半直積と分裂拡大 | 群論入門

1 外部半直積の構成

定義 1.1. 群 $N,H$ と群準同型

\alpha\colon H\longrightarrow\operatorname{Aut}(N), \qquad h\longmapsto\alpha_h

を取る。集合 $N\times H$ 上の積を

(n,h)(m,k) =\bigl(n\alpha_h(m),hk\bigr)

と定める。この積を備えた集合を

N\rtimes_\alpha H

と書き、 $\alpha$ による外部半直積 (external semidirect product) と呼ぶ。

定理 1.2. 群 $N,H$ と群準同型 $\alpha\colon H\to\operatorname{Aut}(N)$ に対して、 $N\rtimes_\alpha H$ は群である。単位元と逆元は

(e_N,e_H),\qquad (n,h)^{-1} =\bigl(\alpha_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1}\bigr)

である。

証明. 積は $N\times H$ の元を与えるから閉じている。 $(n,h),(m,k),(\ell,r)\in N\times H$ とする。左側から結合すると、

\begin{aligned} \bigl((n,h)(m,k)\bigr)(\ell,r) &=\bigl(n\alpha_h(m),hk\bigr)(\ell,r)\\ &=\bigl(n\alpha_h(m)\alpha_{hk}(\ell),hkr\bigr). \end{aligned}

一方、右側から結合すると、

\begin{aligned} (n,h)\bigl((m,k)(\ell,r)\bigr) &=(n,h)\bigl(m\alpha_k(\ell),kr\bigr)\\ &=\bigl(n\alpha_h(m\alpha_k(\ell)),hkr\bigr)\\ &=\bigl(n\alpha_h(m)(\alpha_h\circ\alpha_k)(\ell),hkr\bigr). \end{aligned}

$\alpha$ は群準同型であるから $\alpha_{hk}=\alpha_h\circ\alpha_k$ であり、二つの結果は等しい。したがって結合律が成り立つ。

$\alpha_{e_H}=\operatorname{id}_N$ であり、各自己同型は単位元を保つため、

(e_N,e_H)(n,h)=(n,h) =(n,h)(e_N,e_H)

である。

$u=\alpha_{h^{-1}}(n^{-1})$ と置く。 $\alpha_h\circ\alpha_{h^{-1}}=\operatorname{id}_N$ から

(n,h)(u,h^{-1}) =\bigl(n\alpha_h(u),e_H\bigr) =(e_N,e_H)

である。また、

\begin{aligned} (u,h^{-1})(n,h) &=\bigl(u\alpha_{h^{-1}}(n),e_H\bigr)\\ &=\bigl(\alpha_{h^{-1}}(n^{-1}) \alpha_{h^{-1}}(n),e_H\bigr)\\ &=(e_N,e_H). \end{aligned}

したがって表示した元は両側逆元であり、群の公理がすべて成り立つ。▨

2 標準部分群と短完全列

写像

i_N\colon N\to N\rtimes_\alpha H,\quad i_N(n)=(n,e_H),

j_H\colon H\to N\rtimes_\alpha H,\quad j_H(h)=(e_N,h),

p_H\colon N\rtimes_\alpha H\to H,\quad p_H(n,h)=h

を考える。

命題 2.1. 群 $N,H$ と群準同型 $\alpha\colon H\to\operatorname{Aut}(N)$ に対して、上の標準写像 $i_N$ と $j_H$ は単射準同型であり、 $p_H$ は全射準同型である。さらに、

\ker p_H=i_N(N)

であるから、

1\longrightarrow N \xrightarrow{i_N}N\rtimes_\alpha H \xrightarrow{p_H}H \longrightarrow1

は短完全列である。写像 $j_H$ はこの列の切断である。また、

j_H(h)i_N(n)j_H(h)^{-1} =i_N\bigl(\alpha_h(n)\bigr)

が成り立つ。さらに、

i_N(N)\trianglelefteq N\rtimes_\alpha H,

i_N(N)\cap j_H(H)=\{(e_N,e_H)\},\qquad i_N(N)j_H(H)=N\rtimes_\alpha H

が成り立つ。

証明. $n,m\in N$ に対し、

i_N(n)i_N(m) =(n,e_H)(m,e_H)=(nm,e_H)=i_N(nm)

である。 $(n,e_H)=(e_N,e_H)$ ならば $n=e_N$ であるから、 $i_N$ は単射である。 $h,k\in H$ に対し、

j_H(h)j_H(k) =(e_N,h)(e_N,k)=(e_N,hk)=j_H(hk)

であり、同じく $j_H$ は単射である。

p_H\bigl((n,h)(m,k)\bigr)=hk=p_H(n,h)p_H(m,k)

であるから $p_H$ は準同型であり、 $p_H(e_N,h)=h$ であるから全射である。また、

p_H(n,h)=e_H \quad\Longleftrightarrow\quad (n,h)=(n,e_H)\in i_N(N)

である。よって $\ker p_H=i_N(N)$ であり、短完全性が従う。

p_H\circ j_H=\operatorname{id}_H

であるから、 $j_H$ は切断である。

$j_H(h)^{-1}=j_H(h^{-1})$ を用いると、

\begin{aligned} j_H(h)i_N(n)j_H(h)^{-1} &=(e_N,h)(n,e_H)(e_N,h^{-1})\\ &=(\alpha_h(n),h)(e_N,h^{-1})\\ &=(\alpha_h(n),e_H)\\ &=i_N(\alpha_h(n)). \end{aligned}

$i_N(N)=\ker p_H$ であるから、§E7.7 定理 1.3により

i_N(N)\trianglelefteq N\rtimes_\alpha H

である。 $(n,e_H)=(e_N,h)$ ならば $n=e_N$ かつ $h=e_H$ であるから、

i_N(N)\cap j_H(H)=\{(e_N,e_H)\}

となる。また、任意の $(n,h)\in N\rtimes_\alpha H$ は

(n,h)=(n,e_H)(e_N,h)=i_N(n)j_H(h)

と表されるため、

i_N(N)j_H(H)=N\rtimes_\alpha H

である。▨

3 半直積の普遍的性質

命題 3.1. 群 $N,H,K$ と準同型 $\alpha\colon H\to\operatorname{Aut}(N)$ を取る。準同型 $f\colon N\to K$ と $g\colon H\to K$ が、任意の $h\in H$ と $n\in N$ に対して

g(h)f(n)g(h)^{-1}=f(\alpha_h(n))

を満たすとする。このとき、

F\circ i_N=f,\qquad F\circ j_H=g

を満たす準同型 $F\colon N\rtimes_\alpha H\to K$ が一意に存在し、

F(n,h)=f(n)g(h)

で与えられる。逆に、この二つの制限条件を満たす準同型 $F$ が存在すれば、 $f,g$ は上の互換条件を満たす。

証明. $F(n,h)=f(n)g(h)$ と置く。任意の $(n,h),(m,k)\in N\rtimes_\alpha H$ に対して、互換条件より

\begin{aligned} F\bigl((n,h)(m,k)\bigr) &=f(n)f(\alpha_h(m))g(h)g(k)\\ &=f(n)g(h)f(m)g(k)\\ &=F(n,h)F(m,k) \end{aligned}

であるから、 $F$ は準同型である。 $F(n,e_H)=f(n)$ と $F(e_N,h)=g(h)$ から二つの制限条件が成り立つ。任意の $(n,h)$ は $i_N(n)j_H(h)$ に等しいので、制限条件を満たす準同型は $(n,h)$ を $f(n)g(h)$ へ送る。したがって $F$ は一意である。

逆に、二つの制限条件を満たす準同型 $F$ に、命題 2.1の共役式を適用すると、

g(h)f(n)g(h)^{-1} =F\bigl(j_H(h)i_N(n)j_H(h)^{-1}\bigr) =f(\alpha_h(n))

を得る。▨

4 内部半直積

定義 4.1. $N\trianglelefteq G$ とする。部分群 $H\leq G$ が

N\cap H=\{e_G\},\qquad NH=G

を満たすとき、 $H$ を $N$ の補群 (complement) と呼び、 $G$ は $N$ と $H$ の内部半直積 (internal semidirect product) であるという。

標準半直積では、 $j_H(H)$ は $i_N(N)$ の補群である。

定理 4.2. 群 $G$ の部分群 $N,H$ が

N\trianglelefteq G,\qquad N\cap H=\{e_G\},\qquad NH=G

を満たすとする。

\alpha_h(n)=hnh^{-1}

と定めると、

\alpha\colon H\longrightarrow\operatorname{Aut}(N)

は群準同型である。さらに、

\Phi\colon N\rtimes_\alpha H\longrightarrow G,\qquad \Phi(n,h)=nh

は群同型である。

証明. $N\trianglelefteq G$ であるから、各 $h\in H$ による共役は $N$ を保つ。共役写像の逆写像は $h^{-1}$ による共役であるため、 $\alpha_h\in\operatorname{Aut}(N)$ である。 $h,k\in H$ 、 $n\in N$ に対し、

\alpha_{hk}(n) =(hk)n(hk)^{-1} =h(knk^{-1})h^{-1} =(\alpha_h\circ\alpha_k)(n)

であるから、 $\alpha$ は群準同型である。

包含準同型 $f\colon N\to G$ と $g\colon H\to G$ は $g(h)f(n)g(h)^{-1}=f(\alpha_h(n))$ を満たす。命題 3.1により、 $\Phi(n,h)=nh$ は準同型である。 $NH=G$ から $\Phi$ は全射である。 $\Phi(n,h)=\Phi(m,k)$ ならば

nh=mk,\qquad m^{-1}n=kh^{-1}\in N\cap H

である。したがって $m^{-1}n=kh^{-1}=e_G$ となり、 $n=m$ かつ $h=k$ である。よって $\Phi$ は単射である。したがって $\Phi$ は群同型である。▨

内部直積の判定と異なり、 $H\trianglelefteq G$ は仮定しない。 $H$ が正規でない場合には、作用 $\alpha$ が非自明になり得る。

5 分裂拡大と半直積

定理 5.1. 群準同型

\iota\colon N\longrightarrow E,\qquad \pi\colon E\longrightarrow Q

が、 $\iota$ は単射、 $\pi$ は全射、 $\operatorname{im}\iota=\ker\pi$ を満たす短完全列

1\longrightarrow N\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}Q\longrightarrow1

をなすとする。この拡大が分裂することと、ある群準同型

\alpha\colon Q\longrightarrow\operatorname{Aut}(N)

について、この拡大が標準半直積拡大

1\longrightarrow N \xrightarrow{i_N}N\rtimes_\alpha Q \xrightarrow{p_Q}Q \longrightarrow1

と拡大として同型であることとは同値である。ここで、標準写像は

i_N\colon N\longrightarrow N\rtimes_\alpha Q,\qquad i_N(n)=(n,e_Q),

p_Q\colon N\rtimes_\alpha Q\longrightarrow Q,\qquad p_Q(n,q)=q

である。

切断 $s\colon Q\to E$ が与えられたとき、作用と同型は

\alpha_q(n) =\iota^{-1}\bigl(s(q)\iota(n)s(q)^{-1}\bigr),

\Phi\colon N\rtimes_\alpha Q\longrightarrow E,\qquad \Phi(n,q)=\iota(n)s(q)

で与えられる。さらに、

\Phi\circ i_N=\iota,\qquad \pi\circ\Phi=p_Q

が成り立つ。

証明. 切断 $s\colon Q\to E$ が与えられているとする。§E7.16 命題 2.1の準同型 $\theta\colon E\to\operatorname{Aut}(N)$ と $s$ の合成

\alpha=\theta\circ s\colon Q\longrightarrow\operatorname{Aut}(N)

は準同型であり、

\iota(\alpha_q(n))=s(q)\iota(n)s(q)^{-1}

を満たす。命題 3.1を $f=\iota$ 、 $g=s$ に適用すると、

\Phi\colon N\rtimes_\alpha Q\longrightarrow E,\qquad \Phi(n,q)=\iota(n)s(q)

は準同型であり、 $\Phi\circ i_N=\iota$ が成り立つ。

$e\in E$ を取って $q=\pi(e)$ と置く。

\pi\bigl(es(q)^{-1}\bigr)=qq^{-1}=e_Q

であるから、ある $n\in N$ が存在して

es(q)^{-1}=\iota(n)

となる。よって $e=\iota(n)s(q)=\Phi(n,q)$ であり、 $\Phi$ は全射である。

$\Phi(n,q)=\Phi(m,r)$ とする。両辺へ $\pi$ を適用すると

q=\pi(\iota(n)s(q)) =\pi(\iota(m)s(r))=r

である。右から $s(q)^{-1}=s(r)^{-1}$ を掛けると $\iota(n)=\iota(m)$ となり、 $\iota$ の単射性から $n=m$ である。したがって $\Phi$ は単射である。

$n\in N$ 、 $q\in Q$ に対し、

(\pi\circ\Phi)(n,q) =\pi(\iota(n)s(q))=q=p_Q(n,q)

である。よって $\Phi$ は両端の恒等写像と可換する拡大の同型である。

逆に、ある $\alpha$ と拡大の同型

\Phi\colon N\rtimes_\alpha Q\longrightarrow E

が与えられているとする。標準切断 $j_Q(q)=(e_N,q)$ を用いて

s=\Phi\circ j_Q\colon Q\longrightarrow E

と置く。写像 $s$ は準同型である。また、拡大の同型が $\pi\circ\Phi=p_Q$ を満たすため、

\pi\circ s =\pi\circ\Phi\circ j_Q =p_Q\circ j_Q =\operatorname{id}_Q

である。したがって $s$ は切断であり、元の拡大は分裂する。▨

$\rho\colon\operatorname{Aut}(N)\to\operatorname{Out}(N)$ を商準同型とする。§E7.16 定理 2.2の外部作用 $\omega\colon Q\to\operatorname{Out}(N)$ は $\rho\circ\theta=\omega\circ\pi$ を満たすため、切断から得た作用について

\rho\circ\alpha=\rho\circ\theta\circ s =\omega\circ\pi\circ s=\omega

が成り立つ。

6 自明な作用と二面体群

命題 6.1. 群 $N,H$ と群準同型 $\alpha\colon H\to\operatorname{Aut}(N)$ に対して、 $\alpha_h=\operatorname{id}_N$ がすべての $h\in H$ について成り立つならば、

N\rtimes_\alpha H=N\times H

が群の積まで含めて成り立つ。

証明. 自明な作用のもとでは、

(n,h)(m,k) =(n\alpha_h(m),hk) =(nm,hk)

であり、この積は§E7.14 定義 1.1の積そのものである。▨

例 6.2. $n\geq3$ とし、

C_n=\langle a\mid a^n=e\rangle,\qquad C_2=\langle b\mid b^2=e\rangle

とする。 $b$ の $C_n$ への作用を

\alpha_b(a)=a^{-1}

と定める。反転 $a^i\mapsto a^{-i}$ は $C_n$ の自己同型であり、その二乗は恒等写像である。したがって、この式により準同型 $C_2\to\operatorname{Aut}(C_n)$ が定められる。この作用について、

C_n\rtimes_\alpha C_2\cong D_{2n}

が成り立つ。ここで、 $D_{2n}$ は§E7.9 補題 5.2の置換群であり、生成元 $r,s$ に対して§E7.9 定理 5.3より

D_{2n}\cong\langle r,s\mid r^n=s^2=e,\ srs=r^{-1}\rangle

である。

準同型 $f\colon C_n\to D_{2n}$ 、 $g\colon C_2\to D_{2n}$ を $f(a)=r$ 、 $g(b)=s$ で定める。 $s r^i s^{-1}=r^{-i}$ より、任意の $h\in C_2$ と $x\in C_n$ について

g(h)f(x)g(h)^{-1}=f(\alpha_h(x))

が成り立つ。命題 3.1により、準同型

\Phi\colon C_n\rtimes_\alpha C_2\longrightarrow D_{2n},\qquad \Phi(a^i,b^\varepsilon)=r^i s^\varepsilon

が定まる。半直積の積は

(a^i,b^\varepsilon)(a^j,b^\delta) =\bigl(a^{i+(-1)^\varepsilon j},b^{\varepsilon+\delta}\bigr)

であり、対応する置換の積は

r^i s^\varepsilon r^j s^\delta =r^{i+(-1)^\varepsilon j}s^{\varepsilon+\delta}

である。 $\Phi(a,e)=r$ 、 $\Phi(e,b)=s$ であり、 $r,s$ は $D_{2n}$ を生成するため、 $\Phi$ は全射である。さらに、§E7.9 補題 5.2によれば、

r^i s^\varepsilon \qquad(0\leq i<n,\ \varepsilon\in\{0,1\})

は $D_{2n}$ の互いに異なる $2n$ 個の元である。したがって $\Phi(a^i,b^\varepsilon)=\Phi(a^j,b^\delta)$ ならば $i=j$ かつ $\varepsilon=\delta$ であり、 $\Phi$ は単射である。よって

C_n\rtimes_\alpha C_2\cong D_{2n}

である。

標準短完全列を $\Phi$ によって移すと、

1\longrightarrow C_n\xrightarrow{f}D_{2n} \xrightarrow{p_{C_2}\circ\Phi^{-1}}C_2\longrightarrow1

を得る。その切断は $g\colon C_2\to D_{2n}$ であるから、この列は分裂する。

とくに $n=3$ では $D_6$ の位数は $6$ であり、

D_6\cong S_3

である。実際、 $r\mapsto(123)$ 、 $s\mapsto(12)$ とすると、

(123)^3=(12)^2=e,\qquad (12)(123)(12)=(123)^{-1}

であるから、二面体群の表示により準同型 $D_6\to S_3$ が定まる。 $(123)$ と $(12)$ は $S_3$ を生成するため、この準同型は全射である。両群の位数はともに $6$ であるから、この準同型は同型である。

7 無限群の幾何学的な例

例 7.1. $n\geq1$ とする。 $\GL_n(\R)$ は加法群 $\R^n$ に $A\cdot v=Av$ によって作用する。この作用による半直積の積は

(v,A)(w,B)=(v+Aw,AB)

\text{(7.1.1)}

である。 $(v,A)$ をアフィン変換

x\longmapsto Ax+v

に対応させると、二つのアフィン変換の合成は式 (7.1.1)と一致する。したがって

\operatorname{Aff}_n(\R) =\R^n\rtimes\GL_n(\R)

と同一視することができる。

同次座標を用いると、この半直積は

(v,A)\longmapsto \begin{pmatrix} A&v\\ 0&1 \end{pmatrix}

によって $\GL_{n+1}(\R)$ に埋め込まれる。実際、右辺の行列式は $\det A\neq0$ であり、

\begin{pmatrix}A&v\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}B&w\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}AB&v+Aw\\0&1\end{pmatrix}

なので積が保たれる。また、右辺の行列から $A$ と $v$ を読み取ることができるため、この準同型は単射である。

直交群 $\Orth(n)$ と特殊直交群 $\SO(n)$ に作用を制限すると、

\operatorname E(n)=\R^n\rtimes\Orth(n), \qquad \operatorname{SE}(n)=\R^n\rtimes\SO(n)

を得る。 $\operatorname E(n)$ は $\R^n$ のユークリッド等長変換全体の群であり、 $\operatorname{SE}(n)$ は向きを保つユークリッド等長変換全体の群である。

全射等長写像 $f\colon\R^n\to\R^n$ に対し、 $v=f(0)$ 、 $g(x)=f(x)-v$ と置く。 $g(0)=0$ であり、分極公式から

\langle g(x),g(y)\rangle =\frac{\lVert g(x)\rVert^2+\lVert g(y)\rVert^2-\lVert g(x)-g(y)\rVert^2}{2} =\langle x,y\rangle

を得る。任意の $x,y,z\in\R^n$ に対して

\langle g(x+y)-g(x)-g(y),g(z)\rangle=0

であり、 $g$ は全射なので $g(x+y)=g(x)+g(y)$ となる。また、任意の $t\in\R$ と $x,z\in\R^n$ に対して

\langle g(tx)-tg(x),g(z)\rangle =\langle tx,z\rangle-t\langle x,z\rangle=0

である。再び $g$ の全射性を用いると $g(tx)=tg(x)$ となる。したがって $g$ は直交線形写像であり、 $f(x)=g(x)+v$ は上の形である。

例 7.2. $C_2=\langle s\mid s^2=e\rangle$ を $\Z$ に

s\cdot m=-m

によって作用させる。この半直積を

D_\infty=\Z\rtimes C_2

と書く。 $\varepsilon,\delta\in\{0,1\}$ に対し、積は

(m,s^\varepsilon)(k,s^\delta) =\bigl(m+(-1)^\varepsilon k,s^{\varepsilon+\delta}\bigr)

である。

各元を実直線の等長変換

\Phi(m,s^\varepsilon)(x)=m+(-1)^\varepsilon x

に対応させる。合成を計算すると

\Phi(m,s^\varepsilon)\bigl(\Phi(k,s^\delta)(x)\bigr) =m+(-1)^\varepsilon k+(-1)^{\varepsilon+\delta}x

となるため、 $\Phi$ は準同型である。 $\Phi(m,e)(0)=m$ であり、 $\Phi(m,s)(0)=m$ かつ $\Phi(m,s)(1)=m-1$ であるから、異なる対は異なる等長変換を与える。したがって $\Phi$ は単射であり、 $D_\infty$ は整数平行移動 $x\mapsto x+1$ と鏡映 $x\mapsto-x$ が生成する実直線の等長変換群と同型である。

注意 7.3 (球面回転と Möbius 変換). 単位球面 $S^2\subset\R^3$ の北極を $N=(0,0,1)$ とする。立体射影

\sigma(N)=[1:0],\qquad \sigma(x,y,z)=[x+iy:1-z]\quad ((x,y,z)\neq N)

は $S^2$ と $\mathbb{CP}^1$ の全単射を与える。標準的な同一視

\SO(3)\cong \SU(2)/\{\pm I\} =\PSU(2) \hookrightarrow\PGL_2(\C)

のもとで、 $\SO(3)$ の $S^2$ への回転作用は $\PSU(2)$ の $\mathbb{CP}^1$ への Möbius 作用に対応する。 $\SU(2)$ の行列は

\begin{pmatrix} \alpha&\beta\\ -\overline{\beta}&\overline{\alpha} \end{pmatrix}, \qquad |\alpha|^2+|\beta|^2=1

と書くことができ、 $\SU(2)$ から $\PGL_2(\C)$ への射影準同型の核は $\{\pm I\}$ である。

正二十面体を一つ固定し、その向きを保つ回転全体を $I^+$ と書く。この定義から $I^+\hookrightarrow\SO(3)$ は忠実であり、

I^+\hookrightarrow\SO(3) \cong\PSU(2) \hookrightarrow\PGL_2(\C)

を得る。ここで用いた $\SO(3)\cong\PSU(2)$ と、立体射影が二つの作用を共役することは本記事では完全証明せず、参考文献欄の Hall と Beardon の文献へ委ねる。この同一視は、群作用および半直積に関する本論の証明には用いない。

向きを反転する等長変換も含む正二十面体の全対称群を $I^\pm\leq\Orth(3)$ と書く。 $I^\pm\setminus I^+$ の元は、立体射影のもとで

z\longmapsto\frac{a\overline z+b}{c\overline z+d}

という反正則変換になる。ただし $ad-bc\neq0$ である。複素共役変換を $\kappa$ と書くと、 $\kappa$ は $\PGL_2(\C)$ に

[A]\longmapsto[\overline{A}]

によって作用する。したがって $I^\pm$ は $\PGL_2(\C)$ の部分群ではなく、この作用が定める拡張 Möbius 群

\PGL_2(\C)\rtimes C_2

の部分群として実現される。「正二十面体群」という語だけでは $I^+$ と $I^\pm$ を区別することができない。向きを反転する球面等長変換と反正則 Möbius 変換の対応、および拡張 Möbius 群への実現も本記事では完全証明せず、Beardon の文献へ委ねる。これらの結果は後続の証明には用いない。

例 7.4.§E7.16 例 4.1の外部作用は $\operatorname{Aut}(C_2)$ へ持ち上がるが、この拡大は分裂しない。したがって、定理 5.1により、この短完全列は両端を保つ半直積の標準短完全列と同型ではない。外部作用が持ち上がるという条件だけでは、半直積分解を結論することができない。

8 演習

問題 8.1.

半直積の逆元 $(n,h)^{-1}=(\alpha_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1})$ を左右から掛けて確認せよ。
標準半直積で $i_N(N)\trianglelefteq N\rtimes_\alpha H$ となることを、共役を直接計算して示せ。
分裂拡大の証明で、各 $e\in E$ の表示 $e=\iota(n)s(q)$ が一意であることを示せ。
$C_3\rtimes C_2$ で反転作用を用いた場合と自明な作用を用いた場合について、得られる二群がそれぞれ非可換群とアーベル群になることを確かめよ。

解答 (演習の要点).

$u=\alpha_{h^{-1}}(n^{-1})$ と置くと、 $(n,h)(u,h^{-1}) =\bigl(n\alpha_h(\alpha_{h^{-1}}(n^{-1})),e_H\bigr) =(e_N,e_H)$ である。また、 $(u,h^{-1})(n,h) =\bigl(\alpha_{h^{-1}}(n^{-1})\alpha_{h^{-1}}(n),e_H\bigr) =(e_N,e_H)$ であるから、表示された元は両側逆元である。
$(n,h)\in N\rtimes_\alpha H$ 、 $m\in N$ とする。逆元の公式を用いると、 $\begin{aligned} (n,h)(m,e_H)(n,h)^{-1} &=(n\alpha_h(m),h) (\alpha_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1})\\ &=(n\alpha_h(m)n^{-1},e_H)\in i_N(N). \end{aligned}$ したがって $i_N(N)\trianglelefteq N\rtimes_\alpha H$ である。
$\iota(n)s(q)=\iota(m)s(r)$ とする。両辺へ $\pi$ を適用すると $q=r$ である。右から $s(q)^{-1}=s(r)^{-1}$ を掛けると $\iota(n)=\iota(m)$ となり、 $\iota$ の単射性から $n=m$ を得る。したがって表示 $e=\iota(n)s(q)$ は一意である。
$C_3=\langle a\rangle$ 、 $C_2=\langle b\rangle$ とする。反転作用では $(e,b)(a,e)=(a^{-1},b),\qquad (a,e)(e,b)=(a,b)$ であり、 $a^{-1}\neq a$ なので群は非可換である。自明な作用では積が成分ごとの積となり、 $C_3\rtimes C_2=C_3\times C_2$ はアーベル群である。

▨

§E7.17半直積と分裂拡大

1 外部半直積の構成

2 標準部分群と短完全列

3 半直積の普遍的性質

4 内部半直積

5 分裂拡大と半直積

6 自明な作用と二面体群

7 無限群の幾何学的な例

8 演習

参考文献

前提記事