  1. ∫M ⁣:Ωcn(M)→R\int_M\colon\Omega^n_c(M)\to\RはR\R線形である。
  2. M−M^{-}を反対の向きを与えたMMとすると∫M−ω=−∫Mω\int_{M^{-}}\omega=-\int_M\omegaである。
  3. supp⁡ω\operatorname{supp}\omegaが向きを保つ一つのチャート(U,φ)(U,\varphi)の定義域に含まれるならば、(φ−1)∗ω=f dx1∧⋯∧dxn(\varphi^{-1})^*\omega=f\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^nとして∫Mω=∫φ(U)f\int_M\omega=\int_{\varphi(U)}fである。
  4. F ⁣:N→MF\colon N\to Mを向きを保つ微分同相（すなわちNNの向き形式μN\mu_NとMMの向き形式μM\mu_MについてF∗μMF^*\mu_MがμN\mu_Nと同値であるもの）とすると、∫NF∗ω=∫Mω\int_NF^*\omega=\int_M\omegaである。
  5. (V,ϕ)(V,\phi)を境界付きチャートで、向き形式μ\muのϕ\phiに関する成分がVVの上で負であるもの（向きを反転するチャート）とする。supp⁡ω⊆V\operatorname{supp}\omega\subseteq Vならば、(ϕ−1)∗ω=g dy1∧⋯∧dyn(\phi^{-1})^*\omega=g\,dy^1\wedge\cdots\wedge dy^nとして∫Mω=−∫ϕ(V)g\int_M\omega=-\int_{\phi(V)}gである。

証明.主張 (1)を示す。二つの形式に対して共通のアトラスと1の分割を取ることができ、補題 1.2の線形性と引き戻しの線形性から従う。

主張 (2)を示す。R(x1,x2,…,xn)=(−x1,x2,…,xn)R(x^1,x^2,\dots,x^n)=(-x^1,x^2,\dots,x^n)と置く。RRはdet⁡R=−1\det R=-1を満たす線形同型であり、R∘R=id⁡R\circ R=\operatorname{id}である。(U,φ)(U,\varphi)がMMについて向きを保つとき、φˉ=R∘φ\bar\varphi=R\circ\varphiは境界付きチャートであり（§E22.14 定理 6.4の証明で確かめた。n=1n=1では半空間の型が入れ替わる）、M−M^{-}について向きを保つ。

η=(φ−1)∗(ψαω)=f dx1∧⋯∧dxn\eta=(\varphi^{-1})^*(\psi_\alpha\omega)=f\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^nと置く。φˉ−1=φ−1∘R\bar\varphi^{-1}=\varphi^{-1}\circ Rであるから、§E22.10 命題 5.2と§E22.10 命題 5.4により

(φˉ−1)∗(ψαω)=R∗η=(f∘R) det⁡R  dx1∧⋯∧dxn=−(f∘R) dx1∧⋯∧dxn(\bar\varphi^{-1})^*(\psi_\alpha\omega)=R^*\eta=(f\circ R)\,\det R\;dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n=-(f\circ R)\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

である。∣det⁡R∣=1|\det R|=1であるから§E4.14 定理 2.1（あるいは定理 1.5）により∫R(φ(U))(f∘R)=∫φ(U)f\int_{R(\varphi(U))}(f\circ R)=\int_{\varphi(U)}fであり、対応する項の値は符号だけが変わる。同じ1の分割を用いると総和も符号だけが変わる。

主張 (3)を示す。{(U,φ)}\{(U,\varphi)\}にM∖supp⁡ωM\setminus\operatorname{supp}\omegaの上の向きを保つチャートを加えたアトラスと、それに従属する1の分割を取る。supp⁡ω⊆U\operatorname{supp}\omega\subseteq Uであるから、UU以外のチャートに属する項は00であり、UUに属する項の総和は補題 1.2の線形性により∫φ(U)f\int_{\varphi(U)}fに等しい。

主張 (4)を示す。{(Uα,φα)}\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}をMMの向きを保つアトラス、{ψα}\{\psi_\alpha\}を従属する1の分割とすると、{(F−1(Uα),φα∘F)}\{(F^{-1}(U_\alpha),\varphi_\alpha\circ F)\}はNNのアトラスであり、各チャートは向きを保つ。実際、F∗μMF^*\mu_Mのφα∘F\varphi_\alpha\circ Fに関する成分はμM\mu_Mのφα\varphi_\alphaに関する成分とFFで対応する。{ψα∘F}\{\psi_\alpha\circ F\}は従属する1の分割である。対応する項は同じ許容領域の上の同じ関数の積分であるから、総和は等しい。

主張 (5)を示す。μ\muのϕ\phiに関する成分が負であることは、−μ-\muの成分が正であること、すなわち(V,ϕ)(V,\phi)がM−M^{-}について向きを保つことと同じである。主張 (3)をM−M^{-}へ適用すると∫M−ω=∫ϕ(V)g\int_{M^{-}}\omega=\int_{\phi(V)}gであり、主張 (2)により∫Mω=−∫M−ω=−∫ϕ(V)g\int_M\omega=-\int_{M^{-}}\omega=-\int_{\phi(V)}gである。▨

3 積分の対象が最高次形式である理由

注意 3.1 (関数を積分することができない理由). 多様体の上の関数uuに対して「∫Mu\int_Mu」を、チャートで引き戻して重積分する形で定めようとすると、値がチャートのとり方に依存する。座標変換τ=ϕ∘φ−1\tau=\phi\circ\varphi^{-1}に対して、関数の座標表示はu∘φ−1=(u∘ϕ−1)∘τu\circ\varphi^{-1}=(u\circ\phi^{-1})\circ\tauと変換するだけであり、§E4.14 定理 2.1の右辺に現れる∣det⁡Dτ∣|\det D\tau|を打ち消す因子を持たない。

具体的に見る。M=(0,1)M=(0,1)、u≡1u\equiv1とし、二つのチャートφ(x)=x\varphi(x)=xとϕ(x)=2x\phi(x)=2xを取る。φ\varphiで計算すると∫011 dx=1\int_0^1 1\,dx=1、ϕ\phiで計算すると∫021 dx=2\int_0^2 1\,dx=2である。値が一致しない。

一方、nn次形式ω=u dx1∧⋯∧dxn\omega=u\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^nの成分は§E22.10 系 4.3により座標変換の Jacobi 行列式の倍になる。この因子が∣det⁡Dτ∣|\det D\tau|とちょうど打ち消し合うのは、det⁡Dτ>0\det D\tau>0であるとき、すなわち向きを保つ座標変換に限るときである。上の例でω=dx\omega=dxとすると、ϕ\phi座標y=2xy=2xではω=12 dy\omega=\tfrac12\,dyであり∫0212 dy=1\int_0^2\tfrac12\,dy=1となってφ\varphi座標での値と一致する。

このように、向きを固定することと積分の対象を最高次形式に取ることは一組であり、どちらか一方だけでは座標に依らない量が得られない。

4 ユークリッド空間の領域の上での一致

古典的な積分定理を§E22.16 Stokes の定理の特別な場合として得るには、Rn\R^nの領域の上で、多様体としての積分が§E4 実解析 IIの Riemann 重積分に一致することを確かめておく必要がある。

補題 4.1.O⊆RnO\subseteq\R^nを開集合、T ⁣:O→RmT\colon O\to\R^mをC1C^1級とし、B‾⊆O\overline{B}\subseteq Oを閉球とする。このときTTはB‾\overline{B}の上で Lipschitz 連続である。

証明.L=sup⁡x∈B‾∥DT(x)∥L=\sup_{x\in\overline B}\lVert DT(x)\rVertと置く。DTDTは連続でありB‾\overline BはコンパクトであるからL<∞L<\inftyである。x,y∈B‾x,y\in\overline Bに対して線分x+t(y−x)x+t(y-x)（t∈[0,1]t\in[0,1]）は凸性によりB‾\overline Bに含まれる。§E4.3 定理 1.1と微積分学の基本定理により

T(y)−T(x)=∫01DT(x+t(y−x))(y−x) dtT(y)-T(x)=\int_0^1DT\bigl(x+t(y-x)\bigr)(y-x)\,dt

であるから∥T(y)−T(x)∥≤L∥y−x∥\lVert T(y)-T(x)\rVert\le L\lVert y-x\rVertである。▨

定理 4.2.N⊆RnN\subseteq\R^nを開集合、f∈C∞(N)f\in C^\infty(N)、c∈Rc\in\Rとし、D={x∈N∣f(x)≤c}D=\{x\in N\mid f(x)\le c\}がコンパクトかつ空でなく、f−1(c)f^{-1}(c)の各点でdf≠0df\ne0であるとする。DDに§E22.14 命題 4.1のC∞C^\infty境界付き多様体の構造と、dx1∧⋯∧dxndx^1\wedge\cdots\wedge dx^nが定める向きを与える。このとき次が成り立つ。

  1. DDの位相的な境界はf−1(c)f^{-1}(c)であり、Jordan 零集合である。とくにDDは Jordan 可測である。
  2. DDの近傍でC∞C^\inftyである関数uuに対して ∫Du dx1∧⋯∧dxn=∫Du\int_Du\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n=\int_Du が成り立つ。右辺は§E4.11 定義 3.1の Riemann 積分である。

証明.主張 (1)を示す。{f<c}\{f<c\}は開集合であるからDDの内部に含まれる。p∈f−1(c)p\in f^{-1}(c)を取り、§E22.14 命題 4.1で与えられるNNのチャート(U,φ)(U,\varphi)（φn=c−f\varphi^n=c-f、φ(U)\varphi(U)はRn\R^nの開集合）を取る。φ(p)\varphi(p)の任意の近傍は第nn成分が負である点を含み、その点はf>cf>cを満たすのでDDに属さない。よってppはDDの内点でなく、DDの位相的な境界はf−1(c)f^{-1}(c)である。

f−1(c)f^{-1}(c)はDDの閉部分集合であるからコンパクトである。各q∈f−1(c)q\in f^{-1}(c)に対して、上の形のチャート(Uq,φq)(U_q,\varphi_q)と、φq(q)\varphi_q(q)を中心とする閉球Bq‾⊆φq(Uq)\overline{B_q}\subseteq\varphi_q(U_q)を取る。{φq−1(Bq)}q\{\varphi_q^{-1}(B_q)\}_{q}はf−1(c)f^{-1}(c)の開被覆であるから、コンパクト性により有限個q1,…,qrq_1,\dots,q_rで覆われる（§E2.19 定義 2.1）。以下φl=φql\varphi_l=\varphi_{q_l}、Bl=BqlB_l=B_{q_l}と略す。

φl\varphi_lの第nn成分はc−fc-fであるからφl(Uql∩f−1(c))=φl(Uql)∩∂Hn\varphi_l\bigl(U_{q_l}\cap f^{-1}(c)\bigr)=\varphi_l(U_{q_l})\cap\partial\mathbb{H}^nである。

Nl=φl(Uql∩f−1(c))∩Bl‾N_l=\varphi_l\bigl(U_{q_l}\cap f^{-1}(c)\bigr)\cap\overline{B_l}

と置くと、NlN_lはコンパクト集合Bl‾\overline{B_l}の閉部分集合であるからコンパクトであり、∂Hn\partial\mathbb{H}^nに含まれるので補題 1.3により Jordan 零集合である。φl−1\varphi_l^{-1}はφl(Uql)\varphi_l(U_{q_l})の上でC∞C^\inftyであり、補題 4.1によりBl‾\overline{B_l}の上で Lipschitz 連続であるから、§E4.14 補題 1.1によりφl−1(Nl)\varphi_l^{-1}(N_l)は Jordan 零集合である。

p∈f−1(c)p\in f^{-1}(c)を取ると、あるllについてφl(p)∈Bl\varphi_l(p)\in B_lであり、p∈f−1(c)p\in f^{-1}(c)からφl(p)∈Nl\varphi_l(p)\in N_lである。したがってf−1(c)⊆⋃l=1rφl−1(Nl)f^{-1}(c)\subseteq\bigcup_{l=1}^{r}\varphi_l^{-1}(N_l)であり、有限個の Jordan 零集合の合併は Jordan 零集合であるからf−1(c)f^{-1}(c)は Jordan 零集合である。DDは有界で境界が Jordan 零集合であるから Jordan 可測である（§E4.11 定義 2.1）。

主張 (2)を示す。uuがC∞C^\inftyであるDDの開近傍をN0⊆NN_0\subseteq Nと置く。N0N_0の開被覆を次のように取る。内点p∈{f<c}p\in\{f<c\}に対してはppを含む開球W⊆{f<c}W\subseteq\{f<c\}を取り、チャートとして恒等写像を用いる。境界点p∈f−1(c)p\in f^{-1}(c)に対しては§E22.14 命題 4.1のNNのチャート(U,φ)(U,\varphi)（φn=c−f\varphi^n=c-f、φ(U)\varphi(U)はRn\R^nの開集合）を取り、必要ならば§E22.14 定理 6.4の証明の操作（第一成分の符号の反転。n=1n=1では半空間の型が入れ替わる）を施して、DDの側のチャートφ∣U∩D\varphi|_{U\cap D}が向きを保つようにする。さらにN0∖DN_0\setminus Dを被覆へ加える。

この開被覆に従属する滑らかな1の分割{Ψλ}\{\Psi_\lambda\}を、境界を持たない多様体N0N_0の上で取る（§E22.2 定理 4.2）。N0∖DN_0\setminus Dに対応する項はDDの上で00であるから、残りの項のDDへの制限は、DDの向きを保つ境界付きチャートによる被覆に従属する1の分割になる。DDはコンパクトであるから、寄与するλ\lambdaは有限個であり、それらをλ1,…,λN\lambda_1,\dots,\lambda_Nと書くとDDの上で∑i=1NΨλi=1\sum_{i=1}^{N}\Psi_{\lambda_i}=1である。

まず、有界関数の積分についての次の評価を用意する。ggが閉長方形RRの上で Riemann 可積分、∣g∣≤C|g|\le C、かつ{g≠0}\{g\ne0\}が Jordan 零集合ZZに含まれるならば∫Rg=0\int_Rg=0である。実際、任意のη>0\eta>0に対してZZを体積の総和がη\eta未満である有限個の開長方形Q1,…,QsQ_1,\dots,Q_sで覆うと∣g∣≤C∑j=1s1Qj‾|g|\le C\sum_{j=1}^{s}\mathbf{1}_{\overline{Q_j}}であり、§E4.10 命題 4.1により∣∫Rg∣≤Cη\bigl|\int_Rg\bigr|\le C\etaである。

iiを固定し、w=Ψλiuw=\Psi_{\lambda_i}uと置く。wwはN0N_0の上のC∞C^\infty関数であり、台はコンパクトで、対応するチャートの定義域（WWまたはUU）に含まれる。

内部チャートの場合。チャートは恒等写像であり、((id⁡)∗(w dx1∧⋯∧dxn))\bigl((\operatorname{id})^*(w\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n)\bigr)の成分はwwそのものである。supp⁡w⊆W⊆Int⁡D\operatorname{supp}w\subseteq W\subseteq\operatorname{Int}Dであるから、定義 1.1の積分と§E4.11 定義 3.1の積分はともにDDを含む閉長方形の上でのwwの零拡張の積分であり、一致する。すなわち∫Ww=∫Dw\int_Ww=\int_Dwである。

境界チャートの場合。Φ=φ−1\Phi=\varphi^{-1}はRn\R^nの開集合Λ=φ(U)\Lambda=\varphi(U)から開集合UUへのC∞C^\infty微分同相であり、det⁡DΦ>0\det D\Phi>0である。DDの側のチャートはφ∣U∩D\varphi|_{U\cap D}であり、その像はΛ∩Hn\Lambda\cap\mathbb{H}^n（正の型のとき）またはΛ∩H−n\Lambda\cap\mathbb{H}^n_{-}（負の型のとき）である。以下、Hϵn\mathbb{H}^n_{\epsilon}でこの半空間を表す。負の型の場合は§E22.14 補題 2.1のRnR_nを合成して正の型へ移せばよいので、記号を簡単にするためϵ\epsilonを明示したまま議論する。§E22.10 命題 5.4と§E22.10 系 3.6により、(φ−1)∗(w dx1∧⋯∧dxn)(\varphi^{-1})^*\bigl(w\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\bigr)の成分はh=(w∘Φ) det⁡DΦh=(w\circ\Phi)\,\det D\Phiである。

supp⁡h\operatorname{supp}hはコンパクトでΛ∩Hϵn\Lambda\cap\mathbb{H}^n_{\epsilon}に含まれる。supp⁡h\operatorname{supp}hを含み閉包がΛ\Lambdaに含まれる有限個の開長方形の合併OOを取り、E=O∩(Hϵn∖∂Hn)E=O\cap\bigl(\mathbb{H}^n_{\epsilon}\setminus\partial\mathbb{H}^n\bigr)と置く。∂E⊆∂O∪(O‾∩∂Hn)\partial E\subseteq\partial O\cup\bigl(\overline O\cap\partial\mathbb{H}^n\bigr)であり、前者は有限個の長方形の境界の合併、後者は∂Hn\partial\mathbb{H}^nに含まれるコンパクト集合（補題 1.3）であるから、どちらも Jordan 零集合である。よってEEは有界 Jordan 可測でありE‾⊆Λ\overline E\subseteq\Lambdaである。wwはΦ(E‾)\Phi(\overline E)の近傍で連続であるから§E4.14 定理 2.1を適用して

∫Φ(E)w=∫E(w∘Φ) ∣det⁡DΦ∣=∫Eh\int_{\Phi(E)}w=\int_E(w\circ\Phi)\,\bigl|\det D\Phi\bigr|=\int_Eh

を得る。

∫Eh\int_Ehと∫Λ∩Hϵnh\int_{\Lambda\cap\mathbb{H}^n_{\epsilon}}hは、DDを含む十分大きい閉長方形の上で、それぞれh∣Eh|_Eとh∣Λ∩Hϵnh|_{\Lambda\cap\mathbb{H}^n_{\epsilon}}の零拡張の積分である。二つの零拡張の差が00でない点はO‾∩∂Hn\overline O\cap\partial\mathbb{H}^nに限られ、その集合は Jordan 零集合であるから、上で用意した評価により二つの積分は等しい。同様に、Φ(E)=Φ(O)∩Int⁡D\Phi(E)=\Phi(O)\cap\operatorname{Int}DとU∩DU\cap Dにおけるwwの積分の差も、00でない点がsupp⁡w∩f−1(c)\operatorname{supp}w\cap f^{-1}(c)に限られる関数の積分であり、主張 (1)によりf−1(c)f^{-1}(c)は Jordan 零集合であるから00である。よって

∫Λ∩Hϵnh=∫U∩Dw=∫Dw\int_{\Lambda\cap\mathbb{H}^n_{\epsilon}}h=\int_{U\cap D}w=\int_Dw

である。最後の等号はwwがD∖UD\setminus Uの上で00であることによる。

総和。以上により、いずれのチャートについてもii番目の項は∫DΨλiu\int_D\Psi_{\lambda_i}uに等しい。§E4.10 命題 4.1の線形性とDDの上での∑i=1NΨλi=1\sum_{i=1}^{N}\Psi_{\lambda_i}=1から

∫Du dx1∧⋯∧dxn=∑i=1N∫DΨλiu=∫D∑i=1NΨλiu=∫Du\int_Du\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n=\sum_{i=1}^{N}\int_D\Psi_{\lambda_i}u=\int_D\sum_{i=1}^{N}\Psi_{\lambda_i}u=\int_Du

である。▨

5 具体例

例 5.1.S1⊆R2S^1\subseteq\R^2に§E22.14 例 6.10の向き形式

μ=ι∗(ιP(dx∧dy))=ι∗(x dy−y dx)\mu=\iota^*\bigl(\iota_P(dx\wedge dy)\bigr)=\iota^*\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr)

と、それが定める向きを与える。∫S1μ=2π\int_{S^1}\mu=2\piである。

γ ⁣:R→S1\gamma\colon\R\to S^1、γ(t)=(cos⁡t,sin⁡t)\gamma(t)=(\cos t,\sin t)と置く。γ∗μ=cos⁡t d(sin⁡t)−sin⁡t d(cos⁡t)=(cos⁡2t+sin⁡2t) dt=dt\gamma^*\mu=\cos t\,d(\sin t)-\sin t\,d(\cos t)=(\cos^2t+\sin^2t)\,dt=dtである。

U1=S1∖{(1,0)}U_1=S^1\setminus\{(1,0)\}、φ1=(γ∣(0,2π))−1\varphi_1=(\gamma|_{(0,2\pi)})^{-1}、U2=S1∖{(−1,0)}U_2=S^1\setminus\{(-1,0)\}、φ2=(γ∣(−π,π))−1\varphi_2=(\gamma|_{(-\pi,\pi)})^{-1}と置く。γ\gammaは(0,2π)(0,2\pi)と(−π,π)(-\pi,\pi)の上で単射であり、像への同相写像であるから、これらはS1S^1のチャートである。(φi−1)∗μ=γ∗μ=dt(\varphi_i^{-1})^*\mu=\gamma^*\mu=dtであるから成分は1>01>0であり、二つとも向きを保つ。U1∪U2=S1U_1\cup U_2=S^1である。

{ψ1,ψ2}\{\psi_1,\psi_2\}をこの被覆に従属する1の分割とし、ui=ψi∘γu_i=\psi_i\circ\gammaと置く。uiu_iはR\R上の2π2\pi周期のC∞C^\infty関数でありu1+u2≡1u_1+u_2\equiv1である。定義により

∫S1μ=∫02πu1(t) dt+∫−ππu2(t) dt\int_{S^1}\mu=\int_{0}^{2\pi}u_1(t)\,dt+\int_{-\pi}^{\pi}u_2(t)\,dt

である。u2u_2は2π2\pi周期であるから∫−ππu2=∫02πu2\int_{-\pi}^{\pi}u_2=\int_0^{2\pi}u_2である。よって

∫S1μ=∫02π(u1(t)+u2(t)) dt=∫02π1 dt=2π\int_{S^1}\mu=\int_0^{2\pi}\bigl(u_1(t)+u_2(t)\bigr)\,dt=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi

である。反対の向きを与えると命題 2.6 (2)により値は−2π-2\piになる。

この計算にS1S^1の計量は現れない。μ\muはR2\R^2の標準的な最高次形式dx∧dydx\wedge dyと位置ベクトル場PPだけから作られている。

例 5.2.S2⊆R3S^2\subseteq\R^3にμ=ι∗(ιPΩ)\mu=\iota^*(\iota_P\Omega)（Ω=dx∧dy∧dz\Omega=dx\wedge dy\wedge dz、P=x ∂x+y ∂y+z ∂zP=x\,\partial_x+y\,\partial_y+z\,\partial_z）が定める向きを与える。∫S2μ=4π\int_{S^2}\mu=4\piである。

立体射影による成分。φS(x,y,z)=(x,y)/(1+z)\varphi_S(x,y,z)=(x,y)/(1+z)の逆写像は

G(v)=φS−1(v)=1s(2v1, 2v2, 2−s),s=1+∥v∥2G(v)=\varphi_S^{-1}(v)=\frac{1}{s}\bigl(2v^1,\,2v^2,\,2-s\bigr), \qquad s=1+\lVert v\rVert^2

である（∥φS(p)∥2=(1−z)/(1+z)\lVert\varphi_S(p)\rVert^2=(1-z)/(1+z)から確かめられる）。G∗μ=h dv1∧dv2G^*\mu=h\,dv^1\wedge dv^2の成分は

h(v)=Ω(G(v),∂1G(v),∂2G(v))h(v)=\Omega\bigl(G(v),\partial_1G(v),\partial_2G(v)\bigr)

すなわち三つのベクトルを行とする行列式である。a=v1a=v^1、b=v2b=v^2と書くと

G=1s(2a,2b,2−s),∂1G=1s2(2s−4a2, −4ab, −4a),∂2G=1s2(−4ab, 2s−4b2, −4b)G=\frac1s(2a,2b,2-s),\quad \partial_1G=\frac{1}{s^2}\bigl(2s-4a^2,\,-4ab,\,-4a\bigr),\quad \partial_2G=\frac{1}{s^2}\bigl(-4ab,\,2s-4b^2,\,-4b\bigr)

であるから

h=1s5det⁡(2a2b2−s2s−4a2−4ab−4a−4ab2s−4b2−4b)h=\frac{1}{s^5}\det\begin{pmatrix}2a&2b&2-s\\ 2s-4a^2&-4ab&-4a\\ -4ab&2s-4b^2&-4b\end{pmatrix}

である。v=0v=0（s=1s=1）では行列式はdet⁡(001200020)=4\det\begin{pmatrix}0&0&1\\2&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}=4でありh=4h=4、v=(1,0)v=(1,0)（s=2s=2）ではdet⁡(20000−4040)=32\det\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&-4\\0&4&0\end{pmatrix}=32でありh=1h=1、v=(1,1)v=(1,1)（s=3s=3）ではdet⁡(22−12−4−4−42−4)=108\det\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&-4&-4\\-4&2&-4\end{pmatrix}=108でありh=108/243=4/9h=108/243=4/9である。いずれも

h(v)=4(1+∥v∥2)2h(v)=\frac{4}{\bigl(1+\lVert v\rVert^2\bigr)^{2}}

に一致する。この式が一般に成り立つことは、行列式を展開して整理すると確かめられる。とくにh>0h>0であるからφS\varphi_Sは向きを保つ。

対称性による二つの項の一致。σ(x,y,z)=(x,−y,−z)\sigma(x,y,z)=(x,-y,-z)と置く。σ\sigmaは行列式11の線形写像であるからσ∗Ω=Ω\sigma^*\Omega=\Omegaであり、dσp(Pp)=σ(p)=Pσ(p)d\sigma_p(P_p)=\sigma(p)=P_{\sigma(p)}であるからσ∗(ιPΩ)=ιPΩ\sigma^*(\iota_P\Omega)=\iota_P\Omega、したがってσ∗μ=μ\sigma^*\mu=\muである。またσ(S2)=S2\sigma(S^2)=S^2、σ(N)=S\sigma(N)=Sである（N=(0,0,1)N=(0,0,1)、S=(0,0,−1)S=(0,0,-1)）。

r(u1,u2)=(u1,−u2)r(u^1,u^2)=(u^1,-u^2)、φ~N=r∘φN\widetilde\varphi_N=r\circ\varphi_Nと置くと§E22.14 例 6.10により{(UN,φ~N),(US,φS)}\{(U_N,\widetilde\varphi_N),(U_S,\varphi_S)\}の座標変換の Jacobi 行列式は正である。さらに

φS(σ(x,y,z))=(x,−y)1−z=r(φN(x,y,z))=φ~N(x,y,z)\varphi_S(\sigma(x,y,z))=\frac{(x,-y)}{1-z}=r\bigl(\varphi_N(x,y,z)\bigr)=\widetilde\varphi_N(x,y,z)

であるからφS∘σ=φ~N\varphi_S\circ\sigma=\widetilde\varphi_N、すなわちφ~N−1=σ∘φS−1\widetilde\varphi_N^{-1}=\sigma\circ\varphi_S^{-1}である（σ−1=σ\sigma^{-1}=\sigma）。とくにφ~N\widetilde\varphi_Nも向きを保つ。

0<δ<10<\delta<1を取り、§E22.2 補題 1.3の関数をρ\rhoと書く。g ⁣:[−1,1]→[0,1]g\colon[-1,1]\to[0,1]を

g(t)=ρ(1−δ−t2(1−δ))g(t)=\rho\left(\frac{1-\delta-t}{2(1-\delta)}\right)

と定める。ggはC∞C^\infty関数であり、t≥1−δt\ge 1-\deltaでg=0g=0、t≤−1+δt\le-1+\deltaでg=1g=1である。また§E22.2 補題 1.3の定義式からρ(u)+ρ(1−u)=1\rho(u)+\rho(1-u)=1であるため、g(t)+g(−t)=1g(t)+g(-t)=1が成り立つ。ψN(x,y,z)=g(z)\psi_N(x,y,z)=g(z)、ψS=1−ψN\psi_S=1-\psi_Nと置くと、supp⁡ψN⊆{z≤1−δ}⊆UN\operatorname{supp}\psi_N\subseteq\{z\le1-\delta\}\subseteq U_N、supp⁡ψS⊆{z≥−1+δ}⊆US\operatorname{supp}\psi_S\subseteq\{z\ge-1+\delta\}\subseteq U_Sであり、{ψN,ψS}\{\psi_N,\psi_S\}は被覆{UN,US}\{U_N,U_S\}に従属する1の分割である。ψN∘σ(x,y,z)=g(−z)=1−g(z)=ψS\psi_N\circ\sigma(x,y,z)=g(-z)=1-g(z)=\psi_Sである。

定義により

∫S2μ=∫R2((φ~N−1)∗(ψNμ)) の成分+∫R2((φS−1)∗(ψSμ)) の成分\int_{S^2}\mu=\int_{\R^2}\bigl((\widetilde\varphi_N^{-1})^*(\psi_N\mu)\bigr)\text{ の成分} +\int_{\R^2}\bigl((\varphi_S^{-1})^*(\psi_S\mu)\bigr)\text{ の成分}

である。第一項について、φ~N−1=σ∘φS−1\widetilde\varphi_N^{-1}=\sigma\circ\varphi_S^{-1}と§E22.10 命題 5.2により

(φ~N−1)∗(ψNμ)=(φS−1)∗σ∗(ψNμ)=(φS−1)∗((ψN∘σ) σ∗μ)=(φS−1)∗(ψSμ)(\widetilde\varphi_N^{-1})^*(\psi_N\mu)=(\varphi_S^{-1})^*\sigma^*(\psi_N\mu) =(\varphi_S^{-1})^*\bigl((\psi_N\circ\sigma)\,\sigma^*\mu\bigr)=(\varphi_S^{-1})^*(\psi_S\mu)

である。よって二つの項は等しい。

値の計算。ψS∘φS−1(v)=1−g(z)\psi_S\circ\varphi_S^{-1}(v)=1-g(z)、z=(2−s)/s=(1−∥v∥2)/(1+∥v∥2)z=(2-s)/s=(1-\lVert v\rVert^2)/(1+\lVert v\rVert^2)であるから、g(t)+g(−t)=1g(t)+g(-t)=1により1−g(z)=g(−z)1-g(z)=g(-z)である。したがって

∫S2μ=2∫R2g(∥v∥2−1∥v∥2+1)4(1+∥v∥2)2 dv\int_{S^2}\mu=2\int_{\R^2}g\Bigl(\frac{\lVert v\rVert^2-1}{\lVert v\rVert^2+1}\Bigr)\frac{4}{\bigl(1+\lVert v\rVert^2\bigr)^2}\,dv

である。被積分関数は∥v∥\lVert v\rVertが大きいところで00である（z→−1z\to-1すなわち−z→1-z\to1でg(−z)=0g(-z)=0となる）から、十分大きいRRを取ると積分は閉円板BR(0)‾\overline{B_R(0)}の上のものである。§E4.14 命題 3.1により

∫S2μ=2∫02π ⁣ ⁣∫0Rg(r2−1r2+1)4r(1+r2)2 dr dθ=4π∫0Rg(r2−1r2+1)4r(1+r2)2 dr\int_{S^2}\mu=2\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{R}g\Bigl(\frac{r^2-1}{r^2+1}\Bigr)\frac{4r}{(1+r^2)^2}\,dr\,d\theta =4\pi\int_0^{R}g\Bigl(\frac{r^2-1}{r^2+1}\Bigr)\frac{4r}{(1+r^2)^2}\,dr

である。t=(r2−1)/(r2+1)t=(r^2-1)/(r^2+1)と置換すると

dtdr=2r(r2+1)−(r2−1)⋅2r(r2+1)2=4r(1+r2)2\frac{dt}{dr}=\frac{2r(r^2+1)-(r^2-1)\cdot 2r}{(r^2+1)^2}=\frac{4r}{(1+r^2)^2}

であるから、r=0r=0がt=−1t=-1、r=Rr=Rがt=(R2−1)/(R2+1)t=(R^2-1)/(R^2+1)に対応し、RRを大きく取るとggの台の外まで届くので

∫S2μ=4π∫−11g(t) dt=4π∫−11g(t)+g(−t)2 dt=4π∫−1112 dt=4π\int_{S^2}\mu=4\pi\int_{-1}^{1}g(t)\,dt=4\pi\int_{-1}^{1}\frac{g(t)+g(-t)}{2}\,dt=4\pi\int_{-1}^{1}\frac12\,dt=4\pi

である。ここで二番目の等号はt↦−tt\mapsto-tの置換による。

この計算にもS2S^2の計量は現れない。値4π4\piは標準内積から得られる球面積と一致するが、それは曲面積を表す22形式がμ\muに一致するからであり、本記事ではその一致を用いていない。

6 境界

本記事では、台がコンパクトな最高次形式だけを積分した。台がコンパクトでない場合には、広義積分としての収束を別に議論する必要がある。その議論は Lebesgue 積分の枠組みで行うのが自然である。本単元では、この収束の議論を扱わない。

向きづけ可能でない多様体の上では、最高次形式の積分を定めることができない。密度と呼ばれる別の対象を積分する枠組みがあるが、本単元では扱わない。

局所モデルとしてHn\mathbb{H}^nとH−n\mathbb{H}^n_{-}の両方を許したのは、n=1n=1で境界を持つ場合に向きを保つチャートによる被覆を確保するためである（§E22.14 注意 6.5）。Hn\mathbb{H}^nだけに限ると、M=[0,1]M=[0,1]のような多様体で定義 2.2の右辺を作ることができない。

定理 4.2では、Rn\R^nの正則な劣位集合という形の領域についてだけ述べた。区分的に滑らかな境界を持つ一般の領域については、稜と頂点の近傍でHn\mathbb{H}^nの相対開集合と微分同相にならないので、本単元の枠組みの外にある。§E4 実解析 IIの Green の定理と発散定理は、そのような領域に対して直接証明されている。

7 演習

問題 7.1.

  1. MMを向きづけられたnn次元C∞C^\infty境界付き多様体、ω∈Ωcn(M)\omega\in\Omega^n_c(M)とする。各ε>0\varepsilon>0に対してωε∈Ωcn(M)\omega_\varepsilon\in\Omega^n_c(M)であってsupp⁡ωε⊆Int⁡M\operatorname{supp}\omega_\varepsilon\subseteq\operatorname{Int}Mを満たし、lim⁡ε→0+∫Mωε=∫Mω\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_M\omega_\varepsilon=\int_M\omegaとなるものが存在することを示せ。定理 1.5の証明の関数cεc_\varepsilonをチャートごとに用いてよい。
  2. 補題 1.4でコンパクト性の仮定を外すと結論が成り立たないことを示せ。すなわち、R\Rの有界な部分集合の族{Cε}ε>0\{C_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}であって、ε≤ε′\varepsilon\le\varepsilon'ならばCε⊆Cε′C_\varepsilon\subseteq C_{\varepsilon'}を満たし、⋂ε>0Cε=∅\bigcap_{\varepsilon>0}C_\varepsilon=\varnothingであるが、どのε>0\varepsilon>0についても、CεC_\varepsilonを覆う有限個の開区間の長さの総和が11以上になるものを作れ。
  3. MMを向きづけられたnn次元C∞C^\infty境界付き多様体、ω∈Ωcn(M)\omega\in\Omega^n_c(M)とする。{χj}j∈J\{\chi_j\}_{j\in J}をMMのある開被覆に従属する滑らかな1の分割とすると（開被覆の各元はチャートの定義域でなくてよい）、χjω≠0\chi_j\omega\ne0となるjjは有限個であり、∫Mω=∑j∈J∫Mχjω\int_M\omega=\sum_{j\in J}\int_M\chi_j\omegaが成り立つことを示せ。さらに、W⊆MW\subseteq Mを開集合でsupp⁡ω⊆W\operatorname{supp}\omega\subseteq Wを満たすものとし、境界付きチャートをWWへ制限したものの全体とMMの向きの制限をWWに与えると、∫Wω∣W=∫Mω\int_W\omega|_W=\int_M\omegaであることを示せ。
  4. 補題 2.5の証明で、二つのチャートがともに向きを保つという仮定を落とすと、det⁡Dτ=∣det⁡Dτ∣\det D\tau=|\det D\tau|が成り立たなくなる。n=1n=1、M=RM=\R、τ(x)=−x\tau(x)=-xの場合に両辺を計算し、符号がどう食い違うかを確かめる。
  5. 注意 3.1の例で、ω=dx\omega=dxの代わりにω=x dx\omega=x\,dxを取り、二つのチャートで積分を計算して値が一致することを確かめる。
  6. 補題 4.1の閉球B‾\overline Bを凸でないコンパクト集合K⊆OK\subseteq Oに取り替えると、L=sup⁡x∈K∥DT(x)∥L=\sup_{x\in K}\lVert DT(x)\rVertを定数とする評価∥T(y)−T(x)∥≤L∥y−x∥\lVert T(y)-T(x)\rVert\le L\lVert y-x\rVertが成り立たない例を作れ。そのうえで、O⊆RnO\subseteq\R^nを開集合、T ⁣:O→RmT\colon O\to\R^mをC1C^1級とすると、OOに含まれる任意のコンパクト集合KKに対して定数LKL_Kが存在して、x,y∈Kx,y\in Kならば∥T(y)−T(x)∥≤LK∥y−x∥\lVert T(y)-T(x)\rVert\le L_K\lVert y-x\rVertが成り立つことを示せ。
  7. 例 5.1のS1S^1とμ\muについて、S1S^1を絶対値が11の複素数の全体と見て、整数kkに対してFk ⁣:S1→S1F_k\colon S^1\to S^1をFk(z)=zkF_k(z)=z^k（k<0k<0ではzk=zˉ ∣k∣z^k=\bar z^{\,\lvert k\rvert}）で定める。FkF_kがC∞C^\infty写像であることを示し、∫S1Fk∗μ=2πk\int_{S^1}F_k^*\mu=2\pi kを示せ。これを用いて、FFが微分同相でない場合には命題 2.6 (4)の結論も、その結論の符号を反転したものも成り立たない例を挙げよ。
  8. 例 5.2のS2S^2とμ\muについて、h∈C∞(R)h\in C^\infty(\R)に対し、点(x,y,z)∈S2(x,y,z)\in S^2で値h(z)h(z)をとる関数を同じ記号h(z)h(z)で書く。∫S2h(z) μ=2π∫−11h(t) dt\int_{S^2}h(z)\,\mu=2\pi\int_{-1}^{1}h(t)\,dtを示し、∫S2z2 μ\int_{S^2}z^2\,\muを求めよ。例の1の分割{ψN,ψS}\{\psi_N,\psi_S\}と写像σ\sigmaを用いてよい。
  9. 命題 2.6 (4)を用いて、向きを反転する微分同相に対して∫NF∗ω=−∫Mω\int_NF^*\omega=-\int_M\omegaとなることを導く。
解答.

(1)を示す。向きを保つ境界付きチャートからなるアトラス{(Uα,φα)}α∈A\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}と、それに従属する滑らかな1の分割{ψα}α∈A\{\psi_\alpha\}_{\alpha\in A}を取り、K=supp⁡ωK=\operatorname{supp}\omega、A0={α∈A∣supp⁡ψα∩K≠∅}A_0=\{\alpha\in A\mid\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K\ne\varnothing\}と置く。補題 2.3によりA0A_0は有限集合である。cε(x)=ρ(xn/ε−1)c_\varepsilon(x)=\rho(x^n/\varepsilon-1)を定理 1.5の証明の関数とする。α∈A0\alpha\in A_0に対してUαU_\alpha上のC∞C^\infty関数κα,ε\kappa_{\alpha,\varepsilon}を、φα(Uα)\varphi_\alpha(U_\alpha)がRn\R^nの開集合であれば11、Hn\mathbb{H}^nの相対開集合であればcε∘φαc_\varepsilon\circ\varphi_\alpha、H−n\mathbb{H}^n_{-}の相対開集合であればcε∘Rn∘φαc_\varepsilon\circ R_n\circ\varphi_\alphaと定める（RnR_nは§E22.14 補題 2.1の写像）。UαU_\alphaの上のnn次形式κα,εψαω\kappa_{\alpha,\varepsilon}\psi_\alpha\omegaをM∖supp⁡ψαM\setminus\operatorname{supp}\psi_\alphaの上で00として延長したものをηα,ε\eta_{\alpha,\varepsilon}と書き、

ωε=∑α∈A0ηα,ε\omega_\varepsilon=\sum_{\alpha\in A_0}\eta_{\alpha,\varepsilon}

と置く。延長がMM上のC∞C^\infty形式になることは、§E22.14 定理 6.4の証明でηα\eta_\alphaを作った議論と同じである。

台を調べる。Kα=supp⁡(ψαω)K_\alpha=\operatorname{supp}(\psi_\alpha\omega)と置くと、KαK_\alphaはコンパクトでありUαU_\alphaに含まれる。φα(Uα)\varphi_\alpha(U_\alpha)がHn\mathbb{H}^nの相対開集合のとき、cεc_\varepsilonはxn≤εx^n\le\varepsilonで00であるから、{ηα,ε≠0}\{\eta_{\alpha,\varepsilon}\ne0\}はKα∩FαK_\alpha\cap F_\alpha、Fα=φα−1({x∣xn≥ε})F_\alpha=\varphi_\alpha^{-1}(\{x\mid x^n\ge\varepsilon\})に含まれる。FαF_\alphaはUαU_\alphaの相対閉集合であるからKα∩FαK_\alpha\cap F_\alphaはKαK_\alphaの閉部分集合であり、コンパクトであるからMMの閉集合である（§E2.19 命題 6.4）。よってsupp⁡ηα,ε⊆Kα∩Fα\operatorname{supp}\eta_{\alpha,\varepsilon}\subseteq K_\alpha\cap F_\alphaである。§E22.14 命題 2.3により、FαF_\alphaの点は第nn成分が正である点へ写るので内点であり、supp⁡ηα,ε⊆Int⁡M\operatorname{supp}\eta_{\alpha,\varepsilon}\subseteq\operatorname{Int}Mである。H−n\mathbb{H}^n_{-}の相対開集合の場合も、{x∣−xn≥ε}\{x\mid -x^n\ge\varepsilon\}を用いて同様である。φα(Uα)\varphi_\alpha(U_\alpha)がRn\R^nの開集合の場合は、§E22.14 命題 2.3 条件 (b)によりUα⊆Int⁡MU_\alpha\subseteq\operatorname{Int}Mであり、supp⁡ηα,ε⊆Kα⊆Int⁡M\operatorname{supp}\eta_{\alpha,\varepsilon}\subseteq K_\alpha\subseteq\operatorname{Int}Mである。したがってsupp⁡ωε\operatorname{supp}\omega_\varepsilonは有限個のコンパクト集合の合併に含まれる閉集合であるからコンパクトであり、Int⁡M\operatorname{Int}Mに含まれる。

積分を比べる。fαf_\alphaを(φα−1)∗(ψαω)(\varphi_\alpha^{-1})^*(\psi_\alpha\omega)の成分とし、κα,ε′=κα,ε∘φα−1\kappa'_{\alpha,\varepsilon}=\kappa_{\alpha,\varepsilon}\circ\varphi_\alpha^{-1}と置く。supp⁡ηα,ε⊆Uα\operatorname{supp}\eta_{\alpha,\varepsilon}\subseteq U_\alphaであるから、命題 2.6 (3)により∫Mηα,ε=∫φα(Uα)κα,ε′fα\int_M\eta_{\alpha,\varepsilon}=\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}\kappa'_{\alpha,\varepsilon}f_\alphaである。定義 2.2により∫Mω=∑α∈A0∫φα(Uα)fα\int_M\omega=\sum_{\alpha\in A_0}\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}f_\alphaであるから、命題 2.6 (1)と補題 1.2の線形性により

∣∫Mω−∫Mωε∣≤∑α∈A0∣∫φα(Uα)(1−κα,ε′)fα∣\Bigl|\int_M\omega-\int_M\omega_\varepsilon\Bigr|\le\sum_{\alpha\in A_0}\Bigl|\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)}\bigl(1-\kappa'_{\alpha,\varepsilon}\bigr)f_\alpha\Bigr|

である。φα(Uα)\varphi_\alpha(U_\alpha)がRn\R^nの開集合である項は00である。Hn\mathbb{H}^nの相対開集合である項について、Cα=sup⁡∣fα∣C_\alpha=\sup\lvert f_\alpha\rvertと置き、c>0c>0をsupp⁡fα⊆[−c,c]n−1×[0,c]\operatorname{supp}f_\alpha\subseteq[-c,c]^{n-1}\times[0,c]となるように取る。(1−cε)fα(1-c_\varepsilon)f_\alphaはxn≥2εx^n\ge2\varepsilonで00であるから、その台は閉長方形[−c,c]n−1×[0,2ε][-c,c]^{n-1}\times[0,2\varepsilon]に含まれ、絶対値はCαC_\alpha以下である。補題 1.2の評価により、この項はCα(2c)n−1⋅2εC_\alpha(2c)^{n-1}\cdot2\varepsilon以下である。H−n\mathbb{H}^n_{-}の相対開集合である項は、台が[−c,c]n−1×[−2ε,0][-c,c]^{n-1}\times[-2\varepsilon,0]に含まれるので同じ評価を持つ。A0A_0は有限集合であるから、右辺はε→0+\varepsilon\to0^{+}で00に収束する。

(2)を示す。Q∩(0,1)\Q\cap(0,1)は可算無限集合であるから、全単射N≥1→Q∩(0,1)\NN\to\Q\cap(0,1)、k↦qkk\mapsto q_kを取る。ε>0\varepsilon>0に対して

Cε={qk∣k∈N≥1, k≥1/ε}C_\varepsilon=\{q_k\mid k\in\NN,\ k\ge1/\varepsilon\}

と置く。ε≤ε′\varepsilon\le\varepsilon'ならば1/ε≥1/ε′1/\varepsilon\ge1/\varepsilon'であるからCε⊆Cε′C_\varepsilon\subseteq C_{\varepsilon'}である。各qkq_kはε<1/k\varepsilon<1/kを満たすε\varepsilonについてCεC_\varepsilonに属さないので、⋂ε>0Cε=∅\bigcap_{\varepsilon>0}C_\varepsilon=\varnothingであり、この共通部分は Jordan 零集合である。

ε>0\varepsilon>0を固定する。CεC_\varepsilonはQ∩(0,1)\Q\cap(0,1)から有限個の点を除いた集合であり、(0,1)(0,1)の空でない開区間は無限個の有理数を含むので、CεC_\varepsilonの点を含む。したがってCεC_\varepsilonの閉包は[0,1][0,1]である。CεC_\varepsilonを有限個の開区間(a1,b1),…,(as,bs)(a_1,b_1),\dots,(a_s,b_s)が覆うとすると、閉集合⋃j=1s[aj,bj]\bigcup_{j=1}^{s}[a_j,b_j]はCεC_\varepsilonを含むので[0,1][0,1]を含む。[0,1][0,1]と[aj,bj][a_j,b_j]をすべて含む閉区間RRの上で1[0,1]≤∑j=1s1[aj,bj]\mathbf{1}_{[0,1]}\le\sum_{j=1}^{s}\mathbf{1}_{[a_j,b_j]}であり、閉区間J⊆RJ\subseteq Rの指示関数は可積分で積分はJJの長さに等しいので（補題 1.2の証明と同じ）、§E4.10 命題 4.1 (1)と§E4.10 命題 4.1 (2)により

1=∫R1[0,1]≤∑j=1s∫R1[aj,bj]=∑j=1s(bj−aj)1=\int_R\mathbf{1}_{[0,1]}\le\sum_{j=1}^{s}\int_R\mathbf{1}_{[a_j,b_j]}=\sum_{j=1}^{s}(b_j-a_j)

である。よって、どのε>0\varepsilon>0についても、CεC_\varepsilonを覆う有限個の開区間の長さの総和は11以上であり、補題 1.4の結論はη≤1\eta\le1に対して成り立たない。CεC_\varepsilonは閉包[0,1][0,1]に一致しないので閉集合でなく、したがってコンパクトでない。

(3)を示す。前半を示す。K=supp⁡ωK=\operatorname{supp}\omegaと置く。局所有限性により、KKの各点ppは有限個のsupp⁡χj\operatorname{supp}\chi_jとだけ交わる開近傍OpO_pを持つ。KKはコンパクトであるから有限個のOp1,…,OprO_{p_1},\dots,O_{p_r}で覆われ、J0={j∈J∣supp⁡χj∩K≠∅}J_0=\{j\in J\mid\operatorname{supp}\chi_j\cap K\ne\varnothing\}は有限集合である。j∉J0j\notin J_0ならば、KKの上でχj=0\chi_j=0でありKKの外でω=0\omega=0であるから、χjω=0\chi_j\omega=0である。p∈Kp\in Kでは∑j∈J0χj(p)=∑j∈Jχj(p)=1\sum_{j\in J_0}\chi_j(p)=\sum_{j\in J}\chi_j(p)=1であり、p∉Kp\notin Kではωp=0\omega_p=0であるから、MMの全体でω=∑j∈J0χjω\omega=\sum_{j\in J_0}\chi_j\omegaである。各χjω\chi_j\omegaの台はコンパクト集合KKの閉部分集合であるからコンパクトであり、χjω∈Ωcn(M)\chi_j\omega\in\Omega^n_c(M)である。命題 2.6 (1)により

∫Mω=∑j∈J0∫Mχjω=∑j∈J∫Mχjω\int_M\omega=\sum_{j\in J_0}\int_M\chi_j\omega=\sum_{j\in J}\int_M\chi_j\omega

である（j∉J0j\notin J_0の項は00である）。

後半を示す。{(Uα,φα)}α∈A\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}をMMの向きを保つ境界付きチャートからなるアトラス、{ψα}\{\psi_\alpha\}を従属する滑らかな1の分割とする。許容領域の相対開集合はふたたび許容領域であるから、{(Uα∩W,φα∣Uα∩W)}\{(U_\alpha\cap W,\varphi_\alpha|_{U_\alpha\cap W})\}はWWの境界付きアトラスであり、座標変換はMMの座標変換の制限である。μ\muをMMの向き形式とすると、各チャートはWWの向き[μ∣W][\mu|_W]について向きを保つ。ψα∣W\psi_\alpha|_WのWWにおける台はsupp⁡ψα∩W⊆Uα∩W\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap W\subseteq U_\alpha\cap Wであり、局所有限性と和が11であることはMMの場合から従うので、{ψα∣W}\{\psi_\alpha|_W\}はこの被覆に従属する滑らかな1の分割である。ω∣W\omega|_Wの台はsupp⁡ω\operatorname{supp}\omegaであり、コンパクトである。(φα∣Uα∩W)−1(\varphi_\alpha|_{U_\alpha\cap W})^{-1}によるψαω∣W\psi_\alpha\omega|_Wの引き戻しの成分は、fαf_\alpha（(φα−1)∗(ψαω)(\varphi_\alpha^{-1})^*(\psi_\alpha\omega)の成分）をφα(Uα∩W)\varphi_\alpha(U_\alpha\cap W)へ制限したものである。補題 2.3によりsupp⁡fα=φα(supp⁡(ψαω))\operatorname{supp}f_\alpha=\varphi_\alpha(\operatorname{supp}(\psi_\alpha\omega))であり、supp⁡(ψαω)⊆Uα∩supp⁡ω⊆Uα∩W\operatorname{supp}(\psi_\alpha\omega)\subseteq U_\alpha\cap\operatorname{supp}\omega\subseteq U_\alpha\cap Wであるから、supp⁡fα\operatorname{supp}f_\alphaはφα(Uα∩W)\varphi_\alpha(U_\alpha\cap W)に含まれるコンパクト集合である。定義 1.1の積分は台を含む閉長方形の上の零拡張の積分であるから、φα(Uα∩W)\varphi_\alpha(U_\alpha\cap W)の上の積分とφα(Uα)\varphi_\alpha(U_\alpha)の上の積分は一致する。α\alphaについて和を取ると∫Wω∣W=∫Mω\int_W\omega|_W=\int_M\omegaを得る。

(4)を示す。M=RM=\Rにdxdxが定める向きを与え、向きを保つチャートφ(x)=x\varphi(x)=xと、向きを反転するチャートϕ(x)=−x\phi(x)=-xを取る。τ=ϕ∘φ−1\tau=\phi\circ\varphi^{-1}はτ(x)=−x\tau(x)=-xであり、det⁡Dτ=−1\det D\tau=-1、∣det⁡Dτ∣=1\lvert\det D\tau\rvert=1である。台がコンパクトなC∞C^\infty関数uuで∫Ru>0\int_{\R}u>0となるもの（たとえば∣x∣<1\lvert x\rvert<1でu(x)=e−1/(1−x2)u(x)=e^{-1/(1-x^2)}、それ以外で00）を取り、ω=u dx\omega=u\,dxとする。φ\varphiに関する成分はf=uf=uである。y=ϕ(x)=−xy=\phi(x)=-xの座標ではω=u(−y) d(−y)=−u(−y) dy\omega=u(-y)\,d(-y)=-u(-y)\,dyであるから、ϕ\phiに関する成分はg(y)=−u(−y)g(y)=-u(-y)である。このとき(g∘τ)(x)det⁡Dτ(x)=(−u(x))⋅(−1)=u(x)=f(x)(g\circ\tau)(x)\det D\tau(x)=(-u(x))\cdot(-1)=u(x)=f(x)であり、等式f=(g∘τ)det⁡Dτf=(g\circ\tau)\det D\tauは成り立つ。一方(g∘τ)∣det⁡Dτ∣=−u=−f(g\circ\tau)\lvert\det D\tau\rvert=-u=-fである。積分を計算すると

∫Rg(y) dy=−∫Ru(−y) dy=−∫Ru,∫Rf=∫Ru\int_{\R}g(y)\,dy=-\int_{\R}u(-y)\,dy=-\int_{\R}u, \qquad \int_{\R}f=\int_{\R}u

であり、定理 1.5が与える∫g=∫(g∘τ)∣det⁡Dτ∣=−∫f\int g=\int(g\circ\tau)\lvert\det D\tau\rvert=-\int fのとおり、二つのチャートで計算した値は符号が反対になる。証明の段∫g=∫(g∘τ)∣det⁡Dτ∣=∫f\int g=\int(g\circ\tau)\lvert\det D\tau\rvert=\int fの第二の等号はdet⁡Dτ=∣det⁡Dτ∣\det D\tau=\lvert\det D\tau\rvertを要し、ここではdet⁡Dτ=−1≠1=∣det⁡Dτ∣\det D\tau=-1\ne1=\lvert\det D\tau\rvertであるから、その等号が符号−1-1だけ食い違う。

(5)を示す。注意の例と同じく、二つのチャートの像の区間の上の Riemann 積分として計算する。φ(x)=x\varphi(x)=xでは成分はxxであり、∫01x dx=12\int_0^1x\,dx=\tfrac12である。ϕ(x)=2x\phi(x)=2xではy=2xy=2x、x=y/2x=y/2であるからω=x dx=y2 d(y2)=y4 dy\omega=x\,dx=\tfrac y2\,d\bigl(\tfrac y2\bigr)=\tfrac y4\,dyであり、∫02y4 dy=[y28]02=12\int_0^2\tfrac y4\,dy=\bigl[\tfrac{y^2}{8}\bigr]_0^2=\tfrac12である。値は一致する。これは、座標変換τ(x)=2x\tau(x)=2xの Jacobi 行列式2>02>0について、成分がy4∘τ⋅2=2x4⋅2=x\tfrac y4\circ\tau\cdot2=\tfrac{2x}{4}\cdot2=xと変換し、§E4.14 定理 2.1の因子∣det⁡Dτ∣=2\lvert\det D\tau\rvert=2と打ち消し合うからである。

(6)を示す。例を作る。O=R2∖{(s,0)∣s≥0}O=\R^2\setminus\{(s,0)\mid s\ge0\}と置く。極座標の写像(r,θ)↦(rcos⁡θ,rsin⁡θ)(r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)は(0,∞)×(0,2π)(0,\infty)\times(0,2\pi)からOOへの全単射であり、Jacobi 行列式はr≠0r\ne0である。§E4.7 定理 2.1により、逆写像の第二成分T ⁣:O→(0,2π)T\colon O\to(0,2\pi)（偏角）はC1C^1級であり、Jacobi 行列の逆行列を計算すると

DT(x,y)=(−yx2+y2, xx2+y2),∥DT(x,y)∥=1x2+y2DT(x,y)=\Bigl(\frac{-y}{x^2+y^2},\ \frac{x}{x^2+y^2}\Bigr),\qquad \lVert DT(x,y)\rVert=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}

である。0<δ<π/20<\delta<\pi/2に対してK={(rcos⁡θ,rsin⁡θ)∣1≤r≤2, δ≤θ≤2π−δ}K=\{(r\cos\theta,r\sin\theta)\mid1\le r\le2,\ \delta\le\theta\le2\pi-\delta\}と置くと、KKはコンパクトな長方形の連続写像による像であるからコンパクトであり（§E2.19 定理 4.2）、K⊆OK\subseteq Oであって、L=sup⁡K∥DT∥=1L=\sup_K\lVert DT\rVert=1である。KKの二点x=(cos⁡δ,sin⁡δ)x=(\cos\delta,\sin\delta)、y=(cos⁡δ,−sin⁡δ)y=(\cos\delta,-\sin\delta)についてT(x)=δT(x)=\delta、T(y)=2π−δT(y)=2\pi-\deltaであるから、∣T(y)−T(x)∣=2π−2δ\lvert T(y)-T(x)\rvert=2\pi-2\delta、∥y−x∥=2sin⁡δ\lVert y-x\rVert=2\sin\deltaである。δ=π/6\delta=\pi/6と取ると∣T(y)−T(x)∣=5π/3>1=L∥y−x∥\lvert T(y)-T(x)\rvert=5\pi/3>1=L\lVert y-x\rVertであり、評価は成り立たない。xxとyyを結ぶ線分は点(cos⁡δ,0)(\cos\delta,0)を通り、この点はOOに属さない。

後半を示す。K⊆OK\subseteq Oをコンパクトとし、結論が成り立たないと仮定する。各k∈N≥1k\in\NNに対してxk,yk∈Kx_k,y_k\in Kが存在して∥T(yk)−T(xk)∥>k∥yk−xk∥\lVert T(y_k)-T(x_k)\rVert>k\lVert y_k-x_k\rVertとなる。とくにxk≠ykx_k\ne y_kである。§E2.19 定理 4.2と§E2.9 定理 4.3によりT(K)T(K)は有界であり、∥T∥≤C\lVert T\rVert\le CがKKの上で成り立つ定数CCが存在するので、∥yk−xk∥<2C/k\lVert y_k-x_k\rVert<2C/kである。§E2.9 定理 3.1により、部分列{xkl}\{x_{k_l}\}がKKの点zzに収束し、∥ykl−xkl∥→0\lVert y_{k_l}-x_{k_l}\rVert\to0からykl→zy_{k_l}\to zでもある。zzを中心とする閉球B‾⊆O\overline B\subseteq Oを取ると、補題 4.1により定数LBL_Bが存在してB‾\overline Bの上で∥T(y)−T(x)∥≤LB∥y−x∥\lVert T(y)-T(x)\rVert\le L_B\lVert y-x\rVertである。十分大きいllではxkl,ykl∈B‾x_{k_l},y_{k_l}\in\overline Bであるからkl∥ykl−xkl∥<LB∥ykl−xkl∥k_l\lVert y_{k_l}-x_{k_l}\rVert<L_B\lVert y_{k_l}-x_{k_l}\rVertであり、xkl≠yklx_{k_l}\ne y_{k_l}からkl<LBk_l<L_Bとなる。kl→∞k_l\to\inftyであるからこれは矛盾である。よって定数LKL_Kが存在する。

(7)を示す。γ(t)=(cos⁡t,sin⁡t)\gamma(t)=(\cos t,\sin t)と置き、mk(t)=ktm_k(t)=ktとする。de Moivre の公式によりγ(t)k=cos⁡kt+isin⁡kt\gamma(t)^k=\cos kt+i\sin ktであるから、Fk∘γ=γ∘mkF_k\circ\gamma=\gamma\circ m_kである（k<0k<0でもzˉ ∣k∣\bar z^{\,\lvert k\rvert}に対して同じ式が成り立つ）。

FkF_kがC∞C^\inftyであることを示す。例のチャートφ1,φ2\varphi_1,\varphi_2はγ\gammaを長さ2π2\piの開区間へ制限したものの逆写像である。φj\varphi_jの定義域の点qqについてγ(φj(q))=q\gamma(\varphi_j(q))=qであるから、t↦φj(γ(t))−tt\mapsto\varphi_j(\gamma(t))-tはγ(t)\gamma(t)がφj\varphi_jの定義域に属するttの上で連続であり、値は2π2\piの整数倍である。したがってこの関数は局所的に定数であり、φj∘γ\varphi_j\circ\gammaは局所的にt↦t+2πlt\mapsto t+2\pi l（llは整数）の形である。よってFkF_kの座標表示φj∘Fk∘φi−1=φj∘γ∘mk\varphi_j\circ F_k\circ\varphi_i^{-1}=\varphi_j\circ\gamma\circ m_kは局所的にt↦kt+2πlt\mapsto kt+2\pi lの形であり、C∞C^\inftyである。

積分を計算する。例のとおりγ∗μ=dt\gamma^*\mu=dtである。§E22.10 命題 5.2により、γ\gammaを開区間へ制限した写像について

γ∗(Fk∗μ)=(Fk∘γ)∗μ=(γ∘mk)∗μ=mk∗(γ∗μ)=mk∗(dt)=k dt\gamma^*\bigl(F_k^*\mu\bigr)=(F_k\circ\gamma)^*\mu=(\gamma\circ m_k)^*\mu=m_k^*(\gamma^*\mu)=m_k^*(dt)=k\,dt

である。例の1の分割{ψ1,ψ2}\{\psi_1,\psi_2\}とui=ψi∘γu_i=\psi_i\circ\gammaを用いると、(φi−1)∗(ψiFk∗μ)(\varphi_i^{-1})^*(\psi_iF_k^*\mu)の成分はk uik\,u_iであるから、定義により

∫S1Fk∗μ=∫02πk u1(t) dt+∫−ππk u2(t) dt=k∫02π(u1(t)+u2(t)) dt=2πk\int_{S^1}F_k^*\mu=\int_0^{2\pi}k\,u_1(t)\,dt+\int_{-\pi}^{\pi}k\,u_2(t)\,dt=k\int_0^{2\pi}\bigl(u_1(t)+u_2(t)\bigr)\,dt=2\pi k

である（例と同じくu2u_2の周期性を用いた）。

k=1k=1のときF1F_1は恒等写像であり、値2π2\piは∫S1μ\int_{S^1}\muに一致する。k=−1k=-1のときF−1(z)=zˉF_{-1}(z)=\bar zは線形写像(x,y)↦(x,−y)(x,y)\mapsto(x,-y)の制限であり、微分同相である。x d(−y)−(−y) dx=−(x dy−y dx)x\,d(-y)-(-y)\,dx=-(x\,dy-y\,dx)からF−1∗μ=−μF_{-1}^*\mu=-\muであるのでF−1F_{-1}は向きを反転し、値−2π-2\piは(9)の結論と一致する。k=2k=2のとき、F2(z)=F2(−z)F_2(z)=F_2(-z)であるからF2F_2は単射でなく微分同相でない。値4π4\piは∫S1μ=2π\int_{S^1}\mu=2\piにも−2π-2\piにも等しくない。したがってF2F_2に対しては∫S1F2∗μ=±∫S1μ\int_{S^1}F_2^*\mu=\pm\int_{S^1}\muのどちらも成り立たない。k=0k=0のときF0F_0は定数写像であり、F0∗μ=0F_0^*\mu=0であって値は00である。

(8)を示す。h(z)μh(z)\muはS2S^2上のC∞C^\inftyな22次形式であり、S2S^2はコンパクトであるから台はコンパクトである。例と同じ向きを保つアトラス{(UN,φ~N),(US,φS)}\{(U_N,\widetilde\varphi_N),(U_S,\varphi_S)\}と1の分割{ψN,ψS}\{\psi_N,\psi_S\}を用いると

∫S2h(z) μ=IN+IS,IN=∫R2((φ~N−1)∗(ψNh(z)μ)) の成分,IS=∫R2((φS−1)∗(ψSh(z)μ)) の成分\int_{S^2}h(z)\,\mu=I_N+I_S,\qquad I_N=\int_{\R^2}\bigl((\widetilde\varphi_N^{-1})^*(\psi_Nh(z)\mu)\bigr)\text{ の成分},\quad I_S=\int_{\R^2}\bigl((\varphi_S^{-1})^*(\psi_Sh(z)\mu)\bigr)\text{ の成分}

である。例で示したφ~N−1=σ∘φS−1\widetilde\varphi_N^{-1}=\sigma\circ\varphi_S^{-1}、σ∗μ=μ\sigma^*\mu=\mu、ψN∘σ=ψS\psi_N\circ\sigma=\psi_Sと、z∘σ=−zz\circ\sigma=-zにより

(φ~N−1)∗(ψNh(z)μ)=(φS−1)∗((ψN∘σ) h(−z) σ∗μ)=(φS−1)∗(ψS h(−z) μ)(\widetilde\varphi_N^{-1})^*(\psi_Nh(z)\mu)=(\varphi_S^{-1})^*\bigl((\psi_N\circ\sigma)\,h(-z)\,\sigma^*\mu\bigr)=(\varphi_S^{-1})^*\bigl(\psi_S\,h(-z)\,\mu\bigr)

である。点φS−1(v)\varphi_S^{-1}(v)におけるzzの値はz(v)=(1−∥v∥2)/(1+∥v∥2)z(v)=(1-\lVert v\rVert^2)/(1+\lVert v\rVert^2)、ψS\psi_Sの値はg(−z(v))g(-z(v))であり、μ\muの成分は4/(1+∥v∥2)24/(1+\lVert v\rVert^2)^2であるから

IN+IS=∫R2g(−z(v))(h(z(v))+h(−z(v)))4(1+∥v∥2)2 dvI_N+I_S=\int_{\R^2}g\bigl(-z(v)\bigr)\Bigl(h\bigl(z(v)\bigr)+h\bigl(-z(v)\bigr)\Bigr)\frac{4}{\bigl(1+\lVert v\rVert^2\bigr)^2}\,dv

である。H(t)=h(t)+h(−t)H(t)=h(t)+h(-t)と置く。例と同じく、§E4.14 命題 3.1と置換t=(r2−1)/(r2+1)=−zt=(r^2-1)/(r^2+1)=-zにより

∫S2h(z) μ=2π∫−11g(t)H(t) dt\int_{S^2}h(z)\,\mu=2\pi\int_{-1}^{1}g(t)H(t)\,dt

である。HHは偶関数であるから、置換t↦−tt\mapsto-tにより∫−11g(t)H(t) dt=∫−11g(−t)H(t) dt\int_{-1}^{1}g(t)H(t)\,dt=\int_{-1}^{1}g(-t)H(t)\,dtであり、g(t)+g(−t)=1g(t)+g(-t)=1から

∫−11g(t)H(t) dt=12∫−11(g(t)+g(−t))H(t) dt=12∫−11H(t) dt=∫−11h(t) dt\int_{-1}^{1}g(t)H(t)\,dt=\frac12\int_{-1}^{1}\bigl(g(t)+g(-t)\bigr)H(t)\,dt=\frac12\int_{-1}^{1}H(t)\,dt=\int_{-1}^{1}h(t)\,dt

である（最後の等号は∫−11h(−t) dt=∫−11h(t) dt\int_{-1}^{1}h(-t)\,dt=\int_{-1}^{1}h(t)\,dtによる）。よって∫S2h(z) μ=2π∫−11h(t) dt\int_{S^2}h(z)\,\mu=2\pi\int_{-1}^{1}h(t)\,dtである。h≡1h\equiv1では例の値4π4\piに一致する。h(t)=t2h(t)=t^2と取ると

∫S2z2 μ=2π∫−11t2 dt=4π3\int_{S^2}z^2\,\mu=2\pi\int_{-1}^{1}t^2\,dt=\frac{4\pi}{3}

である。

(9)を示す。F ⁣:N→MF\colon N\to Mを向きを反転する微分同相、すなわちF∗μMF^*\mu_Mが−μN-\mu_Nと同値であるものとし、ω∈Ωcn(M)\omega\in\Omega^n_c(M)とする。supp⁡F∗ω=F−1(supp⁡ω)\operatorname{supp}F^*\omega=F^{-1}(\operatorname{supp}\omega)はF−1F^{-1}が連続であるからコンパクトであり、F∗ω∈Ωcn(N)F^*\omega\in\Omega^n_c(N)である。N−N^-を[−μN][-\mu_N]の向きを与えたNNとすると、F∗μMF^*\mu_MはN−N^-の向き形式−μN-\mu_Nと同値であるから、F ⁣:N−→MF\colon N^-\to Mは向きを保つ微分同相である。命題 2.6 (4)をF ⁣:N−→MF\colon N^-\to Mに適用すると∫N−F∗ω=∫Mω\int_{N^-}F^*\omega=\int_M\omegaであり、命題 2.6 (2)により∫N−F∗ω=−∫NF∗ω\int_{N^-}F^*\omega=-\int_NF^*\omegaである。したがって∫NF∗ω=−∫Mω\int_NF^*\omega=-\int_M\omegaである。▨

参考文献

  1. John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 218, Springer, New York, 2013.向きを保つチャートと1の分割による多様体上の積分の定義、およびその値がとり方に依らないことの証明の構成を参考にした。
  2. Michael Spivak, Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, CRC Press, 2018, originally published 1965.積分の対象が関数ではなく最高次形式である理由と、変数変換の Jacobi 行列式の絶対値との対応を参考にした。
  3. Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics 94, Springer, 1983, originally published 1971.向きづけられた多様体上の積分の構成を参考にした。

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