§E7.8同型定理

証明.$N=\ker\varphi$とおく。§E7.7 定理 1.3により$N\trianglelefteq G$であり、§E7.3 命題 2.2により$\operatorname{im}\varphi\leq H$である。$\varphi$の終域を像へ制限した準同型$f\colon G\to\operatorname{im}\varphi$は$\ker f=N$を満たす。§E7.7 定理 2.4を$f$に適用すると、$\overline\varphi\circ q_N=f$を満たす群準同型$\overline\varphi\colon G/N\to\operatorname{im}\varphi$が得られ、$\overline\varphi(gN)=\varphi(g)$である。

像の任意の元は$\varphi(g)=\overline\varphi(gN)$と表されるため、$\overline\varphi$は全射である。また、

である。§E7.3 命題 2.2により$\overline\varphi$は単射でもあるため、群同型である。▨

証明.$\operatorname{Bij}(\mathbb P^{n-1}(K))$は集合$\mathbb P^{n-1}(K)$の対称群であるから、§E7.4 命題 1.2により写像の合成に関して群である。

$[v]=[w]$ならば、ある$\lambda\in K^\times$によって$w=\lambda v$と書くことができる。このとき$Aw=\lambda Av$であるから$[Aw]=[Av]$である。また、$A$は可逆であるため$v\neq0$ならば$Av\neq0$である。したがって$\Psi(A)$は射影空間上の写像として well-defined であり、$\Psi(A^{-1})$がその逆写像であるため全単射である。さらに

であるから、$\Psi$は群準同型である。

$\lambda\in K^\times$に対して$\Psi(\lambda I_n)([v])=[\lambda v]=[v]$であるから$Z_n(K)\subseteq\ker\Psi$である。逆に$A\in\ker\Psi$とする。$e_1,\ldots,e_n$を$K^n$の標準基底とすると、各直線$Ke_i$が$A$によって固定されるため、

と書くことができる。$i\neq j$に対して直線$K(e_i+e_j)$も固定されるから、ある$\mu\in K^\times$によって

と書くことができる。基底に関する係数を比較すると$\lambda_i=\mu=\lambda_j$である。したがってすべての$\lambda_i$は等しく、$A=\lambda I_n\in Z_n(K)$である。ゆえに

定理 1.1と§E7.7 定義 3.6から$\PGL_n(K)\cong\operatorname{im}\Psi$を得る。この同型写像を像の包含写像と合成して得る写像が$\overline\Psi$である。この写像の核は単位剰余類だけであるから単射である。▨

証明.$e_G=e_Ge_G\in HN$である。$h_1n_1,h_2n_2\in HN$に対して

である。$h_1h_2^{-1}\in H$であり、$N\trianglelefteq G$から$h_2n_1n_2^{-1}h_2^{-1}\in N$である。したがって§E7.2 命題 1.2により$HN\leq G$である。

$x\in HN$と$n\in N$に対して、$N\trianglelefteq G$から$xnx^{-1}\in N$である。ゆえに$N\trianglelefteq HN$である。また、$h\in H$と$x\in H\cap N$に対して$hxh^{-1}\in H$かつ$hxh^{-1}\in N$であるから$hxh^{-1}\in H\cap N$である。したがって$H\cap N\trianglelefteq H$である。

$N\trianglelefteq HN$であるため、式 (2.1.1)の終域は商群である。$h_1,h_2\in H$に対して

であるから、$\theta$は群準同型である。任意の$hnN\in HN/N$に対して$hnN=hN=\theta(h)$であるため、$\theta$は全射である。さらに

である。第一同型定理を$\theta$に適用すると$H/(H\cap N)\cong HN/N$を得る。第一同型定理の標準的な写像から、この同型は$h(H\cap N)\mapsto hN$で与えられる。▨

証明.$N\subseteq K\leq G$とする。$q_N(K)=K/N=\{kN\mid k\in K\}$は準同型による部分群の像であるから$G/N$の部分群である。逆に、$L\leq G/N$に対して$q_N^{-1}(L)$は部分群である。実際、$a,b\in q_N^{-1}(L)$ならば

である。

$N\subseteq K$から

が成り立つ。$k\in K$ならば$q_N(k)=kN\in K/N$であるから、$K\subseteq q_N^{-1}(K/N)$である。$g\in q_N^{-1}(K/N)$ならば、ある$k\in K$に対して$gN=kN$である。したがって$k^{-1}g\in N\subseteq K$であり、$g\in K$となる。また、$q_N$は全射であるから、任意の$L\leq G/N$に対して

が成り立つ。式 (3.1.4)と式 (3.1.5)により、式 (3.1.1)と式 (3.1.2)は互いに逆である。像と逆像はいずれも包含関係を保つため、この対応も包含関係を保つ。

$K\trianglelefteq G$とする。$gN\in G/N$と$kN\in K/N$に対して

であるから、$K/N\trianglelefteq G/N$である。逆に$K/N\trianglelefteq G/N$とする。$g\in G$と$k\in K$に対して

である。式 (3.1.4)から$gkg^{-1}\in K$となるため、$K\trianglelefteq G$である。

$gK=g'K$とする。このとき$g^{-1}g'\in K$であるから$(gN)^{-1}(g'N)=g^{-1}g'N\in K/N$となる。したがって式 (3.1.3)は代表元によらない。任意の$(gN)(K/N)$は$gK$の像であるから全射である。二つの像が等しいならば$(gN)^{-1}(g'N)\in K/N$であり、ある$k\in K$に対して$g^{-1}g'N=kN$となる。よって$k^{-1}g^{-1}g'\in N\subseteq K$であり、$g^{-1}g'\in K$となるため$gK=g'K$である。ゆえに式 (3.1.3)は単射でもある。剰余類集合の全単射から指数の等式が従う。▨

証明.定理 3.1により$K/N\trianglelefteq G/N$である。標準射影$q_K\colon G\to G/K$は、§E7.7 定理 2.3により$\ker q_K=K\supseteq N$を満たす。§E7.7 定理 2.4により、$\psi\circ q_N=q_K$を満たす群準同型$\psi\colon G/N\to G/K$が得られ、$\psi(gN)=gK$である。$q_K$は全射であるから、任意の$gK\in G/K$は$\psi(gN)$と表され、$\psi$は全射である。また、

である。定理 1.1を$\psi$に適用すると、同型$(G/N)/(K/N)\to G/K$が得られる。この同型は$(gN)(K/N)\mapsto\psi(gN)=gK$によって与えられる。▨