群の拡大と外部作用 | 群論入門

1 短完全列と群の拡大

定義 1.1. 群準同型の列

1\longrightarrow N \xrightarrow{\iota}E \xrightarrow{\pi}Q \longrightarrow1

が短完全列 (short exact sequence) であるとは、次の三条件が成り立つことをいう。

\iota\text{ は単射},\qquad \pi\text{ は全射},\qquad \operatorname{im}\iota=\ker\pi.

この短完全列を $Q$ の $N$ による群の拡大 (group extension) と呼ぶ。

$\operatorname{im}\iota=\ker\pi$ は§E7.7 定理 1.3により $E$ の正規部分群である。

命題 1.2. 短完全列

1\to N\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}Q\to1

に対し、

\overline\pi\colon E/\iota(N)\longrightarrow Q,\qquad \overline\pi(e\iota(N))=\pi(e)

は群同型である。

証明. $\ker\pi=\iota(N)$ であり、 $\pi$ は全射である。§E7.8 定理 1.1を $\pi$ に適用すると、

E/\iota(N)=E/\ker\pi\xrightarrow{\ \overline\pi\ } \operatorname{im}\pi=Q

は群同型であり、 $\overline\pi(e\iota(N))=\pi(e)$ である。▨

定義 1.3. 同じ両端 $N,Q$ を持つ二つの拡大

1\to N\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}Q\to1, \qquad 1\to N\xrightarrow{\iota'}E'\xrightarrow{\pi'}Q\to1

の拡大としての同型 (isomorphism of extensions) とは、群同型 $F\colon E\to E'$ であって

F\circ\iota=\iota',\qquad \pi'\circ F=\pi

を満たすものをいう。

定義 1.4. 拡大

1\to N\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}Q\to1

の切断 (section of an extension) とは、

s\colon Q\longrightarrow E,\qquad \pi\circ s=\operatorname{id}_Q

を満たす群準同型である。切断を持つ拡大を分裂拡大 (split extension) と呼ぶ。

切断は集合としての右逆写像ではなく、群準同型でなければならない。

2 拡大が定める外部作用

命題 2.1. 短完全列

1\longrightarrow N\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}Q\longrightarrow1

に対して、各 $e\in E$ による写像

\theta_e\colon N\longrightarrow N,\qquad \theta_e(n)=\iota^{-1}\bigl(e\iota(n)e^{-1}\bigr)

は自己同型であり、その逆写像は $\theta_{e^{-1}}$ である。ここで $\iota^{-1}$ は同型 $\iota\colon N\to\iota(N)$ の逆写像を表す。写像

\theta\colon E\longrightarrow\operatorname{Aut}(N),\qquad e\longmapsto\theta_e

は群準同型であり、任意の $a\in N$ に対して $\theta_{\iota(a)}=c_a$ である。

証明. $K=\iota(N)=\ker\pi$ は $E$ の正規部分群である。§E7.15 定理 2.2により、共役 $c_e$ は $E$ の自己同型であり、 $c_{ef}=c_e\circ c_f$ がすべての $e,f\in E$ について成り立つ。 $K$ の正規性から $c_e(K)=K$ であるので、制限 $c_e|_K$ は $K$ の自己同型である。したがって

\theta_e=\iota^{-1}\circ(c_e|_K)\circ\iota

は $N$ の自己同型であり、その逆写像は $\iota^{-1}\circ(c_{e^{-1}}|_K)\circ\iota=\theta_{e^{-1}}$ である。また、

\theta_{ef} =\iota^{-1}\circ(c_e|_K)\circ(c_f|_K)\circ\iota =\theta_e\circ\theta_f

であるから、 $\theta$ は群準同型である。 $a,n\in N$ に対して

\theta_{\iota(a)}(n) =\iota^{-1}\bigl(\iota(a)\iota(n)\iota(a)^{-1}\bigr) =ana^{-1}=c_a(n)

であり、 $\theta_{\iota(a)}=c_a$ を得る。▨

定理 2.2. 短完全列

1\longrightarrow N\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{\pi}Q\longrightarrow1

と、共役準同型 $\theta\colon E\to\operatorname{Aut}(N)$ を考える。商写像を $p\colon\operatorname{Aut}(N)\to\operatorname{Out}(N)$ とすると、

\omega\circ\pi=p\circ\theta

を満たす群準同型 $\omega\colon Q\to\operatorname{Out}(N)$ がただ一つ存在する。具体的には、 $\pi(e)=q$ を満たす任意の $e\in E$ に対して

\omega(q)=[\theta_e]

であり、この類は持上げ $e$ の選択に依存しない。

証明.命題 2.1により、 $\theta$ は群準同型であり、 $a\in N$ に対して $\theta_{\iota(a)}=c_a\in\operatorname{Inn}(N)$ である。§E7.15 定理 3.1により $\operatorname{Inn}(N)$ は $\operatorname{Aut}(N)$ の正規部分群であり、商写像 $p$ の核は $\operatorname{Inn}(N)$ である。したがって

\iota(N)\subseteq\ker(p\circ\theta)

が成り立つ。§E7.7 定理 2.4によって群準同型

\overline\theta\colon E/\iota(N)\longrightarrow\operatorname{Out}(N), \qquad e\iota(N)\longmapsto[\theta_e]

が定まる。命題 1.2の同型 $\overline\pi$ を用いて

\omega=\overline\theta\circ\overline\pi^{-1}

と置くと、 $\omega$ は群準同型であり、 $\omega(\pi(e))=[\theta_e]$ である。 $\pi$ は全射であるから、 $\omega\circ\pi=p\circ\theta$ を満たす写像 $\omega$ は一意である。

$e,e'\in E$ が同じ $q\in Q$ の持上げならば、 $e'e^{-1}\in\ker\pi=\iota(N)$ である。 $\iota$ の単射性により、一意な $a\in N$ が存在して $e'=\iota(a)e$ となる。命題 2.1から

\theta_{e'}=\theta_{\iota(a)}\circ\theta_e=c_a\circ\theta_e, \qquad \theta_{e'}(n)=a\theta_e(n)a^{-1}\quad(n\in N)

である。よって $[\theta_{e'}]=[\theta_e]$ である。▨

$\omega$ を、この拡大から定まる $Q$ の $N$ への外部作用と呼ぶ。

3 外部作用の持上げ

定義 3.1. 外部作用 $\omega\colon Q\to\operatorname{Out}(N)$ の準同型としての持上げ (homomorphic lift) とは、商写像を

p\colon\operatorname{Aut}(N)\longrightarrow\operatorname{Out}(N)

としたとき、

\beta\colon Q\longrightarrow\operatorname{Aut}(N),\qquad p\circ\beta=\omega

を満たす群準同型 $\beta$ をいう。

4 持上げを持つ非分裂拡大

例 4.1. 加法群について

0\longrightarrow C_2 \xrightarrow{\iota}C_4 \xrightarrow{\pi}C_2 \longrightarrow0, \qquad \iota([a]_2)=[2a]_4,\quad \pi([x]_4)=[x]_2

を考える。 $\iota$ は単射、 $\pi$ は全射であり、

\operatorname{im}\iota=\{[0]_4,[2]_4\}=\ker\pi

であるから短完全列である。

§E7.15 命題 5.1により $\operatorname{Aut}(C_2)$ は自明群であり、 $\operatorname{Out}(C_2)$ も自明群である。したがって、この拡大が定める外部作用は自明であり、自明な準同型 $C_2\to\operatorname{Aut}(C_2)$ へ持ち上がる。

この拡大は分裂しない。切断 $s\colon C_2\to C_4$ が存在すると仮定する。 $\pi(s([1]_2))=[1]_2$ であるから、

s([1]_2)\in\{[1]_4,[3]_4\}

である。これら二つの元の位数はともに $4$ である。一方、準同型 $s$ は位数 $2$ の元を位数が $2$ を割る元へ写すため、矛盾する。よって切断は存在しない。

この例により、外部作用が $\operatorname{Aut}(N)$ へ持ち上がっても、与えられた拡大が分裂するとは限らない。

5 回転群の二重被覆

次の二重被覆と軸角表示は、参考文献に掲げた Hall の教科書の結果である。

注意 5.1 ( $\SU(2)$ の二重被覆に関する外部結果). 単位四元数の群と同一視した $\SU(2)$ は、純虚四元数の空間 $\Im\mathbb H\cong\R^3$ に

\rho(q)(v)=qvq^{-1}

によって作用する。この作用は全射準同型

\rho\colon\SU(2)\longrightarrow\SO(3)

を定め、その核は $\{\pm1\}=\{\pm I_2\}$ である。また、単位ベクトル $u\in\Im\mathbb H$ と実数 $\theta$ に対し、

q=\cos\frac{\theta}{2}+u\sin\frac{\theta}{2}

の像は、軸 $u$ の周りの角 $\theta$ の回転である。

例 5.2.注意 5.1により、

1\longrightarrow\{\pm I_2\} \longrightarrow\SU(2) \xrightarrow{\rho}\SO(3) \longrightarrow1

は短完全列である。この拡大は分裂しない。

$R\in\SO(3)$ を任意の軸の周りの角 $\pi$ の回転とする。 $R$ の位数は $2$ である。注意 5.1の軸角表示と核の記述により、 $R$ の二つの持上げは $\pm u$ であり、

u^2=(-u)^2=-1

であるから、いずれも位数 $4$ を持つ。

切断 $s\colon\SO(3)\to\SU(2)$ が存在すると仮定すると、 $\rho(s(R))=R$ なので $s(R)$ は $\pm u$ のいずれかである。一方、 $s$ は準同型であるから

s(R)^2=s(R^2)=s(1)=1

でなければならない。この等式は $s(R)$ の位数が $4$ であることに反する。したがって、連続性の条件を課さない群準同型としても切断は存在しない。

例 5.3. $I^+\leq\SO(3)$ を正二十面体の向きを保つ回転群とし、

2I=\rho^{-1}(I^+)\leq\SU(2)

と置く。制限準同型 $\rho|_{2I}$ によって

1\longrightarrow\{\pm I_2\} \longrightarrow2I \xrightarrow{\rho|_{2I}}I^+ \longrightarrow1

は短完全列となる。群 $2I$ を二項正二十面体群 (binary icosahedral group) と呼ぶ。各 $g\in I^+$ の逆像は $q$ と $-q$ の二元からなるため、この短完全列は $I^+$ の二重被覆を群の拡大として表している。

正二十面体では、向かい合う二辺の中点を結ぶ軸の周りの角 $\pi$ の回転が $I^+$ に属する。この回転の二つの持上げは位数 $4$ を持つ。したがって、例 5.2で証明した、切断が存在しないことを示す議論を $I^+$ と $2I$ に制限すると、正二十面体回転群の拡大も分裂しない。

6 演習

問題 6.1.

$\theta_{ef}=\theta_e\circ\theta_f$ を、 $\iota$ を用いた定義から示せ。
外部作用の定義で、二つの持上げに対して $e'=\iota(a)e$ を満たす $a\in N$ が一意に存在する理由を説明せよ。
$C_4$ の拡大で、 $C_2\to C_4$ の任意の群準同型の像が $\{[0]_4,[2]_4\}$ に含まれることを示し、非分裂性を別の形で確認せよ。

解答 (演習の要点).

任意の $n\in N$ に対して $\begin{aligned} \iota(\theta_{ef}(n)) &=ef\iota(n)f^{-1}e^{-1}\\ &=e\iota(\theta_f(n))e^{-1} =\iota((\theta_e\circ\theta_f)(n)) \end{aligned}$ である。 $\iota$ の単射性により $\theta_{ef}=\theta_e\circ\theta_f$ となる。
$\pi(e)=\pi(e')=q$ から $e'e^{-1}\in\ker\pi=\operatorname{im}\iota$ である。したがって $e'e^{-1}=\iota(a)$ を満たす $a\in N$ が存在し、 $e'=\iota(a)e$ となる。 $\iota$ が単射であるため、この $a$ は一意である。
群準同型 $u\colon C_2\to C_4$ に対して $2u([1]_2)=u([0]_2)=[0]_4$ である。 $C_4$ で $2y=[0]_4$ を満たす元は $[0]_4,[2]_4$ だけであるため、 $\operatorname{im}u\subseteq\{[0]_4,[2]_4\}$ となる。切断 $s$ ならば $\pi(s([1]_2))=[1]_2$ でなければならないが、上の包含では像が $\ker\pi$ に含まれるため矛盾する。

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§E7.16群の拡大と外部作用