§E7.35Schur 函手

証明.§E6.13 命題 3.3により、各$f^{\otimes n}$は置換作用と可換する。また、対応$f\mapsto f^{\otimes n}$は恒等写像と合成を保つ。したがって$f^{\otimes n}\circ F$は加群射であり、合成による$\mathbf S_\lambda(f)$は線形写像である。同じ恒等式を$F$に合成すると、函手の二つの等式を得る。$n\geq1$では、多重線形性によって$(cf)^{\otimes n}=c^nf^{\otimes n}$である。零次のテンソル冪の写像は$I_\C$なので、重複度空間上の写像も$I_\C$である。▨

証明. 単純加群$L_i$の非零元$v$を取ると、$a\mapsto av$は$A$から$L_i$への全射である。したがって$L_i$は非零有限次元である。$T\in\End_A(L_i)$に対し、§E3.25 系 1.4によって固有値$c\in\C$が存在する。$T-cI_{L_i}$は非零の核をもつので、§E6.22 定理 1.1によって零である。同じ Schur の補題から、$i\ne j$ならば$\Hom_A(L_i,L_j)=0$である。

§E6.19 定理 6.2により、$E$は単純部分加群の直和$\bigoplus_{\alpha\in J}E_\alpha$である。$L_i$からこの直和への線形写像を一つ取る。$L_i$の有限基底の各元の像は、有限個の直和因子にだけ非零成分をもつ。それらの添字全体の集合を$J_0$とすると、$J_0$は有限であり、この線形写像の像は$\bigoplus_{\alpha\in J_0}E_\alpha$に含まれる。成分射を取る対応は、したがって

を与える。テンソル積と直和の交換§E6.12 命題 18.1を用いると、$\Phi_E$は各$E_\alpha$に対する評価写像の直和になる。$E_\alpha\cong L_j$と同定すれば、$i\ne j$の項は零であり、残る項の評価は$L_j\otimes_\C\C\to L_j$、$s\otimes c\mapsto cs$である。各評価が同型なので$\Phi_E$も同型である。

評価の式は$s,F$について双線形であり、$F(as)=aF(s)$によって$A$-線形である。加群射$h\colon E\to E'$に対して

となるので自然性が成り立つ。写像$\Phi_E$自体は単純直和分解の選択を含まない。▨

証明. 有限次元の正則加群$\C[S_n]$は§E7.33 系 3.2によって半単純である。したがって$\C[S_n]$は半単純代数であり、§E7.34 定理 2.5によって$S^\lambda$はその単純加群の完全代表系をなす。補題 1.3を$E=V^{\otimes n}$に適用すると同型を得る。線形写像$f\colon V\to W$に対する自然性は、同補題の自然性を加群射$f^{\otimes n}$に適用したものである。零次と零空間の場合の式はテンソル冪と Hom の定義から従う。▨

証明.§E7.34 例 1.5により、一行型の Specht 加群は自明表現、一列型の Specht 加群は符号表現である。一行型の Young 盤の唯一の同値類を$p$とし、一列型では数$1,\ldots,n$を上から並べた Young 盤の polytabloid を$p$とする。いずれの場合も$p$は一次元の Specht 加群の基底である。$F\mapsto F(p)$は、重複度空間をそれぞれ$(V^{\otimes n})^{S_n}$と$(V^{\otimes n})^{\mathrm{sgn}}$に同定する。逆写像は$z\mapsto(cp\mapsto cz)$である。

評価$F\mapsto F(p)$と、§E6.13 命題 9.1および§E6.13 命題 9.2の商写像の制限をそれぞれ合成すると、求める同型を得る。評価も商写像も$f^{\otimes n}$と可換するので、同型は$V$に自然である。零次はすべて係数体である。▨

証明.$R=\C[S_n]$と置く。左剰余類$gR_t$ごとに一つの$g$を取ると、$ga_t$は互いに素な台をもつ群元の和であり、$Ra_t$の基底をなす。$R_t$は$\{t\}$の安定化群なので、$ga_t\mapsto\{gt\}$は$Ra_t\to M^\lambda$の加群同型を定める。この同型は$y_t=b_ta_t$を$p_t$へ送り、$Ry_t$を$Rp_t=S^\lambda$へ送る。したがって§E7.34 系 1.8によって$Ry_t$は単純である。

右乗法$R_{y_t}\colon R\to R$、$x\mapsto xy_t$の像は$Ry_t$であり、その制限は単純加群$Ry_t$の自己準同型である。§E7.32 系 3.2によって、$c\in\C$が存在して、この制限は$cI_{Ry_t}$に等しい。特に$y_t^2=cy_t$である。

$C_t\cap R_t=\{1\}$なので、$y_t=\sum_{c'\in C_t,r\in R_t}\operatorname{sgn}(c')c'r$における恒等置換の係数は$1$である。群元の基底で$R_{y_t}$の各対角成分はこの係数に等しいから、$\operatorname{tr}(R_{y_t})=n!$である。一方、$Ry_t$の基底を$R$の基底へ延長すると、$R_{y_t}$は像が$Ry_t$に含まれ、その部分空間上では$cI$である。よって

したがって$c=c_\lambda>0$であり、$\varepsilon_t^2=\varepsilon_t$である。最初の同型$Ry_t\to S^\lambda$を$c_\lambda$倍すれば、同じ左イデアル$R\varepsilon_t=Ry_t$から$S^\lambda$への同型で、$\varepsilon_t$を$p_t$へ送るものを得る。▨

証明. 単位的代数$A$の冪等元$e$と単位的左$A$-加群$E$に対して、任意の$A$-加群射$f\colon Ae\to E$は$f(e)=ef(e)\in eE$を満たす。逆に$v\in eE$に対し、写像$f_v\colon Ae\to E$を$f_v(ae)=av$で定める。$ae=a'e$ならば$(a-a')v=(a-a')ev=0$なので定義は代表元によらず、$f_v$は$A$-線形である。$f_v(e)=v$、$f_{f(e)}(ae)=af(e)=f(ae)$なので、$f\mapsto f(e)$と$v\mapsto f_v$は相互に逆である。

命題 2.2の同型$\C[S_n]\varepsilon_t\to S^\lambda$を前合成し、$e=\varepsilon_t$の評価を施すと、合成は$F\mapsto F(p_t)$である。加群射$h\colon E\to E'$は$h(\varepsilon_tv)=\varepsilon_th(v)$を満たし、評価と可換するので自然性が成り立つ。テンソル冪では$f^{\otimes n}$が加群射であり、$y_t=c_\lambda\varepsilon_t$かつ$c_\lambda\ne0$であるから最後の記述を得る。▨

証明.$n=0$では$\mathbf S_\varnothing(V)=\C$であり、$\ell(\varnothing)=0\leq d$である。$n\geq1$とし、$t$を分割$\lambda$に対応する Young 盤とする。$d=0$ならばテンソル冪は零で、$\ell(\lambda)\geq1>d$である。

$d>0$のとき、$V$の基底を$v_1,\ldots,v_d$とする。$\ell(\lambda)>d$ならば、第一列の位置に入る基底ベクトルには反復がある。その二位置を交換する互換を用いて列の符号和を二項ずつ組にすると、対応する純テンソルは等しく符号は逆なので和は零になる。列群は各列の置換群の直積であるから、第一列の交代化が零ならば$b_t$も零に作用する。テンソル基底§E3.11 定理 2.1によって、$b_t$は$V^{\otimes n}$全体で零である。したがって$y_t=b_ta_t$の像は零であり、命題 2.3によって$\mathbf S_\lambda(V)=0$である。

$\ell(\lambda)\leq d$とする。第$i$行のすべての位置に$v_i$を入れた純テンソルを$w_t$と置く。行内の置換は$w_t$を固定するので$a_tw_t=|R_t|w_t$である。一つの列には相異なる基底ベクトルが入っているため、$c\in C_t$に対する$cw_t$は互いに異なるテンソル基底の元である。よって$b_tw_t$は係数$\pm1$をもつ非零の和であり、$y_tw_t=|R_t|b_tw_t\ne0$である。再び命題 2.3により$\mathbf S_\lambda(V)\ne0$を得る。▨

証明.$A$は$\End_\C(E)$の部分空間なので有限次元である。補題 1.3によって、表示の評価同型と$\End_A(L_i)=\C I_{L_i}$を得る。§E6.22 定理 5.1の行列環表示は、したがって複素全行列環の直積である。この同型は正則加群の右乗法と複素線形な直和分解から得られるので、複素スカラーを保つ。各行列因子の列加群は§E6.22 命題 4.1によって単純であり、それらが全単純型を尽くす。対応する$L_i$を列加群に同定すると、第$i$因子の作用は$\End_\C(L_i)$全体になる。

各因子の単位元に対応する中心冪等元を$z_i\in A$とする。$z_i$は$L_i$上で恒等写像、他の$L_j$上で零として作用する。もし$M_i=0$ならば、評価分解によって$z_i$は$E$全体で零に作用する。しかし$A\subseteq\End_\C(E)$なのでこの作用は忠実であり、非零の$z_i$が零に作用することはない。よってすべての$M_i$は非零である。評価は$A$-線形なので、$A$の作用は主張の第一の直和表示になる。

$A'=\End_A(E)$である。各$M_i$の基底を選ぶと、$L_i\otimes M_i$は$\dim M_i$個の$L_i$の直和である。§E6.22 定理 3.3によって、異なる$i$の間の成分は零であり、同じ$i$の間の成分は$L_i$上のスカラー写像である。したがって$A'$の第$i$成分はちょうど$I_{L_i}\otimes\End_\C(M_i)$である。$T\in A'$に対して$T\Phi_E(s\otimes F)=T(F(s))=\Phi_E(s\otimes(T\circ F))$であるから、第二因子の作用は$F\mapsto T\circ F$に一致する。よって基底の選択によらず主張の第二の表示を得る。

$T\in A''$は、各直和因子への射影$z_i\in A'$と可換するため、各$L_i\otimes M_i$を保つ。一つの因子で$M_i$の基底を$m_1,\ldots,m_q$とし、行列単位を$E_{ab}$と書く。$T$が$I_{L_i}\otimes E_{aa}$と可換することから、$T(s\otimes m_a)=T_a(s)\otimes m_a$となる。さらに$I_{L_i}\otimes E_{ab}$との可換性から$T_a=T_b$である。よってこの因子では$T=T_i\otimes I_{M_i}$であり、$A''\subseteq A$を得る。定義から$A\subseteq A''$なので$A''=A$である。

$A'$は複素全行列環の有限直積なので、§E6.22 命題 4.1により半単純である。各$M_i$では対応する全自己準同型環が作用する。非零ベクトルを任意のベクトルへ送る線形写像が存在するので、非零の$A'$-部分加群は$M_i$全体である。異なる$i,j$に対し、第$i$因子への射影は$M_i$上で恒等写像、$M_j$上で零であるため、両者の間の加群射は零である。よって各$M_i$は相互非同型な単純加群である。$E=0$では$A=0$であり、すべての表示は空直和である。▨

証明.§E6.13 命題 9.1により、不変部分は平均化作用素の像である。純テンソルはテンソル積を張るので、不変部分は$u_1\otimes\cdots\otimes u_n$の置換平均で張られる。多重線形性と包除によって

が成り立つ。実際、左辺を展開した一つの語に現れる添字集合を$K$とすると、その係数は

である。$K$が全体のときだけ係数は$1$であり、長さ$n$の語に$n$個の添字がすべて現れるための条件は各添字が一度ずつ現れることである。純冪の和と置換和を結ぶ等式を$n!$で割ると、置換平均は純冪の線形結合になる。逆に各純冪は因子置換で不変である。▨

証明.$(gh)^{\otimes n}=g^{\otimes n}h^{\otimes n}$と$I_V^{\otimes n}=I_E$によって、$B$は単位元を含む部分代数である。$V=0$ならば$E=0$であり、$A=B=\End_\C(E)=0$なので主張が成り立つ。以下では$d=\dim V>0$とする。

$V$の基底$e_1,\ldots,e_d$に対する行列単位を$E_{ab}$とする。テンソル積の普遍性によって得られる写像

は、$E_{a_1b_1}\otimes\cdots\otimes E_{a_nb_n}$を、基底語$e_{b_1}\otimes\cdots\otimes e_{b_n}$だけを$e_{a_1}\otimes\cdots\otimes e_{a_n}$へ送り、他の基底語を零へ送る行列単位に対応させる。§E3.11 定理 2.1を反復すると両側にこれらの基底があるので、$\Theta$は同型である。

純テンソルに作用させると

である。$A$は$P_\sigma$で張られるので、$A'$はこの共役で不変な作用素全体である。したがって補題 3.4を$U=\End_\C(V)$に適用すると

を得る。

$a\in\End_\C(V)$を取る。$\det(a+tI_V)$は最高次係数$1$の次数$d$の多項式なので、その根は有限個である。これらの根を避けて相異なる$n+1$個の複素数$t_0,\ldots,t_n$を取る。$Q(t)=(a+tI_V)^{\otimes n}$は$\End_\C(E)$に値をもつ次数高々$n$の多項式であり、補間によって

この補間公式は、右辺の補間多項式と$Q(t)$の差を各行列成分で取ると、次数高々$n$で相異なる$n+1$個の根をもつため零になることから従う。各$a+t_jI_V$は可逆なので$Q(t_j)\in B$であり、$a^{\otimes n}\in B$である。逆に$g^{\otimes n}$は置換と可換するので$B\subseteq A'$であり、$A'=B$を得る。

$R=\C[S_n]$は§E7.33 系 3.2により半単純である。$A\cong R/\ker(R\to\End_\C(E))$を左$R$-加群とみると、§E6.19 定理 6.2によって半単純である。§E6.19 系 5.1により、この半単純性は左$A$-加群としての半単純性と一致する。よって$A$は半単純代数である。定理 3.2を適用すると、$B'=A''=A$であり、$B=A'$も半単純である。▨

証明.定理 1.4により、評価写像は$S_n$-同変な同型である。$g\in \GL(V)$に対して

なので、この同型は$\GL(V)$-同変でもある。

$n\geq1$とし、定理 3.5の代数$A,B$を取る。評価分解に現れる$S^\lambda$のうち、重複度が非零のものは$A$の単純加群になる。実際、$F\ne0$である加群射$F\colon S^\lambda\to V^{\otimes n}$は単純性によって単射であるから、群環作用の核は$S^\lambda$を零化する。商環上の加群に関する§E6.19 系 5.1によって、単純性と異なる型の非同型性は$A$上でも保たれる。$A$の作用は忠実なので、定理 3.2により、これらが$E$に現れる全単純型であり、その重複度空間は$A'=B$の相互非同型な単純加群である。

$B$は$g^{\otimes n}$の線形包であるから、重複度空間の部分空間が$\GL(V)$-不変であることは、その部分空間が$B$-部分加群であるための必要十分条件である。同じ理由で、二つの重複度空間の間の$\GL(V)$-同変写像は$B$-線形写像に一致する。したがって各非零重複度空間は相互非同型な既約$\GL(V)$-表現である。非零条件は命題 2.4による。

$n=0$では$S_0$と$\GL(V)$はともに$\C$に自明に作用し、評価は$\C\otimes_\C\C\to\C$である。その一次元表現は既約である。$V=0$、$n\geq1$では評価の両辺は零で、非零の重複度空間は存在しない。▨