群作用と軌道 | 群論入門

1 集合の対称群

定義 1.1. 任意の集合 $X$ の対称群 (symmetric group of a set) $S_X$ （§E7.4 定義 1.1）を $\operatorname{Sym}(X)$ とも書く。その元は $X$ から $X$ への全単射であり、積は写像の合成である。

命題 1.2. 写像の合成を積とすると、 $\operatorname{Sym}(X)$ は群をなす。

証明.§E7.4 命題 1.2を $\operatorname{Sym}(X)=S_X$ に適用する。▨

特に $X=\{1,\ldots,n\}$ のとき、 $\operatorname{Sym}(X)$ は対称群 $S_n$ である。

2 左作用と右作用

定義 2.1. 群 $G$ と集合 $X$ に対し、写像

G\times X\longrightarrow X,\qquad (g,x)\longmapsto g\cdot x

が次の二条件を満たすとき、この写像を $G$ の $X$ への左作用 (left group action) と呼ぶ。

e\cdot x=x,\qquad (gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x) \quad(g,h\in G,\ x\in X).

このとき、 $X$ を $G$ -集合 (G-set) と呼ぶ。

各 $g\in G$ に対し、 $\rho(g)\colon X\to X$ を $\rho(g)(x)=g\cdot x$ と定める。作用の第二公理から

\rho(gh)=\rho(g)\circ\rho(h)

が成り立つ。

定理 2.2. 群 $G$ の集合 $X$ への左作用と、群準同型

\rho\colon G\longrightarrow \operatorname{Sym}(X)

とは一対一に対応する。対応は $\rho(g)(x)=g\cdot x$ で与えられる。

証明. 左作用が与えられているとする。任意の $g\in G$ に対し、

\rho(g)\circ\rho(g^{-1})=\rho(gg^{-1})=\operatorname{id}_X, \qquad \rho(g^{-1})\circ\rho(g)=\rho(g^{-1}g)=\operatorname{id}_X

であるから、 $\rho(g)$ は全単射である。また、 $\rho(gh)=\rho(g)\circ\rho(h)$ であるから、 $\rho$ は群準同型である。

逆に、群準同型 $\rho\colon G\to\operatorname{Sym}(X)$ が与えられたとする。 $g\cdot x=\rho(g)(x)$ と定める。群準同型は単位元を単位元へ写すから、

e\cdot x=\rho(e)(x)=\operatorname{id}_X(x)=x

である。また、

(gh)\cdot x=\rho(gh)(x) =(\rho(g)\circ\rho(h))(x) =g\cdot(h\cdot x)

である。したがって左作用が得られる。二つの構成は互いに逆である。▨

定義 2.3. $G$ を群とし、その単位元を $1$ と書く。

集合 $S$ に対し、写像 $S\times G\to S$ , $(s,g)\mapsto s\cdot g$ が、任意の $s\in S$ と $g,h\in G$ について $s\cdot1=s,\qquad (s\cdot g)\cdot h=s\cdot(gh)$ を満たすとき、この写像を $S$ 上の $G$ の右作用 (right action) という。右作用を備えた集合 $S$ を右 $G$ 集合 (right G-set) という。集合 $S$ は空集合でもよい。
右 $G$ 集合 $S,S'$ の間の写像 $u\colon S\to S'$ が、任意の $s\in S$ と $g\in G$ について $u(s\cdot g)=u(s)\cdot g$ を満たすとき、 $u$ を同変写像 (equivariant map) という。同変写像 $S\to S'$ 全体の集合を $\operatorname{Map}_G(S,S')$ と書く。全単射である同変写像を同変同型 (equivariant isomorphism) という。 $S$ から自身への同変同型を同変自己同型という。同変自己同型全体が写像の合成に関してなす群を $\operatorname{Aut}_G(S)$ と書く。

3 作用の性質

定義 3.1. 作用に対応する準同型を $\rho\colon G\to\operatorname{Sym}(X)$ とする。

作用の核 (kernel of an action) を $\ker\rho=\{g\in G\mid g\cdot x=x\text{ がすべての }x\in X\text{ について成り立つ}\}$ と定める。
$\ker\rho=\{e\}$ である作用を忠実な作用 (faithful action) と呼ぶ。
任意の $g\in G$ と $x\in X$ について、 $g\cdot x=x$ ならば $g=e$ が成り立つとき、 $G$ の $X$ への左作用は自由 (free action) であるという。
任意の $x,y\in X$ に対して $g\cdot x=y$ を満たす $g\in G$ が存在する作用を可移な作用 (transitive action)、または推移的な作用と呼ぶ。

命題 3.2. 作用の核 $\ker\rho$ は $G$ の正規部分群である。

証明.定理 2.2により $\rho\colon G\to\operatorname{Sym}(X)$ は群準同型である。したがって§E7.7 定理 1.3により $\ker\rho\trianglelefteq G$ である。▨

例 3.3. 任意の群 $G$ と空でない集合 $X$ に対し、 $g\cdot x=x$ と定めると群作用になる。この自明な作用の核は $G$ 全体である。したがって、 $G$ が自明群でない限り、この作用は忠実でない。一方、 $X$ が一点集合ならば、この作用は可移である。したがって、可移性は忠実性を含意しない。

例 3.4. $C_2=\{e,\tau\}$ と $X=\{0,1,2\}$ に対し、

e\cdot x=x,\qquad \tau\cdot0=1,\quad \tau\cdot1=0,\quad \tau\cdot2=2

と定める。単位元の作用則は定義から成り立つ。 $C_2$ で積に関する非自明な場合は $\tau^2=e$ だけであり、 $\tau$ を二回作用させると各点が元に戻るため、

\tau\cdot(\tau\cdot x)=e\cdot x=x

がすべての $x\in X$ について成り立つ。したがって、この式により左作用が定められる。 $\tau$ は $0$ を動かすため作用の核は $\{e\}$ であり、この作用は忠実である。一方、軌道は

C_2\cdot0=\{0,1\},\qquad C_2\cdot2=\{2\}

の二つであるから可移ではない。よって、忠実性と可移性は互いに独立した性質である。

4 軌道と安定化群

定義 4.1. $G$ が $X$ に作用し、 $x\in X$ であるとする。

G\cdot x=\{g\cdot x\mid g\in G\}

を $x$ の軌道 (orbit) と呼び、

\Stab{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}

を $x$ の安定化群 (stabilizer) と呼ぶ。作用する群を明示するときは $\Stab[G]{x}$ と書く。

注意 4.2. 安定化群は $G_x$ とも書かれる。軌道 $G\cdot x$ と字面が近いので、ここでは $\Stab{x}$ を用いる。

命題 4.3. $X$ 上の関係を

x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad y=g\cdot x\text{ を満たす }g\in G\text{ が存在する}

と定める。この関係は同値関係であり、同値類は軌道である。したがって、軌道全体は $X$ を分割する。

証明. $x=e\cdot x$ であるから反射律が成り立つ。 $y=g\cdot x$ ならば $x=g^{-1}\cdot y$ であるから対称律が成り立つ。 $y=g\cdot x$ かつ $z=h\cdot y$ ならば $z=(hg)\cdot x$ であるから推移律が成り立つ。 $x$ の同値類は定義から $G\cdot x$ に等しい。▨

命題 4.4. 各 $x\in X$ に対して $\Stab{x}\leq G$ が成り立つ。

証明. $e\cdot x=x$ であるから $e\in \Stab{x}$ である。 $a,b\in \Stab{x}$ ならば、

(ab^{-1})\cdot x=a\cdot(b^{-1}\cdot x)=a\cdot x=x

である。したがって、一段階部分群判定法により $\Stab{x}\leq G$ である。▨

安定化群の左剰余類全体を $G/\Stab{x}$ と書く。次の定理により、軌道の点と剰余類は一対一に対応する。

定理 4.5 (軌道安定化群定理). $G$ が $X$ に作用し、 $x\in X$ であるとする。写像

\Phi\colon G/\Stab{x}\longrightarrow G\cdot x,\qquad \Phi(g\Stab{x})=g\cdot x

は全単射である。したがって

|G\cdot x|=[G:\Stab{x}]

が成り立つ。特に $G$ が有限群ならば、

|G\cdot x|=\frac{|G|}{|\Stab{x}|}

である。

証明. $g\Stab{x}=h\Stab{x}$ ならば $h^{-1}g\in \Stab{x}$ であるから、

g\cdot x=h\cdot\bigl((h^{-1}g)\cdot x\bigr)=h\cdot x

である。よって $\Phi$ は矛盾なく定まる。

$\Phi(g\Stab{x})=\Phi(h\Stab{x})$ ならば $g\cdot x=h\cdot x$ である。両辺に $h^{-1}$ を作用させると $(h^{-1}g)\cdot x=x$ となるから、 $h^{-1}g\in \Stab{x}$ である。したがって $g\Stab{x}=h\Stab{x}$ であり、 $\Phi$ は単射である。

任意の $y\in G\cdot x$ は、ある $g\in G$ を用いて $y=g\cdot x$ と表される。このとき $y=\Phi(g\Stab{x})$ であるから、 $\Phi$ は全射である。以上により $\Phi$ は全単射であり、最初の等式が従う。有限群の場合には Lagrange の定理から $[G:\Stab{x}]=|G|/|\Stab{x}|$ である。▨

例 4.6. 正三角形の回転と鏡映からなる群を $G$ とし、頂点集合を $X$ とする。この作用は可移である。頂点 $v$ を固定する元は恒等変換と $v$ を通る軸に関する鏡映の二つであるから、 $|\Stab{v}|=2$ である。群の位数は $6$ であるため、軌道安定化群定理から

|G\cdot v|=\frac{6}{2}=3

を得る。得られた軌道の要素数 $3$ は、頂点の個数と一致する。

5 剰余類への作用

部分群 $H\leq G$ を固定する。左剰余類全体 $G/H$ に対して

g\cdot(aH)=(ga)H

と定める。

命題 5.1. 上の式により $G$ の $G/H$ への可移な左作用が定められる。剰余類 $H=eH$ の安定化群は $H$ である。

証明. $aH=bH$ ならば $a^{-1}b\in H$ であり、 $(ga)^{-1}(gb)=a^{-1}b\in H$ である。したがって $(ga)H=(gb)H$ であり、作用は代表元によらず定まる。また、

e\cdot(aH)=aH,\qquad (gh)\cdot(aH)=(gha)H=g\cdot\bigl(h\cdot(aH)\bigr)

であるから、作用の公理が成り立つ。任意の $aH,bH\in G/H$ に対し、 $(ba^{-1})\cdot(aH)=bH$ であるから、この作用は可移である。また、

\Stab{H}=\{g\in G\mid gH=H\}=H

である。▨

命題 5.2. 部分群 $H\leq G$ に対する左剰余類への作用

G\curvearrowright G/H,\qquad g\cdot(aH)=(ga)H

に対応する準同型を

\rho_H\colon G\longrightarrow\operatorname{Sym}(G/H)

とする。このとき

\ker\rho_H =\bigcap_{a\in G}aHa^{-1}

である。

証明. $g\in G$ が $\ker\rho_H$ に属することは、すべての $a\in G$ に対して $gaH=aH$ が成り立つことと同値である。剰余類の一致条件により、

\begin{aligned} g\in\ker\rho_H &\quad\Longleftrightarrow\quad gaH=aH\quad(\forall a\in G)\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad a^{-1}ga\in H\quad(\forall a\in G)\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad g\in aHa^{-1}\quad(\forall a\in G). \end{aligned}

最後の全称条件は $g\in\bigcap_{a\in G}aHa^{-1}$ と同値であるため、主張の等式を得る。▨

6 Cayley の定理

群は抽象的に定義されるが、各群は適切な集合上の置換群として実現される。

定理 6.1 (Cayley の定理). 任意の群 $G$ は $\operatorname{Sym}(G)$ の部分群と同型である。

証明. $G$ 自身への左乗法作用

g\cdot x=gx\qquad(g,x\in G)

を考える。単位元と結合律により、この左乗法の式により左作用が定められる。対応する準同型

\lambda\colon G\longrightarrow\operatorname{Sym}(G),\qquad \lambda_g(x)=gx

を取る。 $\lambda_g=\operatorname{id}_G$ ならば、特に $\lambda_g(e)=e$ である。ところが $\lambda_g(e)=g$ であるから $g=e$ である。したがって $\ker\lambda=\{e\}$ であり、§E7.3 命題 2.2により $\lambda$ は単射である。ゆえに $G\cong\lambda(G)\leq\operatorname{Sym}(G)$ が成り立つ。▨

有限群 $G$ の位数が $n$ ならば、集合 $G$ に番号を付けることにより $\operatorname{Sym}(G)\cong S_n$ となる。したがって、有限群は有限対称群の部分群として実現される。

7 球面と射影直線への作用

複素二次元ベクトル空間の一次元部分空間全体を $\mathbb{CP}^1$ と書く。非零ベクトル $(z_0,z_1)$ が張る一次元部分空間を $[z_0:z_1]$ と表す。

命題 7.1. 商群

\PGL_2(\C) =\GL_2(\C)/\{\lambda I\mid \lambda\in\C^\times\}

は、

[A]\cdot[z_0:z_1]=[A(z_0,z_1)^{\mathsf T}]

によって $\mathbb{CP}^1$ に忠実に作用する。アフィン座標 $z=[z:1]$ では、

[A]= \left[ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \right] \quad\Longrightarrow\quad z\longmapsto\frac{az+b}{cz+d}

となる。右辺は分母が零になる点を $\infty=[1:0]$ へ送り、 $\infty$ の像も同次座標によって定める。この変換を Möbius 変換 (Möbius transformation) と呼ぶ。

証明.§E7.8 命題 1.4に $K=\C$ 、 $n=2$ を代入すると、 $\mathbb P^1(\C)=\mathbb{CP}^1$ への表示された作用が得られ、作用は忠実である。行列代表 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ に対して

[A]\cdot[z:1]=[az+b:cz+d],\qquad [A]\cdot[1:0]=[a:c]

である。 $cz+d\neq0$ ならば第一の像のアフィン座標は $(az+b)/(cz+d)$ である。 $cz+d=0$ ならば $A$ の可逆性から $az+b\neq0$ であるため、像は $[1:0]=\infty$ である。▨

命題 7.2. 単位球面

S^2=\{x\in\R^3\mid \|x\|=1\}

に対して

R\cdot x=Rx \qquad (R\in\SO(3),\ x\in S^2)

と定めると、 $\SO(3)$ の $S^2$ への忠実な作用を得る。

証明. $R$ は内積を保つので $\|Rx\|=\|x\|=1$ であり、 $Rx\in S^2$ である。単位行列と行列積は作用の二公理を満たす。 $R$ が $S^2$ のすべての点を固定するならば、特に $\R^3$ の標準基底を固定するので $R=I$ である。したがって作用は忠実である。▨

8 演習

問題 8.1.

群作用に対応する準同型 $\rho\colon G\to\operatorname{Sym}(X)$ について、 $\rho(g^{-1})=\rho(g)^{-1}$ を作用の公理から示せ。
$S_3$ の $\{1,2,3\}$ への自然な作用について、各点の安定化群と作用の核を求めよ。
剰余類への作用 $G\curvearrowright G/H$ が忠実であるための必要十分条件を、 $\bigcap_{a\in G}aHa^{-1}$ を用いて述べよ。
左乗法作用 $G\curvearrowright G$ の各軌道と各安定化群を求め、この作用が忠実かつ可移であることを確かめよ。

解答 (演習の要点).

作用の公理から $\rho(g)\circ\rho(g^{-1})=\rho(e_G)=\operatorname{id}_X,\qquad \rho(g^{-1})\circ\rho(g)=\operatorname{id}_X$ である。したがって $\rho(g^{-1})=\rho(g)^{-1}$ となる。
点 $1,2,3$ の安定化群は、それぞれ $(S_3)_1=\{e,(23)\},\quad (S_3)_2=\{e,(13)\},\quad (S_3)_3=\{e,(12)\}$ である。作用の核は三つの安定化群の共通部分であり、全点を固定する置換は恒等置換だけなので $\ker\rho=\{e\}$ となる。
命題 5.2により、作用が忠実であることは $\bigcap_{a\in G}aHa^{-1}=\{e_G\}$ と同値である。
$x,y\in G$ に対して $y=(yx^{-1})\cdot x$ であるから、各軌道は $G$ 全体であり、作用は可移である。また $g\cdot x=x$ ならば $gx=x$ から $g=e_G$ であるため、各安定化群は $\{e_G\}$ である。作用の核も自明であり、作用は忠実である。

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§E7.10群作用と軌道