1 表現と部分表現 定義 1.1. G G G G G G ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) §E7.32 定義 1.1 ）であって、V V V 有限次元複素表現 (finite-dimensional complex representation )V V V 表現空間 (representation space )ρ : G → GL ( V ) \rho:G\to \GL(V) ρ : G → GL ( V ) ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) V V V g , h ∈ G g,h\in G g , h ∈ G ρ ( g h ) = ρ ( g ) ρ ( h ) \rho(gh)=\rho(g)\rho(h) ρ ( g h ) = ρ ( g ) ρ ( h ) ρ ( e G ) = id V \rho(e_G)=\operatorname{id}_V ρ ( e G ) = id V ρ ( g − 1 ) = ρ ( g ) − 1 \rho(g^{-1})=\rho(g)^{-1} ρ ( g − 1 ) = ρ ( g ) − 1
定義 1.3. 有限群G G G ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) ( V ′ , ρ ′ ) (V',\rho') ( V ′ , ρ ′ ) §E7.32 定義 1.4 ）、すなわち任意のg ∈ G g\in G g ∈ G T ρ ( g ) = ρ ′ ( g ) T T\rho(g)=\rho'(g)T T ρ ( g ) = ρ ′ ( g ) T T : V → V ′ T:V\to V' T : V → V ′ G G G G-equivariant map )G G G 同型 (isomorphic representations )
定義 1.4. ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V
ρ ( g ) W ⊆ W ( g ∈ G ) \rho(g)W\subseteq W\qquad(g\in G) ρ ( g ) W ⊆ W ( g ∈ G ) を満たすとき、W W W G G G G-invariant subspace )ρ ( g ) \rho(g) ρ ( g ) W W W V V V 部分表現 (subrepresentation )
V ≠ { 0 } V\ne\{0\} V = { 0 } G G G { 0 } \{0\} { 0 } V V V V V V 既約表現 (irreducible representation )
定義 1.6. 有限群G G G V V V
V = V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V r V=V_1\oplus\cdots\oplus V_r V = V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V r と表されるとき、V V V 完全可約表現 (completely reducible representation )
例 1.7. 有限群G G G
ρ t r i v ( g ) z = z ( g ∈ G , z ∈ C ) \rho_{\mathrm{triv}}(g)z=z\qquad(g\in G,\ z\in\C) ρ triv ( g ) z = z ( g ∈ G , z ∈ C ) と定めると、一次元表現を得る。この一次元表現を自明表現 (trivial representation )
S 3 S_3 S 3 §E7.5 定理 2.1 ）により、
ρ s g n ( σ ) z = sgn ( σ ) z \rho_{\mathrm{sgn}}(\sigma)z=\operatorname{sgn}(\sigma)z ρ sgn ( σ ) z = sgn ( σ ) z も一次元表現を定める。一次元表現の非零部分空間は空間全体だけなので、これらの表現は既約である。
例 1.8. S 3 S_3 S 3 C 3 \C^3 C 3
ρ p e r m ( σ ) e i = e σ ( i ) \rho_{\mathrm{perm}}(\sigma)e_i=e_{\sigma(i)} ρ perm ( σ ) e i = e σ ( i ) によって置換するとする。座標直線C e 1 \mathbb Ce_1 C e 1 ( 12 ) (12) ( 12 ) C e 2 \mathbb Ce_2 C e 2 S 3 S_3 S 3
2 平均化射影 補題 2.1. V V V W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V
p ( V ) ⊆ W , p ( w ) = w ( w ∈ W ) p(V)\subseteq W,\qquad p(w)=w\quad(w\in W) p ( V ) ⊆ W , p ( w ) = w ( w ∈ W ) (2.1.1) \text{(2.1.1)} (2.1.1) を満たす線形写像p : V → W ⊆ V p\colon V\to W\subseteq V p : V → W ⊆ V
証明.
W W W w 1 , … , w r w_1,\ldots,w_r w 1 , … , w r §D3.11 補題 1.2 ）、w 1 , … , w r , u r + 1 , … , u n w_1,\ldots,w_r,u_{r+1},\ldots,u_n w 1 , … , w r , u r + 1 , … , u n V V V u r + 1 , … , u n u_{r+1},\ldots,u_n u r + 1 , … , u n 基底の各w i w_i w i u j u_j u j p p p
p ( ∑ i = 1 r a i w i + ∑ j = r + 1 n b j u j ) = ∑ i = 1 r a i w i p\left(\sum_{i=1}^{r}a_iw_i+\sum_{j=r+1}^{n}b_ju_j\right)=\sum_{i=1}^{r}a_iw_i p ( i = 1 ∑ r a i w i + j = r + 1 ∑ n b j u j ) = i = 1 ∑ r a i w i を満たす。よって式 (2.1.1) が成り立ち、p 2 = p p^2=p p 2 = p ▨
補題 2.2. G G G ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V G G G p : V → V p\colon V\to V p : V → V p ( V ) ⊆ W p(V)\subseteq W p ( V ) ⊆ W p ∣ W = id W p|_W=\operatorname{id}_W p ∣ W = id W
P = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G ρ ( g ) p ρ ( g ) − 1 P=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\rho(g)p\rho(g)^{-1} P = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ ρ ( g ) pρ ( g ) − 1 (2.2.1) \text{(2.2.1)} (2.2.1) と定めると、im P = W \operatorname{im}P=W im P = W P ∣ W = id W P|_W=\operatorname{id}_W P ∣ W = id W P 2 = P P^2=P P 2 = P P P P G G G
証明. v ∈ V v\in V v ∈ V g ∈ G g\in G g ∈ G p ρ ( g ) − 1 v ∈ W p\rho(g)^{-1}v\in W pρ ( g ) − 1 v ∈ W 式 (1.5.1) によってρ ( g ) W = W \rho(g)W=W ρ ( g ) W = W ρ ( g ) p ρ ( g ) − 1 v ∈ W \rho(g)p\rho(g)^{-1}v\in W ρ ( g ) pρ ( g ) − 1 v ∈ W W W W 式 (2.2.1) によってP ( v ) ∈ W P(v)\in W P ( v ) ∈ W
w ∈ W w\in W w ∈ W g ∈ G g\in G g ∈ G ρ ( g ) − 1 w ∈ W \rho(g)^{-1}w\in W ρ ( g ) − 1 w ∈ W p ∣ W = id W p|_W=\operatorname{id}_W p ∣ W = id W ρ ( g ) p ρ ( g ) − 1 w = w \rho(g)p\rho(g)^{-1}w=w ρ ( g ) pρ ( g ) − 1 w = w
P ( w ) = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G w = w . P(w)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}w=w. P ( w ) = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ w = w . (2.2.2) \text{(2.2.2)} (2.2.2) よってW ⊆ im P W\subseteq\operatorname{im}P W ⊆ im P im P = W \operatorname{im}P=W im P = W P ( v ) ∈ W P(v)\in W P ( v ) ∈ W
P 2 ( v ) = P ( P ( v ) ) = P ( v ) P^2(v)=P(P(v))=P(v) P 2 ( v ) = P ( P ( v )) = P ( v ) (2.2.3) \text{(2.2.3)} (2.2.3) である。
h ∈ G h\in G h ∈ G
ρ ( h ) P ρ ( h ) − 1 = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G ρ ( h ) ρ ( g ) p ρ ( g ) − 1 ρ ( h ) − 1 = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G ρ ( h g ) p ρ ( h g ) − 1 \begin{aligned}
\rho(h)P\rho(h)^{-1}
&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}
\rho(h)\rho(g)p\rho(g)^{-1}\rho(h)^{-1}\\
&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\rho(hg)p\rho(hg)^{-1}
\end{aligned} ρ ( h ) P ρ ( h ) − 1 = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ ρ ( h ) ρ ( g ) pρ ( g ) − 1 ρ ( h ) − 1 = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ ρ ( h g ) pρ ( h g ) − 1 である。写像g ↦ h g g\mapsto hg g ↦ h g k ↦ h − 1 k k\mapsto h^{-1}k k ↦ h − 1 k
ρ ( h ) P ρ ( h ) − 1 = 1 ∣ G ∣ ∑ k ∈ G ρ ( k ) p ρ ( k ) − 1 = P . \rho(h)P\rho(h)^{-1}
=\frac{1}{|G|}\sum_{k\in G}\rho(k)p\rho(k)^{-1}=P. ρ ( h ) P ρ ( h ) − 1 = ∣ G ∣ 1 k ∈ G ∑ ρ ( k ) pρ ( k ) − 1 = P . (2.2.4) \text{(2.2.4)} (2.2.4) 右からρ ( h ) \rho(h) ρ ( h )
ρ ( h ) P = P ρ ( h ) \rho(h)P=P\rho(h) ρ ( h ) P = P ρ ( h ) (2.2.5) \text{(2.2.5)} (2.2.5) を得る。▨
定理 2.3 (Maschke の定理). G G G ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G G G G W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V G G G W ′ ⊆ V W'\subseteq V W ′ ⊆ V
V = W ⊕ W ′ V=W\oplus W' V = W ⊕ W ′ を満たすものが存在する。
証明. 補題 2.1 によってW W W p p p 補題 2.2 のG G G P P P W ′ = ker P W'=\ker P W ′ = ker P v ∈ W ′ v\in W' v ∈ W ′ h ∈ G h\in G h ∈ G P ( ρ ( h ) v ) = ρ ( h ) P ( v ) = 0 P(\rho(h)v)=\rho(h)P(v)=0 P ( ρ ( h ) v ) = ρ ( h ) P ( v ) = 0 W ′ W' W ′ G G G v ∈ V v\in V v ∈ V
v = P ( v ) + ( v − P ( v ) ) v=P(v)+(v-P(v)) v = P ( v ) + ( v − P ( v )) と表される。P ( v ) ∈ W P(v)\in W P ( v ) ∈ W P 2 = P P^2=P P 2 = P P ( v − P ( v ) ) = 0 P(v-P(v))=0 P ( v − P ( v )) = 0 V = W + W ′ V=W+W' V = W + W ′ x ∈ W ∩ W ′ x\in W\cap W' x ∈ W ∩ W ′ x = P ( x ) = 0 x=P(x)=0 x = P ( x ) = 0 V = W ⊕ W ′ V=W\oplus W' V = W ⊕ W ′ ▨
系 2.4. 有限群の任意の有限次元複素表現は完全可約である。
証明. n = dim C V n=\dim_{\C}V n = dim C V n = 0 n=0 n = 0 V V V n > 0 n>0 n > 0 n n n
V V V V V V V V V
{ 0 } ⊊ W ⊊ V \{0\}\subsetneq W\subsetneq V { 0 } ⊊ W ⊊ V を満たすG G G W W W 定理 2.3 により、G G G W ′ W' W ′ V = W ⊕ W ′ V=W\oplus W' V = W ⊕ W ′ W ≠ { 0 } W\ne\{0\} W = { 0 } W ≠ V W\ne V W = V
0 < dim W < n , 0 < dim W ′ < n 0<\dim W<n,\qquad 0<\dim W'<n 0 < dim W < n , 0 < dim W ′ < n である。帰納法の仮定により、W W W W ′ W' W ′ V V V ▨
3 不変内積と群環加群 証明. V V V v 1 , … , v n v_1,\ldots,v_n v 1 , … , v n h 0 ( ∑ i x i v i , ∑ i y i v i ) = ∑ i x i y i ‾ h_0(\sum_i x_i v_i,\sum_i y_i v_i)=\sum_i x_i\overline{y_i} h 0 ( ∑ i x i v i , ∑ i y i v i ) = ∑ i x i y i h 0 ( v , v ) h_0(v,v) h 0 ( v , v ) v ≠ 0 v\ne0 v = 0 h 0 h_0 h 0 h h h ρ ( g ) \rho(g) ρ ( g ) v ≠ 0 v\ne0 v = 0 ρ ( g ) v \rho(g)v ρ ( g ) v h 0 ( ρ ( g ) v , ρ ( g ) v ) h_0(\rho(g)v,\rho(g)v) h 0 ( ρ ( g ) v , ρ ( g ) v ) h ( v , v ) > 0 h(v,v)>0 h ( v , v ) > 0
a ∈ G a\in G a ∈ G g ↦ g a g\mapsto ga g ↦ g a G G G
h ( ρ ( a ) v , ρ ( a ) w ) = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G h 0 ( ρ ( g a ) v , ρ ( g a ) w ) = h ( v , w ) h(\rho(a)v,\rho(a)w)
=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}h_0(\rho(ga)v,\rho(ga)w)=h(v,w) h ( ρ ( a ) v , ρ ( a ) w ) = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ h 0 ( ρ ( g a ) v , ρ ( g a ) w ) = h ( v , w ) である。z ∈ W ⊥ z\in W^\perp z ∈ W ⊥ w ∈ W w\in W w ∈ W ρ ( a − 1 ) w ∈ W \rho(a^{-1})w\in W ρ ( a − 1 ) w ∈ W
h ( ρ ( a ) z , w ) = h ( z , ρ ( a − 1 ) w ) = 0 h(\rho(a)z,w)=h(z,\rho(a^{-1})w)=0 h ( ρ ( a ) z , w ) = h ( z , ρ ( a − 1 ) w ) = 0 である。よってρ ( a ) z ∈ W ⊥ \rho(a)z\in W^\perp ρ ( a ) z ∈ W ⊥ W ⊥ W^\perp W ⊥ G G G h h h §E3.33 定義 1.1 の内積の条件を満たすので、§E3.33 定理 4.1 によってV = W ⊕ W ⊥ V=W\oplus W^\perp V = W ⊕ W ⊥ ▨
系 3.2. G G G M M M C [ G ] \C[G] C [ G ] M M M
4 指標 定義 4.1. ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G 指標 (character )
χ ρ : G ⟶ C , χ ρ ( g ) = tr ( ρ ( g ) ) \chi_\rho\colon G\longrightarrow\C,\qquad
\chi_\rho(g)=\operatorname{tr}(\rho(g)) χ ρ : G ⟶ C , χ ρ ( g ) = tr ( ρ ( g )) である。
命題 4.2. 同型な有限次元複素表現は同じ指標をもつ。
証明. ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) ( V ′ , ρ ′ ) (V',\rho') ( V ′ , ρ ′ ) T : V → V ′ T\colon V\to V' T : V → V ′
ρ ′ ( g ) = T ρ ( g ) T − 1 \rho'(g)=T\rho(g)T^{-1} ρ ′ ( g ) = T ρ ( g ) T − 1 である。正方行列A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A = ( a ij ) B = ( b i j ) B=(b_{ij}) B = ( b ij )
tr ( A B ) = ∑ i ∑ j a i j b j i = ∑ j ∑ i b j i a i j = tr ( B A ) \operatorname{tr}(AB)
=\sum_i\sum_j a_{ij}b_{ji}
=\sum_j\sum_i b_{ji}a_{ij}
=\operatorname{tr}(BA) tr ( A B ) = i ∑ j ∑ a ij b j i = j ∑ i ∑ b j i a ij = tr ( B A ) (4.2.1) \text{(4.2.1)} (4.2.1) である。したがって
tr ( ρ ′ ( g ) ) = tr ( T ρ ( g ) T − 1 ) = tr ( ρ ( g ) T − 1 T ) = tr ( ρ ( g ) ) \operatorname{tr}(\rho'(g))
=\operatorname{tr}(T\rho(g)T^{-1})
=\operatorname{tr}(\rho(g)T^{-1}T)
=\operatorname{tr}(\rho(g)) tr ( ρ ′ ( g )) = tr ( T ρ ( g ) T − 1 ) = tr ( ρ ( g ) T − 1 T ) = tr ( ρ ( g )) となり、二つの指標は一致する。▨
命題 4.3. ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G g , h ∈ G g,h\in G g , h ∈ G
χ ρ ( h g h − 1 ) = χ ρ ( g ) \chi_\rho(hgh^{-1})=\chi_\rho(g) χ ρ ( h g h − 1 ) = χ ρ ( g ) が成り立つ。
証明. ρ \rho ρ 式 (4.2.1) から
χ ρ ( h g h − 1 ) = tr ( ρ ( h ) ρ ( g ) ρ ( h ) − 1 ) = tr ( ρ ( g ) ρ ( h ) − 1 ρ ( h ) ) = tr ( ρ ( g ) ) = χ ρ ( g ) \begin{aligned}
\chi_\rho(hgh^{-1})
&=\operatorname{tr}\bigl(\rho(h)\rho(g)\rho(h)^{-1}\bigr)\\
&=\operatorname{tr}\bigl(\rho(g)\rho(h)^{-1}\rho(h)\bigr)\\
&=\operatorname{tr}(\rho(g))
=\chi_\rho(g)
\end{aligned} χ ρ ( h g h − 1 ) = tr ( ρ ( h ) ρ ( g ) ρ ( h ) − 1 ) = tr ( ρ ( g ) ρ ( h ) − 1 ρ ( h ) ) = tr ( ρ ( g )) = χ ρ ( g ) を得る。▨
命題 4.4. G G G ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G
V G = { v ∈ V ∣ すべての g ∈ G について ρ ( g ) v = v } , E = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G ρ ( g ) V^G=\{v\in V\mid \text{すべての }g\in G\text{ について }\rho(g)v=v\},\qquad
E=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\rho(g) V G = { v ∈ V ∣ すべての g ∈ G について ρ ( g ) v = v } , E = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ ρ ( g ) と置く。任意のh ∈ G h\in G h ∈ G ρ ( h ) E = E = E ρ ( h ) \rho(h)E=E=E\rho(h) ρ ( h ) E = E = E ρ ( h )
im E = V G , E ∣ V G = id V G , E 2 = E \operatorname{im}E=V^G,\qquad E|_{V^G}=\operatorname{id}_{V^G},\qquad E^2=E im E = V G , E ∣ V G = id V G , E 2 = E が成り立つ。さらに
dim C V G = tr E = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G χ ρ ( g ) \dim_{\C}V^G=\operatorname{tr}E
=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\chi_\rho(g) dim C V G = tr E = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ χ ρ ( g ) である。
5 対称群の標準表現 命題 5.1. n ≥ 2 n\geq2 n ≥ 2 S n S_n S n
U n = C n U_n=\C^n U n = C n へρ p e r m ( σ ) e i = e σ ( i ) \rho_{\mathrm{perm}}(\sigma)e_i=e_{\sigma(i)} ρ perm ( σ ) e i = e σ ( i )
U n = L n ⊕ W n , U_n=L_n\oplus W_n, U n = L n ⊕ W n , L n = C ( 1 , … , 1 ) , W n = { ( x 1 , … , x n ) ∈ C n ∣ x 1 + ⋯ + x n = 0 } L_n=\C(1,\ldots,1),\qquad
W_n=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\C^n\mid x_1+\cdots+x_n=0\} L n = C ( 1 , … , 1 ) , W n = {( x 1 , … , x n ) ∈ C n ∣ x 1 + ⋯ + x n = 0 } と分解する。L n L_n L n W n W_n W n n − 1 n-1 n − 1
χ s t d ( σ ) = ∣ { i ∈ { 1 , … , n } ∣ σ ( i ) = i } ∣ − 1 \chi_{\mathrm{std}}(\sigma)
=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid \sigma(i)=i\}|-1 χ std ( σ ) = ∣ { i ∈ { 1 , … , n } ∣ σ ( i ) = i } ∣ − 1 である。
証明. 自然なS n S_n S n { 1 , … , n } \{1,\ldots,n\} { 1 , … , n } §E7.32 命題 2.1 (2) を適用すると、表示された置換表現を得る。座標の置換は( 1 , … , 1 ) (1,\ldots,1) ( 1 , … , 1 ) L n L_n L n W n W_n W n S n S_n S n x = ( x 1 , … , x n ) ∈ U n x=(x_1,\ldots,x_n)\in U_n x = ( x 1 , … , x n ) ∈ U n
a = x 1 + ⋯ + x n n a=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} a = n x 1 + ⋯ + x n とおけば、
x = a ( 1 , … , 1 ) + ( x − a ( 1 , … , 1 ) ) x=a(1,\ldots,1)+\bigl(x-a(1,\ldots,1)\bigr) x = a ( 1 , … , 1 ) + ( x − a ( 1 , … , 1 ) ) であり、第二項はW n W_n W n L n ∩ W n = { 0 } L_n\cap W_n=\{0\} L n ∩ W n = { 0 } U n = L n ⊕ W n U_n=L_n\oplus W_n U n = L n ⊕ W n e 1 − e n , … , e n − 1 − e n e_1-e_n,\ldots,e_{n-1}-e_n e 1 − e n , … , e n − 1 − e n W n W_n W n dim W n = n − 1 \dim W_n=n-1 dim W n = n − 1 i i i σ ( i ) = i \sigma(i)=i σ ( i ) = i 1 1 1 0 0 0 σ \sigma σ L n L_n L n 1 1 1 ▨
6 S 3 S_3 S 3 例 6.1.
S 3 S_3 S 3 §E7.13 例 5.2 により
{ e } , { ( 12 ) , ( 13 ) , ( 23 ) } , { ( 123 ) , ( 132 ) } \{e\},\qquad
\{(12),(13),(23)\},\qquad
\{(123),(132)\} { e } , {( 12 ) , ( 13 ) , ( 23 )} , {( 123 ) , ( 132 )} (6.1.1) \text{(6.1.1)} (6.1.1) である。以下では、恒等元、互換、3-cycle の順で指標値を記す。
自明表現では、すべての群元がC \C C
χ t r i v = ( 1 , 1 , 1 ) . \chi_{\mathrm{triv}}=(1,1,1). χ triv = ( 1 , 1 , 1 ) . (6.1.2) \text{(6.1.2)} (6.1.2) 置換の符号は{ 1 , − 1 } \{1,-1\} { 1 , − 1 } − 1 -1 − 1 §E7.5 定理 2.1 ）。恒等元と 3-cycle は偶置換であり、互換は奇置換であるから、符号表現の指標は
χ s g n = ( 1 , − 1 , 1 ) . \chi_{\mathrm{sgn}}=(1,-1,1). χ sgn = ( 1 , − 1 , 1 ) . (6.1.3) \text{(6.1.3)} (6.1.3)
例 6.2. 命題 5.1 をn = 3 n=3 n = 3 e 1 , e 2 , e 3 e_1,e_2,e_3 e 1 , e 2 , e 3 ρ p e r m ( σ ) e i = e σ ( i ) \rho_{\mathrm{perm}}(\sigma)e_i=e_{\sigma(i)} ρ perm ( σ ) e i = e σ ( i ) U = C 3 U=\C^3 U = C 3
L = C ( 1 , 1 , 1 ) , W = { ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ C 3 ∣ x 1 + x 2 + x 3 = 0 } L=\C(1,1,1),\qquad
W=\{(x_1,x_2,x_3)\in\C^3\mid x_1+x_2+x_3=0\} L = C ( 1 , 1 , 1 ) , W = {( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ C 3 ∣ x 1 + x 2 + x 3 = 0 } について
U = L ⊕ W , dim C W = 2. U=L\oplus W,\qquad \dim_{\C}W=2. U = L ⊕ W , dim C W = 2. (6.2.1) \text{(6.2.1)} (6.2.1) と分解する。L L L W W W S 3 S_3 S 3 標準表現 ρ s t d \rho_{\mathrm{std}} ρ std σ \sigma σ 1 1 1 3 , 1 , 0 3,1,0 3 , 1 , 0 式 (6.1.1) の順に
χ s t d = ( 3 − 1 , 1 − 1 , 0 − 1 ) = ( 2 , 0 , − 1 ) . \chi_{\mathrm{std}}=(3-1,\,1-1,\,0-1)=(2,0,-1). χ std = ( 3 − 1 , 1 − 1 , 0 − 1 ) = ( 2 , 0 , − 1 ) . (6.2.2) \text{(6.2.2)} (6.2.2) 例 6.3. S 3 S_3 S 3 b 1 = e 1 − e 3 b_1=e_1-e_3 b 1 = e 1 − e 3 b 2 = e 2 − e 3 b_2=e_2-e_3 b 2 = e 2 − e 3 ρ s t d ( ( 123 ) ) b 1 = − b 1 + b 2 \rho_{\mathrm{std}}((123))b_1=-b_1+b_2 ρ std (( 123 )) b 1 = − b 1 + b 2 ρ s t d ( ( 123 ) ) b 2 = − b 1 \rho_{\mathrm{std}}((123))b_2=-b_1 ρ std (( 123 )) b 2 = − b 1 ( 12 ) (12) ( 12 ) b 1 b_1 b 1 b 2 b_2 b 2
R = ( − 1 − 1 1 0 ) , S = ( 0 1 1 0 ) R=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad
S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} R = ( − 1 1 − 1 0 ) , S = ( 0 1 1 0 ) である。六つの群元の行列はI , R , R 2 , S , S R , S R 2 I,R,R^2,S,SR,SR^2 I , R , R 2 , S , S R , S R 2 R ∗ R = ( 2 1 1 1 ) ≠ I R^*R=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\ne I R ∗ R = ( 2 1 1 1 ) = I h 0 ( x , y ) = y ∗ x h_0(x,y)=y^*x h 0 ( x , y ) = y ∗ x 命題 3.1 による平均内積はh ( x , y ) = y ∗ H x h(x,y)=y^*Hx h ( x , y ) = y ∗ H x
H = 1 6 ∑ A ∈ { I , R , R 2 , S , S R , S R 2 } A ∗ A = 1 3 [ ( 1 0 0 1 ) + ( 2 1 1 1 ) + ( 1 1 1 2 ) ] = ( 4 / 3 2 / 3 2 / 3 4 / 3 ) . \begin{aligned}
H&=\frac16\sum_{A\in\{I,R,R^2,S,SR,SR^2\}} A^*A\\
&=\frac13\left[
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\right]
=\begin{pmatrix}4/3&2/3\\2/3&4/3\end{pmatrix}.
\end{aligned} H = 6 1 A ∈ { I , R , R 2 , S , S R , S R 2 } ∑ A ∗ A = 3 1 [ ( 1 0 0 1 ) + ( 2 1 1 1 ) + ( 1 1 1 2 ) ] = ( 4/3 2/3 2/3 4/3 ) . H H H 2 2 2 2 / 3 2/3 2/3
H R = ( − 2 / 3 − 4 / 3 2 / 3 − 2 / 3 ) , H S = ( 2 / 3 4 / 3 4 / 3 2 / 3 ) HR=\begin{pmatrix}-2/3&-4/3\\2/3&-2/3\end{pmatrix},\qquad
HS=\begin{pmatrix}2/3&4/3\\4/3&2/3\end{pmatrix} H R = ( − 2/3 2/3 − 4/3 − 2/3 ) , H S = ( 2/3 4/3 4/3 2/3 ) であるから、R ∗ H R = H R^*HR=H R ∗ H R = H S ∗ H S = H S^*HS=H S ∗ H S = H R R R S S S H H H ( i , j ) (i,j) ( i , j ) h ( b j , b i ) h(b_j,b_i) h ( b j , b i )
7 正二十面体の回転表現 例 7.1 (A 5 A_5 A 5 §E7.20 命題 5.1 によってA 5 ≅ I + A_5\cong I^+ A 5 ≅ I +
I + ↪ SO ( 3 ) ⊂ GL 3 ( R ) I^+\hookrightarrow\SO(3)
\subset\GL_3(\R) I + ↪ SO ( 3 ) ⊂ GL 3 ( R ) は忠実な三次元実表現であり、係数を複素数へ拡大すると忠実な三次元複素表現を与える。§E7.13 例 6.1 の共役類を
1 , π , 2 π 3 , 2 π 5 , 4 π 5 1,\quad \pi,\quad \frac{2\pi}{3},\quad
\frac{2\pi}{5},\quad \frac{4\pi}{5} 1 , π , 3 2 π , 5 2 π , 5 4 π という回転角の順に並べると、この複素表現の指標値は
3 , − 1 , 0 , 1 + 5 2 , 1 − 5 2 3,\qquad -1,\qquad 0,\qquad
\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad
\frac{1-\sqrt5}{2} 3 , − 1 , 0 , 2 1 + 5 , 2 1 − 5 である。
証明. 角度θ \theta θ 1 1 1 e i θ e^{i\theta} e i θ e − i θ e^{-i\theta} e − i θ
1 + e i θ + e − i θ = 1 + 2 cos θ 1+e^{i\theta}+e^{-i\theta}=1+2\cos\theta 1 + e i θ + e − i θ = 1 + 2 cos θ である。θ = 0 , π , 2 π / 3 , 2 π / 5 , 4 π / 5 \theta=0,\pi,2\pi/3,2\pi/5,4\pi/5 θ = 0 , π , 2 π /3 , 2 π /5 , 4 π /5 I + I^+ I + R 3 \R^3 R 3 □
8 仮定の境界 Maschke の定理の証明では、∣ G ∣ − 1 |G|^{-1} ∣ G ∣ − 1 ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣
例 8.1. p p p k = F p k=\mathbb F_p k = F p p p p C p = ⟨ a ⟩ C_p=\langle a\rangle C p = ⟨ a ⟩ V = k 2 V=k^2 V = k 2 e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2
ρ ( a ) e 1 = e 1 , ρ ( a ) e 2 = e 1 + e 2 \rho(a)e_1=e_1,\qquad
\rho(a)e_2=e_1+e_2 ρ ( a ) e 1 = e 1 , ρ ( a ) e 2 = e 1 + e 2 (8.1.1) \text{(8.1.1)} (8.1.1) と定める。N = ρ ( a ) − I N=\rho(a)-I N = ρ ( a ) − I N 2 = 0 N^2=0 N 2 = 0 p p p
ρ ( a ) p = ( I + N ) p = I + p N = I \rho(a)^p=(I+N)^p=I+pN=I ρ ( a ) p = ( I + N ) p = I + pN = I であり、式 (8.1.1) によりC p C_p C p
W = k e 1 W=ke_1 W = k e 1 W W W v = x e 1 + y e 2 v=xe_1+ye_2 v = x e 1 + y e 2 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 ρ ( a ) v = λ v \rho(a)v=\lambda v ρ ( a ) v = λ v λ ∈ k \lambda\in k λ ∈ k 式 (8.1.1) を用いると
ρ ( a ) v = ( x + y ) e 1 + y e 2 . \rho(a)v=(x+y)e_1+ye_2. ρ ( a ) v = ( x + y ) e 1 + y e 2 . e 2 e_2 e 2 λ = 1 \lambda=1 λ = 1 e 1 e_1 e 1 x + y = x x+y=x x + y = x y = 0 y=0 y = 0 y = 0 y=0 y = 0 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 W W W
p = 2 p=2 p = 2 F 2 2 \mathbb F_2^2 F 2 2 e 1 , e 2 , e 1 + e 2 e_1,e_2,e_1+e_2 e 1 , e 2 , e 1 + e 2
F 2 e 1 , F 2 e 2 , F 2 ( e 1 + e 2 ) \mathbb F_2e_1,\qquad \mathbb F_2e_2,\qquad \mathbb F_2(e_1+e_2) F 2 e 1 , F 2 e 2 , F 2 ( e 1 + e 2 ) の三つだけである。ρ ( a ) e 1 = e 1 \rho(a)e_1=e_1 ρ ( a ) e 1 = e 1 ρ ( a ) e 2 = e 1 + e 2 \rho(a)e_2=e_1+e_2 ρ ( a ) e 2 = e 1 + e 2 ρ ( a ) ( e 1 + e 2 ) = e 2 \rho(a)(e_1+e_2)=e_2 ρ ( a ) ( e 1 + e 2 ) = e 2 W = F 2 e 1 W=\mathbb F_2e_1 W = F 2 e 1 W W W
9 演習 問題 9.1.
( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V W W W G G G ρ ( g ) W = W \rho(g)W=W ρ ( g ) W = W g − 1 g^{-1} g − 1 命題 4.4 の証明を完成させよ。写像g ↦ h g g\mapsto hg g ↦ h g g ↦ g h g\mapsto gh g ↦ g h G G G ρ ( h ) E = E = E ρ ( h ) \rho(h)E=E=E\rho(h) ρ ( h ) E = E = E ρ ( h ) E ( V ) = V G E(V)=V^G E ( V ) = V G E ∣ V G = id V G E|_{V^G}=\operatorname{id}_{V^G} E ∣ V G = id V G tr E = dim V G \operatorname{tr}E=\dim V^G tr E = dim V G S 3 S_3 S 3 dim V G \dim V^G dim V G V V V W W W P : V → V P\colon V\to V P : V → V P ( V ) ⊆ W P(V)\subseteq W P ( V ) ⊆ W P ∣ W = id W P|_W=\operatorname{id}_W P ∣ W = id W V = W ⊕ ker P V=W\oplus\ker P V = W ⊕ ker P S 3 S_3 S 3 例 8.1 で、( I + N ) p = I + p N (I+N)^p=I+pN ( I + N ) p = I + pN N 2 = 0 N^2=0 N 2 = 0 解答 (演習の要点).
不変性をg − 1 g^{-1} g − 1 ρ ( g ) − 1 W ⊆ W \rho(g)^{-1}W\subseteq W ρ ( g ) − 1 W ⊆ W ρ ( g ) \rho(g) ρ ( g ) W ⊆ ρ ( g ) W W\subseteq\rho(g)W W ⊆ ρ ( g ) W ρ ( g ) W ⊆ W \rho(g)W\subseteq W ρ ( g ) W ⊆ W ρ ( g ) W = W \rho(g)W=W ρ ( g ) W = W
h ∈ G h\in G h ∈ G ρ ( h ) ρ ( g ) = ρ ( h g ) \rho(h)\rho(g)=\rho(hg) ρ ( h ) ρ ( g ) = ρ ( h g ) g ↦ h g g\mapsto hg g ↦ h g k ↦ h − 1 k k\mapsto h^{-1}k k ↦ h − 1 k ρ ( h ) E = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G ρ ( h g ) = 1 ∣ G ∣ ∑ k ∈ G ρ ( k ) = E \rho(h)E=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\rho(hg)=\frac{1}{|G|}\sum_{k\in G}\rho(k)=E ρ ( h ) E = ∣ G ∣ 1 ∑ g ∈ G ρ ( h g ) = ∣ G ∣ 1 ∑ k ∈ G ρ ( k ) = E ρ ( g ) ρ ( h ) = ρ ( g h ) \rho(g)\rho(h)=\rho(gh) ρ ( g ) ρ ( h ) = ρ ( g h ) g ↦ g h g\mapsto gh g ↦ g h E ρ ( h ) = E E\rho(h)=E E ρ ( h ) = E v ∈ V v\in V v ∈ V ρ ( h ) E ( v ) = E ( v ) \rho(h)E(v)=E(v) ρ ( h ) E ( v ) = E ( v ) h h h E ( V ) ⊆ V G E(V)\subseteq V^G E ( V ) ⊆ V G w ∈ V G w\in V^G w ∈ V G E ( w ) = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G w = w E(w)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}w=w E ( w ) = ∣ G ∣ 1 ∑ g ∈ G w = w E ∣ V G = id V G E|_{V^G}=\operatorname{id}_{V^G} E ∣ V G = id V G V G ⊆ E ( V ) V^G\subseteq E(V) V G ⊆ E ( V ) E ( V ) = V G E(V)=V^G E ( V ) = V G E 2 = E E^2=E E 2 = E
解答 (3) によりV = V G ⊕ ker E V=V^G\oplus\ker E V = V G ⊕ ker E V G V^G V G ker E \ker E ker E V V V E E E dim V G \dim V^G dim V G 1 1 1 0 0 0 tr E = dim V G \operatorname{tr}E=\dim V^G tr E = dim V G tr E = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G tr ρ ( g ) = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G χ V ( g ) \operatorname{tr}E=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\operatorname{tr}\rho(g)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_V(g) tr E = ∣ G ∣ 1 ∑ g ∈ G tr ρ ( g ) = ∣ G ∣ 1 ∑ g ∈ G χ V ( g )
S 3 S_3 S 3 3 3 3 1 1 1 3 3 3 0 0 0 dim V G = 1 6 ( 3 + 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 ) = 1 \dim V^G=\frac16(3+3\cdot1+2\cdot0)=1 dim V G = 6 1 ( 3 + 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 ) = 1 V G V^G V G ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 )
v = P ( v ) + ( v − P ( v ) ) v=P(v)+(v-P(v)) v = P ( v ) + ( v − P ( v )) P ( v ) ∈ W P(v)\in W P ( v ) ∈ W P ∣ W = id W P|_W=\operatorname{id}_W P ∣ W = id W P 2 ( v ) = P ( v ) P^2(v)=P(v) P 2 ( v ) = P ( v ) P ( v − P ( v ) ) = 0 P(v-P(v))=0 P ( v − P ( v )) = 0 V = W + ker P V=W+\ker P V = W + ker P x ∈ W ∩ ker P x\in W\cap\ker P x ∈ W ∩ ker P x = P ( x ) = 0 x=P(x)=0 x = P ( x ) = 0 V = W ⊕ ker P V=W\oplus\ker P V = W ⊕ ker P
例 6.2 のρ p e r m ( σ ) e i = e σ ( i ) \rho_{\mathrm{perm}}(\sigma)e_i=e_{\sigma(i)} ρ perm ( σ ) e i = e σ ( i ) i i i e σ ( i ) e_{\sigma(i)} e σ ( i )
ρ p e r m ( ( 1 2 ) ) = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) , ρ p e r m ( ( 1 2 3 ) ) = ( 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ) \rho_{\mathrm{perm}}\bigl((1\,2)\bigr)=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad
\rho_{\mathrm{perm}}\bigl((1\,2\,3)\bigr)=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix} ρ perm ( ( 1 2 ) ) = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 , ρ perm ( ( 1 2 3 ) ) = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 である。トレースはそれぞれ1 1 1 0 0 0 ( 1 2 ) (1\,2) ( 1 2 ) 3 3 3 ( 1 2 3 ) (1\,2\,3) ( 1 2 3 ) 3 3 3 式 (6.2.1) のU = L ⊕ W U=L\oplus W U = L ⊕ W S 3 S_3 S 3 L L L W W W χ p e r m = χ L + χ s t d \chi_{\mathrm{perm}}=\chi_L+\chi_{\mathrm{std}} χ perm = χ L + χ std L = C ( 1 , 1 , 1 ) L=\C(1,1,1) L = C ( 1 , 1 , 1 ) S 3 S_3 S 3 χ L = 1 \chi_L=1 χ L = 1 3 − 1 = 2 3-1=2 3 − 1 = 2 1 − 1 = 0 1-1=0 1 − 1 = 0 3 3 3 0 − 1 = − 1 0-1=-1 0 − 1 = − 1 命題 4.3 ）、これで全元の値が定まる。
二項展開においてN j = 0 N^j=0 N j = 0 j ≥ 2 j\ge2 j ≥ 2 ( I + N ) p = I + ( p 1 ) N = I + p N (I+N)^p=I+\binom p1N=I+pN ( I + N ) p = I + ( 1 p ) N = I + pN p p p p N = 0 pN=0 pN = 0
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