合成関数 | 関数の性質

二つの関数を続けて施すと、一つの対応が得られます。 $x$ から $3$ を引き、その結果の平方根をとる操作は、 $x$ に $\sqrt{x-3}$ を対応させる一つの関数とみることができます。

ただし、続けて施すことができるのは、内側の関数の値が外側の関数の定義域に入る入力に限られます。この例では、 $x<3$ の入力で平方根の中が負になり、値が定まりません。

このように二つの関数から作る関数を合成関数といい、複雑な式の仕組みを読み解くための基本的な道具です。合成関数は、後に合成関数の微分法で、外側の関数と内側の関数に分けて導関数を求めるときに用います。

本記事では、合成関数の定義や代表的な例について解説します。

1 合成関数と定義域

定義 1.1 (合成関数と自然な定義域). $D_f$ 、 $D_g$ を実数の部分集合とし、 $f:D_f\to\mathbb{R}$ 、 $g:D_g\to\mathbb{R}$ とする。 $f$ を内側の関数、 $g$ を外側の関数として、

$D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}$

とおく。 $x\in D_{g\circ f}$ に $g(f(x))$ を対応させる関数を $g\circ f$ と書き、合成関数 (composite function) という。 $D_{g\circ f}$ が空集合であるときも、値をとる入力のない関数として $g\circ f$ を考える。

例 1.2. $f(x)=x-3$ を実数全体で、 $g(x)=\sqrt{x}$ を $[0,\infty)$ で定める。 $g\circ f$ の定義域は $x-3\ge0$ を満たす $[3,\infty)$ であり、 $(g\circ f)(x)=\sqrt{x-3}$ である。値域は $[0,\infty)$ である。実際、 $x\ge3$ のとき $\sqrt{x-3}\ge0$ であり、 $t\ge0$ に対して $x=t^2+3$ とおけば $(g\circ f)(x)=t$ となる。一方、 $(f\circ g)(x)=\sqrt{x}-3$ の定義域は $[0,\infty)$ である。

例 1.3.

$f(x)=\sqrt{x}$ を $[0,\infty)$ で、 $g(x)=x^2$ を実数全体で定める。 $g\circ f$ の定義域は $[0,\infty)$ であり、 $(g\circ f)(x)=(\sqrt{x})^2=x$ である。式は $x$ に簡約されるが、 $g\circ f$ は $x<0$ では定義されない。 $f\circ g$ の定義域は実数全体であり、 $(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2}=|x|$ である。
$f(x)=\dfrac1x$ を $x\ne0$ で、 $g(x)=\dfrac1{x-1}$ を $x\ne1$ で定める。 $g\circ f$ の定義域は $\{x\ne0\mid \frac1x\ne1\}$ すなわち $x\ne0,\,1$ であり、 $(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{\frac1x-1}=\dfrac{x}{1-x}$ である。簡約した式 $\dfrac{x}{1-x}$ は $x=0$ でも値をとるが、 $0\notin D_{g\circ f}$ である。
$f(x)=-x^2-1$ を実数全体で、 $g(x)=\sqrt{x}$ を $[0,\infty)$ で定める。すべての実数 $x$ に対して $f(x)\le-1<0$ であるから、 $D_{g\circ f}=\varnothing$ である。

2 合成の順序と結合法則

定理 2.1. 実数全体で定義された関数 $f$ 、 $g$ で、 $g\circ f$ と $f\circ g$ の定義域がともに実数全体でありながら、 $g\circ f\ne f\circ g$ となるものが存在する。

証明.例 2.2の $f(x)=x+1$ 、 $g(x)=x^2$ をとる。両方の定義域は実数全体であり、 $x=1$ で $(g\circ f)(1)=4$ 、 $(f\circ g)(1)=2$ であるから、 $g\circ f\ne f\circ g$ である。▨

例 2.2. $f(x)=x+1$ 、 $g(x)=x^2$ をともに実数全体で定める。このとき $(g\circ f)(x)=(x+1)^2$ 、 $(f\circ g)(x)=x^2+1$ である。 $x=1$ で前者は $4$ 、後者は $2$ となるため、二つの関数は一致しない。

定義域だけが異なる場合も、順序の交換はできません。例 1.3 (1)では $g\circ f$ の定義域が $[0,\infty)$ 、 $f\circ g$ の定義域が実数全体であり、共通の定義域 $[0,\infty)$ の上では値がどちらも $x$ ですが、定義域が一致しないので二つの関数は異なります。

定理 2.3 (合成の結合法則). $f:D_f\to\mathbb{R}$ 、 $g:D_g\to\mathbb{R}$ 、 $h:D_h\to\mathbb{R}$ を実数値関数とする。このとき $(h\circ g)\circ f$ と $h\circ(g\circ f)$ の定義域はともに $\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g,\ g(f(x))\in D_h\}$ であり、その上で値はともに $h(g(f(x)))$ である。したがって $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$ である。

証明.定義 1.1により $D_{h\circ g}=\{y\in D_g\mid g(y)\in D_h\}$ である。したがって $(h\circ g)\circ f$ の定義域は $\{x\in D_f\mid f(x)\in D_{h\circ g}\}$ であり、 $f(x)\in D_{h\circ g}$ は $f(x)\in D_g$ かつ $g(f(x))\in D_h$ と同値である。値は $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$ である。

一方、 $D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}$ であるから、 $h\circ(g\circ f)$ の定義域は $\{x\in D_{g\circ f}\mid (g\circ f)(x)\in D_h\}$ である。これは $x\in D_f$ 、 $f(x)\in D_g$ 、 $g(f(x))\in D_h$ を満たす $x$ の全体であり、先の集合と一致する。値は $(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))$ である。定義域と値がともに等しいので、二つの関数は等しい。▨

注意 2.4 (三つの合成の記法). 結合法則により、括弧を省いて $h\circ g\circ f$ と書く。その定義域は $\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g,\ g(f(x))\in D_h\}$ であり、値は $h(g(f(x)))$ である。式だけを比べず、定義域も合わせて確認する。

3 演習

問題 3.1 (定義域つきの合成). $f(x)=x-2$ を実数全体で、 $g(x)=\sqrt{x}$ を $[0,\infty)$ で定める。 $g\circ f$ と $f\circ g$ について、式、定義域、値域を求めなさい。

解答 (演習の解答).

$(g\circ f)(x)=\sqrt{x-2}$ であり、定義域は $x-2\ge0$ すなわち $[2,\infty)$ である。 $t\ge0$ に対して $x=t^2+2$ とおくと値が $t$ になるので、値域は $[0,\infty)$ である。

$(f\circ g)(x)=\sqrt{x}-2$ であり、定義域は $[0,\infty)$ である。 $\sqrt{x}$ は $[0,\infty)$ のすべての値をとるので、値域は $[-2,\infty)$ である。▨

問題 3.2 (順序の交換). $f(x)=2x+1$ 、 $g(x)=x^2$ を実数全体で定める。 $g\circ f\ne f\circ g$ であることを示しなさい。

解答.

$(g\circ f)(x)=(2x+1)^2$ 、 $(f\circ g)(x)=2x^2+1$ である。 $x=1$ で $(g\circ f)(1)=9$ 、 $(f\circ g)(1)=3$ となり、値が異なるので $g\circ f\ne f\circ g$ である。▨

問題 3.3 (定義域が除かれる合成). $g(x)=\sqrt{x}$ を $[0,\infty)$ で定める。次の $f$ について、 $g\circ f$ の定義域を求めなさい。(1)では値域も求めなさい。

$f(x)=1-x^2$ (実数全体)
$f(x)=\dfrac1x$ ( $x\ne0$ )
$f(x)=-x^2-1$ (実数全体)

解答.

(1)について、 $D_{g\circ f}=\{x\mid 1-x^2\ge0\}=[-1,1]$ である。 $(g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$ であり、 $x\in[-1,1]$ のとき $0\le1-x^2\le1$ であるから値は $[0,1]$ に入る。 $s\in[0,1]$ に対して $x=\sqrt{1-s^2}\in[0,1]$ とおくと値が $s$ になるので、値域は $[0,1]$ である。

(2)について、 $D_{g\circ f}=\{x\ne0\mid \frac1x\ge0\}=(0,\infty)$ である。

(3)について、すべての実数 $x$ に対して $f(x)\le-1<0$ であるから、 $D_{g\circ f}=\varnothing$ である。▨

問題 3.4 (合成への分解). 次の関数を、実数全体または $[0,\infty)$ で定めた関数 $f$ 、 $g$ の合成 $g\circ f$ として表しなさい。ただし、定義域は $g\circ f$ の自然な定義域と一致させること。

$\sqrt{x^2+1}$
$(2x+1)^5$

解答.

(1)について、 $f(x)=x^2+1$ を実数全体で、 $g(x)=\sqrt{x}$ を $[0,\infty)$ で定める。 $x^2+1\ge1$ であるから $D_{g\circ f}$ は実数全体であり、 $(g\circ f)(x)=\sqrt{x^2+1}$ である。

(2)について、 $f(x)=2x+1$ 、 $g(x)=x^5$ をともに実数全体で定める。 $D_{g\circ f}$ は実数全体であり、 $(g\circ f)(x)=(2x+1)^5$ である。▨

§B2.6合成関数

1 合成関数と定義域

2 合成の順序と結合法則

3 演習

例題

演習

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