閉部分群定理 | 多様体入門

1 指数写像による座標での群の積

以下、 $G$ を $n$ 次元 Lie 群（§E22.24 定義 1.1）、 $e$ をその単位元、 $\mathfrak{g}=T_eG$ を§E22.25 定理 2.3により得られる Lie 環とし、 $\exp\colon\mathfrak{g}\to G$ を§E22.26 定義 3.1の指数写像とする。

注意 1.1 (Lie 環に固定するノルムについて). 以下では $\mathfrak{g}$ の基底 $v_1,\dots,v_n$ を一つ固定し、 $u=\sum_{i=1}^{n}a^{i}v_i$ に対して

\lVert u\rVert=\Bigl(\sum_{i=1}^{n}(a^{i})^{2}\Bigr)^{1/2}

と定める。双線形写像 $B\colon\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ に対しては、有限次元であることから定数 $\lVert B\rVert$ が存在して $\lVert B(u,w)\rVert\le\lVert B\rVert\,\lVert u\rVert\,\lVert w\rVert$ が成り立つ（基底に関する成分で書くと右辺は有限個の項の和になる）。

このノルムは、固定した有限次元実ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ の上に置いた代数的な補助であって、多様体 $G$ の各点の接空間へ点について滑らかに変化する内積を与えたものではない。すなわち Riemann 計量ではない。ノルムは、以下の評価と収束を書くためだけに用いる。 $\mathfrak{g}$ の点列がこのノルムについて収束することと、基底に関する成分が収束することは同値であり、後者は§E22.1 例 2.4で $\mathfrak{g}$ に与えられる位相についての収束である。

補題 1.2. $\mu\colon G\times G\to G$ を積の写像とする。 $T_{(e,e)}(G\times G)=T_eG\oplus T_eG$ という§E22.1 命題 7.3の積のチャートが定める分解のもとで、

d\mu_{(e,e)}(u,w)=u+w\qquad(u,w\in T_eG)

が成り立つ。

証明. $d\mu_{(e,e)}$ は線形であり、 $(u,w)=(u,0)+(0,w)$ であるから、 $d\mu_{(e,e)}(u,0)=u$ と $d\mu_{(e,e)}(0,w)=w$ を示せば足りる。

$u\in T_eG$ を取り、§E22.3 命題 4.3により $e$ を通る滑らかな曲線 $c$ で $c'(0)=u$ を満たすものを取る。 $t\mapsto(c(t),e)$ は $G\times G$ の滑らかな曲線であり、その $t=0$ における速度ベクトルは $(u,0)$ である。実際、積のチャートに関する座標表示は $c$ の座標表示と定数を並べたものである。この曲線に $\mu$ を合成すると $t\mapsto\mu(c(t),e)=c(t)e=c(t)$ であるから、§E22.3 定理 5.3により

d\mu_{(e,e)}(u,0)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}c(t)=u

である。同様に $t\mapsto(e,c(t))$ を取ると $\mu(e,c(t))=c(t)$ であるから $d\mu_{(e,e)}(0,w)=w$ を得る。▨

§E22.26 定理 3.4により、 $0\in\mathfrak{g}$ の開近傍 $\mathcal{U}$ と $e\in G$ の開近傍 $W$ が存在して $\exp\colon\mathcal{U}\to W$ は微分同相である。逆写像を $\log\colon W\to\mathcal{U}$ と書く。この逆写像を用いると、群の積を $\mathfrak{g}$ の中の演算として書くことができる。

補題 1.3. 上の $\mathcal{U}$ 、 $W$ 、 $\log$ を取る。 $\delta>0$ を、 $\lVert u\rVert<\delta$ かつ $\lVert w\rVert<\delta$ ならば $u,w\in\mathcal{U}$ かつ $\exp(u)\exp(w)\in W$ となるように取る。

\Psi(u,w)=\log\bigl(\exp(u)\exp(w)\bigr) \qquad\bigl(\lVert u\rVert<\delta,\ \lVert w\rVert<\delta\bigr)

と定める。このとき次が成り立つ。

$\Psi$ は $C^\infty$ であり、 $\Psi(u,0)=u$ 、 $\Psi(0,w)=w$ 、 $\Psi(u,-u)=0$ である。
双線形写像 $B\colon\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ と定数 $C_0\ge0$ 、および $0<\delta_0\le\delta$ が存在して、 $\lVert u\rVert<\delta_0$ かつ $\lVert w\rVert<\delta_0$ を満たすすべての $u,w$ に対して $\Psi(u,w)=u+w+B(u,w)+\rho(u,w), \qquad \bigl\lVert\rho(u,w)\bigr\rVert\le C_0\bigl(\lVert u\rVert+\lVert w\rVert\bigr)^{3}$ が成り立つ。
すべての $u\in\mathfrak{g}$ に対して $B(u,u)=0$ である。とくに $B(u,w)=-B(w,u)$ である。
すべての $u,w\in\mathfrak{g}$ に対して $B(u,w)=\tfrac12[u,w]$ である。ここで $[\cdot,\cdot]$ は§E22.25 定理 2.3で $\mathfrak{g}$ に与えた括弧積である。

証明の順序は次のとおりである。主張 (1)は定義と§E22.26 命題 3.2から従う。主張 (2)は、 $\Psi$ の $(0,0)$ における二次までの Taylor 展開を取り、主張 (1)の二つの等式から二次の項が混合項だけになることを見る。主張 (3)は $\Psi(u,-u)=0$ を用いる。主張 (4)は、 $\log$ をチャートに取ったときの左不変ベクトル場の座標表示が $\Psi$ の第二変数についての偏微分で書き表されることを用い、§E22.7 命題 1.3を原点で評価する。

証明.主張 (1)を示す。 $\exp$ は§E22.26 補題 3.3により $C^\infty$ 、 $\mu$ は§E22.24 定義 1.1により $C^\infty$ 、 $\log$ は微分同相の逆写像として $C^\infty$ である。よって $\Psi$ は $C^\infty$ 写像の合成として $C^\infty$ である（§E22.1 系 4.3）。 $\exp(0)=e$ （§E22.26 命題 3.2）であるから $\exp(u)\exp(0)=\exp(u)$ であり $\Psi(u,0)=\log(\exp(u))=u$ である。同様に $\Psi(0,w)=w$ である。§E22.26 命題 3.2 (2)により $\exp(-u)=\exp(u)^{-1}$ であるから $\exp(u)\exp(-u)=e$ であり $\Psi(u,-u)=\log(e)=0$ である。

主張 (2)を示す。 $\mathfrak{g}$ の基底によって $\mathfrak{g}$ を $\R^{n}$ と同一視し、 $\Psi$ を $\R^{n}\times\R^{n}=\R^{2n}$ の開集合から $\R^{n}$ への $C^\infty$ 写像と見る。 $z=(u,w)$ と書く。 $\Psi(0,0)=0$ である。

§E4.5 定理 2.1を $r=2$ として $\Psi$ の各成分へ適用する。 $\lVert z\rVert\le\delta_1$ （ $\delta_1$ は $\overline{B}(0,\delta_1)$ が定義域に含まれるように取る）で

\Psi(z)=D\Psi(0)[z]+\tfrac12D^{2}\Psi(0)[z,z]+R(z), \qquad \lVert R(z)\rVert\le C_0'\lVert z\rVert^{3}

が成り立つ。ここで $C_0'$ は、閉球 $\overline{B}(0,\delta_1)$ の上での三階の偏導関数の上限から定まる定数である（三階の偏導関数は連続であり、閉球はコンパクトであるから上限は有限である）。

一次の項を求める。主張 (1)の $\Psi(u,0)=u$ を $u$ について $u=0$ で微分すると $D\Psi(0)[(u,0)]=u$ であり、 $\Psi(0,w)=w$ から $D\Psi(0)[(0,w)]=w$ である。線形性により $D\Psi(0)[z]=u+w$ である。

二次の項を求める。 $D^{2}\Psi(0)$ は対称双線形である（§E4.4 定理 2.1）から、 $z=(u,0)+(0,w)$ と分けると

\tfrac12D^{2}\Psi(0)[z,z] =\tfrac12D^{2}\Psi(0)\bigl[(u,0),(u,0)\bigr] +D^{2}\Psi(0)\bigl[(u,0),(0,w)\bigr] +\tfrac12D^{2}\Psi(0)\bigl[(0,w),(0,w)\bigr]

である。 $w=0$ と置くと、 $\Psi(u,0)=u$ はすべての $u$ について厳密に成り立つ等式であるから、右辺の一次の項 $u$ を引いた残りは $u$ について恒等的に $0$ である。よって $\tfrac12D^{2}\Psi(0)[(u,0),(u,0)]=0$ がすべての $u$ で成り立つ。同様に $\tfrac12D^{2}\Psi(0)[(0,w),(0,w)]=0$ である。そこで

B(u,w)=D^{2}\Psi(0)\bigl[(u,0),(0,w)\bigr]

と定めると、 $B$ は $u$ と $w$ のそれぞれについて線形、すなわち双線形であり、二次の項は $B(u,w)$ に等しい。

$\lVert z\rVert=(\lVert u\rVert^{2}+\lVert w\rVert^{2})^{1/2}\le\lVert u\rVert+\lVert w\rVert$ であるから、 $\rho(u,w)=R(z)$ と置き $C_0=C_0'$ 、 $\delta_0=\min\{\delta,\delta_1/2\}$ と取れば主張の評価を得る。

主張 (3)を示す。 $u\in\mathfrak{g}$ を固定し、 $0<s$ を $\lVert su\rVert<\delta_0$ となるほど小さく取る。主張 (1)により $\Psi(su,-su)=0$ であるから、主張 (2)の展開に $(su,-su)$ を代入して

0=su-su+B(su,-su)+\rho(su,-su)=-s^{2}B(u,u)+\rho(su,-su)

である。よって

s^{2}\lVert B(u,u)\rVert=\lVert\rho(su,-su)\rVert\le C_0\bigl(2s\lVert u\rVert\bigr)^{3}=8C_0s^{3}\lVert u\rVert^{3}

であり、両辺を $s^{2}$ で割ると $\lVert B(u,u)\rVert\le 8C_0s\lVert u\rVert^{3}$ である。右辺は $s\to0^{+}$ のとき $0$ へ収束し、左辺は $s$ に依らないので $B(u,u)=0$ である。双線形性により

0=B(u+w,u+w)=B(u,u)+B(u,w)+B(w,u)+B(w,w)=B(u,w)+B(w,u)

であるから $B(u,w)=-B(w,u)$ である。

主張 (4)を示す。 $\log\colon W\to\mathcal{U}$ をチャートとして用いる。§E22.1 系 7.2と同じ理由で $(W,\lambda\circ\log)$ は $G$ の可微分構造に属するチャートである（ $\lambda\colon\mathfrak{g}\to\R^{n}$ は基底が定める線形同型である）。以下、この同一視によって $\mathcal{U}\subseteq\R^{n}$ と見る。

$v\in\mathfrak{g}$ に対する左不変ベクトル場 $X^{v}$ の、このチャートに関する座標表示を $\hat X^{v}$ と書く。 $g=\exp(u)$ （ $u\in\mathcal{U}$ ）とする。§E22.26 命題 3.2 (3)と§E22.26 補題 1.1により、 $t\mapsto g\exp(tv)$ は $X^{v}$ の積分曲線であり $t=0$ で $g$ を取る。したがってその $t=0$ における速度ベクトルは $(X^{v})_g$ である。座標で書くと

\hat X^{v}(u)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\log\bigl(\exp(u)\exp(tv)\bigr) =\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Psi(u,tv) =D_2\Psi(u,0)[v]

である。ここで $D_2$ は第二変数についての偏微分を表す。

$u=0$ における値と一階の変化を求める。 $\hat X^{v}(0)=D_2\Psi(0,0)[v]=v$ である（主張 (2)の一次の項による）。また $h\in\mathfrak{g}$ に対して

D\hat X^{v}(0)[h]=\left.\frac{d}{d\tau}\right|_{\tau=0}D_2\Psi(\tau h,0)[v] =D_1D_2\Psi(0,0)[h][v] =D^{2}\Psi(0)\bigl[(h,0),(0,v)\bigr]=B(h,v)

である。第二の等号は連鎖律（§E4.3 定理 1.1）、第三の等号は混合二階偏導関数が $D^{2}\Psi(0)$ の対応する成分であることによる（§E4.4 定理 2.1）。

§E22.7 命題 1.3を、座標表示を $\R^{n}$ に値を取る写像と見た形で書くと、二つのベクトル場 $V$ 、 $W$ の括弧積の座標表示は

\widehat{[V,W]}(u)=D\hat W(u)\bigl[\hat V(u)\bigr]-D\hat V(u)\bigl[\hat W(u)\bigr]

である。実際、右辺の第 $j$ 成分は $\sum_{i=1}^{n}\hat V^{i}\partial_i\hat W^{j}-\sum_{i=1}^{n}\hat W^{i}\partial_i\hat V^{j}$ である。 $V=X^{u}$ 、 $W=X^{w}$ として $u=0$ で評価すると

\widehat{[X^{u},X^{w}]}(0)=B(u,w)-B(w,u)=2B(u,w)

である。最後の等号は主張 (3)による。一方 $\widehat{[X^{u},X^{w}]}(0)$ は $[X^{u},X^{w}]_e=[u,w]$ の座標表示であり、 $\hat X^{v}(0)=v$ と同じ同一視のもとで $[u,w]$ そのものである。よって $[u,w]=2B(u,w)$ 、すなわち $B(u,w)=\tfrac12[u,w]$ である。▨

2 Lie 積公式と交換子の極限公式

定理 2.1 (Lie 積公式). $G$ を Lie 群、 $\mathfrak{g}$ をその Lie 環とし、 $X,Y\in\mathfrak{g}$ とする。極限を $G$ の位相で取ると

\exp(X+Y)=\lim_{m\to\infty}\Bigl(\exp\bigl(X/m\bigr)\exp\bigl(Y/m\bigr)\Bigr)^{m}

が成り立つ。ここで $m$ は正の整数を動く。

証明.補題 1.3の $\delta_0$ 、 $B$ 、 $\rho$ を取る。 $m$ を、 $\lVert X\rVert/m<\delta_0$ かつ $\lVert Y\rVert/m<\delta_0$ を満たすほど大きく取る。このとき

\exp\bigl(X/m\bigr)\exp\bigl(Y/m\bigr)=\exp\Bigl(\Psi\bigl(X/m,\ Y/m\bigr)\Bigr)

である。§E22.26 命題 3.2 (2)を繰り返して $\exp(Z)^{m}=\exp(mZ)$ を得るので

\Bigl(\exp\bigl(X/m\bigr)\exp\bigl(Y/m\bigr)\Bigr)^{m} =\exp\Bigl(m\,\Psi\bigl(X/m,\ Y/m\bigr)\Bigr)

である。

$m\Psi(X/m,Y/m)$ を評価する。補題 1.3 (2)により

m\,\Psi\bigl(X/m,\ Y/m\bigr) =m\left(\frac{X}{m}+\frac{Y}{m}+B\Bigl(\frac{X}{m},\frac{Y}{m}\Bigr)+\rho\Bigl(\frac{X}{m},\frac{Y}{m}\Bigr)\right) =X+Y+\frac{1}{m}B(X,Y)+m\,\rho\Bigl(\frac{X}{m},\frac{Y}{m}\Bigr)

である。ここで $B$ の双線形性により $B(X/m,Y/m)=B(X,Y)/m^{2}$ を用いた。剰余については

\left\lVert m\,\rho\Bigl(\frac{X}{m},\frac{Y}{m}\Bigr)\right\rVert \le m\,C_0\left(\frac{\lVert X\rVert+\lVert Y\rVert}{m}\right)^{3} =\frac{C_0\bigl(\lVert X\rVert+\lVert Y\rVert\bigr)^{3}}{m^{2}}

である。したがって

\bigl\lVert m\,\Psi\bigl(X/m,Y/m\bigr)-(X+Y)\bigr\rVert \le\frac{\lVert B(X,Y)\rVert}{m}+\frac{C_0\bigl(\lVert X\rVert+\lVert Y\rVert\bigr)^{3}}{m^{2}} \xrightarrow[m\to\infty]{}0

である。すなわち $m\Psi(X/m,Y/m)\to X+Y$ が $\mathfrak{g}$ において成り立つ。

$\exp$ は§E22.26 補題 3.3により $C^\infty$ であり、とくに連続であるから

\Bigl(\exp\bigl(X/m\bigr)\exp\bigl(Y/m\bigr)\Bigr)^{m} =\exp\Bigl(m\Psi\bigl(X/m,Y/m\bigr)\Bigr) \xrightarrow[m\to\infty]{}\exp(X+Y)

である。▨

定理 2.2. $G$ を Lie 群、 $\mathfrak{g}$ をその Lie 環とし、 $X,Y\in\mathfrak{g}$ とする。極限を $G$ の位相で取ると

\exp\bigl([X,Y]\bigr) =\lim_{m\to\infty} \Bigl(\exp\bigl(X/m\bigr)\exp\bigl(Y/m\bigr)\exp\bigl(-X/m\bigr)\exp\bigl(-Y/m\bigr)\Bigr)^{m^{2}}

が成り立つ。ここで $m$ は正の整数を動く。指数は $m^{2}$ である。 $m$ 乗に取り替えると、後の計算のとおり指数関数の引数が $0$ へ収束して右辺が $\exp(0)=e$ になり、主張が内容を失う。

証明の要は、四つの因子の積を $\Psi$ の三回の適用として書き、二次までの展開を順に代入することである。 $\Psi$ の二次の項 $B$ が交代的であること（補題 1.3 (3)）によって、 $B(X,X)$ と $B(Y,Y)$ の項が消え、 $B(X,Y)-B(Y,X)=2B(X,Y)=[X,Y]$ だけが残る。

証明.補題 1.3の $\delta_0$ 、 $B$ 、 $\rho$ 、 $C_0$ を取り、 $a=\lVert X\rVert+\lVert Y\rVert$ と置く。 $s$ を $0<|s|\le1$ かつ後の三回の適用がすべて定義域の中で行われるほど小さい範囲に限る。この範囲は、以下で作る $a_1,a_2$ のノルムが $s$ について $O(|s|)$ であることから、 $|s|$ を十分小さく取れば確保される。以下、 $C_1,C_2,\dots$ は $X$ と $Y$ だけに依存する定数を表す。

a_1=\Psi(sX,\ sY),\qquad a_2=\Psi(a_1,\ -sX),\qquad a_3=\Psi(a_2,\ -sY)

と定める。§E22.26 命題 3.2 (2)と $\Psi$ の定義により

\exp(a_3)=\exp(sX)\exp(sY)\exp(-sX)\exp(-sY)

である。

$a_1$ を展開する。

a_1=sX+sY+s^{2}B(X,Y)+\rho(sX,sY),\qquad \lVert\rho(sX,sY)\rVert\le C_0a^{3}|s|^{3}

である。したがって $r_1=a_1-s(X+Y)$ と置くと $\lVert r_1\rVert\le\lVert B\rVert\,\lVert X\rVert\lVert Y\rVert s^{2}+C_0a^{3}|s|^{3}\le C_1s^{2}$ （ $|s|\le1$ ）であり、とくに $\lVert a_1\rVert\le a|s|+C_1s^{2}\le C_2|s|$ である。

$a_2$ を展開する。

a_2=a_1-sX+B(a_1,-sX)+\rho(a_1,-sX)

である。 $B$ の双線形性により

B(a_1,-sX)=-s\,B(a_1,X)=-s\,B\bigl(s(X+Y)+r_1,\ X\bigr) =-s^{2}B(X,X)-s^{2}B(Y,X)-s\,B(r_1,X)

であり、補題 1.3 (3)により $B(X,X)=0$ である。剰余の評価は

\lVert s\,B(r_1,X)\rVert\le|s|\cdot\lVert B\rVert\,C_1s^{2}\lVert X\rVert=C_3|s|^{3}, \qquad \lVert\rho(a_1,-sX)\rVert\le C_0\bigl(C_2|s|+\lVert X\rVert|s|\bigr)^{3}=C_4|s|^{3}

である。よって

a_2=sX+sY+s^{2}B(X,Y)+\rho(sX,sY)-sX-s^{2}B(Y,X)+\bigl(\text{ノルムが }C_5|s|^{3}\text{ 以下の項}\bigr)

であり、 $\rho(sX,sY)$ のノルムも $C_0a^{3}|s|^{3}$ 以下であるから、補題 1.3 (3)の $B(Y,X)=-B(X,Y)$ を用いて

a_2=sY+2s^{2}B(X,Y)+\eta_2,\qquad\lVert\eta_2\rVert\le C_6|s|^{3}

と書くことができる。とくに $r_2=a_2-sY$ と置くと $\lVert r_2\rVert\le 2\lVert B\rVert\lVert X\rVert\lVert Y\rVert s^{2}+C_6|s|^{3}\le C_7s^{2}$ であり、 $\lVert a_2\rVert\le C_8|s|$ である。

$a_3$ を展開する。

a_3=a_2-sY+B(a_2,-sY)+\rho(a_2,-sY)

である。

B(a_2,-sY)=-s\,B(a_2,Y)=-s\,B(sY+r_2,\ Y)=-s^{2}B(Y,Y)-s\,B(r_2,Y)

であり、 $B(Y,Y)=0$ 、 $\lVert s\,B(r_2,Y)\rVert\le C_9|s|^{3}$ である。また $\lVert\rho(a_2,-sY)\rVert\le C_0(C_8|s|+\lVert Y\rVert|s|)^{3}=C_{10}|s|^{3}$ である。よって

a_3=\bigl(sY+2s^{2}B(X,Y)+\eta_2\bigr)-sY+\bigl(\text{ノルムが }C_{11}|s|^{3}\text{ 以下の項}\bigr) =2s^{2}B(X,Y)+\eta_3

であり $\lVert\eta_3\rVert\le C_{12}|s|^{3}$ である。補題 1.3 (4)により $2B(X,Y)=[X,Y]$ であるから

a_3(s)=s^{2}[X,Y]+\eta_3(s),\qquad\lVert\eta_3(s)\rVert\le C_{12}|s|^{3}

\text{(2.2.1)}

である。

極限を取る。 $s=1/m$ と置く。§E22.26 命題 3.2 (2)を繰り返して $\exp(Z)^{m^{2}}=\exp(m^{2}Z)$ を得るので

\Bigl(\exp\bigl(X/m\bigr)\exp\bigl(Y/m\bigr)\exp\bigl(-X/m\bigr)\exp\bigl(-Y/m\bigr)\Bigr)^{m^{2}} =\exp\bigl(m^{2}a_3(1/m)\bigr)

である。式 (2.2.1)により

\bigl\lVert m^{2}a_3(1/m)-[X,Y]\bigr\rVert=m^{2}\lVert\eta_3(1/m)\rVert\le\frac{C_{12}}{m} \xrightarrow[m\to\infty]{}0

である。 $\exp$ は連続であるから、右辺は $\exp([X,Y])$ へ収束する。

指数が $m^{2}$ でなければならないこと。同じ式 (2.2.1)から $m\,a_3(1/m)=[X,Y]/m+m\,\eta_3(1/m)$ であり、そのノルムは $\lVert[X,Y]\rVert/m+C_{12}/m^{2}$ 以下であるから $0$ へ収束する。したがって $\exp(m\,a_3(1/m))\to\exp(0)=e$ であり、指数を $m$ に取り替えた式からは、 $X$ と $Y$ が何であっても $e$ が得られる。▨

3 閉部分群定理

定義 3.1. $G$ を Lie 群、 $H$ を $G$ の部分群とする。

\mathfrak{h}=\bigl\{X\in\mathfrak{g}\ \bigm|\ \exp(tX)\in H\ \text{がすべての}\ t\in\R\ \text{で成り立つ}\bigr\}

と定める。

命題 3.2. $G$ を Lie 群、 $H$ を $G$ の閉じた部分群とする。このとき $\mathfrak{h}$ は $\mathfrak{g}$ の線形部分空間であり、括弧積で閉じている。すなわち $\mathfrak{h}$ は $\mathfrak{g}$ の部分 Lie 環である。

証明. 定数倍で閉じること。 $X\in\mathfrak{h}$ 、 $c\in\R$ とすると、すべての $t$ に対して $\exp(t(cX))=\exp((tc)X)\in H$ である。よって $cX\in\mathfrak{h}$ である。とくに $0\in\mathfrak{h}$ である（ $\exp(0)=e\in H$ ）。

和で閉じること。 $X,Y\in\mathfrak{h}$ 、 $t\in\R$ とする。定理 2.1を $tX$ と $tY$ に適用すると

\exp\bigl(t(X+Y)\bigr)=\exp(tX+tY) =\lim_{m\to\infty}\Bigl(\exp\bigl(tX/m\bigr)\exp\bigl(tY/m\bigr)\Bigr)^{m}

である。 $X,Y\in\mathfrak{h}$ であるから $\exp(tX/m)\in H$ 、 $\exp(tY/m)\in H$ であり、 $H$ は部分群であるから積とその $m$ 乗も $H$ に属する。すなわち右辺の各項は $H$ の元である。 $H$ は $G$ の閉集合であるから、 $H$ の元からなる列の $G$ における極限は $H$ に属する。よって $\exp(t(X+Y))\in H$ であり、 $t$ は任意であったから $X+Y\in\mathfrak{h}$ である。

括弧積で閉じること。 $X,Y\in\mathfrak{h}$ 、 $t\in\R$ とする。上で示したとおり $tX\in\mathfrak{h}$ である。定理 2.2を $tX$ と $Y$ に適用すると、括弧積の双線形性（§E22.25 定義 2.2）により $[tX,Y]=t[X,Y]$ であるから

\exp\bigl(t[X,Y]\bigr)=\exp\bigl([tX,Y]\bigr) =\lim_{m\to\infty}\Bigl(\exp\bigl(tX/m\bigr)\exp\bigl(Y/m\bigr)\exp\bigl(-tX/m\bigr)\exp\bigl(-Y/m\bigr)\Bigr)^{m^{2}}

である。右辺の各項は $H$ の元の積の $m^{2}$ 乗であるから $H$ に属する。 $H$ は閉集合であるから極限も $H$ に属する。 $t$ は任意であったから $[X,Y]\in\mathfrak{h}$ である。▨

次の補題が、閉じているという仮定を本質的に用いる箇所である。 $H$ の元の列が単位元へ収束するとき、対応する $\mathfrak{g}$ の元を正規化して部分列を取ると、その極限がふたたび $\mathfrak{h}$ に属する。

補題 3.3. $G$ を Lie 群、 $H$ を $G$ の閉じた部分群とする。 $\mathfrak{g}$ の点列 $(u_k)_{k\ge1}$ が次の三つを満たすとする。

すべての $k$ について $u_k\ne0$ であり、 $\exp(u_k)\in H$ である。
$k\to\infty$ のとき $\lVert u_k\rVert\to0$ である。
$k\to\infty$ のとき $u_k/\lVert u_k\rVert\to Z$ が $\mathfrak{g}$ において成り立つ。

このとき $Z\in\mathfrak{h}$ である。

証明. $t\in\R$ を固定する。 $c_k=\lVert u_k\rVert>0$ と置くと、条件 (b)により $c_k\to0$ である。

各 $k$ に対して整数 $m_k$ を、 $t/c_k$ を越えない最大の整数として取る。すなわち $m_k\le t/c_k<m_k+1$ である。両辺に $c_k>0$ を掛けると

m_kc_k\le t<m_kc_k+c_k

であり、 $0\le t-m_kc_k<c_k$ を得る。 $c_k\to0$ であるから $m_kc_k\to t$ である。

m_ku_k=(m_kc_k)\cdot\frac{u_k}{c_k}

である。右辺の第一因子は実数の列であって $t$ へ収束し、第二因子は条件 (c)により $Z$ へ収束する。実数と $\mathfrak{g}$ の元の積は双線形であるから、収束する二つの列の積は極限の積へ収束する。よって $m_ku_k\to tZ$ である。

$\exp$ は連続であるから $\exp(m_ku_k)\to\exp(tZ)$ である。一方、§E22.26 命題 3.2 (2)により $\exp(m_ku_k)=\exp(u_k)^{m_k}$ であり、 $m_k$ は整数、 $\exp(u_k)\in H$ 、 $H$ は部分群であるから $\exp(u_k)^{m_k}\in H$ である（ $m_k$ が負のときは逆元の冪であり、これも $H$ に属する）。

$H$ は $G$ の閉集合であるから、 $H$ の元からなる列の極限は $H$ に属する。よって $\exp(tZ)\in H$ である。 $t$ は任意であったから $Z\in\mathfrak{h}$ である。▨

命題 3.4. $G$ を Lie 群、 $H$ を $G$ の閉じた部分群とし、 $\mathfrak{m}$ を $\mathfrak{g}$ における $\mathfrak{h}$ の線形補空間とする。すなわち $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{m}$ （直和）とする。このとき $\varepsilon>0$ が存在して、 $w\in\mathfrak{m}$ 、 $0<\lVert w\rVert<\varepsilon$ を満たすすべての $w$ に対して $\exp(w)\notin H$ である。

証明. 結論を否定する。すなわち、すべての正の整数 $k$ に対して $w_k\in\mathfrak{m}$ で $0<\lVert w_k\rVert<1/k$ かつ $\exp(w_k)\in H$ を満たすものが存在するとする。

$Z_k=w_k/\lVert w_k\rVert$ と置く。 $\mathfrak{m}$ は $\mathfrak{g}$ の線形部分空間であるから $Z_k\in\mathfrak{m}$ であり、 $\lVert Z_k\rVert=1$ である。

S=\{Z\in\mathfrak{m}\mid\lVert Z\rVert=1\}

と置く。 $\mathfrak{m}$ の基底を取って $\mathfrak{m}$ を $\R^{d}$ （ $d=\dim\mathfrak{m}$ ）と同一視すると、 $S$ は連続関数 $\lVert\cdot\rVert$ の値 $1$ における逆像であるから閉集合であり、明らかに有界である。§E2.9 定理 4.3により $S$ はコンパクトであり、§E2.9 定理 3.1により点列コンパクトである。したがって部分列 $(Z_{k_j})_{j\ge1}$ と $Z\in S$ が存在して $Z_{k_j}\to Z$ が成り立つ。とくに $\lVert Z\rVert=1$ である。

部分列 $(w_{k_j})$ について、 $\lVert w_{k_j}\rVert<1/k_j\to0$ 、 $w_{k_j}\ne0$ 、 $\exp(w_{k_j})\in H$ 、 $w_{k_j}/\lVert w_{k_j}\rVert=Z_{k_j}\to Z$ が成り立つ。補題 3.3により $Z\in\mathfrak{h}$ である。

一方 $Z\in S\subseteq\mathfrak{m}$ である。 $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{m}$ が直和であることから $\mathfrak{h}\cap\mathfrak{m}=\{0\}$ であり、 $Z=0$ となる。これは $\lVert Z\rVert=1$ に反する。▨

定理 3.5 (閉部分群定理). $G$ を Lie 群、 $H$ を $G$ の部分群であって $G$ の位相で閉じているものとする。このとき $H$ は $G$ の埋め込み部分多様体であり、§E22.5 命題 4.2により得られる可微分構造のもとでふたたび Lie 群である。その次元は $\dim\mathfrak{h}$ であり、単位元における接空間は $\mathfrak{h}$ である。

証明の中心は、単位元の周りのスライスチャートを一つ構成することである。写像 $\Phi(x,y)=\exp(x)\exp(y)$ （ $x\in\mathfrak{h}$ 、 $y\in\mathfrak{m}$ ）の $(0,0)$ における微分が $\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{m}=\mathfrak{g}$ への同型であることを補題 1.2と§E22.26 定理 3.4から示し、逆関数定理を適用して $\Phi$ が原点の近傍で微分同相であることを得る。近傍を命題 3.4の $\varepsilon$ に合わせて縮めると、縮めた近傍の $\Phi$ による像の中で $H$ に属する点は、 $y=0$ を満たす $\Phi(x,y)$ に限られる。最後に、§E22.24 命題 3.3 (3)によって、単位元でのスライスチャートから他のすべての点でのスライスチャートを得る。

証明. $k=\dim\mathfrak{h}$ と置き、 $\mathfrak{m}$ を $\mathfrak{h}$ の線形補空間とする（命題 3.2により $\mathfrak{h}$ は線形部分空間であるから、補空間が存在する）。 $\dim\mathfrak{m}=n-k$ である。

写像 $\Phi$ を定める。 $\mathfrak{h}\times\mathfrak{m}$ は§E22.1 命題 7.3により $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体であり、線形同型 $\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{m}\to\mathfrak{g}$ を通じて $\mathfrak{g}$ と同一視することができる。

\Phi\colon\mathfrak{h}\times\mathfrak{m}\longrightarrow G,\qquad \Phi(x,y)=\exp(x)\exp(y)

と定める。 $\Phi=\mu\circ(\exp|_{\mathfrak{h}}\times\exp|_{\mathfrak{m}})$ であり、 $\exp$ は§E22.26 補題 3.3により $C^\infty$ 、 $\mu$ は $C^\infty$ であるから、 $\Phi$ は $C^\infty$ である（§E22.1 系 4.3）。 $\Phi(0,0)=e$ である。

$d\Phi_{(0,0)}$ を計算する。 $(x,y)\in\mathfrak{h}\times\mathfrak{m}=T_{(0,0)}(\mathfrak{h}\times\mathfrak{m})$ とする。 $\exp|_{\mathfrak{h}}\times\exp|_{\mathfrak{m}}$ の $(0,0)$ における微分は、§E22.26 定理 3.4の $d(\exp)_0=\operatorname{id}$ を二つの因子へ適用したものであり、 $(x,y)\mapsto(x,y)\in T_eG\oplus T_eG$ である。§E22.3 定理 5.3と補題 1.2により

d\Phi_{(0,0)}(x,y)=d\mu_{(e,e)}(x,y)=x+y

である。 $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{m}$ が直和であるから、 $(x,y)\mapsto x+y$ は $\mathfrak{h}\times\mathfrak{m}$ から $\mathfrak{g}$ への線形同型である。よって $d\Phi_{(0,0)}$ は同型である。

逆関数定理を適用する。 $e$ を含む $G$ のチャート $(U_0,\psi)$ を取り、 $\mathfrak{h}\times\mathfrak{m}$ の線形座標を与えるチャートを $\lambda$ とする。 $\Phi$ は連続であるから、 $(0,0)$ の開近傍 $\mathcal{O}$ で $\Phi(\mathcal{O})\subseteq U_0$ となるものを取ることができる。 $f=\psi\circ\Phi\circ\lambda^{-1}$ は $\lambda(\mathcal{O})$ の上で $C^\infty$ であり、§E22.3 命題 5.5により $Df(\lambda(0,0))$ は $d\Phi_{(0,0)}$ の行列表示であるから可逆である。§E4.7 定理 2.1と§E22.5 補題 1.1により、 $(0,0)$ の開近傍 $\mathcal{O}_0\subseteq\mathcal{O}$ が存在して、 $\Phi|_{\mathcal{O}_0}$ は開集合 $\Phi(\mathcal{O}_0)\subseteq G$ への $C^\infty$ 微分同相である。

近傍を縮める。命題 3.4の $\varepsilon>0$ を取る。積位相の基底により、 $0\in\mathfrak{h}$ の開近傍 $\mathcal{O}_1$ と $0\in\mathfrak{m}$ の開近傍 $\mathcal{O}_2$ を、 $\mathcal{O}_1\times\mathcal{O}_2\subseteq\mathcal{O}_0$ かつ $\mathcal{O}_2\subseteq\{y\in\mathfrak{m}\mid\lVert y\rVert<\varepsilon\}$ となるように取ることができる。 $W_0=\Phi(\mathcal{O}_1\times\mathcal{O}_2)$ と置く。 $\mathcal{O}_1\times\mathcal{O}_2$ は $\mathcal{O}_0$ の開集合であり $\Phi|_{\mathcal{O}_0}$ は微分同相であるから、 $W_0$ は $G$ の開集合であり $\Phi\colon\mathcal{O}_1\times\mathcal{O}_2\to W_0$ は微分同相である。 $e=\Phi(0,0)\in W_0$ である。

$W_0\cap H$ を決定する。

W_0\cap H=\Phi\bigl(\mathcal{O}_1\times\{0\}\bigr)=\exp(\mathcal{O}_1)

を示す。 $x\in\mathcal{O}_1\subseteq\mathfrak{h}$ とすると、定義 3.1により $\exp(x)=\exp(1\cdot x)\in H$ であり、 $\Phi(x,0)=\exp(x)\exp(0)=\exp(x)$ であるから右辺は左辺に含まれる。逆に $\Phi(x,y)\in H$ （ $x\in\mathcal{O}_1$ 、 $y\in\mathcal{O}_2$ ）とする。 $\exp(x)\in H$ であり $H$ は部分群であるから

\exp(y)=\exp(x)^{-1}\bigl(\exp(x)\exp(y)\bigr)=\exp(x)^{-1}\Phi(x,y)\in H

である。 $y\in\mathcal{O}_2\subseteq\mathfrak{m}$ かつ $\lVert y\rVert<\varepsilon$ であるから、命題 3.4により $y=0$ でなければならない。よって左辺は右辺に含まれる。

スライスチャートを作る。 $\mathfrak{h}$ の基底と $\mathfrak{m}$ の基底を合わせて $\mathfrak{h}\times\mathfrak{m}$ の線形座標 $\lambda\colon\mathfrak{h}\times\mathfrak{m}\to\R^{k}\times\R^{n-k}=\R^{n}$ を取り、 $\lambda(\mathfrak{h}\times\{0\})=\R^{k}\times\{0\}$ となるようにする。

\varphi_0=\lambda\circ\bigl(\Phi|_{\mathcal{O}_1\times\mathcal{O}_2}\bigr)^{-1}\colon W_0\longrightarrow\lambda(\mathcal{O}_1\times\mathcal{O}_2)

と定める。 $\varphi_0$ は微分同相の合成として微分同相であり、とくに同相写像であって像は $\R^{n}$ の開集合であるから、 $(W_0,\varphi_0)$ は $G$ のチャートである。 $G$ の可微分構造に属することは、 $G$ の任意のチャート $(U,\psi)$ に対して座標変換 $\psi\circ\varphi_0^{-1}$ とその逆が $C^\infty$ 写像の合成であることによる（§E22.1 系 7.2と§E22.1 系 4.3）。

上で決定した $W_0\cap H=\Phi(\mathcal{O}_1\times\{0\})$ により

\varphi_0(W_0\cap H)=\lambda\bigl(\mathcal{O}_1\times\{0\}\bigr) =\lambda(\mathcal{O}_1\times\mathcal{O}_2)\cap\bigl(\R^{k}\times\{0\}\bigr) =\varphi_0(W_0)\cap\bigl(\R^{k}\times\{0\}\bigr)

である。ここで第二の等号は、 $\lambda(\mathcal{O}_1\times\mathcal{O}_2)=\lambda_1(\mathcal{O}_1)\times\lambda_2(\mathcal{O}_2)$ であり $0\in\lambda_2(\mathcal{O}_2)$ であることによる（ $\lambda_1$ 、 $\lambda_2$ はそれぞれの因子の線形座標である）。

全体へ広げる。 $(W_0,\varphi_0)$ は§E22.24 命題 3.3 (3)の仮定を満たす。よって $H$ は $G$ の $k$ 次元埋め込み部分多様体である。§E22.24 命題 4.2により、 $H$ は§E22.5 命題 4.2により得られる可微分構造のもとで Lie 群である。

接空間を求める。 $H$ の単位元における接空間は、スライスチャートの構成により $d\Phi_{(0,0)}(\mathfrak{h}\times\{0\})=\mathfrak{h}$ である。次元は $k=\dim\mathfrak{h}$ である。▨

系 3.6.定理 3.5の $H$ について、 $H$ の Lie 環は $\mathfrak{h}$ であり、その括弧積は $\mathfrak{g}$ の括弧積の制限である。

証明.定理 3.5により $T_eH=\mathfrak{h}$ である。包含写像 $\iota\colon H\to G$ は埋め込みであるから、§E22.25 定理 3.3 (2)の証明と同じ議論、すなわち $H$ の左不変ベクトル場と $G$ の左不変ベクトル場が $\iota$ に関して関連することと§E22.7 定理 2.6により、 $H$ の Lie 環の括弧積は $\mathfrak{g}$ の括弧積の $\mathfrak{h}$ への制限である。命題 3.2により $\mathfrak{h}$ はこの括弧積で閉じている。▨

4 閉であるという仮定を外すことができないこと

補題 4.1. $S^{1}=\{z\in\C\mid\lvert z\rvert=1\}$ に§E22.1 命題 5.1の $n=1$ の場合の可微分構造を与え、複素数の積を演算とする。このとき $S^{1}$ は 1 次元 Lie 群である。したがって $T^{2}=S^{1}\times S^{1}$ （§E22.1 例 7.4）は 2 次元 Lie 群である。

証明. $S^{1}$ が複素数の積について群であることは、 $\lvert zw\rvert=\lvert z\rvert\lvert w\rvert$ と $\lvert z^{-1}\rvert=\lvert z\rvert^{-1}$ による。単位元は $1$ である。

$E\colon\R\to S^{1}$ 、 $E(u)=(\cos2\pi u,\sin2\pi u)$ とする。複素数として書くと $E(u)=\cos2\pi u+i\sin2\pi u$ であり、加法定理により $E(u)E(v)=E(u+v)$ が成り立つ。§E22.5 補題 2.3により、 $E$ は $C^\infty$ であり、至るところ局所微分同相である。全射性と、 $E(u)=E(v)$ であることと $u-v\in\Z$ であることの同値性は§E22.9 補題 4.1による。

積の写像 $m\colon S^{1}\times S^{1}\to S^{1}$ の $C^\infty$ 性を示す。 $(z_0,w_0)\in S^{1}\times S^{1}$ を取り、 $E(u_0)=z_0$ 、 $E(v_0)=w_0$ を満たす $u_0,v_0$ を取る。 $E$ は局所微分同相であるから、 $u_0$ の開近傍 $I$ と $v_0$ の開近傍 $J$ 、および $u_0+v_0$ の開近傍 $K$ を、 $E|_I$ 、 $E|_J$ 、 $E|_K$ がそれぞれ像への微分同相であり $I+J\subseteq K$ となるように取ることができる（ $I$ 、 $J$ を十分小さい開区間に取ればよい）。 $\sigma_I=(E|_I)^{-1}$ などと書くと、 $E(I)\times E(J)$ の上で

m(z,w)=E\bigl(\sigma_I(z)+\sigma_J(w)\bigr)

である。実際、 $z=E(u)$ 、 $w=E(v)$ （ $u\in I$ 、 $v\in J$ ）に対して右辺は $E(u+v)=E(u)E(v)=zw$ である。右辺は $C^\infty$ 写像の合成であるから $C^\infty$ である。 $E(I)\times E(J)$ は $(z_0,w_0)$ の開近傍であるから、§E22.1 命題 4.2により $m$ は $C^\infty$ である。

逆元の写像 $\nu(z)=z^{-1}$ についても、 $E(I)$ の上で $\nu(z)=E\bigl(-\sigma_I(z)\bigr)$ であり、同じ理由で $C^\infty$ である。よって $S^{1}$ は Lie 群である。

$T^{2}=S^{1}\times S^{1}$ については、積を成分ごとに取ると群になる。積の写像は

T^{2}\times T^{2}\to T^{2},\qquad \bigl((z_1,z_2),(w_1,w_2)\bigr)\longmapsto(z_1w_1,\ z_2w_2)

である。§E22.1 命題 7.3の積のチャートに関する座標表示は、 $S^{1}$ の積の座標表示を二つ並べたものに、座標の順序を入れ替える線形同相を合成したものであるから $C^\infty$ である。逆元の写像も同様である。よって $T^{2}$ は 2 次元 Lie 群である。▨

定理 4.2. $\alpha$ を無理数とし、 $e(s)=(\cos2\pi s,\sin2\pi s)\in S^{1}$ と書く。

F\colon\R\to T^{2},\qquad F(t)=\bigl(e(t),\ e(\alpha t)\bigr)

とし、 $H=F(\R)$ と置く。このとき次が成り立つ。

$F$ は $T^{2}$ の1パラメータ部分群（§E22.26 定義 2.1）であり、 $H$ は $T^{2}$ の部分群である。
$H$ は $T^{2}$ で稠密であり、 $H\ne T^{2}$ である。とくに $H$ は $T^{2}$ の閉集合ではない。
$H$ は $T^{2}$ の埋め込み部分多様体ではない。

したがって、定理 3.5から「閉じている」という仮定を落とすことはできない。

証明.主張 (1)を示す。§E22.5 例 2.4により $F$ は $C^\infty$ 写像である。 $e(s)e(t)=e(s+t)$ （補題 4.1の証明の加法定理による）であるから

F(s)F(t)=\bigl(e(s)e(t),\ e(\alpha s)e(\alpha t)\bigr)=\bigl(e(s+t),\ e(\alpha(s+t))\bigr)=F(s+t)

である。よって $F$ は§E22.26 定義 2.1の意味で1パラメータ部分群であり、群準同型の像である $H$ は $T^{2}$ の部分群である。

主張 (2)を示す。稠密性は§E22.5 例 2.4による。 $H\ne T^{2}$ を示す。 $A=\{\alpha m+l\mid m,l\in\Z\}$ と置くと $A$ は可算集合である。 $\beta\in\R\setminus A$ を取る（ $\R$ は可算でないので、そのような $\beta$ が存在する）。 $q=(e(0),e(\beta))\in T^{2}$ とする。 $F(t)=q$ となる $t$ が存在するとすると、 $e(t)=e(0)$ から $t\in\Z$ であり、 $e(\alpha t)=e(\beta)$ から $\alpha t-\beta\in\Z$ である。 $t=m\in\Z$ 、 $\alpha m-\beta=-l\in\Z$ と書くと $\beta=\alpha m+l\in A$ となり、 $\beta$ のとり方に反する。よって $q\notin H$ であり $H\ne T^{2}$ である。

$H$ が閉集合であるとすると、 $H$ の閉包は $H$ 自身であり、稠密性から $H=T^{2}$ となって矛盾する。よって $H$ は閉集合でない。

主張 (3)を示す。 $H$ が $T^{2}$ の $k$ 次元埋め込み部分多様体であると仮定する。 $0\le k\le2$ である。単位元 $(e(0),e(0))$ におけるスライスチャート $(U,\varphi)$ 、すなわち

\varphi(U\cap H)=\varphi(U)\cap\bigl(\R^{k}\times\{0\}\bigr)

を満たすものを取る（§E22.5 定義 4.1）。

$\R^{k}\times\{0\}$ は $\R^{2}$ の閉集合であるから、 $\varphi(U)\cap(\R^{k}\times\{0\})$ は $\varphi(U)$ の閉集合である。 $\varphi$ は同相写像であるから $U\cap H$ は $U$ の閉集合である。

$H$ は $T^{2}$ で稠密であるから、 $U$ の空でない任意の開集合は $H$ と交わる。すなわち $U\cap H$ は $U$ で稠密である。 $U$ の閉集合であって $U$ で稠密であるものは $U$ に等しい。よって $U\subseteq H$ である。

$U$ は単位元を含む $T^{2}$ の開集合であるから、 $H$ は単位元の開近傍を含む。 $H$ は部分群であるから、 $h\in H$ に対して $hU\subseteq H$ であり、 $hU$ は開集合である（§E22.24 命題 3.3 (1)）。したがって $H=\bigcup_{h\in H}hU$ は開集合である。

開部分群は閉集合である。実際、 $T^{2}\setminus H=\bigcup_{g\notin H}gH$ であり、各 $gH=L_g(H)$ は開集合の微分同相による像であるから開集合である。よって $H$ は閉集合であり、主張 (2)に反する。

したがって $H$ は埋め込み部分多様体ではない。▨

注意 4.3.§E22.5 例 2.4により $F$ は単射なはめ込みであるから、 $H=F(\R)$ には§E22.5 定義 4.4の意味ではめ込み部分多様体の構造が入る。その位相は $T^{2}$ からの部分空間位相と一致しない。すなわち、閉であるという仮定を外すと、部分群は埋め込み部分多様体ではなくなるが、はめ込み部分多様体としては残る。閉部分群定理で主張するのは、閉であるという仮定のもとでは部分空間位相のままで多様体になるという点である。

5 古典行列群への適用

定理 5.1. $n$ を正の整数とする。次の各集合は $\GL_n(\R)$ または $\GL_n(\C)$ の閉じた部分群であり、したがって定理 3.5により埋め込み部分多様体であって Lie 群である。

\Orth(n),\qquad \SL_n(\R),\qquad \Uni(n),\qquad \Sp_{2n}(\R).

証明. いずれについても、群であることは§E22.24 Lie 群と古典行列群で確かめた（§E7.1 命題 3.2、§E7.2 命題 2.2、§E22.24 定理 4.3、§E22.24 定理 4.9）。閉じていることを示す。

$\Orth(n)$ について。写像 $A\mapsto A^{\mathsf T}A$ は成分の多項式であるから $M_n(\R)$ から $M_n(\R)$ への連続写像である。 $\{I\}$ は $M_n(\R)$ の閉集合であるから、その逆像 $\{A\in M_n(\R)\mid A^{\mathsf T}A=I\}$ は $M_n(\R)$ の閉集合である。 $\Orth(n)\subseteq \GL_n(\R)$ であるから、 $\Orth(n)$ は $\GL_n(\R)$ の相対位相についても閉集合である。

$\SL_n(\R)$ について。 $\det$ は連続であり $\SL_n(\R)=\det^{-1}(\{1\})$ であるから、 $\SL_n(\R)$ は $M_n(\R)$ の閉集合であり、したがって $\GL_n(\R)$ の閉集合である。

$\Uni(n)$ について。 $A\mapsto A^{*}A$ は、実部と虚部を成分と見ると多項式写像であるから連続であり、 $\Uni(n)$ は $\{I\}$ の逆像として $M_n(\C)$ の閉集合、したがって $\GL_n(\C)$ の閉集合である。

$\Sp_{2n}(\R)$ について。 $A\mapsto A^{\mathsf T}JA$ は多項式写像であるから連続であり、 $\Sp_{2n}(\R)$ は $\{J\}$ の逆像として $M_{2n}(\R)$ の閉集合、したがって $\GL_{2n}(\R)$ の閉集合である。

$\GL_n(\R)$ と $\GL_n(\C)$ は§E22.24 命題 2.1により Lie 群であるから、定理 3.5を適用することができる。▨

注意 5.2 (二つの構成の対比). §E22.24 Lie 群と古典行列群では、 $\Uni(n)$ 、 $\SL_n(\R)$ 、 $\Sp_{2n}(\R)$ を正則値の逆像として構成した。その構成は、群を定める写像 $F$ を書き下し、微分 $dF_A$ の全射性を各群について個別に計算することを要した。一方定理 5.1では、連続写像による閉集合の逆像であることだけを確かめている。

二つの構成は与える情報が異なる。正則値による構成は、次元 $n^{2}-\dim(\text{値域})$ と、単位元における接空間が $\ker dF_I$ であることを同時に与える（§E22.24 注意 4.11）。閉部分群定理による構成は、次元が $\dim\mathfrak{h}$ であることを与えるが、 $\mathfrak{h}$ を具体的に決定するにはさらに計算が要る。閉部分群定理の利点は、群を定める方程式を持たない部分群にも適用することができる点である。たとえば、Lie 群の準同型の核、および可換な部分集合の中心化群は、いずれも閉じた部分群であるから Lie 群である。

§E22.26 例 4.2で確かめたとおり、 $\exp$ の像は各古典行列群に含まれる。したがって、たとえば $\Orth(n)$ については $\{H\mid H^{\mathsf T}+H=0\}\subseteq\mathfrak{h}$ である。逆の包含は、 $\varrho(t)=e^{tH}$ が $\Orth(n)$ に留まるという条件を $t=0$ で微分することによって得られる。この照合を行うと、閉部分群定理により得られる $\mathfrak{h}$ が§E22.24 注意 4.11の接空間に一致することが分かる。

6 境界

閉であるという条件の位置。定理 3.5の仮定は、 $H$ が $G$ の位相で閉じていることである。この条件は代数的な条件ではなく位相的な条件であり、定理 4.2のとおり外すことができない。一方、 $H$ が閉じているという条件だけで、 $H$ の可微分構造も Lie 群としての構造も一意に定まる。

極限の意味。定理 2.1と定理 2.2の極限は $G$ の位相で取る。 $\mathfrak{g}$ の側の収束は注意 1.1のノルムについて述べたが、 $\mathfrak{g}$ が有限次元であるため、この収束は基底のとり方に依らない。二つの公式の証明では補題 1.3の二次までの展開だけを用い、三次以上の項の形（Baker–Campbell–Hausdorff の公式）は扱わない。同公式は本単元の範囲外である。

得られる Lie 群の性質。本記事では $H$ が埋め込み部分多様体であり Lie 群であることを示した。 $H$ の連結性、連結成分の個数、および単連結被覆については何も主張しない。

7 演習

問題 7.1 (閉部分群定理の確認). 次の各問に答えよ。

$\mathfrak{n}$ を $3$ 次の狭義上三角実行列の全体とし、 $N_3=\{I+M\mid M\in\mathfrak{n}\}$ と置く。 $N_3$ が $\GL_3(\R)$ の閉じた部分群であることを示し、定義 3.1の $\mathfrak{h}$ が $\mathfrak{n}$ に等しいことを示せ。さらに、 $\exp\colon\mathfrak{n}\to N_3$ が全単射であってその逆写像が $\log(I+M)=M-\tfrac12M^{2}$ であること、およびすべての $u,w\in\mathfrak{n}$ に対して $\log\bigl(e^{u}e^{w}\bigr)=u+w+\tfrac12[u,w]$ が成り立つことを示し、補題 1.3の $B$ と $\rho$ がこの群では $B(u,w)=\tfrac12[u,w]$ 、 $\rho=0$ であることを確かめよ。
(1)の $N_3$ で、 $\log$ をチャートとして $\mathfrak{n}$ を座標空間と見る。 $v\in\mathfrak{n}$ に対する左不変ベクトル場 $X^{v}$ の座標表示が $\hat X^{v}(u)=v+\tfrac12[u,v]$ であることを示せ。さらに、補題 1.3 (4)の証明の括弧積の座標表示を用いて、 $N_3$ の全体で $[X^{v},X^{w}]=X^{[v,w]}$ が成り立つことを直接確かめよ。
定理 2.2において指数を $m^{2}$ から $m$ に取り替えると、極限が $e$ になることを証明の最後の段に従って示せ。さらに、 $G=\GL_2(\R)$ 、 $X=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ 、 $Y=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ について、 $c_m=\exp(X/m)\exp(Y/m)\exp(-X/m)\exp(-Y/m)$ と $c_m^{\,m^{k}}$ （ $k=1,2,3$ ）を閉じた形で求め、 $k=1$ では $I$ に、 $k=2$ では $\exp([X,Y])$ に収束し、 $k=3$ では $\GL_2(\R)$ で収束しないことを示せ。
$G=\R$ （加法群。指数写像は恒等写像である）とし、 $H=\Q$ と置く。 $u_k=1/k$ が補題 3.3 条件 (a)、補題 3.3 条件 (b)、補題 3.3 条件 (c)を $Z=1$ について満たすが、 $\mathfrak{h}=\{0\}$ であることを示せ。これにより、補題 3.3で $H$ が閉じているという仮定を外すと結論が成り立たないことを確かめよ。
定理 4.2の $T^{2}$ 、 $e$ 、 $\alpha$ 、 $H$ を用いる。補題 4.1の証明の $E=e$ について、 $\ell(a,b)=d(e\times e)_{(0,0)}(a,b)$ により $\R^{2}$ と $T^{2}$ の Lie 環を同一視する。 $\exp(\ell(a,b))=(e(a),e(b))$ を示し、 $\mathfrak{h}=\ell\bigl(\R(1,\alpha)\bigr)$ であることを示せ。さらに、補空間 $\mathfrak{m}=\ell\bigl(\R(0,1)\bigr)$ の元 $w_k\ne0$ であって $w_k\to0$ かつ $\exp(w_k)\in H$ を満たす列が存在することを示し、命題 3.4で $H$ が閉じているという仮定を外すと結論が成り立たないことを確かめよ。
定理 4.2の $F$ で、 $\alpha$ を無理数の代わりに有理数 $p/q$ （ $p,q$ は互いに素な整数、 $q\ge1$ ）とし、 $H=F(\R)$ と置く。 $H$ が $T^{2}$ の閉じた部分群であることを示し、(5)の同一視のもとで $\mathfrak{h}=\ell\bigl(\R(1,p/q)\bigr)$ であることを示せ。これにより、定理 3.5から $H$ が $1$ 次元の埋め込み Lie 部分群であることを導け。
$G$ を Lie 群、 $H$ を $G$ の部分群であって $G$ の埋め込み部分多様体でもあるものとする。 $H$ が $G$ の閉集合であることを示せ。すなわち、定理 3.5の逆が成り立つ。定理 4.2 (3)はこの主張と定理 4.2 (2)から従うことを確かめよ。
定理 5.1の証明を $\SO(n)=\Orth(n)\cap \SL_n(\R)$ について書き下し、 $\SO(n)$ が $\GL_n(\R)$ の閉じた部分群であることを示せ。

解答 (演習の解答).

$\mathfrak{n}$ の三つの元の積は $0$ である。実際、標準基底 $e_1,e_2,e_3$ について、狭義上三角行列 $M$ は $Me_1=0$ 、 $Me_2\in\R e_1$ 、 $Me_3\in\R e_1+\R e_2$ を満たすので、三つの積は各 $e_j$ を $0$ へ写す。とくに $M^{3}=0$ である。 $M,M'\in\mathfrak{n}$ について $(I+M)(I+M')=I+(M+M'+MM')\in N_3$ 、 $(I+M)(I-M+M^{2})=I+M^{3}=I$ であるから、 $N_3$ は $\GL_3(\R)$ の部分群である（ $\det(I+M)=1$ ）。 $N_3=\GL_3(\R)\cap(I+\mathfrak{n})$ であり、 $I+\mathfrak{n}$ は、対角成分が $1$ であり対角より下の成分が $0$ であるという条件で定まる $M_3(\R)$ の閉集合であるから、 $N_3$ は $\GL_3(\R)$ の閉集合である。 $A\in\mathfrak{n}$ ならば $e^{tA}=I+tA+\tfrac12t^{2}A^{2}\in N_3$ であるから $\mathfrak{n}\subseteq\mathfrak{h}$ である。逆に $e^{tA}\in N_3$ がすべての $t$ で成り立つならば、§E22.26 定理 4.1 (1)と§E13.12 定理 2.1により $A=\frac{d}{dt}e^{tA}\big|_{t=0}$ であり、 $e^{tA}-I$ は閉じた線形部分空間 $\mathfrak{n}$ に値を取るので $A\in\mathfrak{n}$ である。よって $\mathfrak{h}=\mathfrak{n}$ である。定理 3.5と系 3.6により $N_3$ は Lie 環 $\mathfrak{n}$ を持つ Lie 群であり、§E22.26 定理 4.1 (2)により指数写像は $e^{u}=I+u+\tfrac12u^{2}$ 、括弧積は§E22.25 定理 3.3により $[u,w]=uw-wu$ である。 $M\in\mathfrak{n}$ について $L=M-\tfrac12M^{2}$ と置くと、 $M^{3}=0$ により $L^{2}=M^{2}$ であるから $e^{L}=I+M-\tfrac12M^{2}+\tfrac12M^{2}=I+M$ である。逆に $u\in\mathfrak{n}$ について $e^{u}-I=u+\tfrac12u^{2}$ の $\log$ は $u+\tfrac12u^{2}-\tfrac12u^{2}=u$ である。よって $\exp$ は全単射であり、逆写像は $\log$ である。 $u,w\in\mathfrak{n}$ について三つ以上の積を落とすと $e^{u}e^{w}=I+u+w+\tfrac12u^{2}+uw+\tfrac12w^{2}$ である。 $z=u+w+\tfrac12[u,w]$ と置くと $z^{2}=(u+w)^{2}=u^{2}+uw+wu+w^{2}$ であるから $e^{z}=I+u+w+\tfrac12(uw-wu)+\tfrac12\bigl(u^{2}+uw+wu+w^{2}\bigr)=e^{u}e^{w}$ であり、 $\log(e^{u}e^{w})=z$ である。したがって $N_3$ では補題 1.3の $\Psi$ が $\Psi(u,w)=u+w+\tfrac12[u,w]$ で与えられる。右辺は二次の多項式であるから、Taylor 展開の二次の項は $\tfrac12[u,w]$ そのものであり、 $B(u,w)=D^{2}\Psi(0)\bigl[(u,0),(0,w)\bigr]=\tfrac12[u,w]$ 、 $\rho=0$ である。これは補題 1.3 (3)と補題 1.3 (4)と一致する。
$u\in\mathfrak{n}$ を任意に取り、 $g=\exp(u)$ と置く。§E22.26 命題 3.2 (3)と§E22.26 補題 1.1により、 $t\mapsto g\exp(tv)$ は $X^{v}$ の積分曲線であり $t=0$ で $g$ を取るので、その $t=0$ における速度ベクトルは $(X^{v})_g$ である。 $\log$ は $N_3$ の全体を定義域とするチャートであるから、この速度ベクトルを $\log$ の座標で書くと、補題 1.3 (4)の証明と同じ計算により、 $N_3$ のすべての点で $\hat X^{v}(u)=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\log\bigl(\exp(u)\exp(tv)\bigr)=D_2\Psi(u,0)[v]$ である。(1)により $\Psi(u,w)=u+w+\tfrac12[u,w]$ であり、これは $w$ について一次式であるから $D_2\Psi(u,0)[v]=v+\tfrac12[u,v]$ である。よって $\hat X^{v}(u)=v+\tfrac12[u,v]$ であり、 $D\hat X^{v}(u)[h]=\tfrac12[h,v]$ である。同証明の括弧積の座標表示により $\widehat{[X^{v},X^{w}]}(u)=D\hat X^{w}(u)\bigl[\hat X^{v}(u)\bigr]-D\hat X^{v}(u)\bigl[\hat X^{w}(u)\bigr] =\tfrac12\bigl[v+\tfrac12[u,v],\,w\bigr]-\tfrac12\bigl[w+\tfrac12[u,w],\,v\bigr]$ である。 $\mathfrak{n}$ の三つの元の積は $0$ であるから、括弧積を二回重ねた項は $0$ であり、右辺は $\tfrac12[v,w]-\tfrac12[w,v]=[v,w]$ である。一方 $\hat X^{[v,w]}(u)=[v,w]+\tfrac12\bigl[u,[v,w]\bigr]=[v,w]$ である。よって $N_3$ の全体で $[X^{v},X^{w}]=X^{[v,w]}$ が成り立つ。
$a_3(1/m)=m^{-2}[X,Y]+\eta_3(1/m)$ であり $\lVert\eta_3(1/m)\rVert\le C_{12}m^{-3}$ である。したがって $\lVert m\,a_3(1/m)\rVert\le m^{-1}\lVert[X,Y]\rVert+C_{12}m^{-2}\to0$ であり、 $\exp$ の連続性により $\exp(m\,a_3(1/m))\to\exp(0)=e$ である。具体例を計算する。§E22.26 定理 4.1 (1)により $\exp$ は行列指数関数であり、 $e^{sX}=\operatorname{diag}(e^{s},e^{-s})$ 、 $Y^{2}=0$ から $e^{sY}=I+sY$ である。 $e^{sX}Ye^{-sX}=e^{2s}Y$ であるから、 $s=1/m$ と置くと $c_m=e^{sX}(I+sY)e^{-sX}(I-sY)=(I+se^{2s}Y)(I-sY)=I+s\bigl(e^{2s}-1\bigr)Y$ である。 $Y^{2}=0$ により正の整数 $N$ に対して $(I+\lambda Y)^{N}=I+N\lambda Y$ であるから $c_m^{\,m^{k}}=I+m^{k-1}\bigl(e^{2/m}-1\bigr)Y$ である。 $m(e^{2/m}-1)\to2$ であるから、 $k=1$ では $e^{2/m}-1\to0$ により $c_m^{\,m}\to I$ であり、 $k=2$ では $c_m^{\,m^{2}}\to I+2Y=e^{2Y}$ である。 $[X,Y]=XY-YX=2Y$ であるから極限は $\exp([X,Y])$ である。 $k=3$ では $e^{2/m}-1\ge2/m$ から $m^{2}(e^{2/m}-1)\ge2m\to\infty$ であり、 $(1,2)$ 成分が有界でないので $c_m^{\,m^{3}}$ は $\GL_2(\R)$ で収束しない。
$u_k=1/k\ne0$ であり $\exp(u_k)=1/k\in\Q$ である。 $\lVert u_k\rVert=1/k\to0$ であり、 $u_k/\lVert u_k\rVert=1$ であるから $Z=1$ である。よって三条件が成り立つ。一方、 $v\in\R$ が $v\ne0$ ならば、 $t=\sqrt2/v$ について $\exp(tv)=\sqrt2\notin\Q$ であるから $v\notin\mathfrak{h}$ であり、 $\mathfrak{h}=\{0\}$ である。したがって $Z=1\notin\mathfrak{h}$ であり、補題 3.3の結論は成り立たない。 $\Q$ は $\R$ の閉集合でない（閉包は $\R$ である）ので、成り立たないのは $H$ が閉じているという仮定だけである。
補題 4.1の証明により $e$ は至るところ局所微分同相であるから、 $d(e\times e)_{(0,0)}$ は同型であり、 $\ell$ は線形同型である。 $c(t)=(e(ta),e(tb))$ は加法定理により準同型であり、 $C^\infty$ であって、連鎖律により $c'(0)=d(e\times e)_{(0,0)}(a,b)=\ell(a,b)$ である。§E22.26 定理 2.2と§E22.26 命題 3.2 (3)により $c(t)=\exp(t\,\ell(a,b))$ であり、 $t=1$ として $\exp(\ell(a,b))=(e(a),e(b))$ である。 $\exp(t\ell(1,\alpha))=(e(t),e(\alpha t))=F(t)\in H$ であるから $\ell(\R(1,\alpha))\subseteq\mathfrak{h}$ である。逆に $\ell(a,b)\in\mathfrak{h}$ とすると、各 $t$ に対して $(e(ta),e(tb))=F(s_t)$ を満たす $s_t\in\R$ が存在し、§E22.9 補題 4.1により $ta-s_t\in\Z$ 、 $tb-\alpha s_t\in\Z$ である。よって $t(b-\alpha a)=(tb-\alpha s_t)-\alpha(ta-s_t)$ は可算集合 $\Z+\alpha\Z$ に属する。 $b-\alpha a\ne0$ ならば $t\mapsto t(b-\alpha a)$ は $\R$ から $\R$ への全単射であり、 $\R$ は可算でないので矛盾する。よって $b=\alpha a$ であり、 $\mathfrak{h}=\ell(\R(1,\alpha))$ である。正の整数 $N$ に対して、 $0\le m\le N$ を満たす整数 $m$ について $m\alpha$ の小数部分 $\{m\alpha\}\in[0,1)$ を考える。 $N+1$ 個の値が長さ $1/N$ の $N$ 個の区間 $[j/N,(j+1)/N)$ に属するので、 $m<m'$ で $\lvert\{m'\alpha\}-\{m\alpha\}\rvert<1/N$ を満たすものが存在する。 $c_N=\{m'\alpha\}-\{m\alpha\}$ は $(m'-m)\alpha$ から整数を引いたものであるから $\Z+\alpha\Z$ に属し、 $\alpha$ が無理数であり $m'-m\ne0$ であるから $c_N\ne0$ である。 $c_N=n_N+\alpha k_N$ （ $n_N,k_N\in\Z$ ）と書くと $e(c_N)=e(\alpha k_N)$ であるから、 $w_N=\ell(0,c_N)\in\mathfrak{m}$ について $\exp(w_N)=(e(0),e(c_N))=(e(k_N),e(\alpha k_N))=F(k_N)\in H$ である。 $w_N\ne0$ 、 $w_N\to0$ であるから、どの $\varepsilon>0$ に対しても $0<\lVert w\rVert<\varepsilon$ かつ $\exp(w)\in H$ を満たす $w\in\mathfrak{m}$ が存在し、命題 3.4の結論は成り立たない。定理 4.2 (2)により $H$ は閉じていない。
加法定理により $F$ は準同型であり、 $H$ は部分群である。 $F(t+q)=(e(t+q),e(pt/q+p))=F(t)$ であるから $H=F([0,q])$ であり、コンパクト集合の連続写像による像としてコンパクトである。 $T^{2}$ は Hausdorff であるから（§E2.19 命題 6.4）、 $H$ は閉集合である。(5)と同じ議論により、 $\ell(a,b)\in\mathfrak{h}$ ならば $t(b-\tfrac pqa)$ はすべての $t$ について可算集合 $\Z+\tfrac pq\Z$ に属するので $b=\tfrac pqa$ であり、逆に $\exp(t\ell(1,p/q))=F(t)\in H$ であるから、 $\mathfrak{h}=\ell(\R(1,p/q))$ である。定理 3.5により $H$ は $T^{2}$ の埋め込み部分多様体であって Lie 群であり、その次元は $\dim\mathfrak{h}=1$ である。
$\overline{H}$ を $H$ の閉包とする。 $\mu$ と逆元の写像は連続であるから、 $\mu(\overline H\times\overline H)\subseteq\overline{\mu(H\times H)}\subseteq\overline H$ であり、同様に $\overline H^{-1}\subseteq\overline H$ である。よって $\overline H$ は部分群である。 $H$ が $\overline H$ の開集合であることを示す。 $h\in H$ におけるスライスチャート $(U,\varphi)$ を取ると、 $\varphi(U\cap H)=\varphi(U)\cap(\R^{k}\times\{0\})$ は $\varphi(U)$ の閉集合であるから、 $U\cap H$ は $U$ の閉集合である。 $U$ は開集合であるから $U\cap\overline H\subseteq\overline{U\cap H}\cap U=U\cap H$ である。実際、 $x\in U\cap\overline H$ ならば $x$ の任意の近傍 $V$ について $V\cap U$ は $x$ の近傍であり $H$ と交わるので、 $x$ は $U\cap H$ の閉包に属する。よって $U\cap\overline H=U\cap H$ であり、 $H$ は $\overline H$ の部分空間位相に関して開集合である。 $\overline H$ の元 $g$ に対して、 $L_g$ は $G$ の同相写像であり $\overline H$ を $\overline H$ へ写すので、 $\overline H$ の同相写像を誘導する。したがって $gH$ は $\overline H$ の開集合であり、 $\overline H\setminus H=\bigcup_{g\in\overline H\setminus H}gH$ は $\overline H$ の開集合である。よって $H$ は $\overline H$ の閉集合であり、 $\overline H$ は $G$ の閉集合であるから、 $H$ は $G$ の閉集合である。定理 4.2の $H$ は部分群であり、定理 4.2 (2)により閉集合でない。埋め込み部分多様体であると仮定すると、いま示したことにより閉集合になって矛盾する。よって定理 4.2 (3)が従う。
$\SO(n)=\Orth(n)\cap\det^{-1}(\{1\})$ である。 $\Orth(n)$ は上で示したとおり $\GL_n(\R)$ の閉集合であり、 $\det^{-1}(\{1\})$ も $\det$ の連続性から閉集合である。二つの閉集合の交わりは閉集合であるから $\SO(n)$ は $\GL_n(\R)$ の閉集合である。部分群であることは§E7.2 命題 2.2による。よって定理 3.5により $\SO(n)$ は Lie 群である。

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§E22.27閉部分群定理

1 指数写像による座標での群の積

2 Lie 積公式と交換子の極限公式

3 閉部分群定理

4 閉であるという仮定を外すことができないこと

5 古典行列群への適用

6 境界

7 演習

参考文献

前提記事