§E7.34対称群の既約表現

証明.$C_{\sigma t}=\sigma C_t\sigma^{-1}$であり、§E7.5 定理 2.1によって符号は共役で変わらない。したがって$b_{\sigma t}=\sigma b_t\sigma^{-1}$であり、

となる。よって$S_k^\lambda$は群作用で不変である。

$c\in C_t$が$\{t\}$を固定するための条件は$c\in C_t\cap R_t$である。各行と各列の共通部分は高々一つの数からなるので、$C_t\cap R_t=\{1\}$である。したがって$p_t$の和で$\{t\}$を与える項は恒等置換の項だけであり、その係数は$1$である。

$C_t$の和の添字を右乗法または左乗法で置き換え、符号の乗法性を用いると$b_tc=cb_t=\operatorname{sgn}(c)b_t$を得る。ゆえに

この等式を$\{t\}$に作用させると最後の等式を得る。▨

証明.$a,b$が$t$の同じ列と$\{s\}$の同じ行に属するとし、$\tau=(a\ b)$と置く。$\tau\in C_t$かつ$\tau\{s\}=\{s\}$である。$b_t\{s\}$の和を$d$と$d\tau$の二項ずつに分けると

となるので、和は零である。この相殺は標数$2$でも成り立つ。

$\mu=\lambda$であり、$t$の各列と$\{s\}$の各行の共通部分が高々一元であるとする。$\lambda$の行数について帰納法を用いる。行数が零ならば$c=1$でよい。行数が正のとき、$\{s\}$の第一行には$\lambda_1$個の数があり、$t$の列はちょうど$\lambda_1$本ある。共通部分の条件から、第一行は各列からちょうど一つの数を含む。各列の最上段の数を、その列から第一行に属する数へ移す列内の置換を選び、その積を$c_0\in C_t$とする。

$\{s'\}=c_0^{-1}\{s\}$と置くと、$\{s'\}$と$\{t\}$の第一行は一致する。$c_0$は$t$の各列を保つので、$\{s'\}$の各行も各列と高々一元で交わる。共通の第一行を取り除くと、残る図形に対応する分割は$(\lambda_2,\ldots,\lambda_r)$である。残る数の集合を標準の添字集合へ付け替えて帰納法の仮定を適用すると、残る各列内の置換$c_1$で、残る$\{t\}$の各行を残る$\{s'\}$の各行へ移すものが存在する。$c_1$を第一行の数を固定する置換へ延長すれば$c_1\in C_t$であり、$\{s'\}=c_1\{t\}$である。したがって$c=c_0c_1$は$\{s\}=c\{t\}$を満たす。

命題 1.4により

各基底元の像は$kp_t$に属し、$b_t\{t\}=p_t$であるから、像は$kp_t$に等しい。▨

証明. 各置換は同値類を元とする基底を置換するので内積を保ち、$\langle cu,v\rangle=\langle u,c^{-1}v\rangle$である。$c\mapsto c^{-1}$は$C_t$の全単射で符号を保つため

補題 1.6によって$b_tu$は$p_t$のスカラー倍である。$p_t$における$\{t\}$の係数は$1$なので、そのスカラーは

である。したがって$b_tu=\langle u,p_t\rangle p_t$である。

ある$t$と$u\in U$で$b_tu\ne0$ならば、$U$は部分加群なので$p_t\in U$である。分割$\lambda$に対応するすべての Young 盤は$\sigma t$と書くことができるので、$p_{\sigma t}=\sigma p_t\in U$から$S^\lambda\subseteq U$を得る。一方、すべての$t$と$u\in U$に対して$b_tu=0$ならば、$p_t\ne0$と$b_tu=\langle u,p_t\rangle p_t$により$\langle u,p_t\rangle=0$である。$p_t$は$S^\lambda$を張るので$U\subseteq(S^\lambda)^\perp$である。▨

証明.命題 1.4によって$S^\lambda\ne0$である。部分加群$U\subseteq S^\lambda$に定理 1.7を適用すると、$U=S^\lambda$または$U\subseteq S^\lambda\cap(S^\lambda)^\perp$である。後者の場合、任意の$u\in U$は$\langle u,u\rangle=0$を満たし、内積の正定値性から$u=0$である。よって$U=0$または$U=S^\lambda$である。▨

証明. 同値類を元とする基底に関して、各$p_t$の係数は整数であるから、複素線形結合の実部と虚部を分けると

となる。同値類を基底とする実ベクトル空間$M_\R^\lambda$とその$i$倍の交わりは零であるので、$x+iy$という表示は$x,y\in S_\R^\lambda$について一意である。テンソル積の普遍性で得られる表示の写像の逆は$x+iy\mapsto1\otimes x+i\otimes y$であり、両写像は群作用を保つ。

実内積の自己内積は基底に関する係数の平方和であるから、非零の元に対して正である。群作用は基底の置換なので内積を保つ。$J(x+iy)=x-iy$は$S^\lambda$を保ち、$J^2=\id$、$J(zu)=\overline zJ(u)$を満たす。群作用の行列は実数係数であるから$J\sigma=\sigma J$であり、

から$J$はノルムを保つ。表示の一意性により$J(x+iy)=x+iy$と$y=0$は同値である。▨

証明.$b_tM_k^\mu\ne0$ならば、分割$\mu$に対応する Young 盤のある同値類$\{s\}$に対して$b_t\{s\}\ne0$である。補題 1.6により、$t$の同じ列の二元は$\{s\}$の同じ行に属さない。したがって、$t$の第$j$列の数のうち、$\{s\}$の最初の$a$行に属するものは高々$\min(a,\lambda'_j)$個である。よって任意の$a\geq1$に対して

最後の等式の両辺は、$[\lambda]$の最初の$a$行の箱の個数を列ごと、行ごとに数えたものである。

非零の加群射$f\colon S^\lambda\to M^\mu$を取る。polytabloid は$S^\lambda$を張るので、ある$t$で$f(p_t)\ne0$である。命題 1.4により

である。複素数体では$|C_t|\ne0$であるため、第一の主張から$\lambda\unrhd\mu$を得る。▨

証明. 同型$S^\lambda\to S^\mu$と包含$S^\mu\hookrightarrow M^\mu$の合成は非零であるから、補題 2.2により$\lambda\unrhd\mu$である。逆同型と$S^\lambda\hookrightarrow M^\lambda$の合成にも同じ補題を適用すると$\mu\unrhd\lambda$を得る。したがってすべての部分和が一致し、隣り合う部分和の差から$\lambda_i=\mu_i$となる。逆に$\lambda=\mu$ならば恒等写像が同型である。▨

証明.$A=\C[G]$と置く。任意の単純左$A$-加群$L$と$0\ne v\in L$に対して、$a\mapsto av$は$A$から$L$への全射である。したがって$\dim_\C L\leq|G|$である。§E7.32 命題 1.3と§E7.32 命題 1.6 (2)によって、これは任意の複素既約表現にも適用される。

有限次元の正則左加群${}_AA$は§E7.33 系 3.2によって半単純である。§E6.22 定理 5.1により、相互に非同型な単純加群$L_1,\ldots,L_r$が全同型類を尽くし、ある正の整数$d_i$に対して

となる。各$L_i$は非零有限次元であるから、§E7.32 系 3.2によって$D_i=\C$である。この構造定理の同型は正則加群の右乗法と直和分解から得られるので、中心に作用する複素スカラーを保ち、複素代数の同型である。

各因子$M_{d_i}(\C)$の列左イデアルは§E6.22 命題 4.1により単純であり、同じ因子内の各列は列ベクトルを介して互いに同型である。異なる因子の列加群は、各因子の単位行列に対応する中心冪等元の作用が異なるため、互いに非同型である。正則加群はこれらの列加群の直和である。任意の単純加群への正則加群からの全射は、少なくとも一つの列加群に非零に制限される。その制限は§E7.32 系 3.1によって同型である。したがって、必要ならば$L_i$を並べ替えると、第$i$因子の列加群は$L_i$と同型である。列加群の次元は$d_i$であるから$d_i=\dim_\C L_i$であり、列への行列作用から$M_{d_i}(\C)\cong\End_\C(L_i)$を得る。

全行列環$M_d(\C)$の中心はスカラー行列全体である。実際、すべての対角行列単位と可換する行列は対角行列であり、さらにすべての行列単位と可換するためには対角成分が等しくなければならない。ゆえに$Z(A)\cong\C^r$であり、$\dim_\C Z(A)=r$である。また代数同型の両辺の次元を取ると$|G|=\sum_i(\dim_\C L_i)^2$となる。

$z=\sum_{g\in G}a_g g\in A$が中心に属するための条件は、すべての$h\in G$に対して$hzh^{-1}=z$となることである。群の元は$A$を張るので、この条件は群環の全元との可換性と同値である。係数を比較すると、この条件は$a_{hgh^{-1}}=a_g$、すなわち係数が各共役類上で一定であることと同値である。したがって共役類和は中心を張る。相異なる共役類は交わらないので、それらの和は一次独立でもある。▨

証明.系 1.8と系 2.3によって、この対応は既約表現の同型類全体への単射である。

§E7.4 定理 5.1の巡回分解に固定点を長さ$1$の巡回因子として加え、長さを大きい順に並べると$n$の分割を得る。この分割を置換の巡回型という。任意の分割は、その各成分の長さの互いに素な巡回置換を取ることによって実現される。共役は

を満たすので巡回型を保つ。逆に、二つの置換の巡回型が等しければ、同じ長さの巡回因子を対応させ、各巡回表示の順に数を移す全単射$\sigma$を取る。この$\sigma$による共役は一方の置換を他方へ移す。したがって共役類全体は$n$の分割全体と一対一に対応する。

命題 2.4によって、複素既約表現の同型類数は共役類数に等しい。すでに構成した Specht 加群は、分割の個数だけ相互に非同型な既約表現を与えているので、全同型類を尽くす。$n=0$では空の Young 盤の同値類が一つあり、$b_t=1$であるから$S^\varnothing=\C$である。▨