§E7.15自己準同型と内部・外部自己同型

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群から同じ群への準同型は、群の演算を保ちながら元を移す写像である。例えば、加法群C4C_4の各元を二倍する写像は準同型であるが、異なる元を同じ元へ送るため逆写像を持たない。演算を保つという条件だけでは、群の構造を保って元を入れ替える写像と、元を同一視する写像とを区別することができない。

自己準同型全体は合成についてモノイドをなし、その可逆元である自己同型全体は群をなす。自己同型群は群の構造が持つ対称性を表し、共役による内部自己同型はその一部をなす。内部自己同型による違いを除いた外部自己同型群と、すべての自己同型で保たれる特性部分群は、共役だけでは捉えきれない群の構造を記述するために重要である。本記事では、自己準同型と自己同型の代数構造を、共役および部分群の保存性との関係から扱う。

1 自己準同型のモノイド

定義 1.1. 群GGに対し、

End⁡(G)={f ⁣:G→G∣f は群準同型} \operatorname{End}(G) =\{f\colon G\to G\mid f\text{ は群準同型}\}

と置き、その元をGGの自己準同型 (endomorphism) と呼ぶ。また、

Aut⁡(G)={f∈End⁡(G)∣f は全単射} \operatorname{Aut}(G) =\{f\in\operatorname{End}(G)\mid f\text{ は全単射}\}

と置き、その元をGGの自己同型 (automorphism) と呼ぶ。

定義 1.2. 集合MMと二項演算

M×M⟶M,(x,y)⟼xyM\times M\longrightarrow M,\qquad (x,y)\longmapsto xy

の組がモノイド (monoid) であるとは、この演算が結合律を満たし、両側単位元を持つことをいう。モノイドでは、各元が逆元を持つことを要求しない。

命題 1.3. 群GGに対して、写像の合成を積とすると、End⁡(G)\operatorname{End}(G)はモノイドをなす。単位元は恒等写像id⁡G\operatorname{id}_Gである。

証明.f,g∈End⁡(G)f,g\in\operatorname{End}(G)とする。§E7.3 命題 1.4により、f∘g∈End⁡(G)f\circ g\in\operatorname{End}(G)である。写像の合成は結合的であり、

id⁡G∘f=f=f∘id⁡G \operatorname{id}_G\circ f=f=f\circ\operatorname{id}_G

が成り立つ。したがってEnd⁡(G)\operatorname{End}(G)はモノイドである。▨

定理 1.4. 任意の群GGに対して、Aut⁡(G)\operatorname{Aut}(G)は写像の合成について群をなす。さらに、Aut⁡(G)\operatorname{Aut}(G)はモノイドEnd⁡(G)\operatorname{End}(G)の可逆元全体に等しい。

証明.§E7.3 命題 1.4により自己準同型の合成は自己準同型であり、全単射の合成は全単射であるから、Aut⁡(G)\operatorname{Aut}(G)は合成について閉じている。結合律は写像の合成から従い、id⁡G\operatorname{id}_Gは自己同型である。f∈Aut⁡(G)f\in\operatorname{Aut}(G)とする。§E7.3 命題 1.5により、f−1∈Aut⁡(G)f^{-1}\in\operatorname{Aut}(G)である。したがってAut⁡(G)\operatorname{Aut}(G)は群をなす。

f∈End⁡(G)f\in\operatorname{End}(G)がモノイドの可逆元ならば、あるg∈End⁡(G)g\in\operatorname{End}(G)が存在して

f∘g=id⁡G,g∘f=id⁡G f\circ g=\operatorname{id}_G,\qquad g\circ f=\operatorname{id}_G

となる。よってffは全単射であり、f∈Aut⁡(G)f\in\operatorname{Aut}(G)である。逆にf∈Aut⁡(G)f\in\operatorname{Aut}(G)ならば、上で確認したようにf−1∈End⁡(G)f^{-1}\in\operatorname{End}(G)であるから、ffはEnd⁡(G)\operatorname{End}(G)の可逆元である。▨

例 1.5. 加法群C4=Z/4ZC_4=\Z/4\Z上の写像

δ([x]4)=[2x]4 \delta([x]_4)=[2x]_4

は自己準同型である。しかし、δ([0]4)=δ([2]4)=[0]4\delta([0]_4)=\delta([2]_4)=[0]_4であるから単射でない。したがってδ\deltaは自己同型ではなく、End⁡(C4)\operatorname{End}(C_4)の可逆元でもない。この例は、End⁡(G)\operatorname{End}(G)が一般には群にならないことを示す。

2 内部自己同型

§E7.13 定義 1.1で定義したように、各g∈Gg\in Gに対して写像

cg ⁣:G⟶G,cg(x)=gxg−1 c_g\colon G\longrightarrow G,\qquad c_g(x)=gxg^{-1}

が定まる。

定義 2.1. 群GGに対して

Inn⁡(G)={cg∣g∈G} \operatorname{Inn}(G)=\{c_g\mid g\in G\}

と置く。この集合をGGの内部自己同型群 (inner automorphism group) と呼び、その元をGGの内部自己同型 (inner automorphism) と呼ぶ。

定理 2.2. 群GGに対して、各cgc_gはGGの自己同型であり、写像

c ⁣:G⟶Aut⁡(G),c(g)=cg c\colon G\longrightarrow\operatorname{Aut}(G),\qquad c(g)=c_g

は群準同型である。その核と像は

ker⁡c=Z(G),im⁡c=Inn⁡(G) \ker c=Z(G),\qquad \operatorname{im}c=\operatorname{Inn}(G)

である。したがって

G/Z(G)≅Inn⁡(G) G/Z(G)\cong\operatorname{Inn}(G)

が成り立つ。

証明.§E7.13 命題 1.2により、各cgc_gはGGの自己同型である。

g,h,x∈Gg,h,x\in Gに対し、

(cg∘ch)(x)=g(hxh−1)g−1=(gh)x(gh)−1=cgh(x) (c_g\circ c_h)(x) =g(hxh^{-1})g^{-1} =(gh)x(gh)^{-1} =c_{gh}(x)

である。したがってc(gh)=c(g)∘c(h)c(gh)=c(g)\circ c(h)であり、ccは群準同型である。

g∈ker⁡cg\in\ker cであることは、すべてのx∈Gx\in Gに対して

gxg−1=x gxg^{-1}=x

が成り立つことと同値である。この等式はgx=xggx=xgがすべてのx∈Gx\in Gについて成り立つことと同値であるから、ker⁡c=Z(G)\ker c=Z(G)である。像がInn⁡(G)\operatorname{Inn}(G)であることは定義から従う。§E7.8 定理 1.1をccに適用すると、

G/Z(G)=G/ker⁡c≅im⁡c=Inn⁡(G) G/Z(G)=G/\ker c\cong\operatorname{im}c=\operatorname{Inn}(G)

を得る。▨

Inn⁡(G)\operatorname{Inn}(G)は準同型ccの像であるから、Aut⁡(G)\operatorname{Aut}(G)の部分群である。

3 内部自己同型群の正規性

定理 3.1. 任意の群GGに対して

Inn⁡(G)⊴Aut⁡(G) \operatorname{Inn}(G)\trianglelefteq\operatorname{Aut}(G)

が成り立つ。より具体的には、α∈Aut⁡(G)\alpha\in\operatorname{Aut}(G)、g∈Gg\in Gに対し、

α∘cg∘α−1=cα(g) \alpha\circ c_g\circ\alpha^{-1}=c_{\alpha(g)}

である。

証明.x∈Gx\in Gとすると、

(α∘cg∘α−1)(x)=α(gα−1(x)g−1)=α(g)xα(g)−1=cα(g)(x)\begin{aligned} (\alpha\circ c_g\circ\alpha^{-1})(x) &=\alpha\bigl(g\alpha^{-1}(x)g^{-1}\bigr)\\ &=\alpha(g)x\alpha(g)^{-1}\\ &=c_{\alpha(g)}(x) \end{aligned}

である。したがって

αInn⁡(G)α−1⊆Inn⁡(G) \alpha\operatorname{Inn}(G)\alpha^{-1} \subseteq\operatorname{Inn}(G)

が成り立つ。α−1\alpha^{-1}に同じ包含を適用すると

α−1Inn⁡(G)α⊆Inn⁡(G) \alpha^{-1}\operatorname{Inn}(G)\alpha \subseteq\operatorname{Inn}(G)

である。この包含の両辺をα\alphaとα−1\alpha^{-1}で共役すると、

Inn⁡(G)⊆αInn⁡(G)α−1 \operatorname{Inn}(G) \subseteq\alpha\operatorname{Inn}(G)\alpha^{-1}

を得る。よって等号が成り立ち、Inn⁡(G)⊴Aut⁡(G)\operatorname{Inn}(G)\trianglelefteq\operatorname{Aut}(G)である。▨

定義 3.2. 群GGの内部自己同型群による商群

Out⁡(G)=Aut⁡(G)/Inn⁡(G) \operatorname{Out}(G) =\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)

をGGの外部自己同型群 (outer automorphism group) と呼ぶ。

Inn⁡(G)\operatorname{Inn}(G)はAut⁡(G)\operatorname{Aut}(G)の正規部分群であるから、この商群の積は剰余類の代表元によらず定まる。

4 特性部分群

定義 4.1. 群GGの部分群HHがGGの特性部分群 (characteristic subgroup) であるとは、任意のα∈Aut⁡(G)\alpha\in\operatorname{Aut}(G)に対して

α(H)=H \alpha(H)=H

が成り立つことをいう。

命題 4.2.GGを群とする。以下が成り立つ。

  1. GGの特性部分群はGGの正規部分群である。
  2. HHがGGの特性部分群であり、KKがHHの特性部分群であるならば、KKはGGの特性部分群である。
  3. H⊴GH\trianglelefteq Gとし、KKをHHの特性部分群とする。このときK⊴GK\trianglelefteq Gである。

証明.HHをGGの特性部分群とする。任意のg∈Gg\in Gに対して、定理 2.2によりcgc_gは自己同型であるから、gHg−1=cg(H)=HgHg^{-1}=c_g(H)=Hである。よってH⊴GH\trianglelefteq Gである。

HHをGGの特性部分群、KKをHHの特性部分群とし、α∈Aut⁡(G)\alpha\in\operatorname{Aut}(G)を取る。α(H)=H\alpha(H)=Hであるから、制限α∣H\alpha|_HはHHの自己同型である。したがってα(K)=(α∣H)(K)=K\alpha(K)=(\alpha|_H)(K)=Kとなり、KKはGGの特性部分群である。

H⊴GH\trianglelefteq Gとし、KKをHHの特性部分群とする。任意のg∈Gg\in Gに対してcg(H)=Hc_g(H)=Hであるから、cg∣Hc_g|_HはHHの自己同型である。したがってgKg−1=(cg∣H)(K)=KgKg^{-1}=(c_g|_H)(K)=Kとなり、K⊴GK\trianglelefteq Gである。▨

命題 4.3.GGを群、NNをGGの特性部分群、q ⁣:G→G/Nq\colon G\to G/Nを商写像とする。各α∈Aut⁡(G)\alpha\in\operatorname{Aut}(G)に対して

α‾∘q=q∘α \overline\alpha\circ q=q\circ\alpha

を満たすα‾∈Aut⁡(G/N)\overline\alpha\in\operatorname{Aut}(G/N)がただ一つ存在する。対応α↦α‾\alpha\mapsto\overline\alphaは群準同型Aut⁡(G)→Aut⁡(G/N)\operatorname{Aut}(G)\to\operatorname{Aut}(G/N)を定める。さらに、LLがG/NG/Nの特性部分群ならば、q−1(L)q^{-1}(L)はGGの特性部分群である。

証明.命題 4.2 (1)によりN⊴GN\trianglelefteq Gである。α∈Aut⁡(G)\alpha\in\operatorname{Aut}(G)を取る。α(N)=N\alpha(N)=Nであるから、N⊆ker⁡(q∘α)N\subseteq\ker(q\circ\alpha)である。§E7.7 定理 2.4により、群準同型α‾ ⁣:G/N→G/N\overline\alpha\colon G/N\to G/Nがただ一つ存在してα‾∘q=q∘α\overline\alpha\circ q=q\circ\alphaとなる。α−1\alpha^{-1}からも群準同型α−1‾\overline{\alpha^{-1}}が得られ、

(α‾∘α−1‾)∘q=q,(α−1‾∘α‾)∘q=q (\overline\alpha\circ\overline{\alpha^{-1}})\circ q=q, \qquad (\overline{\alpha^{-1}}\circ\overline\alpha)\circ q=q

が成り立つ。商の普遍性の一意性により、二つの合成はid⁡G/N\operatorname{id}_{G/N}に等しい。したがってα‾\overline\alphaは自己同型である。α,β∈Aut⁡(G)\alpha,\beta\in\operatorname{Aut}(G)に対して

(α‾∘β‾)∘q=q∘(α∘β) (\overline\alpha\circ\overline\beta)\circ q=q\circ(\alpha\circ\beta)

であるから、同じ一意性によりα∘β‾=α‾∘β‾\overline{\alpha\circ\beta}=\overline\alpha\circ\overline\betaである。

LLをG/NG/Nの特性部分群とし、H=q−1(L)H=q^{-1}(L)と置く。§E7.3 命題 2.3 (1)によりHHはGGの部分群である。任意のα∈Aut⁡(G)\alpha\in\operatorname{Aut}(G)とh∈Hh\in Hに対して

q(α(h))=α‾(q(h))∈α‾(L)=L q(\alpha(h))=\overline\alpha(q(h))\in\overline\alpha(L)=L

であるから、α(H)⊆H\alpha(H)\subseteq Hである。α−1\alpha^{-1}に同じ包含を適用するとα−1(H)⊆H\alpha^{-1}(H)\subseteq Hとなり、H⊆α(H)H\subseteq\alpha(H)を得る。よってα(H)=H\alpha(H)=Hであり、HHはGGの特性部分群である。▨

命題 4.4. 任意の群GGの中心Z(G)Z(G)はGGの特性部分群である。

証明.α∈Aut⁡(G)\alpha\in\operatorname{Aut}(G)とz∈Z(G)z\in Z(G)を取る。任意のx∈Gx\in Gに対して、y=α−1(x)y=\alpha^{-1}(x)と置くと

α(z)x=α(zy)=α(yz)=xα(z) \alpha(z)x=\alpha(zy)=\alpha(yz)=x\alpha(z)

である。したがってα(Z(G))⊆Z(G)\alpha(Z(G))\subseteq Z(G)である。α−1\alpha^{-1}に同じ包含を適用すると逆包含を得るから、α(Z(G))=Z(G)\alpha(Z(G))=Z(G)である。▨

5 有限アーベル群の例

命題 5.1.n≥2n\geq2とし、Cn=⟨x⟩C_n=\langle x\rangleとする。このとき

Aut⁡(Cn)≅(Z/nZ)× \operatorname{Aut}(C_n)\cong(\Z/n\Z)^\times

である。また、CnC_nはアーベル群であるから

Inn⁡(Cn)={id⁡Cn},Out⁡(Cn)≅(Z/nZ)× \operatorname{Inn}(C_n)=\{\operatorname{id}_{C_n}\},\qquad \operatorname{Out}(C_n)\cong(\Z/n\Z)^\times

である。

証明.CnC_nの自己準同型は生成元xxの像によって一意に定まり、その像はxax^aという形である。逆に、各整数aaに対して

αa(xm)=xam \alpha_a(x^m)=x^{am}

と定める。xm=xℓx^m=x^\ellならばn∣(m−ℓ)n\mid(m-\ell)であるからxam=xaℓx^{am}=x^{a\ell}であり、この式は代表元によらず定まる。また、αa(xm+ℓ)=αa(xm)αa(xℓ)\alpha_a(x^{m+\ell})=\alpha_a(x^m)\alpha_a(x^\ell)であるから準同型である。したがってCnC_nの自己準同型はすべてこの形である。写像αa\alpha_aが自己同型であることは、xax^aがCnC_nを生成すること、すなわちgcd⁡(a,n)=1\gcd(a,n)=1と同値である。実際、xam=ex^{am}=eはn∣amn\mid amと同値であるから、

ord⁡(xa)=ngcd⁡(a,n) \operatorname{ord}(x^a)=\frac{n}{\gcd(a,n)}

である。αa(x)=xa\alpha_a(x)=x^aと書くと、

(αa∘αb)(x)=αa(xb)=xab (\alpha_a\circ\alpha_b)(x)=\alpha_a(x^b)=x^{ab}

である。したがって

αa⟼[a]n \alpha_a\longmapsto[a]_n

はAut⁡(Cn)\operatorname{Aut}(C_n)から(Z/nZ)×(\Z/n\Z)^\timesへの全単射準同型を与える。

アーベル群ではgxg−1=xgxg^{-1}=xがすべてのg,xg,xについて成り立つため、内部自己同型は恒等写像だけである。したがって残りの二つの等式が従う。▨

例 5.2 (Klein の四元群の自己同型).V4={e,a,b,c}V_4=\{e,a,b,c\}を Klein の四元群とする。自己同型は単位元を固定し、三つの非単位元を置換する。逆に、三つの非単位元の任意の置換は、異なる二つの非単位元の積が残りの非単位元になるという乗法規則を保つ。各非単位元の平方はeeであり、単位元との積も保たれるから、この置換をeeを固定する写像へ延長すると自己同型になる。制限と延長は互いに逆であり、制限は合成を保つ。したがって

Aut⁡(V4)≅S3 \operatorname{Aut}(V_4)\cong S_3

である。V4V_4はアーベル群であるから、

Inn⁡(V4)={id⁡V4},Out⁡(V4)≅S3 \operatorname{Inn}(V_4)=\{\operatorname{id}_{V_4}\},\qquad \operatorname{Out}(V_4)\cong S_3

が成り立つ。

6 対称群の自己同型

例 6.1. 対称群S3S_3に対して

Aut⁡(S3)=Inn⁡(S3)≅S3,Out⁡(S3)={e} \operatorname{Aut}(S_3)=\operatorname{Inn}(S_3)\cong S_3, \qquad \operatorname{Out}(S_3)=\{e\}

が成り立つ。

証明.T={(1 2),(1 3),(2 3)}T=\{(1\,2),(1\,3),(2\,3)\}と置く。TTはS3S_3の位数22の元全体である。α∈Aut⁡(S3)\alpha\in\operatorname{Aut}(S_3)とt∈S3t\in S_3に対して、§E7.3 命題 1.3とα\alphaの単射性により、α(t)m=e\alpha(t)^m=eとtm=et^m=eは任意の正整数mmについて同値である。したがってα\alphaは元の位数を保ち、α(T)=T\alpha(T)=Tである。制限によって群準同型

ρ ⁣:Aut⁡(S3)⟶Sym⁡(T) \rho\colon\operatorname{Aut}(S_3)\longrightarrow\operatorname{Sym}(T)

が定まる。§E7.4 定理 6.2によりTTはS3S_3を生成するから、TTの各元を固定する自己同型はS3S_3の各元を固定する。よってρ\rhoは単射であり、∣Aut⁡(S3)∣≤6|\operatorname{Aut}(S_3)|\leq6である。

§E7.13 例 5.2によりZ(S3)={e}Z(S_3)=\{e\}である。定理 2.2により共役の準同型c ⁣:S3→Aut⁡(S3)c\colon S_3\to\operatorname{Aut}(S_3)の核は自明であり、§E7.3 命題 2.2によりccは単射である。したがって∣Inn⁡(S3)∣=6|\operatorname{Inn}(S_3)|=6である。Inn⁡(S3)≤Aut⁡(S3)\operatorname{Inn}(S_3)\leq\operatorname{Aut}(S_3)と上の位数の評価からInn⁡(S3)=Aut⁡(S3)\operatorname{Inn}(S_3)=\operatorname{Aut}(S_3)となる。よって外部自己同型群は自明群である。▨

7 自由アーベル群の例

例 7.1.n≥1n\geq1とし、Zn\Z^nを加法群とする。標準基底をe1,…,ene_1,\ldots,e_nと書く。群準同型f ⁣:Zn→Znf\colon\Z^n\to\Z^nはf(e1),…,f(en)f(e_1),\ldots,f(e_n)によって一意に定まり、これらを列ベクトルとして並べた整数行列をAfA_fとすると

f(x)=Afx(x∈Zn) f(x)=A_fx\qquad(x\in\Z^n)

である。逆に、任意の整数行列はこの式によってZn\Z^nの自己準同型を定める。f,g∈End⁡(Zn)f,g\in\operatorname{End}(\Z^n)に対してAf∘g=AfAgA_{f\circ g}=A_fA_gであるから、この対応は合成を行列の積へ送る。

ffが自己同型ならば、逆写像f−1f^{-1}にも整数行列Af−1A_{f^{-1}}が対応し、

AfAf−1=Af−1Af=In A_fA_{f^{-1}}=A_{f^{-1}}A_f=I_n

となる。逆に、整数行列AAが整数行列BBを逆行列に持つならば、x↦Axx\mapsto Axとx↦Bxx\mapsto Bxは互いに逆な自己同型である。したがって、整数係数の可逆行列全体をGL⁡n(Z)\GL_n(\Z)と書けば、

Aut⁡(Zn)≅GL⁡n(Z) \operatorname{Aut}(\Z^n)\cong\GL_n(\Z)

である。n=1n=1のとき、整数行列(a)(a)が整数の逆行列(b)(b)を持つことはab=1ab=1と同値であり、これはa=±1a=\pm1と同値である。

n≥2n\geq2とする。整数行列AAが整数行列BBを逆行列に持つならば、§D3.4 定理 9.1により(det⁡A)(det⁡B)=1(\det A)(\det B)=1である。二つの行列式は整数なのでdet⁡A=±1\det A=\pm1となる。逆にdet⁡A=±1\det A=\pm1とする。AAを実行列とみなすと、§D3.4 定理 7.4により、その余因子行列A~\widetilde Aは

AA~=A~A=(det⁡A)In A\widetilde A=\widetilde A A=(\det A)I_n

を満たす。各余因子は整数であるから、B=(det⁡A)−1A~B=(\det A)^{-1}\widetilde Aは整数行列であり、AB=BA=InAB=BA=I_nとなる。したがって、すべてのn≥1n\geq1に対して

A∈GL⁡n(Z)⟺det⁡A=±1 A\in\GL_n(\Z)\quad\Longleftrightarrow\quad\det A=\pm1

である。

Zn\Z^nはアーベル群であるから、すべての内部自己同型は恒等写像である。よって

Out⁡(Zn)≅Aut⁡(Zn)≅GL⁡n(Z) \operatorname{Out}(\Z^n) \cong\operatorname{Aut}(\Z^n) \cong\GL_n(\Z)

が成り立つ。

8 演習

問題 8.1.

  1. 自明な自己準同型G→G, x↦eGG\to G,\ x\mapsto e_Gが可逆であるための必要十分条件を求めよ。
  2. Aut⁡(C5)\operatorname{Aut}(C_5)、Inn⁡(C5)\operatorname{Inn}(C_5)、Out⁡(C5)\operatorname{Out}(C_5)をそれぞれ求めよ。
  3. Z(G)={eG}Z(G)=\{e_G\}ならば、共役による準同型c ⁣:G→Aut⁡(G)c\colon G\to\operatorname{Aut}(G)が単射であることを示せ。
  4. αcgα−1=cα(g)\alpha c_g\alpha^{-1}=c_{\alpha(g)}を、二つの写像の各x∈Gx\in Gにおける値を比較して確認せよ。
解答 (演習の要点).
  1. 自明な自己準同型の像は{eG}\{e_G\}である。この写像が可逆ならば全射なのでG={eG}G=\{e_G\}となる。逆にGGが自明群ならば、この写像は恒等写像であり可逆である。
  2. 命題 5.1により Aut⁡(C5)≅(Z/5Z)×≅C4.\operatorname{Aut}(C_5)\cong(\Z/5\Z)^\times\cong C_4. 実際、[2]5[2]_5の位数は44であるため、(Z/5Z)×(\Z/5\Z)^\timesは位数44の巡回群である。C5C_5はアーベル群なので Inn⁡(C5)={id⁡C5},Out⁡(C5)≅C4\operatorname{Inn}(C_5)=\{\operatorname{id}_{C_5}\},\qquad \operatorname{Out}(C_5)\cong C_4 である。
  3. 定理 2.2によりker⁡c=Z(G)\ker c=Z(G)である。Z(G)={eG}Z(G)=\{e_G\}ならばker⁡c\ker cは自明であるから、§E7.3 命題 2.2によりccは単射である。
  4. 任意のx∈Gx\in Gに対して (α∘cg∘α−1)(x)=α(gα−1(x)g−1)=α(g)xα(g)−1=cα(g)(x)\begin{aligned} (\alpha\circ c_g\circ\alpha^{-1})(x) &=\alpha\bigl(g\alpha^{-1}(x)g^{-1}\bigr)\\ &=\alpha(g)x\alpha(g)^{-1} =c_{\alpha(g)}(x) \end{aligned} である。全てのxxで値が一致するため、二つの写像は等しい。

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参考文献

  1. David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.自己同型群、内部自己同型群、外部自己同型群を参考にした。
  2. Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4th ed., Graduate Texts in Mathematics 148, Springer, 1995.内部自己同型と中心による商を参考にした。

前提記事