直積群 | 群論入門

1 外部直積

定義 1.1. 群 $A$ と $B$ に対し、集合 $A\times B$ 上の積を

(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2)

と定める。この演算を備えた集合を $A$ と $B$ の外部直積 (external direct product) と呼ぶ。

命題 1.2. $A,B$ を群とする。外部直積 $A\times B$ は群である。単位元と逆元は

e_{A\times B}=(e_A,e_B),\qquad (a,b)^{-1}=(a^{-1},b^{-1})

である。 $A$ と $B$ が有限群ならば、

|A\times B|=|A|\,|B|

である。

証明. $(a_i,b_i)\in A\times B$ とする。積は成分ごとに $A$ と $B$ の元を与えるから閉じている。結合律は

\begin{aligned} \bigl((a_1,b_1)(a_2,b_2)\bigr)(a_3,b_3) &=((a_1a_2)a_3,(b_1b_2)b_3)\\ &=(a_1(a_2a_3),b_1(b_2b_3))\\ &=(a_1,b_1)\bigl((a_2,b_2)(a_3,b_3)\bigr) \end{aligned}

から従う。また、

(e_A,e_B)(a,b)=(a,b)=(a,b)(e_A,e_B)

であり、

(a,b)(a^{-1},b^{-1})=(e_A,e_B) =(a^{-1},b^{-1})(a,b)

である。したがって群の公理がすべて成り立つ。有限の場合の位数の公式は、有限集合の直積の要素数に関する乗法原理から従う。▨

命題 1.3. $A,B$ を群とし、

\widetilde A=A\times\{e_B\},\qquad \widetilde B=\{e_A\}\times B

とする。このとき

\widetilde A\trianglelefteq A\times B,\qquad \widetilde B\trianglelefteq A\times B,

\widetilde A\cap\widetilde B=\{(e_A,e_B)\},\qquad \widetilde A\widetilde B=A\times B

が成り立つ。また、 $\widetilde A$ の各元と $\widetilde B$ の各元は可換する。

証明. $(e_A,e_B)\in\widetilde A$ であり、

(a_1,e_B)(a_2,e_B)^{-1}=(a_1a_2^{-1},e_B)\in\widetilde A

であるから、 $\widetilde A\leq A\times B$ である。また、 $(e_A,e_B)\in\widetilde B$ であり、

(e_A,b_1)(e_A,b_2)^{-1}=(e_A,b_1b_2^{-1})\in\widetilde B

であるから、 $\widetilde B\leq A\times B$ である。

$(a,b)\in A\times B$ と $(x,e_B)\in\widetilde A$ に対し、

(a,b)(x,e_B)(a,b)^{-1}=(axa^{-1},e_B)\in\widetilde A

であるから、 $\widetilde A\trianglelefteq A\times B$ である。また、

(a,b)(e_A,y)(a,b)^{-1}=(e_A,byb^{-1})\in\widetilde B

であるから、 $\widetilde B\trianglelefteq A\times B$ である。

$(x,e_B)=(e_A,y)$ ならば $x=e_A$ かつ $y=e_B$ であるため、共通部分は単位元だけからなる。任意の $(a,b)\in A\times B$ は

(a,b)=(a,e_B)(e_A,b)

と表されるから、 $\widetilde A\widetilde B=A\times B$ である。さらに、

(a,e_B)(e_A,b)=(a,b)=(e_A,b)(a,e_B)

である。▨

2 部分群の積

定義 2.1. 群 $G$ の部分群 $H,K\leq G$ に対し、

HK=\{hk\mid h\in H,\ k\in K\}

と定め、 $H$ と $K$ の積 (product of subgroups) と呼ぶ。

命題 2.2. $G$ を群、 $H,K\leq G$ を部分群とする。 $H\trianglelefteq G$ または $K\trianglelefteq G$ ならば、 $HK\leq G$ である。

証明. $K\trianglelefteq G$ ならば、§E7.8 定理 2.1 (1)を $H\leq G$ と $K\trianglelefteq G$ に適用して $HK\leq G$ を得る。

$H\trianglelefteq G$ ならば、§E7.8 定理 2.1 (1)を $K\leq G$ と $H\trianglelefteq G$ に適用して $KH\leq G$ を得る。 $h\in H$ 、 $k\in K$ に対して

hk=k(k^{-1}hk)\in KH,\qquad kh=(khk^{-1})k\in HK

であるから、 $HK=KH$ である。したがって $HK\leq G$ である。▨

3 内部直積

定義 3.1. 群 $G$ の部分群 $H,K$ が

H\trianglelefteq G,\qquad K\trianglelefteq G,\qquad H\cap K=\{e_G\},\qquad HK=G

を満たすとき、 $G$ は $H$ と $K$ の内部直積 (internal direct product) であるという。

定理 3.2. 群 $G$ と部分群 $H,K\leq G$ に対し、次の二条件は同値である。

$H\trianglelefteq G$ 、 $K\trianglelefteq G$ 、 $H\cap K=\{e_G\}$ 、 $HK=G$ が成り立つ。
積写像 $\mu\colon H\times K\longrightarrow G,\qquad \mu(h,k)=hk$ は群同型である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。(1)を仮定する。 $h\in H$ 、 $k\in K$ とし、交換子を

[h,k]=hkh^{-1}k^{-1}

とする。 $K\trianglelefteq G$ から

[h,k]=(hkh^{-1})k^{-1}\in K

であり、 $H\trianglelefteq G$ から

[h,k]=h(kh^{-1}k^{-1})\in H

である。したがって $[h,k]\in H\cap K=\{e_G\}$ であり、 $hk=kh$ が成り立つ。

$(h_1,k_1),(h_2,k_2)\in H\times K$ に対し、 $k_1h_2=h_2k_1$ を用いると、

\begin{aligned} \mu\bigl((h_1,k_1)(h_2,k_2)\bigr) &=\mu(h_1h_2,k_1k_2)\\ &=h_1h_2k_1k_2\\ &=h_1k_1h_2k_2\\ &=\mu(h_1,k_1)\mu(h_2,k_2) \end{aligned}

となる。よって $\mu$ は準同型である。 $HK=G$ であるから $\mu$ は全射である。 $\mu(h,k)=e_G$ ならば $h=k^{-1}\in H\cap K$ であるため、 $h=k=e_G$ である。したがって $\ker\mu$ は自明であり、§E7.3 命題 2.2から $\mu$ は単射である。ゆえに $\mu$ は群同型である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。逆に(2)を仮定する。全射性から $HK=G$ である。 $x\in H\cap K$ とすると、

\mu(x,e_G)=x=\mu(e_G,x)

である。単射性から $(x,e_G)=(e_G,x)$ となるため、 $x=e_G$ である。よって $H\cap K=\{e_G\}$ である。

$\widetilde H=H\times\{e_G\}$ 、 $\widetilde K=\{e_G\}\times K$ とおく。命題 1.3により、 $\widetilde H,\widetilde K$ は $H\times K$ の正規部分群である。 $g\in G$ と $h_0\in H$ に対して、 $u=\mu^{-1}(g)$ とおくと

gh_0g^{-1}=\mu\bigl(u(h_0,e_G)u^{-1}\bigr)\in\mu(\widetilde H)=H

であるから、 $H\trianglelefteq G$ である。 $k_0\in K$ に対しても

gk_0g^{-1}=\mu\bigl(u(e_G,k_0)u^{-1}\bigr)\in\mu(\widetilde K)=K

であるから、 $K\trianglelefteq G$ である。▨

命題 3.3. $G$ を群、 $H,K$ をその部分群とする。 $H\trianglelefteq G$ 、 $K\trianglelefteq G$ 、 $H\cap K=\{e_G\}$ 、 $HK=G$ とする。このとき、各 $g\in G$ に対し

g=hk

を満たす $h\in H$ 、 $k\in K$ が一意に存在する。

証明.定理 3.2により、積写像 $\mu\colon H\times K\to G$ は群同型である。任意の $g\in G$ に対し、 $g=hk$ を満たす組 $(h,k)$ は $\mu^{-1}(g)$ ただ一つである。▨

4 例と非例

例 4.1. 複素数の乗法に関する円周群を

S^1=\{z\in\C\mid |z|=1\}

とする。 $1\in S^1$ である。§A2.13 公式 2.1により、 $z,w\in S^1$ に対して $|zw|=1$ 、 $|z^{-1}|=1$ である。また、 $|z|^2=z\overline z=1$ から $z^{-1}=\overline z$ である。複素数の乗法は結合的であるから、 $S^1$ は群である。正整数 $n$ に対する $n$ 個の直積

T^n=(S^1)^n

は、各座標で複素数を掛ける群であり、 $n$ 次元トーラスと呼ばれる。例えば

T^2=S^1\times S^1

は二つの円周群の外部直積である。

例 4.2. 整数 $d\geq1$ 、 $n\geq2$ とする。加法群 $\mathbb T=\R/\Z$ から円周群への写像

E\colon\mathbb T\longrightarrow S^1,\qquad [t]\longmapsto \cos(2\pi t)+i\sin(2\pi t)

は群同型である。実際、三角関数の周期 $2\pi$ により、 $t$ を整数だけ変えても値は変わらない。§A2.13 公式 2.1により

E([t]+[u])=E([t])E([u])

であるから、 $E$ は準同型である。§A2.13 定義 1.2の偏角の一意性により、 $E([t])=1$ と $2\pi t\in2\pi\Z$ は同値である。したがって $\ker E=\{0\}$ であり、§E7.3 命題 2.2により $E$ は単射である。任意の $z\in S^1$ は極形式 $z=\cos\theta+i\sin\theta$ を持ち、 $E([\theta/(2\pi)])=z$ であるから、 $E$ は全射である。各座標に $E$ を適用して

\mathbb T^d\cong T^d=(S^1)^d

を得る。

乗法群 $T^d$ と加法群 $\mathbb T^d$ の $n$ -ねじれ部分群をそれぞれ

T^d[n]=\{z\in T^d\mid z^n=1\}, \qquad \mathbb T^d[n]=\{x\in\mathbb T^d\mid nx=0\}

とする。各群はアーベル群なので $z\mapsto z^n$ と $x\mapsto nx$ は準同型であり、表示された集合はそれぞれの核として部分群になる。各座標に $E$ を適用する同型は、この二つの部分群を対応させる。

写像

\Phi\colon(\Z/n\Z)^d\longrightarrow\mathbb T^d[n], \qquad ([k_1]_n,\ldots,[k_d]_n) \longmapsto \left(\left[\frac{k_1}{n}\right],\ldots, \left[\frac{k_d}{n}\right]\right)

を定める。 $n[k_j/n]=[k_j]=0$ なので、像は $\mathbb T^d[n]$ に属する。 $k_j$ を $n$ の倍数だけ変えても $k_j/n$ の $\R/\Z$ における類は変わらないため、 $\Phi$ は well-defined である。また、各座標で

\left[\frac{k_j+\ell_j}{n}\right] =\left[\frac{k_j}{n}\right]+\left[\frac{\ell_j}{n}\right]

が成り立つので、 $\Phi$ は群準同型である。

$\Phi(([k_j]_n)_j)=0$ ならば、各 $k_j/n$ は整数なので $n\mid k_j$ であり、 $\Phi$ は単射である。一方、 $([t_1],\ldots,[t_d])\in\mathbb T^d[n]$ ならば、各 $nt_j$ は整数である。 $k_j=nt_j$ と置くと $[t_j]=[k_j/n]$ となるため、 $\Phi$ は全射である。したがって

T^d[n]\cong\mathbb T^d[n]\cong(\Z/n\Z)^d

であり、これらの群の位数は $n^d$ である。円周上の $n$ 個の等分点 $\cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)$ （ $k=0,\ldots,n-1$ ）を各座標で選ぶことにより、位数 $n$ の巡回群 $d$ 個の直積が得られる。

補題 4.3. 正整数 $m,n$ が $\gcd(m,n)=1$ を満たすとする。整数 $x$ が $m\mid x$ かつ $n\mid x$ を満たすならば、

mn\mid x

である。

証明. 証明は演習とする（問題 5.1 (5)、解答は解答 (5)）。▨

定理 4.4. $m,n\geq2$ かつ $\gcd(m,n)=1$ とする。加法群の準同型

\Phi\colon\Z/mn\Z \longrightarrow \Z/m\Z\times\Z/n\Z, \qquad [x]_{mn}\longmapsto([x]_m,[x]_n)

は群同型である。

証明. $x-y$ が $mn$ の倍数ならば $m$ と $n$ の両方の倍数であるから、 $\Phi$ は代表元によらず定まる。また、

\Phi([x+y]_{mn})=\Phi([x]_{mn})+\Phi([y]_{mn})

であるため、 $\Phi$ は準同型である。 $\Phi([x]_{mn})=(0,0)$ ならば、 $m\mid x$ かつ $n\mid x$ である。補題 4.3により $mn\mid x$ となるため、核は自明である。§E7.3 命題 2.2から $\Phi$ は単射である。定義域と終域の位数はいずれも $mn$ であるから、有限集合間の単射 $\Phi$ は全射でもある。したがって $\Phi$ は群同型である。▨

例 4.5.定理 4.4で $m=2$ 、 $n=3$ とすると

\Z/6\Z \cong \Z/2\Z\times\Z/3\Z

が成り立つ。

例 4.6 (Klein の四元群). Klein の四元群を

V_4=\{e,a,b,c\},\qquad a^2=b^2=c^2=e,\qquad ab=c

とする。 $H=\langle a\rangle$ 、 $K=\langle b\rangle$ と置く。 $V_4$ はアーベル群であるから $H,K\trianglelefteq V_4$ であり、

H\cap K=\{e\},\qquad HK=V_4

である。定理 3.2により

V_4\cong C_2\times C_2

が成り立つ。

例 4.7. $C_4$ と $C_2\times C_2$ はともに位数 $4$ であるが、同型ではない。 $C_4$ は位数 $4$ の元を持つ一方、 $C_2\times C_2$ の単位元でない各元の位数は $2$ である。したがって、群の位数が因子の位数の積に等しいことだけでは、直積分解を結論することができない。

5 演習

問題 5.1.

$A\times B$ において $(a,b)$ の位数が有限であるとき、その位数が $\operatorname{lcm}(\operatorname{ord}(a),\operatorname{ord}(b))$ に等しいことを示せ。
$H,K\trianglelefteq G$ ならば $HK=KH$ であることを示せ。
$G=S_3$ 、 $H=A_3$ 、 $K=\langle(1\,2)\rangle$ とする。各 $g\in G$ が $g=hk$ （ $h\in H$ 、 $k\in K$ ）と一意に表されることを示し、積写像 $\mu\colon H\times K\to G$ 、 $(h,k)\mapsto hk$ が全単射であるが群準同型でないことを示せ。また、内部直積の条件のうち成り立たないものを特定し、 $S_3$ が $H\times K$ と同型でないことを示せ。
$\Z/12\Z$ を、互いに素な位数を持つ二つの巡回群の直積として表せ。
補題 4.3の証明を完成させよ。

解答 (演習の要点).

$(a,b)^r=(e_A,e_B)$ であることは $a^r=e_A$ かつ $b^r=e_B$ と同値である。したがって正整数 $r$ が $(a,b)$ の冪を単位元にすることは、 $\operatorname{ord}(a)\mid r$ かつ $\operatorname{ord}(b)\mid r$ と同値である。そのような最小の正整数は $\operatorname{lcm}(\operatorname{ord}(a),\operatorname{ord}(b))$ である。
$h\in H$ 、 $k\in K$ とする。 $K\trianglelefteq G$ から $hk=(hkh^{-1})h\in KH$ であるため $HK\subseteq KH$ となる。同様に $H\trianglelefteq G$ から $KH\subseteq HK$ となり、 $HK=KH$ を得る。
$|H|=3$ 、 $|K|=2$ であり、 $H\cap K$ の位数は $3$ と $2$ をともに割るので $H\cap K=\{e\}$ である。 $h_1k_1=h_2k_2$ ならば $h_2^{-1}h_1=k_2k_1^{-1}\in H\cap K=\{e\}$ であるから、 $h_1=h_2$ かつ $k_1=k_2$ であり、 $\mu$ は単射である。 $|H\times K|=6=|G|$ であるから $\mu$ は全単射であり、各 $g$ は $g=hk$ と一意に表される。 $\sigma=(1\,2\,3)$ 、 $\tau=(1\,2)$ とおき、置換の積は右の因子を先に施すとすると、 $\mu\bigl((e,\tau)(\sigma,e)\bigr)=\mu(\sigma,\tau)=\sigma\tau=(1\,3)$ である一方、 $\mu(e,\tau)\mu(\sigma,e)=\tau\sigma=(2\,3)$ である。両者は異なるので $\mu$ は群準同型でない。内部直積の条件のうち $H\trianglelefteq G$ 、 $H\cap K=\{e\}$ 、 $HK=G$ は成り立つが、 $\sigma\tau\sigma^{-1}=(2\,3)\notin K$ であるから $K$ は正規部分群でない。 $H\times K$ は二つのアーベル群の直積であるからアーベル群であり、 $S_3$ は $\sigma\tau\ne\tau\sigma$ により非可換であるから、両者は同型でない。
$\gcd(3,4)=1$ であるから、定理 4.4により
$\Z/12\Z \cong\Z/3\Z\times\Z/4\Z$
である。二因子の位数 $3,4$ は互いに素である。
まず、この場合に必要な Bézout の等式を Euclid の互除法から導く。必要ならば $m,n$ を交換して $m\geq n$ とし、
$r_0=m,\qquad r_1=n,\qquad r_{i-1}=q_i r_i+r_{i+1},\quad 0\leq r_{i+1}<r_i$
と除法を繰り返す。非負整数 $r_i$ は正である間は狭義に減少するため、ある $s$ で $r_s>0$ 、 $r_{s+1}=0$ となって停止する。各段階で
$d\mid r_{i-1},\ d\mid r_i \quad\Longleftrightarrow\quad d\mid r_i,\ d\mid r_{i+1}$
が成り立つ。したがって $r_s=\gcd(m,n)=1$ である。さらに
$r_{i+1}=r_{i-1}-q_i r_i$
を最後の式から順に代入すると、ある $u,v\in\Z$ により
$um+vn=1$
と表される。

この等式に $x$ を掛けると
$x=umx+vnx$
となる。 $n\mid x$ であるから $umx$ は $mn$ で割り切れ、 $m\mid x$ であるから $vnx$ も $mn$ で割り切れる。よって両者の和 $x$ も $mn$ で割り切れる。 $\blacksquare$

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§E7.14直積群

1 外部直積

2 部分群の積

3 内部直積

4 例と非例

5 演習

参考文献

前提記事