§E22.12内部積・Cartan の公式・Poincaré の補題

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外微分は次数を一つ上げる。ベクトル場を一つ固定して第一引数へ代入する操作は、次数を一つ下げる。本記事ではこの二つの操作を組み合わせて、流れによる引き戻しの微分である Lie 微分が

LX=ιX∘d+d∘ιX\mathcal{L}_X=\iota_X\circ d+d\circ\iota_X

と表されることを証明する。この等式を Cartan の公式という。

この公式を積多様体M×RM\times\Rの上の座標ベクトル場へ適用すると、二つの断面i0,i1:M→M×Ri_0,i_1:M\to M\times\Rの引き戻しの差を、外微分と可換でない一つの作用素で書くことができる。その作用素を鎖ホモトピー作用素という。星型開集合を一点へ縮める滑らかな写像で閉形式を引き戻し、引き戻した形式へこの作用素についての等式を適用すると、星型開集合の上ではk≥1k\ge 1の閉形式が完全であることが従う。この主張を Poincaré の補題という。

以下、MMを境界を持たないnn次元C∞C^\infty多様体とする。Ωk(M)\Omega^k(M)はkk次微分形式の全体、X(M)\mathfrak{X}(M)はC∞C^\inftyベクトル場の全体を表す。

1 内部積

定義 1.1.X∈X(M)X\in\mathfrak{X}(M)とする。k≥1k\ge 1とω∈Ωk(M)\omega\in\Omega^k(M)に対し、(k−1)(k-1)次形式ιXω\iota_X\omegaを

(ιXω)p(v1,…,vk−1)=ωp(Xp,v1,…,vk−1)(p∈M, v1,…,vk−1∈TpM)(\iota_X\omega)_p(v_1,\dots,v_{k-1})=\omega_p\bigl(X_p,v_1,\dots,v_{k-1}\bigr) \qquad(p\in M,\ v_1,\dots,v_{k-1}\in T_pM)

で定める。k=0k=0、すなわちf∈Ω0(M)=C∞(M)f\in\Omega^0(M)=C^\infty(M)に対しては

ιXf=0\iota_Xf=0

と定める。ιXω\iota_X\omegaをXXによるω\omegaの内部積 (interior product) という。

k=0k=0の規約を落としてはならない。以下の定理 3.1のk=0k=0の場合と、定理 4.4のk=0k=0の場合は、いずれもこの規約のもとで成り立つ。

命題 1.2.X∈X(M)X\in\mathfrak{X}(M)とする。

  1. k≥1k\ge 1とω∈Ωk(M)\omega\in\Omega^k(M)に対しιXω∈Ωk−1(M)\iota_X\omega\in\Omega^{k-1}(M)である。ιX:Ωk(M)→Ωk−1(M)\iota_X:\Omega^k(M)\to\Omega^{k-1}(M)はC∞(M)C^\infty(M)線形である。
  2. ιX∘ιX=0\iota_X\circ\iota_X=0である。
  3. α∈Ωk(M)\alpha\in\Omega^k(M)、β∈Ωl(M)\beta\in\Omega^l(M)に対して次数付き Leibniz 則 ιX(α∧β)=(ιXα)∧β+(−1)k α∧(ιXβ)\iota_X(\alpha\wedge\beta)=(\iota_X\alpha)\wedge\beta+(-1)^{k}\,\alpha\wedge(\iota_X\beta) が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。k=1k=1のときιXω=ω(X)\iota_X\omega=\omega(X)はC∞C^\infty関数である。k≥2k\ge 2のとき、B(Y1,…,Yk−1)=ω(X,Y1,…,Yk−1)B(Y_1,\dots,Y_{k-1})=\omega(X,Y_1,\dots,Y_{k-1})はC∞(M)C^\infty(M)多重線形であり（ω\omegaが各点で定まる形式であることによる）、交代的である（ω\omegaの交代性による）。よって§E22.11 補題 4.1 (2)によりιXω∈Ωk−1(M)\iota_X\omega\in\Omega^{k-1}(M)である。C∞(M)C^\infty(M)線形性は定義式から従う。

主張 (2)を示す。k≥2k\ge 2のとき(ιXιXω)p(v1,…,vk−2)=ωp(Xp,Xp,v1,… )=0(\iota_X\iota_X\omega)_p(v_1,\dots,v_{k-2})=\omega_p(X_p,X_p,v_1,\dots)=0である（ω\omegaの交代性）。k=1k=1のときιXω\iota_X\omegaは関数であり、ιX\iota_Xを施すと定義により00である。k=0k=0のときはιXω=0\iota_X\omega=0である。

主張 (3)を示す。k=0k=0のときはα=f\alpha=fが関数であり、ιX(fβ)=f ιXβ\iota_X(f\beta)=f\,\iota_X\betaである。右辺は(ιXf)∧β+f ιXβ=0+f ιXβ(\iota_Xf)\wedge\beta+f\,\iota_X\beta=0+f\,\iota_X\betaであるから一致する。l=0l=0のときも同様に、ιX(gα)=g ιXα\iota_X(g\alpha)=g\,\iota_X\alphaと(ιXα)g+(−1)kα∧ιXg=(ιXα)g(\iota_X\alpha)g+(-1)^k\alpha\wedge\iota_Xg=(\iota_X\alpha)gが一致する。以下k,l≥1k,l\ge 1とする。

まずk=1k=1の場合を示す。α∈Ω1(M)\alpha\in\Omega^1(M)、β∈Ωl(M)\beta\in\Omega^l(M)とする。§E22.10 命題 3.3を(1,l)(1,l)シャッフルに適用する。σ∈Sh⁡(1,l)\sigma\in\operatorname{Sh}(1,l)はσ(1)=m\sigma(1)=mの値だけで定まり、列σ(1),…,σ(l+1)\sigma(1),\dots,\sigma(l+1)はm,1,2,…,m^,…,l+1m,1,2,\dots,\widehat m,\dots,l+1であるから、転倒の個数はm−1m-1でありsgn⁡(σ)=(−1)m−1\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{m-1}である。よってw1,…,wl+1∈TpMw_1,\dots,w_{l+1}\in T_pMに対し

(α∧β)(w1,…,wl+1)=∑m=1l+1(−1)m−1α(wm) β(w1,…,wm^,…,wl+1)(\alpha\wedge\beta)(w_1,\dots,w_{l+1}) =\sum_{m=1}^{l+1}(-1)^{m-1}\alpha(w_m)\,\beta\bigl(w_1,\dots,\widehat{w_m},\dots,w_{l+1}\bigr)

である。w1=Xpw_1=X_p、wr+1=vrw_{r+1}=v_r（r=1,…,lr=1,\dots,l）と置くと、左辺は(ιX(α∧β))p(v1,…,vl)(\iota_X(\alpha\wedge\beta))_p(v_1,\dots,v_l)である。右辺のm=1m=1の項はα(Xp) β(v1,…,vl)\alpha(X_p)\,\beta(v_1,\dots,v_l)である。m≥2m\ge 2の項は、r=m−1r=m-1と置くと

(−1)rα(vr) β(Xp,v1,…,vr^,…,vl)=(−1)rα(vr) (ιXβ)(v1,…,vr^,…,vl)(-1)^{r}\alpha(v_r)\,\beta\bigl(X_p,v_1,\dots,\widehat{v_r},\dots,v_l\bigr) =(-1)^{r}\alpha(v_r)\,(\iota_X\beta)\bigl(v_1,\dots,\widehat{v_r},\dots,v_l\bigr)

である。一方、ふたたび(1,l−1)(1,l-1)シャッフルによる表示から

(α∧ιXβ)(v1,…,vl)=∑r=1l(−1)r−1α(vr) (ιXβ)(v1,…,vr^,…,vl)(\alpha\wedge\iota_X\beta)(v_1,\dots,v_l)=\sum_{r=1}^{l}(-1)^{r-1}\alpha(v_r)\,(\iota_X\beta)\bigl(v_1,\dots,\widehat{v_r},\dots,v_l\bigr)

であるから、m≥2m\ge2の項の総和は−(α∧ιXβ)(v1,…,vl)-(\alpha\wedge\iota_X\beta)(v_1,\dots,v_l)に等しい。したがって

ιX(α∧β)=α(X) β−α∧ιXβ=(ιXα)∧β+(−1)1α∧(ιXβ)\iota_X(\alpha\wedge\beta)=\alpha(X)\,\beta-\alpha\wedge\iota_X\beta =(\iota_X\alpha)\wedge\beta+(-1)^{1}\alpha\wedge(\iota_X\beta)

である。

一般のkkについて帰納する。主張は各点で決まる等式であり、α\alphaについてC∞(M)C^\infty(M)線形である。チャート(U,φ=(x1,…,xn))(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))を取るとα∣U=∑IαI dxI\alpha|_U=\sum_I\alpha_I\,dx^I（§E22.10 命題 4.1）であるから、α=dxi1∧⋯∧dxik\alpha=dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}の場合を示せば足りる。α=α1∧α′\alpha=\alpha_1\wedge\alpha'（α1=dxi1∈Ω1\alpha_1=dx^{i_1}\in\Omega^1、α′∈Ωk−1\alpha'\in\Omega^{k-1}）と書き、k−1k-1について主張が成り立つと仮定する。結合性（§E22.10 定理 3.5）とk=1k=1の場合により

ιX(α∧β)=ιX(α1∧(α′∧β))=α1(X) (α′∧β)−α1∧ιX(α′∧β)\iota_X(\alpha\wedge\beta)=\iota_X\bigl(\alpha_1\wedge(\alpha'\wedge\beta)\bigr) =\alpha_1(X)\,(\alpha'\wedge\beta)-\alpha_1\wedge\iota_X(\alpha'\wedge\beta)

である。帰納法の仮定からιX(α′∧β)=(ιXα′)∧β+(−1)k−1α′∧ιXβ\iota_X(\alpha'\wedge\beta)=(\iota_X\alpha')\wedge\beta+(-1)^{k-1}\alpha'\wedge\iota_X\betaであるから

ιX(α∧β)=(α1(X) α′−α1∧ιXα′)∧β+(−1)k α1∧α′∧ιXβ\iota_X(\alpha\wedge\beta)=\Bigl(\alpha_1(X)\,\alpha'-\alpha_1\wedge\iota_X\alpha'\Bigr)\wedge\beta +(-1)^{k}\,\alpha_1\wedge\alpha'\wedge\iota_X\beta

である。括弧の中はk=1k=1の場合によりιX(α1∧α′)=ιXα\iota_X(\alpha_1\wedge\alpha')=\iota_X\alphaに等しい。よって主張を得る。▨

例 1.3.R3\R^3の標準座標を(x,y,z)(x,y,z)とし、X=∂/∂xX=\partial/\partial xとする。命題 1.2 (3)とιX(dx)=1\iota_X(dx)=1、ιX(dy)=ιX(dz)=0\iota_X(dy)=\iota_X(dz)=0から

ιX(dx∧dy)=dy,ιX(dy∧dz)=0,ιX(dx∧dy∧dz)=dy∧dz\iota_X(dx\wedge dy)=dy,\qquad \iota_X(dy\wedge dz)=0,\qquad \iota_X(dx\wedge dy\wedge dz)=dy\wedge dz

である。一般にX=a ∂/∂x+b ∂/∂y+c ∂/∂zX=a\,\partial/\partial x+b\,\partial/\partial y+c\,\partial/\partial zに対しては

ιX(dx∧dy∧dz)=a dy∧dz+b dz∧dx+c dx∧dy\iota_X(dx\wedge dy\wedge dz)=a\,dy\wedge dz+b\,dz\wedge dx+c\,dx\wedge dy

である。実際、命題 1.2 (3)を二度用いると

ιX(dx∧dy∧dz)=a dy∧dz−b dx∧dz+c dx∧dy\iota_X(dx\wedge dy\wedge dz)=a\,dy\wedge dz-b\,dx\wedge dz+c\,dx\wedge dy

となり、−dx∧dz=dz∧dx-dx\wedge dz=dz\wedge dxから上の式になる。

2 微分形式とテンソル場の Lie 微分

X∈X(M)X\in\mathfrak{X}(M)の局所流をφ\varphiとする（§E22.6 定理 7.1）。各p∈Mp\in Mに対し、ε>0\varepsilon>0とppの開近傍WWであって(−ε,ε)×W(-\varepsilon,\varepsilon)\times Wが局所流の定義域に含まれるものを取ることができる。φt(q)=φ(t,q)\varphi_t(q)=\varphi(t,q)と書くと、Φ:W×(−ε,ε)→M\Phi:W\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to M、Φ(q,t)=φt(q)\Phi(q,t)=\varphi_t(q)はC∞C^\infty写像である。

定義 2.1.X∈X(M)X\in\mathfrak{X}(M)、ω∈Ωk(M)\omega\in\Omega^k(M)とする。p∈Mp\in Mに対し

(LXω)p=ddt∣t=0((φt)∗ω)p(\mathcal{L}_X\omega)_p=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\bigl((\varphi_t)^*\omega\bigr)_p

と定める。右辺は有限次元線形空間⋀k(Tp∗M)\bigwedge^k(T^*_pM)の中の曲線t↦((φt)∗ω)pt\mapsto((\varphi_t)^*\omega)_pのt=0t=0における微分である。LXω\mathcal{L}_X\omegaをXXによるω\omegaの Lie 微分 (Lie derivative of a differential form) という。同じ式によって、共変テンソル場に対する Lie 微分も定める。

命題 2.2. 上のLXω\mathcal{L}_X\omegaは well-defined であり、LXω∈Ωk(M)\mathcal{L}_X\omega\in\Omega^k(M)である。チャート(U,φU=(x1,…,xn))(U,\varphi_U=(x^1,\dots,x^n))をWWの中に取り、Φ∗ω\Phi^*\omegaをU×(−ε,ε)U\times(-\varepsilon,\varepsilon)の上で

Φ∗ω=∑IfI(x,t) dxI+∑JgJ(x,t) dt∧dxJ\Phi^*\omega=\sum_{I}f_I(x,t)\,dx^{I}+\sum_{J}g_J(x,t)\,dt\wedge dx^{J}

（IIは増加するkk個の添字、JJは増加するk−1k-1個の添字）と表すと

(φt)∗ω=∑IfI(⋅,t) dxI,LXω=∑I∂fI∂t(⋅,0) dxI(\varphi_t)^*\omega=\sum_{I}f_I(\cdot,t)\,dx^{I}, \qquad \mathcal{L}_X\omega=\sum_{I}\frac{\partial f_I}{\partial t}(\cdot,0)\,dx^{I}

である。

証明.U×(−ε,ε)U\times(-\varepsilon,\varepsilon)は積多様体（§E22.1 命題 7.3）の開集合であり、(x1,…,xn,t)(x^1,\dots,x^n,t)はそのチャートである。{dx1,…,dxn,dt}\{dx^1,\dots,dx^n,dt\}は各点の余接空間の基底であるから、§E22.10 命題 4.1によりΦ∗ω\Phi^*\omegaは表示した形に一意に表される（増加するkk個の添字を、dtdtを含むものと含まないものに分けた）。

it:U→U×(−ε,ε)i_t:U\to U\times(-\varepsilon,\varepsilon)、it(q)=(q,t)i_t(q)=(q,t)と置くとΦ∘it=φt\Phi\circ i_t=\varphi_tであるから、§E22.10 命題 5.2により(φt)∗ω=it∗(Φ∗ω)(\varphi_t)^*\omega=i_t^*(\Phi^*\omega)である。xj∘it=xjx^j\circ i_t=x^jからit∗(dxj)=dxji_t^*(dx^j)=dx^jであり、t∘itt\circ i_tは定数関数であるから§E22.11 命題 3.1によりit∗(dt)=d(t∘it)=0i_t^*(dt)=d(t\circ i_t)=0である。したがってit∗(Φ∗ω)=∑IfI(⋅,t) dxIi_t^*(\Phi^*\omega)=\sum_If_I(\cdot,t)\,dx^Iである。

fIf_IはC∞C^\inftyであるから、ttについて微分することができ、t=0t=0における微分は∂fI/∂t(⋅,0)\partial f_I/\partial t(\cdot,0)である。これはUU上のC∞C^\infty関数であるから、§E22.10 命題 2.2によりLXω\mathcal{L}_X\omegaはC∞C^\infty切断である。定義がWWとε\varepsilonのとり方に依らないことは、局所流の一意性（§E22.6 定理 7.1）により、二つのとり方に対するφt\varphi_tが共通の定義域で一致することから従う。▨

注意 2.3 (反変の成分を含むテンソル場の Lie 微分). 反変の成分を含むテンソル場に対しては、引き戻しが定義されるためにφt\varphi_tが微分同相である必要がある（§E22.4 定理 6.1）。§E22.6 定理 7.1の群法則φ−t∘φt=id⁡\varphi_{-t}\circ\varphi_t=\operatorname{id}が成り立つ範囲へWWとε\varepsilonを小さく取り直すと、∣t∣<ε|t|<\varepsilonに対してφt:W→φt(W)\varphi_t:W\to\varphi_t(W)は微分同相であり、その逆はφ−t\varphi_{-t}である。この範囲で(φt)∗T(\varphi_t)^*Tを定めると、同じ式によって任意の型のテンソル場TTに対するLXT\mathcal{L}_XTが定まる。ベクトル場YYに対してはLXY=[X,Y]\mathcal{L}_XY=[X,Y]である（§E22.7 定理 3.3）。本記事の以下の議論では微分形式に対する Lie 微分だけを用いる。

命題 2.4.X∈X(M)X\in\mathfrak{X}(M)とする。

  1. f∈C∞(M)f\in C^\infty(M)に対しLXf=Xf\mathcal{L}_Xf=Xfである。
  2. LX:Ωk(M)→Ωk(M)\mathcal{L}_X:\Omega^k(M)\to\Omega^k(M)はR\R線形であり、α∈Ωk(M)\alpha\in\Omega^k(M)、β∈Ωl(M)\beta\in\Omega^l(M)に対して LX(α∧β)=(LXα)∧β+α∧(LXβ)\mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta)=(\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\beta+\alpha\wedge(\mathcal{L}_X\beta) が成り立つ。
  3. LX∘d=d∘LX\mathcal{L}_X\circ d=d\circ\mathcal{L}_Xである。
  4. LX\mathcal{L}_Xは局所的である。すなわちω\omegaとω′\omega'が開集合VVの上で一致すれば、LXω\mathcal{L}_X\omegaとLXω′\mathcal{L}_X\omega'もVVの上で一致する。開集合VVに対してLX∣V(ω∣V)=(LXω)∣V\mathcal{L}_{X|_V}(\omega|_V)=(\mathcal{L}_X\omega)|_Vが成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。(φt)∗f=f∘φt(\varphi_t)^*f=f\circ\varphi_tであるから、ddt∣t=0f(φt(p))\frac{d}{dt}\big|_{t=0}f(\varphi_t(p))を求めればよい。t↦φt(p)t\mapsto\varphi_t(p)はXXのppを通る積分曲線であり、そのt=0t=0における速度ベクトルはXpX_pであるから（§E22.6 定理 7.1）、§E22.3 定理 5.3により値はXpfX_p fである。

主張 (2)を示す。R\R線形性は(φt)∗(\varphi_t)^*が線形であることと微分の線形性による。外積については、§E22.10 定理 5.3により(φt)∗(α∧β)=(φt)∗α∧(φt)∗β(\varphi_t)^*(\alpha\wedge\beta)=(\varphi_t)^*\alpha\wedge(\varphi_t)^*\betaである。各点ppで、右辺は二つの有限次元線形空間の元の双線形な積であり、t=0t=0では(φ0)∗=id⁡(\varphi_0)^*=\operatorname{id}からαp\alpha_pとβp\beta_pを与える。双線形写像の積の微分の規則から、t=0t=0における微分は(LXα)p∧βp+αp∧(LXβ)p(\mathcal{L}_X\alpha)_p\wedge\beta_p+\alpha_p\wedge(\mathcal{L}_X\beta)_pである。

主張 (3)を示す。命題 2.2の記号で、(φt)∗ω=∑IfI(⋅,t)dxI(\varphi_t)^*\omega=\sum_If_I(\cdot,t)dx^Iである。§E22.11 命題 3.1により(φt)∗(dω)=d((φt)∗ω)(\varphi_t)^*(d\omega)=d\bigl((\varphi_t)^*\omega\bigr)であり、右辺は§E22.11 定理 2.4の表示から

∑I∑i=1n∂fI∂xi(⋅,t) dxi∧dxI\sum_{I}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f_I}{\partial x^i}(\cdot,t)\,dx^i\wedge dx^{I}

である。t=0t=0でttについて微分すると、左辺はLX(dω)\mathcal{L}_X(d\omega)を与え、右辺は

∑I∑i=1n∂2fI∂t ∂xi(⋅,0) dxi∧dxI=∑I∑i=1n∂∂xi(∂fI∂t(⋅,0)) dxi∧dxI=d(LXω)\sum_{I}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2 f_I}{\partial t\,\partial x^i}(\cdot,0)\,dx^i\wedge dx^{I} =\sum_{I}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigl(\frac{\partial f_I}{\partial t}(\cdot,0)\Bigr)\,dx^i\wedge dx^{I} =d(\mathcal{L}_X\omega)

を与える。二階混合偏導関数の対称性（§E4.4 定理 2.1）を用いた。

主張 (4)を示す。ω\omegaとω′\omega'がVVの上で一致するとする。p∈Vp\in Vを取り、Φ\Phiの連続性からΦ(W′×(−ε′,ε′))⊆V\Phi\bigl(W'\times(-\varepsilon',\varepsilon')\bigr)\subseteq Vとなるppの近傍W′W'とε′>0\varepsilon'>0を取る。∣t∣<ε′|t|<\varepsilon'に対し(φt)∗ω(\varphi_t)^*\omegaと(φt)∗ω′(\varphi_t)^*\omega'はW′W'の上で一致するので、t=0t=0における微分も一致する。開集合への制限についても、X∣VX|_Vの局所流がXXの局所流の制限であること（§E22.6 定理 7.1の一意性）から従う。▨

3 Cartan の公式

定理 3.1 (Cartan の公式).X∈X(M)X\in\mathfrak{X}(M)、kkを非負整数、ω∈Ωk(M)\omega\in\Omega^k(M)とする。このとき

LXω=ιX(dω)+d(ιXω)\mathcal{L}_X\omega=\iota_X(d\omega)+d(\iota_X\omega)

が成り立つ。

証明.DX=ιX∘d+d∘ιXD_X=\iota_X\circ d+d\circ\iota_Xと置く。DX:Ωk(M)→Ωk(M)D_X:\Omega^k(M)\to\Omega^k(M)はR\R線形である。

DXD_Xは外積について導分である。α∈Ωk(M)\alpha\in\Omega^k(M)、β∈Ωl(M)\beta\in\Omega^l(M)とする。§E22.11 定義 2.1 条件 (c)と命題 1.2 (3)から

ιX(d(α∧β))=ιX(dα∧β)+(−1)kιX(α∧dβ)\iota_X\bigl(d(\alpha\wedge\beta)\bigr) =\iota_X\bigl(d\alpha\wedge\beta\bigr)+(-1)^{k}\iota_X\bigl(\alpha\wedge d\beta\bigr)=(ιXdα)∧β+(−1)k+1dα∧(ιXβ)+(−1)k(ιXα)∧dβ+(−1)k(−1)kα∧(ιXdβ)=(\iota_Xd\alpha)\wedge\beta+(-1)^{k+1}d\alpha\wedge(\iota_X\beta) +(-1)^{k}(\iota_X\alpha)\wedge d\beta+(-1)^{k}(-1)^{k}\alpha\wedge(\iota_Xd\beta)

である。同様に

d(ιX(α∧β))=d((ιXα)∧β)+(−1)kd(α∧(ιXβ))d\bigl(\iota_X(\alpha\wedge\beta)\bigr) =d\bigl((\iota_X\alpha)\wedge\beta\bigr)+(-1)^{k}d\bigl(\alpha\wedge(\iota_X\beta)\bigr)=(dιXα)∧β+(−1)k−1(ιXα)∧dβ+(−1)kdα∧(ιXβ)+(−1)k(−1)kα∧(dιXβ)=(d\iota_X\alpha)\wedge\beta+(-1)^{k-1}(\iota_X\alpha)\wedge d\beta +(-1)^{k}d\alpha\wedge(\iota_X\beta)+(-1)^{k}(-1)^{k}\alpha\wedge(d\iota_X\beta)

である。二つを加えると、dα∧(ιXβ)d\alpha\wedge(\iota_X\beta)の係数は(−1)k+1+(−1)k=0(-1)^{k+1}+(-1)^{k}=0、(ιXα)∧dβ(\iota_X\alpha)\wedge d\betaの係数は(−1)k+(−1)k−1=0(-1)^{k}+(-1)^{k-1}=0である。残るのは

DX(α∧β)=(DXα)∧β+α∧(DXβ)D_X(\alpha\wedge\beta)=(D_X\alpha)\wedge\beta+\alpha\wedge(D_X\beta)

である。

DXD_Xはddと可換である。d∘d=0d\circ d=0（§E22.11 命題 2.5）から

DX∘d=ιXdd+dιXd=dιXd,d∘DX=dιXd+ddιX=dιXdD_X\circ d=\iota_Xdd+d\iota_Xd=d\iota_Xd, \qquad d\circ D_X=d\iota_Xd+dd\iota_X=d\iota_Xd

である。

00次形式では一致する。f∈C∞(M)f\in C^\infty(M)に対し、ιXf=0\iota_Xf=0であるから

DXf=ιX(df)+d(0)=df(X)=Xf=LXfD_Xf=\iota_X(df)+d(0)=df(X)=Xf=\mathcal{L}_Xf

である（最後の等号は命題 2.4 (1)）。ここでιXf=0\iota_Xf=0という規約を用いた。

DXD_Xは局所的である。ιX\iota_Xは各点で定まり、ddは局所的である（§E22.11 補題 2.2）から、DXωD_X\omegaの点ppにおける値はω\omegaのppの近傍における値だけで決まる。開集合への制限も同様に定まる。

比較。p∈Mp\in Mを取り、チャート(U,φ=(x1,…,xn))(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))を取る。ω∣U=∑IωI dxi1∧⋯∧dxik\omega|_U=\sum_I\omega_I\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}と表す（§E22.10 命題 4.1）。LX\mathcal{L}_XとDXD_Xはともに局所的でありUUの上の作用素を誘導するので、UUの上で両者が一致することを示せばよい。両者はR\R線形であるから、ω=g dxi1∧⋯∧dxik\omega=g\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}（g∈C∞(U)g\in C^\infty(U)）の場合を示せば足りる。

dxi=d(xi)dx^{i}=d(x^{i})である（§E22.11 命題 1.1）。LX\mathcal{L}_XとDXD_Xはともに外積について導分であり、ddと可換であり、00次形式の上で一致する。したがって

LX(g dxi1∧⋯∧dxik)=(LXg) dxi1∧⋯∧dxik+∑r=1kg dxi1∧⋯∧d(LXxir)∧⋯∧dxik\mathcal{L}_X\bigl(g\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\bigr) =(\mathcal{L}_Xg)\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} +\sum_{r=1}^{k}g\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge d\bigl(\mathcal{L}_Xx^{i_r}\bigr)\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

であり、DXD_Xについても同じ式が成り立つ。LXg=Xg=DXg\mathcal{L}_Xg=Xg=D_Xg、LXxir=Xxir=DXxir\mathcal{L}_Xx^{i_r}=Xx^{i_r}=D_Xx^{i_r}であるから、右辺は両者で一致する。よってLXω=DXω\mathcal{L}_X\omega=D_X\omegaである。▨

例 3.2.M=R2M=\R^2、座標を(x,y)(x,y)、X=x ∂/∂x+y ∂/∂yX=x\,\partial/\partial x+y\,\partial/\partial y、ω=dx∧dy\omega=dx\wedge dyとする。

XXの流れはφt(x,y)=(etx,ety)\varphi_t(x,y)=(e^tx,e^ty)である。実際ddt(etx)=etx\frac{d}{dt}(e^tx)=e^txであり、これがXXの第一成分である。したがって

(φt)∗ω=d(etx)∧d(ety)=e2t dx∧dy(\varphi_t)^*\omega=d(e^tx)\wedge d(e^ty)=e^{2t}\,dx\wedge dy

であり、LXω=ddt∣t=0e2t dx∧dy=2 dx∧dy\mathcal{L}_X\omega=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}e^{2t}\,dx\wedge dy=2\,dx\wedge dyである。

一方dω=0d\omega=0であるからιX(dω)=0\iota_X(d\omega)=0である。命題 1.2 (3)により

ιXω=ιX(dx∧dy)=x dy−y dx\iota_X\omega=\iota_X(dx\wedge dy)=x\,dy-y\,dx

であり、d(ιXω)=dx∧dy−dy∧dx=2 dx∧dyd(\iota_X\omega)=dx\wedge dy-dy\wedge dx=2\,dx\wedge dyである。両者は一致する。

4 鎖ホモトピー作用素

鎖ホモトピー作用素を構成する前に、C∞C^\infty関数をパラメータについて積分して得られる関数がC∞C^\inftyであることを確かめる。

補題 4.1.V⊆RnV\subseteq\R^nを開集合、h:V×R→Rh:V\times\R\to\RをC∞C^\infty関数とする。

H(x)=∫01h(x,t) dtH(x)=\int_0^1h(x,t)\,dt

と定めるとHHはVVの上でC∞C^\inftyであり、各iiについて

∂H∂xi(x)=∫01∂h∂xi(x,t) dt\frac{\partial H}{\partial x^i}(x)=\int_0^1\frac{\partial h}{\partial x^i}(x,t)\,dt

が成り立つ。

証明.x0∈Vx_0\in Vを取り、B(x0,r)‾⊆V\overline{B(x_0,r)}\subseteq Vとなるr>0r>0を取る。B(x0,r)‾×[0,1]\overline{B(x_0,r)}\times[0,1]はRn+1\R^{n+1}の有界閉集合であるからコンパクトであり（§E2.9 定理 4.3）、∂h/∂xi\partial h/\partial x^iはその上で一様連続である（§E2.9 定理 5.1）。

∣x−x0∣<r/2|x-x_0|<r/2、0<∣s∣<r/20<|s|<r/2とし、eie_iを第ii標準基底ベクトルとする。微積分学の基本定理と§E4.3 定理 1.1により

h(x+sei,t)−h(x,t)=s∫01∂h∂xi(x+λsei,t) dλh(x+se_i,t)-h(x,t)=s\int_0^1\frac{\partial h}{\partial x^i}(x+\lambda se_i,t)\,d\lambda

である。したがって

∣H(x+sei)−H(x)s−∫01∂h∂xi(x,t) dt∣≤sup⁡λ∈[0,1], t∈[0,1]∣∂h∂xi(x+λsei,t)−∂h∂xi(x,t)∣\left|\frac{H(x+se_i)-H(x)}{s}-\int_0^1\frac{\partial h}{\partial x^i}(x,t)\,dt\right| \le\sup_{\lambda\in[0,1],\ t\in[0,1]}\left|\frac{\partial h}{\partial x^i}(x+\lambda se_i,t)-\frac{\partial h}{\partial x^i}(x,t)\right|

である。一様連続性から、右辺はs→0s\to0のとき00へ収束する。よって∂H/∂xi(x)\partial H/\partial x^i(x)が存在し、表示した式に等しい。

同じ一様連続性から

∣∂H∂xi(x)−∂H∂xi(y)∣≤sup⁡t∈[0,1]∣∂h∂xi(x,t)−∂h∂xi(y,t)∣\left|\frac{\partial H}{\partial x^i}(x)-\frac{\partial H}{\partial x^i}(y)\right| \le\sup_{t\in[0,1]}\left|\frac{\partial h}{\partial x^i}(x,t)-\frac{\partial h}{\partial x^i}(y,t)\right|

であるから∂H/∂xi\partial H/\partial x^iは連続である。∂h/∂xi\partial h/\partial x^iもまたC∞C^\inftyであるから、同じ議論を繰り返して、任意の階数の偏導関数が存在し連続であることが従う。よってHHはC∞C^\inftyである。▨

以下、M×RM\times\Rを積多様体とする（§E22.1 命題 7.3）。R\Rの標準座標をttと書き、MMのチャート(U,φ=(x1,…,xn))(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))に対して(U×R,(x1,…,xn,t))(U\times\R,(x^1,\dots,x^n,t))をM×RM\times\Rのチャートとする。SSで、これらのチャートの上で∂/∂t\partial/\partial tに等しいベクトル場を表す。この定め方はチャートに依らない。実際、M×RM\times\Rの二つの積チャートの座標変換はMM側の座標変換とttの恒等写像の積であるから、∂/∂t\partial/\partial tは同じ接ベクトルを与える。

s∈Rs\in\Rに対しis:M→M×Ri_s:M\to M\times\Rをis(p)=(p,s)i_s(p)=(p,s)で定める。isi_sはC∞C^\infty写像である。

命題 4.2.SSは完備であり、その大域流はθs(p,t)=(p,t+s)\theta_s(p,t)=(p,t+s)である。すなわちθ:R×(M×R)→M×R\theta:\R\times(M\times\R)\to M\times\RはC∞C^\inftyであり、θ0=id⁡\theta_0=\operatorname{id}、θs∘θs′=θs+s′\theta_s\circ\theta_{s'}=\theta_{s+s'}を満たし、各点におけるssについての速度ベクトルはSSである。またθs∘i0=is\theta_s\circ i_0=i_sである。

証明.θ\thetaがC∞C^\inftyであることと群法則は、積多様体のチャートで書くと明らかである。s↦θs(p,t)=(p,t+s)s\mapsto\theta_s(p,t)=(p,t+s)の速度ベクトルは、チャート(x,t)(x,t)で(0,…,0,1)(0,\dots,0,1)すなわち∂/∂t\partial/\partial tである。よってθ\thetaはSSの大域流であり、§E22.6 定理 7.1の一意性からSSの流れはこれに限る。θs(i0(p))=θs(p,0)=(p,s)=is(p)\theta_s(i_0(p))=\theta_s(p,0)=(p,s)=i_s(p)である。▨

命題 4.3.YYをC∞C^\infty多様体NN上の完備なC∞C^\inftyベクトル場、θ\thetaをその大域流とする。ω∈Ωk(N)\omega\in\Omega^k(N)とs0∈Rs_0\in\Rに対して

dds∣s=s0(θs)∗ω=(θs0)∗(LYω)\frac{d}{ds}\Big|_{s=s_0}(\theta_s)^*\omega=(\theta_{s_0})^*\bigl(\mathcal{L}_Y\omega\bigr)

が成り立つ。ここで微分は各点ppにおいて⋀k(Tp∗N)\bigwedge^k(T^*_pN)の中で取る。

証明. 群法則θs0+u=θu∘θs0\theta_{s_0+u}=\theta_u\circ\theta_{s_0}と§E22.10 命題 5.2により(θs0+u)∗=(θs0)∗∘(θu)∗(\theta_{s_0+u})^*=(\theta_{s_0})^*\circ(\theta_u)^*である。p∈Np\in Nを固定すると、(θs0)∗(\theta_{s_0})^*は固定した線形写像⋀k(Tθs0(p)∗N)→⋀k(Tp∗N)\bigwedge^k(T^*_{\theta_{s_0}(p)}N)\to\bigwedge^k(T^*_pN)を与えるので、uuについての微分と交換する。したがって

dds∣s=s0((θs)∗ω)p=ddu∣u=0((θs0)∗((θu)∗ω))p=(θs0)p∗(ddu∣u=0((θu)∗ω)θs0(p))\frac{d}{ds}\Big|_{s=s_0}\bigl((\theta_s)^*\omega\bigr)_p =\frac{d}{du}\Big|_{u=0}\bigl((\theta_{s_0})^*\bigl((\theta_u)^*\omega\bigr)\bigr)_p =(\theta_{s_0})^*_p\left(\frac{d}{du}\Big|_{u=0}\bigl((\theta_u)^*\omega\bigr)_{\theta_{s_0}(p)}\right)

であり、括弧の中は(LYω)θs0(p)(\mathcal{L}_Y\omega)_{\theta_{s_0}(p)}である。▨

定理 4.4.MMを境界を持たないC∞C^\infty多様体とする。k≥1k\ge 1とω∈Ωk(M×R)\omega\in\Omega^k(M\times\R)に対し、MM上の(k−1)(k-1)次形式KωK\omegaを

(Kω)p(v1,…,vk−1)=∫01(it∗(ιSω))p(v1,…,vk−1) dt(K\omega)_p(v_1,\dots,v_{k-1})=\int_0^1\Bigl(i_t^*\bigl(\iota_S\omega\bigr)\Bigr)_p(v_1,\dots,v_{k-1})\,dt

で定め、k=0k=0に対してはK=0K=0と定める。このときKω∈Ωk−1(M)K\omega\in\Omega^{k-1}(M)であり、線形作用素K:Ωk(M×R)→Ωk−1(M)K:\Omega^k(M\times\R)\to\Omega^{k-1}(M)が定まる。さらに、すべての非負整数kkとω∈Ωk(M×R)\omega\in\Omega^k(M\times\R)に対して

i1∗ω−i0∗ω=K(dω)+d(Kω)i_1^*\omega-i_0^*\omega=K(d\omega)+d(K\omega)

が成り立つ。

証明. KωK\omegaがC∞C^\infty形式であること。MMのチャート(U,φ=(x1,…,xn))(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))を取る。U×RU\times\Rの上で§E22.10 命題 4.1により

ω=∑IfI(x,t) dxI+∑JgJ(x,t) dt∧dxJ\omega=\sum_{I}f_I(x,t)\,dx^{I}+\sum_{J}g_J(x,t)\,dt\wedge dx^{J}

と一意に表される（IIは増加するkk個の添字、JJは増加するk−1k-1個の添字。fIf_IとgJg_JはC∞C^\infty）。

ιS(dxi)=dxi(S)=0\iota_S(dx^i)=dx^i(S)=0とιS(dt)=dt(S)=1\iota_S(dt)=dt(S)=1、および命題 1.2 (3)からιS(dxI)=0\iota_S(dx^I)=0であり、

ιS(dt∧dxJ)=(ιS dt) dxJ−dt∧ιS(dxJ)=dxJ\iota_S\bigl(dt\wedge dx^{J}\bigr)=(\iota_S\,dt)\,dx^{J}-dt\wedge\iota_S(dx^{J})=dx^{J}

である。したがってιSω=∑JgJ(x,t) dxJ\iota_S\omega=\sum_Jg_J(x,t)\,dx^Jである。命題 2.2の証明と同じくit∗(dxj)=dxji_t^*(dx^j)=dx^jであるから

it∗(ιSω)=∑JgJ(⋅,t) dxJi_t^*\bigl(\iota_S\omega\bigr)=\sum_{J}g_J(\cdot,t)\,dx^{J}

であり、

(Kω)∣U=∑J(∫01gJ(x,t) dt)dxJ(K\omega)|_U=\sum_{J}\left(\int_0^1g_J(x,t)\,dt\right)dx^{J}

である。補題 4.1により係数はC∞C^\inftyであり、§E22.10 命題 2.2によりKω∈Ωk−1(M)K\omega\in\Omega^{k-1}(M)である。線形性は定義式から従う。

恒等式。命題 4.2によりSSは完備で大域流θ\thetaを持ち、θt∘i0=it\theta_t\circ i_0=i_tである。§E22.10 命題 5.2によりit∗=i0∗∘(θt)∗i_t^*=i_0^*\circ(\theta_t)^*である。p∈Mp\in Mを固定するとi0∗i_0^*は固定した線形写像であるからttについての微分と交換し、命題 4.3により

ddt(it∗ω)=i0∗(ddt(θt)∗ω)=i0∗((θt)∗(LSω))=it∗(LSω)\frac{d}{dt}\bigl(i_t^*\omega\bigr)=i_0^*\left(\frac{d}{dt}(\theta_t)^*\omega\right) =i_0^*\Bigl((\theta_t)^*\bigl(\mathcal{L}_S\omega\bigr)\Bigr) =i_t^*\bigl(\mathcal{L}_S\omega\bigr)

である。左辺は各点ppで⋀k(Tp∗M)\bigwedge^k(T^*_pM)の中の曲線の微分であり、その成分はチャートで書くとttについてC∞C^\inftyである。よって成分ごとに微積分学の基本定理を適用して

i1∗ω−i0∗ω=∫01it∗(LSω) dti_1^*\omega-i_0^*\omega=\int_0^1 i_t^*\bigl(\mathcal{L}_S\omega\bigr)\,dt

を得る。

定理 3.1によりLSω=ιS(dω)+d(ιSω)\mathcal{L}_S\omega=\iota_S(d\omega)+d(\iota_S\omega)であるから

i1∗ω−i0∗ω=∫01it∗(ιS(dω)) dt+∫01it∗(d(ιSω)) dti_1^*\omega-i_0^*\omega=\int_0^1 i_t^*\bigl(\iota_S(d\omega)\bigr)\,dt+\int_0^1 i_t^*\bigl(d(\iota_S\omega)\bigr)\,dt

である。第一項はK(dω)K(d\omega)の定義そのものである。第二項では、§E22.11 命題 3.1によりit∗∘d=d∘it∗i_t^*\circ d=d\circ i_t^*であるから、被積分項はd(it∗(ιSω))d\bigl(i_t^*(\iota_S\omega)\bigr)である。チャートの上でit∗(ιSω)=∑JgJ(⋅,t) dxJi_t^*(\iota_S\omega)=\sum_Jg_J(\cdot,t)\,dx^Jであるから

d(it∗(ιSω))=∑J∑i=1n∂gJ∂xi(x,t) dxi∧dxJd\bigl(i_t^*(\iota_S\omega)\bigr)=\sum_{J}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial g_J}{\partial x^i}(x,t)\,dx^i\wedge dx^{J}

であり、補題 4.1により

∫01∑J∑i=1n∂gJ∂xi(x,t) dt  dxi∧dxJ=∑J∑i=1n∂∂xi(∫01gJ(x,t) dt)dxi∧dxJ=d(Kω)\int_0^1\sum_{J}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial g_J}{\partial x^i}(x,t)\,dt\;dx^i\wedge dx^{J} =\sum_{J}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\int_0^1g_J(x,t)\,dt\right)dx^i\wedge dx^{J} =d(K\omega)

である。よって恒等式を得る。

k=0k=0の場合。ω=f∈C∞(M×R)\omega=f\in C^\infty(M\times\R)とするとKf=0Kf=0であり、ιSf=0\iota_Sf=0であるからLSf=ιS(df)\mathcal{L}_Sf=\iota_S(df)である。上の計算はそのまま成り立ち、i1∗f−i0∗f=K(df)+0i_1^*f-i_0^*f=K(df)+0となる。ここでιSf=0\iota_Sf=0という規約（定義 1.1）を用いている。▨

注意 4.5 (引き戻してから積分すること).ιSω\iota_S\omegaはM×RM\times\Rの上の形式であり、MMの上の形式ではない。定義式では、まずit∗i_t^*によってMMの上へ引き戻し、そのあとでttについて積分している。引き戻す前に積分しようとすると、異なる点(p,t)(p,t)の余接空間の元を足し合わせることになり、式の意味が定まらない。

5 Poincaré の補題

星型開集合を一点へ縮める写像をM×RM\times\Rの上で扱うために、§E22.2 補題 1.3の滑らかな切断関数を用いる。

定理 5.1 (Poincaré の補題).U⊆RnU\subseteq\R^nを、点c∈Uc\in Uに関して星型な開集合とする。すなわち、すべてのx∈Ux\in Uとs∈[0,1]s\in[0,1]に対してc+s(x−c)∈Uc+s(x-c)\in Uが成り立つとする。このときk≥1k\ge 1に対し、UU上の閉kk形式は完全形式である。すなわちω∈Ωk(U)\omega\in\Omega^k(U)がdω=0d\omega=0を満たすならば、η∈Ωk−1(U)\eta\in\Omega^{k-1}(U)であってω=dη\omega=d\etaを満たすものが存在する。

証明.UUはRn\R^nの開集合であるから境界を持たないC∞C^\infty多様体である（§E22.1 命題 7.1）。§E22.2 補題 1.3の関数をρ\rhoと書き、

H:U×R→U,H(x,t)=c+ρ(t) (x−c)H:U\times\R\to U,\qquad H(x,t)=c+\rho(t)\,(x-c)

と定める。ρ(t)∈[0,1]\rho(t)\in[0,1]とUUの星型性からH(x,t)∈UH(x,t)\in Uであり、HHはC∞C^\infty写像である。

ρ(1)=1\rho(1)=1からH∘i1=id⁡UH\circ i_1=\operatorname{id}_Uであり、ρ(0)=0\rho(0)=0からH∘i0H\circ i_0は値がccの定数写像である。この定数写像をκ\kappaと書く。

定理 4.4をH∗ω∈Ωk(U×R)H^*\omega\in\Omega^k(U\times\R)へ適用すると

i1∗(H∗ω)−i0∗(H∗ω)=K(d(H∗ω))+d(K(H∗ω))i_1^*(H^*\omega)-i_0^*(H^*\omega)=K\bigl(d(H^*\omega)\bigr)+d\bigl(K(H^*\omega)\bigr)

である。§E22.10 命題 5.2によりi1∗(H∗ω)=(H∘i1)∗ω=ωi_1^*(H^*\omega)=(H\circ i_1)^*\omega=\omega、i0∗(H∗ω)=κ∗ωi_0^*(H^*\omega)=\kappa^*\omegaである。κ\kappaは定数写像であるからdκx=0d\kappa_x=0であり、k≥1k\ge1に対してκ∗ω=0\kappa^*\omega=0である（§E22.10 定義 5.1の定義式の引数がすべて00になる）。

また§E22.11 命題 3.1によりd(H∗ω)=H∗(dω)=0d(H^*\omega)=H^*(d\omega)=0である。したがって

ω=d(K(H∗ω))\omega=d\bigl(K(H^*\omega)\bigr)

であり、η=K(H∗ω)∈Ωk−1(U)\eta=K(H^*\omega)\in\Omega^{k-1}(U)が求めるものである。▨

命題 5.2.定理 5.1の設定で、ω=∑IωI dxI\omega=\sum_{I}\omega_I\,dx^{I}（I=(i1<⋯<ik)I=(i_1<\cdots<i_k)は増加添字）と表すと、その証明が与えるη=K(H∗ω)\eta=K(H^*\omega)は

η=∫01sk−1∑IωI(c+s(x−c))∑r=1k(−1)r−1(xir−cir) dxi1∧⋯dxir^⋯∧dxik ds\eta=\int_0^1 s^{k-1}\sum_{I}\omega_I\bigl(c+s(x-c)\bigr) \sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}\bigl(x^{i_r}-c^{i_r}\bigr)\, dx^{i_1}\wedge\cdots\widehat{dx^{i_r}}\cdots\wedge dx^{i_k}\ ds

で与えられる。ここでdxir^\widehat{dx^{i_r}}はその因子を省くことを表す。

証明.Hj(x,t)=cj+ρ(t)(xj−cj)H^j(x,t)=c^j+\rho(t)(x^j-c^j)と置くと、§E22.10 命題 5.4により

H∗(dxj)=dHj=ρ(t) dxj+ρ′(t)(xj−cj) dtH^*(dx^j)=dH^j=\rho(t)\,dx^j+\rho'(t)\bigl(x^j-c^j\bigr)\,dt

であり、

H∗ω=∑I(ωI∘H)  dHi1∧⋯∧dHikH^*\omega=\sum_{I}\bigl(\omega_I\circ H\bigr)\;dH^{i_1}\wedge\cdots\wedge dH^{i_k}

である。ιS(dxj)=0\iota_S(dx^j)=0、ιS(dt)=1\iota_S(dt)=1からιS(dHj)=ρ′(t)(xj−cj)\iota_S(dH^j)=\rho'(t)(x^j-c^j)であり、命題 1.2 (3)を繰り返し用いると

ιS(dHi1∧⋯∧dHik)=∑r=1k(−1)r−1ρ′(t)(xir−cir) dHi1∧⋯dHir^⋯∧dHik\iota_S\bigl(dH^{i_1}\wedge\cdots\wedge dH^{i_k}\bigr) =\sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}\rho'(t)\bigl(x^{i_r}-c^{i_r}\bigr)\,dH^{i_1}\wedge\cdots\widehat{dH^{i_r}}\cdots\wedge dH^{i_k}

である。it∗(dt)=0i_t^*(dt)=0であるからit∗(dHj)=ρ(t) dxji_t^*(dH^j)=\rho(t)\,dx^jであり、残ったk−1k-1個の因子からρ(t)k−1\rho(t)^{k-1}が出る。したがって

it∗(ιS(H∗ω))=ρ(t)k−1ρ′(t) F(ρ(t))i_t^*\bigl(\iota_S(H^*\omega)\bigr) =\rho(t)^{k-1}\rho'(t)\,F\bigl(\rho(t)\bigr)

である。ここでs∈[0,1]s\in[0,1]に対して

F(s)=∑IωI(c+s(x−c))∑r=1k(−1)r−1(xir−cir) dxi1∧⋯dxir^⋯∧dxikF(s)=\sum_{I}\omega_I\bigl(c+s(x-c)\bigr)\sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}\bigl(x^{i_r}-c^{i_r}\bigr)\,dx^{i_1}\wedge\cdots\widehat{dx^{i_r}}\cdots\wedge dx^{i_k}

と置いた（xxを固定するとF(s)F(s)は(k−1)(k-1)次形式に値を持つssのC∞C^\infty関数である）。

成分ごとに、Ψ(s)=∫0suk−1F(u) du\Psi(s)=\int_0^s u^{k-1}F(u)\,duと置く。微積分学の基本定理と§E4.3 定理 1.1によりddtΨ(ρ(t))=ρ(t)k−1F(ρ(t))ρ′(t)\frac{d}{dt}\Psi(\rho(t))=\rho(t)^{k-1}F(\rho(t))\rho'(t)であるから

η=∫01ρ(t)k−1ρ′(t)F(ρ(t)) dt=Ψ(ρ(1))−Ψ(ρ(0))=Ψ(1)−Ψ(0)=∫01sk−1F(s) ds\eta=\int_0^1\rho(t)^{k-1}\rho'(t)F(\rho(t))\,dt=\Psi(\rho(1))-\Psi(\rho(0))=\Psi(1)-\Psi(0)=\int_0^1 s^{k-1}F(s)\,ds

である。これが表示した式である。▨

系 5.3.U⊆RnU\subseteq\R^nを点ccに関して星型な開集合、ω=∑i=1nfi dxi\omega=\sum_{i=1}^{n}f_i\,dx^iをUU上の閉11形式とする。閉であることは、すべてのi,ji,jについて∂fi/∂xj=∂fj/∂xi\partial f_i/\partial x^j=\partial f_j/\partial x^iが成り立つことと同値である。このとき

g(x)=∫01∑i=1nfi(c+s(x−c))(xi−ci) dsg(x)=\int_0^1\sum_{i=1}^{n}f_i\bigl(c+s(x-c)\bigr)\bigl(x^i-c^i\bigr)\,ds

はUU上のC∞C^\infty関数であり、dg=ωdg=\omegaを満たす。

証明.dω=∑1≤i<j≤n(∂fj/∂xi−∂fi/∂xj) dxi∧dxjd\omega=\sum_{1\le i<j\le n}(\partial f_j/\partial x^i-\partial f_i/\partial x^j)\,dx^i\wedge dx^jであるから（§E22.11 定理 2.4）、閉であることと偏導関数の対称性は同値である。命題 5.2をk=1k=1に適用すると、sk−1=1s^{k-1}=1であり、r=1r=1の項だけが残って表示した式になる。定理 5.1によりdg=ωdg=\omegaである。▨

例 5.4.U=R2U=\R^2、c=(0,0)c=(0,0)、ω=2x dx+2y dy\omega=2x\,dx+2y\,dyとする。∂(2x)/∂y=0=∂(2y)/∂x\partial(2x)/\partial y=0=\partial(2y)/\partial xであるからω\omegaは閉形式である。系 5.3の公式により

g(x,y)=∫01(2sx⋅x+2sy⋅y) ds=(x2+y2)∫012s ds=x2+y2g(x,y)=\int_0^1\bigl(2sx\cdot x+2sy\cdot y\bigr)\,ds=\bigl(x^2+y^2\bigr)\int_0^1 2s\,ds=x^2+y^2

である。実際dg=2x dx+2y dy=ωdg=2x\,dx+2y\,dy=\omegaである。

例 5.5.U=R3U=\R^3、c=(0,0,0)c=(0,0,0)、

ω=x dy∧dz+y dz∧dx−2z dx∧dy\omega=x\,dy\wedge dz+y\,dz\wedge dx-2z\,dx\wedge dy

とする。§E22.11 例 2.6の計算によりdω=(1+1−2) dx∧dy∧dz=0d\omega=(1+1-2)\,dx\wedge dy\wedge dz=0であるからω\omegaは閉形式である。

増加添字による表示は、dz∧dx=−dx∧dzdz\wedge dx=-dx\wedge dzから

ω=(−2z) dx∧dy+(−y) dx∧dz+x dy∧dz\omega=(-2z)\,dx\wedge dy+(-y)\,dx\wedge dz+x\,dy\wedge dz

すなわちω12=−2z\omega_{12}=-2z、ω13=−y\omega_{13}=-y、ω23=x\omega_{23}=xである。座標を(x1,x2,x3)=(x,y,z)(x^1,x^2,x^3)=(x,y,z)と書く。命題 5.2のF(s)F(s)は

F(s)=(−2sz)(x dy−y dx)+(−sy)(x dz−z dx)+(sx)(y dz−z dy)F(s)=(-2sz)\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr)+(-sy)\bigl(x\,dz-z\,dx\bigr)+(sx)\bigl(y\,dz-z\,dy\bigr)

である。整理すると

F(s)=s(3yz dx−3xz dy)F(s)=s\bigl(3yz\,dx-3xz\,dy\bigr)

である。実際、dxdxの係数は2zy+yz=3yz2zy+yz=3yz、dydyの係数は−2zx−xz=−3xz-2zx-xz=-3xz、dzdzの係数は−xy+xy=0-xy+xy=0である。したがってk=2k=2の場合の公式により

η=∫01s⋅s(3yz dx−3xz dy) ds=13(3yz dx−3xz dy)=yz dx−xz dy\eta=\int_0^1 s\cdot s\bigl(3yz\,dx-3xz\,dy\bigr)\,ds=\frac13\bigl(3yz\,dx-3xz\,dy\bigr)=yz\,dx-xz\,dy

である。検算する。

dη=(z dy+y dz)∧dx−(z dx+x dz)∧dy=−z dx∧dy+y dz∧dx−z dx∧dy+x dy∧dzd\eta=(z\,dy+y\,dz)\wedge dx-(z\,dx+x\,dz)\wedge dy =-z\,dx\wedge dy+y\,dz\wedge dx-z\,dx\wedge dy+x\,dy\wedge dz

であり、これはx dy∧dz+y dz∧dx−2z dx∧dy=ωx\,dy\wedge dz+y\,dz\wedge dx-2z\,dx\wedge dy=\omegaに等しい。

注意 5.6 (星型であることを外すことができないこと).§E22.11 例 5.3の11形式はR2∖{(0,0)}\R^2\setminus\{(0,0)\}の上で閉であるが完全でない。この開集合はどの点に関しても星型でない。定理 5.1の証明で星型性を用いたのは、H(x,t)=c+ρ(t)(x−c)H(x,t)=c+\rho(t)(x-c)の値がUUに入ることを保証する一点だけである。UUが星型でなければ、この写像はUUの外へ出てしまい、H∗ωH^*\omegaを作ることができない。

6 境界

定理 5.1では「星型開集合の上でk≥1k\ge 1の閉形式は完全である」までが述べられている。k=0k=0の場合、すなわち閉00形式（局所定数関数）については、完全な00形式は00だけであるから、UUが連結ならば定数関数の全体だけが閉形式として残る。閉形式と完全形式の差を統一的に扱うには、閉形式の全体を完全形式の全体で割った商を用いる。本記事ではその商を扱わない。

定理 4.4ではMMが境界を持たないことが仮定されている。M×[0,1]M\times[0,1]を取ると角を持つ多様体が現れるので、本単元では角を持つ多様体を扱わない。[0,1][0,1]の外で定数になる§E22.2 補題 1.3の関数をttの代わりに用いることで、計算をそのままM×RM\times\Rの上で行うことができる。

Cartan の公式は、体積形式の Lie 微分と発散を結ぶ形でも用いられる。本単元では多様体に体積形式を固定しないので、その形は扱わない。

7 演習

問題 7.1.

  1. X,Y∈X(M)X,Y\in\mathfrak{X}(M)、k≥2k\ge2、ω∈Ωk(M)\omega\in\Omega^k(M)に対してιXιYω=−ιYιXω\iota_X\iota_Y\omega=-\iota_Y\iota_X\omegaが成り立つことを、命題 1.2 (2)から導く。さらにM=R3M=\R^3とし、X=a ∂/∂x+b ∂/∂y+c ∂/∂zX=a\,\partial/\partial x+b\,\partial/\partial y+c\,\partial/\partial z、Y=a′ ∂/∂x+b′ ∂/∂y+c′ ∂/∂zY=a'\,\partial/\partial x+b'\,\partial/\partial y+c'\,\partial/\partial z（a,b,c,a′,b′,c′∈C∞(R3)a,b,c,a',b',c'\in C^\infty(\R^3)）とする。ιYιX(dx∧dy∧dz)=(bc′−cb′) dx+(ca′−ac′) dy+(ab′−ba′) dz\iota_Y\iota_X(dx\wedge dy\wedge dz)=(bc'-cb')\,dx+(ca'-ac')\,dy+(ab'-ba')\,dzを示し、点p∈R3p\in\R^3で(ιYιX(dx∧dy∧dz))p=0\bigl(\iota_Y\iota_X(dx\wedge dy\wedge dz)\bigr)_p=0となることと、XpX_pとYpY_pが一次従属であることが同値であることを示す。
  2. X,Y∈X(M)X,Y\in\mathfrak{X}(M)とし、E=LX∘ιY−ιY∘LX−ι[X,Y]E=\mathcal{L}_X\circ\iota_Y-\iota_Y\circ\mathcal{L}_X-\iota_{[X,Y]}をΩk(M)\Omega^k(M)からΩk−1(M)\Omega^{k-1}(M)への写像とする（k=0k=0では定義 1.1の規約により値は00である）。EEが次数付き Leibniz 則E(α∧β)=(Eα)∧β+(−1)kα∧(Eβ)E(\alpha\wedge\beta)=(E\alpha)\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge(E\beta)（α∈Ωk(M)\alpha\in\Omega^k(M)、β∈Ωl(M)\beta\in\Omega^l(M)）を満たすことと、関数と11形式の上でE=0E=0であることを示せ。この二つの性質から、すべてのkkについてΩk(M)\Omega^k(M)の上でLX∘ιY−ιY∘LX=ι[X,Y]\mathcal{L}_X\circ\iota_Y-\iota_Y\circ\mathcal{L}_X=\iota_{[X,Y]}が成り立つことを導け。
  3. M=R2M=\R^2、座標を(x,y)(x,y)とし、X=−y ∂/∂x+x ∂/∂yX=-y\,\partial/\partial x+x\,\partial/\partial yとする。XXの流れを求め、f=x2+y2f=x^2+y^2、ω=x dy\omega=x\,dy、μ=dx∧dy\mu=dx\wedge dyのXXによる Lie 微分を、定義 2.1の定義による計算と定理 3.1による計算の二通りで求めよ。ffについての Cartan の公式の計算では、定義 1.1のk=0k=0の規約を用いよ。
  4. M′M'を境界を持たないC∞C^\infty多様体、G ⁣:M′→MG\colon M'\to MをC∞C^\infty写像とし、G×id⁡ ⁣:M′×R→M×RG\times\operatorname{id}\colon M'\times\R\to M\times\Rを(p′,t)↦(G(p′),t)(p',t)\mapsto(G(p'),t)で定める。M′M'について定理 4.4と同じく定めた作用素をK′K'と書く。すべての非負整数kkとω∈Ωk(M×R)\omega\in\Omega^k(M\times\R)に対してK′((G×id⁡)∗ω)=G∗(Kω)K'\bigl((G\times\operatorname{id})^*\omega\bigr)=G^*(K\omega)が成り立つことを示せ。
  5. 補題 4.1の積分区間[0,1][0,1]を[0,∞)[0,\infty)に取り替えると、結論が成り立たないことを示せ。すなわち、h(x,t)=x2e−x2th(x,t)=x^2e^{-x^2t}はR×R\R\times\Rの上のC∞C^\infty関数であり、各x∈Rx\in\Rについて広義積分H(x)=∫0∞h(x,t) dtH(x)=\int_0^\infty h(x,t)\,dtが収束するが、HHはx=0x=0で連続でないことを示せ。一方、各T>0T>0について∫0Th(x,t) dt\int_0^Th(x,t)\,dtを求め、その積分がR\Rの上のC∞C^\infty関数であることを確かめよ。
  6. 定理 5.1の証明で、M×[0,1]M\times[0,1]ではなくM×RM\times\Rを用い、ttの代わりにρ(t)\rho(t)を入れた。ρ\rhoを恒等写像に取り替えるとHHの値がUUに入らなくなる例を、UUを有界な星型開集合として作る。
  7. 命題 5.2をk=1k=1とk=nk=nの場合に書き下し、k=nk=nのときの右辺の(n−1)(n-1)次形式を、dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxndx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\cdots\wedge dx^nの一次結合として成分で表す。
  8. 例 5.5のη\etaに、任意の閉11形式を加えてもdη=ωd\eta=\omegaは保たれる。R3\R^3の上で閉11形式がすべて完全であることを定理 5.1から導き、dη′=ωd\eta'=\omegaを満たす任意の11形式η′\eta'が、あるg∈C∞(R3)g\in C^\infty(\R^3)によってη′=η+dg\eta'=\eta+dgと表されることを示す。
解答.

(1)を示す。定義 1.1の定義式はXpX_pについて線形であるから、ιX+Y=ιX+ιY\iota_{X+Y}=\iota_X+\iota_Yである。命題 1.2 (2)をXX、YY、X+YX+Yに適用すると

0=ιX+YιX+Yω=ιXιXω+ιXιYω+ιYιXω+ιYιYω=ιXιYω+ιYιXω0=\iota_{X+Y}\iota_{X+Y}\omega=\iota_X\iota_X\omega+\iota_X\iota_Y\omega+\iota_Y\iota_X\omega+\iota_Y\iota_Y\omega=\iota_X\iota_Y\omega+\iota_Y\iota_X\omega

であるから、ιXιYω=−ιYιXω\iota_X\iota_Y\omega=-\iota_Y\iota_X\omegaである。

例 1.3によりιX(dx∧dy∧dz)=a dy∧dz+b dz∧dx+c dx∧dy\iota_X(dx\wedge dy\wedge dz)=a\,dy\wedge dz+b\,dz\wedge dx+c\,dx\wedge dyである。11次形式に対してはιY(dx)=a′\iota_Y(dx)=a'、ιY(dy)=b′\iota_Y(dy)=b'、ιY(dz)=c′\iota_Y(dz)=c'であるから、命題 1.2 (3)により

ιY(dy∧dz)=b′ dz−c′ dy,ιY(dz∧dx)=c′ dx−a′ dz,ιY(dx∧dy)=a′ dy−b′ dx\iota_Y(dy\wedge dz)=b'\,dz-c'\,dy,\qquad \iota_Y(dz\wedge dx)=c'\,dx-a'\,dz,\qquad \iota_Y(dx\wedge dy)=a'\,dy-b'\,dx

である。ιY\iota_YはC∞(R3)C^\infty(\R^3)の元を係数とする和について線形であるから

ιYιX(dx∧dy∧dz)=a (b′ dz−c′ dy)+b (c′ dx−a′ dz)+c (a′ dy−b′ dx)=(bc′−cb′) dx+(ca′−ac′) dy+(ab′−ba′) dz\iota_Y\iota_X(dx\wedge dy\wedge dz) =a\,(b'\,dz-c'\,dy)+b\,(c'\,dx-a'\,dz)+c\,(a'\,dy-b'\,dx) =(bc'-cb')\,dx+(ca'-ac')\,dy+(ab'-ba')\,dz

である。

点ppでの値を考え、a,b,c,a′,b′,c′a,b,c,a',b',c'のppでの値を同じ文字で書く。dxp,dyp,dzpdx_p,dy_p,dz_pはTp∗R3T_p^*\R^3の基底であるから、(ιYιX(dx∧dy∧dz))p=0\bigl(\iota_Y\iota_X(dx\wedge dy\wedge dz)\bigr)_p=0は三つの係数bc′−cb′bc'-cb'、ca′−ac′ca'-ac'、ab′−ba′ab'-ba'がすべて00であることと同値である。XpX_pとYpY_pが一次従属ならば、Xp=0X_p=0であるか、ある実数λ\lambdaについてYp=λXpY_p=\lambda X_pである。前者ではa=b=c=0a=b=c=0、後者ではa′=λaa'=\lambda a、b′=λbb'=\lambda b、c′=λcc'=\lambda cであり、どちらの場合も三つの係数は00である。逆に三つの係数が00であるとする。Xp=0X_p=0ならば一次従属である。Xp≠0X_p\ne0とする。a≠0a\ne0の場合はλ=a′/a\lambda=a'/aと置くと、ab′−ba′=0ab'-ba'=0からb′=λbb'=\lambda b、ca′−ac′=0ca'-ac'=0からc′=λcc'=\lambda cであり、Yp=λXpY_p=\lambda X_pとなる。b≠0b\ne0の場合はλ=b′/b\lambda=b'/bと置くとbc′−cb′=0bc'-cb'=0とab′−ba′=0ab'-ba'=0から、c≠0c\ne0の場合はλ=c′/c\lambda=c'/cと置くとca′−ac′=0ca'-ac'=0とbc′−cb′=0bc'-cb'=0から、同じくYp=λXpY_p=\lambda X_pを得る。よってXpX_pとYpY_pは一次従属である。

(2)を示す。α∈Ωk(M)\alpha\in\Omega^k(M)、β∈Ωl(M)\beta\in\Omega^l(M)とする。命題 2.4 (2)と命題 1.2 (3)により（k=0k=0またはl=0l=0の場合も含めて）

LXιY(α∧β)=LX((ιYα)∧β+(−1)kα∧ιYβ)=(LXιYα)∧β+(ιYα)∧LXβ+(−1)k(LXα)∧ιYβ+(−1)kα∧LXιYβ\mathcal{L}_X\iota_Y(\alpha\wedge\beta)=\mathcal{L}_X\bigl((\iota_Y\alpha)\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge\iota_Y\beta\bigr) =(\mathcal{L}_X\iota_Y\alpha)\wedge\beta+(\iota_Y\alpha)\wedge\mathcal{L}_X\beta+(-1)^k(\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\iota_Y\beta+(-1)^k\alpha\wedge\mathcal{L}_X\iota_Y\beta

である。LXα\mathcal{L}_X\alphaの次数はkkであるから、同じ二つの命題により

ιYLX(α∧β)=ιY((LXα)∧β+α∧LXβ)=(ιYLXα)∧β+(−1)k(LXα)∧ιYβ+(ιYα)∧LXβ+(−1)kα∧ιYLXβ\iota_Y\mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta)=\iota_Y\bigl((\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\beta+\alpha\wedge\mathcal{L}_X\beta\bigr) =(\iota_Y\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\beta+(-1)^k(\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\iota_Y\beta+(\iota_Y\alpha)\wedge\mathcal{L}_X\beta+(-1)^k\alpha\wedge\iota_Y\mathcal{L}_X\beta

である。差を取ると(ιYα)∧LXβ(\iota_Y\alpha)\wedge\mathcal{L}_X\betaと(−1)k(LXα)∧ιYβ(-1)^k(\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\iota_Y\betaの項が消え、C=LXιY−ιYLXC=\mathcal{L}_X\iota_Y-\iota_Y\mathcal{L}_Xについて

C(α∧β)=(Cα)∧β+(−1)kα∧(Cβ)C(\alpha\wedge\beta)=(C\alpha)\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge(C\beta)

を得る。命題 1.2 (3)によりι[X,Y]\iota_{[X,Y]}も同じ規則を満たし、この規則は作用素について線形であるから、E=C−ι[X,Y]E=C-\iota_{[X,Y]}も同じ規則を満たす。

関数ffについてはιYf=0\iota_Yf=0、ιY(LXf)=0\iota_Y(\mathcal{L}_Xf)=0、ι[X,Y]f=0\iota_{[X,Y]}f=0であるからEf=0Ef=0である。11形式θ\thetaについては、命題 2.4 (1)によりLX(ιYθ)=X(θ(Y))\mathcal{L}_X(\iota_Y\theta)=X\bigl(\theta(Y)\bigr)である。定理 3.1によりLXθ=ιX(dθ)+d(θ(X))\mathcal{L}_X\theta=\iota_X(d\theta)+d\bigl(\theta(X)\bigr)であり、§E22.11 定理 4.2により

(LXθ)(Y)=dθ(X,Y)+Y(θ(X))=X(θ(Y))−θ([X,Y])(\mathcal{L}_X\theta)(Y)=d\theta(X,Y)+Y\bigl(\theta(X)\bigr)=X\bigl(\theta(Y)\bigr)-\theta([X,Y])

である。よってEθ=X(θ(Y))−X(θ(Y))+θ([X,Y])−θ([X,Y])=0E\theta=X(\theta(Y))-X(\theta(Y))+\theta([X,Y])-\theta([X,Y])=0である。

EEがΩk(M)\Omega^k(M)の全体で00であることを示す。Leibniz 則をα=f∈C∞(M)\alpha=f\in C^\infty(M)に適用すると、Ef=0Ef=0からE(fω)=f EωE(f\omega)=f\,E\omegaである。したがって、ω\omegaが開集合VVの上で00ならば、p∈Vp\in Vについて§E22.2 命題 1.6によりppの近傍で11に等しく台がVVに含まれるχ\chiを取ると、χω=0\chi\omega=0から0=E(χω)=χ Eω0=E(\chi\omega)=\chi\,E\omegaであり、ppで評価して(Eω)p=0(E\omega)_p=0である。すなわち(Eω)p(E\omega)_pはω\omegaのppの近傍での値だけで決まる。p∈Mp\in Mとppの周りのチャート(U,φ=(x1,…,xn))(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))を取り、§E22.2 命題 1.6によりppの開近傍W⊆UW\subseteq Uの上で11に等しく台がコンパクトでUUに含まれるχ\chiを取る。ω∣U=∑IωI dxI\omega|_U=\sum_I\omega_I\,dx^I（§E22.10 命題 4.1）と書き、χxi\chi x^iとχωI\chi\omega_IをUUの外へ00で延ばしたものをyiy^i、gIg_Iとすると、ω′=∑IgI dyi1∧⋯∧dyik∈Ωk(M)\omega'=\sum_Ig_I\,dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_k}\in\Omega^k(M)はWWの上でω\omegaに一致する（WWの上でyi=xiy^i=x^iであり、§E22.11 補題 2.2によりdyi=dxidy^i=dx^iである）。Leibniz 則を繰り返し用いると

E(gI dyi1∧⋯∧dyik)=gI∑r=1k(−1)r−1dyi1∧⋯∧E(dyir)∧⋯∧dyikE\bigl(g_I\,dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_k}\bigr)=g_I\sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge E(dy^{i_r})\wedge\cdots\wedge dy^{i_k}

であり、各E(dyir)E(dy^{i_r})は11形式に対する値であるから00である。よって(Eω)p=(Eω′)p=0(E\omega)_p=(E\omega')_p=0である。ppは任意であったからE=0E=0であり、LX∘ιY−ιY∘LX=ι[X,Y]\mathcal{L}_X\circ\iota_Y-\iota_Y\circ\mathcal{L}_X=\iota_{[X,Y]}が成り立つ。

(3)を示す。φt(x,y)=(xcos⁡t−ysin⁡t, xsin⁡t+ycos⁡t)\varphi_t(x,y)=(x\cos t-y\sin t,\ x\sin t+y\cos t)と置く。φ0=id⁡\varphi_0=\operatorname{id}であり

ddt(xcos⁡t−ysin⁡t)=−(xsin⁡t+ycos⁡t),ddt(xsin⁡t+ycos⁡t)=xcos⁡t−ysin⁡t\frac{d}{dt}\bigl(x\cos t-y\sin t\bigr)=-(x\sin t+y\cos t),\qquad \frac{d}{dt}\bigl(x\sin t+y\cos t\bigr)=x\cos t-y\sin t

であるから、t↦φt(x,y)t\mapsto\varphi_t(x,y)はXXの積分曲線であり、§E22.6 定理 7.1の一意性によりφ\varphiはXXの大域流である。§E22.10 命題 5.4により

φt∗(dx)=cos⁡t dx−sin⁡t dy,φt∗(dy)=sin⁡t dx+cos⁡t dy\varphi_t^*(dx)=\cos t\,dx-\sin t\,dy,\qquad \varphi_t^*(dy)=\sin t\,dx+\cos t\,dy

である。

定義による計算を行う。φt∗f=(xcos⁡t−ysin⁡t)2+(xsin⁡t+ycos⁡t)2=x2+y2\varphi_t^*f=(x\cos t-y\sin t)^2+(x\sin t+y\cos t)^2=x^2+y^2であるからLXf=0\mathcal{L}_Xf=0である。

φt∗ω=(xcos⁡t−ysin⁡t)(sin⁡t dx+cos⁡t dy)\varphi_t^*\omega=(x\cos t-y\sin t)(\sin t\,dx+\cos t\,dy)

の係数をt=0t=0で微分すると、dxdxの係数は(−xsin⁡t−ycos⁡t)sin⁡t+(xcos⁡t−ysin⁡t)cos⁡t(-x\sin t-y\cos t)\sin t+(x\cos t-y\sin t)\cos tのt=0t=0での値xxであり、dydyの係数は(−xsin⁡t−ycos⁡t)cos⁡t−(xcos⁡t−ysin⁡t)sin⁡t(-x\sin t-y\cos t)\cos t-(x\cos t-y\sin t)\sin tのt=0t=0での値−y-yである。よってLXω=x dx−y dy\mathcal{L}_X\omega=x\,dx-y\,dyである。φt∗μ=(cos⁡t dx−sin⁡t dy)∧(sin⁡t dx+cos⁡t dy)=(cos⁡2t+sin⁡2t) dx∧dy=μ\varphi_t^*\mu=(\cos t\,dx-\sin t\,dy)\wedge(\sin t\,dx+\cos t\,dy)=(\cos^2t+\sin^2t)\,dx\wedge dy=\muであるからLXμ=0\mathcal{L}_X\mu=0である。

Cartan の公式による計算を行う。ιX(dx)=−y\iota_X(dx)=-y、ιX(dy)=x\iota_X(dy)=xである。ffについてはιXf=0\iota_Xf=0であるからLXf=ιX(df)=ιX(2x dx+2y dy)=−2xy+2xy=0\mathcal{L}_Xf=\iota_X(df)=\iota_X(2x\,dx+2y\,dy)=-2xy+2xy=0である。ω\omegaについてはιXω=x⋅x=x2\iota_X\omega=x\cdot x=x^2、dω=dx∧dyd\omega=dx\wedge dyであり、命題 1.2 (3)によりιX(dx∧dy)=(−y) dy−x dx\iota_X(dx\wedge dy)=(-y)\,dy-x\,dxであるから

LXω=ιX(dω)+d(ιXω)=−x dx−y dy+2x dx=x dx−y dy\mathcal{L}_X\omega=\iota_X(d\omega)+d(\iota_X\omega)=-x\,dx-y\,dy+2x\,dx=x\,dx-y\,dy

である。μ\muについてはdμ=0d\mu=0であり、d(ιXμ)=d(−x dx−y dy)=0d(\iota_X\mu)=d(-x\,dx-y\,dy)=0であるからLXμ=0\mathcal{L}_X\mu=0である。二通りの計算は一致する。

(4)を示す。k=0k=0では両辺とも00である。k≥1k\ge1とする。S′S'をM′×RM'\times\Rの上の定理 4.4のベクトル場とし、it′ ⁣:M′→M′×Ri'_t\colon M'\to M'\times\Rをit′(p′)=(p′,t)i'_t(p')=(p',t)とする。

第一にit∘G=(G×id⁡)∘it′i_t\circ G=(G\times\operatorname{id})\circ i'_tである。実際、両辺ともp′p'を(G(p′),t)(G(p'),t)へ写す。第二に、d(G×id⁡)(p′,t)(S(p′,t)′)=S(G(p′),t)d(G\times\operatorname{id})_{(p',t)}(S'_{(p',t)})=S_{(G(p'),t)}である。実際、積チャート(x′,t)(x',t)と(x,t)(x,t)に関するG×id⁡G\times\operatorname{id}の座標表示は(x′,t)↦(G^(x′),t)(x',t)\mapsto(\hat G(x'),t)（G^\hat GはGGの座標表示）であるから、§E22.3 命題 5.5によりその Jacobi 行列のttに対応する列はttの方向の単位ベクトルであり、∂/∂t\partial/\partial tは∂/∂t\partial/\partial tへ写る。第三に、この二つからιS′((G×id⁡)∗ω)=(G×id⁡)∗(ιSω)\iota_{S'}\bigl((G\times\operatorname{id})^*\omega\bigr)=(G\times\operatorname{id})^*(\iota_S\omega)である。実際、(p′,t)(p',t)における接ベクトルv1,…,vk−1v_1,\dots,v_{k-1}に対して、F=G×id⁡F=G\times\operatorname{id}と書くと

(ιS′F∗ω)(v1,…,vk−1)=ω(dF(S′),dF(v1),…,dF(vk−1))=ω(S,dF(v1),…,dF(vk−1))=(F∗ιSω)(v1,…,vk−1)\bigl(\iota_{S'}F^*\omega\bigr)(v_1,\dots,v_{k-1})=\omega\bigl(dF(S'),dF(v_1),\dots,dF(v_{k-1})\bigr)=\omega\bigl(S,dF(v_1),\dots,dF(v_{k-1})\bigr)=\bigl(F^*\iota_S\omega\bigr)(v_1,\dots,v_{k-1})

である。

p′∈M′p'\in M'とv1,…,vk−1∈Tp′M′v_1,\dots,v_{k-1}\in T_{p'}M'を取る。§E22.10 命題 5.2により(it′)∗F∗=(F∘it′)∗=(it∘G)∗=G∗it∗(i'_t)^*F^*=(F\circ i'_t)^*=(i_t\circ G)^*=G^*i_t^*であるから

(K′(F∗ω))p′(v1,…,vk−1)=∫01(G∗it∗(ιSω))p′(v1,…,vk−1) dt=∫01(it∗(ιSω))G(p′)(dG(v1),…,dG(vk−1)) dt\Bigl(K'\bigl(F^*\omega\bigr)\Bigr)_{p'}(v_1,\dots,v_{k-1}) =\int_0^1\bigl(G^*i_t^*(\iota_S\omega)\bigr)_{p'}(v_1,\dots,v_{k-1})\,dt =\int_0^1\bigl(i_t^*(\iota_S\omega)\bigr)_{G(p')}\bigl(dG(v_1),\dots,dG(v_{k-1})\bigr)\,dt

であり、右辺はKKの定義により(Kω)G(p′)(dG(v1),…,dG(vk−1))=(G∗(Kω))p′(v1,…,vk−1)(K\omega)_{G(p')}(dG(v_1),\dots,dG(v_{k-1}))=\bigl(G^*(K\omega)\bigr)_{p'}(v_1,\dots,v_{k-1})に等しい。したがってK′(F∗ω)=G∗(Kω)K'(F^*\omega)=G^*(K\omega)である。

(5)を示す。hhはC∞C^\infty関数x2x^2とe−x2te^{-x^2t}の積であるからC∞C^\inftyである。T>0T>0とする。x≠0x\ne0のとき、∂∂t(−e−x2t)=x2e−x2t\frac{\partial}{\partial t}\bigl(-e^{-x^2t}\bigr)=x^2e^{-x^2t}であるから、微積分学の基本定理により

∫0Th(x,t) dt=1−e−x2T\int_0^Th(x,t)\,dt=1-e^{-x^2T}

である。x=0x=0のときはh(0,t)=0h(0,t)=0であり、積分は0=1−e00=1-e^{0}であるから、同じ式がすべてのxxについて成り立つ。右辺はxxのC∞C^\infty関数である。T→∞T\to\inftyとすると、x≠0x\ne0ならばe−x2T→0e^{-x^2T}\to0であるからH(x)=1H(x)=1であり、x=0x=0ならばH(0)=0H(0)=0である。よってHHは各点で収束する広義積分として定まるが、x→0x\to0のときH(x)→1≠0=H(0)H(x)\to1\ne0=H(0)であり、HHはx=0x=0で連続でない。とくにHHはC∞C^\inftyでない。この例では、各TTについて∫0T\int_0^Tは補題 4.1と同じくC∞C^\inftyであるが、T→∞T\to\inftyの極限がxxについて一様でない。

(6)を示す。ρ\rhoを恒等写像に取り替えるとH(x,t)=c+t(x−c)H(x,t)=c+t(x-c)（t∈Rt\in\R）となる。U={x∈R2:∥x∥<1}U=\{x\in\R^2:\lVert x\rVert<1\}を開単位円板とすると、UUは有界であり、c=0c=0に関して星型である。x=(1/2,0)∈Ux=(1/2,0)\in U、t=3t=3に対してH(x,t)=(3/2,0)H(x,t)=(3/2,0)であり、そのノルムは3/2>13/2>1であるからH(x,t)∉UH(x,t)\notin Uである。したがってHHはU×RU\times\RからUUへの写像にならず、UUの上の形式ω\omegaの引き戻しH∗ωH^*\omegaをU×RU\times\Rの上で定めることができない。定理 4.4は境界を持たない多様体M×RM\times\Rの上の形式について述べられているので、HHはt∈Rt\in\Rの全体で定義されて値がUUに入る必要がある。ρ\rhoは値を[0,1][0,1]に取るので、星型性によりH(x,t)=c+ρ(t)(x−c)∈UH(x,t)=c+\rho(t)(x-c)\in Uがすべてのttについて成り立つ。

(7)を示す。k=1k=1のとき、ω=∑iωi dxi\omega=\sum_i\omega_i\,dx^iであり、sk−1=1s^{k-1}=1、r=1r=1の項だけが残り、省いた後の外積は空であるから

η=∫01∑i=1nωi(c+s(x−c))(xi−ci) ds\eta=\int_0^1\sum_{i=1}^{n}\omega_i\bigl(c+s(x-c)\bigr)\bigl(x^i-c^i\bigr)\,ds

である。これは関数であり、系 5.3のggに一致する。k=nk=nのとき、増加添字はI=(1,…,n)I=(1,\dots,n)ただ一つであり、ω=f dx1∧⋯∧dxn\omega=f\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^nと書くと

η=(∫01sn−1f(c+s(x−c)) ds)∑r=1n(−1)r−1(xr−cr) dx1∧⋯∧dxr^∧⋯∧dxn\eta=\Bigl(\int_0^1s^{n-1}f\bigl(c+s(x-c)\bigr)\,ds\Bigr)\sum_{r=1}^{n}(-1)^{r-1}\bigl(x^r-c^r\bigr)\,dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^r}\wedge\cdots\wedge dx^n

である。すなわち右辺の(n−1)(n-1)次形式は、関数∫01sn−1f(c+s(x−c)) ds\int_0^1s^{n-1}f(c+s(x-c))\,dsと、固定した(n−1)(n-1)次形式∑r(−1)r−1(xr−cr) dx1∧⋯dxr^⋯∧dxn\sum_r(-1)^{r-1}(x^r-c^r)\,dx^1\wedge\cdots\widehat{dx^r}\cdots\wedge dx^nとの積である。後者は、ccから出る動径のベクトル場E=∑r(xr−cr) ∂/∂xrE=\sum_r(x^r-c^r)\,\partial/\partial x^rによる内部積ιE(dx1∧⋯∧dxn)\iota_E(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n)に等しい。実際、命題 1.2 (3)を繰り返し用いると、dxr(E)=xr−crdx^r(E)=x^r-c^rからιE(dx1∧⋯∧dxn)=∑r(−1)r−1(xr−cr) dx1∧⋯dxr^⋯∧dxn\iota_E(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n)=\sum_r(-1)^{r-1}(x^r-c^r)\,dx^1\wedge\cdots\widehat{dx^r}\cdots\wedge dx^nである。たとえばn=2n=2、c=0c=0、f≡1f\equiv1ではη=12(x dy−y dx)\eta=\tfrac12(x\,dy-y\,dx)であり、dη=12(dx∧dy−dy∧dx)=dx∧dyd\eta=\tfrac12(dx\wedge dy-dy\wedge dx)=dx\wedge dyである。

(8)を示す。θ\thetaをR3\R^3の上の閉11形式とすると、d(η+θ)=dη+dθ=ω+0=ωd(\eta+\theta)=d\eta+d\theta=\omega+0=\omegaである。R3\R^3は原点に関して星型な開集合であるから、定理 5.1をk=1k=1に適用すると、R3\R^3の上の閉11形式θ\thetaはすべて完全であり、θ=dg\theta=dgを満たすg∈C∞(R3)g\in C^\infty(\R^3)が存在する。次に原始形式の不定性を述べる。η′\eta'をdη′=ωd\eta'=\omegaを満たす任意の11形式とすると、d(η′−η)=ω−ω=0d(\eta'-\eta)=\omega-\omega=0であるからη′−η\eta'-\etaは閉11形式であり、上の結論によりη′−η=dg\eta'-\eta=dgを満たすg∈C∞(R3)g\in C^\infty(\R^3)が存在する。逆に任意のg∈C∞(R3)g\in C^\infty(\R^3)について§E22.11 命題 2.5によりd(η+dg)=ωd(\eta+dg)=\omegaである。したがってω\omegaの原始形式の全体は{η+dg:g∈C∞(R3)}\{\eta+dg:g\in C^\infty(\R^3)\}であり、不定性はちょうどdgdgの分だけである。▨

参考文献

  1. John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 218, Springer, New York, 2013.内部積の次数付き Leibniz 則、Cartan の公式、および積多様体の上のホモトピー作用素による Poincaré の補題の構成を参考にした。
  2. Raoul Bott and Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 82, Springer, New York, 1982.積多様体 M × ℝ の上で dt を含む部分と含まない部分へ分ける計算と、そこから Poincaré の補題を導く筋道を参考にした。
  3. Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics 94, Springer, 1983, originally published 1971.微分形式に対する Lie 微分の定義と、流れによる引き戻しの微分公式を参考にした。

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